A csapos gerenda mennyezet teherbírása. Irta: M e z e y
Rezső.
A z összes építési anyagok közül a legközelebb áll hozzánk és minket a legközvetlenebbül érdekel az „épületi fa". A z épületi f a fontosságát és nélkülözhetetlenségét nemcsak a régi, de a rohamosan fejlődő, jelenlegi gyakorlat is bizonyítja. A z egyre inkább használatos vas- és vasbetonszerkezetek nem csak hogy nem szorítják háttérbe, de igénybe is veszik. Ezen kívül — nem is említve az építőasztalosmunkákat — a fedélszé kek, még a díszesebb kivitelűek is, kevés kivétellel, fából készül nek. Ugyanezt lehet mondani — különösen a legfelső emeletek — födémszerkezeteiről is, a mennyezetekről, amelyek közül az egyiket, és pedig úgy tűzbiztonság, mint szilárdság szempontjá ból a legmegbízhatóbbat akarom az alábbiakban szóvátenni. E z a „csapos"vagy „köldökölt"-gerendamennyezet. Teherbíró képességéről itt lesz szó, tűzbiztonságával pedig a szakirodalom már eléggé foglalkozott idáig is. E tekin tetben a vélemény általános és úgyszólván végleges. Ezúttal elegendő megemlíteni annyit, hogy m í g a fa — és pedig sok kal lassabban, mint a vas — ha átmelegszik is, v a g y m e g is pörkölődik, szilárdságát és ellentállóképességét nem veszíti el. Ha a tűz a fedem alatt, vagyis a lakott helyiségben üt ki, a beva kolt és egészen egymás mellé helyezett gerendák sima felületét legfeljebb megpörköli, de — m e r t oldalaihoz a láng nem igen férhet, az sokáig bír ellentállani és mert időt ad az oltásra, rendszerint nem is szakad be. A vasszerkezetű fedémeknél ellen ben az áthevülés hamar bekövetkezik, az erősebben átmelege dett, v a g y éppen áttüzesedett traverzek meglágyulnak és a kö zönségesen viselt terhelést nem bírják el. Hogy pedig miért kerül éppen ez a fagerenda szóba, annak oka is van. Valahányszor egy gerenda oly módon van igénybe véve, hogy esetleg meghajolhat, a z ellentálló képesség meghatározá sára szolgáló egyenletek legfontosabb tényezője: a keresztszel vény „tehetetlenségi nyomatéka" (inertia). , Munka- és időmegtakarítás végett a különböző keresztszel-
vények tehetetlenségi és ellentálló nyomatékai már régóta táb lázatokba vannak foglalva, de ennek a gerendának a kereszt szelvényét egyik sem tartalmazza. Ki kell számítanunk tehát az „ellenálló nyomatékot", az en nek a meghatározásához szükséges adatokat külön-külön és ezek közül elsősorban az inertiát '(I), vagyis a: a ) Tehetetlenségi
nyomatékot.
Ha egy tömegnek, vagy egyáltalában „anyagi pontrendszer nek" egyes tömegrészecskéit egyenként megszorozzuk azok — egy előre meghatározott tengelyből való — távolságának a négyzetével, akkor ezen szorzatok összege adja az egész pont rendszer „tehetetlenségi nyomatékát". Ha ezt J x-el jelezzük, akkor: J x = l(mp2)
1.)
ahol „ m " a végtelen kis résznek, mondjuk anyagi pontnak a tömegét, „ P " pedig annak az x tengelytől való távolságát je lenti. Tisztán mechanikai definició, mint ahogy a: I (m p°) = maga a tömeg. 1
I (mp ) = statikai nyomaték. 2
I ( m p ) = tehetetlenségi nyomaték stb.
