Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz

Dr. Madaras Lászlóné

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz

Szolnoki Főiskola Szolnok 2005.


A kalauz a következő három kiadványhoz készült: Dr. Csernyák László: Analízis, Matematika közgazdászoknak sorozat, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1998. Fehér Mária - Hanich József - Libor Józsefné Dr. - Madaras Lászlóné Dr. - Nagy Tamás: Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény, Student Kiadó, Szolnok, 2005. Horváth Jenőné Dr. - Libor Józsefné Dr. - Madaras Lászlóné Dr.: Tanulási útmutató a Gazdasági matematika I. tárgyhoz, Student Kiadó, Szolnok, 1997. Tananyagíró: Dr. Madaras Lászlóné Távoktatási szerkesztő: Fazekas Judit Kiadványszerkesztő: Román Gábor Sorozatszerkesztő: Zarka Dénes Nyomdai kivitelezés: Mpress Kft.

Kiadja a Szolnoki Főiskola. Felelős kiadó: Dr. Törzsök Éva főigazgató

© Szolnoki Főiskola, 2005. szeptember Minden jog fenntartva. A Tantárgyi kalauzt, vagy annak részeit tilos bármilyen formában, illetve eszközzel másolni, terjeszteni vagy közölni a Kiadó engedélye nélkül.

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Tartalom Tartalom ............................................................................................................................................. 3 A kalauz szerkezete........................................................................................................................... 4 Bevezetés............................................................................................................................................ 5 Halmazelmélet, valós függvények. Az analízis tárgya, fejlődése és szerepe a tudományokban ............................................................................................................................................................. 9 Számsorozatok és sorok. A sorozat fogalma, megadási módjai, sorozatok tulajdonságai. Konvergens számsorozatok és műveletek. Tágabb értelemben vett határérték, végtelen sorok. ................................................................................................................................................ 16 Függvények határértéke végesben, végtelenben, tágabb értelemben vett határérték............ 21 Függvények folytonossága ............................................................................................................. 25 Differenciálszámítás. Differenciálhányados fogalma, deriváltfüggvény. Differenciálszámítás geometriai alkalmazása. .................................................................................................................. 29 Beküldendő feladat I....................................................................................................................... 36 Differenciálható függvények néhány lokális és globális tulajdonságának vizsgálata ............. 39 Teljes függvényvizsgálat................................................................................................................. 43 Többváltozós valós függvények fogalma, szemléltetése, differenciálása, szélsőértéke......... 46 Határozott integrál.......................................................................................................................... 51 Primitív függvény, határozatlan integrál, integrálási szabályok ................................................ 54 Beküldendő feladat II..................................................................................................................... 58 A Newton – Leibniz szabály, néhány területszámítási feladat, improprius integrál.............. 61 Mátrixaritmetika. Mátrixok gazdasági alkalmazása..................................................................... 65 Melléklet ............................................................................................................................................. 1

3

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A kalauz szerkezete A kalauz feldolgozásakor fontos, hogy értse jelrendszerünket. Íme a legfontosabbak:

Így adjuk meg, hogy mennyi ideig tart egy lecke feldolgozása.

Célkitűzés: Így jelöljük, ha a

• •

tantárgy, vagy lecke célkitűzését adjuk meg.

Ha ezt az ikont látja, a tankönyvet kell fellapoznia.

Önellenőrző feladat

Ha ezt a keretet látja, arra kérjük, oldja meg egy erre rendszeresített füzetében a feladatot, ha elkészült, ellenőrizze magát a lecke végén található megoldás alapján!

Beküldendő feladat

Ha ezt az ikont látja, a megoldást nem találja meg, feladatát be kell küldenie a Főiskolára tutorának.

4

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Bevezetés Kedves Hallgatónk! Örömmel vettük, hogy elkezdte a Gazdasági matematika I. (Analízis) tárgy tanulását. Ez a tárgy Főiskolánkon alapozó jellegű, és a kötelezően előírt tárgyak sorába tartozik. Reméljük, hogy a gazdasági tárgyak későbbi elsajátításához hasznos ismereteket szerez majd az Analízis tanulása során. A Tanszék oktatói igyekeztek az Ön számára könnyen feldolgozhatóvá tenni a tananyagot, amelyet a tantárgyi kalauz segítségével kevesebb energiával és időráfordítással tanulhat meg. Reméljük, hogy hasznos és érdekes feladatokat tudtunk összeállítani ahhoz, hogy önállóan is ellenőrizze megszerzett ismereteit egy-egy témakörben. Bízunk benne, hogy a kurzus végeztével, könnyedén teljesíti majd a tárgy követelményeit, és a félév végén sikeres vizsgát tesz.

Hogyan használja a Tantárgyi kalauzt? A Kalauz célja, hogy megkönnyítse elsajátítani Önnek az Analízis tárgy tananyagát, és segítse teljesíteni a követelményeket, nem utolsó sorban felkészítse Önt a vizsgára. A Kalauzban a tárgyat kisebb egységekre, ún. leckékre bontottuk, és minden leckében megadtuk, hogy mely tananyagrészeket kell feldolgoznia. Támpontul megadtuk a lecke célját, és a cél eléréséhez szükséges feladatokat is, hogy ráirányítsuk a figyelmét a lényegre, és egyben érdekesebbé tegyük a feldolgozást.

A tantárgy kreditszáma A tantárgy 4 kredites, tehát összesen 120 tanulási óra szükséges a feldolgozásához.

Az egyes leckéknél külön is jeleztük, hogy mekkora időráfordítást igényelnek Öntől. A tárgy tanulásának célja, hogy a kurzus végére Ön képes legyen olyan mértékű jártasságot szerezni az analízis eszközeinek használatában:

• • • • • • •

hogy a gazdasági folyamatok elemzése, tervezése során alkalmazni tudja az egy, illetve több változótól függő mennyiségek vizsgálati módszereit. Foglalkozunk sorozatokkal és sorokkal; egyváltozós valós függvények folytonosságával; határértékével; differenciálásával; integrálásával; a kétváltozós függvények differenciálásával és helyi szélsőértékével.

Mindegyik anyagrész oktatásánál igyekszünk kitérni a legközvetlenebb gazdasági alkalmazások megismertetésére is. Reméljük hogy a kurzus végére sikerül korszerű, a közgazdasági gyakorlatban jól alkalmazható függvénytani szemléletet kialakítani.

5

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A tantárgy lezárása A szorgalmi időszak aláírással zárul. Az aláírás és a vizsgára bocsátás feltétele a két beküldendő feladatsor hiánytalan beadása, a tárgy felvételekor egyeztetett időpontra. A vizsgakövetelmény: kollokvium. A kollokviumon a számonkérés írásban történik, egy 60 perces dolgozat formájában. Az írásbeli dolgozat elérhető pontszáma: 100 Elégtelen kollokviumi érdemjegyet kap az a hallgató, akinek a dolgozata nem éri el az 51 pontot. A kollokviumi jegyet az elért 51 pont feletti pontszám esetén a következőképpen határozzuk meg: 0 – 50 elégtelen (1) 51 – 66 elégséges (2) 67 – 78 közepes (3) 79 – 89 jó (4) 90 – 100 jeles (5) A kollokviumi dolgozat tartalma: •

Tanult fogalmak, tételek, ismerete;

•

A tematikában megjelölt bizonyítások levezetése;

•

Az elmélethez szorosan kapcsolódó feladatok az analízis témaköréből.

Hogyan tanuljon? Mindenekelőtt rendszeresen, és alaposan. Ehhez a Tantárgyi kalauz nagy segítséget nyújt. Javasoljuk ezért, hogy a leckék megtanulásánál kövesse a Tantárgyi kalauz útmutatásait. Minden leckénél először a megjelölt kisebb egységeket tanulja meg a könyvből, majd tekintse át hozzá a Feladatgyűjtemény kidolgozott feladatait. Az önellenőrző feladatokat úgy állítottuk össze, hogy elmélyítse az elmélet megértését, és az egyes leckékben található típusfeladatokban történő alkalmazást. A Feladatgyűjteményből érdemes minél több példát önállóan is megoldani a különböző feladat-megoldási technikák gyakorlásához. Végül mindig ellenőrizze a tudásszintjét a Tanulási útmutató kijelölt feladatai alapján. Csak akkor lépjen tovább egy-egy leckéről az újabb leckéhez, ha a megfelelő tudásszintet már elérte. (Pl. a vizsgán is szükséges minimum 51 %-ot.) A leckékben nagyon sok önellenőrző feladat van. Ezeknek a megoldását nem ellenőrzi Önön kívül senki, de nem is ez a céljuk. Az önellenőrző feladatok elvégzése segítségével értheti meg a kijelölt tananyag lényegét. Ne csapja be magát! Ha egy önellenőrző feladatot nem tud megoldani, akkor érdemes azzal az anyagrésszel tovább foglalkozni, nehogy a vizsgáztató hívja majd fel a kollokviumon a figyelmet hiányosságaira! Ha úgy érzi, hogy semmiképpen sem tud megoldani egy-egy feladatot, keresse meg tanulótársait, bizonyára tudnak segíteni. Ha ez sem megy, írjon, vagy telefonáljon a Főiskola megadott címére, számára, és mi segítünk Önnek. Fontos, hogy a leckék sorrendjében készítsen magának egy tanulási ütemtervet, lehetőleg pontos dátumokkal megjelölve! Az ütemtervet készítheti egy saját füzetbe, vagy a Főiskolától kapott naptárba. Fontos, hogy az Ön által választott tempó szerint a beküldendő feladatok határidőre elkészüljenek, és a tervezett vizsgaidőpontra minden leckét befejezzen. Figyeljen arra, hogy egyenletesen ossza el az anyagot, mert az elsajátított részeknek mindig el is kell mélyülnie, és ehhez idő kell! Ha véletlenül torlódnak a feladatai (akár magánéleti okok, akár más tantárgyak miatt), akkor a lemaradást minél előbb 6

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

igyekezzen behozni. Inkább a félév korábbi időszakaiban vállaljon többet, mert az a tapasztalat, hogy a vizsgához közeledve vészesen fogy az idő, és ilyenkor az oktatók is leterheltebbek. A beküldendő feladatokat mindenképpen oldja meg! Ezzel egyrészt tovább gyakorol, másrészt szintetizálja egy-egy nagyobb egység ismeretanyagát. Mivel beküldött feladatait a tanszék egy oktatója még a vizsga előtt értékeli, így időben segítséget kaphat helyre tenni bizonyos félreértéseket, feltárni olyan hiányosságokat, melyek a vizsgát veszélyeztethetik. Ezen kívül tanácsokat is kaphat, hogy miként javíthatja teljesítményét. Kérjük, hogy a megoldásokat e-mail csatolmányaként küldje el képzésszervező tutorához, a Matematika-statisztika Tanszék e-mail címére. Amennyiben feladatát hagyományos formában, kék tintával és jól olvashatóan készíti el, esetleg személyesen is behozhatja, vagy akár postán is eljuttathatja a Tanszék címére. A dolgozat megérkezése napján (legkésőbb másnap) e-mailben visszajelzést kap arról, hogy az írásművet megkaptuk. Szöveges értékelésre egy héten belül számíthat.

A tanuláshoz a következő kiadványokat használja •

Dr. Csernyák László: Analízis, Matematika közgazdászoknak sorozat, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1998.

•

Fehér Mária-Hanich József-Libor Józsefné dr.-Madaras Lászlóné dr.-Nagy Tamás: Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény, Student Kiadó, Szolnok, 2005.

•

Horváth Jenőné dr.-Libor Józsefné dr.- Madaras Lászlóné dr.: Tanulási útmutató a Gazdasági matematika I. tárgyhoz, Student Kiadó, Szolnok, 1997.

•

A mátrixaritmetika elemei és gyakorlati alkalmazásai: a Tantárgyi kalauz melléklete.

Ajánlott irodalom •

Sydsœter – Hammond: Matematika közgazdászoknak. AULA Kiadó Budapest, 1998.

•

Bárczy Barnabás: Differenciálszámítás. Példatár. Műszaki Könyvkiadó Budapest, 2003.

•

Bárczy Barnabás: Integrálszámítás. Példatár. Műszaki Könyvkiadó Budapest, 2003.

•

Denkinger Géza: Analízis. Tankönyvkiadó, Budapest, 1980.

•

Denkinger-Gyurkó: Analízis gyakorlatok. Tankönyvkiadó Budapest, 1990.

A tantárgy tanulástámogatása, azaz milyen segítséget kap tanulmányaihoz A tantárgyat alapvetően önállóan kell elsajátítania, hagyományos előadás, vagy gyakorlat nem tartozik hozzá. A tantárgy feldolgozása során lehetősége lesz egy alkalommal személyesen konzultálni szaktutorával. Ennek részleteiről a tantárgy felvételekor tájékoztattuk. A találkozás előtt fel kell vennie a kapcsolatot a képzésszervező tutorával, akinek nevét és elérhetőségét a tantárgy felvételekor megadtuk Önnek.

7

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Tanulási ütemtervem Lecke

Időigény

Típus

1. Halmazelmélet, valós függvények

12 óra

Feldolgozó

2. Számsorozatok és sorok

10 óra

Feldolgozó

3. Függvények határértéke

6 óra

Feldolgozó

4. Függvények folytonossága

8 óra

Feldolgozó

5. Differenciálszámítás

12 óra

Feldolgozó

6. Beküldendő feladat I.

2 óra

Beküldendő

7. Differenciálható függvények vizsgálata

10 óra

Feldolgozó

8. Teljes függvényvizsgálat

10 óra

Feldolgozó

9. Többváltozós valós függvények

10 óra

Feldolgozó

10. Határozott integrál

8 óra

Feldolgozó

11. Határozatlan integrál

10 óra

Feldolgozó

12. Beküldendő feladat II.

2 óra

Beküldendő

13. A Newton − Leibniz szabály

10 óra

Feldolgozó

14. Mátrixaritmetika. Mátrixok gazdasági alkalmazása

10 óra

Feldolgozó

Mikor tanulom?

Ha pontos dátumokkal megjelölve elkészítette tanulási ütemtervét, akkor nincs más hátra, kezdődhet az első „tanóra”. Készítse ki tankönyvét, feladatgyűjteményét, Tantárgyi kalauzát, Tanulási útmutatóját, jegyzetfüzetét, és kezdje meg a tantárgy feldolgozását!

Sok sikert kívánunk!

8

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

1. lecke Halmazelmélet, valós függvények. Az analízis tárgya, fejlődése és szerepe a tudományokban A lecke tanulmányozására fordítandó idő legalább 12 óra.

Ennyi idő minimálisan szükséges annak is, aki a középiskolában jól megtanulta ezt az anyagrészt és így valójában csak újból át kell ismételnie. Természetesen az anyag tárgyalása nemcsak a középiskolai anyag ismétlésére szorítkozik, mert több olyan új fogalmat, tételt is megtanulunk, amelyekre az analízis tárgyalása során szükségünk lesz.

Bevezetés A halmazelmélet – melynek a matematika egyik legalapvetőbb fogalmaként játszott szerepe csak az 1880-as évektől vált nyilvánvalóvá (Georg Cantor 1845-1918. felfedezései nyomán) – a matematikai analízis alapjának tekinthető. A közgazdasági gyakorlatban a dolgokat rendszeresen adott szempontok szerint azonos, vagy éppen különböző osztályokba soroljuk, azaz a dolgokra valamilyen szempont alapján együtt tekintünk. A matematikában ilyenkor azt mondjuk, hogy közös halmazba soroljuk az elemeket. Már meglevő halmazokból az ún. halmazműveletek, és műveleti tulajdonságok segítségével újabb halmazok származtathatók. A közgazdaságtanban, a matematikában és a mindennapi életben is gyakran szükséges egy halmaz elemeihez egy másik halmaz elemeit hozzárendelni. A különböző halmazok elemei közötti hozzárendelések közül a témában hangsúlyosan emeljük ki a függvénykapcsolatot. A függvények szerepe ugyanis alapvető a közgazdasági elméletben és gyakorlatban egyaránt. A későbbi leckék anyagának fontos alapját képezik a halmazelméleti és a függvénytani alapismeretek. Az elméleti rész a tk. 9-44., ill. az 57-60. oldalain olvasható. A témához található feladatokat Gazdasági matematika I. feladatgyűjtemény 1. és a Tanulási útmutató 1. és 2. fejezetében találja meg.

9

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A tananyag áttanulmányozása után Ön képes lesz:

• • • • • • • • • • • • • • • •

definiálni a halmaz fogalmát; definiálni annak megadási módjait; definiálni az alaphalmaz, részhalmaz, a valódi részhalmaz, az üres halmaz, véges és végtelen halmaz fogalmát; bemutatni a halmazokkal kapcsolatos műveleteket, és ezek tulajdonságait; ismertetni a de Morgan azonosságokat és a beolvasztási szabályokat; meghatározni és feladatokban alkalmazni a hatványhalmaz, halmazrendszer, halmazalgebra fogalmait; értelmezni a valós számok halmazát, annak részhalmazait (rac. szám, irrac. szám, egész szám, természetes szám); felsorolni a valós számok axiómáit, alkalmazni a felső/alsó határ axiómákat; definiálni a rendezett szám n-eseket; meghatározni két vagy több halmaz Descartes-féle szorzatát; megadni az intervallum, távolság, környezet, halmazok számossága, belső pont, határpont, zárt és nyílt halmaz fogalmainak jelentését, ezeket alkalmazni; felsorolni az elemi függvényeket és ezek alapvető jellemzőit; felrajzolni ugyanezen elemi függvényeket a jellemzőik alapján; feladatokban alkalmazni a függvények közötti műveleteket (összeg, különbség, skalárral való szorzás, szorzat, hányados); felrajzolni a szakaszonként lineáris függvényeket, illetve a Dirichlet-féle függvényt; megadni az összetett függvény, valamint az inverz függvény fogalmát, és konkrét példákban alkalmazni. Kezdjük a tanulást az első három célkitűzés egymás utáni, a tankönyv 9-14. oldalain található 1.1., 1.2., 1.3. témáinak a feldolgozásával.

Ebben a részben átismételjük, rendszerezzük és az 1.2-es tétellel kiegészítjük a középiskolában tanult halmazelméleti ismereteket. A halmazelméleti alapfogalmak elmélyítéséhez javasoljuk, hogy gondosan tanulmányozza a Gazdasági matematika feladatgyűjtemény 1. témájának mintafeladatait. 1. önellenőrző feladat

Állapítsa meg, hogy halmazt határoznak-e meg a következő megfogalmazások: A = {kis számok }; B = {x x ∈ R és

{

C = x x ∈ R és E = {a magyar

}

x > 0};

x 2 − 3 x + 2 = 0 ; D = {okos gondolatok };

kártya színei}.

1. megoldás: A válaszokat ellenőrizheti a példatár Megoldások az első fejezethez c. rész 1.1-es feladatánál.

10

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

2. önellenőrző feladat

Adottak az A = {2;4;6}, B = {2;5;6}, C = {5;6;2} és a D = {6} elemekből álló halmazok. Döntse el, hogy melyik igaz a következő állítások közül! 3∈C ; 6∈ B ; A ⊂ C ; B = C ; B ⊆ A 3. önellenőrző feladat

Igazolja a halmazok egyesítésének asszociatív tulajdonságát! 3. megoldás: A megoldás a Tanulási útmutató 1. fejezet Válaszok az ellenőrző kérdésekre c. részének 2. feladatánál a 10. oldalon ellenőrizhető. 4. önellenőrző feladat

Legyenek az A és B halmazok egy H alaphalmaz valódi részhalmazai. Jelölje meg, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak!

H ∪ B = B ; H ∪ B = H ; B ∩ H = B ; H ∪ A = 0/ ; A ∪ B = H ; A ∩ B = H ? 4. megoldás: A megoldás a Tanulási útmutató 1. fejezet Gyakorló feladatok megoldása c. részének 1. feladatánál a 11. oldalon ellenőrizhető. 5. önellenőrző feladat

Adottak a következő halmazok: A = {x ∈ R − 1 < x ≤ 3}; B = {x ∈ R − 1 ≤ x < 3}; C = {x ∈ R − 1 ≤ x ≤ 3};

D = {x ∈ R 0 < x ≤ 2}; E = {x ∈ R − 3 ≤ x < 1}; F = {x ∈ R − 2 < x < 2}.

