´ A Markowitz modell: kvadratikus programozas ´ o´ Losonczi Laszl ¨ ´ es ´ Gazdasagtudom ´ ´ Debreceni Egyetem, Kozgazdas aganyi Kar
´ II. fel ´ ev ´ Debrecen, 2011/12 tanev,
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
1 / 16
Portfolio´
¨ ´ Nobel d´ıjat a portfolio´ Harry Markowitz 1990-ben kapott Kozgazdas agi ´ asi ´ modellje´ ert. ´ Ennek a legegyszerubb ´ ´ optimalizal at ˝ valtozat ismertetjuk ¨ (irodalom: Robert J. Vanderbei, Linear Programing, Foundations and Extensions). ´ befektetes, ´ jelolje ¨ Ri (i = 1, . . . , n) a i-edik Adott n db. potencialis ´ ert ´ ek ´ et ´ (toke+ ˝ ¨ ˝ ´ befektetes kamat) a kovetkez o˝ idoperi odusban. Ekkor ´ ınus ´ valtoz ´ ´ ´ Ri -t valosz´ onak tekinthetjuk, bizonyos ˝ egi ¨ jollehet, ´ ´ ez determinisztikus is lehet. befektetesek eseten
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
2 / 16
´ ¨ ´ et ´ ertj ´ uk, Portfolio´ alatt nemnegat´ıv xi (i = 1, . . . , n) szamok osszess eg ¨ ¨ ´ ´ melyek osszege eppen 1. Most xi azt mutatja meg, hogy egysegnyi ˝ enek ´ ´ e´ ert ´ vas ´ aroltunk ´ ´ ol. ˝ ´Igy tok mely resz az i-edik befektetesb ´ ´ ´ ˝ ert ´ eke ´ ¨ portfolionk (egysegnyi befektetesre eso) a kovetkez o˝ ˝ ´ idoperi odusban n X R= xi Ri . i=1
´ ´ eke: ´ A portfolio´ varhat o´ ert ER =
n X
xi E Ri .
i=1
´ ˝ enket ´ Ha ezt akarjuk maximalizalni, akkor a helyzet egyszeru, ˝ teljes tok ´ ´ ek ´ u˝ befektetesbe ´ a legnagyobb varhat o´ ert fektetjuk. ¨ De sajnos, a ´ u˝ befektetesek ´ ´ uak magas nyereseg egyuttal magas kockazat ´ ´ is. Azaz ´ ´ teljes´ıtenek, de rovid ¨ ´ hosszu´ tavon jol tavon nagyon nagy az ´ ingadozasuk. ´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
3 / 16
´ definialta: ´ ´ ´ annak varianciajak ´ ent Markowitz egy portfolio´ kockazat at var R = E(R −
E R)2
n P
=E
2 xi (Ri − E Ri )
i=1
=E
n P
2 ei xi R
i=1
ahol ei = Ri − E Ri . R ´ ´ eket ´ ´ a kockazatot ´ ´ kellene. Ez A varhat o´ ert maximalizalni minimalizalni ´ ˝ ´ ´ ket ellenkezo iranyu´ cel, melyet egyszerre nem teljes´ıthetunk. A ¨ ¨ ´ ´ eket ´ Markowitz modellben arra toreksz unk, hogy a varhat o´ ert ugy ´ ¨ ´ ¨ ´ maximalizaljuk, hogy kozben a kockazat ne legyen tul ´ nagy.
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
4 / 16
´ ´ ´ Markowitz egy µ pozit´ıv parametert vezetett be (kockazat elkerul ¨ esi ´ a kovetkez ¨ ´ asi ´ problem ´ at ´ veti fel: ´ parameter), es o˝ optimalizal ´ maximalizalja
n P
xi E Ri − µ E
n P
2 ei xi R
i=1
i=1
´ felteve, hogy
n P
(1)
xi = 1
i=1
xi ≥ 0
(i = 1, . . . , n).
´ ´ parameter ´ ´ ´ at ´ jelzi a A µ kockazat elkerul a kockazat fontossag ¨ esi ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ varhato ertekkel szemben, ha erteke nagy, akkor a kockazatot ¨ ´ ´ ek ´ elleneben, ´ ´ ek ´ en ´ el ´ magas csokkentj uk, o´ ert m´ıg kis ert ¨ a varhat ´ ´ ´ ´ ek ´ erdek ´ ´ ´ aul, ´ ha kockazatot vallalunk a magas varhat o´ ert eben. Ped ´ ´ eket ´ ´ ´ a kockazatot ´ µ = 0 akkor a varhat o´ ert maximalizaljuk, es figyelmen k´ıvul ¨ hagyjuk. ´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
5 / 16
´ asi ´ optimum problem ´ aval ´ ´ ek ´ u˝ az alabbi ´ Az (1) maximalizal egyenert ´ asi ´ optimum problema: ´ minimalizal ´ minimalizalja
−
n P
xi E R i + µ E
i=1
´ felteve, hogy
n P
n P
2 ei xi R
i=1
(2)
xi = 1
i=1
xi ≥ 0
(i = 1, . . . , n).
