Internationale portefeuilles: Markowitz of naïeve diversificatie?

ACADEMIEJAAR 2011 – 2012

UNIVERSITEIT ANTWERPEN FACULTEIT TOEGEPASTE ECONOMISCHE WETENSCHAPPEN

Internationale portefeuilles: Markowitz of naïeve diversificatie? Student: Rick van Esch Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van: Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen – Bedrijfskunde

Promotor:

Prof. dr. J. Annaert

ACADEMIEJAAR 2011 – 2012

UNIVERSITEIT ANTWERPEN FACULTEIT TOEGEPASTE ECONOMISCHE WETENSCHAPPEN

Internationale portefeuilles: Markowitz of naïeve diversificatie? Student: Rick van Esch Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van: Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen – Bedrijfskunde

Promotor:

Prof. dr. J. Annaert

Abstract In dit werk gaan we na of in een internationale portefeuille context het beter is de optimale portefeuille-strategie van de Moderne Portefeuille Theorie (MPT) toe te passen of te kiezen voor na¨ıeve diversificatie. Een vaak geciteerd probleem van mean-variance optimalisaties is de slechte out-of-sample prestatie van de optimale portefeuille die in de realiteit optreedt door schattingsfouten in de te schatten parameters µ en Σ. We geven eerst een overzicht van de bestaande literatuur en haar bevindingen, om daarna zelf een datareeks bestaande uit de MSCI All Country World indices te testen. Voor dit onderzoek hebben we gediversifieerd zowel per R -classificatie. In dit land (Europese en wereldwijde portefeuilles) als per sector volgens de GICS

onderzoek vinden we dat out-of-sample de na¨ıeve portefeuille vrijwel iedere keer domineert t.o.v. de optimale portefeuille met uitzondering van één goede prestatie van de minimumvariantieportefeuille en eveneens één goede prestatie van het combinatiemodel van Tu & Zhou. In-sample presteert de optimale portefeuille van de MPT telkens het beste. We sluiten af met een model uit de praktijk dat probeert de prestatie van de MPT over de hele lijn te verbeteren.

Dankwoord Allereerst zou ik Universiteit Antwerpen en haar personeel willen bedanken voor vier jaar geduld, inzet en kennisoverdracht. Een speciaal dankwoord gaat dan ook naar de promotor van deze thesis: Prof. Dr. J. Annaert die telkens weer een oplossing vond voor een probleem waarmee ik geconfronteerd werd en vooral voor zijn cursus “Investment Analysis”. Zonder deze cursus zou het heel onwaarschijnlijk zijn geweest dat ik dit onderwerp had gekozen. Naast de UA, moet ik ook zeker mijn ouders bedanken. Zonder hun onvoorwaardelijke morele en financiële steun zou ik nooit zo ver geraakt zijn in mijn studies. Verder zou ik Capitant willen bedanken voor hun Londenreis die me de mogelijkheid gaf om een lezing van Paul Kaplan bij te wonen R op 22/03/2012 over zijn Markowitz 2.0 in het gebouw van M orningstar Londen. Deze

presentatie heeft mijn ideeën over dit onderwerp extra zuurstof gegeven. Een laatste dankwoord gaat naar mijn mede-studenten op de UA, die telkens weer op elk hun eigen manier hun visie verkondigden over de financiële wereld en het moeilijk parket waarin ze zich nu bevindt. Dit alles heeft er absoluut toe bijgedragen dat ik gepassioneerd bleef door mijn onderwerp en telkens weer de nieuwe input kreeg die ik nodig had. Rick van Esch, 22 mei 2012

i

Inhoudsopgave 1 Inleiding

1

2 Literatuurstudie & concepten

3

2.1

Nutsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2

De Moderne Portefeuille Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2.1

Assumpties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.2

Univariaat model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2.3

Multivariaat model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.4

Intu¨ıtieve uitleg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2.5

Sharpe’s CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3

MPT en internationale diversificatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1

Effecten op de efficient frontier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.2

Het belang van correlaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.3

Optimalisatie met beperkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4

Kritiek op de Moderne Portefeuille Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5

In-sample en out-of-sample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6

2.5.1

Wat is in-sample en out-of-sample? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.2

In-sample en out-of-sample in de literatuur . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Het belang van N, schattingsfouten en consistentie . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Testen van de na¨ıeve portefeuilles

26

3.1

Werkwijze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2

Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3

De Europese portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4

3.3.1

De Europese portefeuille zonder allocatiebeperkingen . . . . . . . . . . . . 31

3.3.2

Normaliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.3

Instabiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.4

Overconcentratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.5

Samenvatting Europese portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

De All Country World portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4.1

3.5

ACW-portefeuille per land

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

ACW-portefeuille per sector & industrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

ii

3.6

Samenvatting Europese en ACW-portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.7

Portefeuilles met halfjaarlijkse herbalancering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Het combinatiemodel van Tu & Zhou

48

4.1

Werkwijze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2

Out-of-sample prestatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Implicaties voor na¨ıeve beleggingsstrategie¨ en

52

5.1

De particuliere belegger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2

De institutionele belegger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 MPT in de praktijk 6.1

53

Kaplan & Savage’s Markowitz 2.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.1.1

Scenario-benadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.1.2

Lange termijn rendementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.1.3

Neerwaarts risico & (C)VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.1.4

Scenario’s vs. correlaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.1.5

De nieuwe efficient frontier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Conclusie

57

A Eigenschappen van nutsfuncties

64

B Bernoulli’s St. Petersburg Paradox

64

C Nadelen van de normale verdeling

65

D Assumpties CAPM

65

E Effici¨ ente Markten Hypothese

66

F Afleiding van de optimale portefeuille

67

G GICS

68

H Afleiding minimumvariantie-portefeuille

71

I

71

Afleiding nutsfunctie van wm

iii

Lijst van figuren 1

Nut en risico-aversie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2

Efficient frontier met random gegenereerde portefeuilles . . . . . . . . . . . . . .

8

3

Marktrisico & idiosyncratisch risico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4

Security Market Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5

Capital Allocation Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6

Grubel’s internationale portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7

Levy en Sarnat’s internationale portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

8

Gemiddelde correlaties tussen 1872-2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

10

In-sample & out-of-sample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

11

Rendement vs. risico Europese portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

12

De ex-ante en out-of-sample Europese portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

13

Ex-ante en out-of-sample Europese portefeuille met dubbele allocatiebeperking . 39

14

Onbeperkte Europese portefeuille vs. ACW- portefeuille . . . . . . . . . . . . . . 42

15

Ex-ante en out-of-sample ACW-portefeuille met dubbele allocatiebeperking . . . 43

16

Verloop index information technology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

17

Lognormale vs. scenario-gegenereerde verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

18

Efficient frontier Markowitz 2.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Lijst van tabellen 1

Risico-aversie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Rendementen en risico’s voor de VSA en niet-VSA landen . . . . . . . . . . . . . 14

3

Grubel’s internationale portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4

Levy en Sarnat’s internationale portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5

In-sample, out-of-sample en ex-ante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6

Jorion’s out-of-sample prestaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7

Duchin en Levy’s portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8

Gegevensopdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9

Statistieken Europese landen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

10

Statistieken niet-Europese landen en Jarque-Bera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

11

Correlaties Europese landen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

12

Voorspellingsefficiëntie gemiddelde rendementen uit het verleden . . . . . . . . . 36 iv

3

13

Gewichten Europese portefeuille met en zonder beperkingen . . . . . . . . . . . . 40

14

Sharperatio’s Europese portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

15

Sharperatio’s ACW en Europese portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

16

Correlaties sectoren ACW-portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

17

Prestaties van de portefeuilles gebaseerd op het voortschrijdend gemiddelde . . . 47

18

Resultaten combinatiemodel van Tu & Zhou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

19

Standaardafwijking van Bull & Bear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

v

1

Inleiding

“I visualized my grief if the stock market went way up and I wasn’t in it - or if it went way down and I was completely in it. My intention was to minimize my future regret, so I split my retirement plan contributions 50/50 between bonds and equities” - Harry Markowitz (1988)1 De voordelen van internationale financiële diversificatie zijn in de academische wereld meermaals onderzocht geweest en vaak bevestigd. Zo heeft Grubel (1968) duidelijk aangetoond dat correlaties tussen internationale markten over het algemeen laag zijn en dit kan bijdragen tot een verschuiving van de efficient frontier (cfr. infra) in noordwestelijke richting. Ook Levy & Sarnat (1970) komen tot deze conclusie voor de periode van 1951-1968. Veel recenter is er uitgebreid onderzoek gedaan of deze rationale nog steeds opgaat. Zo heeft de paper van Fletcher & Marhsall (2005) aangetoond dat in de periode van 1985-2000 wel degelijk een betere Sharpe-ratio (cfr. infra) en certainty equivalent returns (cfr. infra) worden behaald met internationale portefeuilles t.o.v. portefeuilles die enkel toegespitst zijn op de Amerikaanse markt. Goetzmann, Lingfeng & Rouwenhorst (2005) hebben gevonden dat de correlaties tussen de Amerikaanse, Duitse en Franse markten sterk verschilden de afgelopen 150 jaar en dat er een duidelijke toename is in de correlaties in de periode 1971-2000. Recent hebben Chiou, Lee & Chang (2009) onderzocht of de Amerikaanse belegger nog potentiële voordelen kan opdoen door een internationale portefeuille aan te houden. Hoewel ze waarschuwen dat deze voordelen stevig verminderd worden door nevenvoorwaarden aan de optimalisatie van de portefeuille op te leggen (cfr. infra), lijkt het toch nog, ondanks de toegenomen integratie van de financiële markten, te lonen om aan internationale diversificatie te doen. Tevens komen ze tot de conclusie dat de Markowitz out-of-sample prestatie (cfr. infra) niet de mean-variance optimalisatie verbetert in hun portefeuille, maar wel de risico’s kan verminderen voor de belegger.

De optimale portefeuille wordt gecontrasteerd met de na¨ıeve portefeuille die kiest voor een gelijkgewogen verdeling tussen de verschillende beleggingsopportuniteiten. Niet alleen vanuit een statistisch uitgangspunt zou dit in bepaalde gevallen betere resultaten moeten opleveren (Duchin & Levy, 2009; Tu & Zhou, 2011), ook met de recent opgekomen Behavioral Finance is het debat van ‘risk aversion’ volledig verplaatst naar ‘loss aversion’ en is er een toenemende 1

Zie: (Pompian, 2006, p.227)

1

focus op het minimaliseren van spijt (loss regret) t.o.v. een belegging (Kahneman, Slovic & Tversky, 1982; Pompian, 2006). Dit leidt rechtstreeks tot keuzes die niet gestoeld zijn op rationaliteit, het maximeren van het verwacht rendement en het minimaliseren van risico’s, maar de behoefte aan heuristieken om de belegger toch een aangenaam rendement te bieden zonder teveel spijt achteraf te hebben. De na¨ıeve strategie past volledig in deze context. Demiguel, Garlappi & Uppal (2009) hebben een breed scala aan optimalisatiemethodes vergeleken met de na¨ıeve portefeuille via de out-of-sample methode. Zij vinden geen statistisch significante out-ofsample prestatie die herhaaldelijk de na¨ıeve portefeuille domineert, zowel de Sharpe-ratio’s als de certainty equivalent returns zijn niet consistent beter dan de na¨ıeve portefeuille. Wat men wel vindt (net zoals in deze paper het geval is), is dat bij elke beperking die opgelegd wordt aan de optimalisatie er een betere prestatie merkbaar is (Demiguel, Garlappi & Uppal, 2009, p.1936). Toch gaan we proberen om wel degelijk de out-of-sample mean-variance optimalisatie te verbeteren voor een internationale portefeuille door het implementeren van de werkwijze voorgesteld door Tu & Zhou (2011). We bouwen onze werkwijze vanaf de basis uit tot een complexere aanpak om mogelijke verbeteringen te bekomen in de out-of-sample prestatie van een internationale portefeuille over de periode van 1995-2007. Dit zowel voor een Europese als een wereldwijde portefeuille, hierbij bekijken we diversificatie per land en per sector.

Concreet willen we de volgende twee vragen onderzoeken: • Presteert in een internationale portefeuillecontext een na¨ıeve diversificatie beter dan een mean-variance optimalisatie? • Wat zijn hierbij de implicaties voor passieve beleggingsstrategieën en asset allocatie in de 21ste eeuw?

2

2

Literatuurstudie & concepten

“I drew a trade-off curve, like economists always do and so that afternoon in the business school library at the University of Chicago, I came up with the first efficient frontier” -Harry Markowitz (2010)2 -

2.1

Nutsfuncties

Allereerst zouden we een kort deel van dit werk willen wijden aan de theorie van nutsfuncties. Nut is intu¨ıtief een makkelijk te begrijpen concept, maar minder makkelijk te implementeren. Aangezien elke rationele economische agent een bepaalde waarde hecht aan een goed, zal hij/zij in de meeste gevallen een bepaald goed verkiezen boven een ander goed. We noteren dit in symbolen als volgende:

Stel dat we kunnen kiezen uit de volgende korf, genaamd H met x ∈ H en z ∈ H. We kunnen zeggen dat: x z (x wordt verkozen boven z) en x z (x wordt verkozen boven z of gelijkwaardig gevonden als z)3 . Zie o.a. Ingersoll (1987); Elton & Gruber (1984).

We kunnen dus uit een korf bepaalde objecten rangschikken naar onze preferenties. Het ene element uit deze korf heeft een hoger nut dan het andere. We zouden dan ook verwachten dat we als rationele wezens altijd ons nut willen verhogen en indien we meer uit de korf bezitten, dit ons een hoger nut geeft. Toch blijkt deze relatie niet evenredig te zijn. Bernoulli (Caywood, 1954) toonde aan in zijn St. Petersburg paradox (zie tevens appendix B) dat ons nut marginaal is van aard en dat het ervaren nut voor elk individu anders is. Zo opperde hij dat 1000 euro voor een arm gezin meer nut zal creëren dan diezelfde 1000 euro voor een rijke edelman. De oorzaak van dit verschijnsel zit in onze neiging om risico’s te vermijden, we zijn immers risico-avers. Om dit kort uit te leggen nemen we er figuur 1 samen met tabel 1 bij. Tabel 1: Verschillende vormen van risico-aversie (Elton & Gruber, 1984, p.200)

2 3

(a) Risico-avers

U 00 (0) < 0

slaat een eerlijk spel af

γ>0

(b) Risico-zoekend

U 00 (0) > 0

kiest een eerlijk spel

γ<0

(c) Risico-neutraal

U 00 (0) = 0

is onverschillig t.o.v. het spel

γ=0

Zie interview (Kaplan, 2012, P.351-365). Zie de andere vijf noodzakelijk eigenschappen in appendix A.

3

Figuur 1: Nut en risico-aversie (Elton & Gruber, 1984, p.201)

In dit werk zullen we enkel gebruik maken van kwadratische nutsfuncties van de vorm:

U (W ) = W − bW 2

(1)

U 0 (W ) = 1 − 2bW

(2)

U 00 (W ) = −2b

(3)

Hierbij stelt W de rijkdom voor en U (W ) het nut wat men uit deze rijkdom haalt. De meest bekende kwadratische functie wordt hieronder weergegeven en wordt ook wel aangeduid als certainty equivalent return (CER). Zie bijv. Bodie, Kane & Marcus (2009, P.158-160) U = E(r) −

γ 2 σ 2

(4)

γ=de intensiteit van de risico-aversie. E(r)=het verwachte rendement van de belegging. σ 2 =de volatiliteit, gemeten door de variantie van de belegging.

2.2

De Moderne Portefeuille Theorie

De Moderne Portefeuille Theorie (MPT) is het fundament van de moderne aanpak in het maken van beleggingskeuzes. Qian, Hua & Sorensen (2007, p.1) leggen de implicatie van de MPT uit in één gemakkelijk te begrijpen zin: “Zodra risico’s in betrekking moeten worden genomen bij keuzes, zouden we kunnen zeggen dat sommige spelen het wel waard zijn om te winnen, maar niet noodzakelijk het waard zijn om te spelen”.

4

Aan de basis van deze rationale ligt het werk van Harry Markowitz (1952, 1959), die daarvoor in 1990 de Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel kreeg.4

H. Markowitz (1952, 1959) onderscheidt in het proces van het selecteren van een portfolio twee stadia: 1. Het observeren van en de ervaring met de beleggingen die men overweegt, waaruit men toekomstige prestaties concludeert. 2. De keuze zelf van hoe de beste portefeuille kan geconstrueerd worden. Markowitz bespreekt enkel het tweede probleem5 in zijn artikel: Portfolio selection. Wij zullen de problemen van de afwezigheid van een oplossing voor punt één toelichten in deze thesis en bekijken wat de mogelijke oplossingen zijn. Het tweede punt hebben we nog uitvoerig nodig om Markowitz’ eerste probleem te nuanceren en mogelijke oplossingen te bespreken. 2.2.1

Assumpties

Zoals vrijwel elk model vanuit de economische traditie, is de MPT onderhevig aan voorwaarden. Indien men het mean-variance (MV) raamwerk goed wil gebruiken, dient men de volgende punten in acht te nemen: 1. Een belegger is rationeel (of zou dit toch moeten zijn) (Markowitz, 1952). 2. De beleggingshorizon betreft slechts één periode (Markowitz, 1959). 4

Toen Harry Markowitz in 1952 zijn artikel Portfolio Selection uitbracht, kreeg hij meteen de wind van voor

van zijn collega’s aan University of Chicago. Zelf vertelt hij daarover het volgende in een interview met de uitgevers van the Journal of Finance: “So about five minutes into my defense, Friedman says, well Harry I’ve read this. I don’t find any mistakes in the math, but this is not a dissertation in economics, and we cannot give you a PhD in economics for a dissertation that is not in economics. He kept repeating that for the next hour and a half. My palms began to sweat. At one point he says, you have a problem. It’s not economics, it’s not mathematics, it’s not business administration, and Professor Marschak said, it’s not literature. So after about an hour and a half of that, they send me out to the hall, and about five minutes later Marschak came out and said congratulations Dr. Markowitz”(American Finance Association, 2004a). 5 In zijn latere werk: Portfolio selection: efficient diversification of investments (Markowitz, 1959, p.3) stelt Markowitz wel voor het eerste probleem op te lossen door de rendementen uit het verleden te nemen om daarop de gewichten te berekenen, later kwam hij hier gedeeltelijk op terug en ook wij zullen laten zien in dit werk dat dit vaak niet de beste uitkomsten geeft. Daarnaast oppert Markowitz ook voor de mogelijkheid om via verwachtingen van toekomstige rendementen de gewichten te berekenen, we komen hierop terug bij Kaplan’s Markowitz 2.0 (Kaplan, 2012) op het einde van dit werk.

5

3. In het begin van de periode alloceert de belegger zijn vermogen tussen de verschillende activatypes (“asset classes”)(Markowitz, 1959). 4. Tijdens de periode zal elk activatype een willekeurig rendement verschaffen, waardoor het vermogen zal toenemen door het gewogen gemiddelde rendement dat bekomen werd over de periode. De belegger consumeert dus pas op het einde van de periode (Kaplan, 2012). 5. Verwacht rendement wordt door de belegger als iets positief ervaren, variantie als iets negatief (Markowitz, 1952). 6. Diversificatie wordt nagestreefd (Markowitz, 1952). 7. Er zijn geen transactiekosten, de belegger kan elk gewilde hoeveelheid verkrijgen (Markowitz, 1959). 8. De belegger alloceert telkens een niet-negatieve hoeveelheid, short sales zijn dus niet toegestaan (Markowitz, 1952). 9. De belegger wordt beperkt door lineaire beperkingen waarvan één van de beperkingen luidt dat de som van de gewichten telkens gelijk is aan één (Markowitz, 1952; Kaplan, 2012). 10. Gebaseerd op de speltheorieën van Von Neumann en Morgenstern6 neemt Markowitz aan dat als individuele beleggers geconfronteerd worden met onzekerheid dat ze hun verwachte waarde van een concaaf stijgende nutsfunctie zullen maximaliseren (Kaplan, 2012). 11. Markowitz vond tevens dat als de nutsfunctie benaderd kan worden als een Taylor reeks van de tweede orde over een brede waaier van rendementen, dat het verwachte nut benaderend gelijk zal zijn aan de functie van het verwacht rendement en de variantie van dat rendement (Levy & Markowitz, 1979). Indirect betekent dit dat de rendementen niet normaal verdeeld moeten zijn, maar wel dat als de kansdichtheidsfuctie niet te verspreid is en als ook de rendementen dit niet zijn, je een goede benadering kunt geven van de onderliggende nutsfunctie (Kaplan & Markowitz, 2010). Toch gaan we in dit werk wel proberen deze normaliteitsfunctie na te streven omdat ze aan beide bovenstaande eigenschappen voldoet en onze analyse gemakkelijker maakt. 6

Zie Morgenstern & von Neumann (1953).