A harmadik és magasabbrendű nyomatékoknak elméleti, mechanikai értelmük van, de a gyakorlatban nem fordul elő. A változatlanul összekötött, anyagi pontrendszer alatt ért hetünk „testet", síkot (vékony lemez), vagy vonalat (vékony rúd). • Minthogy pedig az erőműtan a számítások folyamán — ha csak külön megmondva nincsen (vasbetonszerkezetek) — min denkor egyenletesen elosztott szövetű, homogén anyagokat téte lezünk fel, a tömegeket és tömegegységeket a köbtartalom, a terület, illetőleg hossz egységei helyettesíthetik. A z 1. egyenlet egyúttal azt is kifejezi, hogy ha a tömeg részeket nem képzeljük végtelen kicsinyeknek, hanem pl. részle tekben való summázás után több tömegrész összegének, ha egyébként a részek között a változatlan összeköttetés fennma rad, akkor valamely kombinált pontrendszer tehetetlenségi nyo matékainak összegével (vagy különbségével) egyenlő. A z 1. egyenlet így is írható:
J X =
J^ + J » + J ^ ±
.
.
. J
;
2.)
Tudjuk azt, hogy a gerendák szilárdsága technológiai szempontból is nagyobb, ha a fa bele nincs átmetszve. Csak hogy ez anyagpazarlással jár, mert így egy darab gerendához egy egész szálfát kell felhasználni, tehát drágább. Megelég szünk ennélfogva a középen kettéfűrészelt gömbfából készült és lefaragás előtt félkör keresztmetszetű gerendával.
+y
S
1. ábra. Ha az 1. ábrán a szelvényt végtelen sok keskeny szalagra , osztjuk az x tengellyel párhuzamosan, amelyeknek változó hossza: x, a szélessége: dy, akkor az x tengelytől y távolságban fekvő egy ilyen területelemnek a tehetetlenségi nyomatéka az x tengelyre: =
2
x. dy. y
2
és az egész felületé: Jx =
2Íx.
A kör központi egyenletéből:
2
y . dy.
x=Vr 2
Jx = 2J f F - y
2
y
2
—y
2
dy.
2
Ez az integrál azonban n e m adhatja közvetlenül az egész fel vett keresztszelvény tehetetlenségi nyomatékát azért, mert -— amint az 1. ábrából is kivehető — a függvény folytonossága a
húrnak és a körívnek a metszéspontjainál úgy az x-re, mint az y-ra nézve megszűnik. A d j a
azonban
a
a 2. egyenlet segítségével utólagosan
körszegmentét,
ki
lehet
amit
egészíteni
az
egész keresztszelvényre. fr-—
2
y - e l szorozva és o s z t v a :
„r(r«-y«)y«dy =
2
o
J x = 2\-—————— jA 2_y2
2r
r
4
fy dy
„fy dy
Jy 2__y2 I.
Jfr —y II.
2
2
r
( xn X " UA dx
Va
± CX
3
dx azok mindig az
a priori alakra hozhatók. Ez lesz az eredmény
íaXcx
2
utolsó tagja, a megelőző tagok pedig közönséges algebrai alakok. 11
A bizonyítás céljából differenciáljuk
1
a x — . W sorozatot x sze
rint és legyen egyszerűsítés kedvéért V a - 4 - c x
2
=
W, a
mikor d W
=
cxdx fa +
cx
2
v n—1
d [ x » - i . W] = ( n - 1 )
xn-2. w dx +
cx
dx
^
—
Szorozzuk és osszuk a jobb oldal első tagját W = V a - f - c x d Tx" - i W l =
a
1
2
el:
2
(n—1) n — 1 )xx°n-- 2. . dx d x -- ff cc (n—1) ín—1) x". x". d dx - f ex" d x . W W a (n—1) x n - 2 .
u
x
a
x dx
-f- cn
w az utolsó tagot
különválasztva, egyúttal
mindkét
oldalt
integrálva
és
„cn"-el á t o s z t v a : f x " dx _ x ° - ' W
J
W
~~
cn
a (n—11 P x n - 2 dx ~
J
cn
4
1
W
U g y a n e z e n íorma szerint integráljuk tovább az utolsó t a g o t : a (n—1) (n—1) (f x xn n- 2 . dx _ a (n—1) cn
J
x" d x _ x " - i . W W -.W
xn-3.W
afn-3)íxn-4.dx.
cn
c (n—2)
c (n—2JJ
a(n-l)
xn--3.W
a
W
cn
cn
x"-i cn
a (n—1) 2
c n (n—2)
c(n—2)^
2
( nn--11)) ( n -- 33 )) 2
n (( nn -- 22 )) c: n 2
.
b e h e l y e ( l e s i ( í e
W
í*3x ^ dx " W
J_
2
. xn-3
a (n—1) ( n — 3 ) . x n - 5 . . . +
c
3
(n)
(q—2)
(n—4)
d
-5....5.)
