M´ atrixok hasonl´ os´ aga, karakterisztikus m´ atrix, karakterisztikus egyenlet Ortogon´ alis m´ atrixok. Kvadratikus alakok f˝ otengelytranszform´ aci´ o ja 1.M´ atrixok hasonl´ os´ aga, karakterisztikus m´ atrix, karakterisztikus egyenlet 1.1 Defin´ıci´ o. Ha az A ´es B n × n-es m´atrixok olyanok, hogy l´etezik olyan X nem elfajul´ o m´atrix, hogy A = X −1 BX, akkor azt mondjuk, hogy A ´es B hasonl´ok. Meg´ allap´ıthat´o, hogy a hasonl´os´ag szimmetrikus rel´ aci´ o, ugyanis, ha A = X −1 BX ´erv´enyes, akkor (X −1 )−1 AX −1 = B is teljes¨ ul. 1.2. Defin´ıci´ o. Legyen A a T test feletti n´egyzetes m´atrix. A |A − λE| (λ hat´arozatlan´ u) polinomot az A m´ atrix karakterisztikus polinomj´ anak, az |A − λE| = 0 egyenletet az A m´ atrix karakterisztikus egyenlet´enek, az egyenlet gy¨ okeit karakterisztikus gy¨ okeinek nevezz¨ uk. 1.3. T´ etel. Hasonl´ o m´ atrixok karakterisztikus polinomja ugyanaz. 1
Bizony´ıt´ as. Legyenek A ´es B hasonl´o m´atrixok, akkor a m´atrixok hasonl´os´ag´ anak defin´ıci´o ja szerint l´etezik olyan X nemelfajul´ o m´atrix, hogy A = X −1 BX. Tekints¨ uk A karakterisztikus polinomj´at. |A − λE| = |X −1 BX − λE| = |X −1 BX − λX −1 X| = = |X −1 (B − λE)X| = |X −1 ||B − λE||X| = = |X −1 ||X||B − λE| = |X −1 X||B − λE| = = |E||B − λE| = |B − λE|
Ebben a gondolatmenetben a m´atrixm˝ uveletek azonoss´ agai (X −1 -et kiemelt¨ uk balr´ ol, X-et jobbr´ol) ´es a determin´ ansok szorz´ast´etele (k´etszer is) alkalmaz´ asra ker¨ ult.
2. Ortogon´ alis m´ atrixok. Kvadratikus alakok f˝ otengelytranszform´ aci´ o ja 2.1. Defin´ıci´ o. Ha egy val´os n × n-es m´atrix b´ armely k´et k¨ ul¨onb¨ oz˝o sor´ anak a bels˝o szorzata 0, ´es b´ armely sor elemeinek n´egyzet¨osszege 1, akkor a m´atrixot ortogon´alisnak nevezz¨ uk. M´as form´aban 2
kimondva a defin´ıci´ot: (3) .. .. . . ri1 ri2 . . . rin .. .. ha R = . . rj1 rj2 . . . rjn .. .. . .
´es
n X t=1
rit rjt =
0 1
akkor R ortogon´alis. 2.2. T´ etel. Az R n × n-es val´ os m´ atrix akkor ´es csakis akkor ortogon´ alis, ha (a) RRT = E (b) R−1 = RT (c) RT R = E (d) Az R m´ atrix k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o oszlopainak bels˝ o szorzata 0, ´es b´ armely oszlop elemeinek n´egyzet¨ osszege 1. Bizony´ıt´ as. (a) ugyanazt mondja ki, mint (3). Az (a) felt´etel u ´gy is fogalmazhat´o, hogy RT jobbinverze az R-nek, ´es a m´atrixok inverz´enek t´ argyal´asakor l´attuk, hogy ez elegend˝ o ahhoz, hogy inverz legyen – ezt fejezi ki (b) ´es ´ıgy balinverz legyen – ezt fejezi ki (c). A (d) ´all´ıt´as ugyanaz mint (c) szavakkal kifejezve. 3
ha i 6= j ha i = j
2.3. T´ etel. Ortogon´ alis m´ atrixok szorzata, ´es ortogon´ alis m´ atrix inverze is ortogon´ alis. Bizony´ıt´ as. (a) Legyenek Q ´es R n × n-es val´os ortogon´alis m´atrixok. Bizony´ıtjuk, hogy QR ortogon´alis. A bizony´ıt´as az 2.2. T´etel (b) pontj´anak felhaszn´ al´as´aval t¨ ort´enik. (QR)T = RT QT = R−1 Q−1 = (QR)−1 Ennek a r¨ ovid gondolatmenetnek a l´enyege: Q ´es R ortogon´alisak, ez´ert RT = Q−1 , QT = Q−1 , ´es ´altal´ aban is igaz, hogy szorzat transzpon´ altja egyenl˝ o a transzpon´ altak ford´ıtott sorrendben val´o szorzat´aval, hasonl´o ´erv´enyes a szorzat inverz´ere is. (b) Q ortogon´alis m´atrix inverze is ortogon´alis: (Q−1 )T = (QT )T = Q = (Q−1 )−1
2.4. T´ etel. Ortogon´ alis m´ atrix determin´ ansa +1, vagy −1. Bizony´ıt´ as. Legyen R ortogon´alis m´atrix, akkor teljes´ıti az 1.8. T´etel (a) pontj´at. Vegy¨ uk az RRT = 4
E egyenl˝ os´eg mind a k´et oldal´anak detrmin´ans´at |RRT | = |E| = 1, ´es alkalmazzuk a determin´ ansok szorz´ast´etel´et |R||RT | = 1. A determin´ ans egyenl˝ oa transzpon´ altj´aval, ez´ert |R|2 = 1 is teljes¨ ul ´es innen |R| = ±1 k¨ ovetkezik. 2.5. P´ elda. Egy´altal´an nem k¨ onny˝ u ortogon´alis m´atrixokat tal´ alni, hiszen kem´eny felt´eteleknek kell, hogy eleget tegyenek. P´eldak´ent itt l´athat´ o k´et ortogon´ alis m´atrix.