Ábrázolja számegyenesen az alábbi halmazokat:

A ∩ B C \ A ; ( A \ B ) ∪ (F \ C ) ; (E \ F ) ∩ (C \ D ) ; A \ E ; E \ A ; D ∩ E ∩ F ; (D \ F ) ∪ ( E ∩ A) ! 5. megoldás: A válaszokat ellenőrizheti a példatár Megoldások az első fejezethez c. rész 1.15-ös feladatánál.

11

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Bizonyítsa be a következő összefüggések fennállását! A∆B = ( A ∪ B ) \ ( A ∩ B ) ; ( A ∩ B ) \ C = ( A \ C ) ∩ (B \ C ) ; ( A \ B ) \ C = A \ (B ∪ C ) ; A \ {A \ [B \ (B \ C )]} = A ∩ B ∩ C ! 6. megoldás: A megoldásokat ellenőrizheti a példatár Megoldások az első fejezethez c. rész 1.23-as feladatánál. Folytassuk a téma feldolgozását a tankönyv 1.4-es részének feldolgozásával.

Itt találjuk a hatványhalmaz, halmazrendszer, halmazalgebra fogalmakat, melyekre nem csak az analízisben, de (átfogalmazással ugyan) a valószínűségszámításban is szükségünk lesz. 7. önellenőrző feladat

Töltse ki a hiányzó részeket az alábbi definíciókban! Valamely A halmaz .......... az A halmaz hatványhalmazának nevezzük. Ha egy Ω .......... halmaz elemei halmazok, akkor Ω-t .......... nevezzük. A H alaphalmaz (nem feltétlenül összes) részhalmazaiból álló Ω halmazrendszert halmazalgebrának nevezzük, ha .......... , valamint A ∈ Ω. 7. megoldás: Vesse össze válaszait a tk. 14. oldalán leírt definíciókkal. 8. önellenőrző feladat

Igaz-e, hogy a halmazalgebrában mindig benne van az 0/ is? 8. megoldás: Ellenőrizze a választ a Tanulási útmutató 1. fejezet Válaszok az ellenőrző kérdések c. rész 4. kérdésénél a 10. oldalon. 9. önellenőrző feladat

Legyen alaphalmazunk a valós számok halmaza és legyen

{

}

Ω = R; Q; Q ∗ ;0/ . Vizsgálja meg, hogy Ω halmazalgebrát alkot-e? 9.megoldás: A megoldást megtalálja a Tanulási útmutató 1. fejezet Gyakorló feladatok megoldása c. rész 3. feladatánál a 11. oldalon.

12

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A 4-8. célkitűzésekben megfogalmazottak eléréséhez tanulmányozzuk a tankönyv 15-29. oldalain leírtakat.

Itt egyrészt összefoglaljuk és rendszerezzük a középiskolában a számhalmazokról tanult ismereteket, másrészt kiegészítjük a számhalmazok korlátossága, felső (alsó) határ axiómája, belső pont, határpont, nyílt és zárt halmaz fogalmaival. 10. önellenőrző feladat

Javítsa ki a hibákat a következő fogalmakban! Valamely H ⊂ R halmaznak „a” belső pontja, ha „a” bármely környezete része H-nak. Az „a” a H-nak határpontja, ha „a”-nak van olyan környezete, amelyben H-nak is, H komplementerének is van pontja. (Itt H komplementere az R alaphalmazra vonatkozik.) Ha egy H ⊂ R halmaz minden határpontját tartalmazza zárt halmaznak, ha minden pontja belső pont, akkor nyílt halmaznak nevezzük. 10. megoldás: Vesse össze válaszait a tk. 24. oldalán leírt definíciókkal. 11. önellenőrző feladat

Válaszoljon a következő kérdésekre! Egy A felülről korlátos halmaznak hány felső korlátja és hány felső határa van? Van-e, s ha igen mi lesz az N halmaz infimuma, illetve supremuma? Van-e olyan A és B halmaz (ha igen, akkor adjon is meg ilyet), amelyre A × B = B × A , vagyis a Descartes-féle szorzatuk kommutatív? Egy a ∈ R n pont δ > 0 sugarú környezete zárt vagy nyílt halmaz? Lehet-e a 0 és az 1 természetes számok között végtelen sok racionális, illetve irracionális szám? Melyik halmaznak van több eleme: a 3-mal, vagy a 7-tel osztható pozitív számok halmazának? 11. megoldás: A kérdésekre adott válaszainak helyességét ellenőrizze a Tanulási útmutató Válaszok az ellenőrző kérdésekre c. részének 5-10. pontjait sorban áttekintve a 10. oldalon. 12. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 1.26; 1. 27; 1.29; 1.30; 1.35; 1.39; 1.44-es feladatait! 12. megoldás: A megoldásokat ellenőrizheti a Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény 1. fejezete Megoldások az első fejezethez c. részének, a kérdésben megadott számú feladatainál.

Ha valamelyik példa megoldása nem sikerült, akkor javasoljuk, hogy térjen vissza az adott példa megoldásához kapcsolódó elméleti rész tanulmányozásához.

13

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Ezután térjünk rá a függvénytani alapismeretek átismétlésére a tankönyv 2.1.;2.2.; 2.3.;2.4.; 2,5.; 2.6.; 2.7. és a 2.10. fejezetei alapján.

A 2.8. és 2.9-es rész nem kötelező anyag, a 2.11-es részre pedig majd a 9. témánál kerül sor. A középiskolai tananyag különböző évfolyamai tananyagának több témájában tárgyalt függvénytani ismereteket itt egy helyen összefoglalva, rendszerezve találja meg. Ha ez az összefoglalás kevésnek bizonyul, maradnak olyan részek, amelyek alkalmazásában bizonytalan, akkor nyugodtan fellapozhatja a középiskolai tankönyv megfelelő részeit. Valójában a könyv, a feladatgyűjtemény és a Tanulási útmutató azonban bőven elegendő a téma átismétléséhez. Készség szintjén kell tudni az elemi függvények legfontosabb tulajdonságait, transzformációit, illetve a szakaszonként lineáris függvényeket és a Dirichletféle függvényt. Mivel a Dirichlet-féle függvény a könyvben nincs definiálva, ezért itt közöljük. Dirichlet-féle függvénynek nevezzük az

⎧1, ha f : f (x ) = ⎨ ⎩0, ha

x racionális, x∈R x irracionális,

függvényt. Megjegyezzük, hogy ennek az utasítással megadott függvénynek a görbéje a Descartes-féle koordináta-rendszerben nem rajzolható fel. A függvények tulajdonságainak – zérushely, korlátosság, paritás, periodikusság, monotonitás, helyi és abszolút szélsőérték – pontos ismeretére szükségünk lesz a Függvényvizsgálat c. témában. A függvényekkel végzett műveletek főleg a feladatmegoldások szintjén szerepelnek. Az összetett és inverz függvény, a függvény leszűkítése, bővítése, illetve ezek alkalmazása az analízis szinte minden fejezetének elsajátításához, megértéséhez szükséges. Így ezen fogalmak mély, alapos ismerete különösen fontos. A tankönyv megfelelő részeinek megtanulása után javasoljuk, hogy folytassa a Feladatgyűjtemény kidolgozott mintafeladatainak tanulmányozásával. 13. önellenőrző feladat

Az elméleti rész elsajátítását ellenőrizze a Tanulási útmutató 2. fejezete Ellenőrző kérdéseinek megoldásával (15. oldal)! 13. megoldás: A kérdésekre adható válaszok megtalálhatók a Tanulási útmutató 2. fejezete Válaszok az ellenőrző kérdésekre c. részben, a 18. oldalon. 14. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 2.1.; 2.4.; 2.11.; 2.21.; 2.23.; 2.27.; 2.30.; 2.35.; 2.40.; 2.41.; 2.44.; 2.45.;2.50.; 2.60.; 2.64.; 2.67-es feladatait! 14. megoldás: A megoldásokat ellenőrizheti a Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény 2. fejezete Megoldások a második fejezethez c. rész azonos számú feladatainak megoldásánál.

14

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Tanulási útmutató 1. és 2. fejezetének Beküldendő feladatait! 15. megoldás: Ellenőrizze a megoldásokat a Tanulási útmutató 12., illetve 21. oldalain.

Ha a 14 feladat mindegyikére 5 vagy 0 pontot kaphatna, azaz csak a tökéletes megoldásokat pontoznánk, legalább 35 pontot kellene összegyűjtenie az elégséges tudáshoz.

Befejezés Reméljük, hogy sikeresen vette az első akadályt, amellyel nagyrészt a középiskolában tanult ismereteit eleveníthette fel, mélyítette el. Ez biztos alapot jelent majd a következő téma megértéséhez.

Megoldások 2. megoldás:

3 ∈ C hamis, 3 ∉ C ; 6 ∈ B igaz; A ⊂ C hamis, A ⊄ C ; B = C igaz; B ⊆ A hamis, B ⊆/ A .

15

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

2. lecke Számsorozatok és sorok. A sorozat fogalma, megadási módjai, sorozatok tulajdonságai. Konvergens számsorozatok és műveletek. Tágabb értelemben vett határérték, végtelen sorok. A lecke tanulmányozására fordítandó idő legalább 10 óra.

Ennyi idő minimálisan szükséges ahhoz, hogy a valós számsorozatokkal és sorokkal kapcsolatos ismereteket elsajátítsuk.

Bevezetés Ebben a témában egy speciális függvénytípussal, a sorozatokkal foglalkozunk. Az analízis egyik alapvető fogalmát, a függvények határértékét olyan függvényekre értelmezzük, amelyek értelmezési tartománya végtelen halmaz. A végtelen halmazok közül talán a természetes számok halmaza a legegyszerűbb, így a határérték fogalmát először a pozitív természetes számok halmazán értelmezett függvényekre, a számsorozatokra ismerjük meg. Majd azokat a legfontosabb tulajdonságokat vesszük sorba, amelyek a sorozatok viselkedésének vizsgálatakor a leginkább jellemzőek. Fontos, hogy a határérték, monotonitás fogalmait feladatokon keresztül is begyakoroljuk, elmélyítsük. Tanulmányozni fogjuk ebben a témában a végtelen sorokat is, melyeknek a közgazdasági alkalmazások – elsősorban a pénzügyi számítások – területén igen sok felhasználása fordul elő. Az elméleti rész a tk. 67-91. oldalain olvasható. A témához található feladatokat Gazdasági matematika I. feladatgyűjtemény 3. és a Tanulási útmutató 3. fejezetében találja meg. A téma áttanulmányozása után Ön képes lesz:

• • • • • • • • •

definiálni a számsorozat fogalmát; feladatokban alkalmazni a sorozatok tulajdonságait; meghatározni a határérték fogalmát; bizonyítani és feladatokban alkalmazni a 3.1., 3.2., 3.3., 3.4/a. tételeket; bizonyítani és feladatokban alkalmazni a 3.5., 3.6., 3.7. 3.11-es tételeket; általánosítani a határérték fogalmát (a végtelen is határérték); kimondani a 3.8., 3.9. tételeket; értelmezni a végtelen sort és összegét, valamint a valós számokból álló végtelen sor összege létezésének feltételeit; meghatározni a végtelen mértani sor összegét, amennyiben az létezik. Kezdjük a tanulást az első két célkitűzés együttes, a tankönyv 67-70. oldalain található 3.1., 3.2-es témáinak feldolgozásával.

16

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Gondoljuk át, hogy a sorozat specialitása a függvényhez képest hogyan mutatkozik meg. Például a sorozatok monotonitása a függvények monotonitásával azonos fogalom, de a sorozatoknál elegendő a szomszédos tagok nagyságát összehasonlítani, persze minden n ∈ N + -ra. A sorozat fogalmának és tulajdonságainak elmélyítéséhez javasoljuk, hogy gondosan tanulmányozza a Gazdasági matematika feladatgyűjtemény 3. témájának mintafeladatait. 1. önellenőrző feladat

Válaszoljon az alábbi kérdésekre! Melyik az a legszűkebb halmaz, amelyhez bármely számsorozat minden tagja hozzátartozik?

1 ⎛ 1 ⎞ ? Igaz-e, hogy az ⎜ 2 ⎟ sorozat hatodik tagja 36 ⎝n ⎠ Igaz-e, hogy 1 + 2 + 2 2 + K + 2 n = 2 n+1 − 1 ? 1. megoldás: A válaszokat ellenőrizze a Tanulási útmutató 3. fejezete Válaszok az ellenőrző kérdésekre c. rész első három kérdésének megoldásánál a 27. oldalon. 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény 3. fejezetének 3.3., 3.6., 3.8., 3.14., 3.18., 3.24., 3.28., 3.31., 3.35., 3.40-es feladatait! 2. megoldás: A megoldást a Feladatgyűjtemény Megoldások a 3. fejezethez c. rész azonos számú feladatainál ellenőrizheti. Térjünk ezután vissza a tankönyvhöz, és tanulmányozzuk a sorozatok konvergenciájával kapcsolatos 3.3., 3.4. és 3.5-ös témákat.

Ezekből a részekből elég sok tétel bizonyítását meg kell tanulni. Javasoljuk, hogy csak akkor térjen rá a Feladatgyűjtemény mintafeladatainak áttekintésére, amikor a bizonyításokat már megértette és önállóan le is tudja vezetni ezeket. A bizonyítások nagyban segítik az önálló feladatmegoldást.

17

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Válassza ki a következő kijelentések közül azokat, amelyekhez az igaz logikai érték rendelhető! Minden monoton számsorozat konvergens. Van olyan monoton számsorozat, amelyik konvergens. Ha egy számsorozat monoton és korlátos, akkor konvergens is. 3. megoldás: A válaszokat ellenőrizheti a Tanulási útmutató 3. téma Gyakorló feladatok megoldásai c. rész 1/b feladatánál, a 28. oldalon. 4. önellenőrző feladat

Bizonyítsa be a 3.2-es tételt! 4. megoldás: A bizonyítás a tk. 73. oldalán ellenőrizhető. 5. önellenőrző feladat

Oldja meg a feladatgyűjtemény 3.41., 3.42., 3.43., 3.49., 3.51., 3.55., 3.57., 3.58., 3.60., 3.61., 3.63., 3.66., 3.69-es feladatait. 5. megoldás: A megoldást a Feladatgyűjtemény Megoldások a 3. fejezethez c. rész azonos számú feladatainál ellenőrizheti. 6. önellenőrző feladat

2n 2 + 3 sorozat tagjai hányadik tagtól kezdve esnek a 3n 2 + 6 határérték ε = 10 −4 -en sugarú környezetébe! Vizsgálja meg, hogy az an =

6. megoldás: A helyes megoldás a Feladatgyűjtemény 3.82-es feladatának megoldási részében található. 7. önellenőrző feladat

2n 2 − 2 , n +1 minden n-re 1000-nél nagyobb!

Állapítsa meg, hogy az an =

n ∈ N + sorozat milyen küszöbindex felett lesz

7. megoldás: A választ megtalálja a Tanulási útmutató Gyakorló feladatok megoldásai c. rész 3. feladatánál, a 28. oldalon. 18

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Végezzen teljes vizsgálatot az an = 2 +

n−2 3 n és az an = (− 1) ⋅ n , n+5 7

n∈ N+

sorozatoknál! 8. megoldás: A megoldást a Feladatgyűjtemény Megoldások a 3. fejezethez c. rész 3.94. és 3.102-es számú feladatainál ellenőrizheti. Végül térjünk rá a végtelen sorok viselkedésének tanulmányozására, melyet a tankönyv 3.6-os fejezete tartalmaz.

Figyeljünk arra, hogy a 3.12-es tétel, az abszolút konvergencia és a hatványsor fogalma nem kötelező anyag. Mielőtt a feladatmegoldásokat elkezdi, tekintse át a mintafeladatok megoldásait a Feladatgyűjtemény 3.3-as részében. Ez nagyban segíti az önálló gyakorlás eredményességét. 9. önellenőrző feladat

Válaszoljon a következő kérdésekre:

( )

Legyen q tetszőleges valós szám. Döntse el, hogy milyen q esetén lesz konvergens a q n ∞

sorozat, illetve a

∑q

n

végtelen sor, és konvergencia esetén mi lesz a sorozat határértéke,

n =0

illetve a sor összege? Lehet-e divergens sorok összege konvergens? 9. megoldás: A válaszokat ellenőrizheti a Tanulási útmutató 3. téma Válaszok az ellenőrző kérdésekre c. rész 8. és 12. feladatainál a 27. oldalon. 10. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 3.11., 3.113., 3.115., 3.119., 3.123 feladatait! 10. megoldás: A megoldást a Feladatgyűjtemény Megoldások a 3. fejezethez c. rész azonos számú feladatainál ellenőrizheti. 11. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 3.2.5. Ellenőrző feladatok című rész feladatait, majd a Tanulási útmutató 3. fejezetének Beküldendő feladatait! 11. megoldás: Ellenőrizze a megoldásokat a Megoldások a 3. fejezethez c. rész 3.103-3.110-es számú feladatainál, majd a Tanulási útmutató Beküldendő feladatok megoldásai c. résznél a 30. oldalon.

19

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Ha a 14 feladat mindegyikére 5 vagy 0 pontot kaphatna, azaz csak a tökéletes megoldásokat pontoznánk, legalább 35 pontot kellene összegyűjtenie az elégséges tudáshoz. Reméljük, hogy sikerült elsajátítani a lecke elméleti anyagát, és megfelelő jártasságot szerzett a feladatmegoldásban is. Ezután már sokkal könnyebb lesz a függvények határértékét megérteni, hiszen a függvény határértékének a fogalmát a számsorozatok határértékére vezetjük vissza.

20

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

3. lecke Függvények határértéke végesben, végtelenben, tágabb értelemben vett határérték. Az anyag tanulmányozására fordítandó idő legalább 6 óra.

Ennyi idő minimálisan szükséges annak is, aki a sorozatok határértékét már készség szinten tudja.

Bevezetés A függvényekről már sok mindent megtanultunk a középiskolában, de a közgazdaságtanban előforduló függvények képének felrajzolásához még további fogalmak megismerése is szükséges lesz. Ezek egyikének, a függvények határértékének értelmezése lesz ennek a leckének a legfontosabb célja. A határérték fogalmának kialakítását próbáljuk meg a sorozatok határértékére visszavezetni. Vizsgáljuk meg, hogyan viselkednek a függvények értelmezési tartományuk egy torlódási pontjában, vagy ha a független változó értéke „nagyon nagy”. Majd értelmezzük azt az esetet, amikor a határérték nem egy konkrét valós szám, hanem a ± ∞ . Nagyon fontos, hogy pontosan értsék ezeket a fogalmakat, mert a határérték fogalmára alapozzuk a későbbiekben az analízis több más fogalmát, például a folytonosság, differenciálhányados fogalmait. Az elméleti rész a tankönyv 92-113. oldalain található, a megoldandó feladatokat Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény 4., valamint a Tanulási útmutató 4. fejezetében találja meg. A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

•

• •

meghatározni a függvények véges helyen vett határértékét, határértékére vonatkozó műveletekkel (4.1. tétel); megoldani (a tanult tételek és nevezetes határértékek (4.2., 4.3. tétel, illetve a log a (1 + x ) ax −1 , lim ) segítségével) adott helyen vett határérték kiszámításával lim x →0 x →0 x x foglalkozó feladatokat; megadni a függvények végtelenben vett határértékét; a fentieket feladatokban alkalmazni (összekapcsolva a sorozatoknál tanult tételekkel

•

1 ⎛ 1⎞ (pl. lim⎜1 + ⎟ , lim , lim q x ); x →∞ x ⎠ x → ∞ x x →∞ ⎝ definiálni és feladatokban alkalmazni a függvény tágabb értelemben vett határértékét.

•

x

Kezdjük a tanulást az első két célkitűzés megvalósításával, dolgozzuk fel a tankönyv 92-107. oldalain található 4.1-es témát.

