Ez a fejezet a 3D egyenletek. célszerû megismerkednie a 6. fejezet. tartalmával. x A z(x,y) egyenlet 3D grafikonjának

10. fejezet: 3D ábrázolás

10

A 3D ábrázolás áttekintése ....................................................................... 154 3D egyenletek ábrázolásának lépései ....................................................... 156 A 3D– és a függvényábrázolás közötti eltérések...................................... 157 A kurzor háromdimenziós mozgatása ...................................................... 160 A nézõszög elforgatása és/vagy megemelése........................................... 162 3D grafikon interaktív animálása ............................................................. 164 A tengely és az ábrázolási mód megváltoztatása ..................................... 165 Szintvonal-grafikonok.............................................................................. 167 Példa: komplex függvény abszolútértékét szemléltetõ felület szintvonalai ......................................................................................... 170 Implicit függvények grafikonjai............................................................... 171 Példa: Egy bonyolultabb egyenlet implicit függvényének grafikonja ............................................................................................ 173

Ez a fejezet a 3D egyenletek TI-89 / TI-92 Plus kalkulátoron való ábrázolását ismerteti. Elolvasása elõtt célszerû megismerkednie a 6. fejezet (A függvényábrázolás alapjai) tartalmával.

Z

(x,y,z) z

x

A z(x,y) egyenlet 3D grafikonjának egy pontját az itt bemutatott módon definiáljuk.

y

A részletezõ nézet (Expanded view) lehetõvé teszi bármely 3D grafikon kinagyítását. Például: Normál nézet

Részletezõ nézet

Tanács: A grafikon az x, y vagy z tengely mentén az X, Y vagy Z lenyomásával ábrázolható. Tanács: Az egyik formátumstílusból a következõre történõ átváltáshoz (az IMPLICIT PLOT kihagyásával), nyomja meg a következõ gombot: TI-89: j [F] TI-92 Plus: F

Ez megtartja az aktuális nézetet (akár részletezõ, Megjegyzés: akár normál). Az IMPLICIT PLOT-ra való átváltáshoz (a GRAPH FORMATS párbeszédpanelen keresztül), nyomja meg a következõ gombot: TI-89: ¥ Í TI-92 Plus: ¥ F

A normál és részletezõ nézetet az p gombbal lehet váltani (az p a szorzás gomb, nem az X betû).

3D grafikon ábrázolásakor automatikusan a részletezõ nézet adódik, ha:

¦

Ön a grafikonformátum stílust CONTOUR LEVELS vagy IMPLICIT PLOT értékre állítja vagy változtatja.

¦

Az elõzõ grafikon a részletezõ nézetet alkalmazta.

Ha Ön kurzorgomb megnyomásával animálja a grafikont, a képernyõ automatikusan normál nézetbe kapcsol vissza. Részletezõ nézetben nem animálhatók a grafikonok.


153

10_3D.HUN TI-89/TI-92 Plus: 3D Graphing (Hungarian) Susan Gullord Revised: 02/24/00 12:26 PM Printed: 02/24/00 12:57 PM Page 153 of 22

A 3D ábrázolás áttekintése Ábrázolja a z(x,y) = (xò y ì yò x) / 390 3D-egyenletet. Animálja a grafikont a nézõszöget vezérlõ "eye" ablakváltozó értékeinek interaktív változtatásával. Ezután tekintse meg a grafikont más grafikonstílusokban is.

Lépések

³ TI-89 Billentyûk

› TI-92 Plus Billentyûk

1. Írassa ki a MODE párbeszédablakot. A Graph üzemmódhoz válassza a 3D menüpontot.

3 B5 ¸

3 B5 ¸

2. Jelenítse meg és törölje az Y= szerkesztõt. Ezután definiálja a következõ 3D egyenletet: z1(x,y) = (xò y ì yò x) / 390.

¥# ƒ8¸ ¸ cXZ3Y |YZ3Xd e390¸

¥# ƒ8¸ ¸ cXZ3Y |YZ3Xd e390¸

¥Í DB2 DB2 DB1 ¸

¥F DB2 DB2 DB1 ¸

Figyelje meg az implicit szorzást az egyenlet beadásakor.

3. Állítsa úgy át a grafikon formátumát, hogy a tengelyek láthatók és feliratozva legyenek. Állítsa be a Style = WIRE FRAME értéket is. (WIRE FRAME = drótváz) Mindegyik grafikonformátum stílus animálható, de a WIRE FRAME a leggyorsabb.

4. Válassza ki a ZoomStd-ot, amely „6 automatikusan ábrázolja az egyenletet.

Képernyõ

„6

Az egyenlet kiértékelése közben (még ábrázolása elõtt) a képernyõ bal felsõ sarkában látható a "kiértékeltségi százalék". Megjegyzés: Ha a kalkulátoron már p p ábrázoltak 3D egyenletet, a grafikon részletezõ nézetben jelenhet meg. Ha (A p gombbal (A p gombbal Ön animálja a grafikont, a képernyõ váltogathatja a váltogathatja a automatikusan normál nézetbe részletezõ és a részletezõ és a kapcsol vissza. (Az animáció kivételével minden müvelet normál nézetet.) normál nézetet.) elvégezhetõ normál és részletezõ nézetben egyaránt.)

5. Animálja a grafikont az eyef ablakváltozó értékének csökkentésével.

DDDD DDDD

DDDD DDDD

Dés Cbefolyásolhatja eyeq és eyeψ értékét, de kevésbé, mint az eyef értékét. A grafikon folyamatos animálásához nyomja le, majd kb. 1 másodpercig tartsa lenyomva a kurzort. Ezután engedje fel. Az animálás az ¸ lenyomásával állítható le.

154



³ TI-89 Billentyûk

Lépések

› TI-92 Plus Billentyûk

Képernyõ

6. Állítsa vissza a grafikont az eredeti 0 (nulla, nem az 0 (nulla, nem az helyzetébe. Ezután vigye körbe a O betû) O betû) nézõszöget a “nézõpálya” mentén. A A A AAA A nézõpályáról szóló részletes leírást a 164. oldalon találja meg.

