Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
GVMST22GNC Statisztika II. 3. el˝oad´as: 8. Hipot´ezisvizsg´alat
´ L´aszl´ K´ oczy A. o Keleti K´ aroly Gazdas´ agi Kar – V´ allalkoz´ asmenedzsment Int´ ezet
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
Hipot´ezisvizsg´alat v becsl´es
Becsl´es Ismeretlen param´eter K¨ozel´ıt˝o ´ert´eket adunk meg
Hipot´ezisvizsg´alat Felt´etelezett param´eter ´ ıt´as helyess´eg´et igazoljuk All´
Hipot´ezis Egy v t¨obb sokas´agra vonatkoz´ o ´all´ıt´as. Vonatkozhat eloszl´asra, v az eloszl´as egyes param´etereire.
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Null- ´es alternat´ıv hipot´ezis Nullhipot´ezis (H0 ) ´es alternat´ıv- (v. ellen-) hipot´ezis (H1 ): K¨olcs¨on¨osen kiz´arj´ak egym´ast A nullhipot´ezis rendszerint egyszer˝ u Egy hipot´ezis lehet Egyszer˝ u: egyenl˝os´eg ¨ Osszetett: t¨obb hipot´ezis ¨ osszess´ege P´eld´ak: H0 : µ = m 0
H1 : µ 6= m0
H0 : µ = m 0
H1 : µ < m 0
Alapvet˝oen a nullhipot´ezisr˝ ol d¨ ont¨ unk Az ellenhipot´ezis seg´ıts´eg´evel Pontosan 1 hipot´ezist fogadunk el (Ha a nullhipot´ezist elutas´ıtjuk, az ellenhipot´ezist elfogadjuk)
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Statisztikai pr´oba 1/3
Statisztikai pr´oba Elj´ar´as, mely sor´an a minta alapj´an d¨ ont¨ unk a nullhipot´ezis elfogad´as´ar´ol, vagy elutas´ıt´as´ar´ ol. Pr´obaf¨ uggv´eny A mintaelemek olyan f¨ uggv´enye melynek val´ osz´ın˝ us´egeloszl´asa megadhat´o biz adatok ismeret´eben ha elfogadjuk a nullhipot´ezist.
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
Statisztikai pr´oba 2/3
P´elda: z-pr´obaf¨ uggv´eny Ha H0 : µ = m0 az alapsokas´ag norm´alis eloszl´as´ u a minta f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u a sokas´ag sz´or´asa ismert, σ z= standard norm´alis eloszl´as´ u.
µ b − m0 √σ n
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
Statisztikai pr´oba 3/3 A pr´obaf¨ uggv´eny konkr´et mint´ara kisz´am´ıtott ´ert´eke eshet a [ca ; cf ] elfogad´asi tartom´anyba (ekkor H0 -t elfogadjuk), vagy a komplementer elutas´ıt´asi (v kritikus) tartom´anyba (ekkor H0 -t elutas´ıtjuk). Szignifikanciaszint A pr´obaf¨ uggv´eny kritikus tartom´anyba es´es´enek val´osz´ın˝ us´ege A kritikus tartom´any elhelyezked´ese szerint lehet bal oldali k´etoldali jobb oldali
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Kritikus tartom´anyok ´es ´ert´ekek
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Kritikus tartom´anyok ´es ´ert´ekek 2
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Vizsg´alati hib´ak A d¨ont´es val´osz´ın˝ us´egi – kock´azattal j´ar Ha H0 igaz, m´egis elvetj¨ uk – ez az els˝ ofaj´ u hiba. Val´osz´ın˝ us´ege α – a pr´ oba szignifikanciaszintje. Ha H0 nem igaz m´egsem vetj¨ uk el – ez a m´ asodfaj´ u hiba. Val´osz´ın˝ us´ege β. igaz elfogadott hipot´ezis hipot´ezis H0 H1 H0 helyes d¨ont´es els˝ ofaj´ u hiba 1−α α H1 m´asodfaj´ u hiba helyes d¨ ont´es β 1−β A m´asodfaj´ u hiba s´ ulyosabb, hiszen ekkor a hib´as eredm´eny korrig´al´as´ara nincs lehet˝ os´eg. Er˝of¨ uggv´eny 1 − β (m´asodfaj´ u hiba elker¨ ul´es´enek val´ osz´ın˝ us´ege) az egyszer˝ u alternat´ıv hipot´ezishez tartoz´ o ism´erv´ert´ekek f¨ uggv´eny´eben.
