Miskolc,
NME Közleményei,
III.
Sorozat,
Gépészet,
27.
99-107.
(I 981) kötet,
REZGÉSI SAJÁTFREKVENCIÁINAK NÉLKÜL
SZERKEZETEK
SZÁMÍTÁSA
A F REKVENCIA-EGYENLET
BOSZNAY
ÁDÁM
l. Bevezetés A szerkezetek
leket
mechanikai
alkalmaznak.
A következőkben
számítása
során újabban egyre inkább kontinuum-modelolyan feladatokat tekintünk, amelyekben sajátfrekven-
ciák definiálhatók. E dolgozat az ún. frekvencia-egyenletet nem igénylő saját-frekvencia számítás néhány tér ki, amelyek előírt számú azokra a módszerekre újabb irányvonalát mutatja be. Elsősorban nemcsak egy-két sajátfrekvencia számítását teszik lehetővé, s amelyek az eljárás hibájára is adnak lehetőleg gyakorlatias felvilágosítást. Nem foglalkozik a dolgozat a számítás kivitelezése során előadódó numerikus természetű problémákkal s azok megoldásával. -
-
2. A
frekvencia-egyenlet
Egyszerűbb alakú és vagy egyszerűbb peremfeltételeknek alávetett kontinuumok, vagy zárt alakú rendszerek esetén lehetséges a sajátfrekvenciákat definiáló ilyenekből összeállított egyenlet előállítása. az rendelkezésünkre
Ez
a
rendszerint
transzcendens
egyenlet
az
ún.
frekvencia-egyenlet.
Ha
áll, szóba kerülhet az egyenlet gyökeinek numerikus úton, pl. léptetési való technikával,Newton-módszerrel, vagy ezek finomított vagy kombinált alkalmazásával meghatározása.
m
DR. BOSZNAY ÁDÁM egyetemi tanár taanfékvezető muslakl tudományok doktora
BMEVillamoskari
chanikai Tanszék
Műszaki
99
A sajátfrekvencia-számításnak mint azt eljárással dolgozatunk
az
-
azonban
módszerek
áttekintendő
ezt
a
az
1.
ezekre
eljárásnak. Ezzel foglalkozik. Az itt
módját nevezhetjük klasszikus pontban -
említettük
nem
eljárással kezelhető
klasszikus
a
-
-
esetekre
is
alkalmazhatók. 3. A
Poincaré-Rayleigh-Ritz-módszer
Tegyük fel, hogy lasztásával
az
az
a
alábbi, csak
a
körfrekvenciájú, térbeli
Au-a2Bu=0,
változónak
szinuszosan
vett
időfaktor
levá-
függő sajátérték-feladatra jutunk:
változóktól
Ku=0
(l)
.
együtthatós lineáris differenciáloperátorok; A a szerkezet rugalmas visszatérítő felel meg; K valós lineáris operáció: a sajátságainak, B a tehetetlenségi (tömeg-) hatásoknak a ill. szerkezetet ha több részből összekapcsoltnak tekintjük, akhomogén peremfeltételeket, feltételeket kor még az ugyancsak homogén illesztési fejezi ki. a gyakorlati esetekben A (1) differenciálegyenlet rendszáma páros; 2r-el fouk jelölnj_ ún. lényegesekre (amelyek és illesztési fel lehet bontani A peremfeltételeket egyes esetekben l-edrendű deriváltakat tartalmaznak) és dinamikaiakra (amelyek az r-edik és legfeljebb r tartalmazzák). magasabbrendű deriváltakat
A és B valós
-
o? sajátértékhez tartozó
amplitúdó mező függvény; ha operátorok, K pedig mátrixos úgy kívánja, oszlopvektor; A és B Feltesszük, operáció. hogy Önadjungált differenciáloperátorok, továbbá, hogy a Ku 0 feltételnek eleget tevő, elegendő sokszor differenciálható, s nem zérus u-kra u
a
keresett
feladat
u
ez
valós
esetbenA
elmozdulási
=
(Au, u) A
)
gömbölyű zárójel (u, v)
=
0
(Bu, u)
,
itt skaláris
szorzást
jelent
)
(2)
0.
az
fu*vd1'
.
