HYDRAULIKA A HYDROLOGIE

VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ

JAN JANDORA

HYDRAULIKA A HYDROLOGIE MODUL 01

STUDIJNÍ OPORA PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Hydraulika a hydrologie

© Jan Jandora, 2005

- 2 (188) -

Obsah

OBSAH 1 Úvod ...............................................................................................................7 1.1 Cíle ........................................................................................................7 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................7 1.3 Doba pot ebná ke studiu .......................................................................7 1.4 Klí ová slova.........................................................................................7 ÁST I – HYDRAULIKA................................................................................8 2 Fyzikální vlastnosti kapalin .........................................................................8 2.1 Hustota a m rná tíha kapaliny...............................................................8 2.2 Soudržnost kapalin................................................................................9 2.3 Viskozita kapalin...................................................................................9 2.4 Stla itelnost kapalin ..............................................................................9 2.5 Tepelná roztažnost ..............................................................................10 2.6 Povrchové nap tí.................................................................................11 2.7 Kapilarita.............................................................................................11 2.8 Tepelná vodivost .................................................................................12 2.9 Ideální kapalina ...................................................................................12 3 Hydrostatika ...............................................................................................13 3.1 Tlak v kapalin ....................................................................................14 3.2 Neprom nnost tlaku v r zných sm rech .............................................14 3.3 Eulerova diferenciální rovnice rovnováhy v kapalin ........................15 3.4 Tlak v kapalin , na níž p sobí jen tíže................................................17 3.5 Rov ové a hladinové plochy, spojité nádoby a Pascal v teorém .......18 3.6 Tlaková síla kapaliny na vodorovné plochy........................................19 3.7 Tlaková síla kapaliny na rovinné plochy ............................................20 3.7.1 Analytické ešení ..................................................................20 3.7.2 Horizontální a vertikální složka hydrostatické tlakové síly na rovinné plochy...........................................................22 3.7.3 Grafické znázorn ní hydrostatického tlaku na rovinné plochy s konstantní ší kou pomocí zat žovacích obrazc ....23 3.8 Tlakové síly na zak ivené plochy........................................................24 3.9 Plování t les ........................................................................................26 4 Hydrodynamika..........................................................................................32 4.1 Rovnice kontinuity v 1D .....................................................................34 4.2 Bernoulliho rovnice.............................................................................36 4.2.1 Bernoulliho rovnice ..............................................................36 4.2.2 P íklady použití Bernoulliho rovnice....................................39 4.3 V ta o hybnosti (impulsová v ta) .......................................................41 5 Výtok kapaliny otvorem z nádob ..............................................................43 5.1 Ustálený výtok kapaliny otvorem z nádob..........................................43 5.1.1 Volný výtok malým otvorem ve dn ....................................43 5.1.2 Sou initelé výtoku, zúžení, výtokové rychlosti a ztrát .........45 5.1.3 Volný výtok otvorem ve svislé st n ....................................47 5.1.4 Volný výtok hydraulicky malým otvorem ve svislé st n ....49 5.1.5 Výtok pono eným otvorem ve svislé st n ...........................49 5.1.6 Výtok áste n pono eným obdélníkovým otvorem ............50

- 3 (188) -


5.1.7 Volný výtok obdélníkovým otvorem v šikmé st n ............. 51 5.2 Pln ní a prázdn ní .............................................................................. 51 5.2.1 Pln ní a prázdn ní prizmatické nádoby otvorem p i Qp = konst. ...................................................................... 53 5.2.2 Prázdn ní válcové cisterny otvorem p i Qp = 0.................... 54 6 P epady ....................................................................................................... 57 6.1 Ostrohranné p elivy ............................................................................ 59 6.1.1 Výpo et p epadu p es ostrou hranu, Bazin v p eliv ............ 59 6.1.2 Nedokonalý p epad p es ostrou hranu.................................. 61 6.1.3 Ostrohranné p elivy s bo ním zúžením................................ 62 6.2 Jezové p elivy..................................................................................... 63 6.2.1 Výpo et p epadu p es jezová t lesa ..................................... 64 6.2.2 Nedokonalý p epad .............................................................. 64 6.2.3 Vliv p dorysného uspo ádání jez ....................................... 65 6.2.4 Bo ní kontrakce.................................................................... 65 6.2.5 Jezy obdélníkového p í ného pr ezu.................................. 66 6.2.6 Jezy lichob žníkového p í ného pr ezu ............................. 66 6.2.7 Proudnicová p elivná plocha................................................ 67 6.2.8 N které typy pohyblivých jez ............................................ 68 6.3 P epad p es širokou korunu bez bo ního zúžení ................................ 68 7 Ustálené tlakové proud ní vody v potrubí............................................... 74 7.1 Hydraulické odpory ............................................................................ 74 7.2 Základní rovnice pro rovnom rný pohyb kapalin .............................. 75 7.3 Laminární a turbulentní proud ní....................................................... 77 7.4 Ztráty t ením....................................................................................... 79 7.4.1 Sou initel t ení ..................................................................... 80 7.4.2 Rychlostní sou initel C ........................................................ 82 7.4.3 Empirické výrazy pro výpo et sou initele t ení λ................ 83 7.5 Místní ztráty........................................................................................ 84 7.5.1 Náhlé rozší ení pr ezu potrubí - Bordova ztráta................. 85 7.5.2 Kónické rozší ení pr ezu .................................................... 86 7.5.3 Náhlé zúžení pr ezu............................................................ 87 7.5.4 Kónické zúžení pr ezu........................................................ 87 7.5.5 Ztráta na vtoku do potrubí a výtoku z potrubí...................... 88 7.5.6 Ztráta v obloucích a v kolenech ........................................... 88 7.6 Hydraulicky krátká potrubí................................................................. 90 7.6.1 Shybka.................................................................................. 90 7.6.2 Hydraulicky krátká složená potrubí ..................................... 91 7.7 Hydraulicky dlouhé potrubí a potrubí s odb rem po délce ................ 92 8 Ustálené proud ní vody v otev ených korytech........................................ 96 8.1 Rovnom rné proud ní vody v otev ených korytech ............................. 96 8.1.1 Výpo et pr ezové rychlosti ................................................ 97 8.1.2 Rychlostní vzorec Pavlovského ........................................... 97 8.1.3 Rychlostní vzorec Manning v ............................................. 98 8.1.4 Rychlostní vzorec Strickler v .............................................. 98 8.1.5 Hydraulický výpo et rovnom rného proud ní v otev ených korytech .......................................................... 99

- 4 (188) -

8.1.6 Profily o r zných drsnostech jednotlivých ástí ...................99 8.1.7 Složené profily ....................................................................100 8.1.8 Uzav ené profily s volnou hladinou....................................100 8.1.9 M rná energie pr ezu ........................................................101 8.1.10 Proud ní kritické, í ní a byst inné.....................................102 8.1.11 Ur ení kritické hloubky ve vybraných profilech ................104 8.1.12 Froudovo kritérium .............................................................104 8.2 Nerovnom rné ustálené proud ní vody v otev ených korytech........105 8.2.1 K ivky vzdutí a snížení .......................................................105 8.2.2 ešení nerovnom rného pohybu metodou po úsecích........106 8.2.3 ešení nerovnom rného pohybu metodou po úsecích v prizmatických korytech....................................................108 8.2.4 ešení nerovnom rného pohybu metodou po úsecích v p irozených korytech .......................................................109 8.2.5 Výpo et pr toku ze známého pr b hu hladiny ..................111 8.2.6 Výpo et pr tok v ramenech koryta...................................111 9 Vodní skok.................................................................................................115 9.1 Druhy vodního skoku........................................................................116 9.2 Prostý vodní skok..............................................................................117 9.2.1 Funkce vodního skoku ........................................................117 9.2.2 Výpo et vzájemných hloubek.............................................118 9.2.3 Délka vodního skoku ..........................................................119 9.2.4 Ztráta energie ve vodním skoku..........................................119 9.3 Spojení hladin vodních zdrží – návrh vývaru ...................................119 9.3.1 Základní rovnice .................................................................120 9.3.2 Dimenzování podjezí - vývaru............................................121 9.3.3 Schéma hydraulického ešení vývaru .................................122 10 Mosty .........................................................................................................125 10.1 Mosty na tocích s í ním proud ním.................................................126 10.1.1 Vtok zatopený dolní vodou.................................................126 10.1.2 Vtok není zatopený dolní vodou .........................................127 10.2 Mosty na tocích s byst inným proud ním.........................................127 11 Propustky ..................................................................................................129 11.1 Propustky s volnou hladinou po celé délce .......................................130 11.1.1 Propustky neovlivn né dolní vodou....................................130 11.1.2 Propustky ovlivn né dolní vodou .......................................131 11.2 Propustky s volnou hladinou a zatopeným vtokem ..........................131 11.2.1 Propustky neovlivn né dolní vodou....................................132 11.2.2 Propustky ovlivn né dolní vodou .......................................132 11.3 Tlakové propustky (kruhové)............................................................133 11.3.1 Výtok z propustku není zatopen dolní vodou .....................133 11.3.2 Výtok z propustku je zatopen dolní vodou .........................134 12 Proud ní podzemní vody .........................................................................135 12.1 Darcyho vztah ...................................................................................136 12.2 Dupuitovy p edpoklady.....................................................................138 12.3 Jímání podzemní vody ......................................................................139 12.3.1 Filtra ní stabilita na plášti studny .......................................139

- 5 (188) -


12.3.2 Úplná studna s volnou hladinou ......................................... 140 12.3.3 Neúplná studna s volnou hladinou ..................................... 141 12.3.4 Studny tlakové.................................................................... 141 12.3.5 Studny vsakovací................................................................ 142 12.4 Sb rná štola ...................................................................................... 143 12.5 Soustava studní................................................................................. 144 ÁST II – HYDROLOGIE ......................................................................... 147 13 Hydrologie - základní pojmy................................................................... 147 13.1 Význam a rozd lení hydrologie........................................................ 147 13.2 Vývoj hydrologie.............................................................................. 148 13.3 Rozd lení vody na zemi ................................................................... 149 13.4 Kolob h vody na zemi...................................................................... 149 13.5 Povodí............................................................................................... 150 13.6 Srážkoodtokový proces v povodí ..................................................... 151 13.7 Základní bilan ní rovnice ................................................................. 153 14 Meteorologie a klimatologie .................................................................... 153 14.1 Vlhkost ovzduší ................................................................................ 154 14.2 Výpar ................................................................................................ 155 14.3 Srážky ............................................................................................... 157 14.3.1 Vznik a druhy ..................................................................... 157 14.3.2 Extrémní dešt .................................................................... 157 14.3.3 M ení srážek ..................................................................... 159 14.4 Plošné a asové rozd lení srážek. Extrémní hodnoty............................ 161 15 í ní sí ..................................................................................................... 161 Vodní toky ................................................................................................. 161 15.1 Vodní stavy a jejich pozorováni ....................................................... 163 15.2 M ení pr tok ................................................................................. 165 15.3 M rná k ivka pr toku ....................................................................... 168 16 Režim vodních tok ................................................................................. 169 16.1 áry etnosti a áry p ekro ení pr tok ........................................... 171 16.2 Vlivy p sobící na povrchový odtok ................................................. 172 16.3 Maximální pr toky ........................................................................... 174 16.4 Minimální pr toky............................................................................ 180 16.5 Zimní režim tok a ledové jevy........................................................ 180 17 Vodní nádrže ............................................................................................ 181 18 Záv r ......................................................................................................... 184 18.1 Shrnutí .............................................................................................. 184 19 Studijní prameny ..................................................................................... 184 19.1 Seznam použité literatury ................................................................. 184 19.2 Seznam dopl kové studijní literatury............................................... 185 20 Autotest ..................................................................................................... 185 21 Klí ............................................................................................................ 187

- 6 (188) -

Úvod

1

Úvod

1.1

Cíle

Studijní text „Hydraulika a hydrologie“, který máte p ed sebou, je studijní oporou stejnojmenného p edm tu v kombinovaném studiu bakalá ského studijního programu Inženýrské stavitelství na Fakult stavební Vysokého u ení technického v Brn . Snahou autora bylo, aby obsah textu byl srozumitelný a zárove stru ný. Teoretické odvození nalezne tená v studijních pramenech (Kap. 11). Hromadný výskyt vody na Zemi a její nezastupitelnost pro veškerý život a innost lov ka, byl p í innou toho, že se postupn vyvinula ada v dních obor zabývajících se výskytem vody, jejím ob hem, mechanickými vlastnostmi, vodní biologií, chemií, atd. V dalším se budeme zabývat jednou z nich, a to hydraulikou, která tvo í spole n s hydrologií teoretické základy vodního stavitelství. Hydraulika by se podle svého názvu (hydor = voda, aulos = potrubí, žlab) m la zabývat pouze pohybem vody v potrubí nebo ve žlabu. Ve skute nosti je její nápl mnohem širší. Hydraulika je v da o zákonitostech rovnováhy a pohybu tekutin a vzájemném p sobení tekutin a tuhých t les. Její fyzikáln matematický základ tvo í hydromechanika, která je ástí klasické teoretické mechaniky. Pro úlohy technické praxe, pro které nemá hydromechanika teoretického ešení, používá hydraulika vztah empirických, odvozených z pozorování a m ení v p írod in situ nebo na modelech. Hydrologie by podle doslovného p ekladu z e tiny (logos = nauka) znamenala nauka o vod . Dnes používáme tento název v užším smyslu a hydrologie je v da o výskytu a ob hu vody v p írod , která ze systematického pozorování t chto jev v p írod formuluje p íslušné záv ry, zákonitosti a vztahy.

1.2

Požadované znalosti

Mezi požadované znalosti pat í zejména základy fyziky a matematiky.

1.3

Doba pot ebná ke studiu

Doba pot ebná ke studiu této základní ásti hydrauliky je cca 32 hodin a dalších cca 18 hodin na propo ítání p íklad .

1.4

Klí ová slova

hydraulika, hydrostatika, hydrologie, rovnice spojitosti, Bernoulliova rovnice, proud ní vody v potrubí, výtok kapaliny otvorem, p epady, ztráty v potrubí, proud ní vody v kanálech s volnou hladinou, vodní skok, meteorologie, í ní sí , vodní nádrže, proud ní podzemní vody. - 7 (188) -


ÁST I – HYDRAULIKA Hydraulika je oddíl technické mechaniky, která studuje zákony klidu a pohybu kapalin. D lí se na dv základní ásti: - hydrostatiku,

která se zabývá kapalinami, které se nepohybují (jsou v klidu) a jejich ú inkem na tuhá t lesa;

- hydrodynamiku, která se zabývá pohybem kapalin a jejich p sobením na tuhá t lesa p i jejich vzájemném relativním pohybu.

2

Fyzikální vlastnosti kapalin

2.1

Hustota a m rná tíha kapaliny

Hustota kapaliny ρ (m rná hmotnost) je hmotnost kapaliny vztažená na jednotku objemu:

ρ=

dm dV

(2.1)

a její pr m rná hodnota v prostoru:

ρ =

1 V

ρ dV = V

m , V

(2.2)

kde m je hmotnost homogenní kapaliny a V objem kapaliny. Kapaliny jsou málo stla itelné a jejich hustota se m ní nepatrn s tlakem. Teplem se kapaliny roztahují, p i emž se jejich hustota zmenšuje se stoupající teplotou. Výjimku tvo í pouze voda, která se od 0°C do 4°C smrš uje a dalším vzr stem teploty se roztahuje (anomálie vody). Tyto zm ny platí p i konstantním tlaku. Zm na hustoty vlivem zm ny vn jšího tlaku se projevuje stla itelností (Kap. 2.4). Vliv teploty na hustotu vody p i tlaku 105 Pa ukazuje Tab. 2.1. Pro praktické výpo ty ve stavební praxi oby ejn uvažujeme ρ = 1 000 kg/m3.

Tab. 2.1 Hustota a kinematická viskozita vody v závislosti na teplot p i tlaku 1,01 105 Pa T [°C]

ρ [kg/m3]

0 4 10 20 30 40

999,84 999,97 999,70 998,20 995,65 992,36

υ [m2/s]

T [°C]

ρ [kg/m3]

50 60 70 80 90 100

988,24 983,38 977,99 972,01 965,30 959,69

1,7938 10-6 1,5671 10-6 1,3101 10-6 1,0105 10-6 0,804 10-6 0,661 10-6

υ [m2/s] 0,515 10-6 0,478 10-6 0,415 10-6 0,367 10-6 0,327 10-6 0,294 10-6

M rná tíha kapaliny γ je tíha kapaliny vztažená na jednotku objemu:

γ = ρ g,

2

2

kde g je tíhové zrychlení (g = 9,806 65 m/s = 9,81 m/s ).

- 8 (188) -

(2.1)


2.2

Soudržnost kapalin

Nap tí v kapalin je d sledkem odporu proti odd lení jednotlivých ástic kapaliny, tzn. že kapaliny vykazují jistou pevnost v tahu, ili soudržnost. U vody je pevnost v tahu 36 Pa, tj. asi 107 krát mén než u oceli. P i ešení v tšiny úloh stavební praxe nemá proto soudržnost kapalin praktický význam.

2.3

Viskozita kapalin

V reálných kapalinách vznikají p i vzájemném pohybu ástic d sledkem vnit ního t ení (viskozity) smyková (tangenciální) nap tí τ. Newton zjistil, že vnit ní t ení v kapalinách: - nezávisí na tlaku v kapalin , - závisí na druhu kapaliny, - závisí na gradientu rychlosti ili na rychlostním spádu mezi dv ma vrstvami kapaliny (je-li rychlost dvou sousedních ástic kapaliny stejná, nep sobí mezi nimi t ení). Jsou-li dv sousední vrstvi ky vzdálené od sebe o dy a pohybuje-li se jedna vrstvi ka rychlostí u a druhá rychlostí u + du, lze podle Newtona smykové nap tí vyjád it vztahem:

τ = −µ

du , dy

(2.4)

kde µ je sou initel dynamické viskozity (charakterizuje viskozitu kapaliny) du a d y gradient rychlosti. Kapaliny, u kterých m žeme smykové nap tí τ

vyjád it podle (2.4), nazýváme newtonovské kapaliny (kapaliny, pro n ž platí p ímá úm rnost mezi smykovým nap tím a gradientem rychlosti). V hydraulice asto používáme pro charakteristiku viskozity kapaliny sou initel kinematické viskozity υ, který je definován jako podíl dynamické viskozity a hustoty kapaliny:

υ=

µ . ρ

(2.5)

Pro výpo et kinematické viskozity vody v závislosti na teplot T m žeme použít empirický vztah:

υ=

υ0 1 + 0,0337 T + 0,000221 T 2

,

(2.6)

kde υ0 je kinematická viskozita p i 0°C a T teplota (dosazuje se ve °C). Kinematická viskozita ν závisí na druhu kapaliny a na její teplot . Vliv tlaku se projeví jen p i jeho velkých hodnotách. V Tab. 2.1 jsou uvedeny hodnoty kinematické viskozity vody v závislosti na její teplot .

2.4

Stla itelnost kapalin

Stla itelností rozumíme vlastnost kapaliny zm nit sv j objem p i zm n tlaku. Stla itelnost je charakterizována objemovou stla itelností χ , která vyjad uje

- 9 (188) -


o kolik se zmenší jednotka objemu kapaliny p i zv tšení tlaku o ∆ p = 1 Pa p i T = konst. (dále budeme v Kap. 2 uvažovat tlak záporn a tah kladn ):

χ=

1 dV , V dp

(2.7)

P evrácená hodnota stla itelnosti definuje modul objemové pružnosti (stla itelnosti) K: K=

1

χ

.

(2.8)

Hodnoty K pro vodu jsou uvedeny v Tab. 2.2. Jeho hodnota je ovlivn na množstvím pohlcených plyn a rozpušt ných solí ve vod . Objem kapaliny V po stla ení p ír stkem tlaku ∆ p je:

∆p . K kde V0 je p vodní objem. V = V0 1 +

(2.9)

Zm na tlaku ∆p vyvolá zv tšení hustoty kapaliny na hodnotu:

ρ = ρ0 1 -

∆p , K

(2.10)

kde ρ0 je hustota p i tlaku p0. Uvážíme-li, že modul pružnosti v tlaku je u oceli p ibližn 210 GPa, tedy oproti vod p i b žných podmínkách (K = 2,03 GPa) p ibližn stonásobný, je z ejmé, že pojem nestla itelnosti vody je opodstatn ný ve srovnání s plyny a nikoliv s pevnými látkami. P esto ve v tšin hydraulických úloh p edpokládáme, že voda je prakticky nestla itelná. Nem žeme však zanedbat stla itelnost u dlouhých p ívod vody v potrubí p i náhlých a velkých zvýšeních nebo poklesech tlaku.

2.5

Tepelná roztažnost

Kapaliny m ní sv j objem vlivem tepelných zm n. Sou initel tepelné objemové roztažnosti β definujeme jako zm nu objemu vyvolanou zm nou teploty T o 1°K p i p = konst.:

β=

1 dV . V0 dT

(2.11)

Zm nu objemu kapaliny V p ír stkem teploty T o ∆ T p i p = konst. vyjád íme vztahem: V = V0 (1 + β ∆ T ) ,

(2.12)

kde ∆ T je rozdíl teploty ve °K, V0 po áte ní objem p i teplot T0. Tepelná roztažnost závisí na po áte ní teplot kapaliny T0 a na tlaku p, který na kapalinu p sobí (pro vodu je uvedena v Tab. 2.2).

- 10 (188) -


2.6

Povrchové nap tí

Povrchové nap tí p sobí na kontaktní ploše mezi kapalinou a plynem nebo mezi dv ma nemísícími se kapalinami. Vlivem povrchového nap tí dochází na styku kapaliny s jiným t lesem k jejímu ulpívání. Povrchové nap tí σ vyjad uje ú inek kohesních sil F vztažených na jednotku délky l povrchu volné hladiny (uzav ené hranice):

σ=

dF . dl

(2.13)

Velikost povrchového nap tí závisí jen na vlastnostech kapaliny a plynu a na jejich teplot . P i hydraulických výpo tech ve v tšin p ípad velikost povrchového nap tí zanedbáváme. V úvahách uvažujeme povrchové nap tí pouze v souvislosti s kapilaritou (Kap. 2.7).

Tab. 2.2 Povrchové nap tí vody na styku se vzduchem, modul objemové pružnosti a sou initel tepelné objemové roztažnosti vody v závislosti na teplot a tlaku

°C 0 20 40 60 100

2.7

povrchové nap tí

modul objemové pružnosti

sou initel tepelné objemové roztažnosti

103 σ

K = 1/χ

104 β

N/m

GPa

1/°K

0,1 MPa 0,1-0,5 MPa 5-10 MPa 0,1 MPa 10 MPa 20 MPa 50 MPa 90 MPa 75,6 73,5 69,6 66,2

1,866 2,030 2,184 2,155 2,052

1,942 2,160 2,184 2,155 2,052

0,14 1,50 4,22 5,56 7,19

0,43 1,65 4,22 5,48 7,04

0,72 1,85 4,26 5,39 6,80

1,49 2,36 4,29 5,23 6,61

2,29 2,89 4,57 5,14 6,61

Kapilarita

Povrchové nap tí zp sobuje kapilární elevaci (zdvih), resp. depresi (snížení) kapaliny v trubicích malého pr m ru (kapilárách), v tenkých št rbinách a také v pórech zemin a hornin (Tab. 2.3). Schopnost kapaliny m nit vlivem povrchového nap tí polohu hladiny v kapilárách nazýváme kapilarita. Kapilární výška je hodnota, o kterou hladina kapaliny v kapilá e stoupne, resp. klesne oproti normální hladin . Pro kruhovou trubici kapilární výšku ur íme ze vztahu: hkap =

4 σ cos ϕ , ρgD

(2.14)

kde σ je povrchové nap tí, ϕ úhel smá ení, ρ hustota kapaliny a D pr m r kapiláry.

- 11 (188) -


Tab. 2.3 Kapilární výšky vybraných zemin druh zeminy

kapilární výška [m]

písky jemné písky hlinité písky

0,03 - 0,1 0,1 - 0,5 0,5 - 2,0

2.8

druh zeminy

kapilární výška [m]

sprašové hlíny jílovohlinité zeminy jíly

2,0 - 5,0 do 10,0 p es 50,0

Tepelná vodivost

Hodnotou tepelné vodivosti λT charakterizujeme schopnost kapaliny vést teplo. Tepelná vodivost λT udává množství tepla, které projde za jednotku asu krychlí o jednotkové hran mezi dv ma protilehlými st nami, mezi nimiž je teplotní rozdíl 1°K, jsou-li ostatní st ny krychle dokonale tepeln izolovány. Pro vodu je sou initel tepelné vodivosti λT p i 20o C roven λT = 0,598 W/m/K.

2.9

Ideální kapalina

P i odvození n kterých hydraulických jev vycházíme ze zjednodušení, kdy zanedbáváme n které fyzikální vlastnosti kapalin. Proto asto p i matematické analýze pohybu kapalin vycházíme z pojmu ideální kapalina. Ideální kapalina je: nestla itelná; objemov stálá p i zm nách teploty; neviskózní, takže v ní nep sobí smyková nap tí.

P . 2.1 Barel o objemu V = 500 l, napln ný vodou, byl uzav en p i teplot t1 = 20oC. Jaký tlak nastane v barelu, pokud se voda v n m oh eje na teplotu t2 = 90oC za p edpokladu, že nedojde k od erpávání vody (barel je neprodyšn uzav en). m V20°C = 0,5 m3; ρ 20°C = V20°C m = ρ 20°C V20°C = (998,20 * 0,5) kg; 3 ρ20°C = 998,20 kg/m (Tab. 2.1); m = 499,10 kg. ρ80°C = 972,01 kg/m3 (Tab. 2.1); m 499,10 3 = m ; K20°C = 2,03 GPa (Tab. 2.2); V80°C = ρ 80°C 972,01 ∆ p = ? Pa.

V80° C = 0,5135 m 3 ;

∆ V = V80°C - V20°C = 0,0135 m3. ešení: Podle rovnice (2.9) platí:

V100o C = V20o C 1 +

∆p K 20o C

∆V = 1 +

- 12 (188) -

∆p ; K 20o C


∆p=

∆V 0,0135 K 20°C = 2,03 10 9 Pa ; V20°C 0,5

∆ p = 54,81 MPa . V barelu po oh átí vody bude tlak o 54,81 MPa v tší.

P . 2.2 P i zkoušce tlakového potrubí o délce L = 500 m a pr m ru D = 1,0 m klesl po 12 hodinách tlak v potrubí z 5,5 MPa na 5,0 MPa. Zjist te kolik vody uniklo z potrubí. π D2 π L = 500 m; V0 = L = 500 m 3 ; 4 4 3 D = 1,0 m; V0 = 392,699 m . ∆ p = -0,5 MPa; K20°C = 2,03 GPa (Tab. 2.2). ešení: Podle rovnice (2.12) platí: V = V0 1 +

∆p − 0,5 10 6 = 392,699 1 + m3 ; K 20°C 2,03 10 9

V = 392,602 m3; ∆V = V0 - V = 392,699 - 392,602 m3 = 0,097 m3.

Z potrubí vyteklo 97 l vody.

Kontrolní otázky -

Jmenujte základní fyzikální vlastnosti kapalin.

-

Co je ideální kapalina?

3

Hydrostatika Hydrostatika se zabývá kapalinami, které se nepohybují (jsou v klidu) a jejich ú inkem na tuhá t lesa.

Na kapalinu obecn zp sobují síly vn jší, objemové a vnit ní:

-

vn jší síly - p sobí na povrch kapaliny - nap . atmosférický tlak, atd.,

-

objemové síly - p sobí na každý hmotný bod v daném objemu a jsou proto úm rné hmotnosti kapaliny - nap . tíha kapaliny, odst edivá síla, atd.,

-

vnit ní síly - síly vzájemného p sobení jednotlivých áste ek kapaliny.

Za klidu je výslednice všech t chto sil nulová. V reálné kapalin , která je v klidu, nevzniká t ení a tato kapalina se chová jako ideální.

- 13 (188) -


3.1

Tlak v kapalin

Uvažujme kapalinu bez pohybu (v klidu), která p sobí na element plochy dA tlakovou silou dF. V kapalin nep sobí za rovnovážného stavu - v klidu smyková nap tí. Kdyby se sm r výsledné síly dF odchyloval od normály, mohli bychom sílu dF rozložit na složku normálovou (p sobící kolmo na dA) a smykovou (p sobící v rovin plochy dA). Smyková složka by zp sobila pohyb, za klidu však v kapalin nep sobí žádné t ení (Odst. 2.3, p i u = 0 m/s), které by jediné mohlo p sobit proti smykové složce a udržovat ji tak v rovnováze. Odtud plyne d ležitý záv r:

Síly, které p sobí na libovolnou rovinnou plochu v kapalin za klidu, musí být na tuto plochu kolmé. Diferenciální pom r: p=

dF dA

(3.1)

nazýváme tlak kapaliny v daném bod . Je-li tento tlak na celou plochu A konstantní (nap . na vodorovné dno), m žeme jej vyjád it pom rem: F , A kde F je normálová síla.

(3.2)

p=

3.2

Neprom nnost tlaku v r zných sm rech

Z kapaliny, která je v klidu, vytkneme nekone n malý klínový element (Obr. 3.1). Na tento element budou p sobit ve sm ru os y, z síly dFy, dFz a kolmo na plochu BCFE síla dFn. Velikosti t chto sil budou: dFy = py dx dz; dFz = pz dx dy, dFn = pn dx dn, Elementární síly ve sm ru osy x na plochy ABC a DEF mají stejnou velikost, ale opa ný sm r, takže se vzájemn ruší. A protože p sobí kolmo na rovinu y z neovliv ují podmínku rovnováhy sil v této rovin y z. Objem elementu bude: dV =

1 2

dx dy dz.

a objemová síla, která p sobí na element má velikost:

dxdydz . 2 Síly dFy, dFz a dFn jsou nekone n malé veli iny druhého stupn a objemová síla dG je nekone n malá veli ina t etího stupn , a proto jí m žeme oproti nekone n malým veli inám druhého stupn zanedbat. dG = ρ g dV = ρ g

- 14 (188) -

Hydrostatika

z

dF

n

B dn

α

dz

E dFy C

dy dx

A=0

y α F

dFz

D x

Obr. 3.1 Tlak v libovolném bod kapaliny Rovnováhu sil do sm r os y a z m žeme napsat: dFy - dFn sin α = 0, py dx dz - pn dx dn sin α = 0, Protože:

dFz - Fn cos α = 0, pz dx dy - pn dx dn cos α = 0,

a dz = dn sin α m žeme rovnice (3.3) napsat ve tvaru:

dy = dn cos α,

py dy dz - pn dy dz = 0, a tedy:

pz dx dy - pn dy dx = 0,

(3.3)

p y = p z = pn .

Protože sm r n jsme zvolili zcela libovoln , je tlak v libovolném bod kapaliny, která je v klidu, ve všech sm rech stejný.

3.3

Eulerova v kapalin

diferenciální

rovnice

rovnováhy

P edpokládejme, že kapalina je v klidu. Dále si p edstavme, že jsme z kapaliny vy ali nekone n malý hranolek (Obr. 3.2) o velikosti stran dx dy dz. Aby nebyla porušena rovnováha, nahradíme p sobení okolní kapaliny tlakovými silami. P edpokládejme, že tlak na st nu ABCD je p a jeho p ír stek ve sm ru osy y na vzdálenosti dy (st na EFGH) je:

∂p d y. ∂y Obdobn bychom mohli ur it tlaky i ve sm ru ostatních os. Na hmotu kapaliny v hranolku dále p sobí objemové síly, které mají výslednici dR a složky ve sm ru os: d Rx = f x d m ,

d Ry = f y d m ,

- 15 (188) -

d Rz = f z d m ,


dm = ρ dx dy dz, kde dm je hmotnost kapaliny v hranolku, ρ hustota kapaliny a fx, fy, fz složky objemového zatížení vztaženého na jednotku hmotnosti (složky zrychlení objemových sil). z

D

H

C

G

p

p+

∂p dy ∂y

dz

T ϕ

A

F

dy

dR

B

E dx

y x

Obr. 3.2 Zm na tlaku v kapalin Podmínka rovnováhy ve sm ru osy y: pdxdz− p+

∂p d y d x d z + fy ∂y

d x d y dz =0,

dává po úprav a po dopln ní o podmínky rovnováhy ve sm ru osy y a z:

∂p = ∂x

fx,

∂p = ∂y

∂p = ∂z

fy ,

fz ,

(3.4)

obecnou podmínku rovnováhy v kapalin , kterou odvodil Leonard Euler. První z rovnic (3.4) vynásobíme dx druhou dy a t etí dx a se teme:

∂p ∂p ∂p dx+ dy+ dz= ∂x ∂y ∂z

(f

x

d x + f y d y + f z d z),

kde dx, dy a dz jsou složky elementárního posunu. Levá strana rovnice je úplný diferenciál dp a p edstavuje celkový diferenciální p ír stek tlaku p i p echodu z bodu D po úhlop í ce hranolu do bodu F. Tedy

dp=

(f

x

d x + f y d y + f z d z) .

(3.5)

Rovnice (3.5) dává smysl pouze tehdy, když výraz v závorce na pravé stran p edstavuje také úplný diferenciál n jaké funkce U(x,y,z), kterou v mechanice nazýváme silovým potenciálem. Kapalina je v klidu pouze tehdy, když je možné odvodit složky objemového zatížení vztaženého na jednotku hmotnosti z potenciálu: fx =

∂U , ∂x

fy =

∂U , ∂y

fz =

∂U . ∂z

Sou iny ρ fx dx, ρ fy dy a ρ fz dz jsou elementární práce vykonané objemovými silami vztaženými na jednotku objemu (ρ fx, ρ fy a ρ fz) p i posunu ve sm ru úhlop í ky na dráze ds. Ozna íme-li ϕ úhel, který svírá sm r objemové síly ve sm rech posunu, bude vykonaná práce p i posunu dána rovnicí:

- 16 (188) -

Hydrostatika

dp=

(f

x

d x + f y d y + f z d z) =

f d s cos ϕ ,

kde f je velikost výsledného objemového zatížení vztaženého na jednotku hmotnosti (velikost výsledného zrychlení objemových sil).

P ír stek tlaku v kapalin v klidu se rovná práci složek objemové síly p ipadající na hmotnost jednotky kapaliny p i uvažovaném elementárním posunu.

3.4

Tlak v kapalin , na níž p sobí jen tíže

Máme ur it tlak v bod A s p evýšením nad srovnávací rovinou z1, který je v hloubce h pod hladinou kapaliny v nádob (Obr. 3.3). P evýšení hladiny nad srovnávací rovinou je z2. Kapalina je gravita ním poli Zem , jejíž tíhové zrychlení g p sobí proti sm ru osy z. Tedy: fx = 0,

fy = 0,

fz = - g.

z

p2= pv h

B p1

z1

z2

A

y x

Obr. 3.3 Tlak v kapalin na níž p sobí jen tíže Po dosazení do (3.5) obdržíme:

dp=−

g dz,

integrováním (uvažuje se nestla itelná kapalina – ρ = konst.): p2

dp=− g

p1

z2

dz, z1

p 2 − p1 = − g ( z 2 − z1 ) a po formální úprav :

p1 = g h + p2 , kde h = z2 – z1 a pv = p2 je vn jší tlak p sobící na povrch kapaliny. Pro celkový statický tlak ps v kapalin , která je v klidu platí:

p s = p h + pv ,

(3.6)

ph = g h .

(3.7)

kde

- 17 (188) -


Rovnice (3.6) a (3.7) vyjad uje hydrostatické rozložení tlaku v kapalin . Statický tlak ps v libovolném bod kapaliny, který p sobí vlastní tíha, se rovná hydrostatickému tlaku ph zv tšenému o vn jší tlak na povrch kapaliny pv. Vn jší tlak se p enáší do všech bod kapaliny nezm n nou hodnotou. Naproti tomu hydrostatický tlak ph roste úm rn s hloubkou h. Je-li ρ = konst., pak hydrostatický tlak roste s hloubku podle lineární závislosti.Vn jší tlak je ve v tšin p ípad tlak atmosférický pa. Je to tlak plynného obalu Zem , který nemá stálou hodnotu a uvádí se pr m rnou hodnotou pa = 101,325 kPa.

3.5

Rov ové a hladinové plochy, spojité nádoby a Pascal v teorém

Rov ové plochy jsou plochy, na kterých je statický tlak konstantní. P i posunu po takové rov ové ploše je tlakový p ír stek dp z rovnice (3.5) roven 0 (dp = 0 Pa). Rov ová plocha musí být kolmá ke sm ru výsledného zrychlení.

Hladinové plocha je rov ová plocha tvo ící povrch kapaliny. Na Zemi mají hladinové plochy p ibližn kulový tvar (nap . hladiny mo í). Ve v tšin úvah však m žeme malou ást takové plochy v okolí ur itého bodu nahradit vodorovnou rovinou. Ve dvou otev ených a navzájem spojených nádobách jsou dv r zné nemísící se kapaliny, které jsou v rovnováze (Obr. 3.4). Rovina, která rozd luje ob kapaliny, je plochou rov ovou. Proto tlaky na této ploše musí být všude stejné, jinak by byla porušena rovnováha. Platí: pv1 +

1

g h1 = p v 2 +

pv1

2

g h2 .

(3.8) G

pv 2

F1

ρ1

A1

h2

h1

A2

A

p p

B F2

ρ2

p

Obr. 3.4 Spojité nádoby

Obr. 3.5 Hydraulický lis

Pascal v teorém: Tlak kapaliny uzav ené v malé nádob a vystavené velkému vn jšímu tlaku je stálý v celém rozsahu kapaliny. Síla F1 p sobí na píst o plošném obsahu A1 tlakem p = FA (Obr. 3.5). Tento tlak se ší í rovnom rn 1

1

v celé kapalin všemi sm ry a druhý píst bude tedy vytla ován silou F2 = p A2. Abychom udrželi píst v rovnováze, musíme na druhý píst p sobit stejn velkou silou opa ného sm ru G = F2:

- 18 (188) -

Hydrostatika

F1 = p A1 ,

F1 A1 = . F2 A2

G = F2 = p A2 ,

Síly, které p sobí na písty, jsou úm rné p íslušným plochám. Pascal v teorém se uplatní v technické praxi, nap . p i výpo tu hydraulického lisu.

3.6

Tlaková síla kapaliny na vodorovné plochy

Na kapalinu, která je v klidu a na kterou p sobí jen tíže, p sobí ve všech bodech libovolné vodorovné roviny stejný tlak. A to proto, že každý bod takové roviny je ve stejné hloubce pod volnou hladinou. Vodorovné roviny jsou tedy plochy rov ové (d p = 0 Pa). Obecn je výslednice tlaku dána integrálem:

p = ρ g h + pv.

F = pdA ,

(3.9)

A

kde A je velikost zat žované plochy. Jelikož se uvažuje vodorovná plocha, na které je stejný tlak (p = konst.), m žeme rovnici (3.9) upravit na tvar: F = p d A = p d A = p A. A

A

Výsledná síla Fs, která p sobí na celou uvažovanou vodorovnou plochu A, se rovná sou inu této plochy a statického tlaku v libovolném bod plochy A (Obr. 3.6): Fs = ( pv + p h ) A = ( pv + ρ g h) A , Fs = Fv + F. pv

h

Fs

A

pv Fv

Obr. 3.6 Tlaková síla na vodorovné dno nádoby Jestliže ze vzdušní (druhé) strany plochy A p sobí vn jší tlak pv a tlaková síla od tohoto tlaku má velikost: Fv = pv A, pak síla od hydrostatického tlaku - hydrostatická síla F:

F=ρ ghA (3.10) je zp sobena pouze tíhou kapaliny. Tato hydrostatická síla F se rovná tíze sloupce kapaliny, jejíž základnou je plocha dna a výškou je jeho hloubka pod hladinou h. Tato v ta platí pro nádobu jakéhokoliv tvaru. Na dno nádob podle Obr. 3.7 p sobí stejná hydrostatická síla podle vztahu (3.10). Nezáleží tedy na tíze kapaliny obsažené v nádob , která m že být i menší než hydrostatická síla kapaliny na dno. Tento poznatek nazýváme hydrostatické paradoxon.

- 19 (188) -

h


A

3.7

A

A

A

A

Obr. 3.7 Hydrostatické paradoxon

Tlaková síla kapaliny na rovinné plochy

Libovoln naklon nou rovinnou plochu v kapalin si p edstavujeme jako plochu složenou z nekone ného po tu malých plošek dA. Obecn m žeme íci, že na každou plošku p sobí tlak p, který se m ní spojit s hloubkou h plošky dA pod hladinou. P i emž tlak p = f(x , y, z) je kolmý na danou plošku dA.

3.7.1

Analytické ešení

V rovin , která je odklon na od volné hladiny o úhel α, je plocha A a v ní elementární ploška dA, která leží v hloubce h pod hladinou. Tlak v této hloubce je: p = pv + ρ g h a tlaková síla dF na nekone n malou plošku dA má velikost: dF = (pv + ρ g h) dA .

h

F

hC hT

0 0,

α

C

dF

T

A T

α yT yC

e

x

y

xC

xT

C

x

y

dA

Obr. 3.8 Tlaková síla na rovinné plochy Celková tlaková síla se ur í integrováním v rozsahu plochy A podle (3.9): F = pdA= A

pv d A + A

g h d A = pv A + A

A

Protože podle Obr. 2.8 je h = x sin α, bude: h d A = x sin α d A = sin α A

A

g h d A.

x d A, A

- 20 (188) -

Hydrostatika

kde

x d A je statický moment plochy A k její pr se nici s volnou hladinou A

(osa y), který m žeme vyjád it sou inem plochy A a vzdálenosti jejího t žišt xT od osy y: h d A = sin α A

x d A = sin α x T A = hT A . A

Výsledná síla bude: F = ( pv + g hT ) A . Vn jší tlak pv je nej ast ji tlak vzduchu, který p sobí i z druhé strany plochy A. Síly pv A p sobící z obou stran nádoby jsou stejn velké ale opa ného smyslu a navzájem se tedy ruší. Z stává jen silový ú inek tíhy kapaliny - hydrostatická tlaková síla:

F = g hT A .

(3.11)

Hydrostatická tlaková síla, která p sobí na rovinnou plochu, se rovná sou inu této plochy a hydrostatického tlaku v jejím t žišti. Protože všechny elementární síly dF jsou kolmé k ploše A, bude i výsledná síla kolmá k ploše A. Její p sobišt nalezneme z rovnosti moment od výsledné hydrostatické tlakové síly F a díl ích sil dF k osám x a y. Bod C je p sobišt m výsledné hydrostatické síly F. Momentová podmínka k ose y bude: F xC = x d F =

g sin α

x2 d A,

A

A

protože:

dF =

g sin α x d A

F=

a

g sin α

x d A, A

bude:

ρ g sin α x 2 d A xC =

A

ρ g sin α x d A A

x2 d A =

A

xdA

=

Jy A xT

.

(3.12)

A

Vzdálenost p sobišt C výsledné hydrostatické tlakové síly F na danou plochu A od osy y se rovná podílu momentu setrva nosti Jy plochy A k ose y a statickému momentu plochy A k téže ose. Nahradíme-li Jy momentem setrva nosti JT k t žiš ové ose:

J y = J T + A x T2 , obdržíme:

xC =

JT + xT . A xT

(3.13)

P sobišt hydrostatické tlakové síly je tedy pod t žišt m zat žované plochy, a to o hodnotu:

e=

JT , A xT

(3.14)

- 21 (188) -


kterou nazýváme excentricita. Tato excenticita vymizí pro vodorovné dno (xT = ∞) nebo pro oboustrann úpln pono ené šikmé plochy a obecn , je-li tla ená plocha totožná s plochou rov ovou. Jde-li o pom rn malé plochy, které leží dosti hluboko pod hladinou, bývá tento rozdíl zanedbatelný. Je-li plocha symetrická podle osy x, leží samoz ejm p sobišt C na této ose x. U nesoum rné plochy musíme ješt ur it druhou sou adnici p sobišt yC. Pomocí momentové v ty k ose x bude:

g sin α

F yC = y d F = A

x y d A, A

ρ g sin α x y d A yC =

A

ρ g sin α x d A

x ydA =

A

yC =

Dx, y A xT

A

xdA

,

A

,

(3.15)

kde Dx,y je devia ní moment plochy A k osám x, y.

3.7.2

Horizontální a vertikální složka hydrostatické tlakové síly na rovinné plochy

P i n kterých úlohách je výhodné, známe-li vodorovnou (horizontální) a svislou (vertikální) složku hydrostatické tlakové síly. Ur íme je rozkladem síly F do dvou sm r - vodorovného a svislého (Obr. 3.9): vodorovná složka:

Fh = F sin α = ρ g hT A sin α ,

Fh = ρ g hT Av , (3.16) svislá složka: Fv = F cos α = ρ g hT A cos α , Fv = ρ g hT Ah , (3.17) kde Av je pr m t plochy A do svislé roviny a Ah pr m t plochy A do vodorovné roviny. Vodorovná složka hydrostatické tlakové síly se rovná hydrostatické tlakové síle na pr m t tla ené plochy do svislé roviny kolmé k uvažovanému sm ru. Svislá složka hydrostatické tlakové síly se rovná tíze svislého sloupce kapaliny nad tla enou plochou až ke hladin . Pravidlo o svislé složce platí i v p ípad , kdy sloupec vody nad tla enou plochou není, svislá složka sm uje vzh ru, vzniká zde vztlak (Obr. 3.9 b). Ah

Ah

b) Fv

a)

Av Fv

Av Fh

Fh

Obr. 3.9 Grafické znázorn ní vodorovné a svislé složky - 22 (188) -

Hydrostatika

Výsledná hydrostatická síla F jde pr se íkem obou složek a její velikost je: F = Fh2 + Fv2 .

3.7.3

(3.18)

Grafické znázorn ní hydrostatického tlaku na rovinné plochy s konstantní ší kou pomocí zat žovacích obrazc

Pr b h hydrostatického tlaku m žeme znázornit graficky. Velikost, p sobišt a sm r hydrostatické tlakové síly na rovinnou plochu s konstantní ší kou, která má horní a dolní hranu rovnob žnou s hladinou, m žeme obdržet pomocí tzv. zat žovacího obrazce (Obr. 3.10). Zat žovací obrazec obdržíme graficky tak, že v každém bod uvažované zat žované plochy vyneseme jeho hloubku h pod hladinou, a to ve sm ru ve kterém p sobí tlak, tj. na kolmici k uvažované ploše. Velikost díl í hydrostatické tlakové síly je: Fi = ρ g b Azi , (3.19) kde Azi je plošný obsah i-tého zat žovacího obrazce. To znamená, že plocha zat žovacího obrazce p edstavuje hydrostatickou tlakovou sílu p i ρ g b = 1. Hydrostatická tlaková síla na i-tou obdélníkovou plochu se dv ma stranami rovnob žnými s hladinou se rovná sou inu m rné tíhy kapaliny γ, ší ky tla ené plochy b a plochy zat žovacího obrazce Azi. Díl í výslednice prochází t žišt m Mi zat žovacího obrazce Azi. Velikost výsledné hydrostatické tlakové síly F ur íme vektorovým sou tem díl ích sil Fi. F

F1 Az2

hT hC

Az

Az2

F2

M T C

F3 T

C

Az3 b

b

Obr. 3.10 Zat žovací obrazce Uvedený postup si osv tlíme na p íkladu obdélníkové st ny o ší ce b (Obr. 3.11). Vodorovná složka je dána tlakem na obdélník o výšce 1 5 a ší ce b a zat žovací obrazec A* bude lichob žník 1567 (Obr. 3.11 a). Svislá složka je dána tíhou kapaliny o objemu V mezi zat žovanou plochou a hladinou, jehož p í ným ezem, tedy i zat žovacím obrazcem A** je lichob žník 1234. Velikosti složek obdržíme, násobíme-li zat žovací obrazce m rnou tíhou γ a ší kou b: Fh = ρ g b A * , Fv = ρ g b A * * , (3.20)

F = Fh2 + Fv2 ,

tg α =

Fv . Fh

Jednotlivé složky procházejí t žišt m p íslušného zat žovacího obrazce. V p ípad , že složka sm uje vzh ru, hladina se uvažuje myšlená, vzniklá prodloužením skute né hladiny (Obr. 3.11 b).

- 23 (188) -


a) 3

A**

Fv h

6 Fh

5

A**

A*

7

2

b

A* α

Fh

F

h

b

1

h

Fv

h

4

b) myšlená hladina

Obr. 3.11 Zat žovací obrazce horizontální a vertikální složky hydrostatické tlakové síly Je nutné ješt jednou zd raznit, že uvedený postup ur ování tlakových sil pomocí zat žovacího obrazce je možné použít pouze pro rovinnou plochu s konstantní ší kou (nap . obdélník nebo koso obdélník) a s vodorovnými stranami. U jiných rovinných obrazc , jejichž ší ka po výšce není konstantní, uvezené odvození neplatí.

3.8

Tlakové síly na zak ivené plochy

Elementární tlakové síly kapaliny, které jsou kolmé k p íslušné elementární ploše, nebudou u zak ivené plochy vzájemn rovnob žné. V obecném p ípad se nemusí protínat v jednom bod a dávat jedinou výslednici. Jedinou výslednici obdržíme jen ve zvláštních p ípadech. Nap íklad v libovolné ásti kulové plochy mají elementární tlakové síly sm r pr vodi , protínají se ve st edu koule a dávají svazek sil s výslednicí procházející st edem koule. Jedinou výslednici dávají také síly, které p sobí na válcovou plochu s vodorovnou nebo svislou osou (nap . segmentové a válcové uzáv ry, klapky, vodojemy, atd.). z

B' C'

A' D'

F y

B A x

C D

Obr. 3.12 Hydrostatická síla na zak ivené plochy Velikost hydrostatické síly F je ur ena složkami Fx, Fy a Fz ve sm ru jednotlivých sou adných os (Obr. 3.12):

F = Fx2 + F y2 + Fz2 . Vodorovné složky Fx a Fy mají velikost:

Fx = ρ g hTx A yz ,

F y = ρ g hTy Axz ,

kde hTx je hloubka t žišt pr m tu Ayz zat žované plochy ABCD do roviny yz a hTy hloubka t žišt pr m tu Axz zat žované plochy ABCD do roviny xz, ρ hustota tekutiny a g tíhové zrychlení. - 24 (188) -

Hydrostatika

Svislá složka je dána:

Fz = ρ g V = G , kde V je objem hranolu se svislými st nami, který je dole ohrani ený zak ivenou plochou ABCD a naho e pr m tem A'B'C'D' zak ivené plochy do hladiny a G je tíha tohoto hranolu.

Horizontální složky hydrostatické tlakové síly kapaliny p sobící na zak ivenou plochu se rovnají hydrostatické síle na pr m t plochy do svislé roviny kolmé na uvažovaný sm r. Vertikální složka hydrostatické tlakové síly je ur ena tíhou sloupce kapaliny, omezeného dole plochou a naho e svislou projekcí této plochy do volné hladiny. Sm r výsledné síly se vypo ítá z odchylek:

Fy Fx F , tg α = , tg α = z . F F F Zvláštním p ípadem jsou válcové plochy, které mají tvo ící p ímky rovnob žné s n kterou z os. Dále budeme po ítat tlakovou sílu na válcovou plochu s vodorovnou osou, které mají po výšce konstantní ší ku b = konst. Výslednou sílu m žeme ur it pomocí vodorovné a svislé složky (Obr. 3.13). Tyto složky lze ur it pomocí zat žovacích obrazc . tg α =

V p ípad segmentového uzáv ru ší ky b podle Obr. 3.13a je vodorovná složka ur ená zat žovacím trojúhelníkem 456 a svislá složka je rovna tíze kapaliny nad zat žovanou plochou až do hladiny - obrazec 123. Jednotlivé složky a výslednici tlakové síly ur íme podle (3.20).

α

Obr. 3.13 Uzáv r a) segmentový, b) válcový V p ípad válcového uzáv ru ší ky b podle Obr. 3.13b je vodorovná složka ur ená zat žovacím trojúhelníkem 567 a svislá složka je tlaková a vztlaková. Tlaková svislá složka p sobí na plochu v ezu ozna enou jako 24 a p íslušný zat žovací obrazec je 234. Vztlaková svislá složka p sobí na plochu ozna enou jako 14 a p íslušný zat žovací obrazec je 1234. Platí: Fh = ρ g b A * , Fvz = ρ g b Avz * * ,

Ftl = ρ g b Atl * * ,

F = Fh2 + Fv2 ,

tg α =

Fv . Fh

- 25 (188) -

Fv = Fvz + Ftl ,

3.9

Plování t les

dA dFtl

h1


Fh

dO

dFv

h2

dA1

O

Fh

dA2 dFvz

Obr. 3.14 Vztlak Uvažujme pevné t leso úpln pono ené do kapaliny, která se nepohybuje. T leso udržujeme v rovnováze nap . zav šením. Hledejme výslednici tlakových sil kapaliny na toto t leso. Vodorovná složka tlakové síly v libovolném sm ru se rovná hydrostatické tlakové síle na pr m t p íslušné tla ené plochy do svislé roviny kolmé k tomuto sm ru. Jelikož pr m ty jsou totožné, p sobí na n vodorovné tlakové síly stejn veliké, ale opa ného sm ru, které se navzájem ruší. To platí pro libovolný vodorovný sm r. Zbývá ur it svislou složku. Zvolíme-li na povrchu t lesa dv elementární plošky dA1 a dA2 svisle nad sebou položené tak, aby jejich pr m ty dA do vodorovné roviny byly stejné. Svislé složky tlakových sil na tyto plošky jsou dány tíhami sloupc kapaliny svisle nad nimi až k hladin : dFtl = ρ g dA h1, sm rem dol : sm rem vzh ru: dFvz = ρ g dA h2, tedy výslednice: dFv = ρ g dA' (h2 - h1) = ρ g dO, kde dO je objem vyšrafovaného elementárního hranolu. Integrací po celém povrchu t lesa dostáváme svislou výslednici všech tlakových sil kapaliny na t leso: Fv = ρ g O, kde O je objem pono eného t lesa. Tím dospíváme ke známé a velmi d ležité Archimédov v t , která je z doby okolo roku 250 p . n. l..

