Gazdasági matematika 2. tantárgyi kalauz

Hanich József

Gazdasági matematika 2. tantárgyi kalauz

Szolnoki Főiskola Szolnok 2005.


A kalauz a következő 3 kiadványhoz készült: Dr. Csernyák László: Matematika üzemgazdászoknak, Valószínűségszámítás Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1990. Hanich József – Libor Józsefné Dr. – Madaras Lászlóné Dr. – Nagy Tamás: Gazdasági matematika II. Feladatgyűjtemény Szolnoki Főiskola, Szolnok, 2004. Horváth Jenőné Dr. – Libor Józsefné Dr. – Madaras Lászlóné Dr.: Tanulási útmutató a gazdasági matematika II. c. Tantárgyhoz Kereskedelmi és Gazdasági Főiskola, Szolnok, 1998. Tananyagíró: Hanich József Távoktatási szerkesztő: Fazekas Judit Kiadványszerkesztő: Román Gábor Sorozatszerkesztő: Zarka Dénes Nyomdai kivitelezés: Mpress Kft.

Kiadja a Szolnoki Főiskola. Felelős kiadó: Dr. Törzsök Éva főigazgató

© Szolnoki Főiskola, 2005. szeptember Minden jog fenntartva. A Tantárgyi kalauzt, vagy annak részeit tilos bármilyen formában, illetve eszközzel másolni, terjeszteni vagy közölni a Kiadó engedélye nélkül.

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Tartalom Tartalom ............................................................................................................................................. 3 A kalauz szerkezete........................................................................................................................... 4 Bevezetés............................................................................................................................................ 5 A valószínűségszámítás bevezetése. Kombinatorika. Eseményalgebra .................................... 9 A valószínűség fogalma, axiómái. Valószínűségszámítási tételek. Klasszikus képlet. Geometriai valószínűség. ............................................................................................................... 14 Ismétléses és ismétlés nélküli mintavétel ..................................................................................... 16 Feltételes valószínűség. A teljes valószínűség tétele. Bayes-tétel. ............................................ 18 Események függetlensége. Többszörös és ismételt kísérletek.................................................. 20 Beküldendő feladat I....................................................................................................................... 22 Valószínűségi változó fogalma és jellemzése diszkrét és folytonos esetben. ......................... 24 Az eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény fogalma és tulajdonságai......................................... 26 A valószínűségi változók véletlen ingadozásának jellemzői...................................................... 28 Csebisev-egyenlőtlenség. Nagyszámok törvénye........................................................................ 30 Diszkrét valószínűségeloszlások ................................................................................................... 33 Beküldendő feladat II..................................................................................................................... 35 Normális eloszlás, standard normális eloszlás. Valószínűségeloszlások közelítő meghatározása ................................................................................................................................. 37 Többdimenziós eloszlások (kétdimenziós diszkrét)................................................................... 40 Melléklet ............................................................................................................................................. 1

3

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A kalauz szerkezete A kalauz feldolgozásakor fontos, hogy értse jelrendszerünket. Íme a legfontosabbak:

Így adjuk meg, hogy mennyi ideig tart egy lecke feldolgozása.

Célkitűzés: Így jelöljük, ha a

• •

tantárgy, vagy lecke célkitűzését adjuk meg.

Ha ezt az ikont látja, a tankönyvet kell fellapoznia.

Önellenőrző feladat

Ha ezt a keretet látja, arra kérjük, oldja meg egy erre rendszeresített füzetében a feladatot, ha elkészült, ellenőrizze magát a lecke végén található megoldás alapján!

Beküldendő feladat

Ha ezt az ikont látja, a megoldást nem találja meg, feladatát be kell küldenie a Főiskolára tutorának.

4

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Bevezetés Kedves Hallgatónk! Örömmel vesszük, hogy elkezdte a Gazdasági matematika II. (Valószínűségszámítás) c. tárgy tanulását. Ez a tárgy Főiskolánkon alapozó jellegű, és a kötelezően előírt tárgyak sorába tartozik. Reméljük, hogy a gazdasági tárgyak elsajátításához hasznos alapokat szerez majd a valószínűségszámítás tanulása során. A Tanszék oktatói, akik szakértő tutorként is segítik majd tanulmányait, igyekeztek az Ön számára könnyen feldolgozhatóvá tenni a tananyagot a Tantárgyi kalauz összeállításával is. Használatával kevesebb energiával és időráfordítással tanulhat. Reméljük, hogy hasznos és érdekes feladatokat tudtunk összeállítani ahhoz, hogy önállóan is ellenőrizze megszerzett ismereteit egy-egy témakörben. Bízunk benne, hogy a kurzus végeztével teljesíti majd a tárgy követelményeit, és a félév végén sikeres vizsgát tesz.

Hogyan használja a Tantárgyi kalauzt? A kalauz célja, hogy megkönnyítse elsajátítani Önnek a tárgyat, és teljesíteni a követelményeket, nem utolsó sorban felkészíteni Önt a vizsgára. Ehhez a tárgyat leckékre bontottuk, és minden leckében megadtuk, hogy mely tananyagrészeket kell feldolgoznia. Ehhez megadtuk a lecke célját, és feladatokat is, hogy irányítsuk a figyelmét, érdekesebbé tegyük a feldolgozást.

A tantárgy kreditszáma A tantárgy 4 kredites, tehát összesen 120 tanulási óra szükséges a feldolgozásához.

Az egyes leckéknél jelezzük, hogy mekkora időráfordítást igényel Öntől. A tantárgy tanulásának célja, hogy az elméleti ismeretek elsajátításával a kurzus végére Ön képes legyen:

• • • •

megérteni a gazdasági élet számtalan területén megtalálható véletlen tömegjelenségeket; feltárni a véletlen tömegjelenségek összefüggéseit, alkalmazni törvényszerűségeiket; a piacgazdaságban végbemenő folyamatok, események közötti összefüggések egzakt feltárására és megalapozott következtetések levonására; elemezni a vállalkozások gazdasági tevékenységét, a marketing munkában számszerűsíthető elemzést és előrejelzést adni.

5

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A tantárgy lezárása A félév végi aláírás feltétele, azaz a vizsgára bocsátás feltétele a két beküldendő feladatsor időre történő beadása. A félév kollokviummal zárul. A kollokvium írásban történik, egy 60 perces dolgozat formájában. A dolgozat elérhető pontszáma 100. A kollokviumi jegy az elért pontszám alapján a következő: •

0–50:

elégtelen (1)

•

51–66:

elégséges (2)

•

67–78:

közepes (3)

•

79–89:

jó (4)

•

90–100: jeles (5)

A matematika dolgozat tartalma: Tanult fogalmak, tételek, bizonyítások, és az elmélethez szorosan kapcsolódó feladatok a valószínűségszámítás témaköréből. A kalauzhoz melléklünk egy kidolgozott kollokviumi mintafeladatsort.

Hogyan tanuljon? Mindenekelőtt rendszeresen és alaposan. Ehhez a Tantárgyi kalauzban sok segítséget nyújtunk. A bevezető rész végén talál egy táblázatot, ennek alapján készítsen magának egy tanulási ütemtervet! Az ütemtervet készítheti egy saját füzetbe, vagy a Főiskolától kapott naptárba. Fontos, hogy az Ön által választott tempó szerint, a tervezett vizsgaidőpontra minden leckét befejezzen, és a beküldendő feladatokat időben elküldje a Főiskolára. Ha lehet, egyenletesen ossza el az anyagot. Amennyiben valamelyik napra, hétre torlódnak a feladatai (akár magánéleti, akár más tantárgyi kötelezettségei miatt), inkább a korábbi időszakban vállaljon többet, mert az a tapasztalat, hogy a vizsgához közeledve vészesen fogy az idő, és ilyenkor az oktatók is leterheltebbek. Javasoljuk, hogy a leckék megtanulásánál kövesse a Tantárgyi kalauz útmutatásait. Minden leckénél először a megjelölt kisebb egységeket tanulja meg a könyvből, majd tekintse át a Feladatgyűjtemény kidolgozott feladatait. Az önellenőrző feladatokat úgy állítottuk össze, hogy elmélyítse az elmélet megértését, és az egyes leckékben található típusfeladatokban történő alkalmazást. Ezek után a Feladatgyűjteményből érdemes minél több példát önállóan is megoldani a különböző feladat-megoldási technikák gyakorlásához. Végül mindig ellenőrizze a tudását a Tanulási útmutató kijelölt feladatai alapján. Csak akkor lépjen tovább egy-egy leckéről az újabbhoz, ha a megfelelő tudásszintet már elérte. A leckékben nagyon sok önellenőrző feladat van. Ezeket nem ellenőrzi Önön kívül senki, de nem is az a céljuk, hanem az, hogy a feladatok elvégzése által a mélyére hatoljon a kijelölt tananyagnak. Ne csapja be magát! Ha egy önellenőrző feladatot nem tud megoldani, akkor érdemes azzal az anyagrésszel tovább foglalkozni, nehogy a vizsgáztató hívja fel a hiányosságaira a figyelmet! Ha úgy érzi, hogy semmiképpen nem tud megoldani egy feladatot, keresse meg tanulótársait, bizonyára tudnak segíteni. Ha ez sem megy, írjon, vagy telefonáljon a Főiskola megadott címére, számára, és mi segítünk Önnek.