(3)
T
formula
szerint, ahol T
a
szerkezet
által
elfoglalt
térbeli
tartomány,
s a
*
transzponálást
jelent. Az
tevésnek rehozó
táplálás
annak a felértelmezésben operátorok önadjungáltságának feltevése mechanikai léta szerkezet a részei és és feltételeket illesztési is, egyes peremhogy is olyanok, hogy egy periódusidő alatt sem energia-elnyelés, sem be-
felel meg, szerkezetek nem
történik
a
szerkezetbe.
biztosítják, hogy az (1) feladatnak végtelen sok, egyenkint véges sokszorosságú pozitív sajátértéke van. Ezeket mindegyiket armyiszor felírva, ahányszoros az alábbi egyenlőtlenség-láncba rendezhetjük: A tett
feltevések
-
-
aííaáínoig...
100
a
és B mátrix
(4)
=
sajátértékekhez
Az egyes
tartozó
sajátfüggvényeket
0
és
u1-,
u,
.
,
.
.
,
uv-vel jelölve érvényes,
hogy
(Aui
uj)=
,
(Buj
uj)
,
=
ha
0,
í=#j
,
áltasajátfüggvények mind az A, mind a B operátor közvetítésével alkotnak. a rendszert Továbbá teljes sajátfüggvények ortogonálisok. lánosított klasszikus változatához Az e pont Címében írt módszer úgy juthatunk el, hOSYm lineárisan a peremfeltételeknek eleget tevő differenciálható, 2r-szer független számú, a E választunk. következő valós meg: függvényekkel egyenlet alkotható függvényt vm VI, indexű
különböző
a
azaz
értelemben
_
,
.
,
vj) a?"(Bvi vp] det[(Av,-, ,
Ennek az egyenletnek kének felső korlátjai:
az
afm f ,
=
1, 2,
.
.
.
,
aiéafzvmv, növelésével
m
a
korlátok
(S)
.
gyökei
m
az
feladat
eredeti
első
m
sajátérté(6)
v=l,2,...,m. rosszabbodhatnak:
nem
aÍHmHLUSaÉmV
v=l,2,...,m
,
(7)
.
ad az első m sajátfrekvenciára. javítható felső korlátokat az van 0 Au olyan, hogy (Ku O-nak is eleget tevő) egyenletnek az e és a akkor vektorokra zérus eredeti feladatnak 0, (Au, u) sajátérmegoldása,
Ez
a
finitízálásfajta
Ha
a
szerkezet
59 0
u
0
=
-
tehát
=
=
=
téke. ha
Feltéve, hogy és
a
peremtesznek lehetővé
a
u
mechanikai
csatlakozási
értelmezése
feltételek
merev
elmozdulás testszerű
(amplitúdó),
ez
az
eset
fordul
elő,
jellegű mozgást vagy mechanizmus nem ébrednek.Ennek folytán a zérus
erők úgy, hogy rugalmas visszatérítő az esetben ebben csak sajátérték sokszorossága véges lehet. Ha létezik zérus sajátérték, akkor az (5) egyenlet legkisebb gyöke
a
zérusnak
lesz felá
korlátja. Jelöljük a zérus sajátértékhez tartozó lineárisan független sajátfüggvényeket uo 1 uo, -, feladat legkisebb uo n-el. Azt kívánva, hogy az (S) legkisebb gyöke az eredeti nem zérus sajátértékének legyen felső korlátja, akkor a v! v," függvények ki kell, hogy elégítsék az -.
.
.
.
,
,
(Auoi, vi)=0,
i=l,2,...,n;
vj-knekáltalánosított lígyzleteket, azaz
or-
értelemben
A SéEre van
Végeselem
Végeselem
.
.
,
j=l,2,...,m
ortogonálisaknak
e.