•I
így kell tehát folytatnunk az eljárást mindaddig, amíg az utolsó tagban az n elfogy és az utolsó tag tényleg: 'dx W
alakú lesz. A z eredmény előző tagja egy szorzat, melynek egyik tényezője W , a másik pedig a változónak eggyel kisebbí tett hatványával kezdődő és azután egyre fogyó hatványaiból álló sor, különböző értékű és változó előjelű együtthatókkal. A nehézkes számítások elkerülése végett ezen együtthatókat a gyakorlatban sokkal egyszerűbben és könnyebben a „határozat lan együtthatók" elméletével számítjuk ki. A z utolsó tag együtt hatója máris így van beállítva az 5.-ben. Ez, mint a fentiekből látszik, csak arra az, esetre vonatko zik, ha az „ n " páros szám.
mindig
páros
fejtegetése
n
x
Mivel pedig a számú
dx
lesz,
a l a k b a n a j e l e n t á r g y a l á s f o l y a m á n a z ,,n',
azért a páratlan
kitevőjű formának
külön
fölösleges.
A z 5. egyenlet utasításait követve, a felvett most már megoldhatjuk. I. t a g : 2r Mindkét hagyva:
y2 (Jv
f
2
,
- £ b = = = K y+«o] 2
J7r -y
oldalon
2
"dy
Vt*-y
differenciálva és
integrálokai
2
+ P
3
2r -el v a l ó s z o r z á s t a v é g é r e 2
t.i. a Í J r — y s )
=
— 2y
dy
2f 2—ya r
_ í
[a,y +
= y 2-y2a i
ao]y
r
.az e g y e n l e t m i n d k é t o l d a l á t a W - v e l s z o r o z v a y
2
= air
2
—
a
i
y
2
—a y
2
x
— a y + P = —2o,y2 - a o y + a^a + p 0
Két egyenlet között az egyenlőség jele csak akkor állhat fent, ha az egyenlő kitevőjű ismeretlenek együtthatói egyenlők. í g y nyerjük: 1 = — 2a,
2
axr -^ B =
a = 0 n
r
- 1
0:
2'
2
behelyettesítve:
2
y dy I. t a g =
2r
2
a felső é s a l s ó h a t á r o k a t
2r
2
JL e
2
=
2
=
2r*
— _y y r 2 _ y 2 _ L . r _ I . a r c . s i n - 5 -
T-
2
2
2
behelyettesítve:
— a r c . s i n 1 — v(
2
— y"r -a
2
2
+ _
' 2
arc. sin — )
r '
3
2
Az ábrából látható, hogy Vr— a = h és -y = sin [ y — cp] =
2r
2
£ ! . JL .2 2
2
I
^ h - £ ! ( ^ - ( p ) l = 2r (£Íí + ^ 2
+
^
t
1
+
^)
2
y dy
2
I. t a g : 2 r
r
4
+ r ah
cp
6.)
Vr"-y Ugyanezen
tag:
II.