T leso pono ené do kapaliny je nadleh ováno vztlakovou silou, která se rovná tíze kapaliny t lesem vytla ené. Tuto v literatu e používanou v tu bychom však m li p eformulovat, jelikož se obecn nemusí jednat o tíhu kapaliny t lesem vytla eným, ale o tíhu kapaliny o objemu pono ené ásti t lesa. Jinými slovy, kapalina p sobí na pono ené t leso vždy sm rem vzh ru vztlakovou silou, jejíž velikost se rovná tíze kapaliny o objemu pono ené ásti t lesa. Tato vztlaková síla prochází t žišt m pono eného objemu t lesa. Vztlaková síla má d ležitou úlohu p i plování t les. Na t leso pono ené do kapaliny p sobí vlastní tíha t lesa G ve sm ru gravitace (tedy sm rem dol ) v t žišti t lesa T a vztlaková síla Fvz sm rem vzh ru v t žišti pono ené ásti t lesa C:

- 26 (188) -

Hydrostatika

G = ρ t g Vt ,

Fvz = ρ g W ,

(3.21)

kde W je výtlak - objem pono ené ásti t lesa, Vt objem t lesa, ρt hustota t lesa, ρ hustota kapaliny a g tíhové zrychlení. V závislosti na vzájemném pom ru velikostí t chto dvou sil nastávají tyto p ípady: - t leso klesá ke dnu (G > Fvz); - t leso se vznáší (G = Fvz); - t leso plave (G < Fvz). Hloubka nejnižšího bodu t lesa pod hladinou se nazývá ponor tn. Hladina protíná t leso v ploše, kterou nazýváme plavební plochou a plavební osa je myšlená p ímka, která jde t žišt m t lesa T a p sobišt m vztlaku C. Ponor plovoucího t lesa se vypo te z podmínky: G = Fvz .

Schopnost t lesa vracet se po vychýlení o úhel α < 5 - 10o do p vodní polohy, když p estane p sobit síla, která vychýlení zp sobila, se nazývá stabilita plovoucích t les. Stabilitu rozeznáváme statickou, kterou posuzujeme momentem p i dané výchylce a dynamickou, kterou posuzujeme prací pot ebnou k vychýlení t lesa z rovnovážné polohy o ur itý úhel. Za klidu má t leso plovoucí na vod nebo pod vodou plavební osu ve svislé poloze. F vz M

M

hM

α

tn

hvz

h

α T C

C

T

C1

b

G

Obr. 3.15 Stabilita plovoucího t lesa Podmínky stability plovoucího t lesa jsou následující: - p sobišt vztlakové síly C je nad t žišt m t lesa T, - metacentrum M (pr se ík vztlakové síly s plavební osou) se nachází nad t žišt m t lesa, p sobišt vztlakové síly C je pod t žišt m T a platí: J0 , (3.22) W kde hvz je vztlaková výška a J0 je moment setrva nosti plavební plochy vzhledem k podélné plavební ose, což je horizontální p ímka procházející t žišt m plavební plochy ve sm ru podélné osy plavidla. Vzdálenost TM se nazývá metacentrická výška hM. Bod M (metacentrum) musí být nad TC = hvz < MC =

- 27 (188) -


t žišt m T, má-li být plování stabilní. Metacentrická výška má být u zámo ských dopravních lodí 0,3 až 0,7 m. Moment Ms, který vrací naklon né plovoucí t leso do p vodní polohy, bude:

M s = Fvz TM sin α .

M s = ρ g W TM sin α ,

Tento vzorec se nazývá metacentrickým vzorcem stability. Jeho p esnost je posta ující p i úhlech α < 5 - 10o. P i v tších úhlech α je tato závislost složit jší.

P . 3.1 Vypo ítejte velikost a p sobišt tlakové síly, která p sobí na obdélníkový uzáv r (Obr. 3.16) o rozm rech a = 1,0 m a b = 1,5 m umíst ného v šikmé st n , která je odklon na od vodorovné o úhel α = 65o. Uzáv r má dolní hranu v úrovni dna a hloubka vody v nádrži je 2m. a = 1,0 m; b = 1,5 m; tla ená plocha: A = a b; h = 2,0 m; A = 1,0 * 1,5 = 1,5 m2. o α = 60 ; ρ = 1000 kg/m3; g = 9,81 m/s2; F = ? N; xC = ? m. a)

b)

A

h

Fv Fh

CT

α

A

xC

F

hC

y yC

Ah

b

xT

h

hC hT

0, 0

α

x

a

Av

c)

hC

F

Fh

α

Fv

Az

h

h

hC

h1 h2 = h

d)

α

h

Obr. 3.16 Tlaková síla na obdélníkový uzáv r ešení: poloha t žišt : h a xT = − ; sin α 2 2,0 1,0 xT = − = 1,707 m; 0 2 sin 65

a sin α; 2 1,0 hT = 2,0 sin 65o = 1,547 m. 2

hT = h -

a) Výpo et hydrostatické tlakové síly podle rovnice (3.11) - Obr. 3.16 a): F = ρ g hT A ; F = 1000*9,81*1,547*1,5 = 22 764,11 N.

- 28 (188) -

Hydrostatika

Poloha p sobišt tlakové síly je ve svislé ose zat žované plochy (osa x) a vzdálenost xC (3.13): 1

3

xC =

ba JT a2 + x T = 12 + xT = + xT ; A xT a b xT 12 x T

hC = xC sin α;

xC =

1,0 2 + 1,707 = 1,756 m; 12 * 1,707

hC = 1,756 sin 65o = 1,591 m.

b) Výpo et pomocí vertikální a horizontální složky tlakové síly (Obr. 3.16 b) rovnice (3.16) a (3.17): vodorovná složka Fh = ρ g hT Av; Av = a b sin α = A sin α; Fh = ρ g hT A sin α; Fh = 1000*9,81*1,547*1,50*sin 65o = 20 631,29 N; svislá složka

Fv = ρ g hT Ah;

Ah = a b cos α = A cos α;

Fv = ρ g hT A cos α; Fv = 1000*9,81*1,547*1,50*cos 65o = 9 620,53 N; výsledná tlaková síla

F = Fh2 + Fv2 ; F = 20 631,29 2 + 9 620,53 2 = 22 764,11 N.

c) Výpo et tlakové síly pomocí zat žovacího obrazce (Obr. 3.16c) rovnice (3.19): plošný obsah zat žovacího obrazce: h + h2 Az = a 1 ; h1 = h - a sin α; h2 = h; 2 2 h − a sin α Az = a ; 2 2 * 2,0 − 1,0 sin 65 o Az = 1,0 = 1,547 m2; 2 velikost tlakové síly:

F = ρ g b Az ; F = 1000*9,81*1,50*1,547 = 22 764,11 N.

P sobišt tlakové síly prochází t žišt m zat žovacího obrazce.

d) Výpo et tlakové síly pomocí zat žovacího obrazce (Obr. 3.16d) rovnice (3.20): 1 1 A* = h 2 − (h − a sin α ) 2 ; 2 2 A* = 0,5*2,02 - 0.5*(2,0-1,0*sin 65o) 2 = 1,402 m2; 1 2 a sin α cos α ; 2 A** = 1,0*2,0*cos 65o- 0,5*1,02*sin 65o*cos 65o = 0,654 m2;

A** = a h cos α −

Fh = ρ g b A*;

Fv = ρ g b A **;

Fh = 9810*1,5*1,402 = 20 630,43 N;

Fv = 9810*1,5*0,654 = 9 623,61 N;

F=

Fh2 + Fv2 ;

- 29 (188) -


F=

20 630,43 2 + 9 623,612 = 22 764,63 N.

P sobišt složek sil prochází t žišti jednotlivých zat žovacích obrazc .

P . 3.2 Na válcový uzáv r o pr m ru D = h = 2,2 m p sobí voda (Obr. 3.17). Vypo ítejte velikost tlakové síly F na 1m' b žný ší ky uzáv ru (b = 1m). D = 2,2 m; b = 1 m; ρv = 1000 kg/m3; g = 9,81 m/s2; F = ? N.

α

Obr. 3.17 Válcový uzáv r ešení: Protože se jedná o válcovou plochu s vodorovnou osou, která má po výšce konstantní ší ku b = konst = 1 m, lze výslednou sílu ur it pomocí vodorovné a svislé složky, a to pomocí zat žovacích obrazc : A* = 0,5 D2 = 0,5*2,22 m2; A* = 2,42 m2; π 1 π D2 1 2 1 2 π 1 ** A12341 + D = D +1 = + 1 m2 ; = * 2,2 2 * 4 4 4 4 4 4 4 ** A12341 = 2,16 m 2 ;

** A2342 =

1 2 π D2 1 π * 2,2 2 D = 2,2 2 4 4 4 4

m2 ;

** A2342 = 0,260 m 2 ;

vodorovná složka svislá složka

Fh = ρv g b A* = 23,740 kN; ** vztlaková Fvz = ρ v g b A12341 = 21,190 kN; ** Ftl = ρ v g b A2342 tlaková = 2,551 kN; Fv = Fvz - Ftl = 18,639 kN;

výsledná síla

F = Fh2 + Fv2 ; F = 30,183 kN;

výsledná síla F svírá s vodorovnou úhel α

cos α =

p sobišt síly F pod hladinou

hc =

- 30 (188) -

Fh F

α = 38,137o;

D D + sin α = 1,779 m. 2 2

Hydrostatika

r sm hybu o p

P . 3.3

Zjist te ponor tn d ev ného kvádru a dále ur ete, zda-li plave ve vod stabiln . Ší ka kvádru je 0,8 m, délka 2,0 m a výška 0,3 m. T D evo má m rnou hmotnost ρd = 800 kg/m3. C ρ = 1 000 kg/m3; ρd = 800 kg/m3; g = 9,81 m/s2; Obr. 3.18 Plování d ev ného kvádru a = 2,0 m; b = 0,8 m; c = 0,3 m; tn = ? m. ešení: Hloubka nejnižšího bodu plovoucího t lesa tn (ponor) se vypo te z porovnání vztlakové síly a tíhy kvádru (Obr. 3.18): Fvz = G; ρ g W = ρd g Vt; Vt = a b c; W = a b tn ; ρd 800 ρ g tn = ρd g c; tn = c= 0,3 m = 0,24 m. ρ 1000 Stabilita plování. T žišt T (t žišt t lesa) leží nad p sobišt m vztlakové síly C (t žišt výtlaku) na ose symetrie, a to v hloubce (Obr. 3.17): zT =

c = 0,15 m; 2

zC =

tn = 0,12 m; 2

vztlaková výška je: hvz = zT - zC = 0,15 - 0,12 = 0,03 m. Jelikož T leží nad C, plování bude stabilní, bude-li platit (3.22): MC =

J0 ; W

MC =

b2 0,8 2 = 0,22 m; = 12 t n 12 * 0,24

J0 =

1 a b3 ; 12

MC = 0,22 m > hvz = 0,03 m

W = a b tn ;

plování je stabilní.

Ponor d ev ného kvádru je 0,24 m a plave stabiln .

Kontrolní otázky - Co je to hydrostatický tlak? - Jak je definován celkový statický tlak? - Co je to rov ová plocha? - Jaký sm r mají síly, které p sobí na libovolnou rovinnou plochu v kapalin za klidu? - Kdy je plavání t lesa stabilní?

- 31 (188) -


4

Hydrodynamika

Na rozdíl od hydrostatiky jsou pom ry p i pohybu tekutin složit jší a jejich matematická formulace obtížn jší. asto proto používáme k výpo t m zjednodušená schémata dopln ná opravnými sou initeli. Vycházíme z rozboru pohybu ideální kapaliny, p i emž zavádíme pojem proudového vlákna.

Hydrodynamika se zabývá pohybem kapalin a jejich p sobením na tuhá t lesa p i vzájemném relativním pohybu. Definujme n které základní termíny:

proudnice - nazýváme áry vedené proudící ideální kapalinou tak, že v každém míst má jejich te na sm r souhlasný se sm rem rychlosti v tomto míst . P i ustáleném pohybu jsou proudnice totožné s drahami jednotlivých áste ek kapaliny; proudová trubice - uvažujeme-li v kapalin nekone n malou uzav enou k ivku (plošku dA) a vedeme každým bodem jejího obvodu p íslušnou proudnici, vytvo í tyto proudnice proudovou trubici; proudové vlákno -

kapalinu uzav enou v proudové trubici nazýváme proudové vlákno. P i ustáleném proud ní je proudové vlákno tvo ené stále stejnými ásticemi kapaliny, a proto je proudové vlákno východiskem teoretického vyšet ování pohybu.

pr to ný profil - rovinný ez vedením proudu, kolmý k jeho podélné ose a charakterizující jeho tvar, který kapalina zaujímá nebo m že zaujmout, je pr to ný profil. Pr to ný profil m že být: - otev ený - eka; - uzav ený - potrubí, stoka, propustek, atd.; bodová rychlost u = u(x,y,z,t) - okamžitou rychlost tekutiny v daném bod nazýváme bodová rychlost. Bodovou rychlostí ur ité ástice rozumíme dráhu l, kterou tato ástice urazí za jednotku asu t: dl u= ; (4.1) dt st ední bodová rychlost u je definována jako vyrovnaná hodnota bodové rychlosti v dlouhém asovém intervalu T: T

1 u = u dt ; T 0

pr to ný pr

ez (pr to ná plocha) A - plošný obsah ezu proudu plochou kolmou v každém bod k vektoru bodové rychlosti u;

- 32 (188) -

Hydrodynamika

pr tok (objemový pr tok) -

objem kapaliny, který prote e pr to ným pr ezem za jednotku asu: Q = u d A; (4.2) A

hmotnostní pr tok - hmotnost kapaliny, která prote e pr to ným pr ezem za jednotku asu: Qm = u ρ d A ; A

pr

ezová rychlost v - st ední hodnota rychlosti v pr to ném pr ezu. Je definována tak, že vynásobíme-li její hodnotou pr to ný pr ez A, dostaneme pr tok Q: udA

Q=v A ;

v=

A

; (4.3) A proud ní ustálené - p i ustáleném (stacionárním, permanentním) proud ní jsou hydraulické veli iny (pr tok, pr ezová rychlost, pr to ná plocha) v ase nem nné, a závisí pouze na poloze. M žeme tedy psát: rychlost: u = f(x, y, z); tlak: p = f(x, y, z); neustálené - neustálené (nestacionární, nepermanentní) proud ní je takové, kde hydraulické veli iny jsou funkcí asu a polohy: rychlost: u = f(x, y, z, t); tlak: p = f(x, y, z, t); proud ní rovnom rné - rovnom rné proud ní je zvláštním p ípadem pohybu ustáleného, p i kterém jsou pr to né pr ezy na celém úseku konstantní (A1 = A2 = ... = konst.). Protože je p i pohybu ustáleném i pr tok Q konstantní, pr ezové rychlosti jsou také konstantní (v1 = v2 = ... = konst.), to nastává nap . p i konstantním sklonu dna koryta, nem nných p í ných profilech a drsnostech vedení; nerovnom rné - p i nerovnom rném ustáleném proud ní jsou hydraulické veli iny konstantní v ase, ale pr ezová rychlost a pr to ná plocha se m ní po délce proudu, což je dáno nap . prom nným sklonem dna koryta, prom nných p í ných profilech a drsnostech, atd.

Ustálené a neustálené proud ní si m žeme p edstavit na p íkladu výtoku kapaliny z nádrže: - je-li výtok z nádrže stejný jako p ítok do ní, nem ní se poloha hladiny v nádrži, na které je závislé odtokové množství a proud ní je ustálené; - naopak, není-li p ítok do nádrže stejný jako odtok, dochází ke zm n polohy hladiny, což vyvolá zm nu odtokového množství. Jedná se o pln ní nebo prázdn ní nádrže a proud ní je neustálené. Jiným p íkladem m že neustáleného proud ní m že být pr chod povodn , kdy se pr tok Q(x,t) v ase m ní. Proud ní ustálené rovnom rné m žeme pozorovat na upravených tocích nebo um lých náhonech stálého pr ezu (p í ného profilu) a konstantního sklonu - 33 (188) -


dna koryta. Hladina je p i tomto proud ní rovnob žná se dnem. Nerovnom rné ustálené proud ní je nap íklad v p irozených tocích, kde vzniká vzdutí (nap . jezem) nebo snížení - sklon dna není rovnob žný se klonem hladiny a sklony dna i hladiny nejsou konstantní. Dále je zapot ebí upozornit na roz len ní proud ní z hlediska tlakových pom r : - proud ní s volnou hladinou, kde povrch hladiny je v bezprost edním kontaktu s ovzduším, na hladinu p sobí atmosférický tlak. Je to proud ní v otev ených pr to ných profilech, to je v korytech ek, kanál a žlabech. Ale i v uzav ených profilech (v potrubí, ve stokových pr ezech, v propustcích) pokud nejsou celé zapln ny kapalinou; - proud ní tlakové, které je v uzav ených profilech, p edevším v potrubích, když kapalina protéká plným pr ezem a v každém míst je tlak r zný od atmosférického. P íkladem je potrubí, kterým se vede voda z vodojemu ke spot ebiteli. Tlakové pom ry ukazuje tlaková ára, která udává ve všech profilech potrubí hodnotu tlakové (piezometrické) výšky; - proudové paprsky, které jsou ohrani eny kapalným nebo plynným prost edím a pohybují se v n m bu vlastní tíhou nebo setrva ností vlivem po áte ní rychlosti. P íkladem m že být paprsek vytékající z požární hadice.

4.1

Rovnice kontinuity v 1D

Rovnice (spojitosti) kontinuity je diskrétním vyjád ením zákona zachování hmotnosti. dx ∂A dt ∂t

po áte ní hladina

hladina za as dt

∂h dt ∂t

h ∂A dx ∂x

Obr. 4.1 Kontinuita neustáleného proudu - 1D Ze zákona zachování hmotnosti plyne, že asová zm na (zm na za jednotku asu) ∂∂mt hmotnosti m:

m= ρ Adx (4.4) obsažená v infinitesimálním objemu A d x je rovna rozdílu hmotnosti mp p itékající vody Qp a mo odtékající vody Qo: ∂m d t = m p - mo . ∂t Pomocí vztahu (4.4) m žeme zm nu hmotnosti v ase vyjád it:

- 34 (188) -

(4.5)

Hydrodynamika

∂m ∂ ( ρ A) dt = dt d x . ∂t ∂t Hmotnost p itékající mp a odtékající mo vody je: ∂ ( ρ A v) d x dt . ∂x Dosazením rovnic (4.6) a (4.7) do (4.5) se obdržíme:

mp = ρ A v dt

a

mo = ρ A v d t +

(4.6)

(4.7)

∂ ( ρ A) ∂ ( ρ A v) d t d x = ρ Av d t - ρ Av d t + d x dt , ∂t ∂x

∂ ( ρ A) ∂ ( ρ A v) dt d x = d x dt ∂t ∂x a po úprav :

∂ ( ρ A) ∂ ( ρ A v) =, ∂t ∂x

resp.

∂ ( ρ A) ∂ ( ρ A v) + = 0. ∂t ∂x

(4.8)

Zavedením Q = A v má rovnice (4.8), která je diskrétním vyjád ením zákona zachování hmotnosti (bez uvažování bo ních p ítok , srážek, výparu a infiltrace, …), v p ípad jednorozm rného proud ní tvar:

∂ ( ρ A) ∂ ( ρ Q) + =0 , ∂t ∂x

(4.9)

kde A je pr to ný pr ez, Q je pr to né množství a h hloubka vody (vzdálenost od nejnižšího místa pr to ného profilu po hladinu). Pro nestla itelnou kapalinu (ρ = konst.) nabude rovnice kontinuity (4.9) tvar:

∂ A ∂Q + =0 . ∂t ∂x

(4.10)

P i ustáleném proud ní odpadají asové zm ny ( ∂∂ At = 0 ), tedy p ír stek Q na dráze dx je nulový ( ∂∂Qx = 0 ) a Q = konst. Rovnice spojitosti nestla itelné kapaliny v jednodimenzionálním ustáleném proud ní nabývá tvaru (objemový tvar rovnice kontinuity): Q = v1 A1 = v2 A2 = v3 A3 = konst.

v1 = v 2

A2 , A1

(4.11)

kde indexy (1, 2, 3, ... ) se vztahují k jednotlivým profil m. V p ípad ustáleného proud ní stla itelné kapaliny (ρ ≠ konst.) nabude rovnice kontinuity tvaru (hmotnostní tvar rovnice kontinuity): ∂ ( ρ A v) = 0 => Qm = ρ1 v1 A1 = ρ2 v2 A2 = ρ3 v3 A3 = konst. ∂x

- 35 (188) -

(4.12)


4.2

Bernoulliho rovnice

4.2.1

Bernoulliho rovnice

Uvažujme ustálený proud ideální kapaliny, ve kterém vytkneme na proudnici ψ elementární vále ek o základn dA a délce dl (Obr. 4.2). Na elementární vále ek nech p sobí jen tíha kapaliny. Složku zrychlení ve sm ru pohybu zp sobenou zm nou rychlosti ozna me jako podélné zrychlení. Protože bodová rychlost u závisí na ase t a na dráze l (4.1), která je u tekutin funkcí asu, musíme zapsat úplnou derivaci: Du ∂u ∂u dl ∂u ∂u = + = +u , Dt ∂t ∂l dt ∂t ∂l kde u je bodová rychlost a

Du Dt

protože

dl =u, dt

(4.13)

Stokesova (substanciální, materiálová) derivace,

která se skládá z lokální složky

, která vyplývá z asové zm ny rychlosti

∂u ∂t

v p vodním míst , a z konvektivní složky u ∂∂ul , která vzniká tím, že ástice proudí do místa, kde je jiná rychlost. z p

dl

dz

dA ϕ ψ mg

p+ ∂ p ∂l d l

y

Obr. 4.2 Elementární vále ek proudového vlákna pro odvození Bernoulliho rovnice Lokální zm na rychlosti je zm na rychlosti podle asu v témž míst a konvektivní zm na rychlosti je sou in rychlosti a její zm ny podél dráhy. Konvektivní složku m žeme p epsat do tvaru: ∂u ∂ u2 . u = ∂l ∂l 2

(4.14)

Hmotnost elementárního vále ku je: m = ρ dA dl. (4.15) P i pohybu na tento elementární vále ek p sobí ve sm ru pohybu následující síly: a) složka vlastní tíhy:

− m g cos ϕ = − ρ d A d l g cos ϕ , b) tlak na elní st nu:

(4.16)

p dA, c) tlak na druhou elní st nu:

(4.17)

- 36 (188) -

Hydrodynamika

p+

∂p ∂p dl d A = p d A + d l d A, ∂l ∂l

(4.18)

d) t ení na plášti nep ipadá v úvahu, protože p edpokládáme ideální kapalinu. Výslednice sil (4.16) - (4.18) je: ∂p dl d A = ∂l . ∂p = − ρ d A d l g cos ϕ − dl d A ∂l

− ρ d A d l g cos ϕ + p A − p d A −

(4.19)

Z rovnováhy vn jších sil a síly setrva né dostaneme podle d'Alambertova principu, který íká, že setrva né síly jsou v rovnováze s p sobícími vn jšími silami a mají opa ný smysl než výslednice p sobících sil (druhý Newton v pohybový zákon): Du F =m . (4.20) Dt Dosazení (4.19), (4.15) a (4.13) do (4.20) obdržíme:

∂p ∂u ∂ u2 − ρ d A d l g cos ϕ − dl d A = ρ d A dl + ∂l ∂t ∂l 2 vn jší síly = hmotnost x zrychlení

.

Úpravou a d lením ρ vztáhneme tento výraz k jednotce hmotnosti: 1 ∂ p ∂u ∂ u2 + + =0. ∂l ∂t ∂l 2 Z Obr. 4.2 vidíme, že: g cos ϕ +

(4.21)

dz dl a m žeme p epsat (4.21) do tvaru: cos ϕ =

∂u p u2 ∂ gz+ + + = 0. ∂l 2 ∂t Jelikož se p edpokládá ustálené proud ní, odpadne asová závislost

∂u ∂t

=0

a všechny leny této rovnice jsou derivacemi podle l, takže se mohou integrovat podél proudnice: u2 gz+ + = konst. , 2 což je Bernoulliho rovnice. Obvykle se Bernoulliho rovnice vztahuje v technických ešení k jednotce tíhy tím, že rovnici d líme g. Dále je obvyklé, že se sou adnice z nahrazuje polohovou výškou h, tedy obdržíme: p

h+

p u2 + = konst. g 2g

- 37 (188) -


Protože h je polohová (geodetická) výška uvažované ástice nebo t žišt pr to ného pr ezu nad libovolnou srovnávací rovinou, musí i ostatní dva leny mít rozm r výšky. Výraz pg nazýváme tlakovou výškou a 2u g 2

rychlostní výškou. Bernoulliho rovnice pro ustálené proud ní ideální kapaliny íká, že pro všechny pr ezy ur itého proudového vlákna je sou et polohové, tlakové a rychlostní výšky stálý:

p1 u12 p2 u 22 h1 + = h2 + + + . (4.22) ρ g 2g ρ g 2g Jinak lze také íci, že sou et polohové, tlakové a pohybové energie p íslušející jednotce tíhy pr toku ideální kapaliny je stálý pro všechny pr ezy. Bernoulliho rovnice vyjad uje zákon zachování mechanické energie proudu ideální kapaliny. Pro skute ný proud kapaliny a p íslušný pr ez bodovou rychlost u nahradíme pr ezovou rychlostí v a nerovnom rné rozd lení rychlosti v profilu se zohlední Coriolisovým íslem α. Coriolisovo íslo vyjad uje podíl skute né kinetické energie Ek v pr ezu stanovené z bodových rychlostí ku kinetické energii vyjád ené z pr ezové rychlosti: u3 d A

α=

A

v3 A

.

íselná hodnota Coriolisova ísla se podle pokus pohybuje u potrubí a pravidelných koryt v mezích 1,02 až 1,20, nej ast ji se blíží hodnot α = 1,10, i když m že být podstatn vyšší (u laminárního pohybu v potrubí je α = 2,0). Obecn se Coriolisovo íslo liší pr ez od pr ezu, nej ast ji však pro daný proud uvažujeme stálou hodnotou. V n kterých výpo tech se spokojujeme s hodnotou α ≈ 1,0 (což odpovídá ideální kapalin ). P i pohybu vazké kapaliny dochází v kapalin k vnit nímu t ení a t ení o st ny vedení. ást mechanické energie se m ní v jiné formy energie (p evážn tepelnou). Tato p em na energie je z hydraulického hlediska ztráta a zna íme ji hz. Bernoulliho rovnice pro skute nou kapalinu, která se považuje za nestla itelnou, ale uvažuje se vnit ní t ení, má tvar (Obr. 4.3):

p1 α v12 p 2 α v 22 h1 + + = h2 + + + hz , ρ g 2g ρ g 2g

(4.23)

kde indexy (1, 2) se vztahují k jednotlivým profil m (Obr. 4.3) a hz je ztrátová výška, která vyjad uje úbytek energetické výšky mezi dv ma pr ezy proudu.

- 38 (188) -

Hydrodynamika

Obr. 4.3 Grafické znázorn ní Bernoulliho v ty pro vlákno skute né kapaliny Kdybychom potrubí navrtali a p ipojili k n mu svislé trubky naho e otev ené (piezometrické trubky), ustavila by se v nich hladina ve výši pg , která udává tlakovou výšku v p íslušném pr ezu. Spojnice všech koncových bod t chto tlakových výšek se nazývá tlakovou árou. Vyneseme-li nad tlakovou áru v každém pr ezu p íslušnou rychlostní výšku a takto získané body spojíme, dostaneme áru energie, která je m ítkem mechanické energie vztažené na jednotku tíhy pr toku v pr ezu.

4.2.2

P íklady použití Bernoulliho rovnice

K m ení rychlostí v proudu m žeme použít Pitotovy trubice (Obr. 4.4), která je v p vodním tvaru trubice ohnutá do pravého úhlu a na obou koncích otev ená. Nastavuje se otvorem sm rem proti proudu v p íslušném míst kapaliny, kde chceme m it bodovou (skute nou) rychlost u. Ve svislém rameni pak vystoupí voda do úrovn "3". Toto p evýšení ur íme použitím Bernoulliho rovnice pro body "1" a "2" proudového vlákna proti vodorovné trubici. V bod "1" proudí kapalina tém nerušenou p vodní rychlostí u, kdežto v elním otvoru "2" je rychlost nulová, voda trubici obtéká a v trubici se voda nepohybuje. Za p edpokladu, že nebudeme uvažovat ztráty, má Bernoulliho rovnice pro body "1" a "2" tvar: p u2 p u2 h1 + 1 + 1 = h2 + 2 + 2 , ρ g 2g ρ g 2g protože u2 = 0 a h1 = h2 , z stane u = u1 , tedy: p − p1 u2 = 2 =H, 2g ρg kde H je p evýšení hladiny v Pitotov trubici nad hladinou proudu. Ukazuje tedy rychlostní výšku místní rychlosti. Hledaná rychlost má velikost: u = 2g H ,

nebo p esn ji

u =ϕ 2g H ,

(4.24)

kde ϕ je opravný sou initel, který je závislý na konstrukci trubky a ur í se tárováním. K m ení pr toku v potrubí se používá venturimetr (vodom r - Obr. 4.5). Proud se v n m zužuje z p vodního pr m ru D1 na pr m r D2 v hrdle a poté se op t pozvoln rozši uje na p vodní velikost. Zúžením se zv tšuje rychlost na újmu tlaku, to

- 39 (188) -


ukazuje Bernoulliho rovnice, zapíšeme-li ji pro pr ez "1" p ed zúžením a pro pr ez "2" v hrdle. P i zanedbání ztrát na krátké vzdálenosti, Bernoulliho rovnice má tvar: p p α v12 α v 22 h1 + 1 + = h2 + 2 + , ρ g 2g ρ g 2g a pro α = 1, h1 = h2 a ρpg − ρpg = H nabude Bernoulliho rovnice tvaru: 1

2

1 2 (v2 − v12 ) , (4.25) 2g kde H je rozdíl tlakových výšek, který ode teme na piezometrických trubicích. Tato rovnice má dv neznámé (v1a v2), a proto musíme nalézt druhou nezávislou rovnici, tak abychom systém uzav eli. Touto druhou rovnicí bude rovnice spojitosti, která má pro profily "1" a "2" tvar: H=

A2 D2 = v 2 22 . (4.26) A1 D1 Nyní máme dv nezávislé rovnice o dvou neznámých, které mají práv jedno ešení. Substitucí (4.26) do (4.25) a po úprav obdržíme: v1 A1 = v2 A2 ,

v2 =

v1 = v2

2g H 1−

a

D24 D14

Q = A2 v 2 = A2

2g H 1−

D24

.

D14

Protože jsme p i odvození tohoto vztahu zanedbali ztráty, bude p esn ji: Q = ϕ A2

2g H 1−

D24

,

(4.27)

D14

kde ϕ je sou initel podmín ný ztrátami ve venturimetru. U normalizovaných tvar jej m žeme nalézt v tabulkách, jinak se ur í tárováním. P i velkých tlakových výškách, jaké jsou na vodovodech, by nebylo prakticky možné použít piezometrických trubic naho e otev ených, které by musely být i n kolik desítek metr vysoké. Protože však nepot ebujeme znát absolutní hodnoty tlak , ale pouze jejich rozdíl, používají se v praxi diferenciální manometry napln né rtutí.

Obr. 4.4 Pitotova trubice

Obr. 4.5 Venturimetr

- 40 (188) -

Hydrodynamika

4.3

V ta o hybnosti (impulsová v ta)

Další základní v tou hydrodynamiky je v ta o hybnostech. Jedná se vlastn o p izp sobení impulsové v ty z mechaniky hmotného bodu na ustálený proud kapaliny. P i jejím použití uvažujeme jen ú inky na omezený výsek proudu, nemusíme p itom znát ani podrobnosti proud ní, ani ztráty, které v tomto úseku vznikají. Musíme však znát všechny síly, které na kapalinu ve výseku proudu p sobí. P sobí-li na hmotný bod o hmotnosti m stálá síla F, m ní se rychlost u. Protože se jedná o vektory, jsou ozna eny siln . Podle Newtonova zákona platí: F=m

Du . Dt

Integrací v asovém intervalu od t1 do t2 , v n mž se vektor rychlosti m ní z u1 na u2, dostaneme: m (u 2 − u 1 ) = F (t 2 − t1 ) . Sou in hmoty a rychlosti je definován jako hybnost daného bodu, sou in síly a asového intervalu jako impuls síly. P ejdeme-li od hmotného bodu k ustálenému proud ní kapalin, je ú elné zvolit asový interval t2 - t1 rovný jedné sekund . Každým pr ezem prote e za tuto dobu hmota ρ Q, jejíž hybnost je ρ Q u. Pon vadž jsme p ešli od bodové rychlosti k pr ezové, tedy od nerovnom rného rozd lení rychlosti v pr ezu k fiktivnímu pr m rnému, zavádí se p i výpo tech korek ní sou initel β (Boussinesqovo íslo). Boussinesqovo íslo tedy vyjad uje vliv nerovnom rného rozd lení rychlosti na velikost hybnosti proudu. V pravidelných pr to ných profilech se asto dosazuje β ≈ 1. Vyjmeme-li z proudu kapaliny ást ohrani enou pevnými st nami (dno, b ehy, atd.) a dv ma pr to nými profily "1" a "2", v nichž jsou vektory pr ezových rychlostí v1 a v2, m žeme psát:

β ρ Q ( v 2 − v1 ) =

F ,

(4.28)

kde Σ F zna í vektorový sou et všech vn jších sil p sobících na uvažovaný výsek proudu kapaliny. Tím jsme obdrželi v tu o hybnostech v proudu kapaliny, která vyjad uje výslednici vn jších sil p sobících na zvolený výsek proudu jako rozdíl hybností ρ Q v sekundového pr toku v kone ném a vstupním pr ezu tohoto výseku. Rovnice (4.28) je zápisem v ty o hybnosti ili impulsové. Je to vztah vektorový, na rozdíl od Bernoulliho rovnice, která vyjad uje bilanci energetickou. Bernoulliho rovnici používáme tam, kde jsou ztráty mechanické energie zanedbateln malé nebo kde dovedeme ur it jejich velikost. V ta o hybnostech pomáhá ešit takové p ípady, v nichž nedovedeme ur it ztráty, ale známe všechny síly p sobící na ur itý objem kapaliny.

- 41 (188) -


FR − ρ Qv + p A 2 2 2

+ A1 p1

ρQ

v1

v2

A2

p2 A2

p2 A1

v1

A1 p1

p1

Obr. 4.6 Ú inek proudu na kapaliny na st ny potrubí (horizontální ez)

asto ur ujeme ú inek proudu kapaliny na plochy, na které dopadá, nebo na st ny, kterými je veden. Pak jde vlastn o reakci FR , neboli o sílu stejn velkou, ale opa ného smyslu:

FR = −

F = β ρ Q ( v1 − v 2 ) .

Výsledný ú inek proudu kapaliny na plochy (st ny vedení) je dán rozdílem vektor hybnosti sekundového pr toku ve vstupním a kone ném pr ezu daného výseku proudu.

P . 4.1 Vypo t te pr to né množství vody v potrubí o pr m ru D1 = 10 cm. Do potrubí je zabudován veturimetr (Obr. 4.7) o pr m ru D2 = 7 cm. Rozdíl hladin v rtu ovém diferenciálním manometru je hHg = 15 mm. Ztráty ve venturimetru zanedbejte. D1 = 0,100 m; g = 9,81 m/s2; ρHg = 13 550 kg/m3;

Obr. 4.7 Venturimetr D2 = 0,070 m; hz = 0,000 m; ρ = 1000 kg/m3.

hHg = 0,015 m;

α = 1,00;

ešení: Z podmínky rovnováhy k rov ové ploše A-B (Obr. 4.7) platí: p1 + ρ g h1 = p2 + ρ g h2 + ρHg g h; ∆p = p 1 - p 2 ; ∆ p = (ρHg - ρ) g hHg ; ∆ p = (13550 - 1000)*9,81*0,015 = 1,847 kPa.

hHg = h1 - h2;

Bernoulliho rovnice (4.23) zapsaná pro profily "1" a "2" má tvar (srovnávací rovina je v ose potrubí): p1 α v12 p α v 22 + = 2 + + hz ; hz = 0; p1 - p2 = ∆p; α = 1,0; ρ g 2g ρ g 2g

∆ p v 22 − v12 = ; ρg 2g

- 42 (188) -

Hydrodynamika

rovnice spojitosti pro profily "1" a "2":

v1 A1 = v2 A2;

A1 D12 v 2 = v1 = v1 2 ; A2 D2 v1 =

2∆ p

ρ

D14 D24

=

−1

Q = v1 A1 = v1

2 * 1847

= 0,942 m/s;

4 1000 0,10 4 − 1

0,07

π D12 4

= 0,942

π * 0,10 2 4

= 0,0074 m3/s.

Potrubím protéká pr tok 0,0074 m3/s vody.

Kontrolní otázky - Jak je definovaná rovnice kontinuity pro ustálené proud ní v 1D? - Co vyjad ují jednotlivé leny v Bernoulliho rovnici? - Co vyjad uje Coriolisovo íslo?

5

Výtok kapaliny otvorem z nádob

M žeme rozlišit výtok z nádoby: - ustálený, kdy vytékající množství kapaliny neustále dopl ujeme (výtok Q je roven p ítoku Qp), hladina z stává ve stejné poloze, tlaky a rychlosti jsou nezávislé na ase; - neustálený, p i kterém se hydraulické charakteristiky m ní s asem. P ítok Qp není roven výtoku Q a hladina v nádrži stoupá nebo klesá. Jinými slovy dochází k pln ní nebo prázdn ní nádrže. Z hydraulického hlediska rozlišujeme výtok: - volný (nezatopený) - kapalina vytéká do vzduchu a výtokové charakteristiky nejsou ovliv ovány kapalinou za otvorem; - zatopený - kapalina vytéká pod hladinu kapaliny za otvorem; - áste n zatopený - kapalina vytéká sou asn pod hladinu a do vzduchu tak, že ást výtokového otvoru je pod hladinou - výtokové charakteristiky áste n ovliv uje kapalina za otvorem.

5.1

Ustálený výtok kapaliny otvorem z nádob

5.1.1

Volný výtok malým otvorem ve dn

Nádoba o vodorovné pr ezové ploše A0 má ve vodorovném dn výtokový otvor plochy A, kterým vytéká kapalina pr ezovou rychlostí v. Na hladinu nech p sobí tlak p0 a na výtokový paprsek tlak pc.

- 43 (188) -


K výtokovému otvoru se dostávají jednotlivé ástice ze všech stran, takže postupují v k ivo arých trajektoriích. Za otvorem se vytvo í výtokový paprsek, a protože zak ivené dráhy ástic zachovávají i za otvorem plynulý tvar, bude pr ez výtokového paprsku menší než pr ez otvoru. Nastává zúžení neboli kontrakce paprsku, který charakterizujeme sou initelem zúžení ε (ε < 1) pom r zúženého pr to ného pr ezu Ac k ploše výtokového otvoru A. Rychlost p i výtoku malým otvorem ve dn nádoby ur íme z Bernoulliho rovnice pro hladinu a pro zúžený pr ez. Srovnávací rovinu umístíme do profilu zúženého pr ezu (Obr. 5.1):

hc +

p 0 α 0 v 02 p α v2 + = 0 + c + c c + hz . 2g 2g ρg ρg

Obr. 5.1 Výtok kapaliny otvorem ve dn

(5.1)

Obr. 5.2 Zúžení úplné a neúplné

Ztráty hz vyjád íme jako ást rychlostní výšky:

hz = ξ

v c2 , 2g

(5.2)

kde ξ je sou initel ztrát zahrnujících všechny ztráty energie p i proud ní od hladiny 0-0 k zúženému profilu C-C. Dosazením (5.2) do (5.1) obdržíme:

v c2 p −p α v2 (α c + ξ ) = hc + 0 c + 0 0 , ρg 2g 2g vc =

1

αc + ξ

p 0 − p c α 0 v 02 2 g hc + + . ρg 2g

Zlomek p ed odmocninou ozna íme jako sou initel výtokové rychlosti:

ϕ=

1

αc + ξ

,

(5.3)

který udává pom r skute né a teoretické pr ezové výtokové rychlosti. Takže:

v c = ϕ 2 g hc +

p 0 − p c α 0 v 02 + . ρg 2g

Dále vyjád íme zúžený pr ez: Ac = ε A ,

- 44 (188) -

(5.4)


kde ε je sou initel zúžení (kontrakce), ε < 1. Pak z rovnice spojitosti plyne: v 0 A0 = v c Ac

v0 = vc

=>

Ac ε A = vc , A0 A0

(5.5)

Dosazením (5.5) do rovnice (5.4) obdržíme po úprav : A2 A02

v c2 − α 0 v c2 ε 2 ϕ 2 vc = ϕ

(

2 g hc +

p0 − pc ρg

1-α0 ε 2 ϕ 2

(

= ϕ 2 2 g hc +

A2 A02

).

p0 − pc ρg

),

(5.6)

Výtok otvorem dostaneme z definice pr toku (Kap. 4) ve zúženém pr ezu, odtud: Q = Ac v c = ε A v c ,

(

2 g hc +

Q=µ A

p0 − pc ρg

1-α0 ε 2 ϕ 2

A2 A02

),

(5.7)

kde µ je sou initel výtoku (podíl skute ného pr toku k pr toku teoretickému):

µ =ε ϕ. Výrazy (5.6) a (5.7) m žeme v mnoha p ípadech zjednodušit. Zúžený pr ez je pom rn blízko pod otvorem, nap . u kruhového otvoru asi 0,5 D, proto m žeme u malých otvor brát p ibližn hc = h (pro h > 10 a):

vc = ϕ

(

2g h +

p0 − pc ρg

1 - α0 ε 2 ϕ 2

A2 A02

),

Q=µ A

(

2g h +

p0 − pc ρg

1 - α0 ε 2 ϕ 2

A2 A02

).

U malých otvor bývá také p ítoková rychlost nepatrná (je-li A0»A):

(

Q=µ A 2g h+

p0 − p c ρg

).

Velmi asto p sobí na hladinu i na výtokový otvor stejný tlak, a proto p0 - pc = 0, takže dostaneme výrazy: vc = ϕ 2 g h ,

Q=µ A 2gh .

(5.8)

Tyto výrazy v podstat odvodil Toricelli (1608-1647).

5.1.2

Sou initelé výtoku, zúžení, výtokové rychlosti a ztrát

Na velikost zúžení má vliv vzdálenost otvoru od st n nádoby a tvarování hrany otvoru. Je-li otvor ostrohranný je zúžení veliké, jsou-li hrany zaobleny, pak se zúžení podstatn zmenší. St ny ovliv ují zúžení jen v p ípad , jsou-li blízko otvoru. P i vzdálenosti v tší než je trojnásobek p íslušné délky hrany otvoru (jednáli se o kruh jde o pr m r D), st ny na zúžení nep sobí. Nep sobí-li st ny na zúžení, hovo íme o dokonalém zúžení, v opa ném p ípad se jedná o zúžení nedokonalé. P i nedokonalém zúžení je pr m r paprsku v tší než p i dokonalém. P i nedokonalém zúžení (l < 3 a - Obr. 5.1) je sou initel výtoku definován vztahem: - 45 (188) -


2

µ n = µ 1 + 0,641 A2 , As

kde A je plošný obsah výtokového otvoru a As plošný obsah st ny, ve které je otvor. Nastává-li zúžení ze všech stran, íkáme, že zúžení je úplné. Splývají-li hrany otvoru na jedné nebo více stranách se st nami, pak na t chto hranách otvoru odpadá zúžení. Tento p ípad nazýváme zúžení áste né. P i áste ném zúžení (Obr. 5.2 - otvory I, III a IV) se udává sou initel výtoku µ :

(

µ = µ 1+ χ

s O

),

kde s je délka hran, podle kterých není kontrakce, O celkový obvod výtokového otvoru a χ = 0,13 pro kruhové otvory a χ = 0,15 pro obdélníky. Sou initel výtoku se pohybuje v dosti širokých mezích. Pouze u malých ostrohranných otvor a p i úplném dokonalém zúžení m žeme brát jako st ední hodnotu: µ ≈ 0,60 až 0,62. Hodnoty pro v tší otvory jsou uvedeny v Tab. 5.1. Hodnota sou initele výtoku se zm ní, p ipojí-li se k otvoru nátrubek. Krátký vn jší nátrubek pr to nost zvýší a vnit ní (Bord v) nátrubek naopak pr to nost sníží. St edí hodnota sou initele výtokové rychlosti u ostrohranného otvoru je:

ϕ ≈ 0,97. Tab. 5.1 Sou initel výtoku otvorem 1. 2.

3. 4. 5. 6. 7. 8.

tvar otvoru

µ

malé otvory s dokonalým zúžením (ϕ = 0,97, ε = 0,64) malé otvory s nedokonalým všestranným zúžením (plocha otvoru je menší než 1/10 plochy st ny v níž je otvor umíst n): - malé kruhové otvory t sn u st n - malé tvercové otvory se zúžením ze 3 stran malé obdélníkové otvory s pom rem stran 1:2 s áste ným zúžením: - zúžení z jedné, a to delší strany - zúžení z jedné, a to kratší strany otvory st edních rozm r s všestranným zúžením velké otvory s všestranným zúžením otvory u dna (výtok pod stavidlem) s podstatným bo ním zúžením otvory u dna s pr m rným bo ním zúžením otvory u dna s plynulým usm rn ním proudu

0,62

0,63 0,64 0,64 0,65 0,65 0,70 0,70 0,75 0,80

Sou initel ztrát (nebo odporový sou initel) ξ je svázán s ϕ rovnicí (5.3), z níž:

ξ=

1

ϕ2

− αc

a pro αc ≈ 1,00 bude:

1 − 1,00 = 0,06 . 0,97 2 P i výtoku ostrohranným otvorem se tedy ztrácí asi 6% (výtokové) rychlostní výšky.

ξ≈

- 46 (188) -


Je nutné zd raznit, že všechny tyto hodnoty sou initel platí v kvadratickém pásmu odpor , jehož hranici m žeme uvažovat pro kruhové otvory pomocí hodnoty Reynoldsova kritéria (Kap. 7.3):

Re m =

vD

υ

=

vDρ

µ

= 1,00 10 5 ,

kde v je pr ezová rychlost, υ sou initel kinematické viskozity, µ sou initel dynamické viskozity a ρ hustota tekutiny.

5.1.3

Volný výtok otvorem ve svislé st n

Kapalina vytéká ustálen z nádoby otvorem v bo ní svislé st n (Obr. 5.3). Na hladinu v nádob i na výtokový paprsek p sobí atmosférický tlak. Výtokový otvor rozd líme na vodorovné proužky dz, jejichž geodetická výška nad srovnávací rovinou je z. Z Bernoulliho rovnice pro bod proudového vlákna na hladin a pro bod proudového vlákna v otvoru plyne:

α v 02 p0 p0 u2 u2 + =z+ + +ξ , H+ ρ g 2g ρ g 2g 2g H −z+

α v 02 2g

= (1 + ξ )

u2 , 2g

kde v0 je p ítoková rychlost (v0 = Q/A0, kde A0 je pr to ná plocha nádoby) a poslední len vyjad uje ztráty energie p i pohybu od hladiny do výtokového otvoru. Po dosazení sou initele výtokové rychlosti ϕ =

1 1+ ξ

a po úprav

obdržíme:

α v0 1 u2 H z = − + , 2g ϕ2 2g 2

u =ϕ 2g H − z +

α v 02 2g

.

Pr to né plocha elementárního proužku je:

d A = ε y( z ) d z a elementární výtok tímto proužkem: dQ = u d A = µ 2g H − z +

α v 02 2g

ydz,

kde jsme zavedli známý výtokový sou initel:

µ =ϕ ε .

- 47 (188) -

(5.9)


Obr. 5.3 Výtok otvorem ve svislé st n

Pro výtok otvory ve svislé st n platí sou initel výtoku podle Tab. 5.1. Celkový pr tok dostaneme integrováním elementárních výtok v rozsahu otvoru (Obr. 5.3): z2

Q= µ 2g H − z +

α v 02 2g

z1

y dz,

kde y = y(z).

Provedeme substituci:

z = H − h, dz = −dh a meze integrace jsou: z

z1

z2

h = H − z h1 = H − z1

h2 = H − z 2

,

pak: Q=−

h ( z2 )

µ 2g h +

α v02

h ( z1 )

2g

y dh = −

H − z2

µ 2g h +

H − z1

α v02 2g

y dh,

kde y = y(H - h),

Q=µ 2g

h1

h+

α v 02

1/ 2

2g

h2

y dh ,

(5.10)

kde h1 je poloha (hloubka) dolní hrany otvoru pod hladinou a h2 poloha (hloubka) horní hrany otvoru pod hladinou. Pro další postup je nutné znát tvar otvoru. Pro volný výtok otvorem ší ky b = konst., tedy pro otvor obdélníkový (Obr. 5.4 a), platí: 2 Q= µb 2g 3

h1 +

α v 02

3/ 2

- h2 +

2g

α v 02

3/ 2

2g

.

(5.11)

Pro volný výtok kruhovým otvorem o polom ru r (Obr. 5.4 b) platí (p i odvození byla použita binomická v ta):

1 r Q = µ 132 hT

2

5 r 1024 hT

4

π r 2 2 g hT ,

- 48 (188) -

(5.12)


kde hT je hloubka t žišt kruhového otvoru pod hladinou. Je-li

r = 0,3 dává hT

výrazy v hranaté závorce hodnotu 0,998 neboli je p ibližn roven jedné, a proto: Q ≈ µ π r 2 2 g hT . (5.13)

Obr. 5.4 Výtok tvercovým a kruhovým otvorem ve svislé st n

5.1.4

Volný výtok hydraulicky malým otvorem ve svislé st n

Pokud je nejv tší svislá vzdálenost obrysu otvoru od t žišt otvoru emax: e max ≤ 0,25 hT , kde hT je hloubka t žišt výtokového otvoru pod hladinou, pak se jedná o výtok hydraulicky malým otvorem a m žeme zanedbat zm ny rychlosti ve výtokovém otvoru. Vzorec pro výtokové množství se zjednoduší (s chybou pod 1 %): v = ϕ 2 g hT ,

Q = µ A 2 g hT ,

(5.14)

za p edpokladu, že na hladinu a na výtokový paprsek p sobí stejný tlak.

5.1.5

Výtok pono eným otvorem ve svislé st n

Je-li výtokový otvor libovolného tvaru ve svislé st n pono en pod hladinou dolní vody (Obr. 5.5), m žeme zapsat Bernoulliho rovnici pro libovolné body proudového vlákna v profilech "I" a "II":

p0 α v 02 pc u2 u2 z 1 + y1 + + = y2 + z2 + + +ξ , ρ g 2g ρ g 2g 2g p 0 − p c α v 02 u 2 z 1 + y1 − z 2 − y 2 + + = (1 + ξ ) , ρg 2g 2g kde y1 jsme vyjád ili z hydrostatického tlaku p1h v hloubce y1 pod hladinou horní vody a obdobn jsme vyjád ili i y2 (Obr. 5.5): y1 =

p1h y ρg = 1 = y1 ρg ρg

a

- 49 (188) -

y2 =

p 2h y 2 ρ g = = y2 . ρg ρg


Obr. 5.5 Výtok pono eným otvorem Definováním spádu hladin H = z1 +y1 - z2 – y1 (Obr. 5.5) a dosazením 1 , po úprav obdržíme: 1+ ξ

sou initele výtokové rychlosti ϕ = u =ϕ 2g H +

p 0 − p c α v 02 + . ρg 2g

(5.15)

Protože spád hladin H je stejný pro všechny body výtokového paprsku, je rychlost ve všech bodech zatopeného otvoru stejná a závisí na rozdílu hladin:

p 0 − p c α v02 v =ϕ 2g H + + . ρg 2g

(5.16)

Výtokové množství obdržíme, násobíme-li zúžený pr ez εA rychlostí v:

Q = µp A 2g H +

Q =ε Av,

p 0 − p c α v 02 + , 2g ρg

(5.17)

kde µp je sou initel výtoku pro pono ený výtok (je pon kud menší než pro výtok do vzduchu, ale rozdíly jsou nepatrné). Bude-li vliv p ítokové rychlosti zanedbatelný a tlak na ob hladiny stejný, bude platit: v =ϕ 2g H ,

5.1.6

Q = µp A 2g H .

(5.18)

Výtok áste n pono eným obdélníkovým otvorem

Bude-li obdélníkový otvor ší ky b áste n zatopen dolní vodou (Obr. 5.6 a), pak výtokové množství po ítáme p ibližn tak, že výtokový otvor rozd líme úrovní hladiny na dv ásti. Horní (vyno enou) ástí vytéká voda voln , takže pr tok Q1 se ur í podle (5.11). V dolní (pono ené) ásti o výšce t je výtok zatopen dolní vodou a pr tok Q2 se obdrží z (5.17). Celkové výtokové množství áste n pono eným obdélníkovým otvorem ší ky b: Q = Q1 + Q2 ,

2 Q= b 2g 3 +

p

H+

α v02

3/ 2

2g

b t 2g H +

- h2 +

α v02 2g

- 50 (188) -

α v02 2g

3/ 2

+ ,

(5.19)


kde b je ší ka obdélníkového otvoru, H spád hladin, h2 poloha (hloubka) horní hrany otvoru pod hladinou a t výška zatopení otvoru dolní vodou. Velikost sou initel výtoku není ur ena spolehliv . Pon vadž kontrakce nastává vždy jen na t ech stranách, m žeme se domnívat, že budou v tší než u p edchozích p ípad . P i nedostatku údaj jsme však odkázáni na hodnoty odpovídající výtoku do volna.

Obr. 5.6 Výtok a) áste n pono eným otvorem a b) otvorem v šikmé st n

5.1.7

Volný výtok obdélníkovým otvorem v šikmé st n

Nech je obdélníkový otvor ší ky b umíst n ve st n odklon né od svislice o úhel α (Obr. 5.6 b), na hladinu v nádrži a na výtokový paprsek nech p sobí stejný tlak a výtok nech je do volna. Op t vytkneme elementární proužek jehož geodetická výška nad srovnávací rovinou je z a odvození je obdobné jako v Kap. 5.1.3 s tím rozdílem, že: b Q=µ cos α

h1

2g

h+

h2

α v 02 2g

1/ 2

dh.