7. Tekintse meg a grafikont az xtengely, y-tengely és z-tengely mentén.

X

X

Ez a grafikon ugyanolyan az y-tengely Y és x-tengely mentén.

Y

Z

Z

8. Állítsa vissza az eredeti helyzetet.

0

0

9. Ábrázolja a grafikont más grafikonstílusokban is.

Í

F

(A stílusokat az (A stílusokat az F Í gombbal lehet gombbal lehet változtatni) változtatni) HIDDEN SURFACE (rejtett felület) CONTOUR LEVELS (a szintvonalak kiszámolása idõigényes lehet) WIRE AND CONTOUR (drótváz és szintvonal) WIRE FRAME (drótváz)

Megjegyzés: A GRAPH FORMATS párbeszédablak ( ƒ 9 vagy TI-89: ¥ Í TI-92 Plus: ¥ F) segítségével a grafikon implicit grafikonként is ábrázolható. A stílusok TI-89: Í TI-92 Plus: F -el való váltogatásakor az implicit grafikon nem jelenik meg.


155


3D egyenletek ábrázolásának lépései 3D egyenletek ábrázolási lépései hasonlóak a 6. fejezetben (A függvényábrázolás alapjai) az y(x) függvényábrázolással kapcsolatban leírtakhoz. A következõ oldalakon részletesen elmagyarázzuk a 3D egyenletekre vonatkozó eltéréseket.

3D egyenletek ábrázolása

Állítsa a Graph üzemmódot (3) 3D-re. Szükség szerint állítsa be az Angle szögmérték üzemmódot is.

Definiálja a 3D egyenleteket az Y= szerkesztõben (¥ #). Tanács: Kapcsolja ki a statgrafikonokat (16. fejezet), ha vannak (‡ 5 vagy †).

Válassza ki (†) az ábrázolandó egyenletet. Egyszerre csak egy 3D egyenlet választható.

Megjegyzés: 3D grafikonok esetén a nézõablak neve nézõkocka.„ Zoomis átállítja a nézõkockát.

Definiálja a nézõkockát (¥ $). Állítsa át a grafikon formátumát ƒ9 — vagy — TI-89: ¥ Í TI-92 Plus: ¥ F ha szükséges.

Tanács: A 3D grafikonok tájolása egyértelmûbben látszik, ha bekapcsolja a tengelyeket (Axes) és tengelyfeliratokat (Labels). Megjegyzés: A grafikon kirajzolása elõtt a képernyõn a “percent evaluated” ("kiértékeltségi százalék") értéke látható.

A grafikon vizsgálata

Tanács: Letapogatás közben a z(x,y) ki is értékelhetõ. Írja be az x értéket, majd nyomjon ¸-t; ezután írja be az y értéket és nyomjon ¸-t.

156

Ábrázolja a kiválasztott egyenletet (¥ %).

A Graph képernyõn Ön a következõ beavatkozásokat végezheti el:

¦

Letapogathatja az egyenletet.

¦

Az „ Zoom eszközsávi menü segítségével kinagyíthatja a grafikon bármely részét. Egyes menüpontokat nem lehet kiválasztani 3D grafikonokhoz (ezek a menüpontok szürkén jelennek meg).

¦

Az ‡ Math eszközsávi menü segítségével kiszámolhatja az egyenlet helyettesítési értékét egy adott pontban. 3D grafikonokhoz csak az 1:Value menüpont választható.



A 3D– és a függvényábrázolás közötti eltérések Ebben e fejezetben feltételezzük, hogy Ön már áttanulmányozta a függvényábrázolás alapjait ismertetõ 6. fejezetet és tudja, hogyan kell y(x) függvényeket ábrázolni. Ez a fejezet a 3D egyenletekre vonatkozó eltérésekkel foglalkozik.

A Graph üzemmód beállítása

A 3 gombbal állítsa be a Graph = 3D üzemmódot, még az egyenletek definiálása vagy az ablakváltozók beállítása elõtt. Az Y= és a Window szerkesztõ csak az aktuális Graph üzemmód-beállításra vonatkozó információ bevitelét engedi meg.

3D egyenletek definiálása az Y= szerkesztõben A 3D egyenletek definiálási tartománya z1(x,y) — z99(x,y).

Tanács: Függvények és egyenletek bármely ábrázoló üzemmódhoz és az aktuális üzemmódtól függetlenül de-finiálhatók a kezdõképernyõ Define utasításával (lásd az "A" függelékben).

Az Y= szerkesztõ külön függvénylistát tart nyilván a Graph üzemmód minden beállításához. Vegyük például a következõ helyzetet:

Az ábrázolási stílus kiválasztása

Tekintve, hogy egyszerre csak egy 3D egyenlet ábrázolható, az ábrázolási stílus nem választható. Az Y= szerkesztõben szürkén jelenik meg a Style eszközsávi menü.

¦

FUNCTION ábrázoló üzemmódban Ön definiálja az y(x) függvények egy halmazát. Utána átvált 3D ábrázoló üzemmódba és definiálja a z(x,y) egyenletek egy halmazát.

¦

A FUNCTION ábrázoló üzemmódba visszatérve az y(x) függvények továbbra is definiáltak az Y= szerkesztõben. A 3D ábrázoló üzemmódban változatlanul definiáltak a z(x,y) egyenletek.

3D egyenleteknél ugyanakkor a: ƒ9 — vagy — TI-89: ¥ Í TI-92 Plus: ¥ F segítségével WIRE FRAME vagy HIDDEN SURFACE állítható be a Style formátumban. További részletekkel a “A tengely és az ábrázolási mód megváltoztatása” alfejezet szolgál a 165. oldalon.


157


Ablakváltozók

Megjegyzés: Az xgrid vagy ygrid változóra beadott törtszámot a TI-89 / TI-92 Plus a legközelebbi ‚ 1 egész számra kerekíti.

