Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
II.4. A SZÁZHOLDAS PAGONY A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Kombinatorika, a kombinációk számának meghatározása, az ezzel kapcsolatos ismeretek elmélyítése. Előzmények Lehetőségek fája, szorzási szabály. Cél A gyakorlati problémákban felvetett kombinatorikus kérdésekre megfelelő modell keresése; a lépésről lépésre történő felismerés és képletalkotás, valamint a szövegértés és modellalkotás képességének fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata
+ + + + +
Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei
+ + + + + + + +
Felhasználási útmutató Célszerű kiscsoportokban (3–4 fő) vagy párokban feldolgozni a feladatokat. Az első feladathoz szükség esetén adjunk kezdőlökést – részkérdésekkel vezessük rá a diákokat a rekurzív megközelítésre. (Például hányféleképpen lehet eljutni a második sorban lévő L-hez?), majd miután az első feladatot a többség megoldotta, érdemes közös megbeszélést tartani. Ezek után minden csoport haladhat a saját tempójában előre, mikor megoldottak egy feladatot, kapják a következőt (ez akár a feladatsor sokszorosításával, majd a papírok feldarabolásával és az egyes részek folyamatos kiosztásával is megvalósítható). A 2. feladat továbbgondolható. További kérdésként feltehető, hogy mi van az ellenkező helyzetben, azaz amikor van egy (esetleg két) olyan betű, melyre muszáj rálépnünk; továbbá a két probléma kombinációja is érdekes lehet, azaz amikor van olyan betű (hely), amire nem léphetünk, és van olyan, amire muszáj rálépnünk. Az elején nagyon figyelni kell, hogy mindenhol beinduljon a munka, a továbbiakban pedig életben kell tartani a folyamatot, azaz mindenkit ellátni feladattal. Nehéz tanári feladat, hogy a csapatot többé-kevésbé együtt tartsuk a feladatsor megoldása során. Ez a feladatsor a rekurzív gondolkodásmód kialakítását is segíti. II. Kombinatorika, gráfok
II.4. A Százholdas Pagony
1.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
A SZÁZHOLDAS PAGONY Feladat sor Micimackó és Malacka egy nagy odvas fa alatt ücsörgött a Százholdas Pagonyban. Micimackó a nevüket írta le a homokba. De nem csak úgy egyszerűen, hanem a következőképpen:
M A L A C
M I C I M A C K
A L A C K
I C I M A C K Ó
L A C K A 1. a) Azon gondolkodtak, melyikük hányféleképpen tudja kiolvasni a nevét. (Természetesen a bal felső sarokból indulnak, és minden lépésnél jobbra vagy lefelé haladnak egyet.) Szerinted hányféleképpen lehetséges ez Micimackónak és hányféleképpen Malackának? Miután Micimackó rájött, hogy Malacka nevét így jóval többféleképpen lehet kiolvasni, azon törte a fejét, hogyan kellene egy téglalapba írnia a nevét úgy, hogy most már az ő nevét lehessen több módon kiolvasni, sőt, a lehető legtöbb módon. b) Hányszor hányas téglalapba kellene írnia Micimackónak a nevét, hogy célját elérje? Malackát kissé zavarta, hogy az ő neve rövidebb, és ezért a fenti módon kevesebbszer tudja kiolvasni. Hirtelen gondolt egyet, kitörölte a homokból a nevéből készített ábrát, és a következőt írta helyette (ő csak a kisbetűket ismeri): m
a
l
a
c
k
a
l
a
c
k
a
l
a
c
k
a
a
c
k
a
c
k
a
k
a
a
a Malacka nagyon elégedett volt az irományával. Érezte, hogy ebből biztosan többféleképpen lehet az ő nevét kiolvasni, mint ahányféleképpen Micimackó nevét a korábbi ábrából. De sehogy sem tudta összeszámolni, hányféleképpen. Az igazság az, hogy Malacka csak 50-ig tudott számolni. c) Szerinted, ha tovább gondolkozik, képes lenne összeszámolni a lehetőségeket? Mennyi is ez valójában?