6

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A beküldendő feladatot mindenképpen oldja meg! Ezzel egyrészt gyakorol, másrészt még a vizsga előtt egy szakértő tutorunk értékeli, és időben segíthet helyre tenni bizonyos félreértéseket, feltárni olyan hiányosságokat, melyek a vizsgát veszélyeztetik. Ezen kívül tanácsokat is kaphat, hogy miként javíthatja teljesítményét. Kérjük, hogy a megoldásokat lehetőleg e-mail-ben, esetleg (kék tintával írottan) jól olvasható formában küldje el a Főiskolára a tantárgy felvételekor egyeztetett címre. A dolgozat megérkezése napján (legkésőbb másnap) e-mailben visszajelzést kap arról, hogy az írásművet megkaptuk. Szöveges értékelésre egy héten belül számíthat.

A tantárgy tanulása során felhasználásra javasolt kiadványok •

Dr. Csernyák László: Matematika üzemgazdászoknak, Valószínűségszámítás Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest,1990.

•

Hanich József – Libor Józsefné dr. – Madaras Lászlóné dr. – Nagy Tamás: Gazdasági matematika II. Feladatgyűjtemény Szolnoki Főiskola, Szolnok, 2004.

•

Horváth Jenőné dr. – Libor Józsefné dr. – Madaras Lászlóné dr.: Tanulási útmutató a gazdasági matematika II. c. tantárgyhoz Kereskedelmi és Gazdasági Főiskola, Szolnok, 1998.

A tantárgy tanulástámogatása A tantárgyat alapvetően önállóan kell elsajátítania, hagyományos előadás, vagy gyakorlat nem tartozik hozzá. A tantárgy feldolgozása során lehetősége lesz egy alkalommal személyesen konzultálni szakértő tutorával, ennek részleteiről a tantárgy felvételekor tájékoztattuk. Ehhez fel kell vennie a kapcsolatot a képzésszervező tutorral, akinek nevét és elérhetőségét a tantárgy felvételekor megadtuk Önnek.

7

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Tanulási ütemtervem Lecke

Időigény

Típus

1. lecke: A valószínűségszámítás bevezetése. Kombinatorika. Eseményalgebra.

14 óra

feldolgozó

2. lecke: A valószínűség fogalma, axiómái. Valószínűségszámítási tételek. Klasszikus képlet. Geometriai valószínűség.

8 óra

feldolgozó

3. lecke: Ismétléses és ismétlés nélküli mintavétel

8 óra

feldolgozó

4. lecke: Feltételes valószínűség. A teljes valószínűség tétele. Bayes-tétel.

8 óra

feldolgozó

5. lecke: Események függetlensége. Többszörös és ismételt kísérletek.

6 óra

feldolgozó

6. lecke: 1. Beküldendő feladat.

5 óra

beküldendő

7. lecke: Valószínűségi változó fogalma és jellemzése diszkrét és folytonos esetben.

8 óra

feldolgozó

8. lecke: Az eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény fogalma és tulajdonságai.

8 óra

feldolgozó

9. lecke: A valószínűségi változók véletlen ingadozásának jellemzői.

8 óra

feldolgozó

10. lecke: Csebisev-egyenlőtlenség. Nagyszámok törvénye.

8 óra

feldolgozó

11. lecke: Diszkrét valószínűségeloszlások.

12 óra

feldolgozó

12. lecke: 2. Beküldendő feladat

6 óra

beküldendő

13. lecke: Normális eloszlás, standard normális eloszlás. Valószínűségeloszlások közelítő meghatározása.

11 óra

feldolgozó

14. lecke: Többdimenziós eloszlások (kétdimenziós diszkrét).

10 óra

feldolgozó

Mikor tanulom?

Ha elkészült, nincs más hátra, kezdheti a tanulást. Készítse ki tankönyvét, Tantárgyi kalauzát, Feladatgyűjteményét, Tanulási útmutatóját, jegyzetfüzetét, és kezdje meg a tantárgy feldolgozását!

Sok sikert kívánunk!

8

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

1. lecke A valószínűségszámítás bevezetése. Kombinatorika. Eseményalgebra A lecke tanulmányozására fordítandó idő kb. 14 óra.

Természetesen a tanulási idő nagyban függ attól, hogy az első félévben tanult halmazelméleti ismeretei mennyire stabilak.

Bevezetés Kedves Hallgatónk! A matematikának egy új területét (valószínűségszámítás) fogja ebben a szemeszterben megismerni. A tankönyv 9-12. oldalát úgy tanulmányozza át, hogy legyen áttekintése a valószínűségi problémák időbeni felmerüléséről, és azok megoldásáról (történeti fejlődés).

Kérjük, különösen figyeljen a fontos fogalmakra! (a könyvben kiemelve): •

szükségszerű, determinisztikus jelenség,

•

véletlen, sztochasztikus jelenség,

•

véletlen kísérlet,

•

véletlen tömegjelenség.

A téma további részében a valószínűségszámításban előforduló problémák megértését és megoldását segítő előismereteket fogja elsajátítani. A kombinatorika a valószínűségszámítás egyik segédeszközeként (lásd később: a valószínűség kiszámítása az ún. klasszikus képlettel) lesz fontos számunkra. A kombinatorikai és eseményalgebrai ismeretek a valószínűségszámítás igen sok feladatának megoldásához nélkülözhetetlenek. Megvizsgáljuk, hogyan és hányféleképpen lehet véges sok elemet sorba rendezni, illetve véges sok elemből meghatározott feltételeknek megfelelően bizonyos számú elemet kiválasztani.

9

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A témakör áttanulmányozása után Ön képes lesz:

• • • • • • • • • •

meghatározni a permutáció, variáció és kombináció fogalmát ismétlés nélküli és ismétléses esetre; meghatározni a permutációk, variációk és kombinációk számát ismétlés nélküli és ismétléses esetre; kombinatorikai feladatokat megoldani, különbséget tenni sorba rendezés és kiválasztás között; kimondani és alkalmazni a binomiális tételt; ismertetni és bizonyítani a binomiális együtthatók tulajdonságairól szóló tételt (1.8. tétel); megfogalmazni az elemi esemény, az összetett esemény és az eseménytér fogalmát; felsorolni és végrehajtani az eseményekkel kapcsolatos műveleteket (ellentett esemény, események összege, események szorzata, események különbsége); elmondani az eseményekre vonatkozó fontosabb azonosságokat (1-7; 2.1); definiálni a teljes eseményrendszer fogalmát; meghatározni az eseményalgebra fogalmát és megadni eseményalgebrát.

Tanulmányozza át (tanulja meg) a tk. 13-31. oldalak anyagát!

Segítség: •

Felhívjuk figyelmét, hogy a problémáknak két alaptípusa van: •

egy halmaz elemeinek különböző sorrendbe való elhelyezése (permutáció),

•

egy halmaz elemeiből különböző módokon való kiválasztás (kombináció).

•

A variációban a két alapprobléma együtt jelenik meg: kiválasztok valamennyi elemet a halmazból, majd a kiválasztott elemeket különböző sorrendbe állítom.

•

Mindegyik probléma lehet ismétlés nélküli, valamint ismétléses. Fontos: csak ismétléses permutáció esetén vannak eleve azonos elemek, a többi esetben az elemek mind különbözőek. Úgy lesz (a kombináció vagy a variáció) ismétléses, hogy egy elemet többször is kiválaszthatunk a halmazból.

A definíciók megértését segítik a tk. kidolgozott példái. A téma ismétlése során a példákat önállóan oldja meg. Mivel ezek olyan alapvető példák, hogy csak hibátlan megoldásuk esetén érti helyesen a definíciót, csak ez esetben haladjon tovább. A tételek mindegyikét ki kell tudnia mondani, de bizonyítania csak a binomiális együtthatók tulajdonságaira vonatkozó 1.8. Tételt kell.

10

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

1. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 1.1 1.,2. és 3., 1.2 1., 2. és 3., 1.3 1., 2. 3. mintafeladatát! 1. megoldás: A megadott megoldásokat önellenőrzésre használja! 2. önellenőrző feladat

Válaszoljon a Tanulási útmutató 1.2. 1-4. ellenőrző kérdéseire! 2. megoldás: a Tanulási útmutató következő oldalán. 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 1.4 1. 2. és 3. mintafeladatát! 3. megoldás: A megadott megoldásokat önellenőrzésre használja! 4. önellenőrző feladat

Válaszoljon a Tanulási útmutató 1.2. 5-7. ellenőrző kérdéseire! 4. megoldás: a Tanulási útmutató következő oldalán. 5. önellenőrző feladat

Oldja meg a Tanulási útmutató 1.3. gyakorló feladatait! 5. megoldás: 1.5. alapján tudja munkáját ellenőrizni.

Ha a feladatokat legalább 50 %-os eredménnyel oldotta meg, tovább mehet, 80%-os eredmény esetén már jó szinten teljesített. 6. önellenőrző feladat

Oldja meg a Tanulási útmutató 1.6. feladatait! Ezeket nem kell beküldenie, ezek további gyakorlást biztosítanak önnek. 6. megoldás: 1.7. alapján önállóan is tud ellenőrizni.

