HJF
Statisztika II.
Statisztika II. előadás és gyakorlat – 2. rész T.Nagy Judit
Ajánlott irodalom: Ilyésné Molnár Emese – Lovasné Avató Judit: Statisztika II. Feladatgyűjtemény, Perfekt, 2006. Korpás Attiláné (szerk.): Általános Statisztika II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997. Molnár Máténé – Tóth Mártonné: Általános Statisztika Példatár II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2001.
T.Nagy Judit
1
HJF
Statisztika II.
A mintából történő következtetés, mintavételi alapfogalmak A minta célja: olyan adatok szerzése, melyből következtetéseket tudunk levonni a teljes sokaságra vonatkozóan. A mintavétel módjai:
Adatgyűjtés
Részleges adatfelvétel
Teljes körű adatfelvétel (cenzus)
Kontrollált
Reprezentatív
Egyéb részleges
kísérlet
megfigyelés
adatfelvétel
Véletlenen alapuló
Nem véletlenen
kiválasztás
alapuló kiválasztás
FAE mintavétel
Szisztematikus mintavétel
EV mintavétel
Kvóta szerinti kiválasztás
Szisztematikus mintavétel
Koncentrált kiválasztás
Rétegzett mintavétel
Hólabda kiválasztás
Csoportos mintavétel =
Önkényes kiválasztás
egylépcsős Többlépcsős mintavétel Kombinált eljárások
FAE (Független, azonos eloszlású) minta: Véletlenszerű visszatevéses mintavétel vagy visszatevés nélküli de az alapsokaság végtelen (vagy nagyon nagy számosságú). EV (Egyszerű véletlen) minta: Véges sokaságból történő, visszatevés nélküli mintavétel (ha az alapsokaság nagy, akkor az EV minta FAE mintának tekinthető). A feladatokban FAE mintát feltételezünk!
T.Nagy Judit
2
HJF
T.Nagy Judit
Statisztika II.
3
HJF
Statisztika II.
Az alapsokaság jellemzői:
Elemei: X1, X2, …XN, … (az elemszám véges vagy végtelen)
N elemszám
X átlag
P
szórás
K előfordulási valószínűség (arány) N
A célunk X , P, becslése a mintából. A minta jellemzői:
A mintaelemek: x1, x2, …, xn
n elemszám
kiválasztási arány
Mintaátlag:
x
n N
x
x
i
n
f x f i
i
i
o A mintaátlag várható értéke: = X
x
x
2
f x
x
A minta szórása: s
Mintaátlag szórása – standard hiba (FAE minta esetén): x
Relatív gyakoriság (mintabeli arány): p
i
s
n 1
i
k vagy p n
i
2
n 1
f
n
vagy s x
s n
i
n
mintavétel
N, X P,
n, x p, s
statisztikai következtetés Alapsokaság
T.Nagy Judit
Minta
4
HJF
Statisztika II.
III. Statisztikai becslés Statisztikai becslés: valamely statisztikai adat közelítő pontosságú meghatározása. Paraméter: A becsülni kívánt jellemzője a sokaságnak (pl. várható érték, szórás, arány,…): . Becslőfüggvény: A mintából származó megfigyelések (x1, x2, …) függvénye (pl. mintaelemek
ˆ. átlaga): A becslőfüggvénnyel szemben támasztott követelmények: 1. Torzítatlan: várható értéke a becsülni kívánt paraméter 2. Konzisztens: a mintanagyság növelésével a becslés nagy valószínűséggel a paraméter felé tart. 3. Hatásos: két konzisztens függvényközül az a hatásosabb, melynek kisebb a szórása. Pontbecslés: A mintából származó megfigyeléseket a becslőfüggvénybe helyettesítjük. Pl. x , s, p mintából történő kiszámítása pontbecslés. Intervallumbecslés
vagy
konfidenciaintervallum:
A
minta
alapján
meghatározható
ˆ ; ˆ ] , melybe a becsülni kívánt paraméter előre megadott valószínűséggel esik. intervallum: [ a f
ˆ ˆ 1 . Ez a valószínűség a megbízhatósági szint (1-α). Azaz P a f A becslőfüggvény értéke mintáról mintára változik (szóródik), ennek szóródását standard hibának nevezzük. ( x , s x , s p ) A maximális hiba vagy hibahatár ( ) megadja, hogy adott (1-α) megbízhatósági szint esetén legfeljebb mennyit tévedünk. Becslés
T.Nagy Judit
Pontbecslés
Intervallumbecslés
x , p, s
x , p ,…
5
HJF
Statisztika II.
Intervallumbecslések (FAE minta esetén*) 1. A várható érték becslése – átlagbecslés (feltétel: normális eloszlás vagy nagy minta: n100) A becslés menete:
Mintaátlag kiszámítása: x (a sokasági átlag pontbecslése)
Ha nem ismert, akkor a mintaszórás kiszámítása: s
Standard hiba kiszámítása: x
n
s
sx
n
(ha ismert a szórás) vagy (ha nem ismert a szórás)
A megbízhatósági szintnek megfelelő z vagy t értékek kikeresése táblázatból: z
1
2
(ha ismert a szórás) vagy
t ( n 1) (ha nem ismert a szórás) 1
2
A hibahatár kiszámítása:
z
1
2
x (ha ismert a szórás), vagy
t ( n 1) s x (ha nem ismert a szórás 1
*
2
A konfidencia intervallum megadása ( X x )
A képletek FAE minta esetén érvényesek. EV mintánál a standard hiba egy
k 1
n tényezővel szorozva N
számolható!
T.Nagy Judit
6
HJF
Statisztika II.
III. 1. MINTAPÉLDA Egy üdítőitalt palackozó cég, töltőgépei pontosságának ellenőrzéséhez 15 elemű véletlen mintát vett. Korábbi vizsgálatokból ismert, hogy a gép által töltött térfogat normális eloszlást követ. A minta (FAE) mérési eredményei ml-ben: 503; 498; 490; 500; 499; 495; 492; 500; 502; 501; 500; 496; 503; 499; 492
Feladat Becsüljük meg 95%-os megbízhatósággal az átlagos töltőtérfogatot. A minta: normális eloszlású, nem ismert a szórással.
A mintaátlag: x
x
i
= 498
n
x
A mintaszórás: s
A standard hiba: s x
i
x
2
n 1 s n
= 4 ,123
= 1,06
Értelmezés: A becslőfüggvény szórása 1,06 ml, azaz 1,06 ml a mintaátlagok sokasági várható értéktől való átlagos eltérése.
A megbízhatósági szintnek megfelelő t érték kikeresése táblázatból 1- = 0,95 = 0,05
= 0,025 1 = 0,975 2 2
) t ( n 1) = t (014,975 = 2,14 1
2
) A hibahatár t (014,975 s x = 2,28
Értelmezés: A becslés során 95%-os valószínűséggel 2,28 ml-nél kevesebbet tévedünk.
A keresett konfidencia intervallum X x = [498-2,28 ; 498+2,28] = [495,72 ; 500,28]
Értelmezés: 95%-os megbízhatósággal állíthatjuk, a minta alapján, hogy az üdítőitalok átlagos töltőtérfogata 495,72 és 500,28 ml között van.
T.Nagy Judit
7
HJF
Statisztika II.
Látható, hogy a konfidenciaintervallum méretét (-n keresztül) a táblázatból kikeresett t érték szabályozza, ami két tényezőtől függ: a minta elemszámától és a megbízhatósági szinttől. Hogyan?
III. 1. MINTAPÉLDA Becsüljük meg 95%-os megbízhatósággal az átlagos töltőtérfogatot, ha tudjuk, hogy a gép 6 ml szórással tölt. A minta: normális eloszlású, ismert a szórással
A mintaátlag: x = 498
A szórás: = 6
A standard hiba: x
A megbízhatósági szintnek megfelelő z érték kikeresése táblázatból
n
1- = 0,95 = 0,05
z
1
2
= 1,73
= 0,025 1 = 0,975 2 2
= z0,975 = 1,96
A hibahatár z
A keresett konfidencia intervallum [498-3,39 ; 498+3,39] = [494,61 ; 501,39]
1
2
x = 3,39
Értelmezés: 95%-os megbízhatósággal állíthatjuk, a minta alapján, hogy az üdítőitalok átlagos töltőtérfogata 494,61 és 501,39 ml között van.