21

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A függvény véges helyen vett határértékére két definíció is használható. Az egyik a tankönyvbeli ún. Heine-féle definíció, a másik a Cauchy nevéhez kötődő meghatározás. Mivel ez utóbbi definíció segíthet a fogalom alaposabb megértésében itt ezt a meghatározást is szerepeltetjük. Definíció: Legyen az „a” pont az f függvény értelmezési tartományának egy torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvény „a” helyen vett határértéke az „A” valós szám, ha bármely ε > 0 valós számhoz létezik olyan δ > 0 , hogy minden x ∈ D f \ {a} 0 < x − a < δ esetén f ( x ) − A < ε . Bizonyítható, hogy a Heine-féle és a Cauchy-féle definíciók ekvivalensek.

A tapasztalatok azt mutatják, hogy a határérték fogalma, és a definícióra épülő bizonyítások megértése a diákok számára nem könnyű feladat. Ugyanakkor a határérték kiszámítására vonatkozó feladatokat viszonylag könnyen begyakorolják. Ezért fordítsunk több időt a fogalom és a 4.2-es tétel bizonyításának megértésére. A véges helyen vett határértékre vonatkozó feladatok begyakorlása előtt javasoljuk, hogy gondosan tanulmányozza a Gazdasági matematika feladatgyűjtemény I. 4.1.2. fejezetének mintafeladatait, valamint a 4.13. fejezet 1. és 3. mintafeladatát! 1. önellenőrző feladat

Vizsgálja meg, hogy értelmezhető-e a következő függvények határértéke az a = 3 helyen:

x2 − 9 , x ∈ ]− ∞;2[ ∪ [4; ∞ ) ; x−3 x2 − 9 , x ∈ R \ {3} ; és f : f (x ) = x−3 h : h( x ) = x + 3, x ∈ R. g : g (x ) =

1. megoldás: A helyes válasz megtalálható a Tanulási útmutató 4. témája Ellenőrző kérdések megoldásai c. rész 3. feladatánál a 36. oldalon. 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 4.31.; 4.33.;4.35.;4.38.;4.40.; 4.45.; 4.49. 4.58.-as feladatait! 2. megoldás: A megoldásokat ellenőrizheti a Feladatgyűjtemény Megoldások a 4. fejezethez c. rész azonos számú feladatainál. 3. önellenőrző feladat

tg 3x sin x = 1 nevezetes határérték felhasználásával határozza meg lim x →0 x →0 7 x x határértéket!

A lim

22

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


log a ( x + 1) ax −1 1 (a > 0, a ≠ 1) nevezetes határértékek = ln a és a lim = x →0 x →0 x x ln a log 2 ( x + 1) 2x −1 felhasználásával számítsa ki a lim és a lim határértékeket! x →0 3 x x →0 x

A lim

Folytassuk a téma feldolgozását a tankönyv 4.2. és 4.3.-mas témáinak megtanulásával.

Az ide vonatkozó feladatok begyakorlása előtt javasoljuk, hogy gondosan tanulmányozza a Gazdasági matematika feladatgyűjtemény I. 4.1.1. fejezetének mintafeladatait, valamint a 4.13. fejezet 2. mintafeladatát! 5. önellenőrző feladat

Egészítse ki az alábbi definíciók hiányzó részeit! Legyen f olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya .......... halmaz. Ha minden olyan ( xn ) számsorozat esetén, amelyre lim xn = .......... (xn ∈ D f ) igaz, hogy n→∞

lim f ( xn ) = .......... , akkor azt mondjuk, hogy f -nek létezik határértéke a plusz végtelenben és ez A-val egyenlő. Legyen az f függvény az „a” .......... értelmezve. Akkor azt mondjuk, hogy f -nek az „a” helyen vett határértéke .......... ha minden olyan ( xn ) számsorozat esetén, melyre lim xn = .......... (xn ∈ D f \ {a}) , igaz, hogy lim f ( xn ) = .......... . n→∞

5. megoldás: A definíciók pontos megfogalmazása a tankönyv 107., illetve 110. oldalain találhatók. 6. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 4.1., 4.4., 4.7., 4.11., 4.12., 4.20., 4.27., 4.30-as példáit! 6. megoldás: A megoldásokat ellenőrizheti a Feladatgyűjtemény Megoldások a 4. fejezethez c. rész azonos számú feladatainál.

23

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

7. önellenőrző feladat x

x

⎛ 1⎞ ⎛ a⎞ A lim⎜1 + ⎟ = e és a lim⎜1 + ⎟ = e a nevezetes határértékek felhasználásával x x →∞ → ∞ x⎠ x⎠ ⎝ ⎝ ⎛ 2x + 1 ⎞ határozza meg a lim⎜ ⎟ x →∞ 2 x + 3 ⎝ ⎠

x +3

határértéket!

7. megoldás: A megoldás a Tanulási útmutató 4. fejezet Gyakorló feladatok megoldása c. rész 8/a feladatának megoldásánál megtalálható a 38. oldalon. 8. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 4.71., 4.74., 4.75., 4.78., 4.79., 4.81-es példáit! 8. megoldás: A megoldásokat ellenőrizheti a Feladatgyűjtemény Megoldások a 4. fejezethez c. rész azonos számú feladatainál. 9. önellenőrző feladat

Oldja meg a Tanulási útmutató 4. fejezetének Beküldendő feladataiból az 1/b, 2/b, 3/b, 4, 5/b jelűeket! 9. megoldás: Ellenőrizze a megoldásokat a Tanulási útmutató 40. oldalán.

Ha a hét határérték-számítási feladat mindegyikére 5 vagy 0 pontot kaphatna, azaz csak a tökéletes megoldásokat pontoznánk, legalább 18 pontot kellene összegyűjtenie az elégséges tudáshoz.

Befejezés Reméljük, hogy sikerült a határértékre vonatkozó fogalmakat megértenie, és tudja alkalmazni ezeket a határérték-számítási feladatokban. Áttérhetünk ezután a matematikában és a gyakorlati alkalmazásokban is fontos szerepet játszó folytonos függvények vizsgálatára.


tg 3 x sin 3x 3 sin 3x 1 3 3 = lim = ⋅ lim ⋅ lim = ⋅1 ⋅1 = x →0 7 x x →0 7 x ⋅ cos 3 x 7 3 x→0 3 x x→0 cos 3 x 7 7

lim

4. megoldás:

lim x →0

log 2 (x + 1) 2x −1 1 2x − 1 1 1 = ⋅ lim = ⋅ ln 2 ; lim = . x →0 3x 3 x →0 x 3 x ln 2

24

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

4. lecke Függvények folytonossága A mai anyag tanulmányozására fordítandó idő legalább 8 óra.

Annak, aki a véges helyen vett határérték fogalmát készség szinten elsajátította, ez az idő biztosan elegendőnek bizonyul majd a téma feldolgozásához.

Bevezetés A közgazdaságtanban fontos szerepet játszik a folytonos függvények vizsgálata. Adott függvény folytonossága általában valamely jelenség időbeli változását reprezentálja. Ilyenkor a folytonosság a fokozatos, hirtelen változások nélküli változásra utal. Ezért gyakran mondjuk azt, hogy egy függvény folytonos, ha grafikonja folytonos vonallal megrajzolható. Ahhoz azonban, hogy matematikai fogalomként használjuk a folytonosságot, pontosan kell definiálnunk, nem elegendő a szemléletes alapon nyugvó megfogalmazás. A folytonosság adott pontbeli értelmezése szoros kapcsolatban van a véges helyen vett véges határérték fogalmával. Ha a folytonos vonallal megrajzolható f függvény és egy olyan g függvény grafikonját hasonlítjuk össze, amelynek az „a” pontban létezik határértéke, de g „a” pontban „lyukas”, akkor azt mondjuk, hogy f az „a” pontban folytonos. Bemutatjuk tehát, hogy hogyan viselkedik adott helyen egy függvény, amikor a határértéke megegyezik a helyettesítési értékével. Olyan függvényeket is vizsgálunk, amelyek valamely intervallumon, vagy az értelmezési tartományuk minden pontjában folytonosak. Az elméleti rész a tk. 113-117. oldalain olvasható. A témához található feladatokat Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény 4.2., és a Tanulási útmutató 4. fejezetében találja meg. A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

• • • • • •

megállapítani az egyváltozós valós függvények adott pontban vett folytonosságát, eldönteni egy függvényről, hogy adott helyen folytonos-e (féloldali folytonossággal); meghatározni a szakadási helyeket, a különböző műveletekkel összekapcsolt újabb függvények adott pontbeli folytonosságát (4.5. tétel); ismertetni a véges, zárt intervallumon folytonos függvényekre vonatkozó 5 tételt; felsorolni a folytonos függvényeket; feladatokon keresztül megmutatni, alkalmazni, hogy általában mikor folytonos egy függvény (4.6. tétel). Kezdjük a tanulást az első három célkitűzés egymás utáni, a tankönyv 113-116. oldalain található 4.4-es téma ide vonatkozó részeinek feldolgozásával.

25

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Az adott pontbeli folytonossággal kapcsolatos fogalmak elmélyítéséhez javasoljuk, hogy gondosan tanulmányozza a Gazdasági matematika Feladatgyűjtemény 4.2. részének mintafeladatait. 1. önellenőrző feladat

Állapítsa meg, hogy igazak-e a következő állítások! Ha f függvénynek létezik határértéke az értelmezési tartomány valamely „a” pontjában, akkor az f függvény az „a” pontban folytonos. Ha az f függvény folytonos az értelmezési tartomány valamely „a” pontjában, akkor az „a” pontban létezik határértéke. Egy függvénynek csak ott lehet határértéke, ahol értelmezve van. 1. megoldás: A helyes válaszok megtalálhatók a Tanulási útmutató 4. téma Ellenőrző kérdések megoldásai c. rész 6. kérdésénél, a 36. oldalon. 2. önellenőrző feladat

Határozza meg, hogy folytonos-e az ⎧3 x − 2, x ∈ R \ {2} f : f (x ) = ⎨ x=2 ⎩ 1,

függvény az a = 2 helyen? 3. önellenőrző feladat

Állapítsa meg az „a” értékét úgy, hogy az ⎧ x2 − 4 , x ∈ R \ {2} ⎪ f : f (x ) = ⎨ x − 2 ⎪ a, x=2 ⎩ 3

függvény folytonos legyen az x0 = 2 helyen, ha „a” tetszőleges valós szám! Folytassuk a tanulást a következő három célkitűzés egymás utáni, a tankönyv 116-117. oldalain található 4.4-es téma ide vonatkozó részeinek feldolgozásával.

A folytonos függvény fogalmának elmélyítéséhez javasoljuk, hogy most is gondosan tanulmányozza a Gazdasági matematika feladatgyűjtemény 4.2. részének mintafeladatait. Mivel az intervallumon folytonos függvények tulajdonságai a későbbi alkalmazások szempontjából nagyon fontosak lesznek, ezért ezen a helyen összegyűjtöttük azokat a tulajdonságokat, amelyeket a későbbiekben felhasználunk.

26

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Intervallumon folytonos függvények tulajdonságai: Tétel: (BOLZANO-TULAJDONSÁG) Egy intervallumon folytonos függvény ezen intervallum bármely két pontjában felvett értékei közé eső bármely értéket felvesz e két hely között. Tétel: Zárt intervallumon folytonos függvény korlátos ezen az intervallumon. Tétel: (WEIERSTRASS) Zárt intervallumon folytonos függvény felveszi infimumát, szuprémumát ezen az intervallumon. Tétel: Legyen az f függvény folytonos az [a; b] intervallumon, ekkor az f −1 függvény létezéséhez szükséges és elégséges, hogy az f függvény szigorúan monoton legyen az [a; b] intervallumon. Tétel: Ha f az [a; b] intervallumon szigorúan monoton folytonos függvény, akkor f −1 is folytonos azon az [α ; β ] intervallumon, ahol α = min{ f (a ), f (b )} és β = max{ f (a ), f (b )}. 4. önellenőrző feladat

Állapítsa meg, hogy igazak-e a következő állítások! Ha az f függvény és a g függvény folytonos, akkor az f + g is folytonos függvény. Ha az f függvény folytonos és a g függvény szakadásos, akkor f + g is szakadásos függvény. Ha az f függvény folytonos és a g függvény szakadásos, akkor f ⋅ g is szakadásos függvény. Ha az f függvény és a g függvény folytonos, akkor f o g is folytonos függvény. 4. megoldás: A helyes válaszok megtalálhatók a Tanulási útmutató 4. téma Ellenőrző kérdések megoldásai c. rész 1. kérdésénél a 35. oldalon. 5. önellenőrző feladat

Kiterjeszthetők-e az

f : f (x ) =

3 x 2 − 27 , x−3

x ∈ R \ {3} és a g : g ( x ) = log 2 x − 1 ,

x ∈ R \ {1}

függvények úgy, hogy a valós számok halmazán folytonosak legyenek? 5. megoldás: A megoldás megtalálható a Tanulási útmutató 4. téma Gyakorló feladatok megoldásai c. rész 2. feladatánál a 37. oldalon.

27

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény 4.2. Folytonosság című fejezetének 4.88., 4.90., 4.92., 4.93., 4.95., 4.98., 4.100-as feladatait! 6. megoldás: A megoldások a feladatgyűjtemény Megoldások a negyedik fejezethez c. rész azonos számú feladatainak megoldásait áttekintve ellenőrizhetők. 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a Tanulási útmutató 4. témájának 1/a, 2/a, 3/a, 5/a beküldendő feladatait! 7. megoldás: Ellenőrizze megoldásait a Tanulási útmutató 40. oldalán!

Befejezés A megoldásokat pontozza úgy, hogy minden tökéletes megoldást 5, minden hibás megoldást 0 ponttal értékeljen. Ha a 20 pontból legalább 10 összegyűlt, úgy az elégséges tudással rendelkezve kezdhet a következő téma, a Differenciálszámítás tanulmányozásába.

Megoldások 2. megoldás: Az f függvény nem folytonos az a = 2 helyen, mert lim f = 7 és f (2 ) = 1, vagyis a x→2

határérték nem egyezik meg a helyettesítési értékkel. 3. megoldás: Ha a függvény folytonos az x0 = 2 helyen, akkor a határértéke ezen a helyen megegyezik a helyettesítési értékkel, vagyis lim f = 4 , ezért 2

28

a = 4 -ből a = 12 . 3

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

5. lecke Differenciálszámítás. Differenciálhányados fogalma, deriváltfüggvény. Differenciálszámítás geometriai alkalmazása. A lecke tanulmányozására fordítandó idő minimum 12 óra.

A középiskolai anyag ide vonatkozó részeinek, illetve az előző témákban elsajátított ismereteknek a szintjétől függően ennél több idő is szükséges lehet. A tanulást ezért érdemes a középiskolában tanult elemi függvények, függvénytani alapismeretek, a hatványozás, gyökvonás és a logaritmus azonosságainak az átismétlésével kezdeni. Majd a belső pont, nyílt és zárt halmaz, valamint a függvények határértékére vonatkozó fogalmakat elevenítsék fel. Csak ezután kezdjék meg a lecke feldolgozását.

Bevezetés Az előző leckékben megismertük a függvények néhány igen fontos tulajdonságát. Ebben a témakörben a matematikai analízis talán legnagyobb jelentőségű fogalmainak: a differenciahányados függvény, differenciálhányados, deriváltfüggvény megismerésével foglalkozunk. A gazdasági jellegű tárgyaknál tapasztalni fogják, hogy segítségükkel a közgazdaságtani problémák megértése és megoldása lényegesen könnyebbé válik. A differenciálszámítás szerepe a közgazdaságtan és a matematika mellett minden más olyan tudományterületen – pl. műszaki tudományok, fizika, kémia stb. – is jelentős, ahol fontos kérdés lehet annak eldöntése, hogy milyen gyorsan változnak bizonyos mennyiségek. Egy adott változás mértékét általában a derivált segítségével írhatjuk le. A differenciál- és integrálszámítás alapjait a XVII. században Isaac Newton (1642-1727.) és Gottfried Leibniz (1646-1716.) fektette le. Az elméleti rész a tk. 123-150. oldalain olvasható. A témához kapcsolódó feladatokat Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény 5. részében és a Tanulási útmutató 5. fejezetében találhatja meg.

29

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A tananyag feldolgozása után Ön képes lesz:

• • • • • • • • • •

felírni különböző függvények különbségi-hányados függvényeit; meghatározni a differenciálhányadost és értelmezni annak geometriai jelentését; megvizsgálni egy függvény differenciálhatóságát; felírni az érintőfüggvényt; felismerni a folytonosság és a differenciálhatóság közötti kapcsolatot; (tk. 136-137. oldal); felismerni és alkalmazni az elemi függvények deriváltjait; (tk. 132-136. oldal, illetve 144-146. oldal); bemutatni a derivált meghatározására kidolgozott módszereket; felírni a különböző típusú függvények deriváltjait; deriváltfüggvényt meghatározni a deriválási szabályok alkalmazásával (tk. 138-143. oldal); magasabb rendű deriváltakat felírni (tk. 147-150. oldal). Kezdjük a tanulást a tankönyv 5.1-es témájának feldolgozásával. A 123-132. oldalak áttanulmányozása az első négy célkitűzésben megfogalmazott készségek elérését segíti.

A téma az új fogalmak: a differenciahányados-függvény, differenciálhányados bevezetésével, és ezek geometriai értelmezésével indul. Fontos, hogy önállóan, pontosan ki tudják mondani ezeket a fogalmakat. Nagyon alaposan gondolják át a geometriai jelentésüket is, hogy az alkalmazásuk a későbbiekben ne okozzon problémát. Ezután a differenciálhatóság vizsgálata következik. Figyeljünk arra, hogy a differenciálhatóságot általában a függvény értelmezési tartományának belső pontjaiban vizsgáljuk. Találkozunk olyan függvényekkel, amelyek az értelmezési tartományuk több belső pontjában, illetve értelmezési tartományuk valamely nyílt, vagy zárt részhalmazán differenciálhatók. Számos olyan függvény is adódik, amelyek az egész értelmezési tartományukon differenciálhatók. A közgazdasági alkalmazás miatt gyakoroljuk, hogy a derivált felhasználásával hogyan írható fel egy függvény adott pontbeli érintője. 1. önellenőrző feladat

Adott az f : f ( x ) = 3x 5 − 1, x ∈ R függvény. Írja fel az x0 = 1 ponthoz tartozó differenciahányados függvényt! 1. megoldás: A megoldást ellenőrizheti a példatár 5. fejezete 5.1. példájának megoldásánál.

30

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Vizsgálja meg, hogy differenciálható-e az

⎧6 x − 7, f : f (x ) = ⎨ 2 ⎩ x + 2,

x ∈ [3; ∞[ x ∈ ]− ∞;3]

függvény az értelmezési tartományának x0 = 3 pontjában! 2. megoldás: A megoldást ellenőrizheti a példatár 5. fejezete 5.5. példájának megoldásánál. 3. önellenőrző feladat

Vizsgálja meg, hogy értelmezhető-e az

f : f ( x ) = x 5 − 3 x + 2,

x ∈ [− 5;2] ∪ {3} ∪ [5;7]

függvény differenciálhányadosa az x0 = 3 helyen? 3. megoldás: A megoldást megtalálja a Tanulási útmutató 5. fejezete Ellenőrző kérdéseinek 2. feladatának megoldásánál, a 44. oldalon. 4. önellenőrző feladat

Adott az ⎧ 0, ha ⎪ f : f ( x ) = ⎨ x 2 , ha ⎪ 1, ha ⎩

x ∈ ]− ∞;0] x ∈ ]0;1]

x ∈ ]1; ∞[

függvény.

Vizsgálja meg, hogy differenciálható-e f az értelmezési tartományán? 4. megoldás: A megoldást megtalálja a Tanulási útmutató 5. fejezete Ellenőrző kérdéseinek 3. feladatának megoldásánál, a 44. oldalon.

31

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Válaszoljon a következő kérdésekre! Milyen kapcsolat van egy f függvény a ∈ D f belső pontbeli differenciahányados függvénye és a differenciálhányados között? egy f függvény a ∈ D f belső pontbeli differenciahányadosa és az f ' differenciálhányados függvény a ∈ D f helyen vett helyettesítési értéke között? 5. megoldás: A megoldást megtalálja a Tanulási útmutató 5. fejezete Ellenőrző kérdéseinek 4. feladatának megoldásánál, a 44. oldalon. 6. önellenőrző feladat

Adott az f : f ( x ) = − ln ( x + 3),

x ∈ ]− 3;−∞[ függvény.