A Window szerkesztõ a Graph üzemmód minden beállításához külön ablakváltozó-készletet tart nyilván (ahogy az Y= szerkesztõ is külön függvénylistákat vezet). A 3D grafikonok a következõ ablakváltozókat használják.

Változó

Magyarázata

eyeq, eyef, eyeψ

A grafikon nézõszögének értéke (mindig fokban értendõ). További részletekkel a “A nézõszög elforgatása és/vagy megemelése” alfejezet szolgál a 162. oldalon.

xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax

A nézõkocka határai.

xgrid, ygrid

Az xmin és xmax valamint az ymin és ymax közötti távolságot a TI-89 / TI-92 Plus felosztja a megadott számú osztásra. A z(x,y) egyenletet azokban a rácspontokban értékeli ki, ahol a rácsvonalak (másnéven rácsdrótok) metszik egymást.

Megjegyzés: 3D üzemmódban nincsenek scl ablakváltozók, ezért nem írathatók osztásjelek a tengelyekre.

x és y növekményét a következõ képlettel számítja ki: xmax ì xmin x lépés =

xgrid

ymax ì ymin y lépés =

ygrid

A rácsvonalak száma xgrid + 1 és ygrid + 1. Például, ha xgrid = 14 és ygrid = 14, az xy rács 225 (15 × 15) pontból áll. z(xmin,ymin)

z(xmin,ymax)

z(xmax,ymin)

ncontour

z(xmax,ymax)

A z-értékek ábrázolt tartományában egyenletesen elosztott kontúrok száma. Lásd a 168. oldalt.

A standard alapértékek (az „ Zoom eszközsávi menü 6:ZoomStd pontjának választásakor) a következõk: eyeq = 20. eyef = 70. eyeψ = 0. Megjegyzés: A rácsváltozók értékének növelése csökkenti a számítási sebességet.

158

xmin = ë 10. xmax = 10. xgrid = 14.

ymin = ë 10. ymax = 10. ygrid = 14.

zmin = ë 10. zmax = 10. ncontour = 5.

A kellõ pontsûrûség biztosításához esetleg növelni kell a grid változók (xgrid, ygrid) standard alapértékeit.



A grafikonformátum beállítása

Az Axes és a Style formátum csak a 3D ábrázoló üzemmódban létezik. További részletekkel a “A tengely és az ábrázolási mód megváltoztatása” alfejezet szolgál a 165. oldalon.

A grafikon vizsgálata

A függvényábrázoláshoz hasonlóan a 3D grafikonok is vizsgálhatók az alábbi eszközökkel. A TI-89 / TI-92 Plus a koordinátákat derékszögû vagy henger formában írja ki, a grafikonformátum beállításától függõen. 3D ábrázolásnál a TI-89 / TI-92 Plus akkor használja a hengerkoordinátákat, ha Ön a: ƒ9 — vagy — TI-89: ¥ Í TI-92 Plus: ¥ F menüben a Coordinates = POLAR értéket állítja be. Eszköz

3D grafikonok esetén:

Szabadonfutó A szabadonfutó kurzor nem választható. kurzor „ Zoom

Ugyanúgy mûködik, mint a függvénygrafikonoknál, csak Ön most három dimenzióban mozog, nem kettõben.

¦

Csak a következõ Zoom-ok választhatók: 2:ZoomIn 3:ZoomOut

Tanács: Lásd “A kurzor háromdimenziós mozgatása” alfejezetet a 160. oldalon.

… Trace

Tanács: Letapogatás közben a z(x,y) ki is értékelhetõ. Írja be az x értéket, majd nyomjon ¸-t; ezután írja be az y értéket és nyomjon ¸-t.

‡ Math

5:ZoomSqr 6:ZoomStd

A:ZoomFit B:Memory C:SetFactors

¦

Csak az x (xmin, xmax), y (ymin, ymax) és z (zmin, zmax) ablakváltozókat érinti.

¦

A grid (xgrid, ygrid) és eye (eyeq, eyef, eyeψ) ablakváltozókat nem érinti, csak akkor, ha Ön a 6:ZoomStd-ot választja (amely e változókat standard alapértékeikre állítja vissza).

Lehetõvé teszi a kurzor rácspontról rácspontra való mozgatását a 3D felületen.

¦

A letapogatás megkezdésekor a kurzor az xy háló középpontjában jelenik meg.

¦

A QuickCenter választható. A nézõkocka közepét a letapogatás során bármikor a kurzorhoz állíthatja az ¸ lenyomásával.

¦

A kurzor csak x és y irányban mozgatható. A kurzort nem lehet túlvinni a nézõkocka határain, amelyeket xmin, xmax, ymin és ymax állít be.

3D grafikonokhoz csak az 1:Value választható. Ez az eszköz az adott x és y értékhez tartozó z értéket írja ki. Az 1:Value kiválasztása után írja be az x értékét, majd nyomjon ¸-t. Ezután írja be az y értékét és nyomjon ¸-t.


159


A kurzor háromdimenziós mozgatása A kurzor 3D felületen való mozgatásakor furcsának tûnhet a kurzor mozgása. A 3D grafikonoknak nem egy, hanem két független változója van (x,y), és az x és y tengely másként fekszik, mint a többi ábrázoló üzemmódban.

Hogyan mozgassuk a kurzort

Egy 3D felületen a kurzor mindig a drótváz vonalai mentén mozog. Kurzorgomb

Megjegyzés: A kurzor csak x és y irányban mozgatható. A kurzort nem lehet túlvinni a nézõkocka határain, amelyeket xmin, xmax, ymin és ymax állít be.