T.Nagy Judit
8
HJF
Statisztika II.
2. Valószínűség becslése – aránybecslés (feltétel: nagy minta: n100) A becslés menete: k vagy p n
f
A mintabeli arány kiszámítása p
A mintaszórás kiszámítása: s p(1 p)
Standard hiba kiszámítása: s p
A megbízhatósági szintnek megfelelő z
A hibahatár kiszámítása: z
A konfidencia intervallum megadása: P p
1
n
i
(valószínűség pontbecslése)
s n
2
1
2
érték kikeresése táblázatból
sp
III. 2. MINTAPÉLDA Egy szolgáltató 450 ügyfelének villamos energia fogyasztására vonatkozó adatok (reprezentatív minta alapján): Villamos energia fogyasztás (kWh) -100 100-150 150-200 200-250 250-300 300Összesen
fogyasztók száma 90 130 100 75 30 25 450
Feladat: Becsüljük meg 99%-os megbízhatósági szinten a 200 kWh-nál nagyobb fogyasztók arányát!
f
75 30 25 = 0,29 = 29% 450
A mintabeli arány: p
A mintaszórás: s p(1 p) 0,29 0,71 = 0,45
A standard hiba: s p
T.Nagy Judit
n
s n
i
= 0,021
9
HJF
Statisztika II.
A megbízhatósági szintnek megfelelő z 1- = 0,99 = 0,01
1
2
érték kikeresése táblázatból
= 0,005 1 = 0,995 2 2
z0,995 = 2,58
A hibahatár: z
A konfidencia intervallum: P p
1
2
s p = 0,054
[0,29-0,054 ; 0,29+0,054] = [0,236 ; 0,344] = [23,6% ; 34,4%] Értelmezés: A szolgáltató 200 kWh-nál többet fogyasztó ügyfeleinek aránya (a teljes sokaságban), 99%-os megbízhatósággal 24% és 34% között van.
3. A szórás becslése (feltétel: normális eloszlású sokaság) A becslés menete:
A mintaátlag kiszámítása: x
x
i
n
x
x
A mintaszórás kiszámítása s
A megbízhatósági szintnek megfelelő 2
A konfidencia intervallum határai: alsó
(n 1) s 2 2 ( n 1) 1 2
T.Nagy Judit
i
n 1
2
(szórás pontbecslése)
( n 1) 1 2
és 2
felső
( n 1) 2
értékek kikeresése táblázatból
(n 1) s 2 ( n 1)
2( 2
10
HJF
Statisztika II.
III. 3. MINTAPÉLDA Feladat: Becsüljük meg 95%-os megbízhatósággal a III. 1. Mintapéldában a töltési térfogat szórását.
x = 498
s = 4,123
2
alsó
( n 1)
1 2
(14)
= 2 0,975 = 26,1 (n 1) s 2 n 1)
2(
=3,02
1 2
( n 1)
(14)
2 = 2 0,025 = 5,63 2
felső
(n 1) s 2 n 1)
2(
=6,5
2
Megjegyzés: Ezúttal a konfidenciaintervallum nem szimmetrikus a pontbecslésre (s-re). Értelmezés: 95%-os megbízhatósággal állíthatjuk, a minta alapján, hogy az üdítőitalok töltési térfogatának szórása 3,02 és 6,5 ml között van.
T.Nagy Judit
11
HJF
Statisztika II.
IV. Hipotézisvizsgálat Hipotézisvizsgálat: A sokaság valamely pereméterére (vagy egyéb jellemzőjére) vonatkozó állítás vagy feltevés helyességének vizsgálata egy minta alapján. Ez az állítás a hipotézis. A hipotézisvizsgálathoz kétféle hipotézist kell megfogalmaznunk, az ún. nullhipotézist és az ezzel ellentétes tartalmú ellenhipotézist.
MINTAPÉLDA Egy üdítőitalt palackozó üzemben automata gép tölti a palackokat. Az előírás szerinti töltési térfogat 500 ml. Teljesül-e az előírás? Ennek ellenőrzéséhez a következő két hipotézist fogalmazhatjuk meg: Nullhipotézis:
H o : 500 (a töltési térfogat 500 ml)
Ellenhipotézis:
H1 : 500 (a töltési térfogat nem 500 ml)
A nullhipotézis vonatkozhat várható értékre, arányra, szórásra, stb. A nullhipotézist mindig egyenlőség formájában fogalmazzuk meg. Az ellenhipotézis háromféle lehet, melyek közül mindig az adott vizsgálatnak megfelelőt használjuk.
Nullhipotézis:
H o : o
Alternatív (ellen-) hipotézisek:
H1 : o (kétoldali) o (egyoldali: bal) o (egyoldali: jobb)
A hipotézisvizsgálat eredménye, hogy valamelyik (H0 vagy H1) hipotézist elfogadjuk a másikkal szemben. Az eljárást, melynek segítségével (a mintából származó információk alapján) döntünk H 0 vagy H1 hipotézisek elfogadásáról statisztikai próbának nevezzük. A döntést a próbafüggvény segítségével tesszük meg. A próbafüggvény a mintaelemeknek függvénye. A próbafüggvény tulajdonságai:
Eloszlása, a nullhipotézis fennállása mellett, egyértelműen meghatározható.
Értéke mintáról mintára változhat.
T.Nagy Judit
12
HJF
Statisztika II.
Lehetséges értékeinek tartománya két diszjunkt részre bontható:
Elfogadási tartományra (E) és
Visszautasítási tartományra.
A két tartományt a kritikus érték választja el egymástól.
Ha a próbafüggvény aktuális értéke az elfogadási tartományba (E-be) esik, akkor a H0 hipotézist elfogadjuk, ha a visszautasítási tartományba, akkor nem fogadjuk el (ekkor H1-et fogadjuk el). Ez utóbbi eset valószínűségét szignifikanciaszintnek () nevezzük. tehát annak valószínűsége, hogy a próbafüggvény a visszautasítási tartományba esik. A döntésünk valószínűségi következtetés, mely kockázattal, és hibával járhat. Kétféleképp hibázhatunk: ha elfogadunk egy nem igaz állítást vagy elvetünk egy igaz állítást. Helyes döntést szintén kétféleképp hozhatunk: elfogadunk egy igaz állítást, vagy elvetünk egy hamis állítást. Ezek összefoglalását illetve a különböző esetek valószínűségeit a következő táblázat tartalmazza:
A valóság
H0 igaz
H0 nem igaz
A H0–ra vonatkozó döntést Elfogadjuk
Elvetjük
Helyes döntés
Elsőfajú hiba
1-
Másodfajú hiba
Helyes döntés
1-
-t a próba erejének nevezzük. 1- : megbízhatósági szint.
T.Nagy Judit
13
HJF
Statisztika II.
A hipotézisvizsgálat menete (a statisztikai próba lépései): 1. H0 és H1 hipotézisek megfogalmazása 2. A próbafüggvény meghatározása és értékének kiszámítása 3. Szignifikanciaszint megadása 4. Elfogadási tartomány (és visszautasítási tartomány) meghatározása 5. Döntés A próbák csoportosítása
Paraméteres (IV.1.) Egy mintás
Nem paraméteres (IV.2.) Illeszkedésvizsgálat (IV.2.1.)
Várható értékre vonatkozó – átlagpróba (IV.1.1.)
Függetlenségvizsgálat (IV.2.2.)
Valószínűségre vonatkozó – aránypróba (IV.1.2.)
Varianciaanalízis (IV.2.3.)
