STATISZTIKA II. SZÓBELI TÉTELEK 1. Statisztikai mintavétel. Az alapsokaságból vehet minták száma. (14.o.) Az, hogy egy alapsokaságból hány minta vehet , a kombinatorika szabályai szerint határozható meg. Ezeknek a mintáknak a jellemz értékei (átlagok, szórások, stb.) eltérnek egymástól. a) visszatevéses b) Visszatevés nélküli
2. Statisztikai mintavétel. A mintaátlag és a mintavétel standard hibája. (15.o.) Ha mintaelemek számából levonjuk a számításában fel nem használt adatok számát, akkor kapjuk meg a szabadságfokot (jelölései: SZF, FG, v.). Központi határeloszlás tétele: Tetsz leges elemszámú alapsokaságot vizsgálva nagy elemszámú minták normális eloszlást követnek. Els sorban kisszámú mintáknál van jelent sége, hiszen ha n tetsz legesen növelhet , akkor az (n-a)= FG tényez korrekciós hatásának jelent sége csökken, mert (n-a)/a tart 1hez, ahol a a nem független adatok száma. A szabadságfok úgy is értelmezhet , mint valamely jellemz érték kiszámításához szabadon, önkényesen megválasztható elemek száma, amelyek egymástól függetlenek. A mintaátlag tehát maga is valószín ségi változó, amely várható értékével és szórásával jellemezhet . A mintaátlagok szórása a standard hiba. A standard hiba nagyon fontos jellemz je a statisztikai mintavételnek és a statisztikai becslésnek. Jelölése: D( ), x , , vagy sx . Képletek: Visszatevés nélküli mintavétel esetén valamivel kisebb lehet a standard hiba. Általában elfogadott, hogy 5%-nál kisebb kiválasztási arányszám esetén a korrekciós tényez t visszatevés nélküli mintavétel esetén el is hagyhatjuk, hiszen értéke 1 körüli számérték lesz. 3.
Statisztikai mintavétel. A mintavétel módszerei. (17.o.)
Eljárás: 1. teljes kör 2. rész vizsgálat • Önkényes kiválasztás • Reprezentatív kiválasztás o Tudatos kiválasztás Kvóta szerint Koncentráció elve szerint típus o Véletlen kiválasztás véletlen Egyszer Alap lottóhúzás szisztematikus Különleges megoldás Rétegzett Arányos aránytalan Csoportos Több lépcs s
4.
Statisztikai becslések. Az alapsokaság átlagának becslése. (22.o.)
A becslések lehetnek: • Pontbecslés: az alapsokaság valamely jell értékét 1 számmal becsüljük meg • Intervallumbecslés: az alapsokaság becsülni kívánt paraméterét még megengedhet hibahatár mellett határozzuk meg. PONTBECSLÉS: Ritkábban használt eljárás. 3 fontos követelmény:
Torzítatlanság
Hatásosság ( a becslés jósága)
Konzisztencia A becslés akkor torzítatlan, ha a mintából számított átlag várható értéke megegyezik az alapsokaság átlagával. Ha az alapsokaság jellemz je c, akkor a Torzítatlan becsl függvény: M(a)=c Torzított becsl függvény: M(a)-c=E, ahol E a becslés hibája, vagy a torzítás mértéke. INTERVALLUMBECSLÉS: A gyakorlatban- éppen azért, mert bizonyos tévedési lehet séget megenged- jobban elterjedt becslési forma az intervallumbecslés. Ált. a minta segítségével: Számtani átlagot Értékösszeget és Sokasági arányokat becsülünk. Konfidencia-intervallum: adott valószín séggel lefedi az eloszlás ismeretlen paramétereinek értékét. Lehet: a) kétoldali: [T1, T2], amelynek határait a mintaátlagból kapott mérési eredmények függvényében határozzuk meg. b) Egyoldali: [T, [, ] ,T] A konfidencia-intervallumok határai a konfidencia-határok. A konfidencia-valószín ség az a valószín ség, amelyt l a konfidencia-intervallum határai függnek. Általában: minél nagyobb valószín ségi szintet követelünk meg, annál szélesebbre kell engednünk ahatárokat. 5.