´ uggv ´ alakjab ´ ol ´ kiolvashato, ´ hogy annak kvadratikus resze ´ A celf eny ¨ ´ pozit´ıv szemidefin´ıt. (2) egy kvadratikus programozasi ´ minimumproblema.
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
6 / 16
´ tovabb ´ alak´ıtva kapjuk, hogy A varianciat ! n n 2 n P e P e P e xj Rj = E xi Ri =E xi R i E
=
n n P P
! ei R ej xi xj R
i=1 j=1
j=1
i=1
i=1
n n P P
n n ei R ej ) = P P xi xj Cij xi xj E(R i=1 j=1
i=1 j=1
ahol ei R ej ) Cij = E(R ´ ¨ est, ´ optimalizal ´ asi ´ a kovariancia matrix. Bevezetve a ri = E Ri jelol ´ ank ´ at´ ´ ırhato´ a kovetkez ¨ problem o˝ alakba: n n P n P P ´ minimalizalja − ri xi + µ xi xj Cij i=1
´ felteve, hogy
n P
i=1 j=1
(3)
xi = 1
i=1
xi ≥ 0 ´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
(i = 1, . . . , n) ´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
7 / 16
´ ´ hogy a megoldashoz ´ ´ unk ´ Lathat o, szuks ¨ eg ¨ van minden befektetes ´ enek ´ ´ a kovariancia matrixnak ´ ´ ere. ´ nyereseg es a becsles Ezeket ´ becsulhet ˝ azonban nem ismerjuk, adatok alapjan ok. ¨ viszont a multbeli ´ ¨ ´ azatunk ´ ¨ oz ¨ o˝ lehetseges ´ ´ Tabl nyolc kul befektetesre: ¨ onb 1 ´ ´ 3 honapos US kincstarjegy, 2
´ u´ kotv ¨ eny, ´ US hosszu´ lejarat
3
S& P 500,
4
´ ´ ´ ¨ ´ Wilshire 500 (kis cegek reszv enyeinek osszess ege),
5
NASDAQ Composite,
6
Lehman Brothers Corporate Bonds Index, ´ ´ ´ ´ EAFE (index Europa, Azsia, Tavolkelet befekteteseire),
7 8
arany
´ ´ ´ ert ´ ekeket ´ ˝ nezve mutatja az evenk enti az 1973-1994 idoszakra 1$ ´ ¨ ´ ´ 1-en ´ 3 honapos ´ befektetett osszegre nezve. Igy pl. 1$ 1973. januar US ´ ´ december 31-en ´ 1, 075$-re nott. ˝ kincstarjegybe fektetve, ugyanezen ev ´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
8 / 16
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
9 / 16
´ ert ´ eke ´ az 1972 + t Legyen Ri (t) (i = 1, . . . , n) a i-edik befektetes ´ ´ ennek E Ri varhat ´ ´ ek ´ ere, ´ evben. Egy egyszeru˝ becsles o´ ert a multbeli ´ ´ ekek ´ ´ ´ ¨ ert atlaga (szamtani kozepe): T 1X Ri (t). T
ri = E Ri =
t=1
´ ´ hatr ´ anya ´ Ennek az egyszeru˝ kepletnek ket van. ¨ ent, ´ ´ kevesbb ´ Az elso˝ az, hogy ami 1973-ban tort az bizonyara e´ van ´Igy, ha ugyanolyan ´ ¨ ore, ˝ ¨ ent. ´ hatassal a jov mint az, ami 1994-ben tort ´ ´ sullyal vesszuk eveket, akkor a regi ´ ¨ figyelembe a multbeli ´ ´ ˝ eget ´ ¨ esemenyeknek tul tulajdon´ıtunk, a kozelm ultbeli ´ nagy jelentos ´ ´ ´ ara. ´ ´ kaphatunk, ha a esemenyek rovas Egy jobb becslest T P
E Ri =
pT −t Ri (t)
t=1 T P
pT −t
t=1
´ osszeget ¨ ´ ´ asi ´ faktor. diszkontalt szamoljuk, ahol p a diszkontal ´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
10 / 16
´ eket ´ ´ a sulyozott ´ ¨ A p = 0, 9 ert veve atlag nagyobb sulyt ult ´ ´ ad a kozelm ´ ´ ´ aul ´ arany eseten ´ az atlagos ´ ´ ek ´ 1,129, m´ıg a sulyozott eveinek. Peld ert ´ ¨ szakert ´ o˝ 1995-ben ugy 1,053. Legtobb ´ gondolta, hogy az 5, 3%-os ¨ ´ realisabb, ´ ´ ´ ıtasokban ´ noveked es mint a 12, 9%. Az alabbi szam´ a ´ ´ becslesek p = 0, 9 sullyal ´ lettek kiszamolva. ´ ´ ıtasi ´ modja. ´ ´ ´ ´ A masodik problema az atlag kiszam´ Egy befektetesnek ´ eke ´ az elso˝ evben ´ ´ ´ ´ eke ´ melynek ert 1,1, a masodikban 0,9 az atlag ert ¨ ´ se veszteseg. ´ Azonban 1$ ´ıgy 1,0, vagyis nincs se noveked es, ´ ´ veg ´ en ´ 1, 1 · 0, 9 = 0, 99$ lesz, vagyis 1%-kal befektetve a masodik ev ´ ´ es, ´ de ha pl. az ert ´ ek ´ az elso˝ kisebb mint az atlag. Ez nem nagy elter ´ ´ ´ ´ eke ´ 1,25, viszont az ert ´ ek ´ a evben 2, a masodikban 0,5 az atlag ert ´ ´ veg ´ en ´ 2 · 0, 5 = 1$ lesz ami mar ´ 25%-kal kisebb mint az masodik ev ´ ˝ az elter ´ es. ´ Ez mar ´ egy olyan hatas ´ amit korrigalni ´ atlag, azaz jelentos kell.