Határozza meg a függvény grafikonjának x0 = −2 abszcisszájú pontjához húzott érintőjének a meredekségét! Állapítsa meg, hogy mekkora szöget zár be az érintő az x tengely pozitív felével! Írja fel az érintő egyenletét! 6. megoldás: A megoldást megtalálja a Tanulási útmutató 5. fejezete Gyakorló feladatok 5. feladatának megoldásánál, a 46. oldalon. Folytassuk az anyag tanulmányozását a tankönyv 5.3. témájának feldolgozásával. A 136-137. oldalakon kidolgozott tananyag a differenciálható és a folytonos függvények kapcsolatával foglalkozik.

Mielőtt bármilyen matematikai műveletet elvégzünk, mindig át kell gondolnunk, hogy egyáltalán elvégezhető-e a vizsgált művelet, illetve, hogy melyek azok a feltételek, amelyek mellett az adott művelet elvégezhető. A könyvbeli példák alapján nyilvánvalóvá válik, hogy a differenciálható függvények a folytonos függvények valódi részhalmazát alkotják. Ha az f függvény differenciálható az x0 helyen, akkor ott folytonos is; de ez az állítás nem megfordítható, azaz a folytonosság a differenciálhatóság szükséges, de nem elegendő feltétele. Ne felejtse el, hogy az 5.5-ös tétel bizonyítását is meg kell tanulni a könyv levezetése alapján!

32

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Vizsgálja meg, hogy az

⎧ x, ha f : f ( x ) = ⎨5 ⎩ x , ha

x ∈ ]− ∞;0[ x ∈ [0;+∞[

függvény differenciálható-e az x0 = 0 pontban? 8. önellenőrző feladat

Vizsgálja meg, hogy a ⎧ x 4 , ha g : g (x ) = ⎨ 4 ⎩− x , ha

x

racionális

x irracionális

függvény értelmezési tartományának mely pontjaiban folytonos? Állapítsa meg, hogy differenciálható-e g az x0 = 0 helyen? 9. önellenőrző feladat

Adott az f : f (x ) = x − 2 ,

x ∈ R függvény.

Állapítsa meg, hogy differenciálható-e f az x0 = 2 helyen! 9. megoldás: A megoldást megtalálja a Tanulási útmutató 5. fejezet Gyakorló feladatok 3. példájának megoldásaként a 45. oldalon. A tankönyv 5.2., 5.4. és 5.5-ös témáját egymás után javasoljuk feldolgozni. A 132-135.; 138-146. oldalakon a 6-9. célkitűzésben foglalt készségek kialakításához szükséges elméleti ismeretek találhatók.

Itt ismerheti meg azon elemi függvények deriváltjait, illetve azokat a deriválási szabályokat, amelyek alkalmazásával a deriválási művelet rutinszerűvé válhat. Figyeljen arra, hogy itt a deriválás műveletének megértése és elmélyítése miatt az 5.1., 5.2., 5.3., n x , 5.4., 5.6., 5.7., 5.8., 5.9., 5.11-es tételek bizonyítását is tudni kell!

33

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a példatár 5.10., 5.16., 5.19., 5.22., 5.23., 5.25., 5.27., 5.36., 5.41., 5.46., 5.50., 5.53., 5.60., 5.68., 5.70., 5.81., 5.82-es feladatait. 10. megoldás: A megoldásokat megtalálja Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény 5. fejezetének Megoldás részében. 11. önellenőrző feladat

Oldja meg a Tanulási útmutató 5. fejezet Gyakorló feladatainak 4. példáját a 43. oldalról! 11. megoldás: Ellenőrizze a megoldást a Tanulási útmutató 46. oldalán! Végül tanulmányozzuk a tankönyv 5.6-os fejezetét (147-150. oldal), mely a többször differenciálható függvényeket tárgyalja.

Figyeljünk arra, hogy ha egy adott f függvény differenciálható, abból még nem következik, hogy kétszer, vagy többször is differenciálható, tehát a deriválás előtt a differenciálhatóságot mindig újból meg kell vizsgálni. Ugyanakkor bármely racionális függvény akárhányszor differenciálható értelmezési tartományának minden pontjában. Hasonlóan igaz ez exponenciális, a sinus és cosinus függvényekre is. 12. önellenőrző feladat

Adjon meg egy olyan függvényt, ami egyszer differenciálható, de kétszer már nem! 12. megoldás: A megoldást megtalálja a Tanulási útmutató 5. fejezete Ellenőrző kérdéseinek 5. feladatának megoldásánál, a 44. oldalon. 13. önellenőrző feladat

Oldja meg a példatár 5.101., 5.107., 5.110., 5.112., 5.116 és 5.117-es feladatait! 13. megoldás: A megoldásokat megtalálja Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény 5. fejezetének Megoldás részében.

34

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


A téma végén összefoglalásként javasoljuk, hogy írja le önállóan a differencia-hányados függvény, differenciálhányados és a deriváltfüggvény fogalmait, majd bizonyítsa be az 5. leckében felsorolt bizonyításokat! Végül oldja meg a Tanulási útmutató Beküldendő feladatok c. részének 7 feladatát (47-48. oldal). 14. megoldás: Ellenőrizze az elmélet pontosságát önállóan a könyv alapján, a feladat-megoldásokat pedig a Tanulási útmutató 48-49. oldalain.

Ha a fogalmak és a bizonyítások legalább felét pontosan tudta, akkor az elméleti részt legalább elégséges szinten teljesítette. A feladat-megoldások tekintetében, ha feladatonként 10 pontot kaphatna egy-egy feladat helyes megoldásra, és 0 vagy 10 ponttal értékelnénk egy-egy feladatot, akkor az elégséges tudásszint eléréséhez a 70 pontból legalább 35 pontot kell összegyűjtenie. Ha ez nem sikerült, akkor azokat a részeket, amelyekre vonatkozó feladatok hibásnak mutatkoztak, újra át kell ismételnie.

Befejezés Reméljük, hogy jó eredménnyel vette az akadályt, és belátta, hogy a differenciálás nem is olyan bonyolult művelet. De hogy mennyire fontos és hasznos ez a művelet, azt csak a következő témában, a differenciálható függvények tulajdonságainak vizsgálatakor fogja tapasztalni.

Megoldások 7. megoldás: Ha felrajzolja a függvényt, akkor azonnal látja, hogy f folytonos függvény. Ha ezután meghatározza a jobb és a baloldali differenciálhányadost az x0 = 0 pontban akkor láthatja, hogy lim−0 x →0

5 x−0 x −5 0 = 1 , de lim+ 0 = ∞ , ezért f folytonos, de nem differenciálható x →0 x−0 x−0

függvény. 8. megoldás: A megadott g függvény értelmezési tartományának csak az x0 = 0 pontjában lesz folytonos és itt egyben differenciálható is. Figyeljünk arra, hogy egy függvény adott pontbeli differenciálhatósága csak az adott pontbeli folytonosságot biztosítja.

35

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

6. lecke Beküldendő feladat I. A leckére 2 órát kell szánnia, ezen belül a feladatok megoldására 90 perc lenne az ideális idő. A továbbiakban a másoláshoz, tisztázáshoz szükséges még 30 perc.

Ha 90 perc kevés a megoldáshoz, ez azt jelenti, még gyakorolnia kell hasonló feladatokat, hogy a feladatsor kidolgozása lerövidüljön. Az egyes feladatok munkaidejét nem célszerű szétválasztani, érdemes őket folyamatosan, egymás után megoldani. Így derülhet ki az Ön számára, hogy valójában mennyi időre van szüksége a megoldáshoz.

Bevezetés A következő feladatsor megoldásával ellenőrizheti az első öt témában elsajátított ismereteinek tudásszintjét. A feladatokat igyekeztünk úgy kiválasztani, hogy valóban összefoglalják a megjelölt leckék anyagát. A feladatok és kérdések szintje megfelel a vizsgán támasztott követelményeknek. Ha valamelyik feladat megoldása gondot okozna, akkor javasoljuk, hogy lapozza fel a könyv és a példatár megfelelő fejezeteit, amelyeket újra áttanulmányozva már biztosan nem lesz nehéz a megoldás. Figyeljen arra, hogy bár itt nem kértünk bizonyítást, mert az a könyvből kimásolható lenne, a vizsgán mindig szerepel legalább egy bizonyítás is! Az első két feladatot a Halmazelmélet témából választottuk. Szerepelnek benne olyan kérdések, amelyek azt mérik fel, hogy a középiskolai ismereteket mennyire sikerült felelevenítenie, de olyan fogalmakra is rákérdez, amelyekkel ebben a témában kiegészítettük a korábbi ismereteket. A harmadik és negyedik feladat általában nagyobb hangsúlyt kap a vizsgán, szinte minden feladatsorban szerepel. Az ilyen jellegű és szintű feladatok megoldását ezért sokat gyakorolja! Az ötödik és hatodik feladattal a függvények határértéke, folytonossága és a differenciálszámítás témákban megszerzett tudása mérhető. Ugyanakkor visszamenőleg is visszatér egyes témák megértéséhez, és a feladatmegoldásokhoz is szükséges olyan lényeges fogalmakra, mint az inverz függvény és az összetett függvény.

36

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Beküldendő feladat (1-4)

1. Feladat a) Mikor nevezünk egy számhalmazt zártnak? b) Értelmezze két halmaz metszetét! c) Adott az alábbi két halmaz: A = {− 2; 1; 8} és B = {− 5; 2; 8} . Adja meg az A ∪ B , B \ A és A× B halmazokat! d) Írja fel az A halmaz hatványhalmazát! 2. Feladat Legyen adott a H = {x ∈ Z / − 1 < x ≤ 10} alaphalmaz, továbbá az ezen értelmezett A = {1; 2; 3; 4; 5; 9} és a B = {0; 1; 2; 3; 8} halmazok. a) Adja meg az A ∪ B halmazt! b) Ha C = {1; 2; 3} , akkor írja fel a megadott halmaz hatványhalmazát! c) Definiálja az A × B halmazt! 3. feladat Adott az an =

4 − 2n , 3n − 10

n ∈ N + számsorozat!

a) Jellemezze az adott számsorozatot monotonitás, korlátosság és határérték szempontjából! b) Adja meg az ε = 10 −4 –hez tartozó küszöbszámot! c) Definiálja, hogy mikor nevezünk egy számsorozatot felülről korlátosnak! 4. feladat Adott az an =

1 − 2n , 4n + 1

n ∈ N + számsorozat!

a) Jellemezze az adott számsorozatot monotonitás, korlátosság és határérték szempontjából! ∞

b) Határozza meg a

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ∑ n =1 ⎝ 2 ⎠

n −1

pozitív tagú mértani sor összegét!

c) Mikor mondjuk, hogy egy végtelen numerikus sor konvergens?

37

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


5. feladat a) Értelmezze az f o g összetett függvényt! b) Értelmezze a függvény végtelenben vett véges határértékét!

x ∈ R függvény x0 = 1 helyhez tartozó különbségic) Írja fel az f : f ( x ) = x 2 + 5 x − 2, hányados függvényét majd ugyanebben a pontban határozza meg a differenciálhányadost! d) Számítsa ki az alábbi határértékeket:

x2 + x − 6 lim 2 = x→∞ x −9 lim x→3

x2 + x − 6 = x2 − 9

6. feladat a) Állapítsa meg, hogy képezhető-e az f : f (x ) = 3 x + 2 , Ha igen, akkor képezze is az inverz függvényt!

x ∈ R függvény inverze.

b) Adottak az f : f ( x ) = sin x, x ∈ R és a g : g ( x ) = x 2 + 2 x, Képezze a h = f o g függvényt, amennyiben lehetséges!

x ∈ R függvények.

c) Mikor mondjuk, hogy az egyváltozós valós függvény értelmezési tartományának egy x0 ∈ D f pontjában folytonos? A megoldott feladatsort a tantárgy felvételekor meghatározott időpontra kell elküldenie szakértő tutorának. A tutor a feladatokat egy héten belül kijavítja, és visszajelzést küld Önnek. Kérjük, hogy a megoldásokat kék tintával írottan, jól olvasható formában készítse majd juttassa el postán a tutornak, vagy személyesen hozza be a Matematika-statisztika Tanszékre. Természetesen e-mailhez csatolt mellékletet is küldhet. A visszajelzésig se hagyja abba a tanulást! A dolgozat beadása után folytassa a megmaradt két téma folyamatos tanulmányozását!

38

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

7. lecke Differenciálható függvények néhány lokális és globális tulajdonságának vizsgálata A lecke tanulmányozására fordítandó idő legalább 10 óra.

Ennyi idő minimálisan szükséges annak is, aki a Függvények határértéke, Függvények folytonossága és a Differenciálszámítás témákat már igen jó szinten elsajátította. Javasoljuk, hogy a téma feldolgozása előtt ismételje át az előzőekben felsorolt témákat.

Bevezetés A deriválás a közgazdaságtani problémák megoldásánál nagyon hasznos matematikai módszernek bizonyult. Így a differenciálás segítségével oldhatók meg a gyakorlatban például a különböző szélsőérték problémák, amelyek a függvény elsőrendű deriváltjának a segítségével vizsgálhatók. A differenciálható függvények olyan tulajdonságainak megismeréséhez viszont, mint a konvex, konkáv tulajdonságok a másodrendű derivált alkalmazása szükséges. A közgazdaságtanban használt függvények értelmezési tartományuk bizonyos részintervallumain konkávak, más részhalmazokon konvexek. Azok a pontok, ahol egy függvény konkávból konvexbe megy át, vagy fordítva, az inflexiós pont elnevezést kapták. Az elméleti rész a tk. 166-186. oldalain olvasható. A témához található feladatokat Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény 6.1. és 6.2., valamint a Tanulási útmutató 6. fejezetében találja meg. A téma áttanulmányozásával Ön képes lesz:

• • • • • •

megvizsgálni a lokális növekedést és fogyást, illetve intervallumon vett monotonitást a 6.1., 6.2. és 6.3 tételek alapján; bebizonyítani a 6.2. tételt; megvizsgálni az egyváltozós valós függvények helyi és abszolút szélsőértékét (6.4., 6.5. és 6.6 tételek;) alkalmazni az L’Hospital szabályt; meghatározni konvex és konkáv tulajdonságokat (6.7., 6.8. tételek); eldönteni, hogy hol van egy függvénynek inflexiós pontja (6.9. tétel). Kezdjük a tanulást az első négy célkitűzés megvalósításával, amelynek elméleti része alapvetően a tankönyv 166-179. oldalain olvasható, s a 6.1. és 6.2-es témákat öleli fel.

39

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Mivel az L’Hospital szabály alkalmazására szükségünk lesz, de a könyvünk ezt részletesen nem tárgyalja, ezért itt közöljük. L’Hospital-szabály: Az L’Hospital-szabály néven ismert tételek két függvény hányadosának határértékével kapcsolatosak, amikor a számláló és a nevező is nullához, illetve végtelenhez tart, vagy a 0 ∞ határérték kiszámítása ezekre az esetekre visszavezethető. A és a , illetve az 0 ∞ 0 ∞ 0 átalakítások után ilyen alakra hozható 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 0 , ∞ és 1∞ kifejezéseket határozatlan kifejezéseknek nevezzük. Ezek meghatározását teszi lehetővé bizonyos esetekben az L’Hospital-szabály néven ismert eljárás. Tétel: Legyenek f és g függvények az a hely valamely (esetleg csak féloldali) környezetében differenciálhatók (az a helyet esetleg kivéve) és a helyen folytonosak, f ' (x ) amelyekre f (a ) = g (a ) = 0 . Tegyük fel továbbá, hogy a lim határérték létezik és x →a g ' ( x ) f (x ) f (x ) f ' (x ) véges. Ekkor lim is létezik és lim = lim . x →a g ( x ) x →a g ( x ) x →a g ' ( x ) Tétel: Legyenek f és g függvények az a hely valamely (esetleg csak féloldali) környezetében differenciálhatók (az a helyet esetleg kivéve) és a helyen folytonosak, f ' (x ) amelyekre lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ (vagy − ∞ ). Tegyük fel továbbá, hogy a lim x →a g ' ( x ) x →a x→a f (x ) f (x ) f ' (x ) határérték létezik és véges. Ekkor lim is létezik és lim = lim . x →a g ( x ) x →a g ( x ) x →a g ' ( x ) Tétel: Legyenek f és g függvények differenciálhatók az ]a; ∞[ intervallumon és f ' (x ) határérték lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 , vagy ± ∞ . Tegyük fel továbbá, hogy a lim x→∞ g ' ( x ) x→∞ x→∞ f (x ) f (x ) f ' (x ) létezik és véges. Ekkor lim is létezik és lim = lim . x→∞ g ( x ) x→∞ g ( x ) x→∞ g ' ( x ) Feladatmegoldásokban az L’Hospital-szabályt úgy alkalmazzuk, hogy először 0 ∞ megvizsgáljuk, hogy a határérték vagy típusú-e. Ha nem, akkor visszavezetjük ezekre 0 ∞ 1 1 − ∞ ∞ 0 a típusokra. Például 0 ⋅ ∞ = = , vagy ∞ − ∞ = ∞ ∞ = . A többi típus általában 1 ∞ 1 0 0 ∞⋅∞ 0 g (x) f ( x ) = e g ( x )⋅ln f ( x ) átalakítással (feltéve, hogy f ( x ) > 0 ) 0 ⋅ ∞ , majd típusúvá 0 alakítható. Ezután a számlálót és a nevezőt külön-külön deriválva a deriváltak hányadosaként kapott új hányados-függvény határértékét vizsgáljuk meg. Ha ez még mindig határozatlan kifejezés lenne, akkor – a feltételek teljesülése esetén – az L’Hospital-szabályt újból alkalmazhatjuk.

40

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Az ebben a tananyagrészben szereplő fogalmak elmélyítéséhez javasoljuk, hogy gondosan tanulmányozza a Gazdasági matematika Feladatgyűjtemény I. 6. témájának 6.1. pontjában kidolgozott mintafeladatokat! 1. önellenőrző feladat

Vizsgálja meg, hogy lehet-e egy f függvénynek értelmezési tartománya egy olyan belső pontjában is lokális szélsőértéke, ahol f nem differenciálható!


Állapítsa meg, hogy igaz-e a következő állítások megfordítása? Ha egy függvény deriváltja egy intervallum minden belső pontjában pozitív, akkor ott szigorúan monoton növekedő. Ha az „a” pont az f függvénynek lokális szélsőértékhelye, akkor f ' (a ) = 0 . 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 6.1., 6.3., 6.4., 6.7., 6.10., 6.14., 6.18. és 6.21-es feladatait! 3. megoldás: A megoldásokat ellenőrizheti a Feladatgyűjtemény azonos számú feladatainak megoldásainál. 4. önellenőrző feladat

(x + 1) + 2 határértékeket! ln x Számítsa ki a lim és lim x →∞ 3 x x→0 x 5

Az 5-6. célkitűzésekben megfogalmazottak elérését kezdjük a tankönyv 180-186. oldalainak tanulmányozásával.

Majd tekintsük át a Feladatgyűjtemény 6. fejezetének 6.2. részében kidolgozott mintafeladatokat! 5. önellenőrző feladat

Állapítsa meg, hogy igaz-e annak a kijelentésnek a megfordítása, hogy konvex szakaszon egy függvény deriváltja monoton növekedő? 5. megoldás: A választ ellenőrizheti a Tanulási útmutató 6. fejezete Válaszok az ellenőrző kérdésekre c. rész 55. oldalán.

41

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Feladatgyűjtemény 6.2. részének 6.23., 6.25., 6.28. és 6.29-es feladatait! 6. megoldás: A megoldásokat ellenőrizheti a Feladatgyűjtemény 6. fejezete azonos számú feladatainak megoldásaként. 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a Tanulási útmutató 6. fejezete Beküldendő feladatainak első öt feladatát! 7. megoldás: A megoldásokat az 56-57. oldalakon ellenőrizheti.

Befejezés Pontozza a megoldásait: hibátlan megoldás esetén feladatonként 10 ponttal, hibás megoldás esetén 0 ponttal. Ha legalább 30 pontot ért el, akkor a tudása elégséges és megkezdheti a következő téma feldolgozását.