Statisztikai becslések. A szükséges minta-elemszám meghatározása.(28.o.)
A statisztikai munka megbízhatóságát el re meg kell határozni. Általában azt mondjuk, hogy a szignifikancia-szint ne legyen nagyobb egy általunk elfogadható értéknél, vagy azt, hogy az adott intervallum milyen valószín ség mellett tartalmazza az alapsokasági átlagot. A minta elemszámnak eldöntése azért bír nagy jelent séggel, mert az elemszám nagyságától függ becslés pontossága. Viszont a nagy-számú mintavétel költséges, tehát ésszer döntést kell hozni a mintába bekerül elemek számát illet en. Képletek: Hibahatár: Becslés állandó hibája: Visszatevés nélküli mintavételnél a standard hiba korrigált változatát kell használni: 6.
Statisztikai becslések. Értékösszeg becslés. (29.o.)
A mintasokaság értékösszegéb l megbecsülhetjük az alapsokaság értékösszegét. A minta értékösszege az egyes mintaelemek értékének összege: xi=x1+x2+…xn A számtani átlag számításának képlete és az ismert tulajdonsága szerint az alapsokaság értékösszege: S=Nx , melynek valószín ségi várható értéke: M(S)=NM(x ), standard hibája: x =Nsx Az intervallumbecslés már könnyen elvégezhet . Az értékösszeg max hibája: s=t•Nsx Konfidencia intervalluma: S± s
7. Statisztikai hipotézis vizsgálatok. A paraméteres próbák összefoglalása. a) Az alapsokasági átlagra vonatkozó hipotézis ellen rzésre, egy minta segítségével • Nagy mintaszám esetén n>30 (normális eloszlást feltételezve (egymintás upróba, vagy z-próba) • Kis minták esetén n<30 (t-eloszlást feltételezve)( egymintás t-próba) b) Egy alapsokaságból vett két minta átlagának összehasonlítása; (páros minta) c) Két alapsokaságból vett egy-egy minta átlagának összehasonlítása; (kétmintás u vagy z próba, kétmintás t-próba) • Megegyez mintaelem-szám esetén • A minták eltér elemszáma esetén d) Két különböz sokaságból vett minta szórásának összehasonlítása (F-próba) e) Az alapsokaság eloszlására vonatkozó hipotézis ellen rzése ( -próbával)
8. Statisztikai hipotézis vizsgálatok. Egymintás „z” és „t” próbák. A null-hipotézis: H0: = 0 A null-hipotézist nagy elemszámú mintával teszteljük. A próba-függvény: z=(x - )/sx Ahol: x és az sx a minta átlaga és standard hibája. 95%-os megbízhatósági szintet feltételezve azt vizsgáljuk, hogy a mintaátlag ±2,5%-os környezetén belül található-e az alapsokasági átlag, vagy sem. Tehát: • Az elfogadtatási tartomány: 0±mert a 95%-os valószín séghez a standard normális eloszlás kritikus értékeit tartalmazó táblázatban 1,96-os érték tartozik • A kritikustartomány: ±2,5%, az átlagok az elméleti átlagtól szignifikánsan eltérnek A mintából számított ú.n. számított értéket a z- táblázatban lév kritikus értékkel hasonlítjuk össze: z számított>
Statisztikai hipotézis vizsgálatok. Kétmintás „t” és „F” próbák. (41.o.)