B A C D

A következõ rácspontra viszi a kurzort:

Pozitív x irányban Negatív x irányban Pozitív y irányban Negatív y irányban

Bár a szabályok világosak, a kurzor mozgása furcsának tûnhet, ha Ön nem ismeri a tengelyek fekvését. 2D ábrázolásnál az x és y tengely mindig ugyanúgy fekszik a Graph képernyõn. Tanács: Ha meg kívánja jeleníteni a tengelyeket és azok feliratait az Y= Editor, Window Editor vagy Graph képernyõrõl, használja a következõ parancsot: TI-89: ¥Í TI-92 Plus: ¥F

Egyszerû példa a kurzor mozgatására

3D ábrázolásnál az x és y fekvése változhat a Graph képernyõn. Ezenkívül a nézõszög körbevihetõ és megemelhetõ.

eyeq=20 eyef=70 eyeψ=0

Az alábbi grafikon egy ferde síkot mutat, amelynek egyenlete: z1(x,y) = ë (x + y) / 2. Tételezzük fel, hogy szeretné körbejárni a határvonalak mentén. Az … megnyomásakor az xy rács közepén megjelenik a letapogató kurzor, amely a kurzorgombokkal innét bármelyik határvonalra kivihetõ . B pozitív x irányba mozgat, xmax-ig.

Tanács: A tengelyek és felirataik kiíratásával könnyebben érthetõvé válik a kurzor mozgása. C pozitív y irányba mozgat, ymax-ig.

Tanács: A rácspontok sûríthetõk nagyobb xgrid és ygrid ablakváltozó értékek megadásával.

160

D negatív y irányba mozgat, vissza ymin-ig.

A negatív x irányba mozgat, vissza xmin-ig.

Ha a letapogató kurzor a sík egy belsõ pontján áll, akkor csak a drótváz mentén, rácspontról rácspontra mozgatható. Átlósan nem mozog. Figyelje meg, hogy a drótváz drótjain nem mindig látszik, hogy párhuzamosak a tengelyekkel.



Példa rejtett felületrészen álló kurzorra

Bonyolultabb felületek esetén elõfordulhat, hogy a kurzor úgy látszik, mintha nem is rácsponton állna. Ez azonban csak látszat, amit az okoz, hogy a kurzor rejtett felületrészen áll. Vegyük például a z1(x,y) = (xñ ì yñ ) / 3 nyeregfelületet. Az alábbi grafikon a nyeregfelület y tengely felõli nézetét mutatja.

Nézzük most meg ugyanezt a nyerget az x-tengelytõl 10¡-os szögben (eyeq = 10). Tanács: A nyereg felénk esõ oldala úgy metszhetõ le, hogy xmax=0 beállításával csak negatív x értékeket ábrázolunk. A kurzor olyan helyre vihetõ, ahol úgy tûnik, mintha nem rácsponton állna.

A “görbétõl elvált kurzor” esete

A kurzort takaró oldal lemetszésével kitûnik, hogy a kurzor a hátsó oldal egy rácspontján áll.

Noha a kurzor csak a drótvázon mozoghat, elõfordulhat, hogy látszólag teljesen elválik a 3D felülettõl. Ez olyankor lehetséges, amikor a z-tengely túl rövid ahhoz, hogy ráférjen az x és y értékhez tartozó z(x,y) érték. Tételezzük fel például, hogy Ön a feltüntetett ablakváltozó értékekkel ábrázolja a z(x,y) = xñ + .5yñ paraboloidot. Ekkor könnyen az alábbi helyzetbe hozható a kurzor: Letapogató kurzor Érvényes koordinátái

Tanács: A QuickCenter segítségével a nézõkocka közepe a kurzorhoz állítható az ¸ lenyomásával.

Noha a kurzor valójában a paraboloidon áll, mégis úgy tûnik, mintha nem lenne rajta a felületen, mert:

¦ ¦

bár xc és yc a nézõkockán belül van, — ugyanakkor — zc a nézõkockán kívül van.

Ha zc a nézõkocka z-határán kívül fekszik, a kurzor a zmin vagy zmax pontban jelenik meg (bár kiírt letapogatási koordinátái helyesek).


161


A nézõszög elforgatása és/vagy megemelése 3D ábrázoló üzemmódban az eyeq és eyef ablakváltozóval állítható be a nézõszög. Az eyeψ ablakváltozó segítségével körbeforgatható a grafikon.

Hogyan mérjük a nézõszöget

Z

A nézõszögnek három összetevõje van:

¦

eyeq — a pozitív x-tengellyel bezárt szög, fokban.

¦

eyef — a pozitív z-tengellyel bezárt szög, fokban.

eyef

eyeψ X

Megjegyzés: eyeψ=0 esetén a z tengely függõleges a képernyõn. eyeψ=90 esetén a z tengely az óramutató járásával ellenkezõ irányban 90¡-kal van elforgatva és vízszintes.

¦

Y

eyeq

eyeψ — az a szög (fokban), amellyel a

grafikon az óramutató járásával ellenkezõ irányban el van forgatva az eyeq és eyef által beállított nézõtengely körül. A Window szerkesztõben ( ¥ $ ) mindig fokban kell megadni eyeq, eyef és eyeψ értékét, függetlenül az aktuális szögmérték-üzemmódtól. Ne írja be a ¡ jelet. Írjon például 20, 70, és 0 értéket, nem pedig 20¡, 70¡, és 0¡-ot.

Az eyeq változtatásának hatása

A Graph képernyõ mindig a nézõszög szerint van beállítva. Az eyeq változtatásával tehát körbejárható a z tengely. z1(x,y) = (x 3y - y 3x) / 390

Megjegyzés: Ebben a példában eyeq értékét 30 fokonként léptettük.