2
eljárással:
fZigy J yr -y 2
_
[
a
3
y3
+
y 2+
a 2
y
a i
y 2_y2
+ a ( ) ]
r
p f dy J V r«-y
+
;
2
f
ismét mindkétoldalon differenciálva, 2-vel utólag szorozva 2
2
3
[ a y + a 2 y + a i y + ao]y . i _ 3
2
2a y+a ]yr -y
3
3
5
2
:[3a y +
1
y 2_y2
f r
P
2
2
4
y * = 3 a r 2 y + 2 a r 2 y - f a, r — 3 a y 3
3
2
a
y
i
2
— a
- y
- 2a, y
: i
— a ys —
2
0
3
2
y 2_y2: r
-
aj y
2
4
-
a y — 3
y + p
H a t v á n y k i t e v ő k szerint r e n d e z v e : y
4
4
= y
[ - 3 a
3
-
a ] + y
_ 4a
2
- a
2
] - 4 - y
y [2a r -a„] + air
2
[ 3 a
3 ü= 3 a r ~ - 2 a = ~-x
2
r 2
3
~
1
¥
3
3
r
2
- a
1
- a
1
]
+
+ p
2
,= 0
a -
2
2
0= —3a
3
[ - 2 a 2
+ =
3
3
2
a
i = °
ao = 0 '
r 2
2
a r - f - / * = 0 = —-g-r* + /?. 3 _
r
4 r
8
2. 2
fr —y
a
a a 1 yr -a e + ^ • arc. sin -L - ( - ^ 8 r 4
i 2
- ' t i V r -r 4
2
4
3
3 r TT , a h 6 2 " 4 " i
8
3
2
, 3r ah_3r ~ 8 8 2
3r ir > a h
i 3r ah +
2
r -a
2
1
4
4
3r Tt 8
3
v
2
3r a
" 8
J
3
2
4
2
_
2
+
4
1
3r
r u_ 2
r 3r cp 4
t
~ 4
4
arc. sin —) , ^ 4
2
3
3r cp • 3 r a h t _ a h 4
-
4
V 2
jj
^
A 6.) é s 7.) ö s s z e v o n á s á b ó l : segm , 3r cp Sraah a h J = I - I I --= r*
3
s
x
2
segm J
x
r
4
4
2
3
4r"(p + 4 r a h — 3 r c p — 3 r a h — a h 4
5
8
cp
3
r ah
a h 8
=
-)
E z tehát tisztán csak a segment tehetetlenségi nyomatéka, x = r, x = a határok között, ameddig az integrált függvény folytonos és állandó. TU
Ha a 8. képletben 9 = - g ; h = r; a = o, akkor a félkörlap tehetet lenségi nyomatéka, külön levezetés helyett: (íélkör) _ r% x 8 9:) H o g y ezekután az egész keresztszelvényre megkaphassuk J
=
az Ix értéket, a 8. egyenlethez m é g hozzá kell adnunk a segment alatt álló derékszögű négyszög nyomatékát. H a e végből az 1. ábrán minden külön kirajzolás nélkül a dy szélességű és 2h hosszúságú sávot a négyszögben vesszük fel és pedig valamely o között változó y magasságban, akkor ezen terület elem tehetetlenségi vonatkoztatva:
nyomatéka
szintén
ugyanazon x tengelyre
2
. y és az egész négyszögé: a a
= 2hdy
j;
3
2
J x: == 2 hh | y d y =
^
Jnégyszög _ 2 a h x 3
=
1
0
.
o o Ha tehát ezt hozzáadjuk a 8.) számú egyenlethez: 4
2
r cp
3
r ah
3
a h
4
2a h
r cp
2
r ah
3
a h
+ ~fT [— + J kapjuk az egész csaposgerenda tahetetlenségi nyomatékát az x tengelyre vonatkoztatva: gerenda r qp r ah a h x ~T~ + ~T~ + "6~ ~T~
J
+
~
~2~ +
4
2
~~3~~
=
~4~ +
~ T ~
3
4
3
=
Igen fontos képlét, mely nélkül a súlyponttengelyre vonat koztatott tehetetlenségi és ebből megint az „ellentálló" nyoma tékot külön kiszámítani nem lehet. A csaposgerenda-mennyezethez szükséges faanyagot a fenyőerdőktől távolabb eső vidékeken, így a fővárosban és kör-
nyékén is, még a háború előtti békeidőkben is, csak a fakereskedőknél és famegmunkáló telepeken lehetett beszerezni, az eladás pedig nem köbméterenként, hanem majdnem általában négyzetméterenként történt és történik, a magasság megrende lése mellett. í g y azután nagyon sűrűen fordulnak elő olyan darabok, amelyek jóval nagyobb sugarú gömbfából készültek, mint amekkora a megrendelt és kialkudott magasság és így a keresztszelvény talpa nem esik a körlap átmérőjébe, hanem föléje. Tekintettel a gerendáknak ilyenképen való előállítására, foglalkoznunk kell az efajta gerendának a tehetetlenségi nyo matékával is. Megkapjuk: ha az átmérőig faragott gerenda tehetetlenségi nyomatékából a 2. képlet értelmében, a vissza maradó „ b " magasságú gerenda nyomatékát levonjuk.
