Témakörök
Statisztika
Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat)
2010-2011-es tanév II. félév
Oktató: Dr. Csáfor Hajnalka főiskolai docens Vállalkozás-gazdaságtan Tsz. E-mail:
[email protected]
Statisztikai fogalmak Statisztikai elemzések viszonyszámokkal Grafikus ábrázolás Mennyiségi ismérv szerinti elemzés Indexszámítás Idősorok elemzése Példatár: Molnár Máténé dr. - Tóth Mártonné dr.: Általános Statisztika I. Nemzeti Tankönyvkiadó
Statisztikai alapfogalmak
Statisztikai alapfogalmak
Statisztika fogalma Sokaság és ismérv Statisztikai adat és mutatószám Statisztikai sorok Statisztikai táblák Mérési szintek Adatfelvétel, adatszerzési módok Kérdőívszerkesztés Adatok pontossága
Statisztika fogalma
Statisztika fogalma
Tömegesen előforduló jelenségek egyedeire vonatkozó (elméleti és gyakorlati) tevékenység:
adatgyűjtés adatfeldolgozás adatok elemzése
a vizsgált jelenség számszerű, tömör jellemzése. Pl. népszámlálás, földtulajdon-összeírás (gyak.), vizsgálati módszerek kiválasztása (elm.)
Egyidős az állammal… Mo-on a XVIII.sz. az „első összeírás” XIX.sz. a statisztika komoly fejlődésnek indul: kialakul az intézményrendszer intézményrendszer, központi adatszolgáltatás (Fényes Elek, Kőrösi József) Központi Statisztikai Hivatal (KSH, 1867) 1993-as XLVI-os törvény a statisztikáról 223/2009/EK rendelet az európai statisztikáról Regionális adatszolgáltatás prioritása (NUTS-1. ország, NUTS-2: régió, NUTS-3: megye)
1
Statisztikai sokaság és ismérv
Statisztikai sokaság: A megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége. (élőlény, tárgy, intézmény, stb.) Sokaság fajtái: diszkrét – folytonos (elkülönült egységek – önkényes elkülönítés)
álló – mozgó
(időpont – időtartam)
Statisztikai sokaság és ismérv
Ismérvek fajtái: 1) Időbeli ismérvek 2) Területi ismérvek 3) Mennyiségi ismérvek 4) Minőségi ismérvek
Statisztikai ismérvek: Olyan vizsgálati szempontok, amelyek alapján l já a sokaság k á egységei é i jjellemezhetők ll h ők és egymást nem fedő részekre bontható. Egy adott ismérv szerinti lehetséges tulajdonságokat az ismérv változatainak nevezzük.
Feladat/1. Sokaság
Tárgyi ismérvek
- Alternatív ismérvek - Közös ismérvek - Megkülönböztető ismérvek
Feladat/2. Adottak az alábbi sokaságok: Magyarország népessége 2006. jan.1-jén 10 076 581 fő. A budapesti férfiak sörfogyasztása a 2006-os VB idején. BCE oktatói 2006. 2006 szept. szept 4 4-én. én Jótékonysági koncertek 2006-ban a Zeneakadémián. Feladat: Állapítsa meg a sokaságok típusát és egységeit!
Statisztikai sokaság és ismérv
Ismérv
Ismérvváltozat
Ismérvfajta/ Mérési skála
Születési idő
1976
Időbeli/ intervallum
Lakóhely
Budapest
Területi/ nominális
Nem
Nő
Életkor
29
Minőségi/ nominális Mennyiségi/ arány
Egy konkrét egység
A magyar Kiss Réka népesség 2007. január elsején
Feladat/3. Döntse el az alábbi ismérvekről, hogy mennyiségi vagy minőségi ismérvek-e!
Nem (férfi, nő)
Életkor Él k
Magasság
Testsúly
Családi állapot
Iskolai
végzettség
Foglalkozás
Bruttó
havi fizetés
2
Statisztikai adat és mutatószám
Statisztikai adat: Az egyedekről szerezhető információ. fogalmi jegy időbeli azonosító térbeli azonosító számérték mértékegység.
Statisztikai mutatószám: Valamilyen statisztikai módszerrel a rendelkezésre álló adatokból számított származtatott statisztikai mérőszám.
(mérés vagy számlálás)
Például:
(Havi) Átlagbér Magyarországon 2008-ban bruttó 194.000
Ft/fő/hó
Statisztikai sorok
Csoportosító statisztikai sor: A sokaság belső összefüggéseit fejezi ki, csoportosítás céljából készül, adatai összegezhetők. (időbeli, területi, minőségi, mennyiségi)
A sokaság egy ismérv szerinti tömör jellemzése. Sorkészítés célja szerint: Csoportosító sor Összehasonlító sor Leíró sor
Valódi statisztikai sorok Nem valódi statisztikai sor
Ismérvfajtáknak megfelelően: Időbeli (tartam-állapot), területi, minőségi, mennyiségi + leíró sorok Sorok készítése:
ismérvváltozatok
számszerű értékek
Statisztikai sorok Ismérvváltozatok
Egységek száma
C1 C2 . . Ci . Ck
f1 f2 . . fi . fk
Összesen:
Statisztikai sorok összefüggő rendszere.