6

2.2.2

Univariaat model

In zijn werk “portfolio selection” haalt Markowitz (1952) aan dat beleggers niet enkel hun gemiddeld verwachte rendement willen maximaliseren, maar tevens hun risico willen minimaliseren. Dit geeft uiteindelijk aanzet tot enkel de beste beleggingen te kiezen m.a.w. de beleggingen met het hoogste gemiddeld rendement ten opzichte van hun risico uitgedrukt in de standaard afwijking van de belegging (Markowitz spreekt over de efficient frontier). In een gemodeleerd R krijgen we dan het resultaat zoals in figuur 2. Het gemiddeld rendement model uit M atlab

en de standaard afwijking van de portefeuille staan hieronder wiskundig beschreven. De eerste voorwaarde is dat de som van de gewichten gelijk moet zijn aan één en een gewicht nooit negatief mag zijn (short-sales zijn verboden). De rendementen volgen de normaalverdeling

r ∼ N (µ, σ 2 )

7

(5)

met: µ = E(rp ): het verwacht rendement van de portefeuille σ: de standaard afwijking en σ 2 de variantie van het verwacht rendement van de portefeuille

E(rp ) =

N X

wi E(ri )

(6)

i=1

σp2

=

N X

wi2 σi2

i=1

met als voorwaarden:

+

N X N X

wi wj Cov(i, j)

met :

Cov(i, j) = σij = ρij σi σj

(7)

i=1 j6=i

N X

wi = 1

(8)

∀ wi ≥ 0

(9)

i=1

met: wi , wj de gewichten die men belegt in belegging i of j met i = (1, ..., N ) en i 6= j. ρij de correlatie tussen belegging i en j en Cov(i, j) de covariantie tussen i en j. σi en E(ri ) respectievelijk de standaardafwijking en het verwacht rendement van i. N het aantal verschillende beleggingen in de portefeuille. 7

Voor een overzicht van voor-en nadelen van de normaalverdeling zie appendix C.

7

In Markowitz’ model staat de correlatie (ρij ) van de individuele beleggingen centraal.     w1 σ1 + w2 σ2   p σp = w12 σ12 + w22 σ22      |w1 σ1 − w2 σ2 |

als ρ12 = 1 als ρ12 = 0

(10)

als ρ12 = −1

R Figuur 2: Efficient frontier met random gegenereerde portefeuilles, Matlab

2.2.3

Multivariaat model

We kunnen het model uitbreiden naar N beleggingen, zo krijgen we het multivariaat model. Volgens Qian, Hua & Sorensen (2007, p.23-37) wordt dat multivariaat model gekenmerkt door de volgende notaties en eigenschappen. r ∼ N (µ, Σ)

(11)

Hierbij stelt r = (r1 , ..., rN )0 de rendementsvector voor. De verwachte rendementsvector wordt weergegeven door: µ = (µ1 , ..., µN )0 en Σ is de covariantie matrix. De covariantie matrix



Σ = (σij )N i,j=1

σ2 · · ·  1  . .. =  .. .  σN,1 · · ·

8

 σ1,N  ..  .   2 σN

(12)

De correlatie matrix



1  σ1

0

...

 0 C=  .. . 

1 σ2

0

0 ..

0

...

0

.

  1 0   σ1 ..   .  0 Σ   ..  0  . 1 0 σN

0

...

1 σ2

0

0 .. .

...

0

 0  ..  .    0 

(13)

1 σN

Als we w = (w1 , ..., wN )0 hebben, krijgen we voor de portefeuille de volgende normaalverdeling: rp ∼ N (w0 µ, w0 Σw)

(14)

∼ N (µp , σp2 ) 2.2.4

Intu¨ıtieve uitleg

Het concept is vrij eenvoudig: Markowitz (1952) ontdekte een asymmetrie tussen het verwacht rendement en de variantie van een gediversif¨ıeerde portefeuille. Hij merkte op dat meerdere beleggingen in de portefeuille hebben geen direct invloed heeft op het verminderen van het gemiddelde rendement, maar wel een aanzienlijke invloed kan hebben op het risico. Alles heeft te maken met de covariantie en dus de correlatie zoals in vergelijkingen 7 en 10 weergegeven. Laat ik een zelf verzonnen voorbeeld nemen om dit effect uit te leggen. We hebben twee aandelen: Roomijs N.V. en Regenpak N.V. Als het mooi weer is, dan doet Roomijs N.V. het goed, maar is de vraag naar regenpakken laag. Als het regent doet Regenpak N.V. het goed, maar is er weinig behoefte aan roomijs. Hun beweging zou wel eens invers kunnen zijn en daardoor hun correlatie negatief. Dit zou ervoor kunnen zorgen dat in vergelijking 7 het tweede lid negatief wordt en dus zo de variantie vermindert. Dit is exact het beoogde doel van diversificatie volgens de MPT. Markowitz opperde al in zijn werk dat diversificatie nooit alle variantie zou kunnen teniet doen (Markowitz, 1952, p.79). Sharpe (1964) zal dit een decennium later als het onderscheid tussen marktrisico en bedrijfsspecifiek ofwel idiosyncratisch risico aanduiden. 2.2.5

Sharpe’s CAPM

Zoals reeds vermeld, is deze vondst uiteindelijk door William Sharpe (1963, 1964) bekend gemaakt in zijn Capital Asset Pricing Model (CAPM).8 Sharpe redeneerde verder op de door 8

CAPM werd in zijn paper ”The Diagonal Model”genoemd p.281. voor de assumpties zie appendix D.

9

Figuur 3: Grafische weergave van marktrisico & idiosyncratisch risico (Bodie et al., 2009)

Markowitz aangenomen theorie. Sharpe opperde dat er een onderliggende factor moest zijn die voor alle aandelen hetzelfde is en een andere factor die elk aandeel uniek maakt.9 Hij introduceerde hiermee het idiosyncratisch risico en systematisch risico. Een belegger wordt volgens het CAPM enkel gecompenseerd voor het nemen van systematische risico’s en niet voor de idiosyncratische, want deze laatste kan weggediversifieerd worden. Uiteindelijk heeft dit geleid tot de basis van factormodellen (Ross, 1976; Fama & French, 1992; Pástor & Stambaugh, 2003). We overlopen kort de belangrijkste formules en bevindingen van Sharpe (1963, 1964) zoals uitgelegd in de literatuur (Bodie, Kane & Marcus, 2009; Elton & Gruber, 1984; Wilmott, 2007), maar gaan hier niet al te diep op in.

Het rendement van een belegging kan weergegeven worden door de volgende vergelijking: ri = rf + βi (rM − rf ) + i

(15)

ri = rendement van een bepaald aandeel met i = (1, ..., N ) rf = het risicovrij rendement, hierop loopt men geen risico en dus σrf = 0 βi = zie vergelijking 18 rM = het rendement van de markt in haar geheel (de index) i = foutenterm met E(i ) = 0 en σ 2 (i ), bovendien is ze ongecorreleerd met RM , of andere j 9

In eerste instantie was Sharpe enkel op zoek naar een versimpeld algoritme, omdat Markowitz’ methode

teveel rekenkracht vroeg van computers.

10

Als we de verwachte waarde nemen van (15), krijgen we de Security Market Line: (SML) E(ri ) = rf + βi (E(rM ) − rf )

(16)

of E(ri ) = rf +

(E(rM ) − rf ) cov(ri , rM ) σM σM

(17)

2 = de volatiliteit van de markt (index) met σM

of (verwacht rendement) = (tijdswaarde) + (prijs van het risico) x (hoeveelheid risico)

Figuur 4: Security Market Line (Sharpe, 1963, 1964; Bodie et al., 2009)

Centraal staat de bèta coëfficiënt βi =

ρi,M σi σM ρi,M σi cov(ri , rM ) cov(ri , rM ) = = = 2 2 cov(rM , rM ) σM σM σM

(18)

Deze bèta geeft de gevoeligheid van een belegging t.o.v. de marktbeweging weer. Voor deze marktbeweging kan bijvoorbeeld een index (Bel20, AEX, DAX, CAC40, SP500, Dow Jones) gebruikt worden om rM te berekenen en dan haar covariantie met ri . Bij de SML weergave gaat men ervan uit dat de belegger -dankzij volledige diversificatie- enkel wordt vergoed voor zijn marktrisico en dus dat er geen mogelijkheid is om verwachte rendementen onafhankelijk van het marktrisico te verkrijgen. 11

Sharpe ratio10 (reward-to-variability ratio) voor een portefeuille. SRp =

E(rp ) − rf σp

(19)

Sharpe ratio (reward-to-variability ratio) voor de markt. SRM =

E(rM ) − rf σM

(20)

De Sharpe-ratio (ook wel de reward-to-variability ratio genoemd) geeft de toename van het verwachte rendement van de portefeuille per eenheid additionele standaard afwijking van deze portefeuille weer. De Sharpe-ratio van de portefeuille is tevens de richtingscoëfficiënt van de Capital Allocation Line (CAL). De Sharpe-ratio van de markt is de richtingscoëfficiënt van de Capital market Line (CML).

Hiermee kunnen we de optimale risicovolle portefeuille berekenen door voor elke combinatie van wi de Sp te maximaliseren.

M ax(wi ) SRp = met als voorwaarde:

N X

E(rp ) − rf σp

(21)

wi = 1

(22)

i=1

Als we dit doen krijgen we een rechte die de rf (risicovrij rendement) en de optimale risicovolle portefeuille verbindt zoals te zien is in figuur 5. Nu rest ons enkel nog een onderscheid te maken tussen de optimale risicovolle portefeuille, de optimale portefeuille en de marktportefeuille. De optimale risicovolle portefeuille zoals tevens afgebeeld in figuur 5 is de beste portefeuille die men aan zou kunnen houden als men al zijn/haar vermogen zou willen steken in risicovolle beleggingen. De optimale portefeuille verdeelt de portefeuille tussen rf en de optimale risicovolle portefeuille. De marktportefeuille is tot slot de risicovolle portefeuille die de markt aanhoudt en zou gezien kunnen worden als de geagregeerde optimale risicovolle portefeuilles. Iedereen zou in een perfecte markt met homogene verwachtingen (zie appendix E) de marktportefeuille aanhouden, maar de hoeveelheid zou bij iedere belegger verschillen naar gelang zijn risico aversie en persoonlijke situatie. In ons werk zullen we vooral werken met de optimale risicovolle portefeuille om deze dan te vergelijken met de na¨ıeve portefeuille (cfr. infra). 10

Statistici zien hier een variant van de inverse variantiecoëfficiënt: V C =

12

σ µ

× 100

R Figuur 5: Capital Allocation Line met portalloc.m in Matlab

2.3

MPT en internationale diversificatie

In dit werk gaan we niet alleen diversificatie bekijken als concept, maar ook in een internationale context. Tijdens de inleiding hebben we al enkele bevindingen gegeven. We overlopen kort wat Grubel (1968); Levy & Sarnat (1970); Goetzmann, Lingfeng & Rouwenhorst (2005) al reeds hebben aangetoond op het vlak van internationale diversificatie. 2.3.1

Effecten op de efficient frontier

We hebben reeds vermeld dat internationale portefeuilles de efficient frontier naar boven kunnen verschuiven en dus zorgen voor een hoger rendement (µ) met een lagere risico (σ). Concreet onderzocht Grubel (1968) de welvaartseffecten van internationale diversificatie en kwam op basis van een dataset van 1959-1966 tot de volgende ex-post rendementen en risico’s.

13

Tabel 2: Ex-post rendementen en risico’s voor de VSA en niet-VSA landen voor periode 1959-1966 met µ het gemiddeld rendement* per annum omgerekend naar US-dollar, σ het risico per annum, V de waarde van 100 $ op het einde van de periode en ρij de correlatie met de Amerikaanse markt (Grubel, 1968, P.1304)

(in %)

µ

V

σ

ρij

VSA

7.54

178.92

47.26

1

Canada

5.95

158.82

41.19

0.7025

VK

9.59

208.00

65.28

0.2414

West-Duitsland

7.32

175.95

94.69

0.3008

Frankrijk

4.27

139.69

49.60

0.1938

Italië

8.12

186.74

103.33

0.1465

België

1.09

109.02

37.56

0.1080

Nederland

5.14

149.33

86.34

0.2107

Japan

16.54

340.21

92.52

0.1149

Austrilië

9.44

205.75

34.87

0.0585

Zuid-Afrika

8.47

191.60

61.92

-0.1620

*Is hier het meetkundig gemiddelde zie vergl. 55 Door het berekenen van hoek-portefeuilles11 bekomt men de effciënte set. Grubel (1968) doet dit voor 2 verschillende portefeuilles: één industriële portefeuille met alle landen en één portefeuille met enkel de Atlantische landen (d.w.z. zonder Zuid-Arfrika, Australië en Japan). Telkens moeten er 8 landen worden opgenomen, in tabel 3 zien we duidelijk dat de industriële portefeuille het beter doet dan de Atlantische portefeuille doordat er een grotere keuze is tussen markten waarin men kan beleggen (N = 11 i.p.v. 8). Dit is een sterk argument voor internationale diversificatie. Het gaat zelfs verder, enkel in de Amerikaanse markt beleggen leidt tot een rendement van 7.54 % met een risico van 47.26 %, met de industriële portefeuille verkrijgt men 8.84 % rendement met een risico van 22.09 %, deze laatste is duidelijk beter. 11

Dit zijn portefeuilles waarbij er enkel een vermindering in het risico kan bewerkstelligd worden door het

opnemen of weglaten van een belegging.

14

Tabel 3: Grubel’s internationale portefeuilles (Grubel, 1968, p.1307)

# Landen

Industriële portefeuille (N = 11)

Atlantische portefeuille (N = 8)

µI

σI

µA

σA

1

16.54

92.62

9.59

65.28

2

16.37

90.55

9.45

60.63

3

14.76

71.02

8.9

46.67

4

11.61

37.12

8.47

39.76

5

11.5

36.26

7.87

34.49

6

10.25

27.37

7.48

32.23

7

9.15

22.82

7.2

30.96

8

8.84

22.09

4.65

25.1

Uiteindelijk leidt dit tot de verschuiving van de efficient frontier naar linksboven toe. Figuur 6: Grubel’s internationale portefeuilles (Grubel, 1968, p.1308)

Niet alleen Grubel (1968), maar ook Levy & Sarnat (1970) hebben onderzoek gedaan naar dit fenomeen over de periode 1951-1967. Zij gebruiken 28 landen en berekenen de optimale expost portefeuille via Sharpe’s CAPM met een rf van 5 %. Hoewel ze wel degelijk gemiddeld betere (lees: hogere) efficient frontiers bekomen naargelang ze meer markten opnemen om te

15

optimaliseren, zijn er soms toch beperktere resultaten te verkrijgen vergeleken met het enkel investeren in een Amerikaanse portefeuille. Het risico daalt wel degelijk met bijna 34 % van 12.1 naar 8 %, maar het rendement daalt ook met 10 basispunten. Er treden ook andere zaken op in hun optimalisatie zoals van de 28 landen die ze selecteerden worden er in alle portefeuilles maar 9 werkelijk opgenomen (Levy & Sarnat, 1970, p.672). Dit heeft te maken met de lage correlaties van deze 9 landen t.o.v. de Amerikaanse markt, de andere landen hebben hogere correlaties en zijn daardoor minder interessant. Figuur 7: Levy en Sarnat’s internationale portefeuilles met rf = 5% (Levy & Sarnat, 1970, p.673)

Tabel 4: Levy en Sarnat’s internationale portefeuilles met rf = 5%, portefeuille F is een cross-sectionele portefeuille van Amerikaanse aandelen (Levy & Sarnat, 1970, p.673)

in (%)

punt

N

µp

σp

Alle landen

a

28

12.0

8.0

Hoge inkomenslanden

b

16

13.0

12.5

West-Europa

c

11

15.5

23.5

EEG excl. Luxemburg

d

5

15.5

25.0

Ontwikkelingslanden

e

9

5.0

26.5

Verenigde Staten

f

1

12.1

12.1

Levy & Sarnat (1970) komen hierbij tot de conclusie dat niet noodzakelijk elke poging tot internationalisering van de portefeuille haar vruchten zal afwerpen. Het is uitermate noodzakelijk om hierbij de correlaties te vergelijken, we zullen dit verder doorheen dit werk dan ook meermaals aan bod laten komen. 16

2.3.2

Het belang van correlaties

Levy & Sarnat (1970) merkten reeds terecht op dat de correlaties van essentieel belang zijn om internationale diversificatie tot een goed einde te brengen. We kunnen ons dan ook de vraag stellen of door de integratie en consolidatie van de financiële markten van de afgelopen decennia het nog wel zinvol is om aan internationale financiële diversificatie te doen. Goetzmann, Lingfeng & Rouwenhorst (2005) hebben de correlaties onderzocht van 1872 tot 2000 tussen Verenigd Koninkrijk, Frankrijk en Duitsland t.o.v. de Verenigde Staten en komen tot de conclusie dat correlaties allesbehalve constant zijn, maar dat er een duidelijke tendens is naar een vergrote gemiddelde correlatie tussen deze markten de afgelopen decennia. Figuur 8: Gemiddelde correlaties tussen 1872-2000 met een rolling window van 60 maanden (M=60), de correlaties zijn berekend op rendementen die omgezet zijn in US dollar en bevatten de gemiddelde correlaties van Frankrijk, VK en Duitsland t.o.v. de VS (Goetzmann, Lingfeng & Rouwenhorst, 2005, p.21)

Goetzmann, Lingfeng & Rouwenhorst (2005) wijzen erop dat het tevens gemakkelijker is geworden om te beleggen in buitenlandse beleggingen dankzij financiële integratie na 1970, maar dat dit ook tot gevolg heeft dat de potentiële diversificatie-effecten verminderd worden door de hogere correlatie die gepaard gaat met deze integratie.

17

2.3.3

Optimalisatie met beperkingen

In dit werk gaan we naast internationaal diversifiëren tevens meermaals beperkingen aan de optimale portefeuille toevoegen. Eén van deze beperkingen is het niet toelaten van shortsales, een andere is een minimum hoeveelheid die moet belegd worden in elke markt, of er is slechts een maximum toegelaten per markt. Chiou, Lee & Chang (2009) onderzochten de effecten van beperkingen op de optimalisatie voor internationale diversificatie. Een eerste beperking die zij oplegden was de beperking van shortsales, m.a.w. negatieve gewichten zin niet mogelijk. Zij gebruikten de MSCI international gross returns indices over de periode 1993-2005 met 43 landen en de VS om te vergelijken. In figuur 9 kunnen we de internationale efficiënte sets zien. Figuur 9: Internationale efficiënte sets met beperking op shortsales Chiou, Lee & Chang (2009, p. 459)

We zien heel duidelijk dat bijna alle internationale efficiënte sets het beter doen dan de VS portefeuille. Enkel de internationale efficiënte sets gebaseerd op Oost-Azië en Zuid-Azië/MiddenOosten doen het slechter. De hoogste efficiënte set is de set die alle 44 landen combineert. Als men maar beperkt zou kunnen diversifiëren suggereren Chiou, Lee & Chang (2009) ervoor om dit te doen met reeds ontwikkelde economieën omdat zij marginaal de meeste M-V effciëntie toevoegen.

