II. TERMOMECHANIKA SMĚSI PLYNŮ, PAR A VLHKÉHO VZDUCHU

II. TERMOMECHANIKA SMĚSI PLYNŮ, PAR A VLHKÉHO VZDUCHU 1.0 Směsi plynů Nejběžnější směsí plynů je atmosférický vzduch. Je to směs dusíku, kyslíku a v menší míře jsou zastoupeny oxid uhličitý, vodík a nepatrné množství vzácných plynů. Zvláštním případem jsou směsi plynů a přehřátých par jiné látky – např. vzduchu a přehřátých vodních par. Směsi plynů jsou také výfukové plyny spalovacích tepelných strojů. Směsi plynů nejsou analogické směsím mechanickým, poněvadž jejich jednotlivé složky nemůžem čistě mechanickou cestou od sebe oddělit. Směsi plynů jsou směsi molekul plynů, a proto jsou analogické roztokům. Pro směsi plynů, které vznikají bez produkce nebo potřeby tepla, platí Daltonův zákon, podle kterého každý plyn ve směsi si řídí vlastními rovnicemi stavu, pomocí nichž lze určit tlak příslušný danému objemu a teplotě. Tlak každého jednotlivého plynu ve směsi o určité teplotě se nazývá parciální (částečný) tlak. Parciální tlak plynu je takový tlak, jaký by měl plyn, kdyby v celém prostoru byl sám při dané teplotě směsi. Tlak směsi (p) je roven součtu parciálních tlaků (pi) složek směsi (Daltonův zákon). x

p = p1 + p2 + ….. +px =

∑p

(II – 1)

i

1

1.1 Poměr složek směsi plynů Poměr každé složky k celé směsi lze vyjádřit jako poměr jejích hmotností nebo poměr jejich objemů. Tyto poměry se navzájem liší. Poměr hmotnosti jednotlivých plynů (mi) k hmotnosti směsi (m) se nazývá poměrná hmotnost (σi) nebo také hmotnostní koncentrace složky ve směsi: σi =

mi m

(II – 2)

Pro směs pak platí: x

Σσ1 + σ2 + ….. + σx =

∑σ

i

=0

(II – 3)

1

Tyto hmotnostní podíly se zpravidla udávají v procentech. Např. pro suchý vzduch bez příměsí je

σ N 2 = 77 % a σ O 2 = 23 %.

3

Poměr plynů jednotlivých složek (Vi) k objemu celé směsi (V) se nazývá poměrný objem (ωi) nebo také objemová koncentrace složky ve směsi: Vi V

ωi =

(II – 4)

kde Vi je objem složky ve směsi objemu V, redukovaný na týž měrný tlak (p) a tutéž teplotu jako má směs. Tento redukovaný objem (Vi) se nazývá parciální objem. Redukovaný – parciální objem (Vi) se stanoví z Boyl – Mariotova zákona: pi · V = p · Vi odkud Vi =

pi ⋅V p

(II – 5)

Objem směsi (V) je pak dán součtem parciálních objemů (Vi): V1 + V2 + ….. + Vx =

x

∑V

i

=V

(II – 6)

1

Obdobně platí: x

ω1 + ω2 + ….. + ωx =

∑ω = 1

(II – 7)

i

1

I objemové podíly se zpravidla udávají v procentech objemu směsi. Objemové a hmotnostní podíly se liší, protože se plyny liší měrnými hmotnostmi (σi). Pro suchý vzduch bez příměsí je ω N 2 = 79 % a ωO 2 = 21 %. 1.2 Měrný objem (v) a měrná hmotnost (ρ) směsi Objem složky směsi je dán součinem její hmotnosti (mi) a jejího měrného objemu (vi). Objem směsi (V) je dán: V = m·v = m1·v1 + m2·v2 + ….. + mx·vx =

x

∑m ⋅v i

i

(II – 8)

1

odkud měrný objem směsi (v) je dán: v=

m m m1 ·v1 + 2 ·v2 + … + x ·vx = m m m

x

mi

∑m

·vi (II – 9)

1

nebo s použitím rovnice II – 2: x

v = σ1·v1 + σ2·v2 + ….. + σx·vx =

∑σ ⋅v i

1

po zavedení měrné hmotnosti složek ρi = 1/vi bude

4

i

(II – 10)

x

v=∑ 1

σi ρi

(II – 11)

a měrná hmotnost směsi (ρ) bude dána: ρ=

1 = v

1 σ ∑1 ρ i i

(II – 12)

x

Hmotnost směsi (m) lze také vyjádřit následovně: x

M = V ⋅ ρ = ∑ Viρ i 1

odkud s použitím rovnice II – 4 bude měrná hmotnost (ρ) dána: x

ρ=∑ 1

Vi V

x

ρ i = ∑ ωi ρ i

(II – 13)

1

1.3 Stavová rovnice směsi Pro složky směsi o objemu V a teplotě T platí rovnice stavu: p1 · V = m1 · r1 · T p2 · V = m2 · r2 · T px · V = mx · rx · T

(II – 14)

Podle Daltonova zákona platí: x

p = p1 + p2 + ….. px =

∑p

(II – 15)

i

1

a pro směs platí: p · V = (p1 + p2 + … + px) · V = (m1 · r1 + m2 · r2 + … + mx ·rx) · T = =m·r·T

(II – 16)

odkud r=

m2 mx m1 ·r1 + ·r2 + ….. + ·rx m m m

(II – 17)

nebo x

r = σ1 · r1 + σ2 · r2 + ….. + σx · rx =

∑σ ⋅r i

i

(II – 18)

1

Plynová konstanta směsi je dána součtem součinů poměrných hmotností a plynových konstant jednotlivých složek směsí.

5

1.4 Parciální tlak složek Je-li směs určena poměrnými hmotnostmi složek (σi), lze parciální tlak složky stanovit z její rovnice stavu: pi · V = mi · ri · T

(II – 19)

rovnice stavu směsi je: p·V=m·r·T

(II – 20)

Z podílu obou rovnic (II – 19 a 20): pi r = σi · i p r

(II – 21)

lze vyjádřit parciální tlak (pi) složky ve směsi: pi = p · σi ·

ri r

(II – 22)

Je-li směs dána objemovými podíly složek, pak se vychází z rovnice: pi · V = p · Vi

(II – 23)

odkud parciální tlak (pi) složky ve směsi je dán rovnicí: pi = p ·

Vi = p · ωi V

(II – 24)

1.5 Měrná tepelná kapacita směsi Měrná tepelná kapacita směsi (c) se určuje z měrných tepelných kapacit jednotlivých složek. Z rovnosti tepelných energií směsi a složek směsi: x

∑c ⋅m

c · m = c1 ·m1 + c2 · m2 + ….. + cx · mx =

i

i

1

lze vyjádřit měrnou tepelnou kapacitu směsi (c): c = c1 ·

m m m1 + c2 · 2 + ….. + cx · x = m m m

x

mi

∑c ⋅ m i

1

nebo x

c = c1 · σ1 + c2 · σ2 + ….. + cx · σx =

∑c ⋅σ i

i

(II – 25)

1

Tyto rovnice platí všeobecně. Při p = konst se do nich dosazuje “cp“ a při V = konst se dosadí “cv“. 1.6 Směšování tekutin o různých teplotách Smíchá-li se za stálého tlaku (p) několik různých tekutin (kapalin nebo plynů), které se chemicky neslučují ani jinak vzájemně nereagují a které mají různé teploty (ti),

6

dojde mezi nimi k výměně tepla a teploty se vyrovnají na stejnou hodnotu (ts), kterou lze vyjádřit z energetické rovnice: Q1 + Q2 + … + Qx = QS a po vyjádření: c1 · m1 · t1 + c2 · m2 · t2 + … + cx · mx · tx = (c1 · m1 + c2 · m2 + … + cx · mx ) · tS odkud tS =

c1 ⋅ m1 ⋅ t1 + c 2 ⋅ m 2 ⋅ t 2 + ... + c x ⋅ m x ⋅ t x c1 ⋅ m1 + c 2 ⋅ m 2 + ..... + c x ⋅ m x

(II – 26)

V některých případech se má určit hmotnost látky (m2) o měrné tepelné kapacitě (c2) a teplotě (t2) potřebnou k tomu, abychom ohřáli nebo ochladili hmotnost látky (m1) o měrné tepelné kapacitě (c1) a teplotě (t1) na teplotu (tS). Vychází se rovněž z energetické rovnice m1 · c1 · t1 + m2 · c2 · t2 = m1 · c1 · tS + m2 · c2 · tS odkud m 2 = m1 ⋅

c1 ⋅ (t S − t1 ) c 2 ⋅ (t 2 − t S )

(II – 27)

Toto se týká např. ohříváků topných soustav a soustav přípravy užitkové vody. 2.0 Skutečné plyny Dosavadní úvahy se převážně týkaly tzv. ideálních plynů, o nichž se předpokládá, že se přesně řídí stavovou rovnicí p · v = r · T, dále že vnitřní energie závisí pouze na teplotě měrné tepelné kapacity (cv, cp) jsou stálé a že součinitel roztažnosti i isotermické stlačitelnosti nezávisí na teplotě. Ve skutečnosti neexistují ideální plyny a skutečné plyny se jim více či méně blíží. Skutečné plyny se ideálním blíží tím více, čím je nižší tlak a čím je větší teplota plynu. U skutečných plynů se v p-V diagramu isoterma odchyluje od rovnoosé hyperboly tím více, čím se plyn blíží kapalné fázi. Dojde-li u plynu při změně objemu ke změně skupenství – zkapalňování, přechází isoterma ve vodorovnou přímku. Tento průběh trvá, pokud probíhá zkapalňování. Dochází-li ke zmenšování objemu plynu při podkritické teplotě (Ti), stoupá tlak a při objemu vi″ začne plyn zkapalňovat (obr. č. II-1). Zde hyperbola přechází ve vodorovnou přímku. Při dalším zmenšování objemu se nemění tlak (p) ani teplota (T) – děj je isobaricko – isotermický pokud nezkapalní veškerý plyn, což nastane při objemu vi″. Provede-li se totéž při jiných podkritických teplotách, dojde ke zkapalňování při jiných objemech (vi″, vi′). Spojnice bodů určujících počátek zkapalňování

7

dává horní nebo pravou mezní křivku. Obdobně spojnice bodů určujících konec zkapalňování dává dolní nebo levou mezní křivku. Horní a dolní mezní křivka se setkávají v kritickém bodě (K) určeném kritickými hodnotami tlaku (pkr), objemu (vkr) a teploty (Tkr). Isoterma (Tkr) procházející kritickým bodem má v tomto bodě vodorovnou tečnu a je to současně inflexní bod. Měrný objem plynu i kapaliny je v kritickém bodě stejný a proto je stejná i měrná hmotnost. Kapalina v kritickém bodě proto nevytvoří volnou hladinu. Zmenšuje-li se objem při nebo nad kritickým tlakem, přechází plyn na kritické isotermě (Tkr) v kapalinu nebo opačně při zvětšování objemu se mění kapalina v plyn. Kritické hodnoty stavových veličin některých plynů uvádí tabulka č. II-1.

Obr. č. II-1 Mezní křivka plynu Plyn

Teplota varu

Kritická Kritický Kritický

při normálním teplota

tlak

měrný objem

tlaku [°C]

[°C]

[MPa]

[m3·kg-1]

Čpavek

- 33,5

+ 132,4 11,5

4,25.10-3

Dusík

- 194,6

- 147,1

3,25

3,22.10-3

Kyslík

- 182,7

- 118,8

5,08

Vodík

- 252,8

- 239,9

1,32

32,3.10-3

Vzduch

- 193,0

- 140,7

3,84

3,23.10-3

Oxid uhličitý - 78,2

+ 31,0

7,53

2,14.10-3

Voda

+ 374,2 22,55

+ 100,0

Tab. č. II-1 Kritické hodnoty stavových veličin

8

3,07.10-3

Při nadkritických teplotách se nedá plyn zkapalnit pouhým stlačováním, nýbrž je nutné předchozí chlazení na podkritickou teplotu. Tedy např. má-li být zkapalněn plyn o stavu 1 (obr. č. II-1). Tento stav je určen nadkritickou teplotou (T1) a tlakem (p1) či měrným objemem (v1). Při isotermickém stlačování (T1 = konst) není možno plyn zkapalnit. Proto je nutno nejdříve snížit teplotu na podkritickou (T2) ochlazením za stálého tlaku (p2) se plyn dostane do stavu 2. Obdobně ochlazováním za stálého objemu (v1 = v2) se dosáhne podkritické teploty (T2) v bodě 2*. Zmenšuje-li se nyní objem isotermicky (čárkovaně), dosáhne se stavu 3″ v němž isoterma protíná horní mezní křivku, plyn se stává sytou parou o objemu v3″, tlaku p3 a o suchosti x = 1,0. Změnou objemu mezi stavy 3″ a 3′ dochází ke zkapalňování plynu – páry. Ve stavu 3′ je veškerá pára zkapalňována v sytou kapalinu o suchosti x = 0. Tento děj, jak bylo dříve uvedeno, je isobarickoisotermický. Teprve isotermy při teplotách značně nadkritických se blíží rovnoosým hyperbolám. Při podkritických a málo nadkritických se od hyperbol isotermy značně liší. Z toho plyne, že změny stavu skutečných plynů se nedají popsat jednoduchou stavovou rovnicí platnou v celém rozsahu teplot a tlaků jak tomu bylo u ideálních plynů. 2.1 Rovnice Van der Waalsova Stavovou rovnici, která alespoň přibližně platí v celém rozsahu stavu skutečného plynu, tj. jak pro plyn, mokrou i přehřátou páru, tak pro kapalinu, odvodil Van der Waals. Vycházel z následující úvahy. Jeden kilogram plynu zaujímá objem “v“. Molekuly, které se v tomto 1 kg nachází, jsou nestlačitelné a mají objem “b“. Pak objem, který se při změnách stavu může měnit je pouze rozdíl “v-b“ a nikoliv “v“ jak se předpokládalo u ideálních plynů. Pak opravená rovnice stavu má tvar: p · (v – b) = r · T

(II – 28)

Rovněž stavovou veličinu tlak (p) je nutno opravit. U dokonalých plynů se předpokládalo, že molekuly se chovají jako dokonale pružné koule. Ve skutečnosti působí molekuly navzájem na sebe přitažlivými – kohezními silami, které snižují intenzitu nárazu molekul na stěny a tedy snižují i tlak plynu na stěny. Tedy vnější tlak plynu je menší nežli vnitřní – tzv. kohezní tlak, který lze stanovit následující úvahou. Přitažlivost molekul je úměrná součinu jejich hmotností. Tento součin musí být také úměrný součinu měrných hmotností nebo nepřímo úměrný součinu měrných objemů. Proto lze kohezní tlak (pk) vyjádřit rovnicí:

9

pk =

a v2

kde “a“ je empirická konstanta úměrnosti. Do stavové rovnice je nutno dosadit skutečný tlak uvnitř plynu a nikoliv tlak, kterým plyn působí na stěny. Za tohoto stavu má stavová rovnice skutečných plynů tvar: a ⎞ ⎛ ⎜ p + 2 ⎟ ⋅ (v − b ) = r ⋅ T v ⎠ ⎝

(II – 29)

Pro dvě extrémní hodnoty objemů nabývá rovnice II – 29 zvláštních tvarů. Je-li objem (v) velmi vysoký, je hodnota “b“ vůči “v“zanedbatelná. Stejně tak hodnota a/v2 je zanedbatelná vůči tlaku (p) a rovnice II – 29 za těchto podmínek přechází ve tvar stavové rovnice dokonalých plynů p · v = r · T. Isoterma je pak rovnoosou hyperbolou. Je-li objem (v) velmi malý a blíží se své dolní mezi “b“, je poměr a/v2 zanedbatelný vůči členu

r ⋅T . Rovnice II – 29 se zjednoduší na tvar: v−b

p=

r ⋅T v−b

(II – 30)

podle níž jsou isotermy opět rovnoosými hyperbolami, ale v souřadnicích v-b a p. Úprava rovnice II – 29: (p ⋅ v 2 + a) ⋅ (v − b) =r·T v2

/·v2

(p · v2 + a)·(v – b) = r · T · v2 p · v3 + a · v – p · b · v2 – a · b = r · T · v2 p · v3 – v2 · (p · b + r · T) + a · v – a · b = 0 v3 – (b +

r ⋅T a ⋅b a ) · v2 + · v – =0 p p p

/·

1 p (II – 31)

Tedy Van der Waalsova rovnice je kubická rovnice, takže každému tlaku (p) odpovídají tři objemy (v). V podkritické oblasti jsou všechny tři kořeny rovnice reálné – dva z nich jsou objemy v′ a v″ (obr. č. II-2) a třetí objem se nachází mezi nimi. Křivka podle rovnice II – 31 se nazývá Van der Waalsova isoterma. Je spojitá i v oblasti mokré páry, kde má relativní minimum a maximum. V této oblasti vyjadřuje labilní stavy páry, tj. přehřátou kapalinu a podchlazenou páru. Oba labilní stavy jsou fyzikálně možné, vyskytují se a dají se experimentálně dokázat. Úsek 1′ - 2 představuje oblast přehřáté kapaliny a úsek 1″ - 3 oblast podchlazené páry. Úsek 2 - 3 odpovídá fyzikálně nemožným stavům. Isoterma

10

mezi stavy 1′ - 1″ musí probíhat tak, aby plocha omezená křivkou nad a pod spojnicí stavu 1′ - 1″ byla rovnocenná.

