Statisztika 1. tantárgyi kalauz

Balog Margit – Monoriné Szabó Edit

Statisztika 1. tantárgyi kalauz

Szolnoki Főiskola Szolnok 2006.

Statisztika 1. Tantárgyi kalauz

Ez a kalauz az alábbi tankönyvekhez készült: Általános statisztika I. – Főiskolai tankönyv (szerkesztette: Korpás Attiláné dr. – Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996.) Általános statisztika példatár I. – Főiskolai tankönyv (42 491/P) (Molnár Máténé dr. – Tóth Mártonné dr. – Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. 2001.) Tananyagíró: Balog Margit – Monoriné Szabó Edit Távoktatási szerkesztő: Fazekas Judit Távoktatási lektor: Németh Katalin Kiadványszerkesztő: Román Gábor Sorozatszerkesztő: Zarka Dénes

Kiadja a Szolnoki Főiskola. Felelős kiadó: dr. Törzsök Éva rektor

© Szolnoki Főiskola, 2006. Minden jog fenntartva. A kalauzt, vagy annak részeit tilos bármilyen formában, illetve eszközzel másolni, terjeszteni vagy közölni a Kiadó engedélye nélkül.

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Tartalom Tartalom ............................................................................................................................................. 3 A kalauz szerkezete........................................................................................................................... 4 Bevezetés............................................................................................................................................ 5 A statisztika alapfogalmai................................................................................................................. 9 Viszonyszámokról általában. Dinamikus viszonyszám, bázis- és láncviszonyszám. Idősorok elemzése átlagokkal......................................................................................................................... 19 Megoszlási, koordinációs, intenzitási viszonyszámok. A viszonyszámok összefüggései...... 27 Mennyiségi ismérv szerinti elemzés I. .......................................................................................... 36 Mennyiségi ismérv szerinti elemzés II. ........................................................................................ 41 Beküldendő feladat I....................................................................................................................... 45 A sztochasztikus kapcsolatok elemzése I. ................................................................................... 51 Sztochasztikus kapcsolatok elemzése II. Az intenzitási viszonyszámok átlagolása............... 55 Az összetett intenzitási viszonyszámok (főátlagok) összehasonlítása a standardizálás módszerével: különbségfelbontás ................................................................................................. 60 Az összetett intenzitási viszonyszámok (főátlagok) összehasonlítása a standardizálás módszerével: indexszámítás........................................................................................................... 63 Érték-, ár-, volumenindex számítása aggregát formában. Az indexek és az aggregátumok közötti összefüggések..................................................................................................................... 65 Beküldendő feladat II..................................................................................................................... 73 Érték-, ár-, volumenindex számítása átlagformában.................................................................. 78 Területi indexek. Indexsorok......................................................................................................... 87 Melléklet ............................................................................................................................................. 1 Képletek ............................................................................................................................................. 6

3

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A kalauz szerkezete A kalauz feldolgozásakor fontos, hogy értse jelrendszerünket. Íme a legfontosabbak:

Így adjuk meg, hogy mennyi ideig tart egy lecke feldolgozása.

Célkitűzés: így jelöljük, ha a

• •

tantárgy, vagy lecke célkitűzését adjuk meg.

Ha ezt az ikont látja, a tankönyvet kell fellapoznia.

Önellenőrző feladat

Ha ezt a keretet látja, arra kérjük, oldja meg egy erre rendszeresített füzetében a feladatot, ha elkészült, ellenőrizze magát a lecke végén található megoldás alapján!

Beküldendő feladat

Ha ezt az ikont látja, a megoldást nem találja meg, feladatát be kell küldenie a főiskolára tutorának.

4

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Bevezetés Kedves Hallgatónk! Örömmel üdvözöljük a Statisztika I. tantárgyat választók körében! A tantárgy legfontosabb feladata, hogy segítse a hallgatók közgazdasági gondolkodásának megalapozását, valamint elemző készségének és problémamegoldó képességének fejlesztését. Bízunk abban, hogy a tantárgy tanulása során sok hasznos ismeretre tesz szert, amelyeket felhasznál majd a szaktantárgyak tanulásakor, illetve a későbbiekben, a gyakorlati munkája végzése közben. A Tantárgyi kalauz készítésénél azt tartottuk szem előtt, hogy Ön lépésről-lépésre megismerve a tananyagot, egyre nagyobb jártasságot szerezzen a feladatmegoldások terén, úgy, mintha közvetlenül a szemináriumon ülve hallgatná tanára magyarázatait. Reméljük, hogy ez a célunk teljesül, és segíthetünk Önnek abban, hogy sikeresen készüljön fel a tanulmányait lezáró vizsgára.

Hogyan használja a Tantárgyi kalauzt? A Tantárgyi kalauz célja, hogy megkönnyítse elsajátítani Önnek a Statisztika I. tantárgyat, és segítségével teljesítse a követelményeket, valamint támogassa Önt a vizsgára való eredményes felkészülésben. Ehhez a tananyagot kisebb egységekre, leckékre osztottuk fel. A leckék feldolgozása az elmélet megtanulásával kezdődik, majd az elmélet gyakorlati alkalmazására kerül sor, feladatmegoldásokon keresztül. Pontosan megmutatjuk, hogy az adott lecke megértéséhez mely részeket kell elolvasnia a tankönyvből, és mely feladatokat kell megoldania a példatárból. Esetenként saját feladatokat is adunk. Ha az eredményeket ellenőrizni szeretné, a feladat végén felhívjuk a figyelmét arra, hogy hol találja a megoldást. Kérjük, gondosan olvassa el a lecke elején található célokat, ezek ugyanis tartalmazzák a tantárgyat lezáró kollokvium követelményeit is!

A tantárgy kreditszáma A tantárgy 4 kredites, tehát összesen 120 tanulási óra szükséges a feldolgozásához. Az egyes leckéknél külön is jeleztük, hogy mekkora időráfordítást igényelnek Öntől. A tantárgy tanulásának célja, hogy a kurzus végére Ön

• • • • •

megértse a statisztikának a gazdasági folyamatokban betöltött szerepét, felismerje a megadott statisztikai adatokat, el tudja dönteni, hogy a megadott statisztikai adatokat milyen statisztikai elemzési eszközökkel lehet feldolgozni, képes legyen elvégezni a szükséges számításokat (kiszámítani a megfelelő statisztikai mutatószámokat), képes legyen értékelni, szövegesen elemezni a kiszámított statisztikai mutatószámokat.

5

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A tantárgy lezárása A szorgalmi időszak aláírással és kollokviummal zárul. Az aláírás és vizsgára bocsátás feltétele a két beküldendő feladatsor hiánytalan beadása az előre egyeztetett időpontra. A vizsgakövetelmény: kollokvium. A kollokviumon a számonkérés írásban történik, egy 60 perces dolgozat formájában. A dolgozatban elérhető maximális pontszám 40 pont. Az értékelés az elért teljesítményszázalék alapján történik: •

0 – 50%

elégtelen (1)

•

51 – 66%

elégséges (2)

•

67 – 79%

közepes (3)

•

80 – 89%

jó (4)

•

90 – 100%

jeles (5)

A számonkéréskor saját számológép és központilag kiosztott képletgyűjtemény használható. A kollokviumi feladatsor felépítése: : •

Az 1. feladatban több (4-5) rövid példában kevés számolással járó mutatószámok kiszámítását, megadott mutatószámok értékelését kérjük számon 8-10 pontért.

•

A 2., 3., 4. feladatban a tananyag hosszabb számításokkal, részletesebb elemzésekkel járó részeit kérjük számon feladatonként 6-12, összesen 30-32 pontért.

Ezek a tananyagrészek •

mennyiségi sor elemzése

•

sztochasztikus kapcsolatok elemzése

•

standardizálás különbségfelbontással, indexszámítással

•

érték-, ár-, volumenindex

A Kalauzhoz mellékelünk egy kidolgozott kollokviumi feladatsort.

Hogyan tanuljon? Legfontosabb, hogy rendszeresen és alaposan! Ehhez a tantárgyi kalauzban sok segítséget nyújtunk. A bevezető rész végén talál egy táblázatot, ennek alapján készítsen magának egy tanulási ütemtervet! Az ütemtervet készítheti a saját füzetébe, vagy a főiskolától kapott naptárba. Fontos, hogy az Ön által választott tempó szerint, a tervezett vizsgaidőpontra minden leckét befejezzen, és a beküldendő feladatokat időben elküldje a főiskolára. Figyeljen arra, hogy egyenletesen ütemezze az anyagot. Javasoljuk, hogy a leckék megtanulásánál kövesse a tantárgyi kalauz útmutatásait. Minden leckénél először a megjelölt kisebb egységeket tanulja meg a könyvből, majd oldja meg az önellenőrző feladatokat. Ezeket úgy állítottuk össze, hogy ellenőrizze az elmélet megértését, gyakorlati alkalmazását. Ezeken kívül a Példatárból érdemes minél több példát önállóan is megoldani a különböző feladat-megoldási technikák gyakorlásához. Végül mindig ellenőrizze a tudását a kijelölt feladatatok alapján. Csak akkor lépjen tovább egy-egy leckéről az újabbhoz, ha a megfelelő tudásszintet már elérte.

6

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Ha egy önellenőrző feladatot nem tud megoldani, akkor érdemes azzal az anyagrésszel tovább foglalkozni, nehogy a vizsgáztató hívja fel a hiányosságaira a figyelmet! Ha úgy érzi, hogy semmiképpen nem tud megoldani egy feladatot, keresse meg tanulótársait, bizonyára tudnak segíteni. Ha ez sem megy, írjon, vagy telefonáljon a főiskola megadott címére, telefonszámára, és mi segítünk Önnek. A beküldendő feladatot mindenképpen oldja meg! Ezzel egyrészt gyakorol, másrészt még a vizsga előtt egy szakértő tutorunk értékeli munkáját. Ezzel időben segíthet helyre tenni bizonyos félreértéseket, feltárni olyan hiányosságokat, melyek a vizsga eredményességét veszélyeztetik. Ezen kívül tanácsokat is kaphat, hogy miként javíthatja teljesítményét. Kérjük, hogy a megoldásokat lehetőleg, kék tintával írottan postai úton, vagy e-mail-ben küldje el a főiskolára, a tantárgy felvételekor egyeztetett címre. A dolgozat megérkezése napján (legkésőbb másnap) e-mailben visszajelzést kap arról, hogy az írásművet megkaptuk. Szöveges értékelésre egy-két héten belül számíthat.

A tanuláshoz a következő kiadványokat használja •

Általános statisztika I. – Főiskolai tankönyv (szerkesztette: Korpás Attiláné dr. – Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996.)

•

Általános statisztika példatár I. – Főiskolai tankönyv (42 491/P) (Molnár Máténé dr. – Tóth Mártonné dr. – Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. 2001.)

•

Képletgyűjtemény: A Tantárgyi kalauz melléklete

Ajánlott irodalom •

Kerékgyártó Györgyné – Mundruczó György – Sugár András: Statisztikai módszerek és alkalmazásuk a gazdasági, üzleti elemzésekben (AULA 719)

A tantárgy tanulás-támogatása, azaz milyen segítséget kap tanulmányai során: A tantárgyat alapvetően önállóan kell elsajátítania, hagyományos előadás, vagy gyakorlat nem tartozik hozzá. A tantárgy feldolgozása során lehetősége lesz egy alkalommal személyesen konzultálni szakértő tutorával, ennek részleteiről a tantárgy felvételekor tájékoztattuk. Ehhez fel kell vennie a kapcsolatot a képzésszervező tutorral, akinek nevét és elérhetőségét a tantárgy felvételekor megadtuk Önnek.

7

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Tanulási ütemtervem A tanulási ütemterv elkészítése előtt arra kérjük, hogy vegye elő a füzetét és naptárát, valamint nyomtassa ki a táblázatot! A kialakított tervet a tantárgy tanulása közben tegye jól látható helyre! Munkája megkönnyítésére az alábbi tanulási ütemtervet állítottuk össze Önnek: Lecke Lecke címe száma

Időigény

Típus

1.

A statisztika alapfogalmai

8 óra Feldolgozó

2.

Viszonyszámokról általában. Dinamikus viszonyszám, bázis- és láncviszonyszám. Az idősorok elemzése átlagokkal

8 óra Feldolgozó

3.

Megoszlási, koordinációs, intenzitási viszonyszámok. A viszonyszámok összefüggései

8 óra Feldolgozó

4.

Mennyiségi ismérv szerinti elemzés I.

12 óra Feldolgozó

5.

Mennyiségi ismérv szerinti elemzés II.

12 óra Feldolgozó

6.

Beküldendő feladat I.

4 óra Beküldendő

7.

Sztochasztikus kapcsolatok elemzése I.

8 óra Feldolgozó

8.

Sztochasztikus kapcsolatok elemzése II. Az intenzitási viszonyszámok átlagolása

8 óra Feldolgozó

9.

Az összetett intenzitási viszonyszámok (főátlagok) összehasonlítása a standardizálás módszerével: különbségfelbontás

10 óra Feldolgozó

10.

Az összetett intenzitási viszonyszámok (főátlagok) összehasonlítása a standardizálás módszerével: indexszámítás

12 óra Feldolgozó

11.

Érték-, ár-, volumenindex számítása aggregát formában. Az indexek és az aggregátumok közötti összefüggések

10 óra Feldolgozó

12.

Beküldendő feladat II.

13.

Érték-, ár-, volumenindex számítása átlagformában

14.

Indexsorok. Területi indexek

Mikor tanulom?

4 óra Beküldendő 12 óra Feldolgozó 4 óra Feldolgozó

Miután - szerintünk - minden fontos információt megosztottunk Önnel, nincs más hátra, mint hogy kezdje el a tantárgy tanulását! Jó tanulást kívánunk!

8

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

1. lecke A statisztika alapfogalmai Bevezetés Üdvözöljük a statisztika világában. Ebben a leckében megismerkedünk a legfontosabb fogalmakkal. Azokkal, melyek ismerete nélkül a további leckék feldolgozása gondot okozna. Javasoljuk, hogy a fogalmak megtanulása mellett, azok gyakorlati alkalmazására helyezze a hangsúlyt. Ebben igyekszünk segíteni Önnek a különböző önellenőrző feladatokkal. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 8 óra

A lecke feldolgozása után Ön képes lesz

• • • • • • •

definiálni a legfontosabb statisztikai alapfogalmakat, felsorolni az ismérvek fajtáit, felismerni, hogy egy adott sokaságot milyen ismérv(ek) szerint vizsgáltak, statisztikai ismérveket megnevezni egy-egy konkrét sokaság vizsgálatára, meghatározni a statisztikai sorok, táblák fogalmát, felsorolni a statisztikai sorok, táblák típusait, a statisztikai adatokat statisztikai sorokba, statisztikai táblákba rendezni.

A statisztika fogalma, feladata, szerepe. Statisztikai sokaság. Statisztikai adat. Kezdje a tanulást a legfontosabb alapfogalmak megtanulásával. Ezzel a célkitűzések első pontjában felsoroltakat teljesítheti. Kérem olvassa el a tankönyv 7-8. oldalán A statisztika tárgya és szerepe, a 8-9. oldalán A statisztikai sokaságra vonatkozó részeket, majd folytassa a 12-16. oldalon a Statisztikai adat című résszel.

Az elolvasott részekben a vastagon szedett fogalmak megértésére, elsajátítására helyezze a hangsúlyt. Ha úgy érzi, sikerült ezeket megtanulnia, következhet az első két önellenőrző feladat megoldása.

9

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

1. önellenőrző feladat

Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! a) statisztikai sokaság

A) önkényesen meghatározható, képzett egységekből áll

b) a sokaság egységei

B) időtartamra vonatkoztatva értelmezhető sokaság

c) diszkrét sokaság d) folytonos sokaság

C) azon egyedek, akikre (amikre) vonatkozóan adatokat gyűjtünk

e) álló sokaság

D) a sokaságot alkotó egyedek

f) mozgó sokaság

E) az a statisztikai adat, mellyel valamilyen rendszeresen ismétlődő jelenséget statisztikailag jellemezhetünk

g) statisztikai adat h) statisztikai mutatószám i) megfigyelési egység

F) egyértelműen elkülönülő egységekből áll G) a megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége H) időpontra vonatkoztatva értelmezhető sokaság I) valamely sokaság elemeinek száma, vagy a sokaság valamilyen másféle számszerű jellemzője, mérési eredmény


Oldja meg a Példatár 2. feladatának első öt sorát! (Gyakorlásként a többit is megoldhatja, de ezek megoldását már nem közöljük.) 2. megoldás: A lecke végén.

Folytassa a tanulást újabb fogalmak megtanulásával! Ezzel a célkitűzések első négy pontjában felsoroltakat teljesítheti.

Statisztikai ismérv. Csoportosítás, összehasonlítás Kérem olvassa el a tankönyv 10. oldalán a statisztikai ismérvre, majd a 16. oldalon a csoportosításra, a 19. oldalon és a 20. oldal 1-2. bekezdésében az összehasonlításra vonatkozó részeket!

10

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A fogalmak megtanulását, megértését a következő két önellenőrző feladatban mérheti le. 3. önellenőrző feladat

Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! a) statisztikai ismérv

A) a mennyiségi ismérv ismérvváltozata

b) ismérvváltozatok c) ismérvérték

B) a sokaság felosztása az egységeit jellemző megkülönböztető ismérv szerint

d) alternatív ismérv

C) amely szerint a sokaság egységei egyformák

e) közös ismérv

D) az ismérv lehetséges kimenetelei

f) megkülönböztető ismérv

E) két vagy több statisztikai adat egymáshoz való viszonyítása

g) csoportosítás

F) a statisztikai sokaság egyedeit jellemző tulajdonság

h) összehasonlítás

G) amelyek szerint a sokaság egységei különböznek egymástól H) csak két változattal rendelkező ismérv


Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Ismérvek fajtája

Meghatározása

a) időbeli ismérvek

A) az egységek térbeli elhelyezésére szolgáló rendező elvek

b) területi ismérvek

B) az egyedek számszerűen nem mérhető tulajdonságai

c) minőségi ismérvek

C) az egyedek számszerűen mérhető (megszámlálható) tulajdonságai

d) mennyiségi ismérvek

D) az egységek időbeli elhelyezésére szolgáló rendező elvek A fogalmak ismeretének gyakorlati alkalmazását a következő négy önellenőrző feladatban gyakorolhatja. 5. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 4. feladatát! 5. megoldás: A lecke végén.

11

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Példatár 8. feladatát! 6. megoldás: A lecke végén. 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 12. feladatát! 7. megoldás: A megoldást a Példatár 105. oldalán találja. 8. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 16.a feladatát! 8. megoldás: A lecke végén.

Statisztikai sorok A folytatásban az eddigiekben megismert fogalmakra építve bővítjük ismereteit. Ezzel a célkitűzések 5-6. pontjában felsoroltakat teljesítheti. Kérem olvassa el a tankönyv következő oldalain a statisztikai sorokra vonatkozó részeket: 17-18. oldal, 20. oldal, 22. oldal utolsó bekezdésétől a 23. oldal, 82-83. oldal.

Megjegyzés az olvasottakhoz: A statisztikai sorok lehetnek: (a statisztikai sorok 3 szempont szerinti rendszere) 1. Adatfajta szerint: •

különböző fajta adatokat tartalmazó sor: leíró sor

•

azonos fajta adatokat tartalmazó sorok

2. Keletkezésük módja szerint: •

összehasonlító sorok

•

csoportosító sorok

12

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

3. Az ismérv fajtája szerint: •

idősor (állapotidősor, tartamidősor) (összehasonlító vagy csoportosító sor)

•

területi sor (összehasonlító vagy csoportosító sor)

•

minőségi sor (csoportosító sor)

•

mennyiségi sor (csoportosító sor)

A statisztikai sor címmel kezdődik. Minden statisztikai sor két részből áll: egyrészt az ismérv-változatokból (ismérvértékekből), másrészt a hozzájuk tartozó adatokból (gyakoriságok, értékösszegek). Ha az ismérv változatait •

szövegesen (minőségi jellemzőkkel) adjuk meg, akkor minőségi sorról,

•

számadatokkal, akkor mennyiségi sorról,

•

naptári megjelöléssel (időpontok, időszakok), akkor idősorról,

•

földrajzi megnevezésekkel, akkor területi sorról beszélünk.

A következő négy önellenőrző feladatban a most megtanultak elsajátítását ellenőrizheti. 9. önellenőrző feladat

Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat! a) statisztikai sor

A) összehasonlítandó adatok sorba rendezésével keletkezik

b) csoportosító sor

B) idősor, területi sor

c) összehasonlító sor

C) az álló sokaság időbeli változását mutatja

d) leíró sor

D) egy ismérv szerinti osztályozás eredménye

e) statisztikai sorok az ismérv fajtája szerint

E) különböző fajta, különböző mértékegységű, de egymással kapcsolatban álló adatokból áll

f) tartamidősor

F) idősor, területi sor, minőségi sor, mennyiségi sor

g) állapotidősor

G) statisztikai adatoknak valamilyen szempont szerinti felsorolása H) a mozgó sokaság időbeli változását mutatja


Oldja meg a Példatár 15. a és b feladatát! 10. megoldás: A megoldást a Példatár 105. oldalán találja.

