II. A következtetési statisztika alapfogalmai

II. A következtetési statisztika alapfogalmai

Tartalom       

Statisztikai következtetések A véletlen minta fogalma Pontbecslés és hibája Intervallumbecslés A hipotézisvizsgálat alapfogalmai A legegyszerűbb statisztikai próbák Normalitásvizsgálat

Kockázás 10-szer dobunk 3 kockával. Partnerem 10-ből 8-szor csupa 6-ost dob.

Milyen következtetést vonsz le ennek alapján?

Néhány szakmai kérdés  Jobb-e a lányok verbális intelligenciája, mint a fiúké? Ha igen, mennyivel?  Hatásos-e egy bizonyos kezelés az anorexia gyógyításában? Ha igen, milyen mértékben?  Van-e kapcsolat a szülők jövedelme és a pszichológia szakra vonatkozó felvételi pontszám között? Ha igen, milyen szoros?

Kiknek jobb a verbális memóriája, a fiúknak, vagy a lányoknak?

A statisztikai következtetések  Mindig a populációkra vonatkoznak, a belőlük kiválasztott véletlen minták alapján.  Emiatt a hibázás lehetőségét sose lehet kizárni.  De: jó módszerekkel a hiba nagyságát (esélyét) kontroll alatt tarthatjuk.

Mikor lesznek jók (érvényesek, megbízhatók) a statisztikai következtetések?  Ha a minták jól képviselik populációjukat (reprezentativitás).  Ha a következtetési technikák becslési eljárások, statisztikai próbák jók (helyes módszerválasztás).

Mivel lehet a minta reprezentativitását biztosítani?  Ha a kiválasztás véletlenszerű  Ezzel kizárjuk a szubjektivitást.

 Ha a minta elég nagy  Ezzel lehetővé tesszük, hogy a populáció sokszínűsége a mintában is megjelenjen.

Hogyan lehet valódi véletlen mintát venni a populációból?  Némi véletlenszerűséget könnyű alkalmazni, de a szubjektivitást nehéz kizárni.  Az önmagában nem elég, hogy a minta nagy:  USA elnökválasztás, 1936: Roosevelt versus Landon.  A Literary Digest folyóirat 2,4 millió kérdőív feldolgozása alapján Landon nagyarányú győzelmét jósolta.  Ezzel szemben Roosevelt 62%-ot kapott és nyert.  A Gallup kisebb, de jó minta alapján helyes becslést adott.

Néhány jó tanács a megfelelő minta kiválasztásához  Minden olyan réteg arányosan képviselve legyen, amelyik a populációhoz tartozik.  Hólabda módszer (ismerős ismerősének az ismerőse).  A kényelmi és hozzáférhetőségi alapon összeállított minták (pl. egyetemisták) esetlegesek.  Az ideálistól eltérő mintaválasztást hibafaktorként számítsuk be a döntés bizonytalanságába.  Ha összeállt a minta, töprengjünk el azon, hogy az milyen populációt képvisel. (Pl. a jelen évfolyam?)

A valószínűségi döntés véletlen jellege

Az egyik urnából véletlenszerűen kiveszek egy golyót. Látjuk, hogy piros. Melyik urnából vettem ki?

A valószínűségi döntés véletlen jellege  Bárhogyan is döntök, nem lehetek teljesen biztos abban, hogy a döntésem helyes, vagyis hogy nem követek el hibát.  Ha piros golyót húzva a bal oldali urnát valószínűsítem, 2/3 az esélye, hogy igazam van, de 1/3 az esélye, hogy tévedek.  Sárga húzás esetén?

Példa: a depresszió két kezelési típusának összehasonlítása Melyik a jobb kezelés? 1. Placebo (napi 3x1, 3 hónapig) 2. Pszichoterápia (heti 3x1 óra, 3 hónapig)

Gyógyulók %-a 1.

2.

3.

4.

5.

Placebo

0

30

30

30

10

Pszichoterápia

90

60

80

90

70

Következtetés Melyik esetben jelenthetjük ki legalább 95%-os megbízhatósággal, hogy a pszichoterápia hatásosabb a placebónál? Gyógyulók %-a 1.

2.

3.

4.

5.

Placebo

0

30

30

30

10

Pszichoterápia

90

60

80

90

70

A STATISZTIKA RENDSZERE

STATISZTIKA LEÍRÓ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETÉSI STATISZTIKA

BECSLÉS PONTBECSLÉS

HIPOTÉZISVIZSGÁLAT

INTERVALLUMBECSLÉS

Következtetési statisztika két fő típusa  Becslés (Mekkora? Milyen nagy?)  Pontbecslés (kb. 10,6 1,3)  Intervallumbecslés (95%-os megbízhatósággal 7,8 és 12,5 között)

 Hipotézisvizsgálat (Igaz-e, hogy …?)

Statisztikai hipotézisvizsgálat  Van-e különbség az emlékezeti teljesítményátlag tekintetében a magyar pszichológus hallgató fiúk és lányok között?  Nullhipotézis (H0): nincs különbség  Ellenhipotézis (HA): van különbség  a) A fiúk jobbak  b) A lányok jobbak

Statisztikai becslés  Mi a teljesítményátlaga a 10 szavas memóriajátékban az összes magyar pszichológus hallgatónak?  Kb. mekkora egy egészséges felnőtt nő szisztolés vérnyomása?  Átlagosan hány próbálkozással tanul meg egy ivarérett patkány egy adott útvesztőt?

Mit szoktak becsülni?    

Populációátlag (elméleti átlag: μ, E(X)) Populációmedián (elméleti medián: Med(X)) Populációszórás (elméleti szórás: , D(X)) Elméleti variancia (2, Var(X))  Két elméleti átlag különbsége (μ1 – μ2)  Általában a populációk különféle kvantitatív jellemzőit szokták becsülni

Az elméleti átlag pontbecslése konkrét példával illusztrálva  Változó: félév végi statisztika vizsgajegy  Populáció: I. éves pszichológus hallgatók  Egy lehetséges véletlen minta (rendezve): {2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5}  Néhány szóba jöhető pontbecslés az elméleti átlagra:    

Módusz: Mo = 5 Medián: M = 4,5 Terjedelemközép: TK = (Min + Max)/2 = 3,5 Átlag: x = 41/10 = 4,1

Pontbecslés a μ elméleti átlagra  Következtetés: mintából a populációra.  Mi van olyan a mintában, aminek köze van (lehet) a populációátlaghoz?  Becslés jelölése: a kalap (^) szimbólummal.  Az elméleti átlag egy pontbecslése a mintaátlag: μ=x

A pontbecslésről  Amit becsülünk (pl. μ, stb.), az egy konkrét szám.  Amivel becsülünk (mintaátlag, TK stb.), egy véletlen minta statisztikai mutatója, véletlen változó, melynek értéke a minta kiválasztása után lesz csak ismert.

10 véletlen minta átlaga: μ = ? 14 13 12 11 10 9 8 7 6 0

1

2

3

4

5

6

7

véletlen minták

8

9

10

Hogyan mérhető a pontbecslés jósága (pontatlansága)?  Standard hiba (SH): körülbelül ennyit tévedünk  μ ≈ x SH  Példa: ROPstat, részletesebb statisztikák

μ = 100, = 15, normális eloszlás





 



 

Demonstráció  Excel segítségével vegyünk több véletlen mintát az előző eloszlásból! (Lásd „IQ_9.xls” Excel fájl)  Számítsuk ki az átlagukat (pontbecslés)!  Nézzük meg, hogy mennyire pontosak!

GYAK

A pontbecslés standard hibája: SH  Hibavariancia = átlagos négyzetes eltérés a valódi értéktől  Standard hiba (SH) = Hibavariancia négyzetgyöke  Egyfajta átlagos eltérés

Mit várunk el egy jó pontbecsléstől?  Ne torzítson szisztematikusan se pozitív, se negatív irányban (torzítatlanság)  SH-ja legyen kisebb, mint a többi becslésé (hatékonyság)  SH-ja az elemszám növelésével csökkenjen és tartson 0-hoz (konzisztencia)

A mintaátlag standard hibájának meghatározása  Elméleti SH = / n  Mintabeli SH = s/ n  Mi itt a „” és mi az „s”?  Ha X = IQ,  n = 25, SH = ?  Mekkora elemszámnál lesz SH 1-nél kisebb?

GYAK

Miért jó becslése a mintaátlag a populációátlagnak?  A véletlen minta átlaga a populációátlag körül ingadozik (torzítatlanság)  A mintaátlag SH-ja az elemszám növelésével csökken (konzisztencia)  A mintaátlag SH-ja sok esetben (pl. normális eloszlású változók esetén) kisebb, mint más pontbecsléseké (mediáné, TK-é stb.)

ROPstat illusztráció  Minta 500 véletlenszerűen kiválasztott gyerek (antr500.msw)  Változók: testsúly és testmagasság (testhossz) születéskor és 10 éves korban  Statisztikai elemzés: ROPstatban részletesebb statisztikák

GYAK

Intervallumbecslés Definíció: Olyan intervallum (szakasz, övezet), mely nagy megbízhatósággal tartalmazza a becsülni kívánt értéket.

Intervallumbecslés az elméleti átlagra • Vegyünk alkalmas övezetet a mintaátlag körül! • Milyen övezet lesz jó? • Ha nagyon szűk, könnyen kívül maradhat. • Ha nagyon tág (pl. 0-1000): semmitmondó állítás. X-skála x

Szokásos kritérium  Olyan övezetet vegyünk a mintaátlag körül, amelyik nagy (90 vagy 95%-os) eséllyel tartalmazza az elméleti átlagot (azaz -t).  Ennek az övezetnek (intervallumnak) a neve: 90, illetve 95%-os konfidencia-intervallum.  Jelölés: C0,90, illetve C0,95.

A konfidencia-intervallum meghatározása 95%-os konfidencia-intervallum nagy minták esetén: 2SH

2SH

x C0,95

x 2SH

X-skála

Egy következmény Minél nagyobb az elemszám, annál keskenyebb lesz rögzített (pl. 90 vagy 95%-os) megbízhatósági szinten a konfidencia-intervallum, vagyis annál jobb lesz az intervallumbecslés.

SH = / n

Egy példa Tegyük fel, hogy a MAWI-IQ az egyetemi hallgatók populációjában közel normális eloszlású, szórása 15, de a populációátlagot nem ismerjük. • Egy véletlen 25 fős mintában az átlag 110. • Mekkora lehet a populációátlag? C0,95  110± ·SE 110 ± 2·n ± ·                   

GYAK

Konklúziók C0,95          

95%-os megbízhatósággal állíthatjuk, hogy az elméleti átlag valahol 104 és 116 között van. Következmény: - Az elméleti átlag legalább 95%-os megbízhatósággal 104-nél nem kisebb. - Az elméleti átlag legalább 95%-os megbízhatósággal 116-nál nem nagyobb.

Statisztikai hipotézisvizsgálat

Igen-nem segítségével megválaszolható kérdések 1. Pszichológus egyetemi hallgatók IQ-ja nagyobb-e az átlagosnál? 2. Van-e különbség férfiak és nők verbális intelligenciaszintje között? 3. Van-e kapcsolat az emberek érzelmi intelligenciája és kreativitása között?

A hipotézisvizsgálat fő fogalmai az előző dia 1. kérdésével szemléltetve 1. Szakmai feltételezés: az egyetemi hallgatók IQja nagyobb az átlagosnál. 2. Szakmai hipotézis formulával: E(IQ) > 100. 3. Statisztikai nullhipotézis: E(IQ) = 100. 4. Indirekt gondolatmenet: a szakmai hipotézis igazolása a nullhipotézis elutasításával történik.

10 véletlenszerűen kiválasztott egyetemi hallgató IQ-ja 117, 137, 152, 149, 110, 135, 108, 120, 127, 127 E(IQ) = 100 esetén mi a valószínűsége, hogy 10 véletlenszerűen kiválasztott hallgató mindegyikének 100-nál nagyobb lesz az IQ-ja? p = 1/210 = 1/1024 ≈ 0,001

Vagyis: Ha igaz az a nullhipotézis, hogy az egyetemi hallgatók átlagos IQ-júak, akkor igen kicsi (p < 0,001) annak a valószínűsége, hogy ilyen nagy (csupa 100-nál nagyobb) adatokat kapjunk 10 megfigyelésből.

A statisztikai hipotézisvizsgálat alapgondolata Ha a minta, illetve a mintából kiszámított valamely mutató értéke a nullhipotézis (H0) fennállása esetén igen kis valószínűségű, akkor a nullhipotézist elutasítjuk.

A statisztikai próba p-értéke Mi a valószínűsége, hogy a nullhipotézis (H0) fennállása esetén ilyen, vagy ennél szélsőségesebb legyen a minta, illetve a mintából kiszámított valamely mutató értéke?

A szélsőségesség kétirányú 100-nál nagyobb IQ

100-nál kisebb IQ

Egyoldalú p

Kétoldalú Ellentmond H0-nak? p

10

0

0,001

0,002

IGEN

9

1

0,011

0,022

IGEN

8

2

0,055

0,110

NEM

7

3

0,172

0,344

NEM

Mi is itt a nullhipotézis?

A próba neve: előjelpróba  Nullhipotézis: H0: E(IQ) = 100  Az IQ elméleti átlaga 100-zal egyenlő

 Ekvivalens nullhipotézis normális eloszlású változók esetén: H0: P(IQ < 100) = P(IQ > 100)  A populációban ugyanolyan gyakran fordul elő 100-nál kisebb, mint 100-nál nagyobb IQ-érték  Ez az előjelpróba szokásos alakú nullhipotézise  Döntés az elemszám alapján statisztika táblázat segítségével (lásd tankönyv)

A statisztikai döntés logikája • Miért érezzük úgy, hogy 10-0 vagy 0-10 esetén elutasítható a nullhipotézis (H0)? • Miért érezzük 10 egymás utáni fej dobás után azt, hogy a pénzérme szabályosságát állító H0 elutasítható? • Ha ilyen esetben H0-t elvetjük, mi az esélye annak, hogy hibásan döntünk? • Ha elméletileg lehetséges ilyen sorozat, akkor miért lepődünk meg, ha bekövetkezik?

Eddig mit néztünk a mintában? Azt, hogy hány 100-nál nagyobb és hány 100-nál kisebb IQ-érték van. Van más mutató is, ami mond valamit a nullhipotézis (H0) valószínűségéről?

Egy másik lehetséges mutató: t-statisztika

min taátlag  100 t SHtap (100: a feltételezett elméleti átlag)

Próbastatisztika A t-statisztikát és a statisztikai hipotézisvizsgálatokhoz használt hasonló – mintából kiszámított – mutatókat próbastatisztikáknak nevezzük.

Ha H0: μ = 100 igaz, akkor t eloszlása n = 10 esetén t



 

-2,26

0

 

2,26

Hogyan döntsünk különböző t-értékekre n = 10 esetén? t 

t = 0,41

t = -2,50

-2,26

0

t = 4,60

2,26

Széli p-értékek kétirányú döntésnél t-érték

t-értékhez tartozó széli p-érték (2 old.)

Ellentmond H0-nak?

-2,50

0,034

IGEN

-2,26

0,050

IGEN

0,41

0,691

NEM

2,26

0,050

IGEN

4,60

0,001

IGEN***

Döntés H0-ról n = 10 esetén t  t = -2,50

Kritikus tartomány

t = 4,60

t = 0,41

-2,26

Megtartási tartomány

2,26

Kritikus tartomány

A H0-ról szóló döntés logikája Hova esik a t-érték? Megtartási tartomány Kritikus tartomány

Széli p

A t-érték megítélése

Nem kicsi Nem mond ellent eléggé H0-nak (> 0,05) Kicsi (≤ 0,05)

Nagyon ellentmond H0-nak

Széli p = H0 jogtalan elutasításának (I. fajta hiba) valószínűsége

Az előjelpróba és az egymintás t-próba nullhipotézise  ‘A’: az X változó hipotetikus nagyságszintje  Előjelpróba: H0: P(X < A) = P(X > A)  Az X változó esetében ugyanolyan gyakran fordul elő A-nál kisebb, mint A-nál nagyobb érték

 Egymintás t-próba: H0: E(X) = A  Az X változó elméleti átlaga A-val egyenlő

Az előjelpróba és az egymintás t-próba alkalmazási feltételei  Előjelpróba: nincs, de kis minták esetén a próba kevéssé hatékony  Egymintás t-próba: X változó normalitása  Mennyire fontos ez?  Ha a minta nagyon kicsi (n < 20): fontos  Ha a minta elég nagy (n > 50): nem igazán fontos

Az egymintás t-próba robusztus változatai  Mit tegyünk, ha erősen sérül az X változó normalitási feltétele?  Léteznek olyan próbák, amelyek a normalitás megsértésére kevésbé érzékenyek: robusztus alternatívák  Lásd ROPstat, illetve tankönyv

Szokásos statisztikai szóhasználat p < 0,05 (szignifikancia) • H0-t 5%-os szignifikanciaszinten elutasítjuk • a próba 5%-os szinten szignifikáns p < 0,01 (erős szignifikancia) • H0-t 1%-os szignifikanciaszinten elutasítjuk • a próba 1%-os szinten szignifikáns p < 0,10 (tendencia) • H0-t 5%-os szinten nem utasíthatjuk el • a próba 5%-os szinten nem szignifikáns • csak egy tendencia van arra, hogy H0 nem igaz

Normalitásvizsgálat (n = 500) Változó

Ferdeség

Csúcsosság

Átlag

St.hiba

3,21

0,0223

-0,331**

0,858***

50,15

0,113

-0,352**

1,097***

Szülsúly Szülhosz Súly10 33,23 0,305 1,221*** 1,992*** Jelölés: *: p < 0,05 **: p < 0,01 ***: p < 0,001 Tmag10 138,7 0,288 0,198 0,278GYAK