Obr. č. II-2 Vanderwalsova isoterma V nadkritické oblasti má Van der Waalsova rovnice pouze jeden kořen reálný a dva komplexní. Van der Waalsova rovnice není zcela přesná pro všechny stavy plynů. Proto byla činěna řada zpřesnění (Berthelot, Callendar, Vukalovič, Novikov, Jůza atd.). Rovnice těchto autorů byly založeny na měřeních v určitém rozsahu teplot a tlaků. Proto jejich platnost je omezena na daný rozsah teplot a tlaků. 3.0 Páry U téže látky neexistuje mezi plyny a párami žádná vyhraněná mez. Proto se zpravidla užívá definice, že páry jsou plyny, které se dají zkapalnit isotermickou kompresí. Přechod látky ze stavu plynu do stavu par a opačně je z hlediska většiny stavových a fyzikálních veličin kontinuální, protože plyny lze považovat za silně přehřáté páry. Pouze mez sytosti je hranicí, na které se náhle mění průběh nebo charakter křivek veličin stavu p, V, T. Páry vznikají z kapaliny odpařováním a vypařováním event. sublimací. Kapalina se odpařuje z volného povrchu za každé teploty. Zvýší-li se teplota kapaliny k bodu varu, nastane vypařování a to nejen z povrchu, ale z celého objemu. Pokud se kapalina vypařuje, nemění se teplota ani tlak, proto veškeré přivedené teplo se spotřebuje na změnu skupenství a nazývá se teplem skupenským či výparným. Páry vznikají i opačným pochodem, tj. zkapalňováním plynu.

11

Výparné teplo sestává ze dvou složek. Část tepla se spotřebovává na zvýšení kinetické energie molekul, aby nastalo jejich uvolňování z povrchu hladiny. Nazývá se vnitřní měrné výparné teplo (ru). Druhá část výparného tepla se spotřebuje na zvětšení objemu uvolněných molekul kapaliny na objem plynu a nazývá se vnější měrné výparné teplo (rv). Ohříváním kapaliny na bod varu vznikne sytá kapalina o stavu v´, t´ (obr. č. II - 3). K tomu je nutno přivést měrné kapalinné teplo (qk) pro 1 kg kapaliny. Hodnoty stavových veličin se zpravidla označují jednou čarou. Další teplo způsobuje vypařování kapaliny za stálé teploty (t1′ ) a tlaku (p1), čímž vzniká tzv. mokrá pára různé suchosti (x) o měrném objemu (vx). Vypařování při vyšším tlaku (p2) je znázorněno čárkovaně. Probíhá-li při vyšší teplotě (t ′2 ) , je intenzivnější a proto oblast mokré páry je kratší. Pro vypaření veškeré kapaliny se spotřebuje měrné výparné teplo (l 23 ) . Po vypaření veškeré kapaliny vznikne sytá pára o objemu (v″). Ostatní veličiny tohoto stavu se také označují dvěma čarami. Suchost syté páry je x = 1,0. Dalším přívodem tepla při témže tlaku dochází ke zvyšování teploty syté páry, která se proto nazývá párou přehřátou. Spotřebované teplo k přehřátí 1 kg páry je měrné teplo přehřívací (qp).

Obr. č. II-3 Vznik páry za konstantního tlaku Vlastnosti všech par se řídí obdobnými (stejnými) zákony a proto je další řešení uvedeno pro nejpoužívanější vodní páru. Tato pára se používá k vytápění výrobních i nevýrobních objektů, k dezinfekci půdy atp. Kromě vodních par se často používá par chladiv v technice chlazení, par benzínu u spalovacích zážehových motorů atp.

12

3.1 Určující veličiny syté vody Výchozí stav je voda o teplotě t0 = 0 °C, měrném objemu v0. Dále se předpokládá, že při teplotě t0 = 0 °C jsou měrná vnitřní energie (u0 = 0), měrná entalpie (i0 = 0) i měrná entropie (s0 = 0) rovny nule. Přivedením měrného kapalinného tepla (qk) vzroste objem 1 kg vody z “v0“ na “v΄“, měrná entropie z “s0“ na “s΄“, měrná entalpie z “i0“ na “i΄“ a měrná vnitřní energie z “u0“ na “u΄“. Přivedené teplo pro dosažení stavu syté kapaliny vychází z diferenciální rovnice: ∂qk = cpk · ∂T odkud po integraci v mezích t0 – tv resp. T0 – Tv bude TV

q k = ∫ c pk = c pk ⋅ (Tv − T0 ) = c k ⋅ t V

[J·kg-1]

(II – 32)

T0

kde cpk je okamžitá měrná tepelná kapacita kapaliny při stálém tlaku, cpk = ck je střední měrná tepelná kapacita kapaliny daného rozsahu teplot. Měrnou vnitřní energií syté kapaliny lze stanovit z I. věty termodynamiky, podle níž se přivedené teplo využívá na zvýšení vnitřní energie a vykonání objemové vnější práce při zvětšování objemu z “v0“ na “v΄“. Obecně platí: u′

v′

∂q = ∫ ∂u + p ⋅ ∫ ∂v u0

(II – 33)

v0

po integraci: ∂q = u′ - u0 + p · (v′ - v0)

(II – 34)

podle dřívějšího předpokladu je u0 = 0 a dále zvětšení objemu vody ohřátím je zanedbatelné, takže v′ - v0 ~ 0. Pak rovnice II – 34 má tvar: ∂q = u′

(II – 35)

Měrnou entalpií syté vody lze stanovit z obecného dříve odvozeného vztahu: ∂i = ∂u + p·∂v + v·∂p protože je p = konst, bude ∂p = 0 a pak: ∂i = ∂u + p·∂v

(II – 36)

a po integraci: i′

u′

v′

i0

u0

v0

∫ ∂i = ∫ ∂u + ∫ p ⋅ ∂v

i′ – i0 = u′ – u0 + p · (v′ – v0)

(II – 37)

13

podle dřívějšího axiomu je při t0 = 0 °C také i0 = 0 a u0 = 0. Rovněž byl přijat předpoklad v′ - v0 = 0. Za těchto podmínek má rovnice II – 37 tvar: i′ = u′ = dq

(II – 38)

z čehož plyne, že přivedené měrné kapalinné teplo (∂q) způsobí pouze změnu vnitřní energie kapaliny (u′), která je rovna jeho entalpii (i′). Pro měrnou entropii (s) byl odvozen obecný vztah, který pro sytou kapalinu lze zapsat ve tvaru:

′ Tv p′ - r · ln s′ - s0 = cpk · ln T0 p0 pro vypařování při konstantním tlaku je p′ = p0 = konst a pro výchozí předpoklad t0 = 0 °C → s0 = 0 bude měrná entropie syté kapaliny (s′) dána rovnicí:

′ Tv s′ = cpk · ln T0

(II – 39)

3.2 Určující veličiny syté páry Po vypaření veškeré kapaliny vznikne za stálého tlaku (p) sytá pára suchosti x = 1,0. Pro vypaření 1 kg kapaliny na sytou páru je při této isobaricko – isotermické změně spotřebováno měrné výparné teplo (l 23 ) , pro nějž podle I. věty termodynamiky lze psát: u ′′

v′′

l 23 = ∫ ∂u + ∫ p ⋅ ∂v = ru + rv u′

(II – 40)

v′

po integraci: l 23 = u″ - u′ + p (v″ - v′) = rU + rV

(II – 41)

z této rovnice plyne, že vnitřní výparné teplo rU = u″ - u′ se spotřebuje na zvýšení vnitřní energie páry z u′ na u″ a vnější výparné teplo rV = l 23 – rU vykoná objemovou vnější práci při zvětšení objemu páry z objemu v′ na v″ rV = l 23 – rU = p (v″ - v′)

(II – 42)

Celkové teplo potřebné pro výrobu 1 kg syté páry z vody 0 °C teplé se nazývá výrobní (úhrnné) teplo (λ) syté páry a je dáno: [J·kg-1]

λ = dq + l 23

(II – 43)

Měrná vnitřní energie (u″) syté páry je podle předešlého dána: u″ = u′ + rU = dq + rU

(II – 44)

pro

14

rU = l 23 – rV = l 23 - p·(v″ - v′) bude měrná vnitřní energie syté páry (u″) dána: u″ = qk + l 23 – p·(v″ - v′) nebo zanedbá-li se objem syté vody (v′) vůči mnohonásobně většímu objemu syté páry (v″), lze psát: u″ = qk + l 23 – p·v″

(II – 45)

Odvození měrné entalpie syté páry je shodné s odvozením měrné entalpie syté kapaliny, pouze meze integrace jsou jiné. Proto lze měrnou entalpii syté páry (i″) odvozeně formulovat podle rovnice II – 37): i″ = u″ + p·(v″ - v′)

(II – 46)

po zanedbání v′ oproti v″ bude: i″ = u″ + p·v″

(II – 47)

dosazením rovnice II – 45 do II – 47 bude: i″ = qk + l 23 – p·v″ + p·v″ = qk + l 23 = i′ + l 23

(II – 48)

Z rovnice plyne, že měrná entalpie syté páry (i″) se rovná celkovému přivedenému teplu (qk + l 23 ). Odsud se odvozuje nesprávný název tepelný obsah páry. Změna měrné entropie při vypařování 1 kg kapaliny vychází z obecné formulace entropie v diferenciálním tvaru: s′′

l 23

∂q 1 ∫s′ ∂s = ∫0 T = T ′ V

l 23

∫ ∂q

(II – 49)

0

odkud po integraci: s″ - s′ =

l 23 ′ TV

(II – 50)

a měrná entropie syté páry (s″) vztažená k výchozímu stavu t0 = 0 °C, s0 = 0 bude: s″ = s′ +

′ T l 23 l = cpk·ln V + 23 ′ ′ ′ TV TV T0

(II – 51)

Každému tlaku (p) přísluší jediná hodnota bodu varu tV = t′ = t″, měrné kapalinné teplo (qk), měrné výparné teplo (l 23 ) a měrný objem v′ a v″. Proto pro určení stavu syté páry stačí znát jedinou určující veličinu a to buď tlak (p) nebo teplotu varu (tV = t′ = t″). Matematická formulace závislosti tV = f (p) je složitá. Jednoduchou empirickou formulaci

15

teploty a tlaku varu (tV, pV) uvádí Kalčík pro vodu do 2,0 MPa. Tlak (pV) se dosazuje v MPa. Například pro tlak 0,1 MPa: t v = 177,9 ⋅ 4 p V = 177,94 0,1 = 100

[°C]

(II – 52)

Tlak a teplotu varu zpravidla udávají parní tabulky nebo diagramy. 3.3 Určující veličiny mokré páry Mokrá pára je směs kapiček syté kapaliny a syté páry. V 1 kg mokré páry je x kg syté páry a (1 – x) kg syté kapaliny. Parametr „“x“ vyjadřuje suchost páry a doplněk (1 – x) vlhkost páry. Podle tohoto označení je suchost syté kapaliny x = 0 a suchost syté páry y = 1,0. Proto k ručení stavu mokré páry jsou nutné dvě veličiny – tj. suchost (x) a tlak (p) nebo teplota varu (tV = t′ = t″). Různé stavy mokré páry se pak vyjádří ze suchosti (x) páry a hodnot veličin pro sytou kapalinu a sytou páru. Tyto hodnoty jsou obsaženy v parních tabulkách. Podle tohoto principu vyjadřování určujících veličin je měrný objem (vx) mokré páry dán: vx = x·v″ + (1 – x)·v′ = v′ + x· (v″ - v΄)

(II – 53)

měrný objem kapiček kapaliny (v΄) lze vůči mnohonásobně většímu objemu syté páry (v˝) zanedbat a pak platí: vx = x·v″

(II – 54)

Měrná vnitřní energie (ux) mokré páry se vyjadřuje podle stejného principu jako měrný objem (vx): ux = x·u″ + (1 – x)·u′ = u′ + x·(u″ - u′) pro

(II – 55)

u″ - u′ = rU bude: ux = u′ + x·rU = qk + x·rU

(II – 56)

což vyjadřuje, že z kapaliny je vypařena pouze x-tá část. Měrná entalpie (ix) mokré páry je obdobně dána ix = x·i″ + (1 – x)·i′ = i′ + x·(i˝ - i′)

(II – 57)

protože u″ - u′ = l 23 bude ix = i′ + x· l 23 = qk + x· l 23

(II – 58)

Měrná entropie (sx) mokré páry se určí shodným postupem: sx = x·s″ + (1 – x)·s′ + x·(s″ - s′)

(II – 59)

protože platí:

16

s″ - s′ =

l 23 ′ TV

bude mít rovnice II - 59 tvar: sx = s′ + x·

′ T l 23 l = cpk ·ln V + x· 23 ′ ′ ′ TV TV T0

(II – 60)

3.4 Určující veličiny přehřáté páry Při ohřívání syté páry za stálého tlaku (p) bez přívodu další kapaliny dochází k růstu teploty páry – vzniká pára přehřátá. Teplota přehřáté páry závisí na tlaku. Veličiny vnitřní energie, entalpie, entropie závisí na tlaku a teplotě. Měrné přehřívací teplo (qp) pro přehřátí 1 kg kapaliny z teploty t˝ na tp se určí z rovnice: dqp = cp dT resp. po integraci Tp

Tp

Tv

TV

∂q = ∫ ∂q p = ∫ c p ⋅ ∂t = cp ⋅ (Tp − Tv ) = cp ⋅ (t p − t ′′)

(II – 61)

kde c p je střední měrná tepelná kapacita za stálého tlaku příslušného rozsahu teplot (t″ až tp) odečítaná z parních tabulek či diagramu (J. Jůza, 1976). Měrný objem (v) přehřáté páry pro daný tlak a teplotu se odečte z diagramu (J. Jůza, 1976) nebo parních tabulek, event. se vypočte ze stavové rovnice skutečných plynů (rovnice II – 29) podle níž jsou tabulky a diagramy sestavovány. Měrná vnitřní energie syté kapaliny (u) přehřáté páry se rovná součtu měrné vnitřní energie syté kapaliny (u′), vnitřního výparného tepla (rU) a přírůstku způsobeným přehřívacím teplem: Tp

u = u′ + rU +

∫ c dT

(II – 61)

p

TV

jednotlivé členy rovnice II – 61 lze vyjádřit následovně: u′ = qk – p·(v′ - v0′); rU = l 23 – p·(v″ - v′) TV

u

i

v

Tp

u ′′

i′′

v′′

∫ c p ⋅ ∂T = ∫ ∂u = ∫ ∂i − ∫ p ⋅ ∂v

(II – 62)

protože podle dřívějšího důkazu platí ∂i = cp·∂T bude:

17

Tp

∫c

p

⋅ ∂T = u − u′′ = cp ⋅ (Tp − Tv ) − p ⋅ (v − v′′)

TV

a po dosazení: u = qk + l 23 + cp ·(Tp – TV) – p·(v′ - v0′ + v″ - v′ + v - v″)

a po úpravě: u = qk + l 23 + cp ·Tp – TV) – p·(v - v0′)

(II – 63)

první tři členy rovnice určují měrnou entalpii přehřáté páry (i) i = qk + l 23 + cp ·(Tp – TV) pak měrná vnitřní energie (u) přehřáté páry je dána: u = i - p·(v - v0′)

(II – 64)

a po zanedbání objemu “v0“ vůči objemu “v“ bude: u = i – p·v

(II – 65)

Měrná entalpie (i) přehřáté páry je dána součtem měrné entalpie syté kapaliny (i΄), entalpie vypařování (l 23 ) a entalpie přehřívacího tepla: Tp

I = i′ + l 23 +

∫c

p

⋅ ∂T = i′ + l 23 + cp ·(Tp – TV) =

TV

= i′ + l 23 + cp·(tp – t″) = qk + l 23 + qp

(II – 66)

Numerické hodnoty měrné entalpie přehřáté páry (i) uvádí tabulky pro různé teploty přehřátí (tp). Měrná entropie (s) přehřáté páry je určena součtem měrné entropie syté kapaliny, měrné entropie vypařování a měrné entropie přehřátí: TV

Tp

= cpk ⋅ ln

TV l 23 T + + cp ⋅ ln P T0 TV TV

Tp

V ∂q p l ∂q ∂T l 23 ∂T = ∫ c pk ⋅ + + ∫ cp ⋅ = s = ∫ k + 23 + ∫ T TV TV T T TV TV T T0 T0

T

(II – 67)

kde cp je střední měrná tepelná kapacita přehřáté páry za konstantního tlaku. Oproti ideálním plynům dochází u skutečných plynů a tedy i u přehřátých par ke změně měrné tepelné kapacity (cp) v závislosti na teplotě přehřátí i na tlaku přehřívání. Hodnoty (cp) v závislosti na teplotě a tlaku přehřívání lze odečíst z diagramu (obr. č. II-4).