A téma további részében a valószínűségszámítás tárgyának, a véletlen eseményeknek a fogalmát, műveleteit, azok tulajdonságait ismeri meg.

11

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

A kísérlet, elemi esemény, esemény fogalmának tisztázása után megismerkedünk az eseményekkel végezhető műveletekkel, s megállapítjuk a halmazelméletnél megismert összefüggésekkel való kapcsolatot. Ebben a témakörben támaszkodunk az első félévben tanult halmazelméleti ismereteire. Ezért először ismételje át a halmazokról tanultakat (fogalmak, műveletek, műveleti tulajdonságok (tételek), feladatok). Dolgozza fel (tanulja meg) a tk. 33-47. oldának anyagát!

Segítség: •

Minden, halmazokkal végzett (Ön által már ismert) műveletet egyszerűen át tud fogalmazni eseményekre.

•

Pl. Két halmaz (A és B) uniója az a halmaz, melynek elemei vagy az A, vagy a B, vagy mindkét halmaz elemei; azaz legalább az egyik halmaz elemei.

•

Két esemény(A és B) összege (uniója) az az esemény, amely akkor következik be, ha vagy az A, vagy a B, vagy mindkét esemény bekövetkezik; azaz legalább az egyik esemény bekövetkezik.

A Tankönyv kidolgozott példái itt is segítenek a fogalom, illetve tulajdonság jobb megértésében. 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 2.1, 2.2, 2.3 és 2.4 mintafeladatait! 7. megoldás: A közölt megoldásokat használja önellenőrzésre. 8. önellenőrző feladat

Válaszoljon a Tanulási útmutató 2.2. ellenőrző kérdéseire! 8. megoldás: Válaszait a 2.4. alapján kontrollálhatja.

Ha teljesítménye kevesebb 50 %-nál, tanulmányozza ismét a tk. anyagát, majd újra válaszoljon a kérdésekre. 9. önellenőrző feladat

Oldja meg a Tanulási útmutató 2.3. gyakorló feladatait! 9. megoldás: Válaszait a 2.5. alapján ellenőrizheti.

50 %-os teljesítés alatt még további tanulás szükséges.

12

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


A Tanulási útmutató 2.6. feladatait most is további gyakorlásra használhatja. 10. megoldás: A 2.7. szolgál munkája ellenőrzésére.

Befejezés Reméljük, az első félévi ismeretei, a Tankönyv szövege és a megoldott feladatok alapján sikeresen elsajátította az első lecke anyagát. A következő leckében a valószínűségszámítás alapjait ismerheti meg.

13

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

2. lecke A valószínűség fogalma, axiómái. Valószínűségszámítási tételek. Klasszikus képlet. Geometriai valószínűség. A kérdéskör tanulmányozására fordítandó idő kb. 8 óra.

Bevezetés Végre! Ezt várta, most már tényleg a valószínűségszámítás szépségeivel (nehézségeivel?!) ismerkedhet. Ebben a leckében kialakítjuk a valószínűség fogalmát, megismeri a valószínűség axiómáit, valamint az axiómákból levezethető tételeket, többek között az úgynevezett klasszikus képletet, és ezen állítások igazságának bizonyítását is. A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

• • • •

különbséget tenni az esemény relatív gyakorisága és az esemény valószínűsége között; az axiómák segítségével valószínűségi tételeket (3.1., 3.2., 3.3., 3.4.) igazolni és azokat feladatmegoldásokban felhasználni; a valószínűség képletét (3.5.) levezetni, és feladatok megoldásában alkalmazni; meghatározni a geometriai valószínűség fogalmát, segítségével egyszerűbb feladatokat megoldani.

Dolgozza fel (tanulja meg) a tk. 48-57. old. anyagát!

Segítség: •

Értse a relatív gyakoriság és a valószínűség fogalmát.

•

A téma legfontosabb része: a valószínűség axiómái.

•

A valószínűségszámítás 3.1., 3.2., 3.3. és 3.4. tételeinek bizonyítását is tudnia kell, valamint alkalmazásukat feladatok megoldásában.

•

Fontos a klasszikus valószínűségi mező fogalmának (modelljének) megértése, a 3.5. Tétel (klasszikus képlet) alkalmazó képes ismerete.

A tk. 64-66. old. feldolgozásával a geometriai valószínűség fogalmát ismeri meg; a Tankönyvben szereplő (egyszerűbb) példákhoz hasonló feladatok megoldását kell tudnia.

14

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Válaszoljon a Tanulási útmutató 3.2. 1-4. ellenőrző kérdéseire! 1. megoldás: Válaszait a 3.4. alapján ellenőrizheti. 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 3.1, 3.2 és 3.3 mintafeladatait! 2. megoldás: A közölt megoldást ellenőrzésre használja. 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a tanulási útmutató 3.3. 1-4. feladatait! 3. megoldás: Ellenőrizze megoldásait a 3.5. alapján.

Ha legalább a feladatok felét nem tudta önállóan megoldani, ismét térjen vissza a tankönyvhöz, koncentráljon az itt kidolgozott példákra. 4. önellenőrző feladat

A Tanulási útmutató 3.6. 1-4. feladatait gyakorlásra használhatja. 4. megoldás: Eredményeit a 3.7. alapján ellenőrizheti.

Befejezés Reméljük, az önellenőrző feladatok megoldása azt mutatja, hogy sikerült a lecke anyagát elsajátítania. A következő leckében a klasszikus valószínűség alkalmazási lehetőségét ismeri meg.

15

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

3. lecke Ismétléses és ismétlés nélküli mintavétel A lecke tanulmányozására fordítandó idő összesen kb. 8 óra.

Természetesen a tanulási idő jelentősen eltérhet a megadottól, ha korábban Ön jól megtanulta a kombinatorikai anyagrészt.

Bevezetés Kedves Hallgatónk! Ebben a leckében a minta, mintavétel, „találomra” történő kiválasztás fogalmát fogjuk kialakítani. A klasszikus képlet alkalmazására is sor kerül az ún. mintavételes feladatokban. A lecke feldolgozása után Ön képes lesz:

• • • •

definiálni a véletlen minta, és a véletlen mintavétel fogalmát; leírni a visszatevéses mintavétel modelljét, alkalmazni a kiszámítására vonatkozó összefüggést (Bernoulli-képlet); leírni a visszatevés nélküli mintavétel modelljét, alkalmazni a kiszámítására vonatkozó összefüggést; ún. mintavételes feladatokat megoldani (a klasszikus képletet alkalmazni).

Mielőtt belefogna a mai lecke tanulmányozásába, érdemes átismételnie az 1. témából a kombinatorikát, hangsúlyosan a kombinációt és a variációt A 2. témából pedig elevenítse fel a klasszikus képletet (3.5. Tétel). Kérjük, tanulmányozza (tanulja meg) a tk. 57-63. old. anyagát.

Segítség: •

A 3.1. Példa a klasszikus képlet átismétlését segíti;

•

Fontos, hogy értse: a visszatevés nélküli modell kétféleképpen valósítható meg. 1. Egyszerre választunk ki n elemet – ilyenkor sorrendről nincs értelme beszélni! 2. Egymás után (visszatevés nélkül) választunk ki n elemet.

A tk. példái segítik a megértést. (A 3.4. Példát elég csak figyelmesen elolvasnia, de ha nehéznek találja, ki is hagyhatja.)

16

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


A téma áttanulmányozása után készítse el (írja le jegyzetfüzetébe) a kétféle mintavétel modelljét! 1. megoldás: A tk. (59-62. oldal) alapján ellenőrizze, ha kell – korrigálja munkáját! 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a feladatgyűjtemény 3.2 3. és 4. mintafeladatát! 2. megoldás: A megadott megoldást lehetőleg csak önellenőrzésre használja! 3. önellenőrző feladat

Válaszoljon a kérdésekre, ill. oldja meg a Tanulási útmutató 3.2.5., 3.3.6., 3.6.6. és 3.6.9. feladatait! 3. megoldás: A segítséget a Tanulási útmutatóban, a feladatokat követő oldalakon találja.

Ha valamit mégsem értene, tanulmányozza át a tk. megfelelő oldalait. 4. önellenőrző feladat

Ha az eddigieket sikeresen megoldotta, további gyakorlásként a Feladatgyűjtemény 3.37., 3.38., 3.39. és 3.41. feladatait javasoljuk megoldani. 4. megoldás: A megoldásokat a Feladatgyűjtemény 84. oldalától kezdődően találja meg.

Befejezés Reméljük, a Tankönyv szövege és a megoldott feladatok alapján sikerült elsajátítania az ismétléses, valamint az ismétlés nélküli mintavétel lényegét, és alkalmazási lehetőségeit. Következő leckénkben a feltételes valószínűséggel foglalkozunk majd.

17

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

4. lecke Feltételes valószínűség. A teljes valószínűség tétele. Bayes-tétel. A témakör tanulmányozására fordítandó idő összesen kb. 8 óra.

Bevezetés Ebben a leckében megvizsgáljuk azt a gyakorlatban sokszor előforduló problémát, hogy valamely véletlen kísérletnél egy esemény bekövetkezése milyen mértékben befolyásolja egy másik esemény bekövetkezésének valószínűségét. Így jutunk el a feltételes valószínűségekkel kapcsolatos összefüggések, tételek megismeréséhez. Majd kitérünk arra az esetre, amikor az események függetlenek. A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

• • • •

értelmezni a feltételes valószínűséget; kimondani és alkalmazni a valószínűségek szorzási szabályát (3.6. Tétel); kimondani, bizonyítani és alkalmazni a teljes valószínűség tételét (3.8.), kimondani, bizonyítani és alkalmazni a Bayes-tételt. (3.9.)