Szórásra vonatkozó (IV.1.3.) Több mintás Várható értékre vonatkozó - átlagpróba Valószínűségre vonatkozó - aránypróba Szórásra
IV. 1. Paraméteres próbák IV. 1. 1. Várható értékre vonatkozó próbák – átlagpróbák (feltétel: normális eloszlás) Annak ellenőrzésére szolgál, hogy egy normális eloszlású sokaság várható értéke (átlaga) egyenlő-e (kisebb-e, nagyobb-e) valamilyen feltételezett várható értékkel (értéknél).
A próba menete Jelölés: m0 a feltételezett várható érték 1. H0: =m0 (a sokasági várható érték megegyezik a feltételezett várható értékkel) H1: m0 (a sokasági várható érték nem egyezik meg a feltételezett várható értékkel) vagy
T.Nagy Judit
14
HJF
Statisztika II. H1: <m0 (a sokasági várható érték kisebb a feltételezett várható értéknél) vagy H1: >m0 (a sokasági várható érték nagyobb a feltételezett várható értéknél)
2. z próba (ha ismert a szórás) A próbafüggvény z
t próba (ha nem ismert a szórás)
x m0
A próbafüggvény t
n
x m0 s n
3. A szignifikanciaszint meghatározza a próba során elkövethető hibák valószínűségét. Ha túl kicsi, nő, akkor a másodfajú hiba valószínűsége nő. Ekkor megnő a hamis nullhipotézis elfogadásának valószínűsége. Ha túl nagy az elsőfajú hiba (azaz igaz nullhipotézis elvetése) elkövetésének valószínűsége, mert ekkor véletlen hibából adódó kis különbséget is szignifikánsnak tekint. A kétféle hiba előfordulását figyelembe véve 95%-os megbízhatósági szint terjedt el. Itt „kiegyensúlyozott” a kétféle hibázási lehetőség.
4. A várható értékre vonatkozó próbafüggvények standard normális vagy t eloszlásúak. Az elfogadási és visszautasítási tartomány elhelyezkedése az ellenhipotézis állításától függ. (A standard normális és t eloszlások szimmetrikusak!)
0,045
Ha H1: m0
1-
/2
0
/2
0
100
Elfogadási tartomány
T.Nagy Judit
15
HJF
Statisztika II.
0,045
Ha H1: <m0
0
1-
0
100
Elfogadási tartomány
0,045
Ha H1: >m0
0
1- 0
100
Elfogadási tartomány
Tehát az elfogadási tartományok szignifikanciaszinten:
H1: m0
E z ; z 1 2 1 2
H1: m0
E t ( n1) ; t ( n1) 1 2 1 2
H1: <m0
E z1 ;
H1: <m0
E t (1n1) ;
H1: >m0
E ; z1
H1: >m0
T.Nagy Judit
E ; t ( n 1) 1
16
HJF
Statisztika II.
5. Ha z ill. t E, akkor H0-t elfogadjuk, ellenkező esetben elvetjük (ekkor H1-et fogadjuk el).
IV. 1. 1. MINTAPÉLDA Egy üdítőitalt palackozó cég, töltőgépei pontosságának ellenőrzéséhez 40 elemű véletlen mintát vett. A mintában az átlagos térfogat 498 ml, a szórás 7,5 ml. Az előírás szerinti töltési térfogat 500 ml. A töltési térfogat normális eloszlást követ.
Feladat Ellenőrizzük, 95%-os megbízhatósági szinten, hogy a gép előírásnak megfelelően működik-e (azaz a töltési térfogat 500 ml-nek tekinthető-e). n = 40, x = 498, s = 7,5, m0 = 500, nem ismert
1.
H0: =500 (a gép előírásnak megfelelő) H1: 500 (a gép nem az előírásnak megfelelő)
x m 0 498 500 = = - 1,6865 498 s 40 n
2.
t
3.
1-=0,95, 1
4.
) ( 39) E: t ( n1) ; t ( n1) = t (039 ,975 ; t 0, 975 = [-2,02 ; 2,02] 1 2 1 2
5.
-1,6865[-2,02 ; 2,02]
0,975 2
Mivel tE, a H0 hipotézist elfogadjuk. Tehát 95%-os megbízhatósági szinten azt állíthatjuk, hogy a gép előírásnak megfelelően működik.
IV. 1. 1. MINTAPÉLDA Feladat Hajtsuk végre a hipotézisellenőrzést úgy is, hogy a szórása maximálisan megengedett értékével, azaz 5 ml-rel számolunk (a térfogat szerinti eloszlás normálisnak tekinthető).
T.Nagy Judit
17
HJF
Statisztika II. n = 40, x = 498, (s = 7,5,) m0 = 500, = 5
1.
H0: =500 (a gép előírásnak megfelelő) H1: 500 (a gép nem az előírásnak megfelelő)
x m0 498 500 =z = - 2,5298 5 40 n
2.
z
3.
1-=0,95, 1
4.
E: z ; z = z 0,975 ; z 0,975 = [-1,96 ; 1,96] 1 2 1 2
5.
-2,5298[-1,96 ; 1,96]
0,975 2
Mivel zE, a H0 hipotézist elvetjük (H1-et elfogadjuk). Tehát 95%-os megbízhatósági szinten állíthatjuk, hogy a gép nem az előírásnak megfelelően működik.
IV.1.2. Valószínűségre vonatkozó próba – aránypróba (feltétel: nagy minta, n100) Annak ellenőrzésére szolgál, hogy nagy minta esetén a sokasági arány (valószínűség) egyenlő-e (kisebbe, nagyobb-e) valamilyen feltételezett aránnyal (aránynál). A próba menete Jelölés: P0 a feltételezett valószínűség 1. H0: P=P0 (a sokasági arány egyenlő a feltételezett valószínűséggel) H1: PP0 (a sokasági arány nem egyenlő a feltételezett valószínűséggel) vagy H1: P
P0 (a sokasági arány nagyobb a feltételezett valószínűségnél)
T.Nagy Judit
18
HJF
Statisztika II.
2. z próba: A próbafüggvény z
p P0 P0 (1 P0 ) n
4. A valószínűségre vonatkozó próbafüggvény standard normális eloszlású. Az elfogadási- és visszautasítási tartomány elhelyezkedése szignifikanciaszinten ugyanaz, mint a (z) átlagpróbánál.
IV. 1. 2. MINTAPÉLDA Egy gyorséttermi akció célja, hogy hatására a vásárlók legalább 20%-a vásárolja meg az adott terméket. 350 vásárlót tartalmazó véletlen mintában 65-en megvásárolták a szóban forgó terméket.
Feladat Ellenőrizzük, hogy sikeresnek tekinthető-e az akció 5%-os szignifikanciaszinten.
k = 65, n = 350, P0 = 0,2 1. H0: P=0,2
A nullhipotézist egyenlőség formájában fogalmazzuk meg, de
H1: P<0,2
elfogadása azt jelentené, hogy az arány 20%, vagy annál nagyobb (P0,2), az alternatív hipotézisben pedig ennek ellenkezőjét (P<0,2) az arány 20% alatti.
2.
p
65 = 0,186 350
z
p P0 P0 (1 P0 ) n
0,186 0,2 0,2 0,8 350
3.
=0,05 1- = 0,95
4.
E: z1 ; = [-1,65 ; ]
5.
-0,6548[-1,65 ; ]
= - 0,6548
Mivel zE, a H0 hipotézist elfogadjuk. Tehát 95%-os megbízhatósági szinten sikeresnek tekinthető az akció.
T.Nagy Judit
19
HJF
Statisztika II.
IV. 1. 3. Szórásra vonatkozó próba (feltétel: normális eloszlás) Annak ellenőrzésére szolgál, hogy egy normális eloszlású sokaság szórása megegyezik-e (kisebb-e, nagyobb-e) valamilyen feltételezett szórással (szórásnál).