Ebben a példában eyef = 70 eyeq = 20

eyeq = 50

eyeq = 80

162



Az eyef változtatásának hatása

Az eyef változtatásával a nézõszög az xy-sík fölé emelhetõ. Ha 90 < eyef < 270, a nézõszög az xy-sík alatt van. z1(x,y) = (x 3y - y 3x) / 390

Ebben a példában eyeq = 20 eyef = 90

Megjegyzés: Ez a példa az xy síkban (eyef = 90) kezdõdik majd eyef értékét 20 fokonként csökkentve a "horizont" fölé megy.

eyef = 70

eyef = 50

Az eyeψ változtatásának hatása Megjegyzés: Forgatás közben a tengelyek megnyúlnak vagy zsugorodnak, hogy beleférjenek a képernyõ szélességébe és magas-ságába. Ez némi torzítást okozhat, amint azt példa mutatja. z=10 Ha eyeψ=0, a z-tengely áll a képernyõn.

A Graph képernyõ mindig az eyeq és eyef által beállított nézõszög szerint van beállítva. Az eyeψ változtatásával elforgatható a grafikon e nézõtengely körül. Ebben a példában eyeq=20 és eyef=70

z1(x,y)=(x 3yì y 3x) / 390 eyeψ=0

eyeψ=45 z=ë10

Ha eyeψ=90, a z-tengely vízszintes a képernyõn. z=10

z=ë10

eyeψ=90

A z-tengely 90¡-os elforgatásával a tengely ábrázolt tartománya (példánkban ë 10 — 10) az eredetinek csaknem duplájára nyúlik meg. Az x és y tengely is hasonlóan nyúlik meg vagy zsugorodik össze.

A kezdõképernyõrõl vagy programból

Az eye értékeket az eyeq, eyef és eyeψ rendszerváltozó tárolja. Ezek a változók szükség szerint kiolvashatók vagy más értékekkel elmenthetõk. TI-89:A f vagy ψ begépeléséhez nyomja meg a ¥cj[F] vagy ¥cÚ

gombot. A 2¿ lenyomása után a görögbetû-menüt is választhatja. TI-92 Plus: A f vagy ψ begépeléséhez nyomja meg a 2 G F, illetve a 2 G Y gombot. A 2¿ lenyomása után a görögbetû-menüt is használhatja.


163


3D grafikon interaktív animálása 3D grafikonok ábrázolását követõen a kurzorral interaktívan állítható a nézõszög. Lásd a 154. oldalon feltüntetett példát.

A nézõpálya

Amikor a A és B gombbal animálunk egy grafikont, tulajdonképpen körbejárjuk a “nézõpálya” mentén.

Megjegyzés: A nézõpálya eltérõ mértékben érinti az eye ablakváltozókat.

A nézõpályán haladva a z-tengely enyhén imbolyoghat (ez a 154. oldal példáján látszik is).

A grafikon animálása

Mit kíván tenni:

Hogyan teheti meg:

A grafikont lépésekben animálni

Nyomja meg, majd gyorsan engedje fel a kurzort.

Megjegyzés: A grafikon részletezõ nézetben való ábrázolásakor kurzorgomb lenyomásakor automatikusan visszatér a normál nézet.

A nézõpályán körbejárni: A pálya emelkedési-szögét változtatni: (elsõsorban eyef értékét növeli vagy csökkenti) A grafikont folyamatosan animálni

Tanács: A grafikon animálása után leállíthatja, majd újraindíthatja az animálást ugyanabban az irányban a következõ gombokkal:

Nyomja meg, majd csak kb. 1 mp múlva engedje fel a kurzort. TI-89: Leállítás: N,

¸, ´ vagy ¥ (szóköz).

TI-89: ¸ vagy j TI-92 Plus: ¸ vagy

TI-92 Plus: Leállítás: N,

szóköz

¸, ´ vagy a szóközbillentyû.

Tanács: Animáció közben a következõ gombokkal lehet a következõ grafikonstíusra lépni: TI-89: Í TI-92 Plus: F

Tanács: A 162. oldalon láhatók az eye szögek.

Grafikonképek sorozatának animálása

164

A vagy B lenyomásával. C vagy D lenyomásával.

Négy animálási sebességet váltogatni (növelni vagy csökkenteni az eye ablakváltozók léptetésének mértékét)

« vagy | lenyomásával.

Úgy módosítani egy nem animált grafikon nézõszögét, hogy az x, y vagy z tengely felõl nézze a grafikont

X, Y vagy Z lenyomásával.

Visszatérni a kezdeti eye szögértékekhez

0 lenyomásával (ez nulla, nem az O betû).

Grafikon úgy is animálható, hogy elmentünk egy grafikonkép-sorozatot és váltogatva ábrázoljuk õket. Errõl bõvebben a 12. fejezet (További ábrázolási témák) “Grafikonkép-sorozatok animálása” címû alfejezete ír. Ezzel a módszerrel jobban követhetõk az ablakváltozó értékei, különösen az eyeψ (162. oldal), amely forgatja a grafikont.



A tengely és az ábrázolási mód megváltoztatása Alapbeállításai szerint a TI-89 / TI-92 Plus kirajzolja a 3D grafikonok rejtett felületeit, de nem rajzolja ki a tengelyeket. A grafikonok megjelenési stílusa azonban bármikor módosítható.

A GRAPH FORMATS párbeszéd-ablak kiíratása

Az Y= vagy a Window szerkesztõben, vagy a Graph: ƒ9 — vagy — TI-89: ¥ Í TI-92 Plus: ¥ F

¦

A párbeszéd-ablak az aktuális grafikonformátum beállításokat mutatja.

¦

Módosítás nélkül kilépni az N-pel lehet.

Ebben a párbeszédablakban is úgy változtathatók meg a beállítások, mint bármely más (például a MODE) párbeszédablak esetén.

Példák a tengelyek beállítására

Tanács: A Labels = ON beállítás segít bármelyik típusú 3D tengely helyes értelmezésében.

A választható Axes beállítások kiíratásához jelölje ki az aktuális beállítást, majd nyomjon B-t.

¦

AXES — Az alapállapotú xyz tengelyeket mutatja.

¦

BOX — A 3-dimenziós téglatest tengelyeit mutatja.

z1(x,y) = xñ+.5yñ

A téglatest széleit az xmin, xmax, stb. ablakváltozók határozzák meg. Az origó (0,0,0) sok esetben a doboz belsejében, nem valamelyik sarkán van. Például, ha xmin = ymin = zmin = ë 10 és xmax = ymax = zmax = 10, az origó a téglatest közepén helyezkedik el.