Tanulmányozza (tanulja meg) a tk. 66-74. old. anyagát!

Segítség: •

A 3.7. Példa segíti Önt a feltételes valószínűség fogalmának kialakításában.

•

Fontos a valószínűségek szorzási szabályának (3.6. Tétel) megértése, alkalmazhatóságát a 3.9. Példa szemlélteti. A 3.8. és a 3.9. Tételek (bizonyításukat is ismerni kell!) bizonyítása is ezen alapul. A tételek alkalmazhatóságát mutatják a 3.10., 3.11. és 3.12. Példák.

18

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Válaszoljon a Tanulási útmutató 3.2. 6-9. ellenőrző kérdéseire! 1. megoldás: A válaszokat megtalálja a 3.4. részben. 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a feladatgyűjtemény 3.4.1 és 3.4.2 mintafeladatait! 2. megoldás A megoldásokat használja önellenőrzésre. 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a Tanulási útmutató 3.3. 5. és 7. feladatát! 3. megoldás: Ellenőrzése a 3.5. alapján. 4. önellenőrző feladat

A Tanulási útmutató 3.6. 4., 5., 8., és 9. feladatait használja további gyakorlásra. 4. megoldás: A helyes megoldásokat a 3.7. pont alatt találja.

Befejezés Kedves Hallgatónk! Remélhetőleg ezt a leckét is elsajátította, és a tanultakat tudta alkalmazni a teljes valószínűség és a Bayes – tételhez kapcsolódó feladatok megoldásában. A következő leckében a független események után a független kísérleteket ismerheti meg.

19

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

5. lecke Események függetlensége. Többszörös és ismételt kísérletek. A tanulásra fordítandó idő ennél a témánál összesen kb. 6 óra.

Bevezetés Ebben a témában megismeri az egymástól függetlenül végrehajtott kísérletek sajátosságait, valamint a nem független kísérleteket. Megvizsgáljuk azt az esetet, amikor egy kísérletet ugyanolyan körülmények között többször megismétlünk (ismételt kísérletek), illetve amikor egyszerre több kísérletet végzünk (többszörös kísérletek). A téma tanulmányozása után Ön képes lesz:

• • • • • •

értelmezni az események függetlenségét; eldönteni, hogy két (vagy több) esemény független-e egymástól vagy sem; meghatározni a független kísérletek fogalmát, felismerni az ismételt és a többszörös kísérleteket; független kísérletekre vonatkozó feladatokat megoldani; ismertetni a Bernoulli-kísérletsorozat lényegét, az adott témához kapcsolódó feladatokat megoldani; felismerni a nem független kísérleteket, az általános szorzási szabály alapján feladatokat megoldani.


Segítség: •

Két esemény függetlenségét először a köznapi értelmezés alapján adjuk meg, ezután ezt felhasználva kimondunk egy tételt, amit a továbbiakban (szimmetrikus tulajdonsága miatt) a sztochasztikus függetlenség definíciójaként fogadunk el. (A matematikában ez többször alkalmazott eljárás: egy tételt a továbbiakban definíciónak fogadunk el!).

•

A többszörös és ismételt kísérlet fogalmának kialakítását jól szolgálják a Tankönyv kidolgozott példái.

•

A 3.11. Tétel (Bernoulli-kísérletsorozat) a visszatevéses mintavételi modellnél már megismert eredményre vezet.

20

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Feladatgyűjtemény 3.4.3 és 3.5 mintafeladatait! 1. megoldás: A megoldásokat használja önellenőrzésre!

Ha a közölt megoldások alapján teljesítménye legalább 50 %, akkor elégséges szinten teljesítette a feladatokat. 2. önellenőrző feladat

Válaszoljon a Tanulási útmutató 3.2. 8. és 9. kérdésére! 2. megoldás: A helyes válaszokat a Tanulási útmutató 27. oldalán találja. 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a Tanulási útmutató 3.3. 8.és 10. feladatait! 3. megoldás: Az önellenőrzést a szokásos módon végezze el a 3.5. alapján!

Befejezés Remélhetőleg nem csak az eddigi leckéket, hanem ezt is sikeresen (legalább 50%-os eredménnyel) megoldotta. A következőkben az eddigi leckék anyagát tartalmazó feladatsort kell megoldania, amit a Tanszékre kell elküldenie.

21

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

6. lecke Beküldendő feladat I. A feladatok megoldására (az ismétléssel és a feladatok tisztázásával együtt) összesen kb. 5 óra fordítandó.

A feladatok megoldásával (illetve szakértő tutora visszajelzéséből) megtudhatja, hogy az eddigi anyagot hogyan sikerült megtanulnia, hogyan képes azt feladatok megoldásában eredményesen alkalmazni. A feladatok megoldásakor természetesen bármit használhat (tankönyv, útmutató, feladatgyűjtemény), de ne feledje, hogy a vizsgán csak saját tudására számíthat, és kb. 60 perc alatt kell legalább 50 %-os eredményt elérnie. Mielőtt a feladatokat elkezdené megoldani, javasoljuk, hogy ismételje át az eddig feldolgozott leckéket, különösen figyelmesen nézze át a Tankönyv megoldott feladatait, illetve az önellenőrző feladatokat. Beküldendő feladat (1-4)

Oldja meg a következő feladatokat! 1. feladat Egy üzlet 3 raktárból kapja az árut. Jelentse Ai azt az eseményt, hogy az i - edik raktárból a megfigyelt napon áru érkezik. Fejezzük ki az Ai eseményekkel a következőket: a.) Mindhárom raktárból érkezik áru. b.) Csak a 3. raktárból érkezik áru. c.) Legalább az egyik raktárból érkezik áru. Mit jelentenek az alábbi események? a.) A1 ∩ A2 ∩ A3 b.) A1 ∩ A2 ∩ A3

c.) A1 ∩ ( A2 ∪ A3 ) 2. feladat Az autóbuszjegyet hányféleképpen lyukaszthatja ki az automata, ha a 9 számjegyből 3-at fog kilyukasztani? 3. feladat

(

)

5

Végezze el a 2 x − x kifejezés hatványozását a binomiális tétel segítségével! 4. feladat

1 1 1 , P(B ) = és P( A ∩ B ) = . 4 2 12 Határozza meg az alábbi események valószínűségét! a.) A ; b.) B ; c.) A ∪ B ; d.) A ∪ B ; e.) A ∪ B ; f.) A ∩ B ; g.) A ∩ B ; h.) A \ B ; i.) B \ A ; Egy eseménytér két eseményéről ismert: P( A) =

22

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Beküldendő feladat (5-6)

5. feladat Egy urnában 10 piros, 15 fehér golyó van. Visszatevéses módon kihúzunk 5 golyót. Számítsuk ki a következő események valószínűségét! a.) 3 fehér golyót húzunk b.) legalább 4 golyó fehér c.) legfeljebb 4 golyó fehér d.) nincs közöttük fehér e.) Ismertesse a feltételes valószínűség definícióját! 6. feladat Egy üzletbe 3 termelőtől szállítanak almát. Az első termelőtől származik a szállítmány 20%-a, a másodiktól a 35 %-a, a többi alma pedig a harmadik termelőtől való. Az 1. termelő által szállított alma 40 %-a, a másodiktól szállított alma fele, a harmadiktól szállított alma 70 %-a első osztályú. a.) Mennyi a valószínűsége annak, hogy az üzletben a szállítmányból kiválasztott 1 darab alma első osztályú? b.) A kiválasztott alma első osztályú. Mi ekkor a valószínűsége annak, hogy az a 3. termelőtől származik? c.) Ismertesse a teljes eseményrendszer fogalmát! Miután a feladatokat megoldotta, és letisztázta a megoldásokat, küldje el tutorának (lehetőleg e-mail-ben). Szakértő tutora rövidesen válaszolni fog, tájékoztatja Önt, hogy mit oldott meg helyesen; segítséget ad az esetleges hibák kijavítására, útmutatást a további tanuláshoz. A következő leckében a valószínűségi változóval fogunk foglalkozni.

23

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

7. lecke Valószínűségi változó fogalma és jellemzése diszkrét és folytonos esetben. A témakör tanulmányozására fordítandó idő kb. 8 óra.

Bevezetés Eddig mindig egy-egy konkrét kísérlet eseményeinek valószínűségét vizsgáltuk. Most elvonatkoztatva a konkrét kísérletektől, a közös jellemzők alapján egy bizonyos általánosítást hajtunk végre. (Hasonlat: nem egyes konkrét függvényeket vizsgálunk (jellemzünk), hanem függvény csoportokat: lineáris függvények, másodfokú függvények, exponenciális függvények, stb.) A véletlen tömegjelenségek kvantitatív leírásához a kísérletek kimeneteleihez is számokat fogunk rendelni. A továbbiakban ezekkel a számokkal fogunk dolgozni, de mindig tudnunk kell, hogy mögöttük események rejlenek. Az áttanulmányozás eredményeként Ön képes lesz:

• • • •

a valószínűségi változót definiálni és jellemezni; osztályozni a valószínűségi változókat (diszkrét vagy folytonos); diszkrét esetben értelmezni a valószínűségeloszlást; megadni és ábrázolni valószínűségeloszlást.

