Statisztika I. 2. előadás: Statisztikai táblák elemzése. Kóczy Á. László. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Óbudai Egyetem

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-

Kombinációs táblák

Standardizálás

˝ Foátlagok bontása

Statisztika I. ˝ 2. eloadás: Statisztikai táblák elemzése

Kóczy Á. László [email protected]

Keleti Károly Gazdasági Kar – Vállalkozásmenedzsment Intézet Óbudai Egyetem

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Eddig

statisztikai alapfogalmak sokaság, egyed, ismérv Mérés, adatgyujtés ˝ Adatok rendszerezése gyakorisági sorok Adatok jellemzése helyzetmutatók, ábrázolás

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

A statisztikai tábla

Statisztikai tábla Statisztikai sorok összefüggo˝ rendszere.

Megnevezés Vállalkozások száma ˝ (Mrd Ft) Összes jegyzett toke ˝ külföldi részesedés Ebbol

1989 886 64.3 15.5

1991 5111 270.3 123.7

1993 10953 725.1 411.7

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

A statisztikai tábla

Statisztikai tábla Statisztikai sorok összefüggo˝ rendszere.

Oldalrovatok

886 64.3 15.5

Fejrovatok 5111 10953 270.3 725.1 123.7 411.7

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

A táblázatok fajtái Egyszeru˝ tábla Csoportosítás nélküli adatsorok összefüggo˝ rendszere. Csoportosító tábla 1 ismérv szerinti csoportosítást tartalmazó adatsorok... Kombinációs v. kontingenciatábla Több ismérv szerinti csoportosítást tartalmazó adatsorok... Megnevezés Vállalkozások száma ˝ (Mrd Ft) Összes jegyzett toke ˝ külföldi részesedés Ebbol

1989 886 64.3 15.5

1991 5111 270.3 123.7

1993 10953 725.1 411.7

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

A táblázatok fajtái Egyszeru˝ tábla Csoportosítás nélküli adatsorok összefüggo˝ rendszere. Csoportosító tábla 1 ismérv szerinti csoportosítást tartalmazó adatsorok... Kombinációs v. kontingenciatábla Több ismérv szerinti csoportosítást tartalmazó adatsorok... Korcsoport (év) 0–24 25–59 60– Összesen

˝ Népességszám (E fo) 1980 1990 1995 3806 3575 3490 5074 4840 4770 1830 1960 1985 10710 10375 10245

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

A táblázatok fajtái Egyszeru˝ tábla Csoportosítás nélküli adatsorok összefüggo˝ rendszere. Csoportosító tábla 1 ismérv szerinti csoportosítást tartalmazó adatsorok... Kombinációs v. kontingenciatábla Több ismérv szerinti csoportosítást tartalmazó adatsorok... Komfortosság Komfortos Félkomfortos Komfort nélküli Összesen

Bp. 673 40 63 776

Városok 1259 88 193 1540

Községek 780 159 433 1372

Összesen 2712 287 689 3688

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Egyszeru˝ táblák elemzése

Intenzitási viszonyszám Két különbözo˝ fajta statisztikai adat hányadosa. (sur ˝ uség-, ˝ ellátottsági-, átlagjellegu˝ mutatók, arányszámok.)

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.


Intenzitási viszonyszám Két különbözo˝ fajta statisztikai adat hányadosa. (sur ˝ uség-, ˝ ellátottsági-, átlagjellegu˝ mutatók, arányszámok.) . egyenes

& fordított

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.


Intenzitási viszonyszám Két különbözo˝ fajta statisztikai adat hányadosa. (sur ˝ uség-, ˝ ellátottsági-, átlagjellegu˝ mutatók, arányszámok.) . egyenes . nyers

& fordított & tisztított

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Egyszeru˝ táblák elemzése Intenzitási viszonyszám Két különbözo˝ fajta statisztikai adat hányadosa. (sur ˝ uség-, ˝ ellátottsági-, átlagjellegu˝ mutatók, arányszámok.) . egyenes . nyers

& fordított & tisztított

Dinamikus viszonyszám ˝ Ugyanazon statisztikai adat két idopontban felvett értékének hányadosa.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

˝ Fejlodési trendek

Láncviszonyszám Egymást követo˝ periódusok statisztikai adatainak hányadosa. Bázisviszonyszám Tárgy- és bázisperiódus statisztikai adatainak hányadosa. ˝ (bovebben: ld. 2.2 fejezet)

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Egyszeru˝ táblák – példa

Megnevezés ˝ Népesség (E fo) ˝ Orvosok sz. (fo) ˝ Háziorvosok sz. (fo) 10000 lakosra jutó orvos 1 orvosra jutó lakos 1 háziorvosra jutó lakos Háziorvosok aránya

A B b B A A B A b b B

1980 10705 A0 30842 B0 5092 b0 29 BA0 0 347 AB0 0 2102 Ab 0 0 17 Bb0 0

1990 10278 A1 41397 B1 6381 b1 40 AB1 1 248 BA1 1 1611 Ab 1 1 15 Bb1 1

1980=100% A1 96 A0 B1 134 B0 b1 125 b0 B1 140 A : AB0 1 0 72 AB1 : BA0 1 0 77 Ab 1 : Ab 0 1 0 93 Bb1 : Bb0 1

0

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-



Standardizálás

Alkalm.

Csoportosító táblák Részsokaságok C1 .. . Cj .. . CM ˝ Fosokaság

Aj

Bj

Vj =

A1 .. . Aj .. . AM PM

B1 .. . Bj .. . BM PM

V1 =

Aj Bj A1 B1

Vj =

Aj Bj

j=1 Aj

j=1 Bj

AM PMBM j=1 Aj PM j=1 Bj

VM = V =

Rész- (Vj ) és összetett (V ) viszonyszámok. PM PM PM Aj j=1 Aj j=1 Bj Vj j=1 Aj Vj = illetve V = PM = PM =P M Aj Bj j=1 Bj j=1 Bj j=1 Vj

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-



Standardizálás

Alkalm.


Aj

Bj

Vj =

A1 .. . Aj .. . AM PM

B1 .. . Bj .. . BM PM

V1 =

Aj Bj A1 B1

Vj =

Aj Bj

j=1 Aj

j=1 Bj


VM = V =


Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-



Standardizálás

Alkalm.


Aj

Bj

Vj =

A1 .. . Aj .. . AM PM

B1 .. . Bj .. . BM PM

V1 =

Aj Bj A1 B1

Vj =

Aj Bj

j=1 Aj

j=1 Bj


VM = V =


Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-



Standardizálás

Alkalm.


Aj

Bj

Vj =

A1 .. . Aj .. . AM PM

B1 .. . Bj .. . BM PM

V1 =

Aj Bj A1 B1

Vj =

Aj Bj

j=1 Aj

j=1 Bj


VM = V =


Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Csoportosító táblák – Példa Részsokaságok Budapest .. . A többi város .. . Községek Összesen

Népesség A1 .. . Aj .. . AM PM

j=1 Aj

Lakások B1 .. . Bj .. . BM PM

j=1 Bj

Fo˝ 100 lakás V1 = AB11

Vj =

Aj Bj


VM = V =

Rész- (Vj ) és összetett (V ) viszonyszámok. PM PM PM Aj j=1 Aj j=1 Bj Vj j=1 Aj illetve V = PM = PM =P Vj = M Aj Bj j=1 Bj j=1 Bj j=1 Vj

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Csoportosító táblák – Példa Részsokaságok

Népesség

Lakások

Budapest .. . A többi város .. . Községek

1995,7 .. . 4561,9 .. . 3719,4

810 .. . 1692 .. . 1453

Összesen

10277,0

3955

Fo˝ Lakás V1 = AB11

Vj =

Aj Bj


VM = V =

Rész- (Vj ) és összetett (V ) viszonyszámok. PM PM PM Aj j=1 Aj j=1 Bj Vj j=1 Aj illetve V = PM = PM =P Vj = M Aj Bj j=1 Bj j=1 Bj j=1 Vj

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Csoportosító táblák – Példa Részsokaságok Budapest .. .

Népesség 1995,7 .. .

Lakások 810 .. .

Fo˝ 100 lakás

A többi város .. .

4561,9 .. .

1692 .. .