2. ábra. A 2. ábra jelzéseit használva: a négyszög alapja 2h, a ma gasság „ b " , akkor a levonandó rész tehetetlenségi nyomatéka a 10. egyenlet szerint: 3
(négyszög) J
x
2b h
^
p
•
•
•
'
Levonva ezt a 11. egyenletből, a „csonkának" csaposgerenda tehetetlenségi nyomatéka: (csonka)
r
4
cp
2
r ati
3
a h
3
2b li
is
•
;
W
nevezhető
H a pedig az a ritkábbik eset adódik elő, hogy nagyobb szi lárdság elérése végett a gerendát az átmérő alatt fűrészelt gömbfából kell előállítani és e g y gerendára egy egész szálfát használunk fel, akkor a 16. képletet levonás helyett a 11.-hez hozzáadjuk, azon az ilyen — mondjuk — „bővített" g e r e n d á r a : 4
(bóv.
2
3
3
q) r
Ezen „csonka" és „bővített" jelzők nincsenek általánosság ban elfogadva és ezúttal is csak fenntartással és csakis a hoszszadalmasabb körülírások elkerülése végett alkalmazzuk. A vízszintesen fekvő és két végén alátámasztott gerendára ható külső erők, nevezetesen a felülről lefelé ható terhelés és egyidejűleg az alátámasztó falaknak alulról felfelé működő ellennyomása a gerendát és annak ellentállóképességét olyképen veszik igénybe, hogy annak alsó rostszálait megnyújtani v a g y elszakítani, felső rostszálait pedig összeroppantam igyekeznek. Ilyképen tehát ezek az egymással merőben ellenkező irányú feszültségek a gerenda bármely szelvényén a legfelső és legalsó szélén a legnagyobbak és minél inkább közelednek a rostszálak a keresztszelvénynek egy bizonyos vonalához, folytonosan csök kennek. Kell tehát a keresztszelvényen egy egyenesnek lennie, ahol ezek kölcsönösen m e g is semmisülnek. H o g y ez az egyenes hol fekszik, azt az itt következő, a súlypont helyének meghatá rozására szolgáló tételekből állapítjuk meg. J
—
B)
l
8
SÚLYPONT
A mechanikának egyik sarkalatos tétele így hangzik: változatlanul
A erők
akkor először:
erőknek mást tékű ; kére
összekötött,
vannak ha
mind
a
a
és
vonatkoztatott
derékszögű,
három
megsemmisítik,
másodszor:
anyagi
pontrendszerre
ható
tengelyrendszerben
' az
egyensúlyban:
tengely vagyis
térbeli irányábam azokriak
eső (algebrai
vetületeink összege
egy null
ér
egyidejűleg: ha valamennyi „statikai"
erőnek
ez\en
téngébgek
nyomaték-összege
bármelyi szintén
nulla
értékű.
Ez a tétel szolgál a súlypont értelmezésére megkeresésére is.
és helyének
a
Esetünkben egy határolt síkfelület súlypontjáról van szó. Minthogy a tétel általános érvényű, a derékszögű tengely rendszer kezdő „ 0 " pontját, valamint a tengelyek irányát is egészen szabadon választhatjuk. Egyszerűsítés kedvéért ennél fogva a vizsgálandó, bármilyen alakú, zárt síkot — mondjuk egy bizonyos súllyal bíró (homogén) vékony lemezt — az x, y tengelyek síkjába, a rajzlap síkjába helyezzük. (Lásd 3. ábra.)
5
o
!
i
A
i
o Z
3. ábra. A z i'i h h • • • in tömeg, illetőleg felületrészecskék legyenek a felvett síknak részei, amelyek a nehézség törvényéből szár mazó erők hatásának vannak kitéve. Ezek az erők tehát kizá rólag az x, y tengelyekre és az azok síkjára merőleges „ z " tengely irányában működnek. Ha még megállapodunk abban is, hogy a „ z " tengelynek a plus iránya a 0 ponttól a szemlélő felé tart, továbbá, hogy az erők előjele ugyanezen irányt követi, belátható, hogy az ii i . . . in területrészecskékben működő erők a 0 ponttól lefelé, vagyis z irányban hatnak, tehát kivétel nélkül mind minus előjelűek. Ezen erőknek az eredője nem lehet egyéb, mint az egyes erők összege: i (i) = s =
maga a zárt idom területe — előjellel.