(5.20)

Po integraci obdržíme:

2 µb 2g Q= 3 cos α

h1 +

α v 02

3/ 2

2g

- h2 +

α v 02 2g

3/ 2

,

(5.21)

kde h1 je poloha (hloubka) dolní hrany otvoru pod hladinou a h2 poloha (hloubka) horní hrany otvoru pod hladinou.

5.2

Pln ní a prázdn ní

V p edchozích odstavcích (5.1.1-5.1.7) byl probrán p ípad ustáleného výtoku kapaliny otvorem. V této ásti bude problém zobecn n na neustálený výtok otvorem - na pln ní a prázdn ní nádob. Neustálený výtok otvorem je charakterizován zm nou objemu vody v nádrži, zm nou hloubky a tedy i zm nou pr toku v ase. Uvažujme nádobu (nádrž) libovolného tvaru (Obr. 5.7), do které p itéká Qp a vytéká Q otvorem o ploše A v hloubce z1 pod hladinou, a to malým otvorem

- 51 (188) -


ve dn . Uvažujme stejný atmosférický tlak na hladin i ve výtokovém otvoru. Je-li: Qp = Q - p ítok Qp (pr tok kapaliny p itékající do nádoby) je roven výtoku Q (pr tok výtokovým otvorem z nádoby) - hladina v nádob se nepohybuje = > ustálený výtok kapaliny otvorem; Qp < Q - nádoba se prázdní; Qp > Q - nádoba se plní. Poslední dva p íklady ilustrují p ípad, kdy výtok je závislý na ase a tedy pr tok je neustálený (prom nlivý v ase).

Obr. 5.7 Výtok z nádoby otvorem p i prom nné hladin

Obr. 5.8 Prázdn ní prizmatické nádoby p i Qp = konst.

Je-li nádoba dostate n vysoká, pak se hladina v nádob ustálí (p i pln ní i prázdn ní malým otvorem) v mezní poloze hladiny zu, p i které p ítok Qp je roven výtoku Q: Q p = Q = µ A 2 g zu ,

(5.22)

a odtud: zu =

Q p2

µ 2 A2 2 g

,

(5.23)

kde µ je sou initel výtoku (Tab. 5.1) a A plocha výtokového otvoru. Další pohyb je už pak ustálený, protože Qp = Q. Po ítejme dobu t, za kterou se zm ní poloha hladiny v nádob ze z1 na z2. Jedná-li se malý otvor m žeme zanedbat vliv p ítokové rychlosti. Prom nlivou výšku hladiny nad otvorem ozna me z. Za as dt p ite e do nádoby objem kapaliny Qp dt a vyte e objem Q dt. Bude-li Qp ≠ Q, zm ní se objem hladiny v nádob o hodnotu Az dz, kde Az je plocha hladiny ve výši z. Tento objem se musí podle zákona zachování hmotnosti rovnat rozdílu mezi p ítokem a výtokem:

(Q p − Q) d t = Az d z . Protože Q = µ A 2 g z , bude dt =

Az d z . Qp - µ A 2 g z

(5.24)

- 52 (188) -


as pot ebný ke zm n polohy hladiny v nádob z úrovn z1 na z2 obdržíme z rovnice (5.24): z2

t=

z

1 Az d z Az d z = . z1 Q p - µ A 2 g z z2 µ A 2 g z − Q p

(5.25)

Pro zvláštní p ípad prázdn ní nádoby bez p ítoku (Qp = 0) je doba úplného vyprázdn ní T (z2 = 0): T=

1

µ A 2g

z1

0

Az d z . z

(5.26)

Analytické ešení (5.25) a (5.26) je možné, je-li Qp = konst. a dovedeme-li vyjád it z tvaru nádoby plochu hladiny Az = A(z) jako funkci výšky hladiny z.

5.2.1

Pln ní a prázdn ní prizmatické nádoby otvorem p i Qp = konst.

Má-li nádoba stálý pr ez Az = konst. (válec, hranol, ... - Obr. 5.8), m žeme zapsat pro as nutný ke zm n polohy hladiny z úrovn z1 na z2: z2

t = Az

dz , z1 Q p - µ A 2 g z

(5.27)

kde p ítok Qp m žeme vyjád it pomocí plochy výtokového otvoru A a mezní hladiny zu, na které by se hladina ustálila, pokud by p ítok byl roven výtoku: Q p = µ A 2 g zu ,

(5.28)

kde A je plocha výtokového otvoru a µ sou initel výtoku. Dosazením (5.28) do (5.27) obdržíme: z2

t = Az

z2

Az dz = µ A 2g Z1 µ A 2 g hu - µ A 2 g z

dz . hu - z

z1

(5.29)

P i ešení (5.29) zavedeme substituci: y = zu − z , d z = −2 z d y = −2

(

)

zu − y d y

a meze integrace jsou: z

z1

z2

y = zu − z

y1 = z u − z1

y2 = zu − z 2

ešení je tvaru:

t=−

2 Az µ A 2g

y ( z2 )

y ( z1 )

(

)

zu − y 2 Az dy= y µ A 2g

y2

.

1−

y1

[

zu y

dy=

2 Az = y − zu ln y µ A 2g t=

2 Az µ A 2g

z1 - z 2 - z u ln

zu - z 2 z u - z1

- 53 (188) -

.

]

, zu − z 2 zu − z1

(5.30)


Pro prizmatickou nádobu bez p ítoku (zu = 0) je as pot ebný ke zm n polohy hladiny z úrovn z1 do z2:

t = − Az

z2

Az dz = µ A 2g z1 µ A 2 g z 2 Az = µ A 2g

z1

2 Az dz = z µ A 2g z2

[

z1 − z 2

[ z]

z1 z2

]

= .

(5.31)

Doba nutná pro úplné vyprázdn ní (z2 = 0) pro prizmatickou nádobu bez p ítoku (zu = 0) je:

T=

2 Az

z1

µ A 2g

.

(5.32)

Postup ešení z stane stejný, i když se nádoba prázdní nebo plní jiným zp sobem - p epadem, malým otvorem ve svislé st n . P i ešení vyjád íme p íslušné výtokové množství Q.

5.2.2

Prázdn ní válcové cisterny otvorem p i Qp = 0

Válcová nádoba s vodorovnou osou (Obr. 5.9) se prázdní otvorem v nejnižším míst , p i emž je postaráno o p ívod vzduchu nad hladinu. Plocha hladiny je s hladinou prom nlivá Az = L x , kde L je délka cisterny a x:

x = r 2 − ( z − r ) 2 => x = 2 r 2 − z 2 + 2 z r − r 2 = 2 z (2 r − z ) , (5.33) 2 Az = 2 L z (2 r - z) ,

(5.34)

kde r je polom r cisterny a z poloha hladiny. as pot ebný ke zm n polohy hladiny z úrovn z1 do z2 dostaneme dosazením (5.34) do (5.25), kde Qp = 0: z2

Az d z t=− = z1 µ A 2 g z

z2

z1

2 L z (2 r − z ) d z −µ A 2g z

2L =− µ A 2g

z2

=

(2 r − z ) d z

z1

Obr. 5.9 Prázdn ní cisterny

- 54 (188) -

.

(5.35)


P i ešení (5.35) zavedeme substituci:

y = 2r − z , d z = −d y a meze integrace jsou: z

z1

z2

y = 2r − z

y1 = 2 r − z1

y2 = 2 r − z 2

.

as pot ebný ke zm n polohy hladiny z úrovn z1 do z2 je pak:

2L µ A 2g

t=

y ( z2 )

y dy= y ( z1 )

2L µ A 2g

y2

y dy=

y1

[ ]

2 2L = y3/ 2 3 µ A 2g t=

[

, 2 r − z2 2 r − z1

]

4L ( 2 r - z 2 ) 3 / 2 - ( 2 r - z1 ) 3 / 2 . 3µ A 2 g

(5.36)

Doba pro úplné vyprázdn ní celé cisterny (z1 = 2r = d a z2 = 0) je: T=

4 L d 3/ 2 L d 3/ 2 . = 0,301 µA 3µ A 2 g

(5.37)

P . 5.1 V obdélníkovém koryt ší ky b = 5,0 m je vybudován stupe ve dn (Obr. 5.10) V profilu stupn je stavidlo, které je otev ené na výšku a = 1 m. Tím je udržována hladina horní vody ve výšce h2 = 2 m nade dnem. Ur ete výtok vody pod stavidlem, je-li zatáp n výtokový otvor do výšky 0,5m. b = 5,0 m; a = 1,0 m; h2 = 1,0 m; h1 = 2,0 m; H = 1,5 m; t = 0,5 m; µ = µp= 0,80; α = 1,0.

Obr. 5.10 Výtok pod stavidlem

ešení: Jedná se o áste n zatopený výtok velkým otvorem. Celkové výtokové množství se bude po ítat jako sou et výtoku do volna a výtoku zatopeným otvorem (5.19). Protože není známa p ítoková rychlost, která je funkcí hledaného pr toku, je vhodné použít itera ního postupu, tedy postupu postupného p ibližování do chyby velikosti |Qi+1 - Qi| < 0,01 m3/s.

- 55 (188) -


1. iterace:

v první iteraci p edb žn spo ítáme výtokové množství mez uvažování p ítokové rychlosti v0, kterou p edem neznáme: v01 = 0,0 m/s; (1) 1

Q

2 = µ b 2g 3

H+

Q1( 2 ) = µ t b 2 g H + (1)

2. iterace:

3/ 2

α v012

− h2 +

2g

α v012 2g

(1) 2

Q

Q1 = 2,074 m/s; b h1

2 = µ b 2g 3

2g

= 9,888 m3/s;

= 10,850 m3/s;

2 α v02 H+ 2g 2 α v02 2g

=> 3/ 2

2 α v02 = 0,219 m; 2g 2 α v02 − h2 + 2g

3/ 2

= 10,725 m3/s;

= 11,616 m3/s;

Q2 = Q2(1) + Q2(2) = 22,340 m3/s; |Q2 - Q1| = 1,60 > 0,01 m3/s; jelikož rozdíl mezi 1. a 2. iterací není požadovaný, výpo et pokra uje: v03 =

Q2 = 2,234 m/s; b h1

=>

Q3(1) = 10,853 m3/s; Q3(2) = 11,734 m3/s; Q3 = Q3(1) + Q3(2) = 22,587 m3/s; v04 =

Q3 = 2,259 m/s; b h1

=>

Q4(1) = 10,874 m3/s; Q4(2) = 11,753 m3/s; Q4 = Q4(1) + Q4(2) = 22,626 m3/s; 5. iterace:

3/ 2

(2)

Q2( 2 ) = µ t b 2 g H +

4. iterace:

α v012

Q1 = Q1 + Q1 = 20,738 m3/s; výpo et provedeme s opravenou p ítokovou rychlostí, kterou obdržíme z celkového pr toku z první iterace a pr to né plochy v p ívodním obdélníkovém koryt : v02 =

3. iterace:

2 α v01 = 0,0 m; 2g

=>

v05 =

Q4 = 2,263; => b h1

2 α v03 = 0,254; 2g

|Q3 – Q2| = 0,26 > 0,01 m3/s; 2 α v04 = 0,260 m; 2g

|Q4 – Q3| = 0,04 > 0,01 m3/s;

2 α v05 = 0,261; 2g

Q5(1) = 10,877 m3/s; Q5(2) = 11,756 m3/s; Q5 = Q5(1) + Q5(2) = 22,633 m3/s; Výtokové množství je p ibližn 22,633 m3/s.

|Q5 – Q4| = 0,006 < 0,01 m3/s.

P . 5.2 Válcovitá nádoba (L = 8,0 m, d = 2,0 m) s kruhovým výtokovým otvorem o velikosti dv = 0,1 m (µ = 0,62) bez p ítoku (Qp = 0 m3/s) se prázdní: a) ve svislé poloze (Obr. 5.11 a); b) v ležaté poloze (Obr. 5.11 b). Vypo t te dobu T pot ebnou k úplnému vyprázdn ní nádoby, je-li postaráno o p ívod vzduchu nad hladinu.

- 56 (188) -


L = 8,0 m; Qp = 0 m3/s; µ = 0,62; d = 2,0 m; dv = 0,1 m;

πd 2 = 3,14 m2; Az >> A => výtok malým otvorem; 4 π d v2 A= = 0,00785 m2; 4

Az =

Obr. 5.11 Prázdn ní válcovité nádoby a) ve svislé poloze, b) v ležaté poloze a) Nádoba ve svislé poloze jde o prázdn ní prizmatické nádoby (konstantní pr ez A po výšce) malým otvorem ve dn p i Qp = 0,0 m3/s: podle (5.32) bude:

T=

2 Az

z1

µ A 2g

z1 = L

=

2 Az L µA 2g

= 824 s = 13 min 44 s.

b) Nádoba v ležaté poloze

jde o prázdn ní válcovité cisterny s vodorovnou osou malým otvorem ve dn p i Qp = 0,0 m3/s: zde platí výraz (5.37): T = 0,301

L d 3/ 2 = 700 s = 12 min. µA

Ve skute nosti bude probíhat poslední fáze prázdn ní od p edpokladu tohoto výpo tu, nebo p i malé hloubce vody se nad výtokem utvo í nálevkovité snížení hladiny - vír, až nakonec vzduch vnikne do otvoru a výtok otvorem se sníží oproti vypo tenému.

Kontrolní otázky - Co vyjad uje sou initel výtoku? - Co je to hydraulicky malý otvor ve svislé st n p i ustáleném výtoku otvorem ve svislé st n ?

6

P epady

P epad m žeme definovat jako výtok kapaliny otvorem naho e otev eným nebo otvorem, v n mž hladina nedosahuje k jeho hornímu obrysu. Vznikne zpravidla vložením st ny nap í proudu s volnou hladinou. Tato st na vzdouvá vodu a voda p es ni p epadá. Konstrukci, p es kterou voda p epadá,

- 57 (188) -


se nazýváme p eliv; nejvyšší ást p elivu je p elivná hrana (nebo koruna p elivu). P epadající proud vody se nazývá p epadový paprsek. Tvar a tlouš ka p elivné st ny má podstatný vliv na proud ní p es p eliv. Proto podle ní d líme p elivy na tyto základní typy: a) ostrohranné p elivy; b) jezové nebo p ehradní p elivy (obdélníkového a lichob žníkového p í ného pr ezu, proudnicové p elivy); c) p elivy se širokou korunu; d) zvláštní typy p eliv (šachtový p eliv, bo ní p eliv, ...).

Obr. 6.1 Typy p eliv a p epad : a) ostrohranný p eliv, dokonalý p epad; b) p eliv p es jezové t leso s obdélníkovým p í ným profilem; c) p eliv p es širokou korunu, dokonalý p epad; d) ostrohranný p eliv, nedokonalý p epad; e) p eliv bez bo ního zúžení; f) p eliv s bo ním zúžením

Podle ovlivn ní p epadového množství p es p eliv hladinou dolní vody (hladinou za p elivem) m žeme rozeznat: a) p epad dokonalý - p epadové množství není ovlivn no hladinou dolní vody; b) p epad nedokonalý (zatopený) - je-li hladina dolní vody nad úrovní p elivné hrany, je nutné ov it, zda-li je p epadové množství ovlivn no hladinou dolní vody. P epad vody p es p eliv m že být: - bez bo ního zúžení, jestliže se ší ka p elivu b rovná ší ce B obdélníkového žlabu; - s bo ním zúžením, je-li p epad pouze v ásti p elivné st ny nebo jestliže se k p elivné st n žlab zužuje, tedy b < B. Podle umíst ní p elivné hrany k nabíhajícímu proudu lze rozeznat (Obr. 6.2): - p elivy elné - p elivná hrana je k nabíhajícímu proudu umíst na kolmo; - p elivy šikmé, lomené, k ivo aré; - bo ní (postranní) p elivy - p elivná hrana je rovnob žná s osou proudu nebo je od ní odklon ná, ale nep ehrazuje vodní tok. Dále lze rozlišit p elivy pevné a pohyblivé. U pohyblivých p eliv lze m nit výšku p elivné hrany (nap . klapky) nebo velikost výtokového otvoru (nap . podtékané segmenty nebo válce).

- 58 (188) -

P epady

Obr. 6.2 Typy p eliv : a) elný p eliv; b) p eliv šikmý; c) p eliv obloukový; d) p eliv lomený; e) bo ní p eliv

6.1

Ostrohranné p elivy

6.1.1

Výpo et p epadu p es ostrou hranu, Bazin v p eliv

P epad p es ostrou hranu nastává, je-li tlouš ka p elivné st ny t: t < 0,66 h, kde h je p epadová výška (výška p epadového paprsku), což je p evýšení hladiny nad nejnižším místem p elivné hrany. Ostrohranných p eliv se používá zejména pro m ení pr toku, protože jsou experimentáln nejlépe ov eny. Pro dosažení p esných výsledk p i m ení pr tok se požaduje dokonalý p epad, volný p epadový paprsek a dobré uklidn ní p ítoku, nap . dostate n dlouhým p ímým p ítokovým žlabem. Dále má být p elivná st na svislá a hladká, jednostrann upravená do b itu. Je nutné splnit rozmezí platnosti používaných rovnic a p edepsané podmínky pro umíst ní m rného p elivu, jinak se musí m rná k ivka p elivu ur it tárováním p ímo na míst .

P i výpo tu p epadu p es ostrou hranu se používá postupu jako p i volném výtoku otvorem ve svislé st n (Odst. 5.1.3). Celkový pr tok obdržíme z rovnice (5.10) - integrujeme v mezích od nejnižšího bodu p elivné hrany po hladinu (Obr. 6.3): Q=µ 2g

h1 0

α v02 h+ 2g

1/ 2

y dh ,

kde

y = y(H - h)

(6.1)

Obr. 6.3 P epad p es p eliv obecného pr ezu

Pro vodorovnou p elivnou hranu a obdélníkový profil y(H - h) = b = konst., m žeme snadno provést integraci. P evýšení hladiny nad nejnižším bodem p elivné hrany budeme dále zna it h a nazývat p epadovou výškou (výškou p epadového paprsku). P epadové množství Q je pak dáno Weisbachovou rovnicí: 2 Q = µ b 2g 3

h+

α v02 2g

3/ 2

−

α v02 2g

- 59 (188) -

3/ 2

,

(6.2)


Q=

[

]

2 µ b 2 g h03 / 2 − k 3 / 2 , 3

kde µ je sou initel p epadu daného p elivu, h p epadová výška, k = α2vg0

2

p ítoková rychlostní výška a veli inu h0 = h + k nazýváme energetická p epadová výška. Výpo et pr toku p i neznámé p ítokové rychlosti v0 provedeme postupným p ibližováním Q a v0. Neuvažujeme-li s p ítokovou rychlostí, obdržíme rovnici Poleniovu nebo Dubuatovu:

2 µ b 2 g h3/ 2 . 3 Sou initel p epadu závisí na typu p elivu, p epadové výšce h, výšce st ny s1 a na tlaku v prostoru pod paprskem. Je-li tento prostor uzav en, vysává z n ho proudící paprsek vzduch, takže zde klesá tlak a sou initel p epadu µ se zv tšuje. Zavzdušní-li se tento prostor (nap . rozší ením koryta pod p elivem nebo zvláštním zavzduš ovacím potrubím) celý jev se stabilizuje a vytvo í se volný p epadový paprsek, který má stálý tvar. Q=

Obr. 6.4 Bazin v p eliv Obdélníkový ostrohranný p eliv bez bo ního zúžení a zavzdušn ným prostorem pod p epadovým paprskem se nazývá Bazin v. Bazin v p eliv (Obr. 6.4) je základním typem ostrohranných p eliv a protože byl podrobn prozkoumán, stal se základním m rným p elivem. Bazin odvodil pro stanovení p epadového množství p es p eliv rovnici, která se používá se i pro výpo et dalších typ p eliv . Pro její odvození m žeme vyjít z (6.2), kde zanedbáme len -k3/2, který je malý v i p edchozímu lenu h03/2, vytkneme h3/2 a ozna íme 23 µ = m0:

Q = m0 b 2 g h

1+

3/ 2

α v02

3/ 2

2g h

a ozna íme:

m = m0 1 +

α v02

3/ 2

2g h

,

pak platí:

Q = m b 2 g h3 / 2 ,

(6.3)

- 60 (188) -

P epady

kde m je Bazin v sou initel p epadu, který zahrnuje ztráty a kontrakci na p epadu a vliv p ítokové rychlosti (v prvním p iblížení m žeme uvažovat m = 0,42). Bazin podle pokus stanovil sou initel p epadu m:

0,003 m = 0,405 + h

h 1 + 0,55 h + s1

2

,

(6.4)

s platností pro (chyba < 1%):

0,1 m < h < 1,24 m; 0,2 m < b < 2,0 m; 0,2 m < s1 < 2,0 m. P epadové paprsky jsou u Bazinova p elivu vzájemn podobné a Bazin udal jejich charakteristické rozm ry v pom ru k p epadové výšce (Obr. 6.4). Ve vzdálenosti 3 h nad p elivem je snížení hladiny 0,003 h, kdežto nad p elivnou hranou 0,15 h. Z toho plyne, že se p epadová výška musí m it ve vzdálenosti 3 až 4 h p ed p elivem. P eliv obdélníkový s tlouš kou st ny t < 0,66 h nemá vliv na tvar p epadového paprsku, a m že se proto po ítat jako p epad ostrohranný. Sklon ním st ny p elivu po proudu se zmenšuje kontrakce proudu a zvyšuje se kapacita p elivu. Zatímco sklon ním p elivu proti proudu se kapacita p elivu zmenšuje. Pro tento p ípad, kdy p elivná st na není svislá platí: Q = σ skl m b 2 g h 3 / 2 ,

(6.5)

kde σskl je sou initel sklonu p elivné st ny a jeho hodnoty pro r zný odklon p elivné st ny od svislice jsou uvedeny v Tab. 6.1. Tab. 6.1 Sou initel sklonu σskl pro Bazin v p epad odklon δ σskl

6.1.2

proti vod o

45 0,925

o

30 0,940

po vod o

15 0,965

o

0 1,000

o

15 1,035

30o 1,075

45o 1,115

Nedokonalý p epad p es ostrou hranu

Nedokonalý (zatopený) p epad vznikne, je-li hladina dolní vody výše než p elivná hrana a hladina dolní vody snižuje p epadové množství. Za p epadovým paprskem vzniká vodní skok (Kap. 9), který m že být vzdutý, vlnovitý nebo oddálený. Zatopení nastává pouze p i vzdutém nebo vlnovitém vodním skoku, p i oddáleném vodním skoku dopadá paprsek na dno a p epad je dokonalý (Obr. 6.5 b). P ibližn bylo zjišt no, že vzdutý vodní skok (a tím i nedokonalý p epad) vzniká p i pom ru Hs < 0,70. Podrobn ji Pavlovskij zjistil, že p epad bude nedokonalý, bude-li pom r Hs

menší než mezní pom r h s

( ) , který je udaný v Tab. 6.2 v závislosti na pom ru H s *

. Podmínky nedokonalého p epadu jsou: 1) hd > s

a sou asn

2)

H H < s s

.

(6.6)

*

Tab. 6.2 Mezní hodnoty pro nedokonalý p epad p es ostrou hranu h s H s

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,75 1,00 1,50 2,00 3,00 *

1,00 0,90 0,83 0,78 0,75 0,73 0,68 0,67 0,67 0,71 0,85

- 61 (188) -


Obr. 6.5 P epad p es ostrou hranu a) se vzdutým nebo vlnovitým vodním skokem (nedokonalý p epad); b) s oddáleným vodním skokem (dokonalý p epad) K výpo tu nedokonalého p epadu p es ostrohranný p eliv používáme nej ast ji postup podle Bazina, který vzorec pro dokonalý p epad (6.3) redukuje sou initelem zatopení σz: Q = σ z m b 2 g h3 / 2 ,

(6.7)

hz 3 H . (6.8) s h Nedokonalý p epad je mén prozkoumán než p epad dokonalý a vyžaduje složit jší za ízení pro zm ení hladiny obou hladin, proto se k m ení pr tok nedoporu uje. kde

6.1.3

σ z = 1,05 1 + 0,2

Ostrohranné p elivy s bo ním zúžením

P elivy s bo ním zúžením vznikají vý ezy r zného tvaru ve st n p eliv . Mezi základní typy pat í obdélníkový (Poncelet v), trojúhelníkový, lichob žníkový, kruhový, parabolický, lineární, atd. a) obdélníkový (Poncelet v) p eliv (Obr. 6.6 a) Ostrohranný obdélníkový p eliv s bo ním zúžením (b < B) se nazývá Poncelet v p eliv (Obr. 6.6a). Je vhodný k m ení pr toku v malých vodních tocích a ve vodních kanálech s obdélníkovým pr ezem. Pro p epadové množství platí: Q = mb b 2 g h3 / 2 ,

( )][

[

mb = 0,405 + 0,0027 - 0,03 1 - Bb 1 + 0,55 h

( ) ], A 2 A0

(6.9)

kde mb je sou initel p epadu pro Poncelet v p eliv, kde A je pr to ný pr ez ve vý ezu a A0 pr to ný pr ez p ívodního žlabu.

Obr. 6.6 P elivy: a) obdélníkový; b) trojúhelníkový; c) Thomson v

- 62 (188) -

P epady

b) Trojúhelníkový (rovnoramenný) p eliv (Obr. 6.6 b) Pro m ení malých pr tok je trojúhelníkový p eliv p esn jší než Poncelet v. Dosazením rovnice vyjad ující ší ku p elivu v úrovni H - h: y = 2 ( H - h) tg

α 2

do (6.1), kde zanedbáváme vliv p ítokové rychlosti, obdržíme vztah pro výpo et p epadového množství p es trojúhelníkový p eliv: Q=µ

h1

2g

h1 / 2 2 ( H − h) tg

α dh;

2 α 2 2 Q = 2 µ 2 g tg H h13 / 2 − h15 / 2 . 2 3 5 Dále podle Obr. 6.6 b) vidíme, že H = h1. P evýšení hladiny nad nejnižším bodem p elivné hrany budeme dále zna it h a nazývat p epadovou výškou: 0

Q = 2 µ 2 g tg

α 2

h5 / 2 −

2 5/ 2 h ; 5

2 3 8 α 5/ 2 (6.10) Q = µ 2 g tg h , 15 2 kde sou initel µ ≈ (0.56 ~ 0.60) a je funkcí µ = f(h, α). Vzorec (6.10) je asto uvád n ve tvaru: Q = mt

2 g ( tg

α

) h5/ 2 ,

(6.11)

2 kde mt ≈ (0,299 ~ 0,320)

c) Thomson v p eliv (Obr. 6.6 c) Speciálním typem trojúhelníkového p elivu je Thomson v p eliv. Thomson prozkoumal p eliv s α = 90o, takže tg α2 = 1,0 a zjistil konstantní sou initel

µ = 0,593, resp. mt = 0,316. Z toho pro p epadové množství vyplývá: Q = 1,4 h 5 / 2 , s platností pro:

6.2

(6.12) B≥8h

a

s1 ≥ 3 h.

Jezové p elivy

Jezy jsou pohyblivé nebo pevné konstrukce umíst né v koryt toku, kterými se vzdouvá voda k r zným vodohospodá ským ú el m. Ostrohranné p elivy jsou jako vzdouvací objekty staticky nevhodné. Proto se jako vzdouvací konstrukce na tocích používají bu : - masívní p elivy - pevné jezy na kterých nelze p i prom nných pr tocích ízen manipulovat s hladinami; - nebo se pro ízenou manipulaci polohy hladiny nad p elivem používá pohyblivých hradících konstrukcí (uzáv r ) r zných typ - pohyblivé jezy.

- 63 (188) -


6.2.1

Výpo et p epadu p es jezová t lesa

Pro výpo et p epadového množství p es jezová t lesa m žeme použít rovnice podobné rovnici (6.3):

Q = σ z σ s m b0 2 g h03 / 2 ; kde σz

σs

b0 h m

k=

h0 = h +

α v 02

, (6.13) 2g sou initel zatopení (pro dokonalý p epad σz = 1, pro nedokonalý σz < 1); sou initel šikmosti (vliv p dorysného uspo ádání); ú inná ší ka p elivu; p epadová výška; sou initel p epadu p es jezová t lesa;

v 02 2g

h0 = h +

p ítoková rychlostní výška; v02 =h+k 2g

energetická p epadová výška - p epadová výška zv tšená o p ítokovou rychlostní výšku.

Rovnice (6.13) je asto uvád na ve tvaru: Q = σ z σ s M b0 h03 / 2 ,

M =m 2g

(6.14)

kde M je rozší ený sou initel p epadu p es jezová t lesa. Sou initel p epadu m závisí hlavn na tvaru p elivného t lesa a pak (podobn jako u ostrohranného p elivu) na p epadové výšce h.

6.2.2

Nedokonalý p epad

Nedokonalý p epad p es jez (Obr. 6.7) se po ítá obdobn jako u ostrohranného p elivu. Podle Bachm t va je p epad nedokonalý, jsou-li sou asn spln ny tyto podmínky: 1) hd + d > s; mezní hodnoty

a sou asn

2)

H H < s s

.

( ) pro p epad p es jez závisí na pom rné p epadové výšce H s *

(6.15)

*

h s

a na

sou initeli p epadu m, a tím i na typu jezu: Mezní hodnoty udává graf na Obr. 6.8.

Obr. 6.7 Nedokonalý p epad p es jez

Obr. 6.8 Grafikon mezních hodnot pro zatopený p epad p es jez

- 64 (188) -

P epady

Zmenšení pr to nosti p i nedokonalém p epadu se vyjád í sou initelem zatopení σz, který závisí na pom ru hh a áste n také na tvaru p elivné plochy. Jeho z

orienta ní hodnoty v závislosti na

podle Oficerova a Istominy udává Tab. 6.3.

hz h

Tab. 6.3 Sou initel zatopení σz pro p epad p es jez hz/h 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60

6.2.3

σz 0,990 0,986 0,980 0,970 0,960

σz

hz/h 0,65 0,66 0,68 0,70 0,72

0,940 0,930 0,921 0,906 0,889

hz/h 0,74 0,75 0,76 0,78 0,80

σz 0,869 0,858 0,846 0,820 0,790

σz

hz/h 0,82 0,84 0,85 0,86 0,88

0,756 0,719 0,699 0,677 0,629

hz/h 0,90 0,92 0,94 0,95 1,00

σz 0,575 0,515 0,449 0,412 0,000

Vliv p dorysného uspo ádání jez

Je-li p elivná hrana p dorysn šikmá k nabíhajícímu proudu (Obr. 6.2 b), je sou initel šikmosti σs < 1. Jeho hodnoty v závislosti na pom rné p epadové výšce hs a úhlu odklonu α p elivné hrany od b ehové áry jsou uvedeny v Tab. 6.4.

Tab. 6.4 Sou initel šikmosti jezu σs h/s o

α = 90 α = 75o α = 60o α = 45o

0,4

0,3

0,2

0,1

1,00 0,99 0,94 0,85

1,00 0,99 0,96 0,88

1,00 1,00 0,97 0,91

1,00 1,00 0,99 0,94

Lomené jezy (Obr. 6.2 d) rozložíme na ásti a ty ešíme podle p edchozího postupu. Také obloukové jezy (Obr. 6.2c) mají p ibližn stejnou kapacitu jako jezy šikmé, za odchylku α1 u nich považujeme úhel te ny s b ehovou árou. U t chto dvou typ se p epadající proud soust e uje dovnit koryta, takže neohrožuje b ehy pod p elivem, jak je tomu v bod "A" šikmého jezu na Obr. 6.2 b.

6.2.4

Bo ní kontrakce

Obr. 6.9 Bo ní kontrakce a sou initel ξ pro výpo et bo ního zúžení u pilí Není-li zúžení pr to ného profilu plynulé, plavné, nemohou proudová vlákna sledovat ostré záhyby zdiva (Obr. 6.9), setrva ností pokra ují i v zúžené ásti v p vodním sm ru a tím nastává zúžení (kontrakce) paprsku. P i st nách se vytvo í prostory vypln né víry se svislou osou, takže pr tokov ú inná ší ka bude b0 < b.

- 65 (188) -


V p ípadech, kdy nastává kontrakce, dosazujeme do vzorc pr to ného množství místo ší ky b ú innou ší ku b0: b0 = b - 0,1 n ξ h0 ;

na výpo et (6.16)

kde n je po et zúžení (na Obr. 6.9 je po et zúžení n = 2), h0 energetická p epadová výška, v0 p ítoková rychlost a ξ sou initel závislosti tvaru pilí e na bo ní zúžení podle Obr. 6.9.

6.2.5

Jezy obdélníkového p í ného pr ezu

Jezy obdélníkového p í ného pr ezu (Obr. 6.10 a) mají p epadové sou initele m závislé na pom ru tlouš ky t lesa t k výšce p epadajícího paprsku h (Tab. 6.5). Zaoblení vstupní hrany zv tšuje m zhruba o 5%. P i tlouš ce t lesa t < 0,67 h se jedná o ostrohranný p eliv a p i tlouš ce t lesa t > 3 h nastává p echod k p epadu p es širokou korunu. Pro p epadové pr to né množství platí (6.13).

Tab. 6.5 P epadové sou initele obdélníkového jezu t/h m M

1:2 0,42 1,86

2:3 0,41 1,82

1 0,37 1,64

2 0,33 1,46

3 0,32 1,42

Tato t lesa jsou sice stavebn jednoduchá, ale hydraulicky nevýhodná (nízký p epadový sou initel). Dále prostor pod p epadajícím paprskem nebývá v praxi zavzdušn n (na rozdíl od m rných p eliv ), voda z n ho vysává vzduch a vzniká podtlak, který sice pon kud zv tšuje pr to nost, ale zp sobuje jiné nep íznivé ú inky (vysávání malty ze spár zdiva, korozi, pulsaci, vibraci, ...).

6.2.6

Jezy lichob žníkového p í ného pr ezu

Lichob žníkový pr ez (Obr. 6.10 b až d) dob e vzdoruje zatížení, ale klade p epadající vod velký odpor. Proto se dnes prakticky nenavrhuje, n kdy je však nutné hydraulické posouzení starých konstrukcí. Sou initel p epadu m závisí na výšce jezu, sklonu st n a na pom ru ht (Tab. 6.6). P i zaoblení hran je možno u nízkých a st edních typ jez zvýšit m zhruba o 5%. Pro p epadové pr to né množství platí (6.13).

Obr. 6.10 Jezy s obdélníkovým a lichob žníkovým p í ným pr ezem

- 66 (188) -

P epady

Tab. 6.6 Sou initel p epadu m pro jezy lichob žníkového tvaru typ jezu

sklon st n

vysoké jezy s > 5m

st ední jezy 2<s<5m

nízké jezy s<2

n ≤ 0,5, ns ≤ 0,5 se sklon nou návodní st n=1 n=2 se sklon nou vzdušní st ns = 1 ns = 2 se sklon nou návodní st n=3 n=5 n = 10 se sklon nou vzdušní st ns = 3 ns = 5 ns = 10

h/t > 2

1 < h/t < 2

0,5 < h/t <1

0,43 - 0,42

0,40 - 0,38

0,36 - 0,35

0,44 0,43

0,42 0,41

0,40 0,39

0,42 0,40

0,40 0,38

0,38 - 0,37 0,36 - 0,35

0,42 0,40 0,38

0,40 0,38 0,36

0,38 0,36 ***

0,39 0,375 0,35

0,37 0,35 0,35

0,35 *** ***

nou nou

nou

nou

* * * - p echází v p epad p es širokou korunu

6.2.7

Proudnicová p elivná plocha

Proudnicová p elivná plocha vznikne p izp sobením tvaru p epadového t lesa tvaru spodního obrysu volného paprsku p epadu p es ostrou hranu. Rozhodující je vedení v oblasti koruny p elivu a blízko pod ní. Proudnicové p elivné plochy mají pom rn vysoký sou initel p epadu m. Proudnicové plochy se lení (podle zp sobu vedení paprsku a z toho vyplývajících tlak ) na p elivné plochy: - tlakové (nap . Smetanova); - bezpodtlakové (nap . Scimeniho); - a podtlakové. Pro každou výšku h p epadajícího paprsku vycházejí jiné rozm ry proudnicové plochy jezového t lesa, a proto se proudnicová lícní plocha navrhuje obvykle pro návrhovou p epadovou výšku rovnou maximální, která má být p evedena (hn = hmax ). Tím vylou íme nep íjemné podtlaky na p elivné ploše pro všechny pr toky.

P elivné plochy bezpodtlakové p ímo odpovídají spodnímu omezení volného paprsku p epadajícího p es ostrou hranu, takže t leso p elivu k paprsku jen doléhá a paprsek na n teoreticky netla í ani se od n ho neodlepuje. Pro bezpodtlakovou Scimeniho plochu p i návrhové p epadové výšce dosahuje sou initel p epadu mn = 0,51. P elivné plochy podtlakové mají zaoblenou korunu, ale její zaoblení je v tší než zak ivení volného paprsku, takže zde vzniká podtlak. Sáním se sice zvyšuje sou initel p epadu m, ale mohou zde nastat pulsace tlaku, které mají vliv na stabilitu konstrukcí. Proto tyto plochy vyžadují p i aplikaci d kladný rozbor proud ní a musí být ov eny modelovými zkouškami. Sou initel p epadu dosahuje až velikosti m = 0,57.

- 67 (188) -


P elivné plochy tlakové mírn transformují zákonitý tvar volného p epadového paprsku tak, že paprsek podpírají a tím odstra ují s jistou bezpe ností podtlaky za cenu snížení sou initele p epadu. Jako p íklad uvedeme Smetanovu p elivnou plochu. Pro výpo et p epadového množství platí (6.13) a sou initel p epadu m pro návrhovou výšku je podle Smetany: m = 0,499 ; M = 2,17. (6.17) P i menších p epadajících výškách je vodní paprsek jezovým t lesem "podep en" a p sobí na n tlakem. P epadový koeficient se pon kud zmenšuje a to podle Smetany na hodnotu: m = 0,499 0,63 + 0,37

6.2.8

h hn

.

(6.18)

N které typy pohyblivých jez

Sou initel p epadu m pro vybrané typy pohyblivých jez m žeme uvažovat hodnotou: - válcový jez m = 0,40; - jezy klapkové m = 0,43 ∼ 0,45; - sektorové nebo hydrostatické jezy m = 0,32 ∼ 0,48 (podle výšky a plynulosti vedení paprsku). To jsou však pouze hrubé údaje platné pro základní polohu jez . V podstat m žeme íci, že jde o r zné typy p eliv . Od ostrohranného (nap . p i vzty ené klapce) až po p ípad, kdy je paprsek veden plochou konstrukce (nap . p i sklopené klapce). U sklopených hydrostatických jez nastává i p epad p es širokou korunu. asto sou initel p epadu pohyblivých jez ur ujeme podle obdobných typ p eliv pevných.

6.3

P epad p es širokou korunu bez bo ního zúžení

P epadem p es širokou korunu nazýváme p epad p es široký práh s vodorovnou korunou, který vystupuje nad dno toku (Obr. 6. 11). Tlouš ka koruny t musí být taková, že proud p ilne k vodorovné korun a prochází s ní p ibližn rovnob žn . Podle pokus to nastane p ibližn p i: t ≥ (2 až 3) h (6.19)

Obr. 6.11 Dokonalý p epad p es širokou korunu P i dokonalém p epadu p es širokou korunu m že mít proud bu tvar podle Obr. 6.11 b nebo se v pr ezu "1" nad korunou sníží hladina - Obr. 6.11 a. P i výpo tu vyjdeme z Bernoulliho v ty pro pr ez "0" p ed prahem a pro pr ez "1" - Obr. 6.11 a. Umístíme-li srovnávací rovinu do roviny koruny p elivu, bude platit:

- 68 (188) -

P epady

h+

α v 02 2g

= h1 +

α v12 2g

+ hz ,

(6.20)

kde hz jsou ztráty mezi pr ezy "0" - "1" a m žeme je vyjád it: v12 . 2g

ξ

hz =

(6.21)

Dosazením (6.21) do (6.20) a ozna íme-li h0 = h + v12 (α + h0 − h1 = 2g 1

v1 =

α+

α v02 , obdržíme: 2g

ξ ),

2 g (h0 − h1 ) .

ξ

Zlomek vyjad uje sou initel rychlosti ϕ =

1 α+

ξ

, tedy:

v1 = ϕ 2 g (h0 − h1 ) . Je-li A1 pr to ná plocha v profilu "1", pr tok bude: Q = ϕ A1

2 g (h0 − h1 ) .

Pro obdélníkový pr ez ší ky b pak platí:

Q = ϕ b h1

2 g (h0 − h1 ) .

(6.22)

Do (6.22) m žeme zavést zúžení paprsku po výšce:

ε1 =

h1 , h0

Q = ϕ b ε 1 h0

(6.23) 2 g (h0 − ε 1 h0 ) = ϕ ε 1 1 − ε 1 b 2 g h03 / 2 .

Ozna íme-li m = ϕ ε1 1 − ε1

(6.24)

jako sou initel p epadu, výsledný výraz bude: Q = m b 2 g h03 / 2 .

(6.25)

Pr tok tedy závisí na výšce h0 a na sou initeli m, tedy vlastn na hloubce h1 v nejužším míst paprsku. Pokud nebude nejužší místo paprsku zatopeno dolní vodou, nebude m závislé na pr b hu hladiny za pr ezem "1".Pokusy ukázaly, že: h1 ≈ (0,80 až 0,90) hk, kde hk je kritická hloubka (Kap. 8). Proto zde vznikne vodní skok (Kap. 9), zpravidla vlnovitý, a jeho druhá vzájemná hloubka (Kap. 9) bude: h2 = ε 2 h0 .

(6.26)

Pro ε1 a ε2 byly odvozeny výrazy:

ε1 =

2 ϕ 2 (2 ϕ 2 − 1) , 1 + 2 ϕ 2 (2 ϕ 2 − 1)

ε2 =

- 69 (188) -

2ϕ2 , 1 + 2 ϕ 2 (2 ϕ 2 − 1)

(6.27)


a dosazením (6.27) do (6.24) obdržíme: m =ϕ

2 ϕ 3 (2 ϕ 2 − 1)

[1 + 2 ϕ

2

(2 ϕ − 1) 2

]

3/ 2

.

M žeme tedy na základ ϕ vyjád it sou initele p epadu m a hloubky h1 a h2. Pro ideální kapalinu by bylo ϕ = 1 a tedy ε1 = ε2 = 2/3, m =

2 3

3/ 2

= 0,385.

Jen v tomto p ípad by pak nad korunou byl pohyb kritický s hloubkou hk. Protože ztráta vzniká p edevším p i vstupu na práh, sou initel p epadu m a sou initel zúžení paprsku po výšce ε1 závisí hlavn na tvaru tohoto vstupu, jak ukazuje Tab. 6.7.

Tab. 6.7 P epadové sou initele široké koruny ϕ

Tvar p epadového prahu p epad bez ztrát (abstraktní p ípad) vtoková ást prahu dob e zaoblena, p ítok k p epadu velmi plavn vytvo en práh se zaoblenou vtokovou hranou práh se zkosenou vtokovou hranou práh s ostrohranným vtokem práh s ostrohranným vtokem p i nep íznivých pom rech (drsný povrch)

m

ε1

M

ε2

1,000 0,385

1,70 0,670 0,670

0,951 0,936 0,912 0,900

0,36 0,35 0,33 0,32

1,60 1,55 1,46 1,42

0,881

0,30

1,33 0,465 0,830

0,600 0,570 0,530 0,510

0,730 0,760 0,790 0,805

Vliv dolní vody, tj. nedokonalý p epad p es širokou korunu (Obr. 6.12) nastává tehdy, když hladina vody za p elivem p estoupí úrove h2 (6.26) nad korunou, tj. jestliže platí: hz = hd - s > ε 2 h0 ,

(6.28)

kde ε2 závisí na tvaru prahu (Tab. 6.7). Bernoulliho rovnice bude pro profil p ed p elivem a zatopený profil nad p elivem - p i zatopení hz = hd - s (Obr. 6.12): h0 = h z +

α v z2 2g

+

ξ

v z2 , 2g

v z = ϕ 2 g ( h0 − h z ) .

Pr tok obdélníkovým pr ez ší ky b bude p i nedokonalém p epadu p es širokou korunu:

Q = ϕ b hz 2 g (h0 - hz ) .

(6.29)

Obr. 6.12 Nedokonalý p epad p es širokou korunu

- 70 (188) -

P epady

P . 6.1 V obdélníkovém žlabu ší ky b = 1,8 m p epadá voda p es Bazin v p eliv podle Obr. 6.13. Výška p epadového paprsku je h = 0,6 m, tlouš ka p elivné st ny je t = 0,02 m, výška p elivu nade dnem p ívodního koryta s1 = 0,8 m, výška p elivu nade dnem odpadního koryta s = 1,1 m. Stanovte p epadové množství Q, pro p ípad, kdy: a) hda = 0,7 m; b) hdb = 1,3 m. h = 0,60 m; s1 = 0,80 m; s = 1,10 m; b = 1,80 m; g = 9,81 m/s2;

a) hda = 0,70 m; Qa = ? m3/s;

b)

hdb = 1,30 m; Hb = 0,40 m; hzb = 0,20 m; Qb = ? m3/s;

Obr. 6.13 ešení: 1. jedná se o Bazin v p eliv (p eliv bez bo ní kontrakce); 2. a) b)

jedná se o dokonalý p epad (hda < s); m že se jednat o nedokonalý p epad (hdb > s) - podmínky (6.6): 1) hdb = 1,30 m > s = 1,10 m; ∧ Hb H = 0,364 < = 0,72 ∧ 2) ; h pro = 0 , 545 - Tab. 6.1 s s * s v p ípad b) se jedná o nedokonalý p epad, protože jsou spln ny podmínky pro vznik nedokonalého p epadu;

3. meze platnosti pro sou initel p epadu jsou spln ny: 0,1 m < h = 0,5 m < 1,24 m; 0,2 m < b = 1,8 m < 2,0 m; 0,2 m < s1 = 0,8 m < 2,0 m; sou initel p epadu podle Bazina (6.4) je:

0,003 h m = 0,405 + 1 + 0,55 h h + s1

2

0,003 0,6 m = 0,405 + 1 + 0,55 0,6 0,6 + 0,8

; 2

= 0,451;

4. a)

jedná se o dokonalý p epad bez bo ního zúžení, s vodorovnou svislou p elivnou plochou;

b)

jedná se o nedokonalý p epad bez bo ního zúžení, s vodorovnou svislou p elivnou plochou a sou initel zatopení (6.8):

σ zb = 1,05 1 + 0,2

h zb s

3

Hb 0,20 = 1,05 1 + 0,2 h 1,10

- 71 (188) -

3

0,40 ; 0,60


σzb = 0,951; 5. a)

p epadové množství se vypo ítá podle rovnice (6.3):

Qa = m b 2 g h 3 / 2 = 0,451 * 1,8 2 * 9,81 0,6 3 / 2 = 1,671 m 3 /s ; b)

p epadové množství se vypo ítá podle rovnice (6.7):

Qb = σ z m b 2 g h 3 / 2 = 0,951 * 0,468 *1,5 2 * 9,81 0,63 / 2 =1,589 m 3 /s . Qa = 1,671 m3/s; Qb = 1,589 m3/s.

P es p eliv p epadá v p ípad : a) - dokonalý p epad: b) - nedokonalý p epad:

P . 6.2

V obdélníkovém koryt je práh (Obr. 6.11 a) se o výšce s1 = s = 1 m, ší ka prahu je t = 3 m. Práh má zaoblenou vstupní hranu. P epadová výška je h = 1,0 m, ší ka koryta p ed jezem B = 10 m je stejná jako ší ka p elivu b = 10 m. Vypo ítejte pr tok Q, je-li hladina vody v koryt hd = 1,2 m. A0 = (h + s1) B ; s1 = s = 1,0 m; t = 3,0 m; A0 = ((1,0 + 1,0)*10,0) m2; B = b = 10,0 m; A0 = 20,0 m2; h = 1,0 m; hd = 1,2 m; α = 1,1; Q = ? m3/s; ešení: 1. t ≥ (2 až 3) h.=> jedná se p epad p es širokou korunu; 2. m že se jednat o nedokonalý p epad (hd > s); 3. ur ení sou initel pro p epad p es širokou korunu: Tab. 6.7

m = 0,35 ,

ε1 = 0,570 ,

ε2 = 0,760 ,

ϕ = 0,936;

protože p epadové množství p es širokou korunu je funkcí p ítokové rychlosti, která není p edem známa a p ítoková rychlost je vlastn funkcí hledaného p epadového množství, je vhodné použít itera ního postupu, tedy postupu postupného p ibližování do chyby velikosti |Qi+1 - Qi| < 0,01 m3/s. V každé iteraci je nutno dále zjiš ovat, jedná-li se o p epad dokonalý nebo nedokonalý: 1. iterace:

v první iteraci p edb žn spo ítáme výtokové množství bez uvažování p ítokové rychlosti v0, kterou p edem neznáme: 1.1. v0(1) = 0 m/s

=> h0(1) = h +

( )

α v0(1) 2g

2

= h = 1,0 m ;

1.2. druhá vzájemná hloubka:

h2(1) = ε 2 h0(1) = 0,76 m ;

1.3. podm. nedok. p epadu:

hz = hd - s > ε 2 h0 ;

h z = 0,2 m < ε 2 h0(1) = 0,76 m => DOK.;

1.4. jedná se o dokonalý p epad, pro pr tok platí:

( )

Q (1) = m b 2 g h0(1)

- 72 (188) -

3/ 2

= 15,503 m 3 /s ;

P epady

2. iterace:

výpo et provedeme s opravenou p ítokovou rychlostí, kterou obdržíme z celkového pr toku z první iterace a pr to né plochy v p ívodním obdélníkovém koryt : 2.1. v0( 2 ) =

Q (1) = 0,775 m/s => A0

h0( 2 ) = h +

( )

α v 0( 2 ) 2g

2

= 1,034 m ;

2.2. druhá vzájemná hloubka: h2( 2) = ε 2 h0( 2) = 0,788 m ; 2.3. podm. nedok. p epadu: hz < ε 2 h0( 2 ) => DOK.; 2.4. jedná se o dokonalý p epad, pro pr tok platí:

( )

3/ 2

Q (2) = m b 2 g h0( 2 )

= 16,293 m 3 /s ;

|Q(2) - Q(1)| = 0,790 > 0,01 m3/s; 3. iterace:

jelikož rozdíl mezi 1. a 2. iterací není požadovaný, výpo et pokra uje: 3.1. v0( 3) =

Q (2) = 0,815 m/s => A0


h0( 3) = 1,034 m ; h2( 3) = ε 2 h0( 3) = 0,788 m ;

3.3. podm. nedok. p epadu: hz < ε 2 h0( 2 ) => DOK.; 3.4. jedná se o dokonalý p epad, pro pr tok platí:

( )

Q (3) = m b 2 g h0( 3)

3/ 2

= 16,376 m 3 /s ;

|Q(3) - Q(2)| = 0,083 > 0,01 m3/s; 4. iterace

jelikož rozdíl mezi 2. a 3. iterací není požadovaný, výpo et pokra uje: 4.1.

v0( 4 ) =

Q ( 3) = 0,819 m/s A0


=>

h0( 4 ) = 1,038 m ;

h2( 4 ) = ε 2 h0( 4 ) = 0,789 m ;

4.3. podm. nedok. p epadu: hz < ε 2 h0( 2 ) => DOK.; 4.4. jedná se o dokonalý p epad, pro pr tok platí:

( )

Q (4) = m b 2 g h0( 4 )

3/ 2

= 16,385 m 3 /s ;

|Q(4) - Q(3)| = 0,009 < 0,01 m3/s.

P epadové množství je Q = 16,385 m3/s.

Kontrolní otázky - Jaký je rozdíl mezi p elivem a p epadem? - Jakých hodnot nabývá sou initel p epadu a na em závisí? - Jaké znáte typy p eliv ? - Co vyjad uje sou initel zatopení?

- 73 (188) -

Ustálené tlakové proud ní vody v potrubí

7


Pohybem vody v tlakovém potrubí jsme se již áste n zabývali. Vysv tlili jsme pojmy tlakové áry a áry energie (Obr. 4.3). Nyní tyto poznatky rozší íme o výpo et ztrát, které vznikají p i pohybu vody v potrubí. Potrubím rozumíme za ízení, kterým se dopravují kapaliny. Potrubí rozd lujeme podle r zných hledisek: - podle materiálu, z kterého je potrubí (ocelové, litinové, betonové, kameninové, sklen né, azbestocementové, plastové, z gumotextilií, ...); - podle tvaru p í ného pr ezu - kruhové, eliptické, podkovovité, vejcovité, obdélníkové, ...; - podle konstruk ního hlediska: - jednoduché potrubí, které dopravuje kapalinu jedinou trubní v tví konstantního pr m ru; - složené potrubí, které má prom nný pr m r nebo se rozv tvilo, aby umožnilo dopravu na n kolik míst spot eby (vodovodní potrubí) nebo se k n mu naopak p ipojují další potrubí, které p ivádí kapalinu od jiných zdroj ; - podle hydraulického hlediska: - tlakové potrubí (vodovodní potrubí, tlakové p ivad e, závlahové potrubí, ...); - potrubí s volnou hladinou (kanaliza ní stoky, drenážní potrubí, beztlakové p ivad e a odpady, ...), která se hydraulicky nikterak neliší od otev ených koryt, a proto i jejich výpo et bude stejný (Kap. 8). V praxi používáme nej ast ji potrubí kruhového pr ezu, protože je hydraulicky nejvýhodn jší, dob e odolává vnit nímu p etlaku a i po stránce výrobní je jednoduché. Proto se budeme zabývat hlavn potrubím s kruhovým pr ezem, avšak úvahy lze aplikovat i na potrubí libovolného tvaru.