2,70

Községek Összesen

3719,4 10277,0

1453 3955

2,56 2,60

2,46

Rész- (Vj ) és összetett (V ) viszonyszámok. PM PM PM Aj j=1 Bj Vj j=1 Aj j=1 Aj Vj = illetve V = PM = PM =P M Aj Bj j=1 Bj j=1 Bj j=1 Vj

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Szerkezet- és dinamikai változás vizsgálata Lakások szobaszám szerinti megoszlása Szobák 1980 1994 változás Bj Aj A P P száma Bj Aj Vj = Bjj Bj Aj 1 2 3 és több Összesen

973 1720 849 3542

27 49 24 100

644 1710 1601 3955

16 43 41 100

66,2% 99,4% 188,6% 111,7%

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás



973 1720 849 3542

27 49 24 100

644 1710 1601 3955

16 43 41 100

66,2% 99,4% 188,6% 111,7%

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-



Standardizálás


973 1720 849 3542

27 49 24 100

644 1710 1601 3955

16 43 41 100

66,2% 99,4% 188,6% 111,7%

2

1 1

2 3+ 3+

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-



Standardizálás


973 1720 849 3542

27 49 24 100

644 1710 1601 3955

16 43 41 100

66,2% 99,4% 188,6% 111,7%

2

1 1

2 3+ 3+

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Szerkezet- és dinamikai változás vizsgálata A részsokaságok nagyságának eltéro˝ mértéku˝ változása a ˝ fosokaság összetételének megváltozását jelenti Ha... átrendezve:

Aj PM

j=1

részsokaság aránya Súgó: Vj =

Aj Bj ,

Vj ≤ V B ≤ PM j Aj

j=1

Aj Bj

csökken

PM

j=1

Vj ≥ V B ≥ PM j Aj

j=1

Bj

no˝

PM

V =

j=1 Aj

PM

j=1

Bj

˝ Aj tárgyidoszaki adat ˝ Bj bázisidoszaki adat Vj rész-dinamikus viszonyszám ˝ V A fosokaság összetett viszonyszáma M A részsokaságok (csoportok) száma.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Szerkezet- és dinamikai változás vizsgálata A részsokaságok nagyságának eltéro˝ mértéku˝ változása a ˝ fosokaság összetételének megváltozását jelenti Ha... átrendezve:

Aj PM

j=1

részsokaság aránya Súgó: Vj =

Aj Bj ,

Vj ≤ V B ≤ PM j Aj

j=1

Aj Bj

csökken

PM

j=1

Vj ≥ V B ≥ PM j Aj

j=1

Bj

no˝

PM

V =

j=1 Aj

PM

j=1

Bj

˝ Aj tárgyidoszaki adat ˝ Bj bázisidoszaki adat Vj rész-dinamikus viszonyszám ˝ V A fosokaság összetett viszonyszáma M A részsokaságok (csoportok) száma.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Kombinációs táblák ··· ···

CjD f1j .. .

··· ···

CtD f1t .. .

P

C1E .. .

C1D f11 .. .

CiE .. .

fi1 .. .

···

fij .. .

···

fit .. .

fi· .. .

CE Ps

fs1 f·1

··· ···

fsj f·j

··· ···

fst f·t

fs· N

1

j

f1· .. .

Az ismérvek közötti kapcsolat lehet Függvényszeru˝ Sztochasztikus ˝ Asszociáció – minoségi/területi ismérvek között Vegyes kapcsolat Korrelációs kapcsolat

Nincs (az ismérvek függetlenek)

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás



CjD f1j .. .

··· ···

CtD f1t .. .

P

C1E .. .

C1D f11 .. .

CiE .. .

fi1 .. .

···

fij .. .

···

fit .. .

fi· .. .

CE Ps

fs1 f·1

··· ···

fsj f·j

··· ···

fst f·t

fs· N

1

j

f1· .. .

Az ismérvek közötti kapcsolat lehet Függvényszeru˝ Sztochasztikus ˝ Asszociáció – minoségi/területi ismérvek között Vegyes kapcsolat Korrelációs kapcsolat

Nincs (az ismérvek függetlenek)

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás



CjD f1j .. .

··· ···

CtD f1t .. .

P

C1E .. .

C1D f11 .. .

CiE .. .

fi1 .. .

···

fij .. .

···

fit .. .

fi· .. .

CE Ps

fs1 f·1

··· ···

fsj f·j

··· ···

fst f·t

fs· N

1

j

f1· .. .

Függetlenség esetén f1j f11 f1t f1· = ··· = = ··· = = f·1 f·j f·t N azaz

fij fi· f·j · = N N N

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás



CjD f1j .. .

··· ···

CtD f1t .. .

P

C1E .. .

C1D f11 .. .

CiE .. .

fi1 .. .

···

fij .. .

···

fit .. .

fi· .. .

CE Ps

fs1 f·1

··· ···

fsj f·j

··· ···

fst f·t

fs· N

1

j

f1· .. .

Függetlenség esetén f1j f11 f1t f1· = ··· = = ··· = = f·1 f·j f·t N azaz

fij fi· f·j · = N N N

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Yule-féle asszociációs együttható

C1E CE P2

1

C1D f11 f21 f·1

Mivel f11 =

C2D f12 f22 f·2

P

j

f1· f2· N

f·1 f1· N , f12

=

f·2 f1· N ,f21

=

f·1 f2· N

és f22 =

f12 f22 = f11 f21 Átrendezve: f11 f22 = f12 f21

f·2 f2· N ,

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás



C1E CE P2

1

C1D f11 f21 f·1

Mivel f11 =

C2D f12 f22 f·2

P

j

f1· f2· N

f·1 f1· N , f12

=

f·2 f1· N ,f21

=

f·1 f2· N

és f22 =


f·2 f2· N ,

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás



C1E CE P2

1

C1D f11 f21 f·1

Mivel f11 =

C2D f12 f22 f·2

P

j

f1· f2· N

f·1 f1· N , f12

=

f·2 f1· N ,f21

=

f·1 f2· N

és f22 =


f·2 f2· N ,

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás



C1E CE P2

1

C1D f11 f21 f·1

Mivel f11 =

C2D f12 f22 f·2

P

j

f1· f2· N

f·1 f1· N , f12

=

f·2 f1· N ,f21

=

f·1 f2· N

és f22 =


f·2 f2· N ,

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás



C1E CE P2

1

C1D f11 f21 f·1

Mivel f11 =

C2D f12 f22 f·2

P

j

f1· f2· N

f·1 f1· N , f12

=

f·2 f1· N ,f21

=

f·1 f2· N

és f22 =


f·2 f2· N ,

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás



C1E CE P2

1

C1D f11 f21 f·1

Mivel f11 =

C2D f12 f22 f·2

P

j

f1· f2· N

f·1 f1· N , f12

=

f·2 f1· N ,f21

=

f·1 f2· N

és f22 =


f·2 f2· N ,

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Yule-féle asszociációs együttható – II.

Yule-féle asszociációs együttható Y =

f11 f22 − f12 f21 f11 f22 + f12 f21

Ha függetlenek f11 f22 = f12 f21 , tehát Y = 0. Függvényszeru˝ kapcsolat esetén valamely fij = 0, ekkor Y = 1, vagy Y = −1.

Udny Yule

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.



f11 f22 − f12 f21 f11 f22 + f12 f21


Udny Yule

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.



f11 f22 − f12 f21 f11 f22 + f12 f21


Udny Yule

Hátránya: csak alternatív ismérvek esetén.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-



Standardizálás

Alkalm.

Csuprov és Cramer-féle asszociációs együtthatók

Függetlenség esetén Legyen fij∗ =

fi· f·j N

fij f·j

=

fi· N,

azaz fij =

fi· f·j N .

a feltételezett gyakoriság!

A tényleges és a feltételezett gyakoriságok eltérése:

χ2 =

s X t X i=1 j=1

fij − fij∗ fij∗

2 .

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-



Standardizálás

Alkalm.

Csuprov és Cramer-féle asszociációs együtthatók

Függetlenség esetén Legyen fij∗ =

fi· f·j N

fij f·j

=

fi· N,

azaz fij =

fi· f·j N .



χ2 =

s X t X

fij − fij∗

i=1 j=1

χ2 = chi-négyzet, mint pszichiátria

fij∗

2 .

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-



Standardizálás

Alkalm.

Csuprov és Cramer-féle asszociációs együtthatók Függetlenség esetén Legyen fij∗ =

fi· f·j N

fij f·j

=

fi· N,

azaz fij =

fi· f·j N .



χ2 =

s X t X i=1 j=1

fij − fij∗ fij∗

2 .

( N(s − 1) ha s ≤ t 0 ≤ χ2 ≤ N(t − 1) egyébként.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Csuprov és Cramer-féle asszociációs együtthatók – II.

Cramer-féle asszociációs együttható q χ2  N(s−1) C= q 2 χ  N(t−1)

Gabriel Cramer (1704–1752)

ha s ≤ t egyébként.

