Görbék és felületek elemi differenciálgeometriája. Kozma László Kovács Zoltán

Görbék és felületek elemi differenciálgeometriája Kozma László – Kovács Zoltán

Lektorálta: dr. Hoffmann Miklós f˝oiskolai tanár Eszterházy Károly F˝oiskola

Készült a TÁMOP – 4.1.2-08/1/A Tananyagfejlesztés és tartalomfejlesztés különös tekintettel a matematikai, természettudományi, m˝uszaki és informatikai (MTMI) képzésekre pályázat keretében

A PROJEKTEK AZ E URÓPAI U NIÓ TÁMOGATÁSÁVAL , AZ E URÓPAI S ZOCIÁLIS A LAP TÁRSFINANSZÍROZÁSÁVAL VALÓSULNAK MEG Debrecen – Nyíregyháza 2011.

Tartalomjegyzék El˝oszó Jelmagyarázat

4 5

1. fejezet. Görbék differenciálgeometriája 1.1. Parametrizált görbék 1.2. Síkgörbék Frenet-bázisa 1.3. A síkgörbe meghatározása a görbületb˝ol 1.4. Síkgörbék globális elmélete I: a körüljárási tételI 1.5. Síkgörbék globális elmélete II: a négy csúcspont tételeI 1.6. Térgörbék Frenet-bázisa 1.7. A görbület és a torzió tulajdonságai, a görbeelmélet alaptétele

6 6 11 16 18 21 23 26

2. fejezet. Felületek differenciálgeometriája 2.1. Implicit felületek 2.2. Parametrizált felületek 2.3. Felületi görbék 2.4. Mérés a felületen, a felület els˝o alapmennyiségei 2.5. A felület els˝o alapformája 2.6. Az oszkuláló paraboloid, a felület második alapmennyiségei 2.7. A felület második alapformája és a formaoperátor 2.8. A felület görbülete 2.9. Gauss-görbület és Minkowski-görbület 2.10. A Gauss-egyenletek és a felület kompatibilitási egyenletei 2.11. Elemi felületek izometrikus leképezéseiI 2.12. Párhuzamos eltolás a felületen 2.13. Geodetikusok 2.14. A Gauss – Bonnet-tételI

31 31 34 42 44 49 50 52 55 58 59 64 67 72 76

3. fejezet. Appendix 3.1. Bilineáris és kvadratikus formák 3.2. Többváltozós, vektorérték˝u függvények differenciálása

81 81 82

4. fejezet. A feladatok megoldásai

84

5. fejezet. wxMaxima munkalapok

91

Irodalomjegyzék

92

3

˝ ELOSZÓ

4

El˝oszó A jegyzet matematika alapszakos hallgatóknak készült a Differenciálgeometria tantárgyhoz. Tematikájában lefedi a görbék és felületek elemi differenciálgeometriáját. Az anyag összeválogatásában igyekeztünk mértéktartóak lenni, az anyag a jelenlegi formáját azután nyerte el, miután többször is sikeresen feldolgozásra került a Nyíregyházi F˝oiskolán heti két órában nappali tagozaton illetve a levelez˝o képzésben. Bizonyos megszokott anyagrészek (hogy csak néhányat említsünk a görbeelméletb˝ol: evolúta, evolvens, görbesereg burkolója, vetület a kísér˝o triéder síkjaira) kimaradtak, a kiegészít˝o anyagba, vagy a feladatok közé kerültek. El˝oismeretek. Feltételezzük a Lineáris algebra tantárgy biztos ismeretét (mátrixszámítás, vektorterek, lineáris leképezések, sajátérték probléma). Magától ért˝od˝o el˝oismeret még az analízis tananyag a valós többváltozós függvények differenciál- és integrálszámításával bezárólag. A kvadratikus formákról, valamint a vektorváltozós, vektorérték˝u függvények differenciálszámításáról tanultakat összefoglaltuk az Appendixben. Feladatok. Csaknem minden fejezet után feladatok vannak, melyek megoldása segítheti a tananyag megértését. Az alapszakos képzésben a Differenciálgeometria el˝oadáshoz gyakorlat is tartozik, a gyakorlatokon feldolgozott feladatanyag az ittenit˝ol b˝ovebb, s ehhez rendelkezésre is állnak különböz˝o példatárak. A jegyzet feladatai kiindulópontot jelenthetnek a gyakorlatokhoz, illetve a tananyag újraolvasásakor adnak gyakorlási lehet˝oséget. A wxMaxima használata. A jegyzetben a számítási feladatok egy részéhez wxMaxima támogatást adunk. A munkalapok csak a számolást, a kifejezések egyszer˝ubb alakra hozását könnyítik meg. Szándékosan nem készítettünk csomagot a differenciálgeometriai mennyiségeket tartalmazó függvényekkel, tehát csak a Maxima általánosan hozzáférhet˝o függvényeit használtuk. Emellett saját munkalapok írására bátorítjuk az olvasót, akár a házi feladatok ellen˝orzésére, akár a különböz˝o görbék, felületek ábrázolására. A munkalapok letölthet˝ok a zeus.nyf.hu/˜kovacsz/DG_TAMOP/ címr˝ol, vagy direkt linkkel pdf formában elérhet˝ok a jegyzetb˝ol. Debrecen – Nyíregyháza, 2011. április Kozma László, Kovács Zoltán

JELMAGYARÁZAT

5

Jelmagyarázat Az alábbi listában megadjuk a jegyzetben külön magyarázat nélkül használt fontosabb jelölések listáját. • Rn×m : az n × m típusú valós mátrixok halmaza • GL(n) = {A ∈ Rn×n | det A 6= 0}: az általános lineáris csoport • O(n) = {A ∈ GL(n) | A−1 = At }: az ortogonális csoport • SO(n) = {A ∈ O(n) | det A = 1}: a speciális ortogonális csoport • L(x, y, . . .): az x, y, . . . vektorok által generált altér • hx, yi: az x, y ∈ Rn vektorok természetes skaláris szorzata, azaz n X hx, yi = xi y i i=1

p • kxk: az x ∈ Rn vektor normája, kxk = hx, xi • x × y: az x, y ∈ R3 vektorok vektoriális szorzata • |x, y, z|: az x, y, z ∈ R3 vektorok vegyes szorzata • I: kiegészít˝o anyag, nehéz feladat n R -t gyakran beazonosítjuk Rn×1 -el, anélkül, hogy erre külön felhívnánk a figyelmet. Így például x ∈ Rn és A ∈ Rn×n esetén Ax ∈ Rn -t írunk. A jegyzetben a függvényekre akkor mondjuk, hogy differenciálhatóak, ha ∞ C -osztályúak, azaz akárhányszor differenciálhatóak.

1. FEJEZET

Görbék differenciálgeometriája 1.1. Parametrizált görbék Ha egy anyagi pont mozgását a síkban vagy a térben le akarjuk írni, akkor legegyszer˝ubb, ha az origó rögzítése után megadjuk helyzetvektorát az id˝o függvényében. Ebb˝ol a helyzetvektor-id˝o függvényb˝ol a mozgás kinematikai jellemz˝oit már meg lehet adni, az els˝o deriváltja (ha létezik) a sebesség, a második deriváltja a gyorsulás. Parametrizált görbe alatt egy ilyen helyzetvektor-id˝o függvényt fogunk érteni. A mozgó pont pályája egy ponthalmaz a síkban vagy a térben – ezt egyszer˝uen görbének nevezzük. Az elemi görbeelmélet egyik célja, hogy a parametrizált görbe ismeretében a görbe, azaz a ponthalmaz geometriai jellemz˝oire következtessen. 1.1. Definíció. Legyen I ⊂ R esetleg elfajuló, de nem egypontú intervallum, n = 2 vagy 3. Egy c : I → Rn differenciálható leképezést reguláris parametrizált görbének nevezünk, ha minden t ∈ I-re teljesül a c0 (t) 6= 0 regularitási feltétel. Az I intervallumot paramétertartománynak nevezzük. n = 2 esetén síkgörbér˝ol, n = 3 esetén térgörbér˝ol beszélünk. Általános értelemben síkgörbér˝ol beszélünk akkor is, ha Im c-t R3 egy síkja (kétdimenziós lineáris sokasága) tartalmazza. 1.2. Példa (egyenletes körmozgás). Egy pont állandó ω > 0 szögsebességgel mozog egy a > 0 sugarú, origó középpontú körön. Határozzuk meg a helyzetvektorid˝o leképezést! A t = 0 id˝opontban a pont koordinátái (a, 0). A pont irányszöge t id˝opontban ϕ = ωt, így koordinátái(a cos(ωt), a sin(ωt)). Tehát a görbe paraméteres el˝oállítása: c : [0, ∞) → R2 , t 7→ c(t) = (a cos(ωt), a sin(ωt)).

A regularitási feltétel nyilván teljesül:

c0 (t) = (−aω sin(ωt), aω cos(ωt)), kc0 (t)k = aω 6= 0.

A kc0 (t)k = aω összefüggés, mely a kerületi sebesség és a szögsebesség közti kapcsolatot adja meg, a középiskolai fizikából ismer˝os lehet. A paraméteres el˝oállításból azonnal következik, hogy a mozgásra x2 +y 2 = a2 teljesül, ami a kör egyenlete (x = a cos(ωt), y = a sin(ωt)). Az a sugár a mozgás geometriai jellemz˝oje, ω a mozgás fizikai jellemz˝oje. 1.3. Példa (hengeres csavarvonal). Egy a sugarú egyenes forgáshenger tengelye a z tengely. Kiválasztjuk egy alkotóját, az alkotón egy pont (a hengerhez képest) b > 0 sebességgel egyenletes mozgást végez, miközben a hengert a z tengely körül ω szögsebességgel forgatjuk. Határozzuk meg a helyzetvektor-id˝o függvényt. A t = 0 id˝opontban a pont koordinátái (a, 0, 0). 6

1.1. PARAMETRIZÁLT GÖRBÉK

7

z

x y

1.1. ábra. Hengeres csavarvonal A mozgás vetülete az xy síkra egyenletes körmozgás, a z tengelyre pedig egyenesvonalú egyenletes mozgás. Így a paraméteres el˝oállítás: c : [0, ∞) → R3 , t 7→ c(t) = (a cos(ωt), a sin(ωt), bt) (a, b > 0). √ kc0 (t)k = a2 ω 2 + b2 6= 0, azaz a regularitási feltétel teljesül. Im c-t hengeres csavarvonalnak nevezzük (1.1. ábra). 1.4. Példa (nem reguláris görbék). A c(t) = (t2 , t3 ), (t ∈ R) differenciálható görbe (ld. 1.2. ábra) nem reguláris, mert t = 0-ban c0 (0) = (2t, 3t2 )t=0 = (0, 0). A c(t) = (t3 , t3 ) görbe képe egyenes (egyenlete y = x), de a görbe az origóban nem reguláris. Ugyanennek az egyenesnek reguláris el˝oállítása pl. c˜(t) = (t, t). 1.5. Definíció. Legyen c : I → Rn parametrizált görbe. A v : I → R, t 7→ v(t) = kc0 (t)k

leképezést pályasebesség függvénynek (vagy pálya menti sebességnek), míg a c0 : I → Rn , t 7→ c0 (t)

leképezést sebesség-vektormez˝onek nevezzük. c0 (t) a görbe t paraméterérték˝u ponthoz tartozó sebességvektora, míg a c(t) + L(c0 (t)) egydimenziós lineáris sokaság a t paraméterérték˝u ponthoz tartozó érint˝oegyenes. A c : I → Rn parametrizált görbét természetes paraméterezés˝unek, vagy ívhossz paraméterezés˝unek mondjuk, ha ∀t ∈ I : v(t) = 1. Rb Legyen most I = [a, b]. Λ(c) = a v(τ ) dτ a görbe ívhossza, a Z t σ : [a, b] → R, σ(t) = v(τ ) dτ a

függvény pedig a görbe ívhosszfüggvénye. 1.6. Megjegyzés. Az ívhossz geometriai bevezetésével nem foglalkoztunk, feltételezzük, hogy az olvasó az analízis tanulmányokból ismeri a rektifikálható görbék ívhosszának definícióját és az ívhossz kiszámítását a görbe differenciálhatóságának feltételezése mellett.


8

y

x

1.2. ábra. Nem reguláris görbe 1.7. Tétel. Legyen c : I → Rn parametrizált görbe, I˜ ⊂ R, I és I˜ valós intervallumok. Ha ϕ : I˜ → I diffeomorfizmus és c˜ = c ◦ ϕ, akkor c˜ is parametrizált görbe. B IZONYÍTÁS . A regularitási feltételt kell ellen˝orizni c˜-re. A láncszabályt alkalmazva: c˜0 (t) = c0 (ϕ(t)) · ϕ0 (t). Mivel c reguláris, ezért a szorzat els˝o tényez˝oje, mivel ϕ diffeomorfizmus, ezért a szorzat második tényez˝oje egyetlen paraméterértékre sem nulla. 1.8. Definíció. Legyenek c : I → Rn és c˜: I˜ → Rn parametrizált görbék. Ha létezik olyan ϕ : I˜ → I diffeomorfizmus, hogy c˜ = c ◦ ϕ, akkor c-t és c˜-t ekvivalens görbéknek nevezzük, ϕ-t pedig paramétertranszformációnak. Ha ráadásul ˜ ϕ0 (t) > 0 is teljesül, akkor irányítástartó vagy orientációtartó paramé∀t ∈ I-re tertranszformációról beszélünk. 1.9. Tétel. A parametrizált görbék ekvivalenciája ekvivalenciareláció. 1.10. Tétel. Ekvivalens görbék ívhossza megegyezik. B IZONYÍTÁS . Az 1.7. tétel jelöléseivel. Legyen ϕ : [a, b] → [ϕ(a), ϕ(b)] szigorúan monoton növeked˝o. Ekkor Z b Z b 0 k˜ c (τ )k dτ = kc0 (ϕ(τ )) · ϕ0 (τ )k dτ = a

a

Z = a

b 0

0

kc (ϕ(τ ))k · ϕ (τ ) dτ =

Z

ϕ(b)

ϕ(a)

kc0 (µ)k dµ


9

a változó helyettesítésére vonatkozó tétel szerint.

1.11. Tétel. Minden parametrizált görbe ekvivalens egy természetes paraméterezés˝u görbével, azaz az ívhossz mindig bevezethet˝o paraméternek. B IZONYÍTÁS . Legyen c : [a, b] → Rn parametrizált görbe, Z t σ : [a, b] → R, σ(t) = v(τ ) dτ a

az ívhosszfüggvény. σ 0 (t) = v(t) > 0, tehát a σ függvény szigorúan monoton növeked˝o, azaz invertálható, tehát diffeomorfizmus. Az inverze: σ −1 : [0, Λ(c)] → [a, b]. Legyen c˜ = c ◦ σ −1 : [0, Λ(c)] → Rn . Számítsuk ki c˜ pályasebesség-függvényét, azaz a v˜(t) = k(c ◦ σ −1 )0 (t)k = k(c0 (σ −1 (t)) · σ −10 (t)k =

= |σ −10 (t)| · kc0 (σ −1 (t))k = |σ −10 (t)| · v(σ −1 (t))

függvényt. Alkalmazva az inverz függvény differenciálásáról tanultakat (lásd (3.2)): v˜(t) =

1 |σ 0 (σ −1 (t))|

· v(σ −1 (t)) =

1 v(σ −1 (t))

· v(σ −1 (t)) = 1.

1.12. Példa. Vezessük be az ívhosszat paraméternek a c : [0, 2π] → R3 , t 7→ c(t) = (a · cos t, a · sin t, b · t), (a, b > 0) hengeres csavarvonalon. Az ívhosszfüggvény: σ : [0, 2π] → R, Z t√ √ t √ t 7→ σ(t) = a2 + b2 dτ = a2 + b2 τ 0 = a2 + b2 · t. 0

Az ívhosszfüggvény inverze: i h √ 1 s. σ −1 0, 2π · a2 + b2 → [0, 2π], s 7→ √ a2 + b 2 A tétel bizonyítása szerint a c˜ = c ◦ σ −1 függvény lesz a probléma megoldása, tehát: h i √ c˜: 0, 2π · a2 + b2 → R3 , s s s s 7→ c˜(s) = a · cos √ , a · sin √ ,b · √ . a2 + b 2 a2 + b 2 a2 + b 2 Ellen˝orizzük, hogy a pályasebesség függvény tényleg a konstans 1 függvény!


10

Feladatok 1.1. Feladat. Egy r sugarú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. Írjuk fel a kör középpontjától d távolságra elhelyezked˝o, a körhöz képest rögzített helyzet˝u pont pályájának paraméteres el˝oállítását. (d = r esetén cikloisról, d < r esetén zsugorított cikloisról, míg d > r esetén nyújtott cikloisról beszélünk.) Vizsgáljuk a görbe regularitását. wxMaxima munkalap: PDF 1.2. Feladat. Az M pont egyenletes sebességgel halad az O kezd˝opontú h félegyenesen (a kezd˝oponttól távolodva), miközben h állandó szögsebességgel forog az O körül. M pályáját archimédeszi spirálnak nevezzük. Írjuk fel az archimédeszi spirál egy paraméteres el˝oállítását! 1.3. Feladat. Az O kezd˝opontú h félegyenes egységnyi szögsebességgel forog O köröl, ugyanakkor az M pont az OM távolsággal arányos sebességgel mozog h-n. a. A t = 0 id˝opontban M távolsága O-tól b és M az O-hoz közeledik. Írjuk fel M pályájának egy paraméteres el˝oállítását. (Logaritmikus spirál.) b. Bizonyítsuk be, hogy (c-vel jelölve a paraméteres el˝oállítást) Z t lim kc0 (t))k dt t→+∞

0

véges, (azaz a [0, ∞) intervallumon c ívhossza véges). 1.4. Feladat. Legyen c : (0, π) → R2 , t c(t) = sin t, cos t + log tg , 2 (traktrix). a. Bizonyítsuk be, hogy egyetlen olyan pont, ahol c nem reguláris, a t = π/2 paraméterérték˝u pont. b. Bizonyítsuk be, hogy a traktrix egy érint˝ojének az érintési pont és az y tengely közé es˝o szakasza mindig 1 hosszúságú. wxMaxima munkalap: PDF 1.5. Feladat. Tekintsük egy síkgörbe polárkoordinátás el˝oállítását: r : [a, b] → R2 , θ 7→ r(θ); azaz c(θ) = (cos θ · r(θ), sin θ · r(θ)). a. Bizonyítsuk be, hogy a görbe ívhossza: Z bp r(θ)2 + r0 (θ)2 dθ. a

b. Határozzuk meg ennek alapján az r(θ) = a · θ archimédeszi spirál els˝o menetének az ívhosszát!

1.2. SÍKGÖRBÉK FRENET-BÁZISA

11

1.2. Síkgörbék Frenet-bázisa 1.13. Tétel. Legyen c : I → R2 parametrizált síkgörbe. Ekkor egyértelm˝uen léteznek olyan T, N : I → R2 differenciálható leképezések, hogy ∀t ∈ I-re: (i) (T (t), N (t)) pozitív ortonormált bázis R2 -ben; (ii) T (t) a c0 (t)-nek pozitív skalár szorosa. B IZONYÍTÁS . Legyen T (t) = c0 (t)/v(t). Ekkor T (t) nyilván egységvektor, továbbá az (ii) feltétel is teljesül. Jelöljük J-vel R2 pozitív irányú π/2 mérték˝u elforgatását, azaz J : R2 → R2 , (x, y) 7→ (−y, x).