Tanulmányozza (tanulja meg ) a tk. 84-86. old. anyagát!


Válaszoljon a Tanulási útmutató 4.2. 2. kérdésére! 1. megoldás: a Tanulási útmutató 39. oldalán. 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 4.1 mintafeladatát! 2. megoldás: A megoldást önellenőrzésre használja.

24

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Tanulási útmutató 4.3. 2. feladatát! 3. megoldás: Eredményeit a szokásos módon ellenőrizze a 4.5. alapján! 4. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 4. fejezet 1. és 2. feladatát! 4. megoldás: a Feladatgyűjtemény 119. oldalán.

Befejezés A valószínűségi változó megismerése után a következő leckében a valószínűségi változó eloszlásfüggvényével és sűrűségfüggvényével foglalkozunk.

25

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

8. lecke Az eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény fogalma és tulajdonságai A téma tanulmányozására fordítandó idő kb. 8 óra.

Bevezetés Ebben a leckében megismeri a valószínűségi változók (diszkrét és folytonos) leírásában fontos szerepet játszó eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény fogalmát, megadását és tulajdonságait. A tanulmányozás végén Ön képes lesz:

• • • • • •

az eloszlásfüggvényt definiálni és jellemezni; megadni és ábrázolni adott valószínűségi változó eloszlásfüggvényét; felsorolni az eloszlásfüggvény tulajdonságait, és azokat igazolni (4.1., 4.2. és 4.4 Tétel); a sűrűségfüggvényt definiálni és jellemezni; megadni és ábrázolni adott valószínűségi változó sűrűségfüggvényét; felsorolni a sűrűségfüggvény tulajdonságait, és azokat igazolni (4.5. Tétel).

Dolgozza fel (tanulja meg)a tk. 87-95. old. anyagát!

Segítség:

•

Az eloszlásfüggvény fogalmának megértését segítik a 4.3. és 4.4. példák.

•

Az eloszlásfüggvény tulajdonságait nem csak ismerni kell, hanem tudnia kell az igazolásukat is. A tulajdonságok ismeretében tudja majd eldönteni, hogy egy adott függvény lehet-e eloszlásfüggvény vagy sem.

•

Fontos: a sűrűségfüggvény csak folytonos eloszlás esetében értelmezett, olyan szerepet tölt be a folytonos eloszlásoknál, mint diszkrét esetben a valószínűségek eloszlása.

•

A sűrűségfüggvény tulajdonságainak bizonyítását is tudni kell, a tulajdonságok ismeretében el kell tudnia dönteni egy függvényről, hogy az lehet-e sűrűségfüggvény vagy sem.

26

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Válaszoljon a Tanulási útmutató 4.2. 1., 3. és 4. kérdéseire! 1. megoldás: Válaszait a 4.4. részben ellenőrizze! 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 4.2 és 4.3 mintafeladatait! 2. megoldás: A megoldásokat önellenőrzésre használja.

Ha teljesítménye 50 %-nál kevesebb, tanulmányozza ismét a Tankönyv anyagát! Ezután térjen újra vissza a feladatok megoldására. A közölt megoldásokat ellenőrzésre használja. 3. önellenőrző feladat

Gyakorlásra javasoljuk a Feladatgyűjtemény 4. fejezet 3., 4., 5., 7., 10., 18., 19., 23. és 24. feladatait. 3. megoldás: a Feladatgyűjtemény 120. oldalától.

Befejezés Remélhetőleg ismét sikeresen teljesített egy fontos témát. A következő leckében az eloszlások integrális jellemzői közül, a várható értékkel és a szórással foglalkozunk.

27

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

9. lecke A valószínűségi változók véletlen ingadozásának jellemzői A téma tanulmányozására fordítandó idő kb. 8 óra.

Bevezetés A valószínűségi változó tulajdonságait az eloszlásfüggvény, vagy a sűrűségfüggvény (illetve eloszlás) ismeretében meghatározhatjuk. Az alkalmazások során gyakran előfordul, hogy egyetlen, vagy néhány számadattal kell jellemeznünk a valószínűségi változót, illetve annak eloszlását. Ebben a témában ezek közül a várható érték és a szórás fogalmát, valamint tulajdonságait ismeri meg. A tanulmányozás után Ön képes lesz:

• • • • • • •

definiálni a várható értéket, ismertetni annak jelentését; kiszámítani adott valószínűségi változó (diszkrét és folytonos) várható értékét; ismertetni és bizonyítani a várható értékre vonatkozó tételt (4.7.); meghatározni az n-edik (második) momentum fogalmát, kiszámítani azt diszkrét és folytonos esetben; definiálni a szórást; kiszámítani adott valószínűségi változó (diszkrét és folytonos) szórását; felsorolni a szórás tulajdonságait, igazolni a kiszámítására vonatkozó tételt (4.10.).


Segítség:

•

A várható érték fogalmának kialakítását és jelentésének megértését nagyban segíti a 4.11. Példa.

•

A diszkrét eloszlásra vonatkozó képletek átírását segíti folytonos esetre (a további részben is) az alábbi megjegyzés: diszkrét pi

→

f (x ) (a 7. témában erről már szó volt!)

xi

→

x

∞

∑ i =1

•

folytonos

+∞

→

∫

−∞

A várható érték tulajdonságaira vonatkozó 4.7. Tétel bizonyítását is tudnia kell.

28

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Segítség:

•

A szórás pontosabb jelentését a következő témában (Csebisev-egyenlőtlenség) fogja megismerni.

•

A szórás definiáló képlete, és a kiszámítására szolgáló képlet különbözik egymástól. (Ez nem ritka a matematikában: ismeri két vektor skaláris szorzatának definícióját (és jelentését), kiszámítását viszont nem a definíció alapján végzi.) 1. önellenőrző feladat

Oldja meg a tanultak alapján a Feladatgyűjtemény 4.4 fejezet mintafeladatait! 1. megoldás: A közölt megoldásokat használja önellenőrzésre.

Folytonos eloszlás esetén integrálnia is szükséges; Amennyiben ebben bizonytalan lenne, akkor először ismételje át az előző félév matematika anyagának ezt a részét. 2. önellenőrző feladat

Válaszoljon a Tanulási útmutató 4.2.5. kérdésére! 2. megoldás: az útmutató 40. oldalán. 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a Tanulási útmutató 4.3. 1., 3., 4. és 5. feladatát! 3. megoldás: Az ellenőrzést a 4.5. alapján végezheti.

50 %-os teljesítmény esetén alapszinten elsajátította az anyagot 4. önellenőrző feladat

Gyakorlásra javasoljuk a Tanulási útmutató 4.6. feladatait! Ezek a feladatok már összetettebbek, a korábbi témák ismereteit is igénylik. 4. megoldás: az útmutató következő oldalán.

Befejezés Kedves Hallgatónk! Elsajátított két fontos fogalmat: a várható értéket, és a szórást. A következő leckében a szórás pontosabb jelentését ismerheti meg, valamint a félév anyaga központi fogalmának, a valószínűségnek a lényegét világítjuk meg. 29

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

10. lecke Csebisev-egyenlőtlenség. Nagyszámok törvénye A lecke tanulmányozására fordítandó idő kb. 8 óra.

Bevezető A várható érték körüli ingadozás egyik fontos mérőszáma a szórás. Most egy olyan összefüggést ismernek meg, amelynek az a gyakorlati jelentősége, hogy segítségével csupán a szórás ismeretében becslést adhatunk az ingadozás valószínűségére. A nagy számok törvénye azt mutatja meg, hogy a véletlen jelenséggel kapcsolatos valószínűségeloszlás tulajdonságai annál jobban kidomborodnak, minél több megfigyelést végzünk. Tanulmányozása után Ön képes lesz:

• • • •

válaszolni arra a kérdésre, hogy mit tudunk mondani az ingadozás valószínűségéről, ha nem ismerjük az eloszlást; kimondani, értelmezni, továbbá feladatmegoldásokban alkalmazni a Csebisevegyenlőtlenséget (4.13. Tétel); válaszolni a valószínűség és a relatív gyakoriság kapcsolatára, ha a kísérletek száma egyre nagyobb; kimondani, értelmezni, majd feladatmegoldásokban alkalmazni a nagy számok törvényét (7.1. Tétel).


Segítség:

•

A Csebisev-egyenlőtlenséget (4.13. Tétel) bizonyítania nem kell, de nagyon fontos, hogy tudja helyesen értelmezni, és feladatok megoldásában alkalmazni.

•

A Tétel a szórás jelentésének ad új, pontosabb és kvantitatív megvilágítást.

•

Fontos: az intervallum mindig szimmetrikus a várható értékre. A becslés az adott intervallumba való esés valószínűségéről, illetve az adott intervallumon kívülre esés (ellentett esemény) valószínűségéről ad felvilágosítást.

