Posudek ²kolitele diplomové práce
Stochastické modely epidemií s ohledem na demogra i lidské populace studentky
Jitky Kostkové ze zam¥°ení Aplikované matematicko-stochastické metody
Autorka se v p°edkládané práci (DP) zabývá stochastickými modely epidemií a s nimi souvisejícími optimaliza£ními a statistickými úlohami. Jako model epidemie zde slouºí soustava stochastických diferenciálních rovnic (SDE), kde kaºdá komponenta popisuje vývoj n¥které ze subpopulací (náchylní k nákaze, in kovaní, uzdravení). Dále jsou zkoumány vlastnosti a numerické simulace klasických model·, ale i jejich n¥která zobecn¥ní, zejména tzv. Austin-Brewer·v model, který (dle mých informací) byl práv¥ v této práci poprvé uvaºován ve stochastickém p°ípad¥. Ukazuje se, ºe tento model je mimo°ádn¥ vhodný pro popis reálného ²í°ení epidemie ch°ipky (v DP modelováno pro Prahu). Pro jednotlivé modely autorka formulovala a s úsp¥chem °e²ila úlohu optimální vakcinace a odhad hustoty pravd¥pobnosti (náhodného) £asu vypuknutí epidemie. První dv¥ kapitoly obsahují p°ehled pouºitých výsledk· ze stochastické analýzy a numerických metod pro SDE. Ve t°etí kapitole jsou prezentovány klasické výsledky pro základní KermackMcKendrick·v SIR model a jsou zde formulovány úlohy optimální vakcinace a odhad hustoty rozd¥lení £asu prvního dosaºení hranice epidemie. Ve £tvrté kapitole autorka uvaºovala z literatury známý (deterministický) SIR model s pr·b¥ºnou vakcinací a p°edstavila t°i jeho moºná stochastická zobecn¥ní. Pro kaºdý tento submodel numericky °e²ila vý²e popsané úlohy a diskutovala jejich výsledky. Analýza ukázala, ºe uvaºovaný logistický £len pro popis demogra e je nerealistický a bylo nutné ho nahradit vhodn¥j²ím £lenem. V páté kapitole je de nován Austin-Brewer·v stochastický SIR model s demogra í jakoºto produkt autor£ina mimo°ádn¥ intenzivního pátrání v literatu°e a vlastního návrhu t°ech jeho stochastických variant. Tyto t°i verze byly porovnány na základ¥ výsledk· vý²e uvedených úloh a byl vybrán nejvhodn¥j²í (velice realistický) kandidát, coº povaºuji za mimo°ádný úsp¥ch. V poslední kapitole je nejlépe vyhodnocený model z p°edchozí kapitoly zkoumán podrobn¥ji vyuºitím teorie lineárních model·. Konkrétn¥ je zde studována závislost £asu prvního dosaºení hranice epidemie na parametrech modelu v£etn¥ odvození modelu této závislosti. Sle£na Kostková projevila enormní nasazení a tv·r£í samostatnost p°i práci na diplomové práci a obdrºela výstupy, které by rozhodn¥ m¥ly být publikovány. Práce má také zna£ný potenciál dal²ího rozvoje (rigorozní výsledek ohledn¥ existence a jednozna£nosti °e²ení AustinBrewerova stochastického modelu, £asov¥ závislá vakcinace a formulace stochastické úlohy optimálního °ízení atd.). Detailní hodnocení práce uvádím na druhé stran¥ tohoto dokumentu. Vzhledem k vý²e uvedenému doporu£uji práci k obhajob¥ a navrhuji hodnocení A (výborn¥).
V Milanu dne 29. kv¥tna 2015
Ing. Petr Veverka, PhD.