J lineáris transzformáció, tehát differenciálható. Legyen N = J ◦ T , így (i) teljesül. N differenciálható, mert differenciálható leképezések kompozíciója. Az egyértelm˝uség onnan következik, hogy T (t)-t ortonormált bázissá pontosan kétféleképpen lehet kiegészíteni, nevezetesen ±π/2 szög˝u elforgatásokkal, de a −π/2 szög˝u elforgatás negatív bázist adna. 1.14. Definíció. (Az el˝oz˝o tétel jelöléseivel.) T -t érint˝o egységvektormez˝onek, T (t)-t érint˝o egységvektornak, N -t normál egységvektormez˝onek, N (t)-t a t paraméterérték˝u ponthoz tartozó normális vektornak nevezzük. A (T, N ) párt a görbe Frenet-bázisának nevezzük. y

T (t)

c(t)

N (t) x

1.3. ábra. Frenet-bázis

1.15. Tétel. Legyen c : I → R2 parametrizált síkgörbe. Ekkor van olyan ω : I → R differenciálható függvény, hogy T 0 = ωN N 0 = −ωT.


12

B IZONYÍTÁS . Bontsuk fel a T 0 és N 0 vektorokat T -vel és N -nel párhuzamos komponensekre: T 0 = hT 0 , T i · T + hT 0 , N i · N N 0 = hN 0 , T i · T + hN 0 , N i · N.

Deriválva a hT, T i = 1 összefüggést: 2hT 0 , T i = 0; hasonlóan 2hN 0 , N i = 0. Most a hT, N i = 0 összefüggést deriválva: hT 0 , N i + hT, N 0 i = 0. Tehát ω = hT 0 , N i = −hN 0 , T i adódik. 1.16. Definíció. Legyen c : I → R2 parametrizált síkgörbe. A

hT 0 , N i v függvényt a c síkgörbe görbületének nevezzük. κ : I → R, κ =

1.17. Következmény (Frenet-formulák, vagy derivációs formulák). T 0 = κvN N 0 = −κvT. Speciálisan, természetes paraméterezés˝u síkgörbékre: T 0 = κN N 0 = −κT. 1.18. Példa (a körvonal görbülete). Legyen c : [0, 2π] → R2 , t 7→ c(t) = (R cos t, R sin t). Ekkor: c0 (t) = R(− sin t, cos t), v(t) = R, T (t) = (− sin t, cos t), N (t) = (− cos t, − sin t), T 0 (t) = (− cos t, − sin t).

Innen láthatjuk, hogy T 0 = N , tehát az els˝o Frenet-formula szerint c görbületi függvénye konstans, κ = 1/R. 1.19. Tétel (a görbület kiszámítása). (A korábbi feltételek mellett.) hc00 , N i . κ= v2 B IZONYÍTÁS . A görbületet definiáló formulát átalakítjuk a derivációs formula segítségével: c0 = vT c00 = v 0 T + vT 0 = v 0 T + κv 2 N. Ez utóbbi sort N -el skalárisan szorozva hc00 , N i = κv 2 adódik, mert T ⊥ N . Innen leolvasható a bizonyítandó formula. 1.20. Tétel. Legyen c : I → R2 parametrizált síkgörbe, melynek görbületi függvénye κ. Legyen továbbá ϕ : I˜ → I paramétertranszformáció, c˜ = c ◦ ϕ : I˜ → R2 . c˜ görbületi függvényét jelölje κ e. Ekkor κ e = sgn ϕ0 · κ ◦ ϕ.


13

B IZONYÍTÁS . A görbület alábbi kifejezését használjuk: κ=

hc00 , N i hT 0 , N i hc00 , J ◦ c0 i = = . v v2 v3

Tehát: c˜ = c ◦ ϕ c˜0 = (c0 ◦ ϕ) · ϕ0 , J ◦ c˜0 = ϕ0 · (J ◦ c0 ◦ ϕ), c˜00 = (c00 ◦ ϕ) · ϕ02 + (c0 ◦ ϕ) · ϕ00 .

v˜ = |ϕ0 | · (v ◦ ϕ)

Eszerint κ ˜=

hϕ02 · (c00 ◦ ϕ) + ϕ00 · (c0 ◦ ϕ), ϕ0 · (J ◦ c0 ◦ ϕ)i = v˜3

mivel c0 ◦ ϕ ⊥ J ◦ c0 ◦ ϕ: ϕ03 hc00 ◦ ϕ, J ◦ c0 ◦ ϕi = |ϕ0 |3 · (v ◦ ϕ)3 = sgn ϕ0 · κ ◦ ϕ.

=

1.21. Következmény. Síkgörbe görbülete irányítástartó paramétertranszformációval szemben invariáns. 1.22. Tétel. Legyen c : I → R2 parametrizált síkgörbe, melynek görbületi függvénye κ. Legyen továbbá F : R2 → R2 izometria, ennek lineáris része f ∈ O(2), továbbá c˜ = F ◦ c : I → R2 . c˜ görbületi függvényét jelölje κ e. Ekkor κ e = det f · κ. B IZONYÍTÁS . Könnyen ellen˝orizhet˝o, hogy J ◦ f = det f · (f ◦ J). Továbbá a láncszabályt alkalmazva: c˜ = F ◦ c

f ◦ c0 e J ◦ f ◦ c0 c˜0 = (F 0 ◦ c) ◦ c0 = f ◦ c0 , Te = , N= , v˜ v˜ c˜00 = (f 0 ◦ c0 ) ◦ c00 = f ◦ c00 . A görbületet kiszámítva, felhasználva, hogy f ortogonális transzformáció, tehát a normát és a skaláris szorzatot megtartja: κ ˜=

h˜ c00 , J ◦ f ◦ c0 i hf ◦ c00 , det f · (f ◦ J ◦ c0 )i = = v˜3 kf ◦ c0 k3 hc00 , J ◦ c0 i = det f · = det f · κ. kc0 k3

1.23. Következmény. Síkgörbe görbülete irányítástartó izometriával szemben invariáns. A görbület geometriai jelentésére az alábbi tétel közvetlenül is rámutat. 1.24. Tétel. Legyen c : [a, b] → R2 természetes paraméterezés˝u parametrizált síkgörbe, továbbá valamilyen s ∈ [a, b]-re teljesüljön, hogy c00 (s) 6= 0. Ekkor


14

(1) s-nek van olyan I ⊂ [a, b] környezete, hogy s1 , s2 , s3 ∈ I-re c(s1 ), c(s2 ), c(s3 ) nem egy egyenesre illeszkednek (2) ha si → s (i = 1, 2, 3), akkor a c(si ) pontokra illeszked˝o kör tart egy 1/kc00 (s)k = 1/|κ(s)| sugarú, c(s)-re illeszked˝o körhöz. A tétel 2. pontjában szerepl˝o kört a görbe c(s) ponthoz tartozó simulókörének nevezzük. B IZONYÍTÁSI. c reguláris, tehát s valamely környezetében injektív, a bizonyítás során eleve ilyen környezetb˝ol indulunk ki. A Cauchy-féle középértéktételb˝ol következik, hogy minden s1 < s2 -höz létezik olyan s1 < ξ < s2 , hogy c0 (ξ) és c(s2 ) − c(s1 ) egyirányú. Legyen ugyanis c(t) = (x(t), y(t)). Van olyan ξ ∈ (s1 , s2 ), hogy (x(s2 ) − x(s1 ))y 0 (ξ) = (y(s2 ) − y(s1 ))x0 (ξ)

(ez a Cauchy-féle középértéktétel állítása), így a c(s2 ) − c(s1 ) vektor π/2 szög˝u elforgatottja mer˝oleges c0 (ξ)-re, azaz c(s2 ) − c(s1 ) és c0 (ξ) egyirányúak. Az els˝o állítást indirekt bizonyítással látjuk be. Legyen I ⊂ [a, b] az s valamely környezete és valamely s1 , s2 , s3 ∈ I-re c(s1 ), c(s2 ), c(s3 ) illeszkedjenek az ` egyenesre. Legyenek továbbá ξ1 ∈ (s1 , s2 ), ξ2 ∈ (s2 , s3 ) olyan paraméterértékek, hogy c0 (ξ1 )k` és c0 (ξ2 )k` (1.4. ábra). Most tekintsük a c0 : I → S 1 görbét, amely y

c(s1 )

c(ξ2 ) c(s2 ) c(ξ1 ) x c(s1 )

1.4. ábra. tehát az origó középpontú egységkörbe képez (S 1 = {x ∈ R2 | kxk = 1}). I-t válasszuk úgy, hogy c0 [ξ1 , ξ2 ] ne legyen az egész S 1 egységkör. Tekintsük a c0 által leírt körív egyik c0 (η) (η ∈ (ξ1 , ξ2 )) végpontját. c0 az η tetsz˝oleges környezetében nem injektív, így c00 (η) = 0 (ld. 1.5. ábra). A tétel második állítását bizonyítjuk. A c(si ) pontokra (i = 1, 2, 3) illeszked˝o kör középpontját jelölje C(s1 , s2 , s3 ) és teljesüljön, hogy s1 < s2 < s3 . Tekintsük


15

y c0 (ξ1 ) = c0 (ξ2 ) c0 (η) x

1.5. ábra. az r : t 7→ kc(t) − C(s1 , s2 , s3 )k2 = hc(t) − C(s1 , s2 , s3 ), c(t) − C(s1 , s2 , s3 )i függvényt. Mivel ennek a függvénynek ugyanaz az értéke az s1 , s2 , s3 helyeken (ti. a körülírt kör sugár-négyzete), ezért a Rolle-féle középértéktétel miatt vannak olyan s1 < q1 < s2 , s2 < q2 < s3 értékek, hogy r0 (q1 ) = r0 (q2 ) = 0: (1.1)

hc0 (qi ), c(qi ) − C(s1 , s2 , s3 )i = 0 i = 1, 2.

Ismét a Rolle-tételt alkalmazva, van olyan q1 < ` < q2 érték, hogy r00 (`) = 0, azaz hc00 (`), c(`) − C(s1 , s2 , s3 )i + hc0 (`), c0 (`)i = 0, így (1.2)

hc00 (`), c(`) − C(s1 , s2 , s3 )i = −1.

1 00 0 00 Tekintsük a C = c(s) + kc00 (s)k 2 c (s) pontot. Mivel (c (s), c (s)) (az ívhosszparaméterezés miatt) mer˝olegesek, így

(1.3)

hc0 (s), c(s) − Ci = 0

hc00 (s), c(s) − Ci = −1.

Figyelembe véve, hogy c0 (qi ) → c0 (s) és c00 (`) → c00 (s) és összehasonlítva az (1.1) és (1.2) relációkat az (1.3) egyenletekkel, C(s1 , s2 , s3 ) → C következik. Feladatok 1.6. Feladat. Számítsuk ki a c : [0, 2π] → R2 , t 7→ (t, sin t) szinuszgörbe görbületi függvényét! wxMaxima munkalap: PDF 1.7. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a θ 7→ r(θ) polárkoordinátás alakban adott görbe görbülete: 2r02 − rr00 + r2 κ= . (r02 + r2 )3/2 Határozzuk meg ennek alapján az archimédeszi spirál és a logaritmikus spirál görbületi függvényét.

˝ 1.3. A SÍKGÖRBE MEGHATÁROZÁSA A GÖRBÜLETBOL

16

1.8. Feladat. Legyen c : I → R2 parametrizált síkgörbe, mely κ görbületér˝ol feltesszük, hogy egyetlen pontban sem nulla. A β : I → R2 , β(t) = c(t) +

1 N (t) κ(t)

görbét c evolútájának nevezzük. Mutassuk meg, hogy az evolúta t-beli érint˝oje megegyezik az eredeti görbe t-beli normálisával. 1.9. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az r(θ) = c · aθ logaritmikus spirál evolútája logaritmikus spirál. Határozzuk meg az a paramétert úgy, hogy a görbe önmaga evolútája legyen. 1.10. Feladat. Készítsünk wxMaxima munkalapot egy síkgörbe evolútájának számításához. wxMaxima munkalap: PDF 1.3. A síkgörbe meghatározása a görbületb˝ol 1.25. Definíció. Legyen c : [a, b] → R2 parametrizált síkgörbe, az érint˝oegységvektormez˝o T : [a, b] → R2 , továbbá µ : R → R2 , t 7→ µ(t) = (cos t, sin t).

Ekkor minden olyan θ : [a, b] → R differenciálható függvényt, melyre T = µ ◦ θ, a c görbe hajlásszögfüggvényének nevezzük. 1.26. Megjegyzés. Ha ugyanazon görbének θ és θ¯ két hajlásszögfüggvénye, akkor θ − θ¯ = k2π valamely k egész számra. 1.27. Tétel. A definíció jelöléseivel, θ0 = κv, ahol v a pályasebesség. B IZONYÍTÁS . T 0 = (µ ◦ θ)0 = θ0 · (µ0 ◦ θ) = θ0 · (J ◦ µ ◦ θ) = θ0 N . A Frenet formulák alapján: T 0 = κvN , ahonnan az állítás leolvasható. 1.28. Tétel (a görbeelmélet alaptétele síkban, létezés). Legyen κ : I → R adott differenciálható függvény. Ekkor létezik olyan c : I → R2 természetes paraméterezés˝u parametrizált síkgörbe, mely görbületi függvénye éppen κ. B IZONYÍTÁS . (A korábbi jelölésekkel, jelölje c a keresett görbét, R θa hajlásszög-függvényt.) A v = 1 feltételezés mellett θ0 = κ, ahonnan θ = κ + θ0 . A 0 c = µ ◦ θ differenciálegyenlet megoldása c = (x, y)-re: Z Z (1.4) x= cos ◦ θ + x0 , y = sin ◦ θ + y0 , ahol θ0 , x0 , y0 tetsz˝oleges konstansok. Egyszer˝u behelyettesítéssel ellen˝orizhetjük, hogy c természetes paraméterezés˝u és görbületi függvénye κ. 1.29. Tétel. Legyen a c síkgörbe görbületi függvénye κ. κ = 0 az (esetleg elfajuló) szakaszokat jellemzi.

˝ 1.3. A SÍKGÖRBE MEGHATÁROZÁSA A GÖRBÜLETBOL

17

B IZONYÍTÁS . A szakasz lineáris el˝oállításából látható, hogy görbülete nulla. Megfordítva, mivel a görbület abszolút értéke paramétertranszformációval szemben invariáns, ezért feltehetjük, hogy c természetes paraméterezés˝u. Alkalmazzuk az 1.27. Tételt! κ = 0 =⇒ θ = θ0 , így (1.4)-be behelyettesítve c(t) = (t cos θ0 + x0 , t sin θ0 + y0 ) , ahol θ0 , x0 , y0 konstansok. Ez valóban egy egyenes paraméteres el˝oállítása.

1.30. Tétel. A konstans, nem nulla görbület˝u síkgörbék a körívek. B IZONYÍTÁS . Feltehetjük, hogy a c síkgörbe természetes paraméterezés˝u. Legyen κ = 1/R. Az integrációs konstansokat az egyszer˝uség kedvéért mindenütt nullának választva θ(t) = 1/R · t, Z t t x(t) = cos dt = R · sin ; R R Z t t y(t) = sin dt = −R · cos . R R 1.31. Tétel (a görbeelmélet alaptétele síkban, egyértelm˝uség). Legyenek c1 , c2 : [a, b] → R2 természetes paraméterezés˝u parametrizált síkgörbék, melyek görbületi függvényei megegyeznek. Ekkor létezik olyan F : R2 → R2 irányítástartó izometria, hogy c2 = F ◦ c1 . B IZONYÍTÁS . Jelölje (Ti , Ni ) a ci görbe Frenet-bázisát. Egyértelm˝uen létezik olyan φ ∈ SO(2) elforgatás, mely a (T1 (a), N1 (a)) bázist a (T2 (a), N2 (a)) bázisba viszi. Jelölje τ : R2 → R2 azt az eltolást, mely φ(c1 (a))-t c2 (a)-ba viszi. Legyen F = τ ◦ φ. Belátjuk, hogy F ◦ c1 = c2 . Definiáljuk a következ˝o differenciálható függvényt: d : [a, b] → R,

d(t) = kT2 (t) − φ(T1 (t))k2 + kN2 (t) − φ(N1 (t))k2 .

d-t deriválva és a Frenet-formulákat felhasználva: 1 0 d = hT20 − φ ◦ T10 , T2 − φ ◦ T1 i + hN20 − φ ◦ N10 , N2 − φ ◦ N1 i = 2 = hκN2 − κ · φ ◦ N1 , T2 − φ ◦ T1 i + h−κT2 + κ · φ ◦ T1 , N2 − φ ◦ N1 i = = −κhN2 , φ ◦ T1 i − κhφ ◦ N1 , T2 i + κhT2 , φ ◦ N1 i + κhφ ◦ T1 , N2 i = 0. Ez azt jelenti, hogy d konstans. Mivel d(a) = 0, ezért d = 0. Innen következik, hogy φ ◦ T1 = T2 , azaz (F ◦ c1 − c2 )0 = 0. F ◦ c1 − c2 tehát konstans. Mivel (F ◦ c1 − c2 )(a) = 0, ezért F ◦ c1 = c2 . 1.32. Példa. A mellékelt wxMaxima munkalap az egzisztenciatételt illusztrálja. wxMaxima munkalap: PDF

1.4. A KÖRÜLJÁRÁSI TÉTEL

18

Feladatok 1.11. Feladat. Adjuk meg annak a síkgörbének a parametrizációját, melynek görbületi függvénye κ(s) = s−1/2 . 1.4. Síkgörbék globális elmélete I: a körüljárási tételI Ebben a fejezetben zárt síkgörbékr˝ol lesz szó. A zártság azt jelenti, hogy a görbe kezd˝o és végpontja megegyezik. A 1.6. ábrán három zárt síkgörbét látunk. Az els˝o kett˝o és a harmadik között jól érzékelhet˝o különbség, hogy a harmadik görbe kezd˝o és végpontjában a sebességvektorok nem ugyanazok, míg az els˝o két görbe esetében igen. Az els˝o két görbe között szemmel látható különbség nincs, a paraméteres el˝oállításuk c(t) = (cos(t), sin(t)) de a paramétertartomány megmutatja, hogy a második kör esetében a középpontot kétszer jártuk körül. Az els˝o esetben t ∈ [0, 2π], míg a második esetben t ∈ [0, 4π].

c(π) = c(3π)

c0 (a)

c(a) = c(b) c0 (0) = c0 (2π) c(0) = c(2π)

c(0) = c(2π) = c(4π)

c0 (b)

1.6. ábra. Zárt síkgörbék

1.33. Definíció. Egy c : [a, b] → R2 reguláris parametrizált síkgörbét periodikusan zártnak nevezzük, ha van olyan c˜: R → R2 reguláris parametrizált síkgörbe, hogy (i) c˜|[a,b] = c (ii) ∀t ∈ [a, b] : c˜(t + b − a) = c˜(t). Ha ráadásul (iii) c : [a, b) → R2 injektív, akkor egyszer˝u periodikusan zárt síkgörbér˝ol beszélünk. 1.34. Következmény. Egy c : [a, b] → R2 periodikusan zárt síkgörbére c(k) (a) = c(k) (b), k = 0, 1, . . . .

1.35. Definíció. c : [a, b] → R2 periodikusan zárt síkgörbe körüljárási száma 1 nc = [θ(b) − θ(a)] 2π ahol θ a görbe egy hajlásszögfüggvénye.


19

A körüljárási szám nem függ a hajlásszögfüggvény választásától. Például az 1.6. ábra els˝o körének körüljárási száma 1, a második köré pedig 2. 1.36. Tétel. A körüljárási szám mindig egész szám. B IZONYÍTÁS . Mivel T (b) = T (a), ezért θ(b) − θ(a) = k2π (k ∈ Z.)