13

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Példatár 16.b, 17.a, 18.a, 19.a és 74.a feladatát, azaz állapítsa meg a feladatokban szereplő statisztikai sorok típusát! 11. megoldás: A lecke végén. 12. önellenőrző feladat

Egy felsőoktatási intézmény nappali tagozatos hallgatóinak száma 2003. szeptember 8-án az I. félévi beiratkozáskor 3 842 fő, 2004. február 9-én, a II. félévi beiratkozáskor 3 746 fő volt. A 2003. szeptember 8-án beiratkozottak közül 1 172 fő fiú, 1 351 fő I. évfolyamos, 1 268 fő II. évfolyamos, a többi III. évfolyamos volt. 1985-ben született 986 fő, 1984-ben 1 347 fő, a többiek 1983-ban vagy korábban születtek. Feladat: Készítsen statisztikai sorokat – az összes formai kellékkel – a fenti adatokból! Helyezze el a kapott statisztikai sorokat a statisztikai sorok rendszerében! 12. megoldás: A lecke végén.

Statisztikai táblák Elérkeztünk az utolsó fogalomhoz ebben a leckében. Ha az eddigieket jól elsajátította, megértette, ez már nem lesz nehéz. Ezzel a célkitűzések 5. és 7. pontjában felsoroltakat teljesítheti. Kérem, olvassa el a statisztikai táblákkal foglalkozó tananyagrészt, mely a tankönyv 19. és 99-102. oldalain található.

Most ismét ellenőrizheti tudását!

14

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat! a) statisztikai tábla

A) egy ismérv szerint tartalmaz csoportosítást

b) egyszerű tábla

B) két vagy több irányban tartalmazhat összesítést

c) csoportosító tábla d) kombinációs tábla

C) megfelelő külső formával ellátott statisztikai sorok összefüggő rendszere

e) dimenziószám

D) nem lehet összesen sora vagy oszlopa E) nem tartalmaz csoportosítást F) egy irányban tartalmazhat összesítést (összesen sor vagy oszlop) G) legalább két ismérv szerint tartalmaz csoportosítást H) azt jelzi, hogy a statisztikai tábla egy-egy adata hány statisztikai sorhoz tartozik


Oldja meg a Példatár 97.a-b, 99.a, 100.a, 103.a, 111.a és 112.a feladatát, azaz állapítsa meg a feladatokban szereplő statisztikai táblák típusát, dimenziószámát és a táblában szereplő sorok típusát! 14. megoldás: A lecke végén. 15. önellenőrző feladat

Egy felsőoktatási intézmény nappali tagozatos hallgatóinak száma 2003. szeptember 8-án az I. félévi beiratkozáskor 3 842 fő volt, ebből 1 351 fő I. évfolyamos, 1 268 fő II. évfolyamos, a többi III. évfolyamos. A hallgatók közül 1 172 fő fiú, ebből 433 fő I. évfolyamos, 381 fő II. évfolyamos. Feladat: Készítse el azt a statisztikai táblát, amely tartalmazza a hallgatókat nemek és évfolyam szerint! Állapítsa meg a statisztikai tábla típusát, dimenziószámát és a táblában szereplő sorok típusát! 15. megoldás: A lecke végén.

15

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Befejezés Ezzel túljutott a statisztikával való ismerkedés első nehézségein. Reméljük, sikerrel vette az akadályokat, sikerült „rákapni az ízére”, és egy kis pihenés után kedvvel folytatja tanulást. A következő leckében elkezdjük a statisztikai mutatószámok egyik fajtájával való ismerkedést.

Megoldások 1. megoldás: A helyes párosítás a következő: a-G, b-D, c-F, d-A, e-H, f-B, g-I, h-E, i-C 2. megoldás:

A sokaság megnevezése

egy egysége

Magyarország népessége 1999. jan. 1-jén

fajtája

1 fő lakos

álló, diszkrét

1 fő

mozgó, diszkrét

pl. 1 millió tonna

mozgó, folytonos

Magyarország bruttó külföldi adósságállománya 1999. jan. 1-jén

pl. 1 millió USD

álló, folytonos

Magyarország ipari termelése 1999-ben

pl. 1 milliárd Ft

mozgó, folytonos

Magyarországra érkező külföldiek 1999-ben Magyarország kőolajtermelése 1999-ben

3. megoldás: A helyes megoldás: a-F, b-D, c-A, d-H, e-C, f-G, g-B, h-E 4. megoldás: A helyes megoldás: a-D, b-A, c-B, d-C 5. megoldás: a) A külföldre utazó magyarok 2000. október 5-én: mozgó (0-24 óráig kilépők), diszkrét sokaság A regisztrált kábítószer-fogyasztók 2000. október 5-én: álló, diszkrét sokaság b-c) példák az ismérvfajtákra: A megfigyelt sokaság Ismérv fajtái

A külföldre utazó magyarok

A regisztrált kábítószer-fogyasztók

2000. október 5-én

2000. október 5-én

mikor született

mióta fogyaszt kábítószert (évszám)

területi

hová utazik (ország)

melyik megyében lakik

minőségi

nem, mivel utazik, milyen céllal utazik

nem, iskolai végzettség, mit fogyaszt

mennyiségi

hány napra utazik, mennyibe kerül az út (Ft)

hány éves

időbeli

16

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

6. megoldás:

Sokaság

a) fajtája

b) egysége

c) ismérv

lakások

álló, diszkrét

1 lakás

alapterület: mennyiségi ismérv szobaszám: mennyiségi komfortfokozat: minőségi

főisk. hallgatók

álló, diszkrét

1 fő

átlageredmény: mennyiségi lakóhely: területi mat.érdemjegy: mennyiségi

gépkocsik

álló, diszkrét

1 gépkocsi

fajtája: minőségi átlagfogyasztás: mennyiségi gyártási idő: időbeli

vállalkozások

álló, diszkrét

1 vállalkozás

árbevétel: mennyiségi alkalm. száma: mennyiségi profil: minőségi

háztartások

álló, diszkrét

1 háztartás

taglétszám: mennyiségi havi rezsiköltség: mennyiségi területi elhely.: területi

8. megoldás: a) A megfigyelési egység 1-1 könyvtár, amiket területi ismérv szerint figyeltek meg. 9. megoldás: Helyes párosítás: a-G, b-D és F, c-A és B, d-E, e-F, f-H, g-C 11. megoldás: 16.b) azonos fajta adatokból álló, összehasonlító, területi sor 17.a) leíró sor 18.a) azonos fajta adatokból álló, csoportosító, minőségi sor 19.a) azonos fajta adatokból álló, csoportosító, mennyiségi sor 74.a) azonos fajta adatokból álló, összehasonlító, tartamidősor 12. megoldás: Egy felsőoktatási intézmény nappali tagozatos hallgatói számának alakulása: Időpont

Létszám, fő

2003. szept. 8.

3 842

azonos fajta adatokat tartalmazó, összehasonlító, idősor

2004. febr. 9.

3 746

(állapotidősor)

Egy felsőoktatási intézmény nappali tagozatos hallgatóinak megoszlása nemek szerint 2003. szept. 8-án: Nem

Létszám, fő

Fiú

1 172

Lány

2 670

Összesen

3 842

azonos fajta adatokat tartalmazó, csoportosító, minőségi sor

17

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Egy felsőoktatási intézmény nappali tagozatos hallgatóinak megoszlása évfolyamok szerint 2003. szept. 8-án: Évfolyam

Létszám, fő

I.

1 351

II.

1 268

III.

1 223

Összesen

3 842

azonos fajta adatokat tartalmazó, csoportosító, mennyiségi sor

Egy felsőoktatási intézmény nappali tagozatos hallgatóinak megoszlása születési idejük szerint 2003. szept. 8-án: Születési év

Létszám, fő

1985

986

1984

1 347

azonos fajta adatokat tartalmazó, csoportosító, idősor

1983 és korábban

1 509

(tartamidősor)

Összesen

3 842

13. megoldás: Helyes párosítás a következő: a-C, b-E és D, c-A és F, d-G és B, e-H 14. megoldás: 97.a-b) összehasonlító idősor, leíró sor, mennyiségi sor, csoportosító tábla, háromdimenziós 99.a) egyszerű tábla, kétdimenziós, vízszintesen 4 idősor, függőlegesen 2 leíró sor 100.a) egyszerű tábla, kétdimenziós, vízszintesen 7 idősor, függőlegesen 2 leíró sor 103.a) egyszerű tábla, kétdimenziós, vízszintesen 6 területi sor, függőlegesen 2 leíró sor 111.a) csoportosító tábla, kétdimenziós, vízszintesen 8 idősor, függőlegesen 2 területi sor 112.a) csoportosító tábla, kétdimenziós, vízszintesen 4 idősor, függőlegesen 3 minőségi sor 15. megoldás: Egy felsőoktatási intézmény nappali tagozatos hallgatóinak megoszlása nemek és évfolyamok szerint 2003. szept. 8-án, fő: Évfolyam

Nemek Fiú

Lány

Összesen

I.

433

918

1 351

II.

381

887

1 268

III.

358

865

1 223

1 172

2 670

3 842

Összesen

Kombinációs, kétdimenziós tábla, vízszintesen 4 minőségi sor, függőlegesen 3 mennyiségi sor.

18

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

2. lecke Viszonyszámokról általában. Dinamikus viszonyszám, bázis- és láncviszonyszám. Idősorok elemzése átlagokkal. Bevezetés Ebben a leckében elkezdjük a statisztikai mutatószámokkal való ismerkedést. A statisztikai elemzések egyik legegyszerűbb eszköze a viszonyszám. Ezek fogalmával, számításának általános menetével ismerkedünk meg, majd fajtái közül az egyikkel foglalkozunk részletesen és megismerjük az ehhez kapcsolódó egyéb mutatószámok számítását. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 8 óra


• • • • • • •

megfogalmazni a viszonyszám fogalmát, felsorolni a viszonyszámok fajtáit az adatfajta szerint, elmondani a dinamikus, a bázis és a láncviszonyszám számításának módját, elemezni az adatok időbeli alakulását dinamikus viszonyszámokkal, lánc- és bázisviszonyszámokkal, bázis- és láncviszonyszámokat számítani egymásból, kiszámítani és szövegesen értékelni a változás átlagos mértékét, kiszámítani és szövegesen értékelni a változás átlagos ütemét, meghatározni és kiszámítani a kronológikus átlagot.

Figyelem! Az ebben és a későbbi leckékben megismert képletek nagy részét nem kell fejből megtanulnia! Az alkalmazandó képleteket megtalálja a tananyag végén található mellékletben, a Képletgyűjteményben. Ezt a Képletgyűjteményt nyomtassa ki és a tanulás, feladatmegoldás során mindig legyen Ön előtt! A félévet lezáró számonkéréskor is kap egy ugyanilyen Képletgyűjteményt. Számításos feladatoknál ne csak a végeredményt közölje, hanem írja le a számítás(ok) menetét!

A viszonyszámokról általában Először meg kell tanulnia a viszonyszám fogalmát, számításának általános képletét, legismertebb, leggyakrabban alkalmazott fajtáit. Ezzel a célkitűzések első pontjában felsoroltakat teljesítheti. Kezdje a tanulást a tankönyv 21-22. oldalán található 1.5. Viszonyszámok téma elolvasásával, megtanulásával!

19

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megjegyzés az olvasottakhoz: 1. A viszonyszámok általános jele V, amit a számítások során alkalmazott képletekben kiegészítünk az alsóindexben a nevének kezdőbetűjével! •

Vd: Dinamikus viszonyszám

•

Vm: Megoszlási viszonyszám

•

Vk: Koordinációs viszonyszám

•

Vi: Intenzitási viszonyszám

2. A viszonyszámok kifejezhetők: •

együtthatós formában: pl. 0,975, 1,112, 0,0139 (általában a számítások során alkalmazzuk)

•

százalékos (ezrelékes) formában: pl. 97,5%, 111,2%, 13,9‰

•

kettős mértékegységgel: pl. fő/km2, Ft/fő, tonna/hektár

3. Az az adat, amihez viszonyítunk a viszonyszám számításakor, mindig 100%-nak, (1nek) felel meg! 4. A viszonyszám számításakor együtthatós formában a tizedesvessző után 4 helyiértéket írunk le, mert %-os formában kerekítve 1 tizedes pontossággal dolgozunk – hacsak a feladat másképp nem kéri! Ez a szabály a később tanulandó, %-ban kifejezett más statisztikai mutatószámokra is érvényes lesz! Nézzük, sikerült-e jól megtanulnia a fogalmakat! 1. önellenőrző feladat

Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! a) viszonyszám

A) két időszak (időpont) adatának hányadosa

b) megoszlási viszonyszám

B) a sokaság két részadatának hányadosa

c) koordinációs viszonyszám

C) két egymással logikai kapcsolatban álló statisztikai adat hányadosa

d) dinamikus viszonyszám e) intenzitási viszonyszám

D) különböző fajta (általában különböző mértékegységű) adat hányadosa E) a sokaság egy részének aránya a sokaság egészéhez

20

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! a) amit viszonyítunk (viszonyítandó adat)

A) a számítás eredménye

b) amihez viszonyítunk (viszonyítási alap)

B) azonos fajta adatokból számíthatjuk

c) viszonyszám

C) a számítás számlálója

d) Vm, Vk, Vd

D) különböző fajta adatokból számíthatjuk

e) Vi

E) a számítás nevezője

Folytassuk a tanulást az idősor adataiból számítható viszonyszámok részletes megismerésével. Ezek megtanulásával a célkitűzések 2-4. pontjában felsoroltakat teljesítheti.

A dinamikus viszonyszám, bázis- és láncviszonyszám. A folytatásban először ismételje át a tankönyv 22. oldalán a dinamikus viszonyszámról leírtakat, majd olvassa el a tankönyv 82-86. oldalán a 2.2.1. Idősorok, és a 2.2.2. Dinamikus viszonyszámok című részt.

A dinamikus viszonyszám számításának megértését ellenőrizzük először. 3. önellenőrző feladat


Folytassuk a bázis- és láncviszonyszámok alapadatokból történő számításának ellenőrzését a következő három feladatban. 4. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 20. feladatát! 4. megoldás: A Példatár 106. oldalán. 5. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 74. feladat b) pontját! 5. megoldás: A Példatár 125. oldalán.

21

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Példatár 76. feladat a) és b) pontját! 6. megoldás: A Példatár 126. oldalán.

A következő két feladatban a hiányzó alapadatok bázis- vagy láncviszonyszámokból történő kiszámítását, ill. a hiányzó bázis- és láncviszonyszámok kiszámítását gyakorolhatja. 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a következő feladatot! Egy vállalkozás termelésének alakulására vonatkozó adatok: Év

Termelés ezer db

1995 = 100,0%

előző év = 100,0%

1995 1996

105,0

1997 1998

800

1999

115,0

1995-ről 1997-re 150 ezer db-bal, azaz 25%-kal nőtt a termelés. Feladat: Számítsa ki a hiányzó adatokat! Ha nem tudja elkezdeni a kidolgozást, még ne nézze meg a megoldást, hanem használja a következő információt! 1995-ről 1997-re 150 ezer db-bal, azaz 25%-kal nőtt a termelés: 150 = 25% 100% = Y1995 = 600 7. megoldás: A lecke végén. 8. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 80. feladatát! A kidolgozáskor figyelje a megoldásra fordított időt! (Max. 10-15perc) 8. megoldás: A Példatár 127. oldalán.

Ha szükségesnek érzi, oldjon meg további gyakorló feladatokat a Példatárból: 75., 77., 78., 79., 81., 82.! Az idősor adataiból egyéb mutatószámok is számíthatók. Ismerkedjünk meg ezekkel!

22

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Először az eddigiekben bázis- és láncviszonyszámokkal vizsgált idősor adataiban történt átlagos változás vizsgálatát nézzük meg. Ezzel a célkitűzések 5-6. pontjában leírtakat teljesítheti.

Az idősor adatai változásának átlagos mértéke és üteme Olvassa el a tankönyv 88. oldalán kezdődő 2.2.4. Idősorok elemzése átlagokkal című rész bevezetését, és a 90-93. oldalakon található Az idősor átlagos változásának vizsgálata c. részt.


Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat! a) fejlődés átlagos mértéke

A) az időről időre történő átlagos relatív változást mutatja

b) fejlődés átlagos üteme

B) az időről időre történő átlagos abszolút változást mutatja C) kifejezése a vizsgált jelenség mértékegységében történik D) kifejezése százalékban történik


Számítsa ki és értékelje a fejlődés átlagos mértékét és ütemét a már megoldott példatári 74. feladat adataiból! 10. megoldás: A lecke végén. 11. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 76. c) pontját! (Ugye ismerős a feladat! Az a) és b) pontot az 5. önellenőrző feladatban megoldotta, az ott kiszámított eredményeket használja fel!) 11. megoldás: A Példatár 126. oldalán. 12. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 87. feladatát! 12. megoldás: A Példatár 129. oldalán.

23

Szolnoki Főiskola


Távoktatás



További gyakorló feladatok: Példatár 84., 85., 86., 89. Utolsó lépésként az idősor adatai átlagos értékének meghatározása a tananyag. Ezzel leckénk utolsó célkitűzésének teljesítéséhez érkezett.

Kronológikus átlag Olvassa el a tankönyv 88-90. oldalán található „Az idősorok átlagos értékének meghatározása” című részt.


Egészítse ki az alábbi mondatokat! Melyik szám helyére melyik kifejezés illik? Párosítsa a számokat a betűkkel! A kronológikus átlagot kizárólag 1) .......... adatainak átlagolására használjuk.

a) ½-½;

A kronológikus átlag olyan 2) .......... , melynél az első és az utolsó adat súlya 3) .......... , a közbeeső adatok súlya pedig 4) .......... . A súlyok összege (azaz a nevezőben szereplő szám) így: 5) ..........

c) súlyozott számtani átlag;

b) n–1; d) állapotidősor; e) 1


Egy kereskedelmi vállalkozás I. negyedévi árukészletére vonatkozó adatok: Időpontok

Árukészlet (eFt)

január 1.

3 500

február 1.

4 200

március 1.

3 820

április 1.

4 100

Feladat: Számítsa ki az I. negyedév átlagos árukészletét! Ugye tudja? Egy időszak első napjának adata (nyitó adat) megegyezik az előző időszak utolsó napjának adatával (záró adat)! 15. megoldás: A lecke végén.

További gyakorló feladatok: Példatár 90., 91.

24

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Befejezés Ezzel befejeztük az idősor elemzésére szolgáló dinamikus viszonyszám, bázis- és láncviszonyszámok megismerését, megtanulta ezek kiszámítását, az idősor átlagos értékének és átlagos változásának meghatározását. Reméljük, hogy az önellenőrző feladatokon keresztül sikerült megértenie ezen mutatószámok alkalmazását. A következő leckében folytatjuk a viszonyszámokkal való ismerkedést a csoportosító és leíró sorokból számítható viszonyszámokkal, a viszonyszámok közötti összefüggésekkel.

Megoldások 1. megoldás: A helyes megoldás: a-C, b-E, c-B, d-A, e-D 2. megoldás: A helyes megoldás: a-C, b-E, c-A, d-B, e-D 3. megoldás: a) Dinamikus viszonyszám b) Vd = 0,2282 c) Y1980 = 20 323 / 0,2282 = 89 058 lakás 1980-ban 89 058 lakás épült Magyarországon. 7. megoldás: Egy vállalkozás termelésének alakulására vonatkozó adatok Év

Termelés ezer db

1995 = 100,0%

előző év = 100,0%

1995

600

100,0

---

1996

600 *1,05 = 630

105,0

105,0

1997

600 + 150 = 750

100 + 25 = 125,0

750 / 630 = 119,0

1998

800

800 / 600 * 100 =133,3

800 / 750 = 106,7

1999

800 *1,15 = 920

920 / 600 * 100 = 153,3

115,0

1995-ről 1997-re 150 ezer db-bal, azaz 25%-kal nőtt a termelés. Feladat: Számítsa ki a hiányzó adatokat! 150 = 25% 100% = Y1995 = 600 9. megoldás: Helyes megoldás: a-B és C, b-A és D

25

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

10. megoldás:

33,6 − 37,6 − 4 = = −0,5 millió fő / év 9 −1 8 33,6 l = 9 −1 = 0,9860 = 98,6% vagy l = 8 0,894 = 0,9860 = 98,6% vagy 37,6 d=

l = 8 0,886 * 1,006 * 1,212 * 0,98 * 0,985 * 1,015 * 0,937 * 0,901 = 0,9860 = 98,6% (A három közül bármelyik megoldás jó, nem kell mindhármat kiszámítani. Mindig a leggyorsabban számolhatót célszerű választani, ha többféleképpen is lehet.) 1990-1998 között a Magyarországra érkező külföldiek száma évente átlagosan 0,5 millió fővel, azaz 1,4%-kal csökkent. 14. megoldás Helyes válasz: 1-d, 2-c, 3-a, 4-e, 5-b 15. megoldás:

3500 4100 + 4200 + 3820 + 2 = 3940 ezer Ft Yk = 2 4 −1 A kereskedelmi vállalkozásnál az árukészlet átlagos értéke az I. negyedévben 3 940 ezer Ft volt.

26

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

3. lecke Megoszlási, koordinációs, intenzitási viszonyszámok. A viszonyszámok összefüggései Bevezetés Ebben a leckében folytatjuk a viszonyszámokkal kapcsolatos ismeretek feldolgozását. Megismerheti a megoszlási, a koordinációs és az intenzitási viszonyszám kiszámításának módját, gyakorolhatja ezek kiszámítását különböző módon megadott adatokból. Megvizsgáljuk a viszonyszámok közötti összefüggéseket, gyakorolhatja a viszonyszámok kiszámítását az összefüggés felhasználásával. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 8 óra


• • • • • • • •

elmondani a megoszlási és a koordinációs viszonyszám számításának módját, kiszámítani a megoszlási és koordinációs viszonyszámokat a megadott adatokból, felismerni és értékelni a megoszlási és dinamikus viszonyszámok közötti összefüggéseket, elmondani az intenzitási viszonyszám számításának módját, felsorolni az intenzitási viszonyszámok lehetséges fajtáit, kiszámítani az intenzitási viszonyszámokat a megadott adatokból, felismerni az összefüggést a nyers és tisztított intenzitási viszonyszám és a megoszlási viszonyszám között, felismerni és értékelni a dinamikus és az intenzitási viszonyszámok közötti összefüggéseket.

