A plazmafizika alapfogalmai

A plazmafizika alapfogalmai „Negyedik halmazállapot” a leggyakrabban előforduló halmazállapot De: első definíció csak 1923 (Langmuir) – ionizált gáz Általános eset: pozitív és negatív töltésű, és semleges részecskéket tartalmazó gáz. -

Föld külső atmoszférája (ionoszféra) Csillag-atmoszféra Kozmikus tér Gázkisülések, a fénycsőtől a termonukleáris fúzióig Szilárdtestplazma (fémek)

2016.02.18.

1

Paraméterek: átlagos koncentráció ni ionfajtánként ionizációs fok ni/ nn , ha <10-2 -10-3 gyengén ionizált   teljesen ionizált részecskék ei , mi e=4.810-10 esu=1.610-19C, me = 9.110-28 g=9.110-31 kg (fémekben m*) Egy ionfajtát tekintünk a továbbiakban: Z: atomszám,  az iontöltés= ionból (fajl.: N) =hiányzó elektronszám 0Z N=ni átl. ionsűrűség, ne= 0Z N elektronsűrűség =ne/ni átlagos töltés mi = M=A*1.6610-27 kg (A atomsúly) mnmi (megj.: CGS – SI rendszer) ni ionsűrűség esetén egy ionra Vi=1/ni térfogat jut. Def. (iongömb): Vi=4/3 Ri3= 1/ni. 1/ 3 Az iongömb sugara a Wigner-Seitz sugár:  3   Ri    4ni  A gömbön belül 1db átl. töltésű ion van és db szabad elektron. 2

Hőmérséklet: termikus mozgásból Termodinamikai egyensúly: A plazma akkor egy hőmérsékletű (T), ha: minden fajta részecske olyan impulzusú, ami azonos hőmérsékletű Maxwell-eloszlásnak felel meg. Részleges termodinamikai egyensúly (gyakoribb): a különböző komponensek különböző hőmérsékletű Maxwell-eloszlásúak:  Ni pi2   fi  exp  3/ 2 2miTi   2miTi 

Az egyes komponensek hőmérséklete (ált. Ti energia egységekben):  mi vi2 3 k BTi   2  2

   

ahol kB=1.3810-23 J/K= a Boltzmann állandó. Degenerált plazmák: Fermi-eloszlás ha a Fermi energia > termikus energia.

 

2/3

pF2 3 2  2 N e2 / 3 EF    k BTe 2me 2me

Ekkor a részecskék Fermi-eloszlásúak: 2   p 2 EF f  exp  3 2    2m T

    1  

1

3

Plazma kvázineutralitása Plazma pontosabb definíciója: Nem minden ionizált gáz plazma, csak a kvázineutrális, azaz ami elég nagy távolságból semlegesnek tekinthető, azaz  ei N i  0 i

ahol ei és Ni a megfelelő töltés és koncentráció. Egyfajta, egyszeresen ionizált atom: Ne= Ni és a töltésre is ee= -ei.

Karakterisztikus idő, plazmarezgések: Kezdetben egyensúly, töltést eltávolítva: F e2/rátl2 , 1/ 3 ahol a részecskék közötti távolság:  3   rátl   4  N e 

Ez a Coulomb-erő egy rezgőmozgást hajt meg, a rezgőmozgásra:

F  mr 2 2016.02.18.

4

Az elektronrezgés frekvenciája: 4e 2 N e ahol  p  m

4e 2 N e F    p mrátl 3m

az elektron-plazma (Langmuir) frekvencia.

A plazmafrekvencia hőmérsékletfüggetlen. Térbeli töltéseloszlás karakterisztikus hossza: plazmarezgés ideje alatt termikus sebességgel megtett út: d

 te k BT   rD 2 p 4e N e

az ún. Debye-hossz, amire

rD  7

T (K )



N e cm

3



cm

A plazma tehát akkor kvázineutrális, ha karakterisztikus hossza (L) sokkal nagyobb a Debye-hossznál, L » rD . 2016.02.18.

5

Langmuir-rezgés, más levezetés Elektronrezgés egyenletesen elkent ionháttér mellett. Kezdeti elmozdulás: S. A nem kompenzált töltés:

  div eN eS  eN e divS Poisson-egyenlet:

div E  4  4eN e divS

Mivel S=0 esetén E=0:

E  4eN e S

Azaz E párhuzamos az elmozdulással. A többi elektronra ható erő:

F  eE  4e 2 N eS, d 2S m 2  eE  4e 2 N eS dt Ez pedig az egyensúlyi helyzet (S=0) körüli p frekvenciájú rezgések egyenlete. 6

Plazma = töltött részecskegáz Gázközelítés: Részecskék átlagos kinetikus energiája » potenciális energiája. Csak ekkor szabad a részecskék mozgása. Coulomb-kölcsönhatás: e2  e2 N 1/ 3  k T . rátl

B

Definiálható az  plazmaparaméter: 2 rátl e2 e 2 N 1/ 3 e 2 4e 2 N     2  1. 2 rátl k B T k BT rátl k B T 4e N rD

A gázközelítés «1 esetén érvényes. Azt jelenti, hogy a részecskék átlagos távolsága kisebb a Debye-sugárnál, azaz a Debye-sugarú gömbön belül sok részecske van. A feltétel ált. teljesül, pl ionoszféra (10-4), fúzió (10-2). 2016.02.18.

7

Térbeli és időbeli skála Térben és időben változó töltésállapot: N(r,t), lokális, adott pillanatnyi sűrűség, hőmérséklet: ni(r,t), Te(r,t) Lokálisan egy adott pillanatban: 0ZN(r,t)=ni(r,t) Az elektronokra az átlagtöltés nem írható hasonlóan, nem lokalizálódnak. Térbeli változás a plazmagradiens hossza, amelyen az átlagos mennyiségek változnak: n T L plasma  i vagy L plasma  e n i Te Homogén izotrop plazma esetén nem érdekesek, de összehasonlíthatók az iongömb sugarával, az azon belüli változó töltéseloszlással (atomfizikai skála). Több időbeli skála van. A plazma-evolúció skálája: t plasma 

ni Te vagy t plasma  ni / t Te / t

Stacionárius esetben ez sem érdekes. A (forró) plazmát inkább a plazmafrekvencia jellemzi, amely idő alatt a szabad elektronok válaszolnak a változásokra (Spitzer, 1962). 8

Térbeli és időbeli skála 2.  4e 2 ne p  , p   p  me 2

 m  1  Z e  mi   

1/ 2

 4e 2 ne    me

   

1/ 2

Mivel ez csak az elektronsűrűségtől függ, ezért felírható: 21 3  15  10 cm    p  3.52  10  ne  

1/ 2

s

A másik időállandó a v elektron-sebességtől és a  (ütk.) hatáskeresztmetszettől függ 1 a  ne  v  Ez a hőmérséklettől is függ, komplikáltabb. Végül az atomi időskála, ami az elektronpályán való körbejárást jellemzi, a 3/ 2 Kepler-Bohr formula:   Z E  B 

EH

 H  E   

Itt EH=13.6eV a H atom alapállapoti energia, |E| az elektronenergia. Ez hőmérsékletés sűrűségfüggetlen, csak Z-függő, ezért (1eV=1.6*10-19J) :  B  1.52  10 16

 EH  Z    E

   

3/ 2

s

9

Atomi potenciál, Debye-Hückel elmélet Sűrű plazmában az atomi elektronpályák átfednek, a Coulomb-potenciált a szabad és kötött elektronok leárnyékolják. V (r ) 

Ze S (r ) r

S(r) az árnyékolási tényező, Z a mag töltése. A mag közelében S(r0)=1, attól távolodva a szabad és kötött elektronok leárnyékolják a magot, S(r)=0. Debye-modell: Tek. r=0-ban egy  töltésű iont. Az ionok sűrűsége N(r), az elektron-sűrűség ne(r). A Poisson-egyenlet:  Z   V (r )  4e  N (r )  ne (r )    0  2

Ezt kell V-re megoldani. Mind az elektronok, mind az ionok Boltzmann-eloszlásúak (a Debye-Hückel modellben , az r nélküli mennyiségek átlagok):  eV (r )  N  (r )  N  exp   T  

 eV (r )  ne (r )  ne exp   T  

Önkonzisztens, közelítő megoldás lehetséges, ha eV(r)/T « 1. Ez forró plazmákban igaz. Elsőrendben: 10

Atomi potenciál, Debye-Hückel elmélet 2. 



Z  4e 2 Z 2  Z e 2V ( r )  Z 2 1  eV (r )   eV (r )   V (r )  4e  N  1  niV (r )  2 V (r )   n e 1    4    N   n e   T  T  T   0 T rD     0  2

rD itt is a Debye-hossz, egy pontosabb definícióval: rD 

T



4e 2 ni Z 2  Z



ahol Z2=2N/ni.

Gömbszimmetriájú potenciál esetén a szögfüggések kiesnek, ekkor:  2V (r ) 

1   2 V  r  2 r r  r 

d 2S 1  S (r ) 2 2 dr rD

A V(r)-be behelyettesítve S(r)=rV(r)/Ze árnyékoló potenciált:

Ennek megoldása leírja az r=0 és r viselkedést:

S (r )  e  r / rD

A Debye-Hückel potenciál pedig:

V (r ) 

Ze  r / rD e r 11

Elektrodinamika plazmában Térbeli és időbeli diszperzióval rendelkező közeg elektrodinamikája Elektromos tér: külső + indukált j0, 0 : külső áram, töltés (forrás) j,  :indukált áram, töltés Maxwell-egyenletek, mikroszkopikus leírás: 1 E 4 j  j0   c t c divB  0 rotB 

1 B c t divE  4     0  rotE  

Kontinuitás-egyenlet:

  divj  0 t

A Lorentz erő (külső forrás elhanyagolva): F  e E  v  B  

1 c



Aleksandrov, Bogdankevich, Rukhadze: Plasma Electrodynamics (Springer)

12

Elektromos eltolás bevezetése j helyett: t

D(t , r )  E(t , r )  4  dt ' j(t ' , r ) . 

Továbbra is mikroszkopikus tárgyalás (P és M nincs): 1 D 4 rotB   j0 c t c divB  0 rotE  

1 B c t

divD  4 0

Nem zárt! Kapcsolat kell D és E vagy j és E között. Modell: lineáris elektrodinamika: t

ji (t , r ) 

 dt ' dr'  ij t , t ' , r, r'E j (t ' , r' )



D i (t , r ) 

t

 dt ' dr'  ij t , t ' , r, r'E j (t ' , r' ) .



 és  konkrét modellből határozható meg.

13

Diszperzió 

 

Def.: A közeg diszperziója az, ahogy állapota a t,r helyen függ a t’,r’-beli állapotoktól. Térbeli és időbeli diszperzió. Függ: töltések tehetetlensége, tér relaxációja, hatásterjedés hőmozgással.

Határfeltételek két közeg határán: σ a felületi töltéssűrűség, a 0 index a külső forrást jelenti

B1n  B 2 n E1t  E 2t

D 2 n  D1n  4    0 , 4 i  i 0 , c ahol i 0 a külső felületi áram, B 2t  B1t 

1 i 4

D 1 x dx   1 jdx 2

2

14

Komplex vezetési és dielektromos tenzor Tér, idő homogén  általános tulajdonságok t

ji (t , r )   dt '  dr ' σ ij t  t ' , r  r 'E j (t ' r ' ) 

t

Di (t , r )   dt '  dr ' ε ij t  t ' , r  r 'E j (t ' r ' ) 

A linearitás miatt elég 1 Fourier komponenst tekinteni: E(t , r)  E(, k ) exp it  ikr , j(t , r)  j(, k ) exp it  ikr 

Definiálva: t1  t  t és r1  r  r ji  , k  

t



dt' dr'  ij t  t ' , r  r'E j t ' , r' exp(it  ikr )

 t





dt' dr'  ij t  t ' , r  r'E j t ' , r' expit1  ikr1  expit 'ikr ' 



t

 E j  , k    dt' dr'  ij t1 , r1  expit1  ikr1  

15

Konvolúciós tétel Ezzel pont a konvolúciós tételt kaptuk meg: ji ( , k )  σij ( , k )E j ( , k ) 

ahol

 ij ( , k )   dt1  dr1 ij (t1 , r1 ) exp( it  ikr1 ) 0

a vezetőképesség Fourier-transzformáltja, Di ( , k )  ε ij ( , k )E j ( , k )

és hasonlóképpen 

ahol

εij ( , k )   dt1  dr1 ij (t1 , r1 ) exp(it  ikr1 ) 0

16

Az -függés az időbeli, a k-függés a térbeli közeg-diszperzió. D definícióját felhasználva összefüggést kapunk  és  között:  ij ( , k )   ij 

4i



 ij ( , k ) ; (  0)

Mivel E, D valós  ij(t,r), ij(t,r) valós  ij(,k) komplex   ij ( , k )   ij ( ,k ), Re  ij ( , k )  Re  ij ( ,k ), Im  ij ( , k )   Im  ij ( ,k ).

Izotrop közegben  csak a k vektortól függ. Páros, ui. k-k –ra nem vált előjelet.   előállítható ij és kikj tenzorokkal. Másodrangban: 

ki k j  tr ki k j l   (  , k )   ( , k ) és 2  2 k  k  k i k j  tr ki k j l     ij ( , k )    ij  2  ( , k )  2  ( , k ). k  k 

 ij ( , k )    ij 

ahol tr a transzverzális, l a longitudinális irány. Ellenőrzés: E-vel szorozva 17

Az összefüggések maradnak:  Izotrop esetben tehát

tr ,l

( , k )  1 

4i



 tr ,l ( , k ).

Re  tr ,l ( , k )  Re  tr ,l ( , k ), Im  tr ,l ( , k )   Im  tr ,l ( , k ).

Hasonló az összefüggés -ra a Re és Im cserével. Mivel ij(,k) az  szerint egyoldali Fourier-transzformált, analitikus a felső félsíkon  Cauchy-tétel:  ( , k )   ij 1  ij ( , k )   ij   d  ij i     

A Kramers-Kronig relációk összefüggést adnak valós és imaginárius rész között. A transzverzális és longitudinális  Im  ij ( , k ) 1 Re  ij ( , k )   ij   d  komponensre is ugyanez.      A tenzorok meghatározása  Re  ij ( , k )   ij 1 Im  ij ( , k )    d  konkrét modellből.     

18

Az elektromágneses tér energiája Külső források munkavégzése: rotB  1 D  4

j0 /E c t c 1 B rotE   /  B kivonva c t 1  D B  c B div(E  B)  Ej0 E  4  t t  4 1 B  c  D d r E  B   dS(E  B)   drEj0     4 V  t t  4 V

A felületi integrál  közegben 0. A tér munkája a külső forrás ellen: dA   drj0 (r )Er . dt V

Ez változtatja meg a tér közegbeli energiáját:

dW 1   ED  .     drj0 (r )Er   d r B B  dt 4  V V 19

Monokromatikus síkhullámokat tekintve: E, B, Dt , r   E, B, D , k exp it  ikr   E , B , D  , k expit  ikr .

Időátlagban:









dW i i     dr ED  E D  V ED  E D . dt 4 4

A V közegtérfogat nagy, gyorsabban nő a felületnél, így a felületi tag még nem lecsengő tér esetén is elhanyagolható. A közeget figyelembe véve: Q









dW i i              d r   , k    , k E E  V   , k    , k E E ij ji i j ij ji i j dt 4  4

Láttuk, hogy

 ij ( , k )  εij ( ,k )





Q i   ij  , k    ji  , k  Ei E j 1 idő alatt 1 térfogatban elnyelt hő:  V 4

Hermitikus dielektromos állandójú közegben nincs hőelnyelés! A monokromatikus síkhullámot semmi sem nyeli el. Elnyelést az antihermitikus rész okoz.

20

Izotrop közeg:



Q  2 2 l tr       Im   , k kE  Im  ( , k ) k  E 2 V 4k



Termodinamikai egyensúlyban a közeg csak elnyel, nem táplál: Q  0  Im  l  , k   0 és Im  tr  , k   0

Ha ez sérül, a közeg-energia csökken, a hullám energiája nő  instabilitás. Elektromágneses hullám közegbeli terjedésének szükséges feltétele: .

Im  l  0 ,

Im  tr  0

Ha a termodinamikai egyensúly feltétele sérül, negatív energiájú hullámról beszélnek, ez az instabilitás. Általánosabb eset monokromatikus terek szuperpozíciójaként tekinthető, ahol egy lassan,  körül változó amplitudót tekintenek. 21

Nem monokromatikus síkhullám Ált. eset:

E(t , r )  E( , k , t )e it ikr  E* ( , k , t )eit ikr   lassan változó



i 't  E ( t , r )  d  ' e E( ' , r) idő szerinti Fourier-transzformáció:  



E( , k , t )   d ' e i (  ' )t E( ' , k )

E( ' , r ) : maximum   - nál

0 0

és a konjugált : E* ( , k , t )   d ' e i ( '  )t E* ( ' , k ) 

Felt.: B és D(,k,t) hasonló, akkor ´± szerint sorbafejtve az időben átlagolt energiaváltozás első rendben a köv. lesz: dW 1   ED  .     drj0 (r )Er   d r B B  dt 4  V V

22

E j  d *  * Bi ( , k , t ) Bi ( , k , t )  Ei ( , k , t ) ij ( , k )  1 dW 1  dt  t     * V dt 4  Ei ( , k , t )  *   E j ( , k , t )  (  , k ) ji   t  i *   ij ( , k )   ji ( , k ) Ei ( , k , t ) E *j ( , k , t ) 4





Tisztán monokromatikus esetben E,B nem függ t-től, átmegy a korábbi egyenletbe. Ekkor csak az utolsó tag nem 0. De nem monokromatikus esetben, ha a közeg nem disszipatív, akkor *ij(,k)=ji(,k), és az utolsó tag elhanyagolható, azaz: 1 dW 1 dU 1 d  *   *   B B (  , k , t )  E E (  , k , t )  (  , k ) i i i j ij  V dt V dt 4 dt    V  *   * U : B B  E E  (  , k ) i i i j ij  4    23

Izotrop esetben: U  V  (kE) 2   l ( , k )  k  E 2    tr ( , k )  c 2 k 2      4   2  





Következésképpen a termodinamikai egyensúly feltétele:   l ( , k )  0   c2k 2 tr  (  2 )  0  

Ezen feltételek sérülése a negatív energiájú hullám, az instabilitás. Ui. normál esetben U pozitív.

24

Fénynyomás A sugárzás nyomása, a fénynyomás az erősűrűségből számítható: F

1 j  B. c

A j-t a Maxwell egyenletekből behelyettesítve:

Felhasználva, hogy Azt kapjuk, hogy Felhasználjuk, hogy

1 B  rotE  0 c t 1  1 E    F rot B  B   B . 4  c t  

4 1 E j  rotB  c c t

1 E 1 B 1  E  B B  E  c t c t c  t

Az utolsó tag elhanyagolható, mert elektromágneses hullámban időátlagban 0. F

1 rotB B  rotE E. 4

Az x tengely mentén terjedő elektromágneses hullámra: Fx 

1 4

B y E y   B z E z 1  2 2 B  B  E  E   B  E z y z y  x x x 8 x  x 



 25

Az elektromágneses tér energiáját figyelembe véve: B2  E2 U 8

Az erő:

Fx  

U x

És a sugárzási energiafluxussal, S=Uc –vel:

2016.02.18.

Fx  

1 S c x

26

Elektromágneses hullámok terjedése közegben Ha nincs külső forrás, a vákuumbeli hullámok lehetnek exp(-it+ikr) alakúak. Vákuumban  és k valós, =kc. Közegben a frekvencia és hullámszám közötti (k) összefüggés: diszperziós egyenlet. Nem disszipatív közeg  ij hermitikus   és k valós (egyébként komplex). Maxwell-egyenletek külső forrás nélküli nemtriviális megoldásai: (k  B)i  



kB  0 (k  E)i 



c

 ij  , k E j

Bi

c k i ij  , k E j  0 27

A B-t kiküszöbölve E-re kapunk (homogén) egyenletrendszert:  2  2 k  ij  ki k j  2  ij  , k E j  0. c  

Nem triviális megoldás: Det    k  ij  ki k j  2

Diszperziós egyenlet, forrásmentes eset. Izotrop közeg:

2 c

2

 ij  , k   0.

ki k j  tr ki k j l   ij ( , k )    ij  2  ( , k )  2  ( , k ) . k  k 

Az egyenlet szétesik (HF: ennek igazolása): El l  , k   0 tr  2

 E k  2  ( , k )  0 c  

ahol

2

tr

k kE tr l E  ; E  E  E . 2 k l

28

A diszperziós egyenlet is szétesik:

 l  , k   0 k2 

2

 tr  , k   0

c2 A longitudinális ill. transzverzális hullámok létezésének feltétele, a közeg saját hullámai. Megoldhatók valós k esetén a komplex -ra (spektrum) ill. valós  esetén a komplex k-ra tetszőleges irányban. Ezek megfelelnek a kezdeti- ill. peremérték problémáknak. Anizotrop közegben a diszperziós egyenlet nem esik szét. De: kis frekvenciákon az elektromágneses tér közel longitudinális. Ekkor kE=0, azaz potenciáltér:

Et , r   t , r   E , k   ik , k  4. Maxwell-egyenlet 

ki ij  , k k j   , k   0.

29

A diszperziós egyenlet ekkor anizotrop közegben longitudinális hullámot ír le. Ekkor a longitudinális dielektromos állandó:   , k  

ki k j ij  , k  k2

Izotrop esetben visszakapjuk l-t.

 0.

  divj  0 t

Adott sűrűségű közegre a kontinuitás-egyenletből: kj , k  ki ij  , k E j  , k  ki ij k j k2   , k    i   , k      , k   1  , k  





4

Ezt a Poisson-egyenletbe: k 2 , k   4  , k   k 2   , k   1 , k 

azaz

4  , k     ,k  1  2  1  4  , k  k   , k 

ahol  a polarizálhatóság.

30

Egyszerű plazmamodellek Közeget ismerni kell a konkrét diszperziós relációkhoz! -Független részecske modell: nincs kölcsönhatás, nincs termikus sebességszórás, j és  egyes részecskék összegéből. -Hidrodinamikai modell (MHD): Másik véglet, nincs különbség ion, elektron stb között, fenomenologikus mennyiségek. Fejlődés  kétfolyadék modell.

31

Plazma leírás Mikroszkopikus leírás (mikroszkopikusan) az egyes részecskéket követi

Plusz Maxwell egyenletek Kinetikus leírás (nem az egyes részecskéket követi); eloszlásfüggvényként írja le őket v,r,t _

_ _ f q  v  f  E  v  B    v f v, r, t  " ütközési tag" t m

Folyadék leírás (átlagol a sebességre; csak r, t függés)

32