Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma

Statisztika

Statisztikai alapfogalmak

Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4 2010-2011-es tanév II. félév

Oktató: Dr. Csáfor Hajnalka főiskolai docens Vállalkozás-gazdaságtan Tsz. E-mail: [email protected]

Statisztikai alapfogalmak

Statisztika fogalma Sokaság és ismérv Statisztikai adat és mutatószám Statisztikai sorok Statisztikai táblák Mérési szintek Adatfelvétel, adatszerzési módok Kérdőívszerkesztés Adatok pontossága

Statisztika fogalma

Egyidős az állammal… Mo-on a XVIII.sz. az „első összeírás” XIX.sz. a statisztika komoly fejlődésnek indul: kialakul az intézményrendszer intézményrendszer, központi adatszolgáltatás (Fényes Elek, Kőrösi József) Központi Statisztikai Hivatal (KSH, 1867) 1993-as XLVI-os törvény a statisztikáról 223/2009/EK rendelet az európai statisztikáról Regionális adatszolgáltatás prioritása (NUTS-1. ország, NUTS-2: régió, NUTS-3: megye)

Statisztika fogalma Tömegesen előforduló jelenségek egyedeire vonatkozó (elméleti és gyakorlati) tevékenység:

adatgyűjtés adatfeldolgozás adatok elemzése

a vizsgált jelenség számszerű, tömör jellemzése. Pl. népszámlálás, földtulajdon-összeírás (gyak.), vizsgálati módszerek kiválasztása (elm.)

Statisztikai sokaság és ismérv

Statisztikai sokaság: A megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége. (élőlény, tárgy, intézmény, stb.)

Sokaság fajtái: diszkrét – folytonos (elkülönült egységek – önkényes elkülönítés)

álló – mozgó

(időpont – időtartam)

1


Statisztikai ismérvek: Olyan vizsgálati szempontok, amelyek alapján l já a sokaság k á egységei é i jjellemezhetők ll h ők és egymást nem fedő részekre bontható. Egy adott ismérv szerinti lehetséges tulajdonságokat az ismérv változatainak nevezzük.

Feladat/1. Sokaság

Ismérvek fajtái: 1) Időbeli ismérvek 2) Területi ismérvek 3) Mennyiségi ismérvek 4) Minőségi ismérvek

Tárgyi ismérvek

- Alternatív ismérvek - Közös ismérvek - Megkülönböztető ismérvek

Feladat/2. Ismérv

Ismérvváltozat

Ismérvfajta/ Mérési skála

Születési idő

1976

Időbeli/ intervallum

Lakóhely

Budapest

Területi/ nominális

Nem

Nő

Életkor

29

Minőségi/ nominális Mennyiségi/ arány

Egy konkrét egység

A magyar Kiss Réka népesség 2007. január elsején


Adottak az alábbi sokaságok: Magyarország népessége 2006. jan.1-jén 10 076 581 fő. A budapesti férfiak sörfogyasztása a 2006-os VB idején. BCE oktatói 2006. 2006 szept. szept 4 4-én. én Jótékonysági koncertek 2006-ban a Zeneakadémián. Feladat: Állapítsa meg a sokaságok típusát és egységeit! Az egyes sokaságokra vonatkozóan soroljon fel közös és megkülönböztető ismérveket, majd nevezze meg ezek típusát is!

Feladat/3.

Statisztikai adat és mutatószám

Döntse el az alábbi ismérvekről, hogy mennyiségi vagy minőségi ismérvek-e!

Nem (férfi, nő) Életkor Él k Magasság Testsúly Családi állapot Iskolai

végzettség

Foglalkozás Bruttó

havi fizetés

Statisztikai adat: Az egyedekről szerezhető információ. fogalmi jegy időbeli azonosító térbeli azonosító számérték mértékegység. (mérés vagy számlálás)

Statisztikai mutatószám: Valamilyen statisztikai módszerrel a rendelkezésre álló adatokból számított származtatott statisztikai mérőszám. Például:

(Havi) Átlagbér Magyarországon 2008-ban bruttó 194.000

Ft/fő/hó

2

Statisztikai sorok A sokaság egy ismérv szerinti tömör jellemzése. Sorkészítés célja szerint: Csoportosító sor Összehasonlító sor Leíró sor

Statisztikai sorok

Valódi statisztikai sorok Nem valódi statisztikai sor

Ismérvfajtáknak megfelelően: Időbeli (tartam-állapot), területi, minőségi, mennyiségi + leíró sorok Sorok készítése:

ismérvváltozatok

Összehasonlító statisztikai sor: Összehasonlító adatok d t k statisztikai t ti tik i sorba rendezve, összehasonlítási céllal, adataik nem összegezhetők. (idősor, területi)

Ismérvváltozat C1 C2 . . Ci . Ck

Számérték/

1990 1999

C1 C2 . . Ci . Ck

f1 f2 . . fi . fk

Összesen:

N

Egyszerű tábla (összehasonlító és/vagy leíró sorok) Nincs csoportosító sora, egy adata, egy statisztikai sor tagja.

Csoportosító tábla (csoportosító és/vagy összehasonlító vagy leíró sorok) Egyirányú csoportosítást tartalmaz, egy adata egy statisztikai sor tagja.

Kombinációs tábla (csoportosító sorok) Csak csoportosító sorokat tartalmaz, egy adata egyidejűleg több statisztikai sor tagja.

mértékegység adat adat . . adat . adat

Statisztikai táblák

Egy gy városban az orvosellátottság g alakulása: Orvosok száma (fő)

Egységek száma

Statisztikai sorok összefüggő rendszere.

Egyszerű statisztikai tábla

Év

Ismérvváltozatok



(időbeli, területi, minőségi, mennyiségi)

számszerű értékek

Statisztikai sorok

Csoportosító statisztikai sor: A sokaság belső összefüggéseit fejezi ki, csoportosítás céljából készül, adatai összegezhetők.

Csoportosító statisztikai tábla Búzatermelés adatai 1991-ben:

Lakosok száma (fő)

Egy orvosra jutó lakosok száma

Körzet

Termés (ezer tonna)

Termésátlag (t/ha)

240

80 000

333,3

Dunántúl

2000

5,2

360

100 000

277,8

Alföld

3000

5,31

Észak

705

4,71

Összesen

5705

…

3



Kombinációs statisztikai tábla Egy felsőfokú intézmény nappali tagozatos hallgatónak jegyei statisztikából 1991/1992 II. félév:

Osztályzat

A

B

C

Összesen

kar hallgatóinak megoszlása 5

19

23

19

61

4

32

49

40

121

3

24

36

56

116

2

20

36

82

138

1

1

2

18

21

Összesen

96

146

215

457

Dimenziószám: Azt mutatja, hogy a tábla egy statisztika adata egyidejűleg hány statisztikai sor tagja. Táblakészítés szabályai: Cím (azonosítókkal!, idő, hely, stb) Oldalrovatok, fejrovat Egy rovat sem üres (--, ●(●). 0,0) Forrásmegjelölés

Mérési szintek

Mérési szintek

Csak a mennyiségi ismérvek adatai számadatok, de bizonyos szabályok mellett minden ismérv lehetséges változatai számértékké alakíthatók alakíthatók.

4 féle mérési szintet (skálát) különböztetünk meg:

Névleges/nominális Né l / i áli mérési é é i szint i Sorrendi/ordinális mérési szint Különbségi/intervallum mérési szint Arányskálán történő mérés

Mérés: számok meghatározott szabályok szerinti hozzárendelése jelenségekhez (dolgok, tárgyak, események), illetve azok bizonyos tulajdonságaihoz.

Mérési szintek

Mérési szintek

Névleges/nominális mérési szint: Számok közvetlen hozzárendelését jelenti az egységekhez. Ezek ún. kódszámok, amelyek csak a sokaság egyedeinek azonosítását szolgálják. Közük semmilyen reláció nem áll fenn, és velük számtani művelet nem végezhető. Pl: rendszám, irányítószám, megyék száma

Sorrendi/ordinális mérési szint: A sokaság egyedeihez – bizonyos közös tulajdonság alapján – rendelt skálaérték sorrendisége írja le azok viszonyát. Az egységhez rendelt számérték sorrendje pontosan tükrözi az adott egység valamilyen szempontból vett sorrendjét. A számértékek magukban nem hordoznak információt (különbségeik nem értelmezhetők), csak azoknak a rendje. Pl: hallgatók osztályzatai, áruk minőség szerinti osztályozása

4

Mérési szintek

Mérési szintek

Különbségi/intervallum mérési szint: A skálaértékek különbségei is információt g egyes gy egyedeiről. gy hordoznak a sokaság A skálán az értékek aránya és összege nem értelmezhető.

Pl: a +10 és a +20 C fokok közötti különbség ugyanannyi, mint a -5 és a +5 C fokok közötti különbség.

Pl: életkor, termelési érték, jövedelem nagysága (amelyeket mind 0 értékről kiindulva mérik)

Kérdőívszerkesztés

Adatszerzési módok

Teljeskörű felvétel

Részleges felvétel

Monográfia

Egyéb részleges adatfelvétel

Reprezentatív megfigyelések

Véletlenen alapuló

Arányskálán történő mérés: A legtöbb információt nyújtó mérés. A kezdőpont egyértelműen rögzített, ennek köszönhetően két skálaérték egymáshoz viszonyított aránya is meghatározhatóvá válik. Az értékek különbsége önmagában semmit sem mond, csak arányskálán értelmezhetők.

Nem véletlen

Alapos szakmai hozzáértés Tömör, egyértelmű, könnyen megválaszolható kérdések Főleg feleletválasztós (karikázós, x-elős és kevés kifejtendő j választ igénylő) g y ) Ne legyen túl hosszú Ajánlott az anonim adatfelvétel Kompromisszum: csak a legfontosabb dolgokat kérdezzük Véglegesítés előtt: próbalekérdezés Ha nyereményhez kötjük, növelhető a válaszadási arány

(kontrolált)

Adatok pontossága

ˆ A Mért adat d

± aˆ

αˆ

=

aˆ ˆ A

Abszolút b l hibakorlát hib k l Relatív l hibakorlát hib k l

Szignifikáns számjegyek: a pontosnak tekinthető számjegyek aˆ ≤

10 k , ahol 2

Statisztikai elemzések viszonyszámokkal á

Például Mo. népessége (90-ben): 10.277 ezer ± 500 fő

10 k : a legutolsó kiírt szignifikáns számjegy helyértéke

5

Viszonyszámok

Viszonyszám fogalma Viszonyszámok fajtái Megoszlási és koordinációs viszonyszámok Dinamikus viszonyszámok Viszonyszámok közötti összefüggések Intenzitási viszonyszámok Viszonyszámok grafikus ábrázolása

Viszonyszámok Viszonyszám: két, egymással kapcsolatban álló statisztikai adat hányadosa

V=

A , ahol A: a viszonyítás tárgya B (viszonyítandó adat) B: a viszonyítás alapja

Azonos adatokból (%) – Különböző fajta adatokból (int.)

Viszonyszámok fajtái

Csoportosító sorokból:

Összehasonlító sorokból:

Megoszlási viszonyszámok (Vm) Koordinációs viszonyszámok (Vk)

Intenzitási viszonyszámok (Vi)


Megoszlási viszonyszám: Vm =

Dinamikus viszonyszámok (Vd: Vdl és Vdb) Feladat- és teljesítménymutató (Vf és Vt) Területi összehasonlító (Vö)

Leíró sorokból:


A (a sokaság egy részadata) B (a sokaság egészére vonatkozó adat)

Koordinációs viszonyszám: A (viszonyított részadat) Vk = B (a viszonyítás alapjául szolg. részadat)

Megoszlási viszonyszám: rész és egész egymáshoz viszonyított arányát fejezi ki Koordinációs viszonyszám: a sokaság két részadatát viszonyítja Dinamikus viszonyszám: idősor adataiból számított hányados A (a tárgyidőszak adata) V= B (a bázis időszak adata) Intenzitási viszonyszám: különböző fajta, különböző mértékegységű- de egymással kapcsolatban lévősokaság adataiból számított viszonyszám

Dinamikus viszonyszámok yt yb yi Láncviszonyszám: Vdl / l = y i −1

Bázisviszonyszám: Vdb / b =

Összefüggések: bi = li bi −1

k

l 2 ⋅ l3 ... ⋅ l k = bk → ∏ li = bi i =2

6

Megoldás

Feladat/1. Az alábbi táblázatban 2000-2005 közötti idegenforgalommal kapcsolatos adatok láthatók:

Év

Magyarországra érkező külföldiek

Külföldre utazó magyarok

ezer fő

ezer fő

2000

31 141

11 065

2001

30 679

11 167

2002

31 739

12 966

2003

31 412

14 283

2004

36 635

17 558

2005

38 555

18 622

Elemezze bázis- és lá láncviszonyszámokkal i á kk l a Magyarországra érkező külföldiek és a külföldre utazó magyarok számának alakulását!

Megoldás


Feladatmutató viszonyszám:

Vf =

Teljesítménymutató viszonyszám:

Vt =


Területi összehasonlító viszonyszám: Vö =

Viszonyítandó terület adata Viszonyítás alapjául szolg. terület adata

Tárgyid. tervezett adata Bá i id adata Bázisid. d

Tárgyid. tényleges adata Tárgyid. tervezett teljesítménye

Intenzitási viszonyszám Vi = A/B

Fajlagos mérőszámok

Sűrűséget ellátottságot kifejező Sűrűséget,

Átlagos értéket kifejező

Arányszámok

Gazdálkodás hatékonyságát jelző mutatók

Pl: 100 km-re jutó üzemanyag Pl: orvossal való ellátottság, népsűrűség Pl: 1 főre jutó átlagkereset Pl: 100 főre jutó születések száma Pl: 1 dolgozóra jutó termelési érték, 1 főre jutó GDP

7

Intenzitási viszonyszám

Egyenes intenzitási viszonyszám:

Intenzitási viszonyszám

A mutató színvonalának alakulása egybeesik az int. y növekedésével. viszonyszám Pl: orvosok száma / lakosok száma (ezer fő)

Fordított intenzitási viszonyszám:

Pl: tejhozam / tehenek száma dolgozók / hallgatók

Amikor a jelenség színvonala javul, akkor a fordított int. viszonyszám értéke csökken. Pl: lakosok száma (e fő) / orvosok száma

Definíciók

Lakónépesség: az adott területen lakóhellyel rendelkező, és másutt tartózkodási hellyel nem rendelkező személyek valamint az ugyanezen személyek, területen tartózkodási hellyel rendelkező személyek együttes száma. Természetes szaporodás (fogyás): az élveszületések és a halálozások különbözete.

Nyers intenzitási viszonyszám:

Tisztított intenzitási viszonyszám: Pl: tejhozam / tejelő tehenek száma oktatók / hallgatók

Definíciók

Tényleges szaporodás (fogyás): a természetes szaporodás (fogyás) és a vándorlási (belföldi és nemzetközi) különbözet (+,–) összege. Gyermeknépesség eltartottsági rátája: a gyermeknépesség (0–14 éves) a 15–64 éves népesség százalékában. Idős népesség eltartottsági rátája: az idős népesség (65–X éves) a 15–64 éves népesség százalékában. Eltartott népesség rátája: a gyermeknépesség (0–14 éves) és az idős népesség (65–X éves) a 15–64 éves népesség százalékában.

Definíciók

Definíciók

Öregedési index: az idős népesség (65– X éves) a gyermeknépesség (0–14 éves) százalékában. Házasságkötés: a hivatalosan eljáró anyakönyvvezető előtt – két tanú jelenlétében – kötött házasság. Válás: a jogerőre emelkedett bírói ítélettel felbontott vagy érvénytelenített házasság. Jogerőre az a házasságot felbontó vagy érvénytelenítő ítélet emelkedett, amely ellen további jogorvoslatnak helye nincs.

Élveszületés: (az ENSZ ajánlása szerint) olyan magzat világrajövetele, aki az életnek valamilyen jelét (mint légzés vagy szívműködés illetőleg köldökzsinórszívműködés, köldökzsinór pulzáció) adja, tekintet nélkül arra, hogy mennyi ideig volt az anya méhében és mennyi ideig élt. Teljes termékenységi arányszám: azt fejezi ki, hogy az adott év kor szerinti születési gyakorisága mellett egy nő élete folyamán hány gyermeknek adna életet.

8

Definíciók

Definíciók

Halálozás: az élet minden jelének végleges elmúlása az élveszületés megtörténte után bármikor, azaz az életműködésnek a születés utáni megszűnése, a feléledés képessége nélkül. Csecsemőhalálozás: az élveszületést követően az egyéves kor betöltése előtt bekövetkezett halálozás. A halvaszülött és a születésének évfordulóján meghalt gyermek nem csecsemőhalott.

Várható átlagos élettartam: azt fejezi ki, hogy a különböző életkorúak az adott év halandósági viszonyai mellett még hány évi élettartamra számíthatnak.

Csecsemőhalálozási arányszám: ezer élveszülöttre jutó egy éven aluli meghalt.

Halálok: mindazon betegség, kóros állapot vagy sérülés, amely vagy eredményezte, vagy hozzájárult a halálhoz (halálozáshoz), valamint olyan baleset vagy erőszak körülménye, amely halálos sérülést okozott.

Grafikus ábrázolás



Kördiagram: megoszlás ábrázolása körcikkek segítségével. (megoszlások, összehasonlítás)

Az adatok megjelenítésének, szemléltetésének fontos eszköze. Információ megjelenítése képi formában. ((megérteni g és készíteni is fontos)) Alapvetően arányokat érzékeltet. Cím, egyértelmű jelmagyarázatok, mértékegységek, forrásra való hivatkozás szüks. Bizonyos elemzési eszközökhöz bizonyos ábrázolási módok tartoznak. Általában szoftverekkel (speciális rajzoló szoftverekkel) készülnek.


Oszlopdiagram: összehasonlítás az oszlopok magasságával. (összehasonlítás)

9


Osztott oszlopdiagram: a csoportosító sorok ábrázolásának eszköze, az összehasonlítandó oszlopon belül a megoszlás területarányos ábrázolása.


Pontdiagram: két egymással összefüggésben lévő mennyiségi ismérv értékeinek ábrázolása koordinátarendszerben.


Kartodiagram: területi sorok esetén alkalmazható, lk l h tó az egyes földrajzi egységek adatait a térképen elhelyezett diagrammal ábrázolja.


Vonaldiagram: idősorok adatainak koordinátarendszerben való ábrázolása.


Kartogram: területi sorok ábrázolása térképen, az egyes régiók eltérő színeivel érzékelteti a köztük lévő különbséget.


Ponttérkép: a területi sorok szemléltetésére h használható, álh tó a pontok sűrűsége az adott területhez tartozó adat nagyságára utal.

10


Piktogram: figurális ábrázolás, mely a jelenséget megtestesítő különböző nagyságú figurák alapján fejezi ki a nagyságrendi relációt.

Mennyiségi ismérv szerinti elemzés

Középértékekkel szembeni követelmények x min < K < x max

Számított

és helyzeti középértékek S Szóródás, ó ódás, sszóródási ó ódás mérőszámok é ős á o

1. közepes helyet foglaljon el az értékek között 2.

tipikus érték értékek zöméhez

legyen:

álljon

közel

az

előforduló

3. legyen pontosan definiálva 4. könnyen értelmezhető legyen 5. számítása egyszerűen elvégezhető legyen

Középértékek

Átlagok Súlyozatlan Súlyozott Számtani

Számított középértékek (átlagok) számtani átlag harmonikus átlag mértani átlag négyzetes átlag

Helyzeti középértékek: módusz medián

Harmonikus Mértani Négyzetes

x= x=

∑x

i

x=

n n

x =

1

∑x

i

x = n ∏ xi x=

∑x n

i

i

n

∑ ∑

fi fi xi

x = n ∏ xi

2 i

∑fx

x=

∑fx ∑f i

fi 2

i

i

11

Ugyanazon pozitív értékekből számított átlagok nagyságrendje

1. feladat Az átlagolandó értékek: 3, 4, 5, 8.

x min ≤ x h ≤ x g ≤ x ≤ x q ≤ x max x

és h

x

xg

és

érzékeny a kiugróan alacsony értékekre

xq

érzékeny a kiugróan magas értékekre

Megoldás

2. feladat

3+ 4+5+8 =5 4

Harmonikus átlag:

xh =

4 1 1 1 1 + + + 3 4 5 8

x g = 4 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 8 = 4.681 Négyzetes átlag:

= 4.404

Számtani átlag

4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 4 + 1⋅ 5 + 1⋅ 8 = 4.1 10

Feladat: a) Számítsa ki a számtani, a harmonikus, a mértani és a négyzetes átlagot! b) Hasonlítsa össze a kapott eredményeket az előző feladat a) részében kapott eredményekkel!

32 + 42 + 52 + 82 114 xq = = = 28,5 = 5.339 4 4

Megoldás

x=

Az átlagolandó értékek és a hozzájuk tartozó súlyok: ( xi ) adatok: 3, 4, 5, 8 ( f i ) gyakoriság: 4, 4, 1, 1

Mértani átlag:

Számtani átlag:

x=

Feladat a)) Számítsa S á í ki a számtani, á i ah harmonikus, ik a mértani é ié és a négyzetes átlagot! b) Hasonlítsa össze a kapott eredményeket! c) Állapítsa meg ugyanazon pozitív számokból számolt átlagok sorrendjét!

Medián Mértani átlag:

x g = 10 34 ⋅ 4 4 ⋅ 51 ⋅ 81 = 3.907

az az ismérvérték, amelyiknél az összes előforduló ismérvérték fele kisebb, fele nagyobb. a) egyedi adatokból a rangsorból g az n + 1 -edik érték 2

b) osztályközös gyakorisági sorból: Harmonikus átlag:

Négyzetes átlag:

2 2 2 2 10 10 xh = = = 3.762 x = 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 4 + 1⋅ 5 + 1⋅ 8 = 4.347 4 4 1 1 2.658 q 10 + + + 3 4 5 8

osztópont:

n 2

Me = x me 0

f me

n − f me' −1 2 + ⋅ hme , ahol f me

: a medián osztályköznek a gyakorisága,

12

Módusz becslése osztályközös gyakorisági sorból

Módusz

diszkrét ismérv esetén: a leggyakrabban előforduló érték

folytonos ismérv esetén: a gyakorisági görbe maximumához tartozó érték

Mo = xmo0 +

k1 ⋅ hmo k1 + k 2

, ahol

x mo 0: a móduszt tartalmazó osztályköz alsó határa k1 = f mo − f mo −1

k 2 = f mo − f mo +1 hmo : a móduszt tartalmazó osztályköz hossza Nem egyenlő osztályközök esetén a módusz becslése f* átszámított gyakoriságok alapján történik.

3. feladat

Megjegyzések A módusz a kiugró, extrém értékekre érzéketlen nem mindig létezik (például, ha minden érték egyforma valószínűséggel fordul elő)

Egy bp.-i lakóparkban télen megkérdezték a 3 szobás lakások tulajdonosait, hogy mennyi volt az előző havi rezsiköltségük. Az alábbi adatokat kapták ezer Ft.-ban: 75, 64, 69, 80, 76, 77, 86, 79, 65, 72, 73, 75, 75, 70

Feladat: Jellemezzük a 3 szobás lakástulajdonosok előző havi rezsiköltségét az adott esetben felhasználható középértékekkel!

Megoldás

4. feladat Egy benzinkútnál a napi eladott mennyiség szerint a személygépkocsik megoszlása a következő volt:

Számtani átlag: X=

75 + ... + 70 = 74 14

Értékesített benzin mennyisége (liter)

A lakástulajdonosok előző havi átlagos rezsiköltsége 74 ezer Ft. n + 1 15 = = 7,5 Medián: 2

2

Rangsor készítése: 64, 65, 69, 70, 72, 73, 75, 75, 75, 76, 77, 79, 80, 86 Me=75 ezer Ft ÆA lakástulajdonosok felének 75 ezer Ft-nál kevesebb, a lakástulajdonosok másik felének pedig 75 ezer Ft-nál nagyobb volt az előző havi rezsiköltsége.

Gépkocsik száma

10 – 19

10

20 – 29

28

30 – 39

42

40 – 49

15

50 – 59

5

Összesen

100

Feladat: Számítsa ki és értelmezze az átlagot! Becsülje meg a mediánt és a móduszt, és írja le jelentésüket!

13

Megoldás

Megoldás

Értékesített benzin mennyisége (liter)

Gépkocsik száma

Osztályközép

Kumulált gyakoriság

10 – 19

10

15

10

20 – 29

28

25

38

30 – 39

42

35

80

40 – 49

15

45

95

50 –59

5

55

100

Összesen

100

---

---

∑f x x= ∑f

i i i

10 ⋅ 15 + 28 ⋅ 25 + ... + 5 ⋅ 55 = = 100

32,7 liter

A gépkocsik átlagosan 32,7 litert tankoltak a benzinkútnál az adott napon.

Szóródás

Medián: sme= n = 100 = 50 2

2

' és f ≥ 50 → Me a 3. osztályközben van

n − f ' me−1 50 − 38 ⋅ 10 = 32,86 , liter Me = xme,0 + 2 hme = 30 + 42 f me

A gépkocsik fele 32,86 liter benzinnél kevesebbet tankolt, a gépkocsik másik fele pedig ennél többet az adott napon. Módusz: 3. osztályközben van k (42− 28) Mo= xmo,0 + 1 ⋅ hmo = 30+ ⋅10= 33,41 liter k1 + k2 (42− 28) + (42−15) A legtöbb kocsi 33,41 liter benzin körüli mennyiséget tanko az adott napon.

Szóródási mérőszámok

Az értékek különbözőségét, változékonyságát nevezzük szóródásnak.

1) Terjedelem: annak az intervallumnak a hossza, amelyen belül az ismérvértékek elhelyezkednek. y

T = x max − x min

Szóródási mérőszámok

A szórás néhány tulajdonságai

2) Szórás: az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga Azt mutatja, hogy az ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól. Mértékegysége megegyezik az alapadatok mértékegységével.

σ=

∑ (x

i

− x) 2

n

σ=

∑ f (x − x) i

i

2

A szórás akkor és csak akkor nulla, ha minden ismérvérték egyenlő. Az xi ismérvértékek additív transzformációja után tá a szórás ó á nem változik. ált ik Az xi ismérvértékek multiplikatív transzformációja után a szórás a transzformációnak megfelelően változik.

n

A szórás négyzetét varianciának hívjuk.

σ 2 = x q2 − x 2

14

Szóródási mérőszámok 3) Relatív szórás különböző alapadatok vagy ismérvértékek szóródásának összehasonlítására szolgál. Mértékegység nélküli szám, általában százalékos formában adják meg.

V =

σ x

0 ≤ V ≤ n −1

A relatív szórás az xi ismérvértékek additív transzformációja esetén változik, multiplikatív transzformációja esetén nem változik

15

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma

Recommend Documents