C = 0 ha függetlenek. ˝ kapcsolat. C ≈ 1 ha eros

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


Csuprov-féle asszociációs együttható s T =

χ2 √ N s−1 t −1 √

T = 0 ha függetlenek. ˝ kapcsolat és s = t T ≈ 1 ha eros

Alexander Alexandrovics Csuprov (1874–1926)

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok



√

χ2

√

N s−1 t −1


Cramer-féle asszociációs együttható q χ2  N(s−1) q C= χ2  N(t−1)



Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok



√

χ2

√

N s−1 t −1


Cramer-féle asszociációs együttható q χ2  N(s−1) q C= χ2  N(t−1)



Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Vegyes kapcsolat ˝ Sztochasztikus kapcsolat egy minoségi/területi és mennyiségi változó között. Sorszám 1 .. .

C1D X11 .. .

··· ···

CjD X1j .. .

··· ···

D CM X1M .. .

i .. . .. .

Xi1 .. . .. .

···

···

XiM .. .

···

XNM M

Nj

XN1 1

···

Xij .. . .. . .. . XNj j

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Vegyes kapcsolat ˝ Sztochasztikus kapcsolat egy minoségi/területi és mennyiségi változó között. P D C1D · · · CjD · · · CM j C1x f11 · · · f1j · · · f1M f1· .. .. .. .. .. . . . . . Cix .. .

fi1 .. .

···

fij .. .

···

fiM .. .

fi· .. .

Cx Pk

fk 1 N1

··· ···

fkj Nj

··· ···

fkM NM

fs· N

1

Ha túl sok az érték (k nagy), a tábla túl „ritka.” A csoportosítás önkényes. → más módszerek!

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Szórás ¯ = ˝ Foátlag: X

PM PNj j=1

i=1

Xij

¯j = Részátlag: X

N

Teljes eltérés ¯. dij = Xij − X

=

Belso˝ eltérés ¯j Bij = Xij − X

PNj

i=1 Nj

Xij

Külso˝ eltérés ¯j − X ¯ Kij = X

+

Szórásnégyzet („szigma négyzet”) Teljes szórás2 : σ 2 =

P M P Nj j=1

i=1

dij2

N

Részszórás2 : σj2 =

Belso˝ szórásnégyzet

σ2 =

σB2

=

Nj M X X j=1 i=1

Bij2 N

PNj

i=1

Bij2

Nj

Külso˝ szórásnégyzet

+

σK2

=

Nj M X X j=1 i=1

Kij2 N

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


PM PNj j=1

i=1

Xij


N


=


PNj

i=1 Nj

Xij


+


P M P Nj j=1

i=1

dij2

N



σ2 =

σB2

=

Nj M X X j=1 i=1

Bij2 N

PNj

i=1

Bij2

Nj


+

σK2

=

Nj M X X j=1 i=1

Kij2 N

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


PM PNj j=1

i=1

Xij


N


=


PNj

i=1 Nj

Xij


+


P M P Nj j=1

i=1

dij2

N



σ2 =

σB2

=

Nj M X X j=1 i=1

Bij2 N

PNj

i=1

Bij2

Nj


+

σK2

=

Nj M X X j=1 i=1

Kij2 N

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Szóráselemzés

Átlagok ¯j -k egyenlok, ˝ X ¯j Xij = X Egyébként

Szórások σK2 = 0 σB2 = 0 0 < σK2 < σ 2

ismérvek kapcsolata nincs összefüggés. függvényszeru. ˝ sztochasztikus.

Szórásnégyzet-hányados H2 =

σK2 σ2

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Szóráselemzés





σK2 σ2

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Szóráselemzés



H2 H2 = 0 H2 = 1 0 < H2 < 1


σK2 σ2


Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Korrelációs táblák Sztochasztikus kapcsolat két mennyiségi ismérv között. P Y C1Y · · · CjY · · · CM j C1X f11 · · · f1j · · · f1M f1· .. .. .. .. .. . . . . . CiX .. .

fi1 .. .

···

fij .. .

···

fiM .. .

fi· .. .

CX Pk

fk 1 N1

··· ···

fkj Nj

··· ···

fkM NM

fs· N

1

Ha nagyobb X -re nagyobb Y : pozitív korreláció, ha nagyobb X -re kisebb Y : negatív korreláció. Tapasztalati regressziófüggvény ¯i A CiX osztályokon értelmezett függvény, mely CiX -hez az Y részátlagot rendeli.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Korrelációs táblák Sztochasztikus kapcsolat két mennyiségi ismérv között. P Y C1Y · · · CjY · · · CM j C1X f11 · · · f1j · · · f1M f1· .. .. .. .. .. . . . . . CiX .. .

fi1 .. .

···

fij .. .

···

fiM .. .

fi· .. .

CX Pk

fk 1 N1

··· ···

fkj Nj

··· ···

fkM NM

fs· N

1

Ha nagyobb X -re nagyobb Y : pozitív korreláció, ha nagyobb X -re kisebb Y : negatív korreláció. Tapasztalati regressziófüggvény ¯i A CiX osztályokon értelmezett függvény, mely CiX -hez az Y részátlagot rendeli.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Korrelációs táblák – példa Szobaszám Xi 1 2 3 4

. . . .

. . . . . .

Átl. lakósz. ¯i Y 2.40 3.36 4.53 5.67

. . . . . .

. . .

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Korreláció szorosságának mérése Mint vegyes kapcsolatnál: X szerint Y -ra, vagy Y szerint X -re. Determinációs hányados X mekkora hányadát magyarázza meg Y szórásnégyzetének: 2 H(Y |X )

=

σK2 (Y ) 2 σ(Y )

A H(Y |X ) a korrelációs hányados.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Korreláció szorosságának mérése Mint vegyes kapcsolatnál: X szerint Y -ra, vagy Y szerint X -re. Determinációs hányados X mekkora hányadát magyarázza meg Y szórásnégyzetének: 2 H(Y |X ) =

σK2 (Y ) 2 σ(Y )

A H(Y |X ) a korrelációs hányados.

Szo´ro´do´ isme´rv

Csoportosı´to´ isme´rv

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Probléma

Budán drágábbak a lakások. Miért? ˝ ugyanaz a lakás Budán többe kerülne.Vagy: Jobb a levego: Mások a lakások: nagyobbak, komfortosabbak

Idén olcsóbbak az eladott lakások. Miért? Lefelé mennek az ingatlanárak, vagy Kisebb, rosszabb állagú lakások kerülnek eladásra.

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Probléma



Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Probléma



Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Probléma



Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Probléma



Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Probléma



Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

˝ Viszonyszámok (emlékezteto) Jelenség színvonalának vizsgálata viszonyszámokkal. Viszonyszám (1. fejezet) Két, logikai kapcsolatban álló statisztikai adat hányadosa. Heterogén sokaság: intenzitási rész-/összetett viszonyszámok. A Részsokaságok Aj Bj Vj = Bjj C1 .. . Cj .. . CM ˝ Fosokaság

A1 .. . Aj .. . AM PM

j=1 Aj

B1 .. . Bj .. . BM PM

j=1 Bj

V1 = .. . Vj = .. . VM = V =

A1 B1 Aj Bj


Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


A1 .. . Aj .. . AM PM

j=1 Aj

B1 .. . Bj .. . BM PM

j=1 Bj

V1 = .. . Vj = .. . VM = V =

A1 B1 Aj Bj


Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


A1 .. . Aj .. . AM PM

j=1 Aj

B1 .. . Bj .. . BM PM

j=1 Bj

V1 = .. . Vj = .. . VM = V =

A1 B1 Aj Bj


Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Összetett intenzitási viszonyszámok

Az átlagos színvonalat befolyásolja a 1

az egyes csoportokban vizsgált színvonal

2

a sokaság szerkezete, összetétele.

Amit vizsgálunk: ˝ térbeli különbözoség, és ˝ idobeli változás

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Összetett intenzitási viszonyszámok

Az átlagos színvonalat befolyásolja a 1

az egyes csoportokban vizsgált színvonal

2

a sokaság szerkezete, összetétele.

Amit vizsgálunk: ˝ térbeli különbözoség, és ˝ idobeli változás

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Összetett viszonyszámok: példa A B Össz bér Létsz. Átl bér Össz bér Létsz. Átl bér ˝ ˝ (e Ft) (fo) (e Ft) (e Ft) (fo) (e Ft) Férfi 2400 50 48 1000 20 50 No˝ 300 10 30 1200 30 40 Össz 2700 60 45 2200 50 44 ˝ jövedelme Az átlagos jövedelem csökken, míg a férfiak és nok ˝ Hogyan lehetséges? is no. Más a nem szerinti összetétel. Nem

A megoldás: standardizálás. Standardizálás ˝ A térben/idoben eltéro˝ összetett intenzitási viszonyszámok ˝ ˝ közötti különbségeket összetevokre/tényez okre bontjuk.

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Összetett viszonyszámok: példa A B Össz bér Létsz. Átl bér Össz bér Létsz. Átl bér ˝ ˝ (e Ft) (e Ft) (fo) (e Ft) (e Ft) (fo) Férfi 2400 50 48 1000 20 50 No˝ 300 10 30 1200 30 40 Össz 2700 60 45 2200 50 44 ˝ jövedelme Az átlagos jövedelem csökken, míg a férfiak és nok ˝ Hogyan lehetséges? is no. Más a nem szerinti összetétel. Nem


Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Összetett viszonyszámok: példa A B Össz bér Létsz. Átl bér Össz bér Létsz. Átl bér ˝ ˝ (e Ft) (e Ft) (fo) (e Ft) (e Ft) (fo) 48 1000 20 50 Férfi 2400 50 No˝ 300 10 30 1200 30 40 45 2200 50 44 Össz 2700 60 ˝ jövedelme Az átlagos jövedelem csökken, míg a férfiak és nok ˝ Hogyan lehetséges? is no. Más a nem szerinti összetétel. Nem


Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok



Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok



Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Standardizálás

Térbeli összehasonlításnál eltérést, különbséget vizsgálunk. ˝ Idobeli elemzésnél %-os változást, hányadosokat számítunk ki.

Standardizálás Az összetett viszonyszámot a részviszonyszámok és az összetétel együttesen határozzák meg. A standardizálás során egy-egy tényezo˝ hatásának elemzésekor a másikat standardnak (állandónak) feltételezzük.

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Összetett viszonyszámok meghatározása

1 .. . j .. . M

˝ összehasonlítandó területek/idoszakok 0 1 Aj0 Bj0 Vj0 Aj1 Bj1 A10 B10 V10 A11 B11 .. .. .. .. .. . . . . . Aj0 Bj0 Vj0 Aj1 Bj1 .. .. .. .. .. . . . . . AM0 BM0 VM0 AM1 BM1 P P P P ¯0 V j Aj0 j Bj0 j Aj1 j Bj1

Vj1 V11 .. . Vj1 .. . VM1 ¯1 V

Különb. k= V1 − V0 k1 .. . kj .. . kM K

Hányados i=

˝ A cél K , illetve I (foátlagindex) meghatározása (tér- illetve ˝ idobeli összehasonlítás esetén). K = K 0 + K 00 (illetve I = I 0 · I 00 ), ahol K 0 (illetve I 0 ) részhatáskülönbség (ill. részátlagindex) a részviszonyszámok változásának hatása K 00 (illetve I 00 ) összetételhatás-különbség (ill. -index) az összetétel változásának hatása

V1 V0

i1 .. . ij .. . iM I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Összetett viszonyszámok meghatározása

1 .. . j .. . M

˝ összehasonlítandó területek/idoszakok 0 1 Aj0 Bj0 Vj0 Aj1 Bj1 A10 B10 V10 A11 B11 .. .. .. .. .. . . . . . Aj0 Bj0 Vj0 Aj1 Bj1 .. .. .. .. .. . . . . . AM0 BM0 VM0 AM1 BM1 P P P P ¯0 V j Aj0 j Bj0 j Aj1 j Bj1

Vj1 V11 .. . Vj1 .. . VM1 ¯1 V

Különb. k= V1 − V0 k1 .. . kj .. . kM K

Hányados i=

˝ A cél K , illetve I (foátlagindex) meghatározása (tér- illetve ˝ idobeli összehasonlítás esetén). K = K 0 + K 00 (illetve I = I 0 · I 00 ), ahol K 0 (illetve I 0 ) részhatáskülönbség (ill. részátlagindex) a részviszonyszámok változásának hatása K 00 (illetve I 00 ) összetételhatás-különbség (ill. -index) az összetétel változásának hatása

V1 V0

i1 .. . ij .. . iM I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

˝ ˝ Foátlagok összetevokre bontása

K = K 0 + K 00 az összetett intenzitási viszonyszám, ahol K 0 részhatáskülönbség : a részviszonyszámok változásának hatása A „valódi” különbség K 00 összetételhatás-különbség az összetétel változásának hatása A részsokaságok eltéro˝ aránya okozta, „látszólagos” különbség

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.



Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.



Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Indexszámítás: hányadosfelbontás

˝ I = I 0 · I 00 a foátlagindex (vagy változó állományú index), ahol I 0 részátlagindex (vagy változatlan állományú index) a részviszonyszámok változásának hatása A „valódi” különbség I 00 összetételhatás-index (vagy arányeltolódási index) az összetétel változásának hatása A részsokaságok eltéro˝ aránya okozta, „látszólagos” különbség

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok



Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok



Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Standardizálás

˝ K 0 (ill. I 0 ) kiszámításához a két terület/idoszak viszonyszámait standard, azonos összetétellel számoljuk ki. PM 0

K =

j=1 Bj(st) Vj1 PM j=1 Bj(st)

PM −

PM 00

K =

j=1 Bj1 Vj(st) PM j=1 Bj1

j=1 Bj(st) Vj0

PM

j=1 Bj(st)

PM −


részátlagindex számolásánál (mindig) B(st) = B1 ; összetételhatás indexénél (mindig) V(st) = V0 .

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Standardizálás


I =

j=1 Bj(st) Vj1 PM j=1 Bj(st)

PM :

PM 00

I =


j=1 Bj(st) Vj0

PM

j=1 Bj(st)

PM :



Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Standardizálás


I =

j=1 Bj1 Vj1 PM j=1 Bj1

PM :

I =


j=1 Bj1

PM

PM 00

j=1 Bj1 Vj0

PM

:

j=1 Bj0 Vj0

PM

j=1 Bj0


Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Átlagbérek

Csoport

Fizikai Szellemi Együtt

1994. január Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) (A0 ) (B0 ) (V0 ) 28800 800 36000 6000 150 40000 34800 950 36632


˝ az átlag viszont csak Minden dolgozó fizetése 10%-al nott, 9.4%-kal. Ellentmondás? Összetétel-hatás (st = 0):

Vált.

110,0 110,0 109,4

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Átlagbérek

Csoport




Vált.

100,0 100,0 99,4

˝ az átlag viszont csak Minden dolgozó fizetése 10%-al nott, 9.4%-kal. Ellentmondás? Gondolatkísérlet: mi lenne, ha nem változott volna egyáltalán? Összetétel-hatás (st = 0):

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Átlagbérek Csoport




Vált.

110,0 110,0 109,4

˝ az átlag viszont csak Minden dolgozó fizetése 10%-al nott, 9.4%-kal. Ellentmondás? Gondolatkísérlet: mi lenne, ha nem változott volna egyáltalán? Összetétel-hatás (st = 0): P P

I 00 =

M M j=1 Bj1 Vj(st) j=1 Bj0 Vj(st) 10 +B21 V20 B10 V10 +B20 V20 PM / P / B10 +B20 = B11 BV11 M +B21 B j=1 j1 j=1 Bj0 = 850·36000+100·40000 / 800·36000+150·40000 = 36420 950 950 36632 =

99, 4%

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Átlagbérek Csoport




Vált.

110,0 110,0 109,4

˝ az átlag viszont csak Minden dolgozó fizetése 10%-al nott, 9.4%-kal. Ellentmondás? Összetétel-hatás (st = 0): I 00 = 99, 4% A részátlagindex (st = 1): P P I0 =

M j=1

Bj(st) Vj1

M j=1

Bj(st) Vj0 +B21 V21 B11 V10 +B21 V20 = B11 VB11 / B11 +B21 11 +B21 B j=1 j(st) j=1 Bj(st) = 850·39600+100·44000 / 850·36000+100·40000 = 40063 950 950 36420 =

PM

/

PM

110%

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Átlagárak

˝ Az árszínvonal összehasonlítható térben és idoben is. Különbséget tenni az átlagár és az egyedi (elemi) árak változása között. A számítás feltételei: Homogén árucsoport Természetes, összegezheto˝ mértékegység. P P P v = Pqp . q qP P P P q1 p1 és I 00 = P q1 p0 P q0 . q1 p0 q0 p0 q1

¯= Az átlagár p

Ekkor I 0 = ˝ ellentétes idoszakból ˝ I = I 0 · I 00 ha a változatlan tényezot választjuk.

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Átlagárak


¯= Az átlagár p


Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Átlagárak


¯= Az átlagár p


Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Átlagárak


¯= Az átlagár p


Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


˝ 2.8. feladat: Idosorok Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Kiad. Év Bev. 1985 25 10 1986 27 10 12 1987 37 1988 39 33 59 1989 48 1990 63 38 38 1991 78 1992 98 53 Vizsgáljuk meg a bevételek és kiadások alakulását ˝ évre! 1985-höz képest, valamint évrol Ábrázoljuk a két jelenség adatait egy grafikonon! ˝ Hány Mrd Ft-tal nottek évente az idegenforgalmi bevételek?

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


˝ 2.8. feladat: Idosorok Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Kiad. Év Bev. 1985 25 10 1986 27 10 12 1987 37 1988 39 33 59 1989 48 1990 63 38 38 1991 78 1992 98 53 Vizsgáljuk meg a bevételek és kiadások alakulását ˝ évre! 1985-höz képest, valamint évrol Ábrázoljuk a két jelenség adatait egy grafikonon! ˝ Hány Mrd Ft-tal nottek évente az idegenforgalmi bevételek?

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


˝ 2.8. feladat: Idosorok Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Kiad. bázis Év Bev. bázis 1985 25 100% 10 100% 1986 27 108% 10 100% 12 120% 1987 37 148% 1988 39 156% 33 330% 59 590% 1989 48 192% 1990 63 252% 38 380% 38 380% 1991 78 312% 1992 98 392% 53 530% Vizsgáljuk meg a bevételek és kiadások alakulását ˝ évre! 1985-höz képest, valamint évrol Ábrázoljuk a két jelenség adatait egy grafikonon! ˝ Hány Mrd Ft-tal nottek évente az idegenforgalmi bevételek?

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


˝ 2.8. feladat: Idosorok Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Kiad. bázis Év Bev. bázis 1985 25 100% 10 100% 1986 27 108% 10 100% 12 120% 1987 37 148% 1988 39 156% 33 330% 59 590% 1989 48 192% 1990 63 252% 38 380% 38 380% 1991 78 312% 1992 98 392% 53 530% Vizsgáljuk meg a bevételek és kiadások alakulását ˝ évre! 1985-höz képest, valamint évrol Ábrázoljuk a két jelenség adatait egy grafikonon! ˝ Hány Mrd Ft-tal nottek évente az idegenforgalmi bevételek?

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

˝ 2.8. feladat: Idosorok Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon lánc Kiad. bázis Év Bev. bázis 1985 25 100% 10 100% 1986 27 108% 108% 10 100% 12 120% 1987 37 148% 137% 1988 39 156% 105% 33 330% 59 590% 1989 48 192% 123% 1990 63 252% 131% 38 380% 38 380% 1991 78 312% 124% 1992 98 392% 126% 53 530%

lánc 100% 120% 275% 179% 64% 100% 139%

Vizsgáljuk meg a bevételek és kiadások alakulását ˝ évre! 1985-höz képest, valamint évrol Ábrázoljuk a két jelenség adatait egy grafikonon! ˝ Hány Mrd Ft-tal nottek évente az idegenforgalmi bevételek?

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.


lánc 100% 120% 275% 179% 64% 100% 139%


Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

˝ 2.8. feladat: Idosorok

Vizsgáljuk meg a bevételek és kiadások alakulását ˝ évre! 1985-höz képest, valamint évrol Ábrázoljuk a két jelenség adatait egy grafikonon! ˝ Hány Mrd Ft-tal nottek évente az idegenforgalmi bevételek? Mennyi volt a bevételek, kiadások, illetve az egyenleg ˝ növekedési üteme a vizsgált idoszakban átlagosan?

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.


lánc 100% 120% 275% 179% 64% 100% 139%


Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

˝ 2.8. feladat: Idosorok Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon lánc Növ. Kiad. bázis Év Bev. bázis 1985 25 100% 10 100% 1986 27 108% 108% 2 10 100% 10 12 120% 1987 37 148% 137% 1988 39 156% 105% 2 33 330% 9 59 590% 1989 48 192% 123% 1990 63 252% 131% 15 38 380% 15 38 380% 1991 78 312% 124% 1992 98 392% 126% 20 53 530%

lánc 100% 120% 275% 179% 64% 100% 139%


Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

˝ 2.8. feladat: Idosorok Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon lánc Növ. Kiad. bázis Év Bev. bázis 1985 25 100% 10 100% 1986 27 108% 108% 2 10 100% 10 12 120% 1987 37 148% 137% 1988 39 156% 105% 2 33 330% 9 59 590% 1989 48 192% 123% 1990 63 252% 131% 15 38 380% 15 38 380% 1991 78 312% 124% 1992 98 392% 126% 20 53 530%

lánc 100% 120% 275% 179% 64% 100% 139%


Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

2.8. feladat/2. átlagos ütem számítása Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Év Bev. Növ. Kiad. Növ. 1985 25 10 1986 27 108% 10 100% 1987 37 137% 12 120% 1988 39 105% 33 275% 1989 48 123% 59 179% 1990 63 131% 38 64% 1991 78 124% 38 100% 1992 98 126% 53 139% Mennyi volt a bevételek, kiadások, illetve az egyenleg ˝ növekedési üteme a vizsgált idoszakban átlagosan? v s u n p uY Yn n−1 `¯ = t `t = n−1 bn = n−1 Y

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

2.8. feladat/2. átlagos ütem számítása Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Év Bev. Növ. Kiad. Növ. Egyenleg 1985 25 10 15 1986 27 108% 10 100% 17 25 1987 37 137% 12 120% 1988 39 105% 33 275% 7 -11 1989 48 123% 59 179% 1990 63 131% 38 64% 25 40 1991 78 124% 38 100% 1992 98 126% 53 139% 45 Mennyi volt a bevételek, kiadások, illetve az egyenleg ˝ növekedési üteme a vizsgált idoszakban átlagosan? v s u n p uY Yn n−1 `¯ = t `t = n−1 bn = n−1 Y

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

2.8. feladat/2. átlagos ütem számítása Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Növ. Év Bev. Növ. Kiad. Növ. Egyenleg 1985 25 10 15 1986 27 108% 10 100% 17 113% 25 147% 1987 37 137% 12 120% 1988 39 105% 33 275% 7 24% -11 -183% 1989 48 123% 59 179% 1990 63 131% 38 64% 25 -227% 40 160% 1991 78 124% 38 100% 1992 98 126% 53 139% 45 113% Mennyi volt a bevételek, kiadások, illetve az egyenleg ˝ növekedési üteme a vizsgált idoszakban átlagosan? v s u n p uY Yn n−1 `¯ = t `t = n−1 bn = n−1 Y

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

2.8. feladat/2. átlagos ütem számítása Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Növ. Év Bev. Növ. Kiad. Növ. Egyenleg 1985 25 10 15 1986 27 108% 10 100% 17 113% 25 147% 1987 37 137% 12 120% 1988 39 105% 33 275% 7 24% -11 -183% 1989 48 123% 59 179% 1990 63 131% 38 64% 25 -227% 40 160% 1991 78 124% 38 100% 1992 98 126% 53 139% 45 113% Mennyi volt a bevételek, kiadások, illetve az egyenleg ˝ növekedési üteme a vizsgált idoszakban átlagosan? v s u n p uY Yn n−1 `¯ = t `t = n−1 bn = n−1 Y

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

2.8. feladat/2. átlagos ütem számítása Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Növ. Év Bev. Növ. Kiad. Növ. Egyenleg 1985 25 10 15 1986 27 108% 10 100% 17 113% 25 147% 1987 37 137% 12 120% 1988 39 105% 33 275% 7 24% -11 -183% 1989 48 123% 59 179% 1990 63 131% 38 64% 25 -227% 40 160% 1991 78 124% 38 100% 1992 98 126% 53 139% 45 113% átlag 122% 127% 117% Mennyi volt a bevételek, kiadások, illetve az egyenleg ˝ növekedési üteme a vizsgált idoszakban átlagosan? v s u n p uY Yn n−1 `¯ = t `t = n−1 bn = n−1 Y

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.9. Feladat: szerkezeti változások Csoportok

1990 1993 változás 1000 fo˝ % 1000 fo˝ % % ˝ Aktív keresok 4795 87,2 3867 GYES/GYED 245 4,5 262 Fogl. nyugdíjas 432 7,9 223 Foglalkoztatottak 5472 99,6 4352 Munkanélküliek 24 0,4 663 Összesen 5496 100,0 5015 100,0 91,25 Számítsuk ki a hiányzó adatokat és vonjunk le következtetéseket a szerkezet- és dinamikai változásokra vonatkozóan!

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


1990 1993 változás % % 1000 fo˝ % 1000 fo˝ 3867 ˝ Aktív keresok 4795 87,2 3867 5015 262 GYES/GYED 245 4,5 262 5015 223 Fogl. nyugdíjas 432 7,9 223 5015 4352 Foglalkoztatottak 5472 99,6 4352 5015 663 Munkanélküliek 24 0,4 663 5015 Összesen 5496 100,0 5015 100,0 91,25 Számítsuk ki a hiányzó adatokat és vonjunk le következtetéseket a szerkezet- és dinamikai változásokra vonatkozóan!

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


1990 1993 változás 1000 fo˝ % 1000 fo˝ % % ˝ Aktív keresok 4795 87,2 3867 77,1 GYES/GYED 245 4,5 262 5,2 Fogl. nyugdíjas 432 7,9 223 4,4 Foglalkoztatottak 5472 99,6 4352 86,8 Munkanélküliek 24 0,4 663 13,2 Összesen 5496 100,0 5015 100,0 91,25 Számítsuk ki a hiányzó adatokat és vonjunk le következtetéseket a szerkezet- és dinamikai változásokra vonatkozóan!

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


1990 1993 változás % % 1000 fo˝ % 1000 fo˝ 3867 ˝ Aktív keresok 4795 87,2 3867 77,1 4795 262 GYES/GYED 245 4,5 262 5,2 245 223 Fogl. nyugdíjas 432 7,9 223 4,4 432 4352 Foglalkoztatottak 5472 99,6 4352 86,8 5472 663 Munkanélküliek 24 0,4 663 13,2 24 Összesen 5496 100,0 5015 100,0 91,25 Számítsuk ki a hiányzó adatokat és vonjunk le következtetéseket a szerkezet- és dinamikai változásokra vonatkozóan!

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


1990 1993 változás 1000 fo˝ % 1000 fo˝ % % ˝ Aktív keresok 4795 87,2 3867 77,1 80,6 GYES/GYED 245 4,5 262 5,2 106,9 223 4,4 51,6 Fogl. nyugdíjas 432 7,9 Foglalkoztatottak 5472 99,6 4352 86,8 79,5 Munkanélküliek 24 0,4 663 13,2 2762,5 Összesen 5496 100,0 5015 100,0 91,25 Számítsuk ki a hiányzó adatokat és vonjunk le következtetéseket a szerkezet- és dinamikai változásokra vonatkozóan!

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


1990 1993 változás 1000 fo˝ % 1000 fo˝ % % ˝ Aktív keresok 4795 87,2 3867 77,1 80,6 GYES/GYED 245 4,5 262 5,2 106,9 223 4,4 51,6 Fogl. nyugdíjas 432 7,9 Foglalkoztatottak 5472 99,6 4352 86,8 79,5 Munkanélküliek 24 0,4 663 13,2 2762,5 Összesen 5496 100,0 5015 100,0 91,25 Számítsuk ki a hiányzó adatokat és vonjunk le következtetéseket a szerkezet- és dinamikai változásokra vonatkozóan! ˝ és a munkanélküliek száma az összes A GYES/GYED-en lévok ˝ növekedett), tehát adatnál kisebb mértékben csökkent (sot: ˝ arányuk nott.

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.10. feladat (164. oldal) ˝ Vállalkozások jövedelmezosége két egymást követo˝ évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80 180 közepes magas

60

90

10

160

-

30

30

60

200 40 400 összesen 160 a) Töltsük ki a tábla adatait 1 függvényszeru˝ kapcsolat feltételezésével, 2 függetlenséget feltételezve! b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a ˝ tényleges helyzetnek megfeleloen! Értelmezzük a kapott eredményt!

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


60

90

10

160

-

30

30

60

200 40 összesen 160 a) Töltsük ki a tábla adatait 1 függvényszeru˝ kapcsolat feltételezésével, 2 függetlenséget feltételezve!

400

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.10. feladat (164. oldal) ˝ Vállalkozások jövedelmezosége két egymást követo˝ évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 180 80 180 közepes magas

60

90

-

30

160

10 30


160 60

60 400

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


60

90

10

160

-

30

30

60


400

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


60

90

10

160

-

30

30

60

200 40 összesen 160 a) Töltsük ki a tábla adatait 1 függvényszeru˝ kapcsolat feltételezésével, f f 2 függetlenséget feltételezve! fij∗ = i·N·j

400

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


60

90

10

160

-

30

30

60

200 40 400 összesen 160 a) Töltsük ki a tábla adatait 1 függvényszeru˝ kapcsolat feltételezésével, f f 2 = 72 függetlenséget feltételezve! fij∗ = i·N·j = 180×160 400

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.10. feladat (164. oldal) ˝ Vállalkozások jövedelmezosége két egymást követo˝ évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80 180 72 közepes 60 90 10 160 magas

-

30

30

200 40 összesen 160 a) Töltsük ki a tábla adatait 1 függvényszeru˝ kapcsolat feltételezésével, f f 2 függetlenséget feltételezve! fij∗ = i·N·j

60 400

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.10. feladat (164. oldal) ˝ Vállalkozások jövedelmezosége két egymást követo˝ évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80 180 72 90 18 közepes 60 90 10 160 64 80 16 60 magas 30 30 24 30 6 200 40 400 összesen 160 a) Töltsük ki a tábla adatait 1 függvényszeru˝ kapcsolat feltételezésével, f f 2 függetlenséget feltételezve! fij∗ = i·N·j

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.10. feladat (164. oldal) ˝ Vállalkozások jövedelmezosége két egymást követo˝ évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80 180 72 90 18 közepes 60 90 10 160 64 80 16 magas 30 30 60 24 30 6 összesen 160 200 40 400 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a ˝ tényleges helyzetnek megfeleloen! Értelmezzük a kapott eredményt!

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.10. feladat (164. oldal) ˝ Vállalkozások jövedelmezosége két egymást követo˝ évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80 180 72 90 18 közepes 60 90 10 160 64 80 16 60 magas 30 30 24 30 6 200 40 400 összesen 160 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a ˝ tényleges helyzetnek megfeleloen! Értelmezzük a kapott 2 ∗ f −f P P ij ij s t eredményt! χ2 = i=1 j=1 . f∗ ij

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.10. feladat (164. oldal) ˝ Vállalkozások jövedelmezosége két egymást követo˝ évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80 180 72 90 18 közepes 60 90 10 160 64 80 16 60 magas 30 30 24 30 6 200 40 400 összesen 160 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a ˝ tényleges helyzetnek megfeleloen! Értelmezzük a kapott 2 ∗ f −f P P ij ij s t eredményt! χ2 = i=1 j=1 . f∗ ij

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.10. feladat (164. oldal) ˝ Vállalkozások jövedelmezosége két egymást követo˝ évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80 180 72 90 18 közepes 60 90 10 160 64 80 16 60 magas 30 30 24 30 6 200 40 400 összesen 160 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a ˝ tényleges helyzetnek megfeleloen! Értelmezzük a kapott 2 ∗ f −f 2 P P ij ij s t eredményt! χ2 = i=1 j=1 . (100−72) = 10, 9 72 f∗ ij

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.10. feladat (164. oldal) ˝ Vállalkozások jövedelmezosége két egymást követo˝ évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80 180 72 10,89 90 18 közepes 60 90 10 160 64 80 16 magas 30 30 60 24 30 6 összesen 160 200 40 400 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a ˝ tényleges helyzetnek megfeleloen! Értelmezzük a kapott eredményt!

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.10. feladat (164. oldal) ˝ Vállalkozások jövedelmezosége két egymást követo˝ évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80 180 72 10,89 90 1,11 18 18,00 közepes 60 90 10 160 64 0,25 80 1,25 16 2,25 magas 30 30 60 24 24,00 30 0,00 6 96,00 összesen 160 35,14 200 2,36 40 116,25 400 153,75 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a ˝ tényleges helyzetnek megfeleloen! Értelmezzük a kapott eredményt!

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.10. feladat (164. oldal) ˝ Vállalkozások jövedelmezosége két egymást követo˝ évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80 180 72 10,89 90 1,11 18 18,00 közepes 60 90 10 160 64 0,25 80 1,25 16 2,25 magas 30 30 60 24 24,00 30 0,00 6 96,00 összesen 160 35,14 200 2,36 40 116,25 400 153,75 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a ˝ tényleges helyzetnek megfeleloen! Értelmezzük a kapott eredményt! q T =

2 √ χ√ N s−1 t−1

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.10. feladat (164. oldal) ˝ Vállalkozások jövedelmezosége két egymást követo˝ évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80 180 72 10,89 90 1,11 18 18,00 közepes 60 90 10 160 64 0,25 80 1,25 16 2,25 magas 30 30 60 24 24,00 30 0,00 6 96,00 összesen 160 35,14 200 2,36 40 116,25 400 153,75 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a ˝ tényleges helyzetnek megfeleloen! Értelmezzük a kapott eredményt! q q T =

2 √ χ√ = N s−1 t−1

153,75√ √ 400× 3−1 3−1

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.10. feladat (164. oldal) ˝ Vállalkozások jövedelmezosége két egymást követo˝ évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80 180 72 10,89 90 1,11 18 18,00 közepes 60 90 10 160 64 0,25 80 1,25 16 2,25 magas 30 30 60 24 24,00 30 0,00 6 96,00 összesen 160 35,14 200 2,36 40 116,25 400 153,75 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a ˝ tényleges helyzetnek megfeleloen! Értelmezzük a kapott eredményt! q q 2

χ√ T = N √s−1 = t−1 q = 153,75 800

153,75√ √ 400× 3−1 3−1

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


χ√ 153,75√ T = N √s−1 = 400×√ t−1 3−1 3−1 q √ 153,75 0, 192 = 0, 44 = 800 =

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


χ√ 153,75√ T = N √s−1 = 400×√ t−1 3−1 3−1 q √ 153,75 0, 192 = 0, 44 = 800 = ˝ kapcsolat. Közepesen eros

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

3.12. feladat A szüleiknél lakó hallgatók heti kiadásai: 1300; 1800; 2000; 2000; 2800; 3000; 3100; 4000 Ft. A kollégisták adatai: 2500; 3000; 3000; 3100; 3300; 3500; 3800; 4000; 4000; 4400; 5000 Ft. Az albérletben lakók heti kiadásai pedig: 4000; 4800; 5000; 5000; 5200 Ft. 1

Számítsuk ki az átlagos heti kiadást a különbözo˝ lakáshelyzetu˝ hallgatói csoportokban! Vonjunk le következtetéseket!

2

Vizsgáljuk meg a szóródást különbözo˝ módokon! Számítsuk ki, hogy

3

1

2

a szóródás milyen mértékben magyarázható a lakáshelyzettel! milyen szoros kapcsolat van a lakáshelyzet és a kiadások nagysága között!

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


3.12. feladat megoldása Számítsuk ki az átlagos heti kiadást! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

˝ szülok 1300 1800 2000 2000 2800 3000 3100 4000

kollégium 2500 3000 3000 3100 3300 3500 3800 4000 4000 4400 5000

albérlet 4000 4800 5000 5000 5200

bárhol

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


3.12. feladat megoldása Számítsuk ki az átlagos heti kiadást! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Xj

˝ szülok 1300 1800 2000 2000 2800 3000 3100 4000

2500

kollégium 2500 3000 3000 3100 3300 3500 3800 4000 4000 4400 5000 3600

albérlet 4000 4800 5000 5000 5200

bárhol

4800

3483

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


3.12. feladat megoldása Vonjunk le következtetéseket! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Xj

˝ szülok 1300 1800 2000 2000 2800 3000 3100 4000

2500

kollégium 2500 3000 3000 3100 3300 3500 3800 4000 4000 4400 5000 3600

albérlet 4000 4800 5000 5000 5200

bárhol

4800

3483

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


3.12. feladat megoldása Vonjunk le következtetéseket! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Xj

˝ szülok 1300 1800 2000 2000 2800 3000 3100 4000

2500

<

kollégium 2500 3000 3000 3100 3300 3500 3800 4000 4000 4400 5000 3600

<

albérlet 4000 4800 5000 5000 5200

bárhol

4800

3483

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


3.12. feladat megoldása Vizsgáljuk a szóródást! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Xj

˝ szülok 1300 1800 2000 2000 2800 3000 3100 4000

2500

<

kollégium 2500 3000 3000 3100 3300 3500 3800 4000 4000 4400 5000 3600

<

albérlet 4000 4800 5000 5000 5200

bárhol

4800

3483

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


3.12. feladat megoldása Vizsgáljuk a szóródást! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Xj R

˝ szülok 1300 1800 2000 2000 2800 3000 3100 4000

2500 2700

<

kollégium 2500 3000 3000 3100 3300 3500 3800 4000 4000 4400 5000 3600 2500

<

albérlet 4000 4800 5000 5000 5200

bárhol

4800 1200

3483 3900

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


3.12. feladat megoldása Vizsgáljuk a szóródást! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Xj σ

˝ szülok 1300 1800 2000 2000 2800 3000 3100 4000

2500

B1j -1200 -700 -500 -500 300 500 600 1500

<

kollégium 2500 3000 3000 3100 3300 3500 3800 4000 4000 4400 5000 3600

<

albérlet 4000 4800 5000 5000 5200

bárhol

4800

3483

Alkalm.

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

3.12. feladat megoldása Vizsgáljuk a szóródást! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Xj σ σB2 =

˝ szülok 1300 1800 2000 2000 2800 3000 3100 4000

B1j 2 1440000 490000 250000 250000 90000 250000 360000 2250000

2500

< 5380000

PM PNj j=1

i=1

N

Bij2

kollégium 2500 3000 3000 3100 3300 3500 3800 4000 4000 4400 5000 3600

<

albérlet 4000 4800 5000 5000 5200

bárhol

4800

3483

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.


˝ szülok 1300 1800 2000 2000 2800 3000 3100 4000

B1j 2 1440000 490000 250000 250000 90000 250000 360000 2250000

2500 820

< 5380000

PM PNj j=1

i=1

N

Bij2

kollégium 2500 3000 3000 3100 3300 3500 3800 4000 4000 4400 5000 3600

<

albérlet 4000 4800 5000 5000 5200

bárhol

4800

3483

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.


˝ szülok 1300 1800 2000 2000 2800 3000 3100 4000

B1j 2 1440000 490000 250000 250000 90000 250000 360000 2250000

2500 820

< 5380000

PM PNj j=1

i=1

N

Bij2

=

kollégium 2500 3000 3000 3100 3300 3500 3800 4000 4000 4400 5000 3600 690

<

8202 ×8+6902 ×11+4202 ×5 8+11+5

albérlet 4000 4800 5000 5000 5200

bárhol

4800 420

3483

= 479167

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.12. feladat megoldása Vizsgáljuk a szóródást! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Xj σ σB2 = σ2 =

d1j2 4766944 2833611 2200278 2200278 466944 233611 146944 266944

˝ szülok 1300 1800 2000 2000 2800 3000 3100 4000

2500 820 PM PNj j=1

PM

j=1

i=1

N PNj

< Bij2

d2 i=1 ij

N

=

kollégium 2500 3000 3000 3100 3300 3500 3800 4000 4000 4400 5000 3600 690

d2j2 966944 233611 233611 146944 33611 278 100278 266944 266944 840278 2300278 <

8202 ×8+6902 ×11+4202 ×5 8+11+5

albérlet 4000 4800 5000 5000 5200

4800 420

= 479167 ,

d3j2 266944 1733611 2300278 2300278 2946944

bár

34

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.12. feladat megoldása Vizsgáljuk a szóródást! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Xj σ σB2 = σ2 =

d1j2 4766944 2833611 2200278 2200278 466944 233611 146944 266944

˝ szülok 1300 1800 2000 2000 2800 3000 3100 4000

2500 820 PM PNj j=1

PM

j=1

i=1

N PNj

< Bij2

d2 i=1 ij

N

=

kollégium 2500 3000 3000 3100 3300 3500 3800 4000 4000 4400 5000 3600 690

d2j2 966944 233611 233611 146944 33611 278 100278 266944 266944 840278 2300278 <

8202 ×8+6902 ×11+4202 ×5 8+11+5

= 10812 = 1168889

albérlet 4000 4800 5000 5000 5200

4800 420

= 479167 ,

. . . . . .

bárhol

3483 1081

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.12. feladat megoldása 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Xj σ σB2 =

˝ szülok 1300 1800 2000 2000 2800 3000 3100 4000

2500 820 PM PNj j=1

PM

σ2 = = 59%

j=1

i=1

N PNj

< Bij2

d2 i=1 ij

N

kollégium 2500 3000 3000 3100 3300 3500 3800 4000 4000 4400 5000 3600 690 =

<

albérlet 4000 4800 5000 5000 5200

bárhol

4800 420

3483 1081

8202 ×8+6902 ×11+4202 ×5 8+11+5

= 479167 ,

= 10812 = 1168889 , H 2 = 1 −

σB2 σ2

=1−

479167 1168889

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

3.12. feladat megoldása 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Xj σ σB2 =

˝ szülok 1300 1800 2000 2000 2800 3000 3100 4000

2500 820 PM PNj j=1

i=1

N σ2 − σB2

< Bij2

kollégium 2500 3000 3000 3100 3300 3500 3800 4000 4000 4400 5000 3600 690

<

= 479167 , σ 2 =

albérlet 4000 4800 5000 5000 5200

bárhol

4800 420

3483 1081

PM PNj j=1

i=1

N

dij2

= 10812 = 1168889

, H2 = 1 = 59% √ ˝ H = 0, 59 = 76, 8% Ez meglehetosen szoros kapcsolatra utal.

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Gyakorlófeladat (Feladatgyujtemény ˝ 186. feladat)

„Egy vállalkozásnál 5%-os létszámleépítést és az átlagos bruttó bér 10%-os emelését tervezik. A szellemi foglalkozásúak bruttó átlagbérét 82500 forintról 89100 forintra, a fizikai foglalkozásúak bruttó átlagbérét 48500 forintról 52380 forintra tervezik emelni. Állapítsa meg (számszeruen ˝ bizonyítva), hogy a, a terv teljesítéséhez hány %-kal kell emelni a vállalkozás béralapját! b, hány %-os lesz a létszám-összetétel változásából adódó bruttó átlagbérváltozás? c, melyik foglalkozáscsoport létszámaránya csökken?”

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Gyakorlófeladat I. Összegzés

1. Összefoglalás Létszámleépítés: 5%. Béremelés: 10%. Szellemiek bére 82500-ról, 89100-ra; fizikaiaké 48500-ról 52380-ra változik. a, szükséges béralap-változás? b, összetétel-hatás mértéke %-ban? c, melyik foglalkozáscsoport létszámaránya csökken?

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Gyakorlófeladat II. Modellválasztás

Létszámleépítés: 5%. Béremelés: 10%. Szellemiek bére 82500-ról, 89100-ra; fizikaiaké 48500-ról 52380-ra változik. a, szükséges béralap-változás?

Csoport Fizikai Szellemi Együtt

a,: Vi =

˝ változás elott Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) A01 B01 V01 A02 B02 V02 P P A0j B0j V0 Ai Bi ,

tehát

P

Aij = V i ·

P

Bij .

változás után Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) A11 B11 V11 A12 B12 V12 P P A1j B1j V1

Vált. I1 I2 I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok




a,: Vi =

˝ változás elott Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) A01 B01 V01 A02 B02 82500 P P A0j B0j V0 Ai Bi ,

tehát

P

Aij = V i ·

P

Bij .

változás után Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) A11 B11 V11 A12 B12 V12 P P A1j B1j V1

Vált. I1 I2 I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok




a,: Vi =

˝ változás elott Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) A01 B01 V01 A02 B02 82500 P P A0j B0j V0 Ai Bi ,

tehát

P

Aij = V i ·

P

Bij .

változás után Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) A11 B11 V11 A12 B12 89100 P P A1j B1j V1

Vált. I1 I2 I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok




a,: Vi =

˝ változás elott Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) A01 B01 48500 A B 82500 P 02 P 02 A0j B0j V0 Ai Bi ,

tehát

P

Aij = V i ·

P

Bij .

változás után Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) A11 B11 52380 A B 89100 P 12 P 12 A1j B1j V1

Vált. I1 I2 I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok




a,: Vi =


tehát

P

Aij = V i ·

P

Bij .

Béralap (e Ft) A11 A P 12 A1j

változás után Létsz. Átl. bér ˝ (fo) (Ft) B11 52380 B 89100 P 12 0, 95 B0j 1, 1V 0

Vált. I1 I2 I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok




a,: Vi =


tehát

P

Aij = V i ·

P

Bij .



Vált. I1 I2 I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-



Standardizálás

Alkalm.

Feladatok

Gyakorlófeladat III. a, rész Csoport Fizikai Szellemi Együtt

˝ változás elott Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) A01 B01 48500 A B 82500 P 02 P 02 A0j B0j V0



a, szükséges béralap-változás? Vi =

Ai Bi ,

tehát

P

Aij = V i ·

P

Bij , így

P P P A V · B 1, 1V 0 · 0, 95 B0j P 1j = 1 P 1j = = 1, 1·0, 95 = 1, 045 P A0j V 0 · B0j V 0 · B0j 4.5%-os béralap-növekedésre van szükség.

Vált. I1 I2 I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-



Standardizálás

Alkalm.

Feladatok

Gyakorlófeladat III. a, rész Csoport Fizikai Szellemi Együtt

˝ változás elott Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) A01 B01 48500 A B 82500 P 02 P 02 A0j B0j V0



a, szükséges béralap-változás? Vi =

Ai Bi ,

tehát

P

Aij = V i ·

P

Bij , így

P P P A V · B 1, 1V 0 · 0, 95 B0j P 1j = 1 P 1j = = 1, 1·0, 95 = 1, 045 P A0j V 0 · B0j V 0 · B0j 4.5%-os béralap-növekedésre van szükség.

Vált. I1 I2 I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Gyakorlófeladat IV. b, rész Csoport Fizikai Szellemi Együtt

˝ változás elott Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) A01 B01 48500 A B 82500 P 02 P 02 B0j V0 A0j



b, összetétel-hatás mértéke %-ban?

Tegyük fel, hogy B01 = 100, és B02 = 100! Marad 4 ismeretlen, van hozzá 4 egyenlet: megoldjuk A11 = 52380 · B11 A12 = 89100 · B12

A11 + A12 = 13689500 B11 + B12 = 190

Vált. I1 I2 I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


˝ változás elott Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) A01 B01 48500 A B 82500 P 02 P 02 B0j V0 A0j





A11 + A12 = 13689500 B11 + B12 = 190

Vált. I1 I2 I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


˝ változás elott Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) A01 100 48500 A 100 82500 P P 02 B0j V0 A0j





A11 + A12 = 13689500 B11 + B12 = 190

Vált. I1 I2 I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok


˝ változás elott Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) 4850 100 48500 8250 100 82500 13100 200 V0





A11 + A12 = 13689500 B11 + B12 = 190

Vált. I1 I2 I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok



változás után Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) A11 B11 52380 A12 B12 89100 13689,5 190 1, 1V 0



A11 + A12 = 13689500 B11 + B12 = 190

Vált. I1 I2 I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok



változás után Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) A11 B11 52380 A12 B12 89100 13689,5 190 1, 1V 0



A11 + A12 = 13689500 B11 + B12 = 190

Vált. I1 I2 I

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Zárójelben: Egyenletrendszer megoldása

A11 = 52380 · B11 A12 = 89100 · B12

A11 + A12 = 13689500 B11 + B12 = 190

52380 · B11 + 89100 · B12 = 13689500 52380 · (190 − B12 ) + 89100 · B12 = 13689500 9952200 + 36720 · B12 = 13689500 B12 = 101, 8

˝ B11 = 88, 2; A11 = 4619916; A12 = 9070380 Ebbol:

Feladatok

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Gyakorlófeladat IV. b, rész Csoport


˝ (0) változás elott Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) (A0 ) (B0 ) (V0 ) 4850 100 48500 8250 100 82500 13100 200 V0

PM I

00

= = =


változás után (1) Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) (A1 ) (B1 ) (V1 ) 4619,9 88,2 52380 9070,4 101,8 89100 13689,5 190 1, 1V 0

Vált.

I1 I2 I

PM :

j=1 Bj0 Vj0

PM

j=1 Bj0

88, 2 · 48500 + 101, 8 · 82500 100 · 48500 + 100 · 82500 : 88, 2 + 101, 8 100 + 100 12676200 13100000 66717 : = = 1, 019 190 200 65500

Az összetétel-hatás mértéke 1,9%

Bevezeto˝

Egyszeru˝

Csoportosító-


Standardizálás


Alkalm.

Feladatok

Gyakorlófeladat V. c, rész

Csoport


˝ (0) változás elott Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) (A0 ) (B0 ) (V0 ) 4850 100 48500 8250 100 82500 13100 200 V0

változás után (1) Béralap Létsz. Átl. bér ˝ (e Ft) (fo) (Ft) (A1 ) (B1 ) (V1 ) 4619,9 88,2 52380 9070,4 101,8 89100 13689,5 190 1, 1V 0

c, melyik foglalkozáscsoport létszámaránya csökken?

88, 2 100 < 190 200 ∴ A fizikai dolgozók létszámaránya csökken.

Vált.

I1 I2 I

Statisztika I. 2. előadás: Statisztikai táblák elemzése. Kóczy Á. László. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Óbudai Egyetem

Recommend Documents