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
Vizsg´alati hib´ak 2
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
A statisztikai hipot´ezisvizsg´alat menete
1
A H0 null- ´es H1 alternat´ıv hipot´ezis megfogalmaz´asa.
2
A megfelel˝o pr´obaf¨ uggv´eny megkeres´ese.
3
A szignifikanciaszint megv´alaszt´asa.
4
Az elfogad´asi ´es visszautas´ıt´asi tartom´anyok meghat´aroz´asa.
5
Mintav´etel, a mintajellemz˝ ok ´es ebb˝ ol a pr´ obaf¨ uggv´eny ´ert´ek´enek meghat´aroz´asa
6
D¨ont¨ unk a H0 ´es H1 hipot´ezisekr˝ ol.
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
Egymint´as z-pr´oba
H 0 : µ = m0
H1 : µ < m0 vagy H1 : µ > m0 vagy H1 : µ 6= m0
A sokas´ag norm´alis eloszl´as´ u; a σ sz´ or´as ismert. z=
µ b − m0 √σ n
Konkr´et mint´aban: z0 =
x¯ − m0 √σ n
Az elfogad´asi tartom´any hat´arai a k¨ ovetkez˝ ok: Alternat´ıv hipot´ezis µ < m0 h µ 6= m0 i µ > m0 Elfogad´asi tartom´any [zα ; ∞[ z α2 ; z1− α2 ]−∞; z1−α ] Haszn´alhat´o b´armely v´eges sz´ or´as´ u, nagy elemsz´am´ u f¨ uggetlen minta eset´en is (becs¨ ult sz´ or´assal).
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
¨ Osszefoglal´ as
Egy´ eb vizsg´ alatok
Feladatok
Egymint´as t-pr´oba
H 0 : µ = m0
H1 : µ < m0 vagy H1 : µ > m0 vagy H1 : µ 6= m0
A sokas´ag norm´alis eloszl´as´ u; a σ sz´ or´as nem ismert. t=
µ b − m0 b √σ n
Konkr´et mint´aban: t0 =
Az elfogad´asi tartom´any hat´arai a k¨ ovetkez˝ ok: Alternat´ıv hipot´ezis µ < m0 h µ 6= m0 i szf szf Elfogad´asi tartom´any tα ; ∞ t szf α ;t 1− α 2
2
x¯ − m0 √s n
µ > m0
szf −∞; t1−α
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
Sz´or´asra vonatkoz´o pr´oba
H 0 : σ = σ0
H1 : σ < σ0 vagy H1 : σ > σ0 vagy H1 : σ 6= σ0
A sokas´ag norm´alis eloszl´as´ u. χ2 =
(n − 1)b σ2 2 σ0
Konkr´et mint´aban: χ2 =
mely szf = n − 1 szabads´agfok´ u χ2 eloszl´ast k¨ ovet. Az elfogad´asi tartom´any hat´arai a k¨ ovetkez˝ ok: Alternat´ıv hipot´ezis h σ < σ0 h h σ 6= σ0 Elfogad´asi tartom´any
χ2α,szf ; ∞
χ2
(n − 1) · s 2 , σ02
2 α ,szf ; χ1− α ,szf 2 2
i
h σ > σ0 i 0; χ21−α,szf
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Sokas´agi ar´anysz´ammal (val´osz´ın˝us´eggel) kapcs pr´oba P meghat´arozott t´ıpus´ u egyedek el˝ ofordul´as´anak val´osz´ın˝ us´ege. Azt vizsg´aljuk, hogy ez az ar´any megfelel-e egy felt´etelezett P0 ar´anynak (azaz H0 : P = P0 ). Legyen ( 1 ha megvan a tulajdons´ag, ξi = 0 ha nincs. p Ekkor M(ξi ) = P0 ´es D(ξ) = P0 (1 − qP0 ), P ξi 0) p ) = P0 , D(b p ) = P0 (1−P . Ebb˝ol: illetve b p = n , M(b n b p − P0 zP0 = q
P0 (1−P0 ) n
standardiz´alt; nagy n eset´en pedig k¨ ozel norm´alis.