Ha két alapsokaság jellemz értékeit akarjuk összehasonlítani , s ehhez az alapsokaságból egy-egy mintát veszünk, akkor a kétmintás t-próba szabályai szerint kell eljárni. A két alapsokaságból vett jelöljük X és Y sokaságnak. A minták segítségével ellen rizni kívánt hipotézis: H0: x- y=0 Tételezzük fel, hogy a két sokaságból vett minták átlaga alapján az alapsokaságok várhatóértékei szignifikánsan nem térnek el. Kisebb számú minták esetén visszatérünk a Student- féle eloszlásra, s a próbafüggvények az alábbiak szerint írhatók fel: Ha n1=n2 képlet: Ha n1 n2 képlet: A t-próbafgv általában csak a két középérték várható értékének különböz ségére, v eltérésére. A Welch-próba Két normális eloszlású valószín ségi változó várható értéke csak akkor hasonlítható össze egzakt módon, ha szórásaik azonosak. Ez a kérdés F próbával dönthet el. Ha a szórások adott szignifikanciaszint mellett azonosnak tekinthet k, akkor a kétmintás t-próba a várható értékek
összehasonlítására korrekt módszer. Ha a két szórás között szignifikáns különbség van, a várható értékek összehasonlítására csak közelít módszer van ez az u.n. Welch-próba. Hipotézis: H0: = Ellen hipotézis: H0: Próba statisztika:
10. Statisztikai hipotézis vizsgálatok. Nem paraméteres próbák.
11.
Kétváltozós sztochasztikus kapcsolatok. A kapcsolatok jellege és a tényez k közötti korreláció és regresszió számítása. (63.o.)
A statisztikai sokaságnak vagy elemeinek általában több tulajdonsága van, amelyek valamilyen módon min ségi vagy mennyiségi jellemz kkel leírhatók. A termelési folyamatban a sokaságok általában valamilyen termelési tényez k, illetve azoknak különböz tulajdonságai, amelyek hatnak egymásra és az események végs kimenetelére is. A tulajdonságok között különböz típusú kapcsolatok alakulhatnak ki. • Függvényszer kapcsolatok, mikor az egyik tényez változása egyértelm en meghatározza a másik tényez változását • Sztochasztikus kapcsolatok, amikor egyik tényez hat a másik alakulására, de ez a hatás véletlenszer , tehát csak bizonyos következtetési szint , és csak közelít leg becsülhet . • Nincs kapcsolat a tényez k között A mennyiségi ismérvek közötti kapcsolat mérésére a korrelációs együttható mellett a számszer összefüggést is kifejez regressziós együtthatókat is használjuk. A regressziószámítás és a korreláció-számítás szervesen összefonódik, egy rendszerré áll össze, és egymást kiegészítve adnak elégséges információkat a vizsgált tényez k közötti kapcsolatokra vonatkozóan. 12.
Kétváltozós sztochasztikus kapcsolatok. Min ségi ismérvek közötti kapcsolatok mutatószámai. (64.o.)
A min ségi ismérvek közötti kapcsolatok szorosságát az asszociáció mutatószámaival mérjük. Ezek a mér számok tömören, egy számban fejezik ki a tényez k közötti kapcsolat jelent ségét. A legegyszer bb eset az, amikor a vizsgált két sokaságot 2-2 csoportra bontjuk, 2X2es kontingencia táblázat. Legismertebb a Yule-féle asszociációs együttható: A=(f11 •f22 -f12 •f21)/(f11 •f22 +f12 •f21) Ennek a mutatónak az értéke -1; 1 intervallumba esik. A kapcsolat teljes hiánya esetén A=0 és a teljes kapcsolat esetén ±1. A 2X2es min ségi ismérv-bontás mellett gyakori eset,, hogy a min ségi ismérveket több csoportra kell bontani, ill. több szinten jelentkeznek az eltérések. Ebben az esetben a Yuleféle asszociációs együttható nem, vagy csak nagy megszorítások esetén lenne alkalmazható. Az ilyen jelleg problémák megoldására alkalmas a Csuprov-féle asszociációs együttható. Két esemény együttes bekövetkezése egyenl a két esemény bekövetkezésének szorzatával. A következ képpen számolhatjuk ki: A kapcsolat szorosságának mérésére használjuk a Cramer-féle együtthatót Számítása: A C mutatószám értéke mindig 0 és ±1 között lév szám. Ha 2 ismérv rétegszáma megegyezik (s=t), akkor T=C, tehát két asszociációs mutató értéke azonos.