4- A
.
kell lenniük
az
módmer
módszer
alkalmazása
során
-
mint
Oliveira
kiemeli
-
három
fő tevékeny-
Szükség: 101
által elfoglalt tartomány résztartományokra a) a szerkezet mechanikai a megengedett b) az egyes résztartományokon sokaságának definiálására; csatlakozásánál az egyes mechanikai c) a résztartományok
való mezők
felosztására: véges dime
mezőkre
lakozási
vonatkozó
Csat.
(illesztési) feltétel előírására. Aszerint, hogy milyen előírást teszünk a b) és c) pontokban mondottakra, a véges el em módszer különböző módosulatait kapjuk. Figyelmünket a lehetséges módosulatok közül kettőre koncentráljuk, mert ezeknél az eredeti kontinuus modell sajátfrekvencián-a min A korlátot számontartott módosulat a többi, eddig egyoldali (felső) kapunk. hybrid elemek néven ismertek nem vegyes elemek, gyűjtőnéven a nemkonform nyújt biztosít; kot a sajátfrekvenciák egy oldalról való megközelítésére. az ún. elmozdulási Az egyik ilyen módosulat (ez volt történetileg az első) az egyes illesztési s feltételekül az elmozdulásmezőket belül definiál, résztartományokon elmozdulá. sok folytonosságát (kompatibilitását) írja elő. esik a Fraeijs de Veubeke által ki. körébe A másik módosulat, amely áttekintésünk belül feszültségmezöket Ez az egyes résztartományokon dolgozott ún. egyensúlyi módosulat. definiál, s az illesztéseknél egyensúlyi feltételek kielégítését írja elő. .
-
-
-
m?
-
e módszernél is (5) sajátfrekvenciák approximációja az elmozdulási módosulatnál a vezet. Az eltérés klasszikus Poíncaré-Rayleigh-Ritz-féle típusú determinánsegyenletre áll. Az eltérések közül itt csak finitizáláshoz képest a v,- függvények másféle felvételében s ezt a feladat variációs arra mutatunk rá, hogy megfogalmazásának vizsgálatával lehet r-szeres a csak differenciálhatóságot megkívánni, s a pemegindokolni vi-ktől elegendő remfeltételek közül elegendő csak az ún. lényegesek kielégítése. Ez a nagyon lényeges lehetőség a nem véges elem eljárásértelmezésű Paincaré-Rayleigh-Rítz-módszernél is kiaknáz-
A
-
-
ható.
számolva (6) egyenlőtlenség ebben az esetben is fennáll; az elmozdulási módosulattal a közelítjük meg sajátfrekvenciákat. a közelítő Az egyensúlyi módosulattal sajátfrekvendolgozva ugyanannál a szerkezetnél ciákat az (5)-höz hasonlatos determináns-egyenlet szolgáltatja ugyan, most azonban mások lesznek a szereplő operátorok, mások a peremfeltételek, és más a jelentése az m számú lineáfizikai jelentése risan független, a v,- függvények helyébe lépő függvényeknek. Ez utóbbiak mivel az egyensúlyi módosulat feszültségmezőkkel dolgozik valójában feszültség, azonban írna a vele egyértelmű kapcsolatba hozható látszott célszerűbbnek feszültség tenzor-mezőt de tenzorrnezővel Huck Veubeke, Geradín, [9]). kifejezni (Fkaeijs pulzussűrűség E módosulattal dolgozva is előadódhat, hogy a zérus is a sajátfrekvenciák közé tarwlíkEbben az esetben más ennek a körülménynek a fizikai jelentése, mint az elmozdulási módosuzérus feszültségmelév lattal való dolgozáskor. Azt jelenti, hogy létezik olyan, nem azonosan amely aktív külső erők nélkül egyensúlyt tesz lehetővé. Ilyen feszültségmező csakis statikailag határozatlan szerkezeteknél létezhet, de ilyenkor már végtelen sok a lineárisan függetlenilyen szerkezet" mezők száma. Az egyensúlyi módosulattal határozatlan dolgozva tehát statikailag nél lesz a zérus sajátfrekvencia, s multiplicitása végteleng (B. Tabarrok [l4]). A
is felülről
-
-
102
A
Egyes az e
statikai feladatoknál ensúlyi módosulatot
lmozdulásokat
a
ugyanarra
-
alkalmazva,
ún.
