A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/Harry_Markowitz Ennek a legegyszer¶bb változatát ismertetjük (irodalom: Robert J. Vanderbei, Linear Programing, Foundations and Extensions). Adott n db. potenciális befektetés, jelölje Ri (i = 1, . . . , n) a i-edik befektetés értékét (t®ke+ kamat) a következ® id®periódusban. Ekkor Ri-t valószín¶ségi változónak tekinthetjük, jóllehet, bizonyos befektetések esetén ez determinisztikus is lehet. Portfolió alatt nemnegatív xi (i = 1, . . . , n) számok összességét értjük, melyek összege éppen 1. Most xi azt mutatja meg, hogy egységnyi t®kének mely részéért vásároltunk az i-edik befektetésb®l. Így

portfoliónk (egységnyi befektetésre es®) értéke a következ® id®periódusban R=

n X

xi Ri .

i=1

A

portfolió várható értéke: ER =

n X

xi E Ri .

i=1

Ha ezt akarjuk maximalizálni, akkor a helyzet egyszer¶, teljes t®kénket a legnagyobb várható érték¶ befektetésbe fektetjük. De sajnos, a magas nyereség¶ befektetések egyúttal magas kockázatúak is. Azaz hosszú távon jól teljesítenek, de rövid távon nagyon nagy az ingadozásuk. 1

2

Markowitz egy ként deniálta:

ja

portfolió kockázatát annak varianciá-

var R = E(R − E R)2 = E



n P

2 xi(Ri − E Ri)

i=1

 =E

n P

2 fi xi R

i=1

ahol fi = Ri − E Ri. R

A várható értéket maximalizálni a kockázatot minimalizálni kellene. Ez két ellenkez® irányú cél, melyet egyszerre nem teljesíthetünk. A Markowitz modellben arra törekszünk, hogy a várható értéket úgy maximalizáljuk, hogy közben a kockázat ne legyen túl nagy. Markowitz egy µ pozitív paramétert vezetett be ( ), és a következ® optimalizálási problémát veti fel:  n n P f 2 P xi Ri xi E Ri − µ E maximalizálja

kockázat elkerülési paraméter

i=1

i=1

feltéve, hogy

n P

(1)

xi = 1

i=1

xi ≥ 0

(i = 1, . . . , n).

A µ kockázat elkerülési paraméter a kockázat fontosságát jelzi a várható értékkel szemben, ha értéke nagy, akkor a kockázatot csökkentjük, a várható érték ellenében, míg kis értékénél magas kockázatot vállalunk a magas várható érték érdekében. Pédául, ha µ = 0 akkor a várható értéket maximalizáljuk, és

3

a kockázatot gyelmen kívül hagyjuk. Az (1) maximalizálási optimum problémával egyenérték¶ az alábbi minimalizálási optimum probléma:

minimalizálja

−

n P

 xi E Ri + µ E

i=1 n P

feltéve, hogy

n P

2 fi xi R

i=1

(2)

xi = 1

i=1

xi ≥ 0

(i = 1, . . . , n).

A célfüggvény alakjából kiolvasható, hogy annak kvadratikus része pozitív szemidenít. (2) egy kvadratikus programozási minimumprobléma. A varianciát tovább alakítva kapjuk, hogy  E

n P

2 fi xi R

 =E

n P

i=1

i=1

=

n P n P

 fi xi R

n P

! fj xj R

=E

n P n P i=1 j=1

j=1

n P n P f f xixj E(RiRj ) = xixj Cij

i=1 j=1

ahol fiR fj ) Cij = E(R

i=1 j=1

! fj fiR xi xj R

4

a kovariancia mátrix. Bevezetve a ri = E Ri jelölést, optimalizálási problémánk átírható minimalizálja

−

n P

rixi + µ

i=1

feltéve, hogy

n P

n P n P

xixj Cij

i=1 j=1

(3)

xi = 1

i=1

xi ≥ 0

(i = 1, . . . , n)

alakba. Látható, hogy a megoldáshoz szükségünk van minden befektetés nyereségének és a kovariancia mátrixnak a becslésére. Ezeket azonban nem ismerjük, viszont a múltbeli adatok alapján becsülhet®k. Táblázatunk nyolc különböz® lehetséges befektetésre: (1) 3 hónapos US kincstárjegy, (2) US hosszú lejáratú kötvény, (3) S& P 500, (4) Wilshire 500 (kis cégek részvényeinek összessége), (5) NASDAQ Composite, (6) Lehman Brothers Corporate Bonds Index, (7) EAFE (index Európa, Ázsia, Távolkelet befektetéseire), (8) arany nézve mutatja az évenkénti értékeket az 1973-1994 id®szakra 1$ befektetett összegre nézve. Így pl. 1$ 1973. január 1-én 3 hónapos US kincstárjegybe fektetve, ugyanezen év december 31-én 1, 075$-re n®tt.