30

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Válaszoljon a Tanulási útmutató 4.2. 6. kérdésére, és oldja meg a 4.3. 6. feladatát! 1. megoldás: Ellenőrizze megoldását a 4.4. és a 4.5. alapján! 2. önellenőrző feladat

Oldja meg önállóan a Feladatgyűjtemény 4.5 fejezet mintafeladatait! 2. megoldás: A megoldásokat használja önellenőrzésre. 3. önellenőrző feladat

További gyakorlásként a Feladatgyűjtemény 4. fejezet 43. és 47. feladatait javasoljuk megoldani. 3. megoldás: a Feladatgyűjtemény 134. oldalán. Dolgozza fel (tanulja meg) a tk. 182-186 old. anyagát!

Segítség:

•

Egy esemény valószínűségének jelentését világítja meg a tétel (bizonyítását nem kell tudnia), számszerűen leírja, hogy egy esemény relatív gyakorisága egyre kevésbé térhet el az esemény valószínűségétől, ha elegendően sok (nagy számú) kísérletet végzünk.

•

Feladatmegoldáshoz a 7.1. Tétel utáni 2. megjegyzésben szereplő alakot (7.1.) és (7.2.) használjuk.

•

A bemutatott példákhoz teljesen hasonló feladatokat kell tudnia megoldani.

•

A törvény (tétel) alapján 3 féle kérdésre kell tudnia választ adni:

•

az eltérés, hibakorlát (ε) és a kísérletek számának (n) ismeretében az eltérés (a relatív gyakoriság és a valószínűség közötti) P valószínűségének meghatározása (ez a tétel direkt alkalmazása);

•

a megengedett eltérés (ε) és ennek előírt P valószínűsége esetén legalább hány kísérletet (n) kell végeznünk;

•

adott az eltérés P valószínűsége, és a kísérletek száma (n), kérdés, hogy legfeljebb mekkora eltérés (ε) lehet a relatív gyakoriság és a valószínűség között.

31

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Feladatgyűjtemény 4.6 fejezet kidolgozott mintapéldáit! 4. megoldás: A megoldásokat használja ellenőrzésre.

Reméljük, sikerült már elsőre is 50 %-t teljesítenie! 5. önellenőrző feladat

Gyakorlásra javasoljuk a Feladatgyűjtemény 4. fejezet 48-56. feladatait. 5. megoldás: a feladatgyűjtemény 135-136. oldalán.

Befejezés Ha a lecke anyagát eredményesen teljesítette, a következő leckében az ún. Nevezetes diszkrét eloszlásokkal ismerkedhet meg.

32

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

11. lecke Diszkrét valószínűségeloszlások A lecke tanulmányozására fordítandó idő kb. 12 óra.

Bevezetés Elvileg végtelen sokféle valószínűségi változó értelmezhető. Témánkban a gazdasági életben legtöbbször előforduló diszkrét valószínűségeloszlásokkal ismerkedik meg. A téma áttanulmányozása után Ön képes lesz:

• • • •

rendszerezni a különböző eloszlásokat; felismerni a karakterisztikus, binomiális, hipergeometrikus és Poisson-eloszlást, felsorolni ezek tulajdonságait; felismerni, hogy egy konkrét probléma melyik nevezetes eloszlással írható le; alkalmazni a tanultakat várható érték és szórás meghatározására, illetve bizonyos események valószínűségének meghatározására.


Segítség:

•

Mindegyik eloszlásról az alábbiakat kell tudnia:

•

definíció (definiáló képlet),

•

paraméterei,

•

várható értéke,

•

szórása.

•

Vegye észre: a binomiális eloszlással, és a hipergeometrikus eloszlással már találkozott! A visszatevéses mintavétel (illetve Bernoulli-kísérletsorozat) esetén kapott képlet pontosan a binomiális eloszlás definiáló képlete. A visszatevés nélküli mintavételnél kapott képlet pedig a hipergeometrikus eloszlás definiáló képlete.

•

Feladatok megfogalmazásában általában megadjuk (meg kell adni), hogy a valószínűségi változó (a tapasztalatok szerint) milyen eloszlást követ (tehát ezt nem Önnek kell felismernie). Viszont Önnek kell felismernie azt, hogy egy valószínűségi változó karakterisztikus eloszlású (két kimenetel van: A és nem A, illetve 1 és 0!); vagy a korábban mondottak szerint, ha egy eloszlás mintavételhez kapcsolódik, (visszatevéssel vagy visszatevés nélkül), akkor az binomiális, illetve hipergeometrikus eloszlású.

33

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Válaszoljon a Tanulási útmutató 5.2. 1-4. ellenőrző kérdéseire! 1. megoldás: Válaszait 5.4. alapján ellenőrizze!

Tanulása legalább 50 % helyes válasz esetén tekinthető sikeresnek. 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 5.1, 5.2 és 5.3 fejezetének 1. mintapéldáit! 2. megoldás: A megoldásokat használja önellenőrzésre.

Remélhetőleg mindegyik feladatot sikerült megoldania. A feladatok az előző témák anyagát is tartalmazzák. 3. önellenőrző feladat

További gyakorlásra javasoljuk a Feladatgyűjtemény 5. fejezetének 1., 2., 3., 5., 8., 10., 14., 18., 20., 22. és 24. feladatait. 3. megoldás: a Feladatgyűjtemény 151. oldalától.

Befejezés Kedves Hallgatónk! Ennek a leckének az elsajátításával nagy lépést tett a sikeres kollokvium érdekében. A következő lecke megoldásával ismét szakértő tutorától kaphat megerősítést arról, hogy jól halad-e a félév anyagának feldolgozásával.

34

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

12. lecke Beküldendő feladat II. A feladatok megoldására (az ismétléssel és a feladatok tisztázásával együtt) összesen kb. 6 óra fordítandó.

A tananyag nagy részét már feldolgozta, lassan a vizsga (kollokvium) ideje is elérkezik. Elvégezte az önellenőrzéseket, most újra itt a lehetőség, hogy szakértő tutora is értékelje munkáját, ha kell, adjon további segítséget önnek. A feladatok megoldásával (illetve tutora visszajelzéséből) megtudhatja, hogy az eddigi anyagot hogyan sikerült megtanulnia, hogyan képes azt feladatok megoldásában eredményesen alkalmazni. A feladatok megoldásakor természetesen bármit használhat (tankönyv, útmutató, feladatgyűjtemény), de ne feledje, hogy a vizsgán csak saját tudására számíthat; kb. 60 perc alatt kell legalább 50 %-os eredményt elérnie! Mielőtt a feladatokat elkezdené megoldani, javasoljuk, hogy ismételje át az eddig feldolgozott leckéket, különösen figyelmesen nézze át a Tankönyv megoldott feladatait, illetve az önellenőrző feladatokat. Beküldendő feladat (1-4)

Oldja meg a következő feladatokat! 1. feladat Két kockával dobunk. Legyen ξ valószínűségi változó a dobott számok különbségének abszolút értéke. Írja fel a változó eloszlását, eloszlásfüggvényét és ez utóbbit ábrázolja is! 2. feladat Annak a valószínűsége, hogy egy üzletben megtaláljuk a keresett árut: 0,8. Ha 4 üzletnél többet nem keresünk fel, mi a várható értéke a vásárlási kísérletek számának? (Ha valamelyik üzletben megtaláltuk az árut, nyilvánvalóan nem keressük tovább.) 3. feladat A dohányzó lakosság napi cigarettafogyasztásának várható értéke M(ξ)=20 db, szórása D(ξ)=6 db. a) Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy a tényleges fogyasztás 11 és 29 db közé esik? b) Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége, hogy a tényleges fogyasztás éppen 30 db, vagy annál több, illetve 10, vagy annál kevesebb? c) Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy a tényleges fogyasztás 15 és 25 db közé esik? 4. feladat Egy országrész felnőtt lakosságának 22 %-a felsőfokú végzettséggel rendelkezik. Közülük véletlenszerűen kiválasztunk 10 000 főt. a) Mennyi lesz ezek között a felsőfokú végzettségűek várható száma? b) Legalább mekkora a valószínűsége, hogy a felsőfokú végzettségűek száma a várható értéktől 5 %-nál kevesebbel tér el?

35

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Beküldendő feladat (5-6)

5. feladat Adott a következő függvény: 0〈 x〈1 ⎧2 − 2 x ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ 0 különben ⎩ a.) Ellenőrizze, hogy lehet-e az f függvény valamely ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye! b.) Ha f sűrűségfüggvény, akkor számítsa ki a ξ valószínűségi változó várható értékét és szórását! c.) Mikor nevezünk egy valószínűségi változót Poisson eloszlásúnak? 6. feladat Egy telefonközpontba 1 perc alatt átlagosan 6 hívás érkezik. Az egy perc alatti hívások száma Poisson-eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. a) Mennyi a valószínűsége, hogy egy adott perc alatt 8 hívás érkezik? b) Mennyi a valószínűsége, hogy az adott perc alatt a várható értéknél kevesebb hívás érkezik? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy adott perc alatt 2-nél több, de legfeljebb 10 hívás érkezik? Miután a feladatokat megoldotta és letisztázta a megoldásokat, küldje el tutorának (lehetőleg e-mail-ben). Szakértő tutora rövidesen (anyaga megérkezését követően egy héten belül) válaszolni fog, tájékoztatja Önt, hogy mit oldott meg helyesen; segítséget ad az esetleges hibák kijavítására, útmutatást a további tanuláshoz. A következő leckében az egyik legfontosabb folytonos eloszlással foglalkozunk.