13.
Kétváltozós sztochasztikus kapcsolatok. Vegyes kapcsolatok értékelése.(74.o.)
A min ségi és a mennyiségi ismérvek közötti kapcsolatot vegyes kapcsolatnak nevezzük. Sokszor találkozunk ilyen típusú feladattal. Két változó kapcsolatában, amennyiben az egyik változó szerint rétegekre bontjuk a sokaságot az egész sokaságra jellemz f szórás két részb l tev dik össze. Az egyik magyarázza a szintek szerinti eltérés, míg a másik része a véletlennel függ össze. A vegyes kapcsolat mérésére az un. variancia-hányadost (H2) használjuk. Képlete: Nyilvánvaló, ha a küls szórásnégyzet 0, akkor a szinteket elhatároló ismérv semmilyen hatással nincs az alapsokasági változóra. Ha a bels szórásnégyzet 0, vagy ahhoz közeli érték, akkor az alapsokasági változó értéke nagymértékben függ az ismérvt l. Széls séges esetben a kapcsolat függvényszer is lehet. Kiegészít mutatóként még szoktuk számítani a szórás-hányadost (H), amely közvetlenül a szórásokat viszonyítja egymáshoz: H= k / , amelynek értéke szintén 1 és 0 közötti szám lesz.
14. Kétváltozós sztochasztikus kapcsolatok. Két mennyiségi ismérv közötti korreláció és regresszió számítása. (76.o.) A mennyiségi ismérvek közötti kapcsolatot korrelációnak és regressziónak, ennek számszer kimutatását pedig korreláció- és regresszió számításnak nevezzük. Két mennyiségi ismérv között a leggyakrabban a következ paramétereket , ill. együtthatókat számoljuk: • A korreláció szorosságát kifejez együtthatókat • A kapcsolat irányát és mértékét mutató paramétereket. A kapcsolat természetét a regresszió-számítás általában függvényekkel írja le. A két tényez közötti kapcsolat feltárásához legalább 30 adat pár szükséges. Számítás lépései: a) A tényez k közötti kapcsolat szakmai megítélése. Követelmény, hogy a tényez k egymással ok-okozati összefüggésben legyenek. b) A szükséges adatbázis el teremtése, az adatgy jtés megszervezése. Ne felejtsük el, hogy a mintavétel szabályait be kell tartani, hiszen a mintából következtetünk a becsl függvény alakulása c) A két tényez kapcsolatának grafikus ábrázolása d) A pontok vonulása irányából következtethetünk a becsl -fgv típusára. A közelít fgvek leletnek: • Lineális regressziós fgv: Y=a+bx • Hiperbolikus regressziós fgv: Y=a+b•1/x • Hatványkitev s regressziós fgv: Y=a•xb • Exponenciális regressziós fgv: Y=a•bx • Másodfokú parabola Y=a+bx+cx2 e) A kiválasztott becsl fgv paramétereinek meghatározása. A kiválasztásnál a dönt szempont az, hogy a becsl fgv adott pontban vett helyettesítési értékei a legkevésbé térjenek el az adott pontban lév mintabeli értékekt l. A becsl fgv paramétereinek kiszámítása többféle eljárással lehetséges: • A legkisebb négyzetek módszere • A mátrix-módszer f) A becsl fgvk illesztési pontosságának vizsgálata. Mivel a becsl fgv értékei és az eredeti értékek között sztochasztikus kapcsolat esetén mindig van eltérés, ebb l az eltérésb l lehet következtetni az illesztés pontosságára, vagy hibájára.
g) a két tényez közötti korrelációs kapcsolat er ssége: Lineális összefüggés esetén a korrelációs együtthatóval (r), nem lineális összefüggéseknél a korrelációs index- szel (I) mérjük.