Kezdjük a tanulást a csoportosító sorból számítható megoszlási és koordinációs viszonyszám megismerésével. Ezzel a célkitűzések első két pontjában felsoroltakat teljesítheti.

Megoszlási és koordinációs viszonyszám Kérem ismételje át a tankönyv 21-22. oldalán található anyagrészt.

Megjegyzés az olvasottakhoz: A megoszlási viszonyszám értéke mindig kisebb 1-nél, azaz 100%-nál. Ha minden részsokaságra kiszámítjuk a megoszlási viszonyszámokat, összegük 1, azaz 100% kell, hogy legyen. Ha összegük 99,9% vagy 100,1%, akkor ez a viszonyszámok kerekítéséből adódhat. Ekkor az utolsó részsokaság megoszlási viszonyszámát úgy javítjuk, hogy az összegük 100% legyen!

27

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A koordinációs viszonyszám számításakor, ha a nevező 1 egységére eső érték túl kicsi, értelmezhetetlen vagy a kerekítés miatt pontatlan, szokás a nevező 100 vagy 1 000 egységére számítani a mutatószámot. Először ellenőrizze a fogalmak megértését! 1. önellenőrző feladat

Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat! a) megoszlási viszonyszám b) koordinációs viszonyszám

A) A sokaság egy részének adatát a sokaság egy másik részének adatához viszonyítjuk. B) A sokaság egy részének adatát osztjuk a sokaság egészének adatával. C) kifejezése %-ban D) kifejezése természetes mértékegységben

Gyakorolja a most megismert viszonyszámok kiszámítását a következő két önellenőrző feladat alapján! 2. önellenőrző feladat

A fizikai foglalkozású aktív keresők számának megoszlása szakképzettség szerint 1989. január 1-jén: Megnevezés

Létszám, ezer fő

Szakmunkás

1 300

Betanított munkás

1 030

Segédmunkás Összesen

370 2 700

Feladat: Vizsgálja a fizikaiak szakképzettség szerinti összetételét viszonyszámokkal! Számítsa ki a 100 segédmunkásra jutó betanított munkások számát! 2. megoldás: A lecke végén. 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 19.b) feladatát! 3. megoldás: A lecke végén.

További gyakorló feladatok: Példatár 15.d, 18.b,c

28

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Összefüggés a megoszlási és dinamikus viszonyszámok között Az ebben a leckében megismert megoszlási viszonyszám és az előző leckében tanult dinamikus viszonyszám között kapcsolat lehet. A következőkben ezzel ismerkedhet meg, és így a célkitűzések harmadik pontjában felsoroltakat teljesítheti. Kérem olvassa el a tankönyv 118-121. oldalán a Szerkezet- és dinamikai változás vizsgálata tananyagot.

Megjegyzés az olvasottakhoz Ha egy sokaság csoportosítása ismert a bázis- és a tárgyidőszakban is, akkor kiszámíthatjuk a megoszlási viszonyszámokat mindkét időszakban (Vm0j és Vm1j). Ezen kívül kiszámíthatjuk a részsokaságok adatai dinamikus viszonyszámait (Vdj) és a teljes sokaságra vonatkozó együttes (átlagos) dinamikus viszonyszámot (átlagos Vd). A szerkezet (összetétel) és a dinamika közötti összefüggés egy adott (j-dik) részsokaságra: Vm0 j * Vd j = Vm1 j * V d →

ha Vd j > V d akkor Vm1 j > Vm0 j ha Vd j < V d akkor Vm1 j < Vm0 j

Tehát, ha egy részsokaság adata nagyobb mértékben nőtt mint a teljes sokaságé, akkor az aránya a tárgyidőszakban nagyobb mint a bázisidőszakban. Ne feledje!

∑V

m0 j

= ∑ Vm1 j = 100,0% !!


Oldja meg a példatár 112. b) pontból a vizsgálatot 1960-ról 1980-ra és a c) pontot! 4. megoldás: a lecke végén.

Gyakorlásképpen megoldhatja a 112.b) pontból kimaradt részt. További gyakorló feladatok: Példatár 21., 113-115.

Intenzitási viszonyszámok A viszonyszámok utolsó fajtája a különböző fajta adatokból – így leíró sorból – számítható intenzitási viszonyszám. Folytassuk a tananyagot az ehhez kapcsolódó ismeretek feldolgozásával. Ezzel a célkitűzések 4-7. pontjában felsoroltakat teljesítheti. Kérem olvassa el a tankönyv 22., 103-106. oldalait!

Ne feledje! Ha egy viszonyszámnak kettős mértékegysége van, az biztos, hogy intenzitási viszonyszám. Ha úgy érzi, hogy elsajátította ezt a tananyagot, oldja meg a következő önellenőrző feladatot!

29

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! a) intenzitási viszonyszám b) egyenes intenzitási viszonyszám c) fordított intenzitási viszonyszám d) nyers intenzitási viszonyszám e) tisztított intenzitási viszonyszám

A) egymásból a tiszta rész aránya segítségével kiszámítható B) a viszonyítandó adatot a teljes viszonyítási alaphoz viszonyítjuk C) két különböző fajta adat hányadosa

f) tiszta rész aránya

D) értékének növekedése kedvezőtlen irányú változást jelent

g) egyenes és fordított intenzitási viszonyszám

E) megoszlási viszonyszám

h) nyers és tisztított intenzitási viszonyszám

F) a viszonyítandó adatot a vele szorosabb kapcsolatban álló részsokaság adatával osztjuk G) értékének növekedése kedvező irányú változást jelent H) egymás reciproka

A következő három önellenőrző feladatban végezzen számításokat az intenzitási viszonyszámokról tanultak alapján a különbözőképpen megadott adatokból! 6. önellenőrző feladat

Egy régió kereskedelmi hálózatára vonatkozó adatok a vizsgált évben (az állapotadatok december 31-re vonatkoznak): Megnevezés

Adat

Üzletek száma

10 120

A kereskedelemben foglalkoztatottak száma, fő

46 286

ebből: eladók száma, fő

32 400

Az üzletek forgalma, millió Ft

600 000

A régió lakossága, ezer fő

2 350

A régió területe, ezer km2

32

Feladat: Számítson a fenti adatokból intenzitási viszonyszámokat! (Nevezze meg pontosan, lássa el mértékegységgel!) Nevezze meg, hogy melyik nyers és tisztított, illetve egyenes és fordított mutatószám! 6. megoldás: A lecke végén.

30

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Példatár 103.b feladatát! 7. megoldás: A Példatár 131. oldalán. 8. önellenőrző feladat


Az ebben a leckében megismert megoszlási és intenzitási viszonyszámok között kapcsolat lehet. A következőkben ezzel ismerkedhet meg, és így a célkitűzések utolsó pontjában felsoroltakat teljesítheti.

Összefüggés az intenzitási és dinamikus viszonyszámok között Kérem olvassa el a tankönyv 108-109. oldalán az Intenzitási viszonyszámok dinamikus viszonyszámának számítása című részt.

Megjegyzés az olvasottakhoz: Intenzitási viszonyszám időbeli alakulása kétféle módon számítható:

•

A tárgyidőszaki intenzitási viszonyszám (Vi1) és a bázisidőszaki intenzitási viszonyszám (Vi0) hányadosaként.

•

Az intenzitási viszonyszám számlálójának változása (VdA) és nevezőjének változása (VdB) hányadosaként.

A következő önellenőrző feladatokban gyakorolhatja a most megtanultak megértését. 9. önellenőrző feladat

Egy ipari vállalkozás adatai: Megnevezés Termelési érték, ezer Ft Foglalkoztatottak száma, fő

Bázisidőszak

Tárgyidőszak

60 000

59 040

300

288

Feladat: A) Számítsa ki a termelékenységet (1 főre jutó termelési érték) mindkét időszakban és vizsgálja alakulását a bázisidőszakról a tárgyidőszakra! B) Vizsgálja a termelési érték és a foglalkoztatottak számának alakulását a bázisidőszakról a tárgyidőszakra, majd ennek felhasználásával vizsgálja a termelékenység alakulását!

31

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Egy kereskedelmi vállalkozásnál 2002-ről 2003-ra a dolgozóknak kifizetett bérek összege 1,3%-kal nőtt, miközben a dolgozók létszáma 5%-kal csökkent. Feladat: Értékelje, hogyan alakult a dolgozók átlagbére 2002-ről 2003-ra! 11. önellenőrző feladat


Oldja meg a Példatár 101.b feladatát! 12. megoldás: A Példatár 130. oldalán. 13. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 102.a,b feladatát! 13. megoldás: A Példatár 130. oldalán.

Befejezés Ezzel befejeztük a statisztikai elemzések legegyszerűbb eszközének, a viszonyszámoknak a megismerését. Reméljük sikerült szilárd alapokat lerakni, hiszen a továbbiakban erre fogunk építkezni. A következő leckében az ismérvek, így a statisztikai sorok egy újabb fajtájának, a mennyiségi soroknak a különböző elemzési eszközeivel fogunk megismerkedni.

32

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megoldások 1. megoldás: Helyes válasz: a-B és C, b-A és D 2. megoldás: a) összetétel vizsgálata: megoszlási viszonyszámok: javított, végleges Vm szakmunkás

Vm = 1300 / 2700 = 0,4814 =

48,1%

48,1%

betanított munkás

Vm = 1030 / 2700 = 0,3814 =

38,1%

38,1%

segédmunkás

Vm = 370 / 2700 = 0,1370 =

13,7%

13,8%

összesen

99,9% !!

100,0%

1989. január 1-jén a fizikai foglalkozású aktív keresők 48,1%-a szakmunkás, 38,1%-a betanított munkás és 13,8%-a segédmunkás. b) Vk =

1030 * 100 = 278 fő betanított munkás/100 fő segédmunkás 370

3. megoldás:

Életkor (év)

Tagok számának megoszlása, %

– 49

2,9

50 – 59

19,0

60 – 69

33,8

70 – 00

44,3 !

Összesen

100,0

4. megoldás: Magyarország népességének megoszlása lakóhely szerint 1960-ban és 1980-ban, és a népesség számának alakulása 1960-1980 között: Magyarország népességének Megnevezés

megoszlása, % 1960

1980

száma 1980-ban az 1960. évi %-ában

Budapest

17,9

19,2

115,5

A többi város

36,5

43,8

128,8

Községek

45,6

37,0

87,3

Együtt

100,0

100,0

107,5

Magyarország népessége 1960 és 1980 között 7,5%-kal nőtt. A budapesti és a többi városok népessége ennél nagyobb mértékben nőtt, ezért a népességen belüli arányuk is nőtt: a budapesti lakosok száma 15,5%-kal nőtt, így az arányuk 17,9%-ról 19,2%-ra, azaz 1,3 százalékponttal nőtt, a többi városokban lakók száma pedig 28,8%-kal lett több, ezért az arányuk a budapestiekénél jobban, 36,5%-ról 43,8%-ra, azaz 7,3 százalékponttal nőtt. Ugyanekkor a községekben élők száma csökkent 12,7%-kal és így a népességen belüli arányuk is csökkent 45,6%-ról 37%-ra, azaz 8,6 százalékponttal.

33

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

5. megoldás: Helyes megoldás: a-C, b-G, c-D, d-B, e-F, f-E, g-H, h-A 6. megoldás:

1 lakosra jutó forgalom

Vi = 600 000 / 2350 = 255,3 eFt/fő

egyenes

1 üzletre jutó forgalom

Vi = 600 000 / 10 120 = 59,3 mFt/üzlet

egyenes

1 dolgozóra jutó forgalom

Vi = 600 000 / 46 286 = 12,96 mFt/fő

egyenes, nyers

1 eladóra jutó forgalom

Vi = 600 000 / 32 400 = 18,52 mFt/fő

egyenes, tisztított

népsűrűség

Vi = 2350 / 32 = 73,4 fő/km2

fordított

8. megoldás:

1 lakosra jutó kávéfogyasztás (Vi nyers) =

kávémennyiség ( A) lakosok száma ( B )

Vm = 74,1% 1960: Vi nyers = 0,1 kg/fő Vm = 79,2% 1990: Vi nyers = 0,1 * 27 = 2,7 kg/fő 1 felnőtt lakosra jutó kávéfogyasztás = Vi tisztított Vi tiszt. = Vi nyers / Vm 1960: Vi tiszt. = 0,1 / 0,741 = 0,135 kg/fő 1990: Vi tiszt. = 2,7 / 0,792 = 3,409 kg/fő változása: Vd = 3,409 / 0,135 = 25,25 Az 1 felnőtt lakosra jutó kávéfogyasztás 1960-ról 1990-re a 25-szörösére nőtt. 9. megoldás

termelési érték ( A) létszám ( B) 60000 Bázisidőszak: Vi 0 = = 200 eFt / fő 300 59040 Tárgyidőszak: Vi1 = = 205 eFt / fő 288 205 = 1,025 = 102,5% A termelékenység alakulása: Vd Vi = 200

a) termelékenység (V ) =

A bázisidőszakról a tárgyidőszakra 2,5 %-kal nőtt a termelékenység a vállalkozásnál.

59040 288 = 0,984 = 98,4% Vd B = = 0,96 = 96,0% 60000 300 0,984 = 1,025 = 102,5% Vd Vi = 0,96

b) Vd A =

10. önellenőrző feladat megoldása:

átlagbér (V ) = VdA = 101,3%

bér ( A) létszám ( B) VdB = 95,0%

Vd Vi =

1,013 = 1,0663 = 106,6% 0,95

2002-ről 2003-ra a dolgozók átlagbére 6,6%-kal nőtt.

34

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

11. megoldás

egy oktatóra jutó hallgatók száma (V ) = 1997: B = 17 302 fő 1998: B = 21 323 fő

Vd Vi =

hallgatók száma ( A) oktatók száma ( B)

Vi = 5,92 fő hallg./okt. A = 17 302 * 5,92 = 102 428 fő hallg. A = 258 315 fő Vi = 258 315 / 21 323 = 12,11 fő hallg./okt.

12,11 = 2,0456 = 204,6% 5,92

1997-ről 1998-ra az egy oktatóra jutó hallgatók száma 104,6%-kal nőtt. más módon:

258315 21323 = 2,5219 = 252,2% Vd B = = 1,2324 = 123,2% 102428 17302 2,522 = 2,0470 = 204,7% (A 0,1 eltérés a kerekítések miatt van, nem hiba.) Vd Vi = 1,232 Vd A =

35

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

4. lecke Mennyiségi ismérv szerinti elemzés I. Bevezetés Ebben a leckében az egy ismérv – jelen esetben a mennyiségi ismérv – szerint csoportosított adathalmazt elemezzük. Megismerkedünk a mennyiségi sort jellemző legfontosabb mutatószámokkal, azok számításával, és az eredmények értelmezésével. Bizonyára lesznek olyan fogalmak és kifejezések, amelyeket már ismer -akár matematikából, akár a mindennapi szóhasználatból-, és csupán pontosítja, vagy átismétli ezeket, így az elkövetkezőkben magabiztosabb lesz a használatukkor. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 12 óra


• • • • • • • •

áttekinthető formába rendezni a mennyiségi ismérv szerinti megfigyelés adatait, elkészíteni a mennyiségi sorok lehetséges típusait, meghatározni az átlag, a módusz, a medián, az alsó és a felső kvartilis fogalmát, meghatározni az adatok átlagát, kiszámítani az adatok móduszát, kiszámítani az adatok mediánját, meghatározni az adatok alsó és felső kvartilisét, szövegesen elemezni a kiszámított mutatószámokat. Kezdje a tanulást a tankönyv 34-48. oldalán található 2.1.1. A mennyiségi ismérv, 2.1.2. A gyakorisági sorok, 2.1.3. Értékösszeg-sor című fejezetek elolvasásával, megtanulásával.

Talán első ránézésre soknak tűnik az új fogalmak mennyisége, de higgye el, hogy ismeretük fontos a feladatok megértéséhez.

Megjegyzés az olvasottakhoz: A kumulálást elegendő az intervallumok értékeinek növekedésével megegyező irányban elvégeznie, tehát „felfelé” kumulálni az adatokat. Most pihenjen egy kicsit! Később, ha szükséges, lapozzon majd vissza a fogalmakhoz, hogy azok rögzüljenek az emlékezetében! Ha úgy érzi, hogy elsajátította ezt a tananyagot, oldja meg az önellenőrző feladatot! Az első önellenőrző feladat megoldásával megfigyelheti, hogyan rendezzük áttekinthető formába a mennyiségi ismérv szerinti megfigyelés eredményeit. Megtanulja a mennyiségi sor különböző típusainak elkészítését.

36

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Példatárból a 44.d) feladatot! 1. megoldás: A Példatár 114. oldalán. Folytassuk a tanulást a Számított középértékek (1.6. fejezet, Tk. 2330. o.) részletes megismerésével.

Ebben a tankönyvi fejezetben az átlagokkal, más néven a számított középértékekkel ismerkedünk meg.

Megjegyzés az olvasottakhoz: Bár a harmonikus átlag képletében is az általánosan használt „fi” jelöli a súlyokat, ha értékösszegsor adataiból számítjuk, az „fi” helyébe az „si” adatok kerülnek! Vagyis:

xh =

∑f f ∑x

i i

i

→ xh =

∑s s ∑x

i i

=

∑s ∑f

i

.

i

i

A statisztikai gyakorlatban a mértani átlagot – ahogy már a 2. leckében láttuk -, a láncviszonyszámok átlagolására használjuk. A négyzetes átlagot elsősorban a szórás számításánál fogjuk használni. Ön most egy igen fontos szakasz végére ért. Az itt tanultakat nem csupán az aktuális fejezet feladatainak megoldásánál hasznosítja majd, hanem a következő fejezetek mindegyikében szüksége lesz az itt megszerzett ismeretekre. Az alábbi feladat megoldásával az átlagszámítást gyakorolhatja. A számológépe statisztika üzemmódjában is elvégezheti a műveletet, de minden esetben jelölje ki a számítást az első és az utolsó adatpár behelyettesítésével! 2. önellenőrző feladat

Válaszolja meg a Példatárból a 44. példa e) feladatának első kérdését, úgy, hogy a helyzetmutatók közül csak az átlagot számolja ki! Foglalja egy mondatba az eredményt! 2. megoldás: a Példatár 115. oldalán.

A következő tananyagrész a helyzeti középértékekkel ismerteti meg Önt. Egy sokaságnak valamilyen mennyiségi ismérv szerinti tömör jellemzésére a számtani átlag mellett leggyakrabban a helyzeti középértékeket használjuk. Meghatározásuknál a vizsgált értékek elhelyezkedése (eloszlása) a döntő. A tényleges értékek egy része - pl. a legnagyobb és legkisebb néhány érték - lehet, hogy egyáltalán nem befolyásolja a helyzeti középértéket. Kérem, tanulmányozza figyelmesen a tankönyv 54-63. oldalait! (2.1.5. Helyzetmutatók. Helyzeti középértékek: átlag, módusz, medián)

37

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Érdekes! A latin módusz szóból származik a módi, divat ill. divatos szavunk, ami a szó eredeti jelentésére, a sűrűn előfordulóra utal. A medián értelmezéséhez talán segítségére lesz, ha arra gondol, hogy az M-es méretű ruha közepes nagyságú. Ha Ön is úgy gondolja, oldja meg az alábbi feladatokat, amelyek a középértékek fogalmát és számítását gyakoroltatják. 3. önellenőrző feladat

Számítsa ki 20 személyautó tipikus benzin-fogyasztását az alábbi adatok segítségével! Értelmezze az eredményt! Benzin-fogyasztás (l/100 km)

Osztály-közép

Autók száma

3,0-6,0

4,5

8

6,1-10,0

8,0

9

10,1-14,0

12,0

3

-

20

Összesen:


Válaszoljon a Példatárból a 44. példa e) feladatának első kérdésére úgy, hogy a helyzetmutatók közül a móduszt és a mediánt számolja ki! Foglalja egy-egy mondatba az eredményt! 4. megoldás: A Példatár 115. oldalán található.

Ebben az anyagrészben a helyzetmutatók harmadik csoportjával ismerkedünk meg. Kérem, olvassa el a tankönyvben a Kvantilisek című szakaszt, a 63-67. oldalakon!

Megjegyzés az olvasottakhoz: 1. Bizonyára feltűnt Önnek, hogy ebben a témakörben is szerepel a medián. Medián nem csak egy helyzeti középérték, hanem egyben kvantilis is, amelyik egy osztópont segítségével két egyenlő részre osztja a rangsorba rendezett sokaságot. 2. A példamegoldásokhoz elegendő begyakorolnia a kvartilisek számítását és értelmezését, a számítás menete azonos a mediánnál megtanult eljárással. 3. Figyelem! A kvantilis és a kvartilis nem keverendő össze! Ön most egy nehéz, tartalmas szakasz végére ért. Ha elég erőt gyűjtött, vágjon bele a lecke utolsó önellenőrző feladatainak megoldásába! Az 5. feladatban ellenőrizheti, hogy ki tudja-e számítani az alsó és a felső kvartilist, valamint azt, hogy ismeri-e az eredmények jelentését. A 6. feladat segítségével átismételheti a középértékek meghatározásait.