A próba menete Jelölés: 0 a feltételezett szórás 1. H0: =0 (a sokasági szórás egyenlő a feltételezett szórással) H1: 0 (a sokasági szórás nem egyenlő a feltételezett szórással) H1: <0 (a sokasági szórás kisebb a feltételezett szórásnál) H1: >0 (a sokasági szórás nagyobb a feltételezett szórásnál)
2. 2 próba: A próbafüggvény 2
(n 1)s 2 0
2
A szórásra vonatkozó próbafüggvény n-1 szabadsági fokú 2 eloszlást követ. Az elfogadási és visszautasítási tartomány elhelyezkedése itt is az ellenhipotézis állításától függ. (Viszont a 2 eloszlás nem szimmetrikus!)
4. Az elfogadási tartományok szignifikanciaszinten H1: 0 H1: <0 H1: >0
T.Nagy Judit
( n 1) ( n 1) E 2 ; 2 1 2 2
; E 0; ( n 1)
E 2
2 ( n 1) 1
20
HJF
Statisztika II.
IV. 1. 3. MINTAPÉLDA Feladat Az
és
IV.1.1.
IV.1.2.
Mintapéldára
vonatkozóan
ellenőrizzük
azt
a
feltevést,
5%-os
szignifikanciaszinten, hogy a töltési térfogat szórása előírásnak megfelelő, azaz nem haladja meg az 5 ml-t. n = 40, s = 7,5, = 5 1. H0: =5
A nullhipotézist egyenlőség formájában fogalmazzuk meg, de
H1: >5
elfogadása azt jelentené, hogy a szórás 5 ml, vagy annál kisebb, azaz 5; az alternatív hipotézisben pedig ennek ellenkezőjét: a szórás meghaladja az előírtat.
(n 1)s 2
39 7,5 2 =87,75 52
2.
2
3.
=0,05 1- = 0,95
4.
E 0; 2 1
5.
87,75[0 ; 55,76]
0
( n 1)
2
= 0; =[0 ; 55,76] 2 ( 39) 0 , 95
Mivel 2E, a H0 hipotézist elvetjük (H1-et elfogadjuk). Tehát 95%-os megbízhatóságai azt állíthatjuk, hogy a szórás meghaladja az előírás szerintit.
T.Nagy Judit
21
HJF
Statisztika II.
IV. Nemparaméteres próbák IV.2.1. Illeszkedésvizsgálat – egyenletes eloszlásra (feltétel: legkisebb feltételezett gyakoriság 5 és nagy minta) Annak ellenőrzésére szolgál, hogy a sokaság a feltételezett (egyenletes) eloszlást követi-e, nagy minta esetén. Mindig jobboldali a próba. A próba menete Jelölések:
fi =
n k
k: az ismérvváltozatok száma fi: mintában tapasztalt gyakoriság fi*: feltételezett gyakoriság i=1, 2, …,k 1. H0: fi=fi*
(a sokaság eloszlása megegyezik az egyenletes eloszlással)
H1: i: fifi*
(a sokaság eloszlása nem egyezik meg az egyenletes eloszlással)
2. A próbafüggvény:
k
(f i f i ) 2
i 1
fi
2
*
*
A próbafüggvény k-1 szabadsági fokú khí négyzet eloszlást követ 4.
( k 1)
Elfogadási tartomány szignifikancia szinten: E 0; 2 1
IV. 2.1. MINTAPÉLDA A jogász szakra készülő érettségizők, különböző vidéki egyetemekre történő jelentkezésének eloszlását vizsgálták, a következő 150 elemű reprezentatív minta alapján:
T.Nagy Judit
22
HJF
Statisztika II. Egyetem városa
Jelentkezők száma (fő)
Debrecen
23
Győr
20
Miskolc
37
Pécs
29
Szeged
41
Összesen
150
Feladat Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten, hogy egyenlő megoszlásban jelentkeznek-e a különböző vidéki egyetemekre. n = 150, k = 5, fi* = 1.
2.
150 = 30 5
(i=1, 2, …,5)
H0: fi=fi*
(az eloszlás egyenletes)
H1: i: fifi*
(az eloszlás nem egyenletes)
A próbafüggvény kiszámításához a következő munkatáblázat készíthető:
(f i f i ) 2 *
fi
fi 23 20 37 29 41 Összesen k
(f i f i ) 2
i 1
fi
2
*
fi 30 30 30 30 30 150
150
*
1,63 3,33 1,63 0,03 4,03 10,65
*
*
=10,65
3.
=0,05 1- = 0,95
4.
Elfogadási tartomány szignifikanciaszinten: E 0; 2 1
5.
10,65[0 ; 9,49]
( k 1)
= 0; =[0 ; 9,49] 2 ( 4) 0, 95
Mivel 2E, a H0 hipotézist elvetjük (H1-et elfogadjuk). Tehát 95%-os megbízhatósággal azt állíthatjuk, hogy a felvételizők nem egyenlő megoszlásban jelentkeznek az egyes vidéki városok jogi egyetemeire.
T.Nagy Judit
23
HJF
Statisztika II.
IV.2.2. Függetlenségvizsgálat (feltétel: legkisebb feltételezett gyakoriság 5 és nagy minta) Asszociációs kapcsolat meglétének vizsgálatára szolgál, nagy mintából. Mindig jobboldali. A próba menete Jelölések:
fij: a mintában tapasztalt gyakoriság, fij*: függetlenség esetén tapasztalt gyakoriság, f ij *
f i f j n
t, s: ismérvváltozatok száma (sorok, oszlopok) 1. H0: fij=fij*
(a kapcsolat teljes hiánya, azaz függetlenség)
H1: i, j: fijfij*
(sztochasztikus kapcsolat van)
2. s
t
A próbafüggvény: 2
i 1 j 1
f
ij
f ij f ij
* 2
*
A próbafüggvény (s-1)(t-1) szabadsági fokú khí négyzet eloszlást követ
4.
(s 1)( t 1)
Elfogadási tartomány szignifikancia szinten: E 0; 2 1
IV. 2.1. MINTAPÉLDA Egy piackutató cég vizsgálta, hogy van-e kapcsolat az iskolai végzettség és az internet használat között Magyarországon (2006):
T.Nagy Judit
24
HJF
Statisztika II. internetezési szokás internetezik
iskolai végzettség Legfeljebb 8 általános Szakmunkás Érettségi Diploma Összesen
5 11 35 51 102
soha sem internetezik
Összesen
88 74 43 26 231
93 85 78 77 333
Feladat Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten, hogy van-e szignifikáns kapcsolat az iskolai végzettség és az internetezési szokás között.
s = 4, t = 2 1.
2.
H0: fij=fij*
(nincs kapcsolat, független a két ismérv)
H1: i, j: fijfij*
(van kapcsolat a két ismérv között)
A próbafüggvény kiszámításához a következő két munkatáblázat készíthető: Az elsőben az fij* értékek találhatók, melyek a peremgyakoriságokból számíthatók ki az f ij *
f i f j n
képlettel: fij*
Legfeljebb 8 általános Szakmunkás Érettségi Diploma Összesen
Pl.
f 11
93 102 = 28,49 333
f 12
93 231 = 64,51 333
f 21
85 102 = 26,04 333
*
*
*
T.Nagy Judit
Internetezik
soha sem internetezik
28,49 26,04 23,89 23,59 102
64,51 58,96 54,11 53,41 231
Összesen 93 85 78 77 333
25
HJF
Statisztika II.
f Az másodikban pedig az
ij
f ij f ij
* 2
*
értékek találhatók, melyek összege adja 2 próbafüggvény
aktuális érékét:
f
ij
f ij f ij
* 2
*
Internetezik
soha sem internetezik
19,37 8,69 5,17 31,85
8,55 3,84 2,82 14,07
Legfeljebb 8 általános Szakmunkás Érettségi Diploma Összesen
Összesen
93,82
5 28,492 = 19,37
Pl.
28,49
88 64,512 = 8,55 64,51
11 26,042 26,04
s
t
2
f
i 1 j1
3.
ij
f ij f ij
= 8,69
* 2
*
=93,82
=0,05 1- = 0,95
4.
0;
5.