165


Példák stílusbeállításra

Tanács: A WIRE FRAME gyorsabban rajzol és a különbözõ formákkal való kisérletezéshez alkalmasabb lehet.

A választható Style beállítások kiíratásához jelölje ki az aktuális beállítást, majd nyomjon B-t.

¦

WIRE FRAME — A 3D alakzatot átlátszó drótvázként ábrázolja.

¦

HIDDEN SURFACES —

Árnyékolással különbözteti meg egy 3D alakzat két oldalát. Fejezetünk késõbbi pontjaiban magyarázzuk el a CONTOUR LEVELS, WIRE AND CONTOUR (167. oldal) és IMPLICIT PLOT (171. oldal) beállítást.

Vigyázzon az optikai érzékcsalódásokra

A grafikon kirajzolásához használt eye szögek (eyeq, eyef és eyeψ ablakváltozók) érzékcsalódást okozhatnak a perspektívikus megjelenítés során. Ez leginkább akkor fordulhat elõ, ha az eye szögek a koordináta-rendszer valamelyik negatív negyedébe esnek. Téglatest-tengelyek (box) még becsapósabbak lehetnek. Például nem egyértelmû, hogy melyik a téglatest “eleje”. Fentrõl nézve az xy síkra

Alulról nézve az xy síkra

eyeq = 20, eyef = 55, eyeψ = 0

eyeq = 20, eyef = 120, eyeψ= 0

Megjegyzés: Ezek a példák tényleges képernyõ-ábrákat mutatnak.

Megjegyzés: Ezeken a példákon szürkére festettük a téglatest elejét (a szürkítés nem látható a TI-89 / TI-92 Plus képernyõjén).

166

Az érzékcsalódás minimálisra csökkenthetõ a GRAPH FORMATS párbeszéd-ablakban Style = HIDDEN SURFACE beállításával.



Szintvonal-grafikonok Szintvonalas ábrázolásnál vonal köti össze a 3D grafikon azonos z-értékû szomszédos pontjait. Ez az alfejezet a CONTOUR LEVELS és WIRE AND CONTOUR megjelenítési stílust magyarázza el.

A grafikon megjelenítési stílusának kiválasztása

3D ábrázoló üzemmódban definiáljon egy egyenletet és ábrázolja azt a szokásos módon, a következõ kivétellel. Az Y= vagy a Window szerkesztõben, vagy a Graph képernyõn a ƒ 9 lenyomásával írassa ki a GRAPH FORMATS párbeszéd-ablakot. Ezután állítsa be a következõket:

Tanács: A Graph képernyõn az egyik grafikonformátumról a következõre történõ átváltáshoz (az IMPLICIT PLOT kihagyásával), nyomja meg a következõ gombot: TI-89: Í TI-92 Plus: F

Style = CONTOUR LEVELS

– vagy – Style = WIRE AND CONTOUR

¦

− A nézõszög olyan kezdõértékre áll, hogy a kontúrok a z-tengely felõl nézve jelennek meg. A nézõszög természetesen átállítható.

Megjegyzés: A CONTOUR

− A grafikon részletezõ nézetben jelenik meg. A részletezõ és a normál nézet között a p gombbal lehet váltogatni.

LEVELS TI-89: Í TI-92 Plus: F

-el való kiválasztása nem módosítja a nézõszög, a nézet, vagy a Labels formátum értékét, ellentétben: TI-89: ¥ Í TI-92 Plus: ¥ gombbal.

A CONTOUR LEVELS esetén csak a kontúrok látszanak.

− A Labels formátum automatikusan OFF-ra áll.

¦

A WIRE AND CONTOUR esetén a kontúrok a drótvázra ülnek rá. A nézõszög, nézet (részletezõ vagy normál) és a Labels megõrzi korábbi beállítását.

Stílus

z1(x,y)=(xò yì yò x) / 390

z1(x,y)=xñ +.5yñ ì 5

A z-tengely felõl nézve

Megjegyzés: Ezek a példák ugyanazokat az x, y és z ablakváltozó értékeket használják, mint a ZoomStd nézõkocka. ZoomStd használatakor Z lenyomásával lehet a z-tengely felõl nézni a grafikont.

CONTOUR LEVELS

eyeq=20, eyef=70, eye ψ=0 mellett

CONTOUR LEVELS

Megjegyzés: Ne tévessze össze a kontúrokat a drótváz-vonalakkal. A kontúrok sötétebbek.

WIRE AND CONTOUR


167


Hogyan határozzuk meg a Z-értékeket?

Az ncontour ablakváltozó beállításával ( ¥ $ ) adható meg, hogy hány szintvonal jelenjen meg a z-tengelyen egyenletesen elosztva. Az összefüggések a következõk: zmax ì zmin

növekmény = ncontour + 1 A kontúrok z-értékei: zmin + inkrementum zmin + 2(inkrementum) zmin + 3(inkrementum) © zmin + ncontour(inkrementum)

Az alapérték 5. Ez 0 és 20 között átállítható.

Ha ncontour=5 és a standard nézõablak van beállítva (zmin=ë 10 és zmax=10), az inkrementum 3.333. Öt kontúr jelenik meg, a z=ë 6.666, ë 3.333, 0, 3.333 és 6.666 értékeknél. A TI-89 / TI-92 Plus azonban nem rajzol kontúrt olyan z-értékekhez, amelyeken a 3D grafikon értéke nem meghatározott.