15. Kétváltozós sztochasztikus kapcsolatok. A nem lineális regressziós kapcsolatok mérése. (89.o.) A két tényez között a kapcsolat iránya sokféle lehet. Ezek közül a lineális összefüggésen túlmen en következ k vannak: • Hiperbola típusú • Exponenciális • Hatványkitev s • Másodfokú parabolával leírható kapcsolatok. Ezek a kapcsolattípusok a valóságban, az egyes termelési tényez k egymásra hatásának folyamatában alakulnak ki. Hiperbolikus típusú:Ez a típusú összefüggés azoknak a termelési tényez knek a viszonylatában fordul el , amikor az egyik tényez a növekedésével a másik tényez csökkenése párosul, de ez a csökkenés egyre kisebb mérték , tehát a ható tényez intenzitása az értelmezési tartomány különböz pontjain mért növekedések esetében eltér . A becsl fgv.: Y=a+b•1/x Az egyenletben a és b paraméterek ismeretlenek. A lineális regressziónál tanultak szerint felírhatók a legkisebb négyzetek módszerével levezetett normálegyenletek: 2 normálegy.
Exponenciális: ezzel a fgv típussal azok a gazdasági folyamatok írhatók le, amelyeknél a hatótényez egységnyi változásához %-os függ -változó változás tartozik. A becsl fgv.: Y=a•bx logaritmus transzformáció A legkisebb négyzetek elvéb l levezetett normálegyenletek (2): Hatványkitev s: Ezt a típusú regressziós fgvt akkor illesztjük, ha azt vizsgáljuk, hogy a független változó egy %-nyi változása hány %-os növekedést (vagy csökkenést) vált ki az eredmény-változóban. A becsl fgv.. Y=axb A 2 normál egyenlet. Másodfokú parabolával leírható kapcsolatok. Vannak olyan típusú összefüggések is, ahol jellemz en nem lineális jelleg az összefüggés két változó esetében. Ilyennek tekinthet a másodfokú parabolával, vagy parabolaívvel leírható kapcsolat. (növekv ; degresszíven növekv ; maximum; degresszíven csökken ; csökken ). A fgv általános alakja: Y=a+bx+cx2 A három normál-egyenlete:
16. Kétváltozós sztochasztikus kapcsolatok. A nem lineális kapcsolat korrelációjának mérése és megítélése. (101.o.) A két mennyiségi ismérv közötti kapcsolat szorosságának mérését korreláció-számításnak nevezzük. Azt mutatja meg, hogy az egyik (X) tényez nek a másik (Y) tényez re gyakorolt hatása valóban a tényez hatásra és nem a véletlenre vezethet vissza. A kapcsolat szorosságát statisztikai módszerekkel mérhetjük:
• Variancia-analízis alkalmazásával • A korrelációs együtthatóval • A korrelációs index-szel Ezek a módszerek, ill. mutatók egymással szoros kapcsolatban vannak, egymásból származtathatók, és a regressziós egyenesek paramétereivel is mat. összefüggést mutatnak. A korrelációszámítás gondolata, hogy az y változók átlag körüli szórása 2 részre bontható: • A tényez ellátásra • A véletlen hatásokra Tényez Eltérés szabadságfok Becsült szórásnégyzet Femp négyzetösszeg SR2/SE2 Regresszió QR= (yi-y )2 1 SR2=QR Véletlen
QE= (yi-yi)2
n-2
SE 2=QE/n-2
----------
Teljes
Q= (yi-y )2
n-1
(S2=Q/(n-1))
----------
Általában a következ szorossági fokozatokat szoktunk elkülöníteni: 0,25
Id sorok elemzése. Az id sorokban fellelhet ingadozások jellege és azok okainak magyarázata. (108.o.)
A társadalmi-gazdasági élet minden folyamata bizonyos id ponthoz kötötten vagy bizonyos id tartam alatt játszódik le. Az id vel tehát minden jelenség kapcsolatban van, csak éppen a különböz irányú változások miatt nem mindig t nik ki világosan és egyértelm en a változás iránya és az ingadozás jellege. Az id sorok változásának iránya és az ingadozás jellegzetességének elemzése speciális statisztikai módszerek alkalmazását igényli. E módszerek segítségével feltárhatók az id sor változását el idéz tényez k, illet leg az ezekben érvényesül törvényszer ségek. Az id sorok alakulásában mindig valamilyen változások, szabályos vagy kevésbé szabályos hullámzások, ingadozások figyelhet k meg. Külön-külön kell elemezni az ingadozást kiváltó tényez ket. Egy id sorban a következ hatások érvényesülhetnek: • Alapirányzat, vagy trend • A szezonális hatás, amely általában 1 éven belüli szabályosan ismétl d id szakokhoz kapcsolódnak. Szokás ezt idényszer változásnak vagy periodikus ingadozásnak nevezni. • A ciklikus hullámzás, vagy változás, amely általában hosszabb id sorok viszonylatában értelmezhet • Véletlen hatás, vagy véletlen ingadozás. Ahhoz, hogy az id sorok ezen összetev i külön-külön vizsgálhatók legyenek, összetev n kívüli komponensek hatását a lehet séghez képes ki kell küszöbölni, az id sort e hatásoktól meg kell tisztítani. Az összetev k egymástól való elkülönülése akkor lehet sikeres, ha ismert a komponensek egymáshoz kapcsolódása. A komponensek egymáshoz kapcsolódása lehet additív és multiplikatív jelleg : Modellje: yij=yij+si+vij yij=yij•si•vij
Ahol: • • • •
18.
yij az id sor periódusa (j) és azon belüli id szak (i) száma yij az adott id re vonatkozó trendérték sj a szezonális ingadozás vij a véletlen ingadozás
Id sorok elemzése. Az alapirányzat mérésének lehet ségei. (109.o.)
A trend az id sor összetev i közül a tartós alapirányzat, mely kifejezhet növekv vagy csökken tendenciát, de lehet egy szinten mozgó is. A tendencia az id sor hullámzása miatt csak akkor t nik ki, ha az az id sor kiegyenlít dik. Az id sor kiegyenlítésére több módszer is a rendelkezésre áll.pl.: a mozgó átlagolás és az analitikus trendszámítás. Bármely módszer alkalmazását megel zi az id sor vonaldiagramjának elkészítése, mely általános tájékoztatást nyújt az id sor alakulásáról. A vonaldiagram felhasználható a hullámzást kiegyenlít tendenciavonal becslésére is. 19.
Id sorok elemzése. Páros és páratlan tagszámú mozgóátlag számítások és az eredményekb l levonható következtetések értelmezése. (110.o.)
A mozgóátlagok módszerével az id sor hullámzása mérsékelhet . Az id sor értékeib l a dinamikát kifejez átlagokat számítva az átlag a véletlen ingadozásokat általában kiküszöböli, a dinamikát kifejez átlag tagszámát a periódus id szakának számában vagy annak többszörösében megállapítva pedig a periódikus ingadozást küszöböli ki. A mozgó átlagok módszerével az id sor értékeib l újabb id sort képezve a trendet az id sor dinamikus átlagai fejezik ki. A mozgóátlagokat a periódushossztól függ en megállapított tagszám alapján az id sor els tagjától kezdve számtani átlaggal kell megállapítani. A mozgóátlagok számítása yi értékek id sorából: • Háromtagú • Négytagú centírozatlan • Négytagú centírozott A mozgó átlagok tagszáma páratlan vagy páros lehet. A mozgó átlagokat az átlagolt id beli értékek középs tagja mellett kell feltüntetni. A páros tagszámú átlagok az id pontok közé esnek, ezért azokat középre kell igazítani. A kérdéses id szak két oldalon lév mozgó átlag számtani átlaga a középre igazított, centírozott érték 20.
Id sorok elemzése. Az analitikus trendszámítások és az eredményekb l levonható következtetések. (111.o.)
A trendszámítás e módszere- mivel az id sor adatai sztochasztikus folyamatot írnak le- az id sor értékeihez legjobban illeszked függvénnyel fejezi ki a folyamat tendenciáját, az egyenlet paramétereit pedig általában a legkisebb négyzetek módszerével becsüli. Analitikus trendszámítás esetén leggyakoribbak a lineális, az exponenciális, a hiperbolikus, a logisztikus és a különböz fokú hatványfüggvényekkel való közelítések. Az analitikus trendszámítás lépései: • Az id sorok el állítása • Az id sor grafikus ábrázolása. Külön figyelni kell a léptékek helyes megválasztására, mert az segíti a valóságos összefüggések vizuális felismerését • Az ábra alapján a megfelel függvénytípus kiválasztása • A függvények paramétereinek kiszámítása
• •
Az illesztés pontosságának (jóságának) mérése A gazdasági következtetések levonása, prognózisok készítése, általában: a gazdasági döntések megalapozása
21. Id sorok elemzése. A prognózis készítése, és az el rejelzések szakmai kritikája. 22. Id sorok elemzése. Az idényszer hullámzás vizsgálata. Az idényszer en változó id sorban a hullámzás vagy mindig azonos, vagy változó periódushosszúságú intervallummal ismétl dik. A szezonális hullámzásnak egy évnél ne hosszabb, a ciklus változásnak pedig ennél hosszabb változó periódusú ingadozás tekinthet . A szabályosan változó, megközelít en azonos periódushosszúsággal jelentkez ingadozások kifejezésére a szezonalitás-vizsgálat módszerei alkalmazhatók. A szezonális hullámzást el idézhetik természeti és biológiai tényez k, valamint hagyományok és szokások A szezonális ingadozás módszeres vizsgálata el tt arról kell meggy z dni, hogy az idényszer séget el idéz hatás additív vagy multiplikatív jelleg -e, vagyis yij=yij+si+vij vagy yij=yij•si•vij formájában kapcsolódnak az id sor komponensei egymáshoz. Additív hatás esetén a szezonális eltérést és a véletlen hatást az id sor tényleges értékének és trendértékének különbsége adja. Az egy-egy azonos szezonra adódó különbségek átlagolása a véletlen hatásától mentesíti az el bbi értéke, ezáltal a maradék, a különbség a szezonális eltéréseket adja. Az eltérések összegének, illet leg átlagának nullát kellene adni, azonban e módszer nem biztosíthatja, hogy eltérések a periódus egészére kiegyenlítsék egymást, ezért ezen nyers eltérésekb l számított számtani átlaggal kiigazítást végezve, az eredmény a korrigált szezonális eltérés. A korrekciós tényez kiszámítása: A szezonindexek számítása: Olyan id soroknál, amelyek kialakításában mindhárom összetev szerepet játszik, els feladat az id sor tendenciájának megállapítása. A szezonális eltérések vizsgálatához elegend k a tendenciát kifejez mozgó átlagok. A szezonindexek számításához az id sor analitikus trendfüggvényre van szükség. A multiplikatív módon számolt szezonális hatás segítségével ugyanúgy tudunk el rejelzéseket végezni, mint az additív modelleknél. A kétféle módszerrel készített prognózis közel hasonló eredményt ad. Lényeges az, hogy minél pontosabban végezzük el a becslést. Akkor járunk el leghelyesebben, ha mind a kétféle el rejelzést elvégezzük, s utána a becslés pontosságát összehasonlítjuk. Az a közelítés a jobb, amelynél a hiba négyzetösszege a kisebb, azaz: Az additív illesztés hibája: A multiplikatív illesztés hibája: A kisebb hibával járó becslési módot célszer választani.