II. Kombinatorika, gráfok
II.4. A Százholdas Pagony
2.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
Hirtelen egy szellő suhant végig az erdőn, így a homokba rajzolt írások is megrongálódtak. A következők maradtak meg belőle: m
a
l
a
l
a
l
a
c
k a
a
c
k
c
k
a
k
a
c
k
k
a
a
a
M
I
C
I
M A
C
I
C
I
M
C
K
C
I
M A
C K
Ó
a 2. Most vajon melyikük nevét lehet többször kiolvasni? Aztán feltámadt a szél, így a homokba rajzolt betűk teljesen eltűntek. Más játék után kellett tehát nézniük. Egy pénzérme volt náluk, azt kezdték el dobálni. Megfigyelték, hogy milyen hat dobásból álló sorozatok jönnek ki. Nagyon tetszett nekik a játék, és úgy döntöttek, hogy az összes különböző hat dobásból álló sorozatot összegyűjtik. Ha szerencséjük van, előbb-utóbb valamennyi sorozat dobása bekövetkezik. 3. a) Hány lehetőség is van összesen? Miután ezt megszámolták, azt találták ki, hogy most egymás után nyolcszor dobják fel a pénzt (nyolcas sorozatokat dobnak), de most csak azokat jegyzik fel, amelyekben pontosan két fejet dobtak. b) Ekkor hány lehetőség van összesen? Miután ezt is megszámolták, felfedezték, hogy a neveik felírása és a pénzérmék dobálása között érdekes összefüggés van: Malacka nevét pontosan annyiszor tudták kiolvasni az általa kisbetűkkel felírt elrendezésből, mint ahányféle dobássorozatot a pénzérme hatszor történő feldobásával kialakíthattak. c) Ha Micimackó nevét is felírnánk hasonló módon, akkor nevének kiolvasása esetén találnánk-e hasonló összefüggést? Hány betűből áll Micimackó, illetve Malacka neve? Ha Füles is részt vett volna a játékban, akkor az ő nevének kiolvasása a pénzérme hányszori feldobásával lenne kapcsolatba hozható? Micimackó és Malacka is eltöprengett azon, hogy ez csak véletlen, vagy van valami oka is a rejtélynek. Micimackó azt mormolta magában: „Gondolj! Gondolj!” Aztán egyszer csak a homlokára csapott. – Fej vagy írás, jobbra-balra – morogta magában. Erre Malacka is a homlokára csapott, mert éppen oda szállt egy szúnyog. d) Meg tudnád-e magyarázni a kapott összefüggést Micimackó ötletének segítségével? II. Kombinatorika, gráfok
II.4. A Százholdas Pagony
3.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
MEGOLDÁSOK 1. a) Minden betű helyére írjuk be, hogy oda hányféleképpen tudunk eljutni, így a jobb alsó sarokban lévő szám pont a kérdésre felel, hiszen ha a szabályoknak megfelelően jutunk el oda, akkor mindenképpen az aktuális nevet olvassuk ki. Azt pedig, hogy egy pontba hányféleképpen lehet eljutni, úgy tudjuk meghatározni, ha a fölötte és a tőle balra lévő számot összeadjuk. Lehet, hogy nem mindig van mindkét helyen szám. A bal felső sarokba először írjunk egy egyest, hisz oda egyféleképpen tudunk eljutni. A táblázatok az alábbiak lesznek: 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
1
3
6
10 15
b) Formálisan kilenc lehetősége van Micimackónak arra, hogy a nevét téglalapba írja (1 9, 2 8, 3 7, …, 9 1), de ezek közül csak öt az, ami lényegesen különbözik. Az 1 9-es elrendezés nyilván csak egyféle kiolvasást tesz lehetővé. Felírva a maradék három lehetőséget (hisz a 2 8 már rendelkezésre áll) az alábbiakat kapjuk: 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10 15 21
1
3
6
10 15 21 28
1
4
10 20 35 56
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10 15
1
4
10 20 35
1
5
15 35 70
Így empirikus úton láthatják, hogy a „középső” elrendezés, azaz jelen esetben az 5 5ös adja a legtöbb kiolvasási lehetőséget. c) Ebben a feladatban is működik a rekurzív megoldás, de új gondolat, hogy a mezőkben kapott számokat a végén össze kell adni. A jobb képességűektől érdemes megkérdezni, hogy vajon véletlen-e, hogy az eredmény kettőhatvány. II. Kombinatorika, gráfok
II.4. A Százholdas Pagony
4.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10 15
1
4
10 20
1
5
15
1
6
1
1
Vagyis a végeredmény: 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64. Malacka tehát odáig eljutna, hogy a részeredményeket kiszámolja, de a végeredmény meghatározása már meghaladná ismereteit. 2.
Meglepő, de ebben a komplikáltabbnak tűnő esetben is tökéletes a rekurzív megoldás, csak fokozottan kell figyelni az elmosódott betűk környékén. 1
1
1
1
1
1
1
2
3
1
2
1
3
3
4
1
1
4
7
1
2
6
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
2
1
3
6
10 10 11 13
1
Végeredmény: 1 + 3 + 6 + 7 + 4 + 2 + 1 = 24.
Végeredmény: 13.
3. a) Akiknek ez nehezebben megy, azoknak segítsünk azzal, hogy nem kell rögtön hat dobásból álló sorozatban gondolkodniuk. Nézzék sorban, hogy két dobásból, három dobásból stb. álló sorozatból mennyi van. Ezeket fel is írhatják, és végül próbálják megsejteni a helyes szabályt. Mivel az események függetlenek egymástól, és minden esetben kétféle dolog következhet be, így a végeredmény: 26 = 64. b) Ez a feladat már a binomiális együtthatók felé vezet. El kell dönteni, hogy hol lesz a két fej a nyolc lehetséges helyet figyelembe véve. Ha ezeknek a lehetőségeknek a száma megvan, akkor kész vagyunk, hisz a kimaradt helyekre csak írások jöhetnek. Nyilván az első fej nyolc helyen lehet, a második pedig hét helyen, hisz nem lehet ott, ahol a korábbi. Azonban a két fej minden elhelyezkedését kétszer számoljuk, mert egyszer az egyik fej az „első”, egyszer pedig a másik. Ezért a szorzatként kiszámolt eredményt II. Kombinatorika, gráfok
II.4. A Százholdas Pagony
5.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
kettővel osztani kell. (Ezt a diákoknak is részletesen magyarázzuk – esetleg magyaráztassuk – el.) A válasz tehát 28. c) Micimackó neve kilenc betűből áll, Malackáé hétből. Micimackó nevét a felírtakból 8 pénzérme dobássorozatával lehet kapcsolatba hozni, Malackáét 6 pénzérme dobásaival. Az első feladatban Malacka nevét hat lépésben olvashatjuk ki, melyből kétszer kell lefelé lépnünk, ez megfelel a „hat dobásból két fej” eseteknek. Ha Füles is részt vett volna, akkor az ő nevének kiolvasása a pénzérme négyszeri feldobásával lenne kapcsolatba hozható. d) Egy lehetséges analógia: amikor a pénzérmével fejet dobunk, akkor a kiolvasásnál jobbra lépünk, amikor pedig írást, akkor balra. Így nyilvánvalóan ugyanannyi féle kiolvasás lehetséges, ahány fej-írás sorozat.
II. Kombinatorika, gráfok
II.4. A Százholdas Pagony
6.oldal/6