Egyszerű tábla (összehasonlító és/vagy leíró sorok) Nincs csoportosító sora, egy adata, egy statisztikai sor tagja.
Csoportosító tábla (csoportosító és/vagy összehasonlító vagy leíró sorok) Egyirányú csoportosítást tartalmaz, egy adata egy statisztikai sor tagja. Kombinációs tábla (csoportosító sorok) Csak csoportosító sorokat tartalmaz, egy adata egyidejűleg több statisztikai sor tagja.
N
Statisztikai táblák
Statisztikai sorok
Összehasonlító statisztikai sor: Összehasonlító adatok d t k statisztikai t ti tik i sorba rendezve, összehasonlítási céllal, adataik nem összegezhetők. (idősor, területi)
Ismérvváltozat C1 C2 . . Ci . Ck
Számérték/ mértékegység adat adat . . adat . adat
Statisztikai táblák
Egyszerű statisztikai tábla Egy gy városban az orvosellátottság g alakulása: Év
Orvosok száma (fő)
Lakosok száma (fő)
Egy orvosra jutó lakosok száma
1990 1999
240
80 000
333,3
360
100 000
277,8
3
Statisztikai táblák
Statisztikai táblák
Csoportosító statisztikai tábla
Kombinációs statisztikai tábla Egy felsőfokú intézmény nappali tagozatos hallgatónak jegyei statisztikából 1991/1992 II. félév:
Búzatermelés adatai 1991-ben:
Osztályzat
Körzet
Termés (ezer tonna)
Termésátlag (t/ha)
Dunántúl
2000
5,2
Alföld
3000
5,31
Észak
705
4,71
Összesen
5705
…
A
B
C
Összesen
kar hallgatóinak megoszlása 5
19
23
19
61
4
32
49
40
121
3
24
36
56
116
2
20
36
82
138
1
1
2
18
21
Összesen
96
146
215
457
Statisztikai táblák
Mérési szintek
Dimenziószám: Azt mutatja, hogy a tábla egy statisztika adata egyidejűleg hány statisztikai sor tagja.
Csak a mennyiségi ismérvek adatai számadatok, de bizonyos szabályok mellett minden ismérv lehetséges változatai számértékké alakíthatók alakíthatók.
Táblakészítés szabályai: Cím (azonosítókkal!, idő, hely, stb) Oldalrovatok, fejrovat Egy rovat sem üres (--, ●(●). 0,0) Forrásmegjelölés
Mérés: számok meghatározott szabályok szerinti hozzárendelése jelenségekhez (dolgok, tárgyak, események), illetve azok bizonyos tulajdonságaihoz.
Mérési szintek
Mérési szintek
4 féle mérési szintet (skálát) különböztetünk meg:
Névleges/nominális Né l / i áli mérési é é i szint i Sorrendi/ordinális mérési szint Különbségi/intervallum mérési szint Arányskálán történő mérés
Névleges/nominális mérési szint: Számok közvetlen hozzárendelését jelenti az egységekhez. Ezek ún. kódszámok, amelyek csak a sokaság egyedeinek azonosítását szolgálják. Közük semmilyen reláció nem áll fenn, és velük számtani művelet nem végezhető. Pl: rendszám, irányítószám, megyék száma
4
Mérési szintek
Sorrendi/ordinális mérési szint: A sokaság egyedeihez – bizonyos közös tulajdonság alapján – rendelt skálaérték sorrendisége írja le azok viszonyát. Az egységhez rendelt számérték sorrendje pontosan tükrözi az adott egység valamilyen szempontból vett sorrendjét. A számértékek magukban nem hordoznak információt (különbségeik nem értelmezhetők), csak azoknak a rendje. Pl: hallgatók osztályzatai, áruk minőség szerinti osztályozása
Mérési szintek
Arányskálán történő mérés: A legtöbb információt nyújtó mérés. A kezdőpont egyértelműen rögzített, ennek köszönhetően két skálaérték egymáshoz viszonyított aránya is meghatározhatóvá válik. Az értékek különbsége önmagában semmit sem mond, csak arányskálán értelmezhetők.
Mérési szintek
Különbségi/intervallum mérési szint: A skálaértékek különbségei is információt g egyes gy egyedeiről. gy hordoznak a sokaság A skálán az értékek aránya és összege nem értelmezhető. Pl: a +10 és a +20 C fokok közötti különbség ugyanannyi, mint a -5 és a +5 C fokok közötti különbség.
Adatszerzési módok Teljeskörű felvétel
Monográfia
Pl: életkor, termelési érték, jövedelem nagysága (amelyeket mind 0 értékről kiindulva mérik)
Kérdőívszerkesztés
Alapos szakmai hozzáértés Tömör, egyértelmű, könnyen megválaszolható kérdések Főleg feleletválasztós (karikázós, x-elős és kevés kifejtendő j választ igénylő) g y ) Ne legyen túl hosszú Ajánlott az anonim adatfelvétel Kompromisszum: csak a legfontosabb dolgokat kérdezzük Véglegesítés előtt: próbalekérdezés Ha nyereményhez kötjük, növelhető a válaszadási arány
Részleges felvétel
Egyéb részleges adatfelvétel
Reprezentatív megfigyelések
Véletlenen alapuló
Nem véletlen (kontrolált)
Adatok pontossága
ˆ A Mért adat d
± aˆ
αˆ
=
aˆ ˆ A
Abszolút b l hibakorlát hib k l Relatív l hibakorlát hib k l
Szignifikáns számjegyek: a pontosnak tekinthető számjegyek aˆ ≤
10 k , ahol 2
Például Mo. népessége (90-ben): 10.277 ezer ± 500 fő
10 k : a legutolsó kiírt szignifikáns számjegy helyértéke
5
Feladatok a példatárból
Statisztikai elemzések viszonyszámokkal á
11/2, 12/3 (sokaság fajtája) 12/4, 13/5, 13/6,13/7, 14/8, 14/9, 14/10, 15/11 (sokaság és ismérvfajták) 15/13 (százalék és százalékpont)
Viszonyszámok
Viszonyszám fogalma Viszonyszámok fajtái Megoszlási és koordinációs viszonyszámok Dinamikus viszonyszámok Viszonyszámok közötti összefüggések Intenzitási viszonyszámok Viszonyszámok grafikus ábrázolása
Viszonyszámok Viszonyszám: két, egymással kapcsolatban álló statisztikai adat hányadosa
V=
A , ahol A: a viszonyítás tárgya (viszonyítandó adat) B B: a viszonyítás alapja
Azonos adatokból (%) – Különböző fajta adatokból (int.)
Viszonyszámok fajtái
Csoportosító sorokból:
Összehasonlító sorokból:
Megoszlási viszonyszámok (Vm) Koordinációs viszonyszámok (Vk)
Dinamikus viszonyszámok (Vd: Vdl és Vdb) Feladat- és teljesítménymutató (Vf és Vt) Területi összehasonlító (Vö)
Leíró sorokból:
Viszonyszámok fajtái
Intenzitási viszonyszámok (Vi)
Megoszlási viszonyszám: rész és egész egymáshoz viszonyított arányát fejezi ki Koordinációs viszonyszám: a sokaság két részadatát viszonyítja Dinamikus viszonyszám: idősor adataiból számított hányados A (a tárgyidőszak adata) V= B (a bázis időszak adata) Intenzitási viszonyszám: különböző fajta, különböző mértékegységű- de egymással kapcsolatban lévősokaság adataiból számított viszonyszám
6
Viszonyszámok fajtái
yt yb yi
Láncviszonyszám: Vdl / l = y i −1
Megoszlási viszonyszám: Vm =
Dinamikus viszonyszámok
A (a sokaság egy részadata) B (a sokaság egészére vonatkozó adat)
Koordinációs viszonyszám:
Bázisviszonyszám: Vdb / b =
Összefüggések:
A (viszonyított részadat) Vk = B (a viszonyítás alapjául szolg. részadat)
bi = li bi −1
k
l 2 ⋅ l3 ... ⋅ l k = bk → ∏ li = bi i =2
Megoldás
Feladat/1. Az alábbi táblázatban 2000-2005 közötti idegenforgalommal kapcsolatos adatok láthatók: Magyarországra érkező külföldiek
Külföldre utazó magyarok
ezer fő
ezer fő
2000
31 141
11 065
2001
30 679
11 167
2002
31 739
12 966
2003
31 412
14 283
2004
36 635
17 558
2005
38 555
18 622
Év
Megoldás
Elemezze bázis- és lá láncviszonyszámokkal i á kk l a Magyarországra érkező külföldiek és a külföldre utazó magyarok számának alakulását!
Viszonyszámok fajtái
Feladatmutató viszonyszám:
Vf =
Tárgyid. tervezett adata Bá i id adata Bázisid. d
Teljesítménymutató viszonyszám:
Vt =
Tárgyid. tényleges adata Tárgyid. tervezett teljesítménye
7
Viszonyszámok fajtái
Területi összehasonlító viszonyszám: Vö =
Viszonyítandó terület adata Viszonyítás alapjául szolg. terület adata
Intenzitási viszonyszám Vi = A/B
Fajlagos mérőszámok
Sűrűséget ellátottságot kifejező Sűrűséget,
Átlagos értéket kifejező
Arányszámok
Gazdálkodás hatékonyságát jelző mutatók
Pl: 100 km-re jutó üzemanyag Pl: orvossal való ellátottság, népsűrűség Pl: 1 főre jutó átlagkereset Pl: 100 főre jutó születések száma Pl: 1 dolgozóra jutó termelési érték, 1 főre jutó GDP
Intenzitási viszonyszám
Egyenes intenzitási viszonyszám:
Intenzitási viszonyszám
A mutató színvonalának alakulása egybeesik az int. y növekedésével. viszonyszám Pl: orvosok száma / lakosok száma (ezer fő)
Fordított intenzitási viszonyszám:
Pl: tejhozam / tehenek száma dolgozók / hallgatók
Amikor a jelenség színvonala javul, akkor a fordított int. viszonyszám értéke csökken. Pl: lakosok száma (e fő) / orvosok száma
Definíciók
Lakónépesség: az adott területen lakóhellyel rendelkező, és másutt tartózkodási hellyel nem rendelkező személyek valamint az ugyanezen személyek, területen tartózkodási hellyel rendelkező személyek együttes száma. Természetes szaporodás (fogyás): az élveszületések és a halálozások különbözete.
Tisztított intenzitási viszonyszám: Pl: tejhozam / tejelő tehenek száma oktatók / hallgatók
Definíciók
Nyers intenzitási viszonyszám:
Tényleges szaporodás (fogyás): a természetes szaporodás (fogyás) és a vándorlási (belföldi és nemzetközi) különbözet (+,–) összege. Gyermeknépesség eltartottsági rátája: a gyermeknépesség (0–14 éves) a 15–64 éves népesség százalékában. Idős népesség eltartottsági rátája: az idős népesség (65–X éves) a 15–64 éves népesség százalékában. Eltartott népesség rátája: a gyermeknépesség (0–14 éves) és az idős népesség (65–X éves) a 15–64 éves népesség százalékában.
8
Definíciók
Definíciók
Öregedési index: az idős népesség (65– X éves) a gyermeknépesség (0–14 éves) százalékában. Házasságkötés: a hivatalosan eljáró anyakönyvvezető előtt – két tanú jelenlétében – kötött házasság. Válás: a jogerőre emelkedett bírói ítélettel felbontott vagy érvénytelenített házasság. Jogerőre az a házasságot felbontó vagy érvénytelenítő ítélet emelkedett, amely ellen további jogorvoslatnak helye nincs.
Definíciók
Definíciók
Halálozás: az élet minden jelének végleges elmúlása az élveszületés megtörténte után bármikor, azaz az életműködésnek a születés utáni megszűnése, ű é a ffeléledés lél dé ké képessége é nélkül. Csecsemőhalálozás: az élveszületést követően az egyéves kor betöltése előtt bekövetkezett halálozás. A halvaszülött és a születésének évfordulóján meghalt gyermek nem csecsemőhalott.
Várható átlagos élettartam: azt fejezi ki, hogy a különböző életkorúak az adott év halandósági viszonyai mellett még hány évi élettartamra számíthatnak.
Csecsemőhalálozási arányszám: ezer élveszülöttre jutó egy éven aluli meghalt.
Halálok: mindazon betegség, kóros állapot vagy sérülés, amely vagy eredményezte, vagy hozzájárult a halálhoz (halálozáshoz), valamint olyan baleset vagy erőszak körülménye, amely halálos sérülést okozott.
Élveszületés: (az ENSZ ajánlása szerint) olyan magzat világrajövetele, aki az életnek valamilyen jelét (mint légzés vagy szívműködés, illetőleg köldökzsinórpulzáció) adja, adja tekintet nélkül arra, arra hogy mennyi ideig volt az anya méhében és mennyi ideig élt. Teljes termékenységi arányszám: azt fejezi ki, hogy az adott év kor szerinti születési gyakorisága mellett egy nő élete folyamán hány gyermeknek adna életet.
Feladatok a példatárból 16/14 (viszonyszánok, illetve a definíciók szükségesek a megoldáshoz) 17/17, 17/18, 18/19, 18/20, 19/21, 19/22, 19/23 (statisztikai sorok és viszonyszámok) Egyszerű példák (nincsenek a példatárban, lÆb, bÆl, áttérés új bázisra) 43/81, 43/82, 41/77, 41/78, 42/79, 42/80 (viszonyszámok és összefüggéseik)
Grafikus ábrázolás
9
Grafikus ábrázolás
Az adatok megjelenítésének, szemléltetésének fontos eszköze. Információ megjelenítése képi formában. ((megérteni g és készíteni is fontos)) Alapvetően arányokat érzékeltet. Cím, egyértelmű jelmagyarázatok, mértékegységek, forrásra való hivatkozás szüks. Bizonyos elemzési eszközökhöz bizonyos ábrázolási módok tartoznak. Általában szoftverekkel (speciális rajzoló szoftverekkel) készülnek.
Grafikus ábrázolás
Grafikus ábrázolás
Grafikus ábrázolás
Oszlopdiagram: összehasonlítás az oszlopok magasságával. (összehasonlítás)
Grafikus ábrázolás
Vonaldiagram: idősorok adatainak koordinátarendszerben való ábrázolása.
Kördiagram: megoszlás ábrázolása körcikkek segítségével. (megoszlások, összehasonlítás)
Osztott oszlopdiagram: a csoportosító sorok ábrázolásának eszköze, az összehasonlítandó oszlopon belül a megoszlás területarányos ábrázolása.
Grafikus ábrázolás
Pontdiagram: két egymással összefüggésben lévő mennyiségi ismérv értékeinek ábrázolása koordinátarendszerben.
10
Grafikus ábrázolás
Kartogram: területi sorok ábrázolása térképen, az egyes régiók eltérő színeivel érzékelteti a köztük lévő különbséget.
Grafikus ábrázolás
Ponttérkép: a területi sorok szemléltetésére h használható, álh tó a pontok sűrűsége az adott területhez tartozó adat nagyságára utal.
Mennyiségi ismérv szerinti elemzés
Grafikus ábrázolás
Kartodiagram: területi sorok esetén alkalmazható, lk l h tó az egyes földrajzi egységek adatait a térképen elhelyezett diagrammal ábrázolja.
Grafikus ábrázolás
Piktogram: figurális ábrázolás, mely a jelenséget megtestesítő különböző nagyságú figurák alapján fejezi ki a nagyságrendi relációt.
Mennyiségi ismérv szerinti elemzés (mennyiségi statisztikai sorok vizsgálata) Számított
és helyzeti középértékek Szóródás, szóródási mérőszámok
11
Középértékek
Középértékekkel szembeni követelmények x min < K < x max 1. közepes helyet foglaljon el az értékek között 2.
tipikus érték értékek zöméhez
legyen:
álljon
közel
az
előforduló
3. legyen pontosan definiálva 4. könnyen értelmezhető legyen 5. számítása egyszerűen elvégezhető legyen
csak egyszer fordulnak elő, vagy ugyanannyiszor)
Súlyozatlan Súlyozott
∑x x=
∑fx x=
i
i
n
Harmonikus Mértani Négyzetes
x=
x =
1
∑x
i
x = n ∏ xi x=
∑x
Az átlagolandó értékek: 3, 4, 5, 8. i
Feladat a)) Számítsa S á í ki a számtani, á i ah harmonikus, ik a mértani é ié és a négyzetes átlagot!
n
n
∑ ∑
fi fi xi
x = n ∏ xi
2
x=
i
n
∑fx ∑f i
fi 2
i
i
2. Feladat (súlyozott átlagok – az értékek többször
Megoldás
fordulnak elő és nem ugyanannyiszor) Mértani átlag:
Számtani átlag:
3+ 4+5+8 x= =5 4 Harmonikus átlag:
xh =
4 1 1 1 1 + + + 3 4 5 8
Helyzeti középértékek: módusz medián
1. Feladat (egyszerű/súlyozatlan átlagok – az értékek
Átlagok
Számtani
Számított középértékek (átlagok) számtani átlag harmonikus átlag mértani átlag négyzetes átlag
x g = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 8 = 4.681 4
Négyzetes átlag:
= 4.404
xq =
32 + 42 + 52 + 82 114 = = 28,5 = 5.339 4 4
Az átlagolandó értékek és a hozzájuk tartozó súlyok: ( xi ) adatok: 3, 4, 5, 8 ( f i ) gyakoriság: 4, 4, 1, 1 Feladat: a) Számítsa ki a számtani, a harmonikus, a mértani és a négyzetes átlagot!
12
Megoldás
4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 4 + 1⋅ 5 + 1⋅ 8 = 4.1 10
Harmonikus átlag:
xh =
az az ismérvérték, amelyiknél az összes előforduló ismérvérték fele kisebb, fele nagyobb.
Mértani átlag:
Számtani átlag
x=
Medián
x g = 10 34 ⋅ 4 4 ⋅ 51 ⋅ 81 = 3.907
a) egyedi adatokból n + 1 a rangsorból g az -edik érték (p (páros tagszám g esetén,, amikor a 2 sorszám két érték közé esik, akkor az érintett 2 érték számtani átlaga)
Négyzetes átlag:
b) osztályközös gyakorisági sorból:
10 10 = = 3.762 x = 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 4 + 1⋅ 5 + 1⋅ 8 = 4.347 4 4 1 1 2.658 q 10 + + + 3 4 5 8 2
2
2
2
osztópont:
Me = x me 0
f me
Módusz
diszkrét ismérv esetén: a leggyakrabban előforduló érték
folytonos ismérv esetén: a gyakorisági görbe maximumához tartozó érték
n 2
n − f me' −1 2 + ⋅ hme , ahol f me
: a medián osztályköznek a gyakorisága,
Módusz becslése osztályközös gyakorisági sorból Mo = xmo0 +
k1 ⋅ hmo k1 + k 2
, ahol
x mo 0: a móduszt tartalmazó osztályköz alsó határa k1 = f mo − f mo −1
k 2 = f mo − f mo +1 hmo : a móduszt tartalmazó osztályköz hossza Nem egyenlő osztályközök esetén a módusz becslése f* átszámított gyakoriságok alapján történik.
Megjegyzések A módusz a kiugró, extrém értékekre érzéketlen nem mindig létezik (például, ha minden érték egyforma valószínűséggel fordul elő)
3. feladat
Egy bp.-i lakóparkban télen megkérdezték a 3 szobás lakások tulajdonosait, hogy mennyi volt az előző havi rezsiköltségük. Az alábbi adatokat kapták ezer Ft.-ban: 75, 64, 69, 80, 76, 77, 86, 79, 65, 72, 73, 75, 75, 70
Feladat: Jellemezzük a 3 szobás lakástulajdonosok előző havi rezsiköltségét az adott esetben felhasználható középértékekkel!
13
Megoldás
4. feladat Egy benzinkútnál a napi eladott mennyiség szerint a személygépkocsik megoszlása a következő volt:
Számtani átlag: 75 + ... + 70 X= = 74 14
Értékesített benzin mennyisége (liter)
A lakástulajdonosok előző havi átlagos rezsiköltsége 74 ezer Ft. n + 1 15 = = 7,5 Medián: 2
2
Rangsor készítése: Mo=75 ezer Ft 64, 65, 69, 70, 72, 73, 75, 75, 75, 76, 77, 79, 80, 86 Me=75 ezer Ft ÆA lakástulajdonosok felének 75 ezer Ft-nál kevesebb, a lakástulajdonosok másik felének pedig 75 ezer Ft-nál nagyobb volt az előző havi rezsiköltsége.
Megoldás
x=
Gépkocsik száma
Osztályközép
Kumulált gyakoriság
10 – 19
10
15
10
20 – 29
28
25
38
30 – 39
42
35
80
40 – 49
15
45
95
50 –59
5
55
100
Összesen
100
---
---
i i i
10
20 – 29
28
30 – 39
42
40 – 49
15
50 – 59
5
Összesen
100
Feladat: Számítsa ki és értelmezze az átlagot! Becsülje meg a mediánt és a móduszt, és írja le jelentésüket!
Megoldás
Értékesített benzin mennyisége (liter)
∑f x ∑f
Gépkocsik száma
10 – 19
=
10 ⋅ 15 + 28 ⋅ 25 + ... + 5 ⋅ 55 = 100
32,7 liter
A gépkocsik átlagosan 32,7 litert tankoltak a benzinkútnál az adott napon.
Szóródás Az értékek különbözőségét, változékonyságát nevezzük szóródásnak.
Medián: sme= n = 100 = 50 2
2
' és f ≥ 50 → Me a 3. osztályközben van
n − f ' me−1 50 − 38 ⋅ 10 = 32,86 , liter Me = xme,0 + 2 hme = 30 + 42 f me
A gépkocsik fele 32,86 liter benzinnél kevesebbet tankolt, a gépkocsik másik fele pedig ennél többet az adott napon. Módusz: 3. osztályközben van k (42− 28) Mo= xmo,0 + 1 ⋅ hmo = 30+ ⋅10= 33,41 liter k1 + k2 (42− 28) + (42−15) A legtöbb kocsi 33,41 liter benzin körüli mennyiséget tankolt az adott napon.
Szóródási mérőszámok 1) Terjedelem: annak az intervallumnak a hossza, amelyen belül az ismérvértékek elhelyezkednek. y
T = x max − x min
14
Szóródási mérőszámok
Szóródási mérőszámok
2) Szórás: az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga Azt mutatja, hogy az ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól. Mértékegysége megegyezik az alapadatok mértékegységével.
σ=
∑ ( x − x) i
2
σ=
n
∑ f ( x − x) ∑f i
3) Relatív szórás különböző alapadatok vagy ismérvértékek szóródásának összehasonlítására szolgál. g Mértékegység nélküli szám, általában százalékos formában adják meg.
2
i
i
V =
σ
0 ≤ V ≤ n −1
x
di = xi − x
Feladatok a példatárból 24/38, 24/39 (középértékek rangsorból – súlyozatlan) 25/42 (középértékek rangsorból – súlyozott) 26/45, 27/46, 29/51 (középértékek osztályközös gyakorisági sorokból – egyenlő osztályköz esetén) 26/44, 27/47, 28/48, 28/49 (nem egyenlő osztályközök) – NEM KÖTELEZŐ!
Indexszámítás
Indexszámítás
Egyedi indexek Egyedi árindex
Az indexszámok valamilyen szempontból összetartozó, de különnemű, közvetlenül nem összesíthető javak összességére vonatkozóan a mennyiségek, i é k az árak á k időbeli időb li vagy térbeli é b li összehasonlítására szolgálnak.
ip =
p1 p0
Egyedi volumenindex
q iq = 1 q0 Egyedi értékindex
iv =
v1 q1 p1 = v0 q 0 p0
ahol: p1: tárgyidőszak egységára p0: bázisidőszak egységára
ahol: q1: tárgyidőszaki mennyiség q0: bázisidőszak mennyiség ahol: v1: tárgyidőszaki termékérték v0: bázisidőszaki termékérték
15
Az érték változásának additív felbontása
Értékindex-számítás Az értékindex a termékek bizonyos körére nézve az érték változását mutatja meg. (pl. árbevétel változás)
Az indexszámításban négyféle aggregátumot használunk fel: 1.
∑q0 p0
2.
∑q1 p0
3.
Iv =
∑ q 0 p1
∑ q1 p1
Iv =
Árindex-számítás
∑q p ∑q p
Laspeyres árindex (bázisidőszaki súlyozású) :
I p0 =
Paashe árindex (tárgyidőszaki súlyozású) :
∑q p I = 1 1 ∑q1 p0
Fisher árindex:
I = I ⋅I
0
1
0
0
F p
0 p
∑ v1 ∑ q1 p1 = q1 p1 v ∑ 1 ∑ iv iv
p1 p0 ∑v0 ⋅ip I = = ∑v0 ∑q0 p0 ∑q0 p0 ⋅
I 0p =
0 p
∑ q1 p1 ∑ q1 p1 :
1 p
p1 p0
=
∑q0 p1 p ∑q0 p1 : 1 p0 ∑ q1 p0 .
∑ v1 v ∑ 1 ip
I 1p =
p1 p0
∑ q1 p0
Volumenindex-számítás egyedi volumenindexekből
A volumenindex a termékek bizonyos körére vonatkozóan a mennyiségek változását méri. ∑ q1 ps Súlyozott alapformájú Iq = ∑ q0 p s volumenindex:
Fisher volumenindex:
Iv =
ahol a súlyok az értékadatok, az átlagolandó értékek az egyedi árindexek
I 1p =
1 p
Volumenindex-számítás
Paashe volumenindex (tárgyidőszaki súlyozású) :
∑ q 0 p 0 ⋅ iv ∑ v 0 ⋅ i v = ∑ v0 ∑ q0 p0
Árindex-számítás egyedi árindexekből (átlagforma)
Az árindex az árszínvonal változásának mértékét mutatja a vizsgált termékek összességére vonatkozóan. ∑ q s p1 Súlyozott, alapformulájú Ip = ∑ q s p0 árindexek:
Laspeyres volumenindex (bázisidőszaki súlyozású) :
∑ v1 ∑ q1 p1 = ∑ v0 ∑ q0 p 0
I q0 =
∑q0 p0 ⋅ I = 0 q
∑ q1 p 0 ∑ q0 p0
∑ q1 p1 I = ∑ q0 p1
I q1 =
1 q
I = I ⋅I F q
ahol a súlyok az értékadatok, az átlagolandó értékek az egyedi volumenindexek
0 q
q1 q0
∑ q0 p0
=
∑v0 ⋅ iq
Iq0 =
∑v0
∑ q1 p1 ∑ v1 = q1 v ∑ 1 ∑ q1 p1 : q0 iq
∑ q1 p0 q ∑q1 p0 : 1 q0
∑ q0 p1 ⋅ I = 1 q
q1 q0
∑ q0 p1
1 q
16
1. Feladat
Feladat:
Egy bolt három termékének forgalmára vonatkozó adatok láthatók az alábbi táblázatban:
Termék
Értékesítés mennyisége
Mértékegység
Egységár (Ft)
2004
2005
2004
2005
I. vaj
db
4500
5400
220
235
II. kenyér
kg
2875
3335
90
90
l
2125
1870
140
175
III. tej
Számítsa ki az egyedi volumen-, ár-, és értékindexeket! Hogyan változott a bolt összbevétele? Hogyan változott az értékesített termékek árszínvonala? Számítsa ki az együttes volumenváltozást!
Egyedi indexek
Értékindex
Aggregátumok
Laspeyres-féle árindex
a megfelelő aggregátumok hányadosaként Iv =
∑ q1 p1 1896400 = ∑ q0 p0 1546250
az egyedi értékindexek súlyozott számtani átlagaként
Iv =
I p0 =
= 1, 226 → 122 , 6 %
∑ v0 ⋅ iv 990000⋅1,282+ 258750⋅1,16 + 297500⋅1,1 = = 1,226→122,6% ∑ v0 1546250
I p0 =
∑ v0 ⋅ i p ∑ v0
∑ q0 p1 1688125 = = 1,097 → 109,7% ∑ q0 p0 1546250
=
990000⋅1,0682+ 258750⋅1 + 297500⋅1,25 = 1,097 → 109,7% 1546250
az egyedi értékindexek súlyozott harmonikus átlagaként Iv =
∑ v1 1896400 = = 1,226 → 122,6% v1 1269000 300150 327250 + + ∑i 1,282 1,16 1,1 v
17
Paashe-féle árindex I 1p = I 1p =
Fisher-féle árindex
∑ q1 p1 1896400 = = 1,083→108,3% ∑ q1 p0 1749950
I q1 =
I pF = I p0 ⋅ I 1p = 1,09715 ⋅1,0837 = 1,0904 → 109,04%
∑ q1 p1 1896400 = = 1,083 → 108,3% q1 p1 1269000 300150 327250 + + ∑ i 1,0682 1 1,25 p
Az érték-, volumen- és árindex közötti összefüggés
Volumenindexek I q0 =
A Laspeyres-és a Paashe index súlyozatlan mértani átlaga
iv = i q ⋅ i p
∑ q1 p0 1749950 = = 1,132 → 113,2% ∑ q0 p0 1546250
I v = I q0 ⋅ I 1p
∑ q1 p1 1896400 = = 1,123 → 112 ,3 % ∑ q 0 p1 1688125
I v = I q1 ⋅ I p0
I = I ⋅ I = 1,1317 ⋅1,1234 = 1,1274 → 112,74% F q
0 q
1 q
I v = I qF ⋅ I pF
Indexek és aggregátumok összefüggése
Feladatok a példatárból
K v = ∑ q1 p1 − ∑ q 0 p 0
K v = ∑ q1 p1 − ∑ q 0 p 0
K q0 = ∑ q1 p 0 − ∑ q 0 p 0
K q1 = ∑ q 1 p 1 − ∑ q 0 p 1
K1p = ∑ q1 p1 − ∑ q1 p0
K p0 =
88/201, 88/202, 89/203, 89/204 (egyedi és több termékre vonatkozó indexek)
∑ q0 p1 − ∑ q0 p0
Kv = Kq0 + K1p = Kq1 + K p0
18
Példa idősorra (1)
Idősorok elemzése l é
Példa idősorra (2)
Tapasztalati idősor
időtényező:
t1 , t 2 , ..., t i , ..., t n
megfigyelt érték:
y1, y2 , ..., yi , ..., yn
Idősorelemzés egyszerű eszközei
Átlagok
dinamikus viszonyszámok (bázis-, és láncviszonyszámok): idősor adataiból számított hányadosok
Időegységre számított átlagok
grafikus ábrázolás átlagok
Stock típusú idősor esetén: (számtani átlag)
y=
∑y n
i
Flow típusú idősor esetén: (kronologikus átlag) y y1 + y 2 + ... + y n −1 + n 2 y= 2 n −1
19
1. Egyszerű elemzési módszerek: átlagok
Idősor komponensei
Változások átlaga
Átlagos relatív változás
Átlagos abszolút változás
d =
y n − y1 n −1
(Növekedés/változás átlagos mértéke)
l = n−1
yn y1
(Növekedés/változás átlagos üteme)
Az egyes komponensek közötti kapcsolat Additív kapcsolat
Multiplikatív kapcsolat: ) ) Yij = Yij + Cij + S j + Vij Y ij = Y ij ⋅ C ij ⋅ S j ⋅ V ij i = 1,2,...,n 1 2 n periódusok (pl. évek)
j =1,2,....,m 12 m
Trend vagy alapirányzat: az idősor alakulásának fő irányát mutatja meg. Szezonális vagy idényszerű ingadozás: szabályos időszakonként visszatérő, állandó periódushosszúságú hullámzás, amely mindig azonos irányban téríti el az idősor értékét az alapirányzattól. (pl. fagyifogyasztás) Ciklus: trend alatti vagy feletti tartósabb mozgás. Szabálytalan periodikus ingadozás, általában hosszabb idősoroknál figyelhető meg. (pl. gazdasági ciklusok) Véletlen ingadozás
2. Trendszámítás Trendszámítás
perióduson belüli rövidebb időszakok(pl. negyedévek)
Analitikus trendszámítás: az idősor alapirányzatát valamilyen matematikai függvénnyel írjuk le
Mozgóátlagolás módszere a t. időszakhoz tartozó trendértéket a környező időszakok adatainak dinamikus átlagaként határozzuk meg Mozgóátlag tagszámának meghatározásához néhány szempont: a tagszám (k - éven belüli időszakok száma) megválasztásánál vegyük figyelembe az idősor hosszát ha van szezonalitás az idősorban, akkor a perióduson belüli időszakok számát vagy annak többszörösét kell választani tagszámnak, hogy kisimítsa az idősort.
Mozgóátlagolás módszere: a t. időszakhoz tartozó trendértéket a környező időszakok adatainak dinamikus átlagaként határozzuk meg.
Mozgóátlagok kiszámítása Páratlan tagszámú mozgóátlag (k páratlan, pl. elő-, fő- és utószezon): - n=k (ahol n az átlagolandó értékek száma) - egyszerű számtani átlagot számolunk - az idősorból idő ból kk-1 1 ttagott veszítünk ítü k ell Páros tagszámú mozgóátlag (k páros, pl. negyedévek): - n=k+1 (ahol n az átlagolandó értékek száma) - kronologikus átlagot számolunk - az idősorból k tagot veszítünk el
20
Feladatok
Mozgóátlagolású trendszámítás (páros és páratlan tagszám esetén) az órán bemutatásra került példák alapján.
21