5

Legyen Ri(t) (i = 1, . . . , n) a i-edik befektetés értéke az 1972 + t évben. Egy egyszer¶ becslés ennek E Ri várható értékére, a múltbeli értékek átlaga (számtani közepe): T 1X ri = E Ri = Ri(t). T t=1

Ennek az egyszer¶ képletnek két hátránya van.

6

Az els® az, hogy ami 1973-ban történt, az bizonyára kevésb-

bé van hatással a jöv®re, mint az, ami 1994-ben történt. Így, ha ugyanolyan súllyal vesszük gyelembe a múltbeli éveket, akkor a régi eseményeknek túl nagy jelent®séget tulajdonítunk, a közelmúltbeli események rovására. Egy jobb becslést kaphatunk, ha a

T P

E Ri =

pT −tRi(t)

t=1 T P

pT −t

t=1

diszkontált összeget számoljuk, ahol p a diszkontálási faktor. A p = 0, 9 értéket véve a súlyozott átlag nagyobb súlyt ad a közelmúlt éveinek. Például arany esetén az átlagos érték 1,129, míg a súlyozott 1,053. Legtöbb szakért® 1995-ben úgy gondolta, hogy az 5, 3%-os növekedés reálisabb, mint a 12, 9%. Az alábbi számításokban a p = 0, 9 lettek kiszámolva. az átlag kiszámítási módja. Egy befektetésnek melynek értéke az els® évben 1,1, a másodikban 0,9 az átlagértéke 1,0, vagyis nincs se növekedés, se veszteség. Azonban 1$ így befektetve a második év végén 1, 1 · 0, 9 = 0, 99$ lesz, vagyis 1%-kal kisebb mint az átlag. Ez nem nagy eltérés, de ha pl. az érték az els® évben 2, a másodikban 0,5 az átlagértéke 1,25, viszont az érték a második év végén 2·0, 5 = 1$ lesz ami már 25%-kal kisebb mint az átlag, azaz jelent®s az eltérés. Ez már egy olyan hatás amit korrigálni kell. Ennek

becslések

A második probléma

súllyal

7

eszköze a súlyozott geometriai középpel képezett átlag:   T P T −t 1 !P p ln R (t) T T i   Y pT −t   t=1 (pT −t ) t=1 Ri(t) E Ri = exp  = T P   t=1 pT −t t=1

Ez a becslés pl. aranyra 2, 9%-ot ad ami sokkal jobban összhangban van a szakért®k véleményével (legalábbis 1995-ben). Hasonlóan lehet a Cij kovariancia mátrix elemeit is becsülni a múltbeli adatok alapján, például: T 1X Cij = (Ri(t) − ri)(Rj (t) − rj ) T t=1

(i, j = 1, . . . , n).

Az ri, Cij értékeket ismerve, adott µ mellett a (3) kvadratikus programozási feladat megoldható.

optimális portfoliókat adja meg a az 1995 évre vonatkozóan).

A következ® táblázat az µ paraméter több értékénél (

Látható, hogy µ = 0-nál a portfoliónk egyetlen befektetést tartalmaz EAFE-t, mert ennek a legmagasabb a várható értéke

8

a múltbei adatok alapján. Nagyon magas, pl. µ = 1024 esetén, portfoliónk 93, 3%-ban hosszú lejáratú US államkötvényt tartalmaz, és csak 2, 2%nyi EAFE-t, mert az el®z®nek kicsi, utóbbinak nagy a varianciája (a múltbeli adatokból becsülve). A µ értékét folytonosan változtatva, az optimális portfolió várható értékét (középérték) és varianciáját ábrázolva egy görbét kapunk, melyet esetünkben az alábbi ábra mutat:

Itt a vízszintes tengelyen az optimális portfolió várható értékei, a függ®leges tengelyen a varianciák (100-zal szorozva) vannak feltüntetve, a µ értékek a megfelel® pontoknál be vannak

9

írva. Ugyancsak be vannak jelölve az egyes befektetések adatai. A kapott görbét -nek nevezzük (magyarul kb. hatékonysági határgörbe). E görbe felett (vagy rajta) van az összes (az optimális portfolió meghatározásánál) gyelembevett befektetés. Minden olyan portfolió, melynek várható értéke és varianciája nem erre a görbére esik (felette van) javítható, így csak olyan portfolióba szabad befektetni, mely a hatékonysági határgörbén van.

ecient frontier