18

2.4

Kritiek op de Moderne Portefeuille Theorie

De moderne portefeuille theorie (MPT) zoals beschreven door Harry Markowitz (1952, 1959) vormt al sinds haar ontstaan stof tot discussie. Zoals we in het vorige puntje gezien hebben, heeft een belangrijk deel van het financieel onderzoek van de afgelopen decennia tot doel gehad zijn onderzoek te verfijnen of te nuanceren. Hoewel de MPT een zeer duidelijke positie inneemt t.o.v. rendement-risico trade-offs, laat ze nog steeds vragen onbeantwoord over hoe men het beste de noodzakelijke parameters kan schatten (Markowitz heeft enkel in zijn ‘Portfolio selection’ aangehaald wat een belegger moet doen als hij de parameters al kent). Elton, Gruber & Padberg (1976) hebben drie redenen gegeven waarom de moderne portefeuille theorie (MPT) amper ge¨ımplementeerd werd na haar aanname. 1. Het schatten van de nodige gegevens bleek erg moeilijk (vooral om de correlatie matrices te bekomen). 2. Het was een tijdrovend en kostelijk proces om de efficiënte portefeuilles te genereren (omdat telkens een kwadratische optimalisatie moest uitgevoerd worden). 3. Fund managers hadden moeilijkheden om het rendement te koppelen aan het risico, vooral als het op het berekenen van covarianties en standaardafwijkingen aankwam. blz.1341 - Elton, Gruber & Padberg (1976) De laatste twee bezwaren zijn in de 21ste eeuw niet meer van toepassing. Het tijdrovend en kostelijk proces is weggenomen door de ICT-revolutie en fund managers beseffen tegenwoordig wel degelijk dat er een rendement-risico trade-off speelt op de financiële markten door verbeterde educatie omtrent de MPT in o.a. MBA’s. Het eerste bezwaar daarentegen is hardnekkiger en wordt door Elton, Gruber & Padberg (1976) opgelost door aanname van het Capital Asset Pricing Model (CAPM), gepopulariseerd door William Sharpe (1963, 1964), en door de veronderstelling dat al de gepaarde correlaties hetzelfde zijn in de covariantie-matrix. Hoewel deze eerste een aanzienlijke simplificatie oplevert in het aantal schattingen (hoewel die simplificatie volgens o.a. Ross (1976); Fama & French (1992); Pástor & Stambaugh (2003); Moosa (2011) te ver gaat), geeft het geen antwoord op hoe het beste de schattingen van varianties en het gemiddelde rendement gemaakt moeten worden om de beste resultaten neer te zetten in de toekomst. De gepaarde correlaties zijn wel alom aanvaard, zie Elton & Gruber (1973). Ook Jorion (1985) bespreekt de tekortkoming van de klassieke mean-variance en bespreekt de volgende problemen:

19

4. De MPT heeft een slechte out-of-sample prestatie op basis van haar in-sample schattingen.12 5. De optimale portfolio is instabiel. Een kleine verandering in het gemiddeld rendement of observaties kan de volledige portefeuille veranderen. Bovendien zijn ze vaak niet eens goed gediversifieerd of heeft ze geen betere resultaten dan de gelijkgewogen portefeuille. Jorion (1985, p.261) Deze masterthesis zal dieper ingaan op de problemen die Jorion aanhaalt. We zullen o.a. de out-of-sample prestatie testen van de MPT en deze aftekenen t.o.v. de na¨ıeve beleggingsregel ofwel de

2.5 2.5.1

1 N -regel.

In-sample en out-of-sample Wat is in-sample en out-of-sample?

Zoals Jorion (1985) aanhaalt, heeft de MPT een zeer slechte out-of-sample prestatie. Het probleem is dat bewegingen in het verleden op de beurs geen goede indicator zijn voor toekomstige beursprestaties van aandelen. De oorzaak is dat prijzen in een efficiënte markt (zie Appendix E) reageren op alle informatie die voor handen is en dat de patronen van de markt gekenmerkt worden door een random walk proces, zie bijv. Kendall (1953); Cootner (1967). Bij de plugin methode van de MPT gebruikt men bekomen rendementen en standaard deviaties uit het verleden om toekomstige voorspellingen te doen. Deze zijn van te voren niet te voorspellen en vertellen de belegger enkel ex-post wat zijn optimale portefeuille zou geweest zijn, dit heeft voor een belegger slechts een zeer beperkte waarde. Het is daarom dat men vaak de out-of-sample prestatie van een portefeuille rapporteert bij een model. In de plaats van de in-sample prestatie, die de volledige dataset neemt en zo de optimale portefeuille berekent, meet de out-of-sample hoe de portefeuille presteert indien men de gewichten berekent gebaseerd op een voorgaande periode, maar de parameters (µ en Σ, gebaseerd op rp ) van de periode erna gebruikt. Daarnaast rapporteren ook verschillende auteurs de ex-ante prestaties (Duchin & Levy, 2009), dit zijn de portefeuilles waarbij zowel de gewichten als de parameters gebaseerd zijn op de tweede periode. Hoewel de ex-ante portefeuille onmogelijk is te schatten op tijdstip t1 (zie figuur 10) kan ze wel goed gebruikt worden als benchmark om te zien hoe goed de out-of-sample gepresteerd heeft 12

Zie sectie 2.5.

20

(Tu & Zhou, 2011; Duchin & Levy, 2009; Jorion, 1985). In figuur 10 en tabel 5 kunnen we de verschillen zien tussen de in-sample, out-of-sample en ex-ante portefeuilles. Figuur 10: In-sample & out-of-sample

Tabel 5: In-sample, out-of-sample en ex-ante met T de hele periode, T1 = t1 − t0 en T2 = t2 − t1

In-sample

Out-of-sample

Ex-ante∗

0 µ µp = w(T ) (T ) q 0 Σ σp = w(T ) (T ) w(T )

0 µp = w(T µ 1 ) (T2 ) q 0 σp = w(T Σ w 1 ) (T2 ) (T1 )

0 µp = w(T µ 2 ) (T2 ) q 0 σp = w(T Σ w 2 ) (T2 ) (T2 )

* Is onmogelijk te weten voor de belegger op tijdstip t1

2.5.2

In-sample en out-of-sample in de literatuur

Jorion (1985) testte de portefeuilles van Grubel (1968) en Levy & Sarnat (1970) op hun out-ofsample prestatie. In zijn onderzoek komt duidelijk naar boven dat een gelijkgewogen index beter presteert dan de out-of-sample prestatie gebaseerd op de Sharpe-ratio’s voor zowel de portefeuille van Grubel (1968) als de World index, de portefeuille van Levy & Sarnat (1970) doet het out-ofsample wel beter, zie hiervoor tabel 6. Tevens haalt Jorion aan dat er continu zogenaamde hoekoplossingen gevonden worden, hiermee bedoelt Jorion dat er een overconcentratie optreedt voor bepaalde beleggingen en dat in andere beleggingen er vrijwel niets belegd wordt. De oorzaak ligt volgens Jorion (1985) bij de schattingsfouten die gemaakt worden bij het schatten van de parameters µ en Σ.

21

Tabel 6: Jorion’s out-of-sample prestaties op basis van de internationale portefeuilles van Levy & Sarnat (1970) en Grubel (1968), zie Jorion (1985, p. 262)

Levy & Sarnat (1970) N = 28 µ

σ

Sharpe

Grubel (1968) N = 11 µ

σ

Sharpe

In-sample

1951-1967

12.5

29.1

0.323

1959-1966

8.8

22.1

0.262

Out-of-sample

1968-1977

8.7

43.6

0.132

1968-1977

6.3

56.4

0.059

Gelijkgewogen index In-sample Out-of-sample

1968-1977

n.v.t.

n.v.t.

n.v.t.

6.5

45.4

0.077

World index

1968-1977

n.v.t.

n.v.t.

n.v.t.

4.8

49.2

0.037

Een ander interessant en veel recenter onderzoek, is dat van Demiguel, Garlappi & Uppal (2009) waarin 12 verschillende optimalisatiemethoden worden vergeleken met de na¨ıeve portefeuille. Enkele van de door hun gebruikte optimalisatiemethoden zijn: de klassieke M-V plug-in methode, bayesiaanse modellen, de minimumvariantie portefeuille en combinatiemethodes door de na¨ıeve portefeuille te combineren met de M-V methode. Hierbij worden de Sharpe-ratio’s telkens vergeleken en gekeken of ze statistisch al dan niet gelijk zijn aan de na¨ıeve portefeuille via de methode van Jobson & Korkie (1981). Voor de klassieke M-V klassieke plug-in methode vinden ze geen resultaten waarbij de out-of-sample prestatie het beter doet dan de na¨ıeve portefeuille én significant is. Tevens rapporteren ze de certainty equivalent returns (CER’s), hierbij presteert enkel het 3-factor model van Fama & French (1992) beter dan de na¨ıeve portefeuille, maar ook hier is het verschil niet significant. Voor de tabel verwijzen we naar Demiguel, Garlappi & Uppal (2009, p.1930-1936).

Als laatste, willen we het werk van Duchin & Levy (2009) kort bespreken. Duchin & Levy (2009) opperen dat na¨ıeve diversificatie (ofwel de

1 N -regel)

al eeuwenoud is en misschien wel

het meest gebruikte instrument is om met minimale financiële kennis toch een aanzienlijke vermindering van het risico te bewerkstelligen (hierop is ook figuur 3 gestoeld). Al zo’n 1500 jaar geleden werden er al aanbevelingen gedaan om het vermogen te diversifiëren. In een hun artikel “Markowitz versus the Talmudic portfolio diversification strategies” staat een opmerkelijke aanbeveling uit de Babylonische Talmoed13 : 13

De Babylonische Talmoed (Talmoed Bavli) is een boek dat door de Joodse gemeenschap in Mesopotamië

zo’n 1500 jaar geleden is vastgelegd. Het is een samenraapsel van uitleg, wetten, legenden, mythen en anekdotes. Het is na de Tenach het belangrijkste boek binnen het Jodendom.

22

“Een man zou immer zijn vermogen moeten spreiden, één derde in geld, één derde in landerijen en één derde in handelswaar”.

In hun paper bespreken ze dat een na¨ıeve strategie, ondanks dat de theorie van Markowitz wel degelijk de juiste is, het beter zou kunnen doen bij een empirische test dan de MPT zelf. Het resultaat zou afhankelijk van de twee volgende factoren zijn: 1. Het aantal verschillende beleggingen in de portefeuille. 2. Stabiliteit van de parameters doorheen de tijd. (Duchin & Levy, 2009, p.71) Ze halen in hun paper aan dat de

1 N -regel

het nadeel heeft dat ze geen rekening houdt met

informatie die vorige parameters prijsgeven, maar wel het voordeel heeft om nagenoeg geen variantie te hebben, zeker bij grote datasets (zowel in de in-sample als out-of-sample blijven de na¨ıeve gewichten gelijk aan

1 N

(we =

1 N )).

Concreet berekenden Duchin & Levy (2009) de optimale portefeuilles van de 30 industrie portefeuilles van Fama en French

14 ,

waarbij ze de standaardafwijking van de optimale portefeuille

gelijkstelden aan die van de gelijkgewogen portefeuille en het daarbijhorende gemiddeld rendement berekenden. Telkens lieten ze meer industrieën toe om zo N systematisch te verhogen. De uitkomsten zijn te lezen in tabel 7. 14

Zie K. French’s website: http://niba.tuck.dartinouth.edu/pages/ faculty/ken.french/data library.html.

23

Tabel 7: Kolom (1) geeft de standaardafwijking van de na¨ıeve portefeuille weer, (2) de optimale ex-ante portefeuille (deze is onmogelijk zelf aan te houden omdat men de parameters niet vooraf kent), (3) geeft het gemiddeld rendement weer van de optimale portefeuille via de M-V optimalisatie, (4) geeft het gemiddeld rendement weer van de na¨ıeve portefeuille en (5) geeft het verschil weer tussen het rendement van de na¨ıeve portefeuille en de optimale die via M-V optimalisatie is bekomen. Hoe hoger (5) des te meer het te verkiezen valt om in de na¨ıeve portefeuille te beleggen.(Duchin & Levy, 2009, p.71-74)

# beleggingen

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) = (4) − (3)

N = 15

3.912

1.442

0.599

1.071

0.472

N = 20

3.998

1.679

0.999

1.255

0.256

N = 25

4.06

1.7

1.01

1.146

0.136

N = 30

3.903

1.646

1.092

1.08

-0.012

Uit tabel 7 zien we duidelijk het verband tussen N en de prestatie van de optimale portefeuille via het M-V raamwerk. Hoe groter N , des te interessanter het is om het M-V raamwerk toe te passen. Duchin & Levy (2009) zien N = 30 dan ook als een goede cut-off om over te schakelen van een na¨ıeve strategie, naar een M-V strategie. We zullen in onze empirische studie zien, dat dit niet altijd het geval is voor onze dataset.

2.6

Het belang van N, schattingsfouten en consistentie

Stel dat ρij = 0 en iedere belegging dezelfde standaardafwijking (σ1 = σ2 = ... = σN ) heeft, dan geldt: v v uN uN uX uX √ t 2 2 σp = wi σ = σ t wi2 en dus bij wi = 1/N ⇒ σp = σ/ N i=1

(23)

i=1

(Qian, Hua & Sorensen, 2007, p.27) Dit heeft het enorme voordeel dat de schattingsfouten15 geminimaliseerd worden. Onderzoek (Best & Grauer, 1991) heeft aangetoond dat een zeer kleine toename in het gemiddeld rendement de portefeuille volledig kan veranderen en dus ook haar gewichten (wi ). We voorspellen dan ook op basis van al deze informatie dat in-sample de MPT het beste presteert en out-ofsample dit wel eens de na¨ıeve portfolio zou kunnen zijn. Daarnaast lijkt het logisch dat ook in 15

De schattingsfout is de fout die we maken door slechts een deel van de populatie in de steekproef te kunnen

bevatten, terwijl de hele populatie de echte parameters weergeeft.

24

een internationale portefeuille (met een grote N en lage correlaties) de out-of-sample prestatie wel eens zou kunnen bevoordeeld worden door te neigen naar onvertekendheid (=consistente schatter), zeker bij een voldoende grote T . Vertekening van een schatter ˆ = |E(θ) ˆ − θ| V (θ)

(24)

ˆ =θ en dus zuiver als E(θ)

We kunnen dit concept toepassen op onze in-sample en out-of-sample probleemstelling onder ˆ is gebaseerd op de waarnemingen uit punt 2.5. De verwachte waarde van de schatter E(θ) de in-sample dataset. De echte populatieparameter θ omvat alle data van de in-sample voor een bepaalde belegging. Als deze twee gelijk zijn, dan is er geen enkel probleem om op basis van de parameters uit periode 1, de out-of-sample portefeuille te bepalen. Helaas is dit vrijwel nooit het geval en zijn de schatters gebaseerd op periode 1 vertekend ten opzichte van de hele populatie, wat we aanduiden als de in-sample. Consistentie van een schatter θˆ is constistent als lim P (|θˆ − θ| > ) = 0 T →∞

(25)

Een zuivere schatter is consistent als bij grote steekproeven de variantie naar 0 gaat. Een schatter kan vertekening vertonen en/of variantie, maar ze moet altijd consistent zijn om een goede schatter te zijn (Goos, 2011).

25

3

Testen van de na¨ıeve portefeuilles

“I guess as I look back, not only on my own work, but on other work that was done in that period, I am struck with how incredibly naive, I’ll just speak for myself, I and some others were about empirical work. The idea that somehow or another you could look at a swatch of history and look at average realized returns and think that those were really good estimates of ex-ante expected returns, was as they say if , if anything, extremely naive.” -William Sharpe (2004)16 -

3.1

Werkwijze

Om deze optimalisatie uit te voeren zullen we eerst een idee moeten vormen van hoe we aan de N × 1 vector w met elementen wi kunnen geraken. We zullen hiervoor de optimalisatie nemen die gebaseerd is op certainty equivalent return (CER), die tevens in Matlab geprogrammeerd staat onder de functie portalloc 17

U (w) = µp −

1 γ σp2 2

(26)

Met: w = µp /γ σp2 (Zie appendix F)

(27)

Als haar optimale risicovolle portfolio zonder allocatiebeperkingen en zonder w ≥ 0 en w0 1N = 1 als voorwaarden, met 1N een N × 1 vector met enkel enen. Wat niets anders is als de univariate uitdrukking van de optimalisatie die gebruikt wordt door Demiguel, Garlappi & Uppal (2009, p.1936-1941)

U (w) = w0 µ −

1 γ w0 Σw 2

w = Σ−1 µ/γ met: w 0 µ = µp w0 Σw = σp2 16 17

Zie interview American Finance Association (2004b). zie voor een volledige uitwerking (Lee, Lee & Lee, 2010, p.178-p.184).

26

(28)

(29)

Dit is dezelfde “loss function”die gebruikt wordt in o.a. Brown (1976); Stambaugh (1997); Demiguel, Garlappi & Uppal (2009); Tu & Zhou (2011). In de regel geldt: hoe groter γ, hoe kleiner de vertekening Kan & Zhou (2007, p.629). In dit werk zal telkens γ = 3 worden genomen. Aangezien we deze formule enkel kunnen gebruiken voor de gekende parameters, zullen we deze gebruiken om de ex-ante portefeuille te berekenen. De nodige paramaters µ en Σ zijn te bekomen via de volgende berekeningen als we uitgaan van onafhankelijke gelijke verdelingen: 

r1,1 + · · · + r1,T



    T X r2,1 + · · · + r2,T  1 1   µ b= Rt =   .. T T   . t=1   rN,1 + · · · + rN,T 

σ b ··· T  1,1 X 1 .  .. b= Σ (Rt − µ b)(Rt − µ b)0 =  .. . T  t=1 σ bN,1 · · ·

 σ b1,N  ..  .   σ bN,N

Rp,t = w0 Rt

(30)

(31)

(32)

met: Rt = rt − rf,t 1N is het rendement boven de risicovrije rentevoet (excess return) gemeten op tijdstip t, meestal gemeten op het einde van de periode (T) T = (T2 ) voor periode 2 T = (T1 ) voor periode 1 N = aantal indexen ˆ = de schatter van de N × N covariantiematrix Σ µ ˆ = de schatter van het N × 1 verwacht rendement Rp,t = het rendement van de optimale portefeuille gemeten op tijdstip t.

27

3.2

Data

Onze data is afkomstig van de MSCI all country world total return index18 , die 45 verschillende markten (N) bevat. De gekozen periode 1995-200719 bevat 144 maanden, dit zijn de waarneminR . Zoals eerder gen doorheen de tijd (T). De waarnemingen zijn geladen vanuit Datastream

vermeld in dit hoofdstuk, willen we de data gebruiken om de out-of-sample te schatten. Hiervoor hebben we de dataset in twee gelijke delen verdeeld genaamd T1 en T2 waarbij we telkens de ex-ante efficiënte set berekenden en de out-of-sample prestatie van de optimale portefeuille, bij de halfjaarlijkse herbalancering hebben we tevens de in-sample berekend. Tabel 8: Gegevensopdeling

Periode 1 (T1 )

Periode 2 (T2 )

24/02/1995 - 24/01/2001

24/02/2001 - 24/01/2007

Eerst nemen we een kleine dataset van alle Europese landen uit de ACW-index20 . In totaal komt dit neer op 19 landen (= N ), hiervan hebben we 144 waarnemingen (= T ) gebruikt. In de Europese dataset zitten 16 ontwikkelde en 3 opkomende economieën. Daarna hebben we de volledige ACW Index gebruikt met 45 landen, waarvan 24 ontwikkelde en 21 opkomende economieën zijn. Als laatste hebben we de volledige ACW Index ook nog opgedeeld per sector volgens R de GICS -classificatie en onze analyse overgedaan. We hebben onze berekeningen gemaakt in R R Matlab en onze regressies zijn gedaan in SPSS

18 19

Zie MSCI (2012) website. We stoppen de datareeks in 2007 om de invloed van de financieel economische crisis uit onze dataset weg te

laten. Dit is in het voordeel van de MPT, omdat de parameters gedurende de crisis vermoedelijk zeer instabiel waren en een serieuze trendbreuk vertoonden. 20 Deze 19 landen zijn: Oostenrijk (AT), België (BE), Denemarken (DK), Tsjechië (CZ), Finland (FIN), Frankrijk (FR), Duitsland (DE), Griekenland (EL), Hongarije (HU), Nederland (NL), Noorwegen (NO), Polen (PL), Portugal (PT), Spanje (ES), Zweden (SE), Zwitserland (CH), Verenigd Koninkrijk (UK), Ierland (IL) en Italië (IT).