az
etek
a
a
ag
a
először
analízissel
elmozdulási,
az
sikerült
-
rugal-
a
[l2]).
de Veubeke
(Sander, Fiaerjs
Rész-
(Geradin,
is
behatárolására
e
apjan
o
a
1a t os ak
apcsokeresve
a
mi
1Z
álásh
oz
ált f"uggvenye '
h aszn
11
yen
.
egyensulyimodosulataval )
,
Síljfítfrhé: letilt multcilpltifziikázlú
pontban mon
k
eze
szer
an
aroza
veges elem módszer
sajátfrekvenciait
A 3,
(6) egyen-
a
.
stat
l'aZérus végtelen
kielégítik
modellre duális
történtek sajátfrekvenciák kétoldali a1apozva kísérletek a?cefre h" 10, 15 "Mmolgfgakaguc ltak tl k tekk l r [ik11 111 E kisérletek e vő l
is
esetben
kontinuum
azaz
behatárolni
és felülről
alulról
az
korlátok.
is felső
tehát most
lot l e nségeket, ma].d
ebben
kapott determináns-egyenlet megoldásai
mint
-
láttuk e'rt e l em
'
k által
k e-
szer
anos
b en
Veu-
megfelelő ortogonálisak legyenekzérussajátértéknek sajátfüggvényekre. kell,hogy annak ellenére, hogy e fuggvenyek megoldható alapjan meegyzese Gemdm és beke egy A már a sokan vannak. Ez
a
végtelen dolgozatok tapaszemlített arról numerikus megszámlálhatóan be, sajáttalatról számolnak kielegitéset máshonnét hogyelhagyva Ortogonalitás ismert. adodnak. Szerzok jelenség iszerzökszerintalso korlátok kisebbfszamok frekvenciakkal elmeleti vizsgalatat tartják szükségesnek. további a
az
a
-
megfogalmazásából következik, hogy az sajátértékekvariációs alsó korlátai, csak a sajátfrekvenciák felső lehetnek a sajátfrekvenciák A
véges elem módszernek
A
ugyanis
mint
-
láttuk
-
felső
módosulata
mindkét
létezése
sajátfrekvencia sajátértékekre elégítenek szükséges függvények megfelelő ortogonalitási feltételeket tételek elhagyásával e függvények halmaza nő, a közelítő sajátértékek tat
a
nek,
zérustól
azaz
a
különböző
zérus
felső korlátokra
alsó korlátok.
adódnak
A fent
mutatják, hogy a vizsgált esetekben a felső korlátok hogy már a pontos sajátértékek alá kerültek.
azt
5. A közbenső
A Weínstein
operátoros által
bevezetett
idézett
említett
számértékek
korlátainak
nem
alsó korlátai.
korlátot
szolgál-
esetén, ha a finitizáláshoz ki. A ortogonalitási feltehát
numerikus
csak
csökkenhet-
kísérletek
csak
olyan kicsinyre adódtak,
alsó korlátai
módszer és
Bazley
és
Fax, valamint
mások
által
továbbfejlesztett sajátértékfeladathoz sok esetben található egy Olyan másik sajátértékfeladat(az ún. alapfeladat), amelynek sajátértékei az eredetieknek alsó korlátai, és amellett még elég egyszerű ahhoz, hogy elegendő sok sajátértéke és dlfrj/a numerikusan kiszámítható legyen. Az alapfeladatból kiindulva (sajátfüggvénye) Salfwelttora szerkesztik úgy, hogy az í-edik feladat egy sajátértéke kozbenső feladatok egysorozatát az z-l-iké, de mint kisebb, mégis maradjanak a sajátértékek kisebbek, mint az ere_EYen d eh feladat megfelelő keresett sajátértékei. megszerkesztésénél éppúgy projektoroperátorok játszanak szereközbensőfeladatok '
cimbeli módszer
abból
indul
ki, hogy
az
eredeti
Zitán M
9
adat
mint
a
Pomcaré-Raylergh-Rítz-módszemél.