Megoldások 1. megoldás: Igen, például az f : f ( x ) = x ,

x ∈ R függvény az a = 0 pontban nem differenciálható, de

lokális minimuma van ezen a helyen. 2. megoldás: Az első állítás megfordítása nem igaz. Például az f : f ( x ) = x 3 ,

x ∈ R függvény minden x ∈ R -re szigorúan monoton növekedő, mégis f ' (0 ) = 3 ⋅ 0 2 = 0 , azaz nem pozitív. A második állítás megfordítása sem igaz,

x ∈ R függvény „0” pontban vett differenciálhányadosa mert például az f : f ( x ) = x 3 , 0, de még sincs szélsőértéke f -nek a 0 helyen. 4. megoldás: Az első feladatnál a számláló és a nevező határértéke is plusz végtelen, így alkalmazhatjuk az

1 ln x = lim x = 0 lesz. L’Hospital-szabályt. Alkalmazva lim x→∞ 3 x x→∞ 3 A második feladatnál a számláló és a nevező határértéke is 0, tehát az L’Hospital-szabály

5 4 ( x + 1) + 2 5 ⋅ (x + 1) = lim alapján lim

x→0

x

x→0

1

= 5.

42

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

8. lecke Teljes függvényvizsgálat A lecke tanulmányozására fordítandó idő legalább 10 óra.

Ennyi idő minimálisan szükséges annak is, aki a Határérték, Folytonosság, Differenciálszámítás, Differenciálható függvények vizsgálata c. részeket jól elsajátította.

Bevezetés A gazdasági életben előforduló függvénykapcsolatok általában nem írhatók le a középiskolában megtanult elemi függvényekkel. Ahhoz, hogy egy tetszőleges függvény viselkedését megismerjük, felrajzoljuk a grafikonját, ismernünk kell minden egyes nevezetes pontját, és minden közbülső intervallumon a függvény alakját és menetét is. Ezért ebben a leckében összegezzük a függvények és grafikonjaik diszkussziójával kapcsolatos, az előző témákban már bevezetett és megismert kérdéseket. Szándékunk, hogy egy hasznos útmutatót állítsunk össze a gyakorlatban előforduló függvények viselkedésének vizsgálatára. Az összefoglaló elméleti rész a tk. 187-191. oldalain található. A témához kapcsolódó feladatokat Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény 6.3. és a Tanulási útmutató 6. fejezetében találja meg. A téma áttanulmányozása után Ön képes lesz:

• • • • • • • • • •

megállapítani a függvény zérushelyeit; megállapítani, hol páros, illetve páratlan, hol periodikus egy függvény; megállapítani vannak-e lokális és abszolút szélsőérték-helyei; meghatározni a monotonitási szakaszokat; meghatározni az inflexiós pontokat; meghatározni a konvex-konkáv szakaszokat; megállapítani, hogy az értelmezési tartomány torlódási pontjaiban létezik-e a függvénynek határértéke, illetve hol folytonos a függvény; megállapítani, ha a függvény értelmezési tartománya nem korlátos halmaz, akkor létezik-e határértéke a ± ∞ -ben; megállapítani, mi a függvény értékkészlete; felrajzolni az adott függvény grafikonját a felsorolt jellemzők alapján.

A megjelölt célkitűzések elérését ebben a leckében nem egyenként vagy csoportonként, hanem egy-egy feladatban, mindegyik részt a felsorolás sorrendjében alkalmazva javasoljuk megvalósítani. Kezdjük a tanulást a tankönyv 6.11-es és 6.12-es kidolgozott példáinak tanulmányozásával.

43

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A példák kapcsán láthatjuk, hogy miért is kellett megtanulnunk az előző témák fogalmait, hogy mennyire hasznosnak bizonyultak a korábbi ismeretek egy-egy ismeretlen függvény grafikonjának felrajzolásánál. Folytassuk a tanulást a Feladatgyűjtemény 6.3. Teljes függvényvizsgálat c. részének kidolgozott feladatai tanulmányozásával. Csak ezután próbáljuk ki tudásunkat önálló feladatok megoldásával. 1. önellenőrző feladat

Pótolja ki a hiányzó részeket a következő fogalmakban! Legyen „a” az f függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvény az „a” pontban (szigorúan) lokálisan növekedő, ha .......... . Legyen az f függvény értelmezési tartományának valamely I intervallumán differenciálható. Ha bármely a ∈ I esetén .......... , akkor azt mondjuk, hogy f az I intervallumon (szigorúan) konvex. Legyen az f függvény értelmezési tartományának valamely „a” belső pontjában differenciálható. Ha az „a” pontbeli érintő az „a”-ban átmetszi az f függvény grafikonját, vagyis az .......... , akkor az „a” pontot az f inflexiós pontjának nevezzük. 1. megoldás: A fogalmakra adott helyes válaszok a tankönyv 166., 180. és 184. oldalain ellenőrizhetőek. 2. önellenőrző feladat

Vizsgálja meg, hogy igazak-e a következő kijelentések! Ha f tágabb értelemben lokálisan növekedő az „a” pontban, akkor f ' (a ) ≤ 0 . Ha az elsőrendű derivált az „a” pontban előjelet vált, akkor f -nek az „a” pontban lokális szélsőértéke van. Az f függvény az I intervallumon pontosan akkor konvex, ha az intervallum minden pontjában f " ( x ≥ 0 ) . 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 6.3. témájának 6.53., 6.60., 6.66., 6.74., 6.78. és 6.79-es feladatait! 3. megoldás: A megoldásokat ellenőrizheti a Feladatgyűjtemény Megoldások a hatodik fejezethez c. rész azonos számú feladatainál. 4. önellenőrző feladat

Végezzen teljes vizsgálatot a Tanulási útmutató Gyakorló feladatainak 8., és a Beküldendő feladatok 6. feladataiban megadott függvényeken, és vázolja fel a grafikonjaikat is!

44

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

4. megoldás: Ellenőrizze a megoldásokat a Tanulási útmutató 58., illetve 61. oldalain.

Ha a zérushelyek, paritás, lokális szélsőérték, monotonitási szakaszok, inflexiós pont, konvex-konkáv szakaszok, határérték, folytonosság, abszolút szélsőérték, értékkészlet, ábra felrajzolása, feladatrészek mindegyikére 5 vagy 0 pontot kaphatna, azaz csak a tökéletes megoldásokat pontoznánk, akkor a 2 × 55 = 110 pontból legalább 55 pontot kellene összegyűjtenie az elégséges tudás eléréséhez.

Befejezés Reméljük, hogy feladatmegoldásai sikerültek! Ezek után az egyváltozós függvények mintája alapján kezdje el a kétváltozós függvények viselkedésének vizsgálatát.

Megoldások 2. megoldás: Hamis, f ' (a ) ≥ 0 . Igaz. Igaz, feltéve, hogy az f függvény értelmezési tartományának valamely I intervallumán kétszer differenciálható.

45

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

9. lecke Többváltozós valós függvények fogalma, szemléltetése, differenciálása, szélsőértéke. A lecke tanulmányozására fordítandó idő legalább 10 óra.

A téma feldolgozása előtt ismételje át a függvények osztályozását, az egyváltozós valós függvények jellemzőit, a differenciálhányados fogalmát, a deriválás műveletét.

Bevezetés Az előző témákban az egyváltozós valós függvényeket tanulmányoztuk. A gazdasági életben lejátszódó jelenségek többségének a leírásához azonban általában több változó együttes vizsgálatára van szükség. Ebben a témában a többváltozós függvények néhány tulajdonságán keresztül bemutatjuk, hogy az egyváltozós függvények tulajdonságai hogyan általánosíthatók két, illetve többváltozós esetre. A kétváltozós függvényekre tanult fogalmakat mindig hasonlítsuk össze az egyváltozós esetre tanultakkal. Figyeljünk az értelmezésbeli különbségekre. Például a kétváltozós esetre a monotonitás nem értelmezhető, mert a vektorok halmaza nem rendezett halmaz. De eltérés mutatkozik pl. a differenciálhányados értelmezésénél is, mert a vektorral való osztás nem értelmezhető. Ugyanakkor hasonlóságokat találunk a határérték, folytonosság, lokális szélsőérték értelmezésénél. Az elméleti rész a tk. 61-66., a 118., 156-161. és a 195-203. oldalain található. A témához kapcsolódó feladatokat Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény 7., és a Tanulási útmutató 7. fejezetében találja meg. A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

• • • • • •

definiálni a két és többváltozós függvény fogalmát; szemléltetni a szintvonalak segítségével a fenti függvényeket; általánosítani az egyváltozós eset mintájára a kétváltozós függvények folytonosságát, határértékét; alkalmazni a parciális deriválást; megvizsgálni a lokális szélsőértéket az egyváltozós függvényekre bevezetett szélsőérték-fogalmak kétváltozós esetre való átvitelével; (6.11. és 6.12. tétel); alkalmazni a legkisebb négyzetek módszerét. Kezdjük a tanulást az első három célkitűzés megvalósításával, a tankönyv 2.11. és 4.5-ös témáinak feldolgozásával. Ezek a tankönyv 61-66. és 118. oldalain találhatóak.

A fogalmak elmélyítéséhez javasoljuk, hogy gondosan tanulmányozza a Gazdasági matematika Feladatgyűjtemény 7. téma mintafeladatainak, illetve a Tanulási útmutató 7. részének a témához kapcsolódó példáit.

46

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Állapítsa meg, hogy a sík mely pontjai tesznek eleget az

x 2 + y 2 < 4 és x < 0 egyenlőtlenség-rendszernek! 2. önellenőrző feladat

Adjuk meg a sík pontjainak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az

f : f ( x, y ) =

2 2 + x y

függvény értelmezhető. Állapítsuk meg, hogy felveszi-e a 0 értéket ez a függvény? 3. önellenőrző feladat

Adott az

f : f (x1 , x2 , x3 ) = x13 + 3 x1 x2 x3 − 2 x22 + 3x32 − 7,

(x1 , x2 , x3 ) ∈ R 3

háromváltozós függvény. Írja fel az A = (1,2,3) pontoz tartozó egyváltozós valós függvényeket! 3. megoldás: A megoldás a Tanulási útmutató 7. Téma, Ellenőrző kérdések megoldása c. rész 2. kérdésénél, a 65. oldalon ellenőrizhető. 4. önellenőrző feladat

A szintvonalas ábrázolás segítségével adja meg az

f : f ( x, y ) = x 2 + y 2 ,

(x, y ) ∈R 2

függvény grafikonját! 4. megoldás: Az ábrázolás lépései a Tanulási útmutató 7. téma, Ellenőrző kérdések megoldása c. rész, 6. kérdésénél, a 65. oldalon ellenőrizhető. Folytassuk a lecke feldolgozását a negyedik célkitűzés megvalósításával, a tankönyv 5.8. és 5.9-es témáinak a 156-161. oldalakon található feldolgozásával.

47

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Vizsgálja meg, hogy fennáll-e ugyanaz a kapcsolat a parciális differenciálhatóság és a folytonosság között, amely az egyváltozós valós függvények esetén a differenciálhatóság és folytonosság között fennállt! 6. önellenőrző feladat

Fogalmazza meg, hogy milyen feltételek mellett lesz igaz az

f "xy (a, b ) = f " yx (a, b ) ? 6. megoldás: Az 5.13. tétel (161. oldal) segítségével ellenőrizheti a válasz helyességét. 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 7.1., 7.6., 7.9., és a 7.10-es feladatait! 7. megoldás: A megoldásokat a Feladatgyűjtemény Megoldások a hetedik fejezethez c. részének azonos számú feladatainál ellenőrizheti. 8. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 7.15, 7.18, 7.22, 7.27 és 7.30-as feladatait! 8. megoldás: A megoldásokat a Feladatgyűjtemény Megoldások a hetedik fejezethez c. részének azonos számú feladatainál ellenőrizheti. Végül térjünk rá a többváltozós függvény szélsőértékével kapcsolatos, a tankönyv 6.6. ás 6.7. pontjaiban megfogalmazott tananyag megtanulására a 195-203. oldalig.

A kétváltozós függvényeknek csak a lokális szélsőértékét vizsgáljuk. Főként a közgazdaságtani hasznosíthatóság miatt figyeljünk arra, hogy a lokális szélsőérték létezése geometriailag azt jelenti, hogy ha az (a, b ) ∈ D f szélsőértékhely, akkor a függvény

grafikonját az x = a és y = b síkkal elmetszve a kapott görbék (a, b ) ∈ D f pontbeli érintője párhuzamos lesz az ( x, y ) síkkal.

48

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Vizsgálja meg, hogy a függvényvizsgálat lépései közül melyek értelmezhetők többváltozós függvényekre is? 9. megoldás: A válasz a Tanulási útmutató 7. fejezete, Ellenőrző kérdések megoldásai c. rész 1. feladatánál található, a 64. oldalon. 10. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 7.41., 7.47., 7.48., 7.51. és 7.53-as feladatait! 10. megoldás: A megoldásokat a Feladatgyűjtemény Megoldások a hetedik fejezethez c. részének azonos számú feladatainál ellenőrizheti. 11. önellenőrző feladat

Fejtse ki a legkisebb négyzetek módszerének lényegét! Tekintse át, hogy mennyiben kapcsolódik ez a módszer a többváltozós valós függvényekhez! 11. megoldás: A választ a tankönyv 161. oldalán megtalálja. 12. önellenőrző feladat

Oldja meg a Tanulási úmutató 7. fejezet Beküldendő feladatait a 2. feladat kivételével! 12. megoldás: A megoldásokat megtalálja a Tanulási útmutató 70-71. oldalain.

Befejezés Pontozza a megoldásait feladatonként 5 vagy 0 ponttal aszerint, hogy tökéletes, vagy hibáse a megoldás. Ha 30 pontból legalább 15-öt sikerült teljesítenie, akkor gratulálunk a helyes megoldásokhoz és kezdhetjük a következő lecke, a Határozott integrál feldolgozását.

49

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megoldások 1. megoldás: Az első egyenlőtlenségnek megfelelő pontok az origó körüli, 2 egység sugarú kör belső pontjai. A második egyenlőtlenség követelményének megfelelő pontok összessége az y tengelytől jobbra levő pontok halmaza. Mindkét egyenlőtlenségnek a jobboldali félkörlap belső pontjai felelnek meg. 2. megoldás: A tört nevezője, tehát x = 0 és y = 0 helyek kivételével a megadott függvény a sík bármely pontjában értelmezhető. Ennek ellenére a függvényérték például az x = −2 és y = 2 értékek esetén 0 lesz. 5. megoldás: Nem áll fenn ugyanaz a kapcsolat, mert ha egy kétváltozós függvény értelmezési tartományának egy belső pontjában mindkét változója szerint parciálisan differenciálható, még nem biztos, hogy folytonos is.

50

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

10. lecke Határozott integrál. A lecke tanulmányozására fordítandó idő legalább 8 óra.

Ennyi idő feltétlenül szükséges ahhoz, hogy a fogalmakat pontosan megértse, elgondolkodjon rajtuk.

Bevezetés A következőkben a határozott integrál fogalmával ismerkedünk meg. Ezen téma fejlődését – mint a matematika számos más területét is – a gyakorlati életben felmerülő problémák megoldási kísérletei indították el. Az egyik ilyen igen egyszerű probléma az volt, hogy hogyan határozható meg egy általános görbe által közrezárt terület. Ezt a kérdést az eddig megismert matematikai műveletek felhasználásával ma sem tudnánk megválaszolni. Pedig már i. e. 360-ban a híres görög matematikus, Eudoxos, majd később Archimedes kidolgozott egy ún. fokozatos kimerítésként elnevezett módszert, amelyben a területet ismert geometriai alakzatok területeivel közelítették. Archimedes után mintegy 900 évnek kellett eltelnie ahhoz, hogy a síkidomok területének meghatározásában lényeges előrelépés szülessen, azaz kifejlődjön egy új módszer: az integrálszámítás. Az integrálszámításra vonatkozó ismereteinket a véges, zárt intervallumon korlátos és monoton függvények görbe alatti területének meghatározásával, illetve az erre vonatkozó legfontosabb szabályok megismerésével kezdjük. Az elméleti rész a tk. 217-232. oldalain található. A témához kapcsolódó feladatokat Gazdasági matematika I. feladatgyűjtemény 8. és a Tanulási útmutató 8. fejezetében találja meg. A téma tanulmányozása után Ön képes lesz:

• • •

meghatározni a határozott integrál fogalmát; ismertetni a határozott integrál numerikus meghatározását; felsorolni a határozott integrál tulajdonságait a 7.11., 7.12., és a 7. 13. tételek segítségével. Kezdjük a tanulást a három célkitűzés egymás utáni, a tankönyv 217-232. oldalain található 7.4., 7.5. és 7.6-os témáinak a feldolgozásával.

A témában szereplő alapfogalmak elmélyítéséhez javasoljuk, hogy gondosan tanulmányozza a Gazdasági matematika feladatgyűjtemény I. 8.2 témájának 1. Mintafeladatát, és a Tanulási útmutató 8. témájának ide vonatkozó feladatait.

51

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


a) Igaz-e, hogy ha egy adott beosztást finomítunk, akkor mindig egy finomabb – kisebb finomságú – beosztáshoz jutunk? b) Igaz-e, hogy ha egy függvény egy véges zárt intervallumon nem korlátos, akkor ott nem is integrálható? c) Igaz-e, hogy a Riemann-szerinti integrálhatóság szükséges és elégséges feltétele az, hogy az adott véges, zárt intervallum tetszőleges, minden határon túl finomodó felosztássorozatához tartozó megfelelő alsó és felső összegek sorozatai közös határértékhez konvergáljanak? 2. önellenőrző feladat

Javítsa ki a hibákat a következő összefüggésekben: b

∫ a

a

f =∫ f b

b

Ha a < b < c , akkor

∫ a

c

c

a

b

f =∫ f +∫ f .


Fejezze be a következő megkezdett képleteket, majd fogalmazza meg azokat a feltételeket, amelyek mellett igazak ezek az összefüggések! b

∫c⋅ f

=

a

b

∫ ( f + g) = a

3. megoldás: A megoldás helyességét ellenőrizze a 7.11. tétel újraolvasásával a 230. oldalon. 4. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 8.88. és 8.89. feladatát! 4. megoldás: A megoldásokat ellenőrizheti a Feladatgyűjtemény Megoldások a nyolcadik fejezethez c. rész azonos számú feladatainál.

52

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


a) Ossza fel a [0,2] intervallumot n egyenlő részre, és írja fel az

f : f (x ) = 4 − x 2 ,

x∈R

függvény ezen felosztáshoz tartozó S n és sn közelítő összegét! Igazolja, hogy lim S n = lim sn ! n→∞

n→∞

b) Válaszoljon az alábbi kérdésekre: Mit nevezünk egy [a, b] intervallumon értelmezett f függvény adott felosztáshoz tartozó Riemann-féle közelítő összegének? Mikor mondjuk, hogy az [a, b] intervallumon értelmezett f függvény Riemann-szerint integrálható? Adjon meg egy elégséges feltételt az [a, b] intervallumon értelmezett korlátos f függvény Riemann-integrálhatóságához! 5. megoldás: Az a) feladat megoldását ellenőrizheti a Feladatgyűjtemény Megoldások a nyolcadik fejezethez c. rész 8.90/a. feladatánál. A kérdésekre adható válaszok a tankönyv 7.4-es részében megtalálhatók.

Befejezés Pontozza a válaszokat úgy, hogy az a) kérdésre 15, a többi kérdésre pedig 5 pontot adjon hibátlan válasz, illetve megoldás esetén. A hibás megoldások 0 pontot érnek. Ha sikerült a 30 pontból legalább 15 pontot teljesítenie, akkor a tudása elégséges ahhoz, hogy részletesebben megismerkedjünk a deriválás „ellentett” műveletével, az integrálással.

Megoldások 1. megoldás: a) nem igaz; b) igaz; c) igaz. a). Egy adott beosztás finomságán (vagy normáján) a leghosszabb részintervallumának hosszát értjük. Márpedig újabb osztópontot úgy is választhatunk, hogy közben a leghosszabb részintervallum hossza nem változik. b) mert a korlátosság az integrálhatóság szükséges feltétele. c) Az f véges zárt intervallumon korlátos függvény. 2. megoldás: b

∫f a

b

∫ a

a

= −∫ f b

c

c

a

b

f =∫ f −∫ f

53

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

11. lecke Primitív függvény, határozatlan integrál, integrálási szabályok A lecke tanulmányozására fordítandó idő legalább 10 óra.