28

In tabellen 9 en 10 kan men de samenvattende statistieken vinden van onze dataset. Hierbij geeft K de kurtosis weer, S de scheefheid, J-B de Jarque-Bera waarde en daarnaast de respectievelijke p-waarde van de Jarque-Bera test, AC(1) geeft de eerste orde autocorrelatie weer. We komen verder in dit hoofdstuk uitvoerig op deze tabellen terug. Tabel 9: Statistieken Europese landen (in %) uit de MSCI ACW index 1995-2007, Jarque-Bera en eerste orde autocorrelatie van de maandelijkse rendementen

µ

σ

min.

max.

K

S

J-B

P-waarde

AC(1)

Oostenrijk

1.176

5.567

-17.628

15.304

3.234

-0.318

2.76

25.11

4.451

België

1.241

5.591

-20.951

15.680

6.299

-1.113

95.05

0.00

-5.490

Denemarken

1.443

5.322

-16.864

14.955

3.763

-0.506

9.64

0.81

-21.768*

Tsjechië

1.781

8.714

-27.566

38.743

5.098

0.103

26.67

0.00

-8.255

Finland

1.893

10.232

-39.496

30.493

4.685

-0.299

19.18

0.01

5.788

Frankrijk

1.188

5.738

-20.251

13.276

5.184

-0.831

45.21

0.00

-16.361

Duitsland

1.069

6.500

-24.482

17.156

5.454

-0.779

50.72

0.00

-10.904

Griekenland

1.536

8.503

-22.576

28.815

3.885

0.100

4.94

8.46

2.352

Hongarije

2.269

10.664

-38.795

46.169

5.724

0.116

44.85

0.00

-10.645

Nederland

1.111

6.078

-23.166

18.734

6.396

-1.148

100.84

0.00

-24.578*

Noorwegen

1.342

6.711

-27.741

16.864

5.365

-1.003

57.69

0.00

-5.421

Polen

1.535

10.624

-34.821

40.208

4.575

0.257

16.47

0.03

-16.322

Portugal

1.133

6.056

-16.474

18.916

3.282

-0.076

0.61

73.54

2.637

Spanje

1.651

6.486

-21.608

18.041

4.337

-0.450

15.58

0.04

-8.781

Zweden

1.607

7.728

-25.307

22.909

4.213

-0.531

15.60

0.04

-11.866

Zwitserland

1.203

5.438

-15.631

14.780

4.308

-0.712

22.42

0.00

-11.613

VK

1.004

4.460

-14.448

13.010

4.767

-0.793

33.82

0.00

-19.322*

Ierland

1.139

5.735

-20.025

12.238

5.498

-1.107

66.83

0.00

-6.906

Italië

1.245

6.725

-25.520

19.674

4.341

-0.302

12.98

0.15

-23.030*

Index

*significante autocorrelatie van eerste orde bij 95 % betrouwbaarheid

29

Tabel 10: Statistieken niet-Europese landen (in %) uit de MSCI ACW index 1995-2007, Jarque-Bera en eerste orde autocorrelatie van de maandelijkse rendementen

Index

µ

σ

min.

max.

K

S

J-B

P-waarde

AC(1)

Australië

1.175

5.141

-19.190

15.086

4.969

-0.564

30.910

0.00

-16.705*

Brazilië

1.759

10.958

-37.629

36.780

4.426

-0.297

14.324

0.08

5.266

Canada

1.341

5.635

-21.766

14.527

5.020

-0.988

47.893

0.00

2.226

Chili

0.812

6.813

-29.099

16.414

4.669

-0.607

25.548

0.00

4.044

China

0.592

11.120

-27.087

46.837

6.132

0.799

74.171

0.00

4.911

Columbia

1.733

10.247

-28.047

30.611

3.405

-0.035

1.014

60.24

11.360

Egypte

2.289

9.434

-19.275

32.362

4.317

0.983

33.582

0.00

24.860*

Hongkong

1.034

7.966

-28.864

33.227

5.662

0.162

43.140

0.00

3.675

India

1.205

8.376

-19.267

22.131

2.456

-0.022

1.789

40.89

1.706

Indonesië

1.318

15.168

-40.542

55.585

4.736

0.321

20.551

0.00

17.493*

Israël

1.115

7.306

-19.763

26.899

4.052

-0.132

7.058

2.93

-2.410

Japan

0.236

5.973

-12.414

16.791

2.306

0.129

3.287

19.33

5.768

Zuid-Korea

1.296

12.720

-31.256

70.598

9.091

1.254

260.349

0.00

1.247

Maleisië

0.612

9.823

-30.199

50.047

9.067

0.783

235.577

0.00

20.100*

Mexico

1.672

8.910

-34.251

19.140

4.434

-0.787

27.189

0.00

-6.852

Marokko

1.326

5.210

-9.096

17.685

3.492

0.416

5.613

6.04

14.240

N-Zeeland

0.894

5.900

-20.054

15.930

4.704

-0.794

32.546

0.00

-7.356

Peru

1.523

7.647

-33.623

36.114

7.971

-0.146

148.746

0.00

5.148

Fillipijnen

0.094

10.047

-29.216

43.390

5.515

0.606

46.763

0.00

20.546*

Rusland

3.478

17.964

-59.233

61.133

4.541

0.170

14.931

0.06

7.243

Singapore

0.618

8.143

-21.696

29.280

5.230

0.096

30.070

0.00

0.640

Z-Afrika

1.071

7.765

-30.513

19.450

4.758

-0.729

31.289

0.00

4.152

Taiwan

0.412

8.653

-21.735

24.995

3.036

0.115

0.326

84.97

-0.649

Thailand

0.236

12.428

-34.013

43.233

4.881

0.291

23.251

0.00

0.897

Turkije

2.717

17.193

-55.016

72.304

5.273

0.274

32.816

0.00

-7.188

VSA

1.064

4.806

-14.917

11.929

4.344

-0.882

29.498

0.00

-15.157

*significante autocorrelatie van eerste orde bij 95 % betrouwbaarheid

30

3.3 3.3.1

De Europese portefeuille De Europese portefeuille zonder allocatiebeperkingen

Op de puntenwolk krijgen we een idee welke risico’s en welke rendementen er geleverd werden over de periode van 1995-2007 per Europees land. We zien duidelijk dat er een postief verband is tussen het gemiddeld rendement en het risico. Figuur 11: Weergave van de maandelijks gerealiseerde rendementen (=µ) en het risico (=σ) uit tabel 9 in een puntenwolk voor 1995-2007.

Internationale diversificatie is enkel zinvol wanneer de correlaties tussen de verschillende indices niet gelijk zijn aan één (Markowitz, 1952; Goetzmann, Lingfeng & Rouwenhorst, 2005; Grubel, 1968; Chiou, Lee & Chang, 2009). In tabel 11 kunnen we zien dat de correlaties niet gelijk zijn aan één voor de Europese portefeuille en dus diversificatie wel degelijk zinvol zou moeten zijn. Wel moeten we stellen dat de correlaties redelijk hoog zijn. Dit is geen verassing aangezien het overgrote deel van deze landen intensief economisch samenwerkt, hetzij via de EU, hetzij via de EER. De laagste correlatie is die tussen Finland en Oostenrijk van 16%. De hoogste correlatie is die tussen Nederland en Frankrijk van 89 %. Er is geen enkele negatieve correlatie te vinden tussen de Europese indices, wat vanuit het standpunt van diversificatie nadelig is.

31

Tabel 11: correlaties Europese landen uit de MSCI ACW index 1995-2007

32

corr.

AT

BE

DK

CZ

FIN

FR

DE

EL

HU

NL

NO

PL

PT

ES

SE

CH

UK

IL

IT

AT

1.0

0.58

0.57

0.34

0.16

0.45

0.48

0.44

0.43

0.5

0.64

0.35

0.51

0.47

0.35

0.5

0.5

0.51

0.4

BE

0.58

1.0

0.69

0.27

0.38

0.79

0.72

0.51

0.39

0.82

0.62

0.35

0.6

0.68

0.55

0.76

0.76

0.67

0.66

DK

0.57

0.69

1.0

0.49

0.44

0.73

0.72

0.48

0.56

0.73

0.69

0.44

0.65

0.68

0.67

0.7

0.71

0.63

0.63

CZ

0.34

0.27

0.49

1.0

0.28

0.37

0.41

0.34

0.64

0.31

0.47

0.57

0.42

0.44

0.43

0.32

0.33

0.38

0.34

FIN

0.16

0.38

0.44

0.28

1.0

0.59

0.59

0.32

0.37

0.56

0.46

0.49

0.43

0.54

0.67

0.45

0.55

0.4

0.5

FR

0.45

0.79

0.73

0.37

0.59

1.0

0.86

0.53

0.46

0.89

0.66

0.46

0.68

0.8

0.8

0.8

0.83

0.65

0.78

DE

0.48

0.72

0.72

0.41

0.59

0.86

1.0

0.55

0.48

0.84

0.62

0.5

0.65

0.79

0.8

0.72

0.74

0.65

0.71

EL

0.44

0.51

0.48

0.34

0.32

0.53

0.55

1.0

0.43

0.48

0.5

0.37

0.52

0.54

0.46

0.47

0.42

0.46

0.48

HU

0.43

0.39

0.56

0.64

0.37

0.46

0.48

0.43

1.0

0.41

0.51

0.69

0.55

0.49

0.46

0.41

0.42

0.43

0.45

NL

0.5

0.82

0.73

0.31

0.56

0.89

0.84

0.48

0.41

1.0

0.65

0.43

0.59

0.75

0.77

0.83

0.85

0.7

0.72

NO

0.64

0.62

0.69

0.47

0.46

0.66

0.62

0.5

0.51

0.65

1.0

0.54

0.56

0.64

0.61

0.62

0.65

0.58

0.58

PL

0.35

0.35

0.44

0.57

0.49

0.46

0.5

0.37

0.69

0.43

0.54

1.0

0.45

0.49

0.5

0.38

0.41

0.43

0.39

PT

0.51

0.6

0.65

0.42

0.43

0.68

0.65

0.52

0.55

0.59

0.56

0.45

1.0

0.7

0.62

0.64

0.52

0.52

0.58

ES

0.47

0.68

0.68

0.44

0.54

0.8

0.79

0.54

0.49

0.75

0.64

0.49

0.7

1.0

0.73

0.71

0.73

0.63

0.73

SE

0.35

0.55

0.67

0.43

0.67

0.8

0.8

0.46

0.46

0.77

0.61

0.5

0.62

0.73

1.0

0.66

0.68

0.57

0.64

CH

0.5

0.76

0.7

0.32

0.45

0.8

0.72

0.47

0.41

0.83

0.62

0.38

0.64

0.71

0.66

1.0

0.77

0.64

0.61

UK

0.5

0.76

0.71

0.33

0.55

0.83

0.74

0.42

0.42

0.85

0.65

0.41

0.52

0.73

0.68

0.77

1.0

0.71

0.63

IL

0.51

0.67

0.63

0.38

0.4

0.65

0.65

0.46

0.43

0.7

0.58

0.43

0.52

0.63

0.57

0.64

0.71

1.0

0.54

IT

0.4

0.66

0.63

0.34

0.5

0.78

0.71

0.48

0.45

0.72

0.58

0.39

0.58

0.73

0.64

0.61

0.63

0.54

1.0

De gebruikte optimalisatie voor de efficient frontier zonder allocatiebeperkingen is:

max w0 µ −

1 γ w0 Σw 2

(33)

met als nevenvoorwaarde: w≥0 w0 1N = 1 In figuur 12 zien we het resultaat van de deze optimalisatie en ook de prestaties van de ex-ante portefeuilles, de out-of-sample optimale risicovolle portefeuille en de na¨ıeve portefeuille. De ex-ante portefeuilles21 liggen op de efficiënte set indien we alle parameters exact zouden hebben kunnen schatten. De out-of-sample na¨ıeve portefeuille en de out-of-sample optimale risicovolle portefeuille maken gebruik van de rendementen van 2001-2007 om de benodigde parameters (µ en Σ) te schatten. De gewichten werden bekomen voor de na¨ıeve portefeuille via de

1 N-

regel en bij de optimale risicovolle portefeuille werden de optimale gewichten van de portefeuille berekend op basis van de rendementen van 1995-2001. Het gaat hier om een statische procedure waarbij de belegger tijdens periode 2 zijn portefeuille onveranderd laat, we zullen verder in dit hoofdstuk de portefeuilles testen met halfjaarlijkse herbalancering. Als we figuur 12 bekijken, zien we duidelijk dat de out-of-sample optimale risicovolle portefeuille zwaar onderpresteert. Niet alleen heeft ze een lager gemiddeld rendement, tevens is het genomen risico ook hoger. Figuur 12: De ex-ante en out-of-sample Europese portefeuille (N=19) 0.024 0.022 0.02 0.018

µp

0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

σp

Naïeve portefeuille Optimale risicovolle portefeuille Efficiënte set 21

De ex-ante efficiënte portefeuilles worden weergegeven op de efficiënte set, deze geeft weer welke de optimale

combinaties zijn tussen risico en rendement indien we de verwachte risico’s en rendementen vooraf exact voorspeld hadden. Uiteraard is dit voor een belegger onmogelijk en kunnen we de ex-ante portefeuilles enkel gebruiken als benchmark om onze out-of-sample prestatie mee te vergelijken.

33

De out-of-sample onderpresteert dramatisch de na¨ıeve portefeuille, hoe komt dit? Het zou aan verschillende zaken kunnen liggen die in het nadeel werken van de M-V optimalisatie. Markowitz (1952) haalde aan dat normaliteit van de gegevens wenselijk is om het model te implementeren. Jorion (1985) behandelde de noodzaak van stabiliteit van de parameters. Duchin & Levy (2009) haalden tevens de problematiek van overconcentratie aan, net zoals Jorion (1985). 3.3.2

Normaliteit

Op basis van de kurtosis (=K) en scheefheid (=S) van tabel 9 hebben we een Jarque-Bera test gedaan om de normaliteit te testen, de resultaten hiervan zijn tevens te vinden in tabel 9. Jarque-Bera vertrekt vanuit de hypothese dat de kurtosis bij een normaalverdeling gelijk moet zijn aan 3 en de scheefheid gelijk moet zijn aan 0. Dit test men volgens de volgende methode:

JB =

T 2 1 (S + (K − 3)2 ) 6 4

(34)

met: H0 = de gegevens zijn normaalverdeeld Hα = de gegevens zijn niet-normaal verdeeld Indien onze data normaal verdeeld zou zijn, zou de JB een χ2 -verdeling moeten hebben met 2 vrijdheidsgraden. We hebben daarom de kritieke waarde berekend met een betrouwbaarheid van 95%, deze is gelijk aan 5.99, indien de JB boven deze kritieke waarde ligt dan is de index niet-normaal. Indien de JB onder 5.99 ligt, kunnen we wel normaliteit veronderstellen.

In tabel 9 zien we duidelijk dat er maar 3 landen bij 95 % betrouwbaarheid een p-waarde hoger dan 0.05 hebben en dus geacht normaal verdeeld te zijn. Concreet hebben we het over Oostenrijk, Griekenland en Portugal. Onze gegevens zijn dus voor de overgrote meerderheid niet-normaal verdeeld. Let wel op dat normaliteit geen absolute noodzakelijkheid is (Levy & Markowitz, 1979), maar wel een garantie is dat de kansverdelingen van de rendementen niet te ver uit elkaar liggen en dus nutsfuncties prima benaderd worden door MV-analyse (Kaplan & Markowitz, 2010). Chiou, Lee & Chang (2009) hebben voor de periode 1993-2005 (i.p.v. onze periode: 1995-2007) vrij gelijkaardige resultaten, maar dit belet hun niet om toch een MV-analyse te maken. Wat we wel willen benadrukken is dat de normaliteitsvoorwaarde wel degelijk moeilijk lijkt te vervullen en het MPT model wellicht hierdoor benadeeld wordt ten opzichte van de na¨ıeve portefeuille in de out-of-sample.

34

3.3.3

Instabiliteit

Jorion (1985, p.261-263) beargumenteerde reeds dat een relatief laag rendement en relatief hoge standaardafwijkingen tot grote verschillen kan leiden in rendementen, deze grote verschillen kunnen een groot verschil in wi te weeg brengen. Niet alleen Jorion (1985), maar ook Best & Grauer (1991) hebben duidelijk aangetoond dat een kleine verandering in de parameters kan leiden tot volledig verschillende portefeuilles. Dit speelt in het voordeel van de na¨ıeve portefeuille. We kunnen nu onze dataset testen op de stabiliteit van onze gemiddelde rendementen. We zullen hiervoor de methode van Jorion (1985)22 gebruiken. Hierbij delen we onze datareeks (T = 144) in twee delen T1 en T2 met een waarneming t, we gebruiken een voortschrijdend gemiddelde met een window M van 72 en 12 maanden. De window gaat dus van t − M tot t − 1. ri,t is het effectief rendement op tijdstip t van index i, µi,t−1 is het voortschrijdend gemiddelde van index i tot tijdstip t − 1 met i = (1, 2...N ). We kunnen dus de efficiëntie van de voorspellingskracht van gemiddelde rendementen uit het verleden meten via het model: ri,t = βi µi,t−1 + ei,t

(35)

Indien er geen schattingsfouten optreden, zou de regressiecoëfficiënt βi gelijk moeten zijn aan 1. Als we in panel (A) kijken van tabel 12 dan kunnen we zien dat de t-test die nagaat of βi = 1 zeer vaak wordt aangenomen, hoewel dit op het eerste zicht een goed teken lijkt van voorspelbaarheid, moeten we toch nuanceren. De t-statistiek is de volgende:   H0 : βi = 1 t71 ∼ (βi − 1)/SEβi  H : β 6= 1 α

(36)

i

Aangezien bij het voortschrijdend gemiddelde van M = 72 de SEβi zeer groot zijn, krijgen we vaak dat de nulhypothese dat βi = 1 is wordt aanvaard. We hebben dan ook de t-statistiek erbij gezet die de βi al dan niet verschilt van nul en zien tevens heel vaak dat deze ook aanvaard wordt. Een betere, genuanceerdere uitleg zou zijn dat de betrouwbaarheidsintervallen groter zijn en er dus een grote variatie aan mogelijke waardes voor βi kan optreden. Dit is allesbehalve stabiliteit. Ten laatste willen we aanvullen dat de R2 telkens bijzonder laag is, dit impliceert dat de voorspelbaarheidkracht van ons model zeer laag is. Als we gaan kijken naar het tweede panel (B) waarbij M = 12, dan zien we dat R2 even slecht presteert. Toch wordt veel vaker de nulhypothese βi = 1 verworpen. Dit komt vooral door de lagere SEβi ’s die in de kortere in-sample veel kleiner zijn dan bij panel (A). De betrouwbaarheidsintervallen zijn hier nauwer. Echte tekenen van stabiliteit zijn dan ook moeilijk te vinden. 22

Jorion baseert zich op de methode van Fama (1976)

