1
Ismét a fahengeres keresztmetszetű gerenda témájáról Az 1. ábrával már korábban is találkozhatott az Olvasó.
1. ábra – forrása: [ 1 ] Ezen azt láthatjuk, hogy bizonyos esetekben a fűrészelt fagerenda a hosszának egy szaka szán ép élű, egy másik szakaszán pedig fahengeres keresztmetszetű lesz. Az alábbi vizs gálatok ezzel a jelenséggel kapcsolatosak. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!
2. ábra Itt azt látjuk, hogy a L hosszúságú gerenda egy l hosszúságú szakasza fahengeres keresztmetszetű, a többi pedig ép élű. Az ép élű gerenda keresztmetszeti méretei B és H. Az eredeti egyenes csonkakúp félnyílásszöge: α. A tompaélűség paraméterei: b1 és h1.
2
A csonkakúp kisebbik alapköre r0 , a nagyobbik pedig R sugarú. A feladat: Adott: d0 , D , L , B , H . Keresett: b1 , h1 , l . A megoldás: A megoldáshoz először felírjuk az egyenes csonka körkúp egyenletét. A kúp tengelye a z tengely; egy z koordinátájával adott keresztmetszetében a kúppaláston fekvő pontok egy r (z ) sugarú körön helyezkednek el. Ennek a körnek az egyenlete: (1) Másrészt viszont a keresztmetszeti sugár képlete a 2. ábra szerint: (2) ahol: (3) Most ( 1 ) és ( 2 ) - vel: .
(4)
A ( 4 ) egyenletet több mindenre használhatjuk; először az l hosszat határozzuk meg a segítségével. Az l hosszúságú szakasz „tő felőli” végén r( l ) = r1; ámde a 2. ábra szerint: (5/1) azaz: (5/2) Most ( 4 ) és ( 5 / 1 ) - gyel: pozitív négyzetgyökvonás és beszorzás után: rendezve:
3
(6) majd ( 3 ) és ( 6 ) - tal: tehát:
(7) Ezután meghatározzuk a tompaélűség paramétereit. A 2. ábra alapján, Pitagorász tételével: innen:
tehát: (8) Teljesen hasonlóan eljárva: innen:
tehát: (9) Ezzel kitűzött feladatunkat megoldottuk.
Megjegyzések: M1. A ( 7 ) képlet szerint , ha ekkor az egész gerenda ép élű lesz, hiszen már a „csúcs felőli” kisebbik átmérőjű bütüje körébe is beírható egy ép élű téglalap.
4
Továbbá az is kiolvasható ( 7 ) - ből, hogy , ha azaz, ha ( 5 / 2 ) - vel is:
Ekkor a gerenda a teljes L hossza mentén fahengeres keresztmetszetű lesz, csak a „tő felőli” bütü D átmérőjű körébe írható bele az ép élű téglalap. M2. A 2. ábra jobb oldali részén – az oldalnézeti képen – vázolt görbe pontosan is meg rajzolható. Ehhez felírjuk a görbe egyenletét. A görbe a csonkakúpnak az egyenletű függőleges síkokkal való metszése során előálló két hiperbola lesz. Ekkor ( 4 ) - gyel is: eből: innen:
( 10 ) Adatok az ábrázoláshoz: B = 12 cm; H = 16 cm; h1 = 2 cm; h = H – 2 h1 = 16 cm – 4 cm = 12 cm;
R = 13 cm , D = 26 cm , L = 260 cm .
Ezekkel az adatokkal és ( 10 ) - zel a két hiperbola - ág egyenlete: (e)
5
Az ( e ) függvény képe a 3. ábrán szemlélhető meg.
3. ábra Látjuk, hogy a Graph szoftver grafikonja és a számítás ugyanazokat az eredményeket szolgáltatja, ha nem akarunk hamar kerekíteni. Ellenkező esetben komolyabb eltérések állnak elő az itt kiszámított és a grafikon által szolgáltatott eredmények között. Ennek valószínűleg a hiperbola - ág és a vízszintes egyenes lapos metsződése az oka. M3. A 2. és a 3. ábra hosszléptéke nem ugyanaz; az oldalnézeti kép a 2. ábrán torzítva lett, annak érdekében, hogy kiférjen a papírlapra. M4. Az 1. és a 2. ábráról jól látható, hogy van még két másik hiperbola is, melyek a csonkakúpnak az síkokkal való metszetgörbéiként adódnak. Ennek képlete az eddigiekkel analóg módon nyerhető. Felírását az érdeklődő Olvasóra bízzuk. M5. A Δh paraméter változása a gerenda hossza mentén a 3. ábra szerinti; ez ugyanis a piros hiperbola és a kék vízszintes egyenes közötti függőleges szakasz hossza: ( 11 )
6
M6. A 2. ábrán jelölt, l P = L – l hosszúságú szakaszon a kifűrészelt gerenda átmérőjére , vagyis utóbbi összefüggés alkalmas a méretek számítására. Ezért ezt a szakaszt pitagorászi zónának is nevezik – ha jól értettük a [ 2 ] - ben olvasottakat. M7. A tompaélűség / fahengeresség megengedése körül – úgy érzékeljük – lehet némi bizonytalanság, szakmai körökben is. Tény, hogy számos érv szól mellette és ellene. Ezzel kapcsolatban utalunk korábbi, hasonló témájú dolgozatainkra is. M8. Még mindig tartja magát a „gömb” szó helytelen használata: gömbfa, fagömbösség. Ilyet mutat a 4. és 5. ábra is.
4. ábra – forrása: [ 3 ]
5. ábra – forrása: [ 4 ] Látjuk, hogy az 5. ábrán a „fahiba” mértékének korlátozása így fest, az itteni jelölésekkel: b1 / B ≤ 1 /10 . M9. A 6. ábrán látható talpfa és váltóalj - keresztmetszetek tompaélűsége – úgy tűnik – nem számít fahibának, ellentétben a hagyományos fűrészáruk több esetével.
7
6. ábra – forrása: [ 5 ] Források: [ 1 ] – Sobó Jenő: Középítéstan I. Reprint kiadás, Soproni Egyetem, 1998. [ 2 ] – Hargitai László: Fűrészáru Szaktudás Kiadó Ház, Budapest, 2003. [ 3 ] – http://docplayer.hu/14996355-Prof-dr-molnar-sandor-nyme-fmkfaanyagtudomanyi-intezet-http-fahiba-fmk-nyme-hu-11-faanatomia-fahibak-iii.html [ 4 ] – http://www.sze-fa.hu/letoltes/szeglemezes-faszerkezetek.pdf [ 5 ] – http://www.wood2000.hu/uploads/files/en13145magyar.pdf Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2016. 07. 15.