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
K´etmint´as statisztikai pr´ob´ak
K´et sokas´ag ¨osszehasonl´ıt´asa – a hipot´ezis a k´et ism´erv o¨sszehasonl´ıt´as´ara vonatkozik.
Pl: k´et technol´ogia, f´erfiak/n˝ ok, falu/v´aros ¨ osszehasonl´ıt´asa
A k´et sokas´agot k´et v´eletlen, f¨ uggetlen minta k´epviseli
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
V´arhat´o ´ert´ekek k¨ul¨onbs´eg´enek vizsg´alata K´et sokas´ag: µ1 , σ1 ´es µ2 , σ2 ; v´eletlen f¨ uggetlen mint´ak.
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 < µ2 vagy H1 : µ1 6= µ2 vagy H1 : µ1 > µ2
Ha mindk´et sokas´ag norm´alis eloszl´as´ u ´es a sz´ or´asok ismertek: σ2 σ2 M(b µ1 − µ b2 ) = 0, ´es D(b µ1 − µ b2 ) = D(b µ1 ) + D(b µ2 ) = n11 + n22 (f¨ uggetlens´eg), ´ıgy µ b1 − µ b2 z=q 2 , σ1 σ22 + n1 n2
x1 − x2 konkr´et mint´ara: z0 = q 2 σ1 σ22 n1 + n2
standard norm´alis eloszl´ast k¨ ovetnek. Ha a sz´or´as nem ismert, de a minta nagy, σ helyett σ b, ill. σ b helyett s haszn´alatos.
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
¨ Osszefoglal´ as
Egy´ eb vizsg´ alatok
V´arhat´o ´ert´ekek k¨ul¨onbs´eg´enek vizsg´alata – kis minta (k´etmint´as t-pr´oba) Kis minta eset´en, ha norm´alis eloszl´as´ u sokas´agok az ismeretlen sz´or´asok egyenl˝ os´ege felt´etelezhet˝o Ekkor t=q
µ b1 − µ b2 (n1 −1)b σ12 +(n2 −1)b σ22 n1 +n2 −2
ill.: t0 = q
q
, 1 n1
+
1 n2
x1 − x2 (n1 −1)s12 +(n2 −1)s22 n1 +n2 −2
q
1 n1
+
1 n2
szf = n1 + n2 − 2 szabads´agfok´ u Student t-eloszl´ast k¨ovet.
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
K´et sokas´agi ar´anyra vonatkoz´o pr´oba
H0 : P 1 − P 2 = ε0 K´et nagy minta eset´en a pr´ obaf¨ uggv´eny:
zp = q
pˆ1 − pˆ2 − ε0 p ˆ1 (1−ˆ p1 ) n1
+
p ˆ2 (1−ˆ p2 ) n2
, ill.: z0(p) = q
p1 − p2 − ε0 p1 (1−p1 ) n1
+
p2 (1−p2 ) n2
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
¨ Osszefoglal´ as
Egy´ eb vizsg´ alatok
Feladatok
K´et sokas´agi sz´or´as egyez˝os´eg´ere vonatkoz´o (F -) pr´oba A sz´or´asok egyez´es´et k´etmint´as t-pr´ ob´an´al felt´etelezz¨ uk – itt ellen˝orizz¨ uk. A sokas´ag eloszl´asa (j´ o k¨ ozel´ıt´essel) norm´alis H0 : σ 1 = σ 2 σ1 A pr´ obaf¨ uggv´eny: F = σ2 szf1 = n1 − 1 ´es szf2 = n2 − 1 szabads´agfok´ u F eloszl´ast alkot. szf1 T´abl´azatb´ol cf olvashat´ o ki, Fszf = 2 (p)
1 szf Fszf 2(1−p) 1
Alt. hipot´ezis: Elfogad´asi tart.