A törvény szerint ezen lefelé ható erők hatását csakis ha sonló nagyságú és a z tengely irányában ható, ellenkező előjelű erők tarthatják egyensúlyban, vagy pedig ezek helyett egy erő, amely az erők eredőjével egyenlő nagyságú, de ellenkező irányú. Ennek az erőnek a támadópontját, a súlypontot", illető leg annak l és n rendszálait a törvény második bekezdése definiálja. A statikai nyomaték: M = erő X kar (tengelytávolság). A z adott erők a „ z " tengellyel párhuzamosak, tehát a z tengely körül forgatás nem lehetséges, csakis az x és y tengelyek körül. A z y tengelyre vonatkozó statikai nyomatékok összegének egyenlőnek kell lennie az eredőnek a nyomatékával, azaz S tömegének és E tengelytávolságnak (súlypontabscissának) a szorzatával, ellenkező előjellel, v a g y i s : -X(Í)
—
(i, X , + Í X , +
Í X
2
3
3
-j-
.
.
.]'nXn) =
()
az x tengely körül való forgatásnál pedig: nzfi) - O'i y i + i y + i y s + • • - i n X n ) = o (Megjegyzendő, hogy általánosan elfogadott megállapodás az is, hogy bármelyik tengely körül a plus irányú forgatás az, ame lyik az óramutató irányát követi.) A súlypont rendszálai ennélfogva: 2
Í X + t
S
t
—
h
3
X + 3
X(Í) =
_
iiyi + n
x
Í2 2 +
2
Í2y? +
i
3
y 8 +
I(i) =
•
•
• Ín Xu
S
S.
j '
•
•
• iny
n
(
(
1
H
J
)
A 3. ábra mérce szerint van szerkesztve, n = 5 pontból. Ha történetesen az S súlypont a közeli x tengelybe esett volna, v a g y — ami egyre m e g y — a mindenkor szabadon választható tengelyrendszert az £ tengelyében vettük volna fel, akkor 11 = 0. Ha pedig magát a 0 kezdőpontot tettük volna S pontba, akkor úgy 5 = o, mint n . = o. Csakhogy akkor a jobboldal számlálói is megsemmisülni tartoznak és ebből közvetlenül is leolvasható egy szintén igen fontos tétel: A változatlanul összekötött, anyagi pontrendszer összes elemeinek a súlypontra, vagy a súlypont te&szés&zerinti tenge lyére vonatkoztatott statikai nyomatékainak az öslszege nulla< értékű.
A 3. ábrán felvett i i . . . i felületrészecskék súlyai mind lefelé, a rajzlap síkja alá működnek, megérthető tehát, hogy az x tengely fölött az I. negyedben elhelyezett erők a lemezt az x tengely körül plus irányban forgatnák, míg az x tengely alattiak az ellenkező, vagyis minus irányban és a 3. ábra jelen legi állapotában az eredmény — ellenkező erő működése nélkül — egy plus-irányú forgatás volna. Ha azonban az x tengely az S ponton menne keresztül, akkor forgatás nem történhetik. ígéret szerint most vissza kell térnünk az előző a) pont legutolsó bekezdésére. Megállapítottuk, hogy a vízszintesen elhelyezett gerenda bármely függőlegesen álló keresztszelvényén kell egy szintén vízszintes tengelynek lennie, amelyre nézve a keresztszelvény minden részecskéjére ható erők nyomatékainak összege egyen súly esetén null értékű. Ez a tengely; „semleges tengely". A 19. egyenletben az erők a nehézségből keletkeztek, míg a gerenda keresztszelvényén azok a megterhelés folytán beálló feszültségek, ami azonban a statikai, nyomatékok egyensúlyi törvényének érvényességén semmit sem változtat. A z egyenlet jobboldala, vagyis az egyes részek statikai nyomatékainak öszszege bármikor helyettesíthető ugyanezen egyenlet baloldalán álló szorzattal, aminek az egyik tényezője az állandó felület, a másik pedig a felület súlypontjának a kérdéses tengelytől valótávolsága. Ha tehát — egyensúly esetén — a jobboldal meg semmisül, akkor a baloldalon i = n = o M
a keresztszelvény
2
súlypontja
5
beleesik
a semleges
tengielkjbe.