Mivel az integrálás a deriválás „ellentett” művelete, ezért a fejezet tanulmányozása előtt érdemes a Differenciálszámítás témát alaposan átismételni.

Bevezetés Ebben a témában megtanuljuk, hogy a deriváltfüggvény ismeretében az eredeti függvényt hogyan határozhatjuk meg. A differenciálás „fordított” műveleteként értelmezhető határozatlan integrált találóan „antideriváltnak” is szokás nevezni. A differenciálás és integrálás közötti kapcsolat felfedezése az analízis legfontosabb eredményei közé tartozik. A felismerés főként Newton és Leibniz érdeme. Az összetett függvény differenciálásánál tapasztalhatták, hogy végeredményként milyen bonyolult kifejezések is adódtak, így a primitív függvény meghatározása sem lesz túl egyszerű feladat. De még igen egyszerű függvények esetén sem biztos, hogy egyáltalán létezik a primitív függvényük. Olyan egyszerű függvényekre például, mint az

f : f (x ) = e − x , x ∈ R , vagy a g : g ( x ) = x 3 + 1, x ∈ [− 1,+∞[ függvény nem adhatók meg olyan elemi függvények, amelyeknek a megadott függvények a deriváltjaik. Az elmondottakból is látszik hogy az integrálásnál nem adható meg olyan általános szabály, amelynek segítségével minden elemi függvény primitív függvényének meghatározása lehetséges. A következőkben olyan elemi függvényeket, illetve módszereket tanulunk meg, amelyek segítségével a primitív függvény a nálunk kötelezően előírt típusú függvényekre meghatározható. 2

Az elméleti rész a tk. 204-217. oldalain olvasható. A témához található feladatokat Gazdasági matematika I. feladatgyűjtemény 8. és a Tanulási útmutató 8. fejezetében találja meg. A téma áttanulmányozása után Ön képes lesz

• • • •

meghatározni a primitív függvény fogalmát; megfogalmazni, hogy mit értünk egy függvény határozatlan integrálján; megadni az elemi függvények határozatlan integráljait és alkalmazni is ezeket; bizonyítani a (7.2., 7.3., 7.4., 7.5., 7.6. tételeket. Kezdjük a tanulást a célkitűzések egymás utáni, a tankönyv 7.1, 7.2. és 7.3-as témáinak a feldolgozásával.

A fogalmak elmélyítéséhez és az elemi függvények integráljai, valamint az integrálási szabályok alkalmazásának előkészítéséhez javasoljuk, hogy gondosan tanulmányozza a Gazdasági matematika feladatgyűjtemény 8.1. témájának mintafeladatait. 54

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Az előző leckében láthattuk, hogy a határozott integrál értéke egy konkrét szám. A primitív függvény – ha létezik – az a függvény, amelynek deriváltja az eredeti függvény. Ha a primitív függvényeket közös koordináta rendszerben ábrázoljuk, akkor azok egymáshoz képest el vannak tolva az y tengely mentén. Egy függvény határozatlan integrálja végtelen sok függvény – függvény halmaz –, amelyek csak konstansban különböznek egymástól. Feladatokban ezt a konstanst mindig szerepeltetnünk kell. Tehát ∫ f ( x )dx = F ( x ) + c ,

amelyre F ' ( x ) = f (x ) .

Először ellenőrizzük azt, hogy sikerül-e a primitív függvény felírása. 1. önellenőrző feladat

Írjuk fel az

f : f (x ) = 3 x ,

x∈R

függvény primitív függvényét! Gyakran fordulnak elő olyan feladatok, amelyekben a primitív függvénynek egy adott ponton kell áthaladnia. 2. önellenőrző feladat

Írjuk fel az

f : f (x ) = 2 x 2 − 4 x + 1,

x∈R

függvénynek azt a primitív függvényét, amely áthalad a P (3;5) ponton! Ezután gyakoroljuk annak a mindössze két integrálási szabálynak a használatát, amelyeket általános integrálási szabályoknak nevezünk. Ne felejtsük el, hogy az ∫ c ⋅ f = c ⋅ ∫ f és az

∫ ( f ± g) = ∫ f ± ∫ g

szabályok egymás után véges sokszor megismételhetők.


Alkalmazza az általános integrálási szabályokat a következő feladatban:

∫

x2 + 4x3 dx = ? x

Ezután célszerű az alapintegrálok gyakorlása egyszerű feladatokban. Ilyenkor az integrálás annyit jelent, hogy az integrandust azonos átalakítással úgy alakítjuk, hogy valamelyik (egy vagy több) alapintegrálra vezetjük vissza. A Feladatgyűjtemény feladataiból elég sokat megoldva láthatjuk, hogy az elemi függvények integráljaira történő visszavezetés nem mindig egyszerű.

55

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Feladatgyűjtemény 8.2., 8.6., 8.7., 8.10., 8.12., 8.13., 8.15., 8.22., 8.24-es számú feladatait! 4. megoldás: A helyes megoldások ellenőrizhetők a Feladatgyűjtemény Megoldások a nyolcadik fejezethez c. részének azonos számú feladatainál.

Az előzőekben gyakorolt általános integrálási szabályok a függvény konstansszorosának, illetve két függvény összegének és különbségének integrálására vonatkoztak. Nem tudunk azonban bármely szorzat-, hányados-, összetett, vagy inverz függvény integrálására szolgáló tételeket felállítani. A felsorolt függvények integrálását különböző integrálási módszerek ismeretében végezhetjük el. Az integrálási módszerek közül a mi tananyagunk összesen öt típust tárgyal. Ezért először ismerkedjünk meg alaposan ezekkel a módszerekkel, azaz tanuljuk meg a tankönyv 7.3., 7.4., 7.5., 7.6. és 7.7-es tételeit. Ne feledkezzünk meg a bizonyítások elsajátításáról sem. A feladatmegoldásoknál érdemes először a tételek alkalmazását egyenként gyakorolni. A tanult integrálási tételek közül kiemeljük az

∫ f [g (x )]⋅ g ' (x )dx = F [g (x ) + c] típust. Ezt

akkor alkalmazzuk, ha olyan szorzatot kell integrálni, amelynek az egyik tényezője összetett függvény, a másik tényezője pedig a belső függvény deriváltja. Ha a belső függvényt új változóval helyettesítjük, majd úgy integrálunk, mintha a belső függvényünk lett volna a független változó, akkor figyelnünk kell arra, hogy a helyettesítéssel integrálható függvényhez jussunk. Éppen ezért ezt a módszert helyettesítéses integrálnak is nevezzük. A másik kiemelésre szoruló tétel az

∫ f (x ) ⋅ g ' (x )dx = f (x ) ⋅ g (x ) − ∫ f ' (x ) ⋅ g (x )dx ú. n.

Parciális integrálás néven ismert eljárás. Ez csak olyan szorzatfüggvények integrálásánál alkalmazható, amely szorzatfüggvények egyik tényezője deriválható, a másik pedig integrálható. Emellett az alkalmazás csak akkor célszerű, ha az eredetileg meghatározandó integrál helyett a módszert alkalmazva egyszerűbb integrálási feladathoz, illetve véges sok lépésben alapintegrálhoz jutunk. Az alábbiakban megadunk három olyan szorzatfüggvény típust, amelyeknél a fenti tétel jól alkalmazható: Típus

f (x )

g' ( x )

Alkalmazások száma:

1.

Pn ( x )

a x , e x , sin x, cos x

n

Pn ( x )

1


2

2. 3.

log a x, ln x

függvények


Természetesen a táblázat bővebb is lehetne, ezért hangsúlyoznunk kell, hogy bemutatott táblázatban csak a mi tananyagunkban előírt típusokat szerepeltettük.

56

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Feladatgyűjtemény 8.36., 8.37., 8.43., 8.44., 8.47., 8.48., 8.50., 8.53., 8.54., 8.59., 8.64., 8.76., 8.77., 8.79., 8.83-as számú feladatait! 5. megoldás: A helyes megoldások ellenőrizhetők a Feladatgyűjtemény Megoldások a nyolcadik fejezethez c. részének azonos számú feladatainál. 6. önellenőrző feladat

Oldja meg a Tanulási útmutató 8. fejezet Gyakorló feladatok részének 1. és 2., illetve a Beküldendő feladatok c. rész első három feladatát. 6. megoldás: A megoldások a Tanulási útmutató Gyakorló feladatok megoldása, és Beküldendő feladatok megoldása c. részek azonos számú feladatainál a 79. és 80. oldalakon ellenőrizhetők.

Befejezés Pontozza a megoldásokat 5 vagy 0 ponttal aszerint, hogy hibátlan, vagy hibás végeredményt kapott. Így a Beküldendő feladatok 3. feladatának a) és b) részét külön pontozva maximum 30 pontot kaphat. Gratulálunk ha legalább 15 pontot ért el! Sikerült az integrálás műveletét úgy megtanulnia, hogy ezután az integrálszámítás gyakorlati alkalmazását is könnyedén elsajátítja majd.


3x ⋅ 3 x +c Keressük azt a függvényt, amelyre F ' ( x ) = f ( x ) . Így F ( x ) = 4 2. megoldás: Ilyenkor először a primitív függvényt írjuk fel: F : F ( x ) = 2

x3 − 2 x 2 + x + c, 3

x∈R,

majd a feltételt alkalmazva F (3) = 5 kiszámítjuk a c értékét. Így a feltételnek megfelelő

x3 F : F (x ) = 2 − 2 x 2 + x + 2, 3

x ∈ R primitív függvényt kapjuk.

3. megoldás: Tagonként integrálva a konstans nem tagonként kerül az integrálok mögé (bár így is kerülhetne). Ilyenkor a „c” a konstansok összegét jelenti. 3

5

x 2 + 4 x3 2 2 8 3 ∫ x dx =∫ x 2 dx + 4∫ x 2 dx = 5 x x + 7 x x + c .

57

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

12. lecke Beküldendő feladat II. A leckére 2 órát kell szánnia, ezen belül a feladatok megoldására 90 perc lenne az ideális idő. A továbbiakban a másoláshoz, tisztázáshoz szükséges még 30 perc.

Ha 90 perc kevés a megoldáshoz, ez azt jelenti, még gyakorolnia kell hasonló feladatokat, hogy a feladatsor kidolgozása lerövidüljön. Az egyes feladatok munkaidejét nem célszerű szétválasztani, érdemes őket folyamatosan, egymás után megoldani. Így derülhet ki az Ön számára, hogy valójában mennyi időre van szüksége a megoldáshoz.

Bevezetés A következő feladatsor megoldásával ellenőrizheti a 7-11. témákban elsajátított ismereteit. A feladatokat úgy választottuk ki, hogy valóban összefoglalják a megjelölt leckék anyagát. A feladatok és kérdések szintje megfelel a vizsgán támasztott követelményeknek. Ha valamelyik feladat megoldása gondot okozna, akkor javasoljuk, hogy lapozza fel a könyv és a példatár megfelelő fejezeteit, amelyeket újra tanulmányozva, már biztosan nem okoz gondot a megoldás. Figyeljen arra, hogy bár itt nem kértünk bizonyítást, mert az a könyvből kimásolható lenne, a vizsgán mindig szerepel legalább egy bizonyítás is. Az első két feladat a deriváltfüggvény meghatározása, teljes függvényvizsgálat, illetve a részleges függvényvizsgálat elsajátításának szintjét méri. Azért szerepelnek a megadott feladatokban ezek a kérdések összekapcsolódva, mert a gyakorlatban is egymásra épülnek. A teljes függvényvizsgálat valójában az Analízis témában eddig szerepelt fogalmak alkalmazásának összefoglalása is egyben. A harmadik és negyedik feladat a deriválást és „anti” derivált, azaz a határozatlan integrál alkalmazásával kapcsolatos. Mind a két műveletet készség szinten kell tudni alkalmazni, ez utóbbit csak a kijelölt feladattípusokra. Az utolsó két feladatban igyekeztünk azokat a kérdéseket kiemelni, amelyeket a kétváltozós függvények kapcsán feltétlenül tudni kell.

58

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


1. feladat a) Végezzen teljes függvényvizsgálatot a következő függvény esetében!

f : f (x ) = x 4 − 2 x 2 ,

x∈R

b) Adja meg az inflexiós pont fogalmát! 2. feladat a) Adott az f : f ( x ) = − x 3 + 2 x 2 − 2, x ∈ [− 4;6[ függvény. Határozza meg a lokális szélsőérték helyét és értékeit, a monotonitási szakaszokat és a konvex, konkáv tartományokat! b) Deriválja az f : f ( x ) =

3

x 2 + ln x 7 , 24 x + 2

g : g ( x ) = e x + 3 x + 3 (3 x + 4) , 2

4

x ∈ R + és a

x ∈ R függvényeket!

c) Mikor mondjuk, hogy egy függvény x0 ∈ D f belső pontban deriválható? 3. faladat Adottak az f : f ( x ) = x 2 ln x,

x ∈ R + és a g : g ( x ) =

3x 2 , x3 + 4

x∈R \

{ − 4} 3

függvények. a) Deriválja az f függvényt! b) Határozza meg a g függvény határozatlan integrálját! c) Mondja ki a azt a tételt, amelyet az integrál meghatározásakor alkalmazott! 4. feladat Végezze el az alábbi műveleteket:

x+3 x a) ∫ dx = x 3x

b)

∫ (2 + 3x )

c)

∫ (3x

2 3

2

dx =

)

− 2 x + 1 ⋅ ln xdx =

d) Adja meg azokat a tételeket, amelyeket a c) feladat megoldásánál felhasznált!

59

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


5. feladat Adott az f : f ( x; y ) = x 2 + 3 y 2 − 2 xy + 2 y + 7,

(x; y ) ∈ R 2

függvény.

a) Írja fel a P(− 1;1) ponthoz tartozó szintvonalait! b) Fogalmazza meg a kétváltozós függvény lokális szélsőérték létezésére vonatkozó elegendő feltételét! c) Állapítsa meg, hogy a g : g ( x; y ) = e 2 x y − x 2 y 3 , helyi szélsőértéke a P(− 1;0 ) pontban? 3

(x; y ) ∈ R 2

függvénynek létezik-e

6. feladat Adott az f : f (x; y ) = 2 x 2 y + 2 xy − 3 y 2

(x; y ) ∈ R 2

függvény.

a) Határozza meg a lokális szélsőértékeit! b) Adja meg az

f : f (x; y ) = e x + y + 3 x 2 + y 2 − ln ( x + 3 y ), 3

3

(x; y )∈ R + × R + , x > 3 y

függvény elsőrendű parciális deriváltjait! c) Mikor mondjuk, hogy egy kétváltozós függvény értelmezési tartományának egy pontjában folytonos? A megoldott feladatsort a tantárgy felvételekor meghatározott időpontra kell elküldenie szakértő tutorának. A tutor a feladatokat egy héten belül kijavítja, és visszajelzést küld Önnek. Kérjük, hogy a megoldásokat kék tintával írottan, jól olvasható formában készítse majd juttassa el postán a tutornak, vagy személyesen hozza be a Matematika-statisztika Tanszékre. Természetesen e-mailhez csatolt mellékletet is küldhet. A visszajelzésig se hagyja abba a tanulást! A dolgozat beadása után folytassa a megmaradt két téma folyamatos tanulmányozását!

60

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

13. lecke A Newton – Leibniz szabály, néhány területszámítási feladat, improprius integrál. A lecke tanulmányozására fordítandó idő legalább 10 óra.

Javasoljuk, hogy mielőtt az integrálszámítás alkalmazásába belekezd, még egyszer gondolja át a határozott integrál fogalmát és lényegét, illetve a határozatlan integrálról tanultakat!

Bevezetés Ebben a leckében bemutatjuk a határozott integrál kiszámítását a Newton-Leibniz szabály segítségével. Kitérünk arra, hogy mi a teendő, ha a megadott intervallum nem véges zárt intervallum, illetve ha a függvény nem korlátos a vizsgált intervallumon. Majd az integrálszámítás leggyakoribb alkalmazási lehetőségei közül ismerünk meg néhányat. Az elméleti rész a tk. 233-246. oldalain található. A témához kapcsolódó feladatokat Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény 8. és a Tanulási útmutató 8.3. fejezetében találja meg. A téma áttanulmányozása után Ön képes lesz:

• • • • •

kimondani és bizonyítani a Newton-Leibniz-féle szabályt; alkalmazni a Newton-Leibniz-féle képletet területszámítási feladatokban; alkalmazni az integrál kiterjesztését, az improprius integrált; használni az integrálást a térfogatszámításban; alkalmazni az integrálás kiterjesztését, a kettős integrált. Kezdjük a tanulást az első két célkitűzés egymás utáni, a tankönyv 7.7. és 7.8-as témáinak a feldolgozásával.

Ne feledkezzen meg arról, hogy a Newton-Leibniz tétel bizonyítását is tudni kell! Az elméleti rész megtanulása után tanulmányozza a Feladatgyűjtemény 8.3. Határozott integrál alkalmazásai c. fejezetének kidolgozott példáit. Kezdjük az anyag elsajátításának ellenőrzését különböző határozott integrálok NewtonLeibniz-formula segítségével történő kiszámításával. 1. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 8.92., 8.94., 8.96., 8.100., 8.105., 8.106. és 8.107-es feladatait! 1. megoldás: A megoldásokat ellenőrizheti a Feladatgyűjtemény Megoldások a nyolcadik fejezethez c. rész azonos számú feladatainál.

61

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Az integrál geometriai értelmezéséből következik, hogy véges zárt intervallumon korlátos b

függvény esetén az

∫ f (x )dx megadja a függvény grafikonja, az

x = a és x = b egyenesek

a

és az x tengely által közrefogott területet, ha f ≥ 0 ezen az intervallumon. Ha f ( x ) < 0 az b

adott intervallumon, akkor

∫

f ( x )dx < 0 lesz, így a területet az

b

∫ f (x )dx

adja.

a

a

Ezekből az összefüggésekből, valamint az integrálás additív tulajdonságából következik, hogy ha az f függvény az adott intervallumon pozitív és negatív értékeket is felvesz, akkor a területet az x tengely fölötti és alatti területek összege adja. 2. önellenőrző feladat

Számítsa ki az

f : f (x ) = x 2 ,

x∈R

függvény görbe alatti területét a [0,1] intervallumon! 3. önellenőrző feladat

Számítsuk ki az

f : f (x ) = x 2 − 1,

x∈R

függvény görbe alatti területét a [0,3] intervallumon! Gyakran szükség van arra, hogy két függvény grafikonja által közbezárt területet számítsunk ki. 4. önellenőrző feladat

Oldjuk meg a Feladatgyűjtemény 8.129., 8.135. és 8.137-es feladatait! 4. megoldás: A megoldások a Feladatgyűjtemény Megoldások a nyolcadik fejezethez c. rész azonos számú feladatainak megoldásainál ellenőrizhetők. Folytassuk a téma feldolgozását a harmadik célkitűzés megvalósításával, a tankönyv 7.9. Improprius integrál c. részének feldolgozásával.

Ez a határozott integrál kiterjesztésével foglalkozik. Először gyakoroljuk azt az esetet, amikor az integrációs intervallum végtelen. 5. önellenőrző feladat ∞

Számítsuk ki a következő improprius integrált:

1

62

1

∫x

3

dx = !

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Ezután foglalkozzunk azzal az esettel, amikor a megadott függvény nem korlátos az [a, b] intervallumon. 6. önellenőrző feladat 4

Számítsa ki az

1

∫ (x − 2)

2

dx improprius integrált!

2

Végül térjünk rá az utolsó két célkitűzés megvalósítására, a tankönyv 7.10. és 7.11-es témáinak feldolgozására.

Először foglalkozzunk a forgástest térfogatának meghatározásával. Legyen f az [a, b] intervallumon folytonos függvény. Forgassuk meg az x tengely körül. Határozzuk meg annak a forgástestnek a térfogatát, melyet az adott intervallumon vett függvénygörbe és a két ordináta szakasz körülforgatásával kapunk. 7. önellenőrző feladat

Legyen adott az f : f ( x ) = 3 x,

x ∈ [0,5]

függvény. Forgassuk meg az f grafikonját az x tengely körül! Állapítsa meg, hogy milyen alakzatot kapunk és mekkora lesz a keletkezett forgástest térfogata? 7. megoldás: A megoldást ellenőrizheti a Tanulási útmutató 8. fejezet Gyakorló feladatok megoldásai c. rész 7. feladatának megoldásánál a 79. oldalon.