1.37. Tétel. Legyen c : [a, b] → R2 természetes paraméterezés˝u, periodikusan zárt síkgörbe, melynek görbületi függvényét κ jelöli. Ekkor Z b 1 κ(t)dt. nc = 2π a B IZONYÍTÁS . A görbület és a hajlásszögfüggvény között fennálló kapcsolat θ = κ. Így Z b Z b κ(t)dt = θ0 (t)dt = [θ(t)]ba = θ(b) − θ(a), 0

a

a

amib˝ol az állítás leolvasható.

1.38. Következmény. A görbület irányítástartó paramétertranszformációval és irányítástartó izometriával szemben invariáns, így az el˝oz˝o tétel alapján a körüljárási szám a periodikusan zárt síkgörbék geometriai jellemz˝oje. 1.39. Tétel (Hopf tétele). Egyszer˝u, periodikusan zárt síkgörbe körüljárási száma ±1.

B IZONYÍTÁS . A c : [0, L] → R2 egyszer˝u, periodikusan zárt síkgörbe legyen természetes paraméterezés˝u. Izometriával vigyük át a görbét olyan helyzetbe, hogy az x tengely támaszegyenese legyen, az x tengelyt az origóban érintse, és a görbe az y ≥ 0 félsíkban legyen. Paramétertranszformációval érjük el azt is, hogy a 0 paraméterérték˝u pont az origó legyen. (Ehhez a paramétert csak el kell tolni, így a görbe természetes paraméterezés˝u marad.) Ha c0 (0) = (1, 0), akkor készen vagyunk, és az el˝oz˝o következmény miatt a görbe körüljárási száma nem változott. Ha c0 (0) = (−1, 0), akkor még a t 7→ −t paramétertranszformációt kell végrehajtani, amivel elérjük, hogy az új görbére T (0) = (1, 0), viszont a körüljárási szám most −1-szeresére változott. (Ld. 1.7. ábra.) Legyen ∆ = {(s1 , s2 ) ∈ R2 | 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ L}, és értelmezzük ∆-nak a következ˝o leképezését az S 1 egységkörre: Φ : ∆ → S 1  c(s )−c(s ) 2 1   kc(s2 )−c(s1 )k ha s1 6= s2 Φ(s1 , s2 ) = T (s1 ) ha s1 = s2   −T (0) ha s1 = 0, s2 = L. Φ folytonos ∆ belsején: az s1 6= s2 pontokra ez nyilvánvaló, az s1 = s2 feltételnek eleget tev˝o pontokra pedig következik onnan, hogy c(s2 ) − c(s) Φ(s, s) = T (s) = lim . s2 →s kc(s2 ) − c(s)k Ezért létezik olyan Θ : ∆ → R folytonos függvény, hogy Φ(s1 , s2 ) = (cos Θ(s1 , s2 ), sin Θ(s1 , s2 )).


20

c(s2 )

c(s1 ) c(0) = c(L) T (0) = T (L)x

1.7. ábra. c(s2 )

Φ(0, s2 )

Φ(0, L) c(0)

S1

x

1.8. ábra.

Θ csak k2π periódustól eltekintve egyértelm˝u, ezért el˝oírhatjuk, hogy Θ(0, L) = π. Mivel erre a függvényre Θ(s, s) = T (s), tehát θ : [0, L] → R, θ(s) = Θ(s, s) a c görbe egy hajlásszögfüggvénye. Így a körüljárási szám: θ(L) − θ(0) = Θ(L, L) − Θ(0, 0) =

= (Θ(L, L) − Θ(0, L)) + (Θ(0, L) − Θ(0, 0)) =

= (Θ(L, L) − π) + (π − Θ(0, 0)) .

Állapítsuk meg Θ(0, 0) értékét! Azt tudjuk, hogy Θ(0, 0) = `2π valamely ` egész számra. A Φ(0, s2 ) vektor irányszöge folytonosan változik `2π-t˝ol π-ig, miközben a Φ(0, s2 ) mindvégig az y ≥ 0 félsíkban marad, így Θ(0, 0) = 0 (1.8. ábra). Hasonló gondolatmenettel következik, hogy Θ(L, L) = 2π ((1.9. ábra), tehát θ(L) − θ(0) = 2π, a körüljárási szám pedig 1.

1.5. SÍKGÖRBÉK GLOBÁLIS ELMÉLETE II: A NÉGY CSÚCSPONT TÉTELEI

21

c(s1 )

c(L) Φ(0, L) Φ(s1 , L)

S1

x

1.9. ábra. 1.40. Következmény. Egy c : [a, b] → R2 természetes paraméterezés˝u, egyszer˝u periodikusan zárt síkgörbére Z b 1 κ(t)dt = ±1. 2π a Szemléletesen fogalmazva: „ha a görbét egy helyen lapítják, akkor máshol csúcsosodik”. 1.5. Síkgörbék globális elmélete II: a négy csúcspont tételeI 1.41. Definíció. Egy egyszer˝u, periodikusan zárt c : I → R2 parametrizált síkgörbe konvex, ha ∀t0 ∈ I-re a görbe a c(t0 )-ben húzott érint˝o egyenes ugyanazon oldalán van (ld. 1.10. ábra), azaz ∀t0 ∈ I, ∀t ∈ I : hc(t) − c(t0 ), N (t0 )i ≥ 0 vagy hc(t) − c(t0 ), N (t0 )i ≤ 0. A hc(t) − c(t0 ), N (t0 )i skaláris szorzatban a görbét a t0 -hoz tartozó második Taylor polinomjával közelítve: c(t) − c(t0 ) ≈ (t − t0 )c0 (t0 ) +

(t − t0 )2 00 c (t0 ) = 2

felhasználva, hogy a görbe természetes paraméterezés˝u = (t − t0 )c0 (t0 ) +

(t − t0 )2 0 T (t0 ) = 2

az els˝o Frenet-formulát beírva = (t − t0 )c0 (t0 ) +

(t − t0 )2 κ(t0 )N (t0 ). 2

1.5. SÍKGÖRBÉK GLOBÁLIS ELMÉLETE II: A NÉGY CSÚCSPONT TÉTELEI

22

c(t)

N (t0 )

c(t0 )

1.10. ábra. Konvex görbe Így (t − t0 )2 κ(t0 ). 2 Ha |t − t0 | elegend˝oen kicsi, akkor a harmad- és magasabb fokú tagok a jobb oldal el˝ojelét nem befolyásolják, így megállapíthatjuk az alábbi (precízen is bebizonyítható) tételt: hc(t) − c(t0 ), N (t0 )i =

1.42. Tétel. Egy egyszer˝u, periodikusan zárt síkgörbe akkor és csakis akkor konvex, ha görbületi függvénye nem el˝ojelváltó. 1.43. Definíció. Egy c : I → R2 parametrizált síkgörbének a t0 ∈ int I paraméterértéknél csúcspontja van, ha t0 a görbületi függvény stacionárius pontja, azaz κ0 (t0 ) = 0. Akkor is csúcspontokról beszélünk, ha a paramétertartomány egy [t1 , t2 ] részintervallumán a görbület konstans, azaz κ0 (t) = 0 teljesül minden t1 ≤ t ≤ t2 esetén. 1.44. Tétel (a négy csúcspont tétele). Egy egyszer˝u, periodikusan zárt síkgörbének legalább négy csúcspontja van. B IZONYÍTÁS . (Konvex görbékre.) Legyen pl. a görbületi függvény nemnegatív: κ ≥ 0. κ : [0, L] → R zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, így fölveszi minimumát és maximumát, tehát legalább két csúcspont van. Az általánosság megszorítása nélkül föltehetjük, hogy κ(0) a minimum (eltolás paramétertranszformációval ez elérhet˝o.) Jelölje t1 ∈ [0, L] a maximumhelyet. Ha t ∈ [0, t1 ], akkor κ0 (t) ≥ 0, ha t ∈ [t1 , L], akkor κ0 ≤ 0. Indirekt módon, tegyük fel, hogy nincs további csúcspont. Mozgassuk el a görbét úgy, hogy a c(0)c(t1 ) egyenes az x tengely legyen (1.11. ábra). A konvexitás miatt c(t0 ) és c(t1 ) pontokon kívül a görbének nincs több közös pontja az x tengellyel. Az x tengely fölött és alatt a görbület deriváltja állandó el˝ojel˝u, ellenkez˝o esetben újabb stacionárius pontot kapnánk. Legyen pl. az x tengely fölött κ0 ≥ 0, így κ0 · y ≥ 0 mindenütt teljesül.

1.6. TÉRGÖRBÉK FRENET-BÁZISA

23

y

c(t1 ) x

c(0)

1.11. ábra. A négy csúcspont tétele

Legyen c(t) = (x(t), y(t)). A görbe természetes paraméterezés˝u, tehát T 0 = c00 = (x00 , y 00 ) = κN = κ(−y 0 , x0 ), azaz x00 = −κy 0 és y 00 = κx0 . A parciális integrálás szabálya szerint: Z L Z L Z L L L 0 0 0≤ κ · y = [κy]0 − κ·y =0+ x00 = [x0 ]0 = 0. 0

0

0

Azt kaptuk, hogy egy nemnegatív folytonos függvény integrálja 0, ami csak úgy lenne lehetséges, ha κ0 y = 0, ami ellentmondás. Van tehát további csúcspont is. Három csúcspont létezéséb˝ol viszont következik a negyedik létezése is, mert κ0 nem rendelkezhet páratlan számú jelváltással.

1.6. Térgörbék Frenet-bázisa 1.45. Definíció. A c : I → R3 parametrizált térgörbét biregulárisnak nevezzük, ha ∀t ∈ I-re c0 (t), c00 (t) lineárisan független vektorok. Ekkor a c(t) + L c0 (t), c00 (t) síkot (kétdimenziós lineáris sokaságot) a c görbe c(t) pontbeli simulósíkjának nevezzük. Emlékeztetünk arra, hogy két bázist akkor nevezünk azonos irányításúnak, ha a báziscsere mátrixa pozitív determinánsú. 1.46. Tétel. Legyen c : I → R3 parametrizált bireguláris térgörbe. Ekkor egyértelm˝uen léteznek olyan T, F, B : I → R3 differenciálható leképezések, hogy ∀t ∈ I-re: (i) T (t), F (t), B(t) pozitív ortonormált bázis; (ii) T (t) a c(t) pozitív skalár szorosa, (iii) T (t), F (t) és c0 (t), c00 (t) ugyanazt a síkot generálják és irányításuk közös síkjukban megegyezik.


24

B IZONYÍTÁS . (T, F )-et (c0 , c00 )-b˝ol a Gram – Schmidt-eljárással lehet megkonstruálni: azaz c0 T = , v F∗ F ∗ = −hc00 , T iT + c00 , F = . kF ∗ k A konstrukció pontonként érvényes, s a fenti transzformációs formulák garantálják a T és F leképezések differenciálhatóságát. A jelöléseket egyszer˝usítve: T = a11 c0 (a11 > 0), F = a12 c0 + a22 c00 (a22 > 0). A (c0 , c00 ) → (T, F ) báziscsere mátrixának determinánsa pozitív: a11 a12 det = a11 · a22 > 0, 0 a22 tehát a két bázis azonos irányítású. Végezetül legyen B = T × F (vektoriális szorzat). Az egyértelm˝uséget a Gram – Schmidt-eljárás garantálja: maga az ortogonalizálás két ortonormált bázist is adna eredményül, de az egyik nem azonos irányítású a (c0 , c00 ) bázissal. A megtalált két vektort pozitív ortonormált bázissá kiegészíteni egyértelm˝uen lehet. 1.47. Definíció. (Az el˝oz˝o tétel jelöléseivel.) T, F, B-t a c bireguláris térgörbe érint˝o egységvektormez˝ojének, f˝onormális vektormez˝ojének, binormális vektormez˝ojének nevezzük, együttesen a görbe Frenet-bázisának. 1.48. Tétel.

c0 c0 × c00 , B= 0 , F = B × T. v kc × c00 k Természetes paraméterezés esetén T =

F =

c00 . kc00 k

B IZONYÍTÁS . Az els˝o három formula esetében nyilván elegend˝o csak a Bre vonatkozó állítást belátni. B és c0 × c00 egyaránt mer˝olegesek a simulósíkra, csak azt kell bizonyítani, hogy egymás pozitív skalár szorosai. A Gram – Schmidteljárás konstrukcióját használva: B = T × F = (a11 c0 ) × (a12 c0 + a22 c00 ) = a11 · a22 (c0 × c00 ), és a11 · a22 > 0. A negyedik formulára áttérve, természetes paraméterezés esetén hc0 , c0 i = 1, amely relációt deriválva: hc00 , c0 i + hc0 , c00 i = 0 =⇒ 2 · hc0 , c00 i = 0,

azaz ívhossz-paraméterezés esetén c0 ⊥ c00 , amib˝ol következik az állítás.


25

1.49. Tétel (derivációs formulák). Legyen c : I → R3 bireguláris térgörbe. Léteznek olyan ω1 , ω2 : I → R differenciálható függvények, hogy T0 = ω1 F F 0 = −ω1 T + ω2 B 0 B = − ω2 F

B IZONYÍTÁS . Írjuk fel T 0 , F 0 , B 0 Fourier el˝oállításait a (T, F, B) bázisban: T 0 = hT 0 , T iT + hT 0 , F iF + hT 0 , BiB, F 0 = hF 0 , T iT + hF 0 , F iF + hF 0 , BiB, B 0 = hB 0 , T iT + hB 0 , F iF + hB 0 , BiB.

Legyen X és Y 6= X a T, F, B bármelyike. Ekkor deriválással adódik, hogy hX, Xi = 1 =⇒ hX 0 , Xi = 0, hX, Y i = 0 =⇒ hX 0 , Y i + hX, Y 0 i = 0.

Másrészt T ∈ L(c0 ) =⇒ T 0 ∈ L(c0 , c00 ) =⇒ hT 0 , Bi = 0, hB 0 , T i = 0. Tehát ω1 = hT 0 , F i, ω2 = hF 0 , Bi a kívánt formulákat adja.

1.50. Definíció. A c : I → R3 bireguláris térgörbe κ : I → R görbületi- és τ : I → R torziófüggvényét az alábbiak szerint definiáljuk: hT 0 , F i hF 0 , Bi κ= , τ= . v v 1.51. Következmény (Frenet-formulák térgörbékre). T0 = κvF, 0 F = −κvT + τ vB, 0 B = − τ vF.

1.52. Tétel. Egy c : I → R3 bireguláris parametrizált görbe akkor és csakis akkor síkgörbe, ha torziófüggvénye zérus. B IZONYÍTÁS . A harmadik Frenet-formula alapján τ = 0 ekvivalens azzal, hogy B konstans. Legyen f : I → R, t 7→ f (t) = hB0 , c(t) − c0 i,

ahol B0 , c0 valamely rögzített paraméterértékhez tartoznak. Mindkét oldal deriválva: f 0 (t) = hB0 , c0 (t)i = hB(t), c0 (t)i = 0, tehát a görbe benne van a c0 -hoz tartozó simulósíkban. Feladatok 1.12. Feladat. Legyen a hengeres csavarvonal paraméterezése s s s c(s) = a cos , a sin , b , c c c 2 2 2 ahol c = a + b (azaz a görbe természetes paraméterezéssel van adva). Írjuk fel a kísér˝o triéder vektorai által kifeszített síkok egyenletét a görbe egy pontjában!

1.7. A GÖRBÜLET ÉS A TORZIÓ TULAJDONSÁGAI, A GÖRBEELMÉLET ALAPTÉTELE

26

1.13. Feladat. Legyen A, a > 0, α ∈ (0, π/2). A

c : R → R3 , c(t) = (A exp(at) cos t, A exp(at) sin t, A exp(at) ctg α, )

térgörbét kúpos csavarvonalnak nevezzük. (A görbe nyilvánvalóan illeszkedik az x2 + y 2 = z 2 ctg2 α egyenlet˝u forgáskúpra, melynek tengelye a z-tengely és félnyílásszöge α.) Lássuk be, hogy a. a kúpos csavarvonal érint˝oi állandó szöget zárnak be a kúp tengelyével; b. a görbe valamely pontjától a csúcspontig befutott „vég nélküli” görbedarab ívhossza véges és arányos a pontnak a csúcstól mért távolságával; c. a z tengely˝u, α félnyílásszög˝u forgáskúpon futó görbék közül az alkotókon kívül egyedül a kúpos csavarvonalak rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy érint˝oik állandó hegyesszöget képeznek a kúp tengelyével.I wxMaxima munkalap: PDF 1.7. A görbület és a torzió tulajdonságai, a görbeelmélet alaptétele 1.53. Tétel. Parametrizált bireguláris térgörbe görbületi függvénye mindig pozitív érték˝u. B IZONYÍTÁS . (T, F )-et a Gram – Schmidt-eljárással az alábbiak szerint konstruáltuk meg: T = a11 c0 és a11 > 0, =⇒ T 0 = a011 c0 + a11 c00 ; F = a12 c0 + a22 c00 és a22 > 0. Ennek alapján: hT 0 , F i = ha011 c0 + a11 c00 , F i = a11 hc00 , F i =

a11 a11 hF − a21 c0 , F i = > 0, a22 a22

c0 és F mer˝olegességét kétszer is használva.

1.54. Tétel. Ha a c : I → R3 bireguláris térgörbe természetes paraméterezés˝u, akkor a κ görbületi és τ torziófüggvényére: |c0 , c00 , c000 | κ = kc00 k, τ= . κ2 B IZONYÍTÁS . A természetes paraméterezés miatt: T = c0 . Az els˝o Frenetformula alapján: T 0 = c00 = κF =⇒ kc00 k = |κ| · kF k = κ

hiszen kF k = 1 és κ > 0. A torzió kiszámításához induljunk ki az F = c00 /κ formulából, amelyet a hányadosfüggvény deriválási szabálya szerint deriválunk: c000 κ − c00 κ0 . F0 = κ2 Így c000 κ − c00 κ0 0 c00 |c0 , c00 , c000 | τ = hF 0 , Bi = h , c × i = , κ2 κ κ2 felhasználva, hogy c00 ⊥ c0 × c00 .