Ami továbbá a 2. képletnél mondva van, az a 19.-re is fenntartható, t. i. az h U . . . in alatt nagyobb területrészek is érthetők, ha azok súlypontja ismeretes. Ennélfogva egy kombi nált felület idomsúlypontjának a rendszálai, ha t. i. az egyes részek között a változatlan Összekötöttség fennáll: ' Sig + S , £ + S S ± 1
_ f~
( S
2
3
3
• • • Y
+ S + S . . .) = S +S n ±S n ± - • • ( ' ' : . ' . ' . ' ' ' •
S l
2
1 M 1
2
3
2
3
3
'' • I
( S + S + S . . .) = S- l t
2
3
A z összetett síkidomok súlypontjának a meghatározásához tehát az egyes területrészek súlypontjainak az ismerete szüfe séges.
Külön bizonyítás nélkül belátható, hogy a véges egyenes súlypontja annak a felezőpontjában van. Tudva ezt, a négyszög és a háromszög súlypontját analiti kai elemzések nélkül is meghatározhatjuk. A párhuzamos oldalú, négyszög súlypontja a magasSiág fe lében van. Ha pedig a háromszöget oly — végtelen keskeny — szala gokra bontjuk, amelyek bármely, alapul választott oldallal pár huzamosak, akkor, tudva azt, hogy a szalagok súlypontja azok nak a közepén van, a háromszök súlypontja mindenesetre azon az egyenesen fekszik, amelyik a szemközt lévő oldal felező pontjával összeköti. Már pedig a geometria szerint: a három szög csúcspontjait a szemközt fekvő oldalak felezőpontjaival
4. ábra. összekötő egyenesek egymást egy közös pontban metszik. A súlypont helye tehát itt is kétségtelen és rövid szemléltetés u t á n : a háromszög súlypontja számított y^-ában van.
a
magasságnak
az
alapvonaltól
Ezen — különben közismert — tételek hangsúlyozása azért történik, mert az alábbiakban több ízben fordulnak elő. Következnék a segment súlypontja, ami annyiban érdekes, mert a szóban lévő gerendaszelvény kiegészítő része és mert egyúttal a félkör súlypontjához is vezet. A 19. egyenletek szerint a súlypont rendszálait egy hánya-
dos adja, amelynek a nevezője, mindkét rendszálra síkidom területe. — Először ez tárgyalható.
a
felvett
A 4. ábrából is láthatólag a segment egy körnek egyenesnek a metszéséből keletkezett zárt idom.
és egy
2
A kör: x + y - -
r
5
o központi egyenletéből
fF2 — x
y = í(x) =
2
az x tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete pedig: y|=cp(x) = a
Ha most ezt a bezárt területet az x tengelyre merőleges és dx szélességű szalagokra osztjuk, úgy egy-egy ilyen szalagnak a hosszúsága a változó ( y — y ^ és egy ilyen elemnek vagy köz vetlenül az egész bezárt segmentnek a területe így írható f e l : -f-h
-f-h :
T=j
(y-y )dx=(y P
2
x dx
1
a dx h II,
I. tag a 6. egyenlet megoldásához hasonlóan: 2
Jyr3-x .dx=J-=
dx
=
x + p 2
ax
—
J y r
—x
2
mindkét oldalon differenciálva: r
—x
2
2
-- — a
y . r
1
y r
2
- x
2
- x
- a, X
2
Cin —
2
2
2
2
2
X
2
fr -x
2
yr
2
—x
2
r — x = — a ^ - } - a i X -f-ajX -}- a x 0
2
2
= 2 a X - - a X - a!r -f p 1
— l = 2 a
r
0
a = o
t
r
0
2
=
_ 1
—a^
_
+ p
j.2
-f-h
4-n 2
yr -x
= "-Kr
£
2
2
+ P
2
2
2
- h + ^
c.