Végül gyakoroljuk a kettős integrált! 8. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 8.150., 8.152. és 8.154-es feladatait! 8. megoldás: A megoldások ellenőrizhetők a Feladatgyűjtemény Megoldások a nyolcadik fejezethez c. rész azonos számú feladatainak megoldásainál. 9. önellenőrző feladat

Oldja meg a Tanulási útmutató Gyakorló feladataiból a 4., 5., 6., és a Beküldendő feladatok közül az 5. és 6. feladatokat! 9. megoldás: Ellenőrizze a megoldásokat a Tanulási útmutató Gyakorló- és beküldendő feladatok megoldásai c. részeinek azonos számú feladatainál a 79. és 80. oldalakon.

63

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Befejezés Pontozza az egyes feladatokra adott megoldásokat 5, illetve hibás megoldás esetén 0 ponttal. Gratulálunk ahhoz, ha a pontszám legalább 51%-át sikerült elérnie. Ezután elkezdhetjük egy egészen más téma, a mátrixok megismerését.

Megoldások 2. megoldás: 1

⎡ x3 ⎤ 1 T = ∫ x dx = ⎢ ⎥ = . ⎣ 3 ⎦0 3 0 1

2

3. megoldás: 1

T=

∫ (x 0

2

3

)

(

)

− 1 dx + ∫ x 2 − 1 dx = 1

2 2 1 +6 =7 . 3 3 3

5. megoldás: ∞

b

b

1⎞ 1 1 1 ⎡ 1 ⎤ ⎛ 1 dx = lim ⎢− x −2 ⎥ = lim⎜ − 2 + ⎟ = . 3 ∫1 x 3 dx = lim ∫ b→∞ x b→∞ 2⎠ 2 ⎦1 b→∞⎝ 2b ⎣ 2 1

6. megoldás: 4

4

4

1 1 1 ⎤ ⎡ ⎛ 1 1⎞ = lim⎜ − + ⎟ = +∞ ezért az dx = lim ⎢− 2 ∫2 (x − 2)2 dx = lim ∫ ⎥ ε →0 ε →0 ⎣ x − 2 ⎦ 2+ε ε →0 ⎝ 2 ε ⎠ 2 +ε ( x − 2 ) integrál divergens.

64

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

14. lecke Mátrixaritmetika. Mátrixok gazdasági alkalmazása. Az anyag tanulmányozására fordítandó idő legalább 10 óra.

Mielőtt az anyag tanulásába kezd, javasoljuk, ismételje át a középiskolában a vektorokról, a vektorokkal történő műveletekről, illetve műveleti tulajdonságokról tanultakat.

Bevezetés A gazdasági élet szinte minden területén dolgoznak mért, számolt vagy képzelt adatokkal, azaz számok sokaságával. Egy-egy jelenség vizsgálatához gyakran szükséges a rendelkezésre álló adatok csoportosítása, táblázat formájában történő elrendezése. Különösen igaz ez a statisztikában, ahol a vizsgálatok eredményét leggyakrabban számtáblázatokban közlik. A matematikában a téglalap alakú számtáblázatot mátrixnak nevezzük. Ebben a témában megismerkedünk a mátrix fogalmával, a mátrixokkal végezhető műveletekkel és azok tulajdonságaival. A mátrixok gazdasági alkalmazása c. mellékletrészben kiemelünk egy példát a mátrixok széles gazdasági hasznosíthatóságai közül, hogy alátámasszuk a téma fontosságát gazdasági élet területén való alkalmazásokban. Az elméleti és gyakorlati rész a Mellékletben olvasható. Ha bővebben akar tájékozódni, akkor javasoljuk, hogy tanulmányozza Libor Józsefné dr. – Hanich József: Operációkutatás c. főiskolai jegyzet, Operációkutatás példatár és Operációkutatás Tanulási útmutató első fejezeteit (Student Kiadó, Szolnok, 2000.). A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

• • • • • • • •

meghatározni egy új objektum, a mátrix fogalmát; általánosítani a középiskolában tanult vektorfogalmat, a sor és oszlopvektorokkal, mint speciális mátrixokkal; egyéb speciális mátrixokat felírni; megadni a mátrixok közötti nagyságrendi relációkat; feladatokban alkalmazni a mátrixok közötti műveleteket; felsorolni a mátrixok műveleti tulajdonságait; mátrixot transzponálni; megmutatni egy konkrét összetett gazdasági helyzetben a mátrixok gyakorlati hasznosíthatóságát. Kezdjük a tanulást az első három célkitűzés egymás utáni, a Melléklet 1-2. témáinak a feldolgozásával.

Ez a rész a számokból alkotott mátrixokkal foglalkozik. Minden számnak – a mátrixaritmetikában elemnek nevezzük, és általános jelölése aik – fontos jellemzője, hogy

65

Szolnoki Főiskola


⎡ a11 ⎢a hányadik sorban és hányadik oszlopban található. Az A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣am1

Távoktatás

K a1n ⎤ a22 K a2 n ⎥⎥ = [aik ] , ⎥ ⎥ am 2 K amn ⎦ i = 1,2, K , m, és k = 1,2,K, n mátrixnak m sora és n oszlopa van, ezért m×n típusú mátrixnak is nevezzük. a12


Adja meg az ⎡ 2 − 1 4⎤ A = ⎢⎢ 5 3 0⎥⎥ ⎢⎣− 9 3 7 ⎥⎦

mátrix második sorának harmadik elemét, majd nevezze meg a felírt mátrix típusát! 2. önellenőrző feladat

Írjon fel egy harmadrendű négyzetes mátrixot, egy null-mátrixot, egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus mátrixot! 3. önellenőrző feladat

Írjunk fel egy 3-elemű zérusvektort, minden 3-elemű egységvektort és egy 3-elemű összegzővektort! Javasoljuk, hogy a következő négy célkitűzést tanulmányozza egy blokkban, egymás után. Figyeljen arra, hogy a mátrixok közötti relációk, valamint a műveletek közül a mátrixok összeadása és kivonása csak azonos típusú mátrixok esetén értelmezhetők. Hasonlóan feltételhez van kötve a mátrixok szorzása is. Az A ⋅ B szorzatot csakis akkor tekintjük értelmezettnek, ha az A mátrix oszlopainak száma megegyezik a B mátrix sorainak a számával. Fontos kiemelnünk azt is, hogy a kommutatív tulajdonság a szorzásra általában nem teljesül, azaz A ⋅ B ≠ B ⋅ A . Vegyük észre végül, hogy a mátrixok általános szorzási szabálya magában foglalja a vektorok skaláris szorzását is.


Hasonlítsa össze nagyságrendileg az

⎡1 − 3⎤ ⎡6 0⎤ ⎡1 − 3⎤ A=⎢ ,a B=⎢ és a C = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣2 5 ⎦ ⎣7 5 ⎦ ⎣2 5 ⎦ mátrixokat, majd végezze el az A − C műveletet! Az A − C művelet elvégezhető, mert a mátrixok azonos típusúak és A − C = 0 .

66

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Végezze el az

5 −3 2 1 3 5 3 −4

⎡4 ⎡ 1 5 7 − 8⎤ ⎢− 6 A = ⎢⎢3 2 − 2 5 ⎥⎥ és a B = ⎢ ⎢7 ⎢⎣4 3 4 1 ⎥⎦ ⎢ ⎣2

1⎤ 0⎥⎥ 6⎥ ⎥ 0⎦

mátrixokkal az A ⋅ B és a B ⋅ A szorzásokat, amennyiben lehetséges, majd képezze az A mátrix transzponáltját! Végül tanulmányozzuk a mátrixok gyakorlati alkalmazását a Melléklet 8-11. oldalain. 6. önellenőrző feladat

Tegyük fel, hogy egy üzem három erőforrás segítségével három különböző terméket állít elő. A termékegységre vonatkozó ráfordításokat, a rendelkezésre álló erőforrás mennyiségeket, az erőforrások egységárait és a gyártandó mennyiségeket az alábbi táblázat tartalmazza: Erőforrások

1. termék 2. termék 3. termék Erőforrások mennyisége

E1

3

0

1

250

E2

2

5

3

400

E3

4

2

2

500

Gyártandó mennyiség

40

60

25

A termékek egységárait tartalmazó vektor legyen a∗ = [7,11,10] (Ft/egység). Képezze az alábbi szorzatokat és magyarázza meg a jelentésüket:

A ⋅ p = ?; a ∗ ⋅ A = ?; k − A ⋅ p = ?; a ∗ ⋅ A ⋅ p = ? Pontozza a megoldásokat minden válasznál úgy, hogy 5 pontot adjon a kijelölt mátrixművelet helyes elvégzésére, és 3 pontot a jelentés megfogalmazására. Hibás megoldásra, illetve válaszra most is 0 pont jár. Ha sikerült legalább 16 pontot elérnie, akkor gratulálhatunk ahhoz, hogy ebből a témából is elérte a szükséges tudásszintet.

Befejezés Ezzel végére ért a Gazdasági matematika I. tárgy tananyagának, gratulálunk teljesítményéhez! Reméljük, a sok gyakorlás eredményeképpen sikeres vizsgát tesz majd!

67

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


a23 = 0, és a mátrix 3×3 típusú. 2. megoldás:

⎡ 2 − 1 4⎤ ⎢ Az A = 5 3 0⎥⎥ mátrix harmadrendű négyzetes (kvadratikus) mátrix, mert sorainak ⎢ ⎢⎣− 9 3 7 ⎥⎦ és oszlopainak száma megegyezik és 3×3 típusú .

⎡0 0 0 ⎤ ⎥ mátrix null-mátrix vagy zérus-mátrix, mert minden eleme 0. 0 0 0 ⎣ ⎦ 8 0 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ A B = 0 9 1 mátrix szimmetrikus mátrix, mert elemeire teljesül, hogy aik = aki ⎢ ⎥ ⎢⎣2 1 3⎥⎦

A 0=⎢

minden i és k esetén, azaz az elemek a főátlóra szimmetrikusan helyezkednek el.

⎡0 0 − 2⎤ ⎢ AC= 0 0 1 ⎥⎥ mátrix ferdén szimmetrikus mátrix, mert elemeire teljesül, hogy ⎢ ⎢⎣2 − 1 0 ⎥⎦ aik = − aki minden i és k esetén, azaz az elemek a főátlóra szimmetrikusan helyezkednek el. 3. megoldás: A 0 = [0,0,0] vektor 3-elemű, nullvektor, mert minden eleme nulla. A 3-elemű vektorok ∗

között három különböző egységvektor található, melyek az e1 = [1,0,0] , e2 = [0,1,0] és ∗

∗

e3 = [0,0,1] vektorok. Az 1 = [1,1,1] 3-elemű összegzővektor minden eleme 1. ∗

4. megoldás:

A = C , mert azonos típusúak, és a megfelelő helyeken megegyeznek az elemek. Az A ≤ B, és C ≤ B, mert azonos típusúak és a megadott reláció elemről elemre fennáll. 5. megoldás: Az A ⋅ B szorzás elvégezhető, mert a szorzandó mátrix oszlopainak száma megegyezik a

⎡ 7 12 69 43 ⎤ ⎢ ⎥ szorzómátrix sorainak számával és A ⋅ B = − 4 28 − 37 − 9 . ugyanakkor B ⋅ A ⎢ ⎥ ⎢⎣ 28 41 7 28 ⎥⎦ szorzás nem végezhető el, mert a szorzás elvégezhetőségének feltétele nem áll fenn, hiszen a B mátrixnak négy oszlopa, az A mátrixnak pedig három sora van.

3 ⎡1 ⎢5 2 ∗ Az A mátrix transzponáltja A = ⎢ ⎢ 7 −2 ⎢ ⎣− 8 5

4⎤ 3⎥⎥ lesz, amelyet úgy kaptunk, hogy a 4⎥ ⎥ 1⎦

megadott mátrix sorait felcseréltük az oszlopaival.

68

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

6. megoldás:

⎡145 ⎤ A ⋅ p = ⎢⎢455⎥⎥ , jelentése az egyes erőforrásokból felhasznált mennyiség. ⎢⎣330⎥⎦

a ∗ ⋅ A = [83, 75, 60] , jelentése az egyes termékek egy egységének előállításához szükséges erőforrásköltség, más szóval fajlagos erőforrásköltség.

⎡ 105 ⎤ k − A ⋅ p = ⎢⎢− 55⎥⎥ , jelentése az egyes erőforrásokból fel nem használt mennyiség. ⎣⎢ 170 ⎦⎥ Mint látható, a tervezett program a rendelkezésre álló erőforrás-kapacitással nem valósítható meg, mert a második erőforrás kapacitása nem elegendő. a ∗ ⋅ A ⋅ p = 9320 , amely szám a program termelési összköltsége. Igaz, feltéve, hogy az f függvény értelmezési tartományának valamely I intervallumán kétszer differenciálható.

69

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Melléklet A mátrixaritmetika elemei A mátrix egy téglalap alakú táblázat, amelybe számokat írunk. Ha a táblázatnak m sora és n oszlopa van, akkor m x n-es m szer n-es típusú mátrixról beszélünk. Ha egy mátrixnak csak egy sora van, akkor gyakran sorvektornak, ha pedig csak egy oszlopa van, akkor oszlopvektornak tekinthetjük. Egy m x n-es mátrix általános alakja:

⎛ a 11 a 12 ⎜ ⎜ a 21 a 22 ⎜a a 32 A = ⎜ 31 ⎜ . ⎜ . ⎜ ⎜a ⎝ m1 a m2

. . .

. . .

. . .

.

.

.

a 1n ⎞ ⎟ a 2n ⎟ a 3n ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ a mn ⎟⎠

A mátrixot alkotó a ij elemekről beszélünk. Ebben a jelölési módban i mindig a sorszámot, j pedig az oszlopszámot jelöli.

i = 1, m,

j = 1, n.

( )

Egy m x n-es mátrixot gyakran (a ij )m x n -el vagy egyszerűen a ij -vel jelöljük, ha a típusa nyilvánvaló, vagy lényegtelen. Példa1: Legyenek adottak az

⎛ 3 − 2⎞ ⎟⎟, A = ⎜⎜ ⎝5 8 ⎠

(

B = − 1; 2; 3; 16

)

⎛−1 ⎜ ⎜8 C=⎜ 7 ⎜⎜ ⎝1

2⎞ ⎟ 5⎟ 6⎟ ⎟ 1 ⎟⎠

mátrixok. A 2x2-es, B 1x4es és C 4x2-es. Továbbá vegyük észre, hogy a 21 = 5, c 32 = 6, valamint azt, hogy b 23 nincs definiálva, hiszen B-nek csak egy sora van. Példa 2:

( )4 x 3 mátrixot, amelynek elemei

Írjuk fel azt a 4 x 3-as A = a ij

a ij = 2i − j (ebben az esetben, egyértelműen következik, hogy i = 1, 4

és

j = 1, 3 Melléklet - 1

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Megoldás: Az A mátrixnak 4 x 3 = 12 eleme van. Mivel a ij = 2i − j ,

a 11 = 2x1 - 1 = 1, a 12 = 2x1 − 2 = 0, a 13 = 2x1 − 3 és így tovább. ⎛ 2 x1 − 1 ⎜ ⎜ 2 x2 − 1 A teljes mátrix a következő: A = ⎜ 2 x3 − 1 ⎜ ⎜ 2 x4 − 1 ⎝

2 x1 − 2 2 x1 − 3 ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ 2 x 2 − 2 2 x 2 − 3⎟ ⎜ 3 = 2 x 3 − 2 2 x3 − 3 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ 2 x 4 − 2 2 x 4 − 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 7

0 − 1⎞ ⎟ 2 1⎟ 4 3⎟ ⎟ 6 5 ⎟⎠

Def. 1: Ha m = n, négyzetes mátrixról beszélünk. Ilyen esetben a következő elemek: a 11 , a 22 , a 33, ... a nn a mátrix főátlóját, diagonálisát alkotják. Példa 3: Tekintsük az alábbi általános lineáris egyenletrendszert:

a 11x1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b1 a 21x 2 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2 ................................................. a m1x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m amelyben m egyenlet és n ismeretlen van. Az x-ek együtthatóit természetes módon egy m x n-es mátrixba írhatjuk, ezt együtthatómátrixnak nevezzük. Következik egy egyenletrendszer és a megfelelő együtthatómátrix:

3x1 − 2x 2 + 6x 3 = 5 5x1 + x 2 + 2x 3 = −2

⎛ 3 − 2 6⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 5 1 2 ⎝ ⎠

Melléklet - 2

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Műveletek mátrixokkal Eddig a mátrixokat téglalap alakú táblázatoknak tekintettük, amelyek alkalmasak információ tárolására. A mátrixok bevezetésének igazi célja azonban az, hogy olyan hasznos szabályok vannak a velük kapcsolatos műveletekre, amelyek (bizonyos mértékig) megfelelnek a már ismert algebrai szabályoknak. Először megadjuk a mátrixok egyenlőségének definícióját. Def. 2:

( )m x n és B = (bij )m x n két m x n-es mátrix, akkor A és B egyenlők, ha minden i és

Ha A = a ij

j-re: a ij = b ij . Jelölés: A = B

Másképpen fogalmazva: A és B egyenlők, ha méreteik megegyeznek, és ha a megfelelő elemeik egyenlők. A ≠ B, ellenkező esetben. Példa 4:

⎛3 ⎝ 2t

Mikor igaz, hogy : ⎜⎜

t − 1⎞ ⎛ t 2v ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟? u ⎠ ⎝ u + 1 t + w ⎟⎠

Megoldás: Az egyenlőség szükséges feltételei, 3 = t, t – 1 = 2v, 2t = u + 1 ás u = t + w. Az egyenleteket megoldva azt kapjuk, hogy a két mátrix pontosan akkor egyenlő, ha:

⎛ 3 2⎞ ⎟⎟ . ⎝ 6 5⎠

t= 3, v = 1, u = 5 és w = 2. Ekkor mindkét mátrix az alábbival egyenlő: ⎜⎜

Mátrixok összeadása és skalárral való szorzása. Def. 3:

( )m x n és (a ij + bij )m x n

Ha A = a ij

B = (b ij )m x n , akkor az A és B összege egy m x n-es mátrix A + B = (a ij )m x n + (b ij )m x n = (a ij + b ij )m x n = (c ij )m x n

ahol c ij = a ij + b ij Tehát két azonos típusú mátrixot úgy adunk össze, hogy a megfelelő elemeiket összeadjuk. Def. 4: Ha α ∈ R , akkor,

( )m x n = (αa ij )m x n

α x A = α a ij

Tehát egy mátrixot úgy szorzunk egy skalárral, hogy mindegyik elemét megszorozzuk az illető skalárral. Melléklet - 3

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Példa 5:

⎛ 1⎞ ⎟ B műveleteket, ha: ⎝ 2⎠

Végezze el az A + B, 3A és ⎜ −

0⎞ ⎛1 2 ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ 4 − 3 − 1⎠

és

⎛ 0 1 2⎞ ⎟⎟ B = ⎜⎜ ⎝ 1 0 2⎠

Megoldás:

⎛1 3 2⎞ ⎟⎟, A + B = ⎜⎜ 5 3 1 − ⎠ ⎝

0 ⎞ ⎛3 6 ⎟⎟, 3A = ⎜⎜ 12 9 3 − − ⎠ ⎝

⎛ ⎜ 0 ⎛ 1⎞ ⎜ − ⎟B = ⎜ 1 ⎝ 2⎠ ⎜⎜ − ⎝ 2

−

1 2

0

⎞ − 1⎟ ⎟ − 1⎟⎟ ⎠

Megjegyzés: A (-1) A mátrixot általában – A jelöli, és két azonos méretű A és B mátrix különbsége A – B megegyezik az A + (-1)B összeggel. Def.5: A –A mátrix ellentettje az A mátrixnak. Def. 6: Átlós vagy diagonális mátrix az olyan négyzetes mátrix, amelynek a főátlóján kívül összes eleme zérus. Def. 7: Nullmátrix az olyan mátrix, amelynek minden eleme zérus, jelölése: 0. Def. 8: Egységmátrix az olyan átlósmátrix, amelynek minden főátlóbeli eleme 1, a többi eleme zérus, jelölése: E. Def. 9: Ha az m x n

A1 , A 2 ,...A k

típusú mátrixokat rendre megszorozzuk a λ1 , λ 2 , λ 3 ,...λ k skalárokkal és az így

nyert szorzatokat összeadjuk, akkor a λ1A1 + λ 2 A 2 + λ 3 A 3 + ... + λ k A k kifejezésnek megfelelő m x n típusú mátrixot az adott mátrixok lineáris kombinációjának nevezzük.