35

Tabel 12: Voorspellingsefficiëntie gemiddelde rendementen uit het verleden

(A)T-M=72

(B)T-M=132

βi

R2

D-W∗

t(βi = 0)

p

SE(βi )

t(βi = 1)

p

βi

R2

D-W∗

t(βi = 0)

p

SE(βi )

t(βi = 1)

p

Australië

1.71

0.09

2.41

2.72

0.008

0.63

1.13

0.209

0.39

0.01

2.31

1.34

0.181

0.29

-2.14

0.041

Oostenrijk

1.71

0.12

1.66

3.08

0.003

0.56

1.28

0.174

0.69

0.07

2.06

3.05

0.003

0.23

-1.38

0.153

België

1.26

0.02

2.26

1.15

0.252

1.09

0.23

0.387

0.50

0.03

2.17

2.05

0.042

0.25

-2.02

0.053

Brazilië

1.29

0.03

1.64

1.59

0.117

0.81

0.36

0.373

0.27

0.01

1.88

0.98

0.331

0.27

-2.67

0.012

Canada

0.70

0.02

1.89

1.09

0.281

0.64

-0.47

0.355

0.41

0.02

1.96

1.78

0.078

0.23

-2.59

0.015

Chili

1.67

0.05

1.91

1.89

0.063

0.88

0.76

0.297

0.23

0.01

1.97

0.84

0.405

0.27

-2.87

0.007

China

0.38

0.00

1.49

0.32

0.754

1.22

-0.51

0.349

-0.17

0.00

1.81

-0.53

0.595

0.32

-3.64

0.001

Colombia

1.23

0.06

1.73

2.15

0.035

0.57

0.40

0.366

0.55

0.04

1.87

2.43

0.170

0.23

-1.97

0.058

Denemarken

0.95

0.03

2.04

1.35

0.181

0.70

-0.08

0.396

0.51

0.03

2.44

2.11

0.037

0.24

-2.05

0.050

Tsjechië

1.47

0.15

1.98

3.50

0.001

0.42

1.11

0.213

0.45

0.02

2.20

1.74

0.085

0.26

-2.14

0.041

Egypte

1.57

0.06

1.51

2.11

0.039

0.74

0.76

0.296

0.64

0.10

1.67

3.83

0.000

0.17

-2.17

0.039

Finland

-0.44

0.01

1.89

-0.61

0.544

0.72

-2.00

0.055

0.49

0.03

1.95

1.99

0.048

0.24

-2.10

0.045

Frankrijk

0.14

0.00

2.37

0.14

0.890

1.02

-0.84

0.278

0.42

0.02

2.36

1.58

0.116

0.27

-2.17

0.039

Duitsland

-0.88

0.00

2.05

-0.54

0.588

1.62

-0.61

0.328

0.28

0.01

2.20

0.98

0.328

0.28

-2.56

0.016

Griekenland

0.36

0.00

1.84

0.33

0.739

1.08

-0.92

0.259

0.46

0.03

2.01

1.92

0.057

0.24

-2.28

0.030

Hong Kong

0.45

0.00

1.76

0.43

0.667

1.04

-0.96

0.250

-0.10

0.00

1.80

-0.34

0.737

0.30

-3.69

0.001

Hongarije

1.14

0.05

2.08

1.90

0.062

0.60

-1.59

0.113

0.44

0.02

2.12

1.63

0.105

0.27

-2.12

0.043

India

2.09

0.09

1.89

2.66

0.100

0.79

-1.16

0.203

0.31

0.01

1.98

1.17

0.244

0.26

-2.65

0.013

Indonsië

1.05

0.02

1.67

1.33

0.187

0.79

-1.24

0.185

0.11

0.00

1.65

0.44

0.664

0.25

-3.55

0.001

Ierland

1.02

0.01

2.34

0.78

0.440

1.31

-0.76

0.298

0.45

0.02

2.19

1.61

0.109

0.28

-2.00

0.055

Israel

-0.19

0.00

1.99

-0.21

0.836

0.92

-1.08

0.220

0.21

0.01

2.03

0.81

0.419

0.26

-3.11

0.004

Italië

0.55

0.01

2.42

0.61

0.547

0.92

-1.09

0.219

0.39

0.01

2.49

1.35

0.181

0.29

-2.08

0.047

index

36

37

βi

R2

D-W∗

t(βi = 0)

p

SE(βi )

t(βi = 1)

p

βi

R2

D-W∗

t(βi = 0)

p

SE(βi )

t(βi = 1)

p

Japan

0.06

0.00

1.83

0.04

0.971

1.76

-0.57

0.337

0.28

0.01

1.91

1.14

0.255

0.24

-2.99

0.005

Korea

1.00

0.05

1.94

1.84

0.069

0.54

-1.77

0.084

0.23

0.01

2.00

0.87

0.384

0.26

-2.92

0.006

Maleisië

1.04

0.04

1.54

1.62

0.109

0.64

-1.51

0.127

0.30

0.01

1.61

1.32

0.190

0.23

-3.01

0.005

Mexico

1.45

0.09

2.11

2.61

0.011

0.56

-1.64

0.104

0.25

0.01

2.22

0.87

0.384

0.29

-2.62

0.014

Marokko

1.69

0.03

1.67

1.57

0.122

1.08

-0.90

0.265

0.65

0.08

1.89

3.44

0.001

0.19

-1.83

0.076

Nederland

-0.93

0.01

2.45

-0.64

0.524

1.45

-0.69

0.313

0.32

0.01

2.50

1.02

0.308

0.32

-2.15

0.040

N-zeeland

1.15

0.04

2.01

1.65

0.103

0.69

-1.39

0.151

0.43

0.02

2.21

1.55

0.124

0.28

-2.08

0.047

Noorwegen

1.70

0.06

2.05

2.19

0.032

0.78

-1.21

0.191

0.38

0.02

2.11

1.42

0.158

0.27

-2.30

0.029

Peru

1.83

0.13

2.05

3.31

0.001

0.55

-1.56

0.118

0.58

0.04

2.07

2.41

0.017

0.24

-1.72

0.091

Filipijnen

0.74

0.01

1.83

0.92

0.363

0.81

-1.22

0.189

0.19

0.00

1.60

0.66

0.508

0.29

-2.76

0.010

Polen

1.57

0.03

2.30

1.48

0.144

1.06

-0.92

0.260

0.12

0.00

2.15

0.34

0.738

0.36

-2.48

0.019

Portugal

-0.35

0.00

1.69

-0.29

0.775

1.21

-0.83

0.282

0.47

0.03

1.99

2.00

0.048

0.24

-2.22

0.035

Rusland

0.84

0.09

2.11

2.65

0.010

0.32

-2.88

0.007

0.29

0.01

1.87

1.14

0.258

0.25

-2.82

0.008

Singapore

2.02

0.04

1.98

1.73

0.088

1.17

-0.82

0.283

0.09

0.00

1.97

0.33

0.742

0.29

-3.18

0.003

Z-Afrika

1.50

0.05

1.89

1.95

0.055

0.77

-1.24

0.184

0.06

0.00

1.89

0.20

0.846

0.32

-2.91

0.006

Spanje

0.73

0.01

2.13

0.96

0.340

0.76

-1.31

0.169

0.54

0.03

2.22

2.13

0.035

0.25

-1.81

0.078

Zweden

0.00

0.00

2.26

0.00

0.997

1.08

-0.92

0.259

0.36

0.02

2.23

1.51

0.133

0.24

-2.71

0.011

Zwitserland

0.41

0.00

2.28

0.40

0.691

1.02

-0.98

0.245

0.34

0.01

2.25

1.21

0.230

0.28

-2.32

0.028

Taiwan

-1.09

0.00

1.93

-0.41

0.687

2.70

-0.37

0.371

-0.13

0.00

1.97

-0.44

0.662

0.30

-3.77

0.000

Thailand

0.39

0.01

1.95

0.65

0.519

0.61

-1.64

0.105

0.16

0.00

2.00

0.57

0.572

0.28

-3.02

0.005

Turkije

0.77

0.01

2.02

0.89

0.378

0.87

-1.14

0.207

0.23

0.00

2.16

0.72

0.472

0.31

-2.47

0.020

VSA

-0.95

0.02

2.32

-1.12

0.266

0.85

-1.16

0.202

0.51

0.03

2.40

2.03

0.045

0.25

-1.97

0.058

VK

0.12

0.00

2.43

0.11

0.916

1.17

-0.86

0.275

0.56

0.04

2.45

2.17

0.032

0.26

-1.74

0.088

Het lijkt erop dat de βi ’s groter worden naarmate T − M toeneemt. Jorion (1985, p.264265) wijst hier op de impact van schattingsfouten, de SEβi ’s stijgen immers ook. Een laatste opmerking zouden we willen maken over de Durbin-Watson test. Aangezien we geen intercept hebben opgenomen in ons model, kunnen we niet zomaar de normale D-W test doen. Er gelden andere waarden voor zulke interceptloze modellen, de werkelijke kritische waarde voor positieve autocorrelatie tussen dM en dU staan hierbij op respectievelijk 1.572 en 1.652 (Farebrother, 1980). We vinden geen grote aanwijzingen van autocorrelatie. 3.3.4

Overconcentratie

De MPT is door onderzoekers (Jorion, 1985; Duchin & Levy, 2009; Kan & Zhou, 2007; Demiguel, Garlappi & Uppal, 2009) meermaals bekritiseerd geweest omwille van haar overconcentratie van bepaalde waarden. Dit is exact wat er gebeurd is met onze optimalisatie. We hadden 19 verschillende keuzes aan indices, waarvan we slechts 3 indices gebruikt hebben in onze out-of-sample resultaten. De verdeling van deze 3 indices is dan ook nog eens zeer uiteenliggend. De waardes van onze optimalisatie worden weergegeven in de eerste kolom van tabel 13.

Dit bovenstaand probleem kan makkelijk opgelost worden door de optimalisatie aan te passen en de gewichten te limiteren tot een bepaald percentage. We zouden dan de volgende optimalisatie kunnen doorvoeren:

max w0 µ −

1 γ w0 Σw 2

(37)

met als nevenvoorwaarde: w≥0 w0 1N = 1 (a)→w ≤ 0.1 (b)→w ≥

1 2N

Waarbij we in figuur 13 zowel enkel beperking (a) opleggen en ook de dubbele beperking waarbij zowel (a) als (b) worden opgelegd. Hierbij merken we drie zaken op. Ten eerste zien we dat de ex-ante efficiënte set met de enkelvoudige allocatiebeperking zakt en dat ze nogmaals zakt bij de dubbele allocatiebeperking. De beperkingen leiden tot een minder goede prestatie van de ex-ante portefeuilles omdat ze beperkt worden in hun optimalisatie. Ten tweede kunnen we zien dat de ex-ante efficiënte sets niet alleen lager liggen, maar dat ze ook met elke beperking

38

korter worden, dit ligt aan de kleinere wi ’s die het out-of-sample rendement en risico verkleinen (herinner hierbij tabel 5). Als laatste zien we dat de out-of-sample portefeuilles het veel beter doen naarmate men extra allocatiebeperkingen oplegt. Toch kan de out-of-sample optimale risicovolle portefeuille zelfs met allocatiebeperkingen niet op tegen de na¨ıeve portefeuille. Zowel op het vlak van rendement (µ) als het risico (σ) presteert de na¨ıeve portefeuille beter, dit zal ook leiden tot een betere Sharpe-ratio in tabel 14. Figuur 13: Het ex-ante en out-of-sample resultaat van de Europese portefeuille met dubbele allocatiebeperking met N = 19, (a) w ≤ 0.1 en (b) w ≥

1 2N

0.024 0.022 0.02 0.018

µp

0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

σp Efficiënte set zonder allocatiebeperkingen Efficiënte set met dubbele allocatiebeperking Efficiënte set met enkelvoudige allocatiebeperking Optimale risicovolle portefeuille zonder allocatiebeperkingen Optimale risicovolle portefeuille met enkelvoudige allocatiebeperking Optimale risicovolle portefeuille met dubbele allocatiebeperking Naïeve portefeuille

39

0.11

Tabel 13: De gewichten gebaseerd op de eerste periode die gebruikt zijn voor de optimalisatie van de out-of-sample portefeuille van de Europese indices zonder beperkingen (w ≥ 0), met 1 enkelvoudige beperking (w ∈ [0; 0, 1]) en dubbele allocatiebeperking (w ∈ [ 2N ; 0, 1]).

3.3.5

Index

w≥0

w ∈ [0; 0, 1]

1 w ∈ [ 2N ; 0, 1]

AT

0

0

0.0263

BE

0

0

0.0263

DK

0.09

0.1

0.1

CZ

0

0

0.0263

FIN

0.74

0.1

0.1

FR

0

0.1

0.1

DE

0

0

0.0263

EL

0

0.0469

0.0263

HU

0

0.0972

0.0386

NL

0

0.1

0.072

NO

0

0

0.0263

PL

0

0

0.0263

PT

0

0

0.0263

ES

0.17

0.1

0.1

SE

0

0.1

0.1

CH

0

0.1

0.1

UK

0

0.0832

0.0263

IL

0

0

0.0263

IT

0

0.0727 P =1

0.0263

Samenvatting Europese portefeuille

Nu rest ons nog een korte vergelijking van de vier portefeuilles die we gevonden hebben tegenover elkaar te vergelijken in tabel 14. Omdat we de prestatie willen meten, gebruiken we de Sharperatio om een beeld te vormen over de verschillende portefeuilles onderling. Uiteraard wordt hier nogmaals bevestigd wat we hierboven al hadden vermeld via de Sharpe-ratio (SR). Toch is de Sharpe-ratio alleen niet genoeg om te meten of er een verschil is tussen de na¨ıeve en optimale risicovolle portefeuille, we zullen dit ook statistisch nagaan.

40

Tabel 14: De Sharperatio’s van onze verschillende Europese portefeuilles

gekozen algoritme SRp =

µp σp

1 N

1 w ∈ [ 2N ; 0, 1]

w ∈ [0; 0, 1]

w≥0

0.1864

0.1474

0.1324

0.0487

(0.112)

(0.055)

(0.050)

w=

We kunnen via de gecorrigeerde methode van Jobson & Korkie (1981) net zoals bij Demiguel, Garlappi & Uppal (2009) nagaan of de Sharpe-ratio’s significant verschillen tussen de

1 N -regel

en de gekozen optimalisatie al dan niet met beperkingen. We noteren het subscript e voor de na¨ıeve portefeuille en m voor een van onze optimale risicovolle portefeuilles. zJK =

σe µm − σm µe √ Θ (38)

met Θ=

1 1 1 µm µe 2 2 2 2 (2σm σe − 2σm σe σm,e + µ2m σe2 + µ2e σm − σ ) T −M 2 2 σm σe m,e

waarbij de waarde zJK asymptotisch standaardnormaal verdeeld is23 , σmv,na is de correlatie tussen de na¨ıeve en optimale risicovolle portefeuille die we bekomen door de bijhorende gewichten toe te passen. µp is hier het rendement boven de risicovrije rentevoet (excess return) en σp de standaardafwijking van de rendementen van de betreffende portefeuille regel. We doen de volgende hypothesetest: H0 : µm /σm − µe /σe = 0 Hα : µm /σm − µe /σe 6= 0 De bekomen p-waardes staan tussen haakjes in tabel 14. Voor een 95% betrouwbaarheidsinterval kunnen we zeggen dat de nulhypothese voor de onbeperkte optimale riscovolle out-of-sample net aanvaard kan worden, maar dit is heel nipt, voor de andere portefeuilles kunnen we statistisch niet aantonen dat er een daadwerkelijk statistisch verschil zit tussen de na¨ıeve portefeuille en de optimale risicovolle portefeuilles, hoewel de p-waardes niet echt groot zijn. Dit komt door een lage N en een T die eerder bescheiden is.

23

Merk op dat deze waarde klopt als we uitgaan van de IDD assumtpie: onafhankelijk gelijk verdeeld met een

standaardnormaal verdeling, uiteraard is er aan deze voorwaarde niet voldaan, wat volgens Demiguel, Garlappi & Uppal (2009) niet abnormaal is, Demiguel, Garlappi & Uppal (2009) kwamen pas via simulatie met T = 24000 uit bij deze kenmerken, het hoeft geen betoog dat dit onmogelijk is te verzamelen.

41

3.4

De All Country World portefeuille

In dit deel gaan we de All Country World indices bekijken, we delen onze data niet enkel op per land, maar ook per sector, industriële groep en industrie. We gebruiken dezelfde optimalisatiemethodes als bij de Europese portefeuilles. 3.4.1

ACW-portefeuille per land We zouden N kunnen verhogen met extra in-

Figuur 14: De ex-ante efficiënte set en de out-of-

dices van niet-Europese landen om haar im-

sample onbeperkte optimale risicovolle

pact te meten op onze prestatie van de porte-

ACW-portefeuille (N = 45) vs de out-

feuilles. In onze inleiding hebben we al verwe-

of-sample onbeperkte optimale risico-

zen naar de verwachte verschuiving naar bo-

volle Europese portefeuille (N = 19).

ven van de efficiënte set als we N verhogen 0.035

(Levy & Sarnat, 1970; Grubel, 1968). Een ho0.03

gere diversificatie zou moeten leiden tot een µP

0.025

betere out-of-sample prestatie (Tu & Zhou,

0.02

0.015

2011). Een overzicht van de statistieken van

0.01

de bijkomende landen kan men vinden in ta-

0.005 0.02

0.04

0.06

0.08

0.1 σP

0.12

0.14

0.16

bel 10. We kunnen uit tabel 10 wederom stel-

0.18

Efficiënte set ACW portefeuille Efficiënte set Europese portefeuille Optimale risicovolle ACW portefeuille Optimale risicovolle Europese portefeuille Naïeve ACW portefeuille Naïeve Europese portefeuille

len dat aan de normaliteitsvoorwaarde slechts enkele malen wordt voldaan.

In figuur 14

zien we de ACW-portefeuille vergeleken met de Europese portefeuille, in figuur 15 vinden we de portefeuilles met de allocatiebeperkingen uit optimalisatie (37) met zowel enkelvoudige als dubbele allocatiebeperking. In tabel 15 hebben we de Sharpe-ratio’s en hun overeenkomstige p-waarden van de Jobson-Korkie test gerapporteerd. We merken direct uit figuur 14 op dat de na¨ıeve ACW portefeuille boven de ex-ante efficiënte set ligt van de Europese portefeuille. Dit is een sterk argument voor de de vergroting van N om zo de prestatie van

1 N -portefeuille

te verbeteren. Tevens zien we een verbetering van de out-of-

sample optimale risicovolle portefeuille, maar vergeleken met de na¨ıeve portefeuille is deze eerder miniem. De reden hiervan is dat door de schattingsfouten er een overinvestering plaatsvindt in beleggingen met een voordelige schattingsfout en een onderinvestering in beleggingen met een een nadelige schattingsfout, dit merken we bij de out-of-sample prestatie. De

1 N -regel

heeft hier

geen last van en presteert dus beter (Guerard, 2010; Duchin & Levy, 2009). In figuur 15 kunnen

42

we de prestatie van de ACW-portefeuilles vinden met verschillende beperkingen. Het valt op dat de figuur vrij gelijkaardig is als figuur 13. Wat opvalt is dat de efficiënte set niet alleen hoger ligt, maar ook dat de gelimiteerde efficiënte sets verder naar binnen verschuiven dan de Europese portefeuille. Dit komt hoogstwaarschijnlijk door de grotere bekomen diversificatie. Figuur 15: Het ex-ante en out-of-sample resultaat van de All Country World portefeuille met dubbele allocatiebeperking met N = 45, (a) w ≤ 0.1 en (b) w ≥

1 2N

0.045 0.04 0.035

µp

0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

σp Naïeve portefeuille Optimale risicovolle portefeuille met dubbele allocatiebeperking Optimale risicovolle portefeuille met enkelvoudige allocatiebeperking Optimale risicovolle portefeuille zonder allocatiebeperkingen Efficiënte set zonder allocatiebeperkingen Efficiënte set met enkelvoudige allocatiebeperking Efficiënte set met dubbele allocatiebeperking

3.5

ACW-portefeuille per sector & industrie

Beleggers diversifiëren niet alleen internationaal, maar ook per industrie. De All Country World indices zijn niet alleen opgedeeld in verschillende landen, maar ook opgedeeld in sectoren, industriële groepen en industrieën zelf. Het is dan ook een mogelijkheid om de analyse internationaal R per sector i.p.v. internationaal per land te doen. De indices zijn opgedeeld volgens de GICS -

classificatie24 . De prestaties van de sectoriële portefeuilles kan men vinden in tabel 15. Hierbij heeft de ACW-portefeuille per sector slechts 10 sectoren (N = 10), waardoor we geen beperking op kunnen leggen van de aard w ≥ 0.1, aangezien we dan de gelijkgewogen portefeuille krijgen, het is daarom dat we in tabel 15 ‘n.v.t.’ genoteerd hebben. De ACW-portefeuille per industriële groep (N=23) heeft dan weer het probleem dat bij de dubbele allocatiebeperking γ = 3 te laag is om de optimale risicovolle portefeuille te vinden. Het is daarom dat we γ = 4 hebben gesteld, we hebben dit aangeduid in tabel 15 met een asterisk∗ . We zien heel duidelijk dat ook op de sectoriële portefeuilles dezelfde tendens te vinden is als bij onze landen indices, hoe groter N , hoe beter de prestaties. Wat opvallend is, zijn de negatieve Sharpe-ratio’s voor de onbeperkte 24

GICS staat voor global industry classification standard, een overzicht van de verschillende sectoren en in-

dutrieën kan men vinden onder Appendix G.