93,82[0 ; 7,81]
2 ( s 1)( t 1) 1
= 0; =[0 ; 7,81] 2 31 0, 95
Mivel2E, a H0 hipotézist elvetjük (H1-et elfogadjuk). Tehát szignifikáns kapcsolat van 5%-os szignifikanciaszinten az iskolai végzettség és az internetezési szokás között.
IV.2.3. Varianciaanalízis (ANOVA) (feltétel: normális eloszlás, csoportonként azonos szórás) Többmintás várható értékre vonatkozó próba, vegyes kapcsolat meglétének vizsgálatára szolgál. A próba menete Jelölések:
i: az egyes csoportok mintabeli várható értéke : a feltételezett közös várható érték
T.Nagy Judit
26
HJF
Statisztika II. m: a minőségi ismérv szerinti csoportok száma
1. H0: 1 = 2 = … = m =
(a minőségi ismérv szerinti minden csoportban azonos a vizsgált mennyiségi ismérv várható értéke, tehát nincs kapcsolat az ismérvek között) (sztochasztikus kapcsolat van az ismérvek között)
H1: i: i
2.
SK A próbafüggvény: F=
SB
ahol SK n j x j x
(m 1) ( n m)
2
SB x ij x j
(n 2
j 1)s j
2
x
n n
j
xj
.
A próbafüggvény m-1, n-m szabadsági fokú F eloszlást követ.
4.
Elfogadási tartomány szignifikancia szinten: E 0; F1m 1,n m
IV. 2.3. MINTAPÉLDA Egy budapesti ingatlaniroda 2007. márciusában vizsgálta, egy körzetben eladó 63 m2-es lakások kínálati árait és az elhelyezkedésüket (V. VI. VII. kerület): Lakások száma Átlagos A kínálati ár kínálati ár szórása Elhelyezkedés (millió Ft) (millió Ft) nj sj xj V. kerület
40
28,3
3,35
VI. kerület
60
23,8
2,57
VII. kerület
90
20,0
1,96
190
T.Nagy Judit
27
HJF
Statisztika II.
Feladat Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten, hogy van-e szignifikáns kapcsolat a budapesti (V. VI. VII. kerületi) lakások elhelyezkedése és a kínálati ár között. (A kínálati ár normális eloszlást követ és feltételezhető a csoportonkénti azonos szórás.) n = 190, m = 3, x 1 = 28,3, x 2 = 23,8, x 3 = 20 1.
H0: x 1 = x 2 = x 3 = x (minden csoportban egyenlő a várható érék az együttes várható értékkel, azaz nincs kapcsolat) H1: valamelyik x i x
2.
x
n
j
xj
n
(sztochasztikus kapcsolat van)
= 22,95
SK n j x j x =1971,47 2
S B (n j 1)s j =1169,27 2
SK Próbafüggvény: F=
SB
(m 1)
= 157,65
( n m)
3.
=0,05 1- = 0,95
4.
E 0; F1m 1;n m = 0; F0,295;187 =[0 ; 3,04]
5.
157,65[0 ; 3,04]
Mivel FE, a H0 hipotézist elvetjük (H1-et elfogadjuk). Tehát szignifikáns kapcsolat van 5%-os szignifikanciaszinten a lakás elhelyezkedése és a kínálati ár között.
T.Nagy Judit
28
HJF
Statisztika II.
Gyakorló Feladatok 1. Egy telefonos ügyfélszolgálaton a beérkező reklamációs hívások időtartamát rögzítik (a hívások időtartama normális eloszlást követ). Egy véletlenszerűen kiválasztott napon megfigyelték 20 ügyfél hívásának időtartamát (perc): 1,50 1,75 2,00 3,50 4,50 5,00 5,00 5,25 5,75 5,25 5,50 6,40 6,75 7,00 7,25 8,00 9,50 10,50 12,00 15,00
Feladat Készítsen 99%-os megbízhatóságú konfidenciaintervallumot egy hívás átlagos időtartamára Becsülje 99%-os megbízhatósággal a hívások időtartamának szórását. Becsülje 99%-os megbízhatósággal az 10 percnél hosszabb idejű hívások arányát. Vizsgálja meg azt az állítást 5%-os szignifikanciaszinten, hogy a hívások fele 5 percnél hosszabb fele 5 percnél rövidebb. 2. Helyhatósági választások alkalmával, egy adott körzetben 10 000 szavazat összeszámlálása után a legjobban álló polgármesterjelölt a szavazatok 45%-át nyerte el. Feladat Becsülje meg a végleges szavazatok arányát 99%-os megbízhatósági szinten. (FAE mintát feltételezve.) 3. Egy újság olvasóinak életkorát vizsgálta a következő reprezentatív minta alapján. Az életkor szerinti eloszlás normálisnak tekinthető. Életkor (év)
Olvasók száma (fő)
-18
3
18-28
18
28-38
30
38-48
48
48-58
30
58-
21
Összesen
150
Feladat Becsülje meg 95%-os megbízhatósággal az olvasók átlagéletkorát, ha előző vizsgálatokból ismert, hogy az életkor szórása 15 év. Ellenőrizze 5%-os szignifikanciaszint mellett azt az állítást, hogy az olvasók átlagéletkora legfeljebb 45 év, ha előző vizsgálatokból ismert, hogy az életkor szórása 15 év. Becsülje meg 95%-os megbízhatósági szinten a 2 évnél fiatalabb olvasók arányát. Becsülje meg 95%-os megbízhatósági szinten a 2 évnél fiatalabb olvasók számát, ha az újság 600 000 példányszámú. Ellenőrizze azt az állítást, 5%-os szignifikanciaszinten, hogy az átlagéletkor szórása valóban 15 év-e.
T.Nagy Judit
29
HJF
Statisztika II.
4. Budapesti 50 m2-es kiadó lakások havi bérleti díját vizsgálták (reprezentatív minta alapján): Bérleti díj
Lakások
(eFt)
száma (db) -40
8
40-60
23
60-80
59
80-100
28
100-
12
Összesen
130
Feladat Becsülje 90%-os megbízhatósággal a bérleti díj szórását (normális eloszlást feltételezve). Becsülje 90%-os megbízhatósággal az 50 m2–es lakások átlagos havi bérleti díját. Ellenőrizze azt az állítást, 5%-os szignifikanciaszinten, hogy a lakások átlagos bérleti díja meghaladja a 75 ezer Ft. Ellenőrizze azt az állítást, 5%-os szignifikanciaszinten, hogy a bérleti díj szórása a 20 ezer Ft alatt van. 5. A 2007-ben felvettek néhány adata: Állami férfi nő OFIK
22 509 26 217
Költségtérítéses 13 507 19 330
Feladat Ellenőrizze 5%-os szignifikanciaszinten, hogy van-e szignifikáns kapcsolat a nem és a jelentkező finanszírozási formája között.
6. Egy üzletben feljegyezték az óránként érkező vevők számát:
T.Nagy Judit
Óra
Vevők száma
9-10 10_ 11
19 25 30
HJF
Statisztika II. 11_ 12 12_ 13 13-14 14-15 15-16 16-17
21 31 28 17 23 32
Feladat: Ellenőrizze azt az állítást, 5%-os szignifikanciaszinten, hogy az üzletben óránként azonos valószínűséggel vásárolnak. 7. Négy, fogyókúrát elősegítő eljárást teszteltek. A vizsgálat során egyszerű véletlen mintavétellel kiválasztottak a tesztelésben részt vevő 5-5 személyt. Az elért súlyveszteségek az egyes eljárások mellett: Eljárás Súlyveszteség (kg) A 14 15 16 17 18 B 10 14 10 9 12 C 8 11 10 8 8 D 13 16 15 14 12 Feladat: Vizsgálja meg, hogy van-e szignifikáns különbség az egyes eljárások között (=0,05).
T.Nagy Judit
31
HJF
Statisztika II.
Függelék
T.Nagy Judit
32
HJF
Statisztika II.