18

Obr. č. II-4 Měrná tepelná kapacita cp přehřáté vodní páry 3.5 Diagramy par Diagramy jsou grafickým znázorněním tabulkových hodnot stavů páry ve vhodně volených souřadnicích. Nejčastěji se užívá p-v, T-s, i-s diagramů. V parních tabulkách se tedy i v diagramech zpravidla uvádí měrné veličiny stavu vztažené na 1 kg. Při výpočtu tepelných strojů se vynásobí odečtené hodnoty množstvím pracovní látky vypočtené pro příslušný výkon stroje. Různé látky mají rozdílné průběhy na sobě závislých stavových a tepelných veličin a proto se pro jednotlivé látky sestrojují samostatné diagramy. Nejběžnější jsou opět digramy vody, která má v zemědělství, potravinářství, odpadovém hospodářství apod. široké uplatnění. 3.5.1 Pracovní p-V diagram vodní páry Způsob konstrukce, průběh veličin – isoterem, dolní a horní mezní křivky včetně vymezení oblasti kapaliny, mokré páry, přehřáté páry a plynu bylo popsáno na příkladu p-v diagramu skutečného plynu (obr. č. II-1). V p-v diagramu vodní páry (obr. č. II-5) jsou charakteristické hodnoty. Při teplotě t = 0 °C zaujímá jeden kilogram vody měrný objem v0 = 0,001m3kg-1. Při ohřívání měrný objem vody (v΄) nepatrně roste. Rovněž i teplota stupá až do kritického bodu (K). Kritický stav je určen kritickým tlakem pkr = 22,55 MPa, kritickou teplotou tkr = 374,2 °C a kritickým měrným objemem vkr = 0,00307 m3·kg-1. Kritickým bodem prochází kritická isoterma. Prostor mezi ní a horní mezní křivkou se považuje za stavy přehřáté páry. Vpravo od kritické isotermy se považuje za stavy plynu.

19

Obr. č. II-5 Pracovní p-v diagram vodní páry 3.5.2 Tepelný – entropický T-s diagram vodní páry Stav vody a páry je zde určen teplotou (T) a měrnou entropií (s). Spojnice stavů syté kapaliny a syté páry určuje i zde dolní a horní mezní křivku, které se spojují v kritickém bodě (K). Vymezené oblastí skupenství kapalného, plynného, mokré a přehřáté páry je jednoznačně určeno v obr. č. II-6 - tj. nad kritickou isotermou je stav plynu, mezi kritickou isotermou a dolní mezní křivkou je kapalina, mezi horní mezní křivkou a kritickou isotermou je přehřátá pára a mezi mezními křivkami je mokrá pára. Jednotlivé veličiny mají v T-s diagramu následující průběh: Isotermy – jsou rovnoběžné s osou entropie (s) Adiabaty (isoentropy) – jsou rovnoběžné s osou teploty (T) Isobary – v oblasti kapaliny se prakticky shodují s levou mezní křivkou (voda je nestlačitelná), v oblasti přehřáté páry jsou tvořeny exponenciálními křivkami Isochory – v oblasti mokré páry to jsou křivky stoupající s rostoucí entropií, na pravé mezní křivce se lomí a s rostoucí entropií rostou strměji než isobary Stav páry v entropickém diagramu je určen: -

v oblasti přehřáté páry tlakem (p) a teplotou (T)

-

v oblasti syté páry tlakem (p) nebo teplotou (T) na horní mezní křivce

20

-

v oblasti mokré páry tlakem (p) a suchostí (x) nebo teplotou (T) a suchostí (x)

Průběh vzniku páry v T-s digramu je následovný: Kapalina se ohřívá, až dosáhne bodu varu (TV). Ohřev se děje za stálého tlaku. Změna objemu kapaliny je zanedbatelná, a proto čára ohřevu kapaliny se prakticky shoduje s dolní mezní křivkou mezi body 1′ a 2′. Dodané měrné kapalinné teplo (qk): s 2′

q k = ∫ T ⋅ ∂s

(II – 68)

s1′

odpovídá ploše pod touto částí čáry 1′- 2′, tj. v mezích entropie s1′a s2′.

Obr. č. II-6 T-s diagram vodní páry Vypařování kapaliny, tj. vznik mokré páry je děj isobaricko-isotermický, a proto je dán přímkou 2′-2″ rovnoběžnou s osou entropie v mezích entropie s2′-s2″ odpovídajících rovnici: s 2′

l 23´= ∫ TV ⋅ ∂s = TV · (s2″– s2′)

(II – 69)

s1′

Tomuto teplu ( l 23 ) odpovídá plocha pod čarou 2′-2″ (obr. č. II-6). Další tzv. přehřívací teplo způsobí zvýšení teploty přehřáté páry za stálého tlaku po exponenciální křivce 2″-3. Plocha pod touto částí křivky odpovídá měrnému přehřívacímu teplu (qp) s3

q p = ∫ T ⋅ ∂s

(II – 70)

s 2″

21

Celá plocha pod křivkou 1′ 2′ 2″ 3 (obr. č. II-6 - šrafováno) představuje měrnou entalpii (i) přehřáté páry i = qk + l 23 + qp = λp

(II – 71)

a současně vyjadřuje výrobní teplo (λp) přehřáté páry. Z diagramu (obr. č. II-6) je patrné, že s rostoucí teplotou varu (TV) velikost výparného tepla (l 23 ) se zmenšuje až konečně v kritickém bodě (K) přechází kapalina v přehřátou páru. 3.5.3 Srovnání pracovního a tepelného diagramu páry Z T-s diagramu páry vyplynulo, že velikost výparného tepla se zmenšuje s rostoucí teplotou varu, která zase závisí na tlaku. Exaktně tuto závislost odvodili Clapeyron (1834) a Clausius (1850) z porovnání elementárního Carnotova oběhu pro 1 kg mokré páry v p-v a T-s diagramu mezi isobarami p a p+dp a mezi isotermami T a T+dT (obr. č. II-7).

Obr. č. II-7 Elementární práce v p-v a T-s diagramu Odvození vychází z elementární práce vyjádřené plochou 1, 2, 3, 4 v p-v diagramu, která musí být rovna sdílenému teplu znázorněného plochou 1, 2, 3, 4 v T-s diagramu. Odsud platí: (v″ – v′)·∂p = (s″– s′)·∂T protože platí: s″– s′ =

(II – 71)

l 23 T

bude l 23 ·∂T = (v″ – v′)·∂p T

22

odkud l 23 = (v″ – v′)·T·

∂p ∂T

(II – 72)

Tato rovnice se nazývá Clapeyron-Clausiova a dává jediný teoretický vztah určujících veličin mokré páry (p, T, v′, v″, l 23 ). Derivace

∂p určuje tečnu křivky napětí syté vodní ∂T

páry, kterou lze snadno určit z diagramu (obr. č. II-8).

Obr. č. II-8 Křivka napětí páry Rovnice II – 72 platí i pro ostatní děje, kde přívod tepla způsobí změnu objemu. Tedy platí pro všechny změny skupenství, tj. vypařování, tání, sublimaci. Např. pro tání z tuhé fáze do kapalné platí rovnice měrného skupenského tepla tání (l 12 ) : l 12 = (v′ – v′′′) T

dp dT

(II – 73)

kde v″′ je objem tuhé fáze a T je teplota tání. 3.5.4 Diagram p-i Souřadné osy diagramu představuje tlak (p) a měrná entalpie (i) páry. Isotermy mají podobný průběh jako v p-v diagramu, v oblasti mokré páry to jsou přímky rovnoběžné s osou měrné entalpie (i) (obr. č. II-9). Na horní mezní přímce se lomí a klesají s rostoucí strmostí. Isoentropy tvoří svazek rozbíhajících se přímek.

23

Obr. č. II-9 p-i diagram reálného plynu Výhodou tohoto diagramu je, že umožňuje na isobarách přímo odečítat měrné entalpie k určení isobaricky sděleného tepla. Stejně se odečítají entalpie pro určení adiabaticky konané tlakové práce. Škrcení je představováno čarou i = konst, což je přímka kolmá k ose měrných entalpií. Z těchto důvodů se tento diagram používá pro výpočet strojního chlazení. Pro zobrazení většího rozsahu teplot se v diagramu místo osy tlaku (p) používá osa logaritmu tlaku (log p). 3.5.5 Změny stavu par Průběhy změn stavu páry se liší podle toho, které oblasti probíhají. Při výrobě i při užití páry v tepelných strojích prochází změny stavu všemi oblastmi. Podobně jako u vratných změn plynů se budeme zabývat určením: přivedeného tepla, vykonané práce a změny entropie – změny isobarické, isotermické, isochorické a adiabatické. 3.5.5.1 Isobarická změna páry Isobarická změna páry patří k nejdůležitějším, protože pára se vyrábí, přehřívá i přivádí do pracovního stroje při stálém tlaku. a) mokrá pára – v oblasti mokré páry se ve všech diagramech (p-v, T-s, i-s) isobary kryjí s isotermami (obr. č. II-10).

24

Obr. č. II-10 Izobarické změny mokré páry Teplo přivedené pro změnu 1 – 2 se nejlépe stanoví z T-s diagramu: q1,2 = T·(s2 – s1)

(II - 74)

Z uvedeného obrázku je patrné, že přívodem tepla roste suchost páry z x1 na x2. Pak v duchu rovnice II – 59 lze vyjádřit měrné entropie ( s x1 , s x 2 ) stavů 1 a 2 rovnicemi: s x1 = s′ + x1·(s″– s´) , s x 2 = s´ + x2·(s″– s´) po dosazení do rovnice II – 74 bude: q1,2 = T·(s″– s´)·(x2 – x1)

(II – 75)

protože T·(s″– s´) = l 23 bude q1,2 = l 23 ·(x2 – x1)

(II – 76)

Isobaricky přivedené teplo je rovněž funkcí entalpie. Proto lze teplo (q1,2) jednoduše určit z i-s diagramu z rozdílů měrných entalpií (i2 – i1): q1,2 = i2 – i1

(II – 77)

Objemová absolutní vnější práce (a12) této změny se nejlépe stanoví z p-v diagramu 2

a12 = ∫ p ⋅ ∂v = p·(v2 – v1)

(II – 78)

1

Měrné objemy mokré páry suchosti x1, x2 lze podle rovnice II – 53 vyjádřit rovnicemi: v x 2 = v′ + x2·(v″– v′) , v x1 = v′ + x1·(v″– v′) pak a12 = p·(v″– v′)·(x2 – x1)

(II – 79)

Změna měrné entropie (∆s) v oblasti mokré páry je vyjádřena rovnicí:

25

∆s = s x 2 − s x1 =

l q12 i 2 − i1 = = (x 2 − x1 ) ⋅ 23 T12 T12 T12

(II – 80)

b) přehřátá pára – v T-s diagramu se isobara na horní mezní křivce lomí a roste s rostoucí entropií podle exponenciálního zákona. Teplo přivedené přehřáté páře lze určit ze vztahu: T2

q p12 = ∫ c p ⋅ ∂T = c p ⋅ (T2 − T1 ) = i 2 − i1

(II – 81)

T1

což je nejlépe patrné v i-s diagramu (obr. č. II-11). Objemová absolutní práce (a12) je v p-v diagramu určena plochou pod isobarou: a12 = p·(v2 – v1)

(II – 82)

Obr. č. II-11 Izobarické změny přehřáté páry Změna měrné entropie (∆s) je při cp = konst dána rozdílem měrných entropií stavů 1 a 2 (s2 – s1). Entropie s1, s2 lze vyjádřit podle rovnice II – 67, v níž první dva členy vyjadřují měrnou entropii syté páry (s″). S tímto označením jsou měrné entropie s1, s2 dány: T1

s1 = s″ +

∫c

p

⋅

T ∂T = s″ + cp ·ln 1 T TV

p

⋅

T ∂T = s″ + cp ·ln 2 T TV

TV T2

s2 = s″ +

∫c

TV

(II – 83)

pak změna měrné energie (∆s) je dána: ∆s = s2 – s1 = cp ·ln

T2 T T - c p ·ln 1 = cp ·ln 2 TV TV T1

(II – 84)

3.5.5.2 Isotermická změna páry a) mokrá pára – v oblasti mokré páry se ve všech diagramech (p-v, T-s, i-s) isobary shodují s isotermami. Proto přivedené teplo, objemová práce i změna měrné entropie jsou dány stejnými rovnicemi jako u téže změny isobarické v oblasti mokré páry.

26

b) přehřátá pára – u isotermické změny přehřáté páry (obr. č. II-12) dochází při T = konst ke změně tlaku vlivem rostoucího objemu, což je dobře patrno z T-s diagramu. Přivedené měrné přehřívací teplo ( q p12 ) je podle T-s diagramu dáno plochou určenou výrazem: q p12 = T ⋅ (s 2 − s1 )

(II – 85)

Obr. č. II-12 Izotermické změny přehřáté páry Pro určení změny měrné entropie (∆s) je nutno v tomto případě určit zvlášť měrnou entropii stavu 1 a 2 a to proto, že každá z nich odpovídá jinému tlaku (p1, p2). Proto je nutno určit měrné entropie (s1, s2) jednotlivě podél takových změn stavu procházejících stavy 1 a 2 a majících společný počáteční stav, jímž je s0 = 0. Tímto stavem podle dřívějších předpokladů je stav syté kapaliny při teplotě T0 = 273,15 K = 0 °C. Tento stav je společný pro isobary p1, p2 syté kapaliny, kde tyto se shodují s dolní mezní křivkou. V oblasti mokré páry se isobary (p1, p2) odlišují a odpovídají jim teploty vypařování (Tv1, Tv2). Nyní lze hodnoty měrných entropií (s1, s2) ve shodě s obecnou rovnicí II – 67 vyjádřit rovnicemi: s1 = c pk ·ln

l Tv1 T + 1(23) + cp1·ln 1 TV1 TV1 273,15

s2 = c pk ·ln

l Tv 2 T + 2(23) + cp2·ln 2 TV2 TV 2 273,15

(II – 86)

kde l 1( 23 ) a l 2 ( 23 ) jsou měrná výparná tepla při teplotách vypařování TV1 a TV2 a cp1, cp2 jsou měrné tepelné kapacity za konstantního tlaku při teplotách T1 a T2. Pro tyto teploty při isotermické změně platí T1 = T2 = T a pak změna měrné entropie (∆s) je dána: ∆s = s2 – s1 = cpk ·ln

l l TV 2 + 2(23) – 1(23) + TV1 TV2 TV1

27

+ cp2·ln

T2 T – cp1·ln 1 TV 2 TV1

(II – 87)

Isotermickou objemovou absolutní práci (a12) lze stanovit z I. věty termodynamiky: q12 = u2 – u1 + a12

(II – 88)

a12 = q12 – u = q12 – (i2 – i1)

(II – 89)

odkud pro měrnou entalpii obecně platí rovnice: i = u + p·v podle níž budou měrné entalpie i1, i2 dány: i1 = u1 + p1·v1 ; i2 = u2 + p2·v2 po dosazení do rovnice II – 89 platí: a12 = q12 – [i2 – i1 – (p2·v2 – p1·v1)]

(II – 90)

3.5.5.3 Isochorická změna páry a) mokrá pára – isochorická změna mokré páry probíhá při vypařování vody v uzavřeném prostoru např. v parním kotli v okamžiku přerušení odběru páry. Přivádí-li se teplo mokré páře při v = konst, zvyšuje se její teplota a tlak za současné změny její vlhkosti, resp. suchosti (x). Změna suchosti páry je rozdílná podle toho, pod kterou mezní křivkou se stoupajícím tlakem – změna 3 – 4 v p-v diagramu roste teplota a pára se zvlhčuje, takže při dosažení tlaku mezní křivky je v nádobě pouze kapalina. Opačně pod horní mezní křivkou – změna 1–2 s rostoucím tlakem roste teplota a suchost páry se zvětšuje z x1 na x2. Po dosažení tlaku horní mezní křivky je páry pouze ve stavu sytém. Je-li dán tlak “p1“ a suchost “x1“, lze pro rovněž zadaný (požadovaný) tlak “p2“ určit suchost “x2“ z rovnosti objemů vx1 = vx2 z rovnic: vx1 = v1′ + x1·(v1″– v1′) vx2 = v2′ + x2·(v2″– v2′) pro vx1 = vx2 v1′ + x1·(v1″– v1′) = v12′ + x2·(v2″– v2′) odkud ″ ′ ′ ′ v1 − v1 v1 − v 2 x2 = x1· + ″ ′ ″ ′ v2 − v2 v2 − v2

(II – 91)

28

Obr. č. II-13 Izochorické změny mokré páry Přivedené teplo (q12) isochorické změny způsobí pouze změnu vnitřních energií (u1, u2) (nekoná vnější práci a12 = 0) a je proto dáno: q12 = u2 – u1 = cv·(T2 – T1)

(II – 93)

Výpočet změny měrné entropie (∆s) se provede podobně jako u isotermické změny v oblasti přehřáté páry, protože isochory mají v této oblasti rovněž exponenciální průběh s vyšší strmostí nežli isobary. Proto isochora 1-2 v T-s diagramu probíhá mezi dvěma isobarami (p1, p2) v oblasti přehřáté páry a je proto nutno uplatnit postup určení měrných entropií s1, s2 takový, jak byl popsán u isotermické změny přehřáté páry. Určující vztah (∆s) je proto shodný s rovnicí II – 87).