27

1.55. Példa. A hengeres csavarvonal görbülete és torziója. Legyen a hengeres csavarvonal paraméteres el˝oállítása: s s as 3 c : [0, 2π] → R , t 7→ c(t) = R cos √ , R sin √ ,√ R 2 + a2 R 2 + a2 R 2 + a2 (R, a > 0). Mint korábban már láttuk, ekkor c természetes paraméterezés˝u. 1 s s 0 T (s) = c (s) = √ −R sin √ , R cos √ ,a R 2 + a2 R 2 + a2 R 2 + a2 s s 1 0 −R cos √ , −R sin √ ,0 T (s) = 2 R + a2 R 2 + a2 R 2 + a2 R κ = kT 0 (s)k = 2 . R + a2 s s T 0 (s) = − cos √ , − sin √ ,0 , F (s) = kT 0 (s)k R 2 + a2 R 2 + a2 1 s s B(s) = T (s) × F (s) = √ a sin √ , −a cos √ ,R , R 2 + a2 R 2 + a2 R 2 + a2 1 s s 0 B (s) = 2 , a sin √ ,0 . a cos √ R + a2 R 2 + a2 R 2 + a2 A Frenet-formulákból tudjuk, hogy (ívhossz-paraméterezés esetén) B 0 = −τ F , tehát az el˝obbi képletekb˝ol a torzió leolvasható: a τ= 2 . R + a2 A következ˝o tételben a görbület és torzió gyakran használt kiszámítási szabályát adjuk meg. 1.56. Tétel. Ha a c : I → R3 bireguláris térgörbe, akkor a κ görbületi és τ torziófüggvényére: kc0 × c00 k |c0 , c00 , c000 | κ= , τ = . v3 kc0 × c00 k2 B IZONYÍTÁS . Írjuk föl T 0 -t egyrészt a második Frenet-formula alapján, másrészt a T = c0 /v kifejezést deriválva: c00 v − c0 v 0 (1.5) T = = κvF. v2 Vektoriálisan szorozva c0 -vel: c00 × c0 = κvF × c0 . v Mindkét oldalnak a normáját véve, felhasználva, hogy F ⊥ c0 és kF k = 1: 0

kc00 × c0 k = κv 2 , v


28

amib˝ol a görbületre adott kifejezés rendezéssel azonnal következik. A torzió kiszámításához induljunk ki ismét az (1.5) összefüggésb˝ol. Deriváljunk még egyszer: (κv 3 )0 F + κv 3 F 0 = c000 v + c00 v 0 − c00 v 0 − c0 v 00 ,

majd szorozzuk be mindkét oldalt skalárisan B = (c0 × c00 )/kc0 × c00 k-vel! Felhasználva, hogy az egymásra mer˝oleges vektorok skaláris szorzata zérus, κv 2 hF 0 , Bi = azaz

hc000 , c0 × c00 i , kc0 × c00 k

|c0 , c00 , c000 | . kc0 × c00 k A görbületre már megkapott kifejezésb˝ol κv 3 = kc0 × c00 k, amit behelyettesítve a bizonyítandó állítást kapjuk. κv 3 τ =

1.57. Tétel. A bireguláris térgörbék görbülete izometriával és paramétertranszformációval szemben invariáns. A bireguláris térgörbék torziója irányítástartó izometriával és tetsz˝oleges paramétertranszformációval szemben invariáns, míg irányításváltó izometriánál el˝ojelet vált. B IZONYÍTÁS . Az el˝obbi tételben megadott kiszámítási szabályokba behelyettesítve, a síkgörbéknél megismert módon kapjuk az állítást. (V.ö. a 1.22. és 1.20. tételekkel!) A görbület és torziófüggvény jelent˝osége, hogy paramétertranszformációtól és izometriától eltekintve egyértelm˝uen meghatározzák a parametrizált térgörbét. 1.58. Tétel (A görbeelmélet alaptétele.). Unicitás. Tegyük fel, hogy c1 , c2 : I → R3 természetes paraméterezés˝u bireguláris térgörbék, továbbá görbület és torziófüggvényük megegyezik. Ekkor létezik olyan φ : R3 → R3 irányítástartó izometria, mely egyiket a másikba viszi, azaz c2 = φ ◦ c1 . Egzisztencia. Tetsz˝olegesen adott κ : [a, b] → R pozitív, differenciálható és τ : [a, b] → R differenciálható függvényekhez létezik olyan c : [a, b] → R3 természetes paraméterezés˝u bireguláris térgörbe, melynek görbületi és torziófüggvénye éppen κ és τ . B IZONYÍTÁS . Egzisztencia (vázlat). A bizonyítás technikailag összetett, de az ötlete nagyon egyszer˝u: ha a görbület és a torzió ismert, akkor a Frenetformulák a Frenet-bázisra (pontosabban a 9 komponensfüggvényre) egy 9 egyenletb˝ol álló közönséges differenciálegyenlet-rendszert alkotnak, amelyre alkalmazhatjuk az analízisb˝ol ismert egzisztencia és unicitástételt (megfelel˝o kezdeti feltételek esetén). Miután T -t meghatároztuk, c0 = T egy újabb közönséges differenciálegyenlet-rendszer (c három komponensfüggvényére), mely integrálással megoldható. Arról kell még meggy˝oz˝odni, hogy az így kapott görbe kielégíti az összes feltételt. Unicitás. Jelölje (T1 , F1 , B1 ) ill. (T2 , F2 , B2 ) a megfelel˝o Frenet-bázisokat.


29

A lineáris kiterjesztés tétele miatt létezik olyan φ ∈ L(R3 ; R3 ) pozitív ortogonális transzformáció, hogy φ(T1 (a)) = T2 (a), φ(F1 (a)) = F2 (a), φ(B1 (a)) = B2 (a). Létezik továbbá olyan ν : R3 → R3 transzláció, hogy ν(φ(c1 (a))) = c2 (a).

Azt állítjuk, hogy Φ = ν ◦ φ a keresett izometria. Definiáljuk a d : I → R függvényt a következ˝oképpen:

2d = kφ ◦ T1 − T2 k2 + kφ ◦ F1 − F2 k2 + kφ ◦ B1 − B2 k2 .

Egyszer˝u, de kissé hosszadalmas számolással, a Frenet-formulákat alkalmazva látható, hogy d0 = 0. Ez azt jelenti, hogy d konstans függvény, ∀s ∈ [a, b]-re d(s) = d(a) = 0. Innen az következik, hogy: φ ◦ T1 = T2 , φ ◦ F1 = F2 , φ ◦ B1 = B2 .

Az els˝o relációt használva: φ ◦ c01 = c02 =⇒ (Φ ◦ c1 )0 = c02 , azaz a Φ ◦ c1 − c2 leképezés konstans: ∀s ∈ [a, b] : (Φ ◦ c1 − c2 )(s) = (Φ ◦ c1 − c2 )(0) = (Φ ◦ c1 )(0) − c2 (0) = 0,

amivel az állítást igazoltuk.

1.59. Tétel. A konstans görbület˝u és torziójú bireguláris parametrizált térgörbék képhalmaza kör vagy hengeres csavarvonal. B IZONYÍTÁS . Mivel a paramétertranszformáció a képhalmazt nem változtatja meg, feltehet˝o, hogy természetes paraméterezés˝u bireguláris térgörbékr˝ol beszélünk. Legyen el˝oször a torziófüggvény zérus. κ = 1/R > 0. A s s c : I → R3 , s 7→ c(s) = (R · cos , R · sin , 0) R R parametrizált görbe görbülete 1/R, a görbe természetes paraméterezés˝u és Im c körvonal. Ha valamely c˜: I → R3 zérus torziójú bireguláris parametrizált görbe görbülete szintén 1/R, akkor ez a görbe már a görbeelmélet alaptétele szerint egybevágó c-vel. Azaz Im c és Im c˜ egybevágó körvonalak. Ha a torziófüggvény nem zérus – felhasználva a hengeres csavarvonal görbületére és torziójára korábban kapott eredményt –, ugyanezt a gondolatmenetet alkalmazhatjuk, de most c hengeres csavarvonal lesz. Tehát adott konstans görbülethez és konstans torzióhoz konstruálunk egy természetes parametrizálású hengeres csavarvonalat, melynek görbülete és torziója éppen ez a két szám (azaz a megfelel˝o értékre beállítjuk a henger sugarát és az emelkedés sebességét), s minden más ugyanilyen görbület˝u és torziójú, természetes paraméterezés˝u bireguláris parametrizált térgörbe ett˝ol már csak izometriában különbözik. 1.60. Megjegyzés. Az egyenes nem bireguláris térgörbe, így térgörbeként sem görbületét, sem torzióját nem értelmeztük. Ugyanakkor az egyenes, mint síkgörbe zérus görbület˝u és megállapodhatunk abban, hogy a nem bireguláris síkgörbék torzióját is zérusnak tekintjük. Így az el˝oz˝o állítás felsorolását még az egyenessel


30

is kiegészíthetjük: az egyenes zéró torziójú és görbület˝u térgörbe. (Ugyanakkor nem bireguláris.) Feladatok 1.14. Feladat. Egy bireguláris síkgörbére kétféle görbület értelmezést is adtunk, síkgörbeként (1.16. definíció) és térgörbeként (1.50. definíció). Lássuk be, hogy a két görbület el˝ojelt˝ol eltekintve ugyanazt az értéket adja. 1.15. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy egy ívhossz-paraméterezés˝u c görbére c000 = −κ2 T + κ0 F + κτ B teljesül, a szokásos jelölésekkel. 1.16. Feladat. Lássuk be, hogy a görbe egy rögzített simulósíkjára vonatkozó mer˝oleges vetületét a vetület második Taylor-polinomjával közelítve parabolát kapunk, melynek tengelye a f˝onormális; míg a rektifikálósíkra (azaz az érint˝o és a binormális által kifeszített síkra) es˝o mer˝oleges vetületét a vetület harmadik Taylor-polinomjával közelítve harmadrend˝u parabolát kapunk.

2. FEJEZET

Felületek differenciálgeometriája 2.1. Implicit felületek A bennünket körülvev˝o világban rengeteg olyan objektum van, amelyre a felület szót használjuk. Ezen felületek matematikai modelljének megadása számos gyakorlati szempontból fontos lehet. (Felület felszínének meghatározása, komputergrafikai alkalmazások, mérnöki számítások.) Kezdjük azzal a felülettel, amely talán a legegyszer˝ubbnek t˝unik, a gömbfelülettel. Geometriai szempontból a gömbfelület egy rögzített ponttól rögzített pozitív távolságra elhelyezked˝o pontok halmaza a térben. Descartes-koordináták használatával az origó középpontú, R sugarú gömb egyenlete (2.1)

x2 + y 2 + z 2 = R 2 .

Sok, geometriailag könnyen definiálható felület pontjai, és csakis azok el˝oállíthatók (2.1)-hez hasonlóan egy (több ismeretlenes) egyenlet megoldáshalmazaként. Például egy egyenes körhengert geometriailag úgy definiálhatunk, hogy egy rögzített egyenest˝ol rögzített pozitív távolságra elhelyezked˝o pontok halmaza. Ha ismét Descartes-koordinátákat használunk és a tengely a z tengely, a rögzített távolság pedig ismét R, akkor egy egyenes körhenger egyenlete (2.2)

x2 + y 2 = R 2 .

A következ˝o példánk az egyenes körkúp, amelyet geometriailag megkaphatunk úgy, hogy egy egyenest megforgatunk egy o˝ t metsz˝o egyenes körül. Legyen a forgástengely a z tengely, a forgatott egyenes pedig az xz sík x = a · z egyenese. Ekkor a kúp egyenlete (2.3)

x 2 + y 2 = a2 · z 2 .

A (2.1)–(2.3) egyenletekkel megadott felületek általánosan F (x, y, z) = 0 alakúak, ahol F : R3 → R differenciálható függvény. (Az el˝obbi példákban F minden változóban legfeljebb kvadratikus, tehát differenciálható.) A felületek között azonban több eltérés van: a gömb kompakt, a többi példa nem is korlátos. A kúpnak van egy speciális pontja, a csúcspont, ahol a felület nem „sima”. Hogyan ismerhet˝o föl a kúp csúcspontja az egyenletéb˝ol? Látható, hogy a csúcspont, (jelen esetben az origó) az F (x, y, z) = x2 + y 2 − a2 z 2 függvény kritikus pontja: dF (x, y, z) = (2x, 2y, 2za2 ), dF (0, 0, 0) = (0, 0, 0),

míg a többi felület egyetlen pontja sem kritikus pontja a megfelel˝o F -nek. 31

2.1. IMPLICIT FELÜLETEK

32

2.1. ábra. Három ismer˝os felület: gömb, henger és kúp.

2.1. Definíció. Legyen F : R3 → R differenciálható függvény. Azt mondjuk, hogy az F (x, y, z) = 0 egyenlet egy reguláris implicit egyenlet, ha teljesül, hogy F (p) = 0 =⇒ dF (p) 6= 0

(p ∈ R3 ).

Egy térbeli ponthalmazt reguláris implicit felületnek nevezünk, ha el˝oállítható egy reguláris implicit egyenlet megoldáshalmazaként. Az eddigi példákban szerepl˝o implicit felületek mindegyikében F mindhárom változójában legfeljebb kvadratikus volt. Az ilyen implicit felületeket nevezzük általánosan másodrend˝u felületeknek. 2.2. Példa (másodrend˝u felületek). Legyen A ∈ R3×3 szimmetrikus nem zéró mátrix, a ∈ R3 , α ∈ R. F : R3 → R, p 7→ F (p) = hAp, pi + 2ha, pi + α. A {p ∈ R3 | F (p) = 0} halmazt másodrend˝u felületnek nevezzük. Vizsgáljuk meg, hogy a másodrend˝u felületnek van-e kritikus pontja! dF (p) = 2Ap + 2a p ∈ R3 , azaz dF (p) = 0 ⇐⇒ Ap + a = 0. A másodrend˝u felületet másodrend˝u kúpnak nevezzük, ha van olyan p0 pontja, melyre Ap0 +a = 0. (p0 -t a másodrend˝u kúp csúcspontjának nevezzük.) Belátható (ld. 2.1. feladat), hogy a csúcspont affin invariáns fogalom, tehát másodrend˝u felület csúcspontját affin transzformáció az affin transzformált felület csúcspontjába viszi. Világos, hogy ha egy másodrend˝u felület nem másodrend˝u kúp, akkor reguláris implicit felület. Másodrend˝u felületet affin transzformáció másodrend˝u felületbe visz át (ennek a lineáris algebrából ismert ténynek a bizonyítása kiolvasható a 2.1. feladat megoldásából is.) Belátható, hogy egybevágósági transzformációval minden másodrend˝u felület a 1. táblázatban szerepl˝o másodrend˝u felületek valamelyikébe vihet˝o át, továbbá a táblázatban szerepl˝o másodrend˝u felületek egymásba egybevágósági transzformációval nem vihet˝ok át.

2.1. IMPLICIT FELÜLETEK

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

33

valós ellipszoid x2 /a2 + y 2 /b2 + z 2 /c2 = 1 képzetes ellipszoid x2 /a2 + y 2 /b2 + z 2 /c2 = −1 egyköpeny˝u hiperboloid x2 /a2 + y 2 /b2 − z 2 /c2 = 1 kétköpeny˝u hiperboloid x2 /a2 + y 2 /b2 − z 2 /c2 = −1 valós másodrend˝u kúp x2 /a2 + y 2 /b2 − z 2 /c2 = 0 képzetes másodrend˝u kúp x2 /a2 + y 2 /b2 + z 2 /c2 = 0 elliptikus paraboloid x2 /a2 + y 2 /b2 + 2z = 0 hiperbolikus paraboloid x2 /a2 − y 2 /b2 + 2z = 0 valós elliptikus henger x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 képzetes elliptikus henger x2 /a2 + y 2 /b2 = −1 hiperbolikus henger x2 /a2 − y 2 /b2 = 1 valós metsz˝o síkpár x2 /a2 − y 2 /b2 = 0 képzetes metsz˝o síkpár x2 /a2 + y 2 /b2 = 0 parabolikus henger x2 + 2ry = 0 valós párhuzamos síkpár x 2 = a2 képzetes párhuzamos síkpár x2 = −a2 egybees˝o síkpár x2 = 0 1. táblázat. A másodrend˝u felületek izometria osztályai

2.2. ábra. Tórusz.

2.3. Példa (a tórusz, mint reguláris implicit felület). Az xz sík (x − a)2 + z 2 = b2 egyenlet˝u körét megforgatjuk a z tengely körül. Ha a kör egyenletében x helyére p x2 + y 2 -t helyettesítünk, akkor kapjuk a tórusz egyenletét: (2.4)

p ( x2 + y 2 − a)2 + z 2 − b2 = 0.

2.2. PARAMETRIZÁLT FELÜLETEK

34

p Az F (x, y, z) = ( x2 + y 2 − a)2 + z 2 − b2 függvény nem felel meg a definíciónk követelményének, mert a z tengely mentén nem differenciálható: p  p  2 2 2 2 2x y + x − a 2y y +x −a p p dF (x, y, z) =  , , 2z  . y 2 + x2 y 2 + x2 (2.4)-ben a négyzetre emelést elvégezve, a négyzetgyökös kifejezést a jobb oldalra rendezve, majd mindkét oldalt négyzetre emelve: p x2 + y 2 + z 2 − b2 + a2 = 2a y 2 + x2 (x2 + y 2 + z 2 − b2 + a2 )2 = 4a2 (y 2 + x2 ) Így F (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 − b2 + a2 )2 − 4a2 (y 2 + x2 ) esetén F minden változóban polinomiális, így differenciálható. Nem nehéz elleno˝ rizni, hogy a tórusz egyetlen pontja sem kritikus pontja F -nek. A felületek matematikai modellezésére sok más megközelítést is használnak. Jóllehet a fejezetben szerepl˝o implicit felületek egyenletét a geometriai származtatásból nagyon könny˝u volt megadni, a továbbiakban egy másik fajta megközelítést alkalmazunk, amely sok hasonlóságot mutat a parametrizált görbékkel. A görbepont helyzetvektorát egy paraméter függvényeként állítottuk el˝o, a felületi pont helyzetvektorát két paraméter differenciálható függvényeként fogjuk el˝oállítani: így jutunk a parametrizált felületekhez. Az implicit felületek és a parametrizált felületek halmaza nem esik egybe, kapcsolatukkal a kés˝obbiekben foglalkozunk. Feladatok 2.1. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy másodrend˝u felület csúcspontját affin transzformáció az affin transzformált felület csúcspontjába viszi. (I) 2.2. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az z = x · y egyenlet˝u másodrend˝u felület (a hiperbolikus paraboloid) reguláris implicit felület! 2.3. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az x2 + y 2 − z 2 = −1 egyenlet˝u kétköpeny˝u hiperboloid olyan reguláris implicit felület, amely nem összefügg˝o, azaz van a felületen két olyan pont, amelyet a felületen haladó folytonos görbével nem lehet összekötni. 2.4. Feladat. Lássuk be, hogy az F (x, y, z) = x2 függvénynek az origó kritikus pontja, ugyanakkor az x2 = 0 egyenlet˝u ponthalmaz mégis reguláris implicit felület. 2.2. Parametrizált felületek A továbbiakban U ⊆ R2 nem üres nyílt halmazt jelöl. Megállapodunk néhány jelölésben. Egy r : U → R3 differenciálható leképezésnél a változókat általában u-val és v-vel, a komponensfüggvényeket x, y, z-vel jelöljük, azaz r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).


35

r els˝o és második változó szerinti parciális deriváltjait ru és rv jelöli, tehát ∂x ∂y ∂z , , ru (p) = ∂u ∂u ∂u p ∂x ∂y ∂z rv (p) = , , , p = (u, v). ∂v ∂v ∂v p Továbbá  ∂x dr(p) =

∂u  ∂y  ∂u ∂z ∂u

∂x  ∂v ∂y  ∂v  ∂z ∂v p

= (ru , rv )p = (ru (p), rv (p)) ∈ R3×2 .

Ha (e1 , e2 ) jelöli R2 kanonikus bázisát, akkor dr(p)(e1 ) = ru (p), dr(p)(e2 ) = rv (p),

p ∈ U.

Ha nem forog fenn félreértés veszélye, akkor p ∈ U kiírását mell˝ozhetjük: dr = (ru , rv ). 2.4. Definíció. Legyen U ⊆ R2 egy nem üres nyílt halmaz. Egy r : U → R3 differenciálható leképezést reguláris parametrizált felületnek (röviden parametrizált felületnek) nevezünk, ha teljesül, hogy (2.5)

∀p ∈ U : rang dr(p) = 2.