43

optimalisatie. We komen daarop terug in de samenvatting in het volgende puntje.

3.6

Samenvatting Europese en ACW-portefeuilles Tabel 15: De Sharperatio’s van onze verschillende ACW en Europese portefeuilles 1 N

1 w ∈ [ 2N ; 0, 1]

w ∈ [0; 0, 1]

w≥0

0.1474

0.1324

0.0487

(0.1186)

(0.0551)

(0.0500)

0.1814

0.1546

0.0517

(0.0443)

(0.02770)

(0.01333)

0.0745

0.0340

0.0222

0.0030

0.0871

n.v.t.

n.v.t.

-0.034

Gekozen algoritme

N

w=

(A) Europa

19

0.1864

(B) ACW

45

(B)-(A) (C) ACW sectorieel

10

0.2609

(0.0050) ACW Ind. groep

(D) ACW Industrie

(D)-(C)

23

57

0.0371∗

0.0201

-0.0257

(0.03114)∗

(0.01458)

(0,01743)

0.0286

0.0202

-0.0111

(0.0282)

(0.02683)

(0.03746)

n.v.t.

n.v.t

-0.0229

0.0873

0.1118

0.0247

We merken duidelijk uit tabel 15 dat het zin heeft zowel N te vergroten als een gelijkere verdeling tussen de verschillende beleggingen na te streven want hierdoor blijkt dat de out-of-sample prestatie toeneemt. Vooral deze laatste heeft een serieuze impact, de Sharpe-ratio voor de Europese na¨ıeve portefeuille is wel meer dan 3.8x hoger dan die van de out-of-sample optimale risicovolle portefeuille. Voor de ACW-portefeuille is het verschil wel meer dan 5x zo groot, bij de sectoriële portefeuilles vinden we dezelfde kenmerken. Niet alleen lijkt de vergroting van N een impact te hebben op de algehele prestatie. Tevens lijkt het erop dat door de vergroting van N er een soort leverage-effect ontstaat waardoor de sharpe-ratio veel harder stijgt met dezelfde maatregelen om een gelijkere spreiding te bekomen bij een grote N dan bij een kleine N. Hoewel de observatieperiode (T ) groter zou moeten om de optimale risicovolle portefeuille beter te laten presteren, stellen we ons vragen omtrent de implementeerbaarheid van zo’n model, aangezien bedrijven na 12 (T = 144) jaar op volledig andere zaken kunnen focussen dan ze eerst deden. Hoewel we wel degelijk kunnen stellen dat een grotere N een verbetering bewerkstelligt per soort index, kunnen we dit niet vaststellen tussen de landenindices en sectorindices. Onze sectoriële

44

portefeuilles presteren lang niet zo goed als onze landindices. Toch zou je over de gehele periode kunnen stellen dat er amper verschillen zijn tussen de

Figuur 16: Verloop index information technology

twee (buiten de industrieën die we niet kon-

verloop IT 250

den opnemen in onze berekeningen doordat OUT−OF−SAMPLE

IN−SAMPLE

die pas na 1995 zijn toegevoegd, deze indu-

200

strieën zitten namelijk wel in de ACW en Euindex

150

ropese portefeuille, die wordt gewoon opnieuw

100

gewogen). Eén van de redenen van onderprestatie is hoogstwaarschijnlijk de hogere corre-

50

latie die optreedt, in tabel 16 zien we dat dit 0

zeker een deel is van ons probleem, de laag-

20

40

60

80

100

120

140

tijd (in maanden)

ste correlatie is 0.32 tussen IT en consumer staples, de hoogste correlatie is 0.91 tussen Industrials en Consumer Discretionary. Er treedt geen enkele negatieve correlatie op. Een andere reden is dat de industrieën die in onze eerste periode goed presteerden, daarna minder presteerden. Dit laatste is vrijwel zeker de reden van de negatieve prestatie van de onbeperkte portefeuille, hierbij werd telkens bijna de helft van de portefeuille in IT gestoken. Onze eerste periode gaat van 1995 tot 2001 wat een zeer goede tijd was om uit IT te stappen, de markt zakte in elkaar en dat voelen we in onze out-of-sample prestatie. Het rendement over de gehele periode 2 is dan ook negatief, wat de negatieve Sharpe-ratio verklaart. Het is daarom dat we in 3.7 zullen werken met een voortschrijdend gemiddelde om zulke momentum-effecten minder een rol te laten spelen. Als laatste willen we nog de p-waardes aanhalen van de Jobson-Korkie test. We zien dat enkel de Europese portefeuille p-waarden heeft die de nulhypothese aanvaarden zodat de out-of-sample optimale risicovolle portefeuille statistisch niet te onderscheiden valt met de na¨ıeve portefeuille, maar erg hoog zijn deze p-waarden niet. In de rest van de tabel zijn de p-waarden telkens significant onder de 5 %, wat telkens de alternatieve hypothese bevestigt dat de na¨ıeve en out-of-sample optimale risicovolle portefeuille statistisch niet gelijk zijn.

3.7

Portefeuilles met halfjaarlijkse herbalancering

Een terechte kritiek op onze methodologie zou zijn dat ons model uit het vorige hoofdstuk té statisch is. Er zijn weinig beleggers die zes jaar hun portefeuille hetzelfde laten in de outof-sample periode. We gaan dan ook onze optimalisatie opnieuw proberen met halfjaarlijkse 45

Tabel 16: Correlaties sectoren ACW-portefeuille E.

M.

I.

C.D.

C.S.

H.C.

F.

IT

T.C.S.

U.

1

0.72

0.67

0.57

0.49

0.49

0.62

0.41

0.38

0.67

Materials

0.72

1

0.85

0.79

0.54

0.39

0.76

0.57

0.48

0.57

Industrials

0.67

0.85

1

0.91

0.64

0.6

0.86

0.73

0.63

0.66

Cons. Discr.

0.57

0.79

0.91

1

0.57

0.54

0.85

0.81

0.73

0.59

Cons. Stapl.

0.49

0.54

0.64

0.57

1

0.74

0.69

0.32

0.41

0.68

Health Care

0.49

0.39

0.6

0.54

0.74

1

0.66

0.42

0.47

0.63

Financials

0.62

0.76

0.86

0.85

0.69

0.66

1

0.65

0.66

0.71

IT

0.41

0.57

0.73

0.81

0.32

0.42

0.65

1

0.74

0.4

Tel. Com. Svs.

0.38

0.48

0.63

0.73

0.41

0.47

0.66

0.74

1

0.56

Utilities

0.67

0.57

0.66

0.59

0.68

0.63

0.71

0.4

0.56

1

Energy

herbalancering. Inderdaad, een belegger kan via een voortschrijdend gemiddelde ook in de out-of-sample de recentste informatie in zijn optimalisatie incorporeren. Concreet doen we het volgende: We berekenen onze gewichten telkens op de 72 recentste maanden en dit elk halfjaar. Hierdoor krijgen we

72 6

= 12 verschillende w’s. Telkens als we de N ×1 vector w bekomen, passen

we deze gewichten toe op het volgende zes maanden. Als dit halve jaar verloopt, laten we het eerste halve jaar van onze dataset vallen en incorporeren we de rendementen van onze index van het recentste halve jaar. Hierdoor krijgen we een reeks van 72 out-of-sample rendementen voor onze optimale risicovolle portefeuille. Omdat dit meer rekenwerk vergt, zullen we hierbij dezelfde methode volgen als die van Demiguel, Garlappi & Uppal (2009), die vrijwel hetzelfde verloopt als de optimalisatie in ons vorige hoofdstuk, met haar verschil dat zij wel shortsales toelaten, maar geen verdere beperkingen opleggen aan de optimalisatie. Het model is de volgende: w=

x |10N x|

(39)

Deze vergelijking zal ervoor zorgen dat onze portefeuille uiteindelijk zal voldoen aan de enige beperking die haar opgelegd wordt namelijk: 10N w = 1 , we optimaliseren dezelfde vergelijking als in het voorgaande hoofdstuk, waarbij x het N × 1 vectorgewicht is, die aan geen enkele beperking moet voldoen. Shortsales zijn dus toegelaten in dit model. max x0 µ −

γ 0 x Σx 2

(40)

De optimale portefeuille van deze vergelijking is de alombekende vergelijking: x∗ =

Σ−1 µ γ 46

(41)

Als we x∗ substitueren in (39) dan krijgen we optimalisatie die we hebben toegepast: wopt =

Σ−1 µ 10N Σ−1 µ

(42)

Ook voor deze optimalisatie hebben we de 5 portefeuilles hun prestatie gemeten. De resultaten worden gerapporteerd in tabel 17. Tevens rapporteren Demiguel, Garlappi & Uppal (2009) de minimumvariantie portefeuille, wij zullen de volgende minimalisatie uitvoeren Qian, Hua & Sorensen (2007). 1 min w0 Σw 2

(43)

met: w0 1N = 1 Dit kan via Lagrange25 uiteindelijk geschreven worden onder de vorm van: wmin =

Σ−1 1N 10N Σ−1 1N

(44)

Tabel 17: Prestaties van de portefeuilles gebaseerd op het voortschrijdend gemiddelde

Europa

ACW

Sector

Ind. groep

Industrie

w=

19

0.1864

45

10

23

57

wopt

wmin

∗ wopt

win−sample

0.0027

0.1777

-0.1996

0.3196

(0.1514)

(0.4581)

(0.0009)

0.2045

0.1622

0.2214

(0.3785)

(0.2405)

(0.4122)

-0.0673

0.1040

-0.1967

(0.1684)

(0.6020)

(0.0157)

0.0261

0.0868

-0.1400

(0.3490)

(0.4977)

(0.0307)

-0.1754

0.0582

-0.0807

(0.0503)

(0.3222)

(0.1052)

1 N

N

0.2609

0.0871

0.0873

0.1118

0.6052

0.2519

0.4196

0.8250

wopt ∗ is de optimale portefeuille voor de statische out-of-sample

Als we tabel 17 bekijken dan zien we dat ook met het voortschrijdend gemiddelde geen consistente betere resultaten oplevert voor de optimale risicovolle portefeuille t.o.v. de na¨ıeve portefeuille. We hebben tevens de in-sample prestatie van optimalisatie (42) gerapporteerd, 25

Zie Appendix H voor de afleiding van wmin .

47

dit is de optimalisatie voor heel de periode T , deze presteert continu beter dan de na¨ıeve portefeuille en heeft een hogere Sharpe-ratio naarmate het aantal beleggingen (N ) toeneemt, dit komt uiteraard door de afwezigheid van schattingsfouten omdat men de hele populatie gebruikt om te optimaliseren. Het hoeft geen betoog dat de in-sample onmogelijk te behalen is voor de belegger. Als we de out-of-sample prestaties van de optimale risicovolle portefeuille bekijken, zien we dat de ACW portefeuille redelijk goed scoort, maar de na¨ıeve portefeuille scoort beter en de statische optimale risicovolle portefeuille ook. Nergens vinden we een optimale risicovolle portefeuille die zowel statistisch significant is en hoger dan de na¨ıeve portefeuille. Wat wel goed lijkt te werken, is de minimumvariantie portefeuille. Deze slaagt er zelfs in bij de sectoriële indeling een betere prestatie te bekomen dan de na¨ıeve portefeuille, maar het verschil is niet significant. We zouden vanuit deze gegevens kunnen opmaken dat voor een verlies-mijdende (loss-averse) belegger het beste zou zijn om voor de landenindices de

1 N -regel

toe te passen en

R -indeling lijkt het bij de sectoren beter te zijn de minimumvoor de indices volgens GICS

variantie portefeuille te kiezen, voor de industriële groepen en industrieën is het dan weer de 1 N -regel

die te verkiezen valt. Het voortschrijdend gemiddelde kan niet consistent de optimale

risicovolle portefeuille verhogen, bij de ACW en industriële portefeuille presteert de optimale risicovolle portefeuille o.b.v. het voortschrijdend gemiddelde zelfs slechter dan onze statische methode in het vorige hoofdstuk. Hierbij moeten we nog vermelden dat bij het herbalanceren er normaal transactiekosten worden aangerekend die we nog niet in dit onderzoek in rekening hebben gebracht, de werkelijke prestatie van ons voortschrijdend gemiddelde zou dus nog lager zijn in de realiteit, zie o.a. Pogue (1970).

4

Het combinatiemodel van Tu & Zhou

”A person who only has one tool in his kit is a danger. You know the old saying: if all you have is a hammer, everything looks like a nail.” -Harry Markowitz (2010)26 Hoewel we in hoofdstuk 3 uitvoerig besproken hebben dat de na¨ıeve strategie domineert ten opzichte van die van de optimale risicovolle portefeuille op de meerderheid van de portefeuilles, willen we toch kijken of we geen betere prestatie kunnen neerzetten met een andere methode.

26

Zie interview (Kaplan, 2012, P.351-365)

48

In 2011 publiceerden Tu & Zhou (2011) een interessante paper genaamd Markowitz meets Talmud: A combination of sophisticated and naive diversification strategies. In deze paper stelt men dat een combinatie van na¨ıeve diversificatie met complexe diversificatie zoals o.a. Markowitz wel zeker superieure resultaten opleveren ten opzichte van de na¨ıeve

1 N -regel.

Het

komt er vooral op aan om de optimale verdeling tussen de na¨ıeve en optimale portefeuille te vinden, wat we hier uiteen zullen zetten.

4.1

Werkwijze

Tu & Zhou (2011) zien de optimale allocatie van een portefeuille als een combinatie van de Markowitz-regel en de na¨ıeve ( N1 ) -regel. De bedoeling van deze opzet is om een portefeuille te vinden die het beter doet dan de

1 N -regel,

om zo aan te tonen dat de theorie van Markowitz

wel zeker beter presteert, maar dat vooral door schattingsfouten haar directe implementatie bemoeilijkt wordt. De

1 N -regel

heeft geen variantie, maar is wel vertekend. Markowitz daaren-

tegen is vrij onvertekend, maar heeft wel een aanzienlijke variantie, zeker als we slechts kleine steekproeven nemen als uitgangspunt (Tu & Zhou, 2011). Het is daarom dat het volgende model ontwikkeld werd. Het model: wtz = (1 − δ)we + δwm

(45)

met we de na¨ıeve portefeuille, wm de optimale risicovolle portefeuille waarbij wm = Σ−1 µ/γ en δ de lineaire verdeling tussen de twee portefeuilles en daarom δ ∈ [0, 1]. δ=

π1 π1 + π2

(46)

De bovenstaande vergelijking geeft de optimale trade-off weer tussen vertekening en variantie. π1 meet de impact van de vertekening van we en π2 meet de impact van de variantie van wm . π1 = we0 Σwe −

π2 =

1 2 0 we µ + 2 θ 2 γ γ

1 ctz N (ctz − 1)θ2 + 2 2 γ γ T

(47)

(48)

De plug-ins voor het model: θ2 = µ0 Σ−1 µ

49

(49)

Dit is de gekwadrateerde Sharpe-ratio voor de ex-ante optimale risicovolle portefeuille (Kan & Zhou, 2007, p.624). Hoe hoger de gekwadrateerde Sharpe-ratio, hoe groter het verlies aan juistheid van de uitkomst van de out-of-sample MPT-regel, gebaseerd op de in-sample gegevens (Kan & Zhou, 2007, p.629).

ctz =

(T − 2)(T − N − 2) (T − N − 1)(T − N − 4)

(50)

met noodzakelijk dat: T > N + 4 Het verwachte rendement van het model 0 rp,t+1 = rf t+1 + wtz Rt+1

(51)

Tu & Zhou (2011); Kan & Zhou (2007) kiezen er voor om het nut te maximaliseren van wtz . Ze nemen aan dat beleggers hun nut maximaliseren volgens de inmiddels bekende procedure U (w) = w0 µ − γ2 w0 Σw, bij gekende µ en Σ zou dan de optimale portefeuille-vergelijking zijn zoals vergelijking wm = Σ−1 µ/γ, het verwachte nut kan dan volgens Kan & Zhou (2007, p.624) geschreven worden als27 : U (wm ) =

1 0 −1 θ2 µΣ µ= 2γ 2γ

(52)

Helaas, zoals wij al eerder hebben vermeld, kent men µ en Σ niet voor de komende periode en moet men o.b.v. gegevens uit de vorige periode µ en Σ schatten. We moeten dus een verwacht nut kunnen vinden voor wtz . Dit is analoog zoals we het nut voor wm vinden. Het nut voor wtz is dus: U (wtz ) = µ0 wtz −

γ 0 w Σwtz 2 tz

(53)

Dit nut kunnen we vergelijken met het nut van de gelijkgewogen portefeuille (we )28 en het nut van de optimale portefeuille (wtz ) indien we alle parameters kennen zoals in vergelijking (52).

4.2

Out-of-sample prestatie

Net zoals in hoofdstuk 3 zijn we benieuwd naar out-of-sample prestatie van het model op onze dataset. Concreet hebben we hier dezelfde methode van het voortschrijdend gemiddelde gebruikt als in punt 3.7. We hebben eerst de volledige uitwerking gedaan om de benodigde δ 0 s te vinden en daarna wtz berekend voor elke halfjaar in het voortschrijdend gemiddelde om zo de rendementen van de portefeuille te bekomen, uiteindelijk rapporteren we zowel hun CER’s 27 28

We zetten hierbij wm in vergelijking (28) en werken uit, zie appendix I. Hierbij vullen we we in i.p.v. wtz in vergelijking (53).

