GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 1
TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 2
A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI A STATISZTIKA ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE A STATISZTIKAI ADATOK KELETKEZÉSE ADATGYŰJTÉS SOKASÁGOK LEÍRÁSÁNAK ESZKÖZEI
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 3
A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI A STATISZTIKA ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE MI A STATISZTIKA? A STATISZTIKA TEVÉKENYSÉGEI A STATISZTIKA MÓDSZERTANA A STATISZTIKA SZEREPE
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 4
MI A STATISZTIKA? TUDOMÁNYOS ESZKÖZKÉNT
a környezetet hűen leíró számok és adatok összessége
MATEMATIKAI ELMÉLETKÉNT
a véletlen tömegjelenségek számszerű jellemzése
FORMAI SZEMPONTBÓL
általában táblázat vagy számított adat
MÓDSZERTANI SZEMPONTBÓL
adatok gyűjtésének, ábrázolásának és elemzésének módszertana
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 5
A STATISZTIKA TEVÉKENYSÉGEI kikérdezés
ADATOK GYŰJTÉSE
megfigyelés kísérlet ábrázolás
ADATOK FELDOLGOZÁSA
egyszerű számtani műveletek mennyiségi
EREDMÉNY ELEMZÉSE
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
csoportosítás
minőségi
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 6
A STATISZTIKA MÓDSZERTANA adatgyűjtés a teljes sokaságra
LEÍRÓ STATISZTIKA
adatfeldolgozás a teljes sokaságra eredményelemzés a teljes sokaságra
STATISZTIKAI KÖVETKEZTETÉS
adatgyűjtés egy részsokaságra adatfeldolgozás egy részsokaságra eredményelemzés a teljes sokaságra
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 7
PÉLDA: RÉSZLEGES ÉS TELJES NÉPSZÁMLÁLÁS ADATOK GYŰJTÉSE
egyéni kikérdezés
ADATOK FELDOLGOZÁSA
lakosság száma megoszlás kor, nem stb. szerint
megoszlások közötti kapcsolatok EREDMÉNY ELEMZÉSE
adatok időbeli alakulása demográfiai, szociológiai változások
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 8
A STATISZTIKA SZEREPE MEGISMERÉSI FOLYAMAT
a valóság számszerű leírása jelenségek időbeli előrebecslése
PÉLDA: ÖKOLÓGIA DEMOGRÁFIA
helyzetfelmérés
DÖNTÉSI FOLYAMAT
döntési változatok hatásbecslése
PÉLDA: BERUHÁZÁS ÁTSZERVEZÉS
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 9
A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI A STATISZTIKAI ADATOK KELETKEZÉSE STATISZTIKAI EGYSÉG ÉS SOKASÁG STATISZTIKAI SOKASÁGOK TÍPUSAI ISMÉRVEK ÉS ISMÉRVVÁLTOZATOK ISMÉRVEK OSZTÁLYOZÁSA MÉRÉS, MÉRÉSI SKÁLA MÉRÉSI SKÁLÁK TÍPUSAI GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 10
STATISZTIKAI EGYSÉG ÉS SOKASÁG megfigyelés tárgyát képező egyed STATISZTIKAI EGYSÉG
statisztikai információ hordozója lehet élőlény, tárgy, képzett egység
PÉLDA: NÉPSZÁMLÁLÁS EGYES EMBER
STATISZTIKAI SOKASÁG
megfigyelt egyedek összessége
PÉLDA: NÉPSZÁMLÁLÁS LAKOSSÁG GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 11
STATISZTIKAI SOKASÁGOK TÍPUSAI EGYSÉGEK JELLEGE SZERINT EGYSÉGEK SZÁMA SZERINT
IDŐBELISÉG SZERINT
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
diszkrét: az egységek világosan elkülönülnek
pl. égitestek, molekulák
folytonos: az egységek megválasztása önkényes
pl. pénz, nyersanyag
véges: a megfigyelt egységek száma véges
pl. népesség, esős napok száma
végtelen: a megfigyelhető egységek száma korlátlan
pl. fizikai vagy kémiai kísérlet
álló:időpontra vonatkozik állapotot fejez ki
pl. lakosság egy adott időpontban
mozgó: időszakra vonatkozik, változást fejez ki
pl. születések száma egy évben
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 12
ISMÉRVEK ÉS ISMÉRVVÁLTOZATOK STATISZTIKAI ISMÉRV
az egyedek megfigyelt tulajdonsága
pl. autó típusa, színe, súlya
ISMÉRVVÁLTOZATOK
az ismérv lehetséges kimenetelei (értékei)
pl. autó új, megkímélt, lestrapált
ALTERNATÍV ISMÉRV
a lehetséges értékek száma kettő
pl. férfi-nő, 60 év alatt vagy felett
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 13
ISMÉRVEK OSZTÁLYOZÁSA EGYSÉGEK VISZONYA SZERINT
MÉRHETŐSÉG SZERINT
INFORMÁCIÓ TÍPUSA SZERINT
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
közös: a sokaság egységei egyformák
pl. férfiak neme
megkülönböztető: a sokaság csoportosítható
pl. autók típusai
mennyiségi: mértékegységgel mérhető
pl. életkor, testmagasság
minőségi: nincs mértékegység
pl. szépség, színészi tehetség
térbeli, időbeli, színbeli stb. információ
pl. születési hely és idő, bőrszín
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 14
MÉRÉS, MÉRÉSI SKÁLA
MÉRÉS
számok hozzárendelése dolgokhoz, jelenségekhez, tulajdonságokhoz stb
MÉRÉSI SKÁLA
a lehetséges mérési értékek halmaza az összehasonlítási szabállyal együtt
MÉRÉSI SKÁLÁK BESOROLÁSA
a mérési értékek összehasonlítási szabálya szerint
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 15
MÉRÉSI SKÁLÁK TÍPUSAI NÉVLEGES (NOMINÁLIS)
hozzárendelés:tisztán kód főleg minőségi, földrajzi
pl. autórendszám, irányítószám
SORRENDI (ORDINÁLIS)
hozzárendelés: sorrend arány érdektelen
pl. osztályzat, versenyhelyezés
KÜLÖNBSÉGI (INTERVALLUM)
hozzárendelés: különbség fontos, nullpont önkényes
pl. hőmérséklet, hegy magassága
ARÁNY
hozzárendelés: nullpont és arány is fontos
pl. hosszúság, súly, költség
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 16
A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI ADATGYŰJTÉS STATISZTIKAI ADAT ÉS TÍPUSAI AZ ADATSZOLGÁLTATÁS KÖVETELMÉNYEI ÉS KITERJEDÉSE RÉSZLEGES ADATFELVÉTEL AZ ADATGYŰJTÉS TECHNIKAI ELEMEI HIBA ÉS HIBAKORLÁT
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 17
STATISZTIKAI ADAT ÉS TÍPUSAI STATISZTIKAI ADAT
sokaság jellemzése számmal és azonosítóval
pl. évi jövedelem, ország területe
ALAPADAT
mérés vagy számlálás eredménye
pl. termelés, létszám
SZÁRMAZTATOTT ADAT
több alapadatból számításssal keletkezik
pl. lakosságszám évi változása
STATISZTIKAI MUTATÓSZÁM
ismétlődő jelenség statisztikai jellemzése
pl. GDP/fő, termelékenység
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 18
AZ ADATSZOLGÁLTATÁS KÖVETELMÉNYEI ÉS KITERJEDÉSE adatok pontossága KÖVETELMÉNYEK
gyorsaság gazdaságosság
teljes körű
KITERJEDÉS
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
részleges
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 19
RÉSZLEGES ADATFELVÉTEL REPREZENTATÍV ADATFELVÉTEL
a minta hűen tükrözi az alapsokaságot
pl. részleges népszámlálás
MONOGRÁFIA
egy vagy néhány kiemelt egyed részletes vizsgálata
pl. két szélsőséges eset elemzése
EGYÉB RÉSZLEGES ADATGYŰJTÉS
nem reprezentatív módon kiválasztott minta
pl. kikérdezés találomra
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 20
AZ ADATGYŰJTÉS TECHNIKAI ELEMEI ADATOK FORRÁSA
ADATGYŰJTÉS ESZKÖZEI
KÉRDŐÍV KITÖLTÉSE
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
megfigyelési egység: rá vonatkozik az adat
pl. autó
számbavételi egység: ő szolgáltatja az adatot
pl. autó üzemeltetője
egyéni kérdőív: egyetlen megfigyelési egységről
pl. népszámlálási kérdőív
lajstrom: több megfigyelési egységről
pl. aláírásgyűjtő lista
önszámlálás: az adatszolgáltató tölti ki
pl. lakcímbejelentő lap
kikérdezés: a kérdezőbiztos tölti ki
pl. forgalomfelmérés
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 21
HIBA ÉS HIBAKORLÁT - I. VALÓSÁGOS ADAT
A: a vizsgált mennyiség tényleges értéke
MÉRT ADAT
Â: a vizsgált mennyiség mért értéke
ABSZOLÚT HIBA
a = A−Â a valóságos és a mért adat eltérése
ABSZOLÚT HIBAKORLÁT
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
â: a maximumának becsült értéke;; feltehetően Â−â ≤ A ≤ Â+â
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 22
HIBA ÉS HIBAKORLÁT - II. SZIGNIFIKÁNS SZÁMJEGYEK
a mért érték megbízható kerekítésének számjegyei
UTOLSÓ KIÍRT SZÁMJEGY
mért érték kerekítésének utolsó számjegye;;
s
s
ha helyiértéke 10 , akkor â = 10 /2
RELATÍV HIBA
α=a/A abszolút hiba és valóságos adat hányadosa
RELATÍV HIBAKORLÁT
α! = â / Â ; abszolút hibakorlát és mért kerekített adat hányadosa
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 23
PÉLDA: RÉSZLEGES NÉPSZÁMLÁLÁS VALÓSÁGOS ADAT:
A = 10 276 538
MÉRT ADAT:
 = 10 276 893
ABSZOLÚT HIBA:
= 355 a = 10276538 − 10276893
SZIGNIFIKÁNS SZÁMJEGYEK:
1 0 2 7 7
UTOLSÓ KIÍRT SZÁMJEGY HELYIÉRTÉKE: ABSZOLÚT HIBAKORLÁT: RELATÍV HIBA:
1 000
â = 1000 / 2 = 500
α = 355 / 10276538 = 0.00345 %
RELATÍV HIBAKORLÁT: α! = 500 / 10277000 = 0.00487 %
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 24
A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI SOKASÁGOK LEÍRÁSÁNAK ESZKÖZEI CSOPORTOSÍTÁS ÖSSZEHASONLÍTÁS VISZONYSZÁMOK ÁTLAGOK SÚLYOZOTT ÁTLAGOK ÁTLAGOK TULAJDONSÁGAI A SZÁMTANI ÁTLAG TULAJDONSÁGAI GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 25
CSOPORTOSÍTÁS CSOPORTOSÍTÁS
a sokaság átfedésmentes és teljes felosztása megkülönböztető ismérv szerint
NÓMENKLATÚRA
szabványos, ismételten felhasznált osztályozási rendszer
CSOPORTOSÍTÓ SOR
egyetlen ismérv szerinti osztályozás;; lehet minőségi, mennyiségi, területi, időbeli
STATISZTIKAI TÁBLA
több ismérv szerinti, kombinált osztályozás
NEM FŐ Fiú 12 Lány 18 Összesen 30
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
PÉLDA: egy osztály nemek szerinti megoszlása nómenklatúra: fiú − lány csoportosító sor: minőségi
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 26
ÖSSZEHASONLÍTÁS ÖSSZEHASONLÍTÁS
két vagy több statisztikai adat egymáshoz való viszonyítása
SZÁZALÉKPONT EZRELÉKPONT
adatok százalékban (ezrelékben) kifejezett különbségének mértékegysége
ÖSSZEHASONLÍTÓ SOR
több egyed egyetlen ismérv szerinti értékei
LEÍRÓ SOR
egyetlen egyed több ismérv szerinti értékei
ORSZÁG GDP/FŐ Ausztria 23120 Portugália 7890 Románia 1120
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
PÉLDA: 1 főre jutó GDP 1993-ban USD-ban néhány európai országban összehasonlító sor: területi
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 27
VISZONYSZÁMOK VISZONYSZÁM
összefüggő adatok hányadosa;; viszonyítás tárgya / alapja
pl. GDP / fő;; viszonyítás tárgya: GDP alapja: ország lakossága
MEGOSZLÁSI VISZONYSZÁM
azonos típusú adatok;; részsokaság adata / teljes sokaság adata
pl. férfiak aránya a népességen belül
KOORDINÁCIÓS VISZONYSZÁM
azonos típusú adatok;; egyik részsokaság adata / másik részsokaság adata
pl. ezer nőre jutó férfiak száma
DINAMIKUS VISZONYSZÁM
azonos típusú adatok;; tárgyidő adata / bázisidő adata
pl. változás aránya;; létszám:időpontok között GDP:időszakok között
INTENZITÁSI VISZONYSZÁM
különböző típusú adatok hányadosa
pl. népsűrűség: ország lakossága / területe
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 28
ÁTLAGOK ÁTLAG (KÖZÉPÉRTÉK)
azonos fajtájú X1, X2, ... XN adatok jellemző értékének közelítésére szolgál
SZÁMTANI ÁTLAG
X1 + X2 + ... + XN
HARMONIKUS ÁTLAG
N
MÉRTANI ÁTLAG NÉGYZETES ÁTLAG GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
N 1/X1 +1/X2+... + 1/XN N
√ X1 ⋅ X2 ⋅ ... ⋅ XN
√(X12 + X22 + ... XN2)/N
Tantárgy: Gazdasági statisztika
pl. :2, 6, 4
(2+6+4) / 3 = 4 3 / (1/2+1/6+1/4) = =3 / (6/12+2/12+3/12) = =36/11 = 3.27 3
√2 ⋅6 ⋅4= = 3√ 48 = 3.63 √ (22 + 62 + 42) / 3 = = √ (4 + 36 + 16) / 3 = = √ 56/3 = 4.32 Kódszám: 224
Lapszám: 29
SÚLYOZOTT ÁTLAGOK SÚLYOK
Y1, Y2,... Yk a megfigyelt ismérv különböző értékei f1, f2,... fk a megfigyelt gyakoriságok, Σfi=N g1 = f1/N, ... gk = fk/N megoszlási viszonyszámok, Σgi=1 f1Y1 + f2Y2 + ... + fkYk
SZÁMTANI ÁTLAG, Y
N
NÉGYZETES ÁTLAG GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
1
N
HARMONIKUS ÁTLAG, Xh MÉRTANI ÁTLAG, Xg
= g1Y1 + g2Y2 + ... + gkYk
= f1/Y1 + f2/Y2+... + fk/Yk N
g1/Y1 + g2/Y2+... + gk/Yk
√Y1 f1 ⋅Y2 f2 ⋅ ... ⋅ Yk fk = Y1 g1 ⋅ Y2 g2 ⋅ ... ⋅ Yk gk f1Y12 + f2Y22 +...+ fkYk2
= √g1Y12 + g2Y22 +...+ gkYk2
NN Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 30
ÁTLAGOK TULAJDONSÁGAI X min ≤ X h ≤ X g ≤ X ≤ X q ≤ X max Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha minden ismérvérték egyenlő.
Súlyozott átlag akkor kerül közelebb Xmin illetve Xmax értékéhez, ha a kisebb illetve nagyobb ismérvértékek súlya megnő.
X 12 + ...+ X N2 Xq = N
1/ 2
X 11 + ...+ X N1 X= N
X 1− 1 + ...+ X N− 1 Xh = N
1/ 1
1/( −1)
A mértani átlagot nem lehet hasonló alakra hozni.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 31
A SZÁMTANI ÁTLAG TULAJDONSÁGAI N
∑ ( Xi − X ) = 0
Az átlagtól való eltérések összege 0.
i =1
N
∑ X i = NX
i =1
Ha minden ismérvértéket az átlaggal helyettesítünk, az összeg nem változik. N
2 ∑ ( X i − A) akkor minimális, amikor A= X .
i =1
A négyzetes eltérésösszegek között a számtani átlagé a legkisebb. Ha Yi = BXi+A, i=1,2,...N, akkor Y = BX + A . Az ismérvértékek mindegyikét B számmal megszorozva és/vagy A számmal növelve (csökkentve) az átlag is így változik.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 32
STATISZTIKAI SOROK MENNYISÉGI ISMÉRVBŐL KÉPZETT SOROK AZ ELOSZLÁSOK SZÁMSZERŰ JELLEMZÉSE IDŐSORELEMZÉS
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 33
STATISZTIKAI SOROK MENNYISÉGI ISMÉRVBŐL KÉPZETT SOROK MENNYISÉGI ISMÉRV GYAKORISÁG GYAKORISÁGI SOR ÉRTÉKÖSSZEGSOR GYAKORISÁGI SOR GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSA
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 34
MENNYISÉGI ISMÉRV
TÍPUSOK
RANGSOR
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
diszkrét: véges vagy megszámlálhatő számú érték
pl. lakás szobaszáma
folytonos: intervallumon belül bármilyen érték
pl. lakás alapterülete
mennyiségi ismérv értékeinek növő sorozata
pl. 2,3,4,5,6,7,8,9 személyes autó
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 35
PÉLDA EREDETI ADATOK 36 14 21 23 23
10 34 22 26 20
20 40 18 16 22
23 26 25 17 21
16 16 31 19 15
31 17 30 21 23
24 28 22 33 18
22 29 19 24 27
20 21 17 32 17
18 12 19 11 36
11 17 21 23 30
12 17 21 23 31
14 18 21 24 31
15 18 21 24 32
16 19 22 25 33
16 19 22 26 34
16 19 22 26 36
17 20 22 27 36
17 20 23 28 40
RANGSOR 10 17 20 23 29
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 36
GYAKORISÁG ISMÉRV OSZTÁLYA (Ci)
ismérv értéke vagy értékintervalluma
OSZTÁLYKÖZ
értékintervallumból álló osztály;; nyitott, ha nincs alsó vagy felső határa
GYAKORISÁG (fi) RELATÍV GYAKORISÁG (gi) KUMULÁLT GYAKORISÁG (fi′ ) LEFELÉ KUMULÁLT GYAK. (fi′′ ) GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
mennyiségi ismérv szerinti osztályba (osztályközbe) hány egyed tartozik gyakoriság / sokaság összlétszáma (megoszlási viszonyszám) az osztályköz felső határánál nem nagyobb ismérvértékek előfordulási száma az osztályköz alsó határánál nem kisebb ismérvértékek előfordulási száma
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 37
GYAKORISÁGI SOR GYAKORISÁGI SOR
mennyiségi ismérv alapján készült csoportosító sor
GYAKORISÁGI ELOSZLÁS
ismérvosztályok egyetlen értékből állnak
GYAKORISÁGI MEGOSZLÁS
az ismérvosztályok között van osztályköz is
OSZTÁLYKÖZÖK KIALAKÍTÁSA Feltétel: • ismérvértékek nem sűrűsödnek egyes részintervallumokon Módszer: • osztályközök száma: k = [log N / log 2] (legkisebb egész szám, amelyre 2k >N) • osztályközök hossza: h = (xmax - xmin) / k Szélsőségesen egyenlőtlenül eloszló ismérvértékek esete: • osztályközhatárok megadásával egyenletesen szétosztjuk az ismérvértékeket
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 38
PÉLDA (folyt.) OSZTÁLYKÖZÖK KIALAKÍTÁSA sokaság létszáma N = 50 osztályközök száma
26 = 64 > 50 > 32 = 25 k=6
osztályközök hossza xmax = 40 xmin= 10 h=
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
x max − x min 40 − 10 = =5 h 6
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 39
PÉLDA (folyt.) Osztály
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Rel. gyak Rel. gyak. % gi 100 ⋅ gi 0.10 10
− 15
Gyakoriság fi 5
16 − 20
16
0.32
32
21 − 25
15
0.30
30
26 − 30
6
0.12
12
31 − 35
5
0.10
10
36 − …
3
0.06
6
Összesen:
50
1.00
100
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 40
PÉLDA (folyt.) Osztály
Gyakoriság
fi′
fi
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Kumulált rel. gyak. % ′ 100 ⋅ gi 5 10
Kumulált gyakoriság
− 15
5
16 − 20
16
21
42
21 − 25
15
36
72
26 − 30
6
42
84
31 − 35
5
47
94
36 − …
3
50
100
Összesen:
50
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 41
PÉLDA (folyt.) Osztály
Lefelé Lefelé kumulált kumulált rel. gyak. % gyakoriság ′′ f i ′′ 100 ⋅ gi 5 50 100
Gyakoriság
fi − 15
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
16 − 20
16
45
90
21 − 25
15
29
58
26 − 30
6
14
28
31 − 35
5
8
16
36 − …
3
3
6
Összesen:
50
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 42
ÉRTÉKÖSSZEGSOR ÉRTÉKÖSSZEG
mennyiségi ismérv alapján egy osztályba tartozó egyedek ismérvértékeinek összege
ÉRTÉKÖSSZEGSOR
a mennyiségi ismérv szerinti osztályokhoz az osztály értékösszegét rendeljük
OSZTÁLYKÖZÉP
az osztályköz alsó és felső határának számtani átlaga
RELATÍV ÉRTÉKÖSSZEG
osztály értékösszege / sokaság teljes értékösszege
RELATÍV ÉRTÉKÖSSZEGSOR
a relatív értékösszegek hozzárendelése az egyes osztályokhoz
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 43
PÉLDA (folyt.) Osztály − 15
Osztályközép Xi 12.5
16 − 20
17.5
280.0
25.0
21 − 25
22.5
337.5
30.1
26 − 30
27.5
165.0
14.7
31 − 35
32.5
162.5
14.5
36 − …
37.5
112.5
10.1
1120.0
100.0
Összesen:
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
ÉrtékRel. értékösszeg összeg % Si 100 ⋅ Zi 62.5 5.6
Kódszám: 224
Lapszám: 44
GYAKORISÁGI SOR GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSA -I. BOT-ÁBRA
6 4 2
diszkrét ismérv értékeire felmérjük a gyakoriságokat
GYAKORISÁGI HISZTOGRAM osztályközös gyakorisági sor intervallumaira hézagmentesen téglalapok;; magasság: az egységnyi intervallumhosszra jutó gyakoriság, fi/hi
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
0 1
2
3
4
1
2
3
4
6 4 2 0
Kódszám: 224
Lapszám: 45
GYAKORISÁGI SOR GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSA-II. SŰRŰSÉGHISZTOGRAM osztályközös gyak. sor intervallumaira hézagmentesen téglalapok;; magasság: az egységnyi intervallumhosszra jutó relatív gyakoriság, gi/hi
GYAKORISÁGI POLIGON osztályközös gyak. sor intervallumain az osztályközepeknél az egységnyi intervallumhosszra jutó gyakoriságot felmérjük, majd összekötjük a pontokat
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
0,6 0,4 0,2 0,0 1
2
3
4
0,5
1,5
3,0
4,5
6 4 2 0 0,0
Kódszám: 224
Lapszám: 46
PÉLDA (folyt.) GYAKORISÁGI HISZTOGRAM 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -15
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
16 -20
21 -25
26 -30
Tantárgy: Gazdasági statisztika
31 -35
36 -
Kódszám: 224
Lapszám: 47
PÉLDA (folyt.) GYAKORISÁGI POLIGON 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 12,5
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
17,5
22,5
27,5
Tantárgy: Gazdasági statisztika
32,5
37,5
Kódszám: 224
Lapszám: 48
STATISZTIKAI SOROK AZ ELOSZLÁSOK SZÁMSZERŰ JELLEMZÉSE AZ ELOSZLÁSOK MUTATÓSZÁMAI MÓDUSZ MEDIÁN KVANTILISEK SZÓRÓDÁS SZÓRÓDÁSI MUTATÓK A SZÓRÁS TULAJDONSÁGAI EGYMÓDUSZÚ ELOSZLÁSOK ASZIMMETRIÁJA AZ ASZIMMETRIA MÉRŐSZÁMAI A KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 49
AZ ELOSZLÁSOK MUTATÓSZÁMAI középértékek (átlag, módusz, medián)
HELYZETMUTATÓK
kvantilisek (kvartilis, decilis, stb) szóródás terjedelme
SZÓRÓDÁSI MUTATÓK
átlagos eltérés, átlagos különbség szórás, relatív szórás
ASZIMMETRIAMUTATÓK
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Pearson-féle mutató F mutató
Kódszám: 224
Lapszám: 50
MÓDUSZ MÓDUSZ (Mo) FOGALMA
a sokaság tipikus értéke;; rendszerint különbözik az átlagtól
ELOSZLÁS MÓDUSZA
a leggyakoribb ismérvérték
NYERS MÓDUSZ
a gyakorisági poligon maximumhelye
TÖBBMÓDUSZÚ ELOSZLÁS
a gyakorisági poligonnak több maximumhelye is van
MODÁLIS OSZTÁLYKÖZ
az osztályköz alsó határánál nem kisebb ismérvértékek előfordulási száma
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 51
PÉLDA (folyt.) Osztály − 15.0 15.1 – 20.0 20.1 − 25.0 25.1 − 30.0 30.1 − 35.0 35.1 − … Összesen:
Gyakoriság 5 16 15 6 5 3 50
−20 MODÁLIS OSZTÁLYKÖZ: 15.1− NYERS MÓDUSZ.: 17.5 MÓDUSZ BECSLÉSE 16 5 − 5 5 Mo = 15 + ⋅ 5 = 19.58 16 5 15 16 − + − 5 5 5 5 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 52
MEDIÁN MEDIÁN (Me) FOGALMA
a mennyiségi ismérv azon értéke, amelynél ugyanannyi kisebb mint nagyobb érték van
GEOMETRIAI JELENTÉS
az x-tengelyre a mediánban állított merőleges felezi a hisztogram területét
KISZÁMÍTÁS RANGSORBÓL
ha N páratlan, akkor Me a sor középső tagja, ha páros, a két középső tag átlaga
KISZÁMÍTÁS GYAK. SORBÓL
Me a legkisebb Xi érték, amelynek ′ kumulált gyakorisága fi ≥ N/2
MINIMUMTULAJDONSÁG
Σ |Xi-A|| akkor a a legkisebb, ha A = Me
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
′′
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 53
PÉLDA (folyt.) Osztály
Gyakoriság
− 15.0 15.1 – 20.0 20.1 − 25.0 25.1 − 30.0 30.1 − 35.0 35.1 − … Összesen:
5 16 15 6 5 3 50
Kumulált gyakoriság 5 21 36 42 47 50
MEDIÁNT TARTALMAZÓ OSZTÁLYKÖZ: 20.1 – 25 MEDIÁN BECSLÉSE: 50 − 21 Me = 20.0 + 2 ⋅ 5 = 21.33 15 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 54
KVANTILIS (Qq) FOGALMA
KVANTILISEK 0 < q < 1 esetén a q-adrendű kvantilis az az Xi ismérvérték a rangsorban, melyre gi′ = q
TERCILISEK
Q1/3 = T1, Q2/3 = T2
KVARTILISEK
Q1/4 = Q1, Q1/2 = Q2 = Me, Q3/4 = Q3
DECILISEK
Q1/10 = D1, Q2/10 = D2,... Q9/10 = D9
PERCENTILISEK
Q1/100 = P1, Q2/100 = P2,... Q99/100 = P99
Qj/k KVANTILIS KISZÁMÍTÁSA ( j / k )N − f i′−1 j f i′− 1 ≤ N ≤ f i′ ; Q j / k = a i + ⋅ hi ; ai az i-1. osztályköz vége k fi GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 55
PÉLDA (folyt.) Osztály
Gyakoriság
− 15.0 15.1 – 20.0 20.1 − 25.0 25.1 − 30.0 30.1 − 35.0 35.1 − … Összesen:
5 16 15 6 5 3 50
Kumulált gyakoriság 5 21 36 42 47 50
KVARTILISEK 5<
1 12.5 − 5 ⋅ 5 = 17.34 50 = 12.5 < 21 ; tehát i = 2, ai = 15;; Q1 = 15 + 4 16
36 <
3 37.5 − 36 ⋅ 5 = 26 .25 50 = 37.5 < 42 ; tehát i = 4, ai = 25;; Q 3 = 25 + 4 6
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 56
SZÓRÓDÁS SZÓRÓDÁS FOGALMA
azonos fajta számszerű adatok (pl. mennyiségi ismérv értékei) különbözősége
SZÓRÓDÁS MÉRÉSE
ismérvértékeknek valamelyik középértéktől (többnyire számtani középtől) való eltérése
MINIMUMTULAJDONSÁG
szóródás hiánya esetén a mérőszám értéke 0, egyébként pozitív
Gyakorisági poligon, 3 változó azonos ismérvértékekkel, különböző szóródással 10 5 0
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 57
SZÓRÓDÁSI MUTATÓK SZÓRÓDÁS TERJEDELME: legnagyobb és legkisebb ismérvérték különbsége R = X max − X min ÁTLAGOS ELTÉRÉS: számtani átlagtól való eltérések átlaga ∑ Xi − X δ= N SZÓRÁS: számtani átlagtól való eltérések négyzetes átlaga
∑ (Xi − X ) σ =
2
N ÁTLAGOS KÜLÖNBSÉG: ismérvértékek páronkénti eltéréseinek átlaga ∑ ∑ Xi − X j G= N2 RELATÍV SZÓRÁS: relatív eltérések négyzetes átlaga
σ V = = X
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
1 N
Xi − X ∑ X
Tantárgy: Gazdasági statisztika
2
Kódszám: 224
Lapszám: 58
PÉLDA (folyt.) ÁTLAG
X = 22.4 SZÓRÓDÁS TERJEDELME: legnagyobb és legkisebb ismérvérték különbsége R = 40 – 10 = 30 ÁTLAGOS ELTÉRÉS: számtani átlagtól való eltérések átlaga δ = 5.26 SZÓRÁS: számtani átlagtól való eltérések négyzetes átlaga σ = 6.67 ÁTLAGOS KÜLÖNBSÉG: ismérvértékek páronkénti eltéréseinek átlaga G = 7.26 RELATÍV SZÓRÁS: relatív eltérések négyzetes átlaga V = 6.67 / 22.4 = 0.298
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 59
A SZÓRÁS TULAJDONSÁGAI Kiszámítás súlyozással: 2 fi ( X i − X ) ∑ 2 σ = = ∑ gi ( X i − X ) ∑ fi
Az ismérvértékekhez ugyanazt a számot hozzáadva a szórás értéke változatlan: σ X+A = σ X Az ismérvértékeket egy közös számmal szorozva a szórás a szám abszolút értékével szorzódik: σ BX = B σ X A szórás kiszámítható a négyzetes és a számtani átlagból:
σ =
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
2
Xq − X 2
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 60
EGYMÓDUSZÚ ELOSZLÁSOK ASZIMMETRIÁJA Szimmetrikus eloszlás: Mo = Me = X
Bal oldali aszimmetria: Mo < Me < X
Jobb oldali aszimmetria: X < Me < Mo
Módusz: a csúcsnál Medián: görbe alatti területet felezi Számtani átlag: nagyon kicsi vagy nagyon nagy értékek elhúzzák a mediántól GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 61
PÉLDA (folyt.) 20 15 10 5 0 12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
egymóduszú eloszlás módusz: medián: számtani átlag:
19.58 21.33 22.40
az eloszlás bal oldali aszimmetriát mutat
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 62
AZ ASZIMMETRIA MÉRŐSZÁMAI - I. PEARSON-FÉLE MUTATÓSZÁM (A): A=
X − Mo σ
Csak egymóduszú eloszlás esetén használható. bal oldali aszimmetria:
A>0
szimmetria:
A = 0.
jobb oldali aszimmetria:
A<0
erős aszimmetria:
A >1
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 63
AZ ASZIMMETRIA MÉRŐSZÁMAI - II. F MUTATÓSZÁM (F):
Q1− p − Me ) − ( Me − Q p ) ( F= (Q1− p − Me ) + ( Me − Q p )
0 < p < 1/2, leggyakrabban p = 1/4 Egymóduszú és többmóduszú eloszlás esetén is használható. F ≤1 egymóduszú eloszlás esetén: bal oldali aszimmetria:
F>0
szimmetria:
F = 0.
jobb oldali aszimmetria:
F<0
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 64
PÉLDA (folyt.) PEARSON-FÉLE MUTATÓSZÁM A= A>0 0 < A <1
22.4 − 19.58 = 0.423 6.67
bal oldali aszimmetria az aszimmetria gyenge
−MUTATÓSZÁM F− a kvartiliseket használjuk
( 26.25 − 21.33) − (21.33 − 17.34) F= = 0.104 (26.25 − 21.33) + (21.33 − 17.34) F>0 F kicsi
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
bal oldali aszimmetria az aszimmetria gyenge
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 65
A KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE KONCENTRÁCIÓ
a sokaság értékösszegének összpontosulása kis számú egységre
MÉRÉS
relatív gyakoriság (gi) és relatív értékösszeg (Zi) összehasonlítása
LORENZ-GÖRBE
kumulatív relatív gyakoriságok függvényében a kumulatív értékösszegek
KONCENTRÁCIÓS TERÜLET
a Lorenz-görbe és a 45 fokos egyenes által bezárt terület
KONCENTRÁCIÓS EGYÜTTHATÓ
koncentrációs terület aránya a téglalapban;; képlettel: K = G / 2X
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 66
PÉLDA (folyt.) Osztály
− 15.0 15.1 – 20.0 20.1 − 25.0 25.1 − 30.0 30.1 − 35.0 35.1 − …
Kumulált rel. Kum. rel. értékösszeg gyak. % ′ ′ %, 100 ⋅ Zi 100 ⋅ gi 10.0 5.6 42.0 30.6 72.0 60.7 84.0 75.4 94.0 89.9 100.0 100.0
KONCENTRÁCIÓS EGYÜTTHATÓ 7.26 K= = 0.16 2 ⋅ 22.4 kicsi a koncentráció − az értéksor nem koncentrálódik kiemelt osztályokra GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 67
STATISZTIKAI SOROK IDŐSORELEMZÉS IDŐSORELEMZÉS DINAMIKUS VISZONYSZÁMMAL IDŐSORELEMZÉS ÁTLAGOKKAL
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 68
IDŐSORELEMZÉS DINAMIKUS VISZONYSZÁMMAL Y1, Y2 ,...Yn állapot- vagy tartamidősor BÁZISVISZONYSZÁMOK (bt ) bt = Yt / Yb , t = 1,2,...n a viszonyítás alapja egy rögzített bázisidőszak adata LÁNCVISZONYSZÁMOK (lt) lt = Yt / Yt-1 , t = 1,2,...n a viszonyítás alapja az előző időpont vagy időszak adata ÖSSZEFÜGGÉS A BÁZIS- ÉS LÁNCVISZONYSZÁMOK KÖZÖTT lt = bt / bt-1 , t = 1,2,...n bt = l2 ⋅ l3 ⋅...⋅⋅lk , k = 2,3,...n BÁZISVISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA ÚJ BÁZISIDŐRE ÁTTÉRÉSKOR bt" = Yt / Yb" bt' = Yt / Yb'
bt" = bt' / bb' "
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 69
PÉLDA ÉV
ÉRTÉK
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
145.3 160.1 175.7 197.1 219.7 244.1 274.9
BÁZISVSZ. 1980=100% 100.0 110.2 120.9 135.6 160.0 168.0 189.2
LÁNCVSZ.
110.2 109.7 112.2 111.3 111.3 112.6
1986. évi bázisviszonyszám: 274.9/145.3 = 1.892 bázis- és láncviszonyszámok összefüggése: 1.892 = 1.102⋅⋅1.097⋅⋅1.122⋅⋅1.113⋅⋅1.113⋅⋅1.126 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 70
IDŐSORELEMZÉS ÁTLAGOKKAL - I. Y1, Y2 ,...Yn állapot- vagy tartamidősor TARTAMIDŐSOR ELEMZÉSE SZÁMTANI ÁTLAGGAL Y =
Y1 + Y 2 + . . . + Y n n
ÁLLAPOTIDŐSOR ELEMZÉSE KRONOLÓGIKUS ÁTLAGGAL Yk =
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Yn − 1 + Yn 1 Y1 + Y2 Y2 + Y3 + + + ... = n − 1 2 2 2 Yn 1 Y1 = + Y 2 + Y 3 + . . .+ Y n − 1 + n−1 2 2
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 71
PÉLDA HÓNAP
FORGALOM
Június Július Augusztus Szeptember Október November December
35.8 35.2 34.3 33.5 32.4 35.8
HÓVÉGI ÉRTÉK 18.8 19.6 20.2 19.8 21.1 20.3 19.2
HAVI ÁTLAGOS FORGALOM A MÁSODIK FÉLÉVBEN Y =
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
35.8 + 35.2 + 34.3 + 33.5 + 32.4 + 35.8 = 34.5 6
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 72
PÉLDA (folyt.) HÓNAP
FORGALOM
Június Július Augusztus Szeptember Október November December
35.8 35.2 34.3 33.5 32.4 35.8
HÓVÉGI ÉRTÉK 18.8 19.6 20.2 19.8 21.1 20.3 19.2
ÁTLAGOS HÓVÉGI ÉRTÉK A MÁSODIK FÉLÉVBEN 19.2 18 .8 . + 20.3 + + 19.6 + 20.2 + 19.8 + 211 2 = 20.0 Yk = 2 6 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 73
IDŐSORELEMZÉS ÁTLAGOKKAL - II. FEJLŐDÉS ÁTLAGOS MÉRTÉKE d =
Y2 − Y1 + Y3 − Y2 + ...+Yn − Yn − 1 Yn − Y1 = n−1 n−1
akkor használható, ha a változás mértéke keveset ingadozik (az idősor nagyjából számtani sorozat) FEJLŐDÉS ÁTLAGOS ÜTEME l =
n−1
l 2 ⋅ l 3 ⋅.. .⋅l n =
n− 1
bn =
n− 1
Yn Y1
akkor használható, ha a változás üteme keveset ingadozik (az idősor nagyjából mértani sorozat)
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 74
PÉLDA ÉV 1985 1993
ADAT 10560 10278
FEJLŐDÉS ÁTLAGOS MÉRTÉKE d =
10278 − 10560 = −35.25 8
FEJLŐDÉS ÁTLAGOS ÜTEME l =
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
8
10278 = 0.9966 10560
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 75
STATISZTIKAI TÁBLÁK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE EGYSZERŰ TÁBLÁK ELEMZÉSE CSOPORTOSÍTÓ TÁBLÁK ELEMZÉSE KOMBINÁCIÓS TÁBLÁK ELEMZÉSE
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 76
STATISZTIKAI TÁBLÁK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE STATISZTIKAI TÁBLA FOGALMA ÉS FELÉPÍTÉSE STATISZTIKAI TÁBLÁK TÍPUSAI
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 77
STATISZTIKAI TÁBLÁK FOGALMA ÉS FELÉPÍTÉSE STATISZTIKAI TÁBLA
statisztikai sorok rendszere rovatokból álló táblázatban elhelyezve
FEJROVATOK
oszlopok megnevezései
OLDALROVATOK
sorok megnevezései
ÖSSZESEN ROVATOK
sorösszegek, oszlopösszegek, táblázat teljes összege
DIMENZIÓSZÁM
a tábla egy-egy adata hány statisztikai sorhoz tartozik ( lá i i á )
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 78
STATISZTIKAI TÁBLÁK TÍPUSAI
EGYSZERŰ TÁBLA
leíró és/vagy (térbeli, időbeli) összehasonlító statisztikai sorokat tartalmaz, csoportosítás nélkül
CSOPORTOSÍTÓ TÁBLA
az egyik ismérv szerint csoportosítás összesen rovattal, a másik szerint leírás vagy összehasonlítás
KOMBINÁCIÓS TÁBLA
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
2 2 2 f f f Y Y Y + +...+ 1 1 2 2 k k mindegyik ismérv szerint csoportosítás összesen 2 2 2 g g Y Y Y √ g + +...+ = 1 1 2 2 k k rovatokkal és a táblának is van főösszege N
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 79
STATISZTIKAI TÁBLÁK EGYSZERŰ TÁBLÁK ELEMZÉSE EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE VISZONYSZÁMMAL IDŐSOROS EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 80
EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE VISZONYSZÁMMAL sokaság létszáma egységnyi területen
pl. népsűrűség
ELLÁTOTTSÁGI MUTATÓ
sokaság létszáma adott számú lakosra
pl. orvosok 1000 lakosra
ARÁNYSZÁM
népességstatisztikai arány
pl. születési arány
ÁTLAGJELLEGŰ MUTATÓ
sokaság egységére jutó erőforrás
pl. GDP / fő
NYERS INTENZ. VISZONYSZÁM TISZTÍTOTT INT. VISZONYSZÁM
viszonyítandó adat / teljes viszonyítási alap
pl. születésszám / teljes népesség
viszonyítandó adat / hozzá kapcsolódó viszonyítási alap
pl. születésszám / szülőképes nők
SŰRŰSÉGMUTATÓ
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 81
IDŐSOROS EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE 1. idő
2. idő
...
m. idő
1. adat 2. adat ... n. adat MENNYISÉGI JELLEMZÉS: közös bázisra vonatkozó bázisviszonyszámokkal SZEMLÉLTETÉS: közös koordinátarendszerben felrajzolt vonaldiagramokkal 110 100 90 1. idő
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
2. idő
3. idő
4. idő
Tantárgy: Gazdasági statisztika
5. idő
6. idő
Kódszám: 224
Lapszám: 82
STATISZTIKAI TÁBLÁK CSOPORTOSÍTÓ TÁBLÁK ELEMZÉSE RÉSZ- ÉS ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK SZERKEZET ÉS IDŐBELI VÁLTOZÁS VIZSGÁLATA
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 83
RÉSZ- ÉS ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK ISMÉRVÉRTÉKEK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK M RÉSZSOKASÁGRA Ai , Bi , Vi = Ai / Bi , i = 1, 2, ...M ÖSSZETETT VISZONYSZÁM: teljes sokaságra vonatkozik ∑ Aj V = ∑ Bj ÖSSZETETT VISZONYSZÁM SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁJA ∑ B jV j V = ∑ Bj ÖSSZETETT VISZONYSZÁM HARMONIKUS ÁTLAG FORMÁJA ∑ Aj V = Aj
∑
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Vj
Kódszám: 224
Lapszám: 84
PÉLDA ALAPADATOK CSOPORT I. II. III. ÖSSZESEN
A ADAT 1995.7 4561.9 719.4 10277.0
B ADAT 810 1692 1453 3955
MEGOSZLÁSI ÉS INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK CSOPORT I. II. III. ÖSSZESEN
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
(Aj / ΣAj)⋅⋅100 (Bj / ΣBj)⋅⋅100 19.42 20.48 44.39 42.78 36.19 36.74 100.00 100.00
Tantárgy: Gazdasági statisztika
(Aj / Bj)⋅⋅100 246 270 256 260
Kódszám: 224
Lapszám: 85
PÉLDA (folyt.) ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA KÖZVETLENÜL V =
10277 = 260 395
ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA SZÁMTANI ÁTLAG FORMA B ADATTAL SÚLYOZVA V =
810 ⋅ 246 + 1692 ⋅ 270 + 1453 ⋅ 256 = 260 3955
ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA SZÁMTANI ÁTLAG FORMA B ADAT MEGOSZLÁSI VISZONYSZÁMAIVAL SÚLYOZVA V =
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
2 0 .4 8 ⋅ 2 4 6 + 4 2 .7 8 ⋅ 2 7 0 + 3 6 .7 4 ⋅ 2 5 6 = 260 100
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 86
PÉLDA (folyt.) ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA HARMONIKUS ÁTLAG FORMA A ADATTAL SÚLYOZVA 10277.0 V = = 260 1995.7 4561.9 3719.4 + + 246 270 256 ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA HARMONIKUS ÁTLAG FORMA A ADAT MEGOSZLÁSI VISZONYSZÁMAIVAL SÚLYOZVA V =
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
100 = 260 19 .42 44 .39 36 .19 + + 246 270 256
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 87
SZERKEZET ÉS IDŐBELI VÁLTOZÁS VIZSGÁLATA Ai , i = 1, 2, ...M részsokaságok adatai a tárgyidőszakban Bi , i = 1, 2, ...M részsokaságok adatai a bázisidőszakban Vi = Ai / Bi, i = 1, 2, ...M részsokaságok dinamikus viszonyszámai ∑ Aj V = az összetett dinamikus viszonyszám ∑ Bj Ha V i < V , akkor Ai < Bi
Ai Bi ∑ Aj < , rendezve ∑ Aj ∑ B j ∑ Bj
vagyis a részsokaság dinamikus viszonyszáma akkor és csak akkor kisebb a teljes sokaság dinamikus viszonyszámánál, ha csökken a részsokaság aránya a teljes sokaságon belül.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 88
PÉLDA ALAPADATOK, MEGOSZLÁSI ÉS DINAMIKUS VISZONYSZÁMOK CSOPORT
0. ÉV
I. II. III. ÖSSZESEN
2059.3 4551.3 4098.9 10709.5
A0 ⋅ 100 ∑ A0 19.23 42.50 38.27 100.00
1. ÉV 1995.7 4561.9 719.4 10277.0
A1 ⋅ 100 ∑ A1 19.42 44.39 36.19 100.00
A1 ⋅ 100 A0 96.9 100.2 90.7 96.0
SZERKEZETI VÁLTOZÁS az összetett dinamikus viszonyszámhoz képest: az I. és II. csoport dinamikus viszonyszáma nagyobb a III. csoporté kisebb ezzel együtt az I. és II. részviszonyszám nő, a III. csökken
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 89
STATISZTIKAI TÁBLÁK KOMBINÁCIÓS TÁBLÁK ELEMZÉSE ISMÉRVEK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK TÍPUSAI KOMBINÁCIÓS (KONTINGENCIA) TÁBLA AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE VEGYES KAPCSOLAT ELEMZÉSE ÁTLAGOKKAL AZ ELTÉRÉS FELBONTÁSA A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA VEGYES KAPCSOLAT SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE KORRELÁCIÓS TÁBLA ELEMZÉSE A KORRELÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 90
ISMÉRVEK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK TÍPUSAI FÜGGETLENSÉG
az egyik ismérv értéke semmilyen információt nem hordoz a másikéról
FÜGGVÉNYSZERŰ KAPCSOLAT
az egyik ismérv értéke egyértelműen meghatározza a másikét
SZTOCHASZTIKUS KAPCSOLAT
az egyik ismérv értékéből a másik ismérv értékeinek csak az eloszlása adódik
ASSZOCIÁCIÓS KAPCSOLAT
az egyik ismérv névleges, a másik névleges vagy sorrendi
VEGYES KAPCSOLAT
az egyik ismérv névleges vagy sorrendi, a másik mennyiségi
KORRELÁCIÓS KAPCSOLAT
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
M
Tantárgy: Gazdasági statisztika
mindkét ismérv mennyiségi
Kódszám: 224
Lapszám: 91
KOMBINÁCIÓS (KONTINGENCIA) TÁBLA B. ismérv 1. B. ismérv 2. ... B. ismérv s. ÖSSZESEN
A. ismérv 1. A. ismérv 2. f11 f12 f21 f22 ... ... fs1 fs2 f•2 f•1
... ... ... ... ... ...
A. ismérv t. ÖSSZESEN f1M f1•• f2M f2•• ... ... fst fs•• f•t f••
JELÖLÉSEK fij , i = 1, 2, ... n; j = 1, 2, ...m : együttes gyakoriságok fi•• , i = 1, 2, ...n : peremgyakoriságok (sorösszegek) f•j , j = 1, 2, ...m : peremgyakoriságok (oszlopösszegek) fi•• f•j f•• = N : a táblázat teljes összege (a sokaság létszáma) f i• f • j * fij = N FÜGGETLENSÉG FELTÉTELE
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
fij = fij*
Kódszám: 224
Lapszám: 92
PÉLDA GYAKORISÁGOK CSOPORT E1 E2 E3 ÖSSZESEN
D1 28 85 84 197
D2 12 20 13 45
D3 66 128 77 271
D4 22 42 16 80
ÖSSZESEN 128 275 190 593
D3 11.13 21.59 12.98 45.70
D4 3.71 7.08 2.70 13.49
ÖSSZESEN 21.59 46.37 32.04 100.00
RELATÍV GYAKORISÁGOK (% %) CSOPORT E1 E2 E3 ÖSSZESEN
D1 4.72 14.33 14.17 33.22
FÜGGETLENSÉG
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
D2 2.03 3.37 2.19 7.59
nem teljesül: 0.3322 ⋅ 0.2159 ≠ 0.0472
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 93
AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - I. YULE-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ mindkét ismérv alternatív Y=
f 11 f 22 − f 12 f 21 f 11 f 22 + f 12 f 21
TULAJDONSÁGOK −1 ≤ Y ≤ 1 függetlenség esetén Y = 0 (fordítva nem igaz!) függvényszerű kapcsolat esetén Y = 1 (fordítva nem igaz!) sztochasztikus kapcsolat esetén 0 < Y <1 Y > 0 ha f11f22 > f21f21 vagyis az azonos indexek jobban vonzzák egymást
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 94
PÉLDA GYAKORISÁGOK CSOPORT E1 E2 ÖSSZESEN
D1 25835 24315 50150
D2 23599 29353 52952
ÖSSZESEN 49434 53668 103102
YULE-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ Y=
25835 ⋅ 29353 − 23599 ⋅ 24315 = 0.139 25835 ⋅ 29353 + 23599 ⋅ 24315
laza kapcsolat az ismérvek között;; az egyenlő indexek kissé vonzzák egymást
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 95
AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - II. KHI-NÉGYZET 2
χ =
s
t
∑∑
i= 1 j =1
(f
ij
−
)
∗ 2 f ij
f ij∗
TULAJDONSÁGOK 0 ≤ χ 2 ≤ N ⋅ min(s − 1, t − 1) χ2 = 0 akkor és csak akkor, ha a két ismérv független χ2 = N (s − 1) akkor és csak akkor, ha a két ismérv függvénykapcsolatban áll, ekkor s = t
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 96
PÉLDA GYAKORISÁGOK (fij) CSOPORT E1 E2 E3 ÖSSZESEN
D1 28 85 84 197
D2 12 20 13 45
D3 66 128 77 271
ÖSSZESEN 128 275 190 593
D4 22 42 16 80
FÜGGETLENSÉG FELTÉTELEZÉSÉVEL KAPOTT GYAKORISÁGOK (fij*) CSOPORT E1 E2 E3 ÖSSZESEN
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
D1 42.52 91.36 63.12 197.00
D2 9.71 20.87 14.42 45.00
Tantárgy: Gazdasági statisztika
D3 58.50 125.67 86.83 271.00
D4 17.27 37.10 25.63 80.00
ÖSSZESEN 128.00 275.00 190.00 593.00
Kódszám: 224
Lapszám: 97
PÉLDA (folyt.) KHI-NÉGYZET 2
χ =
s
t
∑∑
(f
ij
i =1 j =1
−
)
∗ 2 f ij
f ij∗
= 20.71
ELEMZÉS s =3, t = 4 2 χmax = 593⋅ min(3 −1,4 −1) = 593⋅ (3 −1) = 1186
χ2 értéke gyenge függőségre utal
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 98
AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - III. CSUPROV-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ T=
χ2 N (s − 1)(t − 1)
TULAJDONSÁGOK
4 s − 1 4 t − 1 0 ≤ T ≤ min , t − 1 s − 1 T = 0 akkor és csak akkor, ha a két ismérv független T = 1 akkor és csak akkor, ha s = t és a két ismérv között függvénykapcsolat áll fenn
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 99
PÉLDA (folyt.) CSUPROV-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ T=
χ2 20.71 = = 0.119 N (s − 1)(t − 1) 593 (3 − 1)(4 − 1)
ELEMZÉS
Tmax
2 = = 0.902 3 4
a Csuprov-együttható gyenge sztochasztikus kapcsolatot mutat
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 100
AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - IV. CRAMER-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ Khi-négyzetből: χ2 C= N ⋅ min(s − 1, t − 1) Csuprov-együtthatóból: T C= Tmax
TULAJDONSÁGOK 0≤C≤1 ha s = t, akkor C = T C = 0 akkor és csak akkor, ha a két ismérv független C = 1 akkor és csak akkor, ha a két ismérv között függvénykapcsolat áll fenn GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 101
PÉLDA (folyt.) CRAMER-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ C=
χ2 = N ⋅ min(s − 1, t − 1)
20.71 = 0.132 593 ⋅ min(3 − 1,4 − 1)
ELEMZÉS Cmax = 1 a Cramer-együttható gyenge sztochasztikus kapcsolatot mutat
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 102
VEGYES KAPCSOLAT ELEMZÉSE ÁTLAGOKKAL VEGYES KAPCSOLAT olyan sztochasztikus kapcsolat, ahol a független változó (az ok) minőségi vagy területi ismérv, a függő változó (az okozat) mennyiségi ismérv RÉSZÁTLAG: X j : a j. minőségi ismérvértékhez tartozó átlag FŐÁTLAG: X : a teljes sokaságra vonatkozó átlag M Nj
Nj
Xj =
∑ X ij i =1
Nj
=
Sj Nj
∑∑ X=
j =1 i =1
N
M
M
∑NjXj ∑Sj
X ij =
j =1
N
=
j =1
N
Ha az ismérvek függetlenek, a részátlag megegyezik a főátlaggal (fordítva nem igaz), illetve fij /Nj rögzített i mellett független j-től.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 103
AZ ELTÉRÉS FELBONTÁSA TELJES ELTÉRÉS d ij = X ij − X i = 1,2,...Nj , j = 1,2,...M BELSŐ ELTÉRÉS B ij = X ij − X j KÜLSŐ ELTÉRÉS Kj = Xj − X
i = 1,2,...Nj , j = 1,2,...M j = 1,2,...M
ÖSSZEFÜGGÉS AZ ELTÉRÉSEK KÖZÖTT dij = Bij + Kj ÉRTELMEZÉS az ismérvértékeknek a teljes sokaság átlagától való eltérése két részből áll: Bij a minőségi ismérv alapján képzett osztályon belüli eltérés Kj az osztályátlag eltérése a teljes sokaság átlagától, ennek oka a csoportosító minőségi ismérv hatása a vizsgált mennyiségi ismérvre
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 104
PÉLDA EREDETI ADATOK, RÉSZÁTLAGOK, FŐÁTLAG CSOPORT I. II. III. IV. ÖSSZESEN
Nj
Xj
Xj
4 40 6 10 60
1620 1687 3565 1627 8499
405.0 42.2 594.2 162.7 141.7
ELEMZÉS a részátlagok egymástól és a főátlagtól is erősen eltérnek tehát a két ismérv között sztochasztikus kapcsolat áll fenn
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 105
A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA - I. TELJES SZÓRÁS M Nj
2 ∑ ∑ ( X ij − X )
σ=
j =1 i =1
N
RÉSZSOKASÁGON BELÜLI SZÓRÁS Nj
σj =
∑(
i =1
X ij − X j
)
2
j = 1,2,...M
Nj
BELSŐ SZÓRÁS M Nj
σB =
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
∑ ∑ ( X ij − X j )
2
j =1 i =1
Tantárgy: Gazdasági statisztika
N
Kódszám: 224
Lapszám: 106
A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA - II. KÜLSŐ SZÓRÁS M
∑N σ
ÖSSZEFÜGGÉS
K
=
j=1
j
(X j − X )
2
N
σ2 = σB2 + σK2
ÉRTELMEZÉS az ismérvértékeknek a teljes sokaságon vett szórásnégyzete két részből áll: σB2 a minőségi ismérv alapján képzett osztályon belüli szórásnégyzet σK2 az osztályátlag szórásnégyzete a teljes sokaság átlaga körül, ennek eredete a csoportosító minőségi ismérv hatása a vizsgált mennyiségi ismérvre GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 107
A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA - III. Ha X 1 = X 2 = . .. = X M , vagyis σk2 = 0, σ2 =σ σB2 : még ebből sem következik az ismérvek függetlensége.
Ha X ij = X j , i = 1, 2, ... Nj, j = 1, 2, ...M, vagyis σB2 = 0, σ2 =σ σK2: függvénykapcsolat áll fenn az ismérvek között, független változó a minőségi ismérv , vagyis a minőségi ismérv egyértelműen meghatározza a mennyiségit; ennek az állításnak a megfordítása is igaz.
Ha 0 < σK2 < σ2 : sztochasztikus kapcsolat van a két változó között
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 108
PÉLDA (folyt.) EREDETI ADATOK, RÉSZÁTLAGOK, FŐÁTLAG, ELTÉRÉS-NÉGYZETEK, CSOPORTONKÉNTI SZÓRÁSOK, TELJES SZÓRÁS Nj
CSOPORT
Nj
Xj
Xj
I. II. III. IV. ÖSSZESEN
4 40 6 10 60
1620 1687 3565 1627 8499
405.0 42.2 594.2 162.7 141.7 X
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
∑(
i =1
X ij − X j
)
2
76500 124204 1276521 69700 1546925 Nσ B2
Kódszám: 224
σj 138.3 55.7 461.3 83.5 239.9 σ
Lapszám: 109
PÉLDA (folyt.) A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA
σ B2 =
σ K2 =
76500 + 124204 + 1276521 + 69700 1546925 = = 25782 60 60 4 ⋅ (405 .0 − 141.7) + 40 ⋅ (42.2 − 141.7) + 6 ⋅ (594.2 − 141.7) + 10 ⋅ (162.7 − 141.7) 60 1906265 = 31771 = 60
σ 2 = 25782 + 31771 = 57553 tehát sztochasztikus kapcsolat van a változók között
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 110
VEGYES KAPCSOLAT SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE SZÓRÁSNÉGYZET-HÁNYADOS H2 =
σK σ
2
2
= 1−
σB
2
σ2
TULAJDONSÁGOK 0≤ H2 ≤ 1 H2 = 0 akkor és csak akkor, ha σK2 = 0: nincs kapcsolat az ismérvek között H2 = 1: függvényszerû kapcsolat van az ismérvek között 0 < H2 < 1: sztochasztikus kapcsolat van az ismérvek között SZÓRÁSHÁNYADOS
σK H= σ Ez a kapcsolat szorosságának mérőszáma.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 111
PÉLDA (folyt.) SZÓRÁSNÉGYZET-HÁNYADOS
H2 =
31771 25782 = 1− = 0.552 57553 57553
a csoportosító ismérv 55.2 százalékban magyarázza meg a másik ismérv értékeinek szóródását a fennmaradó 44.8 százalék egyéb (véletlen) tényezőknek tulajdonítható SZÓRÁSHÁNYADOS
H=
0.552 = 0.743
a szóráshányados viszonylag közel van 1-hez, ami eléggé szoros kapcsolatot jelez a két ismérv értékei között
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 112
KORRELÁCIÓS TÁBLA ELEMZÉSE KORRELÁCIÓS TÁBLA két mennyiségi ismérv szerinti kombinatív osztályozás TAPASZTALATI REGRESSZIÓFÜGGVÉNY X ismérv i oszlopához Y ismérv Yi részátlagát rendeljük KÜLÖNBSÉG AZ ELMÉLETI REGRESSZIÓFÜGGVÉNYTŐL a tapasztalati regressziófüggvény nem képletszerűen adott, és csak hozzávetőlegesen közelíti az elméletit ÁBRÁZOLÁS egyedi adatok pontdiagramon, tapasztalati regresszió vonaldiagramon POZITÍV KORRELÁCIÓ X ismérv nagyobb értékéhez Y ismérv nagyobb értéke tartozik
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 113
A KORRELÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - I. SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA X ismérv szerinti csoportosítás alapján Y ismérv szerinti szórás σ (2Y ) = σ 2B(Y ) + σ 2K (Y )
DETERMINÁCIÓS HÁNYADOS H (2Y | X ) =
σ 2K (Y ) σ (2Y )
azt írja le, hogy az Y ismérv szórásnégyzetének mekkora hányadát magyarázza meg az X ismérv;; megegyezik a vegyes kapcsolatot jellemző szórásnégyzet-hányadossal
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 114
A KORRELÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - II. KORRELÁCIÓS HÁNYADOS H (Y | X ) =
σ 2K (Y ) σ (2Y )
= H (2Y | X )
ez a kapcsolat szorosságának mérőszáma;; megegyezik a vegyes kapcsolatot jellemző szóráshányadossal TULAJDONSÁGOK 0 ≤ H(Y|X) ≤ 1 H(Y|X) = H(X|Y) ha legalább egyikük 1: függvényszerű kapcsolat van X és Y ismérvek között H(Y|X) = H(X|Y) ha legalább egyikük 0: ez következik X és Y függetlenségéből, de fordítva nem igaz 0 < H(Y|X) < 1 sztochasztikus kapcsolat van a két ismérv között GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 115
PÉLDA GYAKORISÁGOK ÉS CSOPORTÁTLAGOK ISMÉRV ÉRTÉKEK D⇒ ⇒ E ⇓ 1 2 3 4 ÖSSZESEN
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
1 2
1 1 0 0 2
3
4
2 1 1 2 1 7 1 2 7 0 0 0 5 13 15
5 6 7 ÖSSZESEN CSOPORT ÁTLAG 0 1 2 3 6
Tantárgy: Gazdasági statisztika
0 1 4 2 7
0 0 1 1 2
5 22 17 6 50
2.40 3.36 4.53 5.67
Kódszám: 224
Lapszám: 116
PÉLDA (folyt.) TAPASZTALATI REGRESSZIÓFÜGGVÉNY ISMÉRV CSOPORT ÉRTÉKEK ÁTLAG 1 2.40 2 3.36 3 4.53 4 5.67 ELEMZÉS főátlag: külső szőrásnégyzet: teljes szórásnégyzet:
Y = 3.94 σ 2K (Y ) = 0.8627 σ (2Y ) = 2.0564
determináciős hányados: H (Y | X ) = 0.8627 / 2.0564 = 0.4195
X ismérv kb. 42 százalékot magyaráz meg Y ismérv szóródásából;; a fennmaradó 58 százalék egyéb véletlen hatásoknak tulajdonítható
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 117
ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK
ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK
ÉRTÉK-, ÁR- ÉS VOLUMENINDEXEK
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 118
ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK KAPCSOLATA ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK KÜLÖNBSÉGÉNEK FELBONTÁSA ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK INDEXÉNEK FELBONTÁSA
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 119
ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK KAPCSOLATA - I. TELJES SOKASÁG CSOPORTOSÍTÁSA heterogén sokaságot homogén részsokaságokra kell bontani 1, 2, ...M indexű részsokaságok ALAPADATOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA két mennyiségi ismérv (A és B) két különböző (0 és 1 indexű) terület vagy időszak ismérvértékek: A10, A20, ... AM0 illetve A11, A21, ... AM1 B10, B20, ... BM0 illetve B11, B21, ... BM1 RÉSZVISZONYSZÁM, Vi homogén részsokaságra számított viszonyszám Vj0 = Aj0 / Bj0, Vj1 = Aj1 / Bj1, j = 1, 2, ...M
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 120
ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK KAPCSOLATA - II. ÖSSZETETT VISZONYSZÁM, V teljes sokaságra számított viszonyszám, súlyozott átlagként is megadható M
M
M
j =1 M
j =1 M
j =1
j =1
V0 =
∑ A j0
V1 =
∑ A j1 ∑ B j1 = ∑ B j1V j1 ∑ B j1
j =1 M
j =1
∑ B j 0 = ∑ B j 0V j 0
M
∑ B j0 j =1 M
j =1
ÖSSZETETT VISZONYSZÁM FÜGGÉSE az összetett viszonyszám függ a részviszonyszámoktól és a sokaság összetételétől STANDARDIZÁLÁS az összetétel és a részviszonyszámok hatásának szétválasztása; térbeli adatoknál különbségfelbontás, időbeli adatoknál hányadosfelbontás
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 121
ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK KÜLÖNBSÉGÉNEK FELBONTÁSA RÉSZHATÁS-KÜLÖNBSÉG
∑ B j 0 (V j1 − V j 0 ) M
K′ =
j =1
M
∑ Bi 0
i =1
ÖSSZETÉTELHATÁS-KÜLÖNBSÉG M
M
∑ B j1V j1 K ′′ =
j =1
M
−
∑ Bi1
i =1
∑ B j 0V j 1 j =1
M
∑ Bi 0
i =1
=
M
∑
j =1
B j0 M
∑ Bi0
(V j1 − V j 0 )
i =1
M B j1 B j0 V = ∑ M − M j1 1 = j ∑ Bi1 ∑ Bi 0 i =1 i =1
FELBONTÁS V1 − V0 = K ′ + K ′′ vagyis az összetett viszonyszám-különbséget felbontottuk a csoportok változásainak és a csoportmegoszlás változásának összegére. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 122
PÉLDA ALAPADATOK ÉS INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK B0 A1 B1 A0 CSOPORT I. 25.20 1.8 9.46 1.1 II. 1.90 3.8 0.88 2.2 III. 11.20 8.0 7.28 5.6 IV. 26.40 4.0 24.70 3.8 V. 124.80 2.4 117.99 2.3 ÖSSZESEN 189.50 20.0 160.31 15.0 V1 V1 − V0 CSOPORT V0 I. 14.0 8.6 −5.4 II. 0.5 0.4 −0.1 III. 1.4 1.3 −0.1 IV. 6.6 6.5 −0.1 V. 52.0 51.3 −0.7 ÖSSZESEN 9.5 10.7 1.2
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 123
PÉLDA (folyt.) RÉSZHATÁSKÜLÖNBSÉG standard súly: B1 K′ =
1.1⋅ (− 5.4) + 2.2 ⋅ (− 0 .1) + 5.6 ⋅ (− 0.1) + 3.8 ⋅ (− 0.1) + 2.3 ⋅ (− 0.7) 15.0
= −0.58
ÖSSZETÉTELHATÁS-KÜLÖNBSÉG standard súly: V0 K ′′ =
1.1 ⋅ 14 .0 + 2.2 ⋅ 0 .5 + 5 .6 ⋅ 1.4 + 3.8 ⋅ 6 .6 + 2.3 ⋅ 52.0 − 9.5 = 1.8 15 .0
ÖSSZETETT VISZONYSZÁM KÜLÖNBSÉGÉNEK FELBONTÁSA K = V1 − V0 = K ′ + K ′′ = −0.6 + 1.8 = 1.2
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 124
ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK INDEXÉNEK FELBONTÁSA RÉSZHATÁS-INDEX
∑ B j1V j 0 (V j1
V j0 )
M
I′ =
j =1
M
∑ B j1V j 0
M = ∑ A j1 j =1
M ∑ A j 1 (V j1 V j 0 ) j =1
[
]
j =1
ÖSSZETÉTELHATÁS-INDEX M
I ′′ =
∑ B j1V j 0 j =1
M
∑ B j1 j =1
M
∑ B j 0V j 0 j =1
M
∑ B j0 j =1
M
=∑
j =1
B j1 M
∑ Bi1 i =1
M
V j0
B j0
∑ M V j0 j =1 ∑ Bi0 i =1
FELBONTÁS: V1 / V 0 = I ′ ⋅ I ′′ vagyis az összetett viszonyszám-indexet felbontottuk acsoportok változásainak és a csoportmegoszlás változásának szorzatára
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 125
PÉLDA ALAPADATOK, INTENZITÁSI ÉS DINAMIKUS VISZONYSZÁMOK A1 B1 B0 A0 CSOPORT I. 640 160 774 180 II. 1440 480 1408 440 ÖSSZESEN 2080 640 2182 620
V1 V1/V0 CSOPORT V0 I. 4.00 4.30 1.075 II. 3.00 5.20 1.067 ÖSSZESEN 3.25 3.52 1.083
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 126
PÉLDA (folyt.) RÉSZHATÁSINDEX standard súly: A1 I′ =
2182 = 1.07 774 1408 + 1.075 1.067
ÖSSZETÉTELHATÁS-INDEX standard súly: V0
I ′′ =
180 ⋅ 4 + 440 ⋅ 3 160 ⋅ 4 + 480 ⋅ 3 = 1.012 620 640
ÖSSZETETT VISZONYSZÁM INDEXÉNEK FELBONTÁSA I = V1 / V0 = I ′ ⋅ I ′′ = 1.07 ⋅ 1.012 = 1.083
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám: 127
ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK ÉRTÉK-, ÁR- ÉS VOLUMENINDEXEK ÉRTÉKEN ALAPULÓ INDEXEK EGYEDI INDEXEK AZ INDEXEK AGGREGÁT FORMÁI AZ INDEXEK SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁI AZ INDEXEK HARMONIKUS ÁTLAG FORMÁI ÖSSZEFÜGGÉSEK A KÜLÖNBÖZŐ SÚLYOZÁSÚ INDEXSZÁMOK KÖZÖTT ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ AGGREGÁTUMOK KÖZÖTT CSOPORTOSÍTOTT SOKASÁGRA VONATKOZÓ INDEXEK ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ INDEXSOROK KÖZÖTT TERÜLETI INDEXEK GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:128
ÉRTÉKEN ALAPULÓ INDEXEK INDEXSZÁM közvetlenül nem összesíthető, de összetartozó adatok átlagos változását leíró intenzitási viszonyszám AGGREGÁLÁS értékben való összesítés AGGREGÁTUM összesített értékadat ÉRTÉKEN ALAPULÓ INDEXEK aggregátum-formát használó viszonyszámok − értékindex − árindex − volumenindex
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:129
EGYEDI INDEXEK JELÖLÉSEK 0. időszak: bázisidőszak 1. időszak: tárgyidőszak q: mennyiség p: egységár ÉRTÉKINDEX q 1 p1 iv = q 0 p0 ÁRINDEX p1 ip = p0 VOLUMENINDEX q1 iq = q0 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:130
PÉLDA ALAPADATOK CSOPORT I. II. III. IV. ÖSSZESEN
q0 43 32 40 21
q1 39 29 37 16
p0 43.9 47.9 55.9 59.9
p1 49.9 52.9 62.9 74.9
q0 p0 1.8877 1.5328 2.2360 1.2579 6.9144
q1 p1 1.9461 1.5341 2.3273 1.1984 7.0059
q 0p 1 2.1457 1.6928 2.5160 1.5729 7.9274
q1p0 1.7121 1.3891 2.0683 0.9584 6.1279
EGYEDI INDEXEK CSOPORT I. II. III. IV.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
iq 0.907 0.906 0.925 0.762
Tantárgy: Gazdasági statisztika
ip 1.137 1.104 1.125 1.250
iv 1.031 1.001 1.041 0.953
Kódszám: 224
Lapszám:131
AZ INDEXEK AGGREGÁT FORMÁI ÉRTÉKINDEX
q 1 p1 ∑ Iv = ∑ q 0 p0
ÁRINDEX 0 bázisidőszaki súlyozású: I (p ) =
VOLUMENINDEX 0 bázisidőszaki súlyozású: I q( ) =
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
∑ q 0 p1 tárgyidőszaki súlyozású: I (1) = ∑ q 1 p1 p ∑ q 0 p0 ∑ q1 p0
∑ q 1 p 0 tárgyidőszaki súlyozású: I (1) = ∑ q 1 p1 q ∑ q 0 p0 ∑ q 0 p1
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:132
AZ INDEXEK SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁI ÉRTÉKINDEX
ÁRINDEX
VALÓS SÚLYOK
q 0 p 0 iv ∑ Iv = ∑ q 0 p0
VALÓS SÚLYOK 0 Laspeyres: I (p ) =
VOLUMENINDEX
VALÓS SÚLYOK
0 Laspeyres: I q( ) =
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
∑ q 0 p0 i p ∑ q 0 p0
∑ q 0 p 0 iq ∑ q 0 p0
Tantárgy: Gazdasági statisztika
FIKTÍV SÚLYOK 1 Paasche: I (p ) =
∑ q1 p0 i p ∑ q 1 p0
FIKTÍV SÚLYOK 1 Paasche: I q( ) =
∑ q 0 p 1 iq ∑ q 0 p1
Kódszám: 224
Lapszám:133
AZ INDEXEK HARMONIKUS ÁTLAG FORMÁI ÉRTÉKINDEX
VALÓS SÚLYOK
q 1 p1 ∑ Iv = q 1 p1 ∑ iv
ÁRINDEX
FIKTÍV SÚLYOK 0 Laspeyres: I (p ) =
VOLUMENINDEX
q 0 p1 ∑ ip
FIKTÍV SÚLYOK
0 Laspeyres: I q( ) =
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
∑ q 0 p1
∑ q 1 p0
q 1 p0 ∑ iq
Tantárgy: Gazdasági statisztika
VALÓS SÚLOK 1 Paasche: I (p ) =
∑ q 1 p1
q 1 p1 ∑ ip
VALÓS SÚLYOK 1 Paasche: I q( ) =
∑ q 1 p1
q 1 p1 ∑ iq Kódszám: 224
Lapszám:134
PÉLDA (folyt.) LASPEYRES-FÉLE ÁRINDEX SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁBAN 1.8877 ⋅ 1.137 + 1.5328 ⋅ 1.104 + 2.2360 ⋅ 1.125 + 1.2579 ⋅ 1.250 0 = 1.146 I (p ) = 6.9144 PAASCHE-FÉLE ÁRINDEX SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁBAN I (p ) = 1
1.7121 ⋅ 1.137 + 1.3891 ⋅ 1.104 + 2.0683 ⋅ 1.125 + 0.9584 ⋅ 1.250 = 1.143 6.1279
ÉRTÉKELÉS a kétféle súlyozású árindex nem egyezik meg, bár az eltérés viszonylag kicsi
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:135
ÖSSZEFÜGGÉSEK A KÜLÖNBÖZŐ SÚLYOZÁSÚ INDEXSZÁMOK KÖZÖTT - I. BORTKIEWICZ-TÉTEL
I (p ) 1
0 I( ) p
ahol: Vi p , V iq
r(i p , iq )
=
1 I q( ) 0 I( )
(
= 1 + Vi p Viq r i p , iq
)
q
az egyedi indexek relatív szórása az egyedi indexek közötti lineáris korreláció
ÉRTELMEZÉS − a kétféle súlyozású index akkor és csak akkor egyezik meg, ha ha legalább az egyik egyedi index minden tételre azonos, vagy pedig ip és iq korrelálatlanok − a tárgyidőszaki súlyozású index akkor és csak akkor nagyobb a bázisidőszaki súlyozásúnál, ha ip és iq között pozitív korreláció van (az egyik növekedése a másik növekedését vonja maga után)
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:136
ÖSSZEFÜGGÉSEK A KÜLÖNBÖZŐ SÚLYOZÁSÚ INDEXSZÁMOK KÖZÖTT - II. INDEXPRÓBA
indexnek adott követelmény szerinti kiértékelése
ÖSSZEMÉRHETŐSÉGI PRÓBA
az index értéke legyen független a volumenadatok mértékegységétől
IDŐPRÓBA
a bázis- és a tárgyidőszakot felcserélve az index értéke a reciprokára változzon
TÉNYEZŐPRÓBA
azonos típusú formulákkal számolva volumenindex × árindex = értékindex
ÁTLAGPRÓBA
az indexszám legyen az egyedi indexek átlaga
LÁNCPRÓBA
bázisviszonyszám = ugyanazon formulával számolt láncviszonyszámok szorzata
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:137
ÖSSZEFÜGGÉSEK A KÜLÖNBÖZŐ SÚLYOZÁSÚ INDEXSZÁMOK KÖZÖTT - III. FISHER-FÉLE INDEXEK F I (p ) =
∑ q 0 p 1 ⋅ ∑ q 1 p 1 = I ( 0 ) ⋅ I ( 1) p p ∑ q 0 p0 ∑ q1 p0
F I q( ) =
∑ q 1 p0 ⋅ ∑ q 1 p1 = I ( 0 ) ⋅ I (1) q q ∑ q 0 p 0 ∑ q 0 p1
indexek mértani átlaga; összes próbát kielégíti, láncpróbát csak közelítően MARSHALL-EDGEWORTH-BOWLEY-FÉLE INDEXEK q 0 p1 + ∑ q 1 p1 ∑ ( E − M ) ∑ (q 0 + q 1 ) p 1 Ip = = ∑ (q 0 + q 1 ) p 0 ∑ q 0 p 0 + ∑ q 1 p 0 I q(
E− M )
=
∑ q 1 ( p 0 + p1 ) ∑ q 1 p 0 + ∑ q 1 p 1 = ∑ q 0 ( p 0 + p1 ) ∑ q 0 p 0 + ∑ q 0 p1
súlyok számtani átlaga GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:138
ÖSSZEFÜGGÉSEK A KÜLÖNBÖZŐ SÚLYOZÁSÚ INDEXSZÁMOK KÖZÖTT - IV. AZ INDEXEK SZORZATÖSSZEFÜGGÉSE q 1 p1 ∑ q 1 p 1 ∑ q 1 p 0 ∑ Iv = I p ⋅ Iq , ⋅ = q p q p ∑ 0 0 ∑ 1 0 ∑ q 0 p0 q 0 p1 ∑ q 1 p1 ∑ ( 0 ) ( 1) ∑ q 1 p1 Iv = I p ⋅ Iq , = ⋅ ∑ q 0 p 0 ∑ q 0 p 0 ∑ q 0 p1 (1)
(0 )
F F I v = I (p ) ⋅ I q( ) ,
∑ q 1 p 1 = ∑ q 0 p 1 ⋅ ∑ q 1 p1 ⋅ ∑ q 1 p 0 ⋅ ∑ q 1 p1 ∑ q 0 p0 ∑ q 0 p 0 ∑ q 1 p 0 ∑ q 0 p 0 ∑ q 0 p1
A tényezőpróbának csak a Fisher-féle indexek tesznek eleget. DEFLÁCIÓ a volumenindex kiszámítása az értékindex és az árindex hányadosaként; ugyanis az értékindex tényadatokból, az árindex pedig reprezentatív egyedi indexek súlyozott átlagaként könnyen származtatható
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:139
ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ AGGREGÁTUMOK KÖZÖTT AGGREGÁTUM-KÜLÖNBSÉGEK K v = ∑ q 1 p1 − ∑ q 0 p 0
0 K q( ) = ∑ q 1 p 0 − ∑ q 0 p 0 = ∑ (q 1 − q 0 ) p0
1 K q( ) = ∑ q 1 p1 − ∑ q 0 p1 = ∑ (q 1 − q 0 ) p1
0 K (p ) = ∑ q 0 p1 − ∑ q 0 p 0 = ∑ q 0 ( p1 − p 0 )
K (p ) = ∑ q 1 p1 − ∑ q 1 p 0 = ∑ q 1 ( p1 − p 0 ) 1
AZ ÉRTÉKKÜLÖNBSÉG FELBONTÁSA 0 1 K v = K q( ) + K (p ) 1 0 K = K( ) + K( ) v
q
p
vagyis az aggregált értékváltozást felbonthatjuk az aggregált mennyiségváltozás és az aggregált árváltozás különbségére GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:140
CSOPORTOSÍTOTT SOKASÁGRA VONATKOZÓ INDEXEK CSOPORTOSÍTÁS 1., 2., ...M. részsokaság FŐÁTLAG ( I ) teljes sokaságra vonatkozó index RÉSZINDEX (Ij) részsokaságra vonatkozó index, Ij = Aj / Bj FŐINDEX FORMÁI M
M
∑ Aj I =
j=1 M
∑ Bj j =1
M
∑ BjI j =
j=1 M
∑ Aj =
∑ Bj j=1
j =1 M
∑
Aj
j=1 I j
aggregát, számtani átlag, harmonikus átlag GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:141
ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ INDEXSOROK KÖZÖTT - I. INDEXSOR kettőnél több időszakra vonatkozó indexek sorozata SÚLYOZÁS árindex és volumenindex bármelyik időszak szerint súlyozható láncviszonyszámoknál a sőlyozás lehet állandó és változó állandó súlyozás alkalmazása egyszerűbb, de hamarabb elavul LÁNCPRÓBA ÉRTÉKINDEXRE mindig teljesül: ∑ q k p k = ∑ q 1 p1 ⋅ ∑ q 2 p 2 ⋅ . . .⋅ ∑ q k p k ∑ q 0 p 0 ∑ q 0 p 0 ∑ q 1 p1 ∑ q k −1 pk −1 LÁNCPRÓBA ÁRINDEXRE ÉS VOLUMENINDEXRE csak állandó súlyozás mellett teljesül, pl. n. sőlyozású árindexek: ∑ q n p n = ∑ q n p1 ⋅ ∑ q n p 2 ⋅. . .⋅ ∑ q n p k ∑ q n p 0 ∑ q n p 0 ∑ q n p1 ∑ q n p n− 1
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:142
ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ INDEXSOROK KÖZÖTT - II. TÉNYEZŐPRÓBA BÁZISVISZONYSZÁMOKRA árindex és volumenindex közül: vagy az egyik Laspeyres-súlyozású állandó tárgyidőszaki súlyokkal, a másik Paasche-súlyozású változó tárgyidőszaki súlyokkal vagy mindkettő Fisher-formulával
∑ q k pk = ∑ q k pk ∑ q 0 p0 ∑ q k p0
q k p0 ∑ ⋅ ∑ q 0 p0
∑ q k pk = ∑ q0 pk ⋅ ∑ q k pk ∑ q 0 p 0 ∑ q 0 p0 ∑ q 0 p k ∑ q k p k = ∑ q 0 pk ⋅ ∑ q k pk ⋅ ∑ q k p0 ⋅ ∑ q k pk ∑ q 0 p0 ∑ q 0 p0 ∑ q k p0 ∑ q 0 p0 ∑ q 0 pk
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:143
ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ INDEXSOROK KÖZÖTT - III. TÉNYEZŐPRÓBA LÁNCVISZONYSZÁMOKRA árindex és volumenindex közül: vagy az egyik Laspeyres-súlyozású állandó tárgyidőszaki súlyokkal, a másik Paasche-súlyozású változó tárgyidőszaki súlyokkal vagy mindkettő Fisher-formulával
∑ q k p k = ∑ q k p k ⋅ ∑ q k pk −1 ∑ q k − 1 p k − 1 ∑ q k p k − 1 ∑ q k − 1 p k −1 ∑ q k p k = ∑ q k −1 pk ⋅ ∑ q k p k ∑ q k − 1 p k − 1 ∑ q k −1 p k − 1 ∑ q k − 1 p k ∑ q k p k = ∑ q k −1 p k ⋅ ∑ q k p k ⋅ ∑ q k p k − 1 ⋅ ∑ q k p k ∑ q k −1 p k − 1 ∑ q k − 1 p k −1 ∑ q k p k − 1 ∑ q k − 1 p k −1 ∑ q k −1 p k
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:144
TERÜLETI INDEXEK TERÜLETI VOLUMENINDEX viszonyítás tárgyának területén a termelés vagy értékesítés hányszoros a viszonyítás alapjához képest két ország esetében az össztermelés vagy összfogyasztás hányadosa a lakosság számarányával korrigálva a gazdasági fejlettséget mutatja TERÜLETI ÁRINDEX viszonyítás tárgyának árszínvonala hányszoros a viszonyítás alapjához képest két ország esetében a két valuta vásárlóerejének aránya KÜLÖNBSÉGEK AZ IDŐBELI INDEXEKTŐL az értékindex kevésbé fontos a vizsgált területek szerepe egyenrangú (ellentétben a korábbi és későbbi időszakkal) a súlyozás szerepe nagyobb, ezért fontosabbak a Fisher-indexek
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:145
A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE MINŐSÉGELLENŐRZÉS A MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI VIZSGÁLATA SZOFTVEREK MINŐSÉGE ÉS MEGBÍZHATÓSÁGA
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:147
A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE MINŐSÉGELLENŐRZÉS A MINŐSÉG-ELLENŐRZÉS ALAPFELADATA KONTROLLKÁRTYÁK AZ ÁTLAG-KONTROLLKÁRTYA
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:148
A MINŐSÉGELLENŐRZÉS ALAPFELADATA A tömeggyártás minőségellenőrzése során igen nagy számú termékvizsgálatot kell elvégezni. A vizsgálatok komoly költséggel járnak, így számukat a lehető legkevesebbre kell csökkenteni. A csökkentés módja az, hogy a vizsgálatot egy részsokaságra (meghatározott darabszám után vett mintára) végzik el, és a vizsgálati eredményeket statisztikai következtetéssel általánosítják a teljes sokaságra. Általában azt kell eldönteni, hogy egy rendszeres időközökben ellenőrzött statisztikai sokaság valamilyen mennyiségi ismérvének értékei a kívánatos érték körül, vagy egy attól eltérő érték körül ingadoznak a véletlen hatásoknak megfelelően. Az adatok vonatkozhatnak gyártásra, de ugyanígy természeti jelenségre is.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:149
KONTROLLKÁRTYÁK
W. S. Shewhart amerikai statisztikus az ábrán látható sémát rajzolta fel, ahol középen folytonos vonallal az előírt érték látható, és körülötte kétoldalt szaggatott vonallal vannak bejelölve a tűréshatárok. Az elemzés abból állt, hogy ha a mért értékek kívül esnek a tűréshatáron, akkor a minőséggel probléma van, és a jelenség ismétlődése beavatkozást igényel a gyártási folyamatba. A beavatkozás lehet például a nyersanyag ismételt ellenőrzése vagy egy gép utánállítása. A fenti ábrázolási és kiértékelési technika elnevezése kontrollkártya vagy ellenőrző kártya. Az ábrázolt mennyiségtől függően többféle kontrollkártya ismeretes. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:150
AZ ÁTLAG-KONTROLLKÁRTYA A legegyszerűbb az átlag- (vagy x -) kontrollkártya. Ebben a kívánatos értéket várható értéknek tekintik, és meghatározzák azt a sávszélességet, amelybe a mért értékeknek adott (pl. 95 %-os) valószínűséggel bele kell esniük, ha a kívánatos értéktől való eltérésnek csupán a véletlen ingadozás az oka. Mért értéknek egy adott elemszámú minta átlagát tekintik. Vegyünk a folyamatosan érkező termékekből rendszeres időközönként egy meghatározott elemszámú mintát. Ha a vizsgált folyamat átlaga ( x ) megegyezik az előírt értékkel (µ) és szórása (σ) ismert, továbbá a minta elemszáma n, akkor 3σ P x < µ − n
vagy
x > µ +
3σ n
=
0 , 0027
ahol P a zárójelben felírt esemény normális eloszlás szerinti valószínűségét jelöli.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:151
PÉLDA ADATOK Előírt érték: 100 Ismert szórás: 5 Mintaelemszám: 100 BEHELYETTESÍTÉS 3σ P x < µ − n 3⋅5 vagy P x < 100 − 100
3σ n 3⋅5 x > 100 + 100
vagy
x > µ +
=
0 , 0027
ELEMZÉS Ha a folyamat tartja az előírt értéket: a minta átlaga csak 0,0027 valószínűséggel lehet kisebb mint 100 – 3⋅⋅5 / 10 = 98,5 vagy nagyobb mint 100 + 3⋅⋅5 / 10 = 101,5.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:152
A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE A MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI VIZSGÁLATA A MEGBÍZHATÓSÁG ALAPFOGALMAI HIBAMENTES MŰKÖDÉS VALÓSZÍNŰSÉGE MEGHIBÁSODÁS VALÓSZÍNŰSÉGE MEGHIBÁSODÁSI RÁTA ÁTLAGOS MŰKÖDÉSI IDŐ
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:153
A MEGBÍZHATÓSÁG ALAPFOGALMAI MEGBÍZHATÓSÁG A terméknek az a tulajdonsága, hogy az előírt funkcióit teljesíti, miközben adott határok között megtartja azoknak a meghatározott mutatóinak értékeit, amelyek a felhasználás, a műszaki karbantartás, a javítások, a tárolás és szállítás előre megadott üzemmódjait és feltételeit jellemzik. HIBAMENTESSÉG A terméknek az a tulajdonsága, hogy folyamatosan megtartja működőképes állapotát, valamely időtartam, vagy tényleges működés során. MŰKÖDŐKÉPES ÁLLAPOT A terméknek az az állapota, amelyben alkalmas az előírt funkcióinak végrehajtására (vagy végrehajtja azokat), miközben előre megadott paramétereit a műszaki előírásoknak meghatározott határok között megtartja. MEGHIBÁSODÁS Az az esemény, amely a termék működőképes állapotának elvesztését jelenti.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:154
HIBAMENTES MŰKÖDÉS VALÓSZÍNŰSÉGE, I. Hibamentes működés valószínűsége, R(t): annak valószínűsége, hogy előre megadott t hosszúságú időintervallumban a termék nem hibásodik meg. Jellemezzük a vizsgált N darab termék első meghibásodásig tartó hibamentes működésének valószínűségét. Jelölje n(ti) az i-ik időpontban még hibamentes működő termékek számát. Ha a működés valószínűségét az idő függvényében kívánjuk vizsgálni, akkor ennek becslésére az R( t i ) =
n( t i ) n( t 0 )
arányt használjuk., ahol R(ti) a ti időponthoz tartozó hibamentes működés valószínűsége. A képletbeli hányados relatív gyakoriság, amely adott esetben a még működő termékek arányát mutatja az összes termékhez viszonyítva.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:155
HIBAMENTES MŰKÖDÉS VALÓSZÍNŰSÉGE, II. A következtetések levonása előtt megemlítjük, hogy a vizsgálatot az eddigiektől eltérő módon is elvégezhettük volna. Tételezzük fel, hogy egyetlen termék folyamatát vizsgáljuk és minden meghibásodás után a terméket megjavítják. Ekkor a ti értékek N db két meghibásodás közötti hibamentes működési idő adatait jelentik. A két eset viszonya a kockajáték példájával érzékeltethető. Ideális (szabályos) kockák esetén teljesen mindegy, hogy pl. egy kockával tízszer dobunk, vagy tíz kockával egyszerre dobunk abból a célból, hogy a tíz eredményt statisztikailag kiértékeljük. Ennek az az oka, hogy a dobások eredményei független, azonos eloszlású valószínűségi változók.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:156
MEGHIBÁSODÁS VALÓSZÍNŰSÉGE Meghibásodás valószínűsége, F(t): annak valószínűsége, hogy előre megadott időintervallumban vagy előre megadott tényleges működési határok között meghibásodás következik be. F(ti) a ti -nél rövidebb időtartam alatti meghibásodás valószínűségeként értelmezhető. Ha pl. a termelési program folyamatos üzemmódban 10 műszaknyi, azaz 80 h hibamentes termelést követel meg, akkor egyetlen meghibásodás valószínűsége F(t = 80) = 0,05. Röviden azt is mondhatjuk, hogy a termelési program teljesítésének kockázata: 5 %. R(ti) érték ismeretében egyszerűen meghatározható az F(ti) meghibásodási valószínűség is, hiszen F(ti) = 1 - R(ti)
vagy
F (t i )
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
=
n( t 0 ) − n( t i ) n( t 0 )
Tantárgy: Gazdasági statisztika
=
1−
n( t i ) n( t 0 )
Kódszám: 224
Lapszám:157
MEGHIBÁSODÁSI RÁTA Meghibásodási ráta, λ(t): egy adott időpontban még működőképes termékek arányának a következő időegység alatt történő változása. Becslése:
λ (t i ) =
n(t i ) − n(t i + 1 )
n(t i )(t i − t i + 1 )
=
R(t i ) − R(t i + 1 )
R(t i )(t i − t i + 1 )
Tehát egy megoszlási viszonyszám időegységre jutó változását számítjuk ki. A matematikából tudjuk, hogy ez folytonos időadatok mellett deriválást jelent. És valóban, a pontos formula a következő: λ (t ) =
F ′(t ) d ln R (t ) = − R (t ) dt
Ez a függvény a megbízhatóságelmélet egyik legfontosabb alapmennyisége, hiszen növekvő értéke a termék öregedését fejezi ki.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:158
ÁTLAGOS MŰKÖDÉSI IDŐ Átlagos tényleges működés a meghibásodásig, T0: a termék első meghibásodásig tartó tényleges működésének várható értéke. Ezt a fogalmat gyakran átlagos működési időnek nevezik és MTTF rövidítéssel jelölik (Mean Time To Failure). Meghibásodások közötti átlagos működési idő, Tb: a helyreállítható termék tényleges működési idejének és a tényleges működés alatt bekövetkező meghibásodások várható számának hányadosa. Gyakran MTBF rövidítéssel jelölik (Mean Time Between) Failures). Kellő számú megfigyelés után nemcsak az R(t) függvényt becsülhetjük pontosabban, hanem lehetőségünk lesz az átlagos tényleges (hibamentes) működési idő (Tb) becslésére is. Ezt a hibamentességi mutatót N db megfigyelésből származó ti adat ismeretében a számtani átlaggal becsülhetjük a legjobban, azaz: Tb =
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
t 1 + t 2 .... + t N
Tantárgy: Gazdasági statisztika
N
.
Kódszám: 224
Lapszám:159
PÉLDA 40 db egyforma berendezésnél feljegyezték az első meghibásodásig eltelt hibamentes működési időt. A vizsgált időszakban 10 db hibásodott meg. Tehát n(t0) = 40 és n(t10) = 30. Számítsuk ki a valószínűségeket. ti (óra) n(ti) 0 40 35 39 80 38 125 37 130 36 142 35 165 34 171 33 175 32 178 31 180 30
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
R(ti) 1,000 0,975 0,950 0,925 0,900 0,875 0,850 0,825 0,800 0,775 0,750
F(ti) 0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250
Kódszám: 224
Lapszám:160
A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE SZOFTVEREK MINŐSÉGE ÉS MEGBÍZHATÓSÁGA A SZOFTVERMEGBÍZHATÓSÁG ÉRTELMEZÉSE A HARDVER ÉS SZOFTVER MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK KÜLÖNBSÉGEI MÉRŐSZÁMOK STATISZTIKAI MODELLEK
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:161
A SZOFTVERMEGBÍZHATÓSÁG ÉRTELMEZÉSE A hardvereszközök működőképessége egyedileg változik, és akár pillanatonként módosuló véletlen tényezőktől (elhasználódás mértéke, környezeti hatások) függ. Ezzel ellentétben a szoftverek példányai azonosak, és – az adathordozók hibáitól eltekintve – időben állandóak. A hibátlan programrész mindig hibátlanul működik, a hibás programrész viszont mindig hibásan. A szoftverek megbízhatóságának statisztikai jellegét tehát nem a szoftver belső tulajdonságai adják, hanem a használat módja: milyen gyakorisággal lépünk be a hibás programrészbe. A felhasználót a teljes rendszer hibátlan működése érdekli, gyakran nem is tud különbséget tenni a hardver és a szoftver hibája között.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:162
A HARDVER ÉS SZOFTVER MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK KÜLÖNBSÉGEI - I. HARDVER
SZOFTVER
A hiba oka egyaránt lehet a tervezés, a gyártás, a használat és a karbantartás.
A hiba oka majdnem mindig a tervezés.
A hiba lehet az elhasználódás vagy más, energiával kapcsolatos jelenség következménye. Ennek gyakran vannak korai figyelmeztető jelei. Javítással növelhető a megbízhatóság.
Nincs elhasználódás. Nincsenek korai figyelmeztető jelek.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Az egyetlen javítási lehetőség az áttervezés (újraprogramozás).
Kódszám: 224
Lapszám:163
A HARDVER ÉS SZOFTVER MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK KÜLÖNBSÉGEI - II. HARDVER
SZOFTVER
A megbízhatóság függhet bejáratási vagy elhasználódási jelenségektől.
A megbízhatóság nem változik a a működési idővel, csakis a hibakeresésbe fektetett munkával.
A meghibásodás valószínűsége függ az eltelt működési (vagy tárolási) időtől.
A meghibásodás nem függ így az időtől. Akkor történik, amikor hibás programrészbe lépünk.
A megbízhatóság környezeti tényezőktől is függ.
A környezeti tényezők nem érintik a megbízhatóságot, legfeljebb az adathordozón keresztül.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:164
A HARDVER ÉS SZOFTVER MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK KÜLÖNBSÉGEI - III. HARDVER
SZOFTVER
A megbízhatóság elméletileg A megbízhatóság semmilyen fizikai megjósolható a tervezés és a használat folyamat alapján nem jósolható, mert alapján. a tervezés emberi tényezőitől függ. A megbízhatóság gyakran növelhető tartalékegységek alkalmazásával.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
A megbízhatóság nem növelhető tartalékegységek alkalmazásával, ha a párhuzamos programrészek azonosak: amennyiben az egyik hibás, akkor a másik is. A tartalékolás csak akkor segít, ha a párhuzamos ágakban eltérő szerzők által készített eltérő programok vannak.
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:165
A HARDVER ÉS SZOFTVER MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK KÜLÖNBSÉGEI - IV. HARDVER
SZOFTVER
A rendszer komponenseinek A hibák általában nem jelezhetők előre megbízhatósága olyan törvényeket az egyes programlépésekre vonatkozó követ, amelyek a komponenseket ért megállapításokból. A programhibák terhelés és más tényezők alapján véletlenszerűen szóródva helyezkednek bizonyos mértékig megjósolhatók. el, és bármelyik utasítás lehet hibás. Hasznos elemzési módszerek: kritikus részegységek kiválasztása, Paretoelemzés.
MÉRŐSZÁMOK - MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:166
ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a minőség összehasonlítására más programokkal vagy korábbi állapottal: előre meghatározott kritériumoknak való megfelelésre: a programkészítés közbeni döntések megalapozására: a jövőbeni célok kitűzésére: a fogyasztói megelégedettség mérésére:
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
mérsékelten mérsékelten igen igen mérsékelten nem
Kódszám: 224
Lapszám:167
MÉRŐSZÁMOK - EZER PROGRAMSORRA JUTÓ MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a minőség összehasonlítására más programokkal vagy korábbi állapottal: előre meghatározott kritériumoknak való megfelelésre: a programkészítés közbeni döntések megalapozására: a fogyasztói megelégedettség mérésére:
mérsékelten igen igen nem mérsékelten
PROBLÉMÁK • különböző programnyelvek erősen különböző programméretekhez vezetnek • a forráskódban található megjegyzés-sorok száma eltorzíthatja az eredményt • sok forráskód üres sorokat tartalmaz a könnyebb áttekinthetőség érdekében
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:168
MÉRŐSZÁMOK - EZER NEM-MEGJ. PROGRAMSORRA JUTÓ MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a minőség összehasonlítására más programokkal vagy korábbi állapottal: előre meghatározott kritériumoknak való megfelelésre: a programkészítés közbeni döntések megalapozására: a fogyasztói megelégedettség mérésére:
igen igen igen nem mérsékelten
PROBLÉMÁK • külön programok vagy speciális fordítási opciók kellenek a mérőszám meghatározásához • csökkenti a megjegyzések beírására való készséget, ezen keresztül pedig a program átláthatóságát és karbantarthatóságát
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:169
MÉRŐSZÁMOK - EGY FELHASZNÁLÓRA JUTÓ MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a minőség összehasonlítására más programokkal vagy korábbi állapottal: előre meghatározott kritériumoknak való megfelelésre: a programkészítés közbeni döntések megalapozására: a jövőbeni célok kitűzésére: a fogyasztói megelégedettség mérésére:
nem mérsékelten mérsékelten nem nem igen
PROBLÉMÁK • nehéz meghatározni az adott szoftverterméket használók számát • nehéz meghatározni egy adott felhasználónal a használat mértékét
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:170
MÉRŐSZÁMOK - EZER TESZTELÉSI ÓRÁRA JUTÓ MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a jövőbeni célok kitűzésére: a fogyasztói megelégedettség mérésére:
nem igen igen
PROBLÉMÁK • az eredmények erősen függenek a teszt szigorától, kiterjedtségétől és intenzitásától (egyetlen teszt sokszori megismétlése nem adja ugyanazt az eredményt, mint több teszt párhuzamos alkalmazása) • a tesztelés során végrehajtott programkód mennyisége függ a tesztelés módszerétől;; ezért egyidejűleg olyan más mérőszámot is célszerű alkalmazni, amely megadja, hányszorosan fedi le az adott teszt a programot • ha a tesztfutásokat ember indítja, az eredményt befolyásolja a szakképzettség
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:171
MÉRŐSZÁMOK EZER TESZTELÉSI ÓRÁRA JUTÓ MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA FEDETTSÉGI MÉRŐSZÁMMAL ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a minőség összehasonlítására más programokkal vagy korábbi állapottal: előre meghatározott kritériumoknak való megfelelésre: a programkészítés közbeni döntések megalapozására: a jövőbeni célok kitűzésére: a fogyasztói megelégedettség mérésére:
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
igen igen igen igen igen igen
Lapszám:172
STATISZTIKAI MODELLEK - DUANE I. A MODELL JELLEMZŐI: • futási idő • determinisztikus • nem számlálja a hibákat • csak a meghibásodásokkal foglalkozik, a javítással nem • a programot fekete doboznak tekinti • folyamatosan érkező és összesített adatokkal is tud számolni ALAPÖTLET: • a komplex műszaki rendszerek bizonyos mértékig a szoftverhez hasonlóan kezelhetők • az előforduló hibákat teljesen ki lehet javítani • az egyszer már előfordult hibákat a felhasználó azonos formában nem ismétli meg
STATISZTIKAI MODELLEK - DUANE II. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:173
KONCEPCIÓ: • „tanulógörbe”, amely a használat során bővülő ismereteket figyelembe veszi az előrejelzésben A MODELL ÉRTÉKELÉSE: • a programfutási idővel és az újonnan előkerülő hibákkal számolva a modell előrejelzési képessége igen jó • rosszul használható abban az esetben, ha a kezdeti adatok erősen eltérnek a feltevésektől, mert ezekre nagyon érzékeny a modell JELÖLÉSEK: • u – összes figyelembe vett programfutási idő • c(u) – u idő elteltéig jelentkezett hibák száma • Q(u) – a meghibásodási ráta időbeli integrálja u idő elteltekor • a, b – skálaparaméterek
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:174
STATISZTIKAI MODELLEK - DUANE III. MATEMATIKAI MODELL: • a tapasztalatok szerint az (u,q(u)) koordinátájú pontok logaritmikus beosztású papíron egy negatív irányszögű egyenes közelében helyezkednek el, vagyis logaritmusaik kapcsolata lineáris regresszióval jól leírható: • ahol b < 1; innen
log[Q(u)] ≈ (b – 1) * log(u) + log(a) Q(u) ≈ a * ub-1
• ugyancsak a tapasztalatok szerint c(u) ≈ Q(u) u • tehát az előfordult hibák számának növekedésével így alakul a (0,u) időintervallumban bekövetkező meghibásodások számának várható értéke: c(u) ≈ a * ub
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:175
STATISZTIKAI MODELLEK - JELINSKI ÉS MORANDA I. A MODELL JELLEMZŐI: • naptári idő • sztochasztikus • a folyamatosan érkező adatokat is fel tudja dolgozni • gyakoriságokkal számol • fekete doboz • a hibák száma véges • a hibák csak akkor számítanak, ha megjelennek • a javítás tökéletes • a meghibásodási ráta csak a hibák megjelenésével változik A MODELL ÉRTÉKELÉSE: • eredeti formájában kevéssé vált be a gyakorlatban • kiindulópontja több későbbi, sikeres modellnek
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:176
STATISZTIKAI MODELLEK - JELINSKI ÉS MORANDA II. JELÖLÉSEK: • T – az első programfutástól számított naptári idő • t – a legutóbbi hibától számított naptári idő • ti – az i-1 és i sorszámú meghibásodások közti naptári idő • n – a programban található összes hibák száma • c – az adott időpontig megtalált és kijavított hibák száma • q(c) – c számú hiba után érvényes meghibásodási ráta • z – skálaparaméter • Σ – összegzés 1-től c-ig
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:177
STATISZTIKAI MODELLEK - JELINSKI ÉS MORANDA III. MATEMATIKAI MODELL: • Feltételezzük, hogy q(c) = z*(n – c) • vagyis a következő időegység alatt felbukkanó hibák számának várható értéke a programban maradt hibák számával arányos. • Bizonyítható, hogy n optimális becslését kapjuk a következő egyenletből:
Σ 1 / (n – i) = c * T / (n * T – Σ i * ti) • és ennek felhasználásával becsülhető z is: z = c / (n * T – Σ i * ti)
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:178
STATISZTIKAI MODELLEK - MUSA I. A MODELL JELLEMZŐI: • a programfutási időt veszi figyelembe • sztochasztikus • a folyamatosan érkező adatokat is fel tudja dolgozni • gyakoriságokkal számol • fekete doboz • a hibák száma véges • a hibák csak akkor számítanak, ha megjelennek • a javítás tökéletes • a meghibásodási ráta csak a hibák megjelenésével változik
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:179
STATISZTIKAI MODELLEK - MUSA II. A MODELL ÉRTÉKELÉSE: • figyelembe veszi, hogy különbség van a tesztelési és felhasználási célú programfuttatás között • lehetőséget ad a továbbfejlesztésre, új paraméterek bevezetésével jobb illeszkedés elérésére • hátránya, hogy nem tesz különbséget az egyes hibák veszélyessége között JELÖLÉSEK: • t – a legutóbbi hibától számított programfutási idő • n – a programban található összes hibák száma • c(t) – az adott időpontig megtalált és kijavított hibák száma y(t) – t futási idő elteltekor a következő meghibásodásig hátralevő idő várható értéke (a megbízhatóságelméletben szokásos jelölése: MTTF) • m(t) – c(t) várható értéke • C – tesztkompressziós faktor; azt fejezi ki, hogy a tesztelés során hányszor gyorsabban akadunk hibára, mint normál programfutás során
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:180
STATISZTIKAI MODELLEK - MUSA III. MATEMATIKAI MODELL: • A t futási összidőig megtalált hibák számának várható értéke: m(t) = n * {1 – exp {– [(C) / (y(0)*n)] * t}} • Látható, hogy a jobboldalon a kapcsos zárójelen belüli rész t növekedésével 1hez tart, így m(t) is tart n-hez. • A legközelebbi meghibásodásig eltelő idő várható értéke (MTTF): y(t) = y(0) * exp {[(C) / (y(0)*n)] * t} • A jobboldalon az exponenciális részben t együtthatója pozitív, ezért a jobboldal végtelenhez tart. Tehát sok programfutás után a legközelebbi meghibásodásig eltelő idő minden határon túl nő.
STATISZTIKAI MODELLEK - MUSA IV. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:181
• A megbízhatósági függvény: R(t) = exp {– t / y(t)} • Ennek alapján meghatározható, hogy ha a legközelebbi meghibásodásig várhatóan eltelő időt y1-ről y2-re akarjuk növelni, ehhez hány hibát kell megtalálnunk és kijavítanunk:
∆c = { y(0) * n} * (1/ y1 – 1/y2) • Ugyancsak meghatározható, hogy ehhez mekkora programfutási időre van szükség:
∆t = {[y(0) * n] / C} * ln (y2 / y1)
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:182
PÉLDA - I. • Egy nagy program feltételezhetően kb. 300 hibát tartalmaz. A program indításától az első hiba megjelenéséig átlagosan eltelő idő (MTTF) 1.5 óra. A tesztkompressziós faktor becsült értéke 4. • Mennyi ideig kell tesztelni a programot ahhoz, hogy a megmaradó hibák számát 300-ról 10-re csökkenthessük? • Megoldás:
∆c = { y(0) * n} * (1/ y1 – 1/y2) • Behelyettesítve: 300 – 10 = { 300 * 1.5 } * (1/1.5 – 1/y2)
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:183
PÉLDA - II. • Innen
y2 = 45 óra
• Továbbá
∆t = {[y(0) * n] / C} * ln (y2 / y1) • Behelyettesítve:
∆t = { [ 300 * 1.5 ] / 4 } * ln ( 45 / 1.5 ) = 382.6 • Innen
∆t = 382.6 óra
• Tehát ennyi tesztelési időre van szükség, hogy a programhibák száma 10-re csökkenjen.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:184
PÉLDA - III. • Végül R(t) = exp { – t / y(t) } • Behelyettesítve: R(50) = exp { – 50 / 45 } = 0.33 • Vagyis a 382.6 órányi tesztelés elvégzése után legalább 50 óra hibamentes működés valószínűsége 0.33 lesz.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:185
STATISZTIKAI MODELLEK - GOEL/OKUMOTO I. A MODELL JELLEMZŐI: • programfutási időt alkalmaz • sztochasztikus • gyakoriságokkal számol • fekete doboz • a hibák száma véges, de véletlen • a hibák csak akkor számítanak, ha megjelennek • a javítás nem feltétlenül tökéletes • a meghibásodási ráta csak a hibák megjelenésével változik A MODELL ÉRTÉKELÉSE: • Goel és Okumoto modellje egyaránt közel áll Musa, valamint Jelinski és Moranda modelljéhez. • Egyetlen új paraméter bevezetésével modellezhető a nem tökéletes javítás. Legyen p annak a valószínűsége, hogy sikeres a javítás. z helyett pz paramétert használhatunk.
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:186
STATISZTIKAI MODELLEK - GOEL/OKUMOTO II. JELÖLÉSEK: • t – a legutóbbi hibától számított programfutási idő • n – a programban található összes hibák számának várható értéke • c(t) – az adott időpontig megtalált hibák száma • m(t) – c(t) várható értéke • z – arányossági tényező a meglevő és megmutatkozó hibák között MATEMATIKAI MODELL: • Az időegység alatt megmutatkozó hibák átlagos száma egyenesen arányos a programban még benn található hibák átlagos számával • A t futási összidőig megtalált hibák számának várható értéke: m(t) = n * {1 – exp {– z * t}} • Látható, hogy a jobboldalon a kapcsos zárójelen belüli rész t növekedésével 1hez tart, így m(t) is tart n-hez. • Feltételezzük, hogy c(t) Poisson-eloszlást követ, paramétere és várható értéke m(t).
GÁBOR DÉNES FŐISKOLA RENDSZERTECHNIKAI INTÉZET
Tantárgy: Gazdasági statisztika
Kódszám: 224
Lapszám:187