1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 B= 2 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1
1 2 −2 1 A= 2 1 2 3 −2 2 1
Most k´et igen fontos t´etel k¨ ovetkezik bizony´ıt´as n´elk¨ ul. A k¨ ovetkez˝o t´etel sz¨oveg´eben szerepel a diagon´ alis m´atrix kifejez´es. Ez olyan m´atrixot jelent, amelynek f˝oa´tl´ o j´an k´ıv¨ ul minden eleme 0. 2.6. T´ etel. Minden A val´ os szimmetrikus m´ atrixhoz tal´ alhat´ o olyan Q ortogon´ alis m´ atrix, hogy Q−1 AQ = QT AQ diagon´ alis m´ atrix. 5
Gondoljunk arra, hogy ha az xT Ax kvadratikus alakon az x = Qy ortogon´ alis helyettes´ıt´est hajtjuk v´egre (ortogon´ alisnak az´ert nevezz¨ uk a helyettes´ıt´est, mert a m´atrixa: Q ortogon´alis), akkor a kvadratikus alak m´atrixa QT AQ lesz, ami az el˝oz˝o t´etel szerint Q alkalmas v´ alaszt´ asa eset´en diagon´alis m´atrix lesz. Ez azt jelenti, hogy kvadratikus alak kanonikus alakra hozhat´o olym´odon is, hogy csak a rendk´ıv¨ ul szigor´ u k¨ ovetelm´enyeket teljes´ıt˝o ortogon´ alis helyettes´ıt´eseket engedj¨ uk meg. 2.7. T´ etel. A kvadratikus alakok f˝ otengelytranszform´ aci´ o ja. B´ armely val´ os kvadratikus alak alkalmas ortogon´ alis helyettes´ıt´essel kanonikus alakra hozhat´ o. A kanonikus alakban a n´egyzetes tagok egy¨ utthat´ oi a kvadratikus alak m´ atrix´ anak karakterisztikus gy¨ okei lesznek, mindegyik annyiszor, amennyi a multiplicit´ asa. 2.8. P´ elda. Ortogon´ alis helyettes´ıt´essel hozzuk kanonikus alakra a k¨ ovetkez˝o kvadratikus alakot: (4) 2x21 + x22 − 4x1 x2 − 4x2 x3 ´Irjuk fel a m´atrix´at, 2 −2 0 −2 1 −2 0 −2 0 6
majd a m´atrix karakterisztikus egyenlet´et: 2 − λ −2 0 −2 1 − λ −2 = −λ(2 − λ)(1 − λ) − 4(2 − λ) + 4λ = 0 −2 −λ = −λ3 + 3λ2 − 2λ − 8 + 4λ + 4λ =
= −λ3 + 3λ2 + 6λ − 8 = 0 λ3 − 3λ2 − 6λ + 8 = 0. Racion´alis gy¨ ok¨ oket keresve, k¨ ozvetlen behelyettes´ıt´essel kapjuk a gy¨ ok¨ oket: λ1 = 1,
λ2 = −2 λ3 = 4.
A kvadratikus alak m´atrixa ortogon´alis helyettes´ıt´essel diagon´alis alakra hozva: 1 0 0 A′ = 0 −2 0 , 0 0 4 ahol a f˝oa´tl´ oban l´ev˝o elemeket tetsz˝ oleges sorrendben ´ırhatjuk (term´eszetesen ha f˝oa´tl´ oban l´ev˝o elemek sorrendj´et megv´ altoztatjuk, akkor egy m´asik ortogon´alis helyettes´ıt´est kell a kvadratikus alakon v´egrehajtani). 7
A kvadratikus alak kanonikus alakja: (5)
y12 − 2y22 + 4y32 .
Innen term´eszetesen szint´en leolvashat´o, hogy milyen t´ıpus´ u a kvadratikus alak. A jelen p´elda kvadratikus alakja indefinit, a m´atrix´anak rangja 3, a pozit´ıv tehetetlens´egi indexe 2, a negat´ıv tehetetlens´egi indexe 1, szignat´ ur´a ja 1. (5) a (4) kvadratikus alaknak “f˝otengelyre transzform´alt” alakja. Megjegyezz¨ uk, hogy van elj´ar´as a kvadratikus alakokat “f˝otengelyre transzform´al´o” ortogon´alis helyettes´ıt´es megkeres´es´ere (p´eld´ aul azon Q ortogon´alis m´atrix megkeres´es´ere is, amellyel a fenti p´eld´ aban A′ = QT AQ). Az elj´ar´as ismertet´es´ere nem t´er¨ unk ki. 2.9. Megjegyz´ es. A kvadratikus alakok f˝otengelytranszform´ aci´ o ja annak a geometriai elj´ar´asnak az analogonja, amellyel a s´ıkon l´ev˝o m´asodfok´ u g¨ orb´et, vagy egy t´erbeli m´asodfok´ u fel¨ uletet k¨ oz´epponti helyzetbe hozzuk, amellyel t´ıpusa ´es jellemz˝oi megismerhet˝ov´e v´ alnak.
8