38

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Válaszolja meg a Példatárból a 44. példa e) feladatának első kérdését, úgy, hogy a helyzetmutatók közül a kvartiliseket számolja ki! Foglalja egy-egy mondatba az eredményt! Készítse el a kvartilis-eloszlás táblázatát! 5. megoldás: A Példatár 115-116. oldalán található. 6. önellenőrző feladat

Párosítsa össze a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat. Fogalmak:

Meghatározások:

A) Alsó kvartilis B) Felső kvartilis

a) Ennél az ismérvértéknél ugyanannyi kisebb, mint nagyobb ismérvérték fordul elő az adatsorban.

C) Módusz

b) Ez az ismérvérték 25%-75% arányban osztja meg a sokaságot.

D) Medián

c) Ez a leggyakrabban előforduló ismérvérték. d) Ennél az ismérvértéknél az ismérvértékek háromnegyede kisebb. e) Ez a középső ismérvérték. f) Ennél az ismérvértéknél az ismérvértékek negyede kisebb.

Ha további gyakorló feladatokra van szüksége, figyelmébe ajánlom a Példatár 45. példájának c) feladatát, f) pontjának első kérdését, továbbá a 46.b) első kérdését. Az eredményeket megtalálja a Megoldások című résznél.

Befejezés A következő leckében folytatjuk a mennyiségi sor elemzését. Megismerkedünk a szóródás mérőszámaival, az aszimmetria mutatószámaival, valamint a koncentráció-elemzés eszközeivel.

39

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megoldások 3. megoldás Figyelje meg, hogy az osztályközök hossza nem egyenlő (az első 6-3=3; a második 10-6=4; a harmadik 14-10=4), ezért a gyakoriságokat át kell számítanunk egységnyi hosszra! Legyen a választott egységnyi hossz a 3 liter. Ekkor második intervallumba eső átszámított gyakoriság megközelítőleg 6,75 lesz, a harmadikba kerülő 2,25. (

3 9 * 3 = 6,75 ill. * 3 = 2,25 ) 4 4

Ekkor már jól látható, hogy a módusz 3,0 és 6,0 liter között van. A „nyers módusz” az osztályközép, 4,5 liter. Azt is megállapíthatjuk, hogy a tipikus benzinfogyasztás 4,5 és 6,0 liter között lesz, hiszen a magasabb kategóriában 9 autó található, alacsonyabb pedig nincs is. Ezután a módusz becsült értéke:

Mo = mo +

k1 8−0 *h = 3+ * 3 = 5,6 liter / 100 km (8 − 0) + (8 − 6,75) k1 + k 2

A 20 autót megvizsgálva az tapasztalható, hogy a tipikus fogyasztás 5,6 liter. Ugye megtanulta? Bármilyen intervallum hosszúságot választunk egységnyinek, a módusz ugyanannyi lesz minden esetben! 6. megoldás Helyes válasz: A-b,f ; B-d; C-c; D-a,e

40

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

5. lecke Mennyiségi ismérv szerinti elemzés II. Bevezetés Ebben a leckében folytatjuk a mennyiségi ismérv szerint csoportosított adatok elemzését. Megismerkedünk a szóródás és az aszimmetria mérőszámaival. Megvizsgáljuk, hogy tapasztalható-e koncentráció. Tovább folytatjuk a szöveges értékelés módjának tanulását. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 12 óra.


•

meghatározni a szóródás terjedelme, a szórás, a relatív szórás, az átlagos eltérés, az átlagos különbség, az aszimmetria, a koncentráció fogalmát, meghatározni az adatok szóródásának

•

• • • •

•

terjedelmét,

•

szórását,

•

relatív szórását, jellemezni a sokaság megadott adatok szerinti eloszlását az aszimmetria Pearson-féle és F-mutatójával, vizsgálni az adatok koncentrációját a relatív gyakoriságok és relatív értékösszegek összehasonlításával, értékelni a koncentrációt egy adott Lorenz-görbe segítségével, részletes szöveges elemzést készíteni a sokaságról a kiszámított statisztikai mutatószámok alapján.

A helyzetmutatók az eloszlásnak csak egyetlen tulajdonságát adják meg, a vízszintes tengelyen való elhelyezkedését. Az adott sokaság eloszlása azonban nagyon sokféle lehet (Tk. 2.11. ábra). Ezért fontos információkkal szolgál az ismérvértékek szóródásának ismerete. Tekintsük át a legfontosabb szóródási mérőszámokat! Kérem, olvassa el a tankönyvben a következő részeket: 2.1.6. Szóródási mutatók: Tk. 67-69. o. A szóródás terjedelme: Tk. 69. o. Szórás: Tk. 71-73. o. Relatív szórás: Tk. 75-76. o. Átlagos eltérés fogalma: Tk. 69. o. (dőlt betűvel). Átlagos különbség fogalma: Tk. 74. o. (dőlt betűvel)

41

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megjegyzés az olvasottakhoz: 1. A feladatok megoldása során az interkvantilis terjedelem-mutatók közül az interkvartilis terjedelem (IQT) számítását kérjük Öntől. Az interkvartilis terjedelem a két szélső kvartilis értékének különbsége: IQT=Q3-Q1. Értelmezése: a sokaság középső felében a legnagyobb és a legkisebb ismérvérték különbsége. 2. Figyelem! A szórás és a szóródás nem ugyanaz! 3. Átlagos eltérés és az átlagos különbség fogalmát ismernie kell, de kiszámításukat nem kérjük számon. 4. A szórás számítását – hasonlóan az átlaghoz – a számológép statisztika üzemmódjában is elvégezheti. A dolgozatok feladatainak megoldásakor azonban minden esetben jelölje ki a számítást! Elegendő csak az első és az utolsó adatpár felhasználásával behelyettesítenie. Az alábbi feladat segítségére lesz a szóródási mérőszámok számításának és értelmezésének gyakorlásában. 1. önellenőrző feladat

Válaszolja meg a Példatárból a 44. példa e) feladatának második kérdését, úgy, hogy a szóródási mérőszámok közül a szóródás terjedelme, az interkvartilis terjedelem, a szórás és a relatív szórás mutatókat számolja ki! Foglalja egy-egy mondatba az eredményt! 1. megoldás A megoldás - az interkvartilis terjedelem kivételével – a Példatár 116. oldalán található. Az interkvartilis terjedelem számítását és értelmezését a lecke végén találja meg.

A következő részben az egymóduszú gyakorisági sorok eloszlásával ismerkedünk meg. Megfigyeljük, hogy az eloszlások lehetnek szimmetrikusak és aszimmetrikusak. Az aszimmetrikus eloszlások mutathatnak bal oldali vagy jobb oldali aszimmetriát, attól függően, hogy a szimmetrikushoz képest merre „ferdülnek”. Mutatószámokkal mérhetjük a ferdeség fokát. Kérem, tanulmányozza a tankönyv 76-78. oldalait (2.1.7 Az aszimmetria mutatószámai)!

A következő önellenőrző feladat az aszimmetria mutatószámainak kiszámítását gyakoroltatja. 2. önellenőrző feladat

Válaszoljon a Példatárból a 44. példa utolsó kérdésére! Foglalja egy mondatba az eredményt! 2. megoldás: A Példatár 117-118. oldalán található.

Az alábbi megtanulandó részben arra a kérdésre keresünk választ, hogy tapasztalható-e koncentráció? Fenn áll-e az a megállapítás, hogy az értékösszeg kevés számú egységre összpontosul? Megismerkedünk a koncentráció-elemzés módszereivel. 42

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Kérem, olvassa el a tankönyvben a 2.1.8. A koncentráció elemzése című fejezetet a 79-82. oldalakon!

Megjegyzés az olvasottakhoz: Megkülönböztetünk abszolút és relatív koncentrációt. Abszolút koncentrációról akkor beszélünk, ha a teljes értékösszeg csekély számú egységre jut; relatív a koncentráció akkor, ha az értékösszeg egyenetlenül oszlik el a sokaság egységei között. Ez utóbbi tulajdonképpen az értékek szóródása, melynek elemzésére több eszköz is rendelkezésünkre áll, pl. a Lorenz-görbe, a koncentrációs táblázat és a kvantilis eloszlás. A bevezetőben feltett kérdésre – tapasztalható-e koncentráció? – adott választ legszemléletesebben a Lorenz-görbe mutatja. Bár ez a legelterjedtebb eszköze a relatív koncentráció elemzésének, figyelmébe ajánlom a koncentrációs táblázatot, amely gyors információt ad a vizsgált kérdésre. Ez a módszer a két póluson adódó viszonyszámok szembeállításával fejezi ki a tömörülést: (A két póluson adódó viszonyszámok szembeállítása függ az osztályközök nagyságától, ezért nem ad eléggé egzakt információt a koncentráció mértékéről.) Bár a példatári feladatok elsősorban a Lorenz-görbe készítését helyezik előtérbe, a tényleges számonkéréskor célszerűbb a koncentrációs tábla használata. A Lorenz-görbe elkészítéséhez ugyanis nem elegendő a sima papír és a toll használata, négyzetrácsos papír és vonalzó nélkül munkája pontatlan lehet. Ezért átalakítottam a példatári feladatok koncentrációhoz kapcsolódó kérdéseinek egy részét, kérem, figyeljen erre! Az 5. lecke végére értünk. Most lássuk az önellenőrző kérdéseket! Megoldásukkal gyakorolhatja a Lorenz-görbe ábrázolását, valamint a koncentrációs tábla készítését és értékelését. 3. önellenőrző kérdés

A táblázat 20 személyautó benzin-fogyasztásának alakulását mutatja Benzin-fogyasztás (l/100 km)

Autók száma

3,0 - 6,0

8

6,1 - 10,0

9

10,1 - 00,0

3

Összesen:

20

Vizsgálja meg a koncentrációt, koncentrációs tábla segítségével! 4. önellenőrző kérdés

Oldja meg a Példatár 48.b) és c) feladatát! Figyelem! A c) feladat tulajdonképpen a b) feladat megoldásának koncentrációs táblaként való értelmezése! 4. megoldás: A Példatár 119. oldalán megtekinthető.

43

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

5. önellenőrző kérdés

Oldja meg a Példatár 48.d) feladatát! 5. megoldás: A Példatár 119. oldalán található.

Ha további gyakorló feladatokra van szüksége, figyelmébe ajánlom a Példatár 45.példa f) pontjának második és harmadik kérdését, a 46.b) második és harmadik kérdését, valamint az 50.c) feladatot. Az eredményeket megtalálja a Megoldások című résznél.

Befejezés Reméljük, sikeresen vette az akadályokat! Megtanulta az elméleti tananyagot és jól megoldotta a feladatokat. Mi is kíváncsian várjuk, hogy hol tart a tanulásban, ezért összeállítottunk Önnek egy feladatsort. Vegyen egy nagy levegőt és vágjon bele! Sok sikert!

Megoldások 1. megoldás IQT= 195,2-66,7=128,5 fő A vállalatok középső felében, a legnagyobb és a legkisebb létszám között, megközelítőleg 129 fő az eltérés. 3. megoldás

Benzin-fogyasztás (l/100 km)

Relatív gyakoriság

Relatív értékösszeg

xi

gi (%)

zi (%)

3,0-6,0

40,0

25,0

6,1-10,0

45,0

50,0

10,1-14,0

15,0

25,0

Koncentráció tapasztalható. Megállapítható, hogy a vizsgált személygépkocsik 45%-a (azok, amelyek 6 és 10 liter közötti mennyiséget fogyasztanak) használja fel az összes, vagyis a 20 autó fogyasztásának 50%-át.

44

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

6. lecke Beküldendő feladat I. Bevezetés A következő feladatsor megoldásával ellenőrizheti az első öt leckében megtanultakat. A feladatsort igyekeztünk úgy összeállítani, hogy átfogják az eddig tanult tananyagot, egyben segítsenek Önnek felkészülni az év végi számonkérésre. A feladatok típusa, nehézsége megfelel a vizsgakövetelményeknek. Javasoljuk a feladatok kinyomtatását. A feladatok megoldása során számológépet és Képletgyűjteményt használhat. Ha egy feladat megoldásakor elakad, folytassa egy másikkal és a végén térjen vissza a meg nem oldotthoz. Ha továbbra sem boldogul, hívja segítségül a tankönyvet, a kalauz megoldott önellenőrző feladatait. A lecke feldolgozásához szükséges idő 4 óra, ebből a feladatok megoldása kb. 3 óra, a többi idő a megoldások letisztázásához szükséges. Ha a 3 óra kevés a feladatok megoldásához, akkor még gyakorolnia kell hasonló feladatok megoldását.

A lecke elvégzése után Ön képes lesz

• • • • • • •

felismerni és kiszámítani a lánc- és bázisviszonyszámokat, az idősorra vonatkozóan kiszámítani az eredeti adatokat lánc- és/vagy bázisviszonyszámokból, vizsgálni a változás átlagos mértékét és ütemét, kiszámítani különböző intenzitási viszonyszámokat és értékelni időbeni változásukat kétféle módon, értékelni a sokaság összetételének változását, kronológikus átlagot számítani, komplex elemzést készíteni mennyiségi sor adatai alapján: átlagot, móduszt, mediánt, kvartiliseket, szórást, relatív szórást, a szóródás terjedelmét, az interkvartilis terjedelmet, az aszimmetria Pearson-féle és F-mutatóját számítani és szövegesen értékelni, az adatok adott ismérv szerinti koncentrációját jellemezni.

45

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Beküldendő feladatok (1-3)

1. Egy vállalkozás forgalmára vonatkozó adatok: Év

Eladási forgalom ezer Ft

1994

4092

1995 1996

Eladási forgalom változása 1994 = 100%

Előző év = 100%

115,0 5115

1997 1998

147,0

110,0

Feladat: a) Számítsa ki a táblázat hiányzó adatait! (A számítások menetét vezesse le!) (6) b) Számítsa ki és értelmezze a változás éves átlagos mértékét! (2) (összesen 8 pont) 2. A külkereskedelmi forgalomra vonatkozó adatok: Az 1993. évi import 1 162,5 milliárd Ft volt. 1981 és 1993 között az import évente átlagosan 71,85 milliárd Ft-tal nőtt. Feladat: a) Állapítsa meg, hogy mekkora volt az 1981. évi import összege! (2) b) Mennyi volt az import évenkénti változásának átlagos üteme 1981-1993 között? (3) (összesen 5 pont) 3. Egy vállalkozás adatai: Megnevezés

2001

Eladási forgalom millió Ft

450,0

Összes költség millió Ft

63,9

Dolgozók átlagos létszáma fő

50

ebből eladók átlagos létszáma fő

35

Összes bér eFt

51 600

Feladat a) Nevezze meg a fenti statisztikai sort! (1) b) Számítson a fenti statisztikai sorból 1 db nyers és 1 db tisztított intenzitási viszonyszámot! (A viszonyszámokat pontosan nevezze meg és lássa el mértékegységgel!) (2+2) c) Igazolja a nyers és a tisztított intenzitási viszonyszám közötti összefüggést! (2) (összesen 7 pont)

46

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


4. Egy vállalkozásnál 2005. februárban 1 700 ezer Ft, májusban 1 892 ezer Ft bért fizettek ki a dolgozóknak, akiknek a létszáma februárban 20 fő, májusban pedig 22 fő volt. Feladat: a) Számítsa ki, mennyi volt a dolgozók átlagbére februárban és májusban! (2) b) Vizsgálja a tanult kétféle módon, hogyan alakult a dolgozók átlagkeresete februárról májusra! (4) (összesen 6 pont) 5. Egy élelmiszer áruház forgalmát jellemző adatok két évben: Árucsoport

1999

2000

ezer Ft-ban

ezer Ft-ban

Alapvető élelmiszer

108 000

118 800

Édesség

39 600

41 580

Italáru

32 400

37 620

Együtt

180 000

198 000

Feladat: a) Vizsgálja a forgalom összetételét a két évben árucsoport szerint! (2) b) Hogyan változott az egyes árucsoportok forgalma, illetve az összes forgalom? (3) c) Milyen következtetés vonható le az a) és b) pontban számított viszonyszámok alapján? (2) (összesen 7 pont) 6. Egy kereskedelmi vállalkozás készleteinek alakulása 1999-ben (ezer Ft): január 1.

2 600

április 1.

2 600

július 1.

3 000

október 1.

3 400

december 31.

3 200

Feladat: Számítsa ki az 1999. évi átlagkészlet nagyságát! (összesen 2 pont)

47

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


7. A „Fafaragó” vállalkozás dolgozóinak megoszlása a havi nettó keresetek nagysága szerint: Kereset, ezer Ft/hó

Létszám, fő

00 – 70

250

71 – 100

380

101 – 150

200

151 – 250

120

250 – 000

50

Összesen

1 000

Feladat: a) Vizsgálja a keresetek eloszlását az aszimmetria Pearson-féle mutatója segítségével! (8) b) Készítsen szöveges értékelést! (4) (összesen 12 pont) 8. Egy ruházati üzletben egy adott napon azt vizsgálták, hogy az egyes vásárlók mekkora összeget fizettek. Az alábbi adatokat kapták: Vásárlási összeg, Ft

Vevők száma, fő

0000 – 5 000

120

5 001 – 10 000

150

10 001 – 15 000

80

15 001 – 20 000

30

20 001 – 00000

20

Feladat: a) Jellemezze az eloszlás aszimmetriáját az F-mutató segítségével! (7) b) Minden kiszámított mutatót értelmezzen! (4) (összesen 11 pont)

48

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Beküldendő feladatok (9)

9. Egy üzletlánc adatai 1999. október hó: Forgalom ezer Ft/hó

Boltok száma

Boltok összes forgalma Boltok ezer Ft megoszlása %

Összes forgalom megoszlása %

– 400

5

1 500

4,6

1,7

401 – 600

15

7 500

13,9

8,4

601 – 800

40

28 000

37,0

31,5

801 – 1 000

20

18 000

18,5

20,3

1 001 – 1 200

16

17 600

14,8

19,8

1 201 – 1 400

9

11 700

8,3

13,2

1 400 – 1 500

3

4 500

2,9

5,1

108

88 800

100,0

100,0

Összesen:

Feladat: a) Számítsa ki a relatív szórást! Minden kiszámított mutatószámot értékeljen szövegesen! (8) b) Mekkora összegnél forgalmazott többet a boltok 75%-a? (2) c) Vizsgálja a forgalom koncentrációját a táblázat adatai és az alábbi görbe alapján! (3) (összesen 13 pont)

zi’=100% 94,9% 81,7%

61,9%

41,6%

10,1% 1,7% 4,6%

18,5%

55,5%

49

74,0% 88,8%

gi’=100,0%

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Befejezés A megoldott feladatsort a tantárgy felvételekor meghatározott időpontra kell elküldenie tutorához. A tutor a feladatokat 1-2 héten belül kijavítja és visszajelzést küld Önnek. Javasoljuk, hogy a hibásan megoldott feladatokat az értékelés segítségével újra oldja meg. Ha ezek után is vannak kérdései, kérjen segítséget tutorától. Kérjük, hogy a megoldásokat jól olvashatóan, tintával írva tisztázza le, postán juttassa el tutorához. Természetesen, ha Ön könnyen dolgozik számítógépen a szövegszerkesztővel, tudja használni az egyenletszerkesztőt, e-mailben is elküldheti megoldását. A visszajelzésig se hagyja abba a tanulást, folytassa a következő leckével a munkát!

50

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

7. lecke A sztochasztikus kapcsolatok elemzése I. Bevezetés Ehhez a fejezethez kapcsolódóan a két ismérv szerinti kombinációs táblák adataival fogunk dolgozni. A tábla sorai és oszlopai is csoportosító statisztikai sorokat tartalmaznak, ezek leggyakrabban mennyiségi, minőségi és területi sorok lehetnek. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 8 óra


• • •

felismerni az ismérvek közötti kapcsolatok típusait, nevezetesen az asszociációs, a vegyes és a korrelációs kapcsolatokat, meghatározni az asszociációs kapcsolatot jellemző mutatószámok (Yule-mutató, Cramer-mutató) értékeit, egy-egy mondatban értékelni az asszociációs kapcsolatot a kapott mutatószámok alapján. Kérem, gondosan tanulmányozza át a tankönyv 124-131. oldalain a 3.4 A kombinációs táblák elemzése című tananyagot!

Megjegyzés az olvasottakhoz: A Statisztika I. tantárgy keretében csak az asszociációs és a vegyes kapcsolattal foglalkozunk részletesen. A korrelációs kapcsolat behatóbb tanulmányozására a Statisztika II. tantárgy keretei között kerül sor. A következő önellenőrző feladat segítségével gyakorolhatja a kapcsolatok típusának felismerését: 1. önellenőrző feladat

Az alábbi példákat megtekintve, nevezze meg, milyen típusú sztochasztikus kapcsolat van a példákban szereplő ismérvek között? Példatár 126., 127., 129., 140., 141., 147., 148., 151, 153. példa. 1. megoldás: A lecke végén találja. Kérem, olvassa el a 132-139. oldalak - Az asszociációs kapcsolat mutatószámai. A Yule- és a Cramer-mutató - anyagát!