1. A standard normális eloszlás táblázata z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49
Φ(z) 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
T.Nagy Judit
z 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99
Φ(z) 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
z 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49
Φ(z) 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
z 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99
Φ(z) 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
z 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 2,36 2,38 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98
Φ(z) 0,9772 0,9783 0,9793 0,9803 0,9812 0,9821 0,9830 0,9838 0,9846 0,9854 0,9861 0,9868 0,9875 0,9881 0,9887 0,9893 0,9898 0,9904 0,9909 0,9913 0,9918 0,9922 0,9927 0,9931 0,9934 0,9938 0,9941 0,9945 0,9948 0,9951 0,9953 0,9956 0,9959 0,9961 0,9963 0,9965 0,9967 0,9969 0,9971 0,9973 0,9974 0,9976 0,9977 0,9979 0,9980 0,9981 0,9982 0,9984 0,9985 0,9986
z Φ(z) 3,00 0,9987 3,10 0,9990 3,20 0,9993 3,30 0,9995 3,40 0,9997 3,50 0,9998 3,60 0,9998 3,70 0,9999 3,80 0,9999 3,90 0,99995 4,00 0,99997
33
HJF
Statisztika II.
2. A Student-féle t eloszlás táblázata Szf 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 100 120 100000
0,55
0,6
0,7
0,8
0,9
0,95
0,975
0,9775
0,99
0,995
0,1584 0,1421 0,1366 0,1338 0,1322 0,1311 0,1303 0,1297 0,1293 0,1289 0,1286 0,1283 0,1281 0,1280 0,1278 0,1277 0,1276 0,1274 0,1274 0,1273 0,1272 0,1271 0,1271 0,1270 0,1269 0,1269 0,1268 0,1268 0,1268 0,1267 0,1265 0,1263 0,1260 0,1259 0,1257
0,3249 0,2887 0,2767 0,2707 0,2672 0,2648 0,2632 0,2619 0,2610 0,2602 0,2596 0,2590 0,2586 0,2582 0,2579 0,2576 0,2573 0,2571 0,2569 0,2567 0,2566 0,2564 0,2563 0,2562 0,2561 0,2560 0,2559 0,2558 0,2557 0,2556 0,2550 0,2547 0,2540 0,2539 0,2533
0,7265 0,6172 0,5844 0,5686 0,5594 0,5534 0,5491 0,5459 0,5435 0,5415 0,5399 0,5386 0,5375 0,5366 0,5357 0,5350 0,5344 0,5338 0,5333 0,5329 0,5325 0,5321 0,5317 0,5314 0,5312 0,5309 0,5306 0,5304 0,5302 0,5300 0,5286 0,5278 0,5261 0,5258 0,5244
1,3764 1,0607 0,9785 0,9410 0,9195 0,9057 0,8960 0,8889 0,8834 0,8791 0,8755 0,8726 0,8702 0,8681 0,8662 0,8647 0,8633 0,8620 0,8610 0,8600 0,8591 0,8583 0,8575 0,8569 0,8562 0,8557 0,8551 0,8546 0,8542 0,8538 0,8507 0,8489 0,8452 0,8446 0,8416
3,0777 1,8856 1,6377 1,5332 1,4759 1,4398 1,4149 1,3968 1,3830 1,3722 1,3634 1,3562 1,3502 1,3450 1,3406 1,3368 1,3334 1,3304 1,3277 1,3253 1,3232 1,3212 1,3195 1,3178 1,3163 1,3150 1,3137 1,3125 1,3114 1,3104 1,3031 1,2987 1,2901 1,2886 1,2816
6,3138 2,9200 2,3534 2,1318 2,0150 1,9432 1,8946 1,8595 1,8331 1,8125 1,7959 1,7823 1,7709 1,7613 1,7531 1,7459 1,7396 1,7341 1,7291 1,7247 1,7207 1,7171 1,7139 1,7109 1,7081 1,7056 1,7033 1,7011 1,6991 1,6973 1,6839 1,6759 1,6602 1,6577 1,6449
12,7062 4,3027 3,1824 2,7764 2,5706 2,4469 2,3646 2,3060 2,2622 2,2281 2,2010 2,1788 2,1604 2,1448 2,1314 2,1199 2,1098 2,1009 2,0930 2,0860 2,0796 2,0739 2,0687 2,0639 2,0595 2,0555 2,0518 2,0484 2,0452 2,0423 2,0211 2,0086 1,9840 1,9799 1,9600
14,1235 4,5534 3,3216 2,8803 2,6578 2,5247 2,4363 2,3735 2,3266 2,2902 2,2612 2,2375 2,2178 2,2012 2,1870 2,1747 2,1639 2,1544 2,1460 2,1385 2,1318 2,1256 2,1201 2,1150 2,1104 2,1061 2,1022 2,0986 2,0952 2,0920 2,0695 2,0562 2,0301 2,0258 2,0047
31,8205 6,9646 4,5407 3,7469 3,3649 3,1427 2,9980 2,8965 2,8214 2,7638 2,7181 2,6810 2,6503 2,6245 2,6025 2,5835 2,5669 2,5524 2,5395 2,5280 2,5176 2,5083 2,4999 2,4922 2,4851 2,4786 2,4727 2,4671 2,4620 2,4573 2,4233 2,4033 2,3642 2,3578 2,3264
63,6567 9,9248 5,8409 4,6041 4,0321 3,7074 3,4995 3,3554 3,2498 3,1693 3,1058 3,0545 3,0123 2,9768 2,9467 2,9208 2,8982 2,8784 2,8609 2,8453 2,8314 2,8188 2,8073 2,7969 2,7874 2,7787 2,7707 2,7633 2,7564 2,7500 2,7045 2,6778 2,6259 2,6174 2,5759
T.Nagy Judit
34
HJF
Statisztika II.
3. A 2 eloszlás táblázata 0,01 szf 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 80 100 200
0,01
0,03
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
0,90
0,95
0,98
1,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,10 0,45 1,32 2,71 3,84 5,02 7,88 0,01 0,02 0,05 0,10 0,21 0,58 1,39 2,77 4,61 5,99 7,38 10,60 0,07 0,11 0,22 0,35 0,58 1,21 2,37 4,11 6,25 7,81 9,35 12,84 0,21 0,30 0,48 0,71 1,06 1,92 3,36 5,39 7,78 9,49 11,14 14,86 0,41 0,55 0,83 1,15 1,61 2,67 4,35 6,63 9,24 11,07 12,83 16,75 0,68 0,87 1,24 1,64 2,20 3,45 5,35 7,84 10,64 12,59 14,45 18,55 0,99 1,24 1,69 2,17 2,83 4,25 6,35 9,04 12,02 14,07 16,01 20,28 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 5,07 7,34 10,22 13,36 15,51 17,53 21,95 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 5,90 8,34 11,39 14,68 16,92 19,02 23,59 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 6,74 9,34 12,55 15,99 18,31 20,48 25,19 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 7,58 10,34 13,70 17,28 19,68 21,92 26,76 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 8,44 11,34 14,85 18,55 21,03 23,34 28,30 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 9,30 12,34 15,98 19,81 22,36 24,74 29,82 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 10,17 13,34 17,12 21,06 23,68 26,12 31,32 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 11,04 14,34 18,25 22,31 25,00 27,49 32,80 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 11,91 15,34 19,37 23,54 26,30 28,85 34,27 5,70 6,41 7,56 8,67 10,09 12,79 16,34 20,49 24,77 27,59 30,19 35,72 6,26 7,01 8,23 9,39 10,86 13,68 17,34 21,60 25,99 28,87 31,53 37,16 6,84 7,63 8,91 10,12 11,65 14,56 18,34 22,72 27,20 30,14 32,85 38,58 7,43 8,26 9,59 10,85 12,44 15,45 19,34 23,83 28,41 31,41 34,17 40,00 8,03 8,90 10,28 11,59 13,24 16,34 20,34 24,93 29,62 32,67 35,48 41,40 8,64 9,54 10,98 12,34 14,04 17,24 21,34 26,04 30,81 33,92 36,78 42,80 9,26 10,20 11,69 13,09 14,85 18,14 22,34 27,14 32,01 35,17 38,08 44,18 9,89 10,86 12,40 13,85 15,66 19,04 23,34 28,24 33,20 36,42 39,36 45,56 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 19,94 24,34 29,34 34,38 37,65 40,65 46,93 11,16 12,20 13,84 15,38 17,29 20,84 25,34 30,43 35,56 38,89 41,92 48,29 11,81 12,88 14,57 16,15 18,11 21,75 26,34 31,53 36,74 40,11 43,19 49,64 12,46 13,56 15,31 16,93 18,94 22,66 27,34 32,62 37,92 41,34 44,46 50,99 13,12 14,26 16,05 17,71 19,77 23,57 28,34 33,71 39,09 42,56 45,72 52,34 13,79 14,95 16,79 18,49 20,60 24,48 29,34 34,80 40,26 43,77 46,98 53,67 20,71 22,16 24,43 26,51 29,05 33,66 39,34 45,62 51,81 55,76 59,34 66,77 27,99 29,71 32,36 34,76 37,69 42,94 49,33 56,33 63,17 67,50 71,42 79,49 35,53 37,48 40,48 43,19 46,46 52,29 59,33 66,98 74,40 79,08 83,30 91,95 51,17 53,54 57,15 60,39 64,28 71,14 79,33 88,13 96,58 101,88 106,63 116,32 67,33 70,06 74,22 77,93 82,36 90,13 99,33 109,14 118,50 124,34 129,56 140,17 152,24 156,43 162,73 168,28 174,84 186,17 199,33 213,10 226,02 233,99 241,06 255,26
T.Nagy Judit
35
HJF
Statisztika II.