Szintvonal interaktív rajzolása egy kiválasztott pont Z-értékénél

Ha a képernyõn éppen a szintvonalas grafikon látható, akkor kijelölhetõ ennek egy pontja és kontúrvonal rajzoltatható a hozzá tartozó z-értéknél. 1. A Draw menü behívásához nyomja meg a következõ gombot: TI-89: 2 ˆ TI-92 Plus: ˆ 2. Válassza a 7:Draw Contour menüpontot. 3. Két lehetõsége van:

¦

Tanács: A korábbi kontúrok a grafikonon maradnak. Az alapértelmezett kontúrok eltávolításához kapcsolja be a Window szerkesztõt ( ¥ $ ) és állítsa be a ncontour=0 értéket.

168

Gépelje be a pont x-értékét, nyomjon ¸-t, majd a pont y-értékét és nyomjon ¸-t. – vagy –

¦

Állítsa a kurzort a kívánt pontra. (A kurzor a drótváz-vonalak mentén mozog.) Ezután nyomjon ¸-t.

Tételezzük fel például, hogy az aktuális grafikon z1(x,y)=xñ +.5yñ ì 5. Ha Ön megadja az x=2 és y=3 értéket, a TI-89 / TI-92 Plus kontúrt húz a z=3.5 értéknél.



Szintvonalak rajzolása adott Zértékeken

A Graph képernyõn hívja be a Draw menüt, majd válassza a 8:DrwCtour menüpontot. Automatikusan megjelenik a kezdõképernyõ, DrwCtour-ral a beviteli sorban. Ezután egyenként megadható egy vagy több z-érték, illetve z-értékek egy sorozata állítható elõ. Néhány példa:

Tanács: Az alapértelmezett kontúrok eltávolításához kapcsolja be a Window szerkesztõt ( ¥ $ ) és állítsa be a ncontour=0 értéket.

DrwCtour 5

z=5-nél rajzol kontúrt.

DrwCtour {1,2,3}

z=1, 2 és 3 értéknél rajzol kontúrt.

DrwCtour seq(n,n,ë 10,10,2)

ë10 és 10 között minden második z-értékre (ë10, ë8, ë6, stb.) rajzol szintvonalat.

A TI-89 / TI-92 Plus a megadott kontúrokat az aktuális 3D grafikonra rajzolja. (Nem rajzol azonban kontúrt, ha a megadott z-érték a nézõkockán kívülre esik vagy ha a 3D grafikon értéke nem meghatározott az adott a zértéken.)

Megjegyzések a szintvonalas grafikonokról

Kontúr-grafikonok esetén:

¦

A kurzorgombokkal animálható a kontúr-grafikon (164. oldal).

¦

A kontúrok mentén mem végezhetõ letapogatás ( … ). Letapogatható azonban a Style=WIRE AND CONTOUR beállítással kirajzolt drótváz.

¦

Az egyenlet elsõ kiszámolása hosszabb idõt igényelhet.

¦

Az esetleges hosszabb kiszámolási idõ miatt érdemes a Style=WIRE FRAME felhasználásával beállítani a 3D egyenletet. Így sokkal rövidebb ideig tart a számolás. Majd miután megbizonyosodott arról, hogy a helyes Window változóértékekkel rendelkezik, hívja be a Graph Formats párbeszédpanelt, és adja meg a Style=CONTOUR LEVELS vagy WIRE AND CONTOUR beállítást. TI-89: ¥ Í TI-92 Plus: ¥ F


169


Példa: komplex függvény abszolútértékét szemléltetõ felület szintvonalai Az (a,b) = abs(f(a+bi)) komplex abszolútértékû felület bármely y=f(x) polinom komplex zérushelyeit adja meg.

Példánkban legyen f(x)=x 3+1. x helyére az x+yi általános komplex alakot behelyettesítve, a komplex felület egyenlete: z(x,y)=abs((x+yù i)3+1). 1. A 3 -al állítsa be a Graph=3D értéket.

Példa

2. Nyomja meg a ¥ # gombot és definiálja a következõ egyenletet: z1(x,y)=abs((x+yù i)^3+1)

3. Nyomja meg a ¥$ gombot és állítsa be a feltüntetett ablakváltozó értékeket.

4. Hívja be a Graph Formats párbeszédpanelt: TI-89: ¥ Í TI-92 Plus: ¥ F Kapcsolja be a tengelyeket, adja meg a Style = CONTOUR LEVELS

beállítást, és térjen vissza a Window szerkesztõbe. 5. A ¥ % gombbal ábrázolja az egyenletet. A grafikon kiértékelése eltart egy ideig, úgyhogy legyen türelemmel. A kirajzolás megtörténtével a komplex függvény abszolútértékét szemléltetõ felület pontosan a polinom komplex zérushelyein érinti az xy-síkot: 1 1 3 3 ë 1, + i , és ì i 2 2 2 2 Megjegyzés: Pontosabb becsült értékek az xgrid és ygrid ablakváltozó értékek megnövelésével határozhatók meg. Ezzel azonban a grafikon kiértékelési ideje is nõ. Tanács: A grafikon animálásakor a képernyõ normál nézetre vált. A normál és a részletezõ nézet között a p gombbal lehet váltogatni.

170

6. Nyomja meg az …-at és vigye a kurzort a negyedik negyedben levõ zérushelyre. A koordináták alapján a zérushely körülbelül .428ì.857 i.

A zérushely pontos, ha z=0.

7. Nyomjon N-et, majd a kurzor gombokkal animálja a grafikont és tekintse meg különbözõ eye szögekbõl. Ebben a példában eyeq=70, eyef=70 és eyeψ=0.



Implicit függvények grafikonjai Az implicit grafikonok elsõsorban olyan 2D implicit alakok ábrázolására szolgálnak, amelyek függvényábrázoló üzemmódban nem ábrázolhatók. Technikailag az implicit grafikon olyan 3D kontúr-grafikon, amelyen egyetlen kontúr van a z=0 értéknél.

Explicit és implicit alakok

2D függvényábrázoló üzemmódban, az egyenletek explicit alakja y=f(x), ahol minden x értékhez egyetlen y érték tartozik. Sok egyenlet azonban csak az f(x,y)=g(x,y) implicit alakban adható meg, ahol y x-szel vagy x ynal nem fejezhetõ ki explicit módon.