Obr. č. II-14 Izochorické změny přehřáté páry

3.5.5.4 Adiabatická změna páry Adiabata v p-v diagramu (obr. č. II-15) je v oblasti mokré a přehřáté páry hyperbolická křivka. Na přechodu přehřáté páry do oblasti mokré páry (II v p-v) se zmenšuje její strmost. V tepelných diagramech (T-s, i-s) je adiabata – isoentropa přímka kolmá k ose entropie ve všech oblastech páry.

29

Obr. č. II-15 Adiabatické změny mokré a přehřáté páry Stav mokré páry se mění obdobně jako u isochory podle toho, pod kterou mezní křivkou probíhá. Pod dolní mezní křivkou se mokrá pára expanzí vysušuje (1-2) a kompresí zvlhčuje (2-1). Pod horní mezní křivkou se expanzí zvlhčuje (1-2) a kompresí vysušuje. Změna suchosti (x) mokré páry při adiabatické či isoentropické změně se stanoví z podmínky s2 = s1 tj. podle dříve uvedených podmínek určení měrné entropie pro změny stavů při dvou tlacích (p1, p2) platí: c pk ·ln

l l Tv 2 T + x2· 2(23) = cpk ·ln v1 + x1· 1( 23) 273,15 TV2 273,15 273,15

(II – 94)

kde teploty vypařování (Tv1, Tv2) a měrná výparná tepla ( l 1( 23 ) , l 2 ( 23 ) ) jsou uvedeny pro příslušné tlaky (p1, p2) v parních tabulkách (Kalčík J., Sýkora K 1973 apod.). Objemová adiabatická práce (a12) je určena rozdílem měrné vnitřní energie na počátku (ux1) a konci (ux2) expanze a12 = ux1 – ux2

(II – 95)

Pro mokrou páru sucosti x1, x2 lze měrné vnitřní energie (ux) stanovit podle rovnice II – 55, 56 následovně: ux1 = u1′+ x1·(u1″– u1′) = u1′ + x1·rU1 ux2 = u2′+ x2·(u2″– u2′) = u2′ + x2·rU2

(II – 96)

po dosazení do rovnice II – 95 bude: a12 = u1′ – u2′ + x1·rU1 – x2·rU2 = i1′ – i2′ + x1·rU1 – x2·rU2

(II – 97)

Adiabatickou tlakovou práci at12 = i1 – i2 lze přímo odečítat v i-s diagramu. Jak již bylo uvedeno, stanoví se změna suchosti páry (x) adiabatickou expanzí syté páry z podmínky s1 = s2. Měrná entropie (s) na mezi suchosti, tj. pro x1 = 1,0 je vyjádřená rovnicí:

30

s1 = s1″ = s1′ + x1

l 1(23)

TV1

= s1′ +

l 1(23)

TV1

(II – 98)

a měrná entropie (s2) mokré páry, které se expanzí zvlhčila na suchost x2 je dána: s2 = s2′ + x2

l 2(23)

TV2

Z rovnosti měrných entropií s1 = s2 plyne: s1′ +

l 1(23)

TV1

= s2′ + x2

l 2(23)

TV2

odkud suchost (x2) po expanzi do stavu 2 je dána: x2 = (s1′ – s2′ +

l 1(23)

TV1

)·

TV2 l 2(23)

(II – 95)

tj. sytá pára se adiabatickou expanzí zvlhčuje. V zemědělství, potravinářství, odpadním hospodářství se vodní pára nejčastěji používá k vytápění objektů a k tepelnému zpracování produktů, potravin, odpadů. Zpravidla je používána mokrá pára. Např. parním potrubím topné soustavy podniku protéká 2000 kg·h-1 o tlaku 1,6 MPa. V tepelném zdroji – parním kotli je produkována pára suchosti x1 = 0,97 a na konci potrubní sítě před spotřebištěm – výrobními objekty byla zjištěna suchost x2 = 0,95. Má se určit „ztráta“ tepla prostupem rozvodným potrubím, která tuto částečnou kondenzaci (x1 → x2) způsobila. Pro 1,6 MPa je z parních tabulek výparné teplo syté páry l 23 = 1935 kJ·kg-1. Pro 1 kg páry platí: q12 = (x1 – x2) · l 23 Pro průtočné množství Qm = 2000 kg·h-1 je „ztráta“ tepelného výkonu (PTz) kondenzací dána: PTz = Qm · q12 = Qm · (x1 – x2) · ℓ32 = 2000 · (0,97 – 0,95) ·1935 = 77 400 kg·h-1 = = 21,5 kg·s-1 = 21,5 kW Z tohoto výsledku nelze usuzovat na dokonalost izolace rozvodné sítě parní topné soustavy podniku. Užitečný (využitý) tepelný výkon (PTu) topné soustavy je dán za úplné kondenzace páry v topných tělesech soustavy (x3 = 0,0) PTu = Qm · (x2 – x3) · ℓ32 = 2000 · (0,95 – 0,0) · 1935 = 1021,25 kW tj. tepelné „ztráty“ představují 2,1 % užitečného tepelného výkonu, což svědčí o poměrně dokonalé izolaci rozvodu. Pokud by tato pára byla používána ke zmíněnému tepelnému

31

zpracování produktů, potravin, odpadů apod. je pro tento tepelný proces k dispozici právě užitečný tepelný výkon PTu = 1021,25 kW. 3.5.6 Škrcení par Ke škrcení par dochází při průtoku par (plynů) náhle zúženým průřezem, např. záměrně zařazeného škrtícího ventilu. Průběh změny stavu při škrcení je tak rychlý, že sdílení tepla tohoto děje je zanedbatelné a pak škrcení lze považovat za nevratnou adiabatickou změnu stavu. Škrcení je podstatnou a základní částí chladícího oběhu, kterého často využívají chladící zařízení používaná v poměrně široké míře v zemědělství, potravinářství, odpadovém hospodářství. U ideálních plynů se při škrcení nemění ani entalpie ani teplota. Při škrcení vždy klesá tlak a zvětšuje se měrný objem. Entropie při této změně roste. U par a skutečných plynů dochází při škrcení i ke změně teploty, kterou vyjadřuje součinitel (kJT) Joule-Thompsonova efektu: ⎛ δT ⎞ kJT = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ δp ⎠ i který vyjadřuje změnu teploty (δT) při změně tlaku (δp) za neměnné měrné entalpie (i). Má-li tento součinitel (kJT) zápornou hodnotu, pak se páry (plyn) škrcením ohřívají a opačně, je-li součinitel (kJT) kladný, pak se páry při škrcení ochlazují. Ke změně znaménka součinitele (kJT) dochází při tzv. inverzní teplotě, která je úměrná kritické teplotě par (plynu). Při škrcení plynu za inverzní teploty (Tinv) se teplota (T) par nemění, tj. Tinv = T a páry (plyn) se chovají jako ideální plyn. Při teplotách nadinverzních (T > Tinv) se nedají páry nebo plyn ochladit. Skutečné plyny a jejich páry kromě vodíku a helia mají inverzní teplotu značně vysokou (Tinv > T) takže u nich při škrcení za obvyklých teplot dochází k jejich ochlazování. Tohoto jevu bylo využito (Linde) ke konstrukci chladícího oběhu se zkapalňováním media. Změny stavu par při škrcení lze nejlépe posuzovat v i-s diagramu (obr. č. II-16), kde je škrcení představováno vodorovnou přímkou I = konst.

32

Obr. č. II-16 Škrcení páry Škrtí-li se mokrá pára ze stavu 1 do stavu 2, platí pro tuto změnu podmínka: i1 = i2

(II – 96)

po zavedení měrné entalpie syté kapaliny (i′) o suchosti páry (x) stavů 1 a 2 lze psát: i1′ + x1 · ℓ1(23) = i2′ + x2 · ℓ2(23)

(II – 97)

odkud je suchost konečného stavu (x2) dána: x2 =

′ ′ i1 − i 2 + x1 ⋅ l 1(23)

(II – 98)

l 2(23)

V daném případě je x1 = 0, tedy je škrcena sytá kapalina a pak rovnice II – 98 přejde ve tvar: x2 =

′ ′ i1 − i 2 l 2(23)

(II – 99)

Při této změně stavu (1-2) dochází k poklesu tlaku a teploty (viz. obr. II-16) a současně se zvyšuje suchost páry (rov. II – 99) a to až do stavu syté páry (x2), event. až přehřáté páry při změně 1-(2). Tento stav určuje výsledek rovnice II – 99. Je-li x > 1 , je pára ve stavu přehřátém. Teplotu přehřátí lze opět určit z rovnic měrných entalpií: i1′ + x1 · ℓ1(23) = i2″ + cp · (t(2) – t2′)

(II – 100)

odkud

33

t (2 ) =

′ ′ i1 − i 2 + x1 ⋅ l 1(23) cp

+ t2

″

(II – 101)

Teplotu lze rovněž přímo odečíst z diagramu (obr. č. II-16). Sytá pára se škrcením ze stavu 5 do stavu 6 přehřívá za současného poklesu tlaku a teploty. Přehřátá pára se škrcením více přehřívá (7-8) a snižuje se tlak. Při nižším přehřívání se mírně snižuje i teplota, kdežto při vysokém přehřívání zůstává teplota stálá, protože v této oblasti jsou isotermy rovnoběžné s isoentropami. Málo přehřátá pára může při škrcení za vysokých tlaků přejít (9-10) v páru mokrou, sytou a znovu v páru přehřátou. Změny stavu a hodnoty stavových a tepelných veličin se nejrychleji určují přímo z i-s digramu příslušného media. Průběhy změn jednotlivých druhů medií – par vodních, par chladiv atp. jsou obdobné. 4.0 Vlhký vzduch Atmosférický vzduch vždy obsahuje určité množství vodních par. Tedy smíšením suchého vzduchu a vodních par vzniká vlhký vzduch, přičemž vodní páry jsou ve vzduchu většinou ve stavu přehřátém. Zákonitosti, které budou dále odvozeny pro vlhký vzduch platí i pro ostatní vlhké plyny, které jsou směsí suchého plynu a páry libovolné látky. Nutno podotknout, že existuje ale zásadní rozdíl mezi směsí plynů a směsí plynu a páry. Zatímco složky ve směsi plynů se mohou vyskytovat v libovolném poměru, je množství par ve vzduchu (plynu) jednoznačně určitým způsobem omezeno. Toto omezení je způsobeno tím, že tlak syté páry (pp″) je závislý na teplotě suchosti (tS) což je teplota bodu varu při tlaku pS = pp″. Ve směsi suchého vzduchu a vodních par je teplota sytosti par dána teplotou směsi, tj. v tomto případě vlhkého vzduchu. Tlak pp″ odpovídající této teplotě vstupuje ve směsi jako nejvyšší možný parciální tlak par vedle (kromě) parciálního tlaku vzduchu (pv). Podle Daltonova zákona dává součet těchto parciálních tlaků (pp, pv) tlak směsi, tj. v tomto případě celkový tlak vlhkého vzduchu (p). Vlhkého vzduchu se nejčastěji používá v sušárenství a klimatizaci některých objektů. Tlak vzduchu (p), který se v sušárenství a klimatizaci používá, se jen málo liší od barometrického tlaku (pb), tj. p = pb = pv + pp. Teplota par při určitém tlaku může být libovolně vyšší než teplota syté páry, nemůže být ale nižší. Při nižší teplotě, než je teplota sytosti dojde ke kondenzaci par. Proto

34

parciální tlak par obsažených ve směsi se vzduchem nemůže být vyšší než tlak syté páry (pp″) odpovídající teplotě vlhkého vzduchu. Tímto je parciální tlak par omezen teplotou směsi a současně je tím také omezeno množství par, které je schopen vzduch pojmout. Je-li ve vzduchu při dané teplotě menší množství par než odpovídá stavu nasycení, je parciální tlak par (pp) menší než tlak pp″ a pára je ve vzduchu ve stavu přehřátém. Změny stavu páry ve směsi se vzduchem jsou dobře patrny v p-v diagramu (obr. č. II-17), např.: - zvětší-li se objem par při stálém tlaku (p) ze stavu 1 (V1) do stavu 2 (V2) nebo zmenší-li se množství páry v daném objemu, tj. zvětší-li se měrný bojem par (v), zvětší se tím i teplota nad teplotu sytosti, čímž se pára stává přehřátou, - nebo zvětší-li se objem při stálé teplotě (TS) ze stavu 1 (V1) do stavu 3 (V3), stane se pára rovněž přehřátou – v daném případě pouze nepatrně, - konečně sníží-li se tlak syté páry (pp″) na nižší tlak (pp) při stálé teplotě směsi (T3), dostane se pára do stavu 4, tj. snížením tlaku se pára přehřeje a zvětší objem v V1 na V4.

Obr. č. II-17 Vlhký vzduch v p-v diagramu 4.1 Vlhkost vzduchu Vlhkost vzduchu se vyjadřuje jako absolutní (objemová), relativní nebo měrná. 4.1.1 Absolutní vlhkost vzduchu Je hmotnost vlhkosti obsažené v 1 m3 vlhkého vzduchu, a proto se také nazývá objemovou vlhkostí. Tato hmotnost par je vlastně měrnou hmotností (ρp). Množství par ve vzduchu, resp. absolutní vlhkost se mění v rozmezí ρp = (0 ÷ 1). ρp″, kde ρp″ je maximální hodnotou par ve stavu nasycení. Toto rozpětí se mění s teplotou vzduchu a pak může nastat

35

případ, že vzduch bude obsahovat stejné množství par ve stavu sytém a přehřátém. Proto není absolutní vlhkost jednoznačnou charakteristikou stavu vlhkého vzduchu. 4.1.2 Relativní vlhkost vzduchu Je vyjádřená poměrem: ″ ρp vp ϕ= ⋅100 = ⋅100 ″ vp ρp

[%]

(II – 102)

je to bezrozměrná veličina, která udává, kolik % vlhkosti obsahuje vzduch z maximální vlhkosti (ρp″), kterou je vzduch schopen přijmout při téže teplotě. Maximální hodnota φ = 100 % je dosažena tehdy, je-li vzduch parami nasycen, tj. při pp = pp″. Proč je absolutní vlhkost necharakteristická veličina vyplývá z tohoto příkladu: Ochlazuje-li se vlhký vzduch v atmosféře při konstantním tlaku, pak absolutní vlhkost se nemění až do okamžiku dosažení teploty, při níž ρp = ρp″. Relativní vlhkost však roste, až dosáhne v uvedeném okamžiku hodnoty φ = 100 %. Dalším ochlazením dochází ke kondenzaci par, takže se snižuje absolutní vlhkost, ale relativní vlhkost se nemění (φ = 100 %). Stav, při kterém je vzduch po isobarickém ochlazení parami nasycen, se nazývá rosný bod. Z uvedeného plyne, že relativní vlhkost vyjadřuje nejen kvantitativní poměr hmotnosti skutečné (ρp) a maximální (ρp″) možné vlhkosti ve vzduchu, ale i kvalitu vlhkosti obsažené ve vzduchu (páry x kapalina). Proto má význam vlhkost relativní a ne absolutní. 4.1.3 Měrná vlhkost vzduchu Při tepelných výpočtech, např. v sušárenství atp. se často používá pro určení množství látky jednotky hmotnosti (1 kg). Kdyby byl brán 1 kg vlhkého vzduchu, měnil by se v této jednotce se změnou vlhkosti hmotnostní poměr suchého vzduchu a vodních par. Proto je výhodnější počítat se stále konstantní veličinou jednotkové hmotnosti 1 kg suchého vzduchu a k tomuto doplňovat x kg hmotnosti par vlhkosti. Takto vyjádřená hmotnost par (mp) k jednotce hmotnosti suchého vzduchu (mvs) vyjadřuje měrnou vlhkost vzduchu (x). x=

mp m vs

=

ρp

[kg·kg-1]

ρ vs

(II – 103)

pak vlhký vzduch o měrné vlhkosti “x“ má výslednou hmotnost (1 + x) kg, přičemž zůstává neměnná hmotnost suchého vzduchu 1 kg.