4. Az F eloszlás táblázata szf 2 szf 1
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 60 80 100 500 1000
161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 242,98 243,91 244,69 245,36 245,95 246,46 246,92 247,32 247,69 248,01 248,31 248,58 248,83 249,05 249,26 249,45 249,63 249,80 249,95 250,10 250,36 250,59 250,79 250,98 251,14 251,29 251,43 251,55 251,67 251,77 252,20 252,72 253,04 254,06 254,19
T.Nagy Judit
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,84 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,45 19,00 9,55 6,94 5,79 5,14 4,74 4,46 4,26 4,10 3,98 3,89 3,81 3,74 3,68 3,63 3,59 19,16 9,28 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3,59 3,49 3,41 3,34 3,29 3,24 3,20 19,25 9,12 6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,63 3,48 3,36 3,26 3,18 3,11 3,06 3,01 2,96 19,30 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,20 3,11 3,03 2,96 2,90 2,85 2,81 19,33 8,94 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 3,09 3,00 2,92 2,85 2,79 2,74 2,70 19,35 8,89 6,09 4,88 4,21 3,79 3,50 3,29 3,14 3,01 2,91 2,83 2,76 2,71 2,66 2,61 19,37 8,85 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,95 2,85 2,77 2,70 2,64 2,59 2,55 19,38 8,81 6,00 4,77 4,10 3,68 3,39 3,18 3,02 2,90 2,80 2,71 2,65 2,59 2,54 2,49 19,40 8,79 5,96 4,74 4,06 3,64 3,35 3,14 2,98 2,85 2,75 2,67 2,60 2,54 2,49 2,45 19,40 8,76 5,94 4,70 4,03 3,60 3,31 3,10 2,94 2,82 2,72 2,63 2,57 2,51 2,46 2,41 19,41 8,74 5,91 4,68 4,00 3,57 3,28 3,07 2,91 2,79 2,69 2,60 2,53 2,48 2,42 2,38 19,42 8,73 5,89 4,66 3,98 3,55 3,26 3,05 2,89 2,76 2,66 2,58 2,51 2,45 2,40 2,35 19,42 8,71 5,87 4,64 3,96 3,53 3,24 3,03 2,86 2,74 2,64 2,55 2,48 2,42 2,37 2,33 19,43 8,70 5,86 4,62 3,94 3,51 3,22 3,01 2,85 2,72 2,62 2,53 2,46 2,40 2,35 2,31 19,43 8,69 5,84 4,60 3,92 3,49 3,20 2,99 2,83 2,70 2,60 2,51 2,44 2,38 2,33 2,29 19,44 8,68 5,83 4,59 3,91 3,48 3,19 2,97 2,81 2,69 2,58 2,50 2,43 2,37 2,32 2,27 19,44 8,67 5,82 4,58 3,90 3,47 3,17 2,96 2,80 2,67 2,57 2,48 2,41 2,35 2,30 2,26 19,44 8,67 5,81 4,57 3,88 3,46 3,16 2,95 2,79 2,66 2,56 2,47 2,40 2,34 2,29 2,24 19,45 8,66 5,80 4,56 3,87 3,44 3,15 2,94 2,77 2,65 2,54 2,46 2,39 2,33 2,28 2,23 19,45 8,65 5,79 4,55 3,86 3,43 3,14 2,93 2,76 2,64 2,53 2,45 2,38 2,32 2,26 2,22 19,45 8,65 5,79 4,54 3,86 3,43 3,13 2,92 2,75 2,63 2,52 2,44 2,37 2,31 2,25 2,21 19,45 8,64 5,78 4,53 3,85 3,42 3,12 2,91 2,75 2,62 2,51 2,43 2,36 2,30 2,24 2,20 19,45 8,64 5,77 4,53 3,84 3,41 3,12 2,90 2,74 2,61 2,51 2,42 2,35 2,29 2,24 2,19 19,46 8,63 5,77 4,52 3,83 3,40 3,11 2,89 2,73 2,60 2,50 2,41 2,34 2,28 2,23 2,18 19,46 8,63 5,76 4,52 3,83 3,40 3,10 2,89 2,72 2,59 2,49 2,41 2,33 2,27 2,22 2,17 19,46 8,63 5,76 4,51 3,82 3,39 3,10 2,88 2,72 2,59 2,48 2,40 2,33 2,27 2,21 2,17 19,46 8,62 5,75 4,50 3,82 3,39 3,09 2,87 2,71 2,58 2,48 2,39 2,32 2,26 2,21 2,16 19,46 8,62 5,75 4,50 3,81 3,38 3,08 2,87 2,70 2,58 2,47 2,39 2,31 2,25 2,20 2,15 19,46 8,62 5,75 4,50 3,81 3,38 3,08 2,86 2,70 2,57 2,47 2,38 2,31 2,25 2,19 2,15 19,46 8,61 5,74 4,49 3,80 3,37 3,07 2,85 2,69 2,56 2,46 2,37 2,30 2,24 2,18 2,14 19,47 8,61 5,73 4,48 3,79 3,36 3,06 2,85 2,68 2,55 2,45 2,36 2,29 2,23 2,17 2,13 19,47 8,60 5,73 4,47 3,79 3,35 3,06 2,84 2,67 2,54 2,44 2,35 2,28 2,22 2,17 2,12 19,47 8,60 5,72 4,47 3,78 3,35 3,05 2,83 2,67 2,54 2,43 2,35 2,27 2,21 2,16 2,11 19,47 8,59 5,72 4,46 3,77 3,34 3,04 2,83 2,66 2,53 2,43 2,34 2,27 2,20 2,15 2,10 19,47 8,59 5,71 4,46 3,77 3,34 3,04 2,82 2,66 2,53 2,42 2,33 2,26 2,20 2,14 2,10 19,47 8,59 5,71 4,46 3,76 3,33 3,03 2,82 2,65 2,52 2,41 2,33 2,25 2,19 2,14 2,09 19,47 8,59 5,71 4,45 3,76 3,33 3,03 2,81 2,65 2,52 2,41 2,32 2,25 2,19 2,13 2,09 19,47 8,58 5,70 4,45 3,76 3,32 3,02 2,81 2,64 2,51 2,41 2,32 2,24 2,18 2,13 2,08 19,48 8,58 5,70 4,44 3,75 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,40 2,31 2,24 2,18 2,12 2,08 19,48 8,57 5,69 4,43 3,74 3,30 3,01 2,79 2,62 2,49 2,38 2,30 2,22 2,16 2,11 2,06 19,48 8,56 5,67 4,41 3,72 3,29 2,99 2,77 2,60 2,47 2,36 2,27 2,20 2,14 2,08 2,03 19,49 8,55 5,66 4,41 3,71 3,27 2,97 2,76 2,59 2,46 2,35 2,26 2,19 2,12 2,07 2,02 19,49 8,53 5,64 4,37 3,68 3,24 2,94 2,72 2,55 2,42 2,31 2,22 2,14 2,08 2,02 1,97 19,49 8,53 5,63 4,37 3,67 3,23 2,93 2,71 2,54 2,41 2,30 2,21 2,14 2,07 2,02 1,97
36
HJF
Statisztika II.