2.5. Megjegyzés. Az (2.5) feltétel többféleképpen is átfogalmazható. A következ˝o állítások ekvivalenciája a (2.5) feltétellel a lineáris algebrából ismert. ∀p ∈ U-ra (1) dr(p) : R2 → R3 , R2 3 X 7→ dr(p) · X injektív lineáris leképezés (2) dr(p) ∈ R3×2 bal invertálható mátrix1 (3) (ru (p), rv (p)) lineárisan független vektorrendszer (4) dim L(ru (p), rv (p)) = 2 (5) ru × rv 6= 0. 2.6. Példa (parametrizált sík). A lineáris algebrai tanulmányokból már ismert, hogy az r : R2 → R3 , r(u, v) = r0 + ux + vy, (ahol (x, y) lineárisan független vektorrendszer R3 -ban, r0 tetsz˝oleges vektor) parametrizált felület egy sík. 2 2.7. Példa (parametrizált félgömb). A gömb x2 + yp + z 2 − r2 = 0 egyenletéb˝ol a z változót kifejezhetjük, ha z > 0, akkor z = r2 − x2 − y 2 , így, ha U = {(u, v) ∈ R2 | u2 + v 2 < 1}, akkor √ r : U → R3 , r(u, v) = (u, v, r2 − u2 − v 2 )

egy parametrizált félgömb. A regularitási feltétel nyilvánvalóan teljesül (ellen˝orizzük). 1

Emlékeztetünk arra, hogy egy A ∈ Rn×m mátrix bal inverze egy olyan B ∈ Rm×n mátrix, melyre BA = 1m , ahol a jobb oldalon az m × m-es egységmátrix áll. Könnyen látható, hogy A ∈ Rn×m akkor és csakis akkor bal invertálható, ha rang A = m.


36

z z

r(u, v) = P + v · a

y

y a

x

x

P = c(u)

2.3. ábra. Parametrizált hengerfelület z

z M r(u, v) = v · P + (1 − v) · M

y

y x

x P = c(u)

2.4. ábra. Parametrizált kúpfelület

2.8. Példa (parametrizált hengerfelület). Legyen c : I → R3 reguláris parametrizált görbe, a ∈ R3 nemzéró vektor, továbbá a sehol sem párhuzamos c0 -vel. A c vezérgörbéj˝u a alkotóirányú hengerfelület paraméteres el˝oállítása: r : I × R → R3 , r(u, v) = c(u) + v · a. Mivel dr(u, v) = (c0 (u), a) és a feltétel miatt rang(c0 (u), a) = 2, ezért egy reguláris parametrizált felületet kaptunk. 2.9. Példa (parametrizált kúpfelület). Legyen c : I → R3 reguláris parametrizált görbe, M ∈ R3 egy pont. A c vezérgörbéj˝u M csúcspontú kúpfelület paraméteres el˝oállítása r : I × R → R3 , r(u, v) = v · c(u) + (1 − v) · M.


37

z

y x

2.5. ábra. Parametrizált forgásfelület Mivel dr(u, v) = (v·c0 (u), c(u)−M ), ezért rang dr(u, 0) = rang(0, c(u)−M ) 6= 2, így nem reguláris parametrizált felületet kapunk. Ha kiegészítjük a geometriai feltételeket azzal, hogy c0 (u) 6 k c(u) − M és a paramétertartomány U = I × R+ , akkor már reguláris parametrizált felületet kapunk. 2.10. Példa (parametrizált forgásfelület). Legyen adva az xz síkban a c : I → R3 , c(u) = (x(u), 0, z(u)) reguláris parametrizált görbe, melyet megforgatunk a z tengely körül. Ha a forgatás szöge v ∈ J ⊂ R, akkor egy forgásfelületet kapunk: (2.6)

r : I × J → R3 , r(u, v) = rotz (v)c(u).

Koordinátákkal    x(u) cos v − sin v 0 r(u, v) =  sin v cos v 0 ·  0  , z(u) 0 0 1 

azaz r(u, v) = (x(u) cos v, x(u) sin v, z(u)). Vizsgáljuk meg a regularitási feltételt! 0 t x (u) cos v x0 (u) sin v z 0 (u) dr(u, v) = . −x(u) sin v x(u) cos v 0

Innen egyszer˝u számítás után kru ×rv k2 = x(u)2 · kc0 (u)k2 adódik, azaz x(u) 6= 0 esetén a felület reguláris. 2.11. Példa (Parametrizált gömbfelület). Egy olyan félkört kell megforgatnunk a z tengely körül, melynek átmér˝oje a z tengelyen van. Az el˝oz˝o példát alkalmazva


38

c(u) = (R cos u, 0, R sin u) és u ∈ (−π/2, π/2), így r(u, v) = (R cos u cos v, R cos u sin v, R sin u), (v ∈ R).

A teljes gömbfelület minden pontját megkapjuk, ha [−π/2, π/2] ⊂ I 3 u, de u = ±π/2-re a regularitási feltétel nem teljesül. (A teljes gömböt nem tudjuk úgy tekinteni, mint reguláris parametrizált felületet.) A gömbnek ezt a paraméterezését hosszúsági kör-szélességi kör paraméterezésnek, röviden földrajzi paraméterezésnek nevezzük. 2.12. Példa (parametrizált tórusz). Ismét a 2.10 példa szerint járunk el: c(u) = (a + b · cos u, 0, b · sin u), azaz az (a, 0, 0) középpontú, b sugarú kört megforgatjuk a z körül (a, b > 0, a > b). A kapott felület paraméteres el˝oállítása: (2.7) r(u, v) = (a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sin v, b sin u . A feltételek miatt a + b cos u > 0, így a regularitási feltétel minden pontban teljesül. 2.13. Példa (vonalfelület). Legyen α : I → R3 egy reguláris térgörbe, E : I → R3 egységvektor-mez˝o, azaz ∀t ∈ I-re kE(t)k = 1. α minden t paraméterérték˝u pontjában tekintünk egy E(t) irányvektorú egyenest. Ezek az egyenesek alkotják az (α, E) által generált vonalfelületet. Paraméteres el˝oállítása r : I × R, (u, v) 7→ r(u, v) = α(u) + v · E(u). Vizsgáljuk meg a regularitási feltételt! ru (u, v) = α0 (u) + v · E 0 (u) rv (u, v) = E(u).

Olyan paraméterértékeket keresünk, amelyekre ru × rv = 0, ezekben a pontokban nem teljesül a regularitás. kru × rv k2 = kru k2 krv k2 − hru , rv i2 = hru , ru ihrv , rv i − hru , rv i2 . Mivel hE, Ei = 1, így hE, E 0 i = 0, tehát hru , rv i = hα0 (u), E(u)i, továbbá hrv , rv i = 1 és hru , ru i = hα0 (u), α0 (u)i + 2vhα0 (u), E 0 (u)i + v 2 hE 0 (u), E 0 (u)i.

Így ahol

kru × rv k = a(u)v 2 + b(u)v + c(u),

a(u) = kE(u)k2 , b(u) = hα0 (u), E 0 (u)i, c(u) = kα0 (u)k2 − hα0 (u), E(u)i2 . Megállapíthatjuk, hogy (u, v) pontosan akkor nem reguláris hely, ha v a pu = a(u)v 2 + b(u)v + c(u) (v-re másodfokú) polinomnak zérushelye.


39

2.6. ábra. Möbius-szalag

2.14. Példa (Möbius-szalag). Egy téglalap alakú papírszalag rövidebbik oldalait úgy ragasztjuk össze, hogy közben a szalagot egyszer megtekerjük. (Lásd 2.6. ábra.) Ennek az alakzatnak egy modelljét speciális vonalfelületként kaphatjuk meg. Az el˝oz˝o példában α(u) = (cos(u), sin(u), 0) E(u) = roty (u/2)(0, 0, 1) = (− sin(u/2), 0, cos(u/2)). Azaz az egységvektor-mez˝ot úgy kapjuk, hogy az e3 = (0, 0, 1) vektort az u paraméterérték˝u pontnál u/2-vel megforgatjuk az y tengely körül. Így ha u ∈ [0, 2π], az e3 vektor pontosan egy félfordulatot tesz meg. A paraméteres el˝oállítás r(u, v) = (cos(u) − sin(u/2)v, sin(u), cos(u/2)v). A regularitási feltételt a 2.13. Feladatban vizsgáljuk. 2.15. Példa (egyparaméteres izometriacsoport által generált felület I). A forgásfelületek (2.6) el˝oállítását általánosítjuk. A rotz : R → R3×3 , v 7→ rotz (v) leképezésre teljesül, hogy: (1) minden v-re rotz (v) izometria (2) rotz (0) = 1 ∈ R3×3 (3) rotz (t + s) = rotz (t) ◦ rotz (s). A fenti tulajdonságokkal nem csak a z tengely körüli elforgatás rendelkezik. Könny˝u látni, hogy a γ : v 7→ γ(v) = rote (v) + va · e (e ∈ R3 egységvektor, a ∈ R) leképezés szintén ilyen tulajdonságú: minden v-re γ(v) csavarmozgás, tehát izometria, γ(0) = 1 ∈ R3×3 , továbbá γ(t) ◦ γ(s)(x) = γ(t)(rote (s)x + sae) =

= rote (t) rote (s)x + rote (t)(sae) + tae = = rote (t) rote (s)x + sa rote (t)(e) + tae

mivel rote (t)(e) = e, = rote (t) rote (s)x + sae + tae = rote (t + s) + (t + s)ae. Úgy is fogalmazhatunk, hogy {γ(v) | v ∈ R} izometriák egyparaméteres csoportja. Belátható, hogy a térben minden egyparaméteres izometriacsoportot (azaz


40

z

y x

2.7. ábra. Csavarfelület

az (1)–(3) tulajdonságot teljesít˝o csoportot) az el˝obbi módon lehet megadni, tehát azonos irányú csavarmozgások alkotják, ahol az elforgatás szöge és az eltolás mértéke arányosak. Legyen c : I → R3 reguláris parametrizált görbe, {γ(v) | v ∈ R} izometriák egyparaméteres csoportja. Az általuk generált felület: (2.8)

r : I × R, (u, v) 7→ r(u, v) = γ(v)(c(u)),

ha r reguláris. (2.8) nem feltétlenül reguláris felületet ad, ezért a regularitást külön meg kell követelni. Minden forgásfelület ilyen típusú felület. Nem forgásfelület a csavarfelület, ahol c(u) = (u, 0, 0), e = e3 = (0, 0, 1), azaz r(u, v) = rotz (v)c(u) + ave3 = (u cos v, u sin v, v). Ennek regularitását a 2.11. feladatban vizsgáljuk meg. 2.16. Definíció. Legyen r : U → R3 parametrizált felület. Az L(ru (p), rv (p)) = Tp r ⊂ R3

kétdimenziós alteret az r felület p ponthoz tartozó érint˝o iránysíkjának, míg az r(p) + Tp r síkot r érint˝osíkjának nevezzük a p pontban. Az X ∈ Tp r vektort a felület p pontbeli érint˝ovektorának nevezünk. (A paramétertartomány p pontjára gyakran a jelölésben is utalunk: Xp ∈ Tp r.) 2.17. Tétel. Legyen r : U → R3 parametrizált felület, p ∈ U. A felület p ponthoz tartozó érint˝osíkjának egyenlete |X − r(p), ru (p), rv (p)| = 0.


41

B IZONYÍTÁS . Az érint˝osík normálvektora ru (p)×rv (p), azaz X ∈ R3 akkor és csakis akkor illeszkedik az érint˝osíkra, ha hX − r(p), ru (p)×rv (p)i = 0, ami állításunkat jelenti. A továbbiakban az érint˝osíknak nem lesz jelent˝osége a tárgyalásunkban, csak az érint˝o iránysíknak, így kissé pontatlanul, a Tp r alteret fogjuk érint˝osíknak nevezni. Feladatok 2.5. Feladat. Határozzuk meg a földrajzi paraméterezés˝u gömbre az n = (ru × rv )/kru × rv k vektort! 2.6. Feladat. Adjuk meg annak a hengerfelületnek a paraméteres el˝oállítását, melynek vezérgörbéje az xy sík origó középpontú egységköre, alkotóiránya pedig a. (0, 0, 1) b. (1, 1, 1). 2.7. Feladat. Írjuk fel annak a hengernek a paraméteres el˝oállítását, amelynek vezérgörbéje az xy = 1, z = 0 hiperbola, alkotóegyenesei pedig az 4−z x+1 = −y = 3 2 egyenletrendszer˝u egyenessel párhuzamosak. 2.8. Feladat. Adjuk meg annak a kúpfelületnek a paraméteres el˝oállítását és implicit egyenletét, amelynek vezérgörbéje az x2 + y 2 = 4, z = 0 kör, csúcspontja pedig (0, 0, 1) ∈ R3 . 2.9. Feladat. a. Az y 2 = ax, z = 0 parabolát megforgatjuk a tengelye körül. Írjuk föl az így keletkez˝o forgásfelület paraméteres el˝oállítását és implicit egyenletét! b. Ugyanezt a parabolát az y tengely körül is megforgatjuk. Bizonyítsuk be, hogy így negyedrend˝u felületet kapunk. wxMaxima munkalap: PDF

2.3. FELÜLETI GÖRBÉK

42

2.10. Feladat. Határozzuk meg az r(u, v) = (u, v, u · v) parametrizált felület normálvektorát az u = −1, v = 2 pontban! wxMaxima munkalap: PDF 2.11. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az r : R × R → R3 , (u, v) 7→ r(u, v) = (u cos v, u sin v, v) csavarfelület reguláris felület! wxMaxima munkalap: PDF 2.12. Feladat. Legyen c : I → R3 bireguláris térgörbe. Az

r : I × R, (u, v) 7→ r(u, v) = c(u) + c0 (u) · v

felületet a görbe érint˝ofelületének nevezzük. Vizsgáljuk a felület regularitását! 2.13. Feladat. Vizsgáljuk a Möbius-szalag regularitását! wxMaxima munkalap: PDF 2.3. Felületi görbék 2.18. Definíció. Legyen r : U → R3 parametrizált felület, c : I → U reguláris parametrizált görbe. A c˜ = r ◦ c : I → R3 parametrizált görbét felületi görbének nevezzük. c >U I c˜ =

r

r◦ c >

∨

R3 Speciálisan, legyenek v0 , u0 konstansok, c1 (t) = (t, v0 ), (t, v0 ) ∈ U, illetve c2 (t) = (u0 , t), (u0 , t) ∈ U, (esetleg elfajuló) szakaszok a paramétertartományban. A c˜u (t) = r(t, v0 ) és c˜v (t) = r(u0 , t) felületi görbéket az r felület paramétervonalainak nevezzük. Határozzuk meg a paramétervonalak sebességvektorait: c˜0u (t) = dr(t, v0 ) · e1 = ru (t, v0 )

c˜0v (t) = dr(u0 , t) · e2 = rv (u0 , t).

A fenti relációk alapján az ru (p), rv (p) (p ∈ U) vektorokat paramétervonal-érint˝oknek is szokás nevezni a p pontban.

2.3. FELÜLETI GÖRBÉK

43

2.8. ábra. Paramétervonalak a gömbön 2.19. Példa. A gömb földrajzi paraméterezésének (ld. 2.11. példa) u = u0 paramétervonalai a szélességi körök (speciálisan u0 = 0 az egyenlít˝o): cv (t) = r(u0 , t) = (R cos u0 cos t, R cos u0 sin t, R sin u0 ), míg a v = v0 paramétervonalak a hosszúsági körök (speciálisan v0 = 0 a greenwichi zéró hosszúsági kör.): cu (t) = r(t, v0 ) = (R cos t cos v0 , R cos t sin v0 , R sin t). 2.20. Tétel. Minden felületi görbe reguláris. B IZONYÍTÁS . Az el˝oz˝o definíció jelöléseivel: (2.9)

c˜0 (t) = dr(c(t)) · c0 (t).

A c regularitása miatt c0 (t) 6= 0, a felület regularitása miatt Ker dr(c(t)) = {0}, így c˜0 (t) 6= 0. A (2.9) formula azt is mutatja, hogy c˜0 (t) ∈ Im dr(c(t)) = Tc(t) r, így megfogalmazhatjuk az alábbi tételt: 2.21. Tétel. Egy parametrizált felület egy adott pontján áthaladó felületi görbék ezen pontbeli érint˝ovektorai az adott pontbeli érint˝osíkban vannak. A (2.9) formulát koordinátás alakban is kiírjuk. Ha c(t) = (u(t), v(t)), akkor (2.10)

c˜0 (t) = u0 (t)ru (c(t)) + v 0 (t)rv (c(t)),

vagy röviden c˜0 = u0 ru + v 0 rv , tehát, ha értelemszer˝u, hogy egy mennyiséget a c görbe mentén kell venni, akkor azt nem feltétlenül jelöljük a továbbiakban. 2.22. Tétel. A felület minden érint˝ovektora valamely felületi görbe érint˝oje. B IZONYÍTÁS . Legyen Xp = X1 · ru (p)+ X2 · rv (p) a felület egy érint˝ovektora a p = (u0 , v0 ) pontban (X1 , X2 ∈ R). Tekintsük a paramétersík c(t) = (X1 · t + u0 , X2 · t + v0 )

egyenesét, azaz u(t) = X1 · t + u0 , v(t) = X2 · t + v0 . Ekkor c(0) = p és a 2.10 kifejezést alkalmazva, c˜0 (0) = Xp .

˝ ALAPMENNYISÉGEI 2.4. MÉRÉS A FELÜLETEN, A FELÜLET ELSO

44

Feladatok 2.14. Feladat. Határozzuk meg a a. tórusz (2.7) b. csavarfelület (2.11. feladat) paramétervonalait. 2.4. Mérés a felületen, a felület els˝o alapmennyiségei A felületi mérés alapja az, hogy kiszámítjuk két felületi érint˝ovektor skaláris és vektoriális szorzatát. A skaláris szorzatból a felületi érint˝ovektor hosszát és két felületi érint˝ovektor szögét tudjuk kiszámítani, míg a vektoriális szorzat területtel kapcsolatos információt ad. Legyen adva az r : U → R3 reguláris parametrizált felület, p ∈ U. Kiszámítjuk az Xp = x1 ·ru (p)+x2 ·rv (p) és az Yp = y1 ·ru (p)+y2 ·ru (p) felületi érint˝ovektorok skaláris szorzatát: (2.11)

hXp , Yp i = x1 y1 ru2 (p) + (x1 y2 + x2 y1 )hru (p), rv (p)i + x2 y2 rv2 (p).

A fenti összefüggésben szerepl˝o skaláris szorzatok a felületi méréssel kapcsolatos alapvet˝o információkat adnak. 2.23. Definíció. Legyen r : U → R3 parametrizált felület, p ∈ U. Az (2.12)

Ep = hru (p), ru (p)i, Fp = hru (p), rv (p)i, Gp = hrv (p), rv (p)i,

számokat a felület p pontbeli els˝o alapmennyiségeinek nevezzük. Gyakran els˝o alapmennyiségeknek nevezzük az E : U → R, p 7→ E(p) = Ep F : U → R, p → 7 F (p) = Fp G : U → R, p → 7 G(p) = Gp

differenciálható függvényeket is.

A (2.11) egyenlet a bevezetett új jelölésekkel: hXp , Yp i = x1 y1 Ep + (x1 y2 + x2 y1 )Fp + x2 y2 Gp = Ep Fp (2.13) y1 = x1 x 2 . Fp Gp y2 Alkalmazásként kiszámítjuk a felületi görbék ívhosszát. Legyen r : U → R3 parametrizált felület, c : [a, b] → U, c(t) = (u(t), v(t))

reguláris parametrizált görbe a paramétertartományban, c˜ = r ◦ c : [a, b] → R3 felületi görbe. u0 0 0 c˜ = (dr ◦ c) · c = ru ◦ c rv ◦ c = u0 · ru ◦ c + v 0 · rv ◦ c. v0 Így k˜ c0 k2 = u02 · E ◦ c + 2u0 v 0 · F ◦ c + v 02 · G ◦ c,


45

azaz a felületi görbe ívhosszát a következ˝oképpen számoljuk ki: 2.24. Tétel. Z (2.14)

Λc˜ = a

b 0

k˜ ck=

Z b√ a

u02 · E ◦ c + 2u0 v 0 · F ◦ c + v 02 G · ◦c.