50

als hun Sharpe-ratio’s met bijbehorende p-test. De resultaten kan men vinden in tabel 18 . We hebben γ = 3 voor de hele tabel genomen. We rapporteren tevens de in-sample. Tabel 18: Resultaten combinatiemodel van Tu & Zhou (2011)

CER (γ = 3)

Europa

ACW

Sector

Ind. Groep

Industrie

Sharpe-ratio

N

1 N

wtz

wopt

win−sample

1 N

wtz

wopt

win−sample

19

0.0097

0.0173

-0.0889

0.0260

0.1864

0.2311

0.0027

0.3196

(0.6373)

(0.1514)

0.0322

0.2045

(0.0575)

(0.3785)

0.0427

-0.0673

(0.3305)

(0.1684)

0.0299

0.0261

(0.3409)

(0.3490)

0.0995

-0.1754

(0.4712)

(0.0503)

45

10

23

57

0.0124

0.0034

0.0034

0.0046

-0.0624

0.0013

-0.0018

-0.3543

0.0353

0.0356

-0.0652

0.0148

-0.1291

0.0480

-6.6495

0.0555

0.2609

0.0871

0.0873

0.1118

0.6052

0.2519

0.4196

0.8250

De certainty equivalent return (CER) die hier gerapporteerd wordt is de out-of-sample CER. 1 CERp = µp − γσp2 2 1 0 0 = wtz,T Σ w µ − γ wtz,T 1 T2 tz,T1 1 T2 2

(54)

We zien duidelijk dat in zowel de Europese portefeuille als de ACW-portefeuille ook het model van Tu & Zhou geen continue verbetering biedt. Voor de Europese portefeuille daarentegen scoort wtz het hoogste van al onze metingen en verslaat voor de eerste maal de na¨ıeve portefeuille, helaas is deze niet statistisch significant. Een positieve bemerking is tevens dat de Sharpe-ratio’s telkens positief zijn, helaas kunnen we dit niet zeggen van de CER’s. De beperkte prestaties van ons combinatiemodel is waarschijnlijk het gering aantal observaties dat we gebruikt hebben, gecombineerd met onze internationale portefeuilles. Ook Tu & Zhou (2011, p.212-p.214) slagen er voor een portefeuille gebaseerd op 9 landen van MSCI van 1970-2001 er niet in om een betere prestatie neer te zetten met hun combinatiemodel, zij vinden tevens negatieve CER’s. Nochtans zou men kunnen opperen dat daar T wel degelijk voldoende lang zou moeten zijn om de parameters ”juist”te schatten. Een behoorlijke instabiliteit is waarschijnlijk de hoofdreden.

51

5

Implicaties voor na¨ıeve beleggingsstrategie¨ en

In de voorbije hoofdstukken hebben we bewezen hoe krachtig de na¨ıeve portefeuille strategie kan zijn. Hoewel we geen afbreuk willen doen aan de MPT, zouden we toch een aantal implicaties voor de particuliere en institutionele belegger willen bespreken op basis van de uitkomsten van ons onderzoek.

5.1

De particuliere belegger

Een eerste aspect van ons onderzoek geeft weer hoe sterk de na¨ıeve portefeuille kan zijn voor kleine datareeksen met een beperkt aantal beleggingsopportuniteiten. Dit is dan ook voor de particuliere belegger een incentive om zich niet al te veel aan te trekken van de MPT, want hoewel deze een langere beleggingshorizon heeft, heeft de particuliere belegger slechts beperkt kapitaal voor handen en kan dus slechts een beperkt aantal beleggingen doen. Een tweede aspect van ons onderzoek is de internationale diversificatie, in ons onderzoek komt er naar boven dat meer landen opnemen goed is om een verhoogde Sharpe-ratio te bekomen. Sectorieel diversifiëren geeft in ons onderzoek niet dezelfde hoge Sharpe-ratio’s als internationale diversificatie. Aan de andere kant moeten we ook bedachtzaam zijn over onze conclusies. In ons raamwerk hebben we er geen rekening mee gehouden dat het investeren in een buitenlandse belegging onderhevig kan zijn aan wisselrisico’s doordat sommige markten enkel in bepaalde munten toegankelijk zijn. Een ander probleem zou kunnen zijn dat men slechts een bepaalde hoeveelheid kan/mag investeren in het buitenland (Chiou, Lee & Chang, 2009). Voor deze verschillende internationale problemen, kan het interessant zijn voor de particuliere belegger om zijn geld zo gelijk mogelijk te verdelen tussen bijv. ETF’s of indextrackers in eigen munt om zo het wisselrisico af te dekken en de transactiekosten laag te houden.

5.2

De institutionele belegger

Voor de professionele of institutionele belegger valt er vanuit dit onderzoek minder te zeggen. Het belang van diversificatie is nogmaals aangetoond en het relatief lage nut van het implementeren van MPT strategiën als men slechts enkele jaren data heeft werd nogmaals bevestigd. Tu & Zhou (2011) vinden wel betere prestaties voor de combinatieportefeuille dan de na¨ıeve strategie, maar ook bij hun onderzoek laat het MV-raamwerk in se hen zelfs bij 30 jaar aan observaties een een moving average van 20 jaar (M=240) in de steek met aanzienlijke negatieve CER’s voor de internationale portefeuille. Het is dus ook voor de institutionele belegger ver-

52

standig om tweemaal na te denken of men het MV-raamwerk wil toepassen of niet. Indien de institutionele belegger dit wil, dan stellen we voor om wel degelijk beperkingen aan deze optimalisatie op te leggen om zo zwaar negatieve risico-rendement trade-offs te verkomen. Daarnaast zou de institutionele belegger tevens continu aandacht moeten schenken aan de normaliteit van de data, hun stabiliteit en de concentratie van de gegevens voordat men de MPT of combinatieregel toepassen. Indien aan deze voorwaarden niet voldaan wordt, zou ook de institutionele belegger er goed aan doen om de na¨ıeve strategie toe te passen. Bij grotere datasets is het antwoord genuanceerder. Hiervoor lijkt ons verder onderzoek noodzakelijk.

6

MPT in de praktijk

“In 1959, I had a theory, I had a rationale, and so on. Now, we have an industry” -Harry Markowitz (2010)29 Al vrijwel vanaf de publicatie van Markowitz’ paper in 1952 bogen academici over het MPT raamwerk en kwam er een golf van kritiek op de rationale van Markowitz (Kaplan, 2012). Ook uit dit onderzoek lijkt de MPT t.o.v. de na¨ıeve portefeuille slecht uit de out-of-sample te komen. Zouden we dan de MPT niet beter in de toekomst links laten liggen? Wij menen nog steeds van niet. In dit stuk geven we een voorbeeld van een raamwerk dat meent de defecten van de MPT op te vangen en in de praktijk toegepast wordt.

6.1

Kaplan & Savage’s Markowitz 2.0

In het boek Frontiers of Modern Asset Allocation (Kaplan, 2012) en het artikel Markowitz 2.0 (Savage & Kaplan, 2010) wordt er gesteld dat Markowitz’ werk gekenmerkt wordt door drie principes die onafscheidelijke gebruikt moeten worden in het probleem van asset allocatie: risico, rendement en de correlatie tussen activaklassen. Tevens merken de auteurs op dat ondanks de moderne technieken, vandaag nog steeds geen model bestaat dat weerstand weet te bieden tegen marktfalingen die we onlangs in 2008 nog gezien hebben. Toch geloven Kaplan en Savage nog steeds in die drie noodzakelijke concepten (risico, rendement en correlatie), deze zijn immers de fundamenten voor Markowitz 2.0. 29


53

6.1.1

Scenario-benadering

We hebben meermaals aangehaald dat één van de tekortkomingen van de MPT ligt bij het vormen van de verdeling, die enkel gebaseerd is op het gemiddelde en de variantie. Over het algemeen zijn rendementen gekenmerkt door scheefheid en zogenaamde “fat tails”. Dit zou vaak opgelost worden door academici door verdelingen te gebruiken die rekening houden met vertekeningen, anderen gebruiken scenario’s gebaseerd op de historische data. Het is deze laatste benadering die in het Markowitz 2.0 raamwerk gebruikt wordt. De onderstaande figuur kan duidelijkheid brengen wat hiermee bedoeld wordt. Figuur 17: Lognormale vs. scenario-gegenereerde verdeling van de jaarlijkse rendementen 1926-2008 R (Kaplan & Markowitz, 2010) - website Morningstar

We zien duidelijk dat de lognormale (gebolde) verdeling en veel kleinere kans heeft op de aangeduide 25,8 % verlies dan de scenario-gegenereerde (puntige) kansverdeling. Bij de lognormale is deze kans gelijk aan 1,6 %, bij de scenario-gegenereerde kansverdeling is die kans wel 5%. Deze laatste geeft zo een veel realistischer beeld van mogelijke verliezen. (Kaplan, 2012, p.327-330) 6.1.2

Lange termijn rendementen

Aangezien op lange termijn beleggers meer interesse hebben in de aangroei van hun vermogen dan het gemiddeld rendement, stellen Kaplan en Savage voor om het meetkundig gemiddelde (MG) te gebruiken i.p.v. het rekenkundig gemiddelde (RG). MG =

p T (1 + R1 )(1 + R2 )...(1 + RT ) − 1

54

(55)

RG =

T 1X Rt T

(56)

t=1

(Kaplan, 2012, p.330) 6.1.3

Neerwaarts risico & (C)VaR

Academici hebben al vaak benadrukt dat de standaardafwijking geen goede benadering voor het risico is, doordat ze niet enkel de neerwaartse bewegingen, maar ook de opwaartse bewegingen in rekening neemt. We kunnen duidelijk in tabel 19 zien dat elke belegger het aandeel Bull verkiest boven het aandeel Bear, toch hebben ze dezelfde standaardafwijking. Dit komt door de symmetrische aard van de standaardafwijking, die niet strookt met wat beleggers als risico zien. Tabel 19: Standaardafwijking van Bull & Bear

R1

R2

R3

R4

σ

µ

VaR

CVaR

Bull

0.2 %

0.4 %

0.8 %

1%

0.365148372 %

0.6 %

-0.361496888

-0.451323387

Bear

-0.2 %

-0.4 %

-0.8 %

-1 %

0.365148372 %

-0.6 %

0.361496888

0.451323387

Het is met deze problematiek in het achterhoofd dat academici kiezen voor Value-at-Risk (VaR) of zelfs Conditional-VaR (CVaR). Zo ook in het Markowitz 2.0 model (Savage & Kaplan, 2010). Laten we een heel kort en sterk vereenvoudigd voorbeeld bekijken van VaR en CVaR voor een betrouwbaarheidsinterval van 95 % met de assumptie dat de rendementen normaal verdeeld zijn30 . V aRp = −µp + 1.65σp

(57)

CV aRp = −µp + 2.06σp

(58) (Xiong & Idzorek, 2010)31

Als we dit toepassen op ons bovenstaand voorbeeld in Tabel 19 krijgen we voor het aandeel Bear een postieve VaR en CVaR. Dit betekent dat er over een bepaalde periode (hier de 4 metingen) er een kans van 5 % bestaat om 36 % van de portefeuille of meer te verliezen (=VaR). Ofwel als 30

Dit is een voorbeeld van een parametrische (C)VaR, indien niet normaal verdeeld, gebruikt men Monte-Carlo

simulaties of de historische (C)VaR. 31 Zij verwijzen tevens naar Rockafellar & Uryasev (2000).

55

de 5 % kans zich voordoet dat we ons in de VaR-situatie bevinden, dan zal het gemiddelde verlies 45 % zijn (=CVaR). Voor het aandeel Bull zien we negatieve (C)VaR’s, dit betekent dezelfde rationale, maar dan voor negatieve verliezen, wat niets anders is dan winst. Een negatieve (C)VaR geeft de grootte van de winsten weer in het geval van de 5 % situatie. Het is juist dit tekenverschil dat (C)VaR een betere maatstaf maakt dan de standaardafwijking, waarbij de CVaR de allerbeste maatstaf is omdat die een nauwkeuriger beeld geeft van de mogelijke verliezen en omdat deze opgeteld kunnen worden voor elke belegging apart (subadditiviteit). Bij VaR is dit niet mogelijk omdat de som van de risico’s groter kunnen zijn dan de som van de VaR’s (Artzner et al., 1999). 6.1.4

Scenario’s vs. correlaties

In het Markowitz 2.0 raamwerk wordt tevens de correlatie op de proef gesteld. Correlaties zijn lineair van aard en beleggingen blijken zich niet altijd in de ‘echte’ wereld zo te gedragen. Zo blijkt het dat er onder bepaalde omstandigheden veel grotere correlaties zijn dan bij andere omstandigheden. Zo zou tijdens een opwaartse periode niet-VS aandelen een goed diversificatiemiddel zijn voor VS-aandelen, maar tijdens crises blijken ze allemaal tegelijk naar dezelfde (negatieve) richting te convergeren. Deze niet-lineariteit kan veel beter opgevangen worden door het modelleren met scenario’s (Savage & Kaplan, 2010). 6.1.5

De nieuwe efficient frontier

Als we nu de huidige statistische spitstechnologie toepassen (Kaplan, 2012) dan komen we Figuur 18: Efficient frontier Markowitz 2.0 (Savage & Kaplan, 2010)

het model uit in figuur 18. Al onze bovenstaande verbeteringen leiden uiteindelijk tot

Markowitz 2.0 0.155

de alom herkenbare efficient frontier die we

0.15

Meetkundig gemiddelde (%)

doorheen dit werk gerapporteerd hebben. Er zitten maatstaven in van de rendementen, risico’s en hun beweging doorheen de tijd tot andere beleggingen (≈correlatie). We toonden dit voorbeeld om te laten zien hoe actueel

0.145

0.14

0.135

0.13

0.125

0.12

het debat tussen academici en bedrijven on-

0.115

derling nog steeds is om een optimaal raam-

0.16

0.18

0.2

CVaR (%)

werk te bekomen. 56

0.22

0.24

0.26

7

Conclusie

”The thing about the MV model is that it is a magnificent simple theory, like Isaac Newton’s F = ma. Oh, it doesn’t really equal ’ma’ because of Einstein’s theory of relativity. But do you know what? F = ma is a foundation on which we have built modern physics because it is a simple, beautiful model that is good in most real-world situations” Sam Savage, 201032 Doorheen dit werk hebben we uitvoerig de optimale portefeuille vergeleken met de na¨ıeve portefeuille in een internationale context. We hebben een uitgebreide samenvatting gegeven van de methodes en literatuur die geschreven zijn over internationale diversificatie en na¨ıeve portefeuilles. Over de voordelen van internationale diversificatie bestaat er een algemene consensus dat deze leidt naar de gekende verschuiving naar linksboven van de efficient frontier. Op het vlak van na¨ıeve diversificatie zijn er steeds betere alternatieven voor handen, maar hun prestaties hangen nog steeds af van welke dataset getest wordt. Er is nog steeds geen model dat in elke datastet in de out-of-sample het consistent beter doet dan de na¨ıeve portefeuille. We konden wel bevestigen dat de Moderne Portefeuille Theorie wel degelijk gelijk heeft op het vlak van de in-sample prestaties en beter presteert naarmate N toeneemt. In ons onderzoek kwam vrijwel telkens de na¨ıeve portefeuille uit als de best presterende portefeuille. Eén keer kon de minimumvariantie-portefeuille de na¨ıeve portefeuille verslaan voor de sectoriële portefeuille. De combinatieregel kon tevens slechts één keer de na¨ıeve portefeuille verslaan, ditmaal voor de Europese portefeuille. Deze laatste bevinding speelt in het voordeel van de MPT en dat haar rationale wel zeker steek houdt, maar dat het juist schatten van de parameters µ en Σ aan de basis ligt van haar magere out-of-sample prestaties. Het diversifiëren zou men bij deze dataset het best internationaal per land doen i.p.v. internationaal per sector omdat we vaak negatieve R CER’s en Sharpe-ratio’s verkregen voor de portefeuilles gebaseerd op de GICS -classificatie.

De verklaring zoeken we hier bij de hogere correlaties die optreden en het hogere concentratierisico dat optreedt doordat slechts enkele industrieën worden opgenomen bij de optimalisaties. We moeten wel opmerken dat de lengte van onze datareeks T iets langer had gemogen, hoewel ook Tu & Zhou (2011) voor een een dataset van 30 jaar, maar met slechts 9 indices ook negatieve resultaten halen met het M-V-raamwerk.

32


57

Onze algemene conclusie sluit aan bij het citaat van Sam Savage (Kaplan, 2012) dat men hierboven kan vinden. De MPT is een model met randvoorwaarden die in de realiteit dikwijls niet voldaan zijn, maar dit hoeft niet te betekenen dat daarom haar fundamenten fout zijn. Voor de in-sample prestaties krijgt Markowitz tot op heden gelijk. Het is daarom belangrijk dat beleggers wel zeker over goede fundamenten beschikken om dan verdere beleggingsstrategieën daarop verder uit te bouwen. Om dit aan te tonen hebben we Markowitz 2.0 (Kaplan & Markowitz, 2010; Kaplan, 2012; Savage & Kaplan, 2010) aangehaald om te laten zien dat in de praktijk men nog steeds verder zoekt om een superieur model te vinden dat de na¨ıeve portefeuille consistent kan verslaan en - wie weet - de in-sample prestaties beter kan benaderen. Het testen van het Markowitz 2.0 raamwerk zou dan ook een interessant onderzoek zijn voor de toekomst.

58

Referenties American Finance Association (2004a), ‘Masters of finance: Interview at rady school of management at the university of california san diego’, The Journal of Finance . American Finance Association (2004b), ‘Masters of finance: Sharpe interview’, The Journal of Finance . Artzner, P., Delbaen, P., Eber, F., Heath, J. & Heath, D. (1999), ‘Coherent measures of risk’, Mathematical Finance 9(3), 203–228. Best, M. & Grauer, R. (1991), ‘On the sensitivity of mean-variance-efficient portfolios to changes in asset means: some analystical and computational results’, Review of Financial studies 4(2), 315–342. Bodie, Z., Kane, A. & Marcus, A. (2009), Investments, McGraw-Hill international. Brown, S. (1976), Optimal portfolio choice under uncertainty: a Bayesian approach, PhD thesis, University of Chicago. Caywood, T. E. (1954), ‘Exposition of a new theory on the measurement of risk (book).’, Journal of the Operations Research Society of America 2(3), 359–361. Chiou, W., Lee, A. & Chang, C. (2009), ‘Do investors still benefit from international diversification with investment constraints?’, The Quartely Review of Economics and Finance 49(2), 448–483. Cootner, P. (1967), The Random Character of Stock market prices, MIT. Curtis, G. (2004), ‘Modern portfolio theory and behavioral finance.’, Journal of Wealth Management 7(2), 16–22. Demiguel, V., Garlappi, L. & Uppal, R. (2009), ‘Optimal versus naive diversification how inefficient is the 1/n portfolio strategy?’, The Review of Financial Studies 22(5), 1915–1953. Driessen, J. & Laeven, L. (2007), ‘International portfolio diversification benefits: cross-country evidence from a local perspective’, Journal of Banking Finance 31(6), 1693–1712. Duchin, R. & Levy, H. (2009), ‘Markowitz versus the talmudic portfolio diversification strategies’, The Journal of Portfolio Management 35(2), 71–74.