7.1

Hydraulické odpory

Ur ení ztrát energie p i ustáleném pohybu kapaliny pat í k základním otázkám hydrauliky. V podstat rozeznáváme dva druhy t chto odpor (ztrát). Ztráta t ením vzniká v celé délce proudu t ením mezi jednotlivými vrstvami vazké kapaliny a t ením kapaliny o pevné st ny vedení proudu. Ztráta t ením je tedy úm rná délce proudu. Místní ztráty vznikají deformací rychlostního pole (rozložení vektoru bodové rychlosti ve vedení), tedy nap . rozší ením nebo zúžením proudu. P i proud ní kapaliny takovými místy vznikne hlavní proud, jehož vymezení od ostatní kapaliny bývá asto nestabilní. Stykem se sousedními pomalejšími ásticemi vzniká snadno vírová plocha. Vazkostí a deformací proudu se pohyb vzniklých vír brzdí a ást mechanické energie p echází v jinou. Tato disipace ásti mechanické energie je vlastní podstatou místních ztrát, a koliv zde samoz ejm p istupuje i t ení. Ztráty m žeme vyjád it z Bernoulliho rovnice v proudu skute né kapaliny (4.23), po úprav pak:

p1 α v12 p 2 α v 22 hz = h1 + + − h2 + + . ρ g 2g ρ g 2g

- 74 (188) -

(7.1)


Celkovou ztrátu hz dostaneme složením jednotlivých ztrát, jež se provede se tením. Dopouštíme se tím však jisté nep esnosti, pon vadž zm na proud ní zp sobená místním odporem v jednom míst m že ovlivnit velikost místních odpor v dalším úseku. Bude tedy p ibližn platit:

hz =

ht +

hm ,

(7.2)

kde Σht je sou et všech ztrát t ením na uvažovaném úseku a Σhm sou et všech ztrát místních. Velikost ztrát se ur uje m ením, a to za ustáleného pohybu z (7.1) zm ením rozdíl geodetických výšek (h2 - h1), tlakových p −p (piezometrických) výšek a rychlostních výšek α v 2−gα v na za átku ρg 1

2 1

2

2 2

a konci p íslušného úseku. Na vodorovném potrubí stálého pr ezu bude ztrátová výška dána rozdílem tlakových výšek (v1 = v2 a h1 = h2): p − p2 ∆ p hz = 1 = . (7.3) ρg ρg Ztráta t ením a místní ztráta se obvykle vyjad ují jako ást rychlostní výšky ve tvaru: v2 hz = κ 1 , (7.4) 2g kde κ je sou initel p íslušné ztráty.

7.2

Základní rovnice pro rovnom rný pohyb kapalin

Uvažujme tlakové potrubí konstantního pr to ného pr ezu A, v n mž proudí rovnom rn voda. P ipojíme-li v profilech "1" a "2" piezometry (svislé tlakové trubky), ustálí se v nich hladina ve výši ρp1g a ρp2g , udávající tlakové výšky v p íslušných profilech. Výšky osy potrubí nad zvolenou srovnávací rovinou jsou h1 a h2. Protože pr ez potrubí je konstantní, je pr ezová rychlost v také konstantní. Kdyby proud ní bylo beze ztrát, bylo by podle Bernoulliho rovnice: h1 +

p1 p v2 v2 + = h2 + 2 + , ρ g 2g ρ g 2g

z ehož plyne, že by hladiny v obou piezometrech byly v téže vodorovné rovin . Ve skute nosti vzniká ztráta hz. Proto áry tlaku a energie ve sm ru proud ní klesají - energie ubývá, ást mechanické energie se p em uje v jiné formy energie (nap . teplo).

1

2

Obr. 7.1 Rovnom rný pohyb kapaliny - 75 (188) -


Vyjm me z proudu kapaliny p i rovnom rném proud ní s pr m rnou rychlostí v = konst. výsek proudu o délce L mezi pr ezy "1" a "2" (Obr. 7.1). P sobící síly musí být p i rovnom rném pohybu v rovnováze. P sobení okolní kapaliny nahradíme tlakovými silami na elní plochy: P2 = p 2 A2 . (7.5) P1 = p 1 A1 ; Dále na tento výsek proudu p sobí vlastní tíha G = ρ g A L. Pr m t tíhy do osy proudu je: G sin α = ρ g A L sin α = ρ g A (h1 - h2); a odpor t ením na st nách potrubí:

(7.6)

T = L O τ0 , (7.7) kde O je omo ený obvod pr to ného pr ezu a τ0 smykové nap tí p sobící po ploše na styku kapaliny a vedení. Omo eným obvodem pr to ného pr ezu rozumíme délku styku kapaliny s tuhými st nami - v p ípad tlakového potrubí je omo ený obvod roven obvodu potrubí. Na proud ješt p sobí silový ú inek st n omezujících proud Fn, tyto síly jsou však kolmé k ose proudu, takže jejich pr m t bude do sm ru pohybu nulový. P sobící síly jsou v rovnováze p i rovnom rném pohybu a podmínka rovnováhy sil p sobících na výsek proudu ve sm ru osy potrubí je: P1 - P2 + G sin α - T = 0. Dosadíme-li do (7.8) rovnice (7.5) až (7.7), obdržíme:

(7.8)

A p1 − A p 2 + ρ g A (h1 − h2 ) − L O τ 0 = 0 . Vyd lením hustotou, tíhovým zrychlením a pr to nou plochou obdržíme: p1 p2 O τ0 + h1 − + h2 − L = 0. ρg ρg A ρg

(7.9)

Zavedením hydraulického polom ru R, který je definován jako pom r pr to ného pr ezu a omo eného obvodu:

A , O nabude (7.9) po úprav tvaru: R=

(7.10)

τ L p1 p2 . + h1 − + h2 = 0 ρg ρg ρg R

(7.11)

Protože p i rovnom rném proud ní je v1 = v2, vyjad uje levá strana podle rovnice (7.1) ztrátu hz. Tuto ztrátu charakterizujeme pom rnou hodnotou p íslušející jednotce délky:

hz , (7.12) L kde i je hydraulický sklon (sklon áry energie) pot ebný k p ekonání odpor . Obdržíme tedy: i=

hz =

τ0 L ; ρg R

- 76 (188) -


hz =ρ g Ri . (7.13) L Tím jsme obdrželi obecn platnou závislost pro rovnom rný pohyb kapaliny, a to jak pro tlakové proud ní v potrubích tak i pro otev ená koryta p i proud ní s volnou hladinou. Upravme dále (7.13) d lením hustotou ρ:

τ0 = ρ g R

τ0 = g Ri. ρ Tato veli ina má rozm r tverce rychlosti, a platí:

τ0 = g R i = v* , ρ

(7.14)

kde v* se nazývá t ecí rychlost a charakterizuje ztrátu t ením vyjád enou v jednotkách rychlosti.

7.3

Laminární a turbulentní proud ní

Odpory p i proud ní vazkých tekutin jsou podstatn ovlivn ny strukturou pohybu jednotlivých ástic. Reynolds experimentáln prokázal, že existují dva režimy pohybu: - laminární (neboli vrstevnaté, z lat. lamina = vrstva); - turbulentní ( ili vírnaté, z lat. turbulentus = nespo ádaný). P i laminárním režimu proud ní jednotlivé ástice procházejí v drahách soub žných a mezi sebou se nemísí. Turbulentní režim proud ní se vyzna uje nepravidelnou pulsací složek rychlosti a tlaku kolem jejich st ední hodnoty. ástice se navzájem mísí. To nám znázor uje známý pokus provedený Reynoldsem v roce 1883 (Obr. 7.2).

L

Obr. 7.2 Reynolds v pokus

Obr. 7.3 Závislost ztráty t ením na rychlosti

Reynolds provád l pokusy s rovnom rným proud ním vody v potrubí (Obr. 7.2) a sledoval rozdíly hladin v piezometrech. Z tohoto pokusu je možné ur it ztrátu t ením hz ve vodorovné trubici na dráze L úbytkem tlakové výšky v piezometrech: hz = i L a její závislost na rychlosti, která je udávána ve tvaru:

- 77 (188) -


hz = a v m . Logaritmováním obdržíme závislost, která je p ímková (Obr. 7.3): log hz = log a + m log v . Ukazuje se, že p i laminárním pohybu rostou ztráty za postupného zvyšování rychlosti podle p ímky o sm rnici m = 1, tedy v laminárním režimu platí: hz = a v . P i p ekro ení rychlosti vB velikost ztráty náhle roste, takže se p i tém stejné rychlosti dostaneme skokem do bodu C. P i dalším zvyšování rychlosti pak rostou ztráty podle p ímky se sm rnicí m > 1. P i snižování rychlosti se skok v tomto míst (bod B) neobjeví a ztráty klesají až do zlomu v bod A. Laminárnímu režimu tedy odpovídá ást grafu nalevo od bodu A (grafu na Obr. 7.3). Turbulentní režim je dán ástí grafu napravo od bodu C. Exponent m má v turbulentní režimu hodnotu m = 1,75 až 2,0. Nej ast ji nabývá hodnoty m = 2, a proto hovo íme o kvadratickém pásmu odpor : hz ≈ a v 2 . Mezi body ABC se nachází p echodná oblast. V této oblasti m že být pohyb laminární i turbulentní, laminární režim však zde m že p i jakémkoliv vn jším popudu p ejít okamžit v turbulentní. Pro p echod režim proud ní je tedy rozhodující bod A. Toto rozmezí m žeme charakterizovat rychlostí v, pr m rem trubice D a kinematickou viskozitou kapaliny ν, které vzájemn tvo í bezrozm rnou veli inu - Reynoldsovo kritérium:

Re =

vD

υ

.

Pr m r trubice D m žeme obecn ji vyjád it pomocí charakteristického délkového rozm ru proudu. U otev ených koryt jako charakteristický rozm r proudu uvažujeme hydraulický polom r (7.10), pak:

Re R =

vR

υ

,

a protože pro kruhový pr to ný pr ez je:

R=

A π D2 D = = , O 4π D 4

znamená to, že:

Re R =

Re . 4

Hranici A odpovídá podle pokus pro všechny tekutiny stálá hodnota Reynoldsova kritéria, kterou m žeme ozna it jako kritickou hodnotu v kruhovém potrubí:

Re ≈ 2 320 .

- 78 (188) -


P i menší hodnot Reynoldsova kritéria Re < 2320 bude zajišt n laminární režim proud ní. Horní rozmezí (bod C) již není tak ur ité, závisí na intenzit stup ování rychlosti i na p ípadném usm r ování proud ní. V obvyklých podmínkách se p i plynule pozvolném stup ování rychlosti uchoval laminární režim až do Re ≈ 13 800. P i v tší hodnot Re m žeme uvažovat, že se jedná o režim turbulentní, pon vadž jen mimo ádn byl udržen nestabilní laminární režim proud ní až do hodnoty asi Re = 104 až 105. Pro otev ená koryta bude zaru en laminární režim proud ní do hodnoty Reynoldsova kritéria Re:

Re R ≈

2 320 = 580 . 4

V mezích ReR = 580 ~ 3 450 bude p echodná oblast a turbulentní pohyb m žeme uvažovat p i ReR > 3 450. Podmínky pro laminární pohyb jsou spln ny za malých rychlostí v malých pr to ných pr ezech nebo u siln vazkých kapalin.

7.4

Ztráty t ením

Výsledky m ení ukazují, že hydraulický sklon i je u turbulentního proud ní zhruba úm rný kvadrátu pr ezové rychlosti. Zapišme tuto úm ru ve tvaru: h τ0 1 = R i = 2 v2 ; i= z ; C ρg L v=C Ri ;

Q = Av = AC Ri ,

(7.15)

kde C je rychlostní sou initel. Rovnice (7.15) je základní rovnice, která udává závislost mezi rychlostí rovnom rného proud ní a hydraulickým sklonem i. Tato rovnice byla p vodn odvozena pro otev ená koryta Chézym v roce 1775 a nazývá se podle autora Chézyho rovnice. Pro kruhové potrubí o polom ru r a pr m ru D hydraulický polom r nabývá tvaru: R=

A π r2 r D = = = . O 2π r 2 4

(7.16)

Úpravou (7.15) obdržíme:

4 1 2 v . C2 D Zavedeme-li ozna ení: i=

4 λ = , 2 2g C

(7.17)

vyjád íme hydraulický sklon i a ztrátu hz ve vztahu k rychlostní výšce a sou initel λ jako bezrozm rné závislost:

v2 2g

íslo. Pak obdržíme Darcy-Weisbachovu

- 79 (188) -


i=λ

1 v2 ; D 2g

hz = i L = λ

L v2 , D 2g

(7.18)

což je základní vztah pro výpo et ztráty t ením v potrubí p i rovnom rném proud ní vody.

7.4.1

Sou initel t ení

Sou initel t ení (odporový sou initel) λ, závisí v podstat na drsnosti potrubí, jeho pr m ru a hodnot Reynoldsova kritéria (tedy na pr ezové rychlosti, pr m ru potrubí a vazkosti kapaliny). Vyjdeme-li od nejmenších rychlostí, m žeme vymezit pro sou initele t ení λ n kolik oblastí s r znými zákonitostmi: 1. laminární režim proud ní, kde λ závisí pouze na hodnot Reynoldsova kritéria (λ = f (Re)):

64 , Re což je v logaritmické soustav znázorn no p ímkou;

λ=

(7.19)

2. oblast p echodu mezi koncem laminárního proud ní a pln vyvinutým turbulentním proud ní;

Obr. 7.4 Drsnost st n ∆ a mezní vrstva δ u st ny potrubí 3. turbulentní proud ní hydraulicky hladké potrubí v turbulentním režimu, kde λ závisí jen ješt na hodnot Reynoldsova kritéria λ = f(Re). Víry, které vznikají u výstupk v hydraulicky hladkých potrubích, z stávají p i st n uvnit mezní vrstvy a neodtrhávají se od ní a tím nezv tšují turbulenci proud ní. Tyto víry proto nemají vliv na odpory v potrubí. Jedná se tedy o p ípad, kdy turbulentní proud ní má mezní vrstvu n kolikanásobn tlustší (Obr. 7.4), než je výška výstupk st n. Potrubí považujeme za hydraulicky hladké, pokud platí: δ > 5 ∆,

kde

δ=

11,8 v g Ri

=

11,8 µ

ρ g Ri

=

23,6 v g Di

=

23,6 µ

ρ g Di

, (7.20)

kde δ je tlouš ka mezní vrstvy, ∆ drsnost (Obr. 7.4), v kinematická viskozita, µ dynamická viskozita, g tíhové zrychlení, R hydraulický polom r, D pr m r potrubí, ρ hustota a i sklon áry energie. Mezní vrstva se skládá z laminární podvrstvy a z p echodné oblasti. Tlouš ka mezní vrstvy δ se se zmenšováním rychlosti zv tšuje. Výrazy pro ur ení sou initele t ení λ jsou:

λ=

- podle Blasiuse:

- 80 (188) -

0,3164 ; Re 0,25

(7.21)


- podle Prandtlova-Kármánova výrazu:

1

λ

= 2 log

Re λ ; 2,51

(7.22)

p echodná oblast ztrát t ením v turbulentním režim, kde na λ má vliv Re i relativní drsnost D∆ - λ = f (Re, D∆ ), kde D je pr m r potrubí. kvadratická oblast ztrát t ením v turbulentním režimu s pln vyvinutým turbulentním pohybem u hydraulicky drsných potrubí (potrubí u kterých se neuplatní mezní vrstva) V této oblasti odpadá závislost λ na Re a sou initel t ení λ závisí jen na relativní drsnosti λ = f ( D∆ ). Pro λ platí Nikurads v vztah:

λ=

0,25 log

3, 7 D

2

.

(7.23)

∆

proud ní je v kvadratické oblasti ztrát t ením p i Re >

191 D λ ∆

.

V celé oblasti turbulentního proud ní platí pro technická potrubí ColebrookWhiteova rovnice: 1

λ

= - 2 log

2,51 Re λ

+

∆ 3,7 D

,

(7.24)

kde ∆ je absolutní drsnost st n (Tab. 7.1) a Re hodnota Reynoldsova kritéria. P i velké hodnot Re (Re → ∞) p ejde tento výraz v Nikuradseovu rovnici (7.23), zatímco p i malých hodnotách Re bude první len v závorce podstatn p evyšovat druhou ást, takže se výsledná hodnota p iblíží PrandtlovuKármánovu výrazu (7.22). Grafické znázorn ní Colebrook-Whiteovy rovnice p edstavuje Moodyho diagram (Obr. 7.5), který umož uje pro hodnoty Re a pro pom r D∆ ur it velikost sou initele t ení λ.

Obr. 7.5 Moodyho diagram pro ur ení sou initele t ení λ v závislosti na hodnot Reynoldsova kritéria a Re a relativní drsnosti D∆

- 81 (188) -


Tab. 7.1 Orienta ní hodnoty drsnosti st n ∆ pro potrubí materiál potrubí a druh potrubí tažené ze skla, m di mosazi, hliníku, plastických hmot

stav potrubí technicky hladké

∆ [mm] až 0,0015

nové 0,05 až 0,10 vy išt né po delším používání 0,15 až 0,20 mírn zreziv né, lehce inkrustované až 0,40 až 3 siln inkrustované nýtované ocelové 1 až 5 (i 10) uvnit asfaltované 0,125 nové 0,25 až 1,00 litinové zreziv lé 1,00 až 1,50 inkrustované 1,50 až 3,00 galvanicky pokovené ocelové 0,15 d ev né 0,20 až 1,00 hlazené 0,3 až 0,8 betonové drsné 1,0 až 3,0 azbestocementové (eternitové) 0,10 ocelové sva ované, b žná jakost

7.4.2

Rychlostní sou initel C

V Kap. 7.4 jsme poznali, že k výpo tu rovnom rného proud ní v potrubí m žeme také použít Chézyho rovnici (7.15). Rychlostní sou initel charakterizuje vliv drsnosti st n potrubí nebo koryta, tvar pr to ného pr ezu a výjime n i sklon. Pro výpo et rychlostního sou initele C byla odvozena ada empirických výraz . Uvádíme pouze výpo et podle Pavlovského a Manninga: 1 - podle Pavlovského: C = R y , y = 2,5 n - 0,13- 0,75 R ( n - 0,1) ; (7.25) n 1 - dle Manninga: (7.26) C = R1 / 6 ; n kde n je drsnostní sou initel (Tab. 7.2) a R je hydraulický polom r (7.10). Manning v výraz je vlastn zvláštním p ípadem vzorce Pavlovského (y ≈ 1/6).

Tab. 7.2 Drsnostní sou initel n pro potrubí Druh omo eného obvodu

n

úpln hladké povrchy (smaltované, glazurované, sklo, m , mosaz, olovo) dob e ohoblované desky, dobrá cementová omítka, novodur, PVC, gumové hadice nové keramické, litinové a kovové potrubí (dob e uložené a spojené) vodovodní potrubí (normální stav, bez z ejmé inkrustace), isté stokové potrubí b žné stokové potrubí, málo zne išt né vodovodní potrubí zne išt né vodovodní a stokové potrubí velmi zne išt né stoky

0,009 0,010 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015

Všechny základní hodnoty pro výpo et kruhového potrubí jsou závislé na D a n:

C=

1 D n 4

y

.

- 82 (188) -


Ztrátu m žeme pak vyjád it z výrazu (7.15) pro pr tok: Q = AC Ri ,

Q=

π D2 1 D

y

4 n 4 odtud obdržíme po úprav :

D hz , 4 L

(7.27)

42 y n 2 1 hz = 64 2 2 y 5 L Q 2 ; (7.28) π D D 1 1 hz = 2 L Q 2 = A L Q 2 ; K = A C R ; A = 2 , (7.29) K K kde K je modul pr toku a A ztrátový modul (Tab. 7.3). Modul pr toku (pr toková charakteristika) je vlastn pr tok p i jednotkovém hydraulickém sklonu i = 1.

Tab. 7.3 Hodnoty ztrátového modulu A [s2/m6] pro výpo et kruhového litinového potrubí (n = 0,012) pr m r D [mm] A (dle Manninga) A (dle Pavlovského)

50 12874 10469

80 1049,7 871,33

100 319,32 267,65

125 150 97,133 36,7340 82,215 31,3413

pr m r D [mm] A (dle Manninga) A (dle Pavlovského)

300 350 400 500 600 0,9111 0,40043 0,19644 0,05976 0,02260 0,8014 0,35467 0,17504 0,05378 0,02051

200 7,92006 6,84326 800 6 0,00487 0,00448 2

250 2,409215 2,102255 1000 0,001482 0,001378

Dále m žeme vyjád it sou initel t ení λ jako funkci rychlostního sou initele C podle (7.17): 8g λ= 2 . (7.30) C V tomto vztahu je zanedbaný vliv sou initele λ na rychlosti, což je p ípustné pouze jen p i v tších rychlostech v potrubí.V Tab. 7.4 je uveden sou initel t ení λ pro starší vodovodní potrubí, jehož stupe drsnosti n = 0,012.

Tab. 7.4 Sou initel t ení λ pro vodovodní potrubí (n = 0,012) pr m r D [mm]

50

80

100

125

150

200

250

λ (dle Manninga) λ (dle Pavlovského)

0,049

0,042

0,039

0,036

0,034

0,031

0,028

0,040

0,035

0,032

0,030

0,029

0,026

0,025

pr m r D [mm]

300

350

400

500

600

800

1000

λ (dle Manninga) λ (dle Pavlovského)

0,027

0,025

0,024

0,023

0,021

0,019

0,018

0,024

0,023

0,022

0,020

0,019

0,018

0,017

7.4.3

Empirické výrazy pro výpo et sou initele t ení λ

Pro výpo et sou initele t ení λ lze použít n kterých empirických vztah , které byly v tšinou odvozeny z m ení v kvadratickém pásmu odpor . Použití t chto vztah je však možné použít pouze v podmínkách, pro které byly odvozeny. - Dupuit udal pro výpo et pr toku kruhových potrubí výraz: Q = 20 D 5 i ,

(7.31)

odtud vyplývá, že považoval λ za konstantu (λ ≈ 0,030); - 83 (188) -


- Ševeljev provád l pokusy s potrubím až do D = 1400 mm a do Re = 106. Pro vodovodní potrubí (teplota vody t = 12o C) podle Ševeljeva platí: - azbestocementové potrubí:

0,0110 3,351 1+ 0 ,190 v D 0,0118 v > 7,5 m/s: λ = 0,190 ; D - nové ocelové potrubí: v < 7,5 m/s:

0,0159 0,652 1+ 0 , 226 v D 0,0164 v > 3,0 m/s: λ = 0, 226 ; D - nové litinové potrubí: v < 3,0 m/s:

0 ,190

λ=

;

(7.32) (7.33)

0 , 226

λ=

;

(7.34) (7.35)

0 , 284

0,0144 2,25 1+ ; (7.36) 0 , 284 v D 0,0164 (7.37) v > 3.4 m/s: λ = 0, 284 . D Pro zjišt ní vlivu stárnutí trub na ztráty zkoušel Ševeljev potrubí D = 600 až 1200 mm z vodovodní sít Moskvy. Zjistil, že pr to nost azbestocementových potrubí z stává i po dlouhém provozu stejná. U ocelových a litinových potrubí jsou ztráty po 6 až 15 letech prakticky ustálené: v < 3,4 m/s:

λ=

- staré ocelové a staré litinové potrubí:

0,0179 0,827 v < 1,15 m/s: λ = 1+ 0,3 v D 0,0210 . v > 1,15 m/s: λ = D 0,3

7.5

0,3

;

(7.38) (7.39)

Místní ztráty

Místní ztráty vznikají všude tam, kde dochází k deformaci rychlostního pole, a to: - zm nou sm ru proud ní; - vytvá ením úplavu a vírových oblastí p i nedokonalém obtékání p ekážek v proudu kapaliny; - rozší ením a zúžením proudu; - d lením a spojováním proudu; - jinými rušivými zásahy. Jinými slovy tyto ztráty vzniknou nap íklad: - p i zm n pr ezu potrubí; - p i zm n sm ru (oblouky, kolena); - p i slou ení nebo odd lení proudu (T-kusy, odbo ky na potrubí); - na armaturách (šoupátka, klapky, ventily), atd.

- 84 (188) -


Ztráty místní vyjad ujeme podle Weisbacha ve tvaru násobku rychlostní výšky: v2 , (7.40) hm = ξ 2g kde v je pr ezová rychlost v míst singularity a ξ sou initel místní ztráty (nap . sou initel ztráty rozší ením pr ezu, spojením proud , kolenem, šoup tem, vtokem, ...), který je závislý na tvaru singularity (geometrickém uspo ádáním odporu), na drsnosti st n, na rychlostním poli, na hodnot Reynoldsova kritéria Re, atd. Vliv hodnoty Reynoldsova kritéria Re se projevuje hlavn p i malých hodnotách tohoto kritéria, kdežto v kvadratické oblasti je ξkv = konst. V následujících odstavcích p i výpo tu místních ztrát p edpokládáme, že rychlostní pole na vstupu je symetrické (p edcházející odpor je v minimální vzdálenosti Lmin = 40 D) a že pro hodnotu Reynoldsova kritéria platí: Re > Remezní kde Remezní ur uje za átek kvadratické oblasti.

7.5.1

(7.41)

Náhlé rozší ení pr ezu potrubí - Bordova ztráta

Ztráta vzniká p i napojení potrubí o v tším pr m ru D2 na potrubí s menším pr m rem D1 v jednom míst (Obr. 7.6). Proud vytéká z pr ezu 1 jako souvislý paprsek, mísí se s okolní kapalinou a uvádí ji do ví ivého pohybu. Pozvolna se rozši uje, až v pr ezu 2 zaujme celý pr ez A2. V koutech za rozší ením kapalina intenzivn ví í. P i ur ování ztráty hzr vyjdeme z v ty o hybnostech (4.28). Hybnost ve vstupním pr ezu "1" je ρQv1, ve výstupním pr ezu "2" je ρQv2, tedy jejich rozdíl bude:

ρ Q (v 2 − v1 ) .

Obr. 7.6 Náhlé rozší ení pr ezu potrubí Vn jší síly jsou: a) složka tíhy objemu kapaliny mezi pr ezy "1" a "2": h1 − h2 ; L b) tlakové síly: v pr ezu "1" jde p edevším o tlak na plochu A-D a o reakci st ny ABCD, tedy celkem o tlak na plochu A2. V pr ezu "2" jde o tlak na plochu A2 sm rem proti pohybu. V obou pr ezech po ítáme s rozd lením tlak podle zákon hydrostatiky, takže tlakovou sílu dostaneme vynásobením plochy tlaky, p sobící v t žišti pr ezu; G cos α = ρ g A2 L cos α = ρ g A2 (h1 − h2 ) , protože: cos α =

c) sily t ení jsou na krátkém úseku rozší ení zanedbatelné.

- 85 (188) -


Celkem budou vn jší síly: F = ( p1 − p 2 ) A2 + ρ g A2 (h1 − h2 ) a podle v ty o hybnostech (4.28) platí: ( p1 − p 2 ) A2 + ρ g A2 (h1 − h2 ) = ρ Q (v 2 − v1 ) .

Zavedeme-li na pravou stranu Q = v2 A2 a rovnici d líme ρgA2, po úprav obdržíme: p1 − p 2 v 2 − v1 v 2 + h1 − h2 = 2 . ρg g

(7.42)

Z Bernoulliho rovnice je ztráta daná rovnicí (7.1), kterou upravíme na tvar: hmr

p1 − p 2 v12 − v 22 + . = h1 − h2 + ρg 2g

(7.43)

Dosazením (7.42) do prvních t í len na pravé stran dostaneme:

hmr =

v 22 − v1 v 2 v12 − v 22 2 v 22 − 2 v1 v 2 + v12 − v 22 + = = g 2g 2 g . v 2 − 2 v1 v 2 + v12 (v1 − v 2 ) 2 = 2 = 2g 2g

(7.44)

Ztráta náhlým rozší ením pr ezu je tedy dána rychlostní výškou rozdílu rychlostí v obou pr ezech. Výraz odvodil Borda roku 1766. Z rovnice spojitosti (4.11) ješt vyjád íme:

hmr

v2 = 2 2g

2

A2 −1 . A1

(7.45)

Odporový sou initel ξr2 (vztažený k rychlosti v pr ezu "2") tedy nabude tvaru:

ξr2

A = 2 −1 A1

2

D22 = −1 D12

2

hmr = ξ r 2

;

v22 . 2g

Ve skute nosti bude ešení složit jší, pon vadž do v ty o hybnostech by se m lo zavád t skute né rozd lení rychlostí p ed zúžením a za zúžením. Pro zmenšení ztrát je n kdy ú elné navrhnout rozší ení postupné, a to bu : - kónické rozší ení pr ezu (difuzor); - plynulé (k ivkové) rozší ení (rozší ení rota ní plochou); - stup ovité rozší ení.

7.5.2

Kónické rozší ení pr ezu

P i kónickém rozší ení (Obr. 7.7 a) má nejv tší vliv na odpor p i daném pom ru D1/D2 vrcholový úhel rozší ení 2δ a délka p echodu. Minimální ztráty nastávají p i vrcholovém úhlu 2δ = 7 až 9o a maximální jsou p i úhlu 2δ = 65 až 70o. P i úhlu 2δ = 40 až 50o je výhodn jší použití náhlého rozší ení. Ztráta kónickým rozší ením pr ezu je dána vztahem: hmrk = ξ rk 2

v 22 , 2g - 86 (188) -


kde ξrk2 je sou initel ztráty kónickým rozší ením vztažený k pr ezové rychlosti v2, pro který platí:

ξ rk 2 = ψ

D 22 D12

2

-1 ,

(7.46)

kde sou initel ψ (v závislosti na úhlu 2δ) je uveden v Tab 7.5.

Tab. 7.5 Sou initel ψ pro výpo et ztráty kónickým rozší ením pr ezu 2 δ [o] ψ

7.5.3

6o

8o

10o

12o

14o

16o

20o

25o

30o

40o

60o

90o 180o

0,08 0,11 0,15 0,19 0,23 0,27 0,36 0,50 0,65 0,92 1,15 1,10 1,00

Náhlé zúžení pr ezu

Ztráty p i náhlém zúžení (Obr. 7.7 b) jsou pro n =

A2 A1

< 0,4 menší než p i náhlém

rozší ení. Ztráta p i náhlém zúžení je dána vztahem: hmz = ξ z 2

v 22 , 2g

(7.47)

kde ξz2 je sou initel ztráty náhlým zúžením pr ezu:

ξ z2 =

1

ε

2

-1 ,

(7.48)

kde sou initel zúžení ε závisí na pom ru n =

ε = 0,57 +

7.5.4

A2 A1

podle vztahu:

0,043 . 1,1 - n

(7.49)

Kónické zúžení pr ezu

Zúžení m že být vytvo eno zaoblením nebo kónicky (Obr. 7.7 c). Ztráty jsou p i tom pom rn nízké: hmzk = ξ zk 2

v 22 , 2g

(7.50)

kde ξzk2 je sou initel ztráty kónickým zúžením vztažený k pr ezové rychlosti v2 (Tab. 7.6).

Tab. 7.6 Sou initel ztráty kónickým zúžením pr ezu ξzk2 2δ

5o

7o

10o

15o

20o

30o

45o

60o

75o

ξzk2

0,06

0,12

0,16

0,18

0,20

0,24

0,30

0,32

0,34

Obr. 7.7 Zm ny pr ezu potrubí

- 87 (188) -


7.5.5

Ztráta na vtoku do potrubí a výtoku z potrubí

Vtok do potrubí m že mít ostrou hranu nebo m že být rozší en, nej ast ji zaoblením. Výtok z potrubí do nádoby v tších rozm r znamená náhlé rozší ení pr ezu vytékajícího proudu. Pro ztrátu vtokem, resp. výtokem platí: v2 v2 , resp. hmn = ξ ni , (7.51) 2g 2g kde ξvi, resp. ξni jsou sou initele ztráty podle typu vtoku, resp. výtoku (Tab. 7.7) a v pr ezová rychlost v potrubí. hmv = ξ vi

Tab. 7.7 Sou initel ztráty vtokem ξvi a výtokem ξni (L je délka se íznutí, D pr m r potrubí) typ vtoku

popis, platnost

ξvi

typ výtoku

popis,

ξni

ostrohranný výtok

1,10

L > 2,2 D

0,l5

0,8 - 1,0 potrubí zasahuje do nádrže

0,25 0,1

ostrá vstupní hrana

rv

ϕ

rv

7.5.6

0,5

se íznutá vstupní hrana L / D ≅ 0,1

0,25

zaoblená vstupní hrana rv/D ≅ 0,06

0,20

kónicky rozší ený vtok ϕ ∈ 40o;80o L ∈ 0,2; 0,3 D kruhov zaoblený vtok rv = 0,2 D L = 1,25 D vtok podle Lískovce (strofoida)

α

α = 20o α = 40o α = 60o

0,40 1,00 1,15

0,13 0,11 0,04

Ztráta v obloucích a v kolenech

Zm na sm ru v potrubí se provádí koleny (Obr. 7.8), která mohou být oblouková nebo ostrá (zlom sm ru). Zak ivení proudnic p itom vyvolá odst edivé síly, které zp sobují, že se ve sm ru od st edu k ivosti zv tšuje tlak, což se projeví zmenšením rychlostí. Bude tedy zpravidla na vnit ní stran kolena nejv tší rychlost, na vn jší stran pak nejmenší (Obr. 7.8) - i když je dosti rozší en opa ný názor. P i p echodu z p ímé trati se tedy pohyb na vnit ní stran až do vrcholu oblouku zrychluje, na vn jší zpomaluje. P i výstupu z kolena je to naopak. Za vrcholem kolena na vnit ní stran p i poklesu rychlosti vzroste tlak, a proto se proud odtrhne od st ny. Tím vznikne vírová oblast, kterou je možné zmenšit nebo vylou it vhodným - 88 (188) -


zaoblením. Na vn jší stran se pohyb zpož uje na delší dráze, a tedy plynuleji, a nadto je zde proud veden vn jší st nou, takže nebezpe í odtržení proudu (p ed vrcholem kolena) je mnohem menší.

Obr. 7.8 Pr b h rychlostí a tlak v ostrém kolen

Obr. 7.9 P í ný pohyb v kolen potrubí

P i zm n sm ru však ješt v pr ezu vzniká p í ný pohyb ástic. Složením tohoto p í ného pohybu s postupným pohybem vzniká celkový prostorov složitý pohyb spirálový, který za kolenem postupn slábne (Obr. 7.9). Ztrátu v kolenech tedy m žeme rozd lit na tyto složky: - ztráta t ením; - ztráta odtržením proudu hlavn u vnit ní st ny kolen; - ztráta p í ným pohybem. Ztrátu u kolen m žeme op t vyjád it výrazem:

hms = ξ s

v2 , 2g

(7.52)

kde v je pr ezová rychlost v potrubí a ξs je sou initel ztrát kolen: - u obloukových kolen závisí ztráta na polom ru zak ivení rs a na st edovém úhlu δ (Tab. 7.8):

ξ s = ξ s 90

δo

; (7.53) 90 o - u ostrých kolen je odtržení proudu za vnit ní hranou i na vn jší stran mohutn jší, a proto vznikají (hlavn p i δ > 15O) v tší ztráty (Tab. 7.9); - segmentová kolena (Tab. 7.10);

Tab. 7.8 Sou initel ztráty pravoúhlým kolenem ξsh90 pro hladká (∆/D < 0,001) a ξsd90 pro drsná (∆/D > 0,001) potrubí rs/D ξsh90 (∆/D < 0,001) ξsd90 (∆/D > 0,001)

0,8

1,0

1,5

2,0

4,0

6,0

10

20

50

0,37 0,21 0,17 0,15 0,11 0,09 0,07 0,05 0,03 0,74 0,42 0,34 0,30 0,22 0,18 0,14 0,10 0,06

Tab. 7.9 Sou initel ztráty ostrým kolenem ξsh pro hladká (∆/D < 0,001) a ξsd pro drsná (∆/D > 0,001) potrubí δo ξsh (∆/D < 0,001) ξsd (∆/D > 0,001)

10o

15o

22,5o

30o

45o

60o

90o

0,034 0,042 0,066 0,130 0,236 0,471 1,129 0,044 0,062 0,154 0,165 0,320 0,684 1,265

- 89 (188) -


Tab. 7.10 Sou initele ztráty pro 90o segmentové koleno jednoduché ξs1 a pro 90o segmentové koleno dvojité ξs2 a/D 0,710 0,943 1,174 1,420 1,860 2,560 3,720 6,280 ξs1 0,510 0,415 0,384 0,377 0,390 0,429 0,460 0,444 a/D 1,230 1,440 1,670 1,700 1,910 2,370 2,960 4,110 4,700 6,100 ξs2 0,347 0,320 0,300 0,299 0,312 0,377 0,342 0,354 0,360 0,360 a

D

D

δ

δ1

D

δ2

a δ2

D

δ

δ

a

δ1

rs

δ2

Obr. 7.10 Koleno obloukové, ostré, 90o segmentové jednoduché (δ1 = 45o) a 90o segmentové jednoduché dvojité (δ2 = 30o)

7.6

Hydraulicky krátká potrubí

Hydraulicky krátké potrubí je takové potrubí, u n hož místní ztráty hm nejsou zanedbatelné v i ztrátám t ením ht. Celkové ztráta hz se po ítá podle vztahu: hz = ht + hm = λ

L + D

ξ

v2 . 2g

(7.54)

U hydraulicky dlouhého potrubí jsou ztráty místní hm zanedbatelné v i ztrátám t ením. P i výpo tu ztráty se uvažuje pouze ztráta t ením: hz = ht = λ

L v2 , D 2g

(7.55)

kde λ je sou initel t ení, L délka úseku potrubí, D pr m r potrubí, ξ sou initel místní ztráty, v pr ezová rychlost, g tíhové zrychlení. Hranice mezi potrubím hydraulicky krátkým a dlouhým není otázkou geometrickou, nýbrž hydraulickou. Je nutné posoudit, zda je ztráta místní zanedbatelná v i ztrát t ením. Typickými p íklady krátkého potrubí jsou shybky, potrubí erpadel, násosky, atd.

7.6.1

Shybka

Otev ené vodní toky (náhony, potoky, kanály, ...) vedeme pod místními p ekážkami (komunikace, jiný vodní tok, ...) krátkými úseky tlakových potrubí - shybkami (Obr. 7.8). Vtok shybky navrhujeme rozší ený nebo zaoblený. Umís ujeme jej tak hluboko pod hladinu, aby se netvo il vtokový vír a aby do shybky nevnikal vzduch. P ed vtokem se obvykle umís ují hrubé esle a lapák splavenin. Aby shybkou protekl ur itý pr tok, musí hladina p ed objektem zaujmout vyšší polohu, než hladina za objektem. P ed shybkou dochází v tšinou ke zm n beztlakového proud ní na tlakové a za shybkou k opa né zm n . - 90 (188) -


Obr. 7.11 Shybka Podle Bernoulliho rovnice za p edpokladu, že p1 = p2 = pa pro pr ez 1 p ed vtokem a pro pr ez 2 za výtokem platí: h1 +

α v12 2g

= h2 +

α v 22 2g

+ hz ,

(7.55)

protože vzdutí zp sobené shybkou je H = h1 - h2, m žeme (7.55) zapsat ve tvaru: H=

α (v 22 - v12 ) 2g

+ λ

L + D

v2 , 2g

ξ

kde α je Coriolisovo íslo, v1 rychlost v odpadním kanálu, λ je sou initel t ení, ξ sou initel místní ztráty ve shybce, v pr zrychlení. Shybka se navrhuje tak, aby p i návrhovém pr toku v ≈ 1 až 3 m/s.

7.6.2

(7.56) v p ítokovém kanálu, v2 rychlost L délka shybky, D pr m r shybky, ezová rychlost ve shybce a g tíhové pr ezová rychlost ve shybce byla

Hydraulicky krátká složená potrubí

asto se vyskytují hydraulické okruhy (nap . Obr. 7.12), ve kterých se okruh skládá z r zných potrubí, je vybavený armaturami, tvarovými kusy, atd. Vzhledem k tomu, že místní ztráty i ztráty t ením po délce jsou vztaženy k rychlostní výšce, nabude rovnice (7.54) pro okruhy skládající se z n r zných potrubí r zného profilu tvaru: hz =

n i =1

L λi i + Di

ξi

vi2 . 2g

(7.57)

Bernoulliho rovnice pro skute nou kapalinu zapsaná pro profil "0" a výtokový pr ez "n" nabude tvaru: h0 +

n p0 α v 02 p α v n2 L + = hn + n + + λi i + ρ g 2g ρ g 2 g i =1 Di

ξi

vi2 . 2g

(7.58)

Rovnice (7.58) je jedna rovnice s n neznámými rychlostmi vi (i = 1..n). Použitím rovnice spojitosti (4.11) vyjád íme rychlosti vi z rychlosti vn:

vi Ai = vn An => vi =

vn An . Ai

Rovnici (7.58) zapíšeme pomocí (7.59) ve tvaru:

- 91 (188) -

(7.59)


h0 +

n p0 α v02 p v2 L + = hn + n + n α + λi i + ρ g 2g ρ g 2g Di i =1

ξi

An2 Ai2

(7.60)

a z (7.60) vyjád íme neznámou rychlost vn:

vn =

p0 − pn α v02 2 g h0 − hn + + ρg 2g

α+

n i =1

7.7

L λi i + Di

ξi

An2 Ai2

.

(7.61)

Hydraulicky dlouhé potrubí a potrubí s odb rem po délce

Hydraulicky dlouhým potrubím se rozumí potrubí, u kterého p evažují ztráty po délce, a z tohoto d vodu lze místní ztráty zanedbat. Ztráty t ením po délce jsou závislé na pr toku Q a jemu odpovídající hodnot rychlosti. Ztráty t ením m žeme stanovit nap . podle (7.29). Pro p ípad, kdy na potrubí konstantního pr ezu jsou po jeho délce napojeni jednotliví odb ratelé, jsou ztráty a hydraulický sklon závislé od pr toku, který se po délce potrubí m ní. P i rovnom rném odb ru q po délce úseku Li se ztráty stanoví z tzv. výpo tového pr toku, který je roven:

Qi = Qc + 0,55 Q0 , kde

(7.62)

Qc je tranzitní pr tok; Q0 = q Li , kde q [m2/s] je rovnom rný odb r na metr potrubí.

P . 7.1 Vypo ítejte ztrátu t ením na délce L = 1000 m b žného litinového potrubí (n = 0,013, ∆ = 0,002 m) o pr m ru D = 250 mm, kterým protéká pr tok Q = 60 l/s vody (teplota vody t = 20oC). 4Q Q 4 * 0,06 L = 1000 m; v= = = = 1,222 m/s; 2 A πD π 0,25 2 D = 0,25 m; v D 1,222 * 0,25 = 302 326 (vyvinuté turb. proud.); Q = 0,060 m3/s; Re = = ν 1,0105 10 −6 ν = 1,0105 10-6 m2/s; 1 π D 2 D 0,25 = 0,0625 m; n = 0,013; R= 4 = = πD 4 4 ∆ = 0,002 m; ešení:

- dle Manninga (7.26) a (7.30): 8 g 41 / 3 * 8 g n 2 n2 0,013 2 = = 124,58 = 124,58 = 0,0334; C2 D1/ 3 D1 / 3 0,251 / 3 L v2 1000 1,222 2 ht = λ = 0,0334 = 10,17 m; D 2g 0,25 2 g

λ=

- 92 (188) -


- dle Pavlovského (7.25) a (7.30):

8 g 42 y * 8 g n 2 = = 0,0309; C2 D2 y y = 2,5 n - 0,13 - 0,75 R ( n - 0,1) = 0,1524 ;

λ=

L v2 1000 1,222 2 = 0,0309 = 9,41 m; D 2g 0,25 2 g - dle Ševeljeva (7.39): ht = λ

0,0210 0,0210 = 0,0318; = D 0.3 0,25 0.3 L v2 1000 1,222 2 ht = λ = 0,0318 = 9,68 m; D 2g 0,25 2 g - Colebrook-Whiteova rovnice (7.24):

λ=

1

λ

= - 2 log

2,51 Re λ

+

∆ => λ = 0,0354; 3,7 D

L v2 1000 1,222 2 = 0,0354 = 10,78 m. D 2g 0,25 2 g Ztráty t ením na délce potrubí L = 1000 m jsou podle jednotlivých autor v rozmezí od 9,41 ~ 10,78 m. ht = λ

P . 7.2 Kanál se k íží se silnicí, a proto je zapot ebí navrhnout shybku (Obr. 7.11). Délka k ížení se uvažuje L = 20 m. Navrhn te pr m r betonového potrubí (n = 0,012) pro náhon tak, aby pro návrhový pr tok Q = 250 l/s byla maximální rychlost ve shybce vmax = 2,0 m/s. Pr ezová rychlost v p ítokovém kanálu je v1 = 1,0 m/s a v odpadním kanálu v2 = 1,0 m/s. Dále vypo t te vzdutí shybky. Q = 0,25 m3/s; L = 20 m; n = 0,012; vmax = 2,0 m/s; v1 = v2 = 1,0 m/s; ν = 1,01 10-6 m2/s; α = 1,0; D = ? m; H = ? m; návrh pr m ru Dn:

v max =

4Q Q = A π D2

D=

4Q = 0,399 m; π v max

Dn = 0,400 m; v = 1,989 m/s < vmax = 2,0 m/s; Re =

v Dn = 787 722 (vyvinuté turbulentní proud ní); ν

výpo et λ dle Manninga (7.26) a (7.30): λ=

8 g 41 / 3 * 8 g n 2 n2 0,014 2 = = 124,58 = 124,58 = 0,024; C2 D1/ 3 D1/ 3 0,21 / 3

místní ztráty:

ostrohranný vtok: zlom: výtok z potrubí:

ξv = 0,5; ξsd = 0,165; ξn = 1,1;

- 93 (188) -


vzdutí zp sobené shybkou (7.56): H =

α ( v 22 - v12 ) L v2 , + λ + ξ v + 2 ξ sd + ξ n 2g D 2g

H = 0,631 m.

Navržený pr m r shybky je 400 mm. Shybka zp sobí vzdutí 0,631 m.

P . 7.3 Vypo ítejte pr tok Q, který vytéká z potrubí podle obrázku (7.12). Dále nakreslete tlakovou áru a áru energie.

Obr. 7.12 Výtok z nádrže hydraulicky krátkým složeným potrubím L1 = 5,0 m; D1 = 100 mm; λ1 = 0,032 m; ξ1 = 0,5 m; ξ2 = 0,316 m; L2 = 10,0 m; D2 = 125 mm; λ2 = 0,030 m; ξ3 = 0,170 m; L3 = 5,0 m; D3 = 80 mm; λ3 = 0,035 m; ξ4 = 0,338 m; h0 = 10,0 m; h3 = 2,0 m; α = α1 = α2 = α3 = 1,1; v0 ≈ 0 m/s; p0 = p3 = pa ; Napíšeme Bernoulliho rovnici pro profily 0 a 3 (k vyzna ené srovnávací rovin podle Obr. 7.12): h0 + hz =

p0 p α v02 α v32 + = h3 + 3 + + hz ; ρg 2g ρg 2g n i =1

λi

Li + Di

ξi

vi2 L v2 L v2 L v2 = λ 1 1 + ξ1 1 + λ 2 2 + ξ 2 + ξ 3 2 + λ 3 3 + ξ 4 3 2g D1 2g D2 2g D3 2g

,

kde p0 = p3, v0 ≈ 0 m/s. Nyní použijeme rovnici spojitosti (4.11) a úpravou obdržíme: h0 - h3 =

α v32 + 2g

n i =1

λi

Li + Di

ξi

Vyjád íme pr ezovou rychlost v3: v3 =

v3 =

A32 v32 . Ai2 2 g

2 g (h0 − h3 )

4 3 4 1

D D34 L3 D34 L L α + λ 1 1 + ξ1 + λ 2 2 + ξ 2 + ξ3 + λ + ξ 3 4 D1 D2 D3 D D24 D34

;

2 g (10 − 2) 5 0,08 4 10 0,08 4 5 1,1 + 0,032 + 0,5 + 0,030 + 0,316 + 0,17 + 0,035 + 0,338 4 0,1 0,125 0,05 0,10 0,125 4

- 94 (188) -

;


v3 = 5,619 m/s; hz = 6,229 m;

Q3 = Q = 0,02824 m3/s;

v1 = 3,596 m/s;

ht1 = λ1

L1 v12 5 3,596 2 = 0,032 D1 2 g 0,1 2 g

= 1,055 m;

ht2 = λ 2

L2 v 22 10 2,3012 = 0,030 D2 2 g 0,125 2 g

= 0,648 m;

ht3 = λ 3

L3 v32 5 5,619 2 = 0,035 D3 2 g 0,08 2 g

= 3,521 m;

h m1 = ξ 1

v12 3,596 2 = 0,5 2g 2g

h m2 = ξ 2

v22 2,3012 = 0,085 m; = 0,316 2g 2g

h m3 = ξ 3

v22 2,3012 = 0,17 2g 2g

h m4 = ξ 4

v32 5,619 2 = 0,338 = 0,544 m. 2g 2g

v2 = 2,301 m/s;

= 0,330 m;

= 0,046 m;

Potrubím protéká rovnom rn pr tok Q = 0,02858 m3/s, rychlosti v jednotlivých profilech porubí jsou v1 = 3,639 m/s, v2 = 2,329 m/s a v3 = 5,686 m/s a celková ztráta hz je 6,187 m. Tlaková ára a ára energie jsou zobrazeny na Obr. 7.13.

Obr. 7.13 ára energie a ára tlaku P . 7.4 Vypo t te ztráty v jednotlivých úsecích potrubí (Obr. 7.14) podle Manninga, odebírá-li se z potrubí v jednotlivých uzlech QA = 30 l/s, QB = 10 l/s a na úseku AB je rovnom rný odb r qAB = 0,0001 m2/s. Protože se jedná o potrubí hydraulicky dlouhé, místní ztráty se zanedbávají. L0A = 500 m; D0A = 300 mm; A0A = 0,9111 s2/m6; LAB = 450 m; DAB = 200 mm; AAB = 7,920068 s2/m6; QA = 0,030 m3/s; QB = 0,010 m3/s; qAB = 0,000 1 m2/s; HN = 285,00 m n.m.;

- 95 (188) -


Obr. 7.14 Tlaková ára u hydraulicky dlouhého potrubí pr tok na úseku 0A – (7.62):

Q0A = QA + qAB LAB + QB; Q0A = 0,085 m3/s;

pr tok na úseku AB – (7.62):

QAB = 0,55 qAB LAB + QB; QAB = 0,0348 m3/s;

ztráta na úseku 0A – (7.29):

2 hz 0 A = L0A A 0A Q0A ;

hz0A = 3,29 m; ztráta na úseku AB – (7.29):

HA = HN - hz0A = 281,71 m n.m.;

2 hzAB = LAB A AB QAB ;

hzAB = 4,32 m;

HB = HA - hzAB = 277,39 m n.m.

Ztráty mechanické energie podle Manninga jsou na jednotlivých úsecích hz0A = 3,29 m a hzAB = 4,32 m kóty tlakové áry v bod A - HA = 281,71 m n.m. a v bod B - HB = 277,39 m n.m.

Kontrolní otázky - Jaké rozlišujeme ztráty? - Co vyjad uje Reynoldsovo kritérium? - Na em obecn závisí sou initel t ení (odporový sou initel) λ? - Co je to Bordova ztráta? - Jaký je rozdíl mezi hydraulicky krátkým a hydraulicky dlouhým potrubím?

8

Ustálené proud ní vody v otev ených korytech

P i ustáleném proud ní jsou pr tok, pr ezová rychlost, pr to ná plocha, atd. v ase nem nné a závisí pouze na poloze. Rozlišujeme proud ní: - rovnom rné (Kap. 8.1); - a nerovnom rné (Kap. 8.2).

8.1

Rovnom rné proud ní vody v otev ených korytech

Podle definice uvedené v Kap. 4 je rovnom rný pohyb zvláštním p ípadem ustáleného pohybu Q(x,t) = Q =konst. V otev ených korytech, kde ást omo eného obvodu O je volná hladina na styku se vzduchem, m že rovnom rné proud ní vzniknout pouze v p ípad koryta: - pravidelného (stejného) tvaru pr to ného profilu ve všech profilech na zvoleném úseku (koryto nem ní sv j tvar), - a konstantního sklonu dna i0. - 96 (188) -


Pokud konstantní pr tok Q protéká rovnom rn konstantní pr to nou plochou A s konstantní pr ezovou rychlostí v a konstantní hloubkou h, potom je podélný sklon koryta i0 stejný se sklonem hladiny ih a stejný se sklonem áry energie i (Obr. 8.1): i0 = i h = i .

Rovnom rné proud ní se vyskytuje pouze v um lých kanálech s neprom nným korytem. U p irozených tok se každá zm na ší ky koryta, sklonu dna nebo každá p ekážka projeví na pr b hu hladiny, a tedy i na zm n pr to né plochy a sklonu áry energie - jedná se o nerovnom rné proud ní. K tomu ješt p istupuje asová nestálost koryta - vymílání dna i b eh a usazování materiálu, který je vodou p enášen. P i ešení úloh proud ní vody v otev ených korytech p edpokládáme, že tlak ve vod se m ní podle pravidel hydrostatiky a že sklony dna jsou tak malé, že lze nahradit délku proudu pr m tem do vodorovné roviny a pr ezy nahradit svislými ezy.

Obr. 8.1 Rovnom rné proud ní

8.1.1

Výpo et pr ezové rychlosti

Výpo et pr ezové rychlosti v pro rovnom rné ustálené proud ní se stanoví z Chézyho rovnice, která byla odvozena v Kap. 7, rovnice (7.15):

A , (8.1) O kde C je rychlostní sou initel, R hydraulický polom r, i sklon áry energie, A pr to ná plocha a O omo ený obvod, který je v pr to ném pr ezu délkou styku kapaliny s pevnými st nami (vedením proudu bez volné hladiny). Je t eba si uv domit, že t ení p sobí hlavn na st nách koryta, kdežto t ení vody o vzduch v hladin je nepatrné. Proto se na rozdíl od tlakového proud ní do omo eného obvodu O nepo ítá volná hladina. Proti tlakovým potrubím, u nichž je pr to ná plocha dána a pro všechny pr toky neprom nná, je v otev ených korytech poloha hladiny a tím i pr to ná plocha závislá na pr toku. v=C Ri

;

R=

Rychlostní sou initel C není konstantní. Závisí hlavn na tvaru pr to ného pr ezu, drsnosti st n a výjime n i na sklonu. Výzkum p edložil velký po et vzorc pro ur ení C, které jsou v tšinou empirické a získané z vyhodnocení m ení v p írod a na modelech. Pro stru nost uvádíme výpo et C pouze podle Pavlovského, Manninga a Stricklera, které se v našich podmínkách nej ast ji používají.