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
11 / 16
¨ a sulyozott ¨ eppel ´ ´ ´ Ennek eszkoze geometriai koz kepezett atlag: ´ T P 1 T −t !P p ln Ri (t) T T T −t Y p T −t = Ri (t)(p ) t=1 E Ri = exp t=1 T P t=1 pT −t t=1
´ pl. aranyra 2, 9%-ot ad ami sokkal jobban osszhangban ¨ Ez a becsles ´ ok ˝ velem ´ ´ evel ´ ´ van a szakert eny (legalabbis 1995-ben). ´ ´ Hasonloan lehet a kovariancia matrix Cij elemeit is becsulni ¨ a multbeli ´ ´ peld ´ aul ´ azok szamtani ´ ¨ ´ adatok alapjan, kozep evel: Cij =
T T 1 XX (Ri (t) − ri )(Rj (s) − rj ) T2
(i, j = 1, . . . , n).
t=1 s=1
´ ekeket ´ Az ri , Cij ert ismerve, adott µ mellett a (3) kvadratikus ´ feladat megoldhato. ´ programozasi
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
12 / 16
¨ ´ azat ´ ´ ´ A kovetkez o˝ tabl az optimalis portfoliokat adja meg a µ ´ ¨ ert ´ ek ´ en ´ el ´ (az 1995 evre ´ ´ parameter tobb vonatkozoan).
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
13 / 16
´ ´ hogy µ = 0-nal ´ a portfolionk ´ egyetlen befektetest ´ tartalmaz Lathat o, ´ ´ eke ´ a multbeli EAFE-t, mert ennek a legmagasabb a varhat o´ ert adatok ´ ´ Nagyon magas, pl. µ = 1024 eseten, ´ portfolionk ´ 93, 3%-ban alapjan. ´ u´ US allamk ´ ¨ enyt ´ ´ csak 2, 2%nyi EAFE-t, hosszu´ lejarat otv tartalmaz, es ˝ onek ˝ ´ ´ (a multbeli mert az eloz kicsi, utobbinak nagy a varianciaja ´ ´ becsulve). adatokbol ¨ ´ ek ´ et ´ folytonosan valtoztatva, ´ ´ portfolio´ varhat ´ A µ ert az optimalis o´ ´ ek ´ et ´ (koz ¨ ep ´ ert ´ ek) ´ es ´ varianciaj ´ at ´ abr ´ azolva ´ ¨ et ´ kapunk, ert egy gorb ´ ´ melyet esetunkben az alabbi abra mutat: ¨
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
14 / 16
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
15 / 16
´ portfolio´ varhat ´ ´ ekei, ´ Itt a v´ızszintes tengelyen az optimalis o´ ert a ˝ ´ (100-zal szorozva) vannak fugg tengelyen a varianciak ¨ oleges ´ ekek ´ ´ be vannak ´ırva. feltuntetve, a µ ert a megfelelo˝ pontoknal ¨ ¨ ´ Ugyancsak be vannak jelolve az egyes befektetesek adatai. A kapott ¨ et ´ efficient frontier -nek nevezzuk ´ ´ gorb agi ¨ (magyarul kb. hatekonys ´ orbe). ¨ ¨ ¨ ´ hatarg E gorbe felett (vagy rajta) van az osszes (az optimalis ´ ´ an ´ al) ´ figyelembevett befektetes. ´ Minden olyan portfolio´ meghataroz as ´ melynek varhat ´ ´ eke ´ es ´ varianciaja ´ nem erre a gorb ¨ ere ´ portfolio, o´ ert ´ ´ıgy csak olyan portfolioba ´ esik (felette van) jav´ıthato, szabad ´ ´ hatarg ´ orb ¨ en ´ van. befektetni, mely a hatekonys agi
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
A Markowitz modell
´ II. fel ´ ev ´ 2011/12 tanev,
16 / 16