36

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

13. lecke Normális eloszlás, standard normális eloszlás. Valószínűségeloszlások közelítő meghatározása A lecke témájának tanulmányozására fordítandó idő kb. 11 óra.

Bevezetés A valószínűségszámításban, és a matematikai statisztikában a folytonos eloszlások közül az egyik leggyakoribb, és legnagyobb jelentőségű a normális eloszlás. Megismerése azért nagyon fontos, mivel a véletlen folyamatok nagy része normális eloszlással írható le, illetve normális eloszlással közelíthető A téma tanulmányozása után Ön képes lesz:

• • • • • • • •

definiálni a normális eloszlást; felírni és ábrázolni a normális eloszlás eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét; a normális eloszlást standardizálni; felírni és ábrázolni a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét; a tanultakat alkalmazni gyakorlati problémák megoldásában; kifejteni az egyes közelítések feltételeit; a hipergeometriai eloszlást közelíteni binomiálissal (5.3. Tétel); a binomiális eloszlást közelíteni Poisson-eloszlással (5.6. Tétel), illetve normális eloszlással.


Segítség:

•

Az N(m,σ) normális eloszlás eloszlásfüggvénye csak táblázatban lenne megadható (sűrűségfüggvényének nem létezik ugyanis primitív függvénye, így az integrálja nem határozható meg a Newton-Leibniz formula segítségével), ami viszont m és σ végtelen sok lehetséges értéke miatt gyakorlatilag lehetetlen.

•

Ezért fontos a standardizálás ismerete, a standard normális eloszlás (m=0, σ=1) sűrűségfüggvényének és eloszlásfüggvényének, és ezek tulajdonságainak ismerete.

•

Táblázatból a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének és eloszlásfüggvényének értékeit tudjuk kiolvasni, ezt kell ismernie.

•

Normális eloszlásra vonatkozó feladat megoldása esetén a feladatot át kell tehát fogalmaznunk (transzformálnunk) standard normális eloszlásra.

37

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Feladatgyűjtemény 5.4 fejezetének mintafeladatait! 1. megoldás: A megoldásokat használja önellenőrzésre. 2. önellenőrző feladat

Válaszoljon a tanulási útmutató 5.2. 5. és 6. ellenőrző kérdéseire! 2. megoldás: Ellenőrizze válaszát 5.4. alapján. 3. önellenőrző feladat

Oldja meg a Tanulási útmutató 5.3. 2., 3. és 7. feladatát! 3. megoldás: Ellenőrzés az 5.5 alapján. 4. önellenőrző feladat

További gyakorlásra javasoljuk a Tanulási útmutató 5.6. 1., 3. és 6. feladatának megoldását! 4. megoldás: az útmutató következő oldalán. Valószínűségeloszlások közelítő meghatározásához a tk. 119. és 121. oldalát tanulmányozza (5.3. és 5.6. Tétel)!

Segítség:

•

Általános elv: ha a közelítés feltételei fennállnak, akkor valamely eloszlást a neki megfelelő ugyanolyan paraméterű (várható értékű és szórású) eloszlással közelíthetjük.

•

Kiegészítés a binomiális eloszlás közelítéséhez (121. old.): ha p értéke 0,5 körüli és n nagy ( n → ∞ ), akkor a binomiális eloszlás Poisson-eloszlás helyett pontosabban közelíthető normális eloszlással; éspedig (lásd az előző általános megjegyzést), olyan normális eloszlással, amelynek paraméterei m = M (ξ ) = np és σ = D(ξ ) = npq .

38

Szolnoki Főiskola


Távoktatás


Oldja meg a Feladatgyűjtemény 5.3 2. mintafeladatát! 5. megoldás: A megoldást önellenőrzésre használja! 6. önellenőrző feladat

Oldja meg a Tanulási útmutató 5.3. 5., valamint a 5.6. 4. feladatát! 6. megoldás: Ellenőrizze megoldását az 5.5. és az 5.7. alapján! 7. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 5. fejezet 19. feladatát! 7. megoldás: a Feladatgyűjtemény 157. oldalán.

Befejezés Az anyag sikeres elsajátítása után, az utolsó leckében a kétméretű eloszlások legfontosabb jellemzőit ismeri meg.

39

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

14. lecke Többdimenziós eloszlások (kétdimenziós diszkrét) A témakör tanulmányozására fordítandó idő kb. 10 óra.

Természetesen a tanulási idő ettől jelentősen eltérhet, ha korábban Ön jól megtanulta az egydimenziós eloszlások jellemzőit.

Bevezetés A gyakorlatban számos olyan tömegjelenség fordul elő, amely csak két vagy több valószínűségi változóval jellemezhető. Az adott tömegjelenséggel kapcsolatos valószínűségi változók egymással is kapcsolatban vannak, így a jelenség leírásához nem elegendő, ha csak az egyes valószínűségi változók eloszlását ismerjük. Ezen változók együttes eloszlása, a köztük levő kapcsolat szorosságának ismerete pontosabban írja le a vizsgált jelenséget. A lecke tanulmányozását követően Ön képes lesz:

• • • • • •

meghatározni az együttes- és peremeloszlás fogalmát, kapcsolatukat; felírni az együttes eloszlásfüggvényt, felsorolni tulajdonságait; definiálni a várható érték, kovariancia és a korrelációs együttható fogalmát, kiszámítási módját, kiszámítani azokat, és értelmezni az eredményt; meghatározni a valószínűségi változók függetlenségének fogalmát, kimondani a rá vonatkozó tételeket (6.10. és 6.12. Tétel); eldönteni, hogy adott eloszlásnál fenn áll-e a függetlenség; megmutatni a függetlenség és a korrelálatlanság kapcsolatát.

Dolgozza fel (tanulja meg) a tk. 147-157. és 161-166. old. anyagát!

Segítség:

•

A kétméretű (diszkrét) eloszlás az egyméretű eloszlások általánosítása. Az egyméretű eloszlásoknál megismert minden fogalmat (eloszlás, eloszlásfüggvény, várható érték, szórás) felhasználunk, így ha szükségesnek látja, a téma tanulmányozása előtt ismételje át.

•

A kétméretű eloszlás megadása (együttes eloszlás) egyértelműen meghatároz két egyméretű eloszlást (peremeloszlások), megfordítva ez általában nem igaz.

•

Lényeges, hogy jól értse a valószínűségi változók sztochasztikus kapcsolatának mérésére szolgáló korrelációs együttható jelentését (a Tankönyvben ez nem elég hangsúlyos):

•

A korrelációs együttható értéke csak a változók lineáris kapcsolatának szorosságáról tájékoztat,

40

Szolnoki Főiskola

•


Távoktatás

tehát ha a két változó korrelálatlan, ez csak annyit jelent, hogy lineáris kapcsolat nincs közöttük, de más jellegű kapcsolat lehetséges; vagyis a korrelálatlanság nem feltétlenül jelent egyben függetlenséget is. (A problémával részletesebben foglalkoznak majd a statisztikában, a regressziószámítás témájában.) 1. önellenőrző feladat

Válaszoljon a Tanulási útmutató 6.2. 1., 4. és 5. ellenőrző kérdéseire! 1. megoldás: Ellenőrizze válaszait 6.4. alapján! 2. önellenőrző feladat

Oldja meg a Feladatgyűjtemény 6.1 fejezet mintafeladatait! 2. megoldás: A megoldásokat használja önellenőrzésre.

A téma célkitűzését teljesítette, ha legalább a feladatok felét sikerült helyesen megoldania. 3. önellenőrző feladat

További gyakorlásra a Feladatgyűjtemény 6. fejezet 1., 2., 5., 6., 9. és 10. feladatát javasoljuk. 3. megoldás: a Feladatgyűjtemény 176. oldalától.

Befejezés A matematika II. (Valószínűségszámítás) feldolgozását ezzel befejezte. Munkája remélhetőleg sikeres volt. Ha betartotta a javasolt feldolgozási sorrendet, és ideje is elegendő volt a tanulásra és gyakorlásra, a sikeres vizsga érdekében még fontos a tanultak többszöri ismétlése, további feladatok megoldása. (A Feladatgyűjteményben elegendő feladatot talál még.) A vizsgán fogalmak és tételek kimondását, valamint egy tétel (a kötelezően előírtak közül) bizonyítását, alapvetően azonban a tanultak alkalmazni tudását (feladatok megoldását) kérjük számon. A mellékletben egy kollokviumi mintafeladatsort talál, melynek megoldása bizonyára sokat segít eredményes felkészülésében.

Jó tanulást, eredményes kollokviumot!

41

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

Melléklet Kollokviumi mintafeladatsor megoldással 1. a) Egy raktárból vasúton és teherautón is szállíthatnak árut. Jelentse A azt az eseményt, hogy egy adott napon van vasúti szállítás, B pedig azt, hogy teherautón van szállítás. - Mit jelentenek a következő események? A ∪B; B \ A; A ∪B; A ∩B. - Írja fel A és B esemény segítségével az alábbi eseményeket! I. {vasúton is, teherautón is szállítanak árut} II. {vasúton szállítanak árut, de teherautón nem} III. {vasúton nem fuvaroznak árut} IV. {pontosan az egyik eszközön szállítanak árut} b) Értelmezze két esemény szorzatát! (2 pont) c) Mit értünk teljes eseményrendszer alatt? (2 pont) (20 pont )

MEGOLDÁS a) Mit jelentenek a következő események?