8.1.2

Rychlostní vzorec Pavlovského

Zpracováním výsledk velkého množství vlastních i cizích m ení rychlostí na ekách, náhonech, potrubí, atd. dosp l Pavlovskij ke vztahu:

- 97 (188) -


1 y R , y = 2,5 n - 0,13 - 0,75 R ( n - 0,1) (8.2) n kde n je drsnostní sou initel (Tab. 7.2, Tab.8.1) a R hydraulický polom r. C=

8.1.3

Rychlostní vzorec Manning v

Exponent y ve vzorci Pavlovského v nej ast jších p ípadech praxe nekolísá v p íliš širokých mezích. Vezmeme-li st ední hodnotu y = 1/6, obdržíme vzorec Manning v: 1 1/ 6 R , n kde n je drsnostní sou initel a R hydraulický polom r. C=

(8.3)

Obr. 8.1 Drsnostní sou initel n Popis koryta

n

výjime n hladké st ny, smaltované povrchy ist ohoblovaná prkna, dobrá omítka z istého cementu dobrá cementová omítka, hoblovaná prkna, litinové a ocelové trouby dob e spojované nehoblované prkna, vodovodní trouby v b žných podmínkách - bez inkrustací, isté stokové trouby kvádrové zdivo, dob e provedené cihelné zdivo, stokové trouby v b žných podmínkách, trochu zanesené trouby vodovodní, hladký beton zne išt né trouby vodovodní i stokové, obetonování kanál b žného provedení oby ejné cihelné zdivo, obložení z p itesaného kamene dobré lomové zdivo, staré cihelné zdivo, pom rn hrubé obetonování, výjime n hladká skála oby ejné lomové zdivo, kamenná dlažba, kanály pom rn hladce vyrubané ve skále, kanály v ulehlém št rku nebo v ulehlé zemin ve velmi dobrém stavu kanály v hutné zemin nebo v ulehlém št rku, velké zemní kanály velmi dob e udržované dobré zdivo na sucho, velké zemní kanály p i pr m rné údržb , malé zemní kanály p i dobré údržb , eky v nejlepším stavu (volné p ímé koryto bez p ekážek proudu, bez nános a výmol velké zemní kanály s podpr m rnou údržbou, malé zemní kanály pr m rn udržované zemní kanály v pom rn špatném stavu (místy zarostlé koryto, nánosy na dn ), eky v dobrých podmínkách kanály ve špatném stavu (s nepravidelným pr ezem, místy zarostlé nebo zanesené kameny), eky v pom rn dobrých podmínkách, ale proud je ovlivn n áste n kamením nebo rostlinami kanály ve výjime n špatném stavu (výmoly i nánosy, koryto zarostlé ko eny, zanesené hrubými kameny), eky s horšími podmínkami pr toku (v koryt je v tší množství kamen a rostlin nebo meandruje a má malý po et m l in a výmol ) horské byst iny

0,009 0,010 0,011 0,012

8.1.4

0,013 0,014 0,015 0,017 0,020 0,023 0,025 0,028 0,030 0,035 0,040 0,080

Rychlostní vzorec Strickler v

Strickler doplnil Manning v vzorec p edpokladem, že stupe drsnosti musí být závislý na zrnitosti materiálu koryta. Proto obm nil Chézyho rovnici na tvar: 21,1 v = k s R 2 / 3 i1 / 2 , ks = , (8.4) 6 d s kde ds je možné uvažovat jako 55% hodnota zrna z k ivky zrnitosti krycí vrstvy v koryt .

- 98 (188) -


8.1.5

Hydraulický výpo et v otev ených korytech

rovnom rného

proud ní

V podstat se vyskytují následující typy úloh: - ur ení pr toku Q pro dané rozm ry koryta a podélný sklon dna koryta i0 = i: Q = v A = AC R i = K i , kde A je pr to ná plocha a K modul pr toku;

(8.5)

ur ení podélného sklonu dna koryta i0 = i pro zadané Q a dané rozm ry koryta:

Q2 v2 i= 2 2 = 2 ; (8.6) A C R C R - ur ení hloubky vody pro zadané Q a dané rozm ry koryta. Jedná se o opa nou úlohu k první úloze. Jedná se o pon kud složit jší úlohu, protože hledanou hloubku h obvykle nelze vyjád it explicitn . Postup spo ívá ve výpo tu m rné k ivky koryta (pr toku) - Obr. 7.2. M rná k ivka udává závislost pr toku Q na hloubce h. Zvolí se n kolik (ekvidistantních) poloh hladiny s hloubkami h1, h2, …, hi v daném profilu, spo ítají se jim p íslušné pr toky Q1, Q2, …, Qi a vynese se závislost Q(h) (Obr 8.2). Ze závislosti Q(h) se pro zadaný pr tok Qn ode te hledaná hloubka hn a provede se kontrola výpo tu Qn; - ur ení n kterého z parametr koryta (ší ky dna koryta, sklonu svah , atd.) pro zadanou hloubku h, pr tok Q a podélný sklon dna koryta i0 = i.

Obr. 8.2 Ur ení hloubky hn ze zadaného pr toku Qn pomocí m rné k ivky

8.1.6

Profily o r zných drsnostech jednotlivých ástí

Je-li omo ený obvod koryta složen z n kolika ástí s r znými drsnostmi (nap . Obr. 8.3), lze výsledný drsnostní sou initel n ur it jako vážený pr m r. Nap . má-li ást omo eného obvodu O1 drsnostní sou initel n1 a analogicky O2 a O3 drsnostní sou initele n2 a n3 (Obr. 8.3), je výsledný drsnostní sou initel dán váženým pr m rem: k

n O + n 2 O 2 + n 3 O3 n= 1 1 = O1 + O 2 + O3

i =1 k

n i Oi

i =1

Oi

- 99 (188) -

k

=

i =1

n i Oi O

.

(8.7)


Obr. 8.3 Profily o r zných drsnostech

8.1.7

Obr. 8.4 Složený pr to ný profil

Složené profily

V upravených i v p irozených í ních tratích se asto vyskytují profily na zp sob Obr. 8.4, složené z ástí hlubších a m l ích. V t chto vzájemn velmi odlišných ástech protéká voda r znými rychlostmi, a proto p i výpo tu d líme profil na ásti - na hlubší kynetu a m l í bermu. Pr toky v t chto ástech po ítáme samostatn , ímž dostáváme výsledky, které se lépe shodují se skute ností:

Q = Qkyneta + Qberma .

(8.8)

Na hranicích obou ástí vznikají následkem velkého rozdílu rychlostí v jednotlivých ástech koryta víry se svislou osou, které pohyb brzdí. Je proto zvykem po ítat délku hrani ní svislice 43 do omo eného obvodu kynety (Obr. 8.4), tedy: Okyneta = 4 3 5 6 7 , Oberma1 = 1 2 3 . Pravidlem je, že svislice se zapo ítávají jen jednou do omo eného obvodu, a to zpravidla do p ilehlé ásti koryta toku s v tší hloubkou.

8.1.8

Uzav ené profily s volnou hladinou

Ve štolách, v propustcích a ve stokách protéká voda n kdy s volnou hladinou a hloubkou h, která je menší než výška pr ezu D (Obr. 8.5). Toto proud ní se výrazn liší od tlakového proud ní. Nej ast ji jde o pr ezy kruhové, vej ité, parabolické, podkovovité nebo tlamovité. V zásad jde op t o proud ní s volnou hladinou, u kterého po ítáme pr ezovou rychlost p i rovnom rném proud ní z Chézyho rovnice. Nepravidelnosti nastávají jen p i pr tocích, jejichž hloubka h se blíží sv tlé výšce D. Nap . u obdélníkového profilu propustku nebo štoly v okamžiku, kdy stoupající voda zaplní celý profil, vzroste náhle omo ený obvod o celou sv tlou ší ku profilu, tím se zmenší hydraulický polom r R, klesne rychlost i pr tok. U kruhového profilu (Obr. 8.5) jsou tyto zm ny plynulé, ale i zde p i stoupajícím h roste rychleji omo ený obvod než pr to ná plocha, takže rychlost i pr tok klesají. Maximální pr ezová rychlost vmax i maximální pr tok Qmax nastává p i hloubce h < D, p i emž hloubka p i maximální pr ezové rychlosti vmax je menší než hloubka p i maximálním pr toku Qmax. Výpo et hloubky vody (pro daný pr tok Q a podélný sklon dna koryta i0 = i) p i ustáleném rovnom rném proud ní v potrubí kruhového pr ezu s volnou hladinou se stanoví z m rné k ivky, je-li dáno: - pr m r potrubí D, resp. polom r r; - drsnostní sou initel st n potrubí n; - sklon i; - pr tok Q; Pro výpo et pr toku p i poloze hladiny h lze použít tabulku Tab. 8.2. - 100 (188) -


Obr. 8.5 Kruhový pr ez potrubí Tab. 8.2 popis st edový úhel - pro h < r

ozna ení

výpo et ϕ = 2 arccos

ϕ

r-h r

ϕ = 2 π - 2 arccos

- pro h > r

jednotka

r2 (ϕ - sin ϕ) 2

h-r r

rad m2

pr to ný pr ez

A

A=

omo ený obvod

O

O=ϕr

m

R

A R= O

m

C

C=

v Q ht

v = C Ri

hydraulický polom r rychlostní sou initel (dle Manninga) pr ezová rychlost pr tok ztráta t ením v koryt

1 1/ 6 R n

Q=vA ht = i L

m0,5/s m/s m3/s m

Maximální pr tok Qmax v kruhovém potrubí je p i hladin h = 0,95D (tj. p i ϕ = 308o) a maximální rychlost vmax p i h = 0,813D (tj. p i ϕ = 257o30'). Dále lze odvodit, že: - p i h = 0,5 D je rychlost stejná jako p i pr toku celým pr ezem; - p i Q = 0,33 QD je rychlost v = 0,9 vD . Tyto okolnosti jsou p íznivé, pon vadž i p i pom rn malém pr toku jsou ve kruhovém pr ezu pom rn velké rychlosti, které zabra ují usazování splavenin a zanášení profilu.

8.1.9

M rná energie pr ezu

Obr. 8.6 M rná energie pr ezu

- 101 (188) -


V obecném pr ezu otev eného koryta (Obr. 8.6) p edpokládáme p ibližn ve všech bodech pr ezu stejnou bodovou rychlost u, rovnou pr ezové rychlosti v. Je-li hloubka h nejkratší vzdálenost mezi hladinou a nejnižším bodem dna v pr ezu, z výška libovolného bodu C nad nejnižším bodem dna, m žeme napsat Bernoulliho rovnici pro proudnici procházející bodem C (srovnávací rovina prochází nejnižším bodem dna v pr ezu): pC α v 2 zC + + = konst. , ρ g 2g

(8.9)

kde α je Coriolisovo íslo. Nejsou-li proudnice zak iveny, tedy p edpokládáme, že tlak v proudící kapalin je rozd len podle pravidel hydrostatiky, bude v bod C hydrostatický tlak ur en tlakovou výškou: pC = h − zC . ρg

(8.10)

Dosazením (8.10) do Bernoulliho rovnice (8.9) obdržíme:

zC + h − zC + E=h+

α v2 2g

α v2 2g =h+

= konst. = E ;

α Q2 2 g A2

A = f (h) , A = f (h) .

;

(8.11)

Rovnice (8.11) vyjad uje energetickou výšku pr ezu E. Energetická výška pr ezu E (m rná energie pr ezu) je tedy množství mechanické energie, které p ísluší jednotce tíhy pr toku ur itým pr ezem, která je vztažena k úrovni nejnižšího bodu tohoto pr ezu.

8.1.10 Proud ní kritické, í ní a byst inné Pro konstantní pr tok Q volme v obecném ezu (Obr. 8.6) r zné hloubky h v mezích od nuly po nekone no a po ítejme p íslušné hodnoty energetické výšky pr ezu E. Výsledky vyneseme graficky (Obr. 8.7).

Obr. 8.7 Energetická výška pr ezu

Blíží-li se h a tedy i A k nule, vzr stá pot ebná rychlost k p evedení daného Q nade všechnu mez. Jinými slovy E se blíží k nekone nu. K ivka se asymptoticky blíží k vodorovné ose E.

- 102 (188) -


Vzr stá-li h do nekone na, blíží se rychlost pot ebná k p evedení daného Q k nule a E se op t blíží k nekone nu. K ivka se asymptoticky blíží k p ímce E = h, p lící úhel obou os. Vrcholu Emin, jemuž p ísluší hloubka hk, má nejen shora uvedený význam matematický, že m rná energie pr ezu pro dané Q je p i n m minimální, ale i d ležitý smysl fyzikální. Hloubku hk nazýváme kritickou a proud ní pak proud ní kritické. Proud ní p i daném konstantním pr toku Q p i hloubkách: - h > hk nazýváme í ním proud ním (velká hloubka a malá rychlost), - h < hk byst inným proud ním (malá hloubka a velká rychlost). Kritické proud ní tvo í rozhranní mezi t mito dv ma režimy. P i kritickém pohybu protéká pr tok Q daným pr ezem s vynaložením nejmenší energie. Rychlost p i kritickém pohybu nazýváme rychlostí kritickou, která je p ibližn rovna rychlosti ší ení transla ních vln na hladin . P i í ním proud ní je rychlost vody menší než kritická, je tedy menší než rychlost ší ení vln, které mohou postupovat po hladin sm rem po proudu i proti n mu. Povrch proudu í ního je nerovný, zvln ný. Naopak p i byst inném proud ní je rychlost proud ní v tší než rychlost kritická a vlna nem že tedy postupovat proti proudu. Povrch proudu byst inného je hladký, lesklý. Kritickým sklonem ik nazýváme sklon, p i kterém v daném profilu protéká daný pr tok Q rovnom rn konstantní hloubkou rovnou hloubce kritické hk. Kritický pohyb ur íme z podmínky minima rovnice (8.11), kdy platí

α Q2 d A dE =1− , dh g A3 d h

dA = B, dh

dE dh

=0:

(8.12)

kde pr to ná plocha A(h) je také závislá na h. Tedy p i ozna ení hodnot kritického pohybu indexem k, bude platit p i 1−

α Q 2 Bk

Ak3

g

dE dh

= 0 rovnost:

= 0,

tedy:

α Q2 g

=

Ak3 . Bk

(8.13)

Rovnice (8.13) je obecná podmínka kritického pohybu. Dosadíme-li za Q = vk Ak, dostaneme zvláštní závislost kritického pohybu:

α v k2 Ak2 g

Ak3 = , Bk

α vk2 2g

=

Ak . 2 Bk

(8.14)

Rychlostní výška kritického pohybu se rovná polovin pr m rné hloubky hs pr to ného pr ezu, kdy platí: hs =

Ak . Bk

- 103 (188) -


8.1.11 Ur ení kritické hloubky ve vybraných profilech D ležitost znalosti kritické hloubky, která charakterizuje p echod z proud ní byst inného do í ního, je d vodem pro stanovení její hodnoty. - Pr

ez obecného tvaru:

a) pro n kolik zvolených hloubek h spo ítáme E, vyneseme závislost E(h) (Obr. 8.7) a z ní ur íme hk; b) nebo vyjdeme ze vztahu (8.13) pro energetické minimum. Pro n kolik hloubek h stanovíme závislost AB jako funkci hloubky h. Pro daný 3

αQ2 g

pr tok Q vypo teme

a ze závislosti

A3 B

(h) ode teme kritickou

hloubku hk, pro kterou platí, že se rovná této vypo tené hodnot

αQ2 g

.

- Obdélník ší ky b (A = b h): z rovnice (8.13) pro energetické minimum platí: Ak = b hk;

hk = 3

α Q2

B = b;

α Q2 g b2

=3

α q2 g

;

g

gQ ; αb

vk = 3

ik =

kde vk je kritická rychlost, ik kritický sklon a q =

Q b

v k2 C k2 R k

=

b 3 hk3 : b

,

(8.15)

specifický pr tok.

- Symetrický lichob žník se sklonem svah 1:m a se ší kou ve dn b.

Pro daný specifický pr tok q = Qb se ur í hko pro obdélník se ší kou b rovnou ší ce dna lichob žníku. Pro lichob žník pak s dostate nou p esností platí:

hk = hkO 1 −

σ 3

+ 0,105 σ 2 ,

σ=

m hkO , b

hkO = 3

α Q2 g b2

, (8.16)

kde σ je sou initel, který charakterizuje sklony svah lichob žníkového profilu. -

áste n pln ný kruhový pr

ez o pr m ru D:

- podle Diskina:

hk = D

- podle Abbotta:

hk =

1,05 Q gD

0,32 Q D1 / 4

5

0 , 513

(s platností 0,05
.

8.1.12 Froudovo kritérium Režim proud ní ( í ní, byst inný) m žeme také ur it pomocí bezrozm rného Froudova kritéria (v literatu e ozna ované jako Froudovo íslo): Fr =

α v2 g hs

=

α v2 B α Q2 B gA

=

g A3

,

(8.17)

- 104 (188) -


kde hs = BA je st ední hloubka pr ezu s pr to nou plochou A a ší kou v hladin B. Hodnota Froudova kritéria indikuje pohyb: - kritický Fr = 1, - í ní Fr < 1, - byst inný Fr > 1.

8.2

Nerovnom rné ustálené v otev ených korytech

proud ní

vody

Jak je uvedeno v úvodu Kap. 8.1, v p írod se ustálené rovnom rné proud ní v korytech s volnou hladinou vyskytuje velmi z ídka. P i tomto proud ní je podélný sklon koryta i0 stejný se sklonem hladiny ih a sklonem áry energie i. V p irozených korytech, nebo v upravených korytech, jejichž pr to ný pr ez a sklonové pom ry se m ní po délce toku, je proud ní nerovnom rné. My se však budeme zabývat pouze proud ním ustáleným nerovnom rným, kdy pr tok je v ase nem nný (konstantní) a tedy i hydraulické charakteristiky (pr ezová rychlost, pr to ná plocha, drnostní sou initel, atd.) jsou nezávislé na ase, ale v prostoru (po délce) se m ní. P i tomto proud ní dochází ve sm ru pohybu vody ke ztrátám energie v d sledk : - t ení o st ny vedení a vnit ního t ení mezi jednotlivými proudovými vlákny - ztráty t ením; - zm nami pr to ných pr ez - ztráty místní.

8.2.1

K ivky vzdutí a snížení

Nech otev eným korytem o sklonu i0 protéká rovnom rn (viz Kap. 8.1) konstantní pr tok Q konstantní hloubkou h0. Je-li proud ní í ní a - postaví-li se do proudu p ekážka (jez, mostní pilí e, ...) zvýší se hladina o hodnotu z. Hladina vytvo í v podélném profilu k ivku vzdutí (sklon hladiny je vždy menší než sklon dna) a sm rem proti proudu se asymptoticky blíží p vodní nevzduté hladin s hloubkou h0 (Obr. 8.8 a). - vzniknou-li v n kterém míst koryta podmínky pro pohyb menší hloubkou než h0 (nap . stupn m ve dn nebo rozší ením koryta), hladina se sníží o s. Hladina vytvo í k ivku snížení (sklon hladiny je vždy v tší než sklon dna), která v ur ité vzdálenosti sm rem proti proudu splyne s p vodní hladinou rovnom rného proud ní s hloubkou h0 (Obr. 8.8 b).

Obr. 8.8 K ivky a) vzdutí, b) snížení

- 105 (188) -


V p irozených vodních tocích se velikost profil m ní, a proto v nich pr b h hladiny bývá tvo en jako sled k ivek vzdutí (na p echodech z menších profil do v tších, z v tších rychlostí do meších) a snížení (za opa ných okolností).

8.2.2

ešení nerovnom rného pohybu metodou po úsecích

Obecné koryto prom nlivého p í ného profilu se rozd lí na úseky o délkách ∆L j . V jednotlivých úsecích p edpokládáme, že pr to né profily a tedy i rychlosti se m ní spojit z hodnot Ai, vi v horním profilu na hodnoty Ai+1, vi+1 v dolním profilu. Nech pr m rný podélný sklon koryta daného úseku nech je i0j a celková ztráta energie tohoto úseku hzj. Pak pro srovnávací rovinu proloženou dnem dolního profilu (ve sm ru proud ní) plyne z Bernoulliho rovnice pro všechna proudová vlákna profil 1 a 2 (Obr. 8.9):

i 0 j ∆ L j + hi +

α v i2 2g

= hi +1 +

α v i2+1 2g

+ hz j ,

(8.18)

ozna íme-li rozdíl hladin na úseku j ∆hj:

∆ h j = i 0 j ∆ L j + hi − hi +1 , obdržíme po úprav : ∆ hj =

α (vi2+1 − vi2 ) 2g

+ hz j ,

(8.19)

kde α je Coriolisovo íslo, které p edpokládáme konstantní na celém úseku a g tíhové zrychlení. Druhý len na pravé stran (8.19), zna ící rozdíl rychlostních výšek, m že být: - záporný - k ivka vzdutí (rychlost ve sm ru pohybu se zmenšuje); - kladný - k ivka snížení (je zapot ebí vynaložit energii na p ekonání odpor a na zrychlení vody).

Obr. 8.9 Schéma pro výpo et nerovnom rného proud ní Celkové ztráty hzj na úseku j dostaneme jako sou et ztrát t ením htj a ztrát místních hmj: h z j = ht j + hm j . (8.20) Ztráty t ením vyjad ujeme z Chézyho rovnice pro úsek j, který je ohrani en profily i a i+1: hz t = i p j ∆ L j , (8.21)

kde ipj je pr m rný sklon áry energie. - 106 (188) -


Výpo et ipj m žeme provést n kolika zp soby: a) i p j = b) i p j = c) i p j =

Q2 , K p2 j

Kp j =

i p i + i p i +1 2 A

Cp j =

2 p j

K i + K i +1 , 2

ip i =

,

Q2 , C p2 j R p j

C i + C i +1 , 2

K i = C i Ai

Q2 , C i2 Ai2 Ri

i pi +1 =

Ap j =

Ai + Ai +1 , 2

Rp j =

Ri + Ri +1 . 2

C i2+1

Ri ,

(8.22)

Q2 , (8.23) Ai2+1 Ri +1

(8.24)

d) u prizmatických koryt: ip j =

Q2 , A p2 j C p2 j R p j

hp j =

hi +1 + hi , 2

C p j , A p j , R p j = f (h p j ) . (8.25)

Jako nejvhodn jší se jeví použití vztahu, který dává i pro extrémní pom ry prakticky stejné výsledky, a tím jsou vztahy (8.24). Ztráty místní, které vyjad ují ztráty zm nou pr ezu a jsou zp sobeny p edevším tvarovými rozdíly mezi profily, m žeme vyjád it jako ást absolutní hodnoty rozdílu rychlostních výšek: hm j = ξ

α vi2+1 − α vi2 2g

,

(8.26)

kde ξ je sou initel místní ztráty (Tab. 8.3). Tab. 8.3 Sou initelé místní ztráty rozší ení (vi > vi+1) pozvolné rozší ení: ξ = 0,2∼1,0 náhlé rozší ení: ξ = 0,5∼1,0

zúžení (vi < vi+1) pozvolné zúžení: náhlé zúžení:

ξ = 0,0∼0,1 ξ = 0,5∼1,0

Vlastní ešení za íná vždy v profilu, kde je známá hloubka vody (zadaná okrajová podmínka): - p i í ním proud ní, nap .: - hloubka vody p ed jezem; - kritická hloubka vody p i p echodu z í ního do byst inného proud ní (Obr. 8.10), atd.; - p i byst inném proud ní, nap .: - kritická hloubka vody p i p echodu z í ního do byst inného proud ní (Obr. 8.10), atd. Postup p i výpo tu pr b hu hladiny je pak v závislosti na režimu proud ní (Obr. 8.10) následující: - p i í ním proud ní postupujeme ze zadané hloubky v dolním profilu sm rem proti proudu (okrajová podmínka se zadává do dolního profilu); - p i byst inném proud ní postupujeme ze zadané hloubky v horním profilu sm rem po proudu (okrajová podmínka se zadává do horního profilu). - 107 (188) -


Obr. 8.10 Sm r výpo tu p i ešení nerovnom rného proud ní metodou po úsecích

ešíme-li celkovou délku nerovnom rného proud ní, tj. vzdálenost až po profil s rovnom rným proud ním, neuvažujeme jako kone nou hloubku p i rovnom rném proud ní h0 (ta se teoreticky dosáhne v nekone nu), ale hloubku: h = h0 ± 0,01 h0 , kde znaménka jsou v závislosti na režimu proud ní následující: - p i í ním proud ní -znaménko „+“ je pro a „-“ pro k ivku snížení,

(8.27)

ešení k ivky vzdutí

- p i byst inném proud ní -znaménko „-“ je pro ešení k ivky vzdutí a „+“ pro k ivku snížení.

8.2.3

ešení nerovnom rného pohybu metodou po úsecích v prizmatických korytech

U prizmatických koryt, tj. koryt, jejichž pr to ný pr ez se po délce nem ní, ale m ní se jejich podélný sklon, se dominantn realizují ztráty energie t ením a místní ztráty se zanedbávají. Koryto po délce rozd líme na jednotlivé úseky a p i výpo tu m žeme postupovat dv ma zp soby: - pro zvolený rozdíl hladin ∆hj na úseku j dopo ítáme ∆Lj: zavedením: E i = hi +

α v i2 2g

a

E i +1 = hi +1 +

α v i2+1 2g

,

m žeme (8.18) zapsat do tvaru:

i 0 j ∆ L j + E i = E i +1 + h z j ,

kde

h z j = ht j = i p j ∆ L j .

Odtud pro vzdálenost mezi profily platí: ∆ Lj =

E i +1 − E i , i0 j − i p j

(8.28)

kde pr m rný sklon áry energie ur íme ze vztah (8.22) až (8.25). Celkovou délku toku L, na které dojde p i nerovnom rném proud ní ke zm n hloubky vody v koryt z po áte ní na kone nou hloubku dostaneme tak, že se teme díl í délky úsek :

L=

∆ Lj .

(8.29)

j

- 108 (188) -


- pro zvolenou vzdálenost ∆Lj na úseku j hledáme rozdíl hladin ∆hj podle rovnice (8.19):

∆ hj =

α (vi2+1 − vi2 ) 2g

α (vi2+1 − vi2 )

∆ hj =

2g

+ hz j ,

kde

hz j = ht j = i p j ∆ L j ;

+ ip j ∆ Lj ,

(8.30)

kde pr m rný sklon áry energie ur íme ze vztah (8.22) až (8.25). Nap . zavedením vztahu (8.25) a následnou úpravou nabude rovnice (8.30) tvaru:

∆ hj =

∆ hj = hp j =

α Q2 2g

α Q2 2g

Q2 1 1 − + 2 ∆ Lj , Ai2+1 Ai2 A p j C p2 j R p j

(8.31)

Q2 1 1 − + ∆ Lj , Ai2+1 Ai2 K p2 j

hi +1 + hi , C p j , Ap j , R p j = f (h p j ) , K p j = Ap j C p j 2

Rp j .

Postup se poté provádí postupným p ibližováním (nap . metodou "pokus-omyl"), tj. odhadneme ∆h'j, dopo ítáme pravou stranu rovnice (8.30) a tu porovnáme s odhadnutou hodnotou ∆h'j. P ibližování provádíme tak dlouho, až se odhadnuté ∆h'j a vypo ítané ∆hj p ibližn rovnají. P i malých rozdílech rychlostí v sousedních profilech a u k ivek vzdutí, kdy je rozdíl rychlostních výšek zanedbatelný - první len na pravé stran rovnice (8.30), m žeme rozdíl hladin vypo ítat p ibližn podle vztahu: ∆ h j ≈ ht j = i p j ∆ L j =

8.2.4

A p2 j

Q2 Q2 ∆ L = ∆ Lj . j C p2 j R p j K p2 j

(8.32)

ešení nerovnom rného pohybu metodou po úsecích v p irozených korytech

V p írod se z ídka vyskytuje proud ní v prizmatických korytech. P í ný profil p irozeného neupraveného koryta, jeho tvar a jeho geologické složení, i výškové pom ry dna koryta se po délce toku m ní a výpo et nerovnom rného proud ní v tomto koryt je hydraulický složit jší. P i proud ní se realizují ztráty jak t ením o st ny vedení (dno a b ehy) a mezi jednotlivými proudovými vlákny (zp sobené viskozitou vody) tak také ztráty místní zp sobené zm nami p í ného profilu koryta. Délka úsek , na rozdíl od prizmatických koryt, nem že být volena libovoln , ale koryto po délce rozd líme na takové úseky, ve kterých je možné mezi sousedními dv ma profily stanovit: - jak ztráty t ením charakterizované pr m rným sklonem áry energie; - tak ztráty místní zp sobené zm nami p í ného profilu. - 109 (188) -


Proto se výpo tové profily (ve kterých po ítáme pr b h hladiny tj. hloubky vody) vkládají do sm rových a výškových lom koryta jak je patrné z Obr. 8.11.

Obr. 8.11 Rozd lení koryta na úseky s rovnom rným rozší ením i zúžením a se zm nami podélného sklonu dna koryta

Výsledná rovnice pro rozdíl hladin ∆hj na úseku j, který je ohrani en profily i a i+1 je:

∆ hj =

∆ hj =

α (v i2+1 − vi2 ) 2g

[ (v 2g α

2 i +1

+ ip j ∆ Lj + ξ

)

(

α (vi2+1 − vi2 )

− vi2 + ξ vi2+1 − vi2

2g

) ]+ i

p j

,

∆ Lj ,

kde pr m rný sklon áry energie ipj ur íme ze vztah a sou initel místních ztrát ξ z Tab. 8.3.

(8.33) (8.22) až (8.24)

Rovnici (8.33) m žeme nap . zavedením vztahu (8.24) dále upravit do tvaru:

∆ hj = Q2

α

1 ξ + 2 2 2 2 g Ai +1 − Ai Ai +1 − Ai2

+

∆ Lj Ap2 j C p2 j R p j

.

(8.34)

P i výpo tu pr b hu hladiny po délce toku postupujeme: - délka toku se rozd lí na úseky tak, aby se úsek dal charakterizovat pr m rným p í ným profilem (hranice úseku se vkládá do místa náhlé geometrické zm ny a zm ny podélného spádu dna, stejn tak jako i do místa zaúst ní p ítoku - zm na Q); - ur í se okrajové podmínky pro daný pr tok Q; - pro odhadnuté ∆h'j se vypo tou pot ebné charakteristiky druhého profilu (h, A, C, R, v) a dále pak pr m rné charakteristiky; - eší se rovnice (8.33), vyjde-li odlišná od odhadnuté hodnoty ∆h'j, opakuje se p edchozí bod výpo tu s novým opraveným odhadem ∆h'j až do úrovn požadované shody (p ibližn 1 cm); - eší se další úsek.

- 110 (188) -


8.2.5

Výpo et pr toku ze známého pr b hu hladiny

Velice d ležitým úkolem je sledování pr b hu velkých vod a ur ování jemu odpovídajícímu pr toku. Jsou-li p i kulminaci povodn fixovány v ur ité í ní trati výšky hladiny ve vybraných profilech, m žeme nivelací ur it dostate n podrobn pr b h podélného profilu hladiny a m žeme také zam it vybrané p í né profily (tachymetricky, p íp. nivelací). M žeme-li dále spolehliv ur it drnostní sou initel koryta, pak nám tyto údaje posta í k ur ení pr toku Q. P edpokladem však je, že povod ová vlna je plynulá a pozvolná, a lze ji tedy p ibližn považovat za ustálené nerovnom rné proud ní. - Prizmatické koryto: Na úseku j, který je ohrani en dv ma profily i a i+1, zam íme hladiny a z nich stanovíme rozdíl hladin ∆hj. Dále zm íme vzdálenost mezi profily ∆Lj a parametry p í ných profil Ai, Oi a vypo teme Ri, Ci. Pro pr m rné hodnoty Ap j, Cp j a Rp j m žeme vypo ítat pr tok korytem Q z rovnice (8.31):

Q=

∆ hj ∆ Lj 1 1 − 2 + 2 2 Ai +1 Ai Ap j C p2 j R p j

α 2g

.

(8.35)

- P irozené koryto: Pro zm ený rozdíl hladiny ve dvou profilech lze vypo ítat pr tok Q podle (8.34): Q=

∆ hj

α

1 ξ + 2 2 2 2 g Ai +1 − Ai Ai +1 − Ai2

+

.

∆ Lj A p2 j C p2 j R p

(8.36)

j

Obvykle se zam uje tra , která je složená z n úsek , kde máme zam ené rozdíly hladin ∆h1, ∆h2, ... ∆hn a parametry nn, An, Rn, Cn jednotlivých profil . Pro každý úsek platí rovnice (8.36), jednotlivé hodnoty se se tou a pr tok vypo teme ze vztahu: n

Q=

j =1

∆ hj

1 ξ + 2 2 2 Ai +1 − Ai Ai +1 − Ai2 i =1 2 g n +1

α

+

n j =1

.

∆ Lj A p2 j C p2 j R p

j

Což je vyjád ení pr toku ze zam ené trati p irozeného koryta – hladin a profil .

8.2.6

Výpo et pr tok v ramenech koryta

asto se v í ních korytech stává, že se koryto v tví do dvou ramen, které se po ur ité vzdálenosti op t spojí. Úkolem je stanovení pr tok v jednotlivých ramenech koryta a a b, ze zam ených rozdíl hladin ∆hI-II v profilech I a II (Obr. 8.12). Pro skute né vzdálenosti mezi profily v jednotlivých ramenech

- 111 (188) -


koryta ∆La a ∆Lb a pro stanovené hodnoty pr m rných modul v jednotlivých ramenech Kpa a Kpb musí podle (8.32) platit: ∆ hI − II =

pr toku

Qa2 Qb2 ∆ L = ∆ Lb . a K p2 a K p2 b

Obr. 8.12 Schéma pro výpo et pr tok v ramenech toku z nam ených rozdíl hladin

Pr toky v jednotlivých ramenech vypo teme: Qa = K p a

∆ hI − II , ∆ La

Qb = K p b

∆ hI − II . ∆ Lb

Celkový pr tok v toku Q je roven:

Q = Q a + Qb =

∆ h I − II ∆ La

Kpa + Kpb

∆ La . ∆ Lb

Pro rozdíl hladin platí ∆hI-II : ∆ h I − II =

Q2 K pa + K pb

∆ La ∆ Lb

2

∆ La .

P . 8.1 Upravený tok má složený lichob žníkový p í ný profil (Obr. 8.13). Ší ka dna kynety je bkyn = 30 m, dna berem jsou bb = 25 m široké, b ehy jsou ve sklonu 1:2 (m = 2) a drsnostní sou initel dna i b eh je n = 0,032. Podélný sklon koryta je 0,5 ‰. Podélný i p í ný profil jsou na velkou délku pravidelné, proud ní v toku není narušeno žádnými objekty, takže hladina se vytvo í rovnob žn se dnem, pohyb je rovnom rný. Jaký je pr tok Q, který protéká korytem rovnom rn hloubkou h = 2m. bkyn = 30,0 m; bb = 25,0 m; n = 0,032; i = 0,0005; h = 2,0 m; m = 2; Q = ? m3/s.

Obr. 8.13 Složený profil

- 112 (188) -

Obr. 8.14 Kruhový profil


ešení: Pr to né množství vypo teme zvláš v kynet a v bermách: kyneta: berma: 2 Akyn = h (bkyn + m h) - m (h-hkyn) ; Ab = (h - hkyn) (bb + 0,5 m (h - hkyn)); Ab = (2 - 1)*(25 + 0,5*2*(2 - 1)); Akyn = 2*(30 + 2*2) - 2*(2 - 1)2; Akyn = 66,0 m2; Ab = 26,0 m2; Okyn = bkyn+2(h-hkyn) m 2 + 12 +2(h-hkyn)); Ob = bb + (h-hkyn) Okyn = 30+2*(2-1) Okyn = 36,4721 m; Rkyn =

Akyn Okyn

=

2 2 + 12 +2(2-1) ;

66,0 = 1,8096 m; 36,4721

1 1/ 6 1 Rkyn = 1,80961 / 6 ; n 0,032 Ckyn = 34,4969 m0,5/s;

Ob = 25+ (2-1) 2 2 + 12 ; Ob = 27,2361 m; Rb =

Ab 26,0 = = 0,9546 m; Ob 27,2361

1 1/ 6 1 Rb = 0,95461 / 6 ; n 0,032 Cb = 31,0089 m0,5/s;

Ckyn =

vkyn = C kyn

m 2 + 12 ;

Cb =

R kyn i ;

vb = C b

vkyn = 34,4969 1,8096 * 0,0005 ; vkyn = 1,038 m/s; Qkyn = Akyn vkyn = 66,0*1,038 m3/s; Qkyn = 68,508 m3/s;

Rb i ;

vb = 31,0089 0,9546 * 0,0005 ; vb = 0,6775 m/s; Qb = Ab vb = 26,0*0,6775 m3/s; Qkyn = 17,615 m3/s.

Celkový pr tok dostaneme sou tem pr tok v kynet a v bermách: Q = Qkyn +2Qb = 68,508+2*17,615 = 103,738 m3/s. Korytem protéká pr tok Q = 103,738 m3/s rovnom rn hloubkou h = 2,0 m.

P . 8.2 Kolik vody protéká kruhovou stokou o pr m ru D = 2,0 m, sklonu i = 1,0%, drsnostním sou initeli n = 0,012 a hloubkou (pln ní) h = 1,5 m (Obr. 8.14). D = 2,0 m; r = 1,00 m; i = 0,010; n = 0,012; h = 1,50 m; Q = ? m3/s. ešení: Výpo et provedeme podle Tab. 8.2: h-r ϕ = 2 π - 2 arccos = 4,1888 rad; r r2 A= (ϕ - sin ϕ ) = 2,5274 m2; 2 O = ϕ r = 4,1888 m; A R= = 0,6034 m; O 1 C = R 1 / 6 = 76,6043 m0,5/s; n v = C R i = 5,95 m/s; Q = v A = 15,038 m3/s. Kruhovou stokou protéká pr tok cca Q = 15,038 m3/s.

- 113 (188) -


P . 8.3 Skluz (Obr. 8.15) se sklonem dna i0 = 50‰ odvádí vodu z velké nádrže, ve které je hladina vody ve výšce hh = 3,0 m nad úrovní dna na za átku skluzu (PF1). Skluz má betonový obdélníkový profil se ší kou ve dn b = 5 m. Drsnostní sou initel má velikost n = 0,014. Vyšet ete pro pr tok Q = 45 m3/s pr b h hladiny na skluzu. Skluz p edpokládejte dostate n dlouhý, takže na n m vznikne rovnom rné proud ní. b = 5,0 m; i0 = 0,05; Q = 45,0 m3/s; n = 0,014; g = 9,81 m/s2; hh = 3,0 m; α = 1,05.

Obr 8.15

ešení: 1. Na za átku skluzu se vytvo í kritická hloubka – pro obdélníkový profil (8.15): hk = 3

α Q2 ; g b2

vk =

Q ; hk b

hk = 3

1,05 * 45,02 = 2,05 m; g * 5,02

vk =

45,0 = 4,39 m/s. 2,05 * 5,0

2. Hloubka p i rovnom rném proud ní v obdélníkovém koryt o podélném sklonu i0 = 0,05 (z m rné k ivky): h0 = 0,79m m; A0 = 3,96 m2; O0 = 6,58 m; R0 = 0,60 m; C0 = 65,6174 m0,5/s (dle Manninga); Q0 = 45,0 m3/s. v0 = 11,37 m/s; 3. Výpo et pr b hu hladin ve skluzu – prizmatické koryto. Jedná se o byst inné proud ní, protože v0 > vk a tedy p i výpo tu budeme postupovat sm rem po proudu. Okrajová podmínka je kritická hloubka na za átku skluzu. Ztrátu t ením budeme po ítat podle (8.25). Metodou po úsecích ur íme vzdálenost profil se snižujícím se rozdílem hladin ∆hj tak, abychom dostate n p esn vystihli pr b h hladiny (aby vypo ítané délky úsek ∆Lj byly p ibližn stejné). Poslední hloubku budeme uvažovat hodnotou 1,01 h0 = 0,80 m - viz rovnice (8.27): h = {2,05; 1,80; 1,60; 1,40; 1,20; 1,00; 0,90; 0,85; 0,82; 0,80} m Celý výpo et uspo ádáme do tabulky (Tab. 8.4): hp j =

hi +1 + hi ; 2

Ap j = h p j b ; Rp j = ip j =

∆ Lj =

O p j = 2 hp j + b ;

Ap j ; Op j Ap2 j

Cp j =

Q2 ; C p2 j R p j

1 1/6 Rp j ; n

Ei = hi +

α vi2 ; 2g

Ei+1 − Ei . i0 j − i p j

Tab. 8.4 K ivka snížení v prizmatickém koryt h

A

v=

Q A

E

hp j

Ap j Op j

- 114 (188) -

Rp j

Cp j

ip j

∆L


m

m2

m/s

m

m

2,05 10,25 4,39 3,08 1,93 1,80 9,00 5,00 3,14 1,70 1,60 8,00 5,63 3,29 1,50 1,40 7,00 6,43 3,61 1,30 1,20 6,00 7,50 4,21 1,10 1,00 5,00 9,00 5,33 0,95 0,90 4,50 10,00 6,25 0,88 0,85 4,25 10,59 6,85 0,84 0,82 4,10 10,98 7,27 0,81 0,80 4,00 11,25 7,57

m2 9,63 8,50 7,50 6,50 5,50 4,75 4,38 4,18 4,05

m 8,85 8,40 8,00 7,60 7,20 6,90 6,75 6,67 6,62

m 1,088 1,012 0,938 0,855 0,764 0,688 0,648 0,626 0,612

m0,5/s

1

72,4350 71,5696 70,6644 69,5913 68,2931 67,1191 66,4484 66,0633 65,8120

m -3

3,831 10 5,407 10-3 7,690 10-3 1,157 10-2 1,879 10-2 2,894 10-2 3,697 10-2 4,253 10-2 4,659 10-2

1,22 3,48 7,52 15,58 36,03 43,53 45,90 55,80 89,89 L = Σ ∆Lj = 298,95

Délka toku, na které se v prizmatickém koryt sníží hloubka z hloubky hk = 2,05 m na hloubku p ibližn rovnou hloubce p i rovnom rném proud ní h0 = 0,79 m, je L = Σ ∆Lj = 298,95 m.

Kontrolní otázky - Definujte ustálené rovnom rné proud ní vody v otev ených korytech. - Definujte ustálené nerovnom rné proud ní vody v otev ených korytech. - Co je to prizmatické a neprizmatické koryto? - Co je to k ivka vzdutí a snížení?

9

Vodní skok

P echod z í ního proud ní do byst inného (nap . p i zlomu sklonu) bývá plynulý. Opa ný p echod z byst inného proud ní do í ního se d je nespojit vodním skokem. Vodní skok je hydraulický jev, který vzniká p i p echodu z pohybu byst inného do í ního (za p epadem p es jez, p i výtoku pod stavidlem, p i zm n sklonu dna toku z i0 > ik na i0 < ik, apod.). Vyzna uje se náhlým zv tšením hloubky vody a p echodem od velké rychlosti k malé. Vodním skokem se kinetická energie m ní za velké ztráty celkové energie v energii potenciální. Vodní skok je charakterizován vzájemnými hloubkami vodního skoku, tj. hloubkou h1 v pr ezu t sn p ed vodním skokem p i proud ní byst inném a hloubkou h2 v pr ezu t sn za vodním skokem p i proud ní í ním. Vzdálenost mezi t mito dv ma pr ezy se nazývá délka vodního skoku Ls. Rozdíl vzájemných hloubek h2 - h1 = hs se nazývá výška vodního skoku. Základním typem je prostý vodní skok s povrchovým válcem (Obr. 9.1). Rotující válec pokrývá základní proud a strhává se sebou vzduch. Pohyb vody

- 115 (188) -


v povrchovém válci je nepravidelný. V dolní ásti, kde se válec dotýká základního proudu, pohybují se ástice vody stejným sm rem jako proud, v horní ásti pak sm rem opa ným. Mezi základním proudem a povrchovým válcem se ástice neustále vym ují.

Obr. 9.1 Prostý vodní skok

9.1

Druhy vodního skoku

Vodní skok m že být: - s dnovým režimem (Obr. 9.2 a,b); - nebo s povrchovým režimem (Obr. 9.2 c,d).

Obr. 9.2 Typy vodního skoku, a) prostý, b) vlnovitý, c) povrchový, d) povrchový - vzdutá vlna

Podle hloubky h1 p i byst inném proud ní a z jí odpovídající hodnoty Froudova kritéria Fr1 = αg vh - je možné klasifikovat vodní skok s dnovým režimem: 2 1 1

- vodní skok prostý (Obr. 9.2 a) u n hož lze v podélném ezu z eteln rozlišit základní rozbíhající se proud p i dn a siln provzdušn ný válec na povrchu (Fr1 > 3, h2 > 1,8 hk); - vlnovitý vodní skok (Obr. 9.2 b), který vzniká p i malé výšce vodního skoku (h2 - h1), hlavn p i h2 < 1,3 hk . Projevuje se adou tlumených vln bez vodního válce (Fr1 < 3). Podle polohy vodního skoku s dnovým režimem vzhledem k vodní stavb se rozeznává: - vodní skok oddálený (Obr. 9.3 a, Obr. 9.4 a); - vodní skok p ilehlý (Obr. 9.3 b, Obr. 9.4 b); - vodní skok vzdutý (Obr. 9.3 c, Obr. 9.4 c).

Obr. 9.3 Poloha vodního skoku vzhledem ke stavidlu

- 116 (188) -

Vodní skok

V p ípad povrchového vodního skoku, který má kompaktní roztékavý proud p i povrchu a vodní válec p i dn a který vzniká p i zaúst ní byst inného proudu nade dno, rozeznáváme: - povrchový vodní skok (Obr. 9.2 c); - vzdutá vlna (Obr. 9.2 d). Poloha vodního skoku k vodnímu dílu závisí na hloubce vody v odpadním kanále hd , jejíž velikost m žeme ovliv ovat r znými technickými úpravami.

Obr. 9.4 Polohy vodního skoku, a) oddálený, b) p ilehlý, c) vzdutý

9.2

Prostý vodní skok

9.2.1

Funkce vodního skoku

Obr. 9.5 Schéma k výpo tu prostého vodního skoku

Obr. 9.6 Funkce vodního skoku

Budeme ešit prostý vodní skok v prizmatickém koryt mezi ezy 1-1 a 2-2 (Obr. 9.5). Použijeme v tu o hybnosti (4.28) a následující p edpoklady a zjednodušení: - malý sklon dna, takže m žeme zanedbat složku tíhy kapaliny ve sm ru pohybu; - vodní skok prob hne na malé délce, proto m žeme zanedbat síly t ení na st nách koryta; - v pr ezech p ed ( ez 1-1) a za vodním skokem ( ez 2-2) je plynule se m nící pohyb, takže rozd lení tlaku uvažujeme p ibližn podle pravidel hydrostatiky; - Boussinesqovo íslo stejné v obou pr ezech. Jediné p sobící síly na výseku proudu jsou síly tlakové. Síly v ezu 1-1 a 2-2 jsou: F1 = ρ g z1 A1 ,

, resp.

F2 = ρ g z 2 A2 ,

- 117 (188) -

(9.1)


kde z1 a z2 jsou hloubky t žišt pr to ného pr ezu 1-1 a 2-2 pod hladinou a A1 a A2 jsou pr to né plochy. Dosazením (9.1) do (4.28) dostaneme:

β ρ Q (v 2 − v1 ) = F1 − F2 ; β ρ Q (v2 − v1 ) = ρ g ( z1 A1 − z2 A2 ) . Úpravou a zavedením v1 = Q/A1 a v2 = Q/A2 dostaneme pro prostý vodní skok platnost:

β Q2

+ z1 A1 =

g A1

β Q2 g A2

+ z 2 A2 ,

(9.2)

která obsahuje na obou stranách funkce hloubky. Ozna íme:

β Q2

+ z i Ai = Φ (hi )

g Ai

(9.3)

a tento dvoj len nazveme funkcí vodního skoku. Z rovnice (9.2) vyplývá: Φ (h1 ) = Φ (h2 ) .

(9.4)

V grafu na Obr. 9.6 je sestrojena závislost Φ(hi) pro daný tvar koryta a pro Q = konst. Z této závislosti je patrné, že první vzájemná hloubka h1 < hk a druhá h2 > hk. ím menší je h1, tím v tší je k ní vzájemná hloubka h2. Funkce vodního skoku nabývá minimální hodnotu p i kritickém proud ní (h1 = h2 = hk). Kritická hloubka je tedy vzájemná sama sob .

9.2.2

Výpo et vzájemných hloubek

Oby ejn jednu ze vzájemných hloubek známe a hledáme druhou. Pro hloubku h1 lze tedy z podmínky (9.4) ur it hloubku h2. Výpo et je vhodné vynést graficky (Obr. 9.6), odkud p ímo ze závislosti Φ(hi) nalezneme h1 a h2 na spole né svislici. Pro vodní skok v obdélníkovém koryt s vodorovným dnem o ší ce b, m žeme analyticky odvodit jednoduchý vztah mezi vzájemnými hloubkami. Dosadíme-li do (9.2) za A1 = b h1, A2 = b h2, z1 = h1/2 a z2 = h2/2 obdržíme:

β Q2

β Q2 1 1 2 + b h1 = + b h22 g b h1 2 g b h2 2 2 β h2 Q 2 gb 2β Q gb

2

2

2

+ h13 h2 =

2 β h1 Q 2 gb

(

2

⋅

2 h1 h2 , b

+ h1 h23 ,

)

(h2 − h1 ) = h1 h2 h22 − h12 ,

2 β Q2 = h1 h2 (h2 + h1 ) g b2 h22 + h1 h2 −

⋅

1 , h1

2 β Q2 =0. g b 2 h1

Dostali jsme kvadratickou rovnici pro h2. Fyzikální smysl má jen její kladný ko en:

- 118 (188) -

Vodní skok

h2 =

h1 8β Q2 -1 + 1 + 2 g b 2 h13

(9.5)

a podobn : h2 8β Q2 h1 = -1 + 1 + 2 g b 2 h23

9.2.3

.

(9.6)

Délka vodního skoku

Vedle ur ení vzájemných hloubek je d ležitým parametrem vodního skoku jeho délka, kterou se rozumí vzdálenost od za átku do konce krycího vodního válce. Pro výpo et délky vodního skoku v obdélníkových profilech existuje ada empirických vztah , které dávají dosti rozdílné výsledky: Smetana:

Ls = 6 (h2 - h1 ) ,

(9.7)

Pavlovsky:

Ls = 2,5 (1,9 h2 - h1 ) .

(9.8)

V literatu e lze nalézt délku vodního skoku podle Pikalova, ertousova, Boora, atd.

9.2.4

Ztráta energie ve vodním skoku

Ztrátu energie ve vodním skoku vyjád íme z Bernoulliho rovnice pro profily 1 a 2 (Obr. 8.5): E n = E 2 - E1 =

(h2 - h1 ) 3 . 4 h1 h2

(9.9)

Ztráta je p ímo úm rná t etí mocnin výšky vodního skoku hs. Blíží-li se ob hloubky hloubce kritické, výška skoku se zmenšuje a ztrát rychle ubývá.

9.3

Spojení hladin vodních zdrží – návrh vývaru

Pojmem spojení hladin vodních zdrží ozna ujeme komplex hydraulických jev p i p echodu vodního proudu p es vodní dílo, které za ínají v horní zdrži a kon í v tom míst dolní zdrže, kde se vytvá í normální, p irozený odtokový režim, daný hydraulickými a geometrickými parametry koryta. První etapa zahrnuje hydraulické jevy - ustálený výtok z nádoby otvorem a p epady. Druhá etapa obsahuje hydrauliku vývaru, tj. ásti stavby, ve které se m ní byst inné proud ní na proud ní í ní pomocí vodního skoku. Ve t etí etap p echází proud z vývaru do p irozeného odtokového režimu v dolní zdrži.

Obr. 9.7 Spojení zdrží vodního díla

- 119 (188) -


9.3.1

Základní rovnice

Napišme Bernoulliho rovnici pro pr ezy 0-0, který je ve vzdálenosti (3 ~ 5) h p ed p elivem, a C-C t sn za p epadovým blokem, ve kterém je hloubka vodního paprsku nejmenší (Obr. 9.7): E0 = s + h +

α v 02 2g

= hc +

α v c2 2g

+ hz ,

(9.10)

kde hz je ztrátová výška p i p echodu vodního paprsku mezi pr ezy 0-0 a C-C, která lze vyjád it vztahem: hz = ξ

v c2 . 2g

(9.11) 1

Definováním rychlostního sou initele ϕ = E 0 = hc +

v c2 2gϕ2

= hc +

Q2 2 g ϕ 2 Ac2

α+ξ

m žeme psát:

.

(9.12)

Z (9.12) m žeme ur it hc a pr to nou plochu Ac = f(hc). Vývar vodního díla má oby ejn obdélníkový pr ez o ší ce b. Pak bude Ac = b hc a tedy: E 0 = hc +

hc =

Q2 , 2 g ϕ 2 b 2 hc2

Q

ϕ b 2 g ( E 0 − hc )

E0 = s + h +

=

α v 02 2g

q

ϕ 2 g ( E 0 − hc )

,

q=

.