2.25. Példa (a földrajzi paraméterezés˝u egységgömb els˝o alapmennyiségei). A gömb földrajzi paraméterezése: r(u, v) = (cos u cos v, cos u sin v, sin u), u ∈ (−π/2, π/2), v ∈ R. A paramétervonal érint˝ok: ru (u, v) = (− sin u cos v, − sin u sin v, cos u), rv (u, v) = (− cos u sin v, cos u cos v, 0), így E(u, v) = 1, F (u, v) = 0, G(u, v) = cos2 u. 2.26. Példa (mérés az egyenes körhengeren és a síkon). Az egyenes körhenger egy lehetséges el˝oállítása parametrizált felületként a következ˝o: r(u, v) = (cos u, sin u, v), u, v ∈ R. A paramétervonal érint˝ok ru (u, v) = (− sin u, cos u, 0), rv (u, v) = (0, 0, 1), ahonnan a parametrizált körhenger els˝o alapmennyiségei: E(u, v) = 1, F (u, v) = 0, G(u, v) = 1. Az r(u, v) = (u, v, 0) (u, v ∈ R) parametrizált sík els˝o alapmennyiségei ugyanezek a függvények, így a közös paramétertartományban megadott tetsz˝oleges görbének megfelel˝o felületi görbék a hengeren illetve a síkon ugyanolyan hosszúak. Szemléletesen fogalmazva: miközben egy téglalap két szemközti oldalát összeragasztva egyenes körhengert kapunk, a téglalapra rajzolt görbék ívhossza nem változik. 2.27. Tétel. A gömbfelület két nem átellenes pontja között a legrövidebb felületi görbe a két pontra illeszked˝o f˝okörív félkörívnél kisebb íve. B IZONYÍTÁS . A gömbfelület földrajzi paraméterezéséb˝ol indulunk ki. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy az egyik pont az északi sark. A másik ponthoz tartozó paraméterértékek legyenek (u1 , v1 ). Az északi sark els˝o paraméterértéke π/2, míg a második nem egyértelm˝uen meghatározott, legyen pl. v1 A paramétersík ezen két pontját összeköt˝o tetsz˝oleges görbe legyen c(t) = (u(t), v(t)) (t ∈ [a, b]). Tehát c(a) = (π/2, v1 ), c(b) = (u1 , v1 ).


46

A c˜ = r ◦ c felületi görbe ívhossza (2.14) szerint Z bp Λ= u02 (t) + cos2 (u(t))v 02 (t)dt ≥ a Z bp Z b 02 |u0 (t)|dt ≥ ≥ u (t)dt = a Za b u0 (t)dt = |u(b) − u(a)| = π/2 − u1 . ≥ a

Az egyenl˝oség teljesüléséhez szükséges, hogy v 0 (t) = 0 teljesüljön, azaz v = v1 konstans. A felületi görbe tehát hosszúsági körön van. A paramétertartomány egy területtel rendelkez˝o P ⊂ U részhalmazának a képe a felületen egy r(P ) felületdarab. Ennek felszínét akarjuk értelmezni. Tegyük fel, hogy P = [u, u + ∆u] × [v, v + ∆v] egy téglalap. r(u + λ∆u, v + µ∆v)-t els˝ofokú Taylor polinommal közelítve: r(u + λ∆u, v + µ∆v) ≈ r(u, v) + λru (u, v)∆u + µrv (u, v)∆v, λ, µ ∈ [0, 1]. A fenti reláció bal oldalán r(P ), a jobb oldalán pedig egy paralelogramma („érint˝opikkely”) van, melyet az ru (u, v)∆u és az rv (u, v)∆v vektorok feszítenek ki. Ennek területével közelítjük r(P ) felszínét. A paralelogramma területe: kru (u, v)∆u×rv (u, v)∆vk = kru (u, v)×rv (u, v)k · ∆u · ∆v. Kiszámítjuk a vektoriális szorzatot. A paramétervonal érint˝ok szögét jelölje α. kru × rv k2 = kru k2 · krv k2 · sin2 α =

= kru k2 · krv k2 · (1 − cos2 α) =

(2.15)

= kru k2 · krv k2 − kru k2 · krv k2 · = kru k2 · krv k2 − hru , rv i2 = E F 2 . = E · G − F = F G

hru , rv i2 = kru k2 · krv k2

A paramétertartományt téglalapokra bontva, a megfelel˝o érint˝opikkelyek területének összege közelíti a felület felszínét. A fentebbi gondolatmenet motiválja a felszín definícióját. 2.28. Definíció. Legyen r : U → R3 parametrizált felület, P ⊂ U területtel rendelkez˝o részhalmaz. r(P ) felszíne alatt az ZZ √ (2.16) A(P ) = EG − F 2 P

kett˝os integrált értjük.


47

2.9. ábra. Gömböt körülölel˝o henger 2.29. Példa (a gömb felszíne). Számítsuk ki az egység sugarú gömb felszínét a földrajzi paraméterezés alapján. A gömb els˝o alapmennyiségeit már meghatároztuk, (EG − F 2 )(u, v) = cos2 (u), u ∈ [−π/2, π/2]. ! Z 2π Z π/2 Z 2π A= cos u du dv = 2 dv = 4π. 0

−π/2

0

2.30. Megjegyzés. A felszínt egy parametrizált felülethez rendeltük hozzá. Be lehet látni, hogy a felszín geometriai fogalom, azaz nem függ a felület paraméterezését˝ol. A következ˝o alkalmazáshoz meg kell ismernünk a térképészetben használatos cilindrikus vetítés fogalmát. Tekintsünk egy origó középpontú egységgömböt és az azt „körülölel˝o” hengert: a henger vezérköre legyen a z = −1 sík (0, 0, −1) középpontú egységköre, alkotóiránya a z tengely, magassága magassága két egység (2.9. ábra). (Ez a henger az Egyenlít˝o mentén érinti a gömböt.) Az Északi-sarktól és a Déli-sarktól megfosztott gömb pontjait a z tengelyre mer˝oleges vetítéssel képezzük le a hengerre. 2.31. Tétel (Arkhimédész sírfelirata). A cilindrikus vetítés felszíntartó. √ B IZONYÍTÁS . A gömb földrajzi paraméterezését használva EG − F 2 = cos u. A henger esetében a 2.8. példától (36. oldal) eltér˝oen az r˜(u, v) = (cos v, sin v, sin u), u ∈ (−π/2, π/2), v ∈ R

paraméterezést használjuk, így a cilindrikus vetítésnél az egymásnak megfelel˝o pontok paraméterei megegyeznek: a paramétersík egy darabjának a képe a gömbön és a hengeren pontosan a cilindrikus vetítésben egymásnak megfelel˝o felületdarabokat ad. Az ilyen módon parametrizált henger els˝o alapmennyiségeit kiszámítva: r˜u (u, v) = (0, 0, cos u) r˜v (u, v) = (− sin v, cos v, 0),


48

azaz ˜ v) = cos2 u, F˜ (u, v) = 0, G(u, ˜ v) = 1. E(u, p ˜ − F˜ 2 = cos u, csakúgy, mint a gömb esetében. Így E˜ G

2.32. Következmény. A gömb azonos magasságú gömböveinek felszíne megegyezik. B IZONYÍTÁS . „Arkhimédész sírfelirata” alapján a gömböv felszíne 2rπm, ahol r a gömb sugara, m a gömböv magassága. Egyes források szerint Arkhimédész kívánsága az volt, hogy a sírkövére egy gömböt és a gömböt körülölel˝o hengert véssenek. A felszínek arányát Arkhimédész tudta, s erre a jelek szerint nagyon büszke volt. A cilindrikus vetítést (kicsinyítéssel komponálva) a térképészetben olyan térképek készítésére használják, mely a területek arányát a valóságnak megfelel˝oen adja vissza. Megjegyezzük, hogy a cilindrikus vetítés elnevezést a térképészetben a fentebb leírtaktól általánosabb értelemben használják, a mi általunk tárgyalt speciális esetet pedig területtartó cilindrikus vetítésnek nevezik. 2.33. Definíció. Legyen r : U → R3 parametrizált felület, X = r(U) és f : X → R folytonos függvény. Az f függvény felszín szerinti integrálja: Z Z √ f dAr = (f ◦ r) EG − F 2 du dv. X

U

Feladatok 2.15. Feladat. Számítsuk ki az alábbi másodrend˝u felületek els˝o alapmennyiségeit: a. r(u, v) = (au cos v, bu sin v, u2 ) (elliptikus paraboloid) b. r(u, v) = (au cosh v, bu sinh v, u2 ) (hiperbolikus paraboloid) c. r(u, v) = (a sinh u cos v, b sinh u sin v, c cosh u) (kétköpeny˝u hiperboloid). 2.16. Feladat. Számítsuk ki a forgásfelület (2.10. példa) els˝o alapmennyiségeit! 2.17. Feladat. Legyen a forgásfelület generáló görbéje ívhossz-paraméterezés˝u, ρ(s) jelölje az s paraméter˝u pont távolságát a forgástengelyt˝ol (s ∈ [0, `]). Bizonyítsuk be, hogy a forgásfelület felszíne Z ` 2π ρ(s) ds. 0

Számítsuk ki a tórusz felszínét ez alapján! 2.18. Feladat. Számítsuk ki a gömbi kétszög felszínét! A gömbi kétszöget határoló két gömbi f˝okör szöge legyen Θ, a gömb sugara pedig egységnyi. 2.19. Feladat. Határozzuk meg az egységgömb hosszúsági köreit állandó α hegyesszögben metsz˝o felületi görbe (az ún. loxodroma) paraméteres el˝oállítását!I 2.20. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a loxodroma valamely ívének a hossza arányos a végpontok földrajzi szélességének különbségével.I

˝ ALAPFORMÁJA 2.5. A FELÜLET ELSO

49

2.5. A felület els˝o alapformája 2.34. Tétel. Legyen r : U → R3 reguláris parametrizált felület, p ∈ U. Az αp : Tp r × Tp r → R, (Xp , Yp ) 7→ αp (Xp , Yp ) = hXp , Yp i

leképezés szimmetrikus bilineáris forma, az

Ip : Tp r → R, Ip (Xp ) = αp (Xp , Xp )

leképezés pozitív definit kvadratikus forma.

B IZONYÍTÁS . αp tulajdonságai következnek a tér kanonikus skaláris szorzatának megfelel˝o tulajdonságaiból. Ip pozitív definitsége: Ip (Xp ) = αp (Xp , Xp ) = hXp , Xp i = kXp k2 ≥ 0

és Ip (Xp ) = 0 ⇐⇒ kXp k = 0 ⇐⇒ Xp = 0.

2.35. Definíció. Az

αp : Tp r × Tp r → R, (Xp , Yp ) 7→ αp (Xp , Yp ) = hXp , Yp i

szimmetrikus bilineáris formát a felület p pontbeli els˝o alapformájának, míg az Ip : Tp r → R, Ip (Xp ) = αp (Xp , Xp )

pozitív definit kvadratikus formát a felület p pontbeli els˝o kvadratikus alapformájának nevezzük. A definícióból rögtön következik az alábbi tétel. 2.36. Tétel. A felület els˝o alapformájának (és így az els˝o kvadratikus alapformájának is) a mátrixa az (ru (p), rv (p)) bázisban E(p) F (p) . F (p) G(p) Az els˝o alapforma kiszámítása az el˝obbi mátrixszal könnyen elvégezhet˝o, v.ö. (2.13). Legyen Xp = x1 ru (p) + x2 rv (p), Yp = y1 ru (p) + y2 rv (p). αp (Xp , Yp ) = hXp , Yp i = (2.17)

= x1 y1 E(p) + (x1 y2 + x2 y1 )F (p) + x2 y2 G(p) = E(p) F (p) y1 . = x1 x2 F (p) G(p) y2

Feladatok 2.21. Feladat. Egy parametrizált felületet konform paraméterezés˝unek mondunk, ha els˝o alapformájának mátrixa az (ru , rv ) bázisban 10 λ(u, v) . 01 Bizonyítsuk be, hogy konform paraméterezés esetén az (x1 , y1 ) és (x2 , y2 ) vektorok szöge (a paramétersíkon) ugyanaz, mint az (x1 ru + y1 rv ), (x2 ru + y2 rv ) vektorok szöge (az érint˝osíkban).

2.6. AZ OSZKULÁLÓ PARABOLOID . . .

50

2.22. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha az 1 (cos φ, sin φ, sinh λ) cosh λ paraméterezésében elvégezzük a φ = v, λ = ln tg π4 + u2 , helyettesítést, akkor a gömb földrajzi paraméterezést kapjuk. (V. ö. a 2.19. feladattal! A loxodroma egyenlete ebben a paraméterezésben φ = ± tg α · λ + k, azaz a paramétersíkon a loxodromák egyenes szakaszok lesznek.) Ezt a paraméterezést nevezzük a gömb ún. Mercator paraméterezésének. Bizonyítsuk be, hogy a Mercator paraméterezés konform paraméterezés. wxMaxima munkalap: PDF r(λ, φ) =

2.6. Az oszkuláló paraboloid, a felület második alapmennyiségei Legyen r : U → R3 reguláris felület, p0 = (u0 , v0 ) ∈ U. Írjuk föl r Taylorsorát a másodrend˝u tagokkal bezárólag! (2.18)

∗

r (u, v) = r(p0 ) + ru (p0 )(u − u0 ) + rv (p0 )(v − v0 )+ 1 ruu (p0 )(u − u0 )2 + 2ruv (p0 )(u − u0 )(v − v0 ) + rvv (p0 )(v − v0 )2 + 2

∗

r : U → R3 maga is egy felület, amelyet az r oszkuláló paraboloidjának nevezünk. u, v-ben (2.18) kvadratikus, így az oszkuláló paraboloid egy másodrend˝u felület. ∗ Most határozzuk meg r (p) el˝ojeles távolságát az r(p0 )-beli érint˝osíktól. Az el˝ojel értelmezéséhez az érint˝osík n(p0 ) =

(2.19)

ru (p0 )×rv (p0 ) kru (p0 )×rv (p0 )k

normál-egységvektorát kitüntetjük, és egy térbeli x pont el˝ojeles távolsága az érint˝osíktól pozitív, ha a pont az el˝obbi normálvektor által kitüntetett féltérben van, azaz hx − r(p0 ), n(p0 )i > 0. Felhasználva, hogy hru (p0 ), n(p0 )i = 0 és hrv (p0 ), n(p0 )i = 0, (2.20)

∗

d(p) = hr (p) − r(p0 ), n(p0 )i = 1 = hruu (p0 ), n(p0 )i(u − u0 )2 + 2 +2hruv (p0 ), n(p0 )i(u − u0 )(v − v0 ) + hrvv (p0 ), n(p0 )i(v − v0 )2 . A 2.20 kifejezésben szerepl˝o konstansokat a felület második alapmennyiségeinek nevezzük. 2.37. Definíció. Az r : U → R3 parametrizált felület második alapmennyiségei a p ∈ U pontban Lp = hruu (p), n(p)i, Mp = hruv (p), n(p)i, Np = hrvv (p), n(p)i,

2.6. AZ OSZKULÁLÓ PARABOLOID . . .

51

ahol ru (p)×rv (p) . kru (p)×rv (p)k Második alapmennyiségeknek nevezzük az n(p) =

L : U → R, p 7→ L(p) = Lp M : U → R, p → 7 M (p) = Mp N : U → R, p → 7 N (p) = Np differenciálható függvényeket is. (2.20) alapján az oszkuláló paraboloid egyenlete az (r(p0 ), ru (p0 ), rv (p0 ), n(p0 )) affin koordináta-rendszerben a második alapmennyiségekkel kifejezve 1 (2.21) ζ= Lξ 2 + 2M ξη + N η 2 , 2 ahol a koordinátákat (ξ, η, ζ) jelöli, és a második alapmennyiségek a p0 pontban értend˝ok. 2.38. Definíció. Ha az oszkuláló paraboloidnak az érint˝osíkkal párhuzamos, attól ± 12 távolságra lév˝o síkmetszeteit vesszük, akkor az ún. Dupin-indikatrixot kapjuk. A Dupin-indikatrix másodrend˝u görbe. Az érint˝osíkra vonatkozó mer˝oleges vetületének egyenlete az (r(p0 ), ru (p0 ), rv (p0 )) affin koordináta-rendszerben ± 1 = Lξ 2 + 2M ξη + N η 2 .

(2.22)

A (2.22) másodrend˝u görbe affin osztályát megállapíthatjuk a magmátrix determinánsa alapján: 2.39. Tétel. A Dupin-indikatrix a. konjugált hiperbolapár, ha LN − M 2 < 0 b. párhuzamos egyenespár, ha LN − M 2 = 0 c. ellipszis, ha LN − M 2 > 0. Aszerint, hogy az adott pontbeli Dupin-indikatrix milyen affin osztályba tartozik, a felületi pontot hiperbolikusnak, parabolikusnak illetve elliptikusnak mondjuk. Feladatok 2.23. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy |ru , rv , ruu | |ru , rv , ruv | |ru , rv , rvv | L= √ , M=√ , N=√ . EG − F 2 EG − F 2 EG − F 2

2.24. Feladat. Határozzuk meg a forgásfelület (2.10. példa) második alapmennyiségeit, ahol a generáló görbe ívhossz-paraméterezés˝u és x(s) > 0. (Ld. még a 2.16. feladatot.)

2.7. A FORMAOPERÁTOR . . .

52

s , y(s) = 0, 2.25. Feladat. Legyen a tórusz generáló görbéje az x(s) = a+b cos b s z(s) = b sin b ívhossz-paraméterezés˝u kör. Az el˝oz˝o feladat alapján számítsuk ki a tórusz második alapmennyiségeit! 2.26. Feladat. Határozzuk meg az r(u, v) = (u, v, uv) nyeregfelület Dupinindikatrixát az origóban. 2.7. A felület második alapformája és a formaoperátor Legyen r : U → R3 reguláris parametrizált felület, R3 origó középpontú egységgömbjét jelölje S 2 . Ekkor n : U → S 2 , p 7→ n(p) =

ru (p)×rv (p) kru (p)×rv (p)k

differenciálható leképezés. 2.40. Tétel. A dn(p) : R2 → R3 (p ∈ U) leképezés képtere a felület p ponthoz tartozó érint˝o iránysíkban van: Im dn(p) ⊂ Tp R.

B IZONYÍTÁS . Im dn(p) = L(nu (p), nv (p)). Az hn(p), n(p)i = 1 egyenletet differenciálva: hnu (p), n(p)i + hn(p), nu (p)i = 0 =⇒ hn(p), nu (p)i = 0, hasonlóan hn(p), nv (p)i = 0. Ez azt jelenti, hogy nu (p), nv (p) az érint˝o iránysíkban vannak, ami a két vektor által kifeszített altérre ugyanezt a tulajdonságot jelenti. 2.41. Definíció. Legyen r : U → R3 parametrizált felület. A

Wp : Tp r → Tp r, Wp = −dn(p) ◦ dr(p)−1

lineáris leképezést a felület p ponthoz tartozó formaoperátorának vagy Weingarten-leképezésnek nevezzük, ahol dr(p)−1 ∈ R2×3 a dr(p) mátrix egy balinverzét jelöli. A βp : Tp r × Tp r → R, (Xp , Yp ) 7→ βp (Xp , Yp ) βp (Xp , Yp ) = hWp (Xp ), Yp i = −hdn(p) ◦ dr(p)−1 (Xp ), Yp i

bilineáris formát a felület p ponthoz tartozó második alapformájának nevezzük. 2.42. Megjegyzés. Korábban (ld. 2.5. Megjegyzés) már utaltunk arra, hogy dr(p) ∈ R3×2 balinvertálható. A balinverz általában nem egyértelm˝u, viszont ha B ∈ Rm×n és C ∈ Rm×n balinverzei egy A ∈ Rn×m mátrixnak, akkor X ∈ Im Ara BX = CX. Így a formaoperátor definíciója független dr(p) balinverzének választásától és nem okoz félreértést, ha a balinverz jelölésére dr(p)−1 -t használjuk. Számolásban (2.23)

dr(p)(e1 ) = ru (p) =⇒ dr(p)−1 (ru (p)) = e1 dr(p)(e2 ) = rv (p) =⇒ dr(p)−1 (rv (p)) = e2 .