A ∪ B ={legalább egyféle módon szállítanak árut} = {vagy vasúton, vagy teherautón, vagy vasúton is és teherautón is szállítanak árut} (2 pont) B \ A = B ∩ A ={teherautón szállítanak árut, de vasúton nem} (2 pont)

A ∪ B = A ∩ B ={ha vasúton szállítanak, akkor teherautón is szállítanak} (2 pont) A∩B

={egyszerre nem szállítanak vasúton és teherautón is} (2 pont)

Írja fel A és B esemény segítségével az alábbi eseményeket! I.

A∩B

(2 pont)

II.

A∩B

(2 pont)

III.

A

(2 pont)

IV.

(A ∩ B ) ∪ (A ∩ B )

(2 pont)

Melléklet - 1

Szolnoki Főiskola


2. a) Ismertesse a valószínűségszámítás axiómáit! (3 pont) 1 1 b) Egy eseménytér két eseményéről ismert: P(A ) = , P(B) = 4 2 1 P(A ∩ B) = 12 Határozza meg az alábbi események valószínűségét! A ; A∪B ; B\A ; A∪B .

Távoktatás

és

( 12 pont )

MEGOLDÁS b)

( )

P A = 1 − P(A ) =

3 4

(1 pont)

P(A ∪ B) = P(A ) + P(B) − P(A ∩ B) =

P(B \ A ) = P(B) − P(A ∩ B) =

(

)

()

P A ∪ B = P(A ) + P B

(

1 1 1 8 + − = 4 2 12 12

1 1 5 − = 2 12 12

− B =P(A)+ P B − P(A) + P(A ∩ B) = 1P4A 2∩ 43

P (A B )= P ( A )− P ( A ∩ B )

(1 pont)

=

1 1 7 + = 2 12 12

(2 pont)

()

)

(2 pont)

(1 pont) (2 pont)

Melléklet - 2

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

3. a) Ismertesse a visszatevés nélküli mintavétel modelljét! (4 pont) b) Egy urnában 10 fehér és 30 fekete golyót helyeztünk el. Visszatevéssel kiválasztunk közülük 6 db-ot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztottak között: I. nincs fehér, II. mind fehér, III. 3 db fehér van, IV. legfeljebb 3 db fehér van, V. legalább 3 db fehér van? c) Mondja ki és bizonyítsa be a Bayes – tételt! (3+5 pont) ( 26 pont )

MEGOLDÁS p=

10 1 = 40 4

(1 pont)

n = 6 (1 pont)

0

6

6

0

3

3

I.

⎛6⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ p 0 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 0,1780 (2 pont) ⎝0⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠

II.

⎛6⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ p 6 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 0,0002 (2 pont) ⎝6⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠

III.

⎛6⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ p 3 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 0,1318 ⎝ 3⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠

IV.

p 0 + p1 + p 2 + p 3 = ... = 0,1780 + 0,3560 + 0,2966 + 0,1318 = 0,9624 (2 pont)

(2 pont)

(1 pont)

V.

p 3 + p 4 + p 5 + p 6 (= 1 − (p 0 + p1 + p 2 )) = 0,1318 + 0,0330 + 0,0044 + 0,0002 = (2 pont)

0,1694

(1 pont)

Melléklet - 3

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

4. a) Mikor nevezünk egy valószínűségi változót diszkrétnek? (2 pont) b) Ismertesse az eloszlásfüggvény tulajdonságait! (3 pont) c) Egy folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az alábbi: ⎧1 ha −1 < x ≤ 1 ⎪2 , ⎪ f (x ) = ⎨ ⎪ 0, egyébként ⎪ ⎩ Határozza meg az F(x) eloszlásfüggvényt és a várható értékét! (14 pont )

MEGOLDÁS ha x ≤ −1 ⎧ 0, ⎪1 1 c) F(x ) = ∫ f (t )dt = ⎨ x + , ha − 1 < x ≤ 1 2 −∞ ⎪2 ha x >1 ⎩ 1, x

(1 pont)

F(x ) =

x ≤ −1

−1< x ≤1

x

x

−∞

−∞

x

-1

∫ f (t ) dt = ∫ 0 dt = 0 x

(1 pont) x

1 1 1 ⎡1 ⎤ F(x ) = ∫ f (t ) dt = ∫ 0 dt + ∫ dt = 0 + ⎢ t ⎥ = x + 2 ⎣ 2 ⎦ −1 2 -∞ -1 2 −∞ (2 pont) x

−1

1

x 1 ⎡1 ⎤ F(x ) = ∫ f (t ) dt = ∫ 0 dt + ∫ dt + ∫ 0 dt = ⎢ t ⎥ = 1 (2 pont) ⎣ 2 ⎦ −1 1 −∞ −∞ −1 2

x >1

1

1

⎡x2 ⎤ 1 1 1 M(ξ ) = ∫ xf (x ) dx = ∫ x dx = ⎢ ⎥ = − = 0 −∞ −1 2 ⎣ 4 ⎦ −1 4 4 ∞

1

(2 pont)

(1 pont)

Melléklet - 4

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

5. Egy valószínűségi változó normális eloszlású m = 10 várható értékkel és σ = 0,5 szórással. a) Hol van a sűrűségfüggvénynek maximuma, hol vannak az inflexiós helyei? b) Határozza meg az alábbi valószínűségeket! I. P(ξ < 10 ) = II. P(ξ ≥ 11) =

III. P(9,5 ≤ ξ < 11) = ( 15 pont )

MEGOLDÁS a)

max. h: x = 10 infl:

b)

(1 pont) 10 – 0,5 = 9,5

(1 pont)

10 + 0,5 = 10,5

(1 pont)

⎛ 10 − 10 ⎞ ⎟ = φ (0 ) = 0,5 ⎝ 0,5 ⎠

I. P(ξ < 10 ) = F(10 ) = φ ⎜ (1 pont)

(1 pont)

(1 pont)

⎛ 11 − 10 ⎞ ⎟ = 1 − φ (2 ) = 0 , 5 ⎝ ⎠

II. P(ξ ≥ 11) = 1 − P(ξ < 11) = 1 − F(11) = 1 − φ ⎜ (1 pont)

(1 pont)

(1 pont)

= 1 − 0,9772 = 0,0228 (1 pont)

III. P(9,5 ≤ ξ < 11) = F(11) − F(9,5) = (1 pont)

⎛ 11 − 10 ⎞ ⎛ 9,5 − 10 ⎞ ⎟−φ ⎜ ⎟= ⎝ 0,5 ⎠ ⎝ 0,5 ⎠

φ⎜

(1 pont)

(1 pont)

= φ (2 ) − φ (− 1) = φ (1) + φ (2 ) − 1 = 0,8413 + 0,9772 − 1 = 0,8185 (1 pont) (1 pont)

1- φ (1)

Melléklet - 5

Szolnoki Főiskola


Távoktatás

6. A ξ és η valószínűségi változók együttes eloszlása a következő: -1 0 2 ξ\ η 0 0,1 0,3 0,1 0,5 1 a) b) c) d)

0,2 0,2 0,1 0,5 0,3 0,5 0,2 1 Határozza meg a peremeloszlásokat! (1 pont) Határozza meg ξ és η várható értékét és szórását! Írja fel az F(x, y) eloszlásfüggvényt! Független-e ξ és η ? (13 pont )

MEGOLDÁS b)

M(ξ ) = 0 ⋅ 0,5 + 1 ⋅ 0,5 = 0,5

(1 pont)

M ξ 2 = 0,5

(1 pont)

( )

( )

D(ξ ) = M ξ 2 − M 2 (ξ ) = 0,5 − 0,25 = 0,25 = 0,5 (1 pont)

M(η) = −1 ⋅ 0,3 + 0 ⋅ 0,5 + 2 ⋅ 0,2 = 0,1

(1 pont) (1 pont)

M η 2 = 1 ⋅ 0,3 + 0 ⋅ 0,5 + 4 ⋅ 0,2 = 1,1

(1 pont)

( )

( )

D(η) = M η 2 − M 2 (η) = 1,1 − 0,01 = 1,09 = 1,04 (1 pont)

(1 pont)

c)

⎧ 0, ⎪0,1 ⎪ ⎪0,4 ⎪ F (x, y ) = ⎨0,5 ⎪0,3 ⎪ ⎪0,8 ⎪1 ⎩ d) Nem, mert pl.:

ha x≤0 vagy y ≤ −1 ha 0 < x ≤ 1 és −1< y ≤ 0 ha 0 < x ≤ 1 és 0< y≤2 ha 0 < x ≤ 1 és y>2 ha x >1 és −1< y ≤ 0 ha x >1 és 0< y≤2 ha x >1 és y>2 p11 ≠ p1. ⋅ p.1 (1 pont)

0,1 ≠ 0,5 ⋅ 0,3

Melléklet - 6

(3 pont)

Szolnoki Főiskola


Melléklet - 7

Távoktatás

Gazdasági matematika 2. tantárgyi kalauz

Recommend Documents