36

Označením měrné vlhkosti “x“ nemá nic společného se stejným označením suchosti par “x“. 4.2 Stavová rovnice vlhkého vzduchu Pro vlhký vzduch lze s vyhovující přesností použít stavovou rovnice ideálního plynu, protože suchý vzduch, resp. jeho hlavní složky kyslík a dusík se velmi blíží vlastnostem ideálních plynů a vodní páry ve vzduchu obsažené jsou zpravidla ve stavu přehřátém, kdy se rovněž velmi blíží vlastnostem ideálního plynu. Pouze měrné teplo vzduchu (c) se s teplotou mění. Pro rozsah –20 až +100 °C lze i toto považovat za konstantní s hodnotami: cp = 1004 J·kg-1·K-1 a cv = 716 J·kg-1·K-1. Za těchto podmínek platí i Daltonův zákon pro celkový tlak směsi (p) – vlhkého vzduchu: p = pvs + pp

[Pa]

(II – 104)

[kg·m-3]

(II – 105)

a pro měrnou hmotnost: ρ = ρvs + ρp

Pro suchý vzduch a páru při jednotkové hmotnosti a téže teplotě platí stavová rovnice: pvs·vvs = rvs·T = pp·vp = rp·T =

pv ρ vs

pp

(II – 106)

ρp

odkud měrné hmotnosti (ρvs , ρp ) a parciální tlaky (pvs, pp ) jsou dány: ρvs =

pv rvs

T

; ρp =

pp rp .T

pvs = ρvs·rvs·T ; pp = ρp·rp·T

(II – 107)

dosazením do rovnice II – 102 lze odpovídající stavy vlhkého vzduchu vyjádřit relativní vlhkost (φ) poměru: pp

ϕ=

rp ⋅ T p p = ″ ″ pp pp

(II – 108)

rp ⋅ T

odkud: pp = φ · pp″ kde parciální tlak syté páry přidané teplotě lze zjistit z tabulek vlhkého vzduchu. Existuje-li souvislost mezi relativní vlhkostí (φ) a parciálním tlakem par (pp) existuje zřejmě i

37

souvislost mezi měrnou vlhkostí (x) vzduchu a parciálními tlaky (pp, pvs). Podíl parciálních tlaků určených rovnicemi II – 107 dává: pp p vs

=

ρ p ⋅ rp ρ vs ⋅ rvs

protože ρp / ρvs = x bude: pp p vs

= x·

rp rvs

nebo x =

pp p vs

·

rvs rp

(II – 109)

Po dosazení numerických hodnot plynových konstant rvs = 287,12 J·kg-1·K-1 a rp = 461,5 J·kg-1·K-1 bude: x = 0,622·

pp

(II – 110)

p vs

Z Daltonova zákona plyne, že pvs = p – pp. Po dosazení do rovnice II – 110 bude: x = 0,622·

pp

(II – 111)

p − pp

z čehož plyne, že měrná vlhkost vzduchu (x) za stálého tlaku např. barometrického závisí pouze na parciálním tlaku par (pp). Při pp = p je x = ∞ a směs obsahuje pouze samou vodní páru. Pro pp = 0 je x = 0, což je suchý vzduch. Je-li vzduch parami nasycen (pp = pp″), dosahuje měrná vlhkost maximální hodnotu x″ x″ = 0,622·

pp

″

p − pp

(II – 112)

″

Podle této rovnice je 1 kg suchého vzduchu schopen přijmout při tlaku “p“ pouze tolik vlhkosti, kolik udává rovnice II – 112 (x″). Toto maximální množství x″ závisí nejen na celkovém tlaku směsi (p), ale také na tlaku syté páry (pp″). Tento tlak (pp″) závisí na teplotě vlhkého vzduchu a nezávisí na tlaku směsi. Pro tentýž tlak pp″, tj. při téže teplotě dosahuje x″ tím větší hodnoty, čím je tlak směsi (p) menší. Dosazením rovnice II – 108 do II – 111, lze vyjádřit vztah mezi relativní a měrnou vlhkostí: x = 0,622 ⋅

ϕ ⋅ p p″ p − pp

″

nebo

x

ϕ

= 0,622 ⋅

pp

″

p − pp

38

″

(II – 113)

4.3 Měrná hmotnost a měrný objem vlhkého vzduchu Měrná hmotnost vlhkého vzduchu (ρvlh) je dána součtem měrných hmotností suchého vzduchu (ρvs) a měrné hmotnosti páry (ρp). Lze ji vyjádřit jako funkci φvlh = f (p, T, φ) nebo φvlh = f (p, T, x). V prvém případě platí: ρvlh = ρvs + ρp

(II – 113)

dosazením do stavových rovnic (II – 107) bude: ρ vlh =

1 ⎛⎜ p vs p p ⎞⎟ ⋅ + T ⎜⎝ rvs rp ⎟⎠

(II – 114)

pro pvs = p – pp platí dále: ρ vlh =

⎛ 1 1 ⎞⎤ 1 ⎛⎜ p − p p p p ⎞⎟ 1 ⎡ p ⋅ + = ⋅ ⎢ − p p ⋅ ⎜ − ⎟⎥ ⎜r ⎟ T ⎜⎝ rvs rp ⎟⎠ T ⎢⎣ rvs ⎝ vs rp ⎠⎥⎦

a pro pp = φ·pp″ je konečný výraz ρvlh: ρ vlh

ϕ ⋅ p p″ ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎡p p ″ ⎛⎜ 1 1 ⎞⎟⎤ = − ⋅⎜ − ⎟ = ⋅ ⎢ − ϕ ⋅ pp ⋅ − ⎜r ⎟ ⎜r ⎟⎥⎥ r ⋅ T T ⎣⎢ rvs r T ⎝ vs rp ⎠ ⎝ vs p ⎠⎦ vs

(II – 115)

z rovnice plyne, že měrná hmotnost vlhkého vzduchu je menší než měrná hmotnost suchého vzduchu (ρvs) o druhý člen rovnice II – 115. Je-li vlhkost vzduchu (φ) nízká, pak je i parciální tlak par pp = φ·pp″ nízký a zanedbatelný vůči celkovému tlaku (p). Pak přibližně platí: ρvlh = ρvs

(II – 116)

Ve druhém případě je funkce ρvlh = f (p, T, x) s použitím rovnice II – 111 dána tvarem: ρ vlh =

⎛ 1 1 ⎞⎤ p ⎡ 1 ⎛ 1 1 ⎞⎤ 1 ⎡p x⋅p x ⋅⎢ − ⋅ ⎜ − ⎟⎥ = ⋅ ⎢ − ⋅ ⎜ − ⎟⎥ (II – 117) T ⎢⎣ rvs 0,622 + x ⎜⎝ rvs rp ⎟⎠⎥⎦ T ⎢⎣ rvs 0,622 + x ⎜⎝ rvs rp ⎟⎠⎥⎦

Měrný objem (vvlh) vzduchu je dán převrácenou hodnotou měrné vlhkosti (ρvlh): v vlh =

T ⎛ 1 1⎞ p − pp ⋅ ⎜ − ⎟ ⎜r ⎟ rvs ⎝ vs rp ⎠

(II – 118)

rovnici II – 118 - čitatele i jmenovatele násobíme (rvs) v vlh =

rvs ⋅ T

(II – 119)

r p − p p + p p ⋅ vs rp

dále platí p – pp = pvs

39

a pp·

rvs = x·pvs (rov. II – 109)·v rp

Po dosazení a úpravě: v vlh =

rvs ⋅ T p vs ⋅ (1 + x)

(II – 120)

zpětně lze dosadit pvs = p - pp = p - φ·pp″ v vlh =

rvs ⋅ T ″ p − ϕ ⋅ p p ⋅ (1 + x)

(II – 121)

odkud lze vyjádřit měrný objem směsi (v1+x), tj. 1 kg suchého vzduchu a x kg vodní páry: v1+ x = v vlh ⋅ (1 + x ) =

rvs ⋅ T p − ϕ ⋅ pp

(II – 122)

″

4.4 Měrná tepelná kapacita vlhkého vzduchu Měrná tepelná kapacita vlhkého vzduchu objemu v1+x je určena součtem podílů měrných tepelných kapacit složek: (1 + x) · c p vlh = 1 · c p vs + x · c p p

(II – 123)

odkud měrná tepelná kapacita jednotkové hmotnosti (1 kg) vlhkého vzduchu bude: c p vlh =

c p vs + c p p ⋅ x

(II – 124)

1+ x

4.5 Entalpie vlhkého vzduchu Entalpie směsi (i), tj. vlhkého vzduchu je dána součtem entalpií poměrných zastoupení složek: Měrná entalpie (iv) [J·kg-1] suchého vzduchu je dána: iv = cpvs · (t – t0) pro t0 = 0 °C bude: iv = cpvs · t

(II – 125)

měrná entalpie syté páry je dána: ip″ = i′ + l 23 = cp · ts + l 23

(II – 126)

Teplota ts je teplota vlhkého vzduchu, jíž přísluší maximální parciální tlak (pp″) a l 23 je výparné teplo při téže teplotě ts, (i) je entalpie syté kapaliny par vlhkosti.

40

Mollier při výpočtu diagramu vlhkého vzduchu zavedl pro jednoduchost pro sytou páru při 0 °C: ip″ = l 0 ( 23 )

(II – 127)

pak entalpie x″ kg této syté páry je: ix″″ = x″ l 0 ( 23 )

(II – 128)

Přičemž l 0 ( 23 ) ~ 2500 kJ·kg-1 je výparné teplo vody při teplotě t0 = 0 °C. Tlak syté páry při této teplotě t0 = 0 °C je pp″ = 610 Pa (= 0,0061 baru). Entalpie 1 kg přehřáté páry při teplotě “t“ je dána: t

ip = l 0 ( 23 ) +

∫c

p

⋅ ∂t = l 0 ( 23 ) + cp · t

(II – 129)

t0

a entalpie x kg této přehřáté páry je určena: ix = x · ( l 0 ( 23 ) + cp · t)

(II – 130)

Nyní lze určit entalpii vlhkého vzduchu o hmotnosti (1 + x) kg při teplotě “t“. Je dána součtem entalpií 1 kg suchého vzduchu (II – 125) a entalpie x kg páry (II – 130). Tedy platí: i1+x = cpvs · t + x · ( l 0 ( 23 ) + cp · t)

(II – 131)

nebo i1+x = 1,004 · t + x · (2500 + 1,84 · t)

[kJ·kg-1]

V tomto případě označujeme měrnou entalpii (i) vlhkého vzduchu i přesto, že se nejedná o entalpii 1 kg látky, nýbrž (1 + x) kg směsi vlhkého vzduchu. 4.6 Mollierův i-x diagram vlhkého vzduchu Obecně je stav plynu určen třemi určujícími veličinami (p, T, v). Dvě z nich jsou nezávislé proměnné, třetí je funkcí předešlých dvou a lze je určit z rovnice stavu nebo tepelného diagramu. Stav vlhkého vzduchu je rovněž určen třemi veličinami – tlakem (p), teplotou (T) a vlhkostí relativní (φ) či měrnou (x). Nelze zde ale určit hodnotu jedné veličiny z hodnot dvou zbývajících veličin. Výpočty stavu vlhkého vzduchu podle dříve odvozených vztahů nejsou složité, ale rychlejší a názornější je řešení v i-x diagramu vlhkého vzduchu, který sestrojil Mollier (1923). V kosoúhlé souřadné soustavě i-x jsou obsaženy tyto veličiny: teplota (t), relativní vlhkost (φ), tlak syté páry (pp″).

41

Diagram je vždy vypočten a nakreslen pro jeden tlak vzduchu, za kterého změny stavu probíhají. Zpravidla je i-x diagram znázorňován tak, aby kosoúhlé souřadnice i a x svíraly takový úhel, při němž je nulová isoterma (t= 0 °C) kolmá k ose entalpie (i). V některých případech je diagram sestrojen pro úhel mezi i a x 135°. V prvém případě se sklon nulové isoentalpy (i0 = 0) určí z rovnice isoentalpy (II – 131) pro t = 0 °C: i0 = 2500 · x

(II – 132)

na obr. č. II-18 určují derivace předešlé rovnice směrnici danou tangentou směrového úhlu (α). ∂i0 = 2500 · ∂x odkud tgα =

∂i 0 2500 ⋅ x = 2500 = ∂x x

(II – 133)

pro libovolně zvolenou měrnou vlhkost (x) se určí tg α pro konstrukci směru isoentalp v diagramu (obr. č. II-18).

Obr. č. II-18 Konstrukce i-x diagramu Sklon isoterem se určí obdobně jako u isoentalp z rovnice i = 1,004 · t + x · (2500 + 1,84 · t) derivaci této rovnice di podle dx při t = konst, tj.:

42

∂i = (2500 + 1,84 · t) · ∂x tedy s isoentalpami budou isotermy svírat úhel určený směrnicí tg β′ = (∂i / ∂x)t

tgβ′ = 2500 + 1,84 ⋅ t tgβ′ =

/·

x x

2500 ⋅ x 1,84 ⋅ x + x x

(II – 134)

První člen rovnice II – 134 představuje úhel mezi přímkou a isoentalpami tj. tg α tgβ′ = tgα +

1,84 ⋅ t ⋅ x x

(II – 135)

a pak úhel (β′) isoterem sevřený s toutéž vodorovnou přímkou je dán druhým členem rovnice II – 135: tgβ′ =

1,84 ⋅ t ⋅ x x

(II – 136)

grafická konstanta na téže svislici (x = konst) je patrna z obr. č. II-19. Sklon isoterem podle rovnice II – 136 s teplotou (t) roste, přičemž při t = 0 °C je β′ = 0. Na mezi sytosti (φ = 1) se isotermy prudce lomí a jsou téměř rovnoběžné i isoentalpami.

Obr. č. II-19 Konstrukce izoterem i-x diagram 4.7 Změny stavu vlhkého vzduchu Nejčastější změny, které je zapotřebí v i-x diagramu řešit jsou ochlazování, ohřívání vzduchu při x = konst, vysušení vzduchu, vlhčení vzduchu vodou nebo párou a směšování vlhkých vzduchů různých stavů.

43

4.7.1 Změny stavu vzduchu při x = konst Jedná se o ohřívání a ochlazování vlhkého vzduchu prostřednictvím výměníku tepla, tj. ohřívací nebo chladící medium je od vlhkého vzduchu odděleno stěnou. Pak nemůže dojít ke změně měrné vlhkosti (x = konst). Při ochlazování vlhkého vzduchu ze stavu 1 do stavu 2 (obr. č. II-20) se zvyšuje relativní vlhkost (φ). Po dosažení stavu 2 je vzduch nasycen (φ = 1,0), tj. je dosaženo rosného bodu. Dalším ochlazováním dojde k částečné kondenzaci par. Je-li kondenzát odváděn např. zařízením podle obr. č. II-21, probíhá změna, při níž se nemění relativní vlhkost (φ = 1,0) do stavu 3. Při tom se mění měrná vlhkost x1 = x2 na x3, tedy vzduch se vysouší. Při ochlazování bez odvádění kondenzátu by vznikal mlhový vzduch (2´).

Obr. č. II-20 Změny vlhkého vzduchu při x = konst.