Q , b

(9.13) (9.14)

Rychlostní sou initel ϕ se ur uje experimentální cestou a jeho hodnoty jsou uvedeny v Tab. 9.1. Výpo et hc v rovnici (9.14) provádíme postupným p ibližováním, tj. hledáme takové hc, pro které platí rovnice (9.14). K hloubce hc p i byst inném proud ní vypo teme druhou vzájemnou hloubku h2 vodního skoku podle (9.3) a (9.4). Tab. 9.1 Hodnoty rychlostního sou initele ϕ 1 2 3 4

5

6 7 8

Druh p íslušenství vodního díla výtok otvorem do vzduchu bez p elivné hrany výtok p i dn p epady bez uzáv ru p epady s uzáv ry p epady s proudnicovými p elivnými plochami bez uzáv r p i hladkém povrchu p elivné plochy: a) p i malé délce p elivné plochy, b) p i st ední délce p elivné plochy, c) p i velké délce p elivné plochy, p epady s proudnicovými p elivnými plochami s uzáv ry p i hladkém povrchu p elivné plochy p epady hrubých tvar p epady p es širokou korunu

- 120 (188) -

ϕ 1,00 - 0,97 1,00 - 0,95 1,00 1,00 - 0,97 1,00 0,95 0,90 0,95 - 0,85 0,90 - 0,80 0,95 - 0,85

Vodní skok

Obr. 9.8 Zjednodušené schéma prohloubeného vývaru

9.3.2

Dimenzování podjezí - vývaru

ást koryta pod p elivy p ehrad, jez , spodními výpustmi nazýváme podjezí vývar. V podjezí probíhá p echod byst inného proud ní do í ního vodním skokem a z tohoto d vodu je nutné dno opevnit. Cílem je navrhnout podjezí tak, aby se p i všech možných pr tocích vytvá el vzdutý vodní skok. V tšinou je hloubka vody v koryt neposta ující (h2 > hd => nastal by oddálený vodní skok a dno v podjezí by bylo namáháno vysokými rychlostmi v delší trase), a proto je zapot ebí podjezí oproti korytu prohloubit. Toto prohloubení se nazývá vývarem a vodní skok v n m lze lokalizovat bezprost edn u paty p elivu jako vzdutý vodní skok. Vývar je ást stavby, ve které se m ní byst inné proud ní v í ní vodním skokem a ve kterém se zna ná ást mechanické energie p em ní v její jiné formy (teplo, zvuk, atd.). Vytvo í se stavebním prohloubením dna (Obr. 9.8). Hloubka vývaru 1. posouzení typu vodního skoku – porovnání vzájemného vztahu mezi hloubkami hd a h2 (Obr. 9.4), kde hloubka vody v koryt hd za vodním skokem je pro libovolný pr tok Q dána m rnou k ivkou koryta hd = f(Q). Hloubka h2(Q) je vzájemná hloubka vodního skoku k hloubce hc(Q) v pr ezu C-C u paty jezu podle (9.14). Je-li: - hd < h2 - u paty jezu nejsou spln ny podmínky vzniku vodního skoku a byst inné proud ní pokra uje dále. P i velkých rychlostech nastávají zna né ztráty t ením, energetická výška E se ve sm ru pohybu zmenšuje a hloubky byst inného proud ní p ibývá. Toto byst inné proud ní pokra uje tak daleko, až dosáhne hloubky h1, která je vzájemná k hloubce h2' = hd. V tom míst jsou spln ny zákonité podmínky vzniku vodního skoku, který se zde vytvo í. M že to být i velmi daleko od jezu (i n kolik set metr ). Jedná se o vodní skok oddálený; - hd = h2 - což je p ípad nahodilý a zcela výjime ný. Pak jsou p ímo u paty jezu vytvo eny zákonité podmínky vzniku vodního skoku, vznikne vodní skok p ilehlý; - hd > h2 - vodní skok by m l tendenci putovat sm rem proti proudu, emuž ovšem brání jezové t leso. Z stává lokalizován u paty tohoto t lesa jako vodní skok vzdutý. Dolní voda zalije vodní skok;

- 121 (188) -


2. ur ení míry vzdutí vodního skoku σ ze vztahu: hd . (9.15) h2 Je–li σ > 1,05 není nutné navrhovat prohloubení dna v podjezí – tzv. vývar. Je-li σ < 1,05 je nutno navrhnout prohloubení dna u paty objektu o hloubku vývaru d tak, aby byla pro prohloubené koryto spln na podmínka:

σ=

hd + d = σ h2 .

(9.16)

P i popsaném jednoduchém a bezpe ném zp sobu výpo tu posta í, je-li σ = 1,05 až 1,10. Je nutno ješt upozornit, že nejv tší hloubka vývaru d nemusí vyjít pro nejv tší p epadající pr tok Q. P i rostoucím Q totiž se rychleji zvyšuje hladina pod jezem než hladina nad jezem, takže se rozdíl hladin (spád) zmenšuje. Pr tok, p i kterém je zapot ebí nejhlubší vývar se nazývá návrhový pr tok. P i jeho stanovení se postupuje tak, že se volí r zné pr toky Qi, k nim se postupn po ítají hci, h2i a hdi. Návrhový pr tok pro návrh prohloubení vývaru je ten, pro který je h2i - hdi maximální. Délka vývaru Podle zkušeností je vodní skok v prohloubeném vývaru kratší než vodní skok prostý. Délka vývaru lze vyjád it nap íklad podle Nováka (Tab. 9.2):

Lv = K (h2 − h1 ) ,

K=f

h2 h1

.

(9.17)

Délka vývaru se m í od místa dopadu paprsku na dno vývaru, tedy od pr ezu s hloubkou hc. Místo dopadu je u proudnicových p elivných ploch dáno jejich konstrukcí. Délka vývaru je odvislá od výšky vodního skoku hs, která je funkcí pr toku hs(Q). Délka vývaru se stanovuje pro nejv tší výšku vodního skoku ze všech pr tok . Délka vodního skoku a vývaru vychází nejv tší zpravidla pro Qmax. Tab. 9.2 Hodnoty K pro výpo et délky vývaru podle Nováka h2 / h1

K

3-4 4-6 6 - 20 20 a více

9.3.3

5,5 5,0 4,5 4,0

Schéma hydraulického ešení vývaru

1. ur ení návrhového pr toku: v rozmezí zadaných p epadových pr tok , pro daný pr tok Qi: - stanoví se hloubku vody v odpadním koryt hdi (z m rné k ivky koryta pod objektem); - spo ítá se tlouš ku zúženého p epadového paprsku hci (9.13 a 9.14):

hci =

Qi

ϕ b 2 g ( E 0i − hci )

,

- 122 (188) -

E 0 i = s + hi +

α v 02i 2g

;

Vodní skok

-

a to postupným p ibližováním (v prvním p iblížení se zanedbá hodnota hci na pravé stran první rovnice); p edpokládá se hci = h1i (p ilehlý vodní skok); vypo te se druhá vzájemná hloubka h2i; vypo te se vzdutí ∆ hi = (h2i - hdi); návrhový pr tok se ur í pro maximální rozdíl ∆ hmax ;

2. pro návrhový pr tok se ur í typ VS vzhledem ke stavb : σ = hdi / h2 < 1 oddálený VS; =1 p ilehlý VS; >1 vzdutý VS; 3. posoudí se nutnost vývaru: - je-li σ > 1,05 vývar není nutné navrhnout; < 1,05 vývar je t eba navrhnout; 4. výpo et hloubky vývaru (Obr. 9.9): h +d - odhadne se hloubka vývaru d: σ= d = (1,05 ~ 1,10) , h2 d ≈ 1,10 h2 - hd ; - provede se oprava velikosti energetické výšky pr ezu (vztažené ke dnu vývaru):

E 0′ = E 0 + d = s + h +

α v 02 2g

+d ;

- spo ítá se hc, h2 a posoudí se míra vzdutí: h +d σ= d ∈ (1,05 ~ 1,10) ; h2 - pokud σ nevyhoví je zapot ebí hloubku vývaru d opravit; 5. výpo et délky vývaru: pro délku vývaru udává Novák vztah (9.17): Lv = K (h2 - h1 ) ,

K=f

h2 h1

.

Obr. 9.9 P . 9.1 P es pevný jez (Obr. 9.10) p epadá voda p i p epadové výšce h = 0,7 m (h0 = 0,712). Ší ka jezu je b = 15 m. Posu te, zda je pot eba navrhnout pro uvažovaný pr tok vývar (α = 1,05, β = 1, s = 2,5 m, s1 = 1,0 m, hd = 0,8 m, ϕ = 0,87). P i výpo tu p epadového pr toku uvažujte m = 0,39. Bo ní zúžení neuvažujte. Koryto má obdélníkový tvar.

- 123 (188) -


b = 15 m; h = 0,7 m; α = 1,05; s = 2,5 m; m = 0,39; g = 9,81 m/s2.

hd = 0,8 m; h0 = 0,712; β = 1,0; s1 = 1,5 m; ϕ = 0,87;

Obr. 9.10 ešení: 1. ur ení Q:

Q = m b 2 g h03 / 2 ;

Q = 15,568 m3/s; 2. výpo et vzájemných hloubek vodního skoku: E0 = s + h0 = 3,212 m ; hc se eší itera n :

hc =

Q ; ϕ b 2 g ( E 0 − hc )

0. p iblížení:

hc(0) = 0 m;

1. p iblížení:

hc(1) =

2. p iblížení:

hc( 2 ) =

Q

ϕ b 2 g ( E0 − hc( 0 ) ) Q ϕ b 2 g ( E 0 − hc(1) )

= 0,150 m; = 0,154 m;

3. p iblížení: hc(3) = 0,154 m; hc se považuje za h1 (h1 = hc = 0,154 m) a vypo te se druhá vzájemná hloubka h2: h2 =

h1 8β Q 2 -1 + 1 + = 1,120 m ; 2 g b 2 h13

hd < h2 = > oddálený vodní skok; nutno navrhnout prohloubení dna koryta d tak, aby v n m vznikl vzdutý vodní skok; 3. návrh hloubky vývaru: σ=

hd + d ; σ = (1,05 ~ 1,10) h2

d * = 1,10 h2 - hd ;

d* = 0,43 m

návrh:

d = 0,45 m;

4. ov ení návrhu (výpo et vzájemných hloubek vodního skoku - uvažuje se vývar): E 0′ = s + h0 + d = 3,662 m ; hc se eší itera n :

hc =

Q ; ϕ b 2 g ( E 0 − hc )

0. iterace:

- 124 (188) -

hc(0) = 0 m;

Vodní skok

1. iterace:

hc(1) =

2. iterace:

hc( 2 ) =

Q ϕ b 2 g ( E0 − hc( 0 ) ) Q ϕ b 2 g ( E 0 − hc(1) )

= 0,141 m; = 0,144 m;

3. iterace: hc(3) = 0,144 m; hc se považuje za h1 (h1 = hc = 0,144 m) a vypo te se druhá vzájemná hloubka h2: h2 = σ=

hc 8β Q 2 -1 + 1 + = 1,167 m; 2 g b 2 hc3 hd + d = 1,07 ∈ (1,05;1,10) h2

=> návrh prohloubení dna vývaru d = 0,45 m je dosta ující; 5. výpo et délky vývaru (dle Nováka): Lv = K (h2 - h1); K(8,1) = 4,5; Lv = 4,6 m.

Kontrolní otázky - Jaké se rozlišují druhy vodního skoku? - Jaké jsou polohy vodního skoku? - Co je to vývar?

10

Mosty

Cesty, silnice a železnice, p ípadn pr plavy a náhony se p evád jí p es vodní toky pomocí most a propustk (Kap. 11). Jako most ozna ujeme oby ejn v tší objekt tohoto druhu, propustkem potom rozumíme menší objekt, který p ípadn ani nemusí p erušovat násyp komunikace po celé výšce. P esné hranice však nejsou dány. Z hydraulického hlediska m žeme rozd lit mosty a propustky takto: - most je objekt, kde z hydraulického hlediska m žeme zanedbat ztráty t ením oproti místním, - propustek je objekt, kde je délka objektu proti pr ezovým rozm r m velká a nelze zanedbat místní ztráty. Tato definice však také není úpln p esná. Zasahuje-li mostní konstrukce nebo propustek do pr to ného profilu p emost ného toku, dochází ke zúžení pr to né plochy koryta. Zúžením koryta obvykle dojde ke zvýšení vodní hladiny, tzv. vzdutí p ed mostem a k zv tšeným rychlostem proud ní v mostním profilu. Z hydraulického hlediska je proud ní otvorem mostu, vyzna ující se bo ním zúžením, analogické proud ní na p epadu se širokou korunou.

- 125 (188) -


10.1 Mosty na tocích s í ním proud ním

Obr. 10.1 í ní proud ní pod mostem se a) zatopeným a b) nezatopeným vtokem

10.1.1 Vtok zatopený dolní vodou Vtok zatopený dolní vodou (Obr. 10.1 a) nastane tehdy, jestliže platí: hd > κ E , (10.1) kde E je energetická výška pr ezu v profilu p ed mostem a κ je sou initel pro výpo et most (Tab. 10.1). Proud ní mostem p ed mostem:

E=h+

ešíme

použitím

Bernoulliho

rovnice

α v 02

pro

profil

(10.2)

2g

a pro profil za vtokem:

α vσ2

vσ2 Q2 E = hσ + +ξ = hσ + , 2g 2g 2 g ϕ 2 Aσ2

(10.3)

kde v0 je p ítoková rychlost, vσ rychlost za vtokem, ξ sou initel vyjad ující místní ztráty na vtoku a ϕ rychlostní sou initel (Tab. 10.1). asto je možné vliv p ítokové rychlosti oproti hodnot E zanedbat, a potom platí h ≅ E. Vzdutí zp sobené mostem vypo ítáme ze vztahu: ∆ H = h − hh = E -

α v02 2g

- hh ,

(10.4)

kde hh je p vodní nevzdutá hloubka p ed mostem (v tšinou hh = hd ). Pr tok mostem pro zadanou vzdutou hloubku vypo teme podle vztahu pro nedokonalý p epad p es širokou korunu: Q = ϕ Aσ

2 g ( E - hσ ) ,

(10.5)

kde pro obdélníkový pr to ný pr ez platí Aσ = bhσ, b je sv tlá ší ka mostního profilu a pro hloubku hσ platí: hσ = hd

je - li dno mostu v úrovni dna koryta;

hσ = hd - s d

p i výšce prahu sd nade dnem.

- 126 (188) -

Mosty

Tab. 10.1 Sou initelé pro výpo et most typ A B C D E

Plynulé bo ní p ipojení m ϕ κ 0,96 0,72 0,36 0,94 0,75 0,35 0,91 0,79 0,33 0,90 0,81 0,32 0,85 0,88 0,26 A B C D E

Bo ní k ídla Bo ní k ídla šikmá zaoblená m m ϕ κ ϕ κ 0,95 0,73 0,36 0,95 0,74 0,36 0,93 0,76 0,35 0,92 0,78 0,34 0,90 0,81 0,32 0,88 0,83 0,30 0,88 0,83 0,30 0,87 0,85 0,29 0,83 0,91 0,23 0,81 0,93 0,20

Bo ní k ídla pravoúhlá m ϕ κ 0,94 0,75 0,35 0,91 0,79 0,33 0,87 0,85 0,28 0,86 0,87 0,27 0,79 0,95 0,16

dno mostu je v úrovni dna p ítokového koryta ve dn mostu je práh se zaoblenou vstupní hranou ve dn mostu je práh se zkosenou vstupní hranou ve dn mostu je práh s pravoúhlou vstupní hranou ve dn je práh s pravoúhlou vstupní hranou (nep íznivé podmínky, nerovný povrch)

10.1.2 Vtok není zatopený dolní vodou Vtok není zatopený dolní vodou (Obr. 10.1 b), platí-li podmínka: hd < κ E . (10.6) Pro výpo et pr toku vody mostním profilem používáme vztah pro výpo et dokonalého p epadu p es širokou korunu. Pro pr tok mostem platí: Q = m b 2 g E 3/ 2 ,

(10.7)

kde m je sou initel p epadu (Tab. 10.1). Pro zadaný pr tok vypo ítáme energetickou výšku pr ezu p ed mostem: E=

2/3

Q mb 2 g

.

(10.8)

Vzdutí mostem se stanoví podle rovnice (10.4).

10.2 Mosty na tocích s byst inným proud ním Zúžení pr to ného pr ezu koryta mostem zp sobí pod mostem zvýšení hloubky z p vodní hodnoty hh na hodnotu hm. Pro energetickou výšku pr ezu v profilu mostu platí:

Em = hm +

α Q2 2 g (hm b) 2

.

(10.9)

Energetická výška pr ezu p ed mostem je: Eh = Em + hz . Ztrátu hz se vyjád íme následujícím zp sobem: hz = 0,3

v02 . 2g

(10.10)

P i velkém zúžení pr ezu nemusí pr tok protékat pod mostem hloubkou hm, ale m že p ed mostem vzniknout í ní proud ní. V koryt p ed mostem p ejde byst inné proud ní do í ního proud ní vodním skokem. Tuto okolnost je t eba brát v úvahu p i návrhu velikosti mostního profilu a výšky konstrukce mostu nad hladinou.

- 127 (188) -


P . 10.1 Upraveným korytem lichob žníkového p í ného pr ezu se ší kou ve dn b = 10 m a se sklony svah 1:2 protéká Q = 70 m3/s hloubkou t = 3 m. Jaké vzdutí zp sobí most (pravoúhlá bo ní k ídla) sv tlosti B = 10 m. b = 0 m; g = 9,81 m/s2; B = 10 m; α = 1,00; Q = 70 m3/s; ϕ = 0,94 (Tab. 10.1); hσ = hd = hh = t = 3 m; κ =0,75 (Tab. 10.1).

Obr.10.2 Schéma pr toku mostem ešení: P edpokládejme zatopený vtok (10.3) - první p iblížení E ≅ h: E = hσ +

Q2 70 2 ; = 3,0 + 2 2 2 g ϕ Aσ 2 * 9,81* 0,94 2 30 2

Aσ = B hσ = (10*3) = 30 m2;

E = 3,31 m. Ov ení p edpokladu zatopeného vtoku (10.1): hd = 3,0 > κ E = 0,75*3,31 = 2,49 m, takže náš p edpoklad byl správný. Ur íme hloubku vody p ed mostem podle (10.2). Jelikož není známa p ítoková rychlost, je vhodné postupovat itera n : 1. iterace: h(1) = E = 3,31 m;

A0(1) = (b h(1)) + 2 (h (1} ) 2 = 55,11 m2; v0(1) =

2. iterace: h(2) = E -

3. iterace: h(3) = E Vzdutí:

70 Q = 1,27 m/s; = A0(1) 55,11

(v0(1) ) 2 = 3,23 m; A0(2) = (bkor h(2)) + 2 (h ( 2} ) 2 = 53,21 m2; 2g 70 Q = 1,32 m/s; v0( 2 ) = ( 2 ) = 53,21 A0 (v0( 2) ) 2 = 3,23 m. 2g

∆H = h - hh = 3,23 - 3,00 = 0,23 m.

Most vzduje vodu o 23 cm.

Kontrolní otázky - Jaký je rozdíl mezi mostem a propustkem? - Jak se po ítá pr tok mostem na toku s í ním proud ním?

- 128 (188) -

Propustky

11

Propustky

Propustkem v technické praxi rozumíme menší objekt se stálým pr ezem a sklonem dna, kterým protéká voda pod silnicí, železnicí, p ípadn pr plavem, náhonem apod. V monografii "Jarošenka, Andrejeva a Prokopovi e" je uvedeno více než 95 možných zp sob pr toku, a to v závislosti na sklonu dna propustku, na délce propustku, na pom rech na vtoku a výtoku z propustku, atd. P i praktickém výpo tu rozlišujeme t i základní pr toková schémata proud ní v propustcích: - propustky s volnou hladinou po celé délce propustku; - propustky se zatopeným vtokem, u nichž je p ed vtokem hladina vody výše než strop propustku, a dále je v propustku volná hladina; - tlakové propustky vypln né po celé délce vodou (propustky s tlakovým režimem proud ní). Popsané zp soby proud ní se v ur itém propustku mohou m nit v závislosti na kolísání pr toku. Menší pr tok protéká po celé délce propustku s volnou hladinou, p i zvyšování pr toku se zahlcuje vtok a p i dalším zvýšení pr toku m že voda vyplnit pr to ný profil po celé délce propustku a vyvolat v n m proud ní tlakové. Vtok do propustku je doprovázen kontrakcí vodního proudu. Zúžený pr ez, který je závislý na tvaru vtoku, m že být bu volný nebo od výtoku z propustku vzdutý (zatopený). Vzdutí (zatopení) m že zp sobit bu volná hladina pod propustkem nebo malý sklon dna dlouhého propustku.

Obr. 11.1 Typy vtoku do propustku k Tab. 11.1 Tab. 11.1 Sou initel ztráty na vtoku, rychlostní, výškového zúžení a zatopení vtoku Sou initel typ vtoku místních ztrát na (Obr. 11.1) vtoku ξv a 0,40 ≈ 0,50 b 0,80 ≈ 0,90 c 0,70 ≈ 0,80 d 0,05 ≈ 0,10 e 0,10 ≈ 0,15 f 0,30 ≈ 0,40

rychlostní sou initel ϕ

sou initel výškového zúžení χ

sou initel zatopení vtoku β

0,85 ≈ 0,82 0,75 ≈ 0,73 0,77 ≈ 0,75 0,98 ≈ 0,95 0,95 ≈ 0,93 0,88 ≈ 0,85

0,90 0,86 0,87 0,97 0,95 0,94

1,20 ≈ 1,16 1,09 ≈ 1,08 1,10 ≈ 1,09 1,45 ≈ 1,40 1,40 ≈ 1,33 1,40 ≈ 1,36

- 129 (188) -


11.1 Propustky s volnou hladinou po celé délce Propustek má volnou hladinu po celé délce, je-li hloubka vody p ed propustkem: h < β D, h < β hp , (11.1) kde β je sou initel zatopení vtoku (Tab. 11.1), D pr m r kruhového propustku a hp sv tlá výška obdélníkového propustku.

11.1.1 Propustky neovlivn né dolní vodou Kontrakcí p i vtoku se hloubka na za átku propustku zužuje na hloubku hc:

hc = χ h k ,

(11.2)

kde χ je sou initel výškového zúžení (Tab. 11.1) a hk kritická hloubka odpovídající danému pr toku v daném profilu propustku. Protože χ je menší než 1 (χ < 1), je v zúženém pr ezu za vtokem byst inné proud ní. To m že být ovlivn no dolní vodou jen tehdy, když hloubka vody v propustku za vtokem p evýší hloubku druhé vzájemné hloubky vodního skoku. a) Obdélníkový propustek ší ky b Hloubka dolní vody musí být menší než druhá vzájemná hloubka k hc: hd <

hc 8 β Q2 -1 + 1 + , 2 g hc3 b 2

dosazením za hc = χ hk a kritickou hloubku obdélníkového koryta hk3 = αg Qb , obdržíme: 2

2

hd <

χ hk 2

-1 + 1 +

8β

α χ3

,

(11.3)

kde β je v (11.3) Boussinesqovo íslo.

Obr. 11.2 Kruhové propustky s volnou hladinou, volným vtokem a výtokem

- 130 (188) -

Propustky

b) Kruhový propustek (o pr m ru D) Propustek nebude ovlivn n dolní vodou, bude-li sklon dna v tší nebo p ibližn roven sklonu kritickému (i0 > ik, i0 = ik) - Obr. 11.2. Dále je zapot ebí pro daný pr tok Q prokázat, že je menší než pr tok kapacitní QD, který ur íme nap . z Chézyho a Manningovy rovnice: 1 Q < Q D = R 2 / 3 A i0 . (11.4) n Pro vzdutí p ed obdélníkovým nebo kruhovým propustkem platí: ∆ H = h - hh ,

(11.5)

kde hh je p vodní nevzdutá hloubka vody v koryt p ed propustkem a h vzdutá hloubka vody p ed propustkem. Hloubku vody p ed propustkem h ur íme z Bernoulliho rovnice:

E=h+

α v2

,

2g

h=E-

odtud:

α v2 2g

;

(11.6)

a pro energetickou výšku zúženého pr ezu platí: E = hc +

v c2 2gϕ2

= hc +

Q2 2 g ϕ 2 Ac2

.

(11.7)

11.1.2 Propustky ovlivn né dolní vodou Je-li hladina dolní vody tak vysoko nebo (p i dlouhém propustku) sklon dna tak malý, že hloubka dolní vody za propustkem ovliv uje zúženou hloubku hc za vtokem (Obr. 11.3), je vtokový pr ez odspodu zatopen. Propustek potom ešíme jako nedokonalý p epad p es širokou korunu: Q = ϕ b hσ

2 g ( E − hσ ) ,

(11.8)

kde ϕ je rychlostní sou initel (Tab.11.1), hσ hloubka vody v profilu za vtokem do propustku ur ená ešením pr b hu hladiny p i nerovnom rném proud ní (Kap. 8.2) od výtoku z propustku.

Obr. 11.3 Propustek s volnou hladinou ale vtokem zatopeným dolní vodou

11.2 Propustky s volnou hladinou a zatopeným vtokem Zv tšuje-li se pr tok v propustku s volnou hladinou, dojde k zahlcení vtoku (Obr. 11.4). To nastane, je-li hloubka vzduté vody p ed propustkem: h > β D, h > β hp , kde β je sou initel zatopení vtoku (Tab. 11.1), D pr m r kruhového propustku a hp sv tlá výška obdélníkového propustku.

- 131 (188) -


Obr. 11.4 Propustky s volnou hladinou, zatopeným vtokem a) neovlivn né dolní vodou, b) pr ez za vtokem ovlivn ný dolní vodou

11.2.1 Propustky neovlivn né dolní vodou Pr tok propustkem se zahlceným vtokem a neovlivn ným dolní vodou (Obr. 11.4 a) po ítáme podle vztahu:

Q = ϕ Ac

2 g ( E - hc ) ,

(11.9)

kde ϕ je rychlostní sou initel (Tab. 11.1), Ac zúžená plocha za vtokem do propustku: Ac = 0,62 A ,

(11.10)

kde A je sv tlá plocha p í ného ezu propustkem a hc zúžená hloubka: - obdélníkový propustek: hc = 0,62 hp ; - kruhový propustek: hc = 0,60 D .

11.2.2 Propustky ovlivn né dolní vodou Zúžený pr ez Ac m že být zatopen bu vzdutím od výtoku (nap . hd > hk Obr. 11.4. b) nebo následkem malého sklonu propustku p i jeho v tší délce. Z ešení nerovnom rného proud ní (Kap. 8.2) proti sm ru pohybu od výtoku dostaneme hloubku hσ za vtokem do propustku, která zatápí vzniklý vodní skok. Pro energetickou výšku platí:

E = hσ +

vσ2 2 gϕ2

= hσ +

Q2 , 2 g ϕ 2 b 2 hσ2

(11.11)

a pr to né množství: Q = ϕ b hσ 2 g ( E − hσ ) ,

(11.12)

kde hσ je hloubka vody za vtokem do propustku, kterou ur íme ešením pr b hu hladiny p i nerovnom rném proud ní od výtoku z propustku.

- 132 (188) -

Propustky

11.3 Tlakové propustky (kruhové) Tlakovému proud ní u obdélníkových propustk je vhodné se vyhnout, protože jde o velice komplikované proud ní.

Obr. 11.5 Tlakové kruhové propustky a) výtok není zahlcen, b) zatopený výtok

Po stránce hydraulické jde o hydraulicky krátké potrubí, jehož p íklad jsme ukázali na p íkladu shybky (Kap. 7.6.1). U propustk jsou tlakové výšky relativn malé proti rozm r m p í ného pr ezu. Proto i když voda za propustkem zcela zahlcuje výtokový pr ez (hd > D), nemusí být ješt zaru eno tlakové proud ní. V objektu se m že vytvo it volná hladina a v propustku nebo za ním m že vzniknout vodní skok. Podobné pr tokové pom ry jsou nestabilní, vznikají p i nich pulsace a nárazy od vzduchových "pytl " po délce propustku, atd. Tlakového proud ní v propustku m že nastat, je-li pr tok propustkem Q v tší než kapacita propustku QD p i i0:

1 2/3 R A i0 , (11.13) n p i emž kapacitní pr tok QD se po ítá z Chézyho a Manningovy rovnice. Q > QD =

11.3.1

Výtok z propustku není zatopen dolní vodou

Pro hloubku vody hv ve výtokovém pr ezu propustku platí: - je-li: hk > D, pak hv = D , - je-li: hd < hk < D, pak hv = hk , - je-li: hk < hd < D, pak hv = hd . Jedná-li se o první p ípad (hk > D, hv = D), propustek ešíme jako hydraulicky krátké potrubí a z Bernoulliho rovnice platí: E = (i − i 0 ) L + (α + ξ v )

v2 +D, 2g

kde sklon áry energie i m žeme vyjád it z Darcy-Weisbachovy rovnice ( i = λ DL 2v g ) a ξv je sou initel ztrát na výtoku (Tab. 11.1). Po úprav dostaneme: 2

E = α + ξv + λ

L v2 + D − i0 L . D 2g

- 133 (188) -


Zanedbáme-li p ítokovou rychlost ( E = h ), obdržíme pro pr tok: h - D + i0 L . (11.14) L α + ξv + λ D U dalších dvou p ípad po ítáme pr b h hladiny od výtoku proti proudu (p i nerovnom rném proud ní) a hledáme vzdálenost, od které nastane tlakové proud ní. Q= A 2g

11.3.2

Výtok z propustku je zatopen dolní vodou

Výtok z propustku je zatopen dolní vodou (Obr. 11.5 b), jsou-li spln ny podmínky (11.13) a na konci výtokového pr ezu propustku je tlak v tší než atmosférický tlak, tj. ∆ > ∆ min =

v d (v - v d ) , g

(11.15)

kde vd je pr ezová rychlost v odpadním koryt a v pr ezová rychlost v propustku. Podmínka (11.15) zabezpe uje ustálené tlakové proud ní v celém propustku až po výtokový pr ez bez rušivých vliv (tlakové pulsace, atd.). Pro pr tok, p i zanedbání p ítokové rychlosti, platí: Q= A 2g

h - hd + i 0 L + ∆ min . L 1 + ξv + λ D

(11.16)

P . 11.1 Navrhn te sv tlou výšku obdélníkového propustku ší ky 2,0 m, tak aby bylo zaru eno proud ní o volné hladin v celém propustku. Propustkem protéká Q = 5,0 m3/s. Vtok je ostrohranný, za propustkem je skluz. Dále navrhn te sklon dna propustku tak, aby vtokový pr ez nebyl zatáp n odspodu. P ítokovou rychlost v koryt zanedbejte. b = 2,0 m; Q = 5,0 m3/s; χ = 0,90; β = 1,16 (sou initel zatopení vtoku); ϕ = 0,82; β = 1,0 (Boussinesqovo íslo); α = 1,0; n = 0,018. ešení: Nejprve ur íme kritickou hloubku hk a hloubku zúženého pr ezu hc: hk = 3

αQ2 = 0,860 m; g b2

hc = χ hk = 0,774 m.

Následn ur íme rychlost ve zúženém a energii ve vtokovém pr ezu: vc =

Q = 3,23 m/s; hc b

E = hc +

vc2 = 1,56 m; 2 g ϕ2

Je-li p ítokové koryto zna n širší než ší ka propustku, je v n m p ítoková rychlost v0 zanedbateln malá a pro hloubku vody p ed propustkem platí: E=h+

α v02 = h = 1,56 m. 2g

- 134 (188) -

Propustky

V opa ném p ípad bychom hloubku vody po ítali postupným p ibližováním. Minimální sv tlá výška propustku plyne z podmínky (11.1): h < β hp

hp >

h = 1,35 m. β

Minimální výška propustku hp je 1,35 m, aby vtok do propustku nebyl zatopen. Zúžený pr ez se za ne zatáp t p i hloubce dolní vody: χ hk 8β -1 + 1 + 2 α χ3

= 1,107 hk = 0,953 m.

Pon vadž je výtok volný (za výtokem je skluz) a vytvo í se v n m p ibližn kritická hloubka, vzniknou v celé délce propustku hloubky h < 0,952m. Bude-li mít dno propustku minimáln takový sklon dna, p i kterém je h = 0,953 m hloubka p i rovnom rném proud ní propustkem p i pr tok Q = 5,0 m3/s. Podle Manninga: A = h b = 1,905 m2; O = 2h + b = 3,905 m; A = 0,488 m; O Q v= = 2,624 m/s; A R=

1 1/ 6 R = 49,2924 m0,5/s; n v2 i0 = 2 = 0,0058 = 5,8 ‰. C R C=

P i sklonu dna propustku i0 = 5,8 ‰ a v tším nebude vtok zatopen a ovlivn n dolní vodou.

Kontrolní otázka - Jaké jsou základní pr toková schémata proud ní v propustcích?

12 Proud ní podzemní vody ást vodních srážek spadlých na povrch zemský stéká vlivem gravitace po povrchu formou plošného odtoku, který se postupn koncentruje do tok a odtéká jako povrchový odtok viz dále v ásti hydrologie. ást srážek vsakuje pod zemský povrch a jako podzemní – podpovrchová voda se zú ast uje hydrologického ob hu vody v p írod . Zeminy a horniny jsou tvo eny pevnou ásti (skeletem) a póry, které mohou být vypln né vodou a plyny. Podpovrchová voda proudí navzájem propojenými dutinami - póry zemin a trhlinami a puklinami hornin. V zeminách a horninách se voda vyskytuje v r zných formách: - voda pevn vázaná – hydroskopická voda ve form krystalických a strukturálních vod, kterou nelze z p d odstranit ani zah áním nad 1050C; - voda vázána silovým polem povrchu pevných ástic (adsorpci) jako tak zvaná voda obalová (lze ji odstranit zah áním nad 1050C); - voda vázána v pórech zeminy povrchovým nap tím vody jako kapilární voda; - voda volná – gravita ní voda, která se po p ekonání výše uvedených sil voln pohybuje zeminami a horninami vlivem gravitace do nižších horizont .

- 135 (188) -


Geologická formace – geologické prost edí, u kterého jsou póry zcela vypln ny vodou se nazývá zvodn lou vrstvou a tato prost edí podle schopnosti p evád t vodu skrz sebe za obvyklých podmínek jsou bu propustná prost edí, polopropustná prost edí a nepropustná prost edí, která mohou, nebo nemusí obsahovat ve svých pórech vodu (jíly nebo kompaktní skalní horniny). Voda ve zvodn lých vrstvách m že být s volnou hladinou nebo je pod tlakem (nap . artéská voda). Volná hladina je imaginární hladina, na které je statický tlak roven atmosférickému tlaku. Její úrove koresponduje s hladinami v pozorovacích studnách – piezometrech. Jednotlivé typy zvodn lých vrstev jsou patrné z Obr. 12.1.

Obr. 12.1 Typy zvodn lých vrstev

Studiem pohybu – proud ní podzemních – podpovrchových vod se zabývá hydraulika podzemních vod. Rovnice popisující proud ní podzemních vod jsou odvozeny z obecných rovnic hydrodynamiky se zahrnutím specifik tohoto proud ní. Proud ní vody v porézním prost edí je velmi složité proud ní závislé jak na struktu e – geometrii porézního prost edí tak na fyzikálních vlastnostech kapaliny. Proto k ešení úloh proud ní podzemních vod využíváme principu spojitosti a determinismu známých z fyziky. Podstata principu spojitosti tkví v tom, že proud ní v pórech zeminy aproximujeme spojitým fiktivním proud ním vody tímto prost edím bez ohledu na prostorové rozložení pór a zrn v zemin . Tento p ístup p edpokládá, že voda spojit vypl uje celou protékanou oblast. Princip determinismu vychází z p edpokladu, že hledané veli iny popisující proud ní vody porézním prost edím se realizují s pravd podobností rovnou jedné, tj. s jistotou. Princip determinismu je zjednodušením reálné skute nosti, protože jak geometrie porézního prost edí, tak i hledané veli iny mají náhodný charakter. Není úkolem tohoto textu popsat ešení všech úloh proud ní podzemních vod. Pro první p edstavu o ešení n kterých úloh proud ní podzemních vod, uvedeme v dalším jen n která analytická ešení t ch nejjednodušších p ípad , tak jak byla uvedena v druhé polovin devatenáctého a ve dvacátém století.

12.1 Darcyho vztah

V létech 1852-1855 provád l první experimenty proud ní vody pís itými filtry v Dijonu Henry Darcy. Výsledky získané z výsledk experiment konaných na p ístroji znázorn ném na Obr. 9.2 publikoval v roce 1856. Dosp l k záv ru, - 136 (188) -

Proud ní podzemní vody

∆

že celkový pr sak Q vzorkem zeminy ve válci je p ímo úm rný pr to nému pr ezu válce A, rozdílu h1 – h2 , konstant k a nep ímo úm rný délce vzorku L: h − h2 . (12.1) Q=k A 1 L P evýšení hladiny v piezometru nad srovnávací rovinou p h= +z ρg se nazývá piezometrická výška a p edstavuje sou et tlakové a polohové energie p íslušející jednotce tíhy pr toku. Kinetickou energii m žeme zanedbat pon vadž rychlost proud ní podzemní vody se pohybuje ádov v hodnotách 10-3 m/s a menších. Konstanta k má rozm r m/s a nazývá se sou initel hydraulické vodivosti nebo filtra ní sou initel. Filtra ní sou initel charakterizuje vlastnost porézního prost edí p evád t vodu skrz sebe, charakterizuje tvar a rozložení zrn zeminy a pór a zohled uje fyzikální vlastnosti protékající vody. Orienta ní hodnoty uvádí Tab. 12.1.

Obr. 12.2 Darcyho filtra ní p ístroj

Pro dva blízké profily s piezometrickými výškami h1, h2 vzdálenými od sebe ve sm ru proud ní ∆s, m žeme pro ∆s → 0 psát: lim

∆s → 0

h1 − h2 h − h1 dh =− =i, = lim − 2 ∆s → 0 ∆s ds ∆s

pak m žeme psát rovnici (12.1) ve tvaru: dh Q = Avf = − Ak = Ak i . ds Odkud: dh vf = −k =ki , ds

(12.2)

(12.3)

což je filtra ní rychlost (specifický objemový pr sak). Filtra ní rychlost vf je rychlostí fiktivního proud ní, kdy p edpokládáme, že voda vypl uje spojit celou oblast proud ní bez ohledu na zrna skeletu.

Obr. 12.3 ez porézním prost edím

- 137 (188) -


Na Obr. 12.3 je nakreslen ez porézním prost edím, kterým prosakuje voda, a to skute nou bodovou rychlostí u(x,y,z,t). Kolmo na sm r proud ní je zvolena pr to ná plocha A, kterou prosakuje pr tok Q. Tato plocha musí být dostate n malá vzhledem k oblasti, kterou voda prosakuje, ale naopak dostate n veliká vzhledem k velikosti pór . Plocha (Obr. 12.3), kterou prosakuje voda je plochou pór a platí pro ni: Ap =

A ip = n A , i

kde n je pórovitost. Pro pr tok Q platí:

vs =

Q = u d A = vs Ap ,

Avf vf Q = = , Ap An n

(12.4)

kde vs je st ední rychlost filtrující vody v pórech zeminy. P i pohybu podzemní vody se však ást vody nezú ast uje pohybu. Proto p i stanovení st ední rychlosti vody v pórech zavádíme tzv. efektivní pórovitost nef a p i poklesech hladiny aktivní pórovitost na (na < nef < n). Schopnost porézního prost edí p evád t skrze sebe tekutiny (kapaliny a plyny) popisuje sou initel propustnosti kp:

kp =

kυ , g

(12.5)

kde υ je sou initel kinematické viskozity a k sou initel hydraulické vodivosti. Tab. 12.1 Koeficient hydraulické vodivosti k Druh zeminy jíl pís itá hlína písky s jíl. ásticemi

k [m/s] -8

10 a mén 10-6 a mén 10-6 až 2 10-6

Druh zeminy jemný písek hrubozrnný písek št rkopísek

k [m/s] -5

10 až 5 10-5 10-4 až 5 10-4 2 10-4 až 10-3 i více

12.2 Dupuitovy p edpoklady Dupuitovy p edpoklady jsou ú inným nástrojem ešení úloh proud ní podzemní vody s volnou hladinou. Dupuit (1863) vyslovil svoje p edpoklady na základ pozorování sklon volné hladiny podzemních vod, kdy zjistil, že sklony hladin v b žných podmínkách jsou 1:100 ~ 1:1000. U ustáleného rovinného proud ní podzemních vod s volnou hladinou je volná hladina proudnicí. Ve všech bodech této proudnice je filtra ní rychlost vf te nou k této proudnici a vypo te se z Darcyho vztahu: dh dz vf = −k = −k = − k sin ϕ . ds ds Podél volné hladiny je tlak p = 0 tak jak je znázorn no na Obr. 12. 4.

a

piezometrická

výška

h = z,

Sklon hladiny a úhel ϕ je velmi malý. Dupuit navrhl pro tyto malé úhly nahradit: dz dh . sin ϕ ≈ tg ϕ = = dx dx

- 138 (188) -


Obr. 12.4 Dupuitovy p edpoklady P edpoklad malého úhlu ϕ je rovnocenný p edpokladu, který dovoluje aproximovat skute né pr to né plochy svislými plochami. Na skute né ekvipotenciální ploše je h = h(x,z) na náhradní svislé ploše je h = h(x). Dupuit p edpokládá p evážn jednosm rný charakter proud ní, u kterého filtra ní rychlost vf je po pr to né ploše (svislici) konstantní a závisí na sklonu hladiny:

vf = −k

dh , dx

kde h = h(x).

12.3 Jímání podzemní vody Ú elem jímání podzemní vody je jednak její využití jako vody pitné a užitkové, jednak snížení její hladiny p i zakládání staveb a odvod ování zem d lské p dy. K jímání podzemní vody se používají tyto druhy jímacích za ízení: - svislé jímací za ízení - studny: - úplná - zasahuje až na nepropustné podloží; - p ítok: pláš ; - neúplná - nezasahuje až na nepropustné podloží; - p ítok: pláš ; - dno; - s volnou hladinou; tlaková; - soustava studní; - vodorovná jímací za ízení - zá ezy; - smíšená jímací za ízení - studny s horizontálními sb ra i - studny radiální.

12.3.1 Filtra ní stabilita na plášti studny Od erpáváme-li ze studny velký pr tok, p itéká do ní voda z okolí velkou rychlostí, strhuje jemné ástice (jemnou frakci) zeminy – vnit ní eroze a ucpává jimi filtr na obvodu studny. Vydatnost takové studny pak postupem asu klesá. Abychom tomu p edešli, nep ipouštíme na obvodu studny nadm rné rychlosti. Maximáln p ípustnou p ítokovou kritickou rychlost na plášti studny m žeme ur it ze vztah : k [m/s] , 15

- podle Sichardta:

v max =

- podle Abramov-Gabrilenka:

v max = 65 3 k [m/den] .

- 139 (188) -


12.3.2 Úplná studna s volnou hladinou Úplnou studnou nazýváme takovou studnu, která prochází celou zvodn lou vrstvou až na nepropustné podloží. Voda do studny p itéká pouze plášt m studny. Odebíráme-li ze studny pr tok Q, sníží se hladina v jejím okolí o snížení z a vytvo í rota ní plochu - depresní kužel. Vzdálenost, ve které se prakticky neprojeví snížení hladiny podzemní vody p i odb ru vody studnou nazýváme dosahem - ú innosti studny R (m í se od osy studny). Pro jeho výpo et používáme vzorce: R = 3000 z k [m] ; (12.6) podle Sichardta :

R = 575 z k Y [m] , podle Kusakina: (12.7) kde z je snížení hladiny ve studni a Y mocnost zvodn lé vrstvy. Dosah snížení R je tím v tší, ím je zemina propustn jší. P i výpo tu úplné studny vycházíme z následujících p edpoklad : - povrch nepropustného podloží je vodorovný; - zvodn lá filtra ní vrstva o mocnosti Y je homogenní (v dosahu studny je stejný sou initel hydraulické vodivosti k); - odebírané množství Q je konstantní. P i výpo tu studny s volnou hladinou vycházíme z Dupuit va teorému (filtra ní rychlost je ur ena sklonem hladiny) - Obr. 12.5: dy vf = k (12.8) dr a válcové plochy soust edné s osou studny m žeme považovat za pr to né plochy. Ve vzdálenosti r vedeme válcovou filtra ní plochu o velikosti 2 π r y, kterou protéká pr tok: dy Q = Av f = 2π r y k . dr Po provedení separace prom nných a po integrování v mezích od y0 do y a od r0 do r obdržíme rovnici depresní k ivky: Q r . y 2 − y 02 = ln π k r0 Jedná se logaritmickou k ivku, pro níž je p vodní úrove hladiny podzemní vody asymptotou. Pro výpo et odb ru Q ze studny uvažujeme y = Y a r = R: Y 2 − y 02 , (12.9) Q=π k R ln r0 kde k je hydraulická vodivost, Y mocnost zvodn lé vrstvy, y0 hloubka vody na plášti studny p i erpání, r0 polom r studny a R dosah studny. P i stanovení sou initele hydraulické vodivosti k v dané lokalit se vychází z výsledk takzvané erpací zkoušky. Ze studny se odebírá p i konstantním snížení hladiny z ve studni pr tok Q. Ve dvou sondách (1 a 2) vzdálených od st edu studny r1 a r2 m íme hloubku vody (y1 a y2). Z rovnice (12.9) pak m žeme stanovit pro nam ené hodnoty sou initel hydraulické vodivosti k: r Q ln 1 r2 . k= 2 π ( y 2 − y12 )

- 140 (188) -


Obr. 12.5 Úplná studna s volnou hladinou

Obr. 12.6 Neúplná studna

12.3.3 Neúplná studna s volnou hladinou Neúplné studny nedosahují až k nepropustnému podloží (Obr. 12.6). Voda do studny p itéká plášt m i dnem studny. Je-li dno studny vysoko nad nepropustným podložím, ovlivní odb r ze studny pouze horní ást zvodn lé vrstvy, tzv. aktivní pásmo o výšce A. Pod tímto pásmem z stává voda prakticky v klidu. Výšku A m žeme ur it z Tab. 12.2 (dle ertousova).

Tab. 12.2 Koeficienty pro výpo et neúplné studny z yd

0,2

0,3

0,5

0,8

1,0

A yd

1,3

1,6

1,7

1,85

2,0

Pro výpo et pr toku rozlišujeme dva p ípady: - nepropustné podloží je nad hranicí aktivní vrstvy (Obr. 12.6 a), pak odb r vody Q m žeme ur it podle empirického Forchheimerova vztahu:

Q =π k

Y2 −T2 R ln r0

y 0 − 0,5 r0 T

2 T − y0 , T

4

(12.10)

který platí pro studny napájené st nami i dnem. P i nepropustném dnu studny odpadá ve druhém zlomku len 0,5 r0, - je-li nepropustné podloží pod hranicí aktivní vrstvy (Obr. 12.6 b), m žeme použít (12.10), uvažují se však vždy výšky hladiny v aktivním pásmu, tedy Y nahradíme hodnotou A a T hodnotou TA:

Q =π k

A 2 − Ta2 R ln r0

y 0 − 0,5 r0 Ta

4

2 Ta − y 0 . Ta

(12.11)

12.3.4 Studny tlakové Je-li zvodn lá vrstva seshora omezená nepropustným nadložím, pak po provrtání této nepropustné vrstvy vystoupí tlaková (napjatá) voda ve studni nebo v sond do úrovn odpovídající tlakové výšce. P i výtoku nebo p i erpání z tlakové studny vytvo í hladiny v sondách okolo studny depresní plochu a v ezu svislou rovinou depresní k ivku. P i ešení p edpokládáme, že:

- 141 (188) -


- zvodn lá vrstva je vodorovná, - má stálou mocnost, - a je stejnorodá.

Úplná tlaková studna Úplná tlaková studna (Obr. 12.7) prochází celou výškou h zvodn lé vrstvy. Voda tedy proudí ke studni koncentrickými válcovými plochami o stálé výšce, tedy A = 2 π r h a pro odb r platí: dy Q = A v f = 2π r h k , dr kde dd ry je sklon tlakové áry. Separací prom nných a integrováním v mezích od y0 do y a od r0 do r obdržíme rovnici depresní k ivky: Q r y − y0 = ln . (12.12) 2 π h k r0 Pro výpo et odb ru Q zavedeme do výpo tu dosah ú innosti studny a p vodní úrove tlakové áry, tedy r = R a y = Y:

2 π h k (Y − y 0 ) 2 π h k z = , R R ln ln r0 r0 kde z je snížení hladiny z = (Y - y0). Q=

Obr. 12.7 Úplná tlaková studna

(12.13)

Obr. 12.8 Neúplná tlaková studna

Neúplná tlaková studna U neúplné tlakové studny zasahuje pláš jen do ásti l zvodn lé vrstvy (Obr. 12.8). Pr tok Q se dá z úplné tlakové studny podle Forchheimera modifikovat takto: Q=

2π k h z R ln r0

l h

4

2h − l . h

(12.14)

12.3.5 Studny vsakovací Studna vsakovací (Obr. 12.9) je taková studna, do které p ivádíme povrchovou vodu, která následn vsakuje do pórovitého prost edí - zeminy. Tak se um lou infiltrací zv tšuje množství podzemní vody.

- 142 (188) -


Výpo et vsakovací studny provádíme za obdobných p edpoklad a stejným zp sobem jako u studny úplné. P i vsakování je hloubka vody ve studni y0 > Y a voda infiltruje do okolního prost edí. Hladina utvo í elevan ní k ivku:

y 02 − y 2 =

Q r ln π k r0

a z ní vyjád eme p ítok Q do studny (dosazením za r = R a y = Y): Q=π k

y 02 − Y 2 . R ln r0

(12.15)

Obr. 12.9 Vsakovací studna

Obr. 12.10 Sb rná štola

12.4 Sb rná štola Je-li menší výška zvodn lé vrstvy, používáme pro jímání vody sb rné štoly (Obr. 12.10). P edpokládejme sb rnou štolu s obdélníkovým pr to ným pr ezem, jejíž dno sahá až na nepropustné vodorovné podloží. Filtrace bude symetrická k ose štoly a ur eme jednostranný výron podzemní vody q na délce štoly 1m. Bude-li aktivní délka štoly L, dostaneme celkový výron: Q = 2 q L. (12.16) Pro výpo et výronu q použijeme Dupuitovy teorémy: dy q = y 1,0 k . dx Provedeme separaci prom nných: q yd y = d x k a po integrování v mezích od y0 do Y a od 0 do R obdržíme vztah pro výron na 1 metr délky: k (Y 2 − y 02 ) . 2R Celkový výron (z obou stran a na délce L) je q=

k (Y 2 - y 02 ) L Q = 2q = . R

(12.17)

- 143 (188) -


12.5 Soustava studní

V praxi asto nesta í na v tší odb ry podzemní vody jedna studna, a proto se erpá ze soustavy studní (Obr. 12.11). Snížení hladiny je pak také pravideln jší. Toho m žeme využít i p i zakládání staveb, když pot ebujeme snížit hladinu podzemní vody v okolí stavební jámy. Nech soustava studní je tvo ena n úplnými studnami. Kdyby každá pracovala samostatn , byly by rovnice depresních k ivek podle Dupuitova teorému : 2 y 2 − y 01 =

Q1 r ln π k r01

Obr. 12.11 Soustava studní

Q2 r ln π k r02 ; Q r = n ln π k r0 n

2 y 2 − y 02 =

y 2 − y 02n

(12.18)

kde r01, r02, ... , r0n jsou polom ry jednotlivých studní a Q1, Q2, ... , Qn odb ry z nich. P edpokládejme, že p i sou asném p sobení všech n studní bude hodnota y2 v bod A dána sou tem p sobení jednotlivých studní ve vzdálenostech r1, r2, ... , rn od tohoto bodu: y2 =

Q1 r Q r ln 1 + 2 ln 2 + π k r01 π k r02

+

Qn r ln n + C , π k r0 n

(12.19)

kde C je integra ní konstanta. Rovnice se zjednoduší, když budou všechny odb ry stejné Q1 + Q2 + ... + Qn = Q. Celkový odb r ze soustavy tedy bude Qc = nQ. Rovnici (12.19) pak m žeme zapsat ve tvaru: y2 =

Qc [ln (r1 r2 π kn

rn ) − ln (r01 r02

r0 n )] + C ,

(12.20)

Pro ur ení C se zjednodušen p edpokládá, že rozdíl vzdáleností jednotlivých studní od bodu A je zanedbatelný, tedy: r1 ≈ r2 ≈

≈ rn = r .

Potom y2 =

Qc 1 ln r − ln (r01 r02 πk n

r0 n ) + C

a dosadíme-li za y výšku zvodn lé vrstvy Y a tomu odpovídající dosah ú innosti soustavy studní r = R, obdržíme: C =Y2 −

Qc 1 ln R − ln (r01 r02 πk n

r0 n ) .

- 144 (188) -

(12.21)


Vztah (12.21) dosadíme do (12.20) a dostaneme vztah pro polohu hladiny: y2 =

y2 =

Qc 1 1 ln (r1 r2 rn ) − ln (r01 r02 r0 n ) + Y 2 − πk n n , Qc 1 ln R − ln (r01 r02 r0 n ) − πk n Qc 1 ln (r1 r2 πk n

rn ) − ln R + Y 2 .

(12.22)

Celkový odb r soustavou studní je:

Qc =

π k (Y 2 − y 2 )

. (12.23) 1 ln R − ln (r1 r2 rn ) n Pro dosah ú innosti R soustavy studní byl vlastn odvozen výraz Kusakin v (12.7), i když se ho používá také pro jednotlivou studnu. Hodnota z je v n m snížení uprost ed soustavy studní, u nesoum rného uspo ádání ji uvažujeme v t žišti soustavy. Rovnice (12.22) a (12.23) se zjednoduší, budou-li studny na kružnici o polom ru rS. Pak pro st ed S soustavy platí r1 = r2 = ... = rn = rS, takže: y2 = Y 2 − Qs =

Qc R ln , π k rS

π k (Y 2 − yS2 ) ln

R rS

(12.24) ,

(12.25)

kde yS je výška hladiny ve st edu S soustavy.

P . 12.1

Studna o pr m ru D = 0,5 m sahá do nepropustného podloží zvodn lé vrstvy s tlakovou vodou. Úrove podloží je na kót 260 m n.m., mocnost zvodn lé vrstvy je h = 5,0 m, sou initel hydraulické vodivosti k = 0,001 m/s. Ur ete úrove tlakové áry ve vzdálenosti 60 m od osy studny p i odb ru Q = 0,006 m3/s, když se hladina ve studni ustálí na kót 268 m n.m. k = 0,001 m/s; h = 5,0 m; D = 0,5 m; r0 = 0,25 m; Q = 0,006 m3/s; r = 60,0 m; y0 = (268,0 - 260,0) m = 8,0 m; ešení: Z rovnice tlakové áry ili depresní k ivky (12.12) dostaneme: Q r y = y0 + ln ; 2 π h k r0 y = 9,05 m. Ve vzdálenosti 60 m od osy studny bude tedy kóta tlakové 260,0 m n.m. + 9,05 m = 269,05 m.

áry

P . 12.2 K odvodn ní stavební jámy (Obr. 12.13), jejíž dno je na kót 270 m n.m, jsou navrženy 4 studny. Vypo t te celkový odb r Qc z této soustavy studní p i stejné kapacit každé jednotlivé studny, je-li p vodní hladina podzemní vody na kót - 145 (188) -


272 m n.m. Nepropustná vrstva, ke které studny sahají je na kót 260 m n.m. Koeficient hydraulické vodivosti je k = 0,0005 m/s. k = 0,0005 m/s; Y = (272 - 260) m = 12,0 m; yS = (270 - 260) m = 10,0 m; zS = (272 - 270) m = 2,0 m;

Obr. 12.12 Návrh studní pro odvodn ní stavební jámy ešení: Pro spln ní požadavku na odvodn ní stavební jámy, je zapot ebí snížit HPV ve st edu výkopu S na kótu 270 m n.m. Ve všech ostatních místech jámy, pak bude HPV níže. Dosah snížení dle Kusakina:

R = 575 z S k Y ; R = 89,1 m;

n = 4 (studny) rS = r1 = r2 = r3 = r4 = 10 2 + 7,5 2 = 12,5 m; Celkový odb r soustavou studní je podle (12.25):

Qs =

π k (Y 2 - y S2 ) ln R - ln rS

;

Qs = 35,2 l/s. Na každé erpadlo p ipadne 1/4 QS, tedy 8,8 l/s.

Kontrolní otázky - Jakých hodnot nabývá sou initel hydraulické vodivosti? - Jaký je rozdíl mezi úplnou a neúplnou studnou?

- 146 (188) -

Hydrologie - základní pojmy

ÁST II – HYDROLOGIE 13


13.1 Význam a rozd lení hydrologie Hydrologie je v da, která se soustavn zabývá poznáváním zákon výskytu a ob hu vody v p ítrod . Její význam a úloha plyne z nepostradatelnosti vody pro vše živé, pro život a innost lov ka. Získané znalosti o zdrojích vod, o vzniku a rozd lení odtoku vod na povrchu i pod povrchem zemským, mohou být využity pro zlepšení podmínek života na Zemi. Hydrologické údaje, které obsahují d ležité charakteristiky vodního režimu, jsou podkladem: - pro návrh koncep n správného, hospodárného a dob e fungujícího vodohospodá ského díla; - pro návrh vodohospodá ského zásahu, který zlepší vodní pom ry. Na výsledcích hydrologie staví: - hydrotechnika, která se zabývá problematikou využití vodní energie, výstavbou p ehrad, jez , úpravami tok , splavn ním tok a všemi otázkami vodních cest; - hydromeliorace, v jejichž rámci budujeme závlahy a odvodn ní zem d lských pozemk , provádí se protierozní opat ení v postižených nebo na erozi náchylných územích. Do této oblasti pat í též hrazení byst in a zakládání rybník ; - zdravotní inženýrství, pro které hydrologie poskytuje podklady, nutné k ešení všech otázek spojených s problematikou odvád ní a išt ní odpadních vod, zajiš ováním sídliš a pr myslu pitnou a užitkovou vodou atd. Pot eba a spot eba vody neustále nar stá. Vzhledem k omezenému množství vody je t eba nároky spole nosti plánovat tak, aby vodní zdroje byly pro r zné národohospodá ské ú ely využívány racionáln a optimálním zp sobem. Tuto celkovou ídící a koncep ní úlohu zastává vodní hospodá ství. Jeho innost je prakticky nemyslitelná bez dobrých a spolehlivých hydrologických podkladových materiál . Hydrologie spolupracuje a využívá poznatky mnoha sty ných obor , mezi které pat í p edevším: - meteorologie, zkoumající fyzikální zm ny a d je v ovzduší, kde se odehrává p em na par na vodní srážky, transport vláhy na velké vzdálenosti apod.; - klimatologie, zkoumající dlouhodobý režim po así; - pedologie, geologie a hydrogeologie, zabývající se prost edím, do kterého voda po dopadu na zemský povrch infiltruje; - hydraulika, zabývající se klidem a pohybem vody; - a ada dalších jako agrotechnika, atd. Krom toho využívá postupy, metody a prost edky teoretických v dních obor jako matematika, statistika, teorie pravd podobnosti, fyzika, chemie apod. Hydrologii lze rozd lit na hydrologii mo í a hydrologii pevnin. Hydrologii pevnin m žeme dále d lit na hydrologii atmosféry (hydrometeorologie), hydrologii tekoucích vod (potamologie), hydrologii stojatých vod (limnologie), hydrologii podzemních vod a hydrologii ledovc (glaciologie).

- 147 (188) -


Hydrologie se d lí na n kolik oddíl . Ta ást, zabývající se pozorováním, cílev domým shromaždováním, klasifikací, t íd ním a zpracováváním získaného materiálu, se nazývá hydrografie. Základním p edpokladem innosti je m ení hydrologických prvk . Proto další oddíl, zvaný hydrometrie, se v nuje návrhu vhodných p ístroj , metod m ení a samotnému m ení v terénu. ást hydrologie, která poskytuje pot ebná data a informace pro projek ní innost, provozní innost a údržbu vodohospodá ských d l a stavební innosti lov ka v bec, se nazývá inženýrská hydrologie. Krom toho slouží a je pot ebná pro veškeré aktivity, sloužící k zachování stávajícího dobrého, p ípadn zlepšení již poškozeného životního prost edí ur ité oblasti.

13.2 Vývoj hydrologie Význam vody pro život chápali lidé již odedávna. Pozorování kolísání hladin ek, pozorování pohybu vody bylo spojeno hlavn s hospodá skou inností lov ka. Úrove hladiny a jí odpovídající rozsah zatopení p ilehlých oblastí vodou, bohatou na živiny, umož ovaly již starým Egyp an m p edpovídat budoucí úrodu. Rovn ž u nás se zachovaly zprávy v kronikách o pozorování vodních hladin, zvlášt v období velkých povodní. Ješt dnes mnohé vodní stavby v echách (mlýny, jezy, systémy rybník ), z nichž n které si zachovaly svou funkci dodnes, sv d í o velmi dobrých znalostech našich p edk o základních zákonech hydrologie a hydrauliky. Vývoj hydrologie se prakticky až do minulého století kryje s vývojem jiných v d, p edevším fyzického zem pisu, geofyziky a hydrauliky. V rámci t chto v d prošla hydrologie dlouhou vývojovou cestu od období intuice a dohad (asi do r. 1400), p es jednotlivá období pozorování, m ení, experiment , modernizace a matematizace (r. 1800-1900), p es období empirie, kdy za íná existovat jako samostatná v da (r. 1900-1930). Léta 1930-1950 jsou obdobím vlivu exaktních v d až k sou asnému stavu, kdy v období hydrologického laboratorního pokusu se asto složité otázky oboru eší matematickými i jinými modely. Období let 1930-1950 bylo obdobím zvlášt výrazného rozvoje hydrologie inženýrské. Uvedli jsme, že d íve hydrologie nebyla samostatnou v dou. Základním p edpokladem jejího dalšího vývoje byla znalost toho, jak ur it nejd ležit jší prvek - pr tok. K tomu, že hydrologie za ala vznikat jako samostatný v dní obor zna n p isp ly n které objevy, které p isp ly k zp esn ní m ení, resp. výpo tu nejd ležit jšího hydrologického prvku, tj. pr toku. Sem pat í: - Toricelli, který jako první (v 17 stol.) uskute nil m ení pr toku vody výtokem z otvoru nádoby; - Perreault, který v r. 1650 ur il z p ibližného m ení pr tok eky Seiny v Pa íži první kvantitativní vztahy v ob hu vody v p írod ; - Pitot, který v r. 1732 objevil možnost zm it místní rychlost proudu pomocí trubice;

- 148 (188) -


- Chézy, který v r. 1775 uve ejnil zp sob výpo tu st ední pr to né rychlosti; - Woltmanna, který vynalezl hydrometrickou vrtuli. Tou bylo možno m ením zjistit rychlostní pole v pr to ném pr ezu a vyhodnotit pr tok i v p irozeném koryt toku.

13.3 Rozd lení vody na zemi Souhrn vody na zemi nazýváme hydrosférou a její objem pokládáme prakticky za stálý. Celkový objem vody se odhaduje na 1,33.109 km3. Voda má pro p írodu základní význam - jednak se ú astní p evažující, v tšiny proces fyzikálních, chemických i biologických, jednak je ve všech svých formách initelem, který má závažnou ú ast p i formování zemského povrchu. Sv tová mo e a oceány zaujímají plochu 70,5% zemského povrchu a je v nich obsaženo asi 1,3.109 km3 vody. Z celkového množství vody na zemi p ipadá na vodu pevniny a vodu v atmosfé e jen nepatrná ást - kolem 1 %. V jezerech je asi 0,75.106 km3 vody a v ekách 1,2.104 km3. Množství vody, které ro n z povrchu zemského odte e, iní asi 37.103 km3. Z toho se velká v tšina bezprost edn vrací do mo e a jen asi 700 km3 ro ního odtoku p ipadá na vnitrozemské oblasti bez odtoku do mo e.

13.4 Kolob h vody na zemi P sobením slune ní energie se voda nep etržit vypa uje v množství, jež se odhaduje ro n na 519 000 km3. Hlavním zdrojem výparu jsou sv tová mo e. Vypa ená voda je transportována vzdušnými proudy. ást par po ase kondenzuje a ve form srážek padá bu zp t na mo skou hladinu nebo až na pevninu. Tam se pak vsakuje do p dy a tvo í podzemní vodu nebo stéká po povrchu (povrchová voda), postupn se koncentruje - vytvá í vodní toky a jimi se vrací z nejv tší ásti zp t do mo í a oceán . P itom se neustále vypa uje. Vzniká tak v prvém p ípad jen v dosahu mo í malý ob h vody, v druhém p ípad velký ob h vody. Celkem malá ást objemu této vody, asi v hodnot 7700 km3, se ú astní ob hu v bezodtokových vnitrozemských oblastech. Schematicky je ob h vody v p írod znázorn n na Obr. 13.1. Celkovou bilanci ob hu vody mezi pevninou a oceánem m žeme zjednodušen vyjád it jednoduchými rovnicemi podle Obr. 13.2. V dlouhodobém pr m ru bude ro ní objem vody Vo, který se vypa í z oceán , roven ro nímu objemu srážek So, které nad nimi spadly, zv tšenému o ro ní objem vody P, který p itekl z pevniny: Vo = So + P. (13.1) Pr m rný ro ní objem výparu z pevniny Vp, je roven objemu vody se spadlých srážek Sp zmenšenému o objem odtoku vody do mo í P: Vp = Sp – P. (13.2) Vyjád ením P z obou p edchozích vztah a jejich porovnáním dostaneme: Vo + Vp = S o + S p . (13.3) Tedy ro ní objem vody, vypa ené na celém povrchu zem , se vyrovnává s ro ním objemem vody spadlým ve form srážek na zemský povrch.

- 149 (188) -


Obr. 13.1 Ob h vody na zemi

Obr. 13.2 Malý a velký kolob h vody

13.5 Povodí Povodí je základní pracovní jednotkou v hydrologii. Je to území, ze kterého všechna voda stéká k ur itému místu na toku (uzáv rový profil). Jedná se tedy o sb rnou oblast toku. Jde p itom o veškerý odtok - povrchový i podzemní. Povrchový odtok obvykle p evládá. Podzemní povodí se od povrchového odchyluje zpravidla jen nepatrn . V takovémto p ípad je posta ující ur it povodí vyhledáním oblasti, z níž voda stéká z nejvyšších míst k nižším podle tvaru a výškové lenitosti povrchu území. Hranice oblasti, která se ur uje z topografických map 1:25 000 až 1:100 000 a tvo í uzav enou áru, se nazývá rozvodnice. Probíhá po nejvyšších místech a odd luje území, z n hož voda odtéká k sousedním tok m. Takto stanovené povodí je povodí orografické. Jeho plochu je možno ur it planimetrováním.

- 150 (188) -


Obr. 13.3 Orografické povodí

Obr. 13.4 Orografické povodí a hydrologické povodí Ne vždy je možno rozdíl mezi plochou orografického povodí a podzemního povodí zanedbat. Vzniká tak nutnost pracovat se skute ným - hydrologickým povodím, které je sb rnou oblastí celkového odtoku vody z povodí a jehož vymezení m že být zna n problematické, zejména v oblastech vyskytujících se krasových jev . Povodí je t eba vždy ozna it uzáv rovým profilem na toku. Bez bližšího ozna ení uvažujeme vždy povodí celého toku až k ústí.

13.6 Srážkoodtokový proces v povodí Srážkoodtokovým procesem rozumíme postupnou transformaci srážky dopadající na povodí až na odtok vody uzáv rovým profilem povodí. Je z ejmé, že se jedná o velmi složitý proces, který je ovlivn n adou initel . P edevším je to skupina klimatických initel . Sem pat í vlastní asový

- 151 (188) -


a prostorový pr b h spadlé p í inné srážky, vlhkost ovzduší, výpar, teplota ovzduší, rychlost a sm r v tru, atmosférický tlak apod. Druhou skupinu tvo í geografi tí initelé povodí. To jest: plocha, velikost, st ední nadmo ská výška, tvar, reliéf, í ní sí , hydrogeologické pom ry, vegeta ní pokryv apod. První skupinu tvo í vedle p í inné srážky zejména meteorologické veli iny ovliv ující p edevším celkový výpar vody z povodí. Druhá skupina popisuje prost edí, ve kterém se vlastní proces odehrává. Ur uje dynamické (p enosové) vlastnosti povodí, které jsou rozhodující pro zp sob, jakým se bude asový pr b h srážky daného prostorového rozložení transformovat na asový pr b h odtoku vody uzáv rovým profilem.

Obr. 13.5 Schéma srážkoodtokového procesu v povodí Vlastní srážkoodtokový proces se skládá ze dvou díl ích transformací (Obr. 13.5). V pr b hu první - hydrologické transformace - jsou od srážky dopadající na povodí postupn ode ítány hydrologické ztráty. Sem pat í ztráta výparem - evapotranspirace (celkový výpar z povrchu vegeta ního pokryvu, z pór rostlin a z p dy), ztráta vlivem intercepce (zdržení vody na povrchu vegetace), ztráta navlháním, ztráta infiltrací vody do p dy a ztráta povrchovou retencí (plošný povrchový odtok nastane až po zapln ní nerovností terénu vodou). Postupnou separací hydrologických ztrát od asového pr b hu intenzity srážky získáme efektivní intenzitu srážky. Množství vody takto spadlé na povrch terénu pak odtéká z povodí ve form plošného povrchového odtoku. Tím je zapo ata druhá - hydraulická transformace. Plošný povrchový odtok se postupn koncentruje v ronových a erozních rýhách a následn v í ní síti až na odtok uzáv rovým profilem. Není to však celkový odtok, který uzáv rovým profilem protéká. ást celkového odtoku tvo í podzemní odtok voda, která se dostala do podzemí p evážn infiltrací srážky. Z podzemí pak odtéká bu z nenasycené zóny nad hladinou podzemní vody nebo z nasycené zóny pod souvislou hladinou podzemní vody ve form podzemního odtoku do í ní sít . V nenasycené zón zem d lsky obd lávaných povodích bývá p da do obd lávané hloubky zna n nakyp ená a má tudíž zna n v tší propustnost než p da pod tímto horizontem. Proto dochází k odtoku po rozhraní mezi t mito hloubkami a voda m že vytékat na svazích na povrch - 152 (188) -


p dy. V takovémto p ípad mluvíme o hypodermickém odtoku. Celkový odtok vody z povodí pod povrchem terénu se nazývá plošným podzemním odtokem a je analogií plošnému povrchovému odtoku. Voda se v nasycené zón pohybuje po relativn nepropustném podloží. N kdy však proniká vlivem puklin apod. z nepropustné zóny do zna ných hloubek a pak m že vyv rat v jiném povodí, než na které dopadla p í inná srážka. Takovýto pr nik se nazývá perkolací. Poznámka: Matematické modelování srážkoodtokového procesu je zna n složitým problémem. Existující modely p evážn sm ují k simulaci srážkoodtokového procesu v povodí. Ne vždy je však možné jít p i ešení tohoto problému do detail . P ílišná podrobnost ešení vede na velmi složité modely, které v tšinou zápasí s "krizí dat", kdy jim není možno poskytnout všechny požadované informace a adu vstupních dat je t eba odhadnout. Tím je snížena i jejich kvalita a použitelnost. Tyto problémy se výrazn projeví p i modelování srážkoodtokového procesu v rozsáhlých povodích. Zna n zjednodušené modely však poskytují jen velmi hrubé odhady pr b hu pr toku v uzáv rovém profilu. Vždy je t eba hledat p ijatelnou formu zjednodušení.

13.7 Základní bilan ní rovnice Vztah mezi úhrnem srážek spadlých (výška vodního sloupce v mm vytvo ená na bezodtokové oblasti za ur ité období), úhrnem výparu a úhrnem odtoku je možno pro povodí vyjád it jednoduchou, ale velmi d ležitou relací, tzv. základní bilan ní rovnicí: Ho = Hs − Hv .

(13.4)

Tato rovnice platí pro povodí bez nádrží a pro povodí bez p ítoku a odtoku vody ze sousedních povodí. Musí však být použita pro období, která jsou delší nebo rovna jednomu roku. Se zkracujícím se obdobím, za které je bilance provedena, rovnice p estává platit. Na pravou stranu rovnice je pak t eba doplnit opravný len HR, který se nazývá lenem reten ním. Ten zohled uje nap . zm nu zásob podzemních vod v uvažovaném povodí a jiné hydrologické jevy, které mohou zp sobit neplatnost uvedené rovnice.

Kontrolní otázky - Jak se d lí hydrologie? - Co je to povodí? - Zapište základní bilan ní rovnici.

14

Meteorologie a klimatologie

Meteorologie je nauka, zabývající se všestranným studiem jev , probíhajících v zemské atmosfé e. Momentální stav atmosféry, definovaný hodnotami souvisejících faktor jakými je nap . tlak, teplota a vlhkost vzduchu, intenzita slune ního zá ení, obla nost apod., ur uje po así. Meteorologie je dnes rozsáhlá v decká disciplína, která p i studiu využívá fyzikálních poznatk a metod ešení fyziky atmosféry. Meteorologie se lení na:

- 153 (188) -


- na dynamickou meteorologii, která studuje dynamiku a termodynamiku atmosféry pro v decky zd vodn nou p edpov po así; - na synoptickou meteorologii, sledující a analyzující jevy v atmosfé e; - na fyzikální meteorologii, která zkoumá fyziku oblak , tvorbu srážek, zá ení, optické, elektrické a další jevy odehrávající se v atmosfé e; - na aplikovanou meteorologii, kam pat í nap . zem d lská meteorologie, letecká meteorologie apod. Klimatologii m žeme charakterizovat jako v du, která zkoumá a zabývá se dlouhodobým chodem po así a jeho zákonitostmi - je to nauka o podnebí (klimatu). Úkolem klimatologie je: a) studium toho, jak se utvá elo podnebí na naší Zemi, dále pak popis a objasn ní podnebných zvláštností jednotlivých sv tadíl i menších území, b) klasifikace podnebí a vymezování klimatických oblastí, c) studium podnebí v d ív jších dobách historických a geologických, studium kolísání a zm n klimatu, tyto poznatky mají v poslední dob sloužit snahám p edpov d t budoucí zm ny klimatu na Zemi, vyvolané inností lov ka. Klimatologie je rovn ž zna n rozsáhlý v dní obor, d lící se dnes na klimatologii obecnou, regionální, teoretickou a aplikovanou (sem pat í nap . klimatologie letecká, technická, zem d lská a klimatologie m st).

14.1 Vlhkost ovzduší Vodní páry se dostávají do ovzduší p i každé teplot bud výparem nebo sublimací. Vlhkost vzduchu je dána množstvím vodních par v ovzduší, jež siln kolísá. Obsah par v ovzduší charakterizujeme p edevším absolutní vlhkostí vzduchu. Je to okamžitá skute ná vlhkost. Vyjad uje množství vodních par obsažených p i dané teplot ve vzduchu. Bu se zna í ϕ [g/m3] a vyjad uje hmotnost vodních par v gramech obsažených v 1 m3 vzduchu nebo se zna í e a vyjad uje tlak vodních par v torrech (d íve mm rtu ového sloupce). Nasycení vzduchu vodními parami závisí na jeho teplot . P i dané teplot m že tedy ovzduší obsahovat nanejvýš ur ité množství par, jež udává maximální vlhkost ϕmax, resp. E. Pom r mezi absolutní vlhkostí e a maximální vlhkostí E p i dané teplot je relativní vlhkostí r [%]:

e 100 . (14.1) E Množství vodních par, které vzduch za ur ité teploty m že ješt p ijmout, je sytostní dopln k d [torr]: r=

d = E −e. (14.2) Hodnoty maximální vlhkosti vzduchu za r zných teplot jsou znázorn ny na Obr. 14.1. Rosný bod je teplota; na kterou se musí vzduch ochladit, aby byl daným obsahem par nasycen. Je tedy hranicí teploty, p i které nastává srážení ili kondenzace vodních par. Neviditelná vodní pára se za ne vylu ovat jako nepatrné vodní kapi ky nebo ledové krystalky, které se v ovzduší mohou udržet jako mraky. - 154 (188) -


Obr. 14.1 Závislost maximální vlhkosti na teplot

14.2 Výpar Vypa ování vyplývá z neustálého pohybu molekul vody, který se stup uje p i nár stu teploty. N které molekuly p itom p ekonávají p itažlivost molekul sousedních a p echázejí do ovzduší. Opa ný proces je kondenzace. Pronikání vodních par do ovzduší nastává bu dif zí nebo vzdušnými proudy. Výpar je proces složitý, závislý na celé ad initel , nap .: velikost plochy, její tvar, barva, vegetace, zásoba vody, teplota a vlhkost vzduchu, barometrický tlak, síla v tru. Rozeznáváme výpar z volné hladiny, výpar z p dy a výpar rostlinami i transpiraci rostlin.

Výpar z vodní hladiny je pom rn nejjednodušší. U vodních nádrži je nejvýznamn jší složkou ztrát vody. Tento výpar se v našich podmínkách pohybuje v rozmezí cca 1 až 3 mm za den a 200 až 800 mm za rok, p edevším v závislosti na teplot a nadmo ské výšce. Pro odhad pr m rného denního výparu lze použít adu vzorc , které jsou v tšinou závislé na sytostním dopl ku. Pr m rný denní úhrn výparu Hv,d [mm] m žeme podle Šermera po ítat ze vztahu:

H v ,d = 0,931 d + 0,20 ,

(14.3)

kde d je pr m rná m sí ní hodnota sytostního dopl ku v torrech. Pro m ení výparu se d íve používalo Wildova výparom ru založeného na principu listovních vah. Rozší ený byl i rozdílový výparom r Rón v s výparnou nádobou o p dorysné ploše 2000 cm2. Dnes se využívá standardn výparom r Šermer v o p dorysné výparné ploše 3000 cm2 (Obr. 14.2).

Obr. 14.2 Šermer v výparom r

- 155 (188) -


Výparnost je hodnota výparu nam ená p ímo na ur itém typu výparom ru. Ty jsou však zatíženy p íslušnými konstruk ními nedostatky. Zejména se jedná o malou plochu vodní hladiny, ze které je výpar m en. Proto se hodnoty nam ené na výparom ru násobí opravnými reduk ními sou initeli, p i azenými k použitému typu výparom ru. Po této oprav se získá hodnota skute ného výparu. V dnešní dob je trend budovat pro m ení výparu výparom ry s velkou vodní hladinou - bazénové výparom ry. U t ch se od pr m ru 3,5 m nam ené hodnoty považují za výpar a další oprava se neprovádí. Pro výzkumné ú ely se n kdy budují výparom ry plovoucí p ímo na vodní hladin nádrží. Ty mají výparom rné nádoby p ipevn ny spole n se srážkom rem na d ev ném rámu v úrovni hladiny.

Výpar z p dy závisí jednak na meteorologických podmínkách, jednak na vlastnostech p dy. Souhrnn je možno íci, že výpar je tím menší, ím siln jší je povrchová vrstva vysušené p dy a ím pomaleji se vlhkost dopl uje ze spodních vrstev (kapilarita). Drsný a zvln ný povrch p ispívá k výparu více než povrch rovný a hladký. V tší výpar mají tmavé p dy. D ležitý je i vliv polohy. Nejv tší je výpar na jihozápadních svazích, menší na východních a nejmenší na severních. Zv tšení sklonu zv tšuje výpar na jižních a východních svazích a snižuje jej na západních a severních. Podstatný vliv na zmenšení výparu má zastín ní p dy. Nap . zastín ní rostlinstvem m že zmenšit výpar až na hodnotu 20 %. P itom však rostlinstvo zase naopak k výparu p ispívá p ímým vypa ováním vláhy z povrchu listí - transpirací. Transpirace je projevem životního procesu rostlin: ko eny rostlin se nasává podzemní voda, v níž jsou rozpušt ny živiny, a pak se listy áste n vypa uje. Živiny a ást vody vytvá í rostlinnou tká . Množství vody v gramech, kterého je zapot ebí pro vytvo ení 1 g sušiny tkán , je tzv. transpira ní sou initel. Pohybuje se v mezích 250 až 700 g, nej ast jší hodnota pro zem d lské kultury je 300 až 450 g. M ení výparu z p dy a transpirace je úlohou velmi složitou, m ící za ízení je t eba p izp sobit p írodním pom r m. Všechny zp soby m ení, výpo ty i p íklady platí p evážn pouze pro pom ry, v nichž byly odvozeny, a zdaleka nevystihují skute nost. Výpar z p dy se m í pomocí lyzymetr . Je to sada zpravidla t í válcových nádob, napln ných rostlým vzorkem p dy a zapušt ných do zem . Manipulace s nimi je vzhledem ke zna né hmotnosti obtížná a využívají se proto kladkostroje. Na hodnotu výparu za ur ité období (zpravidla den) se usuzuje z úbytku hmotnosti nádoby p i p evážení. P itom se zohled uje množství nam ených srážek spadlých za stejné období. Pro hydrologii je však nejd ležit jší odhadnutá hodnota celkového výparu z povodí. Její stanovení umož uje základní bilan ní rovnice popsaná v Kap. 13.7. Pro výpo et úhrnu výparu Hv je t eba znát hodnotu úhrnu srážek Hs a úhrnu odtoku Ho.

- 156 (188) -


Obr. 14.3 Schéma lyzymetru Popova

14.3 Srážky 14.3.1 Vznik a druhy Ochlazováním ovzduší stoupá jeho nasycenost vodními parami. Když teplota klesne pod teplotu rosného bodu, sráží se ást obsažené páry kolem kondenza ních jader, což jsou ionizované ástice prachu, kou e, pylu nebo i molekuly plyn . Vznikají nepatrné kapi ky vody nebo sn hové vlo ky, které tvo í oblaka a mlhy. Za vhodných podmínek se zv tšují a padají k zemi jako ovzdušné srážky. Pokles teploty, který vede ke srážkám, m že nastat t eba vyza ováním tepla do ovzduší za jasných nocí nebo stykem vzduchu s chladnými p edm ty. Tak vzniká rosa, jinovatka nebo p ízemní mlhy. Na pob eží mo í je p í inou ochlazení míšení s chladnými proudy vzduchu. Nej ast ji však vzniká ochlazování rozpínáním vzduchu p i výstupu do výšky. Takový výstup nastává oh átím vzduchu za slune ných dn nebo p i usm rn ní vzdušného proudu p ekážkami na zemském povrchu, hlavn horskými h ebeny. Srážky pak spadnou p edevším na náv trné stran hor, v záv t í vzniká suchá oblast (deš ový stín). P íkladem m že být Rakovnicko a Krušné hory. N kdy se zvláš uvád jí jako „srážky horizontální“ ty, které vznikají p ímo na zemském povrchu a které se nezachytí obvyklými srážkom rnými p ístroji; jsou to rosa, jinovatka, námraza a náledí. Jejich vydatnost je pom rn malá – u rosy iní asi 2 až 3 % ro ních srážek. Jinak se srážky d lí na kapalné (déš , mlha) a tuhé (sníh, kroupy, ledovatka i zmrzlý déš ). Množství srážek vyjad ujeme pomocí úhrnu Hs [mm] jako vrstvu, která by vznikla, kdyby déš spadl na vodorovnou nepropustnou rovinu, a kdyby nepodléhal výparu Kap.13.7.

14.3.2 Extrémní dešt Dešt charakterizujeme dobou trvání τ v minutách nebo hodinách a intenzitou i, což je množství vody, které spadne za jednotku asu. Intenzitu vyjad ujeme v mm/min, v mm/h anebo jako specifickou vydatnost v l/s/ha i m3/s/km2. Podle trvání a intenzity d líme dešt na regionální a p ívalové.

- 157 (188) -


Regionální dešt jsou dlouhodobé dešt s velkou rozlohou. Obvykle mívají menší intenzitu. V nižších polohách nep esahuje 80 mm za den. V horských krajích však m že podstatn stoupnout: 30.7.1897 spadlo v Nové Louce v Jizerských horách 345 mm za den. Tyto dešt zp sobují povodn v rámci velkých povodí. P ívalové dešt neboli lijáky jsou velmi vydatné krátkodobé dešt , které zasahují pom rn malé plochy. Zp sobují proto prudké rozvodn ní malých tok a projevuje se p i nich nejsiln ji splavování ornice (vodní eroze). Pozorování deš prokázala n které závislosti. P edevším, že intenzita bývá nejv tší brzy po za átku dešt a pak p i jeho dalším trvání klesá. ím v tší je intenzita lijáku, tím menší je jím zasažená plocha, takže podle rozlohy lijáku m žeme odhadnout i nejv tší intenzitu dešt , který ur itou plochu m že cele zasáhnout. Nejd ležit jší je poznatek, že všeobecn intenzita lijáku klesá s jeho trváním. Tuto závislost vyjád il Reinhold výrazem: i=

A

(t + B )C

,

(14.4)

kde i je intenzita [mm/min], t - doba trvání dešt [min], A, B a C – jsou regresní koeficienty, které je možno ur it pro ur ité povodí z ady pozorování kalibrací. Srážky jsou obdobn jako ostatní hydrologické hodnoty jevy náhodné veli iny a závisí na p írodních podmínkách. V jejich výskytu však jsou ur ité zákonitosti a platí i jistá pravd podobnost výskytu. K zpracování.takovýchto jev používáme teorie pravd podobnosti a metody matematické statistiky. Vychází se z dlouhodobého pozorování. Pozorované veli iny se zpracovávají do p íslušných pravd podobnostních ar, nej ast ji áry p ekro ení a následn se ur uje pravd podobnost p ekro ení hodnoty ur ité velikosti. P ívalové dešt zpravidla charakterizujeme periodicitou neboli pr m rnou ro ní frekvencí p’. Je to íslo, které udává, kolikrát v pr m ru je déš ur ité intenzity v rámci jednoho roku dosažen nebo p ekro en:

m . (14.5) M P evrácenou hodnotou periodicity je pr m rná doba opakování N. Udává pr m rný po et let, ve kterých je déš ur ité intenzity dosažen nebo p ekro en. p′ =

N=

1 M = . p′ m

(14.6)

V uvedených vztazích zna í: m - po et výskyt sledovaného jevu za dobu pozorování (v našem p ípad p ekro ení nebo dosažení), M – po et rok pozorování. Obecný vztah mezi trváním, intenzitou a periodicitou dešt je znázorn n na Obr. 14.4.

- 158 (188) -

podle Trupla


Obr. 14.4 Vztah mezi trváním, intenzitou a periodicitou dešt

14.3.3 M ení srážek Srážky se m í v soustav srážkom rných stanic deš om rem neboli ombrometrem. Ombrometr se skládá ze záchytné nálevky, jejíž okraj je 100 cm nad zemí a má plochu 500 cm2. Nálevka zasahuje do sb rné nádoby, umíst né uvnit ochranné nádoby. K vybavení pat í ješt sklen ná kalibrovaná nádoba, v níž se odm uje zachycená voda. M ení se provádí pravideln každý den v 7 hodin ráno nebo i po jednotlivých v tších deštích. D lení odm rky ukazuje p ímo úhrn Hs [mm] srážkové výšky s p esností na 0,1 mm. Dokonalejší údaje dostáváme zapisujícím deš om rem, ombrografem. Ze záchytné nálevky o ploše obvykle 250 cm2 stéká voda do nádobky s plovákem, na kterém je p ipevn no pisátko p iléhající na papír navinutý na bubnu. Ten se otá í pomocí hodinového strojku. Papír má na vodorovné ose ozna en as v hodinách a na svislé výšku spadlého dešt v mm. Když je nádobka plná vody, vyprázdní se násoskou do podstavené sb rné nádoby, pisátko p itom rychle poklesne a zápis (ombrogram) je p erušen tém svislou arou. Ombrogram je tedy sou tovou arou a umož uje stanovit nejen pr b h jednotlivých deš a jejich celkovou výšku, ale i intenzitu podle strmosti záznamu (sm rnice te ny). Na t žko p ístupných místech, hlavn v horách, se m í celkový úhrn srážek za delší období pomocí totalizátoru. Jeho výška nad terénem je 3 až 5 m. Zachycené pevné srážky se v n m rozpustí v roztoku chloridu vápenatého (CaCl2) a chrání se p ed výparem vrstvou vaselinového oleje. Sb rná válcovitá nádoba musí mít dostate ný obsah, aby bezpe n zachytila srážky za celé m rné období. Nad ní je kuželovitá ást se sb rnou plochou a ta je p ed vlivem turbulentního ú inku v tru chrán na širokým plechovým kuželem (Nipher v kužel). V posledních n kolika letech se zna n rozší ilo užití impulsních srážkom r (Obr. 14.7). Ty p eklopením lunkového za ízení registrují ur itý úhrn spadlého dešt a as jeho dosažení. Jejich hlavní p edností je možnost uložení t chto údaj v registra ních p ístrojích ízených mikroprocesory (NOEL). Z nich se pak snímají pomocí p enosných mikropo íta . Registra ní p ístroje jsou však zpravidla vybaveny p enosovými jednotkami umož ujícími dálkový p enos bezprost edn nam ených dat na pracovišt , která je pot ebují pro pot eby vydávání operativních p edpov dí odtoku vody z povodí, resp. pro operativní ízení odtoku vody z povodí. - 159 (188) -


Obr. 14.5 Ombrometr, ombrograf a totalizátor

Obr. 14.6 Ombrogram

Obr. 14.7 Impulsní srážkom r

Obr. 14.8 Sn hom rná la

Sn hové srážky se zachycují p ímo do ochranné nádoby deš om ru a po rozpušt ní se zm í množství vody v odm rce. V zimním období se m í výška sn hové pokrývky sn hom rnou latí - Obr. 14.8. Je to v zemi upevn ná d ev ná la s dob e viditelným centimetrovým d lením. Dále se ur uje vodní hodnotu sn hu. Je to pom r objemu vody po rozpušt ní sn hu k p vodnímu celkovému objemu sn hu. Umožní stanovit zásobu vody ve sn hové pokrývce - m žeme ji p epo ítat na rovnocennou vrstvu vody. Pro erstv napadlý sníh bývá vodní hodnota 0,1, pro ulehlý sníh 0,15 až 0,20, pro sníh ke konci zimy 0,35 až 0,40 a pro zrnitý horský firn 0,5. - 160 (188) -


14.4 Plošné a asové rozd lení srážek. Extrémní hodnoty Z každodenních deš om rných pozorování se s ítáním získají úhrny srážek za jednotlivé m síce a roky (hydrologické). Udávají se také po ty dní se srážkami. P i dlouhodobých pozorováních se zpracovávají nam ené hodnoty tak, aby získané hodnoty charakterizovaly bu jednotlivou srážkom rnou stanici nebo celé území. Nejv tší význam mají dlouhodobá pozorováním, p i emž nejmén 25 tileté pozorování dává p ijatelné hodnoty. Pro jednotlivou stanici pak ur ujeme pr m rné srážky ro ní nebo m sí ní jako aritmetický pr m r za n let. Vždy je t eba vyzna it období pozorování. Údaje se uvád jí bu v tabulkách nebo v grafech. Srážkové pom ry území jsou charakterizovány vykreslením izohyet, tj. ar spojujících místa se stejnými srážkovými úhrny. Rozbor se provádí (pro jednotlivé dešt nebo ast ji pro charakteristiku širšího území) znázorn ním pr m rných ro ních srážkových úhrn celých nebo áste ných povodí tok , pro státní území apod. Nejnižší pozorované hodnoty jsou v echách v povodí Oh e v okolí Kadan a Žatce, na Morav p i soutoku Svratky a Dyje (460 až 480 mm). Nejvlh í jsou horské oblasti: Jizerské hory, Krkonoše, Jeseníky a Beskydy (kolem 1500 mm). Obecn platí, že srážkový úhrn za ur ité období roste s nadmo skou výškou. Dlouhodobý pr m rný ro ní srážkový úhrn v R je 728 mm, což p ibližn odpovídá 57,41 109 m3 spadlé vody za rok. Nejv tší úhrn srážek na sv t byl nam en na jižním svahu Himálaje, kde ro ní pr m r je 12 700 mm a nejv tší nam ená hodnota 16 300 mm za rok. Nejmenší množství vody spadne na pouštích (na Saha e 5 mm, v Chile dokonce jen 1 mm za rok). Ro ní srážkové úhrny se asto od sebe zna n liší (±40%). U nás je rozd lení srážek v pr b hu roku rovn ž nepravidelné. P evládají srážky v letních m sících (40%), následují srážky na ja e (25%), pak na podzim (20%) a v zim (15%). Podíl pevných srážek se zv tšuje nejen se vzr stající zem pisnou ší kou, ale i s nadmo skou výškou. Na Sn žce padá pr m rn 96 dní v roce sníh a celé sn žné období bývá až 280 dní. V nížinách je toto období 120 až 140 dn .

Kontrolní otázky - Co je metrologie a klimatologie? - Co je to rosný bod? - Jak se m í výpar z vodní hladiny a z p dy? - Jak se m í srážky?

15

í ní sí

Vodní toky Souhrn všech tok v ur itém celkovém povodí tvo í í ní sí . Tok, který se vlévá do mo e je tokem 1. ádu. P íkladem m že být Labe v echách. Do n j se vlévají toky 2. ádu, jejich p ítoky jsou pak toky 3. ádu atd. Velký hlavní tok, který ústí do mo e, je veletok. Obvyklé st ední a v tší toky nazýváme ekami. Horské potoky, které mají velký sklon, prudce se rozvod ují a siln vymílají koryto, nazýváme byst inami. - 161 (188) -


Obr. 15.1 ády tok

Obr. 15.2 K ivolakost tok

Za átek eky tvo í pramen, ve velehorách asto pramen ledovcový, n kdy však eka vytéká z jezera nebo z mo álu. Horní tok eky má velký sklon, eka zde koryto vymílá, pak se však sklon zmír uje a v dolní ásti se pevný materiál unášený vodou ukládá. Mezitím je úsek rovnováhy, kde nastává jen p enos materiálu bez další erozivní innosti. Geologické složení ovliv uje sklon i tvar údolí, na n mž se mimo p sobení vody po výšce projevuje i bo ní eroze. Tato innost vody nastává hlavn za velkých vod, a to nejen ve vlastním koryt , ale i v inunda ním (zaplavovaném) území. Trasa í ního koryta nebývá p ímo ará, vine se v obloucích, které bývají protism rné. Tato vlastnost tok se nazývá k ivolakostí a ozna uje se koeficientem k ivolakosti. R zné toky mají zpravidla rozdílnou vlnitost. Ta se p i ur ování délky tok z mapových podklad zohled uje p enásobením délek p íslušnými koeficienty (Obr. 15.2). Pohybujeme-li se po toku sm rem dol , p echází proudnice, tj. ára spojující místa nejv tších hloubek, od jednoho b ehu k druhému. Vlivem p í né cirkulace vody se u vn jšího (vypouklého - konkávního) b ehu se koryto vymílá a u vnit ního (vydutého - konvexního) se vytvá í nános. P echod mezi oblouky tvo í brod. Zde je zpravidla koryto toku nejširší a voda tu proudí p i malé hloubce (Obr. 15.3).

Obr. 15.3 Konkávní a konvexní b eh Celkové uspo ádání í ní sít závisí na geologickém složení území. P íklady typických povodí jsou uvedeny na Obr. 15.4.

- 162 (188) -

í ní sí

Obr. 15.4 Typy í ní sít : a) asymetricky uspo ádané, b) stromovité, c) v jí ovité, d) radiální, e) anulární, f) pravoúhlé V jí ovité povodí je pro odtok velkých vod v dolní ásti nebezpe n jší než povodí protáhlé. Zde se asto ve stejném ase st etávají povod ové pr toky ze všech p ítok .

15.1 Vodní stavy a jejich pozorováni V d sledku srážkoodtokového procesu v povodí se pr toky v í ní síti neustále m ní. To se nejz eteln ji projevuje klesáním hladin. Vztah mezi polohou hladiny vody v toku v ur itém profilu (vodní stav) a odpovídajícím pr tokem je p i rovnom rném ustáleném proud ní jednozna ný a je dán m rnou k ivkou (konsump ní k ivka). Aby bylo možno ur it pr b h pr toku vody v ur itém profilu, z izují se na tocích m rné profily (vodo etné stanice), v nich se nep etržit m í vodní stavy a z nich se pak odvodí odpovídající pr toky. M ení vodních stav má proto v hydrologii základní význam. Vodo etné stanice mají výstižn charakterizovat ur itý úsek toku a musí mít stabilní a pravidelné koryto; proud ní zde nemá ovliv ovat žádná p ekážka nebo hladina druhého toku, pr tok má být soust ed n v jednom koryt . Na hlavních tocích se stanice umís ují nad v tšími p ítoky i pod nimi. asto také se m í hladiny u vodních d l: p epad , plavebních komor. Nejjednodušším za ízením pro m ení vodních stav jsou la ové vodo ty. Jsou to d ev ná nebo plechová (smaltovaná) m ítka se z etelným d lením výšky po 2 cm. Bývají svislé (na náb ežních zdech, pilí ích nebo pilotách) nebo šikmé (na svazích b eh ). Na vodních stavbách se n kdy d lení vyhloubí p ímo do betonu. Nulu vodo tu dáváme pod nejnižší známou hladinu, takže na rozdíl proti starším vodo t m, které m ly nulu v jakési „st ední hladin “, jsou všechny vodní stavy kladné. Pro každý vodo et je t eba znát stani ení místa vodo tu, plochu povodí k profilu vodo tu a výšku nuly vodo tu vztaženou k t em pevným výškovým bod m. Na d ležitých vodo etných stanicích se z izují limnigrafy, zapisující spojit vodní stav na speciálním grafikonu, limnigramu. Nej ast jší formou provedení je plovákový limnigraf. - 163 (188) -


Obr. 15.5 Limnigrafická stanice Ve svislé šacht , která je vodorovným potrubím spojena a e išt m, se p i kolísání hladiny pohybuje plovák. Jeho svislý pohyb se ve vhodném zmenšení p enáší na buben s d leným papírem, otá ený hodinovým strojem. Záznamový papír se vym uje každý týden. V do asných za ízeních sta í místo nákladné stavby jen prostá trouba, na kterou se osadí malý, plechem zakrytý limnigraf Záznamy v limnigrafu se musí pravideln srovnávat s la ovým vodo tem, který se u limnigrafu vždy umís uje. Pozorování na la ových vodo etných stanicích se provádí pravideln t ikrát denn , za povodn podle pot eby i po hodinách. V sou asnosti se limnigrafické stanice vybavují tlakovými sondami, které pomocí piezokrystalu ur ují tlak vody. Ten se pak v napojených registra ních p ístrojích (nap . NOEL) po zvolených asových krocích zaznamenává a p epo ítává na výšku vodního sloupce. Probíhá vzorkování. Vzniklý záznam vodního stavu je tedy vzorkovaný a je možno jej z registra ního p ístroje za ur ité období sejmout pomocí p enosného mikropo íta e, nebo pomocí p enosných jednotek dálkov ode ítat. Pon vadž v asná znalost vodních stav a pr tok je d ležitá pro plavbu, využití vodní energie i pro stavby na ekách, podávají se informace o nich denn rozhlasem. Oznamují se p itom i jiné d ležité jevy na ekách, t eba tvo ení a odchod led . Zvláš významná je varovná služba za velkých vod jako sou ást ochranné povod ové služby, na jejíž správné organizaci závisí bezpe nost pob ežních obyvatel, a která m že zabránit velkým škodám. Stále v tšího významu nabývá i služba p edpov dní, která z pozorování p edpovídá vývoj vodních stav i pr tok . Hydrologické p edpov di jsou operativní, krátkodobé, st edn dobé a dlouhodobé. V posledních letech nabývají na významu zejména p edpov di operativní a krátkodobé, které p edpovídají povod ové pr toky na hodiny až dny dop edu a slouží zejména pro pot eby varovné služby a pro operativní ízení odtoku vody z povodí. St edn dobé a dlouhodobé p edpov dí odhadují vývoj pr toku v následujících m sících, ro ních obdobích nebo letech. Nap . vodnosti v jarních m sících se p edpovídají z podzimních a hlavn zimních srážek, ze sn hové pokrývky.

- 164 (188) -

í ní sí

15.2 M ení pr tok Pouze v malých potocích nebo pramenech je možno ur it pr tok p ímým m ením nádobou. V tomto p ípad ode ítáme dobu t, za kterou se naplní nádoba známého objemu V: V (15.1) Q= . t Proud se bud zachytí korýtkem, nebo se p epaží st nou s otvorem a tím pak soust ed n odtéká do nádoby. Ostatní nep ímé zp soby ur ení pr toku bu vycházejí z m ení polohy hladin u p epad , z poznatk hydrauliky o stanovení st ední rychlosti, z m ení rychlostí, nebo vycházejí ze z ed ní p idávaných látek. Pro m ení p epadem se používá asto ostrohranný obdélníkový p elivu Bazina nebo trojúhelníkový Thomsona. Výpo et Q na základ zm ené p epadové výšky h se provede podle p íslušných vzorc . Pokud v pravidelných úsecích koryt tok považujeme proud ní vody za ustálené rovnom rné, dá se odhadnout Q podle vztah platných pro tento zp sob proud ní, nap . Chézyho rovnicí. Je t eba prom it (sondovací ty í nebo nivelací) p í ný pr ez A [m2]. Nivelací polohy hladiny ve 2 pr ezech je pak nutno ur it rozdíl hladin ∆H [m]. Sklon hladiny i = ∆H/L , kde L je vzdálenost t chto pr ez . Obvykle je obtížné správn zvolit sou initel drsnosti n. Obvykle se Q ur uje na základ m ení rychlostí. Vzhledem ke složitosti proud ní vody bude nejmén p esné m ení rychlosti plovákem. To slouží jen k p ibližným odhad m rychlosti, ale je velmi jednoduché a lze jej využít p i neplánovaných m eních. Zm í se nejv tší povrchová rychlost vp v proudnici. Sm rem potoku se vyty í t i profily. V pr ezu 1 se hodí do vody plovák a stopkami se zjistí doba t pot ebná k proplutí dráhy L mezi pr ezy 2 a 3. Vzdálenost L má být minimáln rovna ší ce koryta, dráha rozb hu je v tší, aby se plovák ustálil v proudnici. M ení platí pro pr ez 2, jehož tvar a velikost A musíme prom it. Odhad st ední profilové (pr ezové) rychlosti v dostaneme vynásobením vp sou initelem k: v ≈ vp k , (15.2) kde pro b žné vodní toky k = 0,9 pro h ≥ 1,0 m a k = 0,66 pro h < 1,0 m. Nejpoužívan jší p ístroj ur ený pro m ení bodových rychlostí u je hydrometrická vrtule (Obr. 15.6). Skládá se z vrtule v podob šroubové plochy, která je p ipevn na k otá ecí ose s kuli kovým ložiskem. Obsahuje nekone ný šroub, který zabírá do ozubeného kole ka. Protože jeden kontakt p ístroje je spojen s kostrou, kdežto druhý je odizolován, uzav e se po ur itém po tu otá ek vrtule kolí kem elektrický okruh baterie, a to je zaznamenáno na po itadle. Nové typy vrtulí, napojené na mikropo íta , udávají na displeji p ímo bodovou rychlost proudící vody. Rychlost otá ení vrtule je úm rná rychlosti proudící vody v míst vrtule a pro bodovou rychlost u platí vztah: a u =α + β N , N= , (15.3) T

- 165 (188) -


kde α a β jsou konstanty, N je po et otá ek za sekundu, a nam ený po et otá ek za dobu m ení T. Konstanty α a β se ur ují ocejchováním v kalibra ních žlabech. Hydrometrickou vrtulí se m í bodové rychlosti v r zných místech p í ného pr ezu koryta. P i menších hloubkách vody je vrtule p ipevn na pomocí posuvné objímky k vodicí ty i s m ítkem. Ty má dole p ipevn nu zarážku, která zamezuje zabo ení. Hydrometrická vrtule m že mít kapesní provedení pro m ení malých rychlostí p i malých hloubkách. M že však mít i masivn jší provedení ur ené pro m ení p i v tších hloubkách až do 5 m a rychlostech až do 3,0 m/s. P i ješt v tších hloubkách se používá t žké torpédové vrtule na lanovém záv su. Pon vadž vrtule musí být postavena kolmo k m rnému pr ezu, má taková vrtule kormidlo, které ji také vyvažuje. Po ur ité dob provozu se musí vrtule p etárovat, konstanty rovnice se mohou vlivem opot ebení zm nit. Hydrometrická vrtule se nehodí pro m ení ve velmi m lkých nebo balvanitých korytech a v zarostlých korytech (zde se využívá m ení pomocí induk ní sondy).

Obr. 15.6 Hydrometrické vrtule M ením v m rném profilu se ur uje pole bodových rychlostí. M ení se provádí v n kolika svislicích obvykle pravideln rozmíst ných po ší ce profilu. V každé svislici se m í bodová rychlost u povrchu, u dna a v n kolika bodech mezilehlých - doporu uje se rozvrhnout 3 až 5 bod . P i m ení se ode ítá i vodní stav, není-li u m rného pr ezu vodo et stálý, z ídí se jednoduchý vodo et prozatímní. Když vodní stav b hem m ení kolísá, je t eba stanovit st ední hladinu, ke které se pak hodnoty vztahují. P i v tší zm n stavu než o 5 cm v pr b hu m ení se doporu uje výsledky m ení anulovat. Sou asn s m ením rychlostí se zaznamenává i hloubka dna pod vodní hladinou. Výsledky m ení se zaznamenávají do speciáln upraveného hydrometrického zápisníku. Pr tok Q je možno stanovit jako objem pr tokového t lesa, které bychom získali, kdyby se vynesla v každém bod pr to ného profilu bodová rychlost u ve sm ru proud ní. To by znamenalo, pokud bychom zavedli v profilu pravoúhlý sou adnicový systém xy (x zna í sm r vodorovný a y sm r svislý), znát pr b h rychlosti u(x,y) v celém pr to ném profilu. Pokud bychom ozna ili nekone n malý element pr to né plochy dx dy, celkový pr tok profilem by pak byl dán následujícím integrálem:

- 166 (188) -

í ní sí

Q = u ( x, y ) d x d y = d Q . A

(15.4)

A

V praxi však jsou (po provedeném hydrometrickém m ení) k dispozici pouze nam ené bodové rychlosti ve svislicích. P evedou-li se rychlostní svislice (grafikony znázor ující prom nu rychlostí ve svislicích) na rovnoploché obdélníky, obdélníky o výšce h, udává ší ka t chto obdélník st ední rychlost ve svislici vs (Obr. 15.7). Vyneseme-li kolmo nahoru nad hladinu vody v každé svislici sou in As=vs h a aproximujeme-li tento pr b h dostate n hladkou k ivkou (v nejjednodušším p ípad graficky od oka pomocí k ivítka), je možno podle Harlachera získat celkový pr tok pr to ným profilem jako integrál: B

B

0

0

Q = h v s d B = As d B ,

(15.5)

kde h je hloubka a B je celková ší ka profilu. Pokud bychom stanovovali pr tok po etn -graficky, získali bychom tento pr tok zplanimetrováním plochy omezené shora k ivkou As a zdola hladinou vody. St ední profilovou (pr ezovou) rychlost bychom pak získali pod lením pr toku Q pr to nou plochou A: v = Q/A.

Obr. 15.7 Stanovení pr toku p i m ení hydrometrickou vrtulí

- 167 (188) -


St ední svislicové rychlosti vs se asto odhadují pomocí tzv. bodových vzorc , resp. se pr b hy bodových rychlostí aproximují funkcí a numericky integrují, a získané plochy pak pod lí hloubkou ve svislici. Integrály (15.4), resp. (15.5) se v praxi vy íslují pomocí r zných metod, p evážn za použití výpo etní techniky. Nap .v integrálním vztahu (15.5) se nekone n malé diferenciály ší ky dB nahrazují kone n velkými diferencemi ∆B a integrální vztah se nahrazuje tvarem sou tovým. Celkový pr tok je pak dán sou tem diferencí pr toku na všech získaných elementech, p i emž na každém elementu ší ky je hloubka a st ední svislicová rychlost považována za konstantní. Takto se dá pr tok stanovit p ímo v hydrometrickém zápisníku. Trend v posledních letech v naší republice však sm uje k aproximaci pr b hu bodových rychlostí nad plochou pr to ného profilu funkcí (nap . kubické spliny) a ur ení pr toku numerickou integrací. V balvanitých korytech horských tok se dá t žko zjistit tvar p í ného pr ezu, a proto se nedá dob e použít d ív jších zp sob m ení. Pak provádíme m ení dávkováním roztok solí a barviv do toku. Podmínkou však musí být, že se p idávané roztoky s vodou v toku dob e a rovnom rn promísí. N kdy je posta ující použití roztoku kuchy ské soli. Ze zm ny koncentrace chemikálie t sn nad profilem, do kterého dávkujeme chemikálii a dostate n oddáleným profilem, aby došlo k promísení, je pak možno odhadnout jednoduchým výpo tem hledaný pr tok.

15.3 M rná k ivka pr toku Ve vodo etných stanicích na tocích se pravideln od ítají vodní stavy h a m ením stanovují odpovídající pr toky Q. Pokud odpovídající body (Q,h) vyneseme do pravoúhlého sou adnicového systému Qh a tyto body proložíme regresní k ivkou, získáme m rnou neboli konsump ní k ivku. Ta udává závislost mezi vodními stavy a pr toky Q = f(h). Umož uje p evést spojitý pr b h nam ených vodních stav h(t) za ur ité údobí na spojitý pr b h odpovídajících pr tok Q(t).

Obr. 15.8 M rná k ivka V praxi se na p irozených vodních korytech pro proložení obvykle používají regresní funkce v mocninném tvaru:

Q = a (h + b ) , resp. polynomy druhého stupn : c

(15.6)

- 168 (188) -

í ní sí

Q = a + b h + c h2 .

(15.7)

V obou vztazích jsou a, b a c regresní koeficienty a získávají se kalibrací. V p ípad složitých pr to ných profil , resp. inundací se m rná k ivka vynáší jako lomená. Pro každou ást k ivky pak platí jiná rovnice. S ur itou opatrností je možno pr b h m rné k ivky prodloužit (extrapolovat) i za rozsah provedených m ení pr tok . I když se snažíme vybrat vodom rné profily tak, aby byly stálé, p esto se pr tokové pom ry v koryt m ní (usazování, vymílání, zar stání). Vykreslená m rná k ivka platí tedy jen do asn a její tvar se musí neustále dop es ovat novým m ením pr tok . Musíme si být v domi i toho, že za povodní není pr b h m rné k ivky jednozna ný, protože ta platí pro ustálené rovnom rné proud ní. P i pr chodu povod ové vlny p í ným pr ezem se p i stoupání hladiny zv tšuje sklon, takže nejd ív nastává nejv tší sklon hladiny, pak nejv tší rychlost, potom nejv tší pr tok a nakonec nejvyšší vodní stav. P i klesání hladiny je za stejného vodního stavu sklon menší než p i stoupání. M rná k ivka pak vytvá í smy ku - zdvojuje se (hysterze). Chyba ve stanoveném pr toku za povodní bývá odhadována v intervalu ± 10%. Pr b h m rné k ivky je p i absenci m ení možno odhadnout i pomocí vztah pro ustálené rovnom rné proud ní - nap . pomocí Chézyho rovnice. Opakovan pro postupn se zv tšující pr to nou hloubku vypo teme pr tok a p íslušné body (Q, h) vyneseme do grafu. Takto stanovená k ivka je hladká a je posta ující ji proložit arou (parabola). Nejv tším problém však u p irozených koryt p edstavuje odhad drsnosti koryta v uvažovaném profilu. Zde se asto uchylujeme k tabulkovým hodnotám, které však mohou být zavád jící. Vždy je dobré takto teoreticky stanovené pr b hy m rných k ivek v d ležitých p ípadech alespo orienta n ov it pomocí n kolika nam ených bod (Q,h), získaných hydrometrováním.

Kontrolní otázky - Co je konkávní a konvexní b eh? - Jak se m í pr toky (p ímá a nep ímá m ení)?

16

Režim vodních tok

Z matematického hlediska považujeme hydrologické veli iny za náhodné procesy. Jejich budoucí velikosti není možno p esn p edpov d t, maximáln je možno odhadnout pravd podobnost jejich budoucího výskytu. To se týká zejména pr tok vody v toku. Pro podrobný popis pr tok je proto t eba použít teorii náhodných proces a její standardní nástroje a postupy, které však p esahují rámec tohoto kurzu. Dlouhodobé pozorování vodních stav a pr tok ve vodo etných stanicích poskytuje obraz o vodnosti i o asovém rozd lení pr toku ve sledovaném profilu. Jeho typický pr b h, varia ní rozp tí, sled suchých a vlhkých rok , pozorované extrémní hodnoty pr toku, charakteristická období výskytu povodní nebo naopak nízkých pr tok v r zných ro ních obdobích nebo i v jednotlivých m sících, to vše nazýváme obecn režimem vodních tok . Vodní režim toku je odrazem konkrétní specifické kombinace klimatických a geografických initel existujících v daném povodí.

- 169 (188) -


Výsledkem pozorování ve vodo etné stanici je spojitý pr b h vodního stavu, resp. pr toku. Ten se pro pot eby dalšího zpracování a archivace p epo ítává na pr m rné hodinové stavy, resp. pr toky Qh. Jejich aritmetickým pr m rem za každý den je pak pr m rný denní pr tok Qd. Vypo tením pr m ru ze všech Qd za p íslušný m síc získáme pr m rný m sí ní pr tok Qm. Vypo tením pr m ru ze všech Qm za p íslušný rok získáme pr m rný ro ní pr tok Qr. Vypo tením pr m ru ze všech Qr za velmi dlouhé období m ení, které máme k dispozici (p esahující desetiletí) získáme dlouhodobý pr m rný pr tok Qa (n kdy také dlouhodobý pr m rný ro ní pr tok). P íslušné pr m rné pr toky se azené chronologicky za sebe vytvá ejí hydrologické ady. P itom takovéto pr to né ady je pak t eba považovat za jediné realizace náhodného procesu (z nekone n mnoha možných, které mohly nastat), jež máme k dispozici, a které byly odvozeny z m ení. Ty jsou pak nositelkami všech dostupných informací pro další zpracování nam ených dat. Ukázka grafického znázorn ní takové ady ( áry) pr m rných denních pr tok Qd je na Obr. 16.1.

Obr. 16.1 ára pr m rných denních pr tok (Berounka-K ivoklát, 1937) Dlouhodobý pr m rný pr tok Qa se n kdy nazývá hydrologický potenciál povodí, k jehož uzáv rovému profilu p ísluší. Poskytuje základní informaci o pr toku, na který je možno veškeré odteklé množství vody z povodí vyrovnat - nap . nádrží. To je velmi d ležité pro plánování, resp. povolování odb r vody z toku a pro další nakládání s vodami v daném povodí a v povodí pod uvažovaným profilem. Pro posouzení vodnosti jednotlivých tok se asto ur uje dlouhodobý pr m rný specifický odtok qa [m3/s/km2]. Ten se dá p evést i na odtokovou výšku Ho,a [mm] a tím i srovnávat se srážkovou výškou Hs,a. Index vpravo dole a zna í, že se jedná o dlouhodobé pr m rné ro ní veli iny (annual). Pom r dlouhodobé pr m rné ro ní odtokové výšky Ho,a k pr m rnému ro nímu úhrnu srážek Hs,a se nazývá sou initelem odtoku ϕ.

ϕ=

H o ,a H s ,a

.

(16.1)

Sou initel odtoku je možno nazna eným zp sobem stanovit i samostatn bylo pro jednotlivé hydrologické roky, resp. m síce. Experimentáln

- 170 (188) -

Režim vodních tok

potvrzeno, že a dlouhodobý pr m rný ro ní pr tok našich ek se se sm rem po toku zv tšuje, specifický odtok se zv tšováním p íslušného povodí klesá. Specifické odtoky závisí i na podmínkách klimatických a geografických. Tuto závislost ukazuje Obr. 16.2.

Obr. 16.2 Specifické odtoky qa v R Dalšími d ležitými charakteristikami režimu tok jsou extrémní hodnoty odtoku, jež se projevují v pr tocích, specifických odtocích nebo i u vodních stav . Jsou to nejvyšší nebo nejnižší hodnoty, které se vyskytly v ur itém asovém období (musí být vždy uvedeno).

16.1

áry etnosti a áry p ekro ení pr tok

Pro zpracování nam ených pr tok , a zejména pro ode et typických extrémních pr tok (maximálních i minimálních), se používají pravd podobnostní k ivky. Jedná se o hustotu pravd podobnosti f(Q), distribu ní funkci F(Q) a funkci pravd podobnosti p ekro ení P(Q). Jejich grafické interpretace jsou pravd podobnostní k ivky - distribu ní k ivka a zejména ára p ekro ení. Typické pr b hy t chto ar jsou uvedeny na Obr. 16.3.

Obr. 16.3 Pravd podobnostní k ivky Hustota pravd podobnosti udává pravd podobnost výskytu libovolné realizace na ose x.

- 171 (188) -


Distribu ní funkce udává pravd podobnost s jakou je libovolná realizace na ose x dosažena nebo nedostoupena. Funkce pravd podobnosti p ekro ení udává pravd podobnost je libovolná realizace na ose x dosažena nebo p ekro ena.

s jakou

Pro konstrukci t chto k ivek se využívají postupy popsané v kurzech teorie pravd podobnosti a matematické statistiky. K ivky se nejd íve vynášejí jako empirické. Grafem je pak množina bod , které je t eba pro další použití vyhladit, resp. pro pot eby dalšího použití ve výpo tech popsat analyticky (funkcí). Nejjednodušším a nejmén p esným je vyhlazení "od oka". Pro p esn jší vyhlazení se využívají typické funkce s n kolika parametry (statistické charakteristiky jako: st ední hodnota, sm rodatná odchylka, koeficient variace, koeficient asymetrie, exces apod.). Tento postup se pak nazývá aproximací empirického rozd lení teoretickým. Správn proložená teoretická k ivka empirický pr b h pravd podobnostní k ivky ve st ední ásti vyhlazuje. Velmi d ležité je však správné proložení v obou koncových ástech t chto k ivek, protože se pak stává objektivním nástrojem pro ode et extrémních hodnot pr tok s danou pravd podobností p ekro ení, resp. nedostoupení. Z teoretických rozd lení se v hydrologii nej ast ji využívá t íparametrické rozd lení Pearson III, logaritmicko-normální rozd lení, Weibullovo rozd lení atd. V matematické statistice nejvíce popsané rozd lení normální se v isté podob nepoužívá (hydrologické jevy jsou zna n asymetrické). asto se však na n j transformují jiná rozd lení. Pravd podobnostní funkce se ne vždy vynášejí v relativních hodnotách (na svislou osu se vynáší pravd podobnost výskytu sledovaného jevu). N kdy se užívá jejich interpretace v absolutních hodnotách (na osu svislou osu se vynáší po et výskyt sledovaného jevu). Pravd podobnostními funkcemi m žeme samoz ejm charakterizovat i jiné hydrologické veli iny: vodní stavy, srážky, teplotu ovzduší, výpar apod.

16.2 Vlivy p sobící na povrchový odtok Povrchový odtok (plošný i koncentrovaný) je jednou ze složek srážkoodtokového procesu. P i rozboru vliv p sobících na velikost a rozd lení odtoku musíme vyjít z initel klimatických. Nejd ležit jší jsou srážky, výpar, teplota a vlhkost ovzduší. Tlak vzduchu a síla v tru mají vliv nep ímý - hlavn p sobí na velikost a rozd lení srážek nebo na výpar. P ívalové dešt - lijáky, se u nás vyskytují p evážn v lét . Zasahují menší plochy, mají krátké trvání, ale velkou intenzitu, takže jsou rozhodujícím initelem odtoku na malých povodích a zp sobují rozvodn ní malých tok . Dlouhodobé regionální dešt p icházejí v lét a na podzim a zp sobují rozvodn ní v celé í ní síti velkých tok . P itom o odtoku ješt rozhodují ztráty výparem, které jsou p edevším v lét zna né a ztráty vsakem vody do p dy, které závisí na reliéfu, na propustnosti p dy a na jejím p edchozím nasycení vodou. D ležitý je vliv zimních srážek. V zim odtok klesá, srážky v povodí z stávají nahromad ny ve form sn hu, odpadají ztráty vsakem a výpar je malý. Na ja e sníh taje a v závislosti na rychlosti tání vznikají v nížinách (obvykle v b eznu) jarní povodn , ve vysokých horských oblastech pozd ji. Teplé dešt v tomto - 172 (188) -

Režim vodních tok

období urychlují tání a mohou zp sobit nebezpe né povodn . Výrazné je i ovlivn ní odtok z povodí kolísáním teploty v pr b hu dne (zmenšení po západu slunce). Jarní povodn jsou spojeny s chodem led na ekách a nastává nebezpe í mimo ádných povodní vzniklých ledovými zácpami. Jarní sn hové povodn se prodlužují s r stem velikosti povodí. Na velkém povodí je tání nerovnom rné a kolísá i v závislosti na r zné výškové poloze. Odtok vzniká ze srážek, do koryt však se zpožd ním dosp je i voda, která se vsákla do p dy a velmi pomalu se pohybuje jako voda podzemní (filtra ní pohyb). Tím se v povodí vytvá í zásoba vody, která napájí toky b hem dlouhých období beze srážek a v zim , kdy jsou srážky pevné a povrchový odtok ustává. Odtok je co do velikosti i co do asového rozd lení ovlivn n adou initel geografických. Jde p edevším o vliv reliéfu území - na v tším sklonu voda rychleji odtéká a ve skalnatém horském území je menší možnost vsakování. P dní a geologické pom ry v povodí ovliv ují p edevším infiltrované množství vody do p dy, a tím rozd lení vody ze srážek na plošný odtok povrchový a plošný odtok podzemní. Nepropustné horniny nebo horniny, z nichž vznikají nepropustné zv traliny (flyš na východní Morav ) zp sobují rychlý povrchový odtok a v území je pak nedostatek podzemní vody. Vodnost tok v takovém povodí prudce kolísá. Podstatn vyrovnan jší jsou pr toky na ekách s povodím propustným. Vsakování deš ové vody samoz ejm závisí i na velikosti a intenzit srážek. Do suché p dy je vsakování nejv tší, ale až po navlhnutí povrchu p dy. Mén intenzivní dešt mohou vsáknout do p dy tém úpln , kdežto p i velké intenzit odtéká podstatná ást dešt po povrchu. Zna ný vliv má tedy i po áte ní vlhkost p dy. Zpo átku nejvyšší infiltrace v ase klesá. Postupn se naplní všechny póry v zemin a rychlost vsaku se ustálí na hodnot hydraulické vodivosti v nasyceném prost edí. Zmrznutí p dy zamezí tak ka úpln vsakování i u p d a hornin nejpropustn jších, takže na zmrzlé p d je odtok vysoký a rychlý.

Zp sob zem d lského obd lávání m že podstatn ovlivnit zadržování vody na povrchu p dy. Orba po svahu plošný povrchový odtok zrychluje, kdežto orba po vrstevnicích zadržuje spadlou vodu, dochází k postupnému vsakování a povrchový odtok je zpomalován. Zárove je potla ována eroze p dy a splavováni p dních ástic. Vzhledem k celkové složitosti p sobení jsou rozdílné názory na vliv vegeta ního pokryvu na odtok. P da zakrytá vegetací je odoln jší proti erozi, a proto je takový kryt vodohospodá sky výhodný. Tráva zdrs uje povrch, zmenšuje proto rychlost odtoku a zvyšuje vsakování. P ijímá prosáklou vodu z p dy pro transpiraci a vrací ji do ovzduší. Nejd ležit jším z vegeta ních initel je les. Nesporný je vyrovnávací ú inek lesního porostu na rozd lení odtoku, zejména na sníženi velkých vod. Les poskytuje velmi d ležitou ochranu p dy p ed p dní erozí. P íznivé ú inky jsou však podmín ny správnou skladbou a polohou lesa. Nejlépe p sobí smíšený les, ve kterém je p da chrán na dobrým zápojem porostu a dostate nou vrstvou humusu. Nejlepší vsakovací ú inek má porost dubový a lipový, st ední ú inek mají mod íny a b ízy. Nejmén vody zadržují z dlouhotrvajících srážek smrkové porosty. Lesní hrabanka a humus pohlcují deš ovou vodu i tající sníh a chrání p du

- 173 (188) -


p ed promrzáním, takže zlepšují jímací schopnost p dy pro vodu. Nejmén vhodný ú inek na odtok má jednotný les smrkový a v bec jehli natý, který zatím v našich krajinách p evládá. Lesy mají zaujímat nejvyšší polohu v povodí, to jest zónu tvorby povod ových pr tok . Je to místo nejv tších srážek a nejv tšího sklonu, které pot ebuje nejlepší ochranu proti erozi a nejlepší podmínky pro nejú inn jší vsáknutí vody deš ové i zimní vláhy. Práv v lesích se sníh nejrovnom rn ji rozprostírá a nejdéle se zde udržuje. Vzniklý proud podzemní vody zásobuje nižší polohy, rozhoj uje prameny a vyrovnává pr toky na tocích. Vliv uspo ádání í ní sít se projevuje výrazn za povodní. Nep íznivé je, když doba postupu povod ové vlny na hlavním toku a na p ítocích je p ibližn stejná. Po soutoku se ob povod ové vlny st etnou a vznikne podstatn vyšší výsledná povod ová vlna. K st etnutí povod ových vln dochází nap . u v jí ovité í ní sít (Mže, Úhlava, Úslava a Radbuza u Plzn ). U protáhlé stromovité í ní sít takovéto nebezpe í nehrozí.

Obr. 16.4 Srovnání vlivu stromovité a v jí ovité í ní sít na pr b h odtoku

16.3 Maximální pr toky Jak plyne z p edchozího textu, p í inou povod ových pr tok na malých povodích jsou p ívalové dešt . Na velkých povodích jsou naopak p í inou povodní regionální dešt a náhlé tání sn hové pokrývky. V pr b hu povodn probíhá v í ní síti výrazné neustálené proud ní vody. V libovolném profilu na toku je možno znázornit pr b h povodn hydrogramem povodn , tj. zaznamenaným asovým pr b hem povod ového pr toku.

- 174 (188) -

Režim vodních tok

Obr. 16.5 Hydrogram povodn Ten se vyzna uje vzestupnou v tví, sestupnou v tví, kulmina ním pr tokem Qmax, objemem povodn W a povod ové vlny WPV a tvarem hydrogramu. Objem povodn je roven objemu vody (plocha hydrogramu) nad zvoleným pr tokem. Pokud není pr tok zadán, implicitn se rozumí hodnota dlouhodobého pr m rného pr toku Qa. Objemem povod ové vlny se rozumí veškerý objem proteklé vody mezi po átkem a koncem povodn . Po átek a konec musí být zadán. Pokud tomu tak není, rozumí se t mito body pr se ík Qa se vzestupnou a sestupnou v tví hydrogramu. P edevším kulmina ní pr tok rozhoduje v í ní síti o škodách, které za povodní vznikají, ale také o dimenzování vodohospodá ských, dopravních a jiných staveb na tocích. Správné ur ení maximálního pr toku má zajistit následnou bezpe nost stavby. Má však zárove zabránit nehospodárnému p edimenzování. Povodn se klasifikují podle pravd podobnosti p ekro ení kulmina ních pr tok p, resp. pravd podobnosti p ekro ení objem povodní. Nebo se využívá pr m rná doba opakování kulmina ních pr tok N, resp. pr m rná doba opakování objem povodní. Mluvíme potom o N-leté vod QN : l-leté, 2-leté, 5-leté nebo 100-leté, u níž p edpokládáme, že je to hodnota pr toku (hladina pr toku), která je v dlouhodobém pr m ru 1x za N let dosažena nebo p ekro ena. Nap . Q100 je pr tok, který je dosažen nebo p ekro en v pr m ru 1-krát za 100 rok . Tento pr tok nap . m že nastat nebo být p ekro en 3 krát v jednom roce. Pak však 299 rok musí být v daném profilu pr toky nižší !!!! Analogicky je tomu u objem povodní. Pravd podobnosti p ekro ení kulmina ních pr tok a pr m rné doby opakování se stanovují pomocí metod teorie pravd podobnosti. Podkladem jsou soubory nam ených kulmina ních pr tok , resp. objem povodní. Povod ová vlna je výsledkem složitého srážkoodtokového procesu v povodí. Po átek vzestupné v tve hydrogramu odtoku je p itom oproti srážce vždy asov opožd n. Do uzáv rového profilu se dostane voda nejprve z nejbližšího okolí, postupn tam však dospívá i voda vzdálen jší, takže pr tok stoupá tak dlouho, až k pr ezu dosp je voda z hydraulicky nejvzdálen jšího místa povodí. Tuto dobu, jež vyplývá z rychlosti toku vody na povrchu povodí a v í ní síti, nazýváme kritickou dobou, nebo-li dobou koncentrace. Tato doba závisí na geografických initelích povodí.

- 175 (188) -


P i ur ení návrhového pr toku QN v ur itém profilu na toku, je rozhodující, zda se jedná o m rný vodo etný profil, ve kterém se dlouhodob m í vodní stavy a potažmo pr toky. Nebo zda se jedná o profil, ve kterém m ení v uplynulém období nebylo provád no. První p ípad se týká velkých povodí, ve kterých je dostate ný profil m rných profil . Zde se návrhové pr toky stanovují z nam ených soubor pomocí metod matematické statistiky a teorie pravd podobnosti. Druhý p ípad se týká malých povodí. Zde se návrhové pr toky odhadují p evážn pomocí srážkoodtokových vztah (vzorce), protože srážky se dlouhodob plošn m í na území celé republiky ( eský hydrometeorologický ústav), a tudíž lze podklady o srážkách vždy získat. P ípadn je možno využít metod analogie, tj. p evzít údaje z co možná nejblíže situovaného jiného povodí s obdobnými geografickými initeli, ve kterém jsou hledaná data k dispozici. P i ur ení návrhového pr toku QN z nam ených dat se v naší b žné hydrologické praxi postupuje následujícím zp sobem. Z nam ených dat se každý rok vybere jeden nejv tší pr tok. Z toho plyne, že pokud máme nap . 80 let pozorování pr tok , budeme mít v souboru 80 prvk . Pro tato data se sestrojí empirická ára p ekro ení. Obvykle se získá set íd ním n prvk v souboru podle velikosti od maximálního po minimální. Žádný se nesmí vynechat. Pokud má více prvk v souboru stejnou hodnotu, opíše se dle po tu takovýchto prvk p íslušná hodnota vícekrát. Ke každé hodnot set íd ných pr tok se vypo te p íslušná pravd podobnost p ekro ení podle po adí v set íd ném souboru. První nejv tší má po adí 1, poslední nejmenší má po adí n. Pravd podobnost p ekro ení se ke každému prvku po ítá dle egodajeva:

pi =

i + 0,3 , n − 0,4

(16.2)

kde i je po adí prvku a n po et všech prvk . Konstanty 0,3 a 0,4 opravují v tomto vztahu pr b h vypo tené pravd podobnosti z d vodu, že pracujeme s krátkým souborem. P íslušné odpovídající hodnoty pr toku a vypo tené hodnoty pravd podobnosti p ekro ení jsou sou adnice bod v pravoúhlém sou adnicovém systému Q, p. Jejich vynesením a proložením "od oka" získáme empirickou áru p ekro ení kulmina ních pr tok .

Obr. 16.6 Empirická a teoretická ára p ekro ení povod ových pr tok

- 176 (188) -

Režim vodních tok

Tab. 16.1 Φi(pi,Cs) Foster-Rybkin Cs 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0,1 3,09 3,23 3,38 3,52 3,66 3,81 3,96 4,20 4,24 4,38 4,53 4,67 4,81 4,95 5,09 5,28 5,37 5,50 5,64 5,77 5,91 6,04 6,14 6,26 6,37 6,50 6,54 6,57 6,86 7,00 7,10 7,23 7,35 7,44 7,54 7,64 7,72 7,86 7,97 8,08

1 2,33 2,40 2,47 2,54 2,61 2,68 2,75 2,82 2,89 2,96 3,02 3,09 3,15 3,21 3,27 3,33 3,39 3,34 3,50 3,55 3,60 3,65 3,68 3,73 3,78 3,82 3,86 3,92 3,96 4,01 4,05 4,09 4,11 4,15 4,18 4,21 4,24 4,26 4,29 4,32

5 1,64 1,67 1,70 1,72 1,75 1,77 1,80 1,82 1,84 1,86 1,88 1,89 1,92 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,00 2,01 2,02 2,01 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 1,99 1,97 1,97 1,96 1,95 1,94 1,93 1,93 1,91 1,90 1,90

10 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,32 1,33 1,33 1,34 1,34 1,34 1,34 1,34 1,34 1,34 1,33 1,33 1,32 1,32 1,31 1,30 1,29 1,27 1,26 1,25 1,23 1,21 1,19 1,18 1,15 1,13 1,41 1,09 1,08 1,06 1,04 1,03 1,01 1,00 0,98

20 0,84 0,84 0,83 0,82 0,82 0,81 0,80 0,79 0,78 0,77 0,76 0,74 0,73 0,72 0,71 0,69 0,68 0,66 0,64 0,63 0,61 0,59 0,57 0,55 0,52 0,50 0,48 0,46 0,44 0,41 0,39 0,37 0,35 0,33 0,31 0,29 0,28 0,26 0,24 0,23

50 0,00 -0,02 -0,03 -0,05 -0,07 -0,08 -0,10 -0,12 -0,13 -0,15 -0,16 -0,18 -0,19 -0,21 -0,22 -0,24 -0,25 -0,27 -0,28 -0,29 -0,31 -0,32 -0,33 -0,34 -0,35 -0,36 -0,37 -0,38 -0,39 -0,39 -0,40 -0,40 -0,41 -0,41 -0,41 -0,41 -0,42 -0,42 -0,42 -0,41

80 -0,84 -0,85 -0,85 -0,85 -0,85 -0,85 -0,85 -0,85 -0,86 -0,85 -0,85 -0,85 -0,84 -0,84 -0,83 -0,82 -0,81 -0,81 -0,80 -0,79 -0,78 -0,76 -0,75 -0,74 -0,72 -0,71 -0,70 -0,68 -0,67 -0,65 -0,64 -0,62 -0,06 -0,59 -0,58 -0,56 -0,55 -0,54 -0,52 -0,51

90 -1,28 -1,27 -1,26 -1,24 -1,23 -1,22 -1,20 -1,18 -1,17 -1,15 -1,13 -1,10 -1,08 -1,06 -1,04 -1,02 -0,99 -0,97 -0,94 -0,92 -0,90 -0,866 -0,842 -0,815 -0,792 -0,768 -0,746 -0,724 -0,703 -0,681 -0,661 -0,641 -0,621 -0,605 -0,586 -0,570 -0,555 -0,541 -0,526 -0,513

95 -1,64 -1,61 -1,58 -1,55 -1,52 -1,49 -1,45 -1,42 -1,38 -1,35 -1,32 -1,28 -1,24 -1,20 -1,17 -1,13 -1,10 -1,06 -1,02 -0,98 -0,95 -0,914 -0,882 -0,850 -0,820 -0,790 -0,764 -0,736 -0,711 -0,689 -0,665 -0,645 -0,625 -0,606 -0,587 -0,571 -0,556 -0,541 -0,526 -0,513

99 -2,33 -2,25 -2,18 -2,10 -2,03 -1,96 -1,88 -1,81 -1,74 -1,66 -1,32 -1,52 -1,45 -1,38 -1,32 -1,26 -1,20 -1,14 -1,09 -1,04 -0,99 -0,915 -0,905 -0,867 -0,830 -0,800 -0,770 -0,740 -0,715 -0,690 -0,666 -0,646 -0,625 -0,606 -0,588 -0,571 -0,556 -0,541 -0,526 -0,513

99,9 -3,09 -2,95 -2,81 -2,67 -2,54 -2,40 -2,27 -2,14 -2,02 -1,90 -1,79 -1,68 -1,58 -1,48 -1,39 -1,31 -1,24 -1,17 -1,11 -1,05 -1,00 -0,952 -0,910 -0,870 -0,833 -0,800 -0,770 -0,740 -0,715 -0,690 -0,667 -0,646 -0,625 -0,607 -0,588 -0,572 -0,556 -0,541 -0,527 -0,513

100 -20,00 -10,00 -6,67 -5,00 -4,00 -3,33 -2,86 -2,50 -2,22 -2,00 -1,82 -1,67 -1,54 -1,43 -1,33 -1,25 -1,18 -1,11 -1,05 -1,00 -0,952 -0,910 -0,870 -0,833 -0,800 -0,770 -0,740 -0,715 -0,690 -0,667 -0,646 -0,625 -0,607 -0,588 -0,572 -0,556 -0,541 -0,527 -0,513

Je z ejmé, že proložení takovéto k ivky je zejména v koncových ástech zna n zatíženo subjektem. Proto se množinou bod prokládá teoretická ára p ekro ení. M že být r zného typu. Velmi flexibilní je teoretické rozd lení Pearson III. Pravd podobnostní funkce popisující hustotu pravd podobnosti tohoto rozd lení je t íparametrická. Parametry jsou st ední hodnota µx, sm rodatná odchylka σx (koeficient variace Cv,x) a koeficient asymetrie Cs,x. Krom toho se jedná o funkci transcendentní, to znamená, že z ní není možno analyticky vypo ítat hodnotu ur itého integrálu (napsat rovnici distribu ní funkce, resp. pravd podobnosti p ekro ení). Tento problém se eší numerickou integrací. Její pomocí sestavili Foster a Rybkin obecné tabulky, umož ující p i znalosti uvedených t í parametr p ímo vypo ítat po adnice teoretické áry p ekro ení. P íslušné hodnoty jsou sestaveny v Tab. 16.1.

- 177 (188) -


Vodorovn jsou uvedeny p edem zvolené pravd podobnosti p ekro ení. Svisle se vybere ádek s p íslušným koeficientem asymetrie a ke každé hodnot pravd podobnosti p ekro ení pi se ode te p íslušná pomocná veli ina Φi(pi,Cs). Z transforma ního vztahu:

xi = µ x (C v , x Φ i + 1) .

(16.3)

pak ke každé hodnot Φi p i adíme odpovídající hodnotu xi. V našem p ípad nahradíme xi hodnotou Qi. Odpovídající body (Qi,pi) pak vyneseme do sou adnicového systému, ve kterém jsme již vykreslili empirickou áru p ekro ení kulmina ních pr tok . Vizuáln posoudíme shodu empirické a teoretické áry p ekro ení. Pokud je shoda dobrá, byla volba typu teoretického rozd lení vyhovující. Pokud ne, musíme zvolit jiný typ rozd lení. Vztah mezi pravdepodobností p ekro ení p, periodicitou p´ a pr m rnou dobou opakování N je dán empirickým exponenciálním vztahem: p =1− e

− p′

=1− e

−

1 N

(16.4)

Orienta n pak je uvedena závislost mezi t mito veli inami v Tab. 16.2.

Tab. 16.2 Závislost mezi p, p´ a N p

0,01

0,02

0,05

0,10

0,18

0,39

0,63

p´ N

0,01 100

0,02 50

0,05 20

0,10 10

0,20 5

0,50 2

1,00 1

Z tabulky je z ejmé, že pro malé hodnoty p platí, že p ≅ p´. Pro dané hodnoty pr m rné doby opakování N je nyní možno dle (16.4) vypo ítat odpovídající p a z Obr. 16.6 ode íst odpovídající návrhový pr tok QN. Pom rn astou úlohou bývá zjistit návrhové pr toky QN na tocích, kde nejsou p ímá pozorování. To se týká hlavn malých povodí. Jedná se o velmi složitou úlohu, která není dosud spolehliv do ešena. Používají se r zné vzorce, kterých je pom rn zna né množství. Z nich se zmíníme o intenzitním vzorci, který se využívá pro velmi malá povodí, zejména urbanizovaná p i návrhu stokových sítí, plošn nep esahující n kolik hektar . Návrhový pr tok se vypo te dle vztahu: (16.5) QN = iN Sp ϕ, kde iN je návrhová intenzita kritického dešt (doba trvání je rovna dob koncentrace) s daným opakováním (periodicitou) a ode ítá se z Truplových graf , Sp je plocha povodí a ϕ je sou initel odtoku v Tab. 16.3. Ve stokování se b žn považuje za kritickou dobu trvání dešt 15 minut. Dobu koncentrace τk je možno odhadnout jako (mapové podklady):

τk =

L , vs

(16.6)

kde L ke délka údolnice a vs je st ední doba dob hu dle erkašina.

- 178 (188) -

Režim vodních tok

Tab. 16.3 Sou initelé odtok ϕ Zp sob zastav ní a druh pozemku, p íp. druh úpravy povrchu

íslo I II III IV V VI VII VIII

Zastav né plochy ( st echy) Asfaltové a betonové vozovky, dlažby se zálivkou Oby ejné dlažby (pískové spáry) Št rkové silnice, dlažba ze št tového kamene Nezastav né plochy H bitovy, sady, h išt zelené pásy, pole, louky Lesy

Konfigurace území do 1%

1-5%

nad 5%

0,90 0,70 0,50 0,30 0,20 0,10 0,05 0,00

0,90 0,80 0,60 0,40 0,25 0,15 0,10 0,05

0,90 0,90 0,70 0,50 0,30 0,20 0,15 0,10

Poznámka: V tabulce uvedení odtokoví sou initelé mají platnost pro p du st ední propustnosti. U propustné p dy (písek) se zmenšuje o 10%, p i nepropustné (jíl, skála) se zvyšuje o 10%.

Obr. 16.7 Závislost st ední doby dob hu vs na sklonu údolnice a zalesn ní povodí asto se pro stanovení návrhového pr toku používají i exponenciální vzorce, které vycházejí z p edpokladu, že specifický odtok q100 je nep ímo úm rný ploše povodí. Obecn pak platí:

q100 =

A , S pn

(16.7)

kde A a n jsou hodnoty, které platí pro ur ité povodí, pro návrhový pr tok Q100 lze psát:

Q100 =

A A S p = n −1 . n Sp Sp

(16.8)

Pokud je t eba p epo ítat vypo tené Q100 na jiný návrhový pr tok QN, používá se vztah: QN = Q100 αN, (16.9) kde αN se ur í z tabulek Bratránka, resp. Duba v závislosti na geografických initelích povodí.

- 179 (188) -


16.4 Minimální pr toky Setrvalé nízké a minimální pr toky (malé vody) v tocích jsou hospodá sky d ležité, protože omezují využití vody pro zásobování pr myslu i obyvatelstva, pro ú ely energetické, závlahy a další. Projevuje se v nich také v nejv tší mí e zne išt ní tok , které se stává stále závažn jší otázkou našeho (i sv tového) vodního hospodá ství. Nejmenší pr toky vznikají v období, kdy na delší dobu p estává povrchový odtok, takže zásoby podzemní vody jsou zna n vy erpány. Na horských tocích je to u nás na konci zimního období, kdy srážky z stávají ležet v povodí ve form sn hu, nej ast ji v únoru. Na nížinných tocích se projevují koncem suchého léta nebo na podzim, kdy bývají delší období beze srážek a kdy se menší srážka za pom rn vysokých teplot zcela vypa í. Jako absolutní minimum Qabs min ozna ujeme okamžitý nejmenší pr tok, pozorovaný v daném m rném profilu v dlouholetém období. Jinak popisujeme všechny typické malé pr toky pomocí pr m rných denních pr tok . Analogií N-letých maximálních pr tok QN jsou u malých vod N-leté minimální pr toky. Zna í se QN,min a udávají hodnotu (hladinu) pr toku, která je v dlouhodobém pr m ru dosažena nebo nedostoupena jedenkrát za N rok . Ode ítají se tedy z áry nedostoupení (distribu ní k ivka) a do souboru pro zpracování se každý rok op t vybírá nejmenší pr m rný denní pr tok. Malé vody se popisují rovn ž pomocí m-denních vod. Ty se zna í Qm,d a udávají hodnotu (hladinu) pr toku, která je dosažena nebo p ekro ena v dlouhodobém pr m ru po m dn v roce. Do souboru pro zpracování se tentokrát zahrnují všechny pr m rné denní pr toky za celé pozorované období. Sestrojí se z nich d íve popsaným zp sobem ára p ekro ení a ta se vyhladí teoretickou k ivkou. Pravd podobnostní osa se na záv r nahradí asovou osou. Pravd podobnosti rovné 1 odpovídá 365. den v roce. Nule odpovídá nula a mezi nulou a 365 je m ítko lineární. áru p ekro ení vynesenou v relativních po adnicích jsme tak nahradili arou p ekro ení vynesenou v absolutních po adnicích. Pro zvolený pr tok z ní snadno ode teme po kolik dnu v roce je tento pr tok dosažen nebo p ekro en. V profilech, kde není k dispozici m ení, snahy o použití empirických vzorc pro odhad minimálních návrhových pr tok p evážn selhaly. V tomto p ípad se doporu uje užívat metod analogie.

16.5 Zimní režim tok a ledové jevy Za zimního období, když teploty ovzduší klesnou pod bod mrazu, za ne se na tocích v naší zem pisné ší ce tvo it led. Na stojatých vodách se ochladí stykem se vzduchem tenká povrchová vrstva vody na 0 °C a vytvo í se tenké ledové plošky, které se spojí v tenkou ledovou vrstvu a ta se zesiluje podle velikosti mrazu a po tu dn s nízkou teplotou. Na velkých jezerech trvá zamrzání dlouho, nebo je rušeno vln ním. Tlouš ka ledu se zpo átku rychle zv tšuje, pak se však r st zvol uje, pon vadž led tepeln izoluje. Vrstva ledu dosahuje tlouš ky 60 až 80 cm i více. Na tocích je v proudu vznik ledu složit jší. Nejprve zamrzají tenkým ledem tišiny a okraje ek a objevuje se drobný krupi kovitý vnit ní neboli dnový led, - 180 (188) -

Režim vodních tok

který se vznáší ve vod nebo p ilne v chuchvalcích ke dnu. Tento led vzniká z p echlazení vody na hladin a turbulencí proudu se p emis uje. Podmínkou je ochlazení celé masy vody. Na hladin ze shluku ledových krystalk vznikají malé ledové kry. Jejich spojováním s dnovým ledem, který se vztlakem odtrhuje od dna, vznikne ledová t íš , která pluje po vod . Kry se zcelují, za mrazu rostou a led se m ní v hutný, celistvý ledový kryt. Zamrznutí hladiny m že být celkové nebo áste né. Dnový led se hromadí pod ledovým krytem a asto zaujímá velkou ást pr to ného pr ezu, hromadí se v p ívodech k elektrárnám a zacpává vtoky s eslemi. Ledovým krytem se zv tšují odpory t ením v pr ezu, takže pr to nost se zmenšuje. To je t eba vzít v úvahu p i vy íslování pr tok z vodních stav m rnou k ivkou. Zvlášt proto, že prom nlivé nahromad ní dnového ledu ješt m že ucpat ást pr to ného pr ezu. Led se na našich tocích vyskytuje obvykle v lednu a únoru, ve vyšších polohách od listopadu do b ezna. P i oteplení je r st ledu zastaven a pak zapo ne jeho odtávání. P i oblev se zv tšuje pr tok, kapacita koryta pod ledem nesta í. Ledový kryt, se nadzvedne a rozláme. Kry se dají do pohybu a nastává chod ledu neboli d enice. V n kterých místech se mohou kry zastavit, hromadí se, navrší se na sebe a tlakem vody se stla ují tak, až ucpou koryto - nastává ledová zácpa. Stává se to v ostrých zákrutech koryta, na konci vzdutí jezu, p i náhlém zmenšení sklonu nebo u místních p ekážek proudu (pilí e most atd.). Za ledovou zácpou se vzdouvá voda a vznikají tím povodn , které asto p evýší úrove nejv tších známých deš ových povodní. Proti ledovým zácpám se lze bránit p edevším odstra ováním p ekážek v koryt , hlavn ostrých zákrut a m lkých brod . N kdy se musí k odstran ní ledové p epážky užít trhavin. Nejt žší je chod led tehdy, zamrzne-li eka p i nízkém vodním stavu. Velké vodní nádrže m ní ledové pom ry na tocích, protože vypoušt ní teplé vody z dolní ásti nádrže brání tvo ení ledu.

Kontrolní otázky - Definujte N-letý a m-denní pr tok. - Zapište intenzivní vzorec, co je to sou initel odtoku ϕ?

17

Vodní nádrže

Pokud v povodí existují vodní nádrže, je vodní režim tok , které protékají t mito nádržemi sm rem po toku ovlivn n. K tomuto ovlivn ní dochází a již jde o nádrže p irozené (jezera), nebo um lé (rybníky, údolní p ehrady). Ú el budování vodních nádrží je obvykle mnohostranný. Vodní nádrže plní adu ú el : zásobování obyvatelstva a pr myslu vodou, ochrana území pod nádržemi p ed povodn mi, využití vodní energie, vyrovnávání pr tok v toku pod nádrží, získání vody pro závlahy, plavba, rekreace a vodní sporty, chov ryb a vodní dr beže apod. Pokud nádrž plní více ú el soub žn , mluvíme o víceú elové vodní nádrži. To je typické zejména pro velké údolní vodní nádrže. Okamžitý vztah mezi p ítokem vody do nádrže Q(t), odtokem vody z nádrže O(V(t)) a objemem vody v nádrži V(t) popisuje tzv. základní rovnice nádrže. Lze ji odvodit podle Obr. 17.1. - 181 (188) -


Obr. 17.1 asový pr b h p ítoku a odtoku vody z nádrže Za nekone n malý asový krok dt se objem vody v nádrži (pln ní) zm ní o: dV = [Q(t) - O(V(t))] dt . Odtud plyne:

(17.1)

dV = Q(t) - O(V(t)). dt

(17.2)

Rovnice (17.2) je základní diferenciální rovnicí prvního ádu. Napsaný vztah plyne ze zákona zachování hmotnosti a protože považujeme vodu za velmi málo stla itelnou, potažmo ze zákona zachování objem , je vlastn rovnicí kontinuity napsanou pro nádrže. Odtok vody z nádrže p i nastavených polohách regula ních uzáv r (ur ují dynamické vlastnosti) jednozna n závisí na pln ní nádrže. Proto je v uvedených vztazích odtok funkcí objemu v ase t. Rovnici (17.2) je možno psát rovn ž ve tvaru diferen ním. asto nás nutí k tomuto zápisu popis p ítoku vody do nádrže, to jest hydrologický popis kapacity vodního zdroje, který není možno analyticky zapsat a je k dispozici pouze ve form pr tokové ady jejíž leny jsou na kone n velkém asovém kroku ∆t konstantní. Jedná se o adu pr m rných hodinových pr tok , pr m rných denních pr tok , pr m rných m sí ních pr tok apod. Základní rovnici nádrže je možno psát též ve tvaru integrálním, resp. sou tovém. V tomto p ípad nám vyjad uje, jak se p i zadaném po áte ním objemu vody v nádrži a p i daném p ítoku a odtoku vody z nádrže zm ní za ur ité období její pln ní. Základní funkcí nádrže je tedy asová redistribuce pr toku. Nádrž je schopna jímat nadbyte ný pr tok vody v toku a shromaž ovat jej pro pozd jší využití, což se projevuje jejím pln ním. V málovodém období je naopak schopna nalepšovat malé pr toky vody v toku, což se projeví jejím prázdn ním. Analogicky p i pr chodu povodn se v nádrži hromadí nadbyte né množství vody, což p ispívá ke snížení pr tok vody v toku. Tato voda se pak bezpe n z nádrže vypouští až po skon ení povod ových pr tok . Morfologie údolí každé nádrže je popsána charakteristikami nádrže (batygrafickými k ivkami). Jsou to ára zatopených ploch A(H) a ára zatopených objem V(H). Udávají závislost mezi nadmo skou výškou vodní hladiny H a její plochou A a mezi nadmo skou výškou vodní hladiny H a p íslušným pln ním nádrže V. ára zatopených ploch se ur uje p evážn z vrstevnicového plánu. ára zatopených objem se odvozuje z áry zatopených ploch.

- 182 (188) -

Vodní nádrže

Obr. 17.2 Batygrafické k ivky Pro pln ní t chto a dalších ú el jsou v nádržích vymezeny tzv. funk ní prostory. Typické uspo ádání funk ních prostor v údolní nádrži je znázorn no na Obr. 17.3.

Obr. 17.3 Funk ní prostory v nádrži V nejnižší ásti nádrže se nachází prostor stálého nadržení As, má objem Vs a hladinu MS. Tento prostor se b žn nevyužívá a voda v n m, i když má nejnižší kvalitu, slouží jako tzv. "železná rezerva". Jeho sou ástí je mrtvý prostor Am (ostatní ozna ení je analogické ). Ten leží pod úrovní spodních výpustí a nelze jej vyprázdnit gravita n . Nad prostorem stálého nadržení leží velmi d ležitý zásobní prostor Az. Ten slouží k zásobení p evážn obyvatelstva, pr myslu a zem d lství vodou. Využívá se rovn ž hydroenergeticky. Nad prostorem stálého nadržení leží prostory ochranné. To jest reten ní prostor ovladatelný ARO (pro manipulaci s odtokem vyžaduje p ítomnost obsluhy). A reten ní prostor neovladatelný ARN, který leží nad korunou pevného bezpe nostního p elivu. Odtok z n j probíhá automaticky. Ne všechny prostory musí v takovéto nádrži existovat. Zejména reten ní prostor ovladatelný m že absentovat. Odtok vody z nádrže je p evážn ízen, což vyžaduje p ítomnost lidské obsluhy. Pouze u malých vodních nádrží - zejména rybník , které plní jiné ú ely, není trvalá p ítomnost obsluhy vyžadována. Takovéto nádrže jsou chrán ny proti p elití pouze bezpe nostním p elivem. Transforma ní ú inek povod ového pr toku reten ním prostorem neovladatelným je patrný z Obr. 17.4.

- 183 (188) -


Obr. 17.4 Transformace povodn reten ním prostorem neovladatelným Dochází p i n m ke snížení kulmina ního odtoku z nádrže Omax. Tato kulminace vždy leží na sestupné v tvi hydrogramu p ítoku Q(t) (je dosaženo maximálního pln ní nádrže) rovn ž dochází k celkovému zplošt ní povodn . Po dosažení kulminace je odtok z nádrže vyšší než p ítok a reten ní prostor neovladatelný se postupn prázdní. Zplošt ní povod ové vlny zp sobí i rozlití do inundací toku, které zadržují vodu obdobn jako velká ochranná nádrž. K vodním nádržím pat í jak bylo uvedeno i rybníky. Jejich množství bylo v našich zemích ve feudálním období zna né. Pozd ji se hodn rybník z r zných d vod zrušilo. P esto však (nap . na Lužnici) výrazn ovliv ují a vyrovnávají pr toky. Význam rybník tkví krom chovu ryb ve zvlh ování okolního ovzduší, zvyšování množství podzemní vody a rovn ž tvo í ur itou zásobu vody pro místní pot eby uživatel .

Kontrolní otázky - Zapište základní rovnici nádrže. - Definujte funk ní prostory nádrže.

18

Záv r

18.1 Shrnutí

Ve studijním textu „Hydraulika a hydrologie“, který je studijní oporou stejnojmenného p edm tu, jsou uvedeny základy hydrauliky a hydrologie. A to hydrostatika, hydrodynamika, výtok kapaliny otvorem, p epady, ustálené tlakové proud ní vody v potrubí, ustálené proud ní vody v otev ených korytech, vodní skok, propustky a mosty, proud ní podzemní vody, hydrologie, srážky, í ní sí , vodní nádrže.

19

Studijní prameny

19.1 Seznam použité literatury

Boor, B., Kunštátský, J., Pato ka, C. Hydraulika pro vodohospodá ské stavby. Praha:SNTL/ALFA. 1968. 520 stran. Hálek, V., Švec, J. Hydraulika podzemní vody. Praha:Academia. 1973. 376 stran.

- 184 (188) -

Autotest

Jandora, J., Stara, V., Starý, M. Hydraulika a hydrologie. Brno: Akademické nakladatelství CERM. 2002. ISBN 80-214-2204-1. Jandora, J., Uhmannová, H. Základy hydrauliky a hydrologie – P íklady. Brno:Akademické nakladatelství CERM. 1999. ISBN 80-214-1160-0. Kunštátský, J., Pato ka, C. Základy hydrauliky a hydrologie. Praha:SNTL/ALFA. 1966. 250 stran.

19.2

Seznam dopl kové studijní literatury

Fletcher, C. A. J. Computational Techniques for Fluid Dynamics (Volume I and II). Berlin. Springer-Verlag. 1991. Havlík, V., Marešová, I. Hydraulika I, P íklady. Praha: VUT. 1994. 243 stran. ISBN 80-01-01162-3. Havlík, V., Marešová, I. Hydraulika II, P íklady. Praha: VUT. 1995. 245 stran. ISBN 80-01-01384-7. Kemel, M. Klimatologie, meteorologie, hydrologie. Praha:ES VUT. 1996. Kratochvíl, J. a kol. Hydraulika. Brno:VUT v Brn . 1991. 148 stran. Mässiar, E., Kamenský, J. Hydraulika pre stavebných inžinierov I - Objekty a potrubia. Bratislava:ALFA. 1986. 344 stran. Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H. Fundamentals of fluid mechanics. New York:John Wiley & Sons, Inc.. 1998. 877 stran. ISBN 0-471-355023-X íha, J. a kol. Matematické modelování hydrodynamických a disperzních jev . Brno:VUT v Brn . 1997. 185 stran. ISBN 80-214-0827-8. Sommer, M. Hydrologie. Praha:SNTL. 1985. Starý, M., Kožnárek, Z., Soukalová, E. Hydrologie. Návody do cvi ení. Brno:ES VUT. 1989. Starý, M. Nádrže a vodohospodá ské soustavy. Brno:ES VUT. 1991.

20

Autotest

1. Ur ete hydrostatický tlak na hydrant umíst ný v bazénu v hloubce h = 10,0 m. V bazénu je voda (ρ = 1000 kg/m3). 2. Do sklen né U-trubice o plošném obsahu A = 2 cm2 (Obr. 20.1) byla nalita rtu (ρHg =13 550 kg/m3). Jak se zm ní poloha hladiny, p ileje-li se mv = 50 g vody (ρv = 1000 kg/m3)? Na oba konce trubice p sobí stejný tlak pa.

pa

A

hHg

ρv

hv

pa

B

ρHg

Obr. 20.1 U-trubice

Obr. 20.2 St na nádrže

- 185 (188) -


3. Ur ete velikost hydrostatické síly F, kterou p sobí voda na 1m' b žný st ny nádrží podle Obr. 20.2. Dáno: h1 = 6,0 m, h2 = r = 2,0 m. V obou zdržích je voda. 4. Do vodovodního potrubí byl v azen venturimetr (Obr. 20.3). Vypo ítejte rychlosti v1, v2 a pr tok Q vody, je-li D1 = 100 mm, D2 = 50 mm, rozdíl tlak H = 80 mm, α = 1 a h1 = h2. Ztráty zanedbejte.

p1

ρg

p2

ρg

Obr. 20.3 Venturimetr 5. Ve svislé st n vodojemu je tvercový otvor s délkou strany a = 0,5 m. Jeho horní okraj je 75 cm pod hladinou. Vypo t te výtok tímto otvorem a navrhn te pr m r kruhového otvoru tak, aby hloubky t žiš byly stejn hluboko pod hladinou a aby pr tok byl v obou p ípadech stejný (v0 = 0 m/s, µ = 0,65). 6. P es obdélníkový p eliv tlouš ky t = 2 m, v lichob žníkovém koryt se sklony svah 1:1 a se ší kou ve dn bL = 25 m má p epadat pr tok Q = 45 m3/s (Obr. 20.4). P epadová výška je h = 1,2 m. Koruna p elivu je 0,8 m nade dnem p ítokového koryta (s1 = 0,8 m) a 1,2 m nade dnem odpadního koryta (s = 1,2 m). P ívodní koryto je plynule napojeno na svislé b ehové pilí e p elivu. P epad je dokonalý (hd = 0,75 m). Úkolem je stanovit pot ebnou ší ku p elivu b (α = 1).

Obr. 20.4 Plynulé navázání jezu na b ehy koryta

- 186 (188) -

Autotest

7. Jaké budou ztráty ve vodovodním potrubí (n = 0,012) o pr m ru D = 300 mm a délky L = 500 m p i pr toku Q = 0,060 m3/s? 8. Ur ete pr tok vody, který protéká hloubkou h = 1,2 m v obdélníkovém betonovém koryt (n = 0,014) se ší kou ve dn b = 7,0 m a sklonem dna i = 0,001.

Obr. 20.5 Obdélníkové koryto 9. Do obdélníkového žlabu ší ky b = 1,2 m se napouští stavítkem voda (Obr. 20.6). P i pr toku Q = 1,2 m3/s se vytvo í za stavítkem p i dn hloubka hc = 0,2 m. Zjist te jaký vodní skok se ve žlabu vytvo í, jestliže žlabem odtéká voda p i daném pr toku rovnom rn hloubkou hd = 0,6 m (α = β = 1).

Obr. 20.6 Stavítko

21

Klí

1. ph = 98,10 kPa (rovnice (3.7). 2. hHg = 0,018 m (nejprve se ur í hv= 0,25 m, a to z hmotnosti vody, hustoty vody a plošného obsahu U-trubice, a dále pak se ur í hHg z podmínky rovnováhy na rov ové ploše A-B). 3. F = 179,41 kN; Fh = 156,960 kN; Fv = 86,90 kN (použijí se zat žovací obrazce (Obr. 3.11) a rovnice (3.20)). 4. v1 = 0,323 m/s; v2 = 1,294 m/s; Q = 2,541 10-3 m3/s (zapíše se Bernoulliho rovnice (4.23) pro profily 1 a 2 a dále se použije rovnice kontinuity (4.11) op t zapsaná pro profily 1 a 2, podrobn je postup rozebrán v odstavci 4.2.2). 5. Q = 0,718 m3/s; hT = 1,00 m; D = 0,564 m (pro výtok obdélníkovým otvorem platí (5.11) a pro výtok kruhovým otvorem (5.12)).

- 187 (188) -


6. b = b0 = 21,76 m; v0 = 0,833 m/s, A0 = 54,0 m2; h0 = 1,235 m; (jedná se o dokonalý p epad (hd < s) p es obdélníkový p eliv bez bo ního zúžení; p epadový sou initel se ur í z tabulky (6.5) t:h = 1,667 => m = 0,34; α v 02 Q ; h0 = h + ). p epadové množství se ur í ze vztahu (6.13); v 0 = 2g A0 7. hz = 1,64 m (rovnice (7.29) a tabulka 7.3 – A = 0,9111 s2/m6). 8. Q = 17,60 m3/s; A = 8,4 m2; O = 9,4 m; R = 0,894 m; C = 70,1020 m0,5/s; v = 2,10 m/s (použije se Chézyho rovnice (8.1) a Manning v vztah (8.3)). 9. h2 = 0,915 > hd => vznikne oddálený vodní skok (h1 = hc; druhá vzájemná hloubka se ur í podle vztahu (9.5)).

- 188 (188) -

HYDRAULIKA A HYDROLOGIE

Recommend Documents