h σ1 < σ2 h szf1 Fszf ;∞ 2 (α)
σ1 6= σ2 h i szf1 szf1 Fszf2 ( α ) ; Fszf α 2 (1− ) 2
2
h σ1 < σ2 i szf1 0; Fszf 2 (1−α)
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Egy´eb vizsg´alatok
Eddig: param´eterek helyess´eg´et vizsg´altuk. Most: mag´at az eloszl´ast Illeszked´esvizsg´alat Egy val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o eloszl´as´ara vonatkoz´ o hipot´ezis vizsg´alata. 1
Ha az eloszl´as param´etereire is van felt´etelez´es: tiszta illeszked´esvizsg´alat.
2
Ha csak az eloszl´as t´ıpus´ara: becsl´eses illeszked´esvizsg´alat.
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
Illeszked´esvizsg´alat 1 Kateg´ori´ak ism´erv´ert´eke X1 .. .
El˝ ofordul´asi gyakoris´ag a mint´aban a konkr´et mint´aban ν1 n1 .. .. . .
El˝ofordul´asi val´osz´ın˝ us´eg P1 .. .
Xi .. .
νi .. .
ni .. .
Pi .. .
Xk ¨ Osszesen
νk n
nk n
Pk 1
H0 : P(Xi ) = Pi minden i-re
H1 : l´etezik olyan i, hogyP(Xi ) 6= Pi
Ekkor M(νi ) = nPi , az elt´er´es kifejezhet˝ o mint
P (νi − nPi )2 .
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Illeszked´esvizsg´alat 2 χ2 =
k k X (νi − nPi )2 X (νi − νi∗ )2 = , nPi νi∗ i=1
i=1
ami szf = k − b − 1 szabads´agfok´ u
χ2 -eloszl´ast
k¨ovet
b = becs¨ ult param´eterek sz´ama a Pi -k meghat´aroz´as´an´al k = a kateg´ori´ak sz´ama. H1 eset´en a pr´obaf¨ uggv´eny nagyobb ⇒ jobb oldali kritikus tartom´any. h i Az elfogad´asi tartom´any 0, χ21−α(szf ) . Konkr´et minta eset´en χ20 =
k X (ni − νi∗ )2 , νi∗ i=1
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
F¨uggetlens´egvizsg´alat F¨ uggetlens´egvizsg´alat Azon nullhipot´ezis vizsg´alata, hogy k´et ism´erv f¨ uggetlen egym´ast´ol. Ha a teljes sokas´agot ismerj¨ uk ⇒ Statisztika I. Itt: mint´ab´ol. H0 : Pij = Pi· P·j minden i, j-re
H1 : l´etezik olyan i, j, hogyPij 6= Pi· P·j
s X t X (νij − nPi· P·j )2 χ = nPi· P·j 2
=
i=1 j=1
konkr´et mint´ara:
s X t X (νij − νij∗ )2 i=1 j=1
=
νij∗
s X t X (nij − nij∗ )2 i=1 j=1
ami χ2 eloszl´as s · t − 1 szabads´agfokkal. Elfogad´as, ha a [0; χ21−α(p) ] tartom´anyba esik.
nij∗
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Varianciaanal´ızis Varianciaanal´ızis T¨obb azonos sz´or´as´ u norm´alis eloszl´as´ u mint´at vizsg´al v´arhat´o ´ert´ek egyez´esre. A sokas´agot M r´eszsokas´agra bontjuk nomin´alis sk´ala alapj´an, ezekb˝ol mint´at vesz¨ unk. ξij = µ + βj + εij ξij : j-edik sokas´agb´ ol j¨ ov˝ o i-edik megfigyel´es µ: az eg´esz sokas´ag v´arhat´ o ´ert´eke βj : sokas´agi hat´as; a j r´eszsokas´agra jellemz˝ o konstans εij : v´eletlen ingadoz´as N(0, σ) szerint.
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Varianciaanal´ızis 2
H0 : µi = µj minden i, j-re PM Pnj j=1
i=1 (ξij
H1 : l´etezik olyan i, j, hogyµi 6= µj
−µ ˆ)2 alapj´an a pr´ obaf¨ uggv´eny F =
2 σˆK PM
σj2 j=1 (nj −1)ˆ n−M
ami szf1 = M − 1 ´es szf2 = n − M szabads´agfok´ u F -eloszl´as, ha H0 igaz. H1 eset´en az ´ert´ek nagyobb ⇒ jobb oldali kritikus tartom´any.
Feladatok
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
¨ Osszefoglal´ as pr´ oba
H0
Egymint´ as z
µ = m0
Egymint´ as t
µ = m0
Sz´ or´ asra v.
σ = σ0
Ar´ any
P = P0
K´ etmint´ as z
K´ etmint´ as t
2 ar´ any v. F -pr´ oba Illeszked´ es F¨ uggetlens´ eg Varianciaa.
µ1 = µ2
µ1 = µ2
P1 − P2 = ε0 σ1 = σ2 P(Xi ) = Pi ∀i Pij = Pi· P·j ∀i, j µi = µj ∀i, j
pr´ obaf¨ uggv´ eny µ−m b 0 σ √ n µ−m b 0 z = σ b √ n (n−1)σ b2 χ2 = σ2 0 b p −P0 zP0 = r P0 (1−P0 ) n µ b −µ b2 z = s 1 σ2 σ2 1+ 2 n1 n2 µ b 1 −µ b2 s (n1 −1)σ b 2 +(n2 −1)σ b2 r 1 1 2 + 1 n1 +n2 −2 n1 n2
z =
p ˆ1 −ˆ p2 −ε0 ˆ (1−ˆ p2 ) p ˆ1 (1−ˆ p1 ) p + 2 n1 n2 σ F = σ1 2 P (vi −nPi )2 k χ2 = i=1 nPi (vij −nPi· P·j )2 Ps Pt χ2 = i=1 j=1 nPi· P·j σ ˆ2 F = PM K (n −1)σ ˆ2 j=1 j j n−M
zp = r
pf. eloszl.
elfogad´ asi tartom´ any z α ; z1− α 2 2 (n−1) (n−1) tα ;t α
N(0, 1) t (n−1)
1−
2
2
N(0, 1)
χ2α ,szf ; χ21− α ,szf 2 2 z α ; z1− α
N(0, 1)
z α ; z1− α
χ2α,(n−1)
2
2
t (n1 +n2 −2)
(n +n2 −2)
t α1 2
2
χ2α,(k−b−1) χ2α,(s·t−1) M−1 Fn−M(p)
(n +n −2) ;t 1α2 1−
2
2
n −1
2
z α ; z1− α
N(0, 1) Fn 1−1(p)
2
2
n −1 n −1 F 1 ;F 1 n2 −1( α ) n2 −1(1− α ) h 2 i 2 0; χ21−α(szf ) h i 0; χ21−α(p) 0; F M−1 α n−M(1−
2
)
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
8.1. Gyakorl´ofeladat
A zacsk´oba csomagolt 1 kg-os krist´alycukor t¨ omeg´enek ellen˝orz´es´ere 10 elem˝ u v´eletlen mint´at vett¨ unk. Felt´etelezhet˝o, hogy a csomagol´oautomata norm´alis eloszl´assal t¨ olt. M´er´esi eredm´enyek dkg-ban: 96; 96; 97; 100; 98; 98; 96; 99; 101; 102. A t¨olt˝os´ uly sz´or´as´anak megengedett m´ert´eke 1 dkg. Feladat: (a) Ellen˝orizz¨ uk, hogy a krist´alycukor t¨ olt´esi t¨ omege megfelel-e a szabv´anynak! (α = 1%.) (b) Ellen˝orizz¨ uk 5%-os szignifikanciaszinten azt a feltev´est, hogy a csomagol´asi t¨omeg sz´ or´asa meghaladja az 1 dkg-os m´ert´eket!