44

Obr. č. II-21 Zařízení pro chlazení a vysušování vzduchu Teplo vzduchu odňaté mezi stavy 1 a 3 je dáno: [J·kg-1]

q13 = i1 – i3

(II – 137)

Je si nutno uvědomit, že bylo ochlazováno množství vzduchu (1 + x) kg i když se zpravidla uvádí jednotka rovnice II – 137 J·kg-1. Ohřeje-li se vzduch ze stavu 3 na původní teplotu t1 = t4 do stavu 4, je nutno přivést jiné (menší) množství tepla (q34). q34 = i4 – i3

(II – 137)

a to proto, že se ohřívá vzduch s menším obsahem vlhkosti (x1 = x2 > x3 = x4). Rozdíly entalpií lze jednoduše a rychle odečítat přímo z i-x diagramu. 4.7.2 Směšování dvou různých stavů vlhkého vzduchu Smíšením vzduchu o hmotnosti (m1) a stavu (x1, t1), jehož entalpie je (i1), se vzduchem o hmotnosti (m2), stavu (x2, t2) a entalpii (i2) vznikne směs o hmotnosti (ms = m1 + m2) o stavu ts, xs, is (obr. č. II-22).

Obr. č. II-22 Schéma směšování vzduchu Vodní materiálová bilance vyjadřuje zákon zachování hmoty: m1 · x1 + m2 · x2 = ms · xs = (m1 + m2) · xs

45

(II – 138)

a zákon zachování energie je formulován rovnicí: m1 · i1 + m2 · i2 = ms · is = (m1 + m2) · is

(II – 139)

Z rovnic II – 138 a 139 lze vyjádřit určující veličiny stavu po smíšení (xs, is): xs =

m1 ⋅ x1 + m 2 ⋅ x 2 m ⋅ i + m2 ⋅ i2 , is = 1 1 m1 + m 2 m1 + m 2

(II – 140)

Tyto rovnice lze přepsat do tvaru: m1 m1 ⋅ x1 + x 2 ⋅ i1 + i 2 m2 m2 xs = , is = m1 m1 +1 +1 m2 m2

(II – 141)

odkud poměr m1 / m2 je dán: m1 x 2 − x s m1 i 2 − i s = , = m 2 x s − x1 m 2 i s − i1

(II – 142)

porovnáním pravých stran rovnic II – 142 lze vyjádřit po úpravě: i 2 − is i −i = s 1 x 2 − i s x s − x1

(II – 143)

z rovnice II – 143 plyne, že stav směsi (xs, is) leží na spojnici stavů 1 a 2. Grafické řešení směšování nenasycených stavů 1 a 2 je patrné z obr. č. II-23. Směšování nenasyceného 1 a nasyceného 2 stavu je znázorněno na obr. č. II-24. Na rovnoběžné paprsky vedené stavem 1 a 2 se nanesou vektory směšovaných množství (m1, m2) v opačných stavech. Průsečík spojnice konců vektorů množství (m1,2) se spojnicí stavů 1-2 určuje veličiny stavu směsi (S). Tímto tzv. pákovým pravidlem lze určit ze známých stavů 1 a 2 výsledný stav S nebo ze známého stavu 1 a požadovaného stavu S lze určit množství směšovaného stavu 2.

46

Obr. č. II-23 Směšování nenasycených stavů vzduchu

Obr. č. II-24 Směšování nenasyceného a mlhového stavu 4.7.3 Vlhčení vlhkého vzduchu Vlhčení vzduchu lze provést vodou nebo párou podle schématu znázorněném na obr. č. II-25. Směšuje-li se vlhký vzduch o hmotnosti m1 = 1 kg, měrné vlhkosti x1 a měrné entalpii i1 s vlhčící látkou množství m [kg] a stavu x, i, t, lze stav směsi (is, xs) vyjádřit ze zákonů o zachování hmoty a energie: xs = x1 + x is = i1 + x · i

(II – 144)

nebo x = xs – x1 x · i = is – i1

(II – 145)

47

podíl těchto rovnic: i=

i s − i1 ∆i = x s − x1 ∆x

vyjadřuje, že směrnice (

(II – 146)

∆i ) směšovací přímky se rovná entalpii (i) vlhčící látky. Proto se ∆x

na okraji i-x diagramu vynáší v tzv. okrajovém měřítku entalpie (i) vlhčící látky, tj. vody a vodní páry (obr. č. II-26). Entalpie vody 0 °C teplé je dána směrnicí isoentalp, entalpie syté vodní páry o teplotě 0 °C, tj. i0 = 2500 kJ·kg-1 a má směr isotermy t0 = 0 °C. Vlhčení vodou a vodní párou je následující: Výchozí stav 1 je určen určujícími veličinami x1, i1. Smíšením s x kg syté páry o tlaku 0,1 MPa, tj. o entalpii i = 2675 kJ·kg-1 vznikne směs o stavu S (is, xs). Tedy směr směšovací přímky (1 – S) je rovnoběžný se spojnicí 0 – i = 2675 kJ·kg-1.

Obr. č. II-25 Vlhčení vzduchu ve vodní pračce

Obr. č. II-26 Vlhčení vodou a vodní párou

48

4.7.3.1 Pračky vzduchu Používají se pro zvlhčování, adiabatické ochlazování a v některých případech také pro odloučení některých příměsí (plynných). Funkce pračky vyplývá z obr. č. II-27. Celkovou bilanci pračky lze rovněž popsat rovnicemi tepelné a materiálové (vodní) bilance. Podle obr. č. II-27 platí pro tepelnou bilanci: Qv · i1 + Qw · cw · tw1 + Qw0 · cw · tw =Qv · i2 + Qw · cw · tw2 + Pz [W]

(II – 147)

a pro vodní bilanci platí: [kg s-1]

Qv · x1 + Qw + Qw0 = Qv · x2 + Qw

(II – 148)

v těchto rovnicích značí: Qv , Qw, Qw0

- hmotnostní průtok vzduchu, rozprašované vody a doplňované vody [kg·s-1]

tw1, tw2, tw

- teplota vody na vstupu do trysek ve vaně a dodávané plovákovým ventilem [°C]

i1, i2, x1, x2

- měrná entalpie a měrná vlhkost vzduchu na vstupu a výstupu pračky [J·kg-1], [kg·kg-1] - prostup tepla pláštěm pračky [W]

Pz

Úpravou a vydělením předešlých rovnic II – 147, 148 se určí směr δ spojnice počátečního a konečného bodu, znázorňující stav úpravy vzduchu v pračce: δ=

Q ⋅ c ⋅ (t − t ) − Pz i1 − i 2 + cw ⋅ t w = w w w1 w2 x1 − x 2 Q w0

(II – 149)

Obr. č. II-27 Schéma pračky vzduchu Výraz v čitateli představuje teplo do systému přivedené – včetně práce čerpadla. V teoretickém ideálním případě je toto teplo u adiabatické pračky nulové, takže pak δ = cw · tw. Protože se teplota vody během rozprašování nemění, probíhá znázornění tohoto

49

děje v i-x diagramu jako přímka rovnoběžná s isotermou v oblasti kapaliny – tj. pod křivkou φ = 1 (obr. č. II-28).

Obr. č. II-28 Sprchování v adiabatické pračce Teoreticky je mezní stav vzduchu za pračkou dán stavem nasycení vzduchu. Prakticky se vzduch nikdy nenasytí – stav jeho nasycení podle obr. č. II- 28 vyjadřuje účinnost pračky (ηad). ηad =

t − tB x − xA AB = B = A ″ AC tA − tC xC − xA

[-]

(II – 150)

Tento proces si lze také představit jako míšení vzduchu o stavu “A“ se vzduchem o stavu “C“. Poměr

AB vlastně vyjadřuje, jaká poměrná část vzduchu se navlhčila na 100 %. AC

4.8 Odpařování vody z vodní hladiny do vzduchu Při proudění vzduchu podél volné vodní hladiny dojde těsně u hladiny k vytvoření mezní vrstvy vzduchu nasyceného vodní parou. Při proudění nastává směšování okolního čerstvého vzduchu o stavu 1 (x1, t1) s nasycenou mezní vrstvou o teplotě t″ a měrné vlhkosti x″ (obr. č. II-29). Za ustáleného stavu se veškeré teplo k odpařování dodává proudícím vzduchem. Pak voda v místě styku se vzduchem má stálou teplotu t″, což je teplota tzv. adiabatického sycení nebo mezí ochlazení. Je to teplota vlhkého teploměru psychrometru.

50

Obr. č. II-29 Odpařování vody zvolené hladiny Tepelná energie (∂Q), která přestoupí ze vzduchu do vody hladinou plochy (S) za čas (∂τ) je dána rovnicí: ∂Q = α · (t1 – t″) · S · ∂τ

[J] -2

(II – 151)

-1

kde α je součinitel přestupu tepla (W·m ·K ). Tepelná energie nutná k vypaření vody hmotnosti (dm) je určena rovnicí: (II – 152)

∂Q = ∂m · l 23

Hmotnost vypařené vody (dm) z plochy (S) za čas (dτ) určuje Daltonova rovnice přestupu hmoty: ∂m = δ · (pp″ – p p1 ) S · ∂τ

(II – 153)

kde je: pp″

- parciální tlak syté páry těsně na hladině o teplotě t″,

p p1

- parciální tlak páry ve vzduchu ve větší vzdálenosti od hladiny (mimo mezní vrstvu) - součinitel přestupu hmoty [kg·s-1·m-2·Pa-1]

δ

Porovnáním rovnic II – 147 a 148 s použitím rovnice II – 149 bude platit: α · (t1 – t″) · S · ∂τ = l 23 · δ · (pp″ – p p1 ) · S · ∂τ

(II – 154)

Protože podle předešlého je parciální tlak úměrný relativní vlhkosti (pp = φ · pp″) a podle rovnice II – 113 je relativní vlhkost úměrná měrné vlhkosti (x) lze rovnici II – 154 zapsat ve tvarech: α · (t1 – t″) = l 23 · δ · (pp″ – p p1 ) α · (t1 – t″) = l 23 · δ · (x″ – x1)

(II – 155)

odkud

51

α l 23 ⋅ (x ′′ − x1 ) = δ t1 − t ′′

(II – 156)

čitatel pravé strany rovnice vyjadřuje, jaké množství tepla je zapotřebí přivést k odpařování (x″ - x1) kg vody obsažené v 1 kg vzduchu. Toto teplo přivádí vzduch sám, přičemž se při odpařování ochladí o ∆t = t1 - t″. Podíl těchto hodnot určuje množství tepla potřebné k jednotkové změně teploty vlhkého vzduchu, což je vlastně měrná tepelná kapacita vlhkého vzduchu (cp vlh). Tedy platí: α = cp vlh = 1,004 kJ·kg-1·K-1 δ

(II – 157)

α = 1,004 · σ

(II – 158)

nebo toto je tzv. Lewisův zákon vyjadřující vztah mezi sdílením (přestupem) tepla a přenosem hmoty. Rovnice II – 156 vyjadřuje ideální (mezní, maximální) případ, tj. maximální množství vody, které z volné hladiny odpaří 1 kg vlhkého vzduchu, ochladí-li se z teploty t1 na teplotu t″ za předpokladu „bezztrátové“ výměny tepla a hmoty. Tuto rovnici lze přepsat do tvaru: x″ – x1 =

c pvlh

l 23

· (t1 – t″)

(II – 159)

nebo zjednodušeně: ∆x =

c pvlh

l 23

· ∆t

(II – 160)

Tyto rovnice (II – 159, 160) vyjadřují vztah mezi změnou měrné vlhkosti (∆x) a změnou teploty (∆t) vlhkého vzduchu, který přijímá vlhkost z volné hladiny, přičemž se ochlazuje. K těmto, resp. podobným dějům dochází v technice úpravy prostředí, při sušení atp. 5.0 Termomechanika procesu sušení Sušením se snižuje obsah vody v zemědělských produktech na hodnotu, při níž je možné jejich dlouhodobé skladování. Sušení je fyzikální děj, při němž se účinkem tepla snižuje obsah vody v sušených produktech. Při tomto ději nemá docházet ke změně chemického složení produktu. Vlhkost (voda) se odstraňuje odpařováním nebo sublimací. Při sušení tedy dochází k fázové přeměně vody z kapaliny do plynu (páry), event. ve vyjímečných případech z ledu do plynu – při sušení sublimací. Tímto se sušení zásadně liší od jiných zejména mechanických způsobů snižování vlhkosti produktů (odstřeďování, lisování atp.).

52

5.1 Význam zpracování produktů sušením Často je třeba rozhodnout, kterého způsobu odstraňování vody z produktů má být použito. Při tomto rozhodování jsou zejména důležité výsledky ekonomické, dále také jaké je množství odstraňované vody, jako je další určení – použití dehydratovaného materiálu a řada dalších otázek. Pokud lze použít mechanického odstraňování vody, je toto z hlediska spotřeby energie zpravidla daleko výhodnější. Mechanické odstraňování vody je ale málo vhodné tam, kde jde o látky s jemnými póry a látky, které vodu váží chemicky, resp. biochemicky. Dále pak mechanické oddělování vody není vhodné pro materiály, v jejichž kapalné fázi jsou obsaženy cenné látky – cukry, vitamíny atd., které mají zůstat v dehydratovaném materiálu. Těmto podmínkám odpovídá většina zemědělských produktů a potravin, které se zpracovávají sušením a tím i konzervují pro dlouhodobé skladování při minimalizaci prvotních i druhotných ztrát produktů. 5.2 Vyjádření vlhkosti a průběhu sušení sušeného materiálu Hmotu vlhkých materiálů lze považovat za systém tvořený hmotou absolutně suché látky (skeletu) a hmotu vody (vlhkosti). Protože absolutně suchá látka existuje jen zcela vyjímečně, je v sušárenství zaveden pojem sušiny vlhkého materiálu, jehož hodnotu určuje neměnná hmotnost, které vzorek dosáhne po vysoušení při konstantní teplotě – nejčastěji 105 °C za určitou dobu. Poměr hmotnosti vody (Mw) a takto definované sušiny (MMS) vyjadřuje měrnou vlhkost (u) materiálu: u=

M w M M − M MS = M MS M MS

[kg·kg-1]

(II – 161)

Vyjádření obsahu vlhkosti vztažené na sušinu, kterou lze považovat v průběhu sušení za konstantní, je výhodné pro výpočty látkové bilance sušáren. Vedle měrné vlhkosti vyjadřujeme také relativní vlhkost (φM), která je dána podílem hmotnosti vody (Mw) a hmotnosti vlhkého materiálu (MM). Její rozměr je rovněž [kg kg-1], ale častěji se vyjadřuje v procentech ze vztahu:

ϕM =

Mw M − M MS ⋅100 = M ⋅100 MM MM

[%]

(II – 162)

Z výrazu (II – 162) plyne, že s klesající hmotností sušiny (MMS) se zvyšuje relativní vlhkost materiálu. Pro MMS = 0 dosahuje φM = 100 %, což je čistá voda. Z rovnic II – 161, 162 lze vyjádřit vzájemný vztah měrné (u) a relativní (φM) vlhkosti materiálu: u=

ϕM 100 − ϕ M

[kg·kg-1]

53

(II – 163)

nebo

ϕM =

u ⋅100 1+ u

[%]

(II – 164)

V průběhu doby sušení (τ) se měrná vlhkost (u) materiálu bude měnit. Průběh této funkce u = f(τ) znázorňuje obr. č. II-30. Derivací (např. grafickou) předešlé funkce podle času - tj.

∂u = N se získá grafický průběh rychlosti sušení N = f(τ), který znázorňuje ∂τ

obr. č. II – 31. Funkci rychlosti sušení N = f(τ) (obr. č. II-31) lze rozdělit do tří charakteristických úseků: úsek A-B

– představuje ohřev na odpařovací teplotu. V poměru k celkové době sušení je tento úsek tak krátký, že se často zanedbává.

úsek B-C

– je odpařování volné vody s přímkovým úsekem konstantní rychlosti sušení.