. dx = ^ y r
2
—x
. a r c . sin fi-r de y a _ r
h
2
2
- f - y a r c . tin
yr
=
a
;
. h ^
2
—h
2
sin cp
*
- L- — a r c . s i n
2
2
+ h I. tag =
fr
2
—x
2
2
• dx=ah-f-r qp
II. tag =aj*ax = ax
ah — ( — ah) =
2ah
—h T (terület.) =
(y —
dx = I — H = r > + ah - 2 a h
2
T=r (p—ah
22.)
( A körsector területéből levonjuk a 2 h alapú és „ a " magasságú háromszög területét.) A £ számlálója a 1 9 . egyenlet szerint: My, azaz az y tengelyére vonatkoztatott statikai nyomaték: az elem területének és az y tengelytől való távolságának szorzata. A z egész felület nyomatéka pedig: My:
x . v dx
x
\v-
—x
2
• dx
Ezt az integrált az imént alkalmazott módon is meg lehet oldani, de rövidebben érünk célhoz új változó behozatalával. 2
2
2
2
2
2
2
2
Legyen : V r — x = t; r — x = t : x = r — t ; 2
;= V r —t
2
- t . dt dx
2
Vr —t
2
ezeket behelyettesítve: + h 2
•\f~
+ h
2
"l/r =t .t . - t . dt
t3
My_
23.)
Önként jelentkezik a statikai nyomatékok törvénye, t. i. az í abscissa megsemmisül, tehát a súlypont beleesik az y tengelybe, ami egyébként előre volt látható, hiszen az y tengely a segmentet symmetrikusan osztja ketté. — A másik rendszál:
Mx ahol a számláló a segment statikai nyomatéka az x tengelyre. Az (y — y ) hosszúságú elem súlypontja, annak felezőpontjában x
y
van, a x tengelyből való távolsága tehát = ^
Mx
t
^ - ( y + y i ( y - y i ) dx
2
2
* és így a E számlálója:
a
2"Jfy -
fx
yíldxj-y
2
2
-
(x)
2
dx
2 2
x - ^ J d x ;(--h é s + h között) = - i j \ r - x ) dx - y j a dx = -íjdx - A . xxd dx h 3
M x
_ _ r -x— „ :Xi _ _ a^ _„ _=X —„ <[ r, — a„ o ]! 2 6 2 2 3
2
2
r
x
2
X
3
, ahol r
L
a
2
2
= h
2
-h 2
,h . h _ h 2 6 Mx T
|
3
3
h
2
+
h_
2
o
•h
3
2h 6
3
2h 3h —h . 'Mx=-g3
3
3
3
2h 3 (r
2
CP
24.)
— ah)
Ez tisztán csak a segment súlypontjának x tengely fölött. Ha ezen egyenletben:
= h [félhúr] = r ;
a magassága az
a =
o ;
akkor a félkör súlypontja: 3
2r 5-5
4r = n = Ö - = 0.4244r
n = oiT ír 2
'
25.)
ÓTt
'•
2 A segment alatt álló négyszög területe =
T =
;
2 ha a
rj =
2
•
ha ezt belekapcsoljuk a 20. egyenletbe, azzal az egész gerenda szelvény súlypontjának az ordinátáját is megkaphatjuk. Legyen az egész szelvény súlypontjának ordinátája: n o . a segment és négyszög területe: T,, illetőleg T , az ordináták pedig m és ns. akkor a 20. képlet szerint: 2
Titii - J - T n Ti + Ts 2
no—
3
Könnyebb kezelés és áttekintés céljából helyesebb lesz a kifejeizést tagonként kifejteni. — A 22. és 24. alakokból: (r2cp — a h ) . 2 h Ti.ni == „ T n2 =
2h
3(r cp—ah)
3
3
2ha.a =
2
2
3
2
2
_____
2
2
T + T = r cp — ah-f- 2ah = r c p +
ah
2
ezek összevonásával: 2t]3 2
2
+ a h
no 2
r p + ah
2 h s -f- 3 a h —
2
3 ( r c p X ah) "
2
2
h [2h + 3 a ] 2
3[r cp +
ah]
no • • •
26.)
Ez az egyenlet azonban a 4. ábrát követve, gyorsabban, közvet lenül is levezethető. (Folytatjuk.)