Hodnocení detailn¥ 1. Náro£nost zadání: A. Zadání práce bylo kombinací metod stochastické analýzy, matematické statistiky a numerických metod pro SDE. Krom¥ toho studentka provedla mimo°ádn¥ náro£nou re²er²i v oblasti popula£ních model· a poda°ilo se jí najít pom¥rn¥ málo známý ale velice realistický Austin-Brewer·v model, který dále zobecnila a zkoumala. 2. Spln¥ní zadání: A. Práce svým rozsahem p·vodní zadání ve skute£nosti p°ekonává. 3. V¥cná, formální a logická úrove¬: A. Práce je psaná velice srozumiteln¥, jednotlivé kapitoly a sekce jsou logicky správn¥ °azeny. Práce je bez jazykových a v¥cných chyb. Jednotlivé výsledky jsou velmi dob°e komentovány a interpretovány. P°evzaté výsledky jsou náleºit¥ citované. 4. Práce se zdroji: A. Zcela bez výhrad. 5. Výsledky a výstupy: A. Dá se °íct, ºe p°edkládaná diplomová práce p°edstavuje pom¥rn¥ ucelenou studii stochastických model· epidemií s demogra í (s vakcinací i bez). Hlavním výsledkem je formulace a testování nového stochastického modelu epidemie (Austin-Brewerova), který má z°ejm¥ velký potenciál pro dal²í praktické vyuºití. Výsledky by rozhodn¥ m¥ly být zaslány do odborného £asopisu.
Posudek oponenta Název diplomové práce: Stochastické modely epidemií s ohledem na demografii lidské populace Autor: Jitka Kostková
Shrnutí: Práce se zabývá epidemickými modely, přesněji modely, které jsou popsány pomocí diferenciálních rovnic, respektive stochastických diferenciálních rovnic. Po úvodní části se autorka zaměří na Kermackův-McKendrickův model a jeho modifikace včetně stochastických verzí modelu či modelu s vakcinací a na shrnutí již známých výsledků. V další kapitole je pak uvažován SIR model s demografickými prvky. Studentka k již publikovanému deterministickému modelu představuje tři stochastické verze, které vzájemně porovnává pomocí simulační studie a ukazuje i slabiny těchto modelů. Dále je zde zkoumáno rozdělení času prvního dosažení hranice epidemie a také je zde řešena úloha hledání optimální vakcinační strategie. V další kapitole jsou představeny některé z populačních modelů, které jsou následně použity k modifikaci modelů z přechozí kapitoly tak, aby se zabránílo nevhodnému chování při vakcinaci populace. U těchto nových modelů je následně opět provedena simulační studie, zkoumáno rozdělení času prvního dosažení hranice epidemie a řešena úloha řízení. Poslední část je věnována zkoumání závislost středního času prvního dosažení hranice epidemie na dalších parametrech modelu. K tomu je využit lineární regresní model. Práce je napsána srozumitelně a přehledně, použité prameny jsou správně citovány, úvodní části práce dávají čtenáři pěkný náhled do již publikovaných výsledků v této oblasti a část práce s původnímy výsledky na tyto části přirozeně navazuje. Ačkoliv se tato práce věnuje převážně simulačním studiím, je dle mého názoru přínosem v této oblasti. Vzhledem k rozsahu práce se autorka nevyhnula některým nevhodným formulacím či drobným chybám, které jsou uvedeny níže.
Konkrétní připomínky: • str. 15: Za definicí 1.3 zaměňuje autorka pojem filtrace a σ-algebra. • Jsou-li v úvodní části definovány pojmy jako náhodný proces či martingal, bylo by vhodné definovat i složitější pojmy jako Itôův proces a Itôův integrál.