Egy x értékhez több y is tartozik, ami függvényábrázoló üzemmódban nem jeleníthetõ meg.

Tanács: Számos implicit alak a következõ megoldásokkal is ábrázolható:

Az implicit grafikonok 3D ábrázoló üzemmódban y-ra vagy x-re rendezés nélkül is ábrázolhatók.

• Paraméteres egyenletekkel fejezzük ki õket. Lásd a 7. fejezetet.

Rendezzük úgy át az implicit alakot, hogy jobb oldala 0 legyen.

f(x,y)ì g(x,y)=0

• Több explicit függvényre bontjuk õket. Lásd a 6. fejezet kezdõ példáját.

Írjuk be az Y= szerkesztõbe az egyenlet bal oldalát. Ez érvényes, mert az implicit grafikon automatikusan nullával teszi egyenlõvé az egyenletet.

z1(x,y)=f(x,y)ì g(x,y)

Példaként adja be az Y = szerkesztõbe az ellipszis jobboldalt látható egyenletét.

A grafikon megjelenési stílusának kiválasztása

Megjegyzés: A Graph képernyõn TI-89: Í TI-92 Plus: F -fel is át lehet váltani más grafikon- stílusra. Az

Ha xñ +.5yñ =30, akkor z1(x,y)=xñ +.5yñ ì 30.

3D ábrázoló üzemmódban definiáljon egy alkalmas egyenletet és ábrázolja szokásos 3D egyenletként, a következõ megszorítással. Írassa ki a GRAPH FORMATS párbeszéd-ablakot (ehhez az Y= vagy a Window szerkesztõben vagy a Graph képernyõn nyomjon. TI-89: ¥ Í TI-92 Plus: ¥ F Ezután állítsa be a stílust: Style = IMPLICIT PLOT

IMPLICIT PLOT-hoz azonban TI-89: ¥ Í TI-92 Plus: ¥ F

visz vissza.


171


¦

A nézõszög olyan kezdõértékre áll, hogy a kontúrok a z-tengely felõl nézve jelenjenek meg. A nézõszög természetesen átállítható.

¦

A grafikon részletezõ nézetben jelenik meg. A részletezõ és a normál nézet között a p gombbal lehet váltani.

¦

A Labels automatikusan OFF-ra áll.

Style Megjegyzés: Ezek a példák ugyanazokat az x, y és z ablakváltozó értékeket használják, mint a ZoomStd nézõkocka. ZoomStd használatakor Z lenyomásával lehet a z-tengely felõl nézni a grafikont.

Megjegyzések az implicit grafikonokkal kapcsolatban

172

xñ ì yñ =4 z1(x,y)=xñ ì yñ ì 4

sin(x)+cos(y)= e (xù y) z1(x,y)=sin(x)+cos(y)ì e (xù y)

IMPLICIT PLOT

Implicit grafikon esetén:

¦

Az ncontour ablakváltozó (168. oldal) hatástalan. A TI-89 / TI-92 Plus csak a z=0 kontúrt rajzolja ki, függetlenül az ncontour értékétõl. A kirajzolt grafikon megmutatja, hogy hol metszi az implicit alak az xysíkot.

¦

A kurzorgombokkal animálható a kontúr-grafikon (164. oldal).

¦

Maga az implicit grafikon nem tapogatható le ( … ). Letapogatható azonban a 3D egyenlet láthatatlan drótváza.

¦

Az egyenlet elsõ kiértékelése hosszabb idõt igényelhet.

¦

Az esetleges hosszabb számolási idõ miatt érdemes a Style=WIRE FRAME felhasználásával ábrázolni a 3D egyenletet. Így sokkal rövidebb lesz a számolási idõ. Amikor már biztos, hogy jók az ablakváltozó értékek, Ön a beállíthatja a Style=IMPLICIT PLOT stílust: TI-89: ¥ Í TI-92 Plus: ¥ F



Példa: Egy bonyolultabb egyenlet implicit függvényének grafikonja Az IMPLICIT PLOT megjelenítési stílussal más módon ábrázolhatatlanul bonyolult egyenletek ábrázolhatók és animálhatók. Bár egy ilyen grafikon kiértékelése hosszabb idõt igényelhet, a vizuális eredmények igazolhatják az idõráfordítást.

Példa

Ábrázolja a sin(x 4+yì x 3 y) = .1 egyenletet. 1. A 3 -al állítsa be a Graph=3D értéket. 2. Nyomja meg a ¥ # gombot és definiálja az egyenletet: z1(x,y)=sin(x^4+yì x^3y)ì.1

3. Nyomja meg a ¥ $ gombot és állítsa be a feltüntetett ablakváltozó értékeket.

4. A: TI-89: ¥ Í TI-92 Plus: ¥ F

gombbal kapcsolja be a tengelyeket, állítsa be Style = IMPLICIT PLOT értékét és térjen vissza a Window szerkesztõbe. Megjegyzés: A rajzolási pontosság az xgrid és ygrid ablakváltozó értékeinek megnövelésével növelhetõ. Ezzel azonban a grafikon ábrázolásának ideje is nõ.

Tanács: A grafikon animálásakor a képernyõ normál nézetre vált. A normál és a részletezõ nézet között a p gombbal lehet váltani.

5. A ¥ % gombbal ábrázolja az egyenletet. A grafikon kiértékelése eltart egy ideig, úgyhogy legyen türelemmel.

A grafikon azokat a helyeket mutatja, ahol sin(x 4+yìx 3y) = .1

6. A kurzor gombokkal animálja a grafikont és tekintse meg különbözõ eye szögekbõl. Részletezõ nézet eyeq=ë127.85, eyef=52.86 és eyeψ=ë18.26 mellett.


173


174



Ez a fejezet a 3D egyenletek. célszerû megismerkednie a 6. fejezet. tartalmával. x A z(x,y) egyenlet 3D grafikonjának

Recommend Documents