53

2.43. Példa (a gömb formaoperátora). Origó középpontú egységgömb esetében n(p) = −r(p) (a földrajzi paraméterezésnél könnyen ellen˝orizhet˝o), így dn(p) = −dr(p). Jobbról dr(p) balinverzével szorozva kapjuk, hogy Wp = id, tehát βp (Xp , Yp ) = hXp , Yp i.

2.44. Tétel. A felület p pontbeli második alapformájának mátrixa az (ru (p), rv (p)) bázisban Lp Mp . Mp Np

B IZONYÍTÁS . A (2.23) összefüggést és a második alapforma definícióját felhasználva βp (ru (p), ru (p)) = −hdn(p)e1 , ru (p)i = −hnu (p), ru (p)i.

A szorzat differenciálására vonatkozó szabályt alkalmazva, mivel hn, ru i = 0, ezért hnu , ru i + hn, ruu i = 0, ezért βp (ru (p), ru (p)) = hn(p), ruu (p)i = Lp .

Hasonlóan, hn, rv i = 0 =⇒ hnu , rv i + hn, rvu i = hnu , rv i + hn, ruv i = 0, tehát βp (ru (p), rv (p)) = −hdn(p)e1 , rv (p)i = −hnu (p), rv (p)i = hn(p), ruv (p)i = Mp . Analóg számolással kapjuk, hogy

βp (rv (p), ru (p)) = Mp és βp (rv (p), rv (p)) = Np .

2.45. Következmény. A második alapforma szimmetrikus, azaz ∀Xp , Yp ∈ Tp r : β(Xp , Yp ) = β(Yp , Xp ). B IZONYÍTÁS . Elegend˝o arra utalni, hogy a második alapforma mátrixa az (ru (p), rv (p)) bázisban szimmetrikus. Szimmetrikus bilineáris forma kvadratikus formát származtat: 2.46. Definíció. Az r : U → R3 parametrizált felület második kvadratikus alapformáján a p ∈ U pontban a II : Tp r → R, Xp 7→ IIp (Xp ) = βp (Xp , Yp )

kvadratikus formát értjük.

2.47. Tétel. A formaoperátor szimmetrikus, azaz ∀Xp , Yp ∈ Tp r : hWp (Xp ), Yp i = hXp , Wp (Yp )i. B IZONYÍTÁS . A formaoperátor definícióját és a 2.45. következményt felhasználva: hWp (Xp ), Yp i = β(Xp , Yp ) = β(Yp , Xp ) = hXp , Wp (Yp )i.

2.48. Tétel. A parametrizált felület p pontbeli formaoperátorának mátrixa az (ru (p), rv (p)) bázisban −1 Ep Fp Lp Mp . Fp Gp Mp Np


54

B IZONYÍTÁS . A formaoperátor definíciója szerint Wp (ru (p)) = −nu (p) és Wp (rv (p)) = −nv (p).

Meg kell keresnünk Wp (ru (p)) = −nu (p) és Wp (rv (p)) = −nv (p) koordinátáit az (ru (p), rv (p)) bázisban. Jelöljük a koordinátákat wij -vel: −nu (p) = w11 ru (p) + w21 rv (p)

(2.24)

−nv (p) = w12 ru (p) + w22 rv (p).

(2.25)

A (2.24) egyenletet ru (p)-vel és rv (p)-vel skalárisan szorozva: −hnu (p), ru (p)i = w11 Ep + w21 Fp

−hnu (p), rv (p)i = w11 Fp + w21 Gp .

A 2.44. tétel bizonyításában már használtuk, hogy

−hnu (p), ru (p)i = hn(p), ruu (p)i = Lp −hnu (p), rv (p)i = hn(p), ruv (p)i = Mp ,

azaz a keresett w11 , w21 együtthatókra az alábbi lineáris egyenletrendszert kapjuk: Ep w11 + Fp w21 = Lp Fp w11 + Gp w21 = Mp , vagy mátrix alakban:

Ep Fp Fp Gp

w11 Lp = . w21 Mp

Az egyenletrendszer alapmátrixa az els˝o alapforma mátrixa, ami reguláris, így −1 w11 Ep Fp Lp = . w21 Fp Gp Mp Hasonlóan eljárva a (2.25) egyenlettel azt kapjuk, hogy: −1 w12 Ep Fp Mp = , w22 Fp Gp Np azaz −1 w11 w12 Ep Fp Lp Mp = . w21 w22 Fp Gp Mp Np

A (2.24)–(2.25) egyenletekt˝ol csak a bal oldal el˝ojelében különböz˝o nu = a11 ru + a21 rv (2.26) nv = a12 ru + a22 rv egyenleteket a felület Weingarten-egyenleteinek nevezzük. Az el˝oz˝o bizonyítás alapján a Weingarten-egyenletekben szerepl˝o aij együtthatók kifejezhet˝ok a felület els˝o és második alapmennyiségeivel: F M − GL F N − GM a11 = , a = , 12 EG − F 2 EG − F 2 (2.27) LF − EM F M − EN , a22 = . a21 = 2 EG − F EG − F 2

2.8. A FELÜLET GÖRBÜLETE

55

Feladatok 2.27. Feladat. Tekintsük az r(u, v) = (cos u, sin u, v) egyenes körhengert. Határozzuk meg a dn leképezés Jacobi-mátrixát! Mi a dn leképezés képtere? A Jacobimátrixot felhasználva, definíció alapján, tehát a 2.48. Tételre történ˝o hivatkozás nélkül írjuk föl a formaoperátor mátrixát a paramétervonal érint˝ok alkotta bázisban! 2.28. Feladat. Tekintsük az a. r(u, v) = (u, v, u2 − v 2 ) nyeregfelületet b. r(u, v) = (u, v, u2 + kv 2 ), (k > 0) paraboloidot. Határozzuk meg a dn leképezés Jacobi-mátrixát az origóban! Ennek alapján, a definíció szerint határozzuk meg a formaoperátor mátrixát az origóban a paramétervonal érint˝ok alkotta bázisban! wxMaxima munkalap: PDF wxMaxima munkalap: PDF 2.8. A felület görbülete rv 2.49. Tétel. Legyen r : U → R3 reguláris parametrizált felület, n = krruu × ×rv k a felületi normális. Legyen továbbá c : I → U reguláris parametrizált görbe olyan módon, hogy a c˜ = r ◦ c : I → R3 felületi görbe bireguláris és természetes paraméterezés˝u. Ennek Frenet-bázisát jelölje (T, F, B), görbületét κ. Ekkor

IIp (˜ c0 (t)) = κ(t)hn(p), F (t)i, ahol p = c(t). B IZONYÍTÁS . Vegyük figyelembe, hogy dr(p)−1 c˜0 (t) = c0 (t), azaz Wp (˜ c0 (t)) = −dn(p) c0 (t) ,

(2.28)

így IIp (˜ c (t)) = βp (˜ c0 (t), c˜0 (t)) = −hdn(p)c0 (t), c˜0 (t)i = −h(n ◦ c)0 (t), c˜0 (t)i.

Mivel hn ◦ c, c˜0 i = 0, ezért a szorzat szabály szerint differenciálva: h(n ◦ c)0 , c˜0 i + hn ◦ c, c˜00 i = 0,

így IIp (˜ c(t)) = hn(p), c˜00 (t)i = hn(p), T 0 (t)i = κ(t)hn(p), F (t)i,

az utolsó lépésben a T 0 = κ · F Frenet-formulát alkalmazva.

Az el˝oz˝o állítás közvetlen következményeként fogalmazhatjuk meg az alábbi tételt. 2.50. Tétel (Meusnier-tétel). Jelölje θ(t) ∈ [0, π/2] a p-beli felületi normális és a felületi görbe t paraméterértékhez tartozó simulósíkjának szögét, azaz θ = π2 − ^(n, B). Ekkor | II(˜ c0 (t))| = κ(t) cos θ(t).


Amennyiben θ(t) 6= π/2, akkor κ(t) =

56

| II(˜ c0 (t))| . cos θ(t)

θ(t) = 0 esetén a felületi görbe simulósíkja tartalmazza a felület adott pontbeli normálisát és κ(t) = | II(˜ c0 (t))|. 2.51. Definíció. Az r : U → R3 parametrizált felület p ∈ U pontbeli Xp ∈ Tp r (Xp 6= 0) irányhoz tartozó normálgörbületén a κr (Xp ) = II(Xp0 ) = számot értjük, ahol Xp0 = Xp /kXp k.

hWp (Xp ), Xp i hXp , Xp i

A (nem zéró) normálgörbület abszolút értékének geometriai jelentését Meusnier tétele alapján fogalmazhatjuk meg: az Xp érint˝ovektor és az np felületi normális által kifeszített sík a felületb˝ol egy felületi görbét metsz ki, melynek görbülete p-ben éppen a normálgörbület abszolút értéke (2.10. ábra).

n

2.10. ábra. A henger normálmetszetei A normálgörbület definíciójából adódóan κr (t · Xp ) = κr (Xp ), így egy adott irányhoz tartozó normálgörbület megállapításához elegend˝o Xp -t az Sp1 r = {Xp ∈ Tp r | kXp k = 1}

halmazból (amely egy egységkör) választani. Az

Sp1 r → R, Xp 7→ κr (Xp )

függvény egy kompakt halmazon értelmezett folytonos függvény, amely fölveszi (esetleg egybees˝o) maximumát és minimumát. 2.52. Definíció. Az Sp1 r → R, Xp 7→ κr (Xp ) függvény maximumát és minimumát a felület p ponthoz tartozó f˝ogörbületeinek nevezzük, míg a hozzájuk tartozó ±Xp irányokat f˝oirányokként említjük.


57

2.53. Tétel (Rodriguez-tétel). A felület egy p pontjához tartozó f˝ogörbületek megegyeznek a p ponthoz tartozó formaoperátor sajátértékeivel, míg a f˝oirányok a formaoperátor sajátvektorai. B IZONYÍTÁS . A f˝oirány (mint széls˝oértékhely) a κr : Tp r → R, Xp 7→ κr (Xp ) =

hWp (Xp ), Xp i hXp , Xp i

leképezés kritikus pontja, azaz az Xp széls˝oértékhelyen d κr (Xp ) = 0. d κr (Xp ) =

2Wp (Xp )hXp , Xp i − 2hWp (Xp ), Xp iXp = hXp , Xp i2 2Wp (Xp ) − 2κr (Xp )Xp = , hXp , Xp i

a hányados differenciálási szabályát és a 3.9. differenciálási szabályt alkalmazva. A számláló zérus, így Wp (Xp ) = κr (Xp ) · Xp , amit bizonyítani kellett. Szimmetrikus operátor különböz˝o sajátértékeihez tartozó sajátvektorai egymásra mer˝olegesek. Alkalmazva ezt az állítást a formaoperátorra, megfogalmazhatjuk, hogy különböz˝o f˝ogörbületekhez tartozó f˝oirányok egymásra mer˝olegesek. Ha a két f˝ogörbület azonos, akkor minden irány f˝oirány, így ismét vannak egymásra mer˝oleges f˝oirányok. 2.54. Következmény. A felület bármely pontjában van két egymásra mer˝oleges f˝oirány. A f˝oirányok és f˝ogörbületek segítségével a felület minden pontjában tetsz˝oleges irányban ki lehet a normálgörbületet számítani: 2.55. Tétel (Euler). Legyen r : U → R3 parametrizált felület. A p ∈ U pontban a (V1 , V2 ) f˝oirányok alkossanak ortonormált bázist. Legyenek a megfelel˝o f˝ogörbületek κ1 , κ2 továbbá Xp = cos θ · V1 + sin θ · V2 ∈ Tp r egy felületi érint˝ovektor. Ekkor κr (Xp ) = κ1 · cos2 θ + κ2 sin2 θ. B IZONYÍTÁS . Xp egységvektor, tehát κr (Xp ) = hWp (Xp ), Xp i =

= hWp (cos θ · V1 + sin θ · V2 ), cos θ · V1 + sin θ · V2 i

a formaoperátor linearitását valamint Rodriguez tételét felhasználva: = hcos θ · κ1 V1 + sin θ · κ2 V2 , cos θ · V1 + sin θ · V2 i a skaláris szorzást tagonként elvégezve és felhasználva V1 és V2 ortogonalitását: = κ1 · cos2 θ + κ2 · sin2 θ.

2.9. GAUSS-GÖRBÜLET ÉS MINKOWSKI-GÖRBÜLET

58

Feladatok 2.29. Feladat (I). Lássuk be, hogy a Dupin-indikatrix (lásd (2.22)) f˝otengelyei a f˝oirányok, és a görbe egyenlete a f˝oirányok alkotta bázisban κ1 ξ 2 + κ2 η 2 = ±1. 2.9. Gauss-görbület és Minkowski-görbület A f˝ogörbületek a formaoperátor sajátértékei, így a formaoperátor karakterisztikus egyenletének megoldásai. A formaoperátor karakterisztikus polinomja egy másodfokú f˝opolinom. Ezt a polinomot a gyökök ismeretében könnyen fel tudjuk írni a gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján. Jelölje a f˝ogörbületeket (egy adott pontban) κ1 és κ2 ! A karakterisztikus egyenlet: f (x) = x2 − (κ1 + κ2 ) · x + κ1 · κ2 Az egyenletben szerepl˝o együtthatók külön nevet kaptak: 2.56. Definíció. Jelölje a felület egy p ∈ U pontjában a f˝ogörbületeket κ1 (p) és κ2 (p). Ekkor K(p) = κ1 (p) · κ2 (p) a felület szorzatgörbülete vagy Gauss2 (p) görbülete, míg H(p) = κ1 (p)+κ a felület középgörbülete vagy Minkowski2 görbülete. A definíció jelöléseivel a p pontbeli formaoperátor karakterisztikus polinomja f (x) = x2 − 2H(p) · x + K(p). A karakterisztikus polinom együtthatóit általánosan ismerjük: a lineáris tag együtthatója az operátor nyomának mínusz egyszerese, a konstans tag pedig az operátor determinánsa. Így a Gauss- és Minkowski-görbületet a f˝ogörbületek meghatározása nélkül is ki tudjuk számítani: 2.57. Tétel. Jelölje a felület els˝o alapmennyiségeit E, F , G; a második alapmennyiségeit L, M , N . " −1 # LN − M 2 EF L M K = det = , F G M N EG − F 2 " 2H = trace

−1

EF F G

L M M N

# =

LG − 2M F + EN EG − F 2

B IZONYÍTÁS . Csak a Gauss- és Minkowski-görbület hányadosként történ˝o felírása szorul külön bizonyításra. Mivel −1 1 EF G −F · = , F G −F E E F F G

2.10. A GAUSS-EGYENLETEK ÉS A FELÜLET KOMPATIBILITÁSI EGYENLETEI

59

ezért −1 EF det F G

G −F −F E EG − F 2 1 = = = , 2 E F (EG − F 2 )2 EG − F 2 F G

Így a determinánsok szorzástételét alkalmazva máris következik a Gaussgörbületre vonatkozó állítás. A mátrix-szorzás elvégzésével kapjuk a Minkowski-görbületre vonatkozó állítást. A Gauss-görbület fenti kifejezésében a második alapmennyiségek determinánsa is szerepel. A klasszikus felületelmélet nevezetes tétele, hogy ez az els˝o alapmennyiségekb˝ol is kiszámítható: 2.58. Tétel (Theorema egregium – Gauss). A második alapmennyiségek determinánsa, s így a felület Gauss görbülete kifejezhet˝o a felület els˝o alapmennyiségeivel. A tétel bizonyítására a következ˝o fejezetben visszatérünk. Feladatok 2.30. Feladat. Határozzuk meg a tórusz (ld. 2.12. példa) Gauss- és Minkowskigörbületét! wxMaxima munkalap: PDF 2.31. Feladat. Határozzuk meg a csavarfelület (ld. 2.11. feladat) Gauss- és Minkowski-görbületét! wxMaxima munkalap: PDF 2.32. Feladat. A 2.29. feladat alapján lássuk be, hogy ha a felület adott pontbeli Gauss-görbülete negatív, akkor a Dupin-indikatrix konjugált hiperbolapár, ha a Gauss-görbület zéró, akkor a Dupin-indikatrix párhuzamos egyenespár, míg pozitív Gauss-görbület esetén ellipszis. 2.33. Feladat. A tractrix (lásd. 1.4. Feladat) y-tengely körüli megforgatásával kapott felület a tractoid vagy másképpen pszeudoszféra (2.11. ábra). Bizonyítsuk be, hogy a pszedoszféra konstans −1 Gauss-görbület˝u felület. wxMaxima munkalap: PDF 2.10. A Gauss-egyenletek és a felület kompatibilitási egyenletei A görbeelmélet Frenet-formulái a görbeponthoz hozzárendelt bázis változását írták le a paraméter függvényében, így jutottunk el a görbeelmélet két alapvet˝o fogalmához, a görbülethez és a torzióhoz. A felület egy pontjában vett (ru , rv , n) bázis változását analóg módon vizsgálhatjuk. Legyen r : U → R3 parametrizált


60

2.11. ábra. A pszeudoszféra felület, minden p ∈ U pontban az nu , nv , ruu , ruv = rvu , rvv vektorokat lineárisan kombináljuk az (ru , rv , n)p bázist felhasználva. Az nu = a11 ru + a21 rv nv = a12 ru + a22 rv Weingarten-egyenleteket már vizsgáltuk a 2.7. fejezetben. A hiányzó egyenletek: ruu = Γ111 ru + Γ211 rv + γ11 n (2.29)

ruv = Γ112 ru + Γ212 rv + γ12 n rvu = Γ121 ru + Γ221 rv + γ21 n rvv = Γ122 ru + Γ222 rv + γ22 n.

ruv = rvu miatt fennáll, hogy Γ112 = Γ121 , Γ212 = Γ221 . A 2.29 relációk mindegyikét n-nel skalárisan szorozva, a hru , ni = hrv , ni = 0 és hn, ni = 1 relációkat felhasználva rögtön kapjuk a γij együtthatókat: γ11 = L, γ12 = γ21 = M, γ22 = N, ahol (L, M, N ) az r felület második alapmennyiségei. 2.59. Definíció. A (2.29) lineáris kombinációkban szerepl˝o Γijk : U → R differenciálható függvényeket a felület Christoffel-szimbólumainak nevezzük, míg a (2.29) egyenleteket Gauss-egyenleteknek. 2.60. Tétel. A felület Christoffel-szimbólumai kifejezhet˝ok a felület els˝o alapmennyiségeivel és azok deriváltjaival. B IZONYÍTÁS . A bizonyítást részleteiben csak Γ111 és Γ211 -re adjuk meg, a többi Christoffel-szimbólumra analóg módon történik.


61

A (2.29) Gauss-egyenleteket most ru -val és rv -vel szorozzuk skalárisan: (2.30) Ugyanakkor továbbá így

hruu , ru i = Γ111 E + Γ211 F

hruu , rv i = Γ111 F + Γ211 G.