Mátrixok összeadásának és skalárral való szorzásának szabályai: (A + B) + C = A + (B + C) A+B=B+A A+0=A (α + β)A = αA + βA α(A + B) = αA + αB

Melléklet - 4

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Mátrixok szorzása A mátrixok szorzásának definíciója korántsem nyilvánvaló. A definíciót a lineáris egyenletrendszerek átalakításaival motiválhatjuk (igazolhatjuk). Csak olyan mátrixok esetén definiáljuk a szorzatot, amikor az első szorzótényezőként szereplő mátrix oszlopainak száma megegyezik a második szorzótényezőként szereplő mátrix sorainak számával. Def. 10:

( )m x n

Az A = a ij

B(b ij )n x p mátrixok C = AB szorzata az m x p típusú C(c ij )m x p

és

mátrix, amelynek i-edik sorában és j-edik oszlopában álló eleme:

c ij = a i1b1j + a i2 b 2j + ... + a in b nj

az A mátrix i-edik sorának és a B mátrix j-edik oszlopának skaláris szorzata.

AB ≠ BA

Fontos észrevétel:

Mátrixok szorzását a következő képen szemléltethetjük: ⎛ a 11 ⎜ ⎜ . ⎜ . ⎜ ⎜ . ⎜ ⎜ a i1 ⎜ . ⎜ ⎜ . ⎜ . ⎜⎜ ⎝ a m1

.

.

.

.

.

.

a 1k . . . a ik . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

a mk

⎞⎛ b 11 ⎟⎜ ⎟⎜ . ⎟⎜ . ⎟⎜ ⎟⎜ . ⎟⎜ b ⎟⎜ k1 ⎟⎜ . ⎟⎜ ⎟⎜ . . ⎟⎜ . ⎟⎜ a mn ⎟⎠⎜⎝ b n1 a 1n . . . a in . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

b 1j . . . b kj . . . b nj

.

.

.

.

.

.

.

.

.

b 1p ⎞⎛ c 11 ⎟⎜ . ⎟⎜ . . ⎟⎜ . ⎟⎜ . ⎟⎜ . ⎟⎜ b kp ⎟⎜ c i1 . ⎟⎜ . ⎟⎜ . ⎟⎜ . . ⎟⎜ . ⎟⎜ b np ⎟⎠⎜⎝ c m1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

c 1j . . . c ij . . . c mj

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Példa 6:

⎛ 3 − 4⎞ ⎜ ⎟ és B=⎜ 1 5 ⎟ , akkor A és B szorzat a következő: ⎜− 2 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1x3 + 2 x1 + 1x(− 2 ) 1x(− 4 ) + 2 x5 + 1x 2 ⎞ ⎛ 3 8 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ AB = ⎜⎜ ⎝ 4 x3 + 0 x1 + 2 x(− 2 ) 4 x(− 4 ) + 0 x5 + 2 x 2 ⎠ ⎝ 8 − 12 ⎠

⎛1 2 1⎞ ⎟⎟ Ha A = ⎜⎜ ⎝ 4 0 2⎠

Példa 7: Tekintsük az alábbi A és B mátrixokat:

Melléklet - 5

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ c mp ⎟⎠ c 1p . . . c ip . . .

Szolnoki Főiskola


⎛ 0 1 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 3 1⎟ ⎜ 4 − 1 6⎟ ⎝ ⎠

Távoktatás

⎛ 3 2⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 1 0 ⎟ Számítsa ki az AB szorzatot! ⎜-1 1⎟ ⎝ ⎠

és

Megoldás: Az A mátrix 3x3-as, B mátrix 3x2-es, így AB 3x2-es mátrix:

⎛ 0 1 2 ⎞⎛ 3 2 ⎞ ⎛ − 1 2 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = ⎜ 2 3 1 ⎟⎜ 1 0 ⎟ = ⎜ 8 5 ⎟ ⎜ 4 − 1 6 ⎟⎜ − 1 1 ⎟ ⎜ 5 14 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Mátrixok szorzásának szabályai: (AB)C = A(BC) (asszociativitás) A(B + C) = AB + AC (balról disztributivitás) (A + B)C = AC + BC (jobbról disztributivitás)

Mátrixok hatványai Def. 11: Ha A négyzetes mátrix, akkor az asszociativitás értelmében, írhatjuk: 2

3

AA helyett: A , AAA helyett : A stb. Általánosítva:

A n = AAA...A (n - szer) Példa 8:

⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟. Számítsa ki az A 2 és A 3 mátrixokat. ⎝0 1 ⎠

Legyen A = ⎜⎜

⎛ 1 − 2⎞ ⎟⎟, A 2 = AA = ⎜⎜ ⎝0 1 ⎠

⎛ 1 − 3⎞ ⎟⎟, A 3 = A 2 A = ⎜⎜ ⎝0 1 ⎠

⎛ 1 − 4⎞ ⎟⎟ A 4 = A 3 A = ⎜⎜ ⎝0 1 ⎠

Def. 12: Azt a mátrixot, amelyet egy A mátrixból a sorok és oszlopok felcserélésével képezünk, az A mátrix transzponáltjának nevezzük. Ha egy m x n-es mátrix transzponáltját képezzük, A’ n x m-es mátrixot kapunk. (Szokásos jelölés még: A*, A T ) Melléklet - 6

Szolnoki Főiskola

⎛ a 11 a 12 ⎜ ⎜ a 21 a 22 ⎜ . A=⎜ ⎜ . ⎜ . ⎜ ⎜a ⎝ m1 a m2

( )

A' = a ij' ,


.

.

.

.

.

.

.

.

.

ahol

a 1n ⎞ ⎛ a 11 ⎟ ⎜ a 2n ⎟ ⎜ a 12 ⎟ ⎜ . ⎟ ⇒ A' = ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎜a a mn ⎟⎠ ⎝ 1n

a ij' = a ji .

Az

i

és j

Távoktatás

a 21

.

.

.

a 22

.

.

.

a 2n

.

.

.

a m1 ⎞ ⎟ a m2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ a mn ⎟⎠

indexeket felcseréltük.

Példa 9:

⎛−1 0 ⎞ ⎜ ⎟ Legyen A = ⎜ 2 3 ⎟, ⎜ 5 − 1⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 - 1 0 4⎞ ⎟⎟ Határozza meg A’ és B’-t! B = ⎜⎜ 2 1 1 1 ⎝ ⎠

Megoldás:

⎛−1 2 5 ⎞ ⎟⎟, A' = ⎜⎜ ⎝ 0 3 − 1⎠

⎛1 ⎜ ⎜-1 B' = ⎜ 0 ⎜⎜ ⎝4

2⎞ ⎟ 1⎟ 1⎟ ⎟ 1 ⎟⎠

A transzponálás szabályai: (A’)’ = A (A + B)’ = A’ + B’ (αA)’ = αA’ (AB)’ = B’A’

Melléklet - 7

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Gyakorlati alkalmazás A gazdasági életben igen gyakran van szükség sok adatot felhasználó számításra. Ezen esetekben áttekinthetőbb és egyszerűbb a munka a mátrixaritmetika alkalmazásával. A továbbiakban csak egy alkalmazási területet mutatunk be, jelezve, hogy számos gazdasági összefüggést lehet mátrix-szimbólumok segítségével igen egyszerű módon leírni.

Bevezető példa: Egy üzem 3 erőforrás (ez lehet: alapanyag, energia, stb.) felhasználásával 4 féle terméket állít elő. Az adott termékfajták 1 egységének előállításához szükséges erőforrások mennyiségét - melyet technológiai együtthatónak nevezünk - az alábbi táblázat tartalmazza. Szerepel ezen túlmenően a rendelkezésre álló készlet - kapacitás - ezen erőforrásokból, a tervezett termelési mennyiség az egyes termékekből - program -, az erőforrások egységára, valamint a termékek eladási egységára: erőforrás\termék

I.

II.

III.

IV.

kapacitás

egységár

1. 2. 3.

2 1 3

1 0 4

2 1 1

3 2 0

600 300 450

35 20 40

program eladási ár

40 150

50 160

90 200

80 180

A fenti adatok vizsgálatakor sok-sok kérdés felmerülhet, ezek közül a leggyakrabban előfordulókat nézzük: 1. Az üzem végre tudja-e hajtani a tervezett termelési programját? Más szavakkal: elegendő-e a rendelkezésre álló készlet az erőforrásokból a termelés végrehajtásához? 2. A termelés végrehajtása után mennyi a megmaradt erőforrások értéke ? 3. Mekkora a termelés költsége? 4. Mekkora az üzem nyeresége vagy vesztesége a termékek értékesítése után? Mielőtt válaszolnánk a kérdésekre, nézzük meg az adatainkat hogyan lehet mátrixok segítségével felírni, milyen speciális elnevezéseket használunk? A technológiai együtthatókból megalkothatjuk az úgynevezett technológiai mátrixot. Ennek annyi sora lesz, amennyi erőforrásunk van, és annyi oszlopa amennyi a termékek száma. (Adott példánkban 3x4-es mátrix.) Mit is jelentenek a benne szereplő elemek? Az A technológiai mátrix aij eleme megmutatja, hogy a j. termék egy egységének előállításához hány egység kell az i. erőforrásból. (Példánkban pl. az a32 = 4 azt jelenti, hogy a II. termék 1 egységének előállításához a 3. erőforrásból 4 egység szükséges. ⎡ 2 1 2 3⎤ A technológiai mátrixunk: A= ⎢⎢1 0 1 2 ⎥⎥ . ⎢⎣ 3 4 1 0⎥⎦ Ha pl. a harmadik oszlop adatait nézzük, azt látjuk belőle, hogy a III. termék egy egységének előállításához kell 2 egység az 1., 1 egység a 2., és 1 egység a 3. erőforrásból.) Az erőforrásokból rendelkezésre álló mennyiséget az ún. kapacitás-vektorral adjuk meg, jelölése: k, jelentése: az i. komponense megmutatja, hogy az i. erőforrásból hány egység áll rendelkezésre. (Példánkban pl. k2 = 300, vagyis a 2. erőforrásból 300 egységet tudunk felhasználni. Kapacitásvektorunk: k = [600;300;450]* .)

Melléklet - 8

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Erőforrásaink egységárát az árvektor ( a ) tartalmazza, i. komponense megmutatja, hogy az i. erőforrásnak mennyi az egységára. (Példánkban: a = [35; 20; 40]*, vagyis pl. az 1. erőforrás egységára 35 pénzegység.) A termékekből előállítandó mennyiséget az ún. programvektor (p*) tartalmazza. Az i. komponense megmutatja, hogy az i. termékből hány egység előállítását tervezik. (Példánkban: p* = [40; 50; 90; 80] , vagyis pl. a IV. termékből 80 egységet akarnak előállítani). Célszerűen, − ahogyan a táblázatban is szerepel, − ezt már sorvektorként adjuk meg. Végül a termékek eladási egységárát az eladási árvektor tartalmazza (c*). Az i. komponense megmutatja, hogy az i. termék egy egységét hány pénzegységért értékesítik. (Példánkban: c* = [150;160;200;180], vagyis pl. a II. termék egy egységét 160 pénzegységért értékesíti az üzem.) Ezek után visszatérhetünk a példában feltett kérdésekre: 1. Az üzem végre tudja-e hajtani a tervezett termelési programját ? Válaszunkhoz először nyilvánvalóan meg kell határozni, hogy a termelési program végrehajtásához mennyi erőforrásra van szükség fajtánként. Mivel a termékegységenkénti szükségleteket a technológiai mátrix mutatja, természetesen ezzel és a programvektorral kell számolnunk. Ha az 1. erőforrást nézzük, ebből szükség van az I. termék előállításához 2 ⋅ 40 = 80 egységre, a II. termék előállításához 1 ⋅ 50 = 50 1 egységre, a III. termékhez 2 ⋅ 90 = 180 egységre, és a IV. termékhez 3 ⋅ 80 = 240 egységre, összesen: 2 ⋅ 40 + 1 ⋅ 50 + 2 ⋅ 90 + 3 ⋅ 80 = 550 egységre. Ez viszont nem más, mint az A mátrix első sorvektorának és a p vektornak a skaláris szorzata. Hasonlóan adódik: a 2. erőforrásból szükséges mennyiség az A 2. sorvektorának és a p-nek a skaláris szorzata, valamint a 3. erőforrásból szükséges mennyiség pedig az A 3. sorvektorának és a p-nek a skaláris szorzata. Vagyis ha az A technológiai mátrixot megszorozzuk a p vektorral, a kapott vektor éppen a szükséges erőforrásmennyiségeket fogja adni fajtánként. Adott példánkban: ⎡40⎤ ⎡2 1 2 3⎤ ⎢ ⎥ ⎡550⎤ 50 Ap = ⎢⎢1 0 1 2⎥⎥ ⎢ ⎥ = ⎢⎢290⎥⎥ . Vagyis az 1. erőforrásból 550, a 2.-ból 290 és a 3.-ból 410 ⎢90⎥ ⎢⎣3 4 1 0⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣410⎥⎦ ⎣80 ⎦ egység kell a 4 féle termék adott mennyiségű előállításához. Nyilvánvalóan ahhoz, hogy a program végrehajtható legyen, ennek a vektornak legfeljebb akkorának szabad lennie, mint a kapacitásvektornak, hiszen ez utóbbi mutatja meg, hogy mennyi van készleten az adott erőforrásokból. Vagyis a program végrehajtásához Ap ≤ k kell hogy teljesüljön. (Jól tudjuk, ez azt jelenti, hogy minden elemre rendre teljesülnie kell a relációnak. Gazdaságilag is így van értelme, hiszen ha csak egy erőforrásból többre lenne szükség, mint amennyi van, akkor már nem lehet a programot végrehajtani). Példánkban: ⎡550⎤ ⎡600⎤ Ap = ⎢⎢290⎥⎥ 〈 ⎢⎢300⎥⎥ = k, tehát a termelési program végrehajtható. ⎢⎣410⎥⎦ ⎢⎣450⎥⎦

Melléklet - 9

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

2. A termelés végrehajtása után mennyi a megmaradt erőforrások értéke ? Először nyilvánvalóan meg kell határozni, hogy mennyi marad az egyes erőforrásokból a program végrehajtása után. Ezt értelemszerűen a k - Ap vektor fogja adni. Példánkban ez : ⎡600⎤ ⎡550⎤ ⎡50⎤ k-Ap= ⎢⎢300⎥⎥ − ⎢⎢290⎥⎥ = ⎢⎢10 ⎥⎥ , vagyis az első erőforrásból megmarad 50 egység, a másodikból 10, ⎢⎣450⎥⎦ ⎢⎣410⎥⎦ ⎢⎣40⎥⎦ és a harmadikból 40 egység. Ezután a erőforrások egységárával kell megszorozni a megfelelő mennyiségeket: 35 ⋅ 50 + 20 ⋅ 10 + 40 ⋅ 40 = 3550. Ez viszont nem más, mint az a* és a (k - Ap) skaláris szorzata, vagyis a*(k - Ap) .(A szorzás elvileg a (k - Ap)* alakban is elvégezhető, de eredményül nekünk egy skalárt kell kapnunk és nem egy 3x3-as mátrixot, nem is szólva a művelet gazdasági értelméről illetve értelmetlenségéről.) Kaptuk tehát, hogy a megmaradt erőforrások értéke 3550 pénzegység. A disztributív tulajdonság miatt a művelet természetesen a*k - a*Ap alakban is elvégezhető. Nézzük mit jelent ez gazdaságilag? Az a*k : az erőforrások egységára szorozva a készleten lévő erőforrásmennyiségekkel, nyilvánvalóan a rendelkezésre álló erőforrások értékét fogja mutatni. Példánkban: ⎡600⎤ a*k = [35 20 40]⎢⎢300 ⎥⎥ = 45000 pénzegység. Míg az a*Ap a felhasznált erőforrások ⎢⎣450⎥⎦ értékét fogja mutatni, amit nevezhetünk a termelés költségének is. Példánkban: ⎡550 ⎤ a*Ap = [35 20 40]⎢⎢290⎥⎥ = 41450 pénzegység. A két érték különbsége ebben az esetben is a ⎢⎣410⎥⎦ megmaradt erőforrások értékét mutatja természetesen, ami példánkban: 3550 pénzegység. 3. Mekkora a termelés költsége? Erre a kérdésre már válaszoltunk is a 2. kérdés második felében, hiszen a szükséges erőforrások mennyiségét, az Ap vektort kell megszoroznunk balról az erőforrások egységárával, a*-gal. Vagyis a*Ap ami példánkban 41450 pénzegység volt. 4. Mekkora az üzem nyeresége vagy vesztesége a termékek értékesítése után? A kérdés megválaszolásához még meg kell határoznunk az üzem bevételét az értékesítés során. Feltételezve, hogy a termelt mennyiséget maradéktalanul értékesíti, így a mennyiség szorozva az eladási árral adja az üzem bevételét. Vagyis a c*p vektor fogja adni az értékesítésből származó bevételt. Példánkban ez: ⎡40⎤ ⎢50⎥ c*p = [150 160 200 180]⎢ ⎥ = 46400 pénzegység. ⎢90⎥ ⎢ ⎥ ⎣80 ⎦ Az üzemi eredmény (nyereség vagy veszteség) az árbevétel és a termelési költség különbözete lesz, vagyis: c*p - a*Ap . A mi példánkban : 46400 - 41450 = 4950 pénzegység nyeresége van az üzemnek. A disztributivitás miatt (jobbról p-t kiemelve), az eredményt a következő művelettel is megkaphatjuk: (c*-a*A)p .

Melléklet - 10

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Nézzük meg, hogy mit jelentenek gazdaságilag a benne szereplő kifejezések. Az a*A-ban az erőforrások egységáraival megszorozzuk az egyes termékegységek előállításához szükséges mennyiségeket. Példánkban: ⎡ 2 1 2 3⎤ a*A = [35 20 40]⎢⎢1 0 1 2⎥⎥ = [210 195 130 145] . Nézzük meg, hogyan is kaptuk az ⎢⎣3 4 1 0⎥⎦ egyes elemeket: például 195 = 35⋅1 + 20⋅0 + 40⋅4 . Ez éppen a II. termék 1 egységének előállítási költsége. Hasonlóan kapjuk a többi elemre is, vagyis az a*A nem más mint a termelés fajlagos költsége (1-1 termékegység előállítási költsége termékfajtánként). Így a c*-Ap a termékegységenkénti nyereséget vagy veszteséget adja termékfajtánként. Példánkban: [150;160;200;180] - [210;195;130;145] = [-60;-35;70;35]. Látható, hogy az I. és a II. termék előállítása veszteséges, hiszen 1-1 egység előállításán 60, illetve 35 pénzegység veszteség van, míg a III. és IV. termék egy egységének előállítása 70, illetve 35 pénzegység hasznot hoz az üzemnek. Hogy a teljes termelési program mégis nyereséges, nyilván annak tudható be, hogy a nyereséges termékekből gyárt az üzem nagyobb mennyiséget (90, illetve 80 egységet, míg a veszteségesekből csak 40 illetve 50 egységet). Nyilvánvalóan, ha a termékegységenkénti eredményt - a (c* - a*A) vektort - megszorozzuk az értékesített mennyiséggel (p -vel), megkapjuk a teljes üzemi eredményt. Példánkban: ⎡40⎤ ⎢50 ⎥ (c * - a*A) p = [− 60; − 35; 70; 35]⎢ ⎥ = 4950 pénzegység. ⎢90 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣80 ⎦ Ezen példa során a feltett kérdéseknél többre is válaszoltunk, szemléltetve az egyes mátrixműveletek gazdasági jelentését is.

Melléklet - 11

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz

Recommend Documents