úsek C-D

– je odpařování vázané vody, při kterém rychlost sušení

Obr. č. II-30 Průběh funkce u = f(τ)

Obr. č. II-31 Průběh rychlosti sušení N = f(τ)

54

∂u klesá. ∂τ

5.3 Rovnovážná vlhkost a sorpční izotermy Je-li vlhký, hydroskopický materiál ve styku s prostředím obsahujícím vodní páru, nemůže být nikdy zcela vysušen. Takový materiál nemá hladinu vlhkosti, jako ji mají materiály nehydroskopické, ale mají jen oblasti různého obsahu vody, v nichž se nastaví rovnovážný tlak páry, odpovídající příslušné teplotě a vlhkosti prostředí. Tyto materiály odevzdávají vlhkost v podobě páry tak dlouho, až se parciální tlak páry nad materiálem vyrovná s parciálním tlakem páry obsažené v okolním (např. sušícím) prostředí. Tento pochod se označuje jako desorpce (obr. č. II-32). Vysuší-li se materiál na nízkou vlhkost a pak se umístí do vlhkého prostředí, bude podle svých hydroskopických vlastností přijímat vodu (vlhkost) tak dlouho, pokud není dosaženo nové rovnovážné vlhkosti. Tento pochod se nazývá adsorpce. Toto je důležité pro skladování hydroskopických materiálů, které musí být uloženy v suchém prostředí nebo musí být uzavřeny v parotěsném obalu. Rozdíl mezi křivkou adsorpce a desorpce (obr. č. II-32) se nazývá sorpční hystereze.

Obr. č. II-32 Izotermy rovnovážných vlhkostí hydroskopických materiálů (filtrační papír) Rovnovážná vlhkost materiálu (ur) je dána okamžikem rovnováhy parciálních tlaků vlhkosti (vodní páry) materiálu a vlhkosti (páry) okolního prostředí. Parciální tlak páry okolního prostředí závisí na teplotě tohoto prostředí. Proto se rovnovážné vlhkosti (ur) vztahují (měří) k dané konstantní teplotě (t). Při jiné teplotě budou mít sorpční čáry – izotermy jiný průběh. Závislost parciálního tlaku vodních par ve vzduchu (pp) a relativní vlhkosti (φ) určuje závislost: φ=

pp γp = ″ ″ γp pp

[%]

55

(II – 165)

kde: pp″

- parciální tlak páry na mezi sytosti při dané teplotě [Pa]

γp″

- měrná tíha páry na mezi sytosti [N·m3]

γp

- měrná tíha páry ve vzduchu obsažené [N·m3]

pp

- parciální tlak páry ve vzduchu obsažené při dané teplotě [Pa] rovnovážnou vlhkost (ur) při dané teplotě okolí (t) lze pak vyjadřovat v poměru

k relativní vlhkosti okolního prostředí. Sorpční izotermy se většinou určují experimentálně. Teoretické odvození sorpčních izoterem je velmi nesnadné. Určující rovnice komplikuje řada konstant, které musí být stanoveny rovněž experimentálně. Složitost výpočetních vztahů vyplývá zejména z toho, že odpařená voda je v materiálu vázána několikerým způsobem. 5.4 Výpočet teoretické sušárny Proces sušení se uskutečňuje v sušárnách různého druhu, pro které je nutno stanovit množství sušícího media, množství tepelné energie pro odpařování daného množství vlhkosti. Tyto výpočty patří do statického výpočtu sušáren. Provoz sušáren může být přerušovaný nebo nepřetržitý. Statický výpočet bude proveden pro nepřetržitý provoz sušáren. Výsledná řešení lze použít i pro výpočty přerušovaných sušáren s tím rozdílem, že na místo průtočného množství materiálu (mM) [kg·s-1] je nutno dosazovat celkovou hmotnost náplně materiálu (MM) [kg]. Sušícím mediem může být temperovaný vzduch nebo spaliny, resp. směs vzduchu a spalin. Uvedená sušící media lze používat i s recirkulací. V prvém případě je topeniště vybaveno výměníkem tepla pro nepřímý ohřev sušícího media. Ve druhém případě tvoří spaliny sušící medium, takže výměník v topeništi odpadá. V obou případech lze temperované sušící medium před vstupem do sušícího prostoru směšovat s určitým množstvím okolního vzduchu a tak regulovat vstupní teplotu sušícího media. Při výpočtu sušáren se vychází ze zákonů zachování hmoty a energie – tedy řeší se rovnice materiálové a energetické bilance. Většina údajů sušáren se vztahuje na jednotku hmotnosti odpařované vlhkosti (1 kg o. v.). Teoretická sušárna je idealizované zařízení, u kterého nedochází ke ztrátám tepla prostupem pláštěm sušárny (Qz = 0), ke ztrátám množství sušícího media netěsnostmi (∆mv = 0) a rovněž neexistují ztráty způsobené sušeným materiálem – tj. teplota materiálu na vstupu i výstupu je stejná např. nulová. Rovnice materiálové bilance takové sušárny vychází ze schématu (obr. č. II-33), ve kterém značí: mMI

- hmotnost materiálu vstupujícího do sušárny [kg·s-1] jeho měrná vlhkost je uI

56

[kg·kg-1] mMII

- hmotnost materiálu vystupujícího ze sušárny [kg·s-1] jeho měrná vlhkost uII [kg·kg-1]

mvI

- hmotnost vstupujícího sušícího media [kg·s-1]

mvII

- hmotnost vystupujícího sušícího media [kg·s-1]

Obr. č. II-33 Sestavení materiálové bilance Podle obr. č. II-33 a zákona o zachování hmoty platí: [kg·s-1]

mMI + mvI = mMI + mvII

(II – 166)

Rozdíl průtočných hmotností obou materiálů (medií) na vstupu (I) a výstupu (II) za jednotku času (∆mw). Tedy platí: [kg·s-1]

∆mw = mMI – mvII = mMII – mvI

(II – 167)

Hmotnost materiálu (mM) je možno vyjadřovat pomocí hmotnosti sušiny (mMS) a měrné vlhkosti (u) materiálu. S použitím rovnice (II – 161) je: mMI = mMS · (1 + uI) mMII = mMS · (1 + uII)

(II – 168)

po dosazení rovnice II – 168 do rovnice II – 167 bude: [kg·s-1]

∆mw = mMS · (uI - uII)

(II – 169)

Pro lepší představu je vhodné vztahovat předešlý výpočet k hmotnosti vstupujícího (mMI) nebo vystupujícího (mMIII) materiálu a příslušných měrných vlhkostí (uI,II). Vyjádří-li se hmotnost sušiny materiálu z rovnice (II – 168) a dosadí se do rovnice II – 169, bude odpařené množství vody (∆mw) v závislosti na vstupujícím (mMI) nebo vystupujícím (mMIII) množství materiálu dáno vztahy: ∆mw = mMI ·

u I − u II 1+ uI

[kg·s-1]

(II – 170)

∆mw = mMII ·

u I − u II 1 + u II

[kg s-1]

(II – 171)

57

Při vyjádření vlhkosti materiálu relativní vlhkostí podle rovnice II – 169 lze odpařované množství vody (∆mw) podle rovnic II – 170, 171 přepočíst s použitím rovnice II – 164 na tvary:

ϕMI ϕMII − ϕ − ϕMII 100 − ϕMI 100 − ϕMII = m MI ⋅ MI ∆m w = m MI ⋅ [kg·s-1] ϕMI 100 − ϕMII 1+ 100 − ϕ MI

(II – 172)

ϕ MI ϕ MII − ϕ − ϕ MII 100 − ϕ MI 100 − ϕ MII = m MII ⋅ MI ∆m w = m MII ⋅ [kg·s-1] ϕMII 100 − ϕ MI 1+ 100 − ϕ MII

(II – 173)

Rovnice II – 170 až 173 platí jak pro průtočná množství (mMw) [kg·s-1], tak i pro celková množství (MMw) [kg] sušeného materiálu i vody. 5.4.1 Výpočet množství sušícího media teoretické sušárny Odpařená voda (∆mw) musí být ze sušícího prostoru odvedena sušícím mediem, jehož hmotnostní tok se ve smyslu rovnice (II – 166) změní z hodnoty (mI) na hodnotu (mII) [kg·s-1]. Hmotnost, resp. průtočná hmotnost sušícího media – vzduchu závisí na jeho měrné vlhkosti (x). Měrná vlhkost vzduchu (x) ve shodě s rovnicí (II – 103) vyjadřuje množství vodních par (Mw) na jednotku hmotnosti suchého vzduchu (MvS). Tedy pro celkové hmotnosti (Mw, Mv, MvS) platí: x=

M w M v − M vS = M vS M vS

[kg·kg-1]

(II – 174)

[kg·kg-1]

(II – 175)

nebo obdobně pro průtočné hmotnosti (mw, mv, mvS) platí: x=

m v − m vS m vS

S použitím měrné vlhkosti materiálu (u) a sušícího media (x) lze sestavit rovnici látkové bilance vody teoretické sušárny ve tvaru: mvS0 · x0 + mMI · uI = mvSII · xII + mMII · uII

[kg·s-1]

(II – 176)

pro teoretickou sušárnu platí: [kg·s-1]

mvS0 = mvSI = mvSII = mvS pak platí z rovnice II – 176: mvS · (xII – x0) = mMI · uI – mMII · uII = ∆mw

58

[kg·s-1]

(II – 177)

Podělením rovnice II – 177 hodnotou (∆mw) se určí hmotnostní množství suchého vzduchu (kg) potřebného k odpaření jednotky hmotnosti (1 kg) vlhkosti. Tato hodnota bývá označována (ℓ) a platí pro ni vztah:

l=

m vS 1 = ∆m w x II − x 0

[kg·kg-1]

(II – 178)

nebo při ohřevu sušícího media bez změny měrné vlhkosti (x = konst, tj. x0 = xI) např. ve výměníku tepla platí také:

l=

1 x II − x I

[kg·kg-1]

(II – 179)

Měrná spotřeba vzduchu (l) má rozhodující význam pro dimenzování ventilátoru a tím ovlivňuje i energetickou náročnost sušárny. 5.4.2 Výpočet množství tepelné energie teoretické sušárny Tepelná energie se spotřebovává v teoretické sušárně k překonání vazby vody na materiál a k jejímu odpařování – tj. fázové přeměně. Rovnici energetické bilance teoretické sušárny lze ve smyslu označení obrázku II-34 vyjádřit tvarem: Qv0 + Q0HŘ + QMI = QvII + QMII

[W]

(II – 180)

[W]

(II – 181)

pro Qv0 + Q0HŘ = QvI ; QMI = QMII a Qv = 0, Qz = 0 bude platit: QvI = QvII po dosazení: mvSI · iI = mvSII · iII

(II – 182)

protože pro teoretickou sušárnu platí: mvSI = mvSII musí platit: [J·kg-1]

iI = iII = konst

Obr. č. II-34 Sestavení tepelné bilance

59

(II – 183)

Z rovnice II – 183 vyplývá, že sušení v teoretické sušárně je dějem izoentalpickým, protože probíhá po čáře konstantní entalpie. Významným srovnávacím měřítkem sušáren je měrná spotřeba tepla (q) potřebná k odpaření 1 kg vlhkosti (vody). Pro teoretickou sušárnu s izoentalpickým sušením (iI = iII) je měrná spotřeba tepla (q) vyjádřena součinem: q = ℓ · (iI – i0) = ℓ · (iII – i0)

[J·kg-1]

(II – 184)

[J·kg-1]

(II – 185)

Kde entalpie vzduchu (i0, iI, iII) lze vyjádřit: iII = cII · tII + xII · iII′ iI = cI · tI + xI · iI′ i0 = c0 · t0 + x0 · i0′ kde značí: cv = cII = cI =c0

- měrná tepelná kapacita suchého vzduchu [J·kg-1·K-1]

xII, xI, x0

- měrná vlhkost vzduchu v příslušném místě [kg·kg-1]

tII, tI, t0

- teploty vzduchu v těchže místech [K]

iII′, iI′, i0′

- měrná entalpie vodních par obsažených ve vzduchu [J·kg-1] [kJ·kg-1]

i′ = 2500 + 1,84 · t Po dosazení rovnice II – 185 do II – 184 bude: q = ℓ · [(cv · tII + xII · iII′) – (cv · t0 + x0 · i0′)]

[J·kg-1]

(II – 186)

Úpravou rovnice II – 186 s přičtením a odečtením členu ℓ · x0 · iII′ se q = ℓ · cv · tII + ℓ · xII · iII′ – ℓ · cv · t0 + ℓ · x0 · i0′ + ℓ · x0 · iII′ – ℓ · x0 · iII′ po úpravě: q = ℓ · cv · (tII – t0) + ℓ · x0 · (iII′ – i0′) + iII′ · (ℓ · xII – ℓ · x0) protože l =

(II – 187)

l je závorka posledního členu rovnice rovna jedné, pak: x II − x 0

q = iII′ + ℓ · cv (tII – t0) + ℓ · x0 (iII′ – i0′) q1

q2

[J·kg-1]

(II – 188)

q3

Podle rovnice II – 188 je měrná spotřeba tepla teoretické sušárny dána součtem tří členů (q1 ÷ q3). První člen (q1) představuje teplo potřebné k odpaření vody z materiálu. Protože se teplota materiálu v teoretické sušárně uvažuje nulová, bude i voda v něm obsažená mít tutéž teplotu a pak první člen rovnice II – 188 je dán výparným teplem vody, tj. 2500 kJ·kg-1. Druhý člen (q2) představuje teplo potřebné k ohřátí sušícího media ze

60

vstupní teploty (t0) na výstupní teplotu (tII). Třetí člen (q3) představuje zvýšení tepelné energie (entalpie) vodních par, obsažených v sušícím prostředí na vstupu do sušárny. 5.5 Znázornění teoretické sušárny v i-x diagramu Určení potřeby tepelné energie, potřeby sušícího media jakož i jeho parametrů lze s dostatečnou přesností a velmi rychle provést pomocí Mollierova i-x diagramu. V tomto diagramu jsou v kosoúhlých souřadnicích všechny důležité parametry vlhkého vzduchu, tj. jeho měrná entalpie (i) [J·kg-1], měrná vlhkost (x) [kg·kg-1], relativní vlhkost (φ) [%], teplota (tv) [°C] a parciální tlak (pp) [Pa]. Pomocí tohoto diagramu lze znázornit stavy sušícího media v průběhu sušení včetně počátečního ohřevu, event. recirkulace sušícího media. Průběh ohřevu závisí na způsobu ohřevu. Dochází-li k nepřímému ohřevu sušícího media v ohříváku, děje se ohřev po čáře konstantní vlhkosti (x = x0 = xI) - tj. po čáře OI (obr. č. II-35). Bod “0“ je dán průsečíkem teploty (tv0) a vlhkosti (φ0) media vstupujícího do ohřívače. Úsečka OI představuje ohřev sušícího media z teploty okolí (tv0) na vstupní teplotu (tvI). Průsečík izotermy (tvI) a čáry vlhkosti (x) určuje izoentalpu (iI), po které bude probíhat sušení v teoretické sušárně až do bodu (II). Bodem (II) končí sušení. Tento bod je dán průsečíkem izoentalpy (iI = iII) a čáry výstupní vlhkosti (φII) nebo výstupní teploty (tvII). V mezním případě se může nacházet bod (II) na čáře sytosti, tj. φ = 100%. Z graficky znázorněného procesu sušení lze stanovit důležité parametry sušení. Měrnou spotřebu vzduchu představuje v měřítku (mx) úsečka II, III, která se určí ze vztahu: ℓ=

1 1 1 = = x II − x 0 x II − x I m x ⋅ II, III

61

[kg·kg-1]

(II – 189)

Obr. č. II-35 Znázornění teoretické sušárny v i-x diagramu 0 – stav vzduchu před vstupem do ohříváku obdobně se určí s pomocí rovnice II – 184 měrná spotřeba tepla (q), ve které jsou rozdíly entalpií (iI – i0), (iII – i0) představovány úsečkou OI. S využitím rovnic (II – 184 a 189) bude při měřítku entalpií (mi) měrná spotřeba tepla dána:

62

q = ℓ · (iI – i0) = ℓ · (iII – i0) =

m I ⋅ O, I m x ⋅ II, III

[J·kg-1]

(II – 190)

Ve skutečné sušárně dochází k tepelným ztrátám (qz), ale kromě nich může být teplo do soustavy také dodatečně přiváděno, např. kompresní prací ventilátoru (Qv), uvolňováním krystalizačního tepla atp. Ve skutečné sušárně dochází také ke změně tepelné energie sušeného materiálu mezi vstupem (I) a výstupem (II) ze sušárny. Dochází také ke změně množství sušícího media (mv) vlivem netěsnosti sušícího prostoru. Tyto ztráty (∆mv) současně způsobují i ztráty tepelné energie (Qz2). Z uvedeného plyne, že skutečná sušárna se od teoretické liší především tepelnou bilancí. Řešením této tepelné bilance skutečné sušárny lze vyjádřit určující závislost průběhu sušení rovnicí: ivII = ivI +

∆q l

[J·kg-1]

(II – 191)

v níž ∆q představuje tzv. změnu měrné spotřeby tepelné energie. Z této rovnice vyplývá, že proces sušení ve skutečné sušárně není izoentalpický, nýbrž že je od něj odkloněn buď pod nebo nadizoentalpicky podle charakteru – znaménka změny měrné spotřeby tepelné energie (±∆q). Nutno si uvědomit, že zpracování produktů sušením je proces vysoce energeticky náročný a to na ušlechtilá paliva (plyn, LTO apod.). Proto je nutné pečlivě a zodpovědně rozhodovat, které produkty a potraviny je možné, účelné a tím i nutné zpracovávat sušením. Nutno i v tomto procesu podporovat procesy, které mohou využívat termodynamického efektu přečerpávání a využití nízkopotenciální tepelné energie, využití energie solární, event. i odpadní tepelné energie, např. tepla kompresorů přečerpávacích stanic plynovodu, kde odcházející plyny mají teplotu okolo 150 ÷ 200 °C atp. Velmi často se k sušení používají přímo produkty spalování – spaliny. Proces spalování a s ním spojené uvolňování tepla a jeho využití je důležitý rovněž u všech spalovacích motorů. Proto se jeví nutné poznání zákonitosti procesu spalování a vzniku spalin jež jsou nosičem tepla. Protože pro spalování se používá vzduch jako nosič kyslíku, existuje úzká souvislost tohoto procesu se stavovými změnami vlhkého vzduchu. 6.0 Termomechanika a termokinetika procesu spalování V technické praxi se většinou získává teplo spalováním tuhých, kapalných a plynných paliv. Kyslík nutný k oxidaci se dodává nejčastěji ze vzduchu. Spálením paliva vznikají spaliny, které opouští prostor spalování jako tzv. kouřové plyny.