E = hru , ru i =⇒ Eu = 2hruu , ru i, Ev = 2hruv , ru i, F = hru , rv i =⇒ Fu = hruu , rv i + hru , ruv i,

1 hruu , rv i = Fu − hru , ruv i = Fu − Ev 2 A kapott kifejezéseket behelyettesítve (2.30)-be az 1 Eu = Γ111 E + Γ211 F 2 (2.31) 1 Fu − Ev = Γ111 F + Γ211 G. 2 inhomogén lineáris egyenletrendszert kapjuk a (Γ111 , Γ211 ), ismeretlenekre, melynek alapmátrixa EF , F G azaz az els˝o alapmennyiségek mátrixa, mely nem zéró determinánsú. Az egyenletrendszert a Cramer-szabállyal megoldva: 1 E F u 2 1 Fu − Ev G GEu − 2F Fu + F Ev 2 = , Γ111 = 2 EG − F 2(EG − F 2 ) 1 E E u 2 F Fu − 1 Ev 2EFu − EEv − F Eu 2 2 Γ11 = = . EG − F 2 2(EG − F 2 ) A számítást hasonlóan végezzük el a többi Christoffel-szimbólumra. Γ112 és Γ212 meghatározásához az alábbi egyenletrendszert kapjuk: 1 Γ112 E + Γ212 F = Ev 2 1 Γ112 F + Γ212 G = Gu , 2 így GEv − F Gu 2 EGu − F Ev Γ112 = , Γ12 = . 2 2(EG − F ) 2(EG − F 2 ) A hiányzó Γ122 és Γ222 meghatározásához 1 Γ122 E + Γ222 F = Fv − Gu 2 1 Γ122 F + Γ222 G = Gv , 2


62

amib˝ol Γ122 =

2GFv − GGu − F Gv 2 EGv − 2F Fv + F Gu , Γ22 = . 2 2(EG − F ) 2(EG − F 2 )

Az eredmény egyszer˝usödik az olyan felületeknél, ahol F = 0 (azaz mer˝oleges paraméterezésnél), ilyenkor: Eu 2 Ev Γ111 = , Γ11 = − , 2E 2G Gu Ev (2.32) , Γ212 = , Γ112 = 2E 2G Gv Gu . Γ122 = − , Γ222 = 2E 2G 2.61. Példa (a gömb Christoffel-szimbólumai). A 2.25. példában már meghatároztuk a gömb els˝o alapmennyiségeit (a földrajzi paraméterezésnél): E(u, v) = 1, F (u, v) = 0, G(u, v) = cos2 u. A (2.32) egyszer˝usített formulákat használva sin 2u 2 Γ122 = , Γ12 = − tg u, 2 a gömb minden más Christoffel-szimbóluma zérus. A továbbiakban bebizonyítjuk a Theorema egregiumot (2.58. tétel). A vegyes parciális deriváltak felcserélhet˝osége alapján felírhatjuk, hogy (ruu )v − (ruv )u = 0 (2.33)

(rvv )u − (rvu )v = 0 nuv − nvu = 0.

Ezeket az egyenleteket kompatibilitási egyenleteknek nevezzük. Mindhárom egyenlet bal oldalán álló vektor lineárisan kombinálható (és csakis triviálisan) az (ru , rv , n) bázisban, és a Weingarten- és Gauss-egyenletek alapján a kombinációs együtthatókban a felület els˝o, második alapmennyiségei és a Christoffelszimbólumok szerepelnek. Tegyük meg ezt most az els˝o egyenlet esetében! A Gauss-egyenletek alapján: (2.34) Γ111 ruv + Γ211 rvv + Lnv + (Γ111 )v ru + (Γ211 )v rv + Lv n = = Γ112 ruu + Γ212 rvu + M nu + (Γ112 )u ru + (Γ212 )u rv + Mu n. Ismét a Gauss-egyenleteket és a Weingarten-egyenleteket használva, csak rv együtthatóit leolvasva mindkét oldalon: Γ111 Γ212 + Γ211 Γ222 + La22 + (Γ211 )v = Γ112 Γ211 + Γ212 Γ212 + M a21 + (Γ212 )u . (2.27)-b˝ol beírva a12 és a22 értékét: (Γ212 )u − (Γ211 )v + Γ112 Γ211 + Γ212 Γ212 − Γ111 Γ212 − Γ211 Γ222 = = La22 − M a21 = L

F M − EN LF − EM LN − M 2 − M = −E . EG − F 2 EG − F 2 EG − F 2


63

A végeredményben a jobb oldal második tényez˝oje pontosan a Gauss-görbület, így (2.35)

− EK = (Γ212 )u − (Γ211 )v + Γ112 Γ211 + Γ212 Γ212 − Γ111 Γ212 − Γ211 Γ222 .

Mivel a Christoffel-szimbólumok kifejezhet˝ok az els˝o alapmennyiségekb˝ol, így a fenti reláció megadja, hogy a Gauss-görbületet hogyan kell kifejezni az els˝o alapmennyiségekb˝ol. Ezzel bebizonyítottuk a Theorema egregiumot. 2.62. Következmény. Mer˝oleges paraméterezésnél (azaz F = 0 esetén) 1 ∂ Ev ∂ Gu √ √ (2.36) K=− √ + . ∂u 2 EG ∂v EG EG 2.63. Megjegyzés (I). Térjünk vissza a (2.34) egyenletre és most n együtthatóit olvassuk le mindkét oldalon! Γ111 M + Γ211 N + Lv = Γ112 L + Γ212 M + Mu , vagy átrendezve (2.37)

Lv − Mu = LΓ112 + M (Γ212 − Γ111 ) − N Γ211 .

A második kompatibilitási egyenletre (lásd (2.33)) ugyanezt az eljárást alkalmazzuk. ∂ ∂ Γ122 ru + Γ222 rv + N n = Γ121 ru + Γ221 rv + M n . ∂u ∂v Majd a Gauss- illetve Weingarten-egyenletek alapján: (Γ122 )u ru + (Γ222 )u rv + (N )u n + Γ122 ruu + Γ222 rvu + N nu = = (Γ121 )v ru + (Γ221 )v rv + (M )v n + Γ121 ruv + Γ221 rvv + N nv . Ismét a Gauss-egyenleteket alkalmazva, majd leolvasva n együtthatóit mindkét oldalon, rendezés után: (2.38)

Mv − Nu = LΓ122 + M (Γ222 − Γ121 ) − Γ212 N.

a (2.37)-(2.38) egyenleteket Mainardi – Codazzi-egyenleteknek nevezzük. A görbeelmélet alaptétele azt mondta ki, hogy a görbület és a torzió (irányítástartó izometriától eltekintve) egyértelm˝uen meghatározza a görbét. Hasonló kérdést a felületelméletben is fölvethetünk. A Gauss- illetve Weingarten-egyenleteket a Frenet-egyenletek analógiájára kaptuk, így a térgörbe görbületéhez és a torziójához analóg mennyiségek a Christoffel-szimbólumok, a második alapmennyiségek és a Weingarten-egyenletekben szerepl˝o aij együtthatók. Azonban e mennyiségek mindegyike kifejezhet˝o az els˝o és második alapmennyiségekb˝ol, így a kérdést úgy is megfogalmazhatjuk, hogy tetsz˝olegesen megadott E, F , G, L, M , N függvények mellett van-e olyan felület, amelynek els˝o és második alapmennyiségei éppen ezek a függvények. Ezt a problémát formaproblémának nevezzük. Nyilvánvalóan a megadott függvényekre teljesülni kell az EG − F 2 > 0 feltételnek. További szükséges feltételeket adhatunk a létezéshez, ilyen a (2.35) Theorema egregium egyenlete, illetve az el˝obbiekben levezetett Mainardi – Codazziegyenletek. (Mindegyik egyenletben csak az els˝o és második alapmennyiségek és

2.11. ELEMI FELÜLETEK IZOMETRIKUS LEKÉPEZÉSEII

64

ezek deriváltjai állnak.) A klasszikus felületelmélet nevezetes tétele, hogy ezek a feltételek elegend˝oek is. 2.64. Tétel (a felületelmélet f˝otétele, vagy Bonnet-tétel). Ha az adott E, F , G, L, M , N differenciálható, kétváltozós függvények eleget tesznek a Theorema egregium állításának, a Mainardi – Codazzi-egyenleteknek továbbá E > 0 és EG − F 2 > 0, akkor izometriától eltekintve pontosan egy olyan felület létezik, amelynek els˝o illetve második alapmennyiségei a megadott függvények. A bizonyítás lényege az, hogy a differenciálegyenletként felfogott Gauss- és Weingarten-egyenletek a megadott feltételek mellett integrálhatók. Feladatok 2.34. Feladat. Lássuk be a (2.36) formulát. 2.35. Feladat. Lássuk be, hogy √ Γ111 + Γ212 = ln EG − F 2 √ u Γ112 + Γ222 = ln EG − F 2 . v

2.36. Feladat. Lássuk be, hogy a z = f (x, y) Euler – Monge-alakban adott felület Christoffel-szimbólumaira teljesül, hogy Γkij = ahol f1 =

∂f , ∂x

f2 =

fij fk , 1 + f12 + f22

∂f . ∂y

2.37. Feladat. Számítsuk ki az r(u, v) = (x(u) cos v, x(u) sin v, z(u)) parametrizált forgásfelület Christoffel-szimbólumait! 2.38. Feladat. Az el˝oz˝o feladat alapján határozzuk meg a tórusz Christoffelszimbólumait. wxMaxima munkalap: PDF 2.11. Elemi felületek izometrikus leképezéseiI Ebben a fejezetben két felület egymásra történ˝o leképezéseivel foglalkozunk. A jegyzetünkben kiépített eszközrendszerrel ezt úgy tudjuk megtenni, ha a felületekr˝ol feltételezzük, hogy a paramétertartomány pontjai a felület pontjaival kölcsönösen egyértelm˝uen vannak megfeleltetve és az inverz leképezés is folytonos. 2.65. Definíció. Az S ⊂ R3 halmazt elemi felületnek nevezzük, ha van olyan U ⊂ R2 nyílt halmaz és r : U → S differenciálható leképezés, hogy 1. rang dr(p) = 2 teljesül ∀p ∈ U-ra 2. r homeomorfizmus, azaz invertálható és az inverze is folytonos.


65

A parametrizált felület fogalmához képest egy lényegi és egy csupán technikai különbség van: lényeges plusz feltétel a második feltétel, technikai különbség az r leképezés célhalmaza, amely most nem R3 . Az elemi felületek mindig parametrizált felületek is. Elemi felületek esetében a paramétertartományok közötti leképezés a felületi pontok között ad leképezést. Ugyanis, ha r1 : U1 → S1 és r2 : U2 → S2 két elemi felület és φ : U1 → U2 leképezés, akkor φ˜ = r2 ◦ φ ◦ r1−1 : S1 → S2 a felületek közötti megfeleltetés: S1

φ˜

>

S2 ∧

r1−1

r2

∨

U1

>

φ

U2

A továbbiakban feltételezzük, hogy φ diffeomorfizmus. Ha p ∈ U1 , akkor p-t és p0 = φ(p)-t egymásnak megfelel˝o pontoknak mondjuk. Az egymásnak megfelel˝o pontokban az érint˝o irányterek között is könnyen tudunk leképezést adni: def

˜ dφ(p) = dr2 (p0 ) · dφ(p) · dr1 (p)−1 : Tp r1 → Tp0 r2 , ahol dr1 (p)−1 a dr1 (p) mátrix egy balinverzét jelöli, lásd még a 2.42. megjegyzést. ˜ dφ(p) lineáris, hiszen mátrixok szorzataként van értelmezve. Az elemi felületek közötti φ˜ leképezés helyett elegend˝o lesz azonban a paramétertartományok közötti φ leképzéssel foglalkozni, hiszen (mivel feltettük, hogy r1 homeomorfizmus) φ már egyértelm˝uen kijelöli a megfelel˝o felületi pontokat. 2.66. Definíció. Az r1 : U1 → S1 , r2 : U2 → S2 elemi felületeket izometrikusaknak nevezzük, ha van olyan φ : U1 → U2 diffeomorfizmus, hogy ∀p ∈ U és ∀X ∈ R2 -re I1 (dr1 (p)X) = I2 (dr2 (p0 )(X 0 )), ahol p0 = φ(p), X 0 = dφ(p)(X), és I1 , I2 a megfelel˝o els˝o kvadratikus alapformákat jelöli. φ-t ekkor lokális izometriának nevezzük. Izometrikus felületek esetén az els˝o alapformák is megegyeznek, pontosabban teljesül, hogy ∀p ∈ U és ∀X, Y ∈ R2 -re α1 (dr1 (p)X, dr1 (p)Y ) = α2 (dr2 (p0 )(X 0 ), dr2 (p0 )(Y 0 )), ahol p0 = φ(p), X 0 = dφ(p)(X), Y 0 = dφ(p)Y és α1 , α2 a megfelel˝o els˝o alapformákat jelöli. Így az egymásnak megfelel˝o pontokban ugyanazok a felület els˝o


66

alapmennyiségei, az egymásnak megfelel˝o görbék ívhossza megegyezik, az egymásnak megfelel˝o felületi érint˝ovektorok szöge megegyezik, az egymásnak megfelel˝o (mérhet˝o) felületdarabok felszíne egyenl˝o, az egymásnak megfelel˝o pontokban pedig ugyanaz a Gauss-görbület (a Theorema egregium szerint a Gaussgörbület csak az els˝o alapmennyiségekt˝ol függ). Ebb˝ol már következik a térképészet egy alapvet˝o ténye: a földr˝ol nem lehet olyan térképet készíteni, amelyr˝ol minden távolságot helyesen lehet lemérni: 2.67. Tétel. A gömbnek nincs izometrikus leképezése a síkba. Indoklásként elegend˝o arra utalni, hogy az R sugarú gömb Gauss-görbülete (minden pontban) 1/R2 , a síké pedig 0. A lokális izometriához az els˝o alapmennyiségek megegyezése elegend˝o is. 2.68. Tétel. Legyen r1 : U → S1 ⊂ R3 és r2 : U → S2 ⊂ R3 két elemi felület ugyanazon a paramétertartományon értelmezve. Ha az els˝o alapmennyiségek a paramétertartomány minden pontjában megegyeznek, azaz E1 (p) = E2 (p), F1 (p) = F2 (p), G1 (p) = G2 (p), akkor φ = id lokális izometria a két felület között. B IZONYÍTÁS . Legyen X = (x, y) (xriu (p), yriv (p)), (i = 1, 2), továbbá

∈

R2 . Ekkor dri (p)X

=

Ii (dri (p)X) = Ei (p)x2 + 2Fi xy + Gi (p)y 2 , ahonnan a feltételeket figyelembe véve következik az állítás.

2.69. Példa. (Lásd még a 2.26. példát is!) Legyen r1 : I × R → R3 , (u, v) 7→ r1 (u, v) = (x(u), y(u), v)

hengerfelület, ahol c : I → R2 , u 7→ c(u) = (x(u), y(u)) parametrizált görbe, és c injektív. Ha föltesszük, hogy x02 + y 02 = 1, akkor E1 = 1, és az els˝o alapmennyiségek megegyezése miatt a henger izometrikus az r2 : I × R → R3 , (u, v) 7→ r1 (u, v) = (u, v, 0) síkkal. Mind a hengerfelület, mind a sík Gauss-görbülete zéró. Ez a tulajdonság már jellemzi is a síkkal izometrikus felületeket. 2.70. Tétel. Egy elemi felületet akkor és csakis akkor lehet izometrikusan leképezni a síkba, ha Gauss-görbülete 0. Megjegyezzük, hogy nem elemi felületek körében az állítás már nem igaz. Feladatok 2.39. Feladat. Legyen r(u, v) = (cos α sinh v sin u + sin α cosh v cos u, − cos α sinh v cos u + sin α cosh v sin u, u cos α + v sin α),

(0 < u < 2π, v ∈ R, α ∈ R). r az α paraméter minden értékére egy felületet ad. Lássuk be, hogy ezek a felületek izometrikusak. Speciálisan α = 0ra az r1 (u, v) = (sinh v sin u, sinh v cos u, u) a csavarfelületet, α = π/2-re az

2.12. PÁRHUZAMOS ELTOLÁS A FELÜLETEN

67

r2 (u, v) = (cosh v cos u, cosh v sin u, v) forgásfelületet, az ún. katenoidot kapjuk. (¯ v = sinh v helyettesítéssel kapjuk a csavarfelület szokásos el˝oállítását. Így azt is beláttuk, hogy a katenoid és a csavarfelület izometrikusak, lásd a 2.12. ábrát.) wxMaxima munkalap: PDF 2.40. p Feladat. Lássuk be azt a (szemléletesen nyilvánvaló) tényt, hogy a z = x2 + y 2 > 0 kúpfelület lokális izometriával leképezhet˝o a síkra. 2.12. Párhuzamos eltolás a felületen 2.71. Definíció. Legyen r : U → R3 parametrizált felület, c : I → U reguláris görbe. Az X : I → R3 differenciálható leképezést felületi vektormez˝onek nevezzük a c görbe mentén, ha ∀t ∈ I : X(t) ∈ Tc(t) r. 2.72. Példa. Egy c˜ = r ◦ c felületi görbe érint˝oi mindig az érint˝osíkban vannak, tehát c˜0 felületi vektormez˝o c mentén, speciálisan az ru , rv paramétervonal érint˝ok felületi vektormez˝ok a paramétervonalak mentén, míg a felületi normális egyetlen görbe mentén sem felületi vektormez˝o. Az X(t) ∈ Tc(t) r feltétel azt jelenti, hogy X(t) lineárisan kombinálható a paramétervonal érint˝okb˝ol: X = X1 ru + X2 rv , ahol X1 , X2 : I → R differenciálható függvényeket a felületi vektormez˝o komponensfüggvényeinek nevezzük. A felületi vektormez˝o a definíció szerint egy térgörbe, így deriváltját sebességvektormez˝onek is hívhatjuk. A felületi vektormez˝o sebesség-vektormez˝oje már nem feltétlenül felületi vektormez˝o, mert nem biztos, hogy egy adott paraméterérték mellett az érint˝osíkban van. Kitüntetett felületi vektormez˝ok azok, amelyek sebesség-vektormez˝oje mindig mer˝oleges az adott pontbeli érint˝osíkra. 2.73. Definíció. A c : I → U görbe menti X : I → R3 felületi vektormez˝ot párhuzamos vektormez˝onek nevezzük, ha ∀t ∈ I-re X 0 (t) ⊥ Tc(t) r. A definíciót átfogalmazhatjuk úgy, hogy a sebesség-vektormez˝o érint˝osíkra vonatkozó mer˝oleges vetülete zérus. A sebesség vektormez˝o érint˝osíkra vonatkozó mer˝oleges vetületét jelölje ∇X , azaz dt ∇X = X 0 − hX 0 , nin, dt ahol az egyszer˝uség kedvéért a jelölésekben nem utaltunk a c görbére. Az X felü=0 leti vektormez˝o tehát akkor és csakis akkor párhuzamos vektormez˝o, ha ∇X dt teljesül. (2.39)

2.74. Tétel. Legyen r parametrizált felület, az els˝o alapformáját jelölje α. Legyenek X, Y felületi vektormez˝ok ugyanazon c görbe mentén. Ekkor d ∇X ∇Y α(X, Y ) = α , Y + α X, dt dt dt


2.12. ábra. A csavarfelület deformációja katenoiddá

68


69

B IZONYÍTÁS . d d α(X, Y ) = hX, Y i = hX 0 , Y i + hX, Y 0 i = dt dt a (2.39) definíciót beírva: ∇Y ∇X + hX 0 , nin, Y i + hX, + hY 0 , nini dt dt mivel X és n valamint Y és n mer˝olegesek: =h

=h

∇X ∇Y ∇X ∇Y ,Y i + h , Xi = α( , Y ) + α( , X). dt dt dt dt

2.75. Következmény. Ha X és Y párhuzamