Statisztika II. tantárgyi kalauz

Balog Margit - Monoriné Szabó Edit

Statisztika II. tantárgyi kalauz

Szolnoki Főiskola Szolnok 2006.

Statisztika II. Tantárgyi kalauz

Ez a kalauz az alábbi tankönyvekhez készült: Általános statisztika II. – Főiskolai tankönyv szerkesztette: Korpás Attiláné dr. – Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997.) Általános statisztika példatár II. – Főiskolai tankönyv (42 492/P) (Molnár Máténé dr. – Tóth Mártonné dr. – Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. 2001.) Általános statisztika I. – Főiskolai tankönyv (szerkesztette: Korpás Attiláné dr. – Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996.) Általános statisztika példatár I. – Főiskolai tankönyv (42 491/P) (Molnár Máténé dr. – Tóth Mártonné dr. – Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. 2001.) Képletgyűjtemény: A tantárgyi kalauz I. melléklete Tananyagíró: Balog Margit - Monoriné Szabó Edit Távoktatási szerkesztő: Fazekas Judit Kiadványszerkesztő: Román Gábor Sorozatszerkesztő: Zarka Dénes

Kiadja a Szolnoki Főiskola. Felelős kiadó: dr. Törzsök Éva rektor

© Szolnoki Főiskola, 2006. Minden jog fenntartva. A kalauzt, vagy annak részeit tilos bármilyen formában, illetve eszközzel másolni, terjeszteni vagy közölni a Kiadó engedélye nélkül.

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Tartalom Tartalom ............................................................................................................................................. 3 A kalauz szerkezete........................................................................................................................... 4 Bevezetés............................................................................................................................................ 5 Mintavétel........................................................................................................................................... 9 Statisztikai becslések egyszerű véletlen minta esetén................................................................. 13 Statisztikai becslések rétegzett minta esetén ............................................................................... 17 Hipotézisvizsgálat. Paraméteres statisztikai próbák................................................................... 21 Hipotézisvizsgálat. Nemparaméteres statisztikai próbák .......................................................... 26 Beküldendő feladatok I. ................................................................................................................. 32 A korreláció elemzése csoportosított adatokból kiindulva. Kétváltozós korrelációszámítás ........................................................................................................................................................... 38 Kétváltozós regresszió: lineáris regresszió .................................................................................. 44 Kétváltozós regresszió: nemlineáris regresszió........................................................................... 49 Többváltozós regressziószámítás.................................................................................................. 55 Többváltozós korrelációszámítás ................................................................................................. 62 Beküldendő feladatok II. ............................................................................................................... 70 Idősorok összetevőinek vizsgálata: trendszámítás ..................................................................... 79 Idősorok összetevőinek vizsgálata: a szezonhatás vizsgálata, a véletlenhatás kimutatása, előrejelzés készítése......................................................................................................................... 84 Melléklet I. ....................................................................................................................................... 93 Melléklet II....................................................................................................................................... 96

3

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A kalauz szerkezete A kalauz feldolgozásakor fontos, hogy értse jelrendszerünket. Íme a legfontosabbak:

Így adjuk meg, hogy mennyi ideig tart egy lecke feldolgozása.

Célkitűzés: így jelöljük, ha a

• •

tantárgy, vagy lecke célkitűzését adjuk meg.

Ha ezt az ikont látja, a tankönyvet kell fellapoznia.

Önellenőrző feladat

Ha ezt a keretet látja, arra kérjük, oldja meg egy erre rendszeresített füzetében a feladatot, ha elkészült, ellenőrizze magát a lecke végén található megoldás alapján!

Beküldendő feladat

Ha ezt az ikont látja, a megoldást nem találja meg, feladatát be kell küldenie a főiskolára tutorának.

4

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Bevezetés Kedves Hallgatónk! Örömmel üdvözöljük a Statisztika II. tantárgyat választók körében! A tantárgy legfontosabb feladata - a Statisztika I. tantárgyhoz hasonlóan -, hogy segítse a hallgatók közgazdasági gondolkodásának megalapozását, valamint elemző készségének és problémamegoldó képességének fejlesztését. Bízunk abban, hogy a tantárgy tanulása során sok hasznos ismeretre tesz szert, amelyeket felhasznál majd a szaktantárgyak tanulásakor, illetve a későbbiekben, a gyakorlati munkája végzése közben. A tantárgyi kalauz készítésénél azt tartottuk szem előtt, hogy Ön lépésről-lépésre megismerve a tananyagot, egyre nagyobb jártasságot szerezzen a feladatmegoldások terén, úgy mintha közvetlenül a szemináriumon ülve hallgatná a tanára magyarázatait. Ebben a félévben támaszkodunk az Analízis, a Valószínűségszámítás és a Statisztika I. keretében tanultakra. Reméljük, segíthetünk Önnek abban, hogy sikeren készüljön fel a tanulmányait lezáró vizsgára.

Hogyan használja a Tantárgyi kalauzt? A tantárgyi kalauz célja, hogy megkönnyítse elsajátítani Önnek a Statisztika II. tantárgyat, és segítségével teljesítse a követelményeket, valamint támogassa Önt a vizsgára való eredményes felkészülésben. Ehhez a tananyagot kisebb egységekre, leckékre osztottuk fel. A leckék feldolgozása az elmélet megtanulásával kezdődik, majd az elmélet gyakorlati alkalmazására kerül sor, feladatmegoldásokon keresztül. Pontosan megjelöljük, hogy az adott lecke megértéséhez mely részeket kell elolvasnia a tankönyvből, és mely feladatokat kell megoldania a példatárból. Esetenként saját feladatokat is adtunk. Ha az eredményeket ellenőrizni szeretné, a feladat végén felhívjuk a figyelmét arra, hogy hol találja a megoldását. Egyes leckéknél felhívjuk a figyelmet a korábban – más tantárgyak keretében - megtanultak alkalmazására. Ha szükséges, vegye elő ismét a régebbi tananyagot, és ismételjen! Kérjük, gondosan olvassa el a lecke elején található célokat, ezek ugyanis tartalmazzák a tantárgyat lezáró kollokvium követelményeit is!

A tantárgy kreditszáma A tantárgy 4 kredites, tehát összesen 120 tanulási óra szükséges a feldolgozásához. Az egyes leckéknél külön is jeleztük, hogy mekkora időráfordítást igényelnek Öntől.

5

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A tantárgy tanulásának célja, hogy a kurzus végére Ön

• • • • •

megértse a statisztikának a gazdasági folyamatokban betöltött szerepét; felismerje a megadott statisztikai adatokat; el tudja dönteni, hogy a megadott statisztikai adatokat milyen statisztikai elemzési eszközökkel lehet feldolgozni; képes legyen elvégezni a szükséges számításokat (kiszámítani a megfelelő statisztikai mutatószámokat); képes legyen értékelni, és szövegesen elemezni a kiszámított statisztikai mutatószámokat.

A tantárgy lezárása A szorgalmi időszak aláírással és kollokviummal zárul. Az aláírás és vizsgára bocsátás feltétele a két beküldendő feladatsor hiánytalan beadása az előre egyeztetett időpontra. A vizsgakövetelmény: kollokvium. A kollokviumon a számonkérés írásban történik, egy 60 perces dolgozat formájában. A dolgozatban elérhető maximális pontszám 50 pont. Az értékelés az elért teljesítményszázalék alapján történik: 0 – 50%

elégtelen (1)

51 – 66%

elégséges (2)

67 – 79%

közepes (3)

80 – 89%

jó (4)

90 – 100%

jeles (5)

A számonkéréskor saját számológép és központilag kiosztott képletgyűjtemény használható. A kollokviumi feladatsor felépítése: 5 feladatban a tananyag hosszabb számításokkal, részletesebb elemzésekkel járó részeit kérjük számon – feladatonként 6-15, összesen 50 pontért. Ezek a tananyagrészek: •

1. feladat: Mintavétel, becslés (Egyszerű véletlen mintából, vagy rétegzett mintából.)

•

2. feladat: Hipotézisvizsgálat (Paraméteres próbák: átlagra, arányra; Nemparaméteres próbák: illeszkedésre, függetlenségre.)

•

3. feladat: Kétváltozós regresszió (Lineáris vagy nemlineáris kapcsolat elemzése.)

•

4. feladat: Idősorok vizsgálata (Trend, szezonhatás, véletlen hatás)

•

5. feladat: Többváltozós korreláció- és regressziószámítás

A kalauzhoz mellékelünk egy kidolgozott kollokviumi feladatsort.

6

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Hogyan tanuljon? Legfontosabb, hogy rendszeresen és alaposan! Ehhez a tantárgyi kalauzban sok segítséget nyújtunk. A bevezető rész végén talál egy táblázatot, ennek alapján készítsen magának tanulási ütemtervet! Az ütemtervet készítheti a saját füzetébe, vagy a főiskolától kapott naptárba. Fontos, hogy az Ön által választott tempó szerint, a tervezett vizsgaidőpontra minden leckét befejezzen, és a beküldendő feladatokat időben elküldje a főiskolára. Figyeljen arra, hogy egyenletesen ütemezze az anyagot. Javasoljuk, hogy a leckék megtanulásánál kövesse a tantárgyi kalauz útmutatásait. Először a megjelölt kisebb egységeket tanulja meg a könyvből, majd oldja meg az önellenőrző feladatokat. Ezeket úgy állítottuk össze, hogy ellenőrizze az elmélet megértését, gyakorlati alkalmazását. Ezeken kívül a példatárból érdemes minél több példát önállóan is megoldani, a különböző feladat-megoldási technikák gyakorlásához. Végül mindig ellenőrizze a tudását a kijelölt feladatatok alapján. Csak akkor lépjen tovább egy-egy leckéről az újabbhoz, ha a megfelelő tudásszintet már elérte. Ha egy önellenőrző feladatot nem tud megoldani, akkor érdemes azzal az anyagrésszel tovább foglalkozni, nehogy a vizsgáztató hívja fel a hiányosságaira a figyelmet! Amennyiben úgy érzi, hogy nem sikerül megoldani egy feladatot, keresse meg tanulótársait, bizonyára tudnak segíteni. További lehetőség, hogy írjon vagy telefonáljon a főiskola megadott címére, telefonszámára, és mi segítünk Önnek. A beküldendő feladatot mindenképpen oldja meg! Ezzel egyrészt gyakorol, másrészt még a vizsga előtt egy szakértő tutorunk értékeli munkáját. Ezzel időben segíthet helyre tenni bizonyos félreértéseket, feltárni olyan hiányosságokat, melyek a vizsga eredményességét veszélyeztetik. Ezen kívül tanácsokat is kaphat, hogy miként javíthatja teljesítményét. Kérjük, hogy a megoldásokat lehetőleg e-mail-ben – esetleg kék tintával írottan postai úton –küldje el a főiskolára, a tantárgy felvételekor egyeztetett címre. A dolgozat megérkezése napján (legkésőbb másnap) e-mailben visszajelzést kap arról, hogy az írásművet megkaptuk. Szöveges értékelésre egy héten belül számíthat.

A tanuláshoz a következő kiadványokat használja •

Általános statisztika II. – Főiskolai tankönyv (szerkesztette: Korpás Attiláné dr. – Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997.)

•

Általános statisztika példatár II. – Főiskolai tankönyv (42 492/P) (Molnár Máténé dr. – Tóth Mártonné dr. – Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. 2001.)

•

Képletgyűjtemény: A tantárgyi kalauz I. melléklete

•

Általános statisztika I. – Főiskolai tankönyv (szerkesztette: Korpás Attiláné dr. – Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996.)

•

Általános statisztika példatár I. – Főiskolai tankönyv (42 491/P) (Molnár Máténé dr. – Tóth Mártonné dr. – Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. 2001.)

A két utóbbi kötetre csak a 7. leckében lesz szüksége.

Ajánlott irodalom •

Kerékgyártó Györgyné – Mundruczó György – Sugár András: Statisztikai módszerek és alkalmazásuk a gazdasági, üzleti elemzésekben (AULA 719)

7

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A tantárgy tanulás-támogatása, azaz milyen segítséget kap tanulmányai során A tantárgyat alapvetően önállóan kell elsajátítania, hagyományos előadás, vagy gyakorlat nem tartozik hozzá. A tantárgy feldolgozása során lehetősége lesz egy alkalommal személyesen konzultálni szakértő tutorával, ennek részleteiről a tantárgy felvételekor tájékoztattuk. Ehhez fel kell vennie a kapcsolatot a képzésszervező tutorral, akinek nevét és elérhetőségét a tantárgy felvételekor megadtuk Önnek.

Tanulási ütemtervem A tanulási ütemterv elkészítése előtt arra kérjük, hogy vegye elő a füzetét és naptárát, valamint nyomtassa ki a táblázatot! A kialakított tervet a tantárgy tanulása közben tegye jól látható helyre! Munkája megkönnyítésére az alábbi tanulási ütemtervet állítottuk össze Önnek: Lecke száma

Lecke címe

Időigény

Típus

Mintavétel

6 óra

Feldolgozó

2.

Statisztikai becslések egyszerű véletlen minta esetén

12 óra

Feldolgozó

3.

Statisztikai becslések rétegzett minta esetén

12 óra

Feldolgozó

4.

Hipotézisvizsgálat. Paraméteres statisztikai próbák

10 óra

Feldolgozó

5.

Hipotézisvizsgálat. Nemparaméteres statisztikai próbák

8 óra

Feldolgozó

6.

Beküldendő feladatok I.

4 óra

Beküldendő

7.

A korreláció elemzése csoportosított adatokból kiindulva. Kétváltozós korrelációszámítás

8 óra

Feldolgozó

8.

Kétváltozós regressziószámítás: lineáris regresszió

12 óra

Feldolgozó

9.

Kétváltozós regressziószámítás: nemlineáris regresszió

8 óra

Feldolgozó

10.

Többváltozós regressziószámítás

8 óra

Feldolgozó

11.

Többváltozós korrelációszámítás

8 óra

Feldolgozó

12.

Beküldendő feladatok II.

4 óra

Beküldendő

13.

Idősorok összetevőinek vizsgálata: trendszámítás

10 óra

Feldolgozó

14.

Idősorok összetevőinek vizsgálata: a szezonhatás vizsgálata, a véletlenhatás kimutatása, előrejelzés készítése

10 óra

Feldolgozó

l.

Mikor tanulom?

Reméljük, bevezetőnkben minden lényeges információt megtalált, és nincs akadálya annak, hogy elkezdje az első lecke feldolgozását! Jó tanulást, sikeres felkészülést kívánunk Önnek! 8

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

1. lecke Mintavétel Bevezetés Ebben a leckében a mintavétel alapfogalmaival és a véletlen mintavételi eljárásokkal ismerkedünk meg. Megtanuljuk, miről ismerhetők meg az egyes mintavételi eljárások, átismételjük az átlag és a szórás számítását. Az új sokasági jellemzők kiszámításában segítségére lesznek a Valószínűségszámítás és a Statisztika I. keretében megismert alapfogalmak. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 6 óra

A lecke feldolgozása után Ön képes lesz

• • • • • •

definiálni a mintavétel legfontosabb alapfogalmait; megkülönböztetni a véletlen mintavételi eljárásokat; meghatározni a különböző rétegzett minták rétegenkénti elemszámát; kiszámítani a minta átlagát, szórását; kiszámítani és értelmezni a mintaátlag standard hibáját; megítélni a korrekciós tényező szükségességét. Kérjük, gondosan tanulmányozza a tankönyv 9-13. oldalain a Mintavétel: Alapfogalmak, jelölések című tananyagot!

Soknak tűnhet az új fogalmak mennyisége, de higgye el, hogy ismeretük fontos a feladatok megértéséhez. Az 1. önellenőrző feladat megoldásával ellenőrizheti, hogy hogyan sikerült elsajátítani őket. 1. önellenőrző feladat

Egészítse ki az alábbi mondatokat, úgy, hogy az alattuk lévő fogalmak betűjeleit a számokkal párosítja! Egy fogalom több mondatba is illeszkedhet, és lesz, amelyik sehová! Azt a sokaságot, amelyre a mintavétel segítségével következtetni szeretnénk, …1…-nak hívjuk. Azt a sokaságot, amely alapján a következtetéseket levonjuk, …2…-nak nevezzük. Elemszámuk alapján megkülönböztetünk …3… és …4… sokaságot. …5… sokaság esetén az egyedeket, ill. azok ismérvértékeit nagyság szerint sorba rendezhetjük, és a minta fontos jellemzője a …6…, amely azt mutatja meg, hogy a sokaság elemeinek mekkora hányada kerül a mintába. A minta elemszáma alapján azt mondhatjuk, hogy n ≥ 100 már …7… mintának tekinthető, azaz az egyes mintajellemzők eloszlásfüggvényei már közelítőleg …8… eloszlásúvá válnak. Fogalmak: a) véges; b) alapsokaság; c) kiválasztási arány; d) nem normális; e) kis; f) mintasokaság; g) nagy; h) végtelen; i) normális.

9

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A következőkben figyelmesen olvassa el a tankönyv 13-17. oldalain a Véletlen mintavételi eljárások című részt!

2. önellenőrző feladat

Párosítsa össze az alábbi rétegzési eljárásokat és képleteket! a) Arányos elosztás

1)

b) Nem arányos elosztás (általában) c) Egyenletes elosztás

nj n

≠

Nj N

2) n j = n ⋅

d) Optimális elosztás

3)

nj n

=

4) n j =

N jσ j ∑ N jσ j

Nj N n M

Ugye, sikeresen megoldotta a 2. önellenőrző feladatot? Most olvassa el a 21-27. oldalak anyagát, amely a mintajellemzők fontosabb tulajdonságaival foglalkozik!

A következő feladatok segítségével ismételheti a tanultakat. 3. önellenőrző feladat

Egészítse ki az alábbi mondatokat, úgy, hogy az alattuk lévő fogalmak betűjeleit a számokhoz párosítja! Minden fogalomhoz egy képlet is tartozik. A mintaátlag szórását a mintaátlag …1…-jának nevezzük. Számítása egyszerű véletlen mintavétel esetén, konkrét mintából: …2… Egyszerű véletlen mintavétel esetén a mintaátlag szórása jelentős mértékben függhet a …3…-tól (számítása: …4…), amely ha viszonylag magas (nagyobb, mint 5%), akkor …5… alkalmazására feltétlenül szükség van, melynek számítása: …6… A) standard hiba, B) korrekciós tényező, C) kiválasztási arány.

a) 1 −

n N

b) σ x =

σ n

c)

n N


Oldja meg a példatár 7. feladatát! Értelmezze a standard hibát!

10

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


A példatár 8. példája alapján oldja meg az alábbi feladatokat! a) Számítsa ki az átlagos születési súlyt! b) Mennyi az egyes újszülöttek születési súlyának eltérése az átlagostól? c) Számítsa ki és értelmezze a standard hibát!

Befejezés A következő leckében azt tanuljuk meg, hogyan lehet egy konkrét mintából következtetni az alapsokasági jellemzőkre, valamint, hogyan lehet meghatározni a szükséges mintaelemszámot, adott feltételek mellett.

11

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megoldások 1. megoldás A helyes megoldás: 1-b; 2-f; 3-a; 4-h; 5-a; 6-c; 7-g; 8-i. 2. megoldás A helyes megoldás: a)-3.; b)-1.; c)-4.; d)-2. 3. megoldás A helyes megoldás: 1-A); 2-b); 3-C); 4-c); 5-B); 6-a). 4. megoldás Kiválasztási arány: n / N = 0,04 tonna / 2 tonna = 0,02 → 2% Az alacsony kiválasztási arány miatt korrekciós tényezőt nem alkalmazunk.

x=

7 ⋅ 0 + ... + 1 ⋅ 9 = 4 db 400

7(0 − 4) 2 + ... + 1(9 − 4) 2 = 1,83 db 400 1,83 σ σx = = = 0,09 db n 400

σ=

Az egyes mintaátlagok átlagosan 0,09 db-bal térnek el az ismeretlen alapsokasági átlagtól. 5. megoldás A magas kiválasztási arány (10%) miatt korrekciós tényezőt is alkalmazunk.

a) x =

17 ⋅ 1250 + ... + 82 ⋅ 4250 = 3213 gramm 1270

b) σ = c) σ x =

17(1250 − 3213) 2 + ... + 82(4250 − 3213) 2 = 577,6 gramm 1270

σ n

⋅ 1−

n 577,6 = ⋅ 1 − 0,1 = 15,4 gramm N 1270

Az egyes mintaátlagok átlagosan 15,4 gramm-mal térnek el az ismeretlen alapsokasági átlagtól.

12

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

2. lecke Statisztikai becslések egyszerű véletlen minta esetén Bevezetés Ebben a leckében megismerkedünk a statisztikai becslés alapfogalmaival, a becslőfüggvényekkel, az intervallumbecsléssel, valamint a minta elemszámának meghatározásával. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 12 óra

A lecke feldolgozása után Ön képes lesz meghatározni

• • • • •

a becslés hibahatárát (maximális hibáját); a sokaság várható értékének intervallumát; a sokasági értékösszeg konfidencia-intervallumát; a sokasági arány - és ebből a gyakoriság - konfidencia-intervallumát; a minta elemszámát adott feltételek mellett. Olvassa el figyelmesen a tankönyv 30-31., és a 35-47. oldalak anyagát!

Megjegyzés az olvasottakhoz: Ugye megfigyelte, hogy a továbbiakban a standard hiba meghatározásához a korrigált tapasztalati szórást („s”-t) használjuk? Ugyanezt alkalmazza az alábbi feladatok megoldásakor is! A számológépén vagy „s” vagy „σn-1” jelöli a megfelelő műveletet. 1. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 4. példájának a) és b)/1. feladatait! Mennyi a becslés maximális hibája? 1. megoldás A feladatok megoldását a példatár 96. oldalán ellenőrizheti. A kiegészítő kérdésre a választ a lecke végén találja meg. 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 6. a) feladatát! 2. megoldás Az eredményt megtalálja a példatár 97. oldalán.

13

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a példatár 8. a) feladatát! Az átlag eredményét az első lecke 5. feladatának megoldásánál találja, de a szórást most már az „s” alapján számolja ki! 3. megoldás A megoldást a példatár 97. oldalán ellenőrizheti, amelyhez kiegészítést is talál a lecke végén. 4. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 11. a) feladatát! 4. megoldás Az eredményt ellenőrizheti a példatár 98. oldalán. A lecke végén talál néhány részeredményt is. A következőkben tanulmányozza a tankönyv 47-48. oldalait, ahol megismerkedhet a sokasági értékösszeg becslésével!

A következő feladatok megoldásával ellenőrizheti tudását. 5. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 12. a) feladatát! 5. megoldás A megoldást a példatár 98-99. oldalain ellenőrizheti. 6. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 16. feladatát! 6. megoldás A megoldás a példatár 100. oldalán található. Olvassa el a tankönyv 49-51. oldalak anyagát, ahol a sokasági arány becsléséhez talál útmutatást!

Tegye próbára tudását! 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 6. b) feladatát! 7. megoldás A megoldást a példatár 98. oldalán ellenőrizheti.

14

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Készítse el a példatár 8. b) feladatát, a következő kiegészítéssel: Becsülje meg 95%-os megbízhatósággal a koraszülöttek maximális számát! 8. megoldás A megoldást elolvashatja a példatár 98. oldalán, valamint a lecke végén. Tanulmányozza a tankönyv 63-64. oldalait, ahol a minta elemszámának meghatározási módjaival ismerkedhet meg!

Alkalmazza a megtanultakat a következő önellenőrző feladatok megoldásánál! 9. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 11. b) feladatát! 9. megoldás A megoldást ellenőrizeti a példatár 98. oldalán, valamint a lecke végén. 10. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 12. b) feladatát! 10. megoldás A megoldást megtalálja a lecke végén.

További gyakorlási lehetőséget kínálnak a következő feladatok: 9., 10.a) és b), 14., 15.a), 17.

Befejezés Nagyon sokat tanult ebben a leckében! Pihenjen egy kicsit, majd vágjon bele az új tananyagba! Tovább folytatódik a becslés, de most már rétegzett minták alapján.

15

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megoldások 1. megoldás Kiegészítés: kis minta → student-t eloszlás → „t” érték kikeresése, n-1 szabadságfok és p =1-α/2 mellett. A becslés maximális hibája: 0,034 liter/100 km. 3. megoldás Kiegészítés: nagy minta → standard normális eloszlás → „z” érték kikeresése, p =1-α/2 mellett. α = 5% z 0,975 = 1,96 4. megoldás Részeredmények:

s = 13,87 z = 2,01 s x = 1,27 ∆ = 2,55

8. megoldás A kiegészítő feladat megoldása: „N” meghatározása a kiválasztási arány ismeretében: 1270 / 0,1 = 12700 fő 95%-os megbízhatósági szinten a koraszülöttek maximális száma:

NX max :12700 ⋅ 0,108 = 1371,6 ≈ 1372 fő 9. megoldás Ha a becslés pontosságát a kétszeresére kívánjuk növelni, a maximális hibát a felére kell csökkenteni: ∆ / 2 = 2,55 / 2 = 1,275← új maximális hiba Új „z” érték: z 0,9875= 2,24 2

⎛ z⋅s⎞ „N” nem ismert, ezért az új mintaelemszám meghatározására a n = ⎜ ⎟ képletet ⎝ ∆ ⎠ használjuk 10. megoldás A példatári megoldás sajnos nem helyes. Ön is figyeljen arra, hogy az új mintaelemszám meghatározása mindig a megváltozott feltételekkel számítandó! Új feltétel: ∆ / 2 = 0,07 / 2 = 0,035. Az N ismert, és a kiválasztási arány (50/850 = 5,9%) nagyobb, mint 5%, ezért az alábbi módon számolunk:

n=

N ⋅ t 2 ⋅ s2 N ⋅ ∆2 + t 2 ⋅ s 2

=

850 ⋅ 2,012 ⋅ 0,27 2 850 ⋅ 0,035 2 + 2,012 ⋅ 0,27 2

= 187,4 ≅ 188 iroda

Figyelem! Az új minta elemszámának meghatározásakor mindig felfelé kerekítünk!

16

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

3. lecke Statisztikai becslések rétegzett minta esetén Bevezetés Mostanra már nagyon sok mindent megtanult arról, hogyan kell mintából megbecsülnie egy alapsokasági jellemzőt, és hogyan kell meghatározni a minta elemszámát. Eddig ezeket egyszerű véletlen kiválasztás alapján készült mintákból tette. Ebben a leckében arra is választ kap, mi a teendője rétegzett kiválasztásból származó minta esetén. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 12 óra


• • •

•

•

meghatározni a rétegzett minta átlagát különböző rétegzési eljárások esetén; meghatározni a rétegzett minta standard hibáját; megadni az arányosan rétegzett minta: átlagának konfidencia-intervallumát, értékösszegének konfidencia-intervallumát, aránybecslésének konfidencia-intervallumát; megadni a nem arányosan rétegzett minta: átlagának konfidencia-intervallumát, értékösszegének konfidencia-intervallumát, aránybecslésének konfidencia-intervallumát; átszámítani az arányosan rétegzett mintában megadott rétegenkénti elemszámot az optimális rétegzés esetére. A következőkben olvassa el figyelmesen a tankönyv 54-62. oldalait, „A konfidencia-intervallum meghatározása rétegzett mintavétel esetén” című részt!

Ugye kellően felkészült, hogy megoldja az alábbi feladatokat? 1. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 18. feladatát! 1. megoldás Az a) és b) feladat megoldását a példatár 100. oldalán, a c)-t a lecke végén ellenőrizheti. 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 19. feladatát!

17

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

2. megoldás A feladatok megoldását megtalálja a példatár 101-102. oldalán. 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 20. feladatát! 3. megoldás A feladatok megoldása a példatár 102-103. oldalán található. Kiegészítést a lecke végén talál. 4. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 21. feladatát! 4. megoldás A feladatok eredményét a példatár 103. oldalán ellenőrizheti. A lecke végén olvashatja a kiegészítést és a standard hiba értelmezését. 5. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 24. feladatát a következő kiegészítéssel: Becsülje meg változatlan megbízhatósági szinten, mennyi a régióban az összes javítási és szolgáltatási kiadás minimális összege, ha a vizsgált régióban összesen 750 000 a háztartások száma! 5. megoldás A feladatok eredményét részben a példatár104. oldalán, részben a lecke végén ellenőrizheti. Javasoljuk, ismételje át a tankönyv 17. oldalán található, a Neymanféle optimális elosztásról szóló szakaszt!

A következő feladat az arányos rétegzésről az optimális rétegzésre történő áttérést gyakoroltatja. 6. önellenőrző feladat

A példatár 19. példájához visszatérve, válaszoljon az alábbi kérdésekre: Mennyi lenne a rétegenkénti elemszám optimális rétegzés esetén, és hogyan alakulna ekkor a standard hiba? 6. megoldás A megoldást a lecke végén ellenőrizheti.

További gyakorlási lehetőséget kínálnak a példatárban a következő feladatok: 22., 23., 27.

Befejezés A következő lecke a hipotézisvizsgálat témakörébe kalauzol el bennünket. Mivel hipotéziseinket minta alapján ellenőrizzük, felhasználjuk azokat az ismereteket, amiket az előző leckékben tanultunk.

18

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megoldások 1. megoldás c) megoldás: A példatári megoldás, sajnos, nem helyes. A feladat csupán a városi háztartásokra vonatkozott. Egy rétegen belül a kiválasztás egyszerű véletlen mintavétellel történik, tehát a standard hiba a már ismert módon számítandó:

s x (városiháztartások ) =

s n

=

20 900

= 0,67 ezerFt

Ekkor a városi háztartások összes élelmiszerkiadásának konfidencia-intervalluma:

180 ⋅ (106 ± 2 ⋅ 0,67) → [18838,8 ;19321,2] millió Ft

3. megoldás Kiegészítés az a) 1. megoldáshoz: A 25-35 ezer Ft jövedelmű háztartások mintabeli aránya: p = 250/500 = 0,5→ 50%.

sp =

0,5 ⋅ 0,5 = 0,022 500

z0,985= 2,17 Az átlagos baromfihús fogyasztás és az átlagbecslés standard hibája a rétegben:

x = 27 s x =

2,6 250

= 0,164

4. megoldás Optimális rétegzés történt, mert 7 : 704 ≠ 2 : 80! Így a mintaátlagot az alapsokaság megoszlásával súlyozzuk! A standard hiba értelmezése: Az egyes mintaátlagok átlagosan 0,8 százalékponttal térnek el az ismeretlen alapsokasági átlagtól. 5. megoldás Optimális rétegzés történt, mert 1000 : 1500 ≠ 0,6! Így a mintaátlag:

x = 0,6 ⋅ 30 + 0,4 ⋅ 25 = 28 ezerFt

A kiegészítő kérdés megoldása:

NX min : 750000 ⋅ 27,9 = 20925 millióFt 6. megoldás Válasz a kiegészítő kérdésre: Az optimális rétegzés rétegenkénti elemszámát a Neyman-féle képlettel határozzuk meg. Ehhez először az alapsokasági rétegenkénti elemszámokat (Nj) kell kiszámítanunk. Ezeket a példatár 101. oldalán lévő, megoldást segítő táblázatban megtaláljuk: A gépkocsik életkora

A gépkocsik száma

(év)

a sokaságban (Nj)

- 2

2700

3-5

2125

6 -15

9875

16 -

5300

Összesen

20 000

19

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A Neyman-féle képletbe rétegenként behelyettesítünk:

n( − 2 ) = n ⋅

N j ⋅sj 2700 ⋅ 6 = 1600 = 57,54 ≈ 57 2700 ⋅ 6 + 2125 ⋅ 18 + 9875 ⋅ 24 + 5300 ⋅ 30 ∑N j ⋅sj

2125 ⋅ 18 = 135,86 ≈ 136 2700 ⋅ 6 + 2125 ⋅ 18 + 9875 ⋅ 24 + 5300 ⋅ 30 n(6 −15) = 841,82 ≈ 842 n(16 − ) = 564,77 ≈ 565

n(3 − 5) = 1600

Összesen: 57+842+136+565 = 1600 Figyelem! Ha a kerekítési szabályoknak megfelelően járunk el, az elemszám1601 lesz. Ezért az első (vagy bármelyik másik) kategóriában lefelé kerekítünk, így már n =1600. Optimális rétegzés esetén a standard hiba a következő lesz: (Az Nj / N adatok a megoldás táblázatában, a 101. oldalon megtalálhatók, innen helyettesítünk be!) 2 62 ⎛ 57 ⎞ 565 ⎞ 2 30 ⎛ ⋅ ⎜1 − + ... + 0 , 265 ⋅ ⋅ ⎜1 − ⎟ ⎟ = 0,289 57 ⎝ 2700 ⎠ 565 ⎝ 5300 ⎠ s x opt . = 0,538 ezerFt < s x ar. = 0,568 ezerFt

s x2 = 0,135 2 ⋅

Tehát, optimális rétegzés esetén a standard hiba kisebb, mint arányos rétegzés esetén.

20

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

4. lecke Hipotézisvizsgálat. Paraméteres statisztikai próbák Bevezetés Ebben a leckében a hipotézisvizsgálattal ismerkedünk meg. Megtanuljuk hipotéziseinket matematikai formába ölteni, és azt is megismerjük, milyen lépések kellenek ahhoz, hogy a feltevésünk helyességét ellenőrizni tudjuk. Elsőként a paraméteres próbákkal foglakozunk. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 10 óra


• • • • • • •

definiálni a hipotézisvizsgálat alapfogalmait; megfogalmazni a nullhipotézist és az alternatív hipotézist; kiválasztani a próba végrehajtásához a megfelelő próbafüggvényt; kiszámítani a próbafüggvény aktuális értékét; meghatározni a próbafüggvény lehetséges értékeinek tartományát (elfogadási tartományt); dönteni a nullhipotézisről és az alternatív hipotézisről; végrehajtani az egymintás statisztikai próbákat átlagra és arányra. Most pedig figyelmesen olvassa el a tankönyv 70-78. oldalait, a 78. oldalon lévő példáig!

Ez a szakasz hipotézisvizsgálat alapfogalmaival ismerteti meg Önt. Ellenőrizze tudását a következő feladat megoldásával!

21

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Párosítsa össze az alábbi fogalmakat a megfelelő jelöléssel! Egy fogalomhoz több jelölés, ill. egy jelöléshez több fogalom is tartozhat! Fogalmak:

Jelölések:

a) Szignifikancia szint

1. ca ; cf

b) Nullhipotézis

2. 1-α

c) Elfogadási tartomány

3. H1: µ≠m0

d) Kritikus értékek

4. α

e) Baloldali kritikus tartomány

5. H0: µ=m0

f) Másodfajú hiba

6. [ca ; cf]

g) Alternatív hipotézis

7. H1: µ<m0

h) Kétoldali kritikus tartomány

8. β

i) A próba megbízhatósági szintje

9. H1: µ>m0

j) Elsőfajú hiba k) Jobboldali kritikus tartomány Kérjük, olvassa el a tankönyv 85-91. oldalait! Ebben a szakaszban az átlagra vonatkozó próbákat ismerheti meg.

Lássuk, mennyire volt eredményes a tanulás! 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 32. feladatát! 2. megoldás A helyes megoldást megtalálja a lecke végén. 3. önellenőrző feladat

Készítse el a példatár 33. a) feladatának megoldását! 3. megoldás A megoldást a példatár 106. oldalán ellenőrizheti. Kiegészítést a lecke végén talál. 4. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 35. feladatát! 4. megoldás Megoldását ellenőrizheti a példatár 106. oldalán. Kiegészítést a lecke végén talál. 22

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Olvassa el a példatár 38. példáját, majd oldja meg az alábbi feladatot! Ellenőrizze 5%-os szignifikancia-szinten azt a feltevést, hogy a gumiabroncsok élettartama legalább 80 ezer km! 5. megoldás A megoldást a lecke végén találja.

További önellenőrzésre alkalmas példatári feladatok: 34., 36., 39., 41., 42. Következzenek a tankönyv 93-95. oldalai!

Ebben a szakaszban az arányra vonatkozó próbákat ismerheti meg. Most remekül kamatoztathatja az előző részben megtanultakat. Ellenőrizze tudását a következő feladatok megoldásával! 6. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 43. feladatát! 6. megoldás Munkáját ellenőrizheti a példatár 107. oldalán. 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 45. feladatát! 7. megoldás A jó megoldást a lecke végén ismerheti meg. 8. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 47. feladatát! 8. megoldás A válaszát ellenőrizze a példatár 107. oldalán. Kiegészítést a lecke végén talál.

Önellenőrzésre alkalmas példatári feladat még a 46. is.

Befejezés A következő leckében a nemparaméteres próbákkal ismerkedünk meg. Az eddig megtanultak hasznos segítőink lesznek az új anyag elsajátításában.

23

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megoldások 1. megoldás A helyes megoldás: a)-4.; b)-5.; c)-6.; d)-1.; e)-7.; f)-8.; g)-3.,7.,9.; h)-3.; i)-2.; j)-4., k)-9. 2. megoldás

m0 = 7,75 σ = 0,75 n = 25 x = 7,25 s = 0,85 α = 0,05 1. lépés: Hipotézisek felírása

H 0 : µ = 7,75 ( Megfelel a szabványnak ...)

H1 : µ ≠ 7,75 ( Nem felel meg a szabványnak ...) 2. lépés: Próbafüggvény kiválasztása Mivel σ ismert, z-próbát alkalmazunk:

z0 =

x − m0

σ

=

7,25 − 7,75 = −3,33 0,75

n

25

3. lépés: Elfogadási tartomány kijelölése Kétoldali kritikus tartomány esete: z 0,975 = 1,96 Elfogadási tartomány: [-1,96 ; 1,96] 4. lépés: Döntés a nullhipotézis helyességéről A z0 nem eleme az elfogadási tartománynak, így a nullhipotézist elvetjük, a fogkrém pHértéke 5%-os szignifikancia-szinten nem felel meg a szabványnak. 3. megoldás Kiegészítés a megoldáshoz: - mivel σ ismert, z-próbát alkalmazunk; - az alternatív hipotézis alapján jobboldali kritikus tartományunk lesz; - a kritikus értéket 1-α mellett keressük meg, tehát z 0,95 = 1,645 4. megoldás Kiegészítés a megoldáshoz: - mivel σ nem ismert és kis mintánk van, t-próbát alkalmazunk; - szabadságfok: n-1=30-1=29 - az alternatív hipotézis alapján jobboldali kritikus tartományunk lesz; - a kritikus értéket 1-α mellett keressük meg, tehát t290,95 = 1,7 5. megoldás

H 0 : µ = 80 ( Az élettartam nem kisebb 80 ezer km − nél ) H1 : µ < 80 (...kisebb...) z0 =

78 − 80 = 1,11 18 100

Baloldali kritikus tartományunk lesz, z 0,95 = 1,645, tehát az elfogadási tartomány: [-1,645 ; ∞[ A nullhipotézist elfogadjuk, 5%-os szignifikancia-szinten a gumiabroncsok élettartama megfelel az elvárásnak, nem kisebb, mint 80 ezer km.

24

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

7. megoldás P0 = 0,15 = 15% k = 80 n = 500 p = 80 / 500 = 0,16 α = 0,05

H 0 : P = 0,15 ( Nem rendelkezik több 15% − nál...) H1 : P > 0,15 (15% − nál több rendelkezik ...) z 0( P0 ) =

p − P0 P0 (1 − P0 ) n

=

0,16 − 0,15 0,15(1− 0,15) 500

= 0,63

Elfogadási tartomány: ]-∞ ; 1,645] A nullhipotézist elfogadjuk, 5%-os szignifikancia-szinten nem mondhatjuk, hogy a háztartások több mint 15%-a rendelkezik személyi számítógéppel. 8. megoldás p = 208 / 400 = 0,52

H 0 : P = 0,5 ( Nem építik meg...) H1 : P > 0,5 ( Megépítik...) z 0( P0 ) =

0,52 − 0,5 0,5(1− 0,5) 400

= 0,8

Elfogadási tartomány: ]-∞ ; 1,645]

25

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

5. lecke Hipotézisvizsgálat. Nemparaméteres statisztikai próbák Bevezetés Ebben a leckében a nemparaméteres hipotézisvizsgálatokkal ismerkedünk meg. Ide soroljuk az illeszkedésvizsgálatot, a függetlenségvizsgálatot, valamint a varianciaanalízist. Továbbra is támaszkodunk a Valószínűségszámítás és a Statisztika I. keretében tanultakra. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 8 óra

A lecke elvégzése után Ön képes lesz

• • •

ellenőrizni egy valószínűségi változó eloszlására vonatkozó állítás vagy feltételezés helyességét; elvégezni két minőségi ismérv függetlenségének hipotézisvizsgálatát ellenőrizni, hogy egy mennyiségi ismérv átlagos nagysága függ-e valamilyen minőségi ismérvtől Olvassa el figyelmesen a tankönyv 104-109. oldalain az illeszkedésvizsgálat menetét! Amennyiben szükséges, ismételje át a Statisztika I. tankönyvből a Sztochasztikus kapcsolatok című fejezetben a χ2 számítását!

Következik a tudáspróba! 1. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 60. a) feladatát! Ennél a feladatnál még nyugodtan használhatja a tankönyvet. 1. megoldás A megoldás a példatár 110-111. oldalain szerepel. 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 61. a) feladatát, most már tankönyvhasználat nélkül! 2. megoldás A megoldást a példatár 112. oldalán ellenőrizheti. A lecke végén megtalálja a megoldás kiegészítését. 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 63. b) feladatát, ha ismert, hogy χ2 = 13,07!

26

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

3. megoldás A helyes megoldást elolvashatja a példatár 113. oldalán. 4. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 67. feladatát! 4. megoldás A megoldás a példatár 113-114. oldalain található. 5. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 68. feladatát! 5. megoldás A megoldást a példatár 114. oldalán ellenőrizheti.

Önellenőrzésre alkalmas példatári feladatok még: 64. c), 65. b), 69., 70., 71. Következzen a tankönyv 109-112. oldalain a függetlenségvizsgálattal foglalkozó rész! Hasznos lehet átismételni a Statisztika I. tankönyvből a Sztochasztikus kapcsolatok című fejezetben az asszociációról tanultakat.

Ellenőrizze tudását a következő feladatok segítségével! 6. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 72. b) feladatát! 6. megoldás A megoldást leírjuk a lecke végén. 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 73. feladatát! 7. megoldás A megoldás ellenőrizhető a példatár 115. oldalán.

Önellenőrzésre alkalmas példatári feladatok még: 74., 75. a), 76. a) A következőkben olvassa el a tankönyvben a Varianciaanalízis című részt a 112-118. oldalakon! Segítséget jelenthet, ha feleleveníti a Statisztika I. tankönyv a Sztochasztikus kapcsolatok című fejezetében a vegyes kapcsolatról tanultakat. 8. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 81. feladatát!

27

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

8. megoldás A megoldást a lecke végén ellenőrizheti. 9. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 86. feladatát, azzal a kiegészítéssel, hogy a részeredmények alapján töltse ki a varianciaanalízis–táblát! 9. megoldás A megoldást a lecke végén olvasható. 10. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 89. c) feladatát! 10. megoldás Munkáját a lecke végén vesse össze az ott leírtakkal.

További önellenőrzésre alkalmas feladatok a példatárban: 82. b), 83., 85.

Befejezés A következő leckében a beküldendő feladatokat találja meg. Javasoljuk, hogy a gondosság és pontosság mellett törekedjen a gyorsaságra is, hiszen a vizsgán meghatározott idő alatt kell jól elkészítenie a feladatokat!

28

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megoldások 2. megoldás A táblázat kiegészítése: Élekor

Létszám,

(év)

fő (ni)

zif =

xif − x s

(ni − ν i∗ ) 2

Φ(zif) = Pi’

Pi

νi* = nPi

ν i∗

– 20

20

- 1,50

0,0668

0,0668

17

0,5294

21 – 30

30

- 0,67

0,2515

0,1847

46

5,5652

31 – 40

90

0,17

0,5674

0,3159

79

1,5317

41 – 50

75

1,00

0,8413

0,2739

68

0,7206

51 – 60

30

1,83

0,9664

0,1251

31

0,0323

61 –

5

∞

1,0000

0,0336

9

1,7778

-

-

1,0000

250

10,157

Összesen

250 (n)

x1 f − x

20 − 38 = −1,5 12 s x 2 f − x 30 − 38 z2 f = = = −0,67 s 12 z1 f =

=

Megjegyzés: A z1f kiszámításakor a számlálóban az intervallum felső határa szerepel, ugyanígy a z2f esetében is! Csupán a véletlennek „köszönhető”, hogy ezek a számadatok mindkét kategóriában megegyeznek a létszám adatokkal is. Φ(z1f) kikeresése: ha z =1,50 → Φ(z) a táblázatban 0,9332, de „z” negatív, így Φ(z1f) =10,9332 = 0,0668 Φ(z2f) = 0,5674-0,3159=0,2515 (vagy a „z” táblázat alapján, az előző módon) szabadságfok: k-b-1=6-2-1=3 χ20,95 (3)=7,81 6. megoldás Megnevezés

nij

n*ij

Férfi Felsőfokú

20

20

40

46,7

40

33,3

10

10,0

30

23,3

10

16,7

Középfokú Alapfokú Nő

Felsőfokú Középfokú Alapfokú

Összesen

150 150,0

29

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Pl. n*12 = (70×100) : 150 = 46,7 Emlékeztetőül: A Statisztika I. keretében, az asszociációs kapcsolatoknál tanultuk a számítását, akkor a független elemet f*ij-vel jelöltük!

H 0 : Pij = Pi • ⋅ P• j ( A két ismérv független egymástól , nincs kapcsolat...) H1 : Pij ≠ Pi • ⋅ P• j ( A két ismérv nem független egymástól , van kapcsolat...)

A példatári megoldás, sajnos, nem helyes, lássuk a pontos eredményt! * 2 ( − n n ij ij ) χ2 = ∑∑ = 6 ,924 0

n*ij

Szabadságfok: (s-1)(t-1) = (2-1)(3-1) = 2 α = 0,05 Elfogadási tartomány: [0 ; 5,99] Válasz: 5%-os szignifikancia-szinten a függetlenségre vonatkozó nullhipotézist elvetjük, a minta alapján nem állíthatjuk, hogy a nemhez való tartozás és az iskolai végzettség között nincs kapcsolat. 8. megoldás H0: Nem szignifikáns a kapcsolat a település típusa és az élvezeti cikkekre fordított kiadás között (Nincs kapcsolat…) H1: Szignifikáns a kapcsolat a település típusa és az élvezeti cikkekre fordított kiadás között (Van kapcsolat…) n = 70 x = 21,7 SK = 14(23,4-21,7)2 + 30(21,0-21,7)2 + 26(21,6-21,7)2 = 55,42 SB =13×3,62 + 29×3,22 + 25×3,42 = 755,44 szf1=3-1=2

szf2=70-3=67

55,42 2 F0 = = 2,46 754,44 67

F672 ( 0,95) = 3,18 Elfogadási tartomány: [0 ; 3,18]

H0-t elfogadjuk, 5%-os szignifikancia-szinten nem szignifikáns a kapcsolat a település típusa és az élvezeti cikkekre fordított kiadás között. (Sajnos, a példatári válaszból kimaradt a „nem” szó!) 9. megoldás H0: Nem szignifikáns a kapcsolat az üdülési körzet típusa és a szállásdíj között. (Nincs kapcsolat…) H1: Szignifikáns a kapcsolat az üdülési körzet típusa és a szállásdíj között. (Van kapcsolat…) n = 30 s = 0,5 (adott volt!)

x = 3,4

SK = 10×(2,9-3,4)2 +…+10×(3,6-3,4)2 = 4,5 s2 = 0,25 =

S → S = 30×0,25 =7,5 30

S = SK+SB → SB = 7,5 - 4,5 = 3,0

30

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Varianciaanalízis-tábla:

Összetevő

Eltérés-négyzetösszeg

Szabadságfok

Becsült szórásnégyzet

Külső

SK = 4,5

3-1

4,5 2

Belső

SB = 3,0

30 - 3

3,0 27

Teljes

S = 7,5

30 - 1

---

4,5 F0 = 2 = 20,25 > F272 ( 0,95) = 3,35 3,0 27 H0-t elvetjük, 5%-os szignifikancia-szinten szignifikáns a kapcsolat az üdülőkörzet és a szállásdíj között. 10. megoldás H0: Nem szignifikáns a kapcsolat a háztartások taglétszáma és az 1 főre jutó jövedelem nagysága között. (Nincs kapcsolat…) H1: Szignifikáns a kapcsolat a háztartások taglétszáma és az 1 főre jutó jövedelem nagysága között. (Van kapcsolat…)

x = 452,9

SK = 2×(549-452,9)2 +…+8×(360-452,9)2 = 145 268,2 S (teljes eltérés-négyzetösszeg) = 434 300 → SB = 434 300 - 145 268,2 = 289031,8 F0 = 9,46

F945 ( 0,95) = 2,31 5%-os szignifikancia-szinten szignifikáns a kapcsolat a háztartások taglétszáma és az 1 főre jutó jövedelem nagysága között.

31

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

6. lecke Beküldendő feladatok I. A lecke feldolgozásához szükséges idő 4 óra, ebből a feladatok megoldása kb. 3 óra, a többi idő a megoldások letisztázásához szükséges.

Amennyiben azt tapasztalja, hogy 3 óra kevésnek bizonyul a megoldáshoz, akkor érdemes gyakorolnia hasonló feladatokat.

Bevezetés A következő feladatsor megoldásával ellenőrizheti az első öt leckében megtanultakat. A feladatsort igyekeztünk úgy összeállítani, hogy átfogják az eddig tanult tananyagot, és egyben segítsenek Önnek felkészülni az év végi számonkérésre. A feladatok típusa, nehézsége megfelel a vizsgakövetelményeknek. Javasoljuk a feladatok kinyomtatását. A feladatok megoldása során számológépet és Képletgyűjteményt használhat. Ha egy feladat megoldásakor elakad, folytassa egy másikkal, majd a végén térjen vissza a meg nem oldotthoz. Előfordulhat azért, hogy továbbra sem boldogul; ilyen esetben hívja segítségül a tankönyvet, a tantárgyi kalauz már megoldott önellenőrző feladatait. A lecke elvégzése után Ön képes lesz

• • • • • • • • •

átlagot, értékösszeget becsülni egyszerű véletlen mintából, meghatározni a minta elemszámát megváltozott feltételek esetén; arányt, gyakoriságot becsülni egyszerű véletlen mintából; átlagot, értékösszeget becsülni arányosan rétegzett mintából; átlagot, értékösszeget becsülni nem arányosan rétegzett mintából; meghatározni a mintában a rétegek elemszámát optimális rétegzés esetén; átlagra, arányra vonatkozó hipotézisvizsgálatot végezni; normális és egyenletes eloszlásra vonatkozó hipotézisvizsgálatot végezni; minőségi ismérvek közötti kapcsolat hipotézisvizsgálatára; minőségi és mennyiségi ismérvek közötti kapcsolat hipotézisvizsgálatára.

32

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Beküldendő feladatok (1)

1. Egy vállalkozás 1000 főt alkalmaz. Egyszerű véletlen mintavétellel vizsgálták a dolgozók megoszlását a havi nettó keresetek nagysága szerint: Kereset,

Létszám,

ezer Ft/hó

fő

– 70

23

71 – 100

36

101 – 150

18

151 – 250

10

250 –

3

Összesen

90

Feladat: a) Számítsa ki és értelmezze a standard hibát! (5) b) A minta alapján adjon konfidencia-intervallumot a dolgozók átlagos keresetére, 95%-os megbízhatósági szinten! (5) c) Becsülje meg a vállalkozás által kifizetett összes bér maximális összegét! (1) d) Becsülje meg a havi 150 ezer Ft-nál többet keresők arányát és minimális számát, 95%os megbízhatósággal! (5) e) Hány elemű mintát kell választani ahhoz, hogy változatlan megbízhatósági szinten az átlagbecslés pontosságát a kétszeresére növeljük? (3) (összesen 19 pont)

33

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Beküldendő feladatok (2-3)

2. Egy 5000 főt foglalkoztató vállalatnál 2002-ben a dolgozók állománycsoportja és havi nettó átlagkeresete közötti kapcsolatot vizsgálták, arányosan rétegzett minta alapján. A mintába került dolgozók adatai: Állománycsoport

Havi nettó kereset

Létszám, fő

átlaga,

szórása,

ezer Ft

ezer Ft

Szellemi

20

90

30

Fizikai

80

65

12

Együtt

100

…

…..

Feladat: a) A minta alapján adjon konfidencia-intervallumot a dolgozók átlagos keresetére, 95,5%os megbízhatósági szinten! (6) b) Számítsa ki, hogyan alakulna a rétegenkénti elemszám optimális rétegzés esetén? (3) c) Mennyi lenne ekkor (optimális rétegzés esetén) a standard hiba? (2) d) Vizsgálja meg, érdemes volt-e rétegezni a mintát! (4) (összesen 15 pont) 3. (Tankönyv 118. o. 2. feladata alapján.) Egy konzervgyárban a húskonzervek töltését automata gép végzi. A dobozok szabvány szerinti töltési tömege 450 gramm, szórása 10 gramm. A gyár egyik szállítmányából 30 darabból álló véletlen mintát vettek. A mintába került dobozok átlagos töltési tömege 448 gramm, a szórása 12 gramm. A dobozok töltési tömeg szerinti eloszlása normális. Feladat: Vizsgáljuk meg annak a hipotézisnek a helyességét, hogy a konzervek töltési tömege nem tér el a szabványtól (α =5%): a) a megengedett szórás felhasználásával, (6) b) a mintából becsült szórás felhasználásával! (5) (összesen 11 pont)

34

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


4. (Tankönyv 119. o. 4. feladata alapján.) Egy titkárnőképző hirdetésében azt állítják, hogy a végzettek legalább 90%-ának garantálják az elhelyezkedést. Az utolsó tanfolyamon 100-an végeztek, és közülük 84-nek sikerült elhelyezkedni. Feladat: Mondjunk véleményt a hirdetésről 5, illetve 1%-os szignifikancia-szinten! (összesen 8 pont) 5. Egy üzemben vizsgálták a dolgozók teljesítményét (%). Az eredményt – teljesítménykategóriák szerint – csoportosítva az alábbi táblázat tartalmazza: Teljesítmény Létszám zif

Ф(zif)

Pi

ν*

χi2

% -85,0

8

-2,21 0,0131 0,0131

85,1-95,0

16

-1,68 0,0465 0,0334

90,1-95,0

34

-1,16 0,1230 0,0765

95,1-105,0

46

-0,63 0,2643 0,1413

100,0-105,0

78

-0,11 0,4562 0,1919

105,1-115,0

82

0,42 0,6628 0,2066

110,1-115,0

64

0,95 0,8289 0,1661

115,1-125,0

56

1,47 0,9292 0,1003

102,1-125,0

13

2,0 0,9772 0,0480

125,1-

7

∞ 1,0000 0,0228

Összesen

400

-

- 1,0000

A megfigyelés eredményei: az átlagos teljesítmény 106%, a szórás 9,5%. Feladat: Ellenőrizzük azt a feltevést, hogy a dolgozók teljesítménye normális eloszlású! (α=5 %) (összesen 8 pont)

35

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


6. (Tankönyv 123.o. 14. feladata alapján) Egy piackutatás során különböző csomagolásban (A, B, C, D, E) mutattak be egy terméket. 300 vevő az alábbi megoszlásban választott: Csomagolás

Vevők száma

A

45

B

55

C

70

D

65

E

65

Összesen

300

Feladat: Ellenőrizze 5%-os szignifikancia-szinten, hogy egyenlő arányban választják-e az egyes csomagolási fajtákat! (összesen 6 pont) 7. Egy vállalatnál a dolgozók köréből (fő) származó 450 elemű véletlen mintáról az alábbi adatokat rögzítették: Iskolai végzettség

Állománycsoport

Összesen

szellemi

fizikai

Felsőfokú

48

2

50

Középfokú

120

200

320

Alapfokú

5

75

80

Összesen

173

277

450

A kapcsolatot jellemző mutató: C =

105,39 = 0 ,48 450( 2 − 1 )

Feladat: Vizsgálja meg, hogy a munkavállalók besorolása (állománycsoport) és az iskolai végzettség közötti kapcsolat szignifikánsnak tekinthető-e (α = 5%)? (összesen 5 pont)

36

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Beküldendő feladatok (8)

8. Egy 5000 főt foglalkoztató vállalatnál 2002-ben a dolgozók állománycsoportja és havi nettó átlagkeresete közötti kapcsolatot vizsgálták, arányosan rétegzett minta alapján. A mintába került dolgozók adatai: Állománycsoport

Havi nettó kereset

Létszám, fő

átlaga,

szórása,

ezer Ft

ezer Ft

Szellemi

20

90

30

Fizikai

80

65

12

Együtt

100

…

…..

Feladat: a) Állítsa össze a varianciaanalízis-táblát! (6) b) Vizsgálja meg, hogy a munkavállalók besorolása (állománycsoport) és havi nettó keresete közötti kapcsolat szignifikánsnak tekinthető-e (α = 5%)? (5) (összesen 11 pont)

Befejezés A megoldott feladatsort a tantárgy felvételekor meghatározott időpontra kell elküldenie tutorához, aki a feladatokat 1 héten belül kijavítja, és visszajelzést küld Önnek. Javasoljuk, hogy a hibás feladatokat újra oldja meg az értékelés segítségével. Ha ezek után is vannak kérdései, kérjen segítséget tutorától. Kérjük, hogy a megoldásokat jól olvashatóan letisztázva juttassa el tutorához. Természetesen, amennyiben Ön használja a számítógép egyenletszerkesztőjét, azzal is elkészítheti és elküldheti. A visszajelzésig se hagyja abba a tanulást, folytassa a következő leckével a munkát! A 7. leckében a mennyiségi ismérvek közötti sztochasztikus kapcsolatok vizsgálatával, a kétváltozós korrelációszámítással ismerkedünk meg. A közgazdasági elemző munkában kiemelkedő jelentősége van ennek a témakörnek. Továbbra is számítunk meglévő matematikai és statisztikai ismereteire!

37

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

7. lecke A korreláció elemzése csoportosított adatokból kiindulva. Kétváltozós korrelációszámítás Bevezetés Ebben a leckében a sztochasztikus kapcsolatok előző félévben megismert két fajtája (asszociációs és vegyes kapcsolat) után a harmadik, a korrelációs kapcsolat vizsgálatával, annak mutatószámaival, elemzési eszközeivel ismerkedünk meg. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 8 óra


• • •

•

kiszámítani és szövegesen értékelni: a korrelációs hányadost és a determinációs hányadost; felsorolni és értékelni a kétváltozós korrelációszámítás mutatószámait; kiszámítani és értékelni: a kovarianciát, a lineáris korrelációs együtthatót, a determinációs együtthatót; vizsgálni a sorrendi skálán mért tulajdonságok közötti összefüggést a rangkorrelációs együtthatóval.

A korreláció elemzése csoportosított adatokból kiindulva A lecke tanulásakor először az előző félévben használt Általános statisztika I. Tankönyv 3.4. A kombinációs táblák (a sztochasztikus kapcsolatok) elemzése fejezet 3.4.4. A korreláció elemzése csoportosított adatokból kiindulva pontjának feldolgozására és az ehhez kapcsolódó példatári példák (Általános statisztika példatár I.) megoldására lesz szükség. Javasoljuk, hogy ismeretei felfrissítésére olvassa el, ismételje át az Általános statisztika I. tankönyv 124-125. és 143-153. oldalán leírtakat, majd folytassa az e félévi új anyaggal a 154-160. oldalakon!

Ugye emlékszik? Súlyozott átlag számításakor súlyként a súlyok megoszlási viszonyszámai is használhatók!

38

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat! a) X b) Y

A) ha X nagyobb értékeihez általában nagyobb Y érték tartozik

c) korrelációs kapcsolat

B) az okozat szerepét betöltő mennyiségi ismérv

d) pozitív korreláció

C) független változó, tényező változó

e) negatív korreláció

D) két mennyiségi ismérv közötti kapcsolat E) az ok szerepét játszó mennyiségi ismérv F) függő változó, eredmény változó G) ha X nagyobb értékeihez általában kisebb Y érték tartozik


Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat. a) determinációs hányados b) korrelációs hányados

A) megmutatja, hogy milyen szoros a kapcsolat X és Y ismérvek között B) H2(Y|X) C) értéke 0 és 1 közé esik D) H(Y|X) E) megmutatja, hogy az X ismérv mekkora hányadát magyarázza meg az Y ismérv szórásnégyzetének


Oldja meg a példatár I. 154. feladatát! 3. megoldás A lecke végén.

További gyakorló feladatok: példatár I. 152. a-b), 153. A folytatásban a mennyiségi ismérvek közötti kapcsolatvizsgálat speciális eszközeivel ismerkedünk meg. Ebben a leckében először a korrelációszámítás eszközeiről tanulunk.

39

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Kétváltozós korrelációszámítás Az Általános statisztika I. tankönyvet és példatárat elteheti, a tanulást az Általános statisztika II. tankönyv és példatár tananyagával folytatjuk. Kérjük, olvassa el a tankönyv 124-137. oldalain található tananyagot és a példatár 49. oldalán a 97. c) feladatot, majd annak megoldását a 124. oldal alján!

Megjegyzés az olvasottakhoz: A kovariancia és a lineáris korrelációs együttható mutatószámait (és a következő leckékben tanulandó mutatószámokat is) többféleképpen ki lehet számítani. Ezért talál a Képletgyűjteményben is többféle képletet. Ha a feladat az eredeti adatokat (X, Y) adja meg, Önre van bízva, hogy melyikkel számol. A későbbiekben a számítások megkönnyítésére részeredményeket kap, akkor ezek felhasználásával kell (tud) számolni. Vannak olyan tudományos számológépek, melyek statisztikai üzemmódban regressziós függvények meghatározására is alkalmasak. Amennyiben Ön ilyennel dolgozik, a feladatmegoldások során felhasználhatja részeredményeit (és ellenőrizheti a végeredményeket), de a számítások kijelölése akkor is szükséges, nem elég a végeredmény közlése. 4. önellenőrző feladat

Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat. a) korrelációszámítás b) kovariancia c) lineáris korrelációs együttható d) determinációs együttható

A) nem dimenzió nélküli szám, nagysága függ a vizsgált ismérvek mértékegységétől, ezért csak a kapcsolat irányát mutatja, szorosságát nem B) a sztochasztikus kapcsolatok szorosságának mérésére szolgáló dimenzió nélküli mérőszám C) az átlagtól való eltérések szorzatának számtani átlaga D) célja a kapcsolat intenzitásának és irányának mérése E) a kapcsolat szorosságát és irányát is mutatja F) megmutatja, hogy hány %-ban magyarázza X változó Y változó szóródását

A következő három önellenőrző feladatban a tananyagrészhez tartozó számításokat gyakorolhatja, különböző módon megfogalmazott kérdések/feladatok alapján. Nem kérjük a teljes feladatmegoldást, mert vannak a még nem tanult részekre vonatkozó kérdések is. Ezeket a következő leckében fogjuk kérdezni, ezért számítson rá, hogy ezekhez a feladatokhoz még visszatérünk, a most kiszámított eredményeket esetleg „újrahasznosítjuk”.

40

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a példatár 97. a) és c) feladatát! 5. megoldás A példatár 124. oldalán. 6. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 98. d) feladatát! 6. megoldás A példatár 126. oldalán. 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 103. c) feladatát! 7. megoldás Eredmény a példatár 128. oldalán.

További gyakorló feladatok: példatár 99. c), 100. a), 101. c) első két gondolatjel; 102. c), 104. d) első két gondolatjel; 105. e), 106. b) 1-2.; 108. a), 109. d). Eddig arányskálán mért mennyiségi ismérvek közötti kapcsolat szorosságának mérésével foglalkoztunk. Előfordul azonban olyan, amikor csak sorrendi skálán mérhető tulajdonságok közötti kapcsolat szorosságát kell vizsgálnunk. Ismerkedjünk meg ennek a mutatószámával.

Rangkorreláció Kérjük, olvassa el a tankönyv 137-143. oldalain található tananyagot!


Igaz (I), vagy hamis (H)? Döntse el az alábbi állításokról! A rangkorrelációs együttható a) a sorrendi skálán mérhető tulajdonságok közötti összefüggések vizsgálatának eszköze; b) csak a kapcsolat szorosságát mutatja; c) csak a kapcsolat irányát mutatja; d) a kapcsolat szorosságát és irányát is mutatja; e) számításához rangkülönbségeket képezünk.

41

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A következő két önellenőrző feladat a rangkorrelációs együttható kiszámítását gyakoroltatja. 9. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 94. feladatát! 9. megoldás A példatár 123. oldalán. 10. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 96. feladatát! (Figyelem! Először rangsorokat kell készítenie a dobott és a kapott pontok alapján!) 10. megoldás A lecke végén, eredmény pedig a példatár 123. oldalán.

Javasolt további példatári gyakorló feladat: 95., 99. a).

Befejezés Ebben a leckében megtanulta a két mennyiségi sor adataiból a korrelációszámítás eszközeivel végezhető számításokat. A következő leckében folytatjuk a mennyiségi ismérvek közötti kapcsolatvizsgálat speciális eszközeivel való ismerkedést, a regressziószámítással.

42

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megoldások 1. megoldás: Helyes megoldás: a)-C) és E); b)-B) és F); c)-D); d)-A); e)-G). 2. megoldás: Helyes megoldás: a)-B), C) és E), b)-A), C) és D 3. megoldás A szöveges feladat adatai táblázatban: (nem kötelező, de segíti a megoldást)

Háztartások taglétszáma, fő

Az alapterület szórása,

Háztartások megoszlása, %

Lakások alapterülete, m2

1–2

35,0

50

4

3–5

50,0

57

4

5–

15,0

65

4

Együtt

100,0

…..

…

m2

X: háztartások taglétszáma Y: lakások alapterülete

Y = 0,35 ⋅ 50 + 0,5 ⋅ 57 + 0,15 ⋅ 65 = 55,75 m 2

σ K2 ( Y ) = 0,35 ⋅ (50 − 55,75)2 + 0,5 ⋅ (57 − 55,75)2 + 0 ,15 ⋅ (65 − 55,75)2 = 25,1875 σ B2 ( Y ) = 4 2 = 16

σ (2Y ) = 16 + 25,1875 = 41,1875 H (2Y | X ) =

σ K2 ( Y ) σ

2 (Y )

=

25,1875 = 0,6115 = 61,2% 41,1875

A háztartások taglétszáma 61,2%-ban magyarázza meg a lakások alapterületének szóródását (a többi (38,8%) egyéb nem vizsgált tényező hatása).

H ( Y | X ) = 0,6115 = 0,782 A háztartások taglétszáma és a lakások alapterülete között közepesnél erősebb kapcsolat van. 4. megoldás: Helyes megoldás: a)-D), b)-A) és C), c)-B) és E), d)-F). 8. megoldás: Helyes megoldás: a)-I, b)-H, c)-H, d)-I, e)-I 10. megoldás A dobott pontok száma áll szorosabb kapcsolatban a helyezési sorrenddel, mert ekkor nagyobb a rangkorrelációs együttható értéke.

43

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

8. lecke Kétváltozós regresszió: lineáris regresszió Bevezetés Ebben a leckében folytatjuk a mennyiségi ismérvek közötti kapcsolatvizsgálat speciális eszközeivel való ismerkedést. A regressziószámítás az ismérvek közötti összefüggések matematikai függvényekkel való leírásával foglalkozik. Ebben a leckében a lineáris összefüggés vizsgálati eszközeinek a megtanulása lesz a feladat. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 12 óra


• • • • • • •

definiálni a regressziószámítás legfontosabb fogalmait; kiszámítani és értékelni a lineáris regresszió-függvény paramétereit; felírni a lineáris függvényt; meghatározni és értékelni a rugalmasságot egy megadott pontban; kiszámítani és értékelni a függvény paramétereit a változók felcserélése esetén; adott szignifikancia-szinten tesztelni: a regressziós együtthatót, a regresszió-függvényt; megbecsülni egy adott x értékhez tartozó függvényértéket, illetve az adott függvényérték eléréséhez szükséges x érték nagyságát.

Kétváltozós regressziószámítás, lineáris regresszió Kérjük, olvassa el a tankönyv 143-165. oldalain található tananyagot!

Megjegyzés az olvasottakhoz: A tankönyv a korábban tanult matematikai ismereteire alapozva bemutatja, bizonyítja a regressziófüggvény paraméterei kiszámításának menetét. (Ez a későbbi tananyagrészeknél is így lesz.) Ezek ismeretét nem kérjük számon, elég a Képletgyűjteményben is feltüntetett egyszerűbb képletek (ld. tankönyv 161. o.) alkalmazása.

44

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat. a) regressziószámítás

A) regressziós együtthatónak nevezzük

b) pontdiagram

B) közgazdaságilag akkor értelmezhető, ha a magyarázóváltozó értelmezési tartománya az x=0 helyet tartalmazza

c) tapasztalati regressziófüggvény d) analitikus regressziófüggvény e) lineáris függvény b0 paramétere f) lineáris függvény b1 paramétere

C) az ismérvek közötti összefüggésekben rejlő tendenciák matematikai függvényekkel történő leírásával foglalkozik D) előjele megegyezik a lineáris korrelációs együttható előjelével E) a tényezőváltozó és a függőváltozó derékszögű koordináta-rendszerben való ábrázolásával kapjuk F) M([ξ–hξ(η)]2) és M([η–hη(ξ)]2) minimális G) a tényezőváltozó értékeihez (osztályközeihez) a függőváltozó Yi részátlagait rendeli H) megmutatja, hogy a magyarázóváltozó egy egységgel nagyobb értékéhez az eredményváltozó átlagosan mennyivel nagyobb vagy kisebb értéke tartozik.

A következő három önellenőrző feladatban a regressziófüggvény felírásához szükséges számításokat, a függvény paramétereinek értelmezését gyakorolhatja. Két feladattal már találkozott az előző leckében. 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 93. c), f), h) pontjait! 2. megoldás A példatár 122-123. oldalán. 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 97. b) pontját! 3. megoldás A példatár 124. oldalán.

45

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a példatár 98. a) és b) pontjait! (A kidolgozáshoz felhasználhatja a példatár Megoldások részében (125.o.) található táblázat számítási eredményeit!) 4. megoldás A példatár 125. oldalán és a lecke végén.

A változók felcserélhetősége. A rugalmassági együttható Kérjük, olvassa el a tankönyv 165-170. oldalain található tananyagot!

A következő három önellenőrző feladatban – a most elsajátított ismeretein kívül – fel kell használnia a már korábban tanultakat is. Erre egyrészt azok további gyakorlása miatt van szükség, másrészt azért, hogy lássa a komplex elemzés lehetőségét. A feladatok között ismét talál ismerőst! 5. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 100. feladatát! 5. megoldás A példatár 127. oldalán. 6. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 102. b), d), e), f) és g) pontjait! (ábrázolás nem kell) 6. megoldás A példatár 127-128. oldalain. 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 103. a) és d) pontjait! 7. megoldás A példatár 128. oldalán.

A regressziós becslés pontosságának mérése Kérjük, olvassa el a tankönyv 170-177. oldalain található tananyagot!

Megjegyzés az olvasottakhoz: Az olvasottak elméleti ismerete szükséges. A paraméterek (b0 és b1) standard hibáinak és a regressziós becslés abszolút hibájának kiszámítását nem kérjük a feladatokban, ha a

46

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

megoldáshoz szükséges, megadjuk. A paraméterek intervallumbecslését a Statisztikai becslések fejezet alapján tanultnak tekintjük.

A regressziófüggvény eredményeinek hipotézis-ellenőrzése Kérjük, olvassa el a tankönyv 180-190. oldalain található tananyagot!

Megjegyzés az olvasottakhoz: A regressziós együttható teszteléséhez megadjuk a paraméter standard hibáját. Ugyanazt az értéket többféle módon is jelölhetjük: SSR = ∑ ( ˆy i − y ) : 2

regresszióból származó eltérés-négyzetösszeg

SSE = ∑ e 2 = ∑ ( y i − ˆy i ) : reziduális négyzetösszeg (hibatényezőből származó) 2

SST = ∑ d y2 = ∑ ( y i − y ) : teljes eltérés-négyzetösszeg 2

SST = SSR + SSE Szabadságfok: (a tankönyv magyarázatának kiegészítése) SST esetén: n–1, mert mintából számítjuk SSR esetén: 1, mert a függvényben a magyarázóváltozók száma 1 SSE esetén: n–1–1 = n – 2, mert n–2 (SSE) + 1 (SSR) = n–1 (SST) (Ez az elv jelenik meg később, a többváltozós függvényeknél is!) A következő három önellenőrző feladatban a korábban már megoldott három feladat függvény illetve paramétere hipotézis-ellenőrzését kérjük. 8. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 97. d) pontját! 8. megoldás A példatár 125. oldalán. 9. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 98. c) pontját (a már megoldott 98. a) alapján), ha ismert, hogy a b1 paraméter standard hibája 1,75! 9. megoldás A példatár 125-126. oldalán.

47

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a példatár 103. f) pontját (a már megoldott 103. a) alapján), ha ismert, hogy a b1 paraméter standard hibája 0,0029! A megoldás további részéhez használja fel a 128. oldalon található részeredmények táblázat megfelelő adatait! 10. megoldás A példatár 129. oldalán.

A lecke utolsó önellenőrző feladatában egy lineáris kapcsolat komplex vizsgálatát kérjük. 11. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 119. feladatát, ha ismert, hogy a b1 paraméter standard hibája 0,003! 11. megoldás A példatár 136. oldalán.

További gyakorló feladatok a példatárban: 99., 101., 104-110., 117., 118., 120.

Befejezés Ezzel a lineáris kapcsolat vizsgálatának végére értünk. A következő leckében azt nézzük meg, milyen számításokat kell végeznünk, ha a mennyiségi ismérvek közötti kapcsolat nemlineáris.

Megoldások 1. megoldás: Helyes megoldás: a)-C); b)-E); c)-G); d)-F); e)-B); f)-A), D) és H). 4. megoldás b) b0: nem értelmezzük b1 = 12,5: 1 évvel hosszabb biztosítónál eltöltött idő esetén várhatóan 12,5 darabbal több a megkötött biztosítások száma.

48

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

9. lecke Kétváltozós regresszió: nemlineáris regresszió Bevezetés Ebben a leckében a nemlineáris kapcsolat elemzésével foglalkozunk: felírjuk az exponenciális és a hatványkitevős függvényt, értelmezzük a paramétereit, vizsgáljuk a rugalmasságot és a kapcsolat szorosságát mindkét függvény esetén. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 8 óra


• • • • • • • • • •

kiszámítani és értékelni az exponenciális regressziófüggvény paramétereit; felírni az exponenciális függvényt; meghatározni és értékelni a rugalmasságot egy megadott pontban exponenciális függvény esetén; kiszámítani és értékelni a korrelációs indexet exponenciális függvény esetén; kiszámítani és értékelni a hatványkitevős regresszió-függvény paramétereit; felírni a hatványkitevős függvényt kiszámítani és értékelni a korrelációs indexet hatványkitevős függvény esetén; adott szignifikancia-szinten tesztelni: a regressziós együtthatót, a regressziófüggvényt megbecsülni egy adott x értékhez tartozó függvényértéket, illetve az adott függvényérték eléréséhez szükséges x érték nagyságát; kiszámítani és értékelni a kapcsolat szorosságát nemlineáris regresszió esetén.

Nemlineáris regresszió. Hatványkitevős regressziófüggvény, rugalmasság. Kérjük, olvassa el a tankönyv 191. és 193-195. oldalain (az exponenciális függvényig) található tananyagot!

A következő két önellenőrző feladatban gyakorolhatja a hatványkitevős regressziófüggvény paramétereinek meghatározását, értelmezését, a függvény felírását, egy megadott x értékhez tartozó függvényérték kiszámítását.

49

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a példatár 115. a) feladatát! Figyelem! Használja a regressziószámítás ismert részeredményeit a megadott táblázatból! (Az utolsó két sor adataira nincs szükség, mert azok az általunk nem tanult parabolikus függvényhez, a feladat b) kérdéséhez kapcsolódnak.) 1. megoldás A helyes megoldást megtalálja a lecke végén. 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 113. b), c) és d) feladatát (ábrázolás nem kell)! (A megoldáshoz felhasználhatja a 134. oldalon lévő Munkatábla adatait!) 2. megoldás A példatár 134-135. oldalán.

Exponenciális regressziófüggvény Kérjük, olvassa el a tankönyv 195-197. oldalain található tananyagot!

A következő önellenőrző feladatban az exponenciális regressziófüggvény paramétereinek meghatározását, értelmezését, a függvény felírását, egy megadott x értékhez tartozó függvényérték kiszámítását gyakorolhatja. 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 111. b), c) és d) feladatait! (Ábrázolás nem kell.) (A megoldáshoz felhasználhatja a 132. oldalon lévő Munkatábla adatait!) 3. megoldás A példatár 132-133. oldalán.

Korrelációs index Nemlineáris kapcsolat esetén is vizsgálhatjuk a kapcsolat szorosságát, de nem a lineáris korrelációs együtthatóval, hanem a korrelációs indexszel (I). A következőkben ezzel ismerkedünk meg. Kérjük, olvassa el a példatár 111. e) feladatát és megoldását a példatár 133. oldalán!

50

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megjegyzés az olvasottakhoz: A korrelációs index (I) a nemlineáris kapcsolat szorosságán túl a függvény illeszkedésének jellemzésére is szolgál: minél közelebb van a korrelációs index értéke az 1-hez (minél szorosabb a kapcsolat), annál jobban illeszkedik a függvény a megadott adatokhoz. Lineáris függvény esetén I = |r|. Ha a megadott adatokhoz több függvény közül a legjobban illeszkedőt kell kiválasztani, akkor az illeszkedik legjobban, amelyiknek a korrelációs indexe a legközelebb van az 1-hez. Mivel ugyanazon adatsor esetén a korrelációs index nagysága a ∑e2 nagyságától függ, ezért dönthetünk az illeszkedésről ez alapján is: amelyik függvény esetén a ∑e2 értéke a legkisebb, az a függvény illeszkedik a legjobban. 4. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 113. e) feladatát, ha ismert, hogy ∑e2 = 43,75 és ∑dy2 = 1016,90! 4. megoldás A példatár 135. oldalán.

Rugalmassági együttható A következőkben vizsgáljuk a rugalmasságot az exponenciális kapcsolat esetén. A rugalmassági együttható – a lineáris kapcsolathoz hasonlóan – mindig egy konkrét pontban vizsgálandó. Számításának képletét megtalálja a Képletgyűjteményben. A mutatószám ugyanúgy értékelendő, mint a lineáris vagy hatványkitevős függvény esetében. 5. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 112. b), c) és d) feladatát + a következő e) pontot! e) Vizsgálja és értékelje a rugalmasságot az x = 400 ezer Ft pontban! (A megoldáshoz felhasználhatja a 133. oldalon lévő Részeredmények tábla adatait!) 5. megoldás A példatár 133. oldalán és a lecke végén.

A következő önellenőrző feladatban a tanult két nemlineáris függvény illeszkedését kell vizsgálni a megadott adatokhoz. 6. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 116. feladatát! Figyelem! A megadott számítási részeredmények táblázatban felcserélték az utolsó két sor eredményeit a nyomtatásban. A helyes adatok: a 6. sor értéke 0,6239, a 7. sor értéke 3134,99. 6. megoldás A példatár 135. oldalán.

51

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

További gyakorló feladatok a példatárban: 114., 121., 122., 123. Utolsó feladatként nézzünk egy összefoglaló feladatot a korreláció- és regressziószámítás témaköréből (7-9. lecke). 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a következő feladatot! Egy településen vizsgálták a lakások alapterülete (m2) és eladási ára (mFt) közötti kapcsolatot. (régebbi adatok) A 10 elemű minta adatai: Alapter.

Elad. ár

Számítási részeredmények:

35

1,1

39

1,3

átlagos alapterület 61,4 m2, átlagos eladási ár 3,49 mFt

48

1,8

∑dxdy =438,84

∑dx2 = 3626,4

54

2,4

∑lgx = 17,675

∑lgy = 4,543

55

2,3

∑ ( x − x ) ⋅ lg y − lg y = 51,8578

61

3,0

∑ lg x − lg x ⋅ lg y − lg y = 0,3660

67

3,5

∑ lg x − lg x = 0,1805

70

4,0

∑ei2 exponenciális függvény = 1,5424

85

6,5

∑ei2 hatvány függvény = 0,660

100

9,0

lin. függvény: sb1 = 0,01

(

∑dy2 = 55,889

)

(

)(

(

)

)

2

SSE = 2,7838

Feladat: a) Írja fel mindhárom tanult függvényt a megadott adatokra és értelmezze a b1 paramétereket! b) Számítsa ki és értékelje a rugalmasságot mindhárom függvény esetében az átlagpontban! c) Döntse el, hogy melyik függvény illeszkedik a legjobban a megadott adatokra! d) A legjobban illeszkedő függvény alapján becsülje meg, hogy egy 90 m2-es lakás várhatóan mennyibe kerül! e) Tesztelje a lineáris függvényt és a regressziós együtthatóját! (α = 5%) f) Lineáris kapcsolatot feltételezve számítsa ki és értékelje a determinációs együtthatót! 7. megoldás A helyes megoldást megtalálja a lecke végén.

52

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megjegyzés: A beküldendő feladatokban és a kollokviumon is adunk meg számítási részeredményeket, esetleg az egyszerűbb számításokat várjuk el (pl. x, y átlag).

Befejezés Ezzel a kétváltozós korrelációs kapcsolat vizsgálatának végére értünk. A következő leckében azt tanuljuk meg, hogyan vizsgálhatunk többváltozós lineáris kapcsolatot.

Megoldások 1. megoldás

0 ,0094 = 0 ,166666 ≈ 0 ,167 0 ,0564 lg b0 = 0,66976 − 0,1666666 ⋅ 2,37555 = 0,273835 → b0 = 1,8786 ≈ 1,88 b1 =

ŷ = 1,88·x0,167 b0: nem értelmezzük, nincs közgazdasági értelme b1 = 0,167: Ha a felhasznált vetőmag mennyisége 1%-kal nő, a termésátlag várhatóan 0,167%-kal nő. 5. megoldás b) b0: nem értelmezzük, nincs közgazdasági értelme b1 = 1,004: Ha az 1 főre jutó jövedelem 1 ezer Ft-tal nő, az 1 főre jutó könyvvásárlásra fordított kiadás várhatóan 1,004-szeresére, azaz 0,4%-kal nő. e) ε = 400 · ln1,004 = 1,6% A 400 ezer Ft-os 1 főre jutó jövedelem környezetében az 1 főre jutó nettó jövedelem 1%-os növekedése az 1 főre jutó könyvvásárlásra fordított kiadás 1,6%-os átlagos növekedésével jár. (A könyvvásárlásra fordított kiadás rugalmasan reagál a jövedelem változására.) 7. megoldás a) lineáris függvény:

b1 =

438,84 = 0 ,121 3626 ,4

b0 = 3,49–0,121·61,4 = – 3,94

ŷ = –3,94 + 0,121x

1 m2-rel nagyobb lakás eladási ára várhatóan 0,121 mFt-tal (121 ezer Ft-tal) magasabb. exponenciális függvény:

lg b1 =

51,8578 = 0 ,0143.. → b1 = 1,0335 3626 ,4 x

lg b0 = 0,4543–61,4·0,0143 = –0,4237 → b0 = 0,3769 ŷ = 0,3769·1,0335 1 m2-rel nagyobb lakás eladási ára várhatóan 3,35%-kal nagyobb. hatvány függvény:

b1 =

0 ,366 = 2 ,0277 0 ,1805

ŷ = 0,00074·x2,0277 lg b0 = 0,4543–2,0277·1,7675 = –3,12966 → b0 = 0,00074 Ha a lakás alapterülete 1%-kal nagyobb, az eladási ára várhatóan 2,0277%-kal nagyobb. Ez egyben a rugalmasság mutatószáma is! (b) pont)

53

Szolnoki Főiskola


b) ε lin . = 0 ,121 ⋅

Távoktatás

61,4 = 2 ,129% 3,49

Az átlagos alapterület környezetében az alapterület 1%-os növekedése az eladási ár 2,129%os növekedését okozza. εexp. = 61,4·ln1,0335 = 2,023% Az átlagos alapterület környezetében az alapterület 1%-os növekedése az eladási ár 2,023%os növekedését okozza. c) ∑e2hatv. = 0,66 < ∑e2exp. = 1,5424 < ∑e2lin. = 2,7838 → A hatvány függvény illeszkedik a legjobban a megadott adatokhoz. vagy: Ilin. = |r|

r=

438,84 3626 ,4 ⋅ 55,889

I hatv . = 1 −

= 0 ,975 < I exp . = 1 −

1,5424 = 0,986 < 55,889

0,66 = 0,994 55,889

A hatvány függvény illeszkedik a legjobban a megadott adatokhoz. d) ŷ = 0,00074·902,0277 = 6,8 mFt A hatvány függvény alapján egy 90 m2-es lakás eladási ára várhatóan 6,8 mFt. e) A függvény tesztelése: H0: β1 = 0 (a regressziósfüggvény nem szignifikáns) H1: β1 ≠ 0 (a regressziósfüggvény szignifikáns) F18(0,95) = 5,32 [0; 5,32] SSR = 55,889 – 2,7838 = 53,1052

53,1052 1 F0 = = 152 ,62 > 5,32 H0-t elvetjük 2 ,7838 8 5%-os szignifikancia szinten a lineáris regressziósfüggvény szignifikáns. A regressziós együttható (b1 paraméter) tesztelése: H0: β1 = 0 (a regressziós együttható nem szignifikáns) H1: β1 ≠ 0 (a regressziós együttható szignifikáns) [–2,31; 2,31] t80,975 = 2,31

t0 =

0 ,121 = 12 ,1 >| 2 ,31 | H0-t elvetjük 0 ,01

5%-os szignifikancia szinten a regressziós együttható szignifikáns, azaz az alapterület és az eladási ár között szignifikáns kapcsolat van. f) D = r2 = 0,9752 = 0,9506 = 95,1% A lakások alapterülete 95,1%-ban magyarázza az eladási ár szóródását.

54

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

10. lecke Többváltozós regressziószámítás Bevezetés Ebben a leckében a többváltozós lineáris kapcsolat regressziószámítással történő vizsgálatáról tanulunk. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 8 óra


• • •

szövegesen értékelni egy megadott többváltozós lineáris regressziófüggvény paramétereit; ellenőrizni adott szignifikanciaszinten: a többváltozós regressziófüggvény helyességét, illetve paramétereinek helyességét; kezelni a minőségi ismérvet a többváltozós regressziós modellben.

A lineáris regressziófüggvény meghatározása. A regressziófüggvény eredményeinek ellenőrzése Kérjük, olvassa el a Tankönyv 203. oldalán, a 204-215. oldalain a 10.1.1., a 219-224. oldalain a 10.1.4. és 10.1.5. fejezetek tananyagát!

Megjegyzés az olvasottakhoz: A többváltozós lineáris függvény paramétereinek kiszámítását nem kérjük számon, csak a megadott paraméterek alapján a függvény felírását, valamint a paraméterek értelmezését (tankönyv 210-211. oldal). A multikollinearitás tényének ismerete szükséges, de nem kérjük a hozzá kapcsolódó számításokat (tankönyv 231-235. oldal). Figyelem! Nyomdahiba a tankönyv 224. oldalán: az R2 számításánál a nevező helyesen 2006 (nem 87).

55

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat a) parciális regressziós együttható b) parciális rugalmassági együttható

A) a magyarázóváltozók (tényezőváltozók) száma

c) n

B) b1, b2, … bm

d) m

C) a vizsgált tényezőváltozó (magyarázóváltozó) és az eredményváltozó között a vizsgált szignifikancia-szinten valós kapcsolat van

e) H1: βi ≠ 0 f) H0: β1 = β2 = … = βm = 0 g) szf1 h) szf2

D) megmutatja, hogy egy adott tényezőváltozó 1%-os változása milyen változást eredményez yban a többi tényezőváltozó változatlan színvonala mellett E) n–m–1 F) m G) a minta elemszáma H) adott szignifikancia-szinten nem áll fenn a lineáris regresszió I) megmutatja, hogy ha adott magyarázóváltozó értéke egy egységgel nő – miközben a többi magyarázóváltozó értéke változatlan –, hogyan változik az eredményváltozó becsült értéke J) ε ( y ,x j )

A következő öt önellenőrző feladatban a függvény paramétereinek értelmezését, a függvény, illetve a regressziós együtthatók tesztelését, valamint a függvényérték kiszámítását gyakorolhatja különbözőképpen megadott adatok alapján. 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a tankönyv 239. oldal 2. a) pontból a függvény paramétereinek értelmezését, valamint a d) feladatát, ha n=200! 2. megoldás A lecke végén. 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a tankönyv 240. oldal 3. b) feladatát! 3. megoldás A lecke végén.

56

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a tankönyv 240. oldal 4. a), b) és d) feladatait! 4. megoldás A lecke végén. 5. önellenőrző feladat

Oldja meg a tankönyv 241. oldal 5. feladatát, valamint értelmezze a regressziós együtthatókat! 5. megoldás A lecke végén. 6. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 127. a) feladatát! 6. megoldás A lecke végén.

További példatári gyakorló feladat: 126. a) és 129.

A minőségi ismérvek kezelése a regressziós modellben Kérjük, olvassa el a tankönyv 235-238. oldalain található anyagrészt!


Oldja meg a következő feladatot! Egy kereskedelmi vállalat üzletkötői adott évi prémiumának (Ft) alakulását vizsgálva az alábbi hatótényezőket találták: X1: éves bér, Ft X2: üzletkötések száma, X3: az üzletkötő neme (0:nő, 1:férfi) A 36 elemű minta alapján a kapcsolatot leíró lineáris regressziófüggvény: ŷ = 7801+0,19x1+3491x2–13511x3 Feladat: a) Értelmezze a parciális regressziós együtthatókat! b) Tesztelje a b3 regressziós együtthatót 5%-os szignifikanciaszinten, ha ismert, hogy sb3= 1911! 7. megoldás A lecke végén. 57

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a következő feladatot! Az alábbi többváltozós regressziós modell az élelmiszerkiadás (Y, Ft) vizsgálatára készült. 100 elemű minta alapján: ŷ = 200 + 0,3x1 + 3000x2 + 2000x3 x1: jövedelem (Ft) x2: családnagyság (fő) x3: lakóhely (0: község, 1: város) Feladat: a) Értelmezze a parciális regressziós együtthatókat! b) Határozza meg a modell alapján, hogy egy 4 tagú városi család 35 ezer Ft-os élelmiszerszükségletét milyen minimális jövedelem mellett érheti el! 8. megoldás A lecke végén.

Befejezés A többváltozós regressziószámításról tanultak végére értünk. A következő leckében a többváltozós korrelációszámítás mutatószámaival ismerkedünk meg.

58

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megoldások 1. megoldás: Helyes megoldás: a)-B) és I), b)-D) és J), c)-G), d)-A), e)-C), f)-H), g)-F), h)-E). 2. megoldás a) b0 = –1219: nincs közgazdasági értelme, nem értelmezzük. b1 = 0,23: 1 ezer fővel több aktív kereső esetén várhatóan 0,23 ezer fővel több az ingázók száma, változatlan városi lakónépesség arányt feltételezve. b2 = 24,4: 1%-kal magasabb városi lakónépesség arány esetén várhatóan 24,4 ezer fővel több az ingázók száma, változatlan aktív keresők számát feltételezve. d) H0: β1 = 0 és H1: β1 ≠ 0 t 0197 Elfogadási tartomány: [–1,96; 1,96]. H0: β2 = 0 és H1: β2 ≠ 0 ,975 = 1,96

t0 =

0 ,23 24 ,4 = 5,75 > 1,96 : H0-t elutasítjuk t 0 = = 14 ,61 > 1,96 : H0-t elutasítjuk. 0 ,04 1,67

5%-os szignifikancia-szinten a b1 és a b2 parciális regressziós együttható szignifikáns, azaz az ingázók száma és az aktív keresők száma, illetve az ingázók száma és a városi lakónépesség aránya között szignifikáns kapcsolat van. 3. megoldás b) Varianciaanalízis-tábla: Szórásnégyzet forrása

Eltérés négyzetösszeg

Regresszió

36900

Hibatényező Teljes

Szabadság-fok

Átlagos négyzetösszeg

F0

Fkritikus

2

18450

33,73

3,59

9300

17

547,06

46200

19

H0: β1 = β2 = 0 (a függvény nem szignifikáns). H1: van βk ≠ 0 (a függvény szignifikáns). F172 (0 ,95 ) = 3,59 Elfogadási tartomány: [0; 3,59].

36900 F0 = 2 = 33,73 > 3,59 : H0-t elutasítjuk (vagy a táblázatból: F0=33,73 > 3,59). 9300 17 5%-os szignifikancia-szinten a függvény elfogadható (szignifikáns), azaz a nettó árbevétel és a létszám együttesen szignifikáns kapcsolatban vannak a vállalati eredménnyel.

59

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

4. megoldás a) b0: nem értelmezzük. b1 = 3,95: 1 évvel idősebb gépkocsi éves üzemeltetési költsége várhatóan 3,95 ezer Ft-tal magasabb, változatlan éves kilométerteljesítmény esetén. b2 = 10,1: évi 1 ezer kilométerrel többet teljesítő gépkocsi éves üzemeltetési költsége várhatóan 10,1 ezer Ft-tal magasabb, változatlan életkor esetén. b) H0: β1 = β2 = 0 (a függvény nem szignifikáns). H1: van βk ≠ 0 (a függvény szignifikáns). F372 (0 ,95 ) = 3,23 Elfogadási tartomány: [0; 3,23].

17495 F0 = 2 = 235,05 > 3,23 : H0-t elutasítjuk. 1377 37 5%-os szignifikancia-szinten a függvény elfogadható (szignifikáns), azaz a gépkocsi életkora és az éves kilométerteljesítménye együttesen szignifikáns kapcsolatban vannak az éves üzemeltetési költséggel. d) ŷ = 42,5+3,95·6+10,1·15 = 217,7 ezer Ft/év. 5. megoldás b1 = 0,55: 1 cm-rel magasabb nő várhatóan 0,55 kg-mal nehezebb, változatlan életkor esetén. b2 = 0,27: 1 évvel idősebb nő várhatóan 0,27 kg-mal nehezebb, változatlan magasság esetén. H0: β1 = β2 = 0 (a függvény nem szignifikáns). H1: van βk ≠ 0 (a függvény szignifikáns). F472 (0 ,95 ) = 3,18 Elfogadási tartomány: [0; 3,18].

21251 F0 = 2 = 88,40 > 3,18 : H0-t elutasítjuk. 5649 47 5%-os szignifikancia-szinten a függvény elfogadható (szignifikáns), azaz a nők testmagassága és életkora együttesen szignifikáns kapcsolatban vannak a testsúllyal. 6. megoldás b0: nem értelmezzük b1 = 0,132: 1 millió Ft-tal nagyobb forgalom esetén 0,132 millió Ft-tal több nyereség várható, változatlan forgalomtól függő foglalkoztatottak száma esetén. b2 = –0,018: 1 fővel több forgalomtól függő foglalkoztatott alkalmazásakor várhatóan 0,018 millió Ft-tal csökken a nyereség, változatlan forgalom esetén.

60

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

7. megoldás a) b1 = 0,19: 1 Ft-tal több éves bér várhatóan 0,19 Ft-tal növeli az éves prémiumot, változatlan üzletkötés szám és azonos nem mellett. b2 = 3491: Eggyel több üzletkötés várhatóan 3491 Ft-tal növeli az éves prémiumot, változatlan éves bér és azonos nem mellett. b3 = –13511: A férfiak évi prémiuma a nőkéhez képest várhatóan 13511 Ft-tal kevesebb, változatlan (azonos) éves bér és változatlan (azonos) üzletkötés szám mellett. b) H0: β3 = 0 és H1: β3 ≠ 0 t 032,975 = 2 ,04 Elfogadási tartomány: [–2,04; 2,04].

t0 =

− 13511 = −7 ,04 < −2 ,04 : H0-t elutasítjuk (vagy: |t0| = 7,04 > 2,04). 1911

5%-os szignifikancia-szinten a b3 parciális regressziós együttható szignifikáns, azaz az üzletkötő neme és az évi prémiuma között szignifikáns kapcsolat van. 8. megoldás a) b1 = 0,3: 1 Ft-tal magasabb jövedelem esetén várhatóan 0,3 Ft-tal több az élelmiszerkiadás, változatlan családnagyságot és változatlan (azonos) lakóhelyet feltételezve. b2 = 3000: 1 fővel nagyobb családban várhatóan 3000 Ft-tal több az élelmiszerkiadás, változatlan jövedelmet és változatlan (azonos) lakóhelyet feltételezve. b3 = 2000: Városi családban a községihez képest várhatóan 2000 Ft-tal több az élelmiszerkiadás, változatlan jövedelmet és változatlan családnagyságot feltételezve. b) 35000 = 200+0,3·x1+3000·4+2000·1 x1 = 69333 Ft

61

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

11. lecke Többváltozós korrelációszámítás Bevezetés Ebben a leckében a többváltozós korrelációszámítás mutatószámaival, azok szöveges értékelésével ismerkedünk meg. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 8 óra


• • •

felírni a korrelációs mátrixot; a korrelációs mátrix alapján felírni a páronkénti korrelációs együtthatókat; kiszámítani és szövegesen értékelni a többváltozós korrelációs kapcsolat vizsgálatának mutatószámait: a parciális korrelációs együtthatót, a többszörös korrelációs együtthatót és a többszörös determinációs együtthatót.

Kérjük, olvassa el a tankönyv 224-231. oldalain található anyagot!

62

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat. a) páronkénti (totális) korrelációs együttható

A) szimmetrikus, a fődiagonálisban szereplő minden érték 1

b) parciális korrelációs együttható

B) a fődiagonális elemei a változók szórásnégyzetei

c) R korrelációs mátrix

C) megmutatja, hogy milyen szoros a kapcsolat az eredményváltozó és a modellbe bevont tényezőváltozók összessége között

d) variancia-kovariancia mátrix e) többszörös korrelációs együttható f) többszörös determinációs együttható

D) például: ry1 E) a fődiagonálison kívüli elemei két-két változó közötti kovariancia értékei F) csak két-két változó közötti kapcsolat szorosságát mutatja, számítása mint a lineáris korrelációs együttható G) tartalmazza a páronkénti korrelációs együtthatókat H) például: ry2•1 I) megmutatja, hogy a függőváltozó teljes szórásnégyzetéből mekkora a tényezőváltozókkal megmagyarázható hányad J) két-két változó közötti kapcsolat szorosságát mutatja úgy, hogy a többi változótól nem tekintünk el, de hatásukat kiküszöböljük (kiszűrjük) A következő öt önellenőrző feladatban a páronkénti, a parciális korrelációs együtthatók, a többszörös korrelációs és determinációs együttható kiszámítását és értékelését, a korrelációs mátrix felírását gyakorolhatja – különböző módon megadott adatok ismeretében. 2. önellenőrző feladat

Készítse el a tankönyv 239. oldal 2. feladata alapján! a) Írja fel a páronkénti korrelációs együtthatókat, majd oldja meg a b) és c) pontot! A b) pontot egészítse ki az értelmezésekkel! 2. megoldás A lecke végén.

63

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a példatár 126. b) és c) feladatait! 3. megoldás A példatár 144. oldalán és a lecke végén. 4. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 127. feladata alapján! a) A variancia-kovariancia mátrix alapján számítsa ki a páronkénti korrelációs együtthatókat, és írja fel a korrelációs mátrixot! b) Oldja meg a feladat b) kérdését! 4. megoldás A lecke végén. 5. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 128. a), b) feladatait! 5. megoldás A lecke végén. 6. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 130. b) és c) feladatait! 6. megoldás A példatár 145. oldalán és a lecke végén.

A következő két önellenőrző feladat összefoglaló feladat a többváltozós korreláció- és regressziószámítás témaköréből (10-11. lecke). 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a tankönyv 241. oldal 6. feladatát az alábbi javítások, kiegészítések figyelembevételével! A kukorica termésátlaga: tonna/hektár A regressziófüggvény helyesen: ŷ = 0,98 + 1,547x1 + 0,003x2 A regresszióból származó eltérés négyzetösszeg: 118,44 A korrelációs mátrixban a 0,9316 helyett a helyes érték 0,8316. α = 5% 7. megoldás A lecke végén.

64

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


A példatár 124. feladatában megadott adatok alapján elvégzett számítások részeredményei a következők: ŷ = 537,85 + 1,209x1 + 0,697x2 ry1 = 0,901

ry2 = 0,895

r12 = 0,940

sb1 = 0,678

SSE = 284424,6

SST = 1693615

Feladat: a) Értelmezze a regressziós együtthatókat! b) Írja fel a korrelációs mátrixot! c) Számítsa ki és értelmezze az ry2•1 parciális korrelációs együtthatót! d) Számítsa ki és értelmezze a többszörös korrelációs és determinációs együtthatót! e) Tesztelje a b1 paramétert! (α = 5%) f) Tesztelje a regressziófüggvényt! (α = 5%) 8. megoldás A lecke végén.

Befejezés Az önellenőrző feladatok megoldása és azok ellenőrzése alapján Ön felmérte, hogy mennyire sikerült elsajátítani a többváltozós korreláció- és regressziószámítás tananyagát. Ezzel egy újabb ellenőrzéshez érkeztünk: következik a második beküldendő feladatsor elkészítése. Jó munkát kívánunk!

65

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megoldások 1. megoldás: Helyes megoldás: a)-D) és F), b)-H) és J), c)-A) és G), d)-B) és E), e)-C), f)-I). 2. megoldás a) ry1 = 0,73

ry2 = 0,95

r12 = 0,56.

b)

R=

0 ,73 2 + 0 ,95 2 − 2 ⋅ 0 ,73 ⋅ 0 ,95 ⋅ 0 ,56 = 0 ,9596 = 0 ,98 1 − 0 ,56 2

Az ingázók száma, az aktív keresők száma és a városi lakónépesség aránya között szoros kapcsolat van. D= R2 = 0,9596 = 96,0% Az ingázók száma szórásnégyzetének 96%-át az aktív keresők száma és a városi lakónépesség aránya határozza meg. c)

0 ,73 − 0,95 ⋅ 0 ,56

ry1• 2 =

(1 − 0,95 ) ⋅ (1 − 0,56 ) 2

2

= 0,765

Az ingázók száma (y) és az aktív keresők száma (x1) között – kiszűrve (•) a városi lakónépesség arányának (x2) hatását – pozitív irányú közepesnél erősebb kapcsolat van. 3. megoldás b)

⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ R = ⎢0 ,742 1 ⎥ ⎢⎣0 ,917 0 ,656 1⎥⎦ c) D: A nyereség szórásnégyzetének 87,6%-át a nettó árbevétel és az EU-export magyarázza. ry1•2: A nyereség és a nettó árbevétel között – kiszűrve az EU-export hatását – közepes erősségű pozitív irányú kapcsolat van. 4. megoldás a)

r y1 =

C y1

σ x ⋅σ y 1

=

19 ,67 225 ⋅ 2 ,80

= 0 ,78

ry 2 =

C y2

σ x ⋅σ y 2

C12 87 ,40 r12 = = = 0,53 σ x1 ⋅ σ x2 225 ⋅ 121,6

66

=

14 ,91 121,6 ⋅ 2 ,80

⎡ 1,0 ⎤ ⎢ ⎥ R = ⎢0 ,78 1,0 ⎥ ⎢⎣ 0 ,81 0 ,53 1,0⎥⎦

= 0 ,81

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

b)

D = R2 =

0 ,78 2 + 0 ,812 − 2 ⋅ 0 ,78 ⋅ 0 ,81 ⋅ 0 ,53 = 0 ,8271 = 82 ,7% 1 − 0 ,53 2

A nyereség szórásnégyzetének 82,7%-át magyarázza a forgalom nagysága és a forgalomtól függő foglalkoztatottak száma. 5. megoldás a)

ry1• 2 =

0 ,80 − 0,56 ⋅ 0,32

(1 − 0,56 ) ⋅ (1 − 0,32 ) 2

2

= 0 ,791

A forgalom nagysága és az eladótér alapterülete között – kiszűrve az átlagkészlet nagyságának hatását – közepesnél erősebb pozitív irányú kapcsolat van.

ry 2•1 =

0,56 − 0,80 ⋅ 0,32

(1 − 0,8 ) ⋅ (1 − 0,32 ) 2

2

= 0,535

A forgalom és az átlagkészlet között – kiszűrve az eladótér alapterületének hatását – közepes erősségű pozitív irányú kapcsolat van.

r12• y =

0,32 − 0,80 ⋅ 0,56

(1 − 0,8 ) ⋅ (1 − 0,56 ) 2

2

= −0,257

Az eladótér alapterülete és az átlagkészlet nagysága között – kiszűrve a forgalom nagyságának hatását – gyenge negatív irányú kapcsolat van. b)

R=

0 ,8 2 + 0 ,56 2 − 2 ⋅ 0 ,8 ⋅ 0 ,56 ⋅ 0 ,32 = 0 ,7429 = 0 ,86 1 − 0 ,32 2

A forgalom, az eladótér alapterülete és az átlagkészlet között szoros kapcsolat van. D = R2 = 0,7429= 74,3% A forgalom szóródását 74,3%-ban határozza meg az eladótér alapterülete és az átlagkészlet. 6. megoldás b) ry2•1: A személygépkocsik ára és az eddig futott kilométere (futásteljesítménye) között – kiszűrve az életkoruk hatását – negatív irányú gyenge kapcsolat van. c) D: A személygépkocsik ára szórásnégyzetének 92,8%-át a gépkocsik életkora és az eddig futott kilométere (futásteljesítménye) magyarázza meg. 7. megoldás A paraméterek értelmezése: b0 = 0,98: Abban a mg-i szövetkezetben, ahol nem használnak műtrágyát és nem öntöznek, 0,98 t/ha termésátlag várható kukoricából. b1 = 1,547: A műtrágya-felhasználás 1 hatóanyag q/ha-ral való növekedése várhatóan 1,547 t/ha-ral növeli a termésátlagot, változatlan mennyiségű öntözővíz felhasználás esetén. b2 = 0,003: 1 m3/ha-ral több öntözővíz felhasználáskor várhatóan 0,003 t-val (azaz 3 kg-mal) nő a hektárankénti termésátlag, változatlan mennyiségű műtrágya-felhasználás mellett.

67

Szolnoki Főiskola


A regressziós együtthatók tesztelése: H0: β1 = 0 és H1: β1 ≠ 0 t 027,975 = 2 ,05 H0: β2 = 0 és H1: β2 ≠ 0

t0 =

Távoktatás

Elfogadási tartomány: [–2,05; 2,05]

1,547 0 ,003 = 8,89 > 2 ,05 : H0-t elutasítjuk t 0 = = 7 ,69 > 2 ,05 : H0-t elutasítjuk 0 ,174 0 ,00039

5%-os szignifikancia-szinten a b1 és a b2 parciális regressziós együttható szignifikáns, azaz a kukorica termésátlaga és a műtrágya-felhasználás, illetve a kukorica termésátlaga és a felhasznált öntözővíz mennyisége között szignifikáns kapcsolat van. A függvény tesztelése: H0: β1 = β2 = 0 (a függvény nem szignifikáns) H1: van βk ≠ 0 (a függvény szignifikáns)

F272 (0 ,95 ) = 3,35

Elfogadási tartomány: [0; 3,35]

118,44 F0 = 2 = 158,15 > 3,35 : H0-t elutasítjuk 10 ,11 27 5%-os szignifikancia-szinten a függvény elfogadható (szignifikáns), azaz a műtrágyafelhasználás és a felhasznált öntözővíz mennyisége együttesen szignifikáns kapcsolatban vannak a kukorica termésátlagával.

ry1• 2 =

0 ,8862 − 0 ,8316 ⋅ 0,6081

(1 − 0,8316 ) ⋅ (1 − 0,6081 ) 2

2

= 0,863

A kukorica termésátlaga és a műtrágya-felhasználás között – kiszűrve a felhasznált öntözővíz mennyiségének hatását – erős pozitív irányú kapcsolat van.

ry 2•1 =

0,8316 − 0,8862 ⋅ 0,6081

(1 − 0,8862 ) ⋅ (1 − 0,6081 ) 2

2

= 0,796

A kukorica termésátlaga és a felhasznált öntözővíz mennyisége között – kiszűrve műtrágyafelhasználás hatását – közepesnél erősebb pozitív irányú kapcsolat van.

r12• y =

0,6081 − 0,8862 ⋅ 0,8316

(1 − 0,8862 ) ⋅ (1 − 0,8316 ) 2

2

= −0,501

A műtrágya-felhasználás és a felhasznált öntözővíz mennyisége között – kiszűrve a termésátlag hatását – közepes erősségű negatív irányú kapcsolat van.

R=

0 ,8862 2 + 0 ,8316 2 − 2 ⋅ 0 ,8862 ⋅ 0 ,8316 ⋅ 0 ,6081 = 0 ,9212 = 0 ,96 1 − 0 ,60812

A termésátlag, a műtrágya-felhasználás és a felhasznált öntözővíz mennyisége között erős kapcsolat van. D = R2 = 0,9212 = 92,1% A termésátlag szórásnégyzetének 92,1%-át a műtrágya-felhasználás és a felhasznált öntözővíz mennyisége határozzák meg.

68

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

8. megoldás a) b1 = 1,209: 1 ezer Ft-tal magasabb egy főre jutó nemzetgazdasági beruházáskor várhatóan 1,209 ezer Ft-tal lesz magasabb az egy főre jutó GDP, változatlan (azonos) egy főre jutó külföldi befektetés mellett. b2 = 0,697: 1 ezer Ft-tal magasabb egy főre jutó külföldi befektetéskor várhatóan 0,697 ezer Ft-tal lesz magasabb az egy főre jutó GDP, változatlan (azonos) egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás mellett. b)

⎡ 1,0 ⎤ ⎢ ⎥ R = ⎢ 0 ,901 1,0 ⎥ ⎢⎣0 ,895 0 ,940 1,0⎥⎦ c)

ry 2•1 =

0 ,895 − 0,901 ⋅ 0,940

(1 − 0,901 ) ⋅ (1 − 0,94 ) 2

2

= 0 ,3247

Az egy főre jutó GDP és az egy főre jutó külföldi befektetés között – kiszűrve az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás hatását – közepesnél gyengébb pozitív irányú kapcsolat van. d)

R=

0 ,9012 + 0 ,895 2 − 2 ⋅ 0 ,901 ⋅ 0 ,985 ⋅ 0 ,94 = 0 ,8316 = 0 ,912 1 − 0 ,94 2

Az egy főre jutó GDP, az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás és az egy főre jutó külföldi befektetés között szoros kapcsolat van. D = R2 = 0,8316 = 83,2% Az egy főre jutó GDP szórásnégyzetének 83,2%-át az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás és az egy főre jutó külföldi befektetés magyarázzák meg. e) H0: β1 = 0 és

t0 =

H1: β1 ≠ 0

t 017,975 = 2,11

Elfogadási tartomány: [–2,11; 2,11]

1,209 = 1,78 < 2 ,11 : H0-t elfogadjuk 0 ,678

5%-os szignifikancia-szinten a b1 parciális regressziós együttható nem szignifikáns, azaz az egy főre jutó GDP és az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás között nincs szignifikáns kapcsolat. f) H0: β1 = β2 = 0 (a függvény nem szignifikáns) H1: van βk ≠ 0 (a függvény szignifikáns) F172 (0 ,95 ) = 3,59 Elfogadási tartomány: [0; 3,59]

1409190 ,4 2 F0 = = 42 ,11 > 3,59 : H0-t elutasítjuk 284424 ,6 17 5%-os szignifikancia-szinten a függvény elfogadható (szignifikáns), azaz az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás és az egy főre jutó külföldi befektetés együttesen szignifikáns kapcsolatban vannak az egy főre jutó GDP-vel.

69

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

12. lecke Beküldendő feladatok II. Bevezetés A következő feladatsor megoldásával ellenőrizheti a 7-11. leckében megtanultakat. A feladatsort igyekeztünk úgy összeállítani, hogy átfogja az eddig tanult tananyagot, és egyben segítsen Önnek felkészülnie az év végi számonkérésre. A feladatok típusa, nehézsége megfelel a vizsgakövetelményeknek. Javasoljuk a feladatok kinyomtatását. A feladatok megoldása során számológépet és Képletgyűjteményt használhat. Amennyiben egy feladat megoldásakor elakad, folytassa egy másikkal, majd a végén térjen vissza a meg nem oldotthoz. Előfordulhat azonban, hogy továbbra sem boldogul: ilyen esetben hívja segítségül a tankönyvet, a kalauz megoldott önellenőrző feladatait. A lecke feldolgozásához szükséges idő 4 óra, ebből a feladatok megoldása kb. 3 óra, a többi idő a megoldások letisztázásához szükséges.

Amennyiben 3 óra kevésnek bizonyul a feladatok megoldásához, akkor érdemes még gyakorolnia hasonló feladatokat. A lecke elvégzése után Ön képes lesz

• • • • • • • • • •

kiszámítani a rangkorrelációs együtthatót; kiszámítani és értékelni: a lineáris korrelációs és determinációs együtthatót, lineáris regressziófüggvény paramétereit; felírni és tesztelni a függvényt; kiszámítani és értékelni: a lineáris korrelációs és determinációs együtthatót, a lineáris regressziófüggvény paramétereit; felírni a függvényt, vizsgálni és értékelni a rugalmasságot, és tesztelni a függvény paramétereit; kiszámítani és értékelni az exponenciális regressziófüggvény paramétereit, felírni és tesztelni a függvényt, kiszámítani és értékelni a korrelációs indexet; kiszámítani és értékelni az exponenciális regressziófüggvény paramétereit, felírni a függvényt, vizsgálni és értékelni a rugalmasságot, és tesztelni a függvény paramétereit; kiszámítani és értékelni a hatvány regressziófüggvény paramétereit, felírni és tesztelni a függvényt; kiszámítani és értékelni a hatvány regressziófüggvény paramétereit, felírni a függvényt, tesztelni a függvény paramétereit, kiszámítani és értékelni a korrelációs indexet; szövegesen értékelni a többváltozós lineáris regressziófüggvény paramétereit – minőségi ismérv esetén is; tesztelni a többváltozós lineáris regressziófüggvényt és paramétereit; számítani és értékelni parciális korrelációs együtthatókat, többszörös korrelációs és determinációs együtthatót.

70

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Beküldendő feladat (1-2)

1. feladat 10 kereskedelmi vállalatot rangsoroltak a reklámkiadás összes kiadáshoz mért aránya (X) és a vagyonarányos nyeresége nagysága (Y) alapján. A rangsorok a következők: Vállalat

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Reklámkiadás rangsora

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Nyereség rangsora

1

2

3

4

6

5

7

10

8

9

Feladat: Számítsa ki és értelmezze a kapcsolat szorosságát jellemző mérőszámot! (4 pont) 2. feladat Egy taxi vállalkozásnál vizsgálták a megtett út (km) (X) és a menetidő (perc) (Y) közötti kapcsolatot. 10 véletlenszerűen kiválasztott fuvar adatai alapján végzett lineáris korreláció- és regresszió-számítás részeredményei: A 10 taxi által megtett távolság átlagosan 11,1 km, a menetidő pedig átlagosan 24,8 perc volt. ∑dxdy = 954,2

∑dx2 = 498,9 ∑dy2 = 1955,6 ∑e2 = 129,8

Feladat: a) Számítsa ki és értékelje a lineáris korrelációs és determinációs együtthatót! (5) b) Számítsa ki és értékelje a lineáris regresssziófüggvény paramétereit! (5) c) Írja fel a lineáris függvényt és vizsgálja meg, hogy a függvény szignifikáns kapcsolatot mutat-e! (α = 5%) (9) d) Becsülje meg egy olyan taxi menetidejét, mely 10 km-re szállítja utasát! (1) (összesen 20 pont)

71

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Beküldendő feladat (3)

3. feladat Egy áruházlánc 10 véletlenszerűen kiválasztott boltjában vizsgálták a reklámkiadás (eFt) (X) és az eladási forgalom (mFt) (Y) közötti lineáris kapcsolatot. Számítási részeredmények: A boltok átlagos reklámkiadása 200 ezer Ft, átlagos eladási forgalma 7 millió Ft. ∑dxdy = 5947 ∑dx2 = 151150 ∑dy2 = 238 ∑(y-ŷ)2 = 4,004 sb1 = 0,0018 Feladat: a) Számítsa ki és értékelje a lineáris korrelációs és determinációs együtthatót! (5) b) Számítsa ki és értékelje a lineáris regresssziófüggvény paramétereit! (5) c) Írja fel a lineáris függvényt és vizsgálja meg, hogy a b1 regressziós együttható szignifikáns-e! (α = 5%) (8) d) Számítsa ki és értelmezze az átlagpontban a rugalmassági együtthatót! (2) (összesen 20 pont)

72

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


4. feladat Egy hazai áruházlánc 10 kiemelt egységében vizsgálták a forgalom (mFt) (X) és az átlagkészlet (mFt) (Y) közötti kapcsolatot. Egység

Forgalom Átlagkészlet


1.

210

29

2.

220

30

∑ (x − x ) ⋅ lg y − lg y = 191,193

3.

250

33

∑dx2 = 186610

4.

320

35

∑dy2 = 2702,5

5.

380

39

∑lgy = 16,3285

6.

400

40

∑(y-ŷ)2 = 157,4425

7.

450

44

sb1 = 0,01027

8.

520

55

9.

580

72

10.

600

78

Össz.

3930

455

(

)

Feladat: a) Számítsa ki és értékelje az exponenciális regresssziófüggvény paramétereit! (6) b) Írja fel az exponenciális függvényt és vizsgálja meg, hogy a függvény szignifikáns kapcsolatot mutat-e! (α = 5%) (8) c) Becsülje meg, hogy egy 500 millió Ft forgalmat lebonyolító egységben mekkora átlagkészlet várható! (1) (összesen 15 pont)

73

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


5. feladat Adott típusú használt gépkocsik életkora (év) és eladási ára (eFt) közötti kapcsolatot vizsgálták. A 10 elemű minta adatai: Életkor

Elad. ár


0

1800

1

1800

átlagos életkor 5 év

2

1575

átlagos eladási ár 1200 eFt

3

1500

∑dx2 = 138

4

1200

∑dy2 = 1878750

5

1050

∑lgy = 30,456

5

975

∑(y-ŷ)2 = 84372,84

8

900

sb1 = 8,74

10

750

∑ (x − x ) ⋅ lg y − lg y = – 6,51014

12

450

(

)

Feladat: a) Számítsa ki és értékelje az exponenciális regresssziófüggvény paramétereit és írja fel a függvényt! (7) b) Vizsgálja meg és értékelje a kapcsolat szorosságát! (3) c) Számítsa ki és értelmezze a rugalmassági együtthatót az x = 6 év pontban! (2) (összesen 12 pont)

74

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


6. feladat 10 háztartásban vizsgálták az egy főre jutó jövedelem (eFt) (X) és a szórakozásra, művelődésre fordított összeg (eFt) (Y) közötti kapcsolatot. A 10 elemű minta adatai: Házt.

X

Y


1.

72

15

2.

96

32

∑ lg x − lg x ⋅ lg y − lg y = 0,2672

3.

120

35

∑ lg x − lg x = 0,1478

4.

130

45

∑lgx = 21,2484

5.

135

46

∑lgy = 16,809

6.

140

50

∑dx2 = 11913,6

7.

150

65

∑dy2 = 5445,6

8.

175

75

∑(y-ŷ)2 = 201,5

9.

180

80

sb1 = 0,046

10.

184

95

Össz.

1382

538

(

)(

(

)

)

2

Feladat: a) Számítsa ki és értékelje a hatvány regresssziófüggvény paramétereit és írja fel a függvényt! (6) b) Számítsa ki és értékelje a korrelációs indexet! (3) c) Becsülje meg, hogy egy 110 ezer Ft egy főre jutó jövedelmű háztartásban mekkora összeget költenek szórakozásra, művelődésre! (1) (összesen 10 pont)

75

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


7. feladat 10 településen vizsgálták a lakásméret (m2) (X) és az ár (mFt) (Y) közötti összefüggést. A 10 elemű minta adatai: Számítási részeredmények:

( )( ) ∑ (lg x − lg x ) = 0,7483

∑ lg x − lg x ⋅ lg y − lg y = 0,4927 2

∑lgx = 22,327 ∑lgy = 15,966 ∑dx2 = 270742,4 ∑dy2 = 3634,5 ∑(y-ŷ)2 = 304,2944 sb1 = 0,01185

x = 214,4 m2 y = 43,5 mFt Feladat: a) Számítsa ki a hatvány regresssziófüggvény paramétereit! (3) b) Írja fel a hatvány függvényt és vizsgálja meg, hogy a b1 regressziós együttható szignifikáns-e! (α = 5%) (8) c) Értékelje, hogyan reagál az ár a lakásméret változására! (1) (összesen 12 pont)

76

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Beküldendő feladat (8-9)

8. feladat 2003-ban vizsgálták 44 adott típusú személygépkocsi kínálati árára ható tényezőket. A vizsgálatba bevont változók: Y: kínálati ár, ezer Ft X1: életkor, év X2: motortérfogat, ezer cm3 X3: légkondicionálás: van: 1, nincs: 0 A lineáris regressziószámítás eredményei: SSE = 1062491

SST = 6775877

sb2 = 124,748

ŷ = 1956,43 – 187,242x1 + 419,9757x2 + 196,8751x3 Feladat: a) Értékelje szövegesen a regressziós együtthatókat! (6) b) Állítsa össze a varianciaanalízis-táblát és tesztelje a regressziófüggvényt! (α = 5%) (8) (összesen 14 pont) 9. feladat 10 multinacionális cég adatai alapján vizsgálták az alábbi változók közötti kapcsolatot. Y: eredmény (milliárd USD) X1: bevétel (milliárd USD) X2: foglalkoztatottak átlagos száma (ezer fő) ⎡ 1,0 A korrelációs mátrix: R = ⎢⎢0 ,909 1,0 ⎢⎣0 ,245 0 ,461

1,0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Feladat: a) Számítsa ki és értelmezze az ry1.2 és az ry2.1 parciális korrelációs együtthatókat! (8) b) Számítsa ki és értelmezze a többszörös korrelációs és determinációs együtthatót! (5) (összesen 13 pont)

77

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Befejezés A megoldott feladatsort a tantárgy felvételekor meghatározott időpontra kell elküldenie tutorához, aki a feladatokat egy héten belül kijavítja és visszajelzést küld Önnek. Javasoljuk, hogy a hibás feladatokat oldja meg újra az értékelés segítségével.Ha ezek után is vannak kérdései, kérjen segítséget tutorától. Kérjük, hogy a megoldásokat jól olvashatóan letisztázva juttassa el tutorához. Természetesen, ha Ön használja a számítógép egyenletszerkesztőjét, azzal leírva is elküldheti. A visszajelzésig se hagyja abba a tanulást, folytassa a következő leckével a munkát! A következő leckében visszatérünk a kétváltozós regressziószámításnál tanultakhoz, és megvizsgáljuk azt a speciális helyzetet, mikor a független változó az idő.

78

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

13. lecke Idősorok összetevőinek vizsgálata: trendszámítás Bevezetés Ebben a leckében tehát visszatérünk a kétváltozós regressziószámításnál tanultakhoz, és megvizsgáljuk azt a speciális helyzetet, mikor a független változó az idő. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 10 óra


• • • • •

a mozgóátlagolású trendszámítás elméleti ismeretére; a lineáris trendfüggvény paramétereinek kiszámítására és szöveges értékelésére, a függvény felírására Σt = 0 módszerrel páros és páratlan számú időszak esetén; a lineáris trendfüggvény paramétereinek kiszámítására és szöveges értékelésére, a függvény felírására t = 1,2,..,n módszerrel páros és páratlan számú időszak esetén; az exponenciális trendfüggvény paramétereinek kiszámítására és szöveges értékelésére, a függvény felírására Σt = 0 módszerrel páros és páratlan számú időszak esetén; az exponenciális trendfüggvény paramétereinek kiszámítására és szöveges értékelésére, a függvény felírására t = 1,2,..,n módszerrel páros és páratlan számú időszak esetén.

Az idősorok összetevői. Additív és multiplikatív komponensek. Kérjük, olvassa el a tankönyv 242-246. oldalain található tananyagot!

79

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat a) az idősorok összetevői

A) rendszeresen ismétlődő hullámzás

b) trend (alapirányzat)

B) az idősor adatai a komponensek összegeként adódnak

c) periodikus ingadozás d) véletlenszerű ingadozás

C) alapirányzat (trend), periodikus ingadozás, véletlen ingadozás

e) additív kapcsolat

D) egy perióduson belül az összegük 0

f) multiplikatív kapcsolat

E) az idősorban hosszabb időszakon át tartósan érvényesülő tendencia

g) szezonális eltérések h) szezonindexek

F) valószínűségi változó G) szezonális (idényszerű) hullámzás és gazdasági ciklusok H) az idősor adatait a komponensek szorzata alkotja I) egy perióduson belül a szorzatuk 1 J) az idősorok legfontosabb összetevője

Trendszámítás mozgóátlagolással Kérjük, olvassa el a tankönyv 246-251. oldalain található tananyagot! 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 131. b) feladatát! (Ábrázolás nem kell.) 2. megoldás A példatár 147. oldalán.

Analitikus trendszámítás. Lineáris trend. Kérjük, olvassa el a tankönyv 251-263. oldalain található anyagrészt!

80

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! a) analitikus trendszámítás

A) ŷ = b0 + b1·t

b) független változó

B) az alapirányzat értéke a t=0-val jelölt időegységben

c) lineáris trend

C) A vizsgált jelenség tartós irányzatát az idő függvényében valamilyen regresszió függvénnyel határozzuk meg.

d) lineáris trendfüggvény e) az időegységek „kódolása” f) b0 paraméter g) b1 paraméter

D) Időegységenkénti átlagos abszolút változás mértéke; Σt=0 módszer páros számú időegységekor a kétszerese fejezi ki ezt. E) Az időegységenként bekövetkezett változás abszolút értékben közel állandó. F) az idő, jele: t G) az időegységekhez „t” értéket rendelünk t=1,2,…,n vagy Σt=0 módon

A következő négy önellenőrző feladatban a lineáris trendfüggvény paramétereinek kétféle módszerrel való meghatározását, értelmezését gyakorolhatja. Ehhez elevenítse föl az előző félévben, az idősorok egyszerűbb elemzési eszközei között tanult, a fejlődés átlagos mértéke mutatószám számítását. 4. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 139. c) feladatát t=1,2,…,n és Σt=0 módszerrel, majd a d) és e) pontokat! 4. megoldás A példatár 156-157. oldalán. 5. önellenőrző feladat

Végezze el a példatár 140. a) feladatát t=1,2,…,n és Σt=0 módszerrel, majd a b) és c) pontokat! 5. megoldás A példatár 157-158. oldalán. 6. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 142. c) feladatát t=1,2,…,n módszerrel! 6. megoldás A példatár 160. oldalán.

81

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a példatár 145. a) és b) feladatából a lineáris függvényt Σt=0 módszerrel! 7. megoldás A példatár 164. oldalán és a lecke végén.

További példatári gyakorló feladat: 141., 143. c), 147. a) és b) (lin.függvény)

Exponenciális trend Kérjük, olvassa el a tankönyv 263-268. oldalain az exponenciális trendre vonatkozó részt!


Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! a) exponenciális trend b) exponenciális trendfüggvény c) b0 paraméter d) b1 paraméter e) ∑(yt–ŷt)2

A) időegységenkénti átlagos relatív változás mértéke; Σt=0 módszer páros számú időegységekor a négyzete fejezi ki ezt B) annak eldöntésére is alkalmas, hogy különböző típusú trendfüggvények közül melyik fejezi ki jobban az idősor alapirányzatát C) az időegységenkénti relatív változás közel állandó D) ŷ = b0·b1t E) az alapirányzat értéke a t=0-val jelölt időegységben

A következő két önellenőrző feladatban gyakorolhatja az exponenciális trendfüggvény paramétereinek kétféle módszerrel való meghatározását, értelmezését. Fel kell elevenítenie az előző félévben, az idősorok egyszerűbb elemzési eszközei között tanult, a fejlődés átlagos üteme mutatószám számítását. 9. önellenőrző feladat

Végezze el a példatár 144. b) feladatát t=1,2,…,n és Σt=0 módszerrel, majd oldja meg a c), f) és g) pontokat! 9. megoldás A példatár 162-163. oldalán. 10. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 145. a) és b) feladatából az exponenciális függvényt t=1,2,…,n és Σt=0 módszerrel, majd a c) pontot (a 7. önellenőrző feladat eredményeit felhasználva)!

82

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

10. megoldás A példatár 164. oldalán és a lecke végén.

További példatári gyakorló feladat: 146., 147. a) és b) (exponenciális függvény), 148.

Befejezés Ebben a leckében megtanulta az idősorok összetevői közül a trend meghatározásának módszereit. Gyakorolta a lineáris és az exponenciális trendfüggvény felírását kétféle módszerrel, a paramétereinek értelmezését. A következő és egyben utolsó leckében az idősorok összetevői másik két elemével, a szezonhatással és a véletlennel foglalkozunk.

Megoldások 1. megoldás: Helyes megoldás: a)-C), b)-E) és J), c)-A) és G), d)-F), e)-B), f)-H), g)-D), h)-I). 3. megoldás: Helyes megoldás: a)-C), b)-F), c)-E), d)-A), e)-G), f)-B), g)-D). 7. megoldás b) b0 = 228,91: 1995-ben 228,91 ezer Ft volt a községben a mozi bevétele a trend szerint. b1 = –6,27: 1990-2000 között évente átlagosan 6,27 ezer Ft-tal csökkent a községben a mozi bevétele. 8. megoldás Helyes megoldás: a)-C), b)-D), c)-E), d)-A), e)-B). 10. megoldás b) t=1,2,…,n módszerrel: b0 = 267,8: 1989-ben 267,8 ezer Ft volt a községben a mozi bevétele a trend szerint. b1 = 0,973: 1990-2000 között évente átlagosan 2,7%-kal csökkent a községben a mozi bevétele. Σt=0 módszerrel: b0 = 227,9: 1995-ben 227,9 ezer Ft volt a községben a mozi bevétele a trend szerint. b1 = 0,973: 1990-2000 között évente átlagosan 2,7%-kal csökkent a községben a mozi bevétele.

83

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

14. lecke Idősorok összetevőinek vizsgálata: a szezonhatás vizsgálata, a véletlenhatás kimutatása, előrejelzés készítése Bevezetés Ebben a leckében az idősorok összetevői másik két elemével, a szezonhatással és a véletlennel foglalkozunk, előrejelzést készítünk a trend és a szezonhatás alapján. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 10 óra


• • • •

a szezonhatás vizsgálatára és értékelésére, szezonális eltéréssel; a szezonhatás vizsgálatára és értékelésére, szezonindex alkalmazásával; előrejelzést adni a trend és a szezonhatás alapján; összetevőire bontani a tényleges adatokat.

Szezonális eltérések, szezonindexek számítása Kérjük, olvassa el a tankönyv 272-277. oldalain található anyagrészt!

84

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat a) egyedi szezonális eltérés

A) vizsgált időszakok száma

b) egyedi szezonindex

B) egy perióduson belüli szezonok száma

c) n

C) yij – ŷij

d) p

D) azt fejezi ki, hogy adott szezonban a szezonhatás miatt az idősor értéke átlagosan mennyivel magasabb vagy alacsonyabb a trend szerinti értéknél

e) m f) szezonális eltérés g) korrigálás

E) sj: adott szezon egyedi szezonindexeinek szorzatából a periódusok száma szerinti gyököt vonunk

h) szezonindex

F) periódusok száma G) sj: adott szezon egyedi szezonális eltéréseinek összegét osztjuk a periódusok számával H) akkor alkalmazzuk, ha a kiszámított (nyers) szezonális eltérések összege nem 0, illetve a (nyers) szezonindexek szorzata nem 1 I) yij ÷ ŷij J) azt fejezi ki, hogy adott szezonban a szezonhatás miatt az idősor értéke átlagosan hányszorosa a trend szerinti értéknek (hány %-kal több vagy kevesebb annál)

A következő három önellenőrző feladatban a lineáris trendfüggvény felírása, paramétereinek értelmezése, a szezonális eltérések számítása és értékelése lesz a feladata. 2. önellenőrző feladat

A tankönyv 283. oldal 7. feladata alapján oldja meg a következőket! a) Írja fel a lineáris trendfüggvényt t=1,2,..n módszerrel és értékelje a függvény paramétereit! Számítási részeredmények: ∑y = 707; ∑t = 136; ∑t2 = 1496; ∑ty = 6385 b) Additív kapcsolatot feltételezve számítsa ki a szezonális eltéréseket és értékelje a II. és IV. negyedévit! 2. megoldás A lecke végén. 3. önellenőrző feladat

Végezze el a példatár 142. e) feladatát! A megoldáshoz használja az előző lecke 6. önellenőrző feladatában már felírt lineáris trendfüggvény egyenletét!

85

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

3. megoldás A példatár 159. oldalán a táblázat utolsó oszlopa, ill. a megoldás levezetése a 160. oldalon. 4. önellenőrző feladat

Készítse el a példatár 155. a) és b) feladatát! 4. megoldás A példatár 167-168. oldalán.

A következő két önellenőrző feladatban az exponenciális trendfüggvény paramétereinek értelmezése, a szezonindexek számítása és értékelése lesz a feladata. 5. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 157. a) feladatát, nézze meg a b) pont megoldását a 169. oldalon, majd ennek alapján dolgozza ki a c) pontot! 5. megoldás A példatár 169-170. oldalán és a lecke végén. 6. önellenőrző feladat

Oldja meg a tankönyv 283.oldalán a 8. a) feladatot, majd értékelje az I. és II. negyedévi szezonalitást! 6. megoldás A lecke végén.

Előrejelzés az eredmények alapján Kérjük, olvassa el a tankönyv 277-279. oldalain található tananyagot!

A következő két önellenőrző feladatban az előrejelzéssel és a véletlenhatás kimutatásával kapcsolatos ismereteit ellenőrizheti. 7. önellenőrző feladat

Végezze el a példatár 142. f) és g) feladatait! Ehhez használja a korábbi megoldások adatait. 7. megoldás A példatár 160-161. oldalán. 8. önellenőrző feladat

Oldja meg a 6. önellenőrző feladatban elkezdett 283. oldal 8. feladat b) és c) pontjait!

86

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

8. megoldás A lecke végén.

Következik egy összefoglaló feladat a 14. lecke anyagából. 9. önellenőrző feladat

Oldja meg a tankönyv 284.oldal 9. feladatát! 9. megoldás A lecke végén.

Befejezésként nézzünk két összefoglaló feladatot az idősorok összetevőinek vizsgálatára (13-14. lecke). 10. önellenőrző feladat

Végezze el a példatár 158. a), b) és c) feladatát a következő módosítással, kiegészítéssel! a) A függvény: ŷ = 6,546·1,0313t (∑t=0); értelmezze a paramétereket! b) + értékelje a III. és IV. negyedévit! c) változatlan d) Mutassa ki a véletlen hatás értékét 2000. IV. negyedév forgalmában! 10. megoldás A példatár 170. oldalán és a lecke végén. 11. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 160. feladatát! 11. megoldás A példatár 171. oldalán és a lecke végén.

További gyakorló feladatok a példatárban: 156., 159., 161-174.

Befejezés Ezeknek a feladatoknak a megoldásával végére ért nemcsak a lecke, hanem a Statisztika II. tananyagának, és egyben a Statisztika tantárgy tanulásának is. (Bár még lesz egy módszertani szigorlat!) A leckékben igyekeztünk olyan önellenőrző és beküldendő feladatokat adni, melyek sikeres megoldásával eredményesen készülhetett fel a félévet záró kollokviumra. A kalauzban talál egy kollokviumi minta feladatsort is, megoldással. (A tantárgyi kalauz II. melléklete) Ennek elkészítése is segíthet a sikeres befejezésben. Eredményes vizsgát kívánunk Önnek! Reméljük, hogy közös munkánk során elsajátította a statisztika alapfogalmait, legfontosabb mutatószámait, a matematikai-statisztikai elemzési eszközöket.

87

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Kívánjuk, hogy a statisztikában tanult mutatószámokat, módszereket, elemzéseket sikeresen tudja hasznosítani szaktárgyaiban, munkájában.

Megoldások 1. megoldás Helyes megoldás: a)-C), b)-I), c)-A), d)-F), e)-B), f)-D) és G), g)-H), h)-E) és J) 2. megoldás a) 707=16·b0+b1·136 6385=b0·136+b1·1496 b1 = 1,1044..≈ 1,1 b0 = 34,8 ŷ = 34,8+1,1t b0: 1989. IV. negyedévében a trend szerint 34,8 millió Ft volt a forgalom. b1: 1990-1993. között negyedévente átlagosan 1,1 millió Ft-tal nőtt a forgalom. b)

1990

1991

1992

1993

t

y

ŷ

y–ŷ

I.

1

38

35,9

2,1

II.

2

23

37,0

–14,0

III.

3

37

38,1

–1,1

IV.

4

71

39,2

31,8

I.

5

35

40,3

–5,3

II.

6

27

41,4

–14,4

III.

7

36

42,5

–6,5

IV.

8

72

43,6

28,4

I.

9

38

44,7

–6,7

II.

10

27

45,8

–18,8

III.

11

41

46,9

–5,9

IV.

12

75

48,0

27,0

I.

13

41

49,1

–8,1

II.

14

25

50,2

–25,2

III.

15

41

51,3

–10,3

IV.

16

80

52,4

27,6

88

Szolnoki Főiskola


I.

II.

III.

IV.

1990

2,1

–14,0

–1,1

31,8

1991

–5,3

–14,4

–6,5

28,4

1992

–6,7

–18,8

–5,9

27,0

1993

–8,1

–25,2

–10,3

27,6

Összesen

– 18,0

– 72,4

– 23,8

114,8

sj

– 4,5

– 18,1

– 6,0

28,7

Távoktatás

Ellenőrzés: –4,5 + –18,1 + –6,0 +28,7 = 0,1 ≈ 0 (Mivel 0,1÷4=0,025 nagyon kicsi, az egy tizedes pontosságú szezonális eltéréseket nem módosítaná, ezért nem korrigálunk.) sII. = –18,1 millió Ft: 1990-1993 között a II. negyedévekben a szezonhatás miatt a tényleges forgalom átlagosan 18,1 millió Ft-tal elmaradt a trend szerint várhatótól. sIV. = 28,7 millió Ft: 1990-1993 között a IV. negyedévekben a szezonhatás miatt a tényleges forgalom átlagosan 28,7 millió Ft-tal meghaladta a trend szerint várható forgalmat. 5. megoldás a) b0 = 319,18: 1994. IV. negyedévében a trend szerint 319,18 ezer kg volt a déligyümölcsök forgalma. b1 = 1,024: 1995-2000 között negyedévente átlagosan 2,4%-kal (negyedévről negyedévre 1,024-szeresére) nőtt a déligyümölcsök eladott mennyisége.

89

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

6. megoldás

1991

1992

1993

1994

t

y

ŷ

y÷ŷ

I.

–15

20

23,9

0,837

II.

–13

30

25,0

1,2

III.

–11

40

26,1

1,533

IV.

–9

10

27,1

0,369

I.

–7

22

28,2

0,780

II.

–5

33

29,3

1,126

III.

–3

50

30,4

1,645

IV.

–1

13

31,5

0,413

I.

1

25

32,5

0,769

II.

3

36

33,6

1,071

III.

5

60

34,7

1,729

IV.

7

15

35,8

0,419

I.

9

28

36,9

0,759

II.

11

40

37,9

1,055

III.

13

70

39,0

1,795

IV.

15

20

40,1

0,499

I.

II.

III.

IV.

1991

0,837

1,2

1,533

0,369

1992

0,780

1,126

1,645

0,413

1993

0,769

1,071

1,729

0,419

1994

0,759

1,055

1,795

0,499

sj

0,786

1,112

1,673

0,422

korrigált szezonindexek

0,887

1,255

1,888

0,476

88,7%

125,5%

188,8%

47,6%

90

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

pl: s I . = 4 0 ,837 ⋅ 0 ,78 ⋅ 0 ,769 ⋅ 0 ,759 = 0 ,786 Ellenőrzés: 0,786·1,112·1,673·0,422 = 0,6171 ≠ 1 Korrekciós tényező: 4 0 ,6171 = 0 ,8863 pl. korrigált sI. = 0,786÷0,8863 = 0,887 = 88,7% Ellenőrzés: 0,887·1,255·1,888·0,476 = 1,0004 ≈ 1 sI. = 88,7%: 1991-1994 között az I. negyedévekben a szezonhatás miatt a vállalkozás árbevétele átlagosan 11,3%-kal volt kevesebb a trend szerint várhatónál. sII. = 125,5%: 1991-1994 között a II. negyedévekben a szezonhatás miatt a vállalkozás árbevétele átlagosan 25,5%-kal meghaladta a trend szerint várhatót. 8. megoldás b) ŷ = 32 + 0,54·t (∑t=0) 1995. I.: t=17 a trend szerint: ŷ = 32+0,54·17 = 41,18 szezonhatással módosítva: 41,18·0,887 = 36,5 millió Ft 1995. II.: t=19 a trend szerint: ŷ = 32+0,54·19 = 42,26 szezonhatással módosítva: 42,26·1,255 = 53,0 millió Ft 1995. III.: t=21 a trend szerint: ŷ = 32+0,54·21 = 43,34 szezonhatással módosítva: 41,18·1,888 = 81,8 millió Ft 1995. IV.: t=23 a trend szerint: ŷ = 32+0,54·23 = 44,42 szezonhatással módosítva: 44,42·0,476 = 21,1 millió Ft c) 1994. IV.: y=20; ŷ=40,1 (ld. táblázat 6. megoldásnál) Mivel szorzatszerű kapcsolatot feltételeztünk az a) pontban: y=ŷ·sIV.·v 20 = 40,1·0,476·v 20 = 19,0876·v v = 1,0478 1994. IV. negyedévében a trend és a szezonhatás alapján várható árbevételt a véletlen hatás 4,78%-kal megnövelte. 9. megoldás a)

sI . =

158 + 107 + 167 + 206 + 186 = 164,8 tonna 5

sII. = 12,2 tonna sIII. = –170,2 tonna sIV. = –17,0 tonna Ellenőrzés: 164,8+12,2+–170,2+–17 = –10,2 ≠ 0 korrekciós tényező: –10,2÷4 = –2,55 korrigált szezonális eltérések: sI. = 164,8 – (–2,55) = 167,35 tonna sII. = 12,2 – (–2,55) = 14,75 tonna sIII. = –170,2 – (–2,55) = –167,65 tonna sIV. = –17,0 – (–2,55) = –14,45 tonna Ellenőrzés: 167,35+14,75+–167,65+–14,45 = 0 sI. = 167,35: 1990-1994 között az I. negyedévekben a szezonhatás miatt az importált citrom mennyisége átlagosan 167,35 tonnával meghaladta a trend szerint várható mennyiséget. sII. = 14,75: 1990-1994 között a II. negyedévekben a szezonhatás miatt az importált citrom mennyisége átlagosan 14,75 tonnával meghaladta a trend szerint várható mennyiséget.

91

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

sIII. = –167,65: 1990-1994 között a III. negyedévekben a szezonhatás miatt az importált citrom mennyisége átlagosan 167,65 tonnával elmaradt a trend szerint várható mennyiségtől. sIV. = –14,45: 1990-1994 között a IV. negyedévekben a szezonhatás miatt az importált citrom mennyisége átlagosan 14,45 tonnával elmaradt a trend szerint várható mennyiségtől. b) 1995. I.: t=21 a trend szerint: ŷ = 620+2,59·21 = 674,39 szezonhatással módosítva: 674,39+167,35 = 841,74 tonna 1995. II.: t=22 a trend szerint: ŷ = 620+2,59·22 = 676,98 szezonhatással módosítva: 676,98+14,75 = 691,73 tonna 1995. III.: t=23 a trend szerint: ŷ = 620+2,59·23 = 679,57 szezonhatással módosítva: 679,57+(–167,65) = 511,92 tonna 1995. IV.: t=24 a trend szerint: ŷ = 620+2,59·24 = 682,16 szezonhatással módosítva: 682,16+(–14,45) = 667,71 tonna c) 1995. II.: y=680; ŷ=676,98 (ld. előző pontban) Mivel összegszerű kapcsolatot feltételeztünk az a) pontban: y=ŷ+sII.+v 680 = 676,98+14,75+v 680 = 691,73 + v v = –11,73 tonna 1995. II. negyedévében a trend és a szezonhatás alapján várható importált mennyiséget a véletlen hatás 11,73 tonnával csökkentette. 10. megoldás a) b0 = 6,546: 1998-2000 között az édességbolt negyedéves forgalma átlagosan 6,546 millió Ft volt mértani átlaggal számolva. b1 = 1,0313: mivel páros időszak, ezért a négyzetét értékeljük: 1,03132 = 1,064 1998-2000 között negyedévente átlagosan 6,4%-kal nőtt az édességbolt forgalma. b) eredmények a példatár 170. oldalán sIII. = 0,869: 1998-2000 között a III. negyedévekben az édességbolt forgalma átlagosan 13,1%-kal elmaradt a trend szerint várhatótól. sIV. = 1,274: 1998-2000 között a IV. negyedévekben az édességbolt forgalma átlagosan 27,4%-kal több volt a trend szerint várhatónál. d) 2000. IV.: y=11,12 t=11 11 11,12 = (6,546·1,0313 )·1,274·v 11,12 = 9,18779..·1,274·v v = 0,95 2000. IV. negyedévében a trend és a szezonhatás alapján várható forgalmat a véletlen hatás 5%-kal csökkentette. 11. megoldás a) b1 = 80; Mivel páros időszak (5 év ·4=20 negyedév), a 2·80=160-t értékeljük. 1996-2000 között negyedévente átlagosan 160 ezer Ft-tal nőtt a forgalom. b) 0,9·1,1·sIII.·0,8 = 1 sIII. = 1,263 c) t=27 ŷ’ = (7600+80·27)·0,8 = 7808 e Ft

92

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Melléklet I. Képletgyűjtemény Becslés Egyszerű véletlen minta: standard hiba: σ x =

átlag, értékösszeg:

arány, gyakoriság:

σ ⎛⎜

n ⎞ ⎟ ⋅ − 1 N ⎟⎠ n ⎜⎝

sx =

s ⎛ n ⎞ ⎜⋅ 1 − ⎟ N ⎟⎠ n ⎜⎝

p⋅q n

sp =

⎛ n ⎞ ⎜⋅ 1 − ⎟ ⎜ N ⎟⎠ ⎝

x±∆

∆ = z ⋅σ x

N ⋅ [x ± ∆ ]

N ⋅ x ± N ⋅ z ⋅σ x

x±∆

∆ = z ⋅ sx

N ⋅ [x ± ∆ ]

N ⋅ x ± N ⋅ z ⋅ sx

x±∆

∆ = t ⋅ sx

N ⋅ [x ± ∆ ]

N ⋅ x ± N ⋅ t ⋅ sx

p ±∆p

∆ p = z ⋅ sp

N ⋅ p ±∆p

[

]

p=

⎛ z⋅s⎞ a minta elemszáma: n = ⎜ ⎟ ⎝ ∆ ⎠

2

⎛Nj Rétegzett minta: s x = ∑ ⎜⎜ ⎝ N

2 2 n j ⎞⎞ ⎞ ⎛ ⎞ s j ⎛⎜ ⎛ ⎟ ⎟ arányos rétegzés: s x = s B ⎜ ⋅ 1 − n ⎟ ⎟⎟ ⋅ ⋅ ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎜ N ⎟⎠ n⎝ ⎠ n j ⎜⎝ ⎝ N j ⎠ ⎟⎠

n=

N ⋅ z2 ⋅ s2 N ⋅ ∆2 + z 2 ⋅ s 2

⎛t⋅s⎞ n=⎜ ⎟ ⎝ ∆ ⎠

optimális rétegzésnél a minta elemszáma rétegenként: n j = n ⋅

93

2

kn n

n=

N j ⋅sj

∑N j ⋅sj

N ⋅t2 ⋅ s2 N ⋅ ∆2 + t 2 ⋅ s 2

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Hipotézis Egymintás próba várható értékre: z 0 =

x − m0

t0 =

σ

x − m0 s

n

arányra: z 0( P0 ) =

z0 =

⎛ ⎜s = ⎜ ⎝

x − m0 s

n

n

p − P0 P0 (1 − P0 ) n

SK Nemparaméteres próba: F0 = M − 1 SB n−M M

S K = ∑ n j ( x j − x )2 j =1

χ 02 = ∑

S B = ∑ (n j − 1) ⋅ s 2j M

j =1

(n

s B2 =

− ν i* )

2

i

C=

ν i*

SB n

SSE = ∑ ei2 = ∑ ( y i − ˆy i )

2

SK n

s K2 =

χ2 n( s − 1)

s2 =

ha: s ≤ t

S = s B2 + s K2 n

SST = ∑ d y2 = ∑ ( y i − y )

A regressziós függvény tesztelése: SST = SSR + SSE SSR = ∑ ( ˆy i − y )

2 Σ f ( xi − x ) ⎞⎟ ⎟ n −1 ⎠

2

SSR m F0 = SSE n − m −1

2

Sztochasztikus kapcsolatok (folytatás): korrelációs kapcsolat

6 ⋅ ∑ d i2 ; n(n 2 − 1)

rangkorreláció: rs = ρ = 1 −

(d i

kétváltozós: korrelációs hányados: H ( Y |X ) kovariancia: C XY =

∑ d X i d Yi N

= xi − y i )

σ K2 ( Y ) = σ (2Y )

= XY − X ⋅ Y

determinációs hányados: H2

d Xi = X i − X ;

lineáris korrelációs, determinációs együttható: rxy =

∑ d xi d yi ∑d ⋅∑d 2 xi

2 yi

=

d Yi = Yi − Y

C xy

σ x ⋅σ y

D=r2

Nemlineáris kapcsolat:

σ Yˆ SSE ∑ ( y i − ˆy i ) = 1 − = 1 − 2 SST σ Y2 ∑ ( yi − y ) 2

2

Korrelációs index: I = 1 −

94

σ Yˆ2 =

∑ ( y i − ˆy i ) n

2

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

többváltozós: parciális korrelációs, többszörös korrelációs és determinációs együttható: ry1 − ry 2 ⋅ r12

ry1•2 =

R=

(1 − ry22 ) ⋅ (1 − r122 )

ry21 + ry22 − 2 ⋅ ry1 ry 2 r12

D = R2

1− r

2 12

SSR SST

D=

Regressziós függvények (kétváltozós) (y|x)

Rugalmasság

lineáris: ˆy = b0 + b1 x b1 =

∑ d xi d y i ∑d

2 xi

=

C XY

σ

b1 = rxy ⋅

2 x

σy σx

ε = b1 ⋅

b0 = y − b1 x

x b0 + b1 x

exponenciális: ˆy = b0 ⋅ b1X lg b1 =

(

)

x ⋅ lg y − x ⋅ lg y ∑ ( xi − x ) lg y − lg y = 2 σ x2 ∑ (xi − x )

ε = x ⋅ ln b1

lg b0 = lg y − x ⋅ lg b1

hatvány: ˆy = b0 ⋅ x b1

b1 =

(

)(

∑ lg x − lg x lg y − lg y

(

∑ lg x − lg x

)

) = lg x lg y − lg x ⋅ lg y σ lg2 x

2

regressziós együtthatók tesztelése, becslése: t 0 =

Analitikus trend t = 1,2,…,n: ∑t = 0:

bj sb j

lineáris:

Σ ty ; Σt 2

2 ∑ ( yi − ˆy i ) ∑ ei = n−2 n−2 2

b j ± t ⋅ sb j s e2 =

exponenciális:

Σy = n ⋅ b0 + b1Σt Σ ty = b0 Σt + b1Σt 2 b1 =

ε = b1

lg b0 = lg y − b1 ⋅ lg x

b0 =

∑ ( y ij − ˆy ij )

Σ log y = n ⋅ log b0 + log b1Σt Σ t log y = log b0 Σt + log b1Σt 2 Σy =y n

lg b1 =

Σ t log y ; Σt 2

lg b0 =

Σ log y n

p

szezonalitás:

sj =

i =1

p

m

∑sj = 0 j =1

95

p

y ij

i =1

ˆy ij

sj = p ∏

m

∏ s j =1 j =1

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Melléklet II. Kollokviumi Feladatsor 1. Egy megye boltjainak havi forgalmát vizsgálták. Egyszerű véletlen mintavétellel kiválasztották a boltok 5%-át, így a mintába került 40 bolt. A minta adatai: a boltok átlagos havi forgalma 1337,5 ezer Ft 576,1 ezer Ft szórással. A mintába került boltok közül 21-nek a havi forgalma maximum 1500 ezer Ft. Feladat: Számítsa ki és értelmezze a standard hibát! (4) 95,5%-os valószínűségi szinten határozza meg: - a megye boltjainak átlagos forgalmát, - az összes forgalom maximális értékét! (7) Hány elemű mintát kellene venni, ha az átlagbecslés maximális hibáját 20%-kal csökkenteni kívánjuk változatlan valószínűségi szint mellett! (3) (összesen 14 pont) 2. A kereskedelmi cég akkor veszi át a gyártótól a gumimatracokat, ha azok legalább 24 óráig megtartják a levegőt. 25 elemű mintát vettek, melynek átlaga 23,9 óra, szórása 1 óra. Feladat: Vizsgálja, hogy a ker. cég átveszi-e a gumimatracokat! (α = 5%) (7 pont) 3. Egy vállalkozás Magyarország 15 városában a termékértékesítése növelése érdekében folytatott reklámkampányánál a reklámköltségek és az árbevétel kapcsolatát vizsgálta. Lineáris kapcsolatot feltételezve a számítási részeredmények a következők: A városonkénti átlagos reklámköltség 1,6 millió Ft, az átlagos árbevétel 125 millió Ft volt. Az átlagtól vett eltérések szorzatösszege 89,92. ∑dx2 = 4,42 és ∑dy2 = 2235,1. Feladat: Vizsgálja a kapcsolat szorosságát a tanult mutatószámokkal és értékelje azokat szövegesen! (5) Írja fel a lineáris regressziófüggvényt és értékelje a paramétereit! (5) Számítsa ki és értékelje szövegesen a rugalmassági együtthatót az átlagpontban! (2) (összesen 12 pont)

96

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

4. A Magyarországra érkező külföldiek számának (ezer fő) alakulását vizsgálták 1997-1999 között idények (előidény, főidény, utóidény) szerint: Az összes idény alapján felírt trendfüggvény: ŷ = 12495,2 · 0,971t (t = 1, 2, …, n) A vizsgált időszak előidényeinek adatai:

Időszak

Külföldiek száma (ezer fő)

1997 előidény

9897

1998 előidény

8596

1999 előidény

7008

Feladat: Értelmezze a függvény b1 paraméterét! (2) Számítsa ki és értelmezze az előidények átlagos szezonindexét! (4+2) Adjon becslést 2001 előidényére! (2) (összesen 10 pont) 5. 1996 februárjában egy használtautó-piacon 30 darab azonos típusú gépkocsit árultak. A megfigyelt változók: Y: a gépkocsi kínálati ára (ezer Ft) X1: a kocsi életkora (év) X2: az eladó neme (0=férfi, 1=nő) A korreláció- és regressziószámítás főbb eredményei: ŷ = 1086,5 – 59,1x1 +110,3x2 ⎡ R = ⎢⎢− 0,829 ⎢⎣ 0,646 − 0,557

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

ry2•1 = 0,397

Feladat: Értelmezze a b1 parciális regressziós együtthatót! (2) Értelmezze az ry2•1 parciális korrelációs együtthatót! (2) Számítsa ki és értékelje a változók kapcsolatát a többszörös korrelációs együtthatóval! (3) (összesen 7 pont)

97

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megoldások: 1. feladat

n = 40 x = 1337,5 eFt s = 576,1 eFt a) s x =

576,1 40

= 91,1 eFt (2)

Az egyes mintaátlagok átlagosan 91,1 ezer Ft-tal térnek el az ismeretlen alapsokasági átlagtól. (2) b) α = 1 − 0,955 = 0,045 t 039,9775 = 2,07 (2) - X : 1337 ,5 ± 2,07 ⋅ 91,1 = 1337 ,5 ± 188,6 → [1148,9 ;1526,1] eFt (2) - N = 40/0,05 = 800 (1)

NX max : 800 ⋅ 1526,1 = 1220880 eFt (1) 95,5 %-os valószínűségi szinten, a megye boltjainak átlagos forgalma 1148,9 és 1526,1 ezer Ft közé esik, az összes forgalom maximális értéke 1 220 880 ezer Ft. (1) c) ∆régi = 188,6 ∆új = 188,6 ⋅ 0,8 = 150,9 (1) 2

⎛ 2,07 ⋅ 576,1 ⎞ - n=⎜ ⎟ = 62,5 → 63 elem (2) ⎝ 150,9 ⎠ Tehát, az új minta 63 elemű lesz. 2. feladat

m0 = 24 n = 25 x = 23,9 s = 1 α = 0,05 H 0 : µ = 24 ( Legalább 24 óráig megtartják ...) H1 : µ < 24 ( Kevesebb ideig tartják meg ...) ( 1 ) t0 =

23,9 − 24 = −0,5 ( 2 ) 1 25

t 024,95

= 1,71 ( 2 ) → Elfogadási tartomány : [− 1,71 ; ∞[

(1)

5%-os szignifikancia-szinten a nullhipotézist elfogadjuk, a gumimatracok legalább 24 óráig megtartják a levegőt. Tehát, a kereskedelmi cég átveszi azokat. (1) 3. feladat a) r=

89 ,92 4 ,42 ⋅ 2235,1

≅ 0 ,905 (1)

Pozitív irányú szoros kapcsolat van a reklámköltség és az árbevétel között. (2)

98

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

D = 0,9052 = 0,819 81,9% (1) A reklámköltség 81,9%-ban határozza meg az árbevétel szóródását. (1) b) b1 =

89 ,92 ≅ 20 ,34 (1) 4 ,42

b0 = 125 − 20 ,34.. ⋅ 1,6 ≅ 92,45 (1) ŷ = 92,45 + 20,34 · x (1) Reklámköltség nélkül várhatóan 92,45 millió Ft árbevétel érhető el. (1) 1 millió Ft-tal több reklámköltséggel várhatóan 20,34 millió Ft-tal több árbevétel érhető el. (1) c) ε = 20,34 ⋅

1,6 = 0,26% (1) 125

Az átlagos reklámköltség és kis sugarú környezetében, ha a reklámköltség 1%-kal nő, az árbevétel 0,26%-kal nő. (1) 4. feladat a) b1 = 0 ,971 A vizsgált időszakban, idényről-idényre átlagosan 2,9%-kal (0,971-szeresére vagy 97,1%ára) csökkent a Magyarországra érkező külföldiek száma. (2) b) Külföldiek száma t Időszak

yˆ i

si

(ezer fő)

1997 előidény 9897

1

12132,8 0,8157


4

11107,6 0,7739


7

10169,0 0,6892

(1) (1)

(1)

9897 = 0,8157 12132,8 8596 = = 0,7739 11107,6 7008 = = 0,6892 10169,0

yˆ 97 = 12495,2 ⋅ 0,9711 = 12132,8 s97 = yˆ 98 = 12495,2 ⋅ 0,9714 = 11107,6 s98 yˆ 99 = 12495,2 ⋅ 0,9717 = 10169,0 s99

s elő = 3 0 ,8157 ⋅ 0 ,7739 ⋅ 0 ,6892 = 0 ,7577 → 75,8% (1)

A vizsgált időszak előidényeiben – a szezonhatás miatt – a Magyarországra érkező külföldiek száma átlagosan 75,8%-a a trend szerinti értéknek. (Vagy: A vizsgált időszak előidényeiben – a szezonhatás miatt – a Magyarországra érkező külföldiek száma átlagosan 24,2%-kal maradt el a trend szerinti értéktől.) (2) 99

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

c) A „t” értéke 2001-ben: 13 A Magyarországra érkező külföldiek száma 2001-ben, a trendmodell és a szezonindex alapján:

y' = ˆy ⋅ selő = ( 12495,2 ⋅ 0,97113 ) ⋅ 0,7577 = 8522,9 ⋅ 0,7577 = 6457 ,8 ezer fő . (2) 5. feladat a) b1= - 59,1 ezer Ft Az 1 évvel öregebb gépkocsi eladási ára, azonos nemű eladók esetén, megközelítőleg 59,1 ezer Ft-tal kevesebb. (2) b) Az eladó neme és a gépkocsi eladási ára között pozitív irányú, közepesnél gyengébb kapcsolat van, kiszűrve a gépkocsik életkorának hatását. (2) c)

R=

− 0,829 2 + 0,646 2 − [2 ⋅ (−0,829) ⋅ 0,646 ⋅ (−0,557)] = 0,86 (2) 1 − (−0,557) 2

A gépkocsi kora, az eladó neme és az eladási ár között szoros kapcsolat van. (1)

100

Statisztika II. tantárgyi kalauz

Recommend Documents