4. Az F eloszlás táblázata - folytatás szf 2 18
19
20
22
24
26
28
30
35
40
45
50
60
80
100
200
500
4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37 2,34 2,31 2,29 2,27 2,25 2,23 2,22 2,20 2,19 2,18 2,17 2,16 2,15 2,14 2,13 2,13 2,12 2,11 2,11 2,10 2,09 2,08 2,07 2,06 2,06 2,05 2,05 2,04 2,04 2,02 1,99 1,98 1,93 1,92
4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,26 2,23 2,21 2,20 2,18 2,17 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,11 2,10 2,09 2,08 2,08 2,07 2,06 2,05 2,04 2,03 2,03 2,02 2,01 2,01 2,00 2,00 1,98 1,96 1,94 1,89 1,88
4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31 2,28 2,25 2,22 2,20 2,18 2,17 2,15 2,14 2,12 2,11 2,10 2,09 2,08 2,07 2,07 2,06 2,05 2,05 2,04 2,03 2,02 2,01 2,00 1,99 1,99 1,98 1,98 1,97 1,97 1,95 1,92 1,91 1,86 1,85
4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,26 2,23 2,20 2,17 2,15 2,13 2,11 2,10 2,08 2,07 2,06 2,05 2,04 2,03 2,02 2,01 2,00 2,00 1,99 1,98 1,97 1,96 1,95 1,95 1,94 1,93 1,93 1,92 1,91 1,91 1,89 1,86 1,85 1,80 1,79
4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,22 2,18 2,15 2,13 2,11 2,09 2,07 2,05 2,04 2,03 2,01 2,00 1,99 1,98 1,97 1,97 1,96 1,95 1,95 1,94 1,93 1,92 1,91 1,90 1,89 1,89 1,88 1,87 1,87 1,86 1,84 1,82 1,80 1,75 1,74
4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,18 2,15 2,12 2,09 2,07 2,05 2,03 2,02 2,00 1,99 1,98 1,97 1,96 1,95 1,94 1,93 1,92 1,91 1,91 1,90 1,89 1,88 1,87 1,86 1,85 1,85 1,84 1,83 1,83 1,82 1,80 1,78 1,76 1,71 1,70
4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,15 2,12 2,09 2,06 2,04 2,02 2,00 1,99 1,97 1,96 1,95 1,93 1,92 1,91 1,91 1,90 1,89 1,88 1,88 1,87 1,86 1,85 1,84 1,83 1,82 1,81 1,81 1,80 1,79 1,79 1,77 1,74 1,73 1,67 1,66
4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,13 2,09 2,06 2,04 2,01 1,99 1,98 1,96 1,95 1,93 1,92 1,91 1,90 1,89 1,88 1,87 1,86 1,85 1,85 1,84 1,83 1,82 1,81 1,80 1,79 1,78 1,78 1,77 1,77 1,76 1,74 1,71 1,70 1,64 1,63
4,12 3,27 2,87 2,64 2,49 2,37 2,29 2,22 2,16 2,11 2,07 2,04 2,01 1,99 1,96 1,94 1,92 1,91 1,89 1,88 1,87 1,85 1,84 1,83 1,82 1,82 1,81 1,80 1,79 1,79 1,77 1,76 1,75 1,74 1,74 1,73 1,72 1,71 1,71 1,70 1,68 1,65 1,63 1,57 1,57
4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,04 2,00 1,97 1,95 1,92 1,90 1,89 1,87 1,85 1,84 1,83 1,81 1,80 1,79 1,78 1,77 1,77 1,76 1,75 1,74 1,73 1,72 1,71 1,70 1,69 1,69 1,68 1,67 1,67 1,66 1,64 1,61 1,59 1,53 1,52
4,06 3,20 2,81 2,58 2,42 2,31 2,22 2,15 2,10 2,05 2,01 1,97 1,94 1,92 1,89 1,87 1,86 1,84 1,82 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,73 1,73 1,72 1,71 1,70 1,69 1,68 1,67 1,66 1,65 1,64 1,64 1,63 1,63 1,60 1,57 1,55 1,49 1,48
4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,99 1,95 1,92 1,89 1,87 1,85 1,83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,73 1,72 1,71 1,70 1,69 1,69 1,67 1,66 1,65 1,64 1,63 1,63 1,62 1,61 1,61 1,60 1,58 1,54 1,52 1,46 1,45
4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,95 1,92 1,89 1,86 1,84 1,82 1,80 1,78 1,76 1,75 1,73 1,72 1,71 1,70 1,69 1,68 1,67 1,66 1,66 1,65 1,64 1,62 1,61 1,60 1,59 1,59 1,58 1,57 1,57 1,56 1,53 1,50 1,48 1,41 1,40
3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,13 2,06 2,00 1,95 1,91 1,88 1,84 1,82 1,79 1,77 1,75 1,73 1,72 1,70 1,69 1,68 1,67 1,65 1,64 1,63 1,63 1,62 1,61 1,60 1,59 1,58 1,56 1,55 1,54 1,54 1,53 1,52 1,51 1,51 1,48 1,45 1,43 1,35 1,34
3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93 1,89 1,85 1,82 1,79 1,77 1,75 1,73 1,71 1,69 1,68 1,66 1,65 1,64 1,63 1,62 1,61 1,60 1,59 1,58 1,57 1,56 1,55 1,54 1,52 1,52 1,51 1,50 1,49 1,48 1,48 1,45 1,41 1,39 1,31 1,30
3,89 3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 2,06 1,98 1,93 1,88 1,84 1,80 1,77 1,74 1,72 1,69 1,67 1,66 1,64 1,62 1,61 1,60 1,58 1,57 1,56 1,55 1,54 1,53 1,52 1,52 1,50 1,49 1,48 1,47 1,46 1,45 1,44 1,43 1,42 1,41 1,39 1,35 1,32 1,22 1,21
3,86 3,01 2,62 2,39 2,23 2,12 2,03 1,96 1,90 1,85 1,81 1,77 1,74 1,71 1,69 1,66 1,64 1,62 1,61 1,59 1,58 1,56 1,55 1,54 1,53 1,52 1,51 1,50 1,49 1,48 1,47 1,45 1,44 1,43 1,42 1,41 1,40 1,39 1,38 1,38 1,35 1,30 1,28 1,16 1,14
T.Nagy Judit
1000
szf 1
3,85 1 3,00 2 2,61 3 2,38 4 2,22 5 2,11 6 2,02 7 1,95 8 1,89 9 1,84 10 1,80 11 1,76 12 1,73 13 1,70 14 1,68 15 1,65 16 1,63 17 1,61 18 1,60 19 1,58 20 1,57 21 1,55 22 1,54 23 1,53 24 1,52 25 1,51 26 1,50 27 1,49 28 1,48 29 1,47 30 1,46 32 1,44 34 1,43 36 1,42 38 1,41 40 1,40 42 1,39 44 1,38 46 1,37 48 1,36 50 1,33 60 1,29 80 1,26 100 1,13 500 1,11 1000
37
HJF
T.Nagy Judit
Statisztika II.
38