51

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megjegyzés az olvasottakhoz: 1. A megoldások egyszerűbbé tétele érdekében legyen s ≤ t -vagyis az oszlopok, és sorok száma közül mindig a kevesebb legyen egyenlő „s”-sel-, hiszen a sorok és oszlopok felcserélhetők. Feladatmegoldásainál bátran alkalmazza ezt a kiegészítést! Ekkor elegendő csupán a Cramer-mutató ezen változatával dolgoznia: C=

χ2 n( s − 1)

2. A Csuprov-mutató alkalmazása korlátozott, ezért a feladatmegoldáskor mellőzheti. 3. A munkatábla az eredeti adatok mellett tartalmazza a független elemeket és a χ2 számításának lépéseit. A későbbiekben ez elhagyható, sőt a számonkéréskor elkészítése idővesztéssel jár! Azonban a független elemek közül legalább egynek a számítását ki kell jelölnie, illetve a χ2 képletébe be kell helyettesítenie, az első és az utolsó adatpár feltüntetésével! A kiegészítések figyelembevételével, kérem, oldja meg az itt sorakozó feladatokat! A 2. és 3. feladat az alternatív ismérvek kapcsolatának vizsgálatával foglalkozik: 2. önellenőrző feladat


Oldja meg a Példatár 129. feladatát! 3. megoldás Az eredményt a Példatár 136. oldalán ellenőrizheti. Ha részletesebb magyarázatra van szüksége, a lecke végén megtalálja.

A következő feladatok megoldásánál, kérem, vegye figyelembe „házi szabályunkat”: legyen s≤t! 4. önellenőrző feladat

Válaszolja meg a Példatár 130. feladatát a Cramer- mutatóval! 4. megoldás: A Példatár 136. oldalán található. 5. önellenőrző feladat


52

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Kérem, olvassa el a tankönyv 139-145. oldalait! A vegyes kapcsolat mutatószámai I. (A vegyes kapcsolat elemzése, rész- és főátlagok)

Ebben a szakaszban átismételjük a rész- és a főátlagok számítását. A következő feladat megoldásával ellenőrizheti, hogy jól sikerült-e az ismétlés. 6. önellenőrző feladat

Válaszoljon a következő kérdésre a Példatár 140. példája alapján! Mennyi a vállalati dolgozók átlagos nettó keresete? 6. megoldás: a lecke végén található.

Ha további gyakorlásra van szüksége, figyelmébe ajánlom a következő feladatokat: Példatár 131., 132.a),b), 133.b).

Befejezés A 8. leckében folytatjuk a sztochasztikus kapcsolatok elemzését a vegyes kapcsolatot jellemző mutatószámok megismerésével. Ezt követően áttérünk az intenzitási viszonyszámok átlagolási módjainak megtanulására.

Megoldások 1. megoldás: 126.: A megtakarítások rendszeressége ismérv minőségi ismérv (Milyen gyakran végzik?), az iskolai végzettség szintén minőségi ismérv (Milyen végzettségű?). Tehát az ismérvek között, valószínűleg, asszociációs kapcsolat van. 127.: Terjesztés módja: minőségi ismérv, a lapok megnevezése: minőségi ismérv. A kapcsolat típusa: asszociáció. 129.: A nem: minőségi ismérv, a dohányzási szokás szintén. Asszociáció. 140.: A szakképzettség: minőségi ismérv, a nettó kereset (Mennyi?): mennyiségi ismérv. A kapcsolat típusa: vegyes. 141.: Település típusa: minőségi, az egy főre jutó kiadás: mennyiségi ismérv. A kapcsolat vegyes. 147.: A fogyókúra-eljárás: minőségi, a súlyveszteség: mennyiségi ismérv. Vegyes kapcsolat. 148.: A juhok fajtája: minőségi, a gyapjúhozam: mennyiségi ismérv. Vegyes kapcsolat. 151.: A felkészülésre fordított idő: mennyiségi, az eredmény: mennyiségi ismérv. Korrelációs kapcsolat. 153.: A munkaviszony éveinek száma: mennyiségi ismérv, a havi nettó jövedelem, szintén. Korrelációs kapcsolat.

53

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

3. megoldás A feladatmegoldást segíti, ha táblázatot készít a megadott adatokból. Ez a táblázat az adatok jelölését is tartalmazza: Megnevezés

Dohányzik

Nem dohányzik

Összesen

Férfi

120 f11

125 f12

245 f1·

Nő

77 f21

178 f22

255 f2·

Összesen

197 f·1

303 f·2

500 n

A feladat megoldható a Yule- és a Cramer-mutatóval is. A Yule-mutató számítása gyorsabb:

Y=

120 * 178 − 77 * 125 = 0,383 120 * 178 + 77 * 125

Tehát, a nem ismérve és a dohányzási szokás között gyenge a kapcsolat. Ha a Cramer-mutatót választja, először a független elemeket kell kiszámítania. Elegendő csak egynek a számítását kijelölni. Nézzük az f*11 kiszámítását:

f11* =

197 * 245 = 96,5 500

Az eredményeket az eredeti táblázat megfelelő helyeire írhatja, például zárójelbe téve: Megnevezés

Dohányzik

Nem dohányzik

Összesen

Férfi

120 (96,5)

125 (148,5)

245

Nő

77 (100,5)

178 (154,5)

255

Összesen

197

303

500

A következő lépés a χ2 kiszámítása. Jelöljük ki a számítást:

χ2 =

(178 − 154,5) 2 (120 − 96,5) 2 + ... + = 18,5 154,5 96,5

Ezután már számíthatjuk a Cramer-mutatót:

C=

18,5 = 0,19 500(2 − 1)

Tehát, a nem ismérve és a dohányzási szokás között – a Cramer-mutató szerint is - gyenge a kapcsolat. 6. megoldás: Az átlagolandó értékek a nettó keresetek csoportonkénti átlagai (részátlagok). A súlyok szerepét a munkások megoszlása tölti be. Figyeljük meg a táblázatba beírt jelöléseket: Szakképzettség

Munkások száma (fő) nj

Nettó kereset Átlaga (ezer Ft)

xj

Szórása (ezer Ft)

Szakmunkás

60

38,5

3.8

Betanított munkás

40

37,2

3,2

Segédmunkás

20

34,5

4,2

x

…

Összesen

120 n

…

A főátlagot a részátlagok súlyozott számtani átlagaként kapjuk meg. Helyettesítsünk be a képletbe:

x=

60 * 38,5 + 40 * 37,5 + 20 * 34,5 = 37,4 ezer Ft 120

A munkások keresetének átlaga 37,4 ezer Ft.

54

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

8. lecke Sztochasztikus kapcsolatok elemzése II. Az intenzitási viszonyszámok átlagolása. Bevezetés Ebben a tananyagrészben folytatjuk a vegyes kapcsolat elemzését. Megismerkedünk a kapcsolatot jellemző mutatószámokkal, azok értelmezésével. Ezután áttérünk a 9. lecke bevezetésére, a főátlag meghatározásának gyakorlásával. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 8 óra


• • • • •

meghatározni a vegyes kapcsolatot jellemző mutatószámok (szóráshányados, szórásnégyzet-hányados) értékeit, egy-egy mondatban értékelni a vegyes kapcsolatot a kapott mutatószámok alapján, kiszámítani összetett intenzitási viszonyszámok értékét súlyozott számtani átlag formában, kiszámítani összetett intenzitási viszonyszámok értékét súlyozott harmonikus átlag formában, kiszámítani összetett intenzitási viszonyszámok értékét súlyozott átlag formában, súlyként a megoszlási viszonyszámokat használva. Kérem, lapozzon a 146. oldalhoz, és olvassa el a fejezet hátralévő részét! (A rész- és fősokaságok szórása, szórásnégyzete; A vegyes kapcsolat szorosságának mérése)

Az alábbi feladatok a vegyes kapcsolatot jellemző mutatószámok meghatározását, és az eredmények értékelését gyakoroltatják. Kérem, gondosan figyeljen arra, hogy mikor melyik mutatószámra vonatkozik a kérdés! 1. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 140.a) feladatát, és az eredményt foglalja egy mondatba! 1. megoldás: A lecke végén megtalálja.

55

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Az alábbi példában szórások helyett relatív szórásokat talál: 2. önellenőrző feladat

Kérem, oldja meg a Példatár 142.b) feladatát! 2. megoldás: A lecke végén.

Lássuk, hogyan boldogul a szöveges példával? A kérdés „ravasz”, olvassa el gondosan! 3. önellenőrző feladat

Kérem, oldja meg a Példatár 147.d) feladatát! 3. megoldás: A lecke végén megtalálja.

Gyakorláshoz ajánlom még: Példatár 141.a), 144.b). A következőkben áttérünk a 9. lecke bevezetésére. Ebben a szakaszban megismerkedünk az intenzitási részviszonyszámokkal és az összetett intenzitási viszonyszámokkal, valamint ismét felidézzük (nem lehet elégszer) a részátlagok és a főátlagok meghatározását. Felelevenítjük az átlag nagyságára ható tényezőkről tanultakat is. Kérem, olvassa el a tankönyv 115-118. oldalait!

Most pedig gyakoroljuk az intenzitási viszonyszámok átlagolását! A számítások alkalmával használni fogja a súlyozott számtani- és harmonikus átlagformákat, valamint esetenként súlyként használja a megoszlási viszonyszámokat. 4. önellenőrző feladat

Számítsa ki a Példatár 158.a) feladatát többféleképpen is! 4. megoldás: A lecke végén megtalálja. 5. önellenőrző feladat

Számítsa ki a Példatár 161.a) feladatát többféleképpen is! 5. megoldás: A Példatár145-146. oldalán találja. 6. önellenőrző feladat

Számítsa ki a Példatár 167. példájához kapcsolódva a II. telephely együttes termésátlagát! 6. megoldás: A lecke végén megtalálja.

56

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Befejezés Remélem, kellően felkészült a 9. lecke feldolgozására! Itt felhasználhatja mindazt, amit az átlagszámításról megtanult. Ezen kívül megismerkedik a standardizálás módszereivel. Kezdjünk hozzá!

Megoldások 1. megoldás: A kapcsolat szorosságára vonatkozott a kérdés, tehát a szóráshányadost kell kiszámítanunk. A főátlagot a részátlagok súlyozott számtani átlagaként kaptuk meg a 7. lecke 6. feladatának megoldásakor:

x=

60 * 38,5 + 40 * 37,5 + 20 * 34,5 = 37,4 ezer Ft 120

Egészítsük ki a táblázat jelöléseit a szórás jelével: Szakképzettség

Munkások száma (fő) nj

Nettó kereset Átlaga (ezer Ft)

xj

Szórása (ezer Ft) σj

Szakmunkás

60

38,5

3.8

Betanított munkás

40

37,2

3,2

Segédmunkás

20

34,5

4,2

x

…

Összesen

120 n

…

Számítsuk ki a belső szórásnégyzetet:

σ B2 =

60 * 3,8 2 + 40 * 3,2 2 + 20 * 4,2 2 = 13,57 120

A külső szórásnégyzet következik:

σ K2 =

60(38,5 − 37,4) 2 + 40(37,2 − 37,4) 2 + 20(34,5 − 37,4) 2 = 2,02 120

A teljes szórásnégyzet:

σ 2 = 13,57 + 2,02 = 15,59 Végül behelyettesítünk a H-mutató képletébe. Bármelyiket választhatja a kettő közül:

H=

2,02 13,57 = 1− = 0,36 15,59 15,59

A szakképzettség és a kereset nagysága között gyenge kapcsolat van.

57

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

2. megoldás:

58 * 4,0 + 42 * 5,0 = 4,42 ezer Ft 100 58(4,0 − 4,42) 2 + 42(5,0 − 4,42) 2 σ K2 = = 0,24 100

x=

A belső szórásnégyzet kiszámításához először a csoportonkénti szórásokat kell meghatároznunk: Lakóhely

1 főre jutó kiadás szórása, ezer Ft/hó

Városi

4*0,15= 0,6

Községi

5*0,12= 0,6

58 * 0,6 2 + 42 * 0,6 2 = 0,36 100 σ 2 = 0,24 + 0,36 = 0,6 0,24 0,36 H2 = =1− = 0,4 → 40% 0,6 0,6

σ B2 =

A lakóhely ismérve 40%-ban magyarázza a lakásfenntartási kiadások ingadozását. 3. megoldás: Célszerű táblázatba foglalni az adatokat: Eljárások

Személyek száma, fő

Átlagos súlyveszteség, kg

25

9,0

B

25

10,5

C

25

7,5

Együtt

75

…

A

x=

9 + 10,5 + 7,5 = 9 kg 3

(Ugye, Ön is így számolta? Mivel a fogyókúrázók egyenlő arányban szerepeltek a különböző csoportokban, alkalmazhatta az egyszerű számtani átlagot.)

σ K2 =

(9,0 − 9,0) 2 + (10,5 − 9,0) 2 + (7,5 − 9,0) 2 = 1,5 3

A teljes szórásnégyzet számlálója (a teljes eltérés négyzetösszeg) ismert, így:

469,7 469,7 = = 6,26 25 + 25 + 25 75 1,5 H2 = = 0,24 → 24% → Egyéb : 100 − 24 = 76% 6,26

σ2 =

Tehát, egyéb, az alkalmazott fogyókúra-eljáráson kívüli tényezők, 76%-ban magyarázzák a súlyveszteség szóródását.

58

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

4. megoldás: Először felírjuk az adott intenzitási viszonyszám számítását:

Átlagos tartózkodási idő(V) :

Vendégéjszakák száma(A) ⎡ éj ⎤ ⎢⎣ fő ⎥⎦ . Vendégek száma(B)

Majd kiszámítjuk a viszonyszámokat vendégkörönként, mindkét területre: Vendégek

Velencei-tó,

Balaton-part,

átlagos tartózkodási idő (éj/fő)

átlagos tartózkodási idő (éj/fő)

Belföldi

168/74= 3,7

1 151/345=3,3

Külföldi

95/16= 5,9

2 420/408=5,9

Végül következnek a főátlagok. Az általános formula (V=A/B) jelöléseit alkalmazva behelyettesítünk a főátlag számításának képleteibe: A Velencei-tó együttes átlagos tartózkodási ideje:

V =

168 + 95 46 * 3,7 + 16 * 5,9 168 + 95 = = = 4,2 éj/fő 168 95 46 + 16 46 + 16 + 3,7 5,9

A Balaton-part együttes átlagos tartózkodási ideje:

V=

1151 + 2420 345 * 3,3 + 408 * 5,9 1151 + 2420 = = = 4,7 éj/fő 1151 2420 345 + 408 345 + 408 + 3,3 5,9

6. megoldás: Először felírjuk a termésátlag kiszámításának módját:

Termésátlag =

Termés mennyisége Termőterület nagysága

⎡ tonna ⎤ ⎢⎣ hektár ⎥⎦ .

Az általános formula (V=A/B) jelöléseit alkalmazva, így a termőterület megoszlása „VmB” jelölést kap, a termésátlag „V” lesz. A két adat segítségével az átlagos termésátlag súlyozott számtani átlagként írható fel:

V=

57 * 8,5 + 43 * 9,4 = 8,9 t/ha 100

59

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

9. lecke Az összetett intenzitási viszonyszámok (főátlagok) összehasonlítása a standardizálás módszerével: különbségfelbontás Bevezetés Ebben a leckében megismerkedünk a főátlagok térbeli összehasonlításának módszerével, a standard átlag számításával.Segítségével megtanuljuk a térbeli eltérések okainak feltárását. Az eddigieknél hosszabb, több összefüggő mondatból álló elemzéseket készítünk. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 10 óra


• • • • •

meghatározni a standardizálás fogalmát, kiszámítani a standard átlagot, összehasonlítani az összetett (együttes) intenzitási viszonyszámokat (főátlagokat) térben, kimutatni az összetett intenzitási viszonyszámok (főátlagok) eltérését okozó tényezők (az eltérő átlagolandó értékek és az eltérő súlyarányok) hatását, részletes szöveges elemzést készíteni a példa adatai és a számított értékek alapján.

Kérem, figyelmesen olvassa el a tankönyv 166-169. oldalait!

A következő feladat megoldása során ellenőrizheti, hogy ismeri-e a standardizálás módjait: 1. önellenőrző feladat

Egészítse ki az alábbi mondatokat! Melyik szám helyére melyik kifejezés illik? Párosítsa a számokat a betűkkel! A standardizálás módszerével az összetett intenzitási viszonyszámok (főátlagok) térbeli összehasonlításánál azt vizsgáljuk, hogy azok mennyivel 1) .......... egy másik, azonos módon csoportosított sokaság főátlagától, azaz 2) .......... képezünk.

a) összetevőkre

Az időbeli elemzés során azt elemezzük, hogy a főátlag hány 3) .......... változott az egyik időszakról a másikra, azaz 4) .......... számolunk. A standardizálás során az összetett intenzitási viszonyszámok közötti különbséget 5) .......... bontjuk, hányadosukat pedig 6) .......... bontjuk.

d) tényezőkre

60

b) százalékkal c) térnek el e) különbségeket f) hányadosokat

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A következő részben a sok új ismeret mellett hasznosíthatja az átlagokról már korábban megtanultakat. Megismerjük a standard átlag szerepét, számítását, majd megtanuljuk a térbeli standardizálást, lépésről-lépésre. Tanulmányozza a 170-175. oldal anyagát (4.2 Különbségfelbontás összetevőire)!

Kérem, oldja meg az alábbi feladatokat! Segítségükkel gyakorolja az összetett intenzitási viszonyszámok térbeli összehasonlítását. Megtanulja az eltérések okainak kiderítését. A számított mutatókat, az eredeti adatok és a részeredmények felhasználásával, foglalja összefüggő mondatokba! Ha a feladat külön nem kéri, eldöntheti, hogy melyik területet viszonyítja a másikhoz. A következő feladatoknál a viszonyítás módját megadtuk: 2. önellenőrző feladat

Készítse el a Példatár 158.b) feladatának megoldását úgy, hogy a Balaton-parti főátlagot a Velencei-tavihoz viszonyítja! 2. megoldás: A lecke végén megtalálja. 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 159. feladatát úgy, hogy a Dunakanyar főátlagát a Mátra-Bükk főátlagához viszonyítja! 3. megoldás: A Példatár 145. oldalán. 4. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 167. feladatát! 4. megoldás A megoldás számítás részét a lecke végén, elemzését a Példatár 148. oldalán találja.

Befejezés Ha ezt a leckét alaposan megtanulta, könnyebben megy az időbeli standardizálás lépéseinek és az eredmények elemzésének elsajátítása.

61

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megoldások 1. megoldás Helyes megoldás: 1-c, 2-e, 3-b, 4-f, 5-a, 6-d. 2. megoldás A két terület csoportonkénti átlagos tartózkodási időit és főátlagát már az előző lecke során kiszámítottuk. A velencei főátlaghoz viszonyítunk, ezért azt V 0 -val jelöljük. A vendégéjszakák száma így A0, a vendégek száma B0 lesz. A balatoni átlag V 1 jelölést kap, vendégéjszakák száma így A1, a vendégek száma B1 lesz. Ez a táblázat tartalmazza az eredeti és a számított adatokat, a megfelelő jelölésekkel: Vendégek

Velencei-tó

Balaton-part

Különbség k=V1-V0 (éj)

A0

B0

VmB0(%)

V0

A1

B1

VmB1(%)

V1

Belföldi

168

46

74

3,7

1151

345

46

3,3

+0,4

Külföldi

95

16

26

5,9

2420

408

54

5,9

+0,0

263

62

100

4,2

3571

753

100

4,7

+0,5

ΣA0

ΣB0

V0

ΣA1

ΣB1

V1

K

Együtt

Így a teljes eltérés: K= 4,7-4,2 = +0,5 éj. A standard átlag: V S =

345 * 3,7 + 408 * 5,9 = 4,9 éj/fő 753

Az eltérő átlagolandó értékek hatása: K’= 4,7-4,9 = -0,2 éj Az eltérő súlyarányok hatása: K”= 4,9-4,2 = +0,7 éj (Vagy az additív összefüggést felhasználva: K”= 0,5-(-0,2) = +0,7 éj) Elemzés: A két üdülőkörzet adatait megvizsgálva azt tapasztaltuk, hogy a Balaton-part együttes átlagos tartózkodási ideje 0,5 éjjel meghaladja a Velencei-tó együttes átlagos tartózkodási idejét. Ez két tényező eltérő irányú hatásának köszönhető. A Balatonnál a belföldi vendégek átlagos tartózkodási ideje (3,3-3,7) 0,4 éjjel kevesebb, mint a Velencei tónál, a külföldi vendégek esetében nincs különbség. Így, azonos vendégösszetételt feltételezve, a Balaton főátlaga 0,2 éjjel elmarad a Velencei-tó főátlagától. A vendégek összetétele azonban különböző. A Balatonnál a hosszabb átlagos tartózkodási idejű külföldi vendégek aránya 28%-ponttal magasabb (16/62=0,26 < 408/753=0,54). Így, azonos csoportonkénti átlagos tartózkodási időket feltételezve, a Balaton együttes átlagos tartózkodási ideje 0,7 éjjel több, mint a Velencei-tó együttes átlagos tartózkodási ideje. 4. megoldás A II. telephely főátlagát már az előző lecke során kiszámítottuk (8,9 t/ha), ez lesz a V 1 . Az I. telephely főátlaga:

V0 =

50 * 6,8 + 50 * 8,2 6,8 + 8,2 = = 7,5 t/ha 100 2

A standard átlag:

VS =

57 * 6,8 + 43 * 8,2 = 7,4 t/ha 100

a) K= 8,9-7,5 = +1,4 tonna b) 1. K’= 8,9-7,4 = +1,5 tonna, b) 2. K”= 7,4-7,5 = -0,1 tonna

62

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

10. lecke Az összetett intenzitási viszonyszámok (főátlagok) összehasonlítása a standardizálás módszerével: indexszámítás Bevezetés Ebben a leckében az időbeli standardizálás lépéseivel ismerkedünk meg. Megtanuljuk milyen tényezők okozzák a főátlag változását. A 9. leckére alapozva folytatjuk a szöveges elemzés készítésének gyakorlását. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 12 óra


• • •

összehasonlítani az összetett intenzitási viszonyszámokat (főátlagokat) időben, kimutatni az összetett intenzitási viszonyszámok (főátlagok) változásait okozó tényezők (a megváltozott átlagolandó értékek és a megváltozott súlyarányok) hatását, részletes szöveges elemzést készíteni a példa adatai és a számított értékek alapján. Olvassa el a 175-183. oldalak anyagát! Figyelje meg az időbeli és a térbeli összehasonlítás különbözőségét!

Kérem, oldja meg az alábbi feladatokat! Segítségükkel gyakorolja az összetett intenzitási viszonyszámok időbeli összehasonlítását. Megtanulja a változás okainak kiderítését. Ha a feladat kéri, a számított mutatókat, – az eredeti adatok és a részeredmények felhasználásával – foglalja összefüggő mondatokba! Vegye figyelembe, hogy a térbeli összehasonlítástól eltérően – nem döntés kérdése, hogy melyik időszak a viszonyítás alapja. Mindig a régebbi (bázis) adathoz viszonyítson! Az 1. önellenőrző feladat elkezdése előtt lapozzon vissza a 8. lecke 5. önellenőrző feladatához! Ott az a) feladatot már megoldotta, használja fel az eredményeket! 1. önellenőrző feladat

Válaszoljon a Példatár 161. példájának b), c), és d) feladataira! 1. megoldás: A Példatár 145-146. oldalain található.

A 2. és 3. feladat megoldásánál azt gyakorolhatja, hogyan számítható ki a részátlagindex a standard átlag meghatározása nélkül.

63

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Példatár 165. példájának feladatát! A részátlagindexet súlyozott harmonikus átlag formában számolja ki! 2. megoldás: A Példatár 147-148. oldalain ellenőrizheti munkáját. 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 166. példájának feladatait! A részátlagindexet a következő képlettel számolja ki: I' =

∑ B *V ∑ B *V 1

1

1

0

3. megoldás: A feladatok számszerű megoldását a Példatár 148. oldalán találja meg, a szöveges elemzést a lecke végén.

A 4. feladatban azt gyakorolhatja, hogy valamely intenzitási viszonyszám változását kiszámíthatja a számláló, illetve a nevező változásának hányadosaként is, valamint az összetételhatás-index kifejezhető az indexek közötti multiplikatív összefüggésből is. 4. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 170. példájának feladatait! Írjon szöveges értékelést is! 4. megoldás: A Példatár 149. oldalán ellenőrizheti.

További gyakorlási lehetőség a következő feladatok megoldása: 172., 173., 174., 175., 177., 180., 199.

Befejezés A standardizálás megtanulása befejeződött. Az itt tanultakat hasznosíthatja majd a következő leckék elsajátítása során is.

Megoldások 3. megoldás b) Elemzés: Az építőiparban dolgozók adatait megvizsgálva az tapasztalható, hogy 1997-ről 1998-ra az együttes átlagbér 14,8%-kal nőtt. Ez csupán egy tényező megváltozásának eredménye. A dolgozók összetétele nem változott meg (16 307/70 900 = 18 768/81 600 = 0,23). Az átlagbérek azonban mindkét foglalkozási csoportban emelkedtek (14 ill. 15,3%-kal), átlagosan 14,8%-kal, így ez a tényező okozta az együttes átlagbér növekedését.

64

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

11. lecke Érték-, ár-, volumenindex számítása aggregát formában. Az indexek és az aggregátumok közötti összefüggések. Bevezetés A gazdasági elemzésekben szükség van a közvetlenül nem összesíthető adatok összehasonlítására is, ezért ebben a leckében az indexek egy másik alkalmazási területével ismerkedünk meg. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 10 óra


• • • • • •

felismerni és a leckében tanult jelölésekkel ellátni a megadott statisztikai adatokat, kiszámítani az érték, az ár és a mennyiség változását %-ban külön-külön a megadott adatokból (egyedi indexek), kiszámítani az érték-, ár-, volumenindexeket aggregát formában különböző súlyozással (együttes indexek), kiszámítani az egyedi és az együttes indexeket az indexek közötti összefüggések alapján, kiszámítani az érték együttes változását forintban, és kimutatni ebből az árak és a mennyiség változásának hatását, szöveges elemzésben értékelni a vizsgált sokaságot a kiszámított mutatószámok alapján.

Indexszám. Egyedi indexek. Kezdje a tanulást a tananyagrészben alkalmazott statisztikai jelöléseknek, a lecke legfontosabb alapfogalmainak, az egyszerűbb mutatószámoknak a megismerésével! Ezzel a célkitűzések 1-2. és 6. pontjában felsoroltakat teljesítheti. Kérem, olvassa el a tankönyv 193-195. oldalán az 5.1. Az indexszám fogalma, és az 5.2. Érték-, ár- és volumenindex-számítás tananyagot!

65

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megjegyzés az olvasottakhoz Az indexek általános jele i (I), amit kiegészítünk az alsóindexben a neve idegen elnevezése kezdőbetűjével: q: mennyiség (=volumen, de a jele nem v!!) p: egységár v: (q·p) érték fiktív aggregátum: a valóságban nem létező értékadat (ld. később) Ugye emlékszik! A bázisidőszak jelölése: „0”, a tárgyidőszak jelölése: „1” 1. önellenőrző feladat

Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! a) indexszám

A) értékben való összesítés

b) aggregálás

B) a termékekre számított dinamikus viszonyszám az indexszámítás keretében

c) aggregátum d) egyedi index

C) a közvetlenül nem összesíthető adatok átlagos változását mutató összetett összehasonlító viszonyszám D) összesített értékadat

A folytatásban a Példatár 204. feladatát kell megoldani négy önellenőrző feladat keretében, az abban megfogalmazott utasításoknak megfelelően. Erre azért van szükség, mert az elméleti tudnivalókkal is több lépésben ismerkedünk meg. Az eddig megtanultak alapján oldja meg a 2. önellenőrző feladatot! 2. önellenőrző feladat

Ismerkedjen meg a Példatár 204. feladatával, majd oldja meg a következő feladatokat! a.) Jelölje a táblázat adatait a tanult jelölésekkel! b.) Számítsa ki a bázis- és tárgyidőszaki értékadatokat! c.) Számítsa és értékelje, hogyan változott külön-külön - a bevétel (az eladott termékek értéke), - az eladási ár, - az eladott termékek mennyisége (volumene)! 2. megoldás: A lecke végén.

66

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Együttes indexek aggregát formában. Folytassa a tanulást a tankönyv 195-197. oldalán található 5.2.1. Indexszám számítása aggregát formában című résszel.

Ennek feldolgozásával a célkitűzések 3. és 6. pontjában felsoroltakat teljesítheti.

Megjegyzés az olvasottakhoz: folyóáras érték: azonos időszaki mennyiség és ár szorzata bázisidőszaki: q0 p0 tárgyidőszaki: q1 p1 változatlan áras érték: q1 p0 (mennyit érne most, ha az árak nem változtak volna) Amennyiben a feladat nem mondja meg, hogy melyik súlyozású ár- és volumenindexet számítsa ki, akkor a tárgyidőszaki súlyozású (Paasche-féle) árindexet és a bázisidőszaki súlyozású (Laspeyres-féle) volumenindexet szoktuk számítani. A kétféle súlyozású ár-, illetve volumenindex általában nem egyezik meg. Az eltérés okaival a 13. leckében foglalkozunk. A tanultak megértését a 3. önellenőrző feladat megoldásával ellenőrizheti. 3. önellenőrző feladat

Folytassa a Példatár 204. feladatának megoldását a következőkkel! a.) Számítsa ki a fiktív aggregátumokat! b.) Számítsa ki és értékelje, hogyan változott a két termékre együttesen - a bevétel (az eladott termékek értéke), - az eladási ár tárgyi- és bázisidőszaki súlyozással, - az eladott termékek mennyisége bázis- és tárgyidőszaki súlyozással! 3. megoldás: A lecke végén.

Összefüggések az indexek között. Nemcsak a mennyiség, az egységár és az érték között írható fel összefüggés, hanem a belőlük kiszámított indexek között is. A következőkben ezekkel ismerkedünk meg. Ezzel a célkitűzések 4. és 6. pontjában felsoroltakat teljesítheti. Kérem olvassa el az 5.4.1. Az indexszámok közötti összefüggések című részt a tankönyv 205-207. oldalán.

67

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megjegyzés az olvasottakhoz: Az együttes értékindex csak az ellentétes súlyozású ár- és volumenindex szorzataként írható fel! Az indexösszefüggés három indexe közül kettőt a megadott adatokból kiszámítunk (vagy a feladat megadja), a harmadikat az indexösszefüggésből kiszámíthatjuk. Az ár- és volumenindex Fisher-féle formájáról a 13. leckében tanulunk, az ezzel kapcsolatos összefüggést is akkor gyakoroljuk. A tanultak megértését a 4. önellenőrző feladat megoldásával ellenőrizheti. 4. önellenőrző feladat

Folytassa a Példatár 204. feladatának megoldását a következőkkel! Számítsa ki az egyedi értékindexeket és az együttes értékindexet az indexösszefüggésből! 4. megoldás: A lecke végén.

Összefüggés az aggregátumok között. Összefüggés nemcsak az adatok, az indexek, hanem a különböző aggregátumok között is van. Most ezzel ismerkedjünk meg, így a célkitűzések 5. és 6. pontjában felsoroltakat teljesítheti. Kérem, olvassa el az 5.4.2. Az aggregátumok közötti összefüggések című részt a tankönyv 207-208. oldalán.

A tanultak megértését az 5. önellenőrző feladat megoldásával ellenőrizheti. 5. önellenőrző feladat

Folytassa a Példatár 204. feladatának megoldását a következőkkel! Számítsa ki és értékelje szövegesen hány forint volt a bevételváltozás, és ebből mennyi volt az ár-, illetve mennyi a volumenváltozás miatt! 5. megoldás: A lecke végén.

Ezzel megismerkedtünk a 204. feladat adataiból kiszámítható mutatószámokkal, azok szöveges értékelésével részleteiben is. A következő 3 önellenőrző feladatban már folyamatosan kell elvégeznie a szükséges számításokat, és utána készítse el a szöveges értékelést.

68

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Példatár 202. feladatát, kiegészítve a következő d) ponttal! d) Írjon részletes szöveges értékelést a kiszámított mutatószámok alapján! (Emlékszik? Ha a feladat nem adja meg, hogy melyik súlyozású ár- és volumenindexet számítsa ki, akkor a tárgyidőszaki súlyozású (Paasche-féle) árindexet, valamint a bázisidőszaki súlyozású (Laspeyres-féle) volumenindexet számítjuk!) 6. megoldás: A lecke végén található. 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 203. feladatát! 7. megoldás: A Példatár 156. oldalán találja. 8. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 201. feladatát! 8. megoldás A megoldást a Példatár 153-155. oldalain találja. (Az együttes indexek kiszámítását olyan módszerrel is bemutatja a megoldás, amit még nem ismertünk meg, ezt majd a 13. leckében tanuljuk. Ezzel most ne foglalkozzon!)

Befejezés Az önellenőrző feladatok megoldása és azok ellenőrzése alapján Ön felmérte, hogy mennyire sikerült elsajátítani az érték-, ár-, volumenindex számítását aggregát formában, az indexek és aggregátumok közötti összefüggések meghatározását. És ezzel egy újabb ellenőrzéshez érkeztünk: következik a második beküldendő feladatsor.

Megoldások 1. megoldás Helyes válasz: a-C, b-A, c-D, d-B

69

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

2. megoldás a) és b) 1998. szeptember

1999. szeptember

Bevétel (ezer Ft)

Bérlet

Eladott bérletek száma (ezer db) q0

Eladási ár (Ft/db) p0

Eladott bérletek száma (ezer db) q1

Eladási ár (Ft/db) p1

1998. szeptember v0=q0p0

1999. szeptember v1=q1p1

T és Ny

16,0

760

15,2

874

12 160,0

13 284,8

Ált.

20,0

1 700

19,6

2 125

34 000,0

41 650,0

--

--

--

--

46 160,0

54 934,8

Együtt

c) Bevétel

eladási ár

eladott mennyiség

változása, 1998. szeptember = 100,0 % Bérlet

iv =

q1 p1 q0 p0

ip =

p1 p0

iq =

q1 q0

T és Ny

109,3

115,0

95,0

Ált.

122,5

125,0

98,0

A tanuló és nyugdíjas bérletek eladásából származó bevétel 9,3%-kal, az általános bérletek eladásából származó bevétel pedig 22,5%-kal nőtt 1998. szeptemberről 1999. szeptemberre. A tanuló és nyugdíjas bérletek ára 15%-kal, az általános bérletek ára 25%-kal nőtt 1998. szeptemberről 1999. szeptemberre. A tanuló és nyugdíjas bérletek eladott mennyisége 5%-kal, az általános bérletek eladott mennyisége 2%-kal csökkent 1998. szeptemberről 1999. szeptemberre. 3. megoldás: a) fiktív aggregátumok (ezer Ft) Bérlet

q1 p0

q0 p1

T és Ny

11 552

13 984

Ált.

33 320

42 500

Együtt

44 872

56 484

b) I v =

54934,8 = 1,1900 = 119,0% 46160

A vállalat bérletértékesítésből származó bevétele együttesen 19%-kal nőtt 1998. szeptemberről 1999. szeptemberre.

I 1p =

54938,8 = 1,2242 = 122,4% 44872

I 0p =

56484 = 1,2236 = 122,4% 46160

A bérletek árai átlagosan 22,4%-kal nőttek 1998. szeptemberről 1999. szeptemberre.

I q0 =

44872 = 0,9720 = 97,2% 46160

I q1 =

54934,8 = 0,9725 = 97,3% 56484

Az eladott bérletek száma átlagosan 2,8%-kal (2,7%-kal) csökkent 1998. szeptemberről 1999. szeptemberre.

70

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

4. megoldás T és Ny: iv = 1,15 * 0,95 = 1,0925 = 109,3% Ált.: iv = 1,25 * 0,98 = 1,2250 = 122,5%

I v = 1,224 * 0,972 = 1,1897 = 119,0%

I v = 1,224 * 0,973 = 1,1909 = 119,1%

(Az eltérés a kerekítések miatt lehet, ez nem hiba.) 5. megoldás

K v = 54934,8 − 46160,0 = 8774,8 eFt K 1p = 54934,8 − 44872,0 = 10062,8 eFt

K p0 = 56484,0 − 46160,0 = 10324,0 eFt

K q0 = 44872,0 − 46160,0 = −1288,0 eFt

K q1 = 54934,8 − 56484,0 = −1549,2 eFt

1998. szeptemberről 1999. szeptemberre a vállalat bérleteladásból származó bevétele 8774,8 eFt-tal nőtt. A bérletek árainak növekedése 10 062,8 eFt (10 324 eFt) bevétel növekedést okozott, az eladott bérletek számának csökkenése viszont 1 288 eFt (1 549,2 eFt) bevételkiesést jelentett. 6. megoldás A táblázat oszlopainak jelölése az oszlopok sorrendjében: q0 q1 p0 p1 a) 1. külön-külön:

1425 * 6612 9422100 = = 108,3% 1500 * 5800 8700000 720 * 3712 2672640 Ing : iv = = = 104,4% 800 * 3200 2560000 160 * 9600 1536000 Dzseki : iv = = = 96,0% 200 * 8000 1600000 9422100 + 2672640 + 1536000 13630740 Együtt : I v = = = 106,0% 8700000 + 2560000 + 1600000 12860000 (Ellenőrzés: 96% < I v < 108,3%) Nadrág : iv =

a) 2. külön-külön:

Nadrág : iq =

1425 = 95,0% 1500

720 = 90,0% 800 160 Dzseki : iq = = 80,0% 200 1425 * 5800 + 720 * 3200 + 160 * 8000 11849000 Együtt : I q0 = = = 92,1% 12860000 12860000 (Ellenőrzés: 80% < I q0 < 95%) Ing : iq =

a) 3. külön-külön:

6612 3712 = 114,0% ip = = 116,0% 5800 3200 13630740 I 1p = = 115,0% 11849000 (Ellenőrzés: 114% < I 1p < 120%) ip =

71

ip =

9600 = 120,0% 8000

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

b) I v = 0,921*1,15 = 1,0591 = 105,9% (eltérés a kerekítés miatt!) c) K v = 13630740 − 12860000 = 770740 Ft

K 1p = 13630740 − 11849000 = 1781740 Ft K q0 = 11849000 − 12860000 = −1011000 Ft d) 1998-ról 1999-re a farmerruházati bolt bevétele nadrágból 8,3%-kal, ingből 4,4%-kal nőtt, dzsekiből viszont 4%-kal csökkent, így az együttes bevétel 6%-kal nőtt, ami a boltnak 770 740 Ft többletbevételt okozott. A boltban értékesített mindhárom árufajta ára nőtt, a nadrágé 14%-kal, az ingé 16%-kal, a dzsekié 20%-kal, azaz az árak átlagosan 15%-kal nőttek, ami a bevételt 1 781 740 Ft-tal növelte. Az eladott áruk mennyisége viszont csökkent, nadrágból 5%-kal, ingből 10%-kal, dzsekiből 20%-kal, ami átlagosan 7,9%-os volumencsökkenést jelentett, és ez a boltnak 1 011 000 Ft bevételkiesést okozott.

72

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

12. lecke Beküldendő feladat II. Bevezetés A következő feladatsor megoldásával ellenőrizheti a 7-11. leckében megtanultakat. A feladatsort igyekeztünk úgy összeállítani, hogy átfogják az eddig tanult tananyagot és egyben segítsenek Önnek felkészülni az év végi számonkérésre. A feladatok típusa, nehézsége megfelel a vizsgakövetelményeknek. Javasoljuk a feladatok kinyomtatását. A feladatok megoldása során számológépet és Képletgyűjteményt használhat. Ha egy feladat megoldásakor elakad, folytassa egy másikkal és a végén térjen vissza a meg nem oldotthoz. Ha továbbra sem boldogul, hívja segítségül a tankönyvet, a Kalauz megoldott önellenőrző feladatait. A lecke feldolgozásához szükséges idő 4 óra, ebből a feladatok megoldása kb. 3 óra, a többi idő a megoldások letisztázásához szükséges. Ha a 3 óra kevés a feladatok megoldásához, akkor még gyakorolnia kell hasonló feladatok megoldását.

A lecke elvégzése után Ön képes lesz

• • • •

• • •

felismerni az asszociációs és vegyes kapcsolatot, kiszámítani és értékelni az asszociációs kapcsolat Yule- és Cramer-féle mutatószámát, jellemezni a vegyes kapcsolatot a szórásnégyzet-hányados és a szóráshányados mutatószámokkal, alkalmazni a standardizálás módszerét a sokaságot jellemző összetett viszonyszámok (főátlagok) térben és időben történő összehasonlítására: vizsgálni a különbséget/alakulást, kimutatni az eltérést/változást okozó tényezők hatását, szöveges értékelést készíteni a kiszámított mutatószámok alapján, egyedi és együttes érték-, ár,- volumenindexeket számítani mennyiség és egységár adatokból, aggregátumokból, meghatározni az érték változását forintban, ebből kimutatni az árváltozás és a volumenváltozás hatását, szövegesen értékelni a kiszámított mutatószámokat.

73

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Beküldendő feladat (1-4)

1. Egy vállalkozás műszaki alkalmazottaira vonatkozó adatok (fő): Megnevezés Férfi

Vezető

Beosztott

Összesen

12

18

30

Nő

1

9

10

Összesen

13

27

40

Feladat: Vizsgálja és értékelje a nemek és a beosztás közötti kapcsolat szorosságát! (3 pont) 2. Egy vállalkozás dolgozóinak megoszlása iskolai végzettség és állománycsoport szerint (fő): Állománycsoport

Iskolai végzettség

Vezető

Egyéb szellemi

Összesen

Fizikai

Felsőfokú

21

27

12

60

Alap- vagy középfokú

9

63

168

240

Összesen

30

90

180

300

Feladat: Vizsgálja és értékelje a kapcsolat szorosságát az ismérvek között! (7 pont) 3. Egy nagyüzemnél a szakmunkások körében a nemek és a keresetek közötti kapcsolatot vizsgálták. Nemek

Létszám fő

Keresetek átlaga, eFt/fő

szórása, eFt

Férfi

25

70

14

Nő

13

60

10

Feladat: Milyen szoros a kapcsolat a nem ismérve és a keresetek nagysága között? (8 pont) 4. Egy vállalkozásnál 2002-ben a dolgozók állománycsoportja és havi nettó átlagkeresete közötti kapcsolatot vizsgálták. Havi nettó kereset Állomány-csoport

Létszám megoszlása, %

átlaga

szórása

ezer Ft

ezer Ft

Szellemi

20,0

90

30

Fizikai

80,0

65

12

Együtt

100,0

…..

…..

Feladat: Számítsa ki és értelmezze, hány %-ban határozza meg az állománycsoport a nettó keresetek eltéréseit! (8 pont)

74

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


5. Két vállalkozás dolgozóinak adatai egy adott évben: „Balkezesek” Állomány-csoport

Létszám

„Jobbkezesek”

(fő)

Átlagbér (ezer Ft/fő)

Bértömeg (ezer Ft)

(ezer Ft/fő)

Átlagbér

Szellemi

15

95,2

1 344,2

103,4

Fizikai

65

77,9

4 910,4

79,2

Együtt

80

…

6 254,6

…

Feladat: a) Hasonlítsa össze a két vállalkozás átlagbérét állománycsoportonként külön-külön, majd együttesen! Összehasonlításkor a „Jobbkezesek” adatait vegye alapul! (6) b) Mutassa ki az együttes átlagbérek eltérését okozó tényezőket! (3) c) Készítsen részletes szöveges elemzést! (6) (összesen 15 pont) 6. Egy gazdaság két telephelyén a kukoricatermelésre vonatkozó adatok a következők: Kukoricafajta

„A” telephely Termőterület megoszlása, %

„B” telephely Termőterület megoszlása, %

Termésátlagok különbsége, t/ha (BA)

Csemege

40,0

57,0

+1,7

Takarmány

60,0

43,0

+1,2

Együtt

100,0

100,0

+1,1

Feladat: a) Hasonlítsa össze a két telephely együttes termésátlagát! (1) b) Mutassa ki az eltérést okozó tényezőket! (3) c) Írjon részletes szöveges értékelést! (6) (összesen 10 pont) 7. Egy vállalat két gyáregységében egy termék termelésével kapcsolatos adatok a következők: Gyár-egység

2004.

2005.

Termelés megoszlása, %

Önköltség, Ft/db

Termelés, ezer db

Önköltség, Ft/db

A

35,0

500

60

580

B

65,0

440

140

480

Együtt

100,0

…

200

…

Feladat: a) Vizsgálja meg a vállalati önköltség alakulását! (5) b) Mutassa ki a változásra ható tényezőket! (3) c) Készítsen részletes szöveges elemzést! (6) (összesen 14 pont)

75

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


8. Egy iparcikk-nagykereskedelmi vállalat raktárainak következő adataival rendelkezünk: 2004. III. negyedév Raktár

2005. III. negyedév

Egy főre jutó forgalom (eFt)

A forgalom megoszlása (%)

Egy főre jutó forgalom változása (%) 2004. III. n.év=100%

9 500,0

43,0

103,6

I. II.

11 000,0

26,0

98,5

III.

14 200,0

31,0

105,0

Együtt

10 960,0

100,0

…

Feladat: a) Hasonlítsa össze a két időszak átlagos termelékenységét! (5) b) Mutassa ki az átlagos termelékenység változását okozó tényezőket! (3) c) Készítsen részletes szöveges elemzést! (6) (összesen 14 pont) 9. Egy kereskedelmi egység 3 kiemelt árucikkének forgalmára vonatkozó adatok: Áru

Eladott mennyiség

Egységár, Ft/….

január

július

január

július

A kg

240

210

180

200

B db

30 000

30 500

13

15

C db

3 500

4 000

22

20

Együtt

--

--

--

--

Feladat: Vizsgálja meg a kereskedelmi egység forgalmának alakulását a tanult elemzési eszközökkel az alábbiak szerint! Áru

……………………….. …………..

Egyedi

………… folyóáron

………………….. folyóáron

változatlan áron

index, ……

A

………..

………..

………..

B

………..

………..

C

………..

Együtt

………..

………..

………..

………..

….…

….…

….…

………..

….…

….…

….…

………..

………..

….…

….…

….…

………..

………..

….…

….…

….…

Egészítse ki a fenti táblázatot: a) Számítsa ki az aggregátumokat (3) – a bázis időszakban, – a tárgyidőszakban folyóáron és változatlan áron! b) Számítsa ki az egyedi indexeket! Igazolja összefüggésüket! (4) c) Számítsa ki az együttes indexeket aggregát formában! Igazolja összefüggésüket! (4) Számítsa ki a forgalom értékének változását forintban, és mutassa ki ebből az árak és a mennyiség változásának hatását! (3) (összesen 14 pont)

76

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Befejezés A megoldott feladatsort a tantárgy felvételekor meghatározott időpontra kell elküldenie tutorához. A tutor a feladatokat 1-2 héten belül kijavítja és visszajelzést küld Önnek. Javasoljuk, hogy a hibásan megoldott feladatokat az értékelés segítségével újra oldja meg. Ha ezek után is vannak kérdései, kérjen segítséget tutorától. Kérjük, hogy a megoldásokat jól olvashatóan, tintával írva tisztázza le, postán juttassa el tutorához. Természetesen, ha Ön könnyen dolgozik számítógépen a szövegszerkesztővel, tudja használni az egyenletszerkesztőt, e-mailben is elküldheti megoldását. A visszajelzésig se hagyja abba a tanulást, folytassa a következő leckével a munkát!

77

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

13. lecke Érték-, ár-, volumenindex számítása átlagformában. Bevezetés Ebben a leckében folytatjuk a 11. leckében elkezdett tananyagot. Az együttes érték-, ár- és volumenindex nemcsak aggregát formában határozható meg, hanem az egyedi indexek átlagaként is. Ennek megoldási módjait ismerjük meg ebben a leckében. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 12 óra


• • • • •

kiszámítani az együttes érték-, ár-, volumenindexeket átlagformában a bázis- vagy a tárgyidőszaki adatokat használva súlyként, kiszámítani az együttes érték-, ár-, volumenindexeket átlagformában a bázis- vagy a tárgyidőszaki adatok megoszlási viszonyszámait használva súlyként, kiszámítani az érték együttes változását forintban, és kimutatni ebből az árak és a mennyiség változásának hatását, ha a szükséges aggregátumokat a már kiszámított indexek segítségével kell meghatároznia, kiszámítani az együttes ár- és volumenindex Fisher-féle formáját, szöveges elemzésben értékelni a vizsgált sokaságot a kiszámított mutatószámok alapján.

Indexek számítása átlagformában. Kérem olvassa el az 5.2.2. Az indexek átlagformái című részt a tankönyv 197-202. oldalán. A tananyag feldolgozásával a célkitűzések 1. és 5. pontjában felsoroltakat teljesítheti.

Megjegyzés az olvasottakhoz: Az együttes indexek átlagformában történő számításakor átlagolandó értékek a megfelelő egyedi indexek, a súlyok pedig az aggregát forma számlálójában vagy nevezőjében szereplő értékadatok (aggregátumok). A fiktív aggregátumok a gyakorlatban nem állnak rendelkezésünkre (míg a folyóáras értékadatok a számviteli nyilvántartásokból igen!), ezért az ezekkel kapcsolatos súlyozott átlagformákat nem alkalmazzuk. Figyelem! Az indexek átlagformában történő számításakor: a.) Az együttes (átlagos) indexeknek nagyságrendileg mindig az egyedi indexek közé kell esnie! b.) Az egyedi indexeket a számítások során mindig együtthatós és nem %-os formában kell használni.

78

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Először gyakoroljuk az együttes indexek kiszámítását a bázis- vagy tárgyidőszaki aggregátum ismeretében. Egyúttal ismételjük a változás hatásának összegszerű kimutatását is. 1. önellenőrző feladat


Oldja meg a Példatár 206. feladatát! Ugye nem felejtette el? Változás 1998-ról 1999-re %-ban a bázishoz, azaz 100%-hoz képest történt, tehát a tényleges mutatószámok (amivel számolni kell!) pl. permetezőszerből 116% illetve 97%. Erre a későbbi feladatokban is figyeljen! Két index ismeretében a harmadik kiszámítható az indexösszefüggésből. 2. megoldás: A Példatár 156. oldalán.

Ugye emlékszik? A 4. leckében megtanulta, hogy a súlyozott átlag nagyságát az átlagolandó értékek nagysága és a súlyarányok határozzák meg. Ez utóbbi azt jelenti számunkra ebben a leckében, hogy a tényleges értékadatok (q0p0 és q1p1) helyett azok megoszlási viszonyszámait ismerve is ki tudjuk számítani az együttes indexet súlyozott átlag formában. Ezzel a célkitűzések 2. és 5. pontjában felsoroltakat teljesítheti. 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 210. a) feladatát! Minden kiszámított indexet értékeljen szövegesen! 3. megoldás: A Példatár 157. oldalán, ill. a lecke végén található. 4. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 212. a) és b) feladatát! 4. megoldás: A lecke végén ellenőrizheti.

Amennyiben a feladatban az aggregátumok megoszlása ismert, de mégis számítani kell a változás összegszerű hatását, akkor szükséges valamilyen értékadat megadása, és ebből, valamint a már kiszámított együttes indexekből kell meghatározni a szükséges aggregátumokat. Ezzel a célkitűzések 3. pontjában felsoroltakat teljesítheti.

79

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Példatár 210. b) feladatát! 5. megoldás: A lecke végén ellenőrizheti. 6. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 212. c) feladatát! 6. megoldás: A lecke végén ellenőrizheti. 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 213. feladatát! 7. megoldás: A lecke végén ellenőrizheti.

Fisher-féle indexek. A 11. leckében tapasztaltuk a kétféle súlyozás miatti különbséget az indexekben. Ebben a leckében megismerkedünk ennek okaival (röviden) és az ebből adódó számítási feladatainkkal. Ezzel a célkitűzések 4. pontjában felsoroltakat teljesítheti. Kérem, olvassa el a tankönyv 203-205. oldalán az 5.3. Az indexek súlyozása című részt.

Megjegyzés az olvasottakhoz: A kétféle súlyozásból adódó eltérés megértéséhez szükséges a teljes rész elolvasása, de csak a Fisher-féle keresztezett formula számításával foglalkozunk részletesen. A következő három önellenőrző feladatban a Fisher-féle indexek számítását, illetve a Fisher-féle index ismeretében – az indexösszefüggés felhasználásával – hiányzó index számítását gyakorolhatja. 8. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 207. feladatát! 8. megoldás: A lecke végén ellenőrizheti.

80

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Példatár 214. feladatát! 9. megoldás: A lecke végén, illetve a Példatár 158. oldalán. 10. önellenőrző feladat

Oldja meg a Példatár 221.a) feladatát! 10. megoldás: A lecke végén.

Összefoglaló feladatok az érték-, ár-, volumenindexekkel kapcsolatban tanultak ellenőrzésére. 11. önellenőrző feladat


Oldja meg az alábbi feladatot! Egy vállalkozás termelésére vonatkozó adatok: 2004. évi termelési érték megoszlása, %

A termelési érték

A

30,0

+ 14,4

+ 10,0

B

20,0

+ 13,4

+ 8,0

C

50,0

+ 11,3

+ 5,0

Együtt

100,0

…..

…..

Termék

A volumen

változása 2003-ról 2004-re, %

Feladat: a.) Számítsa ki és értékelje a termelési érték változását kifejező indexeket! b.) A termelési volumen változása miatt a vállalkozás termelési értéke 7 000 eFt-tal változott 2003-ról 2004-re. Számítsa ki, hogyan változott a vállalkozás termelési értéke összesen, és az árak változása miatt! 12. megoldás: A lecke végén.

További gyakorló feladatok: Példatár 208., 209.a), 211., 215., 216., 218-220., 222.

81

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Befejezés Ebben a leckében megtanulta két időszak adatának értéken alapuló indexekkel történő összehasonlítását. A következő leckében azt kell még megismernie, hogyan használhatjuk ezeket az indexeket kettőnél több időszak, illetve két terület adatainak összehasonlítására.

Megoldások 3. megoldás 3. önellenőrző feladat megoldásának kiegészítése: 1998-ról 1999-re a trafik forgalma együttesen 24,7%-kal nőtt. A forgalmazott cikkek ára átlagosan 11,3%-kal nőtt, miközben az eladott cikkek mennyisége is nőtt 12%-kal. 4. megoldás a) Ismert: Vm q1 p1 , i p , iv

Iv =

100 = 125,0% 35 41 24 + + 1,094 1,464 1,2

Az áruház árbevétele 1998-ról 1999-re 25%-kal nőtt. b) I 1p =

100 = 118,8% 35 41 24 + + 1,243 1,139 1,2

1998-ról 1999-re az árak átlagosan 18,8%-kal nőttek. 5. megoldás:

K q0 = ?

∑q p 1

1

I v = 124,7%

= 24,94 mFt I 1p = 111,3%

I q0 = 112,0% (Ezeket az a) részben számolta ki!)

I v = 1,247 =

24,94 ∑ q0 p0

∑q

I 1p = 1,113 =

24,94 ∑ q1 p0

∑q p

0

= 24,94 / 1,113 = 22,41 mFt vagy:

1

∑q p

0

= 20 *1,12 = 22,40 mFt

I q0 = 1,12 =

∑q p

0

0

p0 = 24,94 / 1,247 = 20,0 mFt

1

20 0 K q = 22,41 − 20 = 2,41 mFt

1

Az értékesítés mennyiségének növekedése 2,41 mFt-tal növelte az árbevételt. 6. megoldás:

∑q p ∑q p ∑q p

I v = 125,0%

1

1

= 300 mFt

0

0

= 300 / 1,25 = 240 mFt

1

0

= 300 / 1,188 = 252,5 mFt

I 1p = 118,8%

K q0 = ?

K q0 = 252,5 − 240 = 12,5 mFt árbevétel növekedést eredményezett a volumenváltozás.

82

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

7. megoldás: Ismert: Vm q0 p0, Vm q1 p1, i p (100% + …%)!!

+ 120 mFt = + 25%

KV = 120 mFt , IV = 125%

a)

100% = ∑ q0 p0 = 120 / 0,25 = 480 mFt volt a forgalom 1998-ban

120% = ∑ q1 p1 = 480 + 120 = 600 mFt volt a forgalom 1999-ban b)

100 = 105,9% Az árak együttesen átlagosan 5,9%-kal nőttek. 22 52 26 + + 1,033 1,06 1,08 c) külön-külön: iq Ezt csak az indexösszefüggésből lehet kiszámítani, ahhoz pedig iv -t kell

I 1p =

számolni. Egyik megoldás: Ismerjük a q0 p0 és Vm q0 p0 valamint a

∑

∑q p

1 1

és Vm q1 p1 adatokat és ebből

kiszámítjuk a q0 p0 és q1 p1 adatokat, majd ezekből az egyedi értékindexeket. Osztály

q0p0

q1p1

iv , %

iq= iv/ ip , %

Férfikonfekció

96

132

137,5

1,375/1,033 = 133,1

Női konfekció

240

312

130,0

1,300/1,060 = 122,6

Méteráru

144

156

108,3

1,083/1,080 = 100,3

Másik megoldás: Emlékszik? Vm 0 *Vd = Vm1 *Vd Az index egy összetett dinamikus viszonyszám, tehát Vm q0 p0 * iv = Vm q1 p1 * I v ! iv = Vm q1 p1 * I v / Vm q0 p0 Férfikonfekció: iv = 0,22 *1,25 / 0,2 = 137,5% Női konfekció: iv = 0,52 *1,25 / 0,5 = 130,0% Méteráru: iv = 0,26 *1,25 / 0,3 = 108,3% együttesen:

I q0 =

1,25 = 118,0% 1,059

1998-ról 1999-re az eladott áruk mennyisége az áruház Férfikonfekció osztályán 33,1%-kal, a Női konfekció osztályán 22,6%-kal, a Méteráru osztályán pedig 0,3%-kal nőtt, azaz az áruházban átlagosan 18%-kal nőtt. d) q1 p0 = 480 *1,18 = 566,4 mFt

∑

K = 600,0 − 566,4 = 33,6 mFt forgalomnövekedést eredményezett az árak növekedése. 1 p

K q0 = 566,4 − 480,0 = 86,4 mFt forgalomnövekedést eredményezett a mennyiségek növekedése.

83

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

8. megoldás Ismert: q1 p1 , i p , iv a)

Iv =

50 50 = = 136,1% 15 10 25 36,74 + + 1,2 1,1 1,65

A sportbolt forgalmának értéke 36,1%-kal nőtt 1998-ról 1999-re.

50 50 = = 116,4% 15 10 25 42,97 + + 1,15 1,1 1,2 Sportruha: iq = 1,2 / 1,15 = 104,3%

I 1p =

I q0 =

1,361 = 116,9% 1,164

Sportcipő: iq = 100,0% Sportcikk: iq = 137,5%

I q1 =

50 50 = = 117,5% 15 10 25 42 , 56 + + 1,043 1,0 1,375

I qF = 1,169 *1,175 = 117,2%

Az eladott termékek mennyisége átlagosan 17,2%-kal nőtt a Fisher-féle index szerint. b) K v = 50,00 − 36,74 = 13,26 mFt volt a forgalom értékének növekedése, ebből

K 1p = 50,00 − 42,97 = 7,03 mFt volt az árváltozás hatása miatti növekedés, K q0 = 42,97 − 36,75 = 6,23 mFt pedig a mennyiségek változása miatti növekedés. 9. megoldás Ismert: Vm q0 p0 , Vm q1 p1 , i p , K v = 12 mFt, I v = 120% Az egyedi értékindexek kiszámításának egyik módja: Női cipő

iv = 0,48 *1,2 / 0,50 = 115,2%

iq = 1,152 / 1,19 = 96,8%

Férfi cipő

iv = 0,22 *1,2 / 0,22 = 120,0%

iq = 1,200 / 1,13 = 106,2%

Gyermek cipő

iv = 0,30 *1,2 / 0,28 = 128,6%

iq = 1,286 / 1,07 = 120,2%

Vagy: kiszámítjuk az értékadatokat a megoszlási viszonyszámok segítségével cikkcsoportonként mind a két időszakban, és utána azokból számítjuk ki az egyedi értékindexeket. A megoldás folytatása a Példatár 158. oldalán található. 10. megoldás Ismert: Vm q0 p0 , i p (100% + ...%)!, I 1p = 104,7%, I qF = 98,0%

Iv = ? 25 *1,07 + 35 *1,05 + 40 *1,04 I p0 = = (vagy 0,25*1,07+0,35*1,05+0,4*1,04) = 105,1% 100 I pF = 1,047 *1,051 = 104,9% I v = 1,049 * 0,98 = 102,8% 1998-ról 1999-re a vállalat termelési értéke 2,8%-kal nőtt.

84

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

11. megoldás A szövegesen megfogalmazott adatok: Termék

Vm q1 p1 , %

i p ,%

A

30,0

117,0

B

70,0

114,0

Össz.

100,0

….

I q0 = ? , ha I v = 105,0%

I 1p =

100 = 114,9% 30 70 + 1,17 1,14

I q0 =

1,05 = 91,4% 1,149

Az értékesítés volumene átlagosan 8,6%-kal csökkent 1998-ról 1999-re. 12. megoldás

Termék

2004. évi termelési érték megoszlása, %

A termelési érték

A volumen

ip =

változása 2003-ról 2004-re, %

Vm q1 p1

iq

iv

iv ,% iq

A

30,0

+ 14,4

114,4

+ 10,0

110,0

104,0

B

20,0

+ 13,4

113,4

+ 8,0

108,0

105,0

C

50,0

+ 11,3

111,3

+ 5,0

105,0

106,0

Együtt

100,0

a) I v =

…..

…..

100 = 1,1263 = 112,6% Ellenőrzés: 111,3% < 112,6% < 114,4% 30 20 50 + + 1,144 1,134 1,113

2003-ról 2004-re a vállalkozás termelési értéke együttesen 12,6%-kal nőtt.

I 1p =

100 = 1,0519 = 105,2% 30 20 50 + + 1,04 1,05 1,06

Ellenőrzés: 104,0% < 105,2% < 106,0%

2003-ról 2004-re a vállalkozás termékeinek ára átlagosan 5,2%-kal nőtt.

I q0 =

I v 1,126 = = 1,0703 = 107,0% I 1p 1,052

Ellenőrzés: 105,0% < 107,0% < 110,0%

2003-ról 2004-re a vállalkozás termelése (termelésének mennyisége, volumene) átlagosan 7%-kal nőtt.

85

Szolnoki Főiskola


b)

K q0 = 7000 eFt és I q0 = 107,0%

I q0 =

∑q p ∑q p 1

0

0

0

→ 100%-nak a

∑q

0

p0 felel meg.

+ 7000 = + 7% → 100 % = 7000 / 0 , 07 = 100000 eFt =

∑q p ∑q p 1

0

1 1

Távoktatás

∑q

0

p0

= 100000 + 7000 = 107000 eFt = 100000 * 1,126 = 112600 eFt (az értékindex aggregát formájából)

termelési érték változása:

K v = 112600 − 100000 = +12600 eFt : növekedés

árak változásának hatása:

K 1p = 112600 − 107000 = +5600 eFt : növekedés

vagy: K v = K 1p + K q0

K 1p = 12600 − 7000 = +5600 eFt

86

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

14. lecke Területi indexek. Indexsorok. Bevezetés Ebben a – korábbiakhoz képest rövid – leckében az indexek további alkalmazási területeivel ismerkedünk meg. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 4 óra


• • • •

meghatározni az érték-, ár- és volumenindex-sor fogalmát, fajtáit, képzésének módját, összehasonlítani két terület azonos pénznemben mért adatait érték-, ár- és volumenindexszel, összehasonlítani két terület különböző pénznemben mért adatait érték-, ár- és volumenindexszel, szöveges elemzésben összehasonlítani a két sokaságot a kiszámított mutatószámok alapján.

Indexsorok. Az előző leckékben az indexek számítása során két időszak adatai álltak a rendelkezésünkre. Indexekkel azonban lehet vizsgálni több időszak adatainak változását is. Ismerjük tehát meg az így képezhető mutatószámok fogalmát, fajtáit, képzésének módját, hogy a célkitűzések első pontjában felsoroltakat teljesíthesse. Kérem, olvassa el a tankönyv 213-217. oldalán található tananyagrészt!

Megjegyzés az olvasottakhoz: Önnek csak az indexsor fogalmát, fajtáit, képzésük módját kell megtanulnia, az olvasottak további része ezek megértését segíti. Számítási feladatokat nem kérünk.

87

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! a) kettőnél több időszakra vonatkozó indexek sorozata

A) láncindexsor

b) minden adatot az előző időszak adatához viszonyítunk

C) állandó és változó súlyozású

c) minden adatot a bázisul kiválasztott időszak adatához viszonyítunk

E) bázisindexsor

B) változó súlyozású indexsor D) indexsor

d) az indexsorok fajtái tartalmuk szerint

F) állandó súlyozású indexsor

e) az indexsorok fajtái a viszonyítás rendje szerint

G) bázis- és láncindexsor

f) a súlyszám az indexsor minden tagjánál különböző

H) érték-, ár-, volumenindex-sor

g) a súlyszám az indexsor minden egyes tagjánál azonos h) az indexsorok fajtái a súlyozás módja szerint az ár- és volumenindex-sornál

Területi indexek Az eddig tanultakban az indexeket időbeli összehasonlításra használtuk. Ezen kívül azonban területi összehasonlítások végzésére is szükség lehet, és az indexek erre is használhatók. A tananyag további részében ezzel ismerkedünk meg, így a célkitűzések 2-4. pontjában felsoroltakat teljesítheti. Kérem, olvassa el a tankönyv 219-222. oldalán található tananyagot!

Megjegyzés az olvasottakhoz: 1. A területi értékindexet nem értelmezzük, ha nem szükséges (az indexösszefüggés miatt), nem is számoljuk. 2. A területi ár- és volumenindexnek mindig a Fisher-féle formáját számoljuk. 3. Mindig jelölni kell (alsó indexben), hogy mit viszonyítottunk mihez. 4. Különböző valutában mért adatok összehasonlításakor az árindex nem fejezhető ki %-os formában, mert a két valuta vásárlóerejének arányát fejezi ki az adott termékkörben. A következő két önellenőrző feladatban az azonos valutában mért adatok összehasonlítását gyakorolhatja.

88

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Két város („A” és „B”) piacán vizsgálták a termékek meghatározott körét. A vizsgálatból az alábbi eredmények ismertek. A forgalom értéke ezer Ft-ban: „A” város piacán „A” piac áraival számítva: 1 664,5 „A” város piacán „B” piac áraival számítva: 1 989,0 „B” város piacán „B” piac áraival számítva: 1 709,0 „B” város piacán „A” piac áraival számítva: 1 462,5 Feladat: Hasonlítsa össze adott termékkörben – „A” várost „B”-hez viszonyítva – a fogyasztás (mennyiség) és az árak színvonalát! A kiszámított mutatószámokat értékelje szövegesen! 3. önellenőrző feladat

„K” város piaci felhozatalát kívánjuk összehasonlítani „L” város piacáéval azonos termékkörben. A rendelkezésre álló aggregátumok:

∑q ∑q ∑q ∑q

K

p K = 3744 eFt

K

p L = 3276 eFt

L

p L = 3366 eFt

L

p K = 4010 eFt

Feladat: Számítsa ki és értékelje a Fisher-féle területi ár- és volumenindexet „K” várost hasonlítva „L” városhoz! A következő két önellenőrző feladatban a különböző valutában mért adatok összehasonlítását gyakorolhatja.

89

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Svájc és Németország fogyasztását vizsgálva adott termékkörben a következő aggregátumok ismertek:

∑q ∑q ∑q ∑q

S

p S = 4014 CHF

N

p S = 4170 CHF

N

p N = 2758 EUR

S

p N = 2668 EUR

Feladat: a.) Az adott termékkörben hasonlítsa össze a német fogyasztás mennyiségét a svájcihoz viszonyítva! b.) Az adott termékkörben állapítsa meg a svájci frank vásárlóerejét az euróhoz viszonyítva! 5. önellenőrző feladat

Két ország („R” és „S”) évi egy főre jutó élelmiszer-fogyasztására vonatkozó adatok:

∑q ∑q ∑q ∑q

R

p R = 7548,2

R

p S = 1657,4

S

p S = 2390,8

S

p R = 11488,6

Feladat: Hasonlítva „R” ország egy főre jutó élelmiszer-fogyasztását „S” országéhoz, számítsa ki és értékelje a Fisher-féle ár- és volumenindexet!

Befejezés Ezeknek a feladatoknak a megoldásával nemcsak a lecke, hanem a Statisztika I. tananyagának is a végére ért. (Ne búsuljon, lesz még Statisztika II. is!) Reméljük, hogy közös munkánk eredményeként megismerte a statisztika alapfogalmait, legfontosabb mutatószámait, és az itt tanult elemzési eszközöket sikeresen hasznosítja szaktárgyaiban, munkájában. A leckékben igyekeztünk olyan önellenőrző és beküldendő feladatokat adni, melyek sikeres megoldásával eredményesen készülhetett fel a félévet záró számonkérésre. A Mellékletben – Képletgyűjteményen kívül – egy kollokviumi mintafeladatsort (megoldással) is talál. Ennek megoldása is segíthet a sikeres befejezésben. Eredményes vizsgát kívánunk Önnek. Találkozunk a következő félévben.

90

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megoldások 1. megoldás: Helyes válasz: a-D, b-A, c-E, d-H, e-G, f-B, g-F, h-C 2. megoldás Ismert:

∑q

A

p A = 1664,5

∑q

p B = 1989,0

A

∑q

B

p B = 1709,0

∑q

B

p A = 1462,5

Az összehasonlítás A/B viszonyításban készül mindkét indexre. A fogyasztás színvonala:

I qF( A / B ) =

∑q ∑q

A

pA

B

pA

*

∑q ∑q

A

pB

B

pB

=

1664,5 1989,0 * = 1,1509 = 115,1% 1462,5 1709,0

Az adott termékkörben „A” városban a fogyasztás átlagosan 15,1%-kal magasabb mint „B” városban. (A vizsgált termékekből „A” városban átlagosan 15,1%-kal többet értékesítettek mint „B” városban.) Az árszínvonal:

I pF( A / B ) =

∑q ∑q

A

pA

A

pB

*

∑q ∑q

B

pA

B

pB

=

1664,5 1462,5 * = 0,8462 = 84,6% 1989,0 1709,0

Az adott termékkörben „A” városban az árak átlagosan 15,4%-kal alacsonyabbak mint „B” városban. 3. megoldás:

I qF( K / L ) =

3276 3744 * = 0,9532 = 95,3% 3366 4010

Adott termékekből „K” város piacán átlagosan 4,7%-kal kevesebbet értékesítettek mint „L” városban.

I pF( K / L ) =

3744 4010 * = 1,1668 = 116,7% 3276 3366

Adott termékkörben „K” város piacán átlagosan 16,7%-kal magasabbak az árak mint „L” városban. 4. megoldás a) az összehasonlítás N/S viszonyításban készül:

I qF( N / S ) =

∑q ∑q

N

pS

S

pS

*

∑q ∑q

N

pN

S

pN

=

4170 2758 * = 1,0362 = 103,6% 4014 2668

A vizsgált termékkörben a németek egy lakosra jutó fogyasztása 3,6%-kal magasabb mint a svájciaké. b) az összehasonlítást S/N viszonyításban kell elkészíteni:

I pF( S / N ) =

∑q ∑q

N

pS

N

pN

*

∑q ∑q

S

pS

S

pN

=

4170 4014 * = 1,508 ≈ 1,51 CHF / EUR 2758 2668

1 euro 1,51 svájci frank vásárlóerejével egyezik meg a vizsgált termékkörben.

91

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

5. megoldás Az összehasonlítást R/S viszonyításban kell végezni.

I qF( R / S ) =

7548,2 1657,4 * = 0,6748 = 67,5% 11488,6 2390,8

„R” ország egy főre jutó élelmiszer-fogyasztása a vizsgált termékkörben 32,5%-kal alacsonyabb mint „S” országé.

I pF( R / S ) =

7548,2 11488,6 * = 4,678 ≅ 4,7 1657,4 2390,8

„S” ország 1 egységnyi valutája 4,7 egységnyi „R” országi valuta vásárlóerejével egyenlő a vizsgált termékkörben.

92

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Melléklet Minta kollokviumi feladatsor 1. a) Egy vállalkozás forgalma 1996-2000 között évente átlagosan 8%-kal emelkedett. 1996-ban a forgalom 12500 eFt volt. Feladat: Számítsa ki a 2000. évi forgalom értékét! (2) b) Készletadatok 2000. II. félévében: VII. 1. 1600 eFt IX. 30. 1500 eFt XII. 31. 1200 eFt Feladat: Számítsa ki a II. félévi átlagkészletet! (1) c) Egy vállalkozás létszámának alakulásáról az alábbiakat ismerjük: 1996-ban a fizikai foglalkozású dolgozók száma 320 fő volt, ami 80%-a az összes létszámnak, 1997-ben mindkét állománycsoport (fizikai és szellemi) létszáma 5-5%-kal csökkent az előző évhez képest. Feladat: Mennyi volt a dolgozók összes száma 1996-ban és a fizikaiak száma 1997-ben? (2) d) Egy gazdaság 4500 dolgozóját iskolai végzettség (alapfokú, középfokú és felsőfokú) és állománycsoport (fizikai, szellemi) szerint vizsgálva χ2 = 1054. Feladat: Számítsa ki és értékelje, hogy milyen szoros a kapcsolat a két ismérv között? (3) e) Németország (€) és Svájc (CHF) adatait összehasonlítva egy adott termékkörben, a következő eredményt kaptuk: I pF( S / N ) = 1,5

Feladat: Értelmezze a fenti mutatószámot! (1) 2. Egy sportbolt forgalmára vonatkozó adatok:

(összesen 9 pont)

Termékcsoport

Forgalom értéke 1999-ben (millió Ft)

Sportruhák

15

115,0

120,0

Sportcipők

10

110,0

110,0

Sportcikkek

25

120,0

165,0

Összesen

50

…..

…..

Az árak

A forgalom értéke

1999-ben az 1998. évi %-ában

Feladat: Számítsa ki az értékindexet és a Fisher-féle volumenindexet!

Melléklet - 1

(7 pont)

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

3. Egy település háztartásainak megoszlása a havi villamosenergia-fogyasztás szerint: Villamosenergia- fogyasztás (kWh)

Háztartások száma

000 – 100

50

101 – 200

130

201 – 300

60

301 – 000

10

Összesen

250

Feladat: a) Jellemezze az eloszlás aszimmetriáját az „A” mutató segítségével! (6) b) Az összes kiszámított mutatót értékelje szövegesen! (4) c) Hány kWh villamosenergiánál fogyasztott többet a háztartások 25%-a? (2) (Kerekítési pontosság egy tizedes jegy!) (összesen 12 pont) 4. Egy vállalkozásnál a dolgozók keresetét jellemző adatok: 2002. január

2003. január

Béralap

Átlagbér

Átlagbér változása

ezer Ft

ezer Ft/fő


A

3360

96,00

30,0

114,0

B

3440

86,00

48,0

115,0

C

2300

92,00

22,0

112,0

Telephely

2002 január = 100 %

Feladat: a) Vizsgálja a vállalkozási szintű átlagbér alakulását indexek segítségével, mutassa ki a változásra ható tényezőket! (7) b) Írjon szöveges értékelést! (5) (összesen 12 pont)

Megoldások 1. a) Y2000 = 12500 * 1,084 = 17 006, 1 eFt

2 p.

b)

1600 1200 + 1500 + 2 = 1450 eFt Yk = 2 2

1 p.

c) Összes dolgozó 1996-ban: 320 ÷ 0,8 = 400 fő

1 p.

fizikaiak száma 1997-ben: 320 · 0,95 = 304 fő

1 p.

Melléklet - 2

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

d)

1054 = 0,48 4500 ⋅ (2 − 1)

C=

2 p.

Közepes erősségű kapcsolat van a dolgozók iskolai végzettsége és állománycsoportja között. 1 p. e) A vizsgált termékkörben 1 euro 1,5 svájci frank vásárlóerejével egyenlő.

1 p. (összesen 9 pont)

2. Egy sportbolt forgalmára vonatkozó adatok: Termékcsoport

Forgalom értéke 1999ben (millió Ft)

Az árak

A forgalom értéke

iq

ip

iv

%

q1p1 1999-ben az 1998. évi %-ában Sportruhák

15

115,0

120,0

104,3

Sportcipők

10

110,0

110,0

100,0

Sportcikkek

25

120,0

165,0

137,5

Összesen

50

…..

…..

Iv =

50 50 50 = = = 1,3608 = 136,1 % 15 10 25 12,5 + 9,09.. + 15,15.. 36,74.. + + 1,2 1,1 1,65

I q1 =

I 1p =

I q0 =

50 50 = = 1,1747 = 117,5 % 15 10 25 42 , 56 .. + + 1,043 1,0 1,375

I q0 =

1+1 p.

50 50 = = 1,1636 = 116,4 % 15 10 25 42,967.. + + 1,15 1,1 1,2

1 p.

1,361 = 1,1692 = 116,9 % 1,164

1 p.

I qF = 1,169 ⋅1,175 = 1,373575 = 1,1719 = 117,2 % (vagy:

2 p.

12,5 ⋅1,043 + 9,09 ⋅1 + 15,15 ⋅ 1,375 42,95875 = = 1,1692 = 116,9 % 36,74 36,74

Melléklet - 3

1 p.

2 p.)

Szolnoki Főiskola

3. a)

x=


Távoktatás

50 ⋅ 50 + .... + 10 ⋅ 350 40500 = = 162 kWh/házt. 250 250

1 p.

50 ⋅ (50 − 162) 2 + .... + 10 ⋅ (350 − 162) 2 σ= ≅ 76,5 kWh/házt. 250 Mo = 100 +

A=

130 − 50 ⋅ 100 ≅ 153,3 kWh/házt. (130 − 50) + (130 − 60)

2 p.

2 p.

162 − 153,3 ≅ 0,11 76,5

1 p.

b) Statisztikailag szimmetrikus vagy gyenge bal oldali aszimmetria

1 p.

A település háztartásainak havi villamosenergia-fogyasztása átlagosan 162 kWh, melytől az egyes háztartások fogyasztása átlagosan 76,5 kWh-val tér el. 2 p. A település háztartásainak tipikus vill.energia-fogyasztása 153,3 kWh.

1 p.

c) Felső kvartilis: 250 × ¾ = 187,5. elem: 200-300 közé esik

Q3 = 200 +

187,5 − 180 ⋅ 100 = 212,5 kWh 60

2 p.

4. Egy vállalkozásnál a dolgozók keresetét jellemző adatok: 2002. január Telephely

2003. január

Béralap ezer Ft

Átlagbér ezer Ft/fő


A0

v0

VmB1

Átlagbér változása 2002 január = 100%

v1 = v0 · i

i

A

3360

96,00

30,0

114,0

109,44

B

3440

86,00

48,0

115,0

98,90

C

2300

92,00

22,0

112,0

103,04

9100

V0 =

1 p.

9100 9100 = = 91 eFt/fő 3360 3440 2300 100 + + 96 86 92 35

40

1 p.

25

V1 = 0,3 ⋅ 109,44 + 0,48 ⋅ 98,9 + 0,22 ⋅ 103,04 = 102,9728 ≈ 102,97 eFt/fő

Melléklet - 4

1 p.

Szolnoki Főiskola


V st = 0,3 ⋅ 96 + 0,48 ⋅ 86 + 0,22 ⋅ 92 = 90,32 eFt/fő

Távoktatás

1 p.

I=

102,97 = 1,1315 ≈ 113,2 % 91

1 p.

I'=

102,97 = 1,140 = 114,0 % 90,32

1 p.

90,32 = 0,9925 ≈ 99,3 % 91

1 p.

I"=

Elemzés: (5 pont) 2002. januárról 2003. januárra a vállalkozás dolgozóinak átlagbére együttesen átlagosan 13,2%-kal nőtt. Ezt két tényező ellentétes irányú hatása okozta. A vállalkozás mindhárom telephelyén nőtt a dolgozók átlagbére és ez átlagosan 14%-kal növelte a vállalati szintű átlagbért, változatlan létszámösszetétel mellett. Kedvezőtlenül alakult a létszám telephelyek szerinti összetétele és ez átlagosan 0,7%-os átlagbér csökkenést okozott a vállalatnál, telephelyenként változatlan átlagbért feltételezve.

Melléklet - 5

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Képletek Viszonyszámok A B

V=

Vd =

V d Vint = Vm =

Y1 Y0

⎛ Y ⎜⎜ bt = t = l 2 ⋅ l 3 ⋅ ... ⋅ l t ; Yb ⎝

V1 A1 A0 A1 B1 Vd A (= i ) = ÷ = ÷ = V0 B1 B0 A0 B0 Vd B fi f = i ∑ fi N

(% )

gi =

fi N

lt =

Yt b ⎞ = t ⎟⎟ Yt −1 bt −1 ⎠

A b A ÷ = B B b

V m 0 ⋅ Vd = Vm1 ⋅ Vd

Középértékek – szóródás – aszimmetria Helyzeti középértékek: Mo = mo +

n ′ −1 − f me 2 Me = me + ⋅h f me

k1 ⋅h k1 + k 2

j ⋅ n − f i′−1 k Q j = ai + ⋅h fi k

Idősorok adatainak átlagolása: Y − Y1 d= n n −1

Y l = n −1 ∏ l t = n −1 n = n -1 b n t =2 Y1 Átlagok: n

x=

∑ f i ⋅ xi ∑ si ∑ zi = ∑ g i ⋅ xi = = s z ∑ fi ∑ i ∑ i xi xi

Y Y1 + Y2 + ... + Yn −1 + n 2 Yk = 2 n −1

⎛ s s ⎞ ⎜⎜ z i = i = i ⎟⎟ n ∑ si S ⎠ ⎝ x g = n ∏ xi i =1

Szórás, relatív szórás: ∑ f i (xi − x ) 2 σ= = ∑ g i ( xi − x ) = σ B2 + σ K2 = x 2 − x 2 ∑ fi 2

Asszimetria: A=

x − Mo

σ

F=

(Q3 − Me) − (Me − Q1 ) (Q3 − Me) + (Me − Q1 )

Melléklet - 6

V=

σ x

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Sztochasztikus kapcsolatok Asszociációs együtthatók: f 11 f 22 − f 12 f 21 χ2 Y= C= f 11 f 22 + f 12 f 21 ; n(s − 1) ha: s ≤ t f i• ⋅ f • j f ij* = N

χ = ∑∑ 2

(f

ij

− f ij*

)

2

f ij*

Vegyes kapcsolat mérése:

∑ n j (x j − x ) SS σ = K = n n

2 SS B ∑ n j ⋅ σ j σ = = n n

2

2 K

2 B

σ2 =

SS = σ B2 + σ K2 n

σ K2 σ B2 = 1 − σ2 σ2

H=

Viszonyszámok átlagolása általában: V=

A B

⇒

V =

100 ∑ A ∑ B ⋅ v ∑ Vm B ⋅ v ∑ A = = = = A V A 100 ∑B ∑B ∑ ∑ m v v

Standardizálás különbségek alapján: K = K’ + K”

K = V1 − V0 indexekkel:

K' = V1 − V S =

∑ B1 (v1 − v 0 ) ∑ B1 v 0 VS = K" = V S − V0 ∑ B1 ∑ B1

I = I’ · I”

V1 ∑ B1 ⋅ v1 ∑ A1 V1 Vd A I' = V = ∑ B ⋅ v = A S 1 0 = I= ∑ 1 V0 V d B i

I" =

VS V0

Érték-, ár-, volumenindex iv = i p ⋅ i q

I v = I 1p ⋅ I q0 = I p0 ⋅ I q1 = I pF ⋅ I qF

I v = I érték =

I 1p = I ár1 =

∑ v1 ∑ q1 p1 ∑ q 0 p 0 ⋅ iv ∑ q1 p1 = = = q p ∑ v0 ∑ q0 p0 ∑ q0 p0 ∑ 1 1 iv

∑ q1 p1 ∑ q1 p1 ∑ q1 p 0 ⋅ i p = = q1 p1 ∑ q1 p 0 ∑ q1 p 0 ∑ ip

Melléklet - 7

⎛ v1 Vd A ⎞ ⎜⎜ i = ⎟⎟ = ⎝ v 0 Vd B ⎠

Szolnoki Főiskola

0 = I q0 = I volumen

I p0 = I ár0 =


Távoktatás

∑ q1 p 0 ∑ q 0 p 0 ⋅ i q ∑ q1 p 0 = = q p ∑ q0 p0 ∑ q0 p0 ∑ 1 0 iq

∑ q 0 p1 ∑ q 0 p1 ∑ q 0 p 0 ⋅ i p = = q 0 p1 ∑ q0 p0 ∑ q0 p0 ∑ ip

1 = I q1 = I volumen

I pF =

∑ q1 p1 ∑ q 0 p1 ⋅ i q ∑ q1 p1 = = q p ∑ q 0 p1 ∑ q 0 p1 ∑ 1 1 iq I p0 ⋅ I 1p

I qF =

I q0 ⋅ I q1

K v = K 1p + K q0 = K p0 + K q1

K v = ∑ q1 p1 − ∑ q 0 p 0

K 1p = ∑ q1 p1 − ∑ q1 p 0

K q0 = ∑ q1 p 0 − ∑ q 0 p 0

K p0 = ∑ q 0 p1 − ∑ q 0 p 0

K q1 = ∑ q1 p1 − ∑ q 0 p1

Területi indexek I pF( A / B ) =

∑ q A p A ∑ qB p A ⋅ = I pA( A / B ) ⋅ I pB( A / B ) q p q p ∑ A B ∑ B B

I qF( A / B ) =

∑ q A p A ∑ q A pB ⋅ = I qA( A / B ) ⋅ I qB( A / B ) ∑ qB p A ∑ qB pB

Melléklet - 8

Statisztika 1. tantárgyi kalauz

Recommend Documents