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
¨ Osszefoglal´ as
Egy´ eb vizsg´ alatok
Feladatok
8.1. Gyakorl´ofeladat (a) ¨ Osszefoglal´ as + (a) feladat µ0 = 100, xi = 96; 96; 97; 100; 98; 98; 96; 99; 101; 102 (i = 1, . . . , 10). H0 : µ = 100 H1 : µ 6= 100 K´etoldali pr´oba
z0 =
x¯ − m0 √σ n
=
96∗3+97+98∗2+99+100+101+102 10 √1 10
− 100
=
h i Az elfogad´asi tartom´any z α2 ; z1− α2 = [−2, 58; 2, 58]. z0 nem esik az elfogad´asi tartom´anyba, H0 -t elvetj¨ uk.
−1, 7 1 3,16
= −5, 38
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
8.1. Gyakorl´ofeladat (b) Egymint´as sz´or´aspr´oba
oba, jobboldali kritikus tart. H0 : σ = 1 H1 : σ > 1 Egyoldali pr´ χ20 =
(n−1)s 2 σ02
(xi −¯ x )2 n−1 (96−98,3)2 ···(102−98,3)2 10−1
s2 =
P
x¯ = 98, 3 s 2 = Ebb˝ol χ20 = 42,1 1 = 42, 1.
=
42,1 9
= 4, 68
α = 5%, szf= n − 1 = 9, a jobbo.-i kritikus ´ert´ek χ20,95(9) = 16, 9. 42, 1 > 16, 9, teh´at a (jobb oldali) kritikus tartom´anyba esik. A feltev´es helytelen, a sz´ or´as nagyobb.
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
8.13. Gyakorl´ofeladat
Egy marketinggel foglalkoz´ o c´eg vezet˝ oje arra kiv´ancsi, hogy j´ol k´epzett munkat´arsainak u ¨gyn¨ oki teljes´ıtm´enye f¨ uggetlen-e az ´eletkort´ol. Az adatokat u ´gy gy˝ ujt¨ ott´ek, hogy egy h´onap alatt h´any darabot siker¨ ult az u ¨gyn¨ oknek eladni. A 600 elem˝ u minta alapj´an: Elad´asok sz´ama Kor 5-9 10-15 16-20 ¨ osszesen 50 80 70 200 -30 30-40 80 90 90 260 40+ 60 50 30 140 ¨osszesen 190 220 190 600 Befoly´asolja-e az ´eletkor az u ¨gyn¨ ok¨ ok munk´aj´anak eredm´enyess´eg´et? (α = 5%)
Hipot´ ezisvizsg´ alat
Egymint´ as pr´ ob´ ak
K´ etmint´ as pr´ ob´ ak
Egy´ eb vizsg´ alatok
¨ Osszefoglal´ as
Feladatok
8.13. Gyakorl´ofeladat: F¨uggetlens´egvizsg´alat H0 : f¨ uggetlens´eg: Pij = Pi· P·j ∀i, j, H1 : ∃i, j : Pij 6= Pi· P·j Elad´asok sz´ama Kor 5-9 10-15 16-20 ¨osszesen -30 50 63,3 80 73,3 70 63,3 200 -13,3 176,89 6,7 44,89 6,7 44,89 30-40 80 82,3 90 95,3 90 82,3 260 -2,3 5,29 -5,3 28,09 7,7 59,29 40+ 60 44,3 50 51,3 30 44,3 140 15,7 246,49 -1,3 1,69 -14,3 204,49 ¨osszesen 190 220 190 600 2 ni· n·n 2 ∗ P P P P (nij −nij ) (nij − n ) χ20 = si=1 tj=1 = si=1 tj=1 = 812. ni· n·n n∗ n
A szf sz´ama (s − 1)(t − 1), ´ıgy a kritikus ´ert´ek χ21−α(szf ) = χ20,95(4) = 9, 49. Mivel 812 > 9, 49, a nullhipot´ezist elutas´ıtjuk.
ij
