GAZDASÁGI STATISZTIKA

GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István

GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET

Tantárgy: Gazdasági statisztika

Kódszám: 224

Lapszám: 1

TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE



Kódszám: 224

Lapszám: 2

A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI A STATISZTIKA ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE A STATISZTIKAI ADATOK KELETKEZÉSE ADATGYŰJTÉS SOKASÁGOK LEÍRÁSÁNAK ESZKÖZEI



Kódszám: 224

Lapszám: 3

A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI A STATISZTIKA ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE MI A STATISZTIKA? A STATISZTIKA TEVÉKENYSÉGEI A STATISZTIKA MÓDSZERTANA A STATISZTIKA SZEREPE



Kódszám: 224

Lapszám: 4

MI A STATISZTIKA? TUDOMÁNYOS ESZKÖZKÉNT

a környezetet hűen leíró számok és adatok összessége

MATEMATIKAI ELMÉLETKÉNT

a véletlen tömegjelenségek számszerű jellemzése

FORMAI SZEMPONTBÓL

általában táblázat vagy számított adat

MÓDSZERTANI SZEMPONTBÓL

adatok gyűjtésének, ábrázolásának és elemzésének módszertana



Kódszám: 224

Lapszám: 5

A STATISZTIKA TEVÉKENYSÉGEI kikérdezés

ADATOK GYŰJTÉSE

megfigyelés kísérlet ábrázolás

ADATOK FELDOLGOZÁSA

egyszerű számtani műveletek mennyiségi

EREDMÉNY ELEMZÉSE


csoportosítás

minőségi


Kódszám: 224

Lapszám: 6

A STATISZTIKA MÓDSZERTANA adatgyűjtés a teljes sokaságra

LEÍRÓ STATISZTIKA

adatfeldolgozás a teljes sokaságra eredményelemzés a teljes sokaságra

STATISZTIKAI KÖVETKEZTETÉS

adatgyűjtés egy részsokaságra adatfeldolgozás egy részsokaságra eredményelemzés a teljes sokaságra



Kódszám: 224

Lapszám: 7

PÉLDA: RÉSZLEGES ÉS TELJES NÉPSZÁMLÁLÁS ADATOK GYŰJTÉSE

egyéni kikérdezés

ADATOK FELDOLGOZÁSA

lakosság száma megoszlás kor, nem stb. szerint

megoszlások közötti kapcsolatok EREDMÉNY ELEMZÉSE

adatok időbeli alakulása demográfiai, szociológiai változások



Kódszám: 224

Lapszám: 8

A STATISZTIKA SZEREPE MEGISMERÉSI FOLYAMAT

a valóság számszerű leírása jelenségek időbeli előrebecslése

PÉLDA: ÖKOLÓGIA DEMOGRÁFIA

helyzetfelmérés

DÖNTÉSI FOLYAMAT

döntési változatok hatásbecslése

PÉLDA: BERUHÁZÁS ÁTSZERVEZÉS



Kódszám: 224

Lapszám: 9

A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI A STATISZTIKAI ADATOK KELETKEZÉSE STATISZTIKAI EGYSÉG ÉS SOKASÁG STATISZTIKAI SOKASÁGOK TÍPUSAI ISMÉRVEK ÉS ISMÉRVVÁLTOZATOK ISMÉRVEK OSZTÁLYOZÁSA MÉRÉS, MÉRÉSI SKÁLA MÉRÉSI SKÁLÁK TÍPUSAI GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám: 10

STATISZTIKAI EGYSÉG ÉS SOKASÁG megfigyelés tárgyát képező egyed STATISZTIKAI EGYSÉG

statisztikai információ hordozója lehet élőlény, tárgy, képzett egység

PÉLDA: NÉPSZÁMLÁLÁS EGYES EMBER

STATISZTIKAI SOKASÁG

megfigyelt egyedek összessége

PÉLDA: NÉPSZÁMLÁLÁS LAKOSSÁG GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám: 11

STATISZTIKAI SOKASÁGOK TÍPUSAI EGYSÉGEK JELLEGE SZERINT EGYSÉGEK SZÁMA SZERINT

IDŐBELISÉG SZERINT


diszkrét: az egységek világosan elkülönülnek

pl. égitestek, molekulák

folytonos: az egységek megválasztása önkényes

pl. pénz, nyersanyag

véges: a megfigyelt egységek száma véges

pl. népesség, esős napok száma

végtelen: a megfigyelhető egységek száma korlátlan

pl. fizikai vagy kémiai kísérlet

álló:időpontra vonatkozik állapotot fejez ki

pl. lakosság egy adott időpontban

mozgó: időszakra vonatkozik, változást fejez ki

pl. születések száma egy évben


Kódszám: 224

Lapszám: 12

ISMÉRVEK ÉS ISMÉRVVÁLTOZATOK STATISZTIKAI ISMÉRV

az egyedek megfigyelt tulajdonsága

pl. autó típusa, színe, súlya

ISMÉRVVÁLTOZATOK

az ismérv lehetséges kimenetelei (értékei)

pl. autó új, megkímélt, lestrapált

ALTERNATÍV ISMÉRV

a lehetséges értékek száma kettő

pl. férfi-nő, 60 év alatt vagy felett



Kódszám: 224

Lapszám: 13

ISMÉRVEK OSZTÁLYOZÁSA EGYSÉGEK VISZONYA SZERINT

MÉRHETŐSÉG SZERINT

INFORMÁCIÓ TÍPUSA SZERINT


közös: a sokaság egységei egyformák

pl. férfiak neme

megkülönböztető: a sokaság csoportosítható

pl. autók típusai

mennyiségi: mértékegységgel mérhető

pl. életkor, testmagasság

minőségi: nincs mértékegység

pl. szépség, színészi tehetség

térbeli, időbeli, színbeli stb. információ

pl. születési hely és idő, bőrszín


Kódszám: 224

Lapszám: 14

MÉRÉS, MÉRÉSI SKÁLA

MÉRÉS

számok hozzárendelése dolgokhoz, jelenségekhez, tulajdonságokhoz stb

MÉRÉSI SKÁLA

a lehetséges mérési értékek halmaza az összehasonlítási szabállyal együtt

MÉRÉSI SKÁLÁK BESOROLÁSA

a mérési értékek összehasonlítási szabálya szerint



Kódszám: 224

Lapszám: 15

MÉRÉSI SKÁLÁK TÍPUSAI NÉVLEGES (NOMINÁLIS)

hozzárendelés:tisztán kód főleg minőségi, földrajzi

pl. autórendszám, irányítószám

SORRENDI (ORDINÁLIS)

hozzárendelés: sorrend arány érdektelen

pl. osztályzat, versenyhelyezés

KÜLÖNBSÉGI (INTERVALLUM)

hozzárendelés: különbség fontos, nullpont önkényes

pl. hőmérséklet, hegy magassága

ARÁNY

hozzárendelés: nullpont és arány is fontos

pl. hosszúság, súly, költség



Kódszám: 224

Lapszám: 16

A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI ADATGYŰJTÉS STATISZTIKAI ADAT ÉS TÍPUSAI AZ ADATSZOLGÁLTATÁS KÖVETELMÉNYEI ÉS KITERJEDÉSE RÉSZLEGES ADATFELVÉTEL AZ ADATGYŰJTÉS TECHNIKAI ELEMEI HIBA ÉS HIBAKORLÁT



Kódszám: 224

Lapszám: 17

STATISZTIKAI ADAT ÉS TÍPUSAI STATISZTIKAI ADAT

sokaság jellemzése számmal és azonosítóval

pl. évi jövedelem, ország területe

ALAPADAT

mérés vagy számlálás eredménye

pl. termelés, létszám

SZÁRMAZTATOTT ADAT

több alapadatból számításssal keletkezik

pl. lakosságszám évi változása

STATISZTIKAI MUTATÓSZÁM

ismétlődő jelenség statisztikai jellemzése

pl. GDP/fő, termelékenység



Kódszám: 224

Lapszám: 18

AZ ADATSZOLGÁLTATÁS KÖVETELMÉNYEI ÉS KITERJEDÉSE adatok pontossága KÖVETELMÉNYEK

gyorsaság gazdaságosság

teljes körű

KITERJEDÉS


részleges


Kódszám: 224

Lapszám: 19

RÉSZLEGES ADATFELVÉTEL REPREZENTATÍV ADATFELVÉTEL

a minta hűen tükrözi az alapsokaságot

pl. részleges népszámlálás

MONOGRÁFIA

egy vagy néhány kiemelt egyed részletes vizsgálata

pl. két szélsőséges eset elemzése

EGYÉB RÉSZLEGES ADATGYŰJTÉS

nem reprezentatív módon kiválasztott minta

pl. kikérdezés találomra



Kódszám: 224

Lapszám: 20

AZ ADATGYŰJTÉS TECHNIKAI ELEMEI ADATOK FORRÁSA

ADATGYŰJTÉS ESZKÖZEI

KÉRDŐÍV KITÖLTÉSE


megfigyelési egység: rá vonatkozik az adat

pl. autó

számbavételi egység: ő szolgáltatja az adatot

pl. autó üzemeltetője

egyéni kérdőív: egyetlen megfigyelési egységről

pl. népszámlálási kérdőív

lajstrom: több megfigyelési egységről

pl. aláírásgyűjtő lista

önszámlálás: az adatszolgáltató tölti ki

pl. lakcímbejelentő lap

kikérdezés: a kérdezőbiztos tölti ki

pl. forgalomfelmérés


Kódszám: 224

Lapszám: 21

HIBA ÉS HIBAKORLÁT - I. VALÓSÁGOS ADAT

A: a vizsgált mennyiség tényleges értéke

MÉRT ADAT

Â: a vizsgált mennyiség mért értéke

ABSZOLÚT HIBA

a = A−Â a valóságos és a mért adat eltérése

ABSZOLÚT HIBAKORLÁT


â: a maximumának becsült értéke;; feltehetően Â−â ≤ A ≤ Â+â


Kódszám: 224

Lapszám: 22

HIBA ÉS HIBAKORLÁT - II. SZIGNIFIKÁNS SZÁMJEGYEK

a mért érték megbízható kerekítésének számjegyei

UTOLSÓ KIÍRT SZÁMJEGY

mért érték kerekítésének utolsó számjegye;;

s

s

ha helyiértéke 10 , akkor â = 10 /2

RELATÍV HIBA

α=a/A abszolút hiba és valóságos adat hányadosa

RELATÍV HIBAKORLÁT

α! = â / Â ; abszolút hibakorlát és mért kerekített adat hányadosa



Kódszám: 224

Lapszám: 23

PÉLDA: RÉSZLEGES NÉPSZÁMLÁLÁS VALÓSÁGOS ADAT:

A = 10 276 538

MÉRT ADAT:

Â = 10 276 893

ABSZOLÚT HIBA:

 = 355 a =  10276538 − 10276893

SZIGNIFIKÁNS SZÁMJEGYEK:

1 0 2 7 7

UTOLSÓ KIÍRT SZÁMJEGY HELYIÉRTÉKE: ABSZOLÚT HIBAKORLÁT: RELATÍV HIBA:

1 000

â = 1000 / 2 = 500

α = 355 / 10276538 = 0.00345 %

RELATÍV HIBAKORLÁT: α! = 500 / 10277000 = 0.00487 %



Kódszám: 224

Lapszám: 24

A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI SOKASÁGOK LEÍRÁSÁNAK ESZKÖZEI CSOPORTOSÍTÁS ÖSSZEHASONLÍTÁS VISZONYSZÁMOK ÁTLAGOK SÚLYOZOTT ÁTLAGOK ÁTLAGOK TULAJDONSÁGAI A SZÁMTANI ÁTLAG TULAJDONSÁGAI GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám: 25

CSOPORTOSÍTÁS CSOPORTOSÍTÁS

a sokaság átfedésmentes és teljes felosztása megkülönböztető ismérv szerint

NÓMENKLATÚRA

szabványos, ismételten felhasznált osztályozási rendszer

CSOPORTOSÍTÓ SOR

egyetlen ismérv szerinti osztályozás;; lehet minőségi, mennyiségi, területi, időbeli

STATISZTIKAI TÁBLA

több ismérv szerinti, kombinált osztályozás

NEM FŐ Fiú 12 Lány 18 Összesen 30


PÉLDA: egy osztály nemek szerinti megoszlása nómenklatúra: fiú − lány csoportosító sor: minőségi


Kódszám: 224

Lapszám: 26

ÖSSZEHASONLÍTÁS ÖSSZEHASONLÍTÁS

két vagy több statisztikai adat egymáshoz való viszonyítása

SZÁZALÉKPONT EZRELÉKPONT

adatok százalékban (ezrelékben) kifejezett különbségének mértékegysége

ÖSSZEHASONLÍTÓ SOR

több egyed egyetlen ismérv szerinti értékei

LEÍRÓ SOR

egyetlen egyed több ismérv szerinti értékei

ORSZÁG GDP/FŐ Ausztria 23120 Portugália 7890 Románia 1120


PÉLDA: 1 főre jutó GDP 1993-ban USD-ban néhány európai országban összehasonlító sor: területi


Kódszám: 224

Lapszám: 27

VISZONYSZÁMOK VISZONYSZÁM

összefüggő adatok hányadosa;; viszonyítás tárgya / alapja

pl. GDP / fő;; viszonyítás tárgya: GDP alapja: ország lakossága

MEGOSZLÁSI VISZONYSZÁM

azonos típusú adatok;; részsokaság adata / teljes sokaság adata

pl. férfiak aránya a népességen belül

KOORDINÁCIÓS VISZONYSZÁM

azonos típusú adatok;; egyik részsokaság adata / másik részsokaság adata

pl. ezer nőre jutó férfiak száma

DINAMIKUS VISZONYSZÁM

azonos típusú adatok;; tárgyidő adata / bázisidő adata

pl. változás aránya;; létszám:időpontok között GDP:időszakok között

INTENZITÁSI VISZONYSZÁM

különböző típusú adatok hányadosa

pl. népsűrűség: ország lakossága / területe



Kódszám: 224

Lapszám: 28

ÁTLAGOK ÁTLAG (KÖZÉPÉRTÉK)

azonos fajtájú X1, X2, ... XN adatok jellemző értékének közelítésére szolgál

SZÁMTANI ÁTLAG

X1 + X2 + ... + XN

HARMONIKUS ÁTLAG

N

MÉRTANI ÁTLAG NÉGYZETES ÁTLAG GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET

N 1/X1 +1/X2+... + 1/XN N

√ X1 ⋅ X2 ⋅ ... ⋅ XN

√(X12 + X22 + ... XN2)/N


pl. :2, 6, 4

(2+6+4) / 3 = 4 3 / (1/2+1/6+1/4) = =3 / (6/12+2/12+3/12) = =36/11 = 3.27 3

√2 ⋅6 ⋅4= = 3√ 48 = 3.63 √ (22 + 62 + 42) / 3 = = √ (4 + 36 + 16) / 3 = = √ 56/3 = 4.32 Kódszám: 224

Lapszám: 29

SÚLYOZOTT ÁTLAGOK SÚLYOK

Y1, Y2,... Yk a megfigyelt ismérv különböző értékei f1, f2,... fk a megfigyelt gyakoriságok, Σfi=N g1 = f1/N, ... gk = fk/N megoszlási viszonyszámok, Σgi=1 f1Y1 + f2Y2 + ... + fkYk

SZÁMTANI ÁTLAG, Y

N

NÉGYZETES ÁTLAG GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET

1

N

HARMONIKUS ÁTLAG, Xh MÉRTANI ÁTLAG, Xg

= g1Y1 + g2Y2 + ... + gkYk

= f1/Y1 + f2/Y2+... + fk/Yk N

g1/Y1 + g2/Y2+... + gk/Yk

√Y1 f1 ⋅Y2 f2 ⋅ ... ⋅ Yk fk = Y1 g1 ⋅ Y2 g2 ⋅ ... ⋅ Yk gk f1Y12 + f2Y22 +...+ fkYk2

= √g1Y12 + g2Y22 +...+ gkYk2

NN Tantárgy: Gazdasági statisztika

Kódszám: 224

Lapszám: 30

ÁTLAGOK TULAJDONSÁGAI X min ≤ X h ≤ X g ≤ X ≤ X q ≤ X max Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha minden ismérvérték egyenlő.

Súlyozott átlag akkor kerül közelebb Xmin illetve Xmax értékéhez, ha a kisebb illetve nagyobb ismérvértékek súlya megnő.

 X 12 + ...+ X N2  Xq =   N  

1/ 2

 X 11 + ...+ X N1  X=  N  

 X 1− 1 + ...+ X N− 1  Xh =   N  

1/ 1

1/( −1)

A mértani átlagot nem lehet hasonló alakra hozni.



Kódszám: 224

Lapszám: 31

A SZÁMTANI ÁTLAG TULAJDONSÁGAI N

∑ ( Xi − X ) = 0

Az átlagtól való eltérések összege 0.

i =1

N

∑ X i = NX

i =1

Ha minden ismérvértéket az átlaggal helyettesítünk, az összeg nem változik. N

2 ∑ ( X i − A) akkor minimális, amikor A= X .

i =1

A négyzetes eltérésösszegek között a számtani átlagé a legkisebb. Ha Yi = BXi+A, i=1,2,...N, akkor Y = BX + A . Az ismérvértékek mindegyikét B számmal megszorozva és/vagy A számmal növelve (csökkentve) az átlag is így változik.



Kódszám: 224

Lapszám: 32

STATISZTIKAI SOROK MENNYISÉGI ISMÉRVBŐL KÉPZETT SOROK AZ ELOSZLÁSOK SZÁMSZERŰ JELLEMZÉSE IDŐSORELEMZÉS



Kódszám: 224

Lapszám: 33

STATISZTIKAI SOROK MENNYISÉGI ISMÉRVBŐL KÉPZETT SOROK MENNYISÉGI ISMÉRV GYAKORISÁG GYAKORISÁGI SOR ÉRTÉKÖSSZEGSOR GYAKORISÁGI SOR GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSA



Kódszám: 224

Lapszám: 34

MENNYISÉGI ISMÉRV

TÍPUSOK

RANGSOR


diszkrét: véges vagy megszámlálhatő számú érték

pl. lakás szobaszáma

folytonos: intervallumon belül bármilyen érték

pl. lakás alapterülete

mennyiségi ismérv értékeinek növő sorozata

pl. 2,3,4,5,6,7,8,9 személyes autó


Kódszám: 224

Lapszám: 35

PÉLDA EREDETI ADATOK 36 14 21 23 23

10 34 22 26 20

20 40 18 16 22

23 26 25 17 21

16 16 31 19 15

31 17 30 21 23

24 28 22 33 18

22 29 19 24 27

20 21 17 32 17

18 12 19 11 36

11 17 21 23 30

12 17 21 23 31

14 18 21 24 31

15 18 21 24 32

16 19 22 25 33

16 19 22 26 34

16 19 22 26 36

17 20 22 27 36

17 20 23 28 40

RANGSOR 10 17 20 23 29



Kódszám: 224

Lapszám: 36

GYAKORISÁG ISMÉRV OSZTÁLYA (Ci)

ismérv értéke vagy értékintervalluma

OSZTÁLYKÖZ

értékintervallumból álló osztály;; nyitott, ha nincs alsó vagy felső határa

GYAKORISÁG (fi) RELATÍV GYAKORISÁG (gi) KUMULÁLT GYAKORISÁG (fi′ ) LEFELÉ KUMULÁLT GYAK. (fi′′ ) GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET

mennyiségi ismérv szerinti osztályba (osztályközbe) hány egyed tartozik gyakoriság / sokaság összlétszáma (megoszlási viszonyszám) az osztályköz felső határánál nem nagyobb ismérvértékek előfordulási száma az osztályköz alsó határánál nem kisebb ismérvértékek előfordulási száma


Kódszám: 224

Lapszám: 37

GYAKORISÁGI SOR GYAKORISÁGI SOR

mennyiségi ismérv alapján készült csoportosító sor

GYAKORISÁGI ELOSZLÁS

ismérvosztályok egyetlen értékből állnak

GYAKORISÁGI MEGOSZLÁS

az ismérvosztályok között van osztályköz is

OSZTÁLYKÖZÖK KIALAKÍTÁSA Feltétel: • ismérvértékek nem sűrűsödnek egyes részintervallumokon Módszer: • osztályközök száma: k = [log N / log 2] (legkisebb egész szám, amelyre 2k >N) • osztályközök hossza: h = (xmax - xmin) / k Szélsőségesen egyenlőtlenül eloszló ismérvértékek esete: • osztályközhatárok megadásával egyenletesen szétosztjuk az ismérvértékeket



Kódszám: 224

Lapszám: 38

PÉLDA (folyt.) OSZTÁLYKÖZÖK KIALAKÍTÁSA sokaság létszáma N = 50 osztályközök száma

26 = 64 > 50 > 32 = 25 k=6

osztályközök hossza xmax = 40 xmin= 10 h=


x max − x min 40 − 10 = =5 h 6


Kódszám: 224

Lapszám: 39

PÉLDA (folyt.) Osztály


Rel. gyak Rel. gyak. % gi 100 ⋅ gi 0.10 10

− 15

Gyakoriság fi 5

16 − 20

16

0.32

32

21 − 25

15

0.30

30

26 − 30

6

0.12

12

31 − 35

5

0.10

10

36 − …

3

0.06

6

Összesen:

50

1.00

100


Kódszám: 224

Lapszám: 40


Gyakoriság

fi′

fi


Kumulált rel. gyak. % ′ 100 ⋅ gi 5 10

Kumulált gyakoriság

− 15

5

16 − 20

16

21

42

21 − 25

15

36

72

26 − 30

6

42

84

31 − 35

5

47

94

36 − …

3

50

100

Összesen:

50


Kódszám: 224

Lapszám: 41


Lefelé Lefelé kumulált kumulált rel. gyak. % gyakoriság ′′ f i ′′ 100 ⋅ gi 5 50 100

Gyakoriság

fi − 15


16 − 20

16

45

90

21 − 25

15

29

58

26 − 30

6

14

28

31 − 35

5

8

16

36 − …

3

3

6

Összesen:

50


Kódszám: 224

Lapszám: 42

ÉRTÉKÖSSZEGSOR ÉRTÉKÖSSZEG

mennyiségi ismérv alapján egy osztályba tartozó egyedek ismérvértékeinek összege

ÉRTÉKÖSSZEGSOR

a mennyiségi ismérv szerinti osztályokhoz az osztály értékösszegét rendeljük

OSZTÁLYKÖZÉP

az osztályköz alsó és felső határának számtani átlaga

RELATÍV ÉRTÉKÖSSZEG

osztály értékösszege / sokaság teljes értékösszege

RELATÍV ÉRTÉKÖSSZEGSOR

a relatív értékösszegek hozzárendelése az egyes osztályokhoz



Kódszám: 224

Lapszám: 43

PÉLDA (folyt.) Osztály − 15

Osztályközép Xi 12.5

16 − 20

17.5

280.0

25.0

21 − 25

22.5

337.5

30.1

26 − 30

27.5

165.0

14.7

31 − 35

32.5

162.5

14.5

36 − …

37.5

112.5

10.1

1120.0

100.0

Összesen:



ÉrtékRel. értékösszeg összeg % Si 100 ⋅ Zi 62.5 5.6

Kódszám: 224

Lapszám: 44

GYAKORISÁGI SOR GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSA -I. BOT-ÁBRA

6 4 2

diszkrét ismérv értékeire felmérjük a gyakoriságokat

GYAKORISÁGI HISZTOGRAM osztályközös gyakorisági sor intervallumaira hézagmentesen téglalapok;; magasság: az egységnyi intervallumhosszra jutó gyakoriság, fi/hi



0 1

2

3

4

1

2

3

4

6 4 2 0

Kódszám: 224

Lapszám: 45

GYAKORISÁGI SOR GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSA-II. SŰRŰSÉGHISZTOGRAM osztályközös gyak. sor intervallumaira hézagmentesen téglalapok;; magasság: az egységnyi intervallumhosszra jutó relatív gyakoriság, gi/hi

GYAKORISÁGI POLIGON osztályközös gyak. sor intervallumain az osztályközepeknél az egységnyi intervallumhosszra jutó gyakoriságot felmérjük, majd összekötjük a pontokat



0,6 0,4 0,2 0,0 1

2

3

4

0,5

1,5

3,0

4,5

6 4 2 0 0,0

Kódszám: 224

Lapszám: 46

PÉLDA (folyt.) GYAKORISÁGI HISZTOGRAM 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -15


16 -20

21 -25

26 -30


31 -35

36 -

Kódszám: 224

Lapszám: 47

PÉLDA (folyt.) GYAKORISÁGI POLIGON 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 12,5


17,5

22,5

27,5


32,5

37,5

Kódszám: 224

Lapszám: 48

STATISZTIKAI SOROK AZ ELOSZLÁSOK SZÁMSZERŰ JELLEMZÉSE AZ ELOSZLÁSOK MUTATÓSZÁMAI MÓDUSZ MEDIÁN KVANTILISEK SZÓRÓDÁS SZÓRÓDÁSI MUTATÓK A SZÓRÁS TULAJDONSÁGAI EGYMÓDUSZÚ ELOSZLÁSOK ASZIMMETRIÁJA AZ ASZIMMETRIA MÉRŐSZÁMAI A KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE



Kódszám: 224

Lapszám: 49

AZ ELOSZLÁSOK MUTATÓSZÁMAI középértékek (átlag, módusz, medián)

HELYZETMUTATÓK

kvantilisek (kvartilis, decilis, stb) szóródás terjedelme

SZÓRÓDÁSI MUTATÓK

átlagos eltérés, átlagos különbség szórás, relatív szórás

ASZIMMETRIAMUTATÓK



Pearson-féle mutató F mutató

Kódszám: 224

Lapszám: 50

MÓDUSZ MÓDUSZ (Mo) FOGALMA

a sokaság tipikus értéke;; rendszerint különbözik az átlagtól

ELOSZLÁS MÓDUSZA

a leggyakoribb ismérvérték

NYERS MÓDUSZ

a gyakorisági poligon maximumhelye

TÖBBMÓDUSZÚ ELOSZLÁS

a gyakorisági poligonnak több maximumhelye is van

MODÁLIS OSZTÁLYKÖZ

az osztályköz alsó határánál nem kisebb ismérvértékek előfordulási száma



Kódszám: 224

Lapszám: 51

PÉLDA (folyt.) Osztály − 15.0 15.1 – 20.0 20.1 − 25.0 25.1 − 30.0 30.1 − 35.0 35.1 − … Összesen:

Gyakoriság 5 16 15 6 5 3 50

−20 MODÁLIS OSZTÁLYKÖZ: 15.1− NYERS MÓDUSZ.: 17.5 MÓDUSZ BECSLÉSE 16 5 − 5 5 Mo = 15 + ⋅ 5 = 19.58 16 5 15 16 − + − 5 5 5 5 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám: 52

MEDIÁN MEDIÁN (Me) FOGALMA

a mennyiségi ismérv azon értéke, amelynél ugyanannyi kisebb mint nagyobb érték van

GEOMETRIAI JELENTÉS

az x-tengelyre a mediánban állított merőleges felezi a hisztogram területét

KISZÁMÍTÁS RANGSORBÓL

ha N páratlan, akkor Me a sor középső tagja, ha páros, a két középső tag átlaga

KISZÁMÍTÁS GYAK. SORBÓL

Me a legkisebb Xi érték, amelynek ′ kumulált gyakorisága fi ≥ N/2

MINIMUMTULAJDONSÁG

Σ |Xi-A|| akkor a a legkisebb, ha A = Me


′′


Kódszám: 224

Lapszám: 53


Gyakoriság

− 15.0 15.1 – 20.0 20.1 − 25.0 25.1 − 30.0 30.1 − 35.0 35.1 − … Összesen:

5 16 15 6 5 3 50

Kumulált gyakoriság 5 21 36 42 47 50

MEDIÁNT TARTALMAZÓ OSZTÁLYKÖZ: 20.1 – 25 MEDIÁN BECSLÉSE: 50 − 21 Me = 20.0 + 2 ⋅ 5 = 21.33 15 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám: 54

KVANTILIS (Qq) FOGALMA

KVANTILISEK 0 < q < 1 esetén a q-adrendű kvantilis az az Xi ismérvérték a rangsorban, melyre gi′ = q

TERCILISEK

Q1/3 = T1, Q2/3 = T2

KVARTILISEK

Q1/4 = Q1, Q1/2 = Q2 = Me, Q3/4 = Q3

DECILISEK

Q1/10 = D1, Q2/10 = D2,... Q9/10 = D9

PERCENTILISEK

Q1/100 = P1, Q2/100 = P2,... Q99/100 = P99

Qj/k KVANTILIS KISZÁMÍTÁSA ( j / k )N − f i′−1 j f i′− 1 ≤ N ≤ f i′ ; Q j / k = a i + ⋅ hi ; ai az i-1. osztályköz vége k fi GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám: 55


Gyakoriság

− 15.0 15.1 – 20.0 20.1 − 25.0 25.1 − 30.0 30.1 − 35.0 35.1 − … Összesen:

5 16 15 6 5 3 50

Kumulált gyakoriság 5 21 36 42 47 50

KVARTILISEK 5<

1 12.5 − 5 ⋅ 5 = 17.34 50 = 12.5 < 21 ; tehát i = 2, ai = 15;; Q1 = 15 + 4 16

36 <

3 37.5 − 36 ⋅ 5 = 26 .25 50 = 37.5 < 42 ; tehát i = 4, ai = 25;; Q 3 = 25 + 4 6



Kódszám: 224

Lapszám: 56

SZÓRÓDÁS SZÓRÓDÁS FOGALMA

azonos fajta számszerű adatok (pl. mennyiségi ismérv értékei) különbözősége

SZÓRÓDÁS MÉRÉSE

ismérvértékeknek valamelyik középértéktől (többnyire számtani középtől) való eltérése

MINIMUMTULAJDONSÁG

szóródás hiánya esetén a mérőszám értéke 0, egyébként pozitív

Gyakorisági poligon, 3 változó azonos ismérvértékekkel, különböző szóródással 10 5 0



Kódszám: 224

Lapszám: 57

SZÓRÓDÁSI MUTATÓK SZÓRÓDÁS TERJEDELME: legnagyobb és legkisebb ismérvérték különbsége R = X max − X min ÁTLAGOS ELTÉRÉS: számtani átlagtól való eltérések átlaga ∑ Xi − X δ= N SZÓRÁS: számtani átlagtól való eltérések négyzetes átlaga

∑ (Xi − X ) σ =

2

N ÁTLAGOS KÜLÖNBSÉG: ismérvértékek páronkénti eltéréseinek átlaga ∑ ∑ Xi − X j G= N2 RELATÍV SZÓRÁS: relatív eltérések négyzetes átlaga

σ V = = X


1 N

 Xi − X  ∑   X 


2

Kódszám: 224

Lapszám: 58

PÉLDA (folyt.) ÁTLAG

X = 22.4 SZÓRÓDÁS TERJEDELME: legnagyobb és legkisebb ismérvérték különbsége R = 40 – 10 = 30 ÁTLAGOS ELTÉRÉS: számtani átlagtól való eltérések átlaga δ = 5.26 SZÓRÁS: számtani átlagtól való eltérések négyzetes átlaga σ = 6.67 ÁTLAGOS KÜLÖNBSÉG: ismérvértékek páronkénti eltéréseinek átlaga G = 7.26 RELATÍV SZÓRÁS: relatív eltérések négyzetes átlaga V = 6.67 / 22.4 = 0.298



Kódszám: 224

Lapszám: 59

A SZÓRÁS TULAJDONSÁGAI Kiszámítás súlyozással: 2 fi ( X i − X ) ∑ 2 σ = = ∑ gi ( X i − X ) ∑ fi

Az ismérvértékekhez ugyanazt a számot hozzáadva a szórás értéke változatlan: σ X+A = σ X Az ismérvértékeket egy közös számmal szorozva a szórás a szám abszolút értékével szorzódik: σ BX = B σ X A szórás kiszámítható a négyzetes és a számtani átlagból:

σ =


2

Xq − X 2


Kódszám: 224

Lapszám: 60

EGYMÓDUSZÚ ELOSZLÁSOK ASZIMMETRIÁJA Szimmetrikus eloszlás: Mo = Me = X

Bal oldali aszimmetria: Mo < Me < X

Jobb oldali aszimmetria: X < Me < Mo

Módusz: a csúcsnál Medián: görbe alatti területet felezi Számtani átlag: nagyon kicsi vagy nagyon nagy értékek elhúzzák a mediántól GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám: 61

PÉLDA (folyt.) 20 15 10 5 0 12,5

17,5

22,5

27,5

32,5

37,5

egymóduszú eloszlás módusz: medián: számtani átlag:

19.58 21.33 22.40

az eloszlás bal oldali aszimmetriát mutat



Kódszám: 224

Lapszám: 62

AZ ASZIMMETRIA MÉRŐSZÁMAI - I. PEARSON-FÉLE MUTATÓSZÁM (A): A=

X − Mo σ

Csak egymóduszú eloszlás esetén használható. bal oldali aszimmetria:

A>0

szimmetria:

A = 0.

jobb oldali aszimmetria:

A<0

erős aszimmetria:

A >1



Kódszám: 224

Lapszám: 63

AZ ASZIMMETRIA MÉRŐSZÁMAI - II. F MUTATÓSZÁM (F):

Q1− p − Me ) − ( Me − Q p ) ( F= (Q1− p − Me ) + ( Me − Q p )

0 < p < 1/2, leggyakrabban p = 1/4 Egymóduszú és többmóduszú eloszlás esetén is használható. F ≤1 egymóduszú eloszlás esetén: bal oldali aszimmetria:

F>0

szimmetria:

F = 0.

jobb oldali aszimmetria:

F<0



Kódszám: 224

Lapszám: 64

PÉLDA (folyt.) PEARSON-FÉLE MUTATÓSZÁM A= A>0 0 < A <1

22.4 − 19.58 = 0.423 6.67

bal oldali aszimmetria az aszimmetria gyenge

−MUTATÓSZÁM F− a kvartiliseket használjuk

( 26.25 − 21.33) − (21.33 − 17.34) F= = 0.104 (26.25 − 21.33) + (21.33 − 17.34) F>0 F  kicsi


bal oldali aszimmetria az aszimmetria gyenge


Kódszám: 224

Lapszám: 65

A KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE KONCENTRÁCIÓ

a sokaság értékösszegének összpontosulása kis számú egységre

MÉRÉS

relatív gyakoriság (gi) és relatív értékösszeg (Zi) összehasonlítása

LORENZ-GÖRBE

kumulatív relatív gyakoriságok függvényében a kumulatív értékösszegek

KONCENTRÁCIÓS TERÜLET

a Lorenz-görbe és a 45 fokos egyenes által bezárt terület

KONCENTRÁCIÓS EGYÜTTHATÓ

koncentrációs terület aránya a téglalapban;; képlettel: K = G / 2X



Kódszám: 224

Lapszám: 66


− 15.0 15.1 – 20.0 20.1 − 25.0 25.1 − 30.0 30.1 − 35.0 35.1 − …

Kumulált rel. Kum. rel. értékösszeg gyak. % ′ ′ %, 100 ⋅ Zi 100 ⋅ gi 10.0 5.6 42.0 30.6 72.0 60.7 84.0 75.4 94.0 89.9 100.0 100.0

KONCENTRÁCIÓS EGYÜTTHATÓ 7.26 K= = 0.16 2 ⋅ 22.4 kicsi a koncentráció − az értéksor nem koncentrálódik kiemelt osztályokra GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám: 67

STATISZTIKAI SOROK IDŐSORELEMZÉS IDŐSORELEMZÉS DINAMIKUS VISZONYSZÁMMAL IDŐSORELEMZÉS ÁTLAGOKKAL



Kódszám: 224

Lapszám: 68

IDŐSORELEMZÉS DINAMIKUS VISZONYSZÁMMAL Y1, Y2 ,...Yn állapot- vagy tartamidősor BÁZISVISZONYSZÁMOK (bt ) bt = Yt / Yb , t = 1,2,...n a viszonyítás alapja egy rögzített bázisidőszak adata LÁNCVISZONYSZÁMOK (lt) lt = Yt / Yt-1 , t = 1,2,...n a viszonyítás alapja az előző időpont vagy időszak adata ÖSSZEFÜGGÉS A BÁZIS- ÉS LÁNCVISZONYSZÁMOK KÖZÖTT lt = bt / bt-1 , t = 1,2,...n bt = l2 ⋅ l3 ⋅...⋅⋅lk , k = 2,3,...n BÁZISVISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA ÚJ BÁZISIDŐRE ÁTTÉRÉSKOR bt" = Yt / Yb" bt' = Yt / Yb'

bt" = bt' / bb' "



Kódszám: 224

Lapszám: 69

PÉLDA ÉV

ÉRTÉK

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986

145.3 160.1 175.7 197.1 219.7 244.1 274.9

BÁZISVSZ. 1980=100% 100.0 110.2 120.9 135.6 160.0 168.0 189.2

LÁNCVSZ.

110.2 109.7 112.2 111.3 111.3 112.6

1986. évi bázisviszonyszám: 274.9/145.3 = 1.892 bázis- és láncviszonyszámok összefüggése: 1.892 = 1.102⋅⋅1.097⋅⋅1.122⋅⋅1.113⋅⋅1.113⋅⋅1.126 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám: 70

IDŐSORELEMZÉS ÁTLAGOKKAL - I. Y1, Y2 ,...Yn állapot- vagy tartamidősor TARTAMIDŐSOR ELEMZÉSE SZÁMTANI ÁTLAGGAL Y =

Y1 + Y 2 + . . . + Y n n

ÁLLAPOTIDŐSOR ELEMZÉSE KRONOLÓGIKUS ÁTLAGGAL Yk =


Yn − 1 + Yn  1  Y1 + Y2 Y2 + Y3 + + + ...  =  n − 1 2 2 2 Yn  1  Y1 =  + Y 2 + Y 3 + . . .+ Y n − 1 +  n−1 2 2


Kódszám: 224

Lapszám: 71

PÉLDA HÓNAP

FORGALOM

Június Július Augusztus Szeptember Október November December

35.8 35.2 34.3 33.5 32.4 35.8

HÓVÉGI ÉRTÉK 18.8 19.6 20.2 19.8 21.1 20.3 19.2

HAVI ÁTLAGOS FORGALOM A MÁSODIK FÉLÉVBEN Y =


35.8 + 35.2 + 34.3 + 33.5 + 32.4 + 35.8 = 34.5 6


Kódszám: 224

Lapszám: 72

PÉLDA (folyt.) HÓNAP

FORGALOM

Június Július Augusztus Szeptember Október November December

35.8 35.2 34.3 33.5 32.4 35.8

HÓVÉGI ÉRTÉK 18.8 19.6 20.2 19.8 21.1 20.3 19.2

ÁTLAGOS HÓVÉGI ÉRTÉK A MÁSODIK FÉLÉVBEN 19.2 18 .8 . + 20.3 + + 19.6 + 20.2 + 19.8 + 211 2 = 20.0 Yk = 2 6 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám: 73

IDŐSORELEMZÉS ÁTLAGOKKAL - II. FEJLŐDÉS ÁTLAGOS MÉRTÉKE d =

Y2 − Y1 + Y3 − Y2 + ...+Yn − Yn − 1 Yn − Y1 = n−1 n−1

akkor használható, ha a változás mértéke keveset ingadozik (az idősor nagyjából számtani sorozat) FEJLŐDÉS ÁTLAGOS ÜTEME l =

n−1

l 2 ⋅ l 3 ⋅.. .⋅l n =

n− 1

bn =

n− 1

Yn Y1

akkor használható, ha a változás üteme keveset ingadozik (az idősor nagyjából mértani sorozat)



Kódszám: 224

Lapszám: 74

PÉLDA ÉV 1985 1993

ADAT 10560 10278

FEJLŐDÉS ÁTLAGOS MÉRTÉKE d =

10278 − 10560 = −35.25 8

FEJLŐDÉS ÁTLAGOS ÜTEME l =


8

10278 = 0.9966 10560


Kódszám: 224

Lapszám: 75

STATISZTIKAI TÁBLÁK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE EGYSZERŰ TÁBLÁK ELEMZÉSE CSOPORTOSÍTÓ TÁBLÁK ELEMZÉSE KOMBINÁCIÓS TÁBLÁK ELEMZÉSE



Kódszám: 224

Lapszám: 76

STATISZTIKAI TÁBLÁK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE STATISZTIKAI TÁBLA FOGALMA ÉS FELÉPÍTÉSE STATISZTIKAI TÁBLÁK TÍPUSAI



Kódszám: 224

Lapszám: 77

STATISZTIKAI TÁBLÁK FOGALMA ÉS FELÉPÍTÉSE STATISZTIKAI TÁBLA

statisztikai sorok rendszere rovatokból álló táblázatban elhelyezve

FEJROVATOK

oszlopok megnevezései

OLDALROVATOK

sorok megnevezései

ÖSSZESEN ROVATOK

sorösszegek, oszlopösszegek, táblázat teljes összege

DIMENZIÓSZÁM

a tábla egy-egy adata hány statisztikai sorhoz tartozik ( lá i i á )



Kódszám: 224

Lapszám: 78

STATISZTIKAI TÁBLÁK TÍPUSAI

EGYSZERŰ TÁBLA

leíró és/vagy (térbeli, időbeli) összehasonlító statisztikai sorokat tartalmaz, csoportosítás nélkül

CSOPORTOSÍTÓ TÁBLA

az egyik ismérv szerint csoportosítás összesen rovattal, a másik szerint leírás vagy összehasonlítás

KOMBINÁCIÓS TÁBLA


2 2 2 f f f Y Y Y + +...+ 1 1 2 2 k k mindegyik ismérv szerint csoportosítás összesen 2 2 2 g g Y Y Y √ g + +...+ = 1 1 2 2 k k rovatokkal és a táblának is van főösszege N


Kódszám: 224

Lapszám: 79

STATISZTIKAI TÁBLÁK EGYSZERŰ TÁBLÁK ELEMZÉSE EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE VISZONYSZÁMMAL IDŐSOROS EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE



Kódszám: 224

Lapszám: 80

EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE VISZONYSZÁMMAL sokaság létszáma egységnyi területen

pl. népsűrűség

ELLÁTOTTSÁGI MUTATÓ

sokaság létszáma adott számú lakosra

pl. orvosok 1000 lakosra

ARÁNYSZÁM

népességstatisztikai arány

pl. születési arány

ÁTLAGJELLEGŰ MUTATÓ

sokaság egységére jutó erőforrás

pl. GDP / fő

NYERS INTENZ. VISZONYSZÁM TISZTÍTOTT INT. VISZONYSZÁM

viszonyítandó adat / teljes viszonyítási alap

pl. születésszám / teljes népesség

viszonyítandó adat / hozzá kapcsolódó viszonyítási alap

pl. születésszám / szülőképes nők

SŰRŰSÉGMUTATÓ



Kódszám: 224

Lapszám: 81

IDŐSOROS EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE 1. idő

2. idő

...

m. idő

1. adat 2. adat ... n. adat MENNYISÉGI JELLEMZÉS: közös bázisra vonatkozó bázisviszonyszámokkal SZEMLÉLTETÉS: közös koordinátarendszerben felrajzolt vonaldiagramokkal 110 100 90 1. idő


2. idő

3. idő

4. idő


5. idő

6. idő

Kódszám: 224

Lapszám: 82

STATISZTIKAI TÁBLÁK CSOPORTOSÍTÓ TÁBLÁK ELEMZÉSE RÉSZ- ÉS ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK SZERKEZET ÉS IDŐBELI VÁLTOZÁS VIZSGÁLATA



Kódszám: 224

Lapszám: 83

RÉSZ- ÉS ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK ISMÉRVÉRTÉKEK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK M RÉSZSOKASÁGRA Ai , Bi , Vi = Ai / Bi , i = 1, 2, ...M ÖSSZETETT VISZONYSZÁM: teljes sokaságra vonatkozik ∑ Aj V = ∑ Bj ÖSSZETETT VISZONYSZÁM SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁJA ∑ B jV j V = ∑ Bj ÖSSZETETT VISZONYSZÁM HARMONIKUS ÁTLAG FORMÁJA ∑ Aj V = Aj

∑



Vj

Kódszám: 224

Lapszám: 84

PÉLDA ALAPADATOK CSOPORT I. II. III. ÖSSZESEN

A ADAT 1995.7 4561.9 719.4 10277.0

B ADAT 810 1692 1453 3955

MEGOSZLÁSI ÉS INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK CSOPORT I. II. III. ÖSSZESEN


(Aj / ΣAj)⋅⋅100 (Bj / ΣBj)⋅⋅100 19.42 20.48 44.39 42.78 36.19 36.74 100.00 100.00


(Aj / Bj)⋅⋅100 246 270 256 260

Kódszám: 224

Lapszám: 85

PÉLDA (folyt.) ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA KÖZVETLENÜL V =

10277 = 260 395

ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA SZÁMTANI ÁTLAG FORMA B ADATTAL SÚLYOZVA V =

810 ⋅ 246 + 1692 ⋅ 270 + 1453 ⋅ 256 = 260 3955

ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA SZÁMTANI ÁTLAG FORMA B ADAT MEGOSZLÁSI VISZONYSZÁMAIVAL SÚLYOZVA V =


2 0 .4 8 ⋅ 2 4 6 + 4 2 .7 8 ⋅ 2 7 0 + 3 6 .7 4 ⋅ 2 5 6 = 260 100


Kódszám: 224

Lapszám: 86

PÉLDA (folyt.) ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA HARMONIKUS ÁTLAG FORMA A ADATTAL SÚLYOZVA 10277.0 V = = 260 1995.7 4561.9 3719.4 + + 246 270 256 ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA HARMONIKUS ÁTLAG FORMA A ADAT MEGOSZLÁSI VISZONYSZÁMAIVAL SÚLYOZVA V =


100 = 260 19 .42 44 .39 36 .19 + + 246 270 256


Kódszám: 224

Lapszám: 87

SZERKEZET ÉS IDŐBELI VÁLTOZÁS VIZSGÁLATA Ai , i = 1, 2, ...M részsokaságok adatai a tárgyidőszakban Bi , i = 1, 2, ...M részsokaságok adatai a bázisidőszakban Vi = Ai / Bi, i = 1, 2, ...M részsokaságok dinamikus viszonyszámai ∑ Aj V = az összetett dinamikus viszonyszám ∑ Bj Ha V i < V , akkor Ai < Bi

Ai Bi ∑ Aj < , rendezve ∑ Aj ∑ B j ∑ Bj

vagyis a részsokaság dinamikus viszonyszáma akkor és csak akkor kisebb a teljes sokaság dinamikus viszonyszámánál, ha csökken a részsokaság aránya a teljes sokaságon belül.



Kódszám: 224

Lapszám: 88

PÉLDA ALAPADATOK, MEGOSZLÁSI ÉS DINAMIKUS VISZONYSZÁMOK CSOPORT

0. ÉV

I. II. III. ÖSSZESEN

2059.3 4551.3 4098.9 10709.5

A0 ⋅ 100 ∑ A0 19.23 42.50 38.27 100.00

1. ÉV 1995.7 4561.9 719.4 10277.0

A1 ⋅ 100 ∑ A1 19.42 44.39 36.19 100.00

A1 ⋅ 100 A0 96.9 100.2 90.7 96.0

SZERKEZETI VÁLTOZÁS az összetett dinamikus viszonyszámhoz képest: az I. és II. csoport dinamikus viszonyszáma nagyobb a III. csoporté kisebb ezzel együtt az I. és II. részviszonyszám nő, a III. csökken



Kódszám: 224

Lapszám: 89

STATISZTIKAI TÁBLÁK KOMBINÁCIÓS TÁBLÁK ELEMZÉSE ISMÉRVEK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK TÍPUSAI KOMBINÁCIÓS (KONTINGENCIA) TÁBLA AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE VEGYES KAPCSOLAT ELEMZÉSE ÁTLAGOKKAL AZ ELTÉRÉS FELBONTÁSA A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA VEGYES KAPCSOLAT SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE KORRELÁCIÓS TÁBLA ELEMZÉSE A KORRELÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE



Kódszám: 224

Lapszám: 90

ISMÉRVEK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK TÍPUSAI FÜGGETLENSÉG

az egyik ismérv értéke semmilyen információt nem hordoz a másikéról

FÜGGVÉNYSZERŰ KAPCSOLAT

az egyik ismérv értéke egyértelműen meghatározza a másikét

SZTOCHASZTIKUS KAPCSOLAT

az egyik ismérv értékéből a másik ismérv értékeinek csak az eloszlása adódik

ASSZOCIÁCIÓS KAPCSOLAT

az egyik ismérv névleges, a másik névleges vagy sorrendi

VEGYES KAPCSOLAT

az egyik ismérv névleges vagy sorrendi, a másik mennyiségi

KORRELÁCIÓS KAPCSOLAT


M


mindkét ismérv mennyiségi

Kódszám: 224

Lapszám: 91

KOMBINÁCIÓS (KONTINGENCIA) TÁBLA B. ismérv 1. B. ismérv 2. ... B. ismérv s. ÖSSZESEN

A. ismérv 1. A. ismérv 2. f11 f12 f21 f22 ... ... fs1 fs2 f•2 f•1

... ... ... ... ... ...

A. ismérv t. ÖSSZESEN f1M f1•• f2M f2•• ... ... fst fs•• f•t f••

JELÖLÉSEK fij , i = 1, 2, ... n; j = 1, 2, ...m : együttes gyakoriságok fi•• , i = 1, 2, ...n : peremgyakoriságok (sorösszegek) f•j , j = 1, 2, ...m : peremgyakoriságok (oszlopösszegek) fi•• f•j f•• = N : a táblázat teljes összege (a sokaság létszáma) f i• f • j * fij = N FÜGGETLENSÉG FELTÉTELE



fij = fij*

Kódszám: 224

Lapszám: 92

PÉLDA GYAKORISÁGOK CSOPORT E1 E2 E3 ÖSSZESEN

D1 28 85 84 197

D2 12 20 13 45

D3 66 128 77 271

D4 22 42 16 80

ÖSSZESEN 128 275 190 593

D3 11.13 21.59 12.98 45.70

D4 3.71 7.08 2.70 13.49

ÖSSZESEN 21.59 46.37 32.04 100.00

RELATÍV GYAKORISÁGOK (% %) CSOPORT E1 E2 E3 ÖSSZESEN

D1 4.72 14.33 14.17 33.22

FÜGGETLENSÉG


D2 2.03 3.37 2.19 7.59

nem teljesül: 0.3322 ⋅ 0.2159 ≠ 0.0472


Kódszám: 224

Lapszám: 93

AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - I. YULE-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ mindkét ismérv alternatív Y=

f 11 f 22 − f 12 f 21 f 11 f 22 + f 12 f 21

TULAJDONSÁGOK −1 ≤ Y ≤ 1 függetlenség esetén Y = 0 (fordítva nem igaz!) függvényszerű kapcsolat esetén Y  = 1 (fordítva nem igaz!) sztochasztikus kapcsolat esetén 0 < Y <1 Y > 0 ha f11f22 > f21f21 vagyis az azonos indexek jobban vonzzák egymást



Kódszám: 224

Lapszám: 94

PÉLDA GYAKORISÁGOK CSOPORT E1 E2 ÖSSZESEN

D1 25835 24315 50150

D2 23599 29353 52952

ÖSSZESEN 49434 53668 103102

YULE-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ Y=

25835 ⋅ 29353 − 23599 ⋅ 24315 = 0.139 25835 ⋅ 29353 + 23599 ⋅ 24315

laza kapcsolat az ismérvek között;; az egyenlő indexek kissé vonzzák egymást



Kódszám: 224

Lapszám: 95

AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - II. KHI-NÉGYZET 2

χ =

s

t

∑∑

i= 1 j =1

(f

ij

−

)

∗ 2 f ij

f ij∗

TULAJDONSÁGOK 0 ≤ χ 2 ≤ N ⋅ min(s − 1, t − 1) χ2 = 0 akkor és csak akkor, ha a két ismérv független χ2 = N (s − 1) akkor és csak akkor, ha a két ismérv függvénykapcsolatban áll, ekkor s = t



Kódszám: 224

Lapszám: 96

PÉLDA GYAKORISÁGOK (fij) CSOPORT E1 E2 E3 ÖSSZESEN

D1 28 85 84 197

D2 12 20 13 45

D3 66 128 77 271

ÖSSZESEN 128 275 190 593

D4 22 42 16 80

FÜGGETLENSÉG FELTÉTELEZÉSÉVEL KAPOTT GYAKORISÁGOK (fij*) CSOPORT E1 E2 E3 ÖSSZESEN


D1 42.52 91.36 63.12 197.00

D2 9.71 20.87 14.42 45.00


D3 58.50 125.67 86.83 271.00

D4 17.27 37.10 25.63 80.00

ÖSSZESEN 128.00 275.00 190.00 593.00

Kódszám: 224

Lapszám: 97

PÉLDA (folyt.) KHI-NÉGYZET 2

χ =

s

t

∑∑

(f

ij

i =1 j =1

−

)

∗ 2 f ij

f ij∗

= 20.71

ELEMZÉS s =3, t = 4 2 χmax = 593⋅ min(3 −1,4 −1) = 593⋅ (3 −1) = 1186

χ2 értéke gyenge függőségre utal



Kódszám: 224

Lapszám: 98

AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - III. CSUPROV-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ T=

χ2 N (s − 1)(t − 1)

TULAJDONSÁGOK

 4 s − 1 4 t − 1 0 ≤ T ≤ min ,   t − 1 s − 1 T = 0 akkor és csak akkor, ha a két ismérv független T = 1 akkor és csak akkor, ha s = t és a két ismérv között függvénykapcsolat áll fenn



Kódszám: 224

Lapszám: 99

PÉLDA (folyt.) CSUPROV-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ T=

χ2 20.71 = = 0.119 N (s − 1)(t − 1) 593 (3 − 1)(4 − 1)

ELEMZÉS

Tmax

2 = = 0.902 3 4

a Csuprov-együttható gyenge sztochasztikus kapcsolatot mutat



Kódszám: 224

Lapszám: 100

AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - IV. CRAMER-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ Khi-négyzetből: χ2 C= N ⋅ min(s − 1, t − 1) Csuprov-együtthatóból: T C= Tmax

TULAJDONSÁGOK 0≤C≤1 ha s = t, akkor C = T C = 0 akkor és csak akkor, ha a két ismérv független C = 1 akkor és csak akkor, ha a két ismérv között függvénykapcsolat áll fenn GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám: 101

PÉLDA (folyt.) CRAMER-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ C=

χ2 = N ⋅ min(s − 1, t − 1)

20.71 = 0.132 593 ⋅ min(3 − 1,4 − 1)

ELEMZÉS Cmax = 1 a Cramer-együttható gyenge sztochasztikus kapcsolatot mutat



Kódszám: 224

Lapszám: 102

VEGYES KAPCSOLAT ELEMZÉSE ÁTLAGOKKAL VEGYES KAPCSOLAT olyan sztochasztikus kapcsolat, ahol a független változó (az ok) minőségi vagy területi ismérv, a függő változó (az okozat) mennyiségi ismérv RÉSZÁTLAG: X j : a j. minőségi ismérvértékhez tartozó átlag FŐÁTLAG: X : a teljes sokaságra vonatkozó átlag M Nj

Nj

Xj =

∑ X ij i =1

Nj

=

Sj Nj

∑∑ X=

j =1 i =1

N

M

M

∑NjXj ∑Sj

X ij =

j =1

N

=

j =1

N

Ha az ismérvek függetlenek, a részátlag megegyezik a főátlaggal (fordítva nem igaz), illetve fij /Nj rögzített i mellett független j-től.



Kódszám: 224

Lapszám: 103

AZ ELTÉRÉS FELBONTÁSA TELJES ELTÉRÉS d ij = X ij − X i = 1,2,...Nj , j = 1,2,...M BELSŐ ELTÉRÉS B ij = X ij − X j KÜLSŐ ELTÉRÉS Kj = Xj − X

i = 1,2,...Nj , j = 1,2,...M j = 1,2,...M

ÖSSZEFÜGGÉS AZ ELTÉRÉSEK KÖZÖTT dij = Bij + Kj ÉRTELMEZÉS az ismérvértékeknek a teljes sokaság átlagától való eltérése két részből áll: Bij a minőségi ismérv alapján képzett osztályon belüli eltérés Kj az osztályátlag eltérése a teljes sokaság átlagától, ennek oka a csoportosító minőségi ismérv hatása a vizsgált mennyiségi ismérvre



Kódszám: 224

Lapszám: 104

PÉLDA EREDETI ADATOK, RÉSZÁTLAGOK, FŐÁTLAG CSOPORT I. II. III. IV. ÖSSZESEN

Nj

Xj

Xj

4 40 6 10 60

1620 1687 3565 1627 8499

405.0 42.2 594.2 162.7 141.7

ELEMZÉS a részátlagok egymástól és a főátlagtól is erősen eltérnek tehát a két ismérv között sztochasztikus kapcsolat áll fenn



Kódszám: 224

Lapszám: 105

A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA - I. TELJES SZÓRÁS M Nj

2 ∑ ∑ ( X ij − X )

σ=

j =1 i =1

N

RÉSZSOKASÁGON BELÜLI SZÓRÁS Nj

σj =

∑(

i =1

X ij − X j

)

2

j = 1,2,...M

Nj

BELSŐ SZÓRÁS M Nj

σB =


∑ ∑ ( X ij − X j )

2

j =1 i =1


N

Kódszám: 224

Lapszám: 106

A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA - II. KÜLSŐ SZÓRÁS M

∑N σ

ÖSSZEFÜGGÉS

K

=

j=1

j

(X j − X )

2

N

σ2 = σB2 + σK2

ÉRTELMEZÉS az ismérvértékeknek a teljes sokaságon vett szórásnégyzete két részből áll: σB2 a minőségi ismérv alapján képzett osztályon belüli szórásnégyzet σK2 az osztályátlag szórásnégyzete a teljes sokaság átlaga körül, ennek eredete a csoportosító minőségi ismérv hatása a vizsgált mennyiségi ismérvre GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám: 107

A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA - III. Ha X 1 = X 2 = . .. = X M , vagyis σk2 = 0, σ2 =σ σB2 : még ebből sem következik az ismérvek függetlensége.

Ha X ij = X j , i = 1, 2, ... Nj, j = 1, 2, ...M, vagyis σB2 = 0, σ2 =σ σK2: függvénykapcsolat áll fenn az ismérvek között, független változó a minőségi ismérv , vagyis a minőségi ismérv egyértelműen meghatározza a mennyiségit; ennek az állításnak a megfordítása is igaz.

Ha 0 < σK2 < σ2 : sztochasztikus kapcsolat van a két változó között



Kódszám: 224

Lapszám: 108

PÉLDA (folyt.) EREDETI ADATOK, RÉSZÁTLAGOK, FŐÁTLAG, ELTÉRÉS-NÉGYZETEK, CSOPORTONKÉNTI SZÓRÁSOK, TELJES SZÓRÁS Nj

CSOPORT

Nj

Xj

Xj

I. II. III. IV. ÖSSZESEN

4 40 6 10 60

1620 1687 3565 1627 8499

405.0 42.2 594.2 162.7 141.7 X



∑(

i =1

X ij − X j

)

2

76500 124204 1276521 69700 1546925 Nσ B2

Kódszám: 224

σj 138.3 55.7 461.3 83.5 239.9 σ

Lapszám: 109

PÉLDA (folyt.) A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA

σ B2 =

σ K2 =

76500 + 124204 + 1276521 + 69700 1546925 = = 25782 60 60 4 ⋅ (405 .0 − 141.7) + 40 ⋅ (42.2 − 141.7) + 6 ⋅ (594.2 − 141.7) + 10 ⋅ (162.7 − 141.7) 60 1906265 = 31771 = 60

σ 2 = 25782 + 31771 = 57553 tehát sztochasztikus kapcsolat van a változók között



Kódszám: 224

Lapszám: 110

VEGYES KAPCSOLAT SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE SZÓRÁSNÉGYZET-HÁNYADOS H2 =

σK σ

2

2

= 1−

σB

2

σ2

TULAJDONSÁGOK 0≤ H2 ≤ 1 H2 = 0 akkor és csak akkor, ha σK2 = 0: nincs kapcsolat az ismérvek között H2 = 1: függvényszerû kapcsolat van az ismérvek között 0 < H2 < 1: sztochasztikus kapcsolat van az ismérvek között SZÓRÁSHÁNYADOS

σK H= σ Ez a kapcsolat szorosságának mérőszáma.



Kódszám: 224

Lapszám: 111

PÉLDA (folyt.) SZÓRÁSNÉGYZET-HÁNYADOS

H2 =

31771 25782 = 1− = 0.552 57553 57553

a csoportosító ismérv 55.2 százalékban magyarázza meg a másik ismérv értékeinek szóródását a fennmaradó 44.8 százalék egyéb (véletlen) tényezőknek tulajdonítható SZÓRÁSHÁNYADOS

H=

0.552 = 0.743

a szóráshányados viszonylag közel van 1-hez, ami eléggé szoros kapcsolatot jelez a két ismérv értékei között



Kódszám: 224

Lapszám: 112

KORRELÁCIÓS TÁBLA ELEMZÉSE KORRELÁCIÓS TÁBLA két mennyiségi ismérv szerinti kombinatív osztályozás TAPASZTALATI REGRESSZIÓFÜGGVÉNY X ismérv i oszlopához Y ismérv Yi részátlagát rendeljük KÜLÖNBSÉG AZ ELMÉLETI REGRESSZIÓFÜGGVÉNYTŐL a tapasztalati regressziófüggvény nem képletszerűen adott, és csak hozzávetőlegesen közelíti az elméletit ÁBRÁZOLÁS egyedi adatok pontdiagramon, tapasztalati regresszió vonaldiagramon POZITÍV KORRELÁCIÓ X ismérv nagyobb értékéhez Y ismérv nagyobb értéke tartozik



Kódszám: 224

Lapszám: 113

A KORRELÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - I. SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA X ismérv szerinti csoportosítás alapján Y ismérv szerinti szórás σ (2Y ) = σ 2B(Y ) + σ 2K (Y )

DETERMINÁCIÓS HÁNYADOS H (2Y | X ) =

σ 2K (Y ) σ (2Y )

azt írja le, hogy az Y ismérv szórásnégyzetének mekkora hányadát magyarázza meg az X ismérv;; megegyezik a vegyes kapcsolatot jellemző szórásnégyzet-hányadossal



Kódszám: 224

Lapszám: 114

A KORRELÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - II. KORRELÁCIÓS HÁNYADOS H (Y | X ) =

σ 2K (Y ) σ (2Y )

= H (2Y | X )

ez a kapcsolat szorosságának mérőszáma;; megegyezik a vegyes kapcsolatot jellemző szóráshányadossal TULAJDONSÁGOK 0 ≤ H(Y|X) ≤ 1 H(Y|X) = H(X|Y) ha legalább egyikük 1: függvényszerű kapcsolat van X és Y ismérvek között H(Y|X) = H(X|Y) ha legalább egyikük 0: ez következik X és Y függetlenségéből, de fordítva nem igaz 0 < H(Y|X) < 1 sztochasztikus kapcsolat van a két ismérv között GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám: 115

PÉLDA GYAKORISÁGOK ÉS CSOPORTÁTLAGOK ISMÉRV ÉRTÉKEK D⇒ ⇒ E ⇓ 1 2 3 4 ÖSSZESEN


1 2

1 1 0 0 2

3

4

2 1 1 2 1 7 1 2 7 0 0 0 5 13 15

5 6 7 ÖSSZESEN CSOPORT ÁTLAG 0 1 2 3 6


0 1 4 2 7

0 0 1 1 2

5 22 17 6 50

2.40 3.36 4.53 5.67

Kódszám: 224

Lapszám: 116

PÉLDA (folyt.) TAPASZTALATI REGRESSZIÓFÜGGVÉNY ISMÉRV CSOPORT ÉRTÉKEK ÁTLAG 1 2.40 2 3.36 3 4.53 4 5.67 ELEMZÉS főátlag: külső szőrásnégyzet: teljes szórásnégyzet:

Y = 3.94 σ 2K (Y ) = 0.8627 σ (2Y ) = 2.0564

determináciős hányados: H (Y | X ) = 0.8627 / 2.0564 = 0.4195

X ismérv kb. 42 százalékot magyaráz meg Y ismérv szóródásából;; a fennmaradó 58 százalék egyéb véletlen hatásoknak tulajdonítható



Kódszám: 224

Lapszám: 117

ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK

ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK

ÉRTÉK-, ÁR- ÉS VOLUMENINDEXEK



Kódszám: 224

Lapszám: 118

ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK KAPCSOLATA ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK KÜLÖNBSÉGÉNEK FELBONTÁSA ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK INDEXÉNEK FELBONTÁSA



Kódszám: 224

Lapszám: 119

ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK KAPCSOLATA - I. TELJES SOKASÁG CSOPORTOSÍTÁSA heterogén sokaságot homogén részsokaságokra kell bontani 1, 2, ...M indexű részsokaságok ALAPADATOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA két mennyiségi ismérv (A és B) két különböző (0 és 1 indexű) terület vagy időszak ismérvértékek: A10, A20, ... AM0 illetve A11, A21, ... AM1 B10, B20, ... BM0 illetve B11, B21, ... BM1 RÉSZVISZONYSZÁM, Vi homogén részsokaságra számított viszonyszám Vj0 = Aj0 / Bj0, Vj1 = Aj1 / Bj1, j = 1, 2, ...M



Kódszám: 224

Lapszám: 120

ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK KAPCSOLATA - II. ÖSSZETETT VISZONYSZÁM, V teljes sokaságra számított viszonyszám, súlyozott átlagként is megadható M

M

M

j =1 M

j =1 M

j =1

j =1

V0 =

∑ A j0

V1 =

∑ A j1 ∑ B j1 = ∑ B j1V j1 ∑ B j1

j =1 M

j =1

∑ B j 0 = ∑ B j 0V j 0

M

∑ B j0 j =1 M

j =1

ÖSSZETETT VISZONYSZÁM FÜGGÉSE az összetett viszonyszám függ a részviszonyszámoktól és a sokaság összetételétől STANDARDIZÁLÁS az összetétel és a részviszonyszámok hatásának szétválasztása; térbeli adatoknál különbségfelbontás, időbeli adatoknál hányadosfelbontás



Kódszám: 224

Lapszám: 121

ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK KÜLÖNBSÉGÉNEK FELBONTÁSA RÉSZHATÁS-KÜLÖNBSÉG

∑ B j 0 (V j1 − V j 0 ) M

K′ =

j =1

M

∑ Bi 0

i =1

ÖSSZETÉTELHATÁS-KÜLÖNBSÉG M

M

∑ B j1V j1 K ′′ =

j =1

M

−

∑ Bi1

i =1

∑ B j 0V j 1 j =1

M

∑ Bi 0

i =1

=

M

∑

j =1

B j0 M

∑ Bi0

(V j1 − V j 0 )

i =1

  M  B j1 B j0  V = ∑ M − M j1   1 = j  ∑ Bi1 ∑ Bi 0   i =1  i =1

FELBONTÁS V1 − V0 = K ′ + K ′′ vagyis az összetett viszonyszám-különbséget felbontottuk a csoportok változásainak és a csoportmegoszlás változásának összegére. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám: 122

PÉLDA ALAPADATOK ÉS INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK B0 A1 B1 A0 CSOPORT I. 25.20 1.8 9.46 1.1 II. 1.90 3.8 0.88 2.2 III. 11.20 8.0 7.28 5.6 IV. 26.40 4.0 24.70 3.8 V. 124.80 2.4 117.99 2.3 ÖSSZESEN 189.50 20.0 160.31 15.0 V1 V1 − V0 CSOPORT V0 I. 14.0 8.6 −5.4 II. 0.5 0.4 −0.1 III. 1.4 1.3 −0.1 IV. 6.6 6.5 −0.1 V. 52.0 51.3 −0.7 ÖSSZESEN 9.5 10.7 1.2



Kódszám: 224

Lapszám: 123

PÉLDA (folyt.) RÉSZHATÁSKÜLÖNBSÉG standard súly: B1 K′ =

1.1⋅ (− 5.4) + 2.2 ⋅ (− 0 .1) + 5.6 ⋅ (− 0.1) + 3.8 ⋅ (− 0.1) + 2.3 ⋅ (− 0.7) 15.0

= −0.58

ÖSSZETÉTELHATÁS-KÜLÖNBSÉG standard súly: V0 K ′′ =

1.1 ⋅ 14 .0 + 2.2 ⋅ 0 .5 + 5 .6 ⋅ 1.4 + 3.8 ⋅ 6 .6 + 2.3 ⋅ 52.0 − 9.5 = 1.8 15 .0

ÖSSZETETT VISZONYSZÁM KÜLÖNBSÉGÉNEK FELBONTÁSA K = V1 − V0 = K ′ + K ′′ = −0.6 + 1.8 = 1.2



Kódszám: 224

Lapszám: 124

ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK INDEXÉNEK FELBONTÁSA RÉSZHATÁS-INDEX

∑ B j1V j 0 (V j1

V j0 )

M

I′ =

j =1

M

∑ B j1V j 0

M   = ∑ A j1     j =1 

 M   ∑ A j 1 (V j1 V j 0 )   j =1 

[

]

j =1

ÖSSZETÉTELHATÁS-INDEX M

I ′′ =

∑ B j1V j 0 j =1

M

∑ B j1 j =1

M

∑ B j 0V j 0 j =1

M

∑ B j0 j =1

M

=∑

j =1

B j1 M

∑ Bi1 i =1

M

V j0

B j0

∑ M V j0 j =1 ∑ Bi0 i =1

FELBONTÁS: V1 / V 0 = I ′ ⋅ I ′′ vagyis az összetett viszonyszám-indexet felbontottuk acsoportok változásainak és a csoportmegoszlás változásának szorzatára



Kódszám: 224

Lapszám: 125

PÉLDA ALAPADATOK, INTENZITÁSI ÉS DINAMIKUS VISZONYSZÁMOK A1 B1 B0 A0 CSOPORT I. 640 160 774 180 II. 1440 480 1408 440 ÖSSZESEN 2080 640 2182 620

V1 V1/V0 CSOPORT V0 I. 4.00 4.30 1.075 II. 3.00 5.20 1.067 ÖSSZESEN 3.25 3.52 1.083



Kódszám: 224

Lapszám: 126

PÉLDA (folyt.) RÉSZHATÁSINDEX standard súly: A1 I′ =

2182 = 1.07 774 1408 + 1.075 1.067

ÖSSZETÉTELHATÁS-INDEX standard súly: V0

I ′′ =

180 ⋅ 4 + 440 ⋅ 3 160 ⋅ 4 + 480 ⋅ 3 = 1.012 620 640

ÖSSZETETT VISZONYSZÁM INDEXÉNEK FELBONTÁSA I = V1 / V0 = I ′ ⋅ I ′′ = 1.07 ⋅ 1.012 = 1.083



Kódszám: 224

Lapszám: 127

ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK ÉRTÉK-, ÁR- ÉS VOLUMENINDEXEK ÉRTÉKEN ALAPULÓ INDEXEK EGYEDI INDEXEK AZ INDEXEK AGGREGÁT FORMÁI AZ INDEXEK SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁI AZ INDEXEK HARMONIKUS ÁTLAG FORMÁI ÖSSZEFÜGGÉSEK A KÜLÖNBÖZŐ SÚLYOZÁSÚ INDEXSZÁMOK KÖZÖTT ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ AGGREGÁTUMOK KÖZÖTT CSOPORTOSÍTOTT SOKASÁGRA VONATKOZÓ INDEXEK ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ INDEXSOROK KÖZÖTT TERÜLETI INDEXEK GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám:128

ÉRTÉKEN ALAPULÓ INDEXEK INDEXSZÁM közvetlenül nem összesíthető, de összetartozó adatok átlagos változását leíró intenzitási viszonyszám AGGREGÁLÁS értékben való összesítés AGGREGÁTUM összesített értékadat ÉRTÉKEN ALAPULÓ INDEXEK aggregátum-formát használó viszonyszámok − értékindex − árindex − volumenindex



Kódszám: 224

Lapszám:129

EGYEDI INDEXEK JELÖLÉSEK 0. időszak: bázisidőszak 1. időszak: tárgyidőszak q: mennyiség p: egységár ÉRTÉKINDEX q 1 p1 iv = q 0 p0 ÁRINDEX p1 ip = p0 VOLUMENINDEX q1 iq = q0 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám:130

PÉLDA ALAPADATOK CSOPORT I. II. III. IV. ÖSSZESEN

q0 43 32 40 21

q1 39 29 37 16

p0 43.9 47.9 55.9 59.9

p1 49.9 52.9 62.9 74.9

q0 p0 1.8877 1.5328 2.2360 1.2579 6.9144

q1 p1 1.9461 1.5341 2.3273 1.1984 7.0059

q 0p 1 2.1457 1.6928 2.5160 1.5729 7.9274

q1p0 1.7121 1.3891 2.0683 0.9584 6.1279

EGYEDI INDEXEK CSOPORT I. II. III. IV.


iq 0.907 0.906 0.925 0.762


ip 1.137 1.104 1.125 1.250

iv 1.031 1.001 1.041 0.953

Kódszám: 224

Lapszám:131

AZ INDEXEK AGGREGÁT FORMÁI ÉRTÉKINDEX

q 1 p1 ∑ Iv = ∑ q 0 p0

ÁRINDEX 0 bázisidőszaki súlyozású: I (p ) =

VOLUMENINDEX 0 bázisidőszaki súlyozású: I q( ) =


∑ q 0 p1 tárgyidőszaki súlyozású: I (1) = ∑ q 1 p1 p ∑ q 0 p0 ∑ q1 p0

∑ q 1 p 0 tárgyidőszaki súlyozású: I (1) = ∑ q 1 p1 q ∑ q 0 p0 ∑ q 0 p1


Kódszám: 224

Lapszám:132

AZ INDEXEK SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁI ÉRTÉKINDEX

ÁRINDEX

VALÓS SÚLYOK

q 0 p 0 iv ∑ Iv = ∑ q 0 p0

VALÓS SÚLYOK 0 Laspeyres: I (p ) =

VOLUMENINDEX

VALÓS SÚLYOK

0 Laspeyres: I q( ) =


∑ q 0 p0 i p ∑ q 0 p0

∑ q 0 p 0 iq ∑ q 0 p0


FIKTÍV SÚLYOK 1 Paasche: I (p ) =

∑ q1 p0 i p ∑ q 1 p0

FIKTÍV SÚLYOK 1 Paasche: I q( ) =

∑ q 0 p 1 iq ∑ q 0 p1

Kódszám: 224

Lapszám:133

AZ INDEXEK HARMONIKUS ÁTLAG FORMÁI ÉRTÉKINDEX

VALÓS SÚLYOK

q 1 p1 ∑ Iv = q 1 p1 ∑ iv

ÁRINDEX

FIKTÍV SÚLYOK 0 Laspeyres: I (p ) =

VOLUMENINDEX

q 0 p1 ∑ ip

FIKTÍV SÚLYOK

0 Laspeyres: I q( ) =


∑ q 0 p1

∑ q 1 p0

q 1 p0 ∑ iq


VALÓS SÚLOK 1 Paasche: I (p ) =

∑ q 1 p1

q 1 p1 ∑ ip

VALÓS SÚLYOK 1 Paasche: I q( ) =

∑ q 1 p1

q 1 p1 ∑ iq Kódszám: 224

Lapszám:134

PÉLDA (folyt.) LASPEYRES-FÉLE ÁRINDEX SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁBAN 1.8877 ⋅ 1.137 + 1.5328 ⋅ 1.104 + 2.2360 ⋅ 1.125 + 1.2579 ⋅ 1.250 0 = 1.146 I (p ) = 6.9144 PAASCHE-FÉLE ÁRINDEX SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁBAN I (p ) = 1

1.7121 ⋅ 1.137 + 1.3891 ⋅ 1.104 + 2.0683 ⋅ 1.125 + 0.9584 ⋅ 1.250 = 1.143 6.1279

ÉRTÉKELÉS a kétféle súlyozású árindex nem egyezik meg, bár az eltérés viszonylag kicsi



Kódszám: 224

Lapszám:135

ÖSSZEFÜGGÉSEK A KÜLÖNBÖZŐ SÚLYOZÁSÚ INDEXSZÁMOK KÖZÖTT - I. BORTKIEWICZ-TÉTEL

I (p ) 1

0 I( ) p

ahol: Vi p , V iq

r(i p , iq )

=

1 I q( ) 0 I( )

(

= 1 + Vi p Viq r i p , iq

)

q

az egyedi indexek relatív szórása az egyedi indexek közötti lineáris korreláció

ÉRTELMEZÉS − a kétféle súlyozású index akkor és csak akkor egyezik meg, ha ha legalább az egyik egyedi index minden tételre azonos, vagy pedig ip és iq korrelálatlanok − a tárgyidőszaki súlyozású index akkor és csak akkor nagyobb a bázisidőszaki súlyozásúnál, ha ip és iq között pozitív korreláció van (az egyik növekedése a másik növekedését vonja maga után)



Kódszám: 224

Lapszám:136

ÖSSZEFÜGGÉSEK A KÜLÖNBÖZŐ SÚLYOZÁSÚ INDEXSZÁMOK KÖZÖTT - II. INDEXPRÓBA

indexnek adott követelmény szerinti kiértékelése

ÖSSZEMÉRHETŐSÉGI PRÓBA

az index értéke legyen független a volumenadatok mértékegységétől

IDŐPRÓBA

a bázis- és a tárgyidőszakot felcserélve az index értéke a reciprokára változzon

TÉNYEZŐPRÓBA

azonos típusú formulákkal számolva volumenindex × árindex = értékindex

ÁTLAGPRÓBA

az indexszám legyen az egyedi indexek átlaga

LÁNCPRÓBA

bázisviszonyszám = ugyanazon formulával számolt láncviszonyszámok szorzata



Kódszám: 224

Lapszám:137

ÖSSZEFÜGGÉSEK A KÜLÖNBÖZŐ SÚLYOZÁSÚ INDEXSZÁMOK KÖZÖTT - III. FISHER-FÉLE INDEXEK F I (p ) =

∑ q 0 p 1 ⋅ ∑ q 1 p 1 = I ( 0 ) ⋅ I ( 1) p p ∑ q 0 p0 ∑ q1 p0

F I q( ) =

∑ q 1 p0 ⋅ ∑ q 1 p1 = I ( 0 ) ⋅ I (1) q q ∑ q 0 p 0 ∑ q 0 p1

indexek mértani átlaga; összes próbát kielégíti, láncpróbát csak közelítően MARSHALL-EDGEWORTH-BOWLEY-FÉLE INDEXEK q 0 p1 + ∑ q 1 p1 ∑ ( E − M ) ∑ (q 0 + q 1 ) p 1 Ip = = ∑ (q 0 + q 1 ) p 0 ∑ q 0 p 0 + ∑ q 1 p 0 I q(

E− M )

=

∑ q 1 ( p 0 + p1 ) ∑ q 1 p 0 + ∑ q 1 p 1 = ∑ q 0 ( p 0 + p1 ) ∑ q 0 p 0 + ∑ q 0 p1

súlyok számtani átlaga GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám:138

ÖSSZEFÜGGÉSEK A KÜLÖNBÖZŐ SÚLYOZÁSÚ INDEXSZÁMOK KÖZÖTT - IV. AZ INDEXEK SZORZATÖSSZEFÜGGÉSE q 1 p1 ∑ q 1 p 1 ∑ q 1 p 0 ∑ Iv = I p ⋅ Iq , ⋅ = q p q p ∑ 0 0 ∑ 1 0 ∑ q 0 p0 q 0 p1 ∑ q 1 p1 ∑ ( 0 ) ( 1) ∑ q 1 p1 Iv = I p ⋅ Iq , = ⋅ ∑ q 0 p 0 ∑ q 0 p 0 ∑ q 0 p1 (1)

(0 )

F F I v = I (p ) ⋅ I q( ) ,

∑ q 1 p 1 = ∑ q 0 p 1 ⋅ ∑ q 1 p1 ⋅ ∑ q 1 p 0 ⋅ ∑ q 1 p1 ∑ q 0 p0 ∑ q 0 p 0 ∑ q 1 p 0 ∑ q 0 p 0 ∑ q 0 p1

A tényezőpróbának csak a Fisher-féle indexek tesznek eleget. DEFLÁCIÓ a volumenindex kiszámítása az értékindex és az árindex hányadosaként; ugyanis az értékindex tényadatokból, az árindex pedig reprezentatív egyedi indexek súlyozott átlagaként könnyen származtatható



Kódszám: 224

Lapszám:139

ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ AGGREGÁTUMOK KÖZÖTT AGGREGÁTUM-KÜLÖNBSÉGEK K v = ∑ q 1 p1 − ∑ q 0 p 0

0 K q( ) = ∑ q 1 p 0 − ∑ q 0 p 0 = ∑ (q 1 − q 0 ) p0

1 K q( ) = ∑ q 1 p1 − ∑ q 0 p1 = ∑ (q 1 − q 0 ) p1

0 K (p ) = ∑ q 0 p1 − ∑ q 0 p 0 = ∑ q 0 ( p1 − p 0 )

K (p ) = ∑ q 1 p1 − ∑ q 1 p 0 = ∑ q 1 ( p1 − p 0 ) 1

AZ ÉRTÉKKÜLÖNBSÉG FELBONTÁSA 0 1 K v = K q( ) + K (p ) 1 0 K = K( ) + K( ) v

q

p

vagyis az aggregált értékváltozást felbonthatjuk az aggregált mennyiségváltozás és az aggregált árváltozás különbségére GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám:140

CSOPORTOSÍTOTT SOKASÁGRA VONATKOZÓ INDEXEK CSOPORTOSÍTÁS 1., 2., ...M. részsokaság FŐÁTLAG ( I ) teljes sokaságra vonatkozó index RÉSZINDEX (Ij) részsokaságra vonatkozó index, Ij = Aj / Bj FŐINDEX FORMÁI M

M

∑ Aj I =

j=1 M

∑ Bj j =1

M

∑ BjI j =

j=1 M

∑ Aj =

∑ Bj j=1

j =1 M

∑

Aj

j=1 I j

aggregát, számtani átlag, harmonikus átlag GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám:141

ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ INDEXSOROK KÖZÖTT - I. INDEXSOR kettőnél több időszakra vonatkozó indexek sorozata SÚLYOZÁS árindex és volumenindex bármelyik időszak szerint súlyozható láncviszonyszámoknál a sőlyozás lehet állandó és változó állandó súlyozás alkalmazása egyszerűbb, de hamarabb elavul LÁNCPRÓBA ÉRTÉKINDEXRE mindig teljesül: ∑ q k p k = ∑ q 1 p1 ⋅ ∑ q 2 p 2 ⋅ . . .⋅ ∑ q k p k ∑ q 0 p 0 ∑ q 0 p 0 ∑ q 1 p1 ∑ q k −1 pk −1 LÁNCPRÓBA ÁRINDEXRE ÉS VOLUMENINDEXRE csak állandó súlyozás mellett teljesül, pl. n. sőlyozású árindexek: ∑ q n p n = ∑ q n p1 ⋅ ∑ q n p 2 ⋅. . .⋅ ∑ q n p k ∑ q n p 0 ∑ q n p 0 ∑ q n p1 ∑ q n p n− 1



Kódszám: 224

Lapszám:142

ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ INDEXSOROK KÖZÖTT - II. TÉNYEZŐPRÓBA BÁZISVISZONYSZÁMOKRA árindex és volumenindex közül: vagy az egyik Laspeyres-súlyozású állandó tárgyidőszaki súlyokkal, a másik Paasche-súlyozású változó tárgyidőszaki súlyokkal vagy mindkettő Fisher-formulával

∑ q k pk = ∑ q k pk ∑ q 0 p0 ∑ q k p0

q k p0 ∑ ⋅ ∑ q 0 p0

∑ q k pk = ∑ q0 pk ⋅ ∑ q k pk ∑ q 0 p 0 ∑ q 0 p0 ∑ q 0 p k ∑ q k p k = ∑ q 0 pk ⋅ ∑ q k pk ⋅ ∑ q k p0 ⋅ ∑ q k pk ∑ q 0 p0 ∑ q 0 p0 ∑ q k p0 ∑ q 0 p0 ∑ q 0 pk



Kódszám: 224

Lapszám:143

ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ INDEXSOROK KÖZÖTT - III. TÉNYEZŐPRÓBA LÁNCVISZONYSZÁMOKRA árindex és volumenindex közül: vagy az egyik Laspeyres-súlyozású állandó tárgyidőszaki súlyokkal, a másik Paasche-súlyozású változó tárgyidőszaki súlyokkal vagy mindkettő Fisher-formulával

∑ q k p k = ∑ q k p k ⋅ ∑ q k pk −1 ∑ q k − 1 p k − 1 ∑ q k p k − 1 ∑ q k − 1 p k −1 ∑ q k p k = ∑ q k −1 pk ⋅ ∑ q k p k ∑ q k − 1 p k − 1 ∑ q k −1 p k − 1 ∑ q k − 1 p k ∑ q k p k = ∑ q k −1 p k ⋅ ∑ q k p k ⋅ ∑ q k p k − 1 ⋅ ∑ q k p k ∑ q k −1 p k − 1 ∑ q k − 1 p k −1 ∑ q k p k − 1 ∑ q k − 1 p k −1 ∑ q k −1 p k



Kódszám: 224

Lapszám:144

TERÜLETI INDEXEK TERÜLETI VOLUMENINDEX viszonyítás tárgyának területén a termelés vagy értékesítés hányszoros a viszonyítás alapjához képest két ország esetében az össztermelés vagy összfogyasztás hányadosa a lakosság számarányával korrigálva a gazdasági fejlettséget mutatja TERÜLETI ÁRINDEX viszonyítás tárgyának árszínvonala hányszoros a viszonyítás alapjához képest két ország esetében a két valuta vásárlóerejének aránya KÜLÖNBSÉGEK AZ IDŐBELI INDEXEKTŐL az értékindex kevésbé fontos a vizsgált területek szerepe egyenrangú (ellentétben a korábbi és későbbi időszakkal) a súlyozás szerepe nagyobb, ezért fontosabbak a Fisher-indexek



Kódszám: 224

Lapszám:145

A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE MINŐSÉGELLENŐRZÉS A MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI VIZSGÁLATA SZOFTVEREK MINŐSÉGE ÉS MEGBÍZHATÓSÁGA



Kódszám: 224

Lapszám:147

A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE MINŐSÉGELLENŐRZÉS A MINŐSÉG-ELLENŐRZÉS ALAPFELADATA KONTROLLKÁRTYÁK AZ ÁTLAG-KONTROLLKÁRTYA



Kódszám: 224

Lapszám:148

A MINŐSÉGELLENŐRZÉS ALAPFELADATA A tömeggyártás minőségellenőrzése során igen nagy számú termékvizsgálatot kell elvégezni. A vizsgálatok komoly költséggel járnak, így számukat a lehető legkevesebbre kell csökkenteni. A csökkentés módja az, hogy a vizsgálatot egy részsokaságra (meghatározott darabszám után vett mintára) végzik el, és a vizsgálati eredményeket statisztikai következtetéssel általánosítják a teljes sokaságra. Általában azt kell eldönteni, hogy egy rendszeres időközökben ellenőrzött statisztikai sokaság valamilyen mennyiségi ismérvének értékei a kívánatos érték körül, vagy egy attól eltérő érték körül ingadoznak a véletlen hatásoknak megfelelően. Az adatok vonatkozhatnak gyártásra, de ugyanígy természeti jelenségre is.



Kódszám: 224

Lapszám:149

KONTROLLKÁRTYÁK

W. S. Shewhart amerikai statisztikus az ábrán látható sémát rajzolta fel, ahol középen folytonos vonallal az előírt érték látható, és körülötte kétoldalt szaggatott vonallal vannak bejelölve a tűréshatárok. Az elemzés abból állt, hogy ha a mért értékek kívül esnek a tűréshatáron, akkor a minőséggel probléma van, és a jelenség ismétlődése beavatkozást igényel a gyártási folyamatba. A beavatkozás lehet például a nyersanyag ismételt ellenőrzése vagy egy gép utánállítása. A fenti ábrázolási és kiértékelési technika elnevezése kontrollkártya vagy ellenőrző kártya. Az ábrázolt mennyiségtől függően többféle kontrollkártya ismeretes. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám:150

AZ ÁTLAG-KONTROLLKÁRTYA A legegyszerűbb az átlag- (vagy x -) kontrollkártya. Ebben a kívánatos értéket várható értéknek tekintik, és meghatározzák azt a sávszélességet, amelybe a mért értékeknek adott (pl. 95 %-os) valószínűséggel bele kell esniük, ha a kívánatos értéktől való eltérésnek csupán a véletlen ingadozás az oka. Mért értéknek egy adott elemszámú minta átlagát tekintik. Vegyünk a folyamatosan érkező termékekből rendszeres időközönként egy meghatározott elemszámú mintát. Ha a vizsgált folyamat átlaga ( x ) megegyezik az előírt értékkel (µ) és szórása (σ) ismert, továbbá a minta elemszáma n, akkor 3σ  P x < µ − n 

vagy

x > µ +

3σ   n

=

0 , 0027

ahol P a zárójelben felírt esemény normális eloszlás szerinti valószínűségét jelöli.



Kódszám: 224

Lapszám:151

PÉLDA ADATOK Előírt érték: 100 Ismert szórás: 5 Mintaelemszám: 100 BEHELYETTESÍTÉS 3σ  P x < µ − n  3⋅5  vagy P  x < 100 − 100 

3σ n 3⋅5  x > 100 +  100 

vagy

x > µ +

   =

0 , 0027

ELEMZÉS Ha a folyamat tartja az előírt értéket: a minta átlaga csak 0,0027 valószínűséggel lehet kisebb mint 100 – 3⋅⋅5 / 10 = 98,5 vagy nagyobb mint 100 + 3⋅⋅5 / 10 = 101,5.



Kódszám: 224

Lapszám:152

A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE A MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI VIZSGÁLATA A MEGBÍZHATÓSÁG ALAPFOGALMAI HIBAMENTES MŰKÖDÉS VALÓSZÍNŰSÉGE MEGHIBÁSODÁS VALÓSZÍNŰSÉGE MEGHIBÁSODÁSI RÁTA ÁTLAGOS MŰKÖDÉSI IDŐ



Kódszám: 224

Lapszám:153

A MEGBÍZHATÓSÁG ALAPFOGALMAI MEGBÍZHATÓSÁG A terméknek az a tulajdonsága, hogy az előírt funkcióit teljesíti, miközben adott határok között megtartja azoknak a meghatározott mutatóinak értékeit, amelyek a felhasználás, a műszaki karbantartás, a javítások, a tárolás és szállítás előre megadott üzemmódjait és feltételeit jellemzik. HIBAMENTESSÉG A terméknek az a tulajdonsága, hogy folyamatosan megtartja működőképes állapotát, valamely időtartam, vagy tényleges működés során. MŰKÖDŐKÉPES ÁLLAPOT A terméknek az az állapota, amelyben alkalmas az előírt funkcióinak végrehajtására (vagy végrehajtja azokat), miközben előre megadott paramétereit a műszaki előírásoknak meghatározott határok között megtartja. MEGHIBÁSODÁS Az az esemény, amely a termék működőképes állapotának elvesztését jelenti.



Kódszám: 224

Lapszám:154

HIBAMENTES MŰKÖDÉS VALÓSZÍNŰSÉGE, I. Hibamentes működés valószínűsége, R(t): annak valószínűsége, hogy előre megadott t hosszúságú időintervallumban a termék nem hibásodik meg. Jellemezzük a vizsgált N darab termék első meghibásodásig tartó hibamentes működésének valószínűségét. Jelölje n(ti) az i-ik időpontban még hibamentes működő termékek számát. Ha a működés valószínűségét az idő függvényében kívánjuk vizsgálni, akkor ennek becslésére az R( t i ) =

n( t i ) n( t 0 )

arányt használjuk., ahol R(ti) a ti időponthoz tartozó hibamentes működés valószínűsége. A képletbeli hányados relatív gyakoriság, amely adott esetben a még működő termékek arányát mutatja az összes termékhez viszonyítva.



Kódszám: 224

Lapszám:155

HIBAMENTES MŰKÖDÉS VALÓSZÍNŰSÉGE, II. A következtetések levonása előtt megemlítjük, hogy a vizsgálatot az eddigiektől eltérő módon is elvégezhettük volna. Tételezzük fel, hogy egyetlen termék folyamatát vizsgáljuk és minden meghibásodás után a terméket megjavítják. Ekkor a ti értékek N db két meghibásodás közötti hibamentes működési idő adatait jelentik. A két eset viszonya a kockajáték példájával érzékeltethető. Ideális (szabályos) kockák esetén teljesen mindegy, hogy pl. egy kockával tízszer dobunk, vagy tíz kockával egyszerre dobunk abból a célból, hogy a tíz eredményt statisztikailag kiértékeljük. Ennek az az oka, hogy a dobások eredményei független, azonos eloszlású valószínűségi változók.



Kódszám: 224

Lapszám:156

MEGHIBÁSODÁS VALÓSZÍNŰSÉGE Meghibásodás valószínűsége, F(t): annak valószínűsége, hogy előre megadott időintervallumban vagy előre megadott tényleges működési határok között meghibásodás következik be. F(ti) a ti -nél rövidebb időtartam alatti meghibásodás valószínűségeként értelmezhető. Ha pl. a termelési program folyamatos üzemmódban 10 műszaknyi, azaz 80 h hibamentes termelést követel meg, akkor egyetlen meghibásodás valószínűsége F(t = 80) = 0,05. Röviden azt is mondhatjuk, hogy a termelési program teljesítésének kockázata: 5 %. R(ti) érték ismeretében egyszerűen meghatározható az F(ti) meghibásodási valószínűség is, hiszen F(ti) = 1 - R(ti)

vagy

F (t i )


=

n( t 0 ) − n( t i ) n( t 0 )


=

1−

n( t i ) n( t 0 )

Kódszám: 224

Lapszám:157

MEGHIBÁSODÁSI RÁTA Meghibásodási ráta, λ(t): egy adott időpontban még működőképes termékek arányának a következő időegység alatt történő változása. Becslése:

λ (t i ) =

n(t i ) − n(t i + 1 )

n(t i )(t i − t i + 1 )

=

R(t i ) − R(t i + 1 )

R(t i )(t i − t i + 1 )

Tehát egy megoszlási viszonyszám időegységre jutó változását számítjuk ki. A matematikából tudjuk, hogy ez folytonos időadatok mellett deriválást jelent. És valóban, a pontos formula a következő: λ (t ) =

F ′(t ) d ln R (t ) = − R (t ) dt

Ez a függvény a megbízhatóságelmélet egyik legfontosabb alapmennyisége, hiszen növekvő értéke a termék öregedését fejezi ki.



Kódszám: 224

Lapszám:158

ÁTLAGOS MŰKÖDÉSI IDŐ Átlagos tényleges működés a meghibásodásig, T0: a termék első meghibásodásig tartó tényleges működésének várható értéke. Ezt a fogalmat gyakran átlagos működési időnek nevezik és MTTF rövidítéssel jelölik (Mean Time To Failure). Meghibásodások közötti átlagos működési idő, Tb: a helyreállítható termék tényleges működési idejének és a tényleges működés alatt bekövetkező meghibásodások várható számának hányadosa. Gyakran MTBF rövidítéssel jelölik (Mean Time Between) Failures). Kellő számú megfigyelés után nemcsak az R(t) függvényt becsülhetjük pontosabban, hanem lehetőségünk lesz az átlagos tényleges (hibamentes) működési idő (Tb) becslésére is. Ezt a hibamentességi mutatót N db megfigyelésből származó ti adat ismeretében a számtani átlaggal becsülhetjük a legjobban, azaz: Tb =


t 1 + t 2 .... + t N


N

.

Kódszám: 224

Lapszám:159

PÉLDA 40 db egyforma berendezésnél feljegyezték az első meghibásodásig eltelt hibamentes működési időt. A vizsgált időszakban 10 db hibásodott meg. Tehát n(t0) = 40 és n(t10) = 30. Számítsuk ki a valószínűségeket. ti (óra) n(ti) 0 40 35 39 80 38 125 37 130 36 142 35 165 34 171 33 175 32 178 31 180 30



R(ti) 1,000 0,975 0,950 0,925 0,900 0,875 0,850 0,825 0,800 0,775 0,750

F(ti) 0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250

Kódszám: 224

Lapszám:160

A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE SZOFTVEREK MINŐSÉGE ÉS MEGBÍZHATÓSÁGA A SZOFTVERMEGBÍZHATÓSÁG ÉRTELMEZÉSE A HARDVER ÉS SZOFTVER MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK KÜLÖNBSÉGEI MÉRŐSZÁMOK STATISZTIKAI MODELLEK



Kódszám: 224

Lapszám:161

A SZOFTVERMEGBÍZHATÓSÁG ÉRTELMEZÉSE A hardvereszközök működőképessége egyedileg változik, és akár pillanatonként módosuló véletlen tényezőktől (elhasználódás mértéke, környezeti hatások) függ. Ezzel ellentétben a szoftverek példányai azonosak, és – az adathordozók hibáitól eltekintve – időben állandóak. A hibátlan programrész mindig hibátlanul működik, a hibás programrész viszont mindig hibásan. A szoftverek megbízhatóságának statisztikai jellegét tehát nem a szoftver belső tulajdonságai adják, hanem a használat módja: milyen gyakorisággal lépünk be a hibás programrészbe. A felhasználót a teljes rendszer hibátlan működése érdekli, gyakran nem is tud különbséget tenni a hardver és a szoftver hibája között.



Kódszám: 224

Lapszám:162

A HARDVER ÉS SZOFTVER MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK KÜLÖNBSÉGEI - I. HARDVER

SZOFTVER

A hiba oka egyaránt lehet a tervezés, a gyártás, a használat és a karbantartás.

A hiba oka majdnem mindig a tervezés.

A hiba lehet az elhasználódás vagy más, energiával kapcsolatos jelenség következménye. Ennek gyakran vannak korai figyelmeztető jelei. Javítással növelhető a megbízhatóság.

Nincs elhasználódás. Nincsenek korai figyelmeztető jelek.



Az egyetlen javítási lehetőség az áttervezés (újraprogramozás).

Kódszám: 224

Lapszám:163

A HARDVER ÉS SZOFTVER MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK KÜLÖNBSÉGEI - II. HARDVER

SZOFTVER

A megbízhatóság függhet bejáratási vagy elhasználódási jelenségektől.

A megbízhatóság nem változik a a működési idővel, csakis a hibakeresésbe fektetett munkával.

A meghibásodás valószínűsége függ az eltelt működési (vagy tárolási) időtől.

A meghibásodás nem függ így az időtől. Akkor történik, amikor hibás programrészbe lépünk.

A megbízhatóság környezeti tényezőktől is függ.

A környezeti tényezők nem érintik a megbízhatóságot, legfeljebb az adathordozón keresztül.



Kódszám: 224

Lapszám:164

A HARDVER ÉS SZOFTVER MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK KÜLÖNBSÉGEI - III. HARDVER

SZOFTVER

A megbízhatóság elméletileg A megbízhatóság semmilyen fizikai megjósolható a tervezés és a használat folyamat alapján nem jósolható, mert alapján. a tervezés emberi tényezőitől függ. A megbízhatóság gyakran növelhető tartalékegységek alkalmazásával.


A megbízhatóság nem növelhető tartalékegységek alkalmazásával, ha a párhuzamos programrészek azonosak: amennyiben az egyik hibás, akkor a másik is. A tartalékolás csak akkor segít, ha a párhuzamos ágakban eltérő szerzők által készített eltérő programok vannak.


Kódszám: 224

Lapszám:165

A HARDVER ÉS SZOFTVER MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK KÜLÖNBSÉGEI - IV. HARDVER

SZOFTVER

A rendszer komponenseinek A hibák általában nem jelezhetők előre megbízhatósága olyan törvényeket az egyes programlépésekre vonatkozó követ, amelyek a komponenseket ért megállapításokból. A programhibák terhelés és más tényezők alapján véletlenszerűen szóródva helyezkednek bizonyos mértékig megjósolhatók. el, és bármelyik utasítás lehet hibás. Hasznos elemzési módszerek: kritikus részegységek kiválasztása, Paretoelemzés.

MÉRŐSZÁMOK - MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA



Kódszám: 224

Lapszám:166

ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a minőség összehasonlítására más programokkal vagy korábbi állapottal: előre meghatározott kritériumoknak való megfelelésre: a programkészítés közbeni döntések megalapozására: a jövőbeni célok kitűzésére: a fogyasztói megelégedettség mérésére:



mérsékelten mérsékelten igen igen mérsékelten nem

Kódszám: 224

Lapszám:167

MÉRŐSZÁMOK - EZER PROGRAMSORRA JUTÓ MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a minőség összehasonlítására más programokkal vagy korábbi állapottal: előre meghatározott kritériumoknak való megfelelésre: a programkészítés közbeni döntések megalapozására: a fogyasztói megelégedettség mérésére:

mérsékelten igen igen nem mérsékelten

PROBLÉMÁK • különböző programnyelvek erősen különböző programméretekhez vezetnek • a forráskódban található megjegyzés-sorok száma eltorzíthatja az eredményt • sok forráskód üres sorokat tartalmaz a könnyebb áttekinthetőség érdekében



Kódszám: 224

Lapszám:168

MÉRŐSZÁMOK - EZER NEM-MEGJ. PROGRAMSORRA JUTÓ MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a minőség összehasonlítására más programokkal vagy korábbi állapottal: előre meghatározott kritériumoknak való megfelelésre: a programkészítés közbeni döntések megalapozására: a fogyasztói megelégedettség mérésére:

igen igen igen nem mérsékelten

PROBLÉMÁK • külön programok vagy speciális fordítási opciók kellenek a mérőszám meghatározásához • csökkenti a megjegyzések beírására való készséget, ezen keresztül pedig a program átláthatóságát és karbantarthatóságát



Kódszám: 224

Lapszám:169

MÉRŐSZÁMOK - EGY FELHASZNÁLÓRA JUTÓ MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a minőség összehasonlítására más programokkal vagy korábbi állapottal: előre meghatározott kritériumoknak való megfelelésre: a programkészítés közbeni döntések megalapozására: a jövőbeni célok kitűzésére: a fogyasztói megelégedettség mérésére:

nem mérsékelten mérsékelten nem nem igen

PROBLÉMÁK • nehéz meghatározni az adott szoftverterméket használók számát • nehéz meghatározni egy adott felhasználónal a használat mértékét



Kódszám: 224

Lapszám:170

MÉRŐSZÁMOK - EZER TESZTELÉSI ÓRÁRA JUTÓ MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a jövőbeni célok kitűzésére: a fogyasztói megelégedettség mérésére:

nem igen igen

PROBLÉMÁK • az eredmények erősen függenek a teszt szigorától, kiterjedtségétől és intenzitásától (egyetlen teszt sokszori megismétlése nem adja ugyanazt az eredményt, mint több teszt párhuzamos alkalmazása) • a tesztelés során végrehajtott programkód mennyisége függ a tesztelés módszerétől;; ezért egyidejűleg olyan más mérőszámot is célszerű alkalmazni, amely megadja, hányszorosan fedi le az adott teszt a programot • ha a tesztfutásokat ember indítja, az eredményt befolyásolja a szakképzettség



Kódszám: 224

Lapszám:171

MÉRŐSZÁMOK EZER TESZTELÉSI ÓRÁRA JUTÓ MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA FEDETTSÉGI MÉRŐSZÁMMAL ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a minőség összehasonlítására más programokkal vagy korábbi állapottal: előre meghatározott kritériumoknak való megfelelésre: a programkészítés közbeni döntések megalapozására: a jövőbeni célok kitűzésére: a fogyasztói megelégedettség mérésére:



Kódszám: 224

igen igen igen igen igen igen

Lapszám:172

STATISZTIKAI MODELLEK - DUANE I. A MODELL JELLEMZŐI: • futási idő • determinisztikus • nem számlálja a hibákat • csak a meghibásodásokkal foglalkozik, a javítással nem • a programot fekete doboznak tekinti • folyamatosan érkező és összesített adatokkal is tud számolni ALAPÖTLET: • a komplex műszaki rendszerek bizonyos mértékig a szoftverhez hasonlóan kezelhetők • az előforduló hibákat teljesen ki lehet javítani • az egyszer már előfordult hibákat a felhasználó azonos formában nem ismétli meg

STATISZTIKAI MODELLEK - DUANE II. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám:173

KONCEPCIÓ: • „tanulógörbe”, amely a használat során bővülő ismereteket figyelembe veszi az előrejelzésben A MODELL ÉRTÉKELÉSE: • a programfutási idővel és az újonnan előkerülő hibákkal számolva a modell előrejelzési képessége igen jó • rosszul használható abban az esetben, ha a kezdeti adatok erősen eltérnek a feltevésektől, mert ezekre nagyon érzékeny a modell JELÖLÉSEK: • u – összes figyelembe vett programfutási idő • c(u) – u idő elteltéig jelentkezett hibák száma • Q(u) – a meghibásodási ráta időbeli integrálja u idő elteltekor • a, b – skálaparaméterek



Kódszám: 224

Lapszám:174

STATISZTIKAI MODELLEK - DUANE III. MATEMATIKAI MODELL: • a tapasztalatok szerint az (u,q(u)) koordinátájú pontok logaritmikus beosztású papíron egy negatív irányszögű egyenes közelében helyezkednek el, vagyis logaritmusaik kapcsolata lineáris regresszióval jól leírható: • ahol b < 1; innen

log[Q(u)] ≈ (b – 1) * log(u) + log(a) Q(u) ≈ a * ub-1

• ugyancsak a tapasztalatok szerint c(u) ≈ Q(u) u • tehát az előfordult hibák számának növekedésével így alakul a (0,u) időintervallumban bekövetkező meghibásodások számának várható értéke: c(u) ≈ a * ub



Kódszám: 224

Lapszám:175

STATISZTIKAI MODELLEK - JELINSKI ÉS MORANDA I. A MODELL JELLEMZŐI: • naptári idő • sztochasztikus • a folyamatosan érkező adatokat is fel tudja dolgozni • gyakoriságokkal számol • fekete doboz • a hibák száma véges • a hibák csak akkor számítanak, ha megjelennek • a javítás tökéletes • a meghibásodási ráta csak a hibák megjelenésével változik A MODELL ÉRTÉKELÉSE: • eredeti formájában kevéssé vált be a gyakorlatban • kiindulópontja több későbbi, sikeres modellnek



Kódszám: 224

Lapszám:176

STATISZTIKAI MODELLEK - JELINSKI ÉS MORANDA II. JELÖLÉSEK: • T – az első programfutástól számított naptári idő • t – a legutóbbi hibától számított naptári idő • ti – az i-1 és i sorszámú meghibásodások közti naptári idő • n – a programban található összes hibák száma • c – az adott időpontig megtalált és kijavított hibák száma • q(c) – c számú hiba után érvényes meghibásodási ráta • z – skálaparaméter • Σ – összegzés 1-től c-ig



Kódszám: 224

Lapszám:177

STATISZTIKAI MODELLEK - JELINSKI ÉS MORANDA III. MATEMATIKAI MODELL: • Feltételezzük, hogy q(c) = z*(n – c) • vagyis a következő időegység alatt felbukkanó hibák számának várható értéke a programban maradt hibák számával arányos. • Bizonyítható, hogy n optimális becslését kapjuk a következő egyenletből:

Σ 1 / (n – i) = c * T / (n * T – Σ i * ti) • és ennek felhasználásával becsülhető z is: z = c / (n * T – Σ i * ti)



Kódszám: 224

Lapszám:178

STATISZTIKAI MODELLEK - MUSA I. A MODELL JELLEMZŐI: • a programfutási időt veszi figyelembe • sztochasztikus • a folyamatosan érkező adatokat is fel tudja dolgozni • gyakoriságokkal számol • fekete doboz • a hibák száma véges • a hibák csak akkor számítanak, ha megjelennek • a javítás tökéletes • a meghibásodási ráta csak a hibák megjelenésével változik



Kódszám: 224

Lapszám:179

STATISZTIKAI MODELLEK - MUSA II. A MODELL ÉRTÉKELÉSE: • figyelembe veszi, hogy különbség van a tesztelési és felhasználási célú programfuttatás között • lehetőséget ad a továbbfejlesztésre, új paraméterek bevezetésével jobb illeszkedés elérésére • hátránya, hogy nem tesz különbséget az egyes hibák veszélyessége között JELÖLÉSEK: • t – a legutóbbi hibától számított programfutási idő • n – a programban található összes hibák száma • c(t) – az adott időpontig megtalált és kijavított hibák száma y(t) – t futási idő elteltekor a következő meghibásodásig hátralevő idő várható értéke (a megbízhatóságelméletben szokásos jelölése: MTTF) • m(t) – c(t) várható értéke • C – tesztkompressziós faktor; azt fejezi ki, hogy a tesztelés során hányszor gyorsabban akadunk hibára, mint normál programfutás során



Kódszám: 224

Lapszám:180

STATISZTIKAI MODELLEK - MUSA III. MATEMATIKAI MODELL: • A t futási összidőig megtalált hibák számának várható értéke: m(t) = n * {1 – exp {– [(C) / (y(0)*n)] * t}} • Látható, hogy a jobboldalon a kapcsos zárójelen belüli rész t növekedésével 1hez tart, így m(t) is tart n-hez. • A legközelebbi meghibásodásig eltelő idő várható értéke (MTTF): y(t) = y(0) * exp {[(C) / (y(0)*n)] * t} • A jobboldalon az exponenciális részben t együtthatója pozitív, ezért a jobboldal végtelenhez tart. Tehát sok programfutás után a legközelebbi meghibásodásig eltelő idő minden határon túl nő.

STATISZTIKAI MODELLEK - MUSA IV. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET


Kódszám: 224

Lapszám:181

• A megbízhatósági függvény: R(t) = exp {– t / y(t)} • Ennek alapján meghatározható, hogy ha a legközelebbi meghibásodásig várhatóan eltelő időt y1-ről y2-re akarjuk növelni, ehhez hány hibát kell megtalálnunk és kijavítanunk:

∆c = { y(0) * n} * (1/ y1 – 1/y2) • Ugyancsak meghatározható, hogy ehhez mekkora programfutási időre van szükség:

∆t = {[y(0) * n] / C} * ln (y2 / y1)



Kódszám: 224

Lapszám:182

PÉLDA - I. • Egy nagy program feltételezhetően kb. 300 hibát tartalmaz. A program indításától az első hiba megjelenéséig átlagosan eltelő idő (MTTF) 1.5 óra. A tesztkompressziós faktor becsült értéke 4. • Mennyi ideig kell tesztelni a programot ahhoz, hogy a megmaradó hibák számát 300-ról 10-re csökkenthessük? • Megoldás:

∆c = { y(0) * n} * (1/ y1 – 1/y2) • Behelyettesítve: 300 – 10 = { 300 * 1.5 } * (1/1.5 – 1/y2)



Kódszám: 224

Lapszám:183

PÉLDA - II. • Innen

y2 = 45 óra

• Továbbá

∆t = {[y(0) * n] / C} * ln (y2 / y1) • Behelyettesítve:

∆t = { [ 300 * 1.5 ] / 4 } * ln ( 45 / 1.5 ) = 382.6 • Innen

∆t = 382.6 óra

• Tehát ennyi tesztelési időre van szükség, hogy a programhibák száma 10-re csökkenjen.



Kódszám: 224

Lapszám:184

PÉLDA - III. • Végül R(t) = exp { – t / y(t) } • Behelyettesítve: R(50) = exp { – 50 / 45 } = 0.33 • Vagyis a 382.6 órányi tesztelés elvégzése után legalább 50 óra hibamentes működés valószínűsége 0.33 lesz.



Kódszám: 224

Lapszám:185

STATISZTIKAI MODELLEK - GOEL/OKUMOTO I. A MODELL JELLEMZŐI: • programfutási időt alkalmaz • sztochasztikus • gyakoriságokkal számol • fekete doboz • a hibák száma véges, de véletlen • a hibák csak akkor számítanak, ha megjelennek • a javítás nem feltétlenül tökéletes • a meghibásodási ráta csak a hibák megjelenésével változik A MODELL ÉRTÉKELÉSE: • Goel és Okumoto modellje egyaránt közel áll Musa, valamint Jelinski és Moranda modelljéhez. • Egyetlen új paraméter bevezetésével modellezhető a nem tökéletes javítás. Legyen p annak a valószínűsége, hogy sikeres a javítás. z helyett pz paramétert használhatunk.



Kódszám: 224

Lapszám:186

STATISZTIKAI MODELLEK - GOEL/OKUMOTO II. JELÖLÉSEK: • t – a legutóbbi hibától számított programfutási idő • n – a programban található összes hibák számának várható értéke • c(t) – az adott időpontig megtalált hibák száma • m(t) – c(t) várható értéke • z – arányossági tényező a meglevő és megmutatkozó hibák között MATEMATIKAI MODELL: • Az időegység alatt megmutatkozó hibák átlagos száma egyenesen arányos a programban még benn található hibák átlagos számával • A t futási összidőig megtalált hibák számának várható értéke: m(t) = n * {1 – exp {– z * t}} • Látható, hogy a jobboldalon a kapcsos zárójelen belüli rész t növekedésével 1hez tart, így m(t) is tart n-hez. • Feltételezzük, hogy c(t) Poisson-eloszlást követ, paramétere és várható értéke m(t).



Kódszám: 224

Lapszám:187

GAZDASÁGI STATISZTIKA

Recommend Documents