úgy alakítják ki, hogy elegendő sok Ajkflzlfenávfelátdatokat számítani.
Salatertekeibol ki lehessen
sajátértéküket
az
alapfel-
103
rudakból írója változó keresztmetszetű egyenes peremfeltételeknek eleget tevő rúdszerkezet e módszerrel az egyes vette approximálni. Tekintetbe és csavaró rezgéseit is [l]. végbemenő transzverzális E sorok
általános
szetett, vánta
ban
tetszés
szerinti
módon
ösz.
rezgési sajátfrekvenciáit ki. rudak longitudinális, két sík.
próbálkozás előtt egyetlen, egyszerű peremfe]. peremgörbéjű sík lemez és membrán eső sajátértékfeladatot. kapcsán oldottak szerkezetre azért jelentett bonyolultabb felada. való kiterjesztés részben Az említett kívánta venni, részben a peremtot, mert egy-egy rúd többféle lengését is tekintetbe és illem azért is, mert a sajátfrekvenciák javítható továbbá volta miatt, tési feltételek _bonyolultabb meghatározni. is a közbenső felső korlátait operátoros módszerrel szándékozott A közbenső
alávetett
tételeknek
operátoros módszerrel
e
egyszerű egyenes rúd, valamint rezgéstani területre meg mechanikai
_
alapfeladatnak megfelelő szerkezet az eredeti foglaló, megfelelően (másképpen a felső, és másképpen Az
állandó
választott
keresztmetszetű
áll;
rudakból
a
szerkezettel az
perem-
azonos
alsó korlátok és illesztési
tartományt
el.
számításánál) meg.
feltételeket
ugyan.
valósítják meg, mint az eredeti rúdszerkezetnél. Az alapfeladat sajátérték-problémájának numerikus megoldásánál jó szolgálatot tett Czeglédí dolgozata [6]. A közbenső további operátoros módszer gyakorlati alkalmazásának nehézségét a (köz. előállításához benső feladatok BAZLEY-féle szükséges) projektor operátorok bázisainak adni ezek felvételére. Az speciális megválasztását is sikerült megoldani, s explicit módszert eljárást számpélda is illusztrálja [2]. azok
a
szerkezetek
6. Az
ortogonális
invariánsok
Defftz egy módszerét
módnere
továbbfejlesztve
Fichera
az
eddig ismertetettekből
lényegesen
adott sajátfrekvencíák javítható alsó korlátainak számítására. Módszere eltérő, új módszert olyan esetben alkalmazható, amelyben az (1)-beli operátorok olyanok, hogy A'1B szigorúan
pozitív kompakt operátor; titás operátor. ([7]).
a
gyakorlati
esetek
többségében
ez
fennáll.
B
Fíchera-nál
az
iden-
a sajátformula használatához adott Fichera-féle javítható alsó korlátok számítására felső az korlátait kell továbbá A'1B ismerni, javítható operátorhoz lg (A" B)-t, rendelhető Ez utóbbit nem s-edrendű, n-edfokú ortogonális invariánst. lehetséges általában esetünkben zárt formulával kifejezni, approximálni kell. Fichera formulájának sajátfrekvencia alsó korlát adó tulajdonságát bizonyosan csak akkor nem rontjuk el, ha l? (A'1 B)-t felülről közelítjük.
A
frekvenciák
az
[l l ] prizmatilcus rudakból álló keretekre alkalmazta F íchera elméletét; ebbe" esetben 1:(A" B) explicite előállítható. azt Stumpf [13] módszert adott l? (A'1 B) felülről történő megközelítésére. Módszere hozzárendelt igényli, hogy az eredeti szerkezethez végtelen kiterjedésű szerkezet Kelvin-álla" mint PL potához rendelt feszültségfüggvényt explicite, előre ismerjük. Speciális esetekben fem az állandó az egyértelmű hozzárendelés lehetősége áll vastagságú, homogén lemeznél lemezhez s a Változó szükséges feszültségfüggvény is ismeretes. vastagságú, vagy inhomogén nem tudjuk, hogy milyen vastagságú és inhomogenitású végtelen kiterjedésű lemezt kell Romano
-
-
104
függetlenül
ettől
de hozzárendelni,
ehhez
ismeretes
sem
Rúdszerkezet,vagy lemezszerkezet
esetén
szükséges feszültségfüggvény. világos, hogy mit értsünk
a
nem
szerkezeten.
hozzárendelt végtelen kiterjedésű
Fichera l? (A'1B)
már
ugyancsak
megközelítését arra az esetre oldja meg, amelyben B és az eredeti (változó együtthatósA operátorral leírható) szerkezetaz identitás-operátor, lehet hozzárendelni, másikat amelyikről tudjuk, hogy a hozzá tartozó ortoha egy o1yan a hozzárendelt durva felső korlátja, továbbá Greenszerkezet invariáns a keresettnek gonális ismeretes mátrixa) [8]. explicite (ill. fék függvénye alkalmazta, amelyeknél A változó olyan szerkezetekre E sorok írója F ichera elméletét és B változó együtthatós szorzó operátor [3, 4]. együtthatósdifferenciáloperátor
gyakorlatban annyira
A
szerkezetekkel
is
találkozunk, amelyeknél nem sikerül imént említett elmélete amilyet megalkalmazható jelen sorok írójának elgondolása. Az elgondolás részfejtette ki. [4, 5]. összetett
olyat hozzárendelni,
szerkezethez
eredeti
az
való
felülről
kíván. Az ilyen esetekre létezését szerző másutt
Fíchera
IRODALOM 1.
Á.: Algebraíc eígenvalue problems bracketing eíngenfrequencies of structures Lecture 13th Congress IUTAM, Moscow, 21-26 of varyíng cross section.
BOSZNAY
ting ofmds
consis-
Aug.,
1972.
BOSZNAY,
2.
ting
of rods
Á.: Improvable bracketing
of the
with
Part
varying
section.
cross
eígenfrequencies
I, Part
II, Part
of
a
III. Acta
space frame Tech. Acad.
consis-
structure
Hung. 83.
Sci.
393-399. 31-48, 187-203, Á.: Improvable bracketing of eigenfíequencíes of structures by FICHERÁS theory 14th [UTAM Congress Delft, 1976. of orthogonal invaríants. BOSZNAY Á.: Lower bounds for ergenfrequencíes by the fínite element method. Proceedings
(1976),
3.
BOSZNAY
4.
3d Bulgarian Nat. Conf. on Theor. and Appl. Mech., Varna 13-18 Sept.,' 13-18, 1977. BOSZNAY, Á.: Un tere Schrankenfűr die Eigenfrequenzen kontínuierlícher Systeme mittels der Methode der jiníten Elemente. auf dem Gebiete Arbeiten der Mechanik und Koll. über neuere der Strömungslehre, Technische Universitát Wien, Nov. 1977.
5.
6. 7-
CZEGLEDI, G.: Náherungsverfahren zur Bestimmung der Eigenfrequenzen Pdytechníca, Elect. Eng. 18, (1974), 191-202. FICHERA, G.: Linear elliptic dífferentzhl systems and eígenvalue problems. 8-: Springer Verlag Berlin Heidelberg New York, 1965.
Per.
Stabwerken.
von
Leeture
Notes
in Math.,
,
39
'
bounds
Lsltzituto VEUBEKE, Matematico
10.
u
G.: Upper FIFIHERA,
Universita
197425115 DE
for orthogonal invariants l. (1965), 1-8. Trieste
B.-GERADIN,
M.-HUCK,
Compu effíciency SÍRADIN, Hlgh Speed Computing tatíonal
Liemp?" (1971), (Editor: 1
8%
R
OMANq M" UPPer .
0975), 2o3_2o9_
SA
of Elastic
B.
bounds
to
G-jFlIAEIJ VEUBEKE, 231153, finite elements. AFFDL agalyszs R"65*199. Wright Patterson S DE
by
m
Air
f
some
positive
A.: Structural
Iinear
operators.
dynamícs.
CISM
Rendicontí
lecture
Udine,
of equílibrütm models in eígenvalue analysis. [UTAM Structures, Les Congres et Colloques de L'Unive'rsité
Fraeijs de Veubeke)
and lower
o
B.:
Force
*
Air
the
Tome
de
2, 589-623.
eigenfrequencies
of elastic
frames.
Meccanica,
10.
deformations Upper and lower bounds to structural Technical Report Flight Dynamics Laboratory Foree Base, Ohio, 1967. 105
13.
Eigenwertschrankenverfaluen
H.: Zum
STUMPF,
Appl.
16. (1971),
14.
TABARROK,
B.: Some
15.
TABARROK,
Mech.
Trefftz-Fichera,
nach
Rev.
Roum,
1033-1047. remarks
the
on
frequency
zeto
The Aeronautical
modes.
J. 72_
68-70. R. L.: Calculation
K-SAKAGUCHI, Int.
formulation.
for Num.
J.
OF
COMPUTATION
Methods
ech".
0953).
of plate
frequencies from commemen tary 283-293.
Eng. 2. (1970),
ín
sc-L T
VIBRATIONAL STRUCTURES EIGENFREOUENCIES USING FREOUENCY EOUATION
"úgy
WITHOUT
by
A. BOSZNAY
Summary
equation
Frequency ructed It is
an
eigenfrequencies
sídered
as
by which
a
continuum of such
it is
with
this
with
the
comparíson and
model)
the
to have calculaísion
,,exact
conditions.
boundary
an
error
eigenfrequencies This
article
estimation
defmed
by
shows
basis
for these
the
an
structuxe
principleg
appg. (non.
ma
CM
and a compmmn. computational methods-aiming at giving a summary of eigenfrequencies, of a prescribed number axbiuary close approximation
relevant
newet
possible
DIE
in oonnection
in
claim
important
ximate ractersítics
cannot complicate structtue defining eigenfrequencies of a more be oonw can be performed accordingly only without using this equation
implicitely. Computation
even
DER
BERECHNUNG
EIGENFREOUENZ
VON
KONSTRUKTIONEN
von
Á. BOSZNAY
Zusammenfassung Konstruktionen bestimmende Die Eigenfrequenzen der komplizierten Frequenzgleichung ist ín Die Berechnung ist nur ohne die Frequenzgleichung implizierten Form nicht herstellbar. geschriebene! Weise durchführbax. ln Zusammenhang mit dieser Berechnung ist es ein wichtiger Anspruch, die 50 erhaltene auch geben, gegen den auf die annühemde Gleichung soll eine Fehlerschátzung Eigenfrequenz defmierten De: AIIW annehmen). (was wir als Kontinuum "genauen" Eígenfrequenz de: Konstruktion die stellt die prinzipiellen Grundsátze und Eigenschaften solcher neuen Berechnungsmethoden vor, welche nach Wunsch können. annáhem vorgeschriebcne Eigenfrequenzen der Konstruktion
PACHET
HACTOT
COBÜBEHIIHX
KOIIEBAHHÍIÍ
YPABHEHPIH
A. B
.
MEXAHPISMOB
BEB
WACTOTH
BOCHAI/I Peaxoue
YpaBHeHne Hallban
106
npencrannn
qacrom, m:
n
onpenenxlomee HesmHoM
nune.
coőcrnenrme
CnenoBaTeImHo
uacrom
paclleT
öonee Moxmo
CJIOXHLDK
nponanecru
MeXaHHSMOB öea
nonom-
yknaumoroypan rak
mama
y oueHK n
m n
n
c
u
omuöxn
K "OMV
"emut non
W em-mx
onpenmeHmM
uacmraM, 06 menni-m noxaaunae-g An-rop
ycnonnsmu.) omocxunaxcg
oooöeuuocm m:
coómemmx
PaWeTY
v-xacror
c
mama,
10118 HOBBIX
Mexauuama,
xnnxercx
naxqm
coöcm
npuönuamamuux
M
emmx
Mexm K
Tpeőonauuem qacmT
Kak
xourpuwyMon
cpagnemm
'
oöalgamom, De
paCÚeTHLIX Mevron
H
no
03'
1-0 cm
s
"o
65:
n x
Zirci-nm Ivánun-
Teopenmecxue IUIJI Jnoöoro "Pummim:
ocx-xo-
HPHŐ-
A
NEHÉZIPARI
MÜSZAKI
EGYETEM
KÖZLEMÉNYEI
III.
sorozat
GÉPÉSZET 27.
A
KÖTET,
-
4. FÜZET
,,6. MECHANIZMUSOK
(MISKOLC,
A
l
1978.
SZEPT.
Es HAJTÓMÜVEK" SZIMPÓZIUM 5-7.) ELŐADÁSAI
szimpózium idegennyelvű előadásait a Publications C. Machinery Vol. 35. Fasc. 2-v4. tartalmazza.
Series
MISKOLC,
1981.
of the
Techn.
Univ.
for Heavy Ind.
TARTALOMJEGYZÉK
Rössner
Wolfgang:
Terplán
Zénó:
bolygóművek rendszerezéséhez
A kétkarú
fogaskerék bolygóművek
A
.
.
alkalmazásai
hazai
.
.
.
.
.
.
köű
széles
.
.
.
.
.
.
.
.
elterjedésének 13
akadályai
kényszermozgású, teljesítményelágazásos ÁÍ-fogaskerékhajtóművek kiegyenlítő mozgásához A belső fogazatú fogaskerékpár csúszási Szente Gádor István: Dmbni József József sebességének kiegyenlítése K.-H..'
Vatterott
A
.
.
Davitasvilí
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A csuszkás
Steiskal Vlddímír:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Bosznay Ádám: .
.
.
.
.
.
valószínűségelméleti
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
dinamikai
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
jellemzőinek
.
.
.
.
Brunos
Picasso
-
csa
.
.
.
Príolo
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
számítása
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
K. Zablonszkz)",
Makhult Kovács
1.: F
ogaskerékkapcsolatok
Mihály: Tapasztalatok
terheléskoncentrációjának
fogaskerékszámító
egy
.
.
vizsgálata
programmal
László:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
letpároknál Richter
wolfgang:
Jakubowicz
Antoni
.
.
.
.
.
.
.
.
A hidrosztatikus -
tengelykapcsolók
Koprowski dinamikai
.
.
.
.
.
.
.
.
csapágyak Tadeusz:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
gépekbe beépített rugalmas .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
133 141
153
173 179
.
.
99 109
165
.
A nehézkivitelű
sajátosságai
.
89
119
.
.
Hajtómíífogaskerekek tervezése élettartamra Hegyháti József: Nem ortogonális hengeres-kúpos hajtások interferencia-problémái Szota György: A kenés hatásosságának értékelése folyadéksúrlódási állapotú siklófelü.
79
tár-
Píerlugí:
.
55
frekvencia-egyenlet
a .
.
Polárisan ortotrópikus Mrűs rezgéstani analízise A térfogatkiszorítású hidraulikus Tomaszewskí/Karol: gépek rezgésforrásai transzverzális Faragó Károly: Szerszágép-főorsók szíjhatásának nemlineáris rezgései Francesco
41
71
modellje
szintézise
szintézise
mechanizmusok
Czeglédi Gyula: Rugalmas szerkezetek Ginesu
27
65
rezgési sajátfrekvenciáinak számítása
Szerkezetek .
mechanizmusok
semmid-mechanizmus
terhelésű
Adott
és szintézise
analízise
mechanizmus
Dimitrov:
nélkül
.
A műszermechanizmusok
Zoltán:
Milko
.
Szakaszos
Józsefné:
Kaposvári Moskov
.
négycsuklós gömbi mozytó bütykös
A
N. Sz.:
FíIemon
.
-
-
189 203 213
.
237