63

Spálením jednotkové hmotnosti paliva (1 kg) se uvolní spalné teplo (qv). Pro technickou praxi je významnější výhřevnost paliva (qn). Spalné teplo (qv) uvolněné při dokonalém spálení jednotkové hmotnosti paliva při čemž voda reakcí vzniklá i voda v palivu obsažená je v kapalném skupenství. Měří se v J kg-1. Výhřevnost (qn) je totéž množství uvolněného tepla, jen voda (pára) nacházející se ve spalinách je ve stavu plynném. Výhřevnost je tedy spalné teplo zmenšené o výparné teplo vody obsažené ve spalinách. Výparné teplo vody při teplotě t0 = 0 °C činí 2500 kJ·kg-1. Spalné teplo a tím i výhřevnost se nejpřesněji určí měřením. Obojí lze ale také vypočítat z reakčních – oxidačních rovnic stechiometrickým výpočtem. Slučovací rovnice vychází ze základního látkového množství jednoho molu. Základní slučovací rovnice jsou následující: C

+

O2

=

CO2

+

406042 kJ

1 mol

+

1 mol

=

1 mol

12,01 kg

+

22,39 mn3

=

22,26 mn3

1 kg

+

1,865 mn3

=

1,855 mn3

+

33823 kJ (qv)

2 H2

+

O2

=

2 H2O

+

482227 kJ

2 moly

+

1 mol

=

2 moly

3

=

44,80 mn3

4,032 kg

+

22,39 mn

1 kg

+

5,553 mn3

=

11,64 mn3

+

119720 kJ (=qv)

S

+

O2

=

SO2

+

296369 kJ

1 mol

+

1 mol

=

1 mol

32,06 kg

+

22,39 mn3

=

21,89 mn3

1 kg

+

0,669 mn3

=

0,683 mn3

+

10339 kJ (=qv)

N

+

O2

=

NO2

+

6827325 kJ

1 mol

+

1 mol

=

1 mol

28,016 kg

+

22,39 mn3

=

22,4 mn3

1 kg

+

0,800 mn3

=

0,799 mn3

+

556038 kJ (= qv)

64

O2

=

O2

1 mol

=

1 mol 3

32 kg

=

22,39 mn

H2O kap

=

H2O pára

1 mol

=

1 mol

18,016 kg

=

22,40 mn3

N2

=

N2

1 mol

=

1 mol 22,39 mn3

28,016 kg =

Molární objemy plynu jsou vztaženy k normálním podmínkám teploty t0 = 0 °C a tlaku p0 = 101,33 kPa. Jsou vyjádřeny v tzv. normálních metrech kubických (mn3). Pro dokonalé spalování paliva tj. oxidaci jednotlivých prvků na příslušný oxid je nutno přivádět minimální množství kyslíku ( VO 2 ) určené rovnicí: ⎛µ µ µ µ VO 2 = k vO 2 · ⎜ c + H + S − 0 ⎜ k mc k mH k mS k mO 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

[mn3·kg-1]

(II – 192)

kde: k vO 2

- představuje molární objem kyslíku (22,39 mn3),

kmi

- je molární hmotnost jednotlivých prvků (C, H, S, O2) paliva,

µi

- je poměrné zastoupení daného prvku v jednotce hmotnosti (1 kg) paliva. Protože je kyslík pro oxidaci paliva většinou přiváděn vzduchem, je požadovaný

minimální objem vzduchu (Vvz) pro dokonalé spálení 1 kg paliva dán rovnicí: 1 · VO k O2

Vvz =

[mn3·kg-1]

2

(II – 193)

kde k O 2 vyjadřuje zastoupení kyslíku (0,21) ve vzduchu. Spalováním vznikají spaliny, jejichž objem (Vsp) při dokonalém spalování určují následující rovnice: Vsp = k1· /

µC µ µ µ + k CO 2 ·Vvz + k1· S +k1· N +kN+Vvz+k1· H [mn3·kg-1](II – 194) k mC k mS k mN k mH

CO2

/

SO2

/

NO

/

H2O

kde k CO 2 , kN je poměrné zastoupení oxidu uhličitého a dusíku ve vzduchu přiváděného pro spalování a k1 jsou molární objemy oxidu, na který se příslušný prvek (C, H, S, N) okysličuje. Jejich hodnoty určují (uvádí) stechiometrické rovnice.

65

Dosavadní rovnice vychází z předpokladu dokonalého spalování. Dokonalé spálení paliva s minimálním (teoretickým) množstvím kyslíku vyžaduje dokonalé promísení paliva se vzduchem tak, aby mohly molekuly kyslíku reagovat s veškerým palivem. Takové promísení není prakticky možné a proto je nutné k dokonalému spálení paliva dodávat více než minimální teoretické množství vzduchu. Poměr skutečně dodávaného množství vzduchu (Vsk) k teoretickému (Vvz) určuje tzv. součinitel přebytku vzduchu (λ): λ=

VO 2sk Vsk = Vvz VO 2

[-]

(II – 195)

Hodnota součinitele přebytku vzduchu (λ) závisí na mnoha faktorech – nejvíce na druhu paliva a konstrukci spalovacího prostoru. Nachází se v mezích 1,1 až 2,2. Příliš vysoký přebytek vzduchu (λ) snižuje entalpii spalin (isp) protože se palivem ohřívá větší množství spalin, což potvrzuje rovnice: I sp =

q n ⋅ (1 − ξ) + Vvz ⋅ i v0 + i p

[J·kg-1]

Vsp ⋅ ρ sp

(II – 196)

kde značí: qn

- výhřevnost paliva [J·kg-1], kterou lze určit měřením nebo výpočtem podle Mendělejeva: qn = qvC·µC+(qvH – l 23 w )·µH +qvS·µS – qvN·µN – l 23 w ·w [J·kg-1]

ξ

- součinitel nedokonalosti mechanického a chemického spalování [-]

iv0

- měrná entalpie spalovacího vzduchu odpovídající teplotě t0 [J·kg-1]

ip

- měrná entalpie paliva odpovídající teplotě paliva tp [J·kg-1]

(II – 197)

Vsp - množství spalin při spalování bez přebytku vzduchu (λ = 0). Je-li skutečné množství vzduchu větší (Vsk), je i skutečné množství spalin (Vsp, Vsk) větší a entalpie spalin (isp) se snižuje. ρsp

- měrná hmotnost spalin [kg·m-3]

qvi

- spalné teplo příslušného prvku [J·kg-1]

l 23w - výparné teplo vody při dané teplotě [J·kg-1] w

- poměrné množství vody v palivu [kg·kg-1]

6.1 Adiabatická spalná teplota Teplo uvolněné při spalování zvyšuje teplotu spalin. Předpokládá-li se spalování bez výměny tepla s okolím, dosáhne se hořením tzv. adiabatické spalné teploty. Tato teplota je závislá na složení a výhřevnosti paliva, jeho počáteční teplotě a na teplotě a

66

množství přiváděného vzduchu pro spalování. Za vyšších teplot jak 1500 °C přistupuje vliv disociace plynů a při teplotách nad 2500 °C vliv ionizace plynů. Zanedbá-li se vliv disociace a ionizace plynů, lze teplotu spalin stanovit následovně. Při isobarickém spalování 1 kg paliva vznikne podle rovnice II – 194 množství spalin (Vsp). Změny teploty spalin je dosaženo předáním tepelné energie paliva, tj. výhřevnosti paliva (qn) odpovídající teplotě (t0). Rovnici pro určení adiabatické spalné teploty (ta) lze sestavit podle bilance vycházející ze schématu obr. č. II-36. Protože je výhřevnost (qn) dána při teplotě (t0), musí se palivo i vzduch nejdříve isobaricky na tuto teplotu ohřát (či ochladit), čímž se přivede (odvede) teplo Q1,0. Při teplotě (t0) pak proběhne isobaricko-isotermické spalování, čímž vzniknou spaliny v množství Vsp [mn3·kg-1], popel v množství mpop [kg·kg-1] a uvolní se výhřevnost (qnt0) [J·kg-1]. Teplem Q0,2 = Q1,0 + Qnt0 se isobaricky ohřejí spaliny z teploty t0 na adiabatickou spalnou teplotu (ta) a popel na teplotu (tpop). Energetická bilance tohoto adiabatického, isobarického děje je následovná:

[ ]

q nt 0 + Vvz ⋅ c pvz

t1 t0

[ ]

⋅ (t1 − t 0 ) + 1 ⋅ c p ⋅ (t p − t 0 ) =

[ ]

⎧⎛ µ C ⎞ + k CO 2 ⋅ Vvz ⎟⎟ ⋅ c pCO ⎪⎜⎜ k1 2 ⎪⎝ k mC ⎠ =⎨ ⎪+ ⎛⎜ k µ N + k .V ⎞⎟ ⋅ c N vz ⎟ p NO2 ⎪ ⎜ 1k mN ⎠ ⎩ ⎝

ta t0

[ ]

ta

[ ]

kde c pi

ta t0

+ k1

t0

[ ] ⋅ (t

⋅ (t a − t 0 ) + (1 − λ ) ⋅ Vvz ⋅ c pvz

ta

t0

+ k1 ⋅

a

[ ]

µS ⋅ c pSO 2 k mS

[ ]

µH ⋅ cpw k mH

ta t0

ta t0

⎫ +⎪ ⎪ ⎬⋅ ⎪ ⎪ ⎭

[J·kg-1] (II – 198)

− t 0 ) + m pop ⋅ c pop ⋅ (t pop − t 0 )

představuje střední měrnou tepelnou kapacitu za stálého tlaku v rozsahu teplot t0

až ta [J·kg-1·K-1].

Obr. č. II-36 Určení adiabatické spalné teploty Při lineární závislosti měrných tepelných kapacit na teplotě je rovnice II – 198 určující adiabatickou spalnou teplotu (ta) rovnicí druhého řádu. Je-li závislost měrných tepelných kapacit na teplotě polynomem druhého řádu, pak rovnice II – 198 je řádu třetího.

67

Analytické řešení adiabatické spalné křivky z rovnice II – 198 je sice přesné, ale za uvedených podmínek řádu této rovnice poněkud pracné. Proto se při řešení této úlohy určení ta zpravidla postupuje tak, že spalnou teplotu odhadneme (ta′) předem. Pro odhadnutou teplotu (ta′) se provede výpočet středních

[ ]

měrných tepelných kapacit c pi

ta t0

podle příslušného polynomu nebo lze vzít tabulkové

hodnoty pro rozsah teplot ta´až t0. Takto určené hodnoty měrných tepelných kapacit se dosadí do rovnice II – 190 a z ní se nyní vypočte teplota tav. Při větším rozdílu mezi odhadnutou (ta′) a vypočtenou (tav) teplotou se výpočet opakuje, při čemž se použije středních měrných tepelných kapacit pro rozsah teplot t0 až tav. Nejvyšší spalné teploty se dosáhne při dokonalém spalování s teoretickým množstvím vzduchu. Nedokonalé spalování a přebytek vzduchu (λ > 1) snižuje hodnotu adiabatické i skutečné teploty spalin, což souvisí s analýzou uvedenou v rovnici II – 196. Rovněž tepelné ztráty (Qz) snižují teplotu spalin. Pokud se počítá se ztrátami tepla (Qz) při spalování, je nutno jejich hodnotu odečíst od levé strany rovnice II – 198. Teplota spalin se zvyšuje s rostoucí teplotou přiváděného vzduchu (t1). Tedy vháněním předehřátého vzduchu do prostoru spalování (kotle, motoru) se zvyšuje účinnost spalování. 6.2 i – t diagram spalin Obtížnost a pracnost výpočtu teploty spalin (ta) vedla k sestavení i-t digramu spalin v němž je měrná entalpie normálního metru kubického (mn3) spalin vynesena v závislosti na jejich teplotě (t). Obecně by bylo zapotřebí pro každé složení paliva jiný i-t diagram. Ukázalo se však, že pro paliva suchá, tj. neobsahující vodu při spalování vzduchem postačuje jediný diagram a to s přesností dostatečnou pro výpočet spalovacích prostorů a topenišť. Za těchto podmínek platí, že spaliny vznikají spálením uhlíku a vodíku se vzduchem mají přibližně stejné měrné entalpie [J·mn3]. Lze proto termodynamické vlastnosti spalin považovat za dostatečně shodné, což je základní pro sestrojení diagramu. Předešlé tvrzení lze objasnit na spalování čistého uhlovodíku, např. metanu (CH4) vzduchem. Spalovací rovnici uhlíku za přívodu teoretického množství vzduchu lze s použitím rovnic II – 192, 193 zapsat: 1 mol C + 1 mol O2 +

0,79 0,79 mol N2 = 1 mol CO2 + mol N2 + 406042 kJ 0,21 0,21

68

Z jednoho molu uhlíku (C) vznikne 1 +

0,79 molů spalin. Předpokládá-li se, že entalpie 0,21

vzduchu, paliva i spalin je při teplotě 0 °C nulová a za předpokladu, že vzduch i palivo přichází do spalovacího prostoru o teplotě 0 °C, lze podle rovnice II – 196 vyjádřit entalpii spalin uhlíku (ispC) následovně (qn = qv) ispC =

ispC =

q mt 0C q vC = 0,79 0,79 1+ 1+ 0,21 0,21

[J·kg-1]

(II – 199)

406042 85532 = 85532 kJ/kmol = = 3808 kJ·mn-3 0,79 22,4 1+ 0,21

Obdobně pro spalování vodíku (H2) lze psát: 1 mol H2 +

1 1 0,79 mol O2 + mol N2 = 2 2 0,21

= 1 mol H2O +

1 0,79 mol N2 + 241 114 kJ 2 0,21

a ispH2 =

=

q mt 0 H 2 241114 241114 = = = 83 720 kJ/kmol = 1 0,79 1 0,79 2,88 1+ . 1+ . 2 0,21 2 0,21

83720 = 3737,5 kJ·mn-3 22,4

Jak je patrno, je entalpie spalin uhlíku a vodíku prakticky stejná. Většina paliv se skládá převážně z uhlíku a vodíku. Chyba vzniklá těmito rozdíly paliv nepřesahuje 1,5 %, což je pro praktickou potřebu přesnost dostatečná. Takto sestrojený i-t diagram (obr. č. II-37) uvádí teplotu spalin pro určitou entalpii spalin (isp) určenou např. podle rovnice II – 196 při různém přebytku vzduchu (λ). Horní mezní křivka odpovídá spalování s teoretickým množstvím vzduchu a dolní mezní křivka představuje nedosažitelný stav. Dokonalost spalování lze jednoduše hodnotit analýzou kouřových plynů, která se provádí Orsátovým přístrojem jsou-li kouřové plyny suché – bez obsahu vody nebo jinými běžně dostupnými analyzátory spalin. Tímto způsobem lze stanovit složení spalin a určit zda je přiváděno dostatečné množství vzduchu pro dokonalé spalování, které nemusí být shodné s teoretickou spotřebou vzduchu z důvodů, které byly dříve uvedeny.

69

Obr. č. II-37 i-t diagram spalin

70