59

Elton, E. & Gruber, M. (1973), ‘Estimating the dependence structure of share pricesimplications for portfolio selection’, Journal of Finance 28(5), 1203–1232. Elton, E. & Gruber, M. (1984), Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, Wiley & Sons. Elton, E., Gruber, M. & Padberg, M. (1976), ‘Simple criteria for optimal portfolio selection’, Journal of Finance 31(5), 1341–1357. Fama, E. (1965), ‘The behavior of stock market prices’, Journal of Business 38(1), 34–105. Fama, E. (1976), ‘Forward rates as predictors of future spot rates’, Journal of Financial Economics 3(4), 361–377. Fama, E. & French, K. (1992), ‘The cross-section of expected stock returns’, Journal of Finance 47(2), 427–465. Fama, E. & French, K. (1993), ‘Common risk factors in the returns on stocks and bonds’, Journal of Financial Economics 33(1), 3–56. Fama, E. & French, K. (1996), ‘Multifactor explanations of asset pricing anomalies’, Journal of Finance 51(1), 55–84. Farebrother, R. W. (1980), ‘The durbin-watson test for serial correlation when there is no intercept in the regression’, Econometrica 48(6), 1553–1563. Fletcher, J. & Marhsall, A. (2005), ‘An empirical examination of benefits of international diversification’, Journals of international financial markets, institutions money 15(5), 455–468. French, K. & Poterba, J. (1991), ‘Investor diversification and international equity markets’, American Economic Review 81(2), 222–226. Goetzmann, W., Lingfeng, L. & Rouwenhorst, G. (2005), ‘Long-term global market correlations’, Journal of Business 78(1), 1–38. Goos, P. (2011), Kwantitatieve Beleidsmethoden, Acco. Grubel, H. (1968), ‘Internationally diversified portfolios: welfare gains and capital flows’, American Economic Review 58(5), 1299–1315. Grubel, H. G. & Fadner, K. (1971), ‘The interdependence of international equity markets.’, Journal of Finance 26(1), 89–94. 60

Guerard, J. (2010), Handbook of portfolio construction: Contemporary Applications of Markowitz Techniques, Springer. Ingersoll, J. (1987), Theory of financial decision making, Rowman Littlefield. Jobson, J. D. & Korkie, B. M. (1981), ‘Performance hypothesis testing with the sharpe and treynor measures.’, Journal of Finance 36(4), 889–908. Jorion, P. (1985), ‘International portfolio diversification with estimation risk’, Journal of Business 58(3), 259–278. Kahneman, D., Slovic, P. & Tversky, A. (1982), Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases, Cambridge University Press. Kahneman, D. & Tversky, A. (1979), ‘Prospect theory: an analysis of decision under risk’, Econometrica 47(2), 263–291. Kan, R. & Zhou, G. (2007), ‘Optimal portfolio choice with parameter uncertainty’, Journal of Financial and Quantitative Analysis 42(3), 621–656. Kaplan, P. (2012), Frontiers of modern asset allocation, John Wiley & Sons, Inc. Kaplan, P. & Markowitz, H. (2010), ‘What does H. markowitz think?’, Morningstar Advisor . Kendall, M. (1953), ‘The analysis of economic time series, part i: Prices’, Journal of Royal Statistical Society 96. Knight, F. (1921), Risk, Uncertainty and Profit, Riverside press Cambridge. Lee, C., Lee, A. & Lee, J. (2010), Handbook of Quantitative Finance Risk Managment, Springer. Levy, H. & Markowitz, H. M. (1979), ‘Approximating expected utility by a function of mean and variance.’, American Economic Review 69(3), 308–317. Levy, H. & Sarnat, M. (1970), ‘International diversification of investment portfolios.’, American Economic Review 60(4), 668–675. Levy, M. & Levy, H. (2002), ‘Prospect theory: Much ado about nothing?’, Management Science 48(10), 1334–1349. Malkiel, B. G. (1995), ‘Returns from investing in equity mutual funds 1971 to 1991.’, Journal of Finance 50(2), 549–572. 61

Markowitz, H. (1952), ‘Portfolio selection’, Journal of Finance 7(1), 77–91. Markowitz, H. (1959), Portfolio Selection: Efficient Diversification of investments, John Wiley & Sons, Inc. Moosa, I. (2011), ‘Journal: Technical finance’, The Capco Institute Journal of Financial Transformation 33. Morgenstern, O. & von Neumann, J. (1953), ‘Theory of games and economic behavior’, Princeton 3. MSCI (2005), Morgan Stanly Capital International on datastream, Thomson Financial. MSCI (2012), ‘Msci index calculation methodology’. URL: http://www.msci.com/eqb/methodology/methdocs/M SCI M ar12IndexCalcM ethodology.pdf Pachamanova, D. & Fabozzi, F. (2010), Simulation and Optimization in Finance: Modeling with MATLAB, @RISK or VBA, John Wiley & Sons, Inc. ˇ & Stambaugh, R. (2003), ‘Liquidity risk and expected stock returns’, Journal of P´ astor, L. Political Economy 111(3), 642–685. Pogue, G. A. (1970), ‘An extension of the markowitz portfolio selection model to include variable transactions’ costs, short sales, leverage policies and taxes.’, Journal of Finance 25(5), 1005– 1027. Pompian, M. (2006), Behavioral finance and wealth management: building optimal portfolios that account for investor biases, Wiley & sons. Qian, E., Hua, R. & Sorensen, E. (2007), Quantitative Equity Portfolio Management: Modern Techniques and Applications, Chapman Hall/CRC. Rachev, S., Hsu, J., Bagasheva, B. & Fabozzi, F. (2008), Bayesian Methods in Finance, John Wiley & Sons, Inc. Razali, N. & Wah, Y. (2011), ‘Power comparisons of shapiro-wilk, kolmogorov-smirnov, lilliefors and anderson-darling tests’, Journal of Statistical Modeling and Analysis 2(1), 21–33. Rockafellar, R. & Uryasev, S. (2000), ‘Optimization of conditional value-at-risk’, Journal of Risk 2(3), 21–41.

62

Ross, S. (1976), ‘The arbitrage theory of capital asset pricing’, Journal of Economic Theory 13(3), 341–360. Savage, S. & Kaplan, P. (2010), ‘Markowitz 2.0’. URL: http://www.morningstar.com/advisor/t/42987961/markowitz-2-0.htm?ps=2 Sharpe, W. (1963), ‘A simplified model for portfolio analysis’, Management Science 9(2), 277– 293. Sharpe, W. (1964), ‘Capital asset prices - a theory of market equilibrium under conditions of risk’, Journal of Finance 19(3), 425–442. Sharpe, W. (29/12/2011), ‘Macro-investment analysis contents’. URL: http://www.stanford.edu/ wfsharpe/mia/mia.htm Shefrin, H. & Statman, M. (2000), ‘Behavioral portfolio theory.’, Journal of Financial & Quantitative Analysis 35(2), 127–151. Stambaugh, F. (1983), ‘Testing the capm with broader market indexes: A problem of meandeficiency’, Journal of Banking Finance 7(1), 5–16. Stambaugh, F. (1997), ‘Analyzing investments whose histories differ in length’, Journal of Financial Economics 45(3), 285–331. Stambaugh, F. (2000), ‘Comparing asset pricing models an investment perspective’, Journal of Financial Economics 56(3), 335–381. Tu, J. & Zhou, G. (2010), ‘Incorporating economic objectives into bayesian priors: Portfolio choice under parameter uncertainty’, Journal of Financial & Quantitative Analysis 45(4), 959–986. Tu, J. & Zhou, G. (2011), ‘Markowitz meets talmud: A combination of sophisticated and naive diversification strategies’, Journal of Financial Economics 99(1), 204–215. Wilmott, P. (2007), Frequently Asked Questions in quantitative finance, John Wiley & Sons, Inc. Xiong, J. & Idzorek, T. (2010), Mean-Variance Versus Mean-Conditional Value-at- Risk Optimization: The Impact of Incorporating Fat Tails and Skewness into the Asset Allocation Decision, Ibbotson.

63

Appendix A

Eigenschappen van nutsfuncties

Afkomstig uit Ingersoll (1987, p.19-21)

Stel dat we kunnen kiezen uit de volgende korf, genaamd H met x ∈ H en z ∈ H. We kunnen zeggen dat: x z (x wordt verkozen boven z) en x z (x wordt verkozen boven z of gelijkwaardig gevonden als z). 1. compleetheid x z of z x

(59)

2. reflexiviteit ∀x ∈ H, x x.

(60)

3. transitiviteit als x y en y z, dan x z

(61)

4. continu¨ıteit als x y z, en p ∈ [0, 1] dan px + (1 − p)z ' y

(62)

5. onafhankelijkheid als x, y, z ∈ [0, 1], x y als en slechts als px + (1 − p)y py + (1 − p)z

B

(63)

Bernoulli’s St. Petersburg Paradox

Naar het idee van Bernoulli (Caywood, 1954).

Stel dat men in een casino het volgend spel voorgeschoteld krijgt: men mag een eerlijk muntstuk opgooien, als zij “kop”geeft dan krijgt men 2 euro, als zij “munt”geeft dan is het geld voor het het huis. De verwachte pay-off is dus: E(ri ) = 2n−1 met n = aantal keren “kop”. De vraag die men u nu stelt is: Hoeveel bent u bereid om voor dit spel te betalen?

64

Men zou verwachten dat rationele individuen hun verwachte pay-off zullen berekenen en die prijs zou dan het maximum zijn van wat men ervoor zou willen betalen om deel te nemen aan dit spel. We krijgen dus:

1 2

∗ 21 +

1 4

∗ 22 +

1 8

∗ 23 + ... = ∞, maar er is niemand in de realiteit

die deze prijs voor dit spel over heeft. Waarom niet? Omdat we risico-avers zijn, we kunnen al direct heel onze investering in het spel verliezen door maar één keer de uitkomst “munt”te hebben. Bernoulli stelde daarom vast dat het nut marginaal dalend was en nam bijvoorbeeld U (euro) = log(2n ) en dus E(U ) =

1 n 2n log(2 ).

Het resultaat is een E(U ) = 0.602 hieruit volgt

een bedrag van iets minder dan 4 euro.

C

Nadelen van de normale verdeling

Dit deel komt integraal uit Qian, Hua & Sorensen (2007, p.24-26)

Een eerste nadeel van de normale verdeling is dat een belegger in de werkelijkheid slechts gehouden kan worden tot zijn eigen inbreng. Een belegger zal dus nooit meer kunnen verliezen dan hij in de belegging gestoken heeft. De normale verdeling stelt de kans dat dit gebeurt niet gelijk aan nul. De normale verdeling is op dit vlak niet realistisch. Het tweede probleem zit in de periodes. Als het rendement in de eerste periode normaal verdeeld is, hoeft dit niet zo te zijn over meerdere periodes. De oorzaak zit in het samengesteld rendement: r = (1+r1 )(1+r2 )−1 = r1 + r2 + r1 r2 . Het product van twee normaal verdeelde variabelen is niet normaal verdeeld en dus is het samengesteld rendement ook niet normaal verdeeld. Een derde eigenschap die voor problemen zorgt is dat de normale verdeling symmetrisch is, maar in de realiteit zijn rendementen alles behalve symmetrisch, ze vertonen scheefheid en hebben dikkere staarten (fat-tails). Een oplossing zou de lognormale verdeling kunnen zijn. Bij deze verdeling lost men het eerste en het tweede probleem op. Toch blijven we zitten met het laatste probleem: lineaire combinaties van de lognormale verdeling zijn niet lognormaal verdeeld. We kiezen dan ook om in dit werk voor de gemakkelijkheid de normale verdeling als uitgangspunt te nemen.

D

Assumpties CAPM

Aangezien CAPM een evenwichtsmodel is, is het onderheven aan verschillende simplificaties. We overlopen de voornaamste zoals beschreven door Sharpe (1964); Elton & Gruber (1984). 1. Er zijn geen transactiekosten.

65

2. Beleggingen zijn oneindig deelbaar. 3. Er is volledige afwezigheid van inkomensbelasting. 4. Er is volledige mededinging (een individu kan geen invloed uitoefenen op de prijs). 5. Beleggers baseren hun beslissingen op basis van de verwachte rendementen en varianties. 6. Een belegger kan oneindig shorten. 7. De risicovrije interestvoet is dezelfde interestvoet waartegen men kan lenen en ontlenen. Bovendien kan men oneindig ontlenen aan deze interestvoet. 8. Beleggers hebben homogene verwachtingen en definiëren dus hun portefeuille allemaal met dezelfde verwachte rendementen en varianties. 9. Alle beleggers hebben dezelfde beleggingshorizon. 10. Alle “beleggingen”zijn verhandelbaar, dus ook menselijk kapitaal etc. Het is duidelijk dat CAPM niet de realiteit vertegenwoordigd. Aan de andere kant blijft het de vraag in hoeverre de simplificaties CAPM beletten om een goede benadering te geven van de realiteit. Zie hiervoor tevens (Bodie, Kane & Marcus, 2009, p.293).

E

Effici¨ ente Markten Hypothese

E. Fama (1965) deed tijdens zijn doctoraat en daarna doorheen zijn carrière onderzoek naar efficiëntie van de financiële markten. Hij kwam tot dit onderwerp door zich af te vragen: hoe kunnen we toekomstige voorspellingen maken, gebaseerd op data uit het verleden? Uiteindelijk kwam hij tot de conclusie door de correlatie te onderzoeken van data uit het verleden t.o.v. toekomstige data

33 ,

dat de correlaties zo klein zijn, dat ze amper een invloed kunnen hebben.

Er blijkt dus geen informatie te komen vanuit data uit het verleden. Dit gaat tegen beleggers in die geloven in technische analyse. Fama meent dat markten een random walk vertonen, zie bijv. Cootner (1967). Dit wil zeggen dat opeenvolgende prijsveranderingen onafhankelijk zijn en willekeurig gelijk verdeelde variabelen zijn die geen geheugen bevatten om de toekomstige prestatie te voorspellen Fama (1965, p. 34). Fama beweert dus dat de eigenlijke waardes van 33

Hiervoor gebruikte hij het logmodel van de formule: Pt − Pt−1 = a + b(Pt−1−T − Pt−2−T ) + e Fama (1965);

Elton & Gruber (1984)

66

aandelen zeer dicht liggen bij hun intrinsieke waarde. Toch zou dit nog steeds de mogelijkheid geven om via marktbubbels aandelen van hun intrinsieke waarde af te leiden door mispricing. Fama geeft ook hierop antwoord. Hij beweert dat er dan altijd traders zullen zijn die beter weten en juist het tegenovergestelde doen om winst te maken ten koste van de traders die de bubbels doen ontstaan. Hij besluit dat de enige significante factor die bijdraagt aan prijsevolutie van een aandeel informatie is. Hieruit ontstond de Efficiënte Markt Hypothese (EMH). Die onderverdeeld werd in drie verschillende sterktes. 1. Zwakke vorm: Toekomstige prijzen kunnen niet worden voorspeld door prijzen of marktvolumes van het verleden (technische analyse is dus waardeloos, er is een mogelijkheid om met fundamentele analyse betere resultaten neer te zetten). 2. Semi-Sterke vorm: Prijzen passen zich zo snel aan via publieke informatie en op een onvertekende wijze zodat het niet mogelijk is om hier winst uit te slaan (zowel technische analyse als fundamentele analyse is nutteloos). 3. Sterke vorm: Prijzen bevatten alle informatie, zowel publiek als niet-publiek, niemand kan dus excess returns verdienen (insider trading is niet mogelijk).

F

Afleiding van de optimale portefeuille

Om de optimale portefeuille te bekomen doen we het volgende:

U (w) = w0 µ − 0.5 γ w0 Σw

(64) 0

(w µ) We nemen de afgeleide naar w en stellen gelijk aan 0. we krijgen dan ∂U∂w = µ0 voor de eerste

term en

∂U (w0 Σw) ∂w

= w0 (Σ + Σ0 ) voor de tweede term ∂U (w) = µ0 − 0.5 γ w0 (Σ + Σ0 ) = 0 ∂w

(65)

µ0 = 0.5 γ w0 (Σ + Σ0 )

(66)

Aangezien Σ symmetrisch is, geldt Σ = Σ0 . µ0 = w0 2Σ 0.5γ

w=

Σ−1 µ γ 67

(67)

(68)

G

GICS Global Industry Classification Standards∗

Sector (N=10)

Industry Group (N=24-1**=23)

Industry (N=68-11**=57)

Energy

Energy

Energy Equipment and Services Oil, Gas and Consumable Fuels

Materials

Materials

Chemicals Construction Materials Containers and Packaging Metals and Mining Paper and Forest Products

Industrials

Capital Goods

Aerospace and Defense Building Products Construction and Engineering Electrical Equipment Industrial Conglomerates Machinery Trading Companies and Distributors

Commercial and Professional Services

Commercial Services and Supplies (Professional Services)**

Transportation

Air Freight and Logistics Airlines Marine Road and Rail Transportation Infrastructure

68

Consumer Discretionary

Automobiles and Components

Auto Components Automobiles

Consumer Durables and Apparel

Household Durables Leisure Equipment and Products Textiles, Apparel and Luxury Goods

Consumer Services

Hotels, Restaurants and Leisure (Diversified Consumer Services)**

Media

Media

Retailing

Distributors Internet and Catalog Retail Multiline Retail Specialty Retail

Consumer Staples

Food and Staples Retailing

Food and Staples Retailing

Food, Beverage and Tobacco

Beverages Food Products Tobacco

Household and Personal Products

Household Products Personal Products

Health Care

Health Care Equipment and Services

Health Care Equipment and Supplies Health Care Providers and Services (Health Care Technology)**

Pharmaceuticals, Biotechnology

Biotechnology

and Life Sciences

Pharmaceuticals (Life Sciences Tools and Services)**

Financials

Banks

Commercial Banks (Thrifts and Mortgage Finance)**

Diversified Financials

Diversified Financial Services (Consumer Finance)** (Capital Markets)**

Insurance

Insurance

Real Estate

(Real Estate)** (REITs)** (Real Estate Mngmnt and Dev.)** 69

Information Technology

Software and Services

Internet Software and Services IT Services Software

Technology Hardware

Communications Equipment Computers and Peripherals Electronic Equipment, Inst. & Comp. Office Electronics Semiconductor Equipment and Prod.

Telecommunication Services

(Semiconductors and Equipment)**

Semiconductors and Equipment

Telecommunication Services

Diversified Telecommunication Svs Wireless Telecommunication Svs

Utilities

Utilities

Electric Utilities Gas Utilities Multi-Utilities Water Utilities **(Independent Power Producers & Energy Traders)

R * Er zijn ook nog 154 sub-industrieën beschikbaar in de GICS , maar aangezien we die niet gebruiken

in deze thesis, hebben we ze weggelaten. ** zijn niet opgenomen in onze portefeuille analyse omdat ze pas na 1995 zijn toegevoegd bron: MSCI (2005) & www.M SCI.com

70

H

Afleiding minimumvariantie-portefeuille

Qian et al. (2007, p.28-29) beschrijven het optimalisatieprobleem van de minimum variantie portefeuille als volgende: 1 min w0 Σw 2

met v.w.

w0 1N = 1

(69)

Via Lagrange kunnen we de minimum variantie portefeuille vinden 1 Q(w, λ) = w0 Σw − λ(w0 1N − 1) 2

(70)

We nemen de partieel afgeleide van de functie Q naar w en stellen deze gelijk aan 0 ∂Q(w, λ) = Σw − λ1N = 0 ∂w

(71)

w = λΣ−1 1N

(72)

Om λ te bepalen substitueren we (72) in (69) λ=

1 10N Σ−1 1N

wmin =

I

Σ−1 1N 0 1N Σ−1 1N

(73)

(74)

Afleiding nutsfunctie van wm

We beginnen met de nutsfunctie: U (w) = w0 µ −

γ 0 w Σw 2

(75)

we kunnen nu w vervangen door wm = Σ−1 µ/γ U (wm ) = (

Σ−1 µ 0 γ Σ−1 µ 0 Σ−1 µ )µ− ( ) Σ γ 2 γ γ

(76)

We kunnen de covariantie en inverse covariantie schrappen, alsook de gamma’s in noemer en de teller, we zetten tevens alles op gelijke noemer. Bovendien is de getransponeerde van een constante de constante zelf γ 0 = γ. U (wm ) =

2(Σ−1 µ)0 µ (Σ−1 µ)0 µ − 2γ 2γ

(77)

Nu rest ons nog twee trucjes toe te passen, nml (Σ−1 )0 = Σ−1 en de getransponeerde van (AB)0 = B 0 A0 . Uiteindelijk krijgen we dus: U (wm ) =

µ0 Σ−1 µ 2µ0 Σ−1 µ µ0 Σ−1 µ − = 2γ 2γ 2γ

71

(78)

Verklaring op woord van eer Ik verklaar dat ik deze aan de Faculteit TEW ingediende masterproef zelfstandig en zonder hulp van andere dan de vermelde bronnen heb gemaakt. Ik bevestig dat de direct en indirect overgenomen informatie, stellingen en figuren uit andere bronnen als zodanig aangegeven zijn in overeenstemming met de richtlijnen over plagiaat in de masterproefbrochure. Ik bevestig dat dit werk origineel is, aan geen andere onderwijsinstelling werd aangeboden en nog niet werd gepubliceerd. Ik ben mij bewust van de implicaties van fraude zoals beschreven in artikel 18 van het onderwijs-‐ en examenreglement van de Universiteit Antwerpen. (ww.ua.ac.be/oer) Datum 22/05/2012 Naam Rick van Esch Handtekening

Internationale portefeuilles: Markowitz of naïeve diversificatie?

Recommend Documents