• str. 44, model I.: Autorka píše ”Snížení počtu náchylných osob ale vede k tomu, že velikost populace se opět snaží dosáhnout optimální hladiny K. Důsledkem tohoto je markantní nárůst celkové populace.” V první řadě by bylo vhodné doplnit, že velikost populace náchylných jedinců se snaží dosáhnout hladiny K. Z obrázků se také zdá, že roste rozptyl v modelu, je tomu tak? • str. 45, model II.: Autorka uvádí, že díky velkým výkyvům ve velikosti populace způsobených šumem dochází ke zvýšení počtu infikovaných osob I. Ve srovnání s předchozím modelem se ale výkyvy ve velikosti populace zdají spíše menší. Rovněž je na obrázcích 4.3 a 4.4 vidět, že v tomto modelu (a v modelu III.) má velikost populace tendenci neustále růst. Toto by bylo vhodné zmínit a třeba i doplnit podrobnějším komentářem, neboť při letmém pohledu na rovnici (4.5) by nepozorný čtenář mohl dospět k mylnému závěru, že jelikož se velikost náchylné populace St má tendenci držet u hodnoty K (jak je psáno na straně 44), tak by deterministická část této rovnice měla být spíše záporná, a tedy by se měla celková populace zmenšovat. • str. 46-47: U obrázků 4.1, 4.3 a 4.5 není jasné, proč je zde uveden i výřez obrázku, který je ale pouhým dvojnásobným zvětšením pravého obrázku, a tak neposkytuje čtenáři významně podrobnější informaci než obrázek vpravo. V popisu obrázku 4.6 mělo být asi napsáno ”(obrázek vlevo)” místo ”(obrázek nahoře)”. • str. 49, obrázek 4.7: Tento obrázek vypadá spíše jako histogram než jako empirická hustota. Stejně tak i u obrázků 4.9, 4.11, 5.7 a 5.9. • str. 52: Zde by bylo vhodné popsat, co je to Ot . Z toho, že IT + OT je počet všech osob, které onemocněly do času T , lze usuzovat, že Ot je počet osob, které onemocněly do času t, ale v tomto čase již nejsou mezi nemocnými. Z této přirozené interpretace by se dalo očekávat, že Ot je neklesajíci, což je ale v rozporu se rovnicí (4.12) na následující straně. • str. 53: Je otázkou, zda interpretace parametru u, která je uvedena na této straně a vede k omezení umax ≤ 1, je vhodná (pro u dostatečně velké). Dle mého názoru ani u = 1 nevede k plné vakcinaci a i u > 1 má svůj smysl. • str. 60: Zde je uvedeno, že ”Tyto parametry přibližně odpovídají datům z [21] a základnímu reprodukčnímu číslu pro chřipku [14]”. Bylo by vhodné tato data uvést. Pokud tedy nejde jen o zmíněný počet úmrtí na chřipku a pětiprocentní míru proočkovanosti.
• str. 61: Je zde uvedeno, že na obrázku 5.4 je vidět, že i naočkování malé části populace způsobí velký pokles nakažených osob. To ale není z tohoto obrázku tak jasně viditelné, kromě toho u obrázku chybí také popis, který obrázek je bez vakcinace a který s vakcinací. • str. 71: Dle mého názoru by bylo vhodné uvést hned na úvod šesté kapitoly, proč se autorka rozhodla pro lineární model. • str. 71: Zde se uvádí ”První část se zabývá efekty zprůměrovaných trajektorií a jejich obecnými vlastnostmi” a ”Hodnoty time značí průměrný čas prvního vypuknutí epidemie vypočtený z 1000 trajektorií”. To ale není totéž, neboť čas prvního vstupu z průměrné trajektorie a průmerný čas prvního vstupu se nemusí rovnat. • str. 75: Zde autorka uvádí, že nejsou splněny předpoklady k testu ANOVA. Asi by bylo dobré uvést, o jaké předpoklady se jedná.
Závěr: Celková úroveň práce je velmi dobrá a proto ji doporučuji uznat jako diplomovou práci. Návrhuji klasifikovat práci známkou A - výborně.
RNDr. Jakub Staněk, Ph.D. (Katedra didaktiky matematiky, MFF UK v Praze) V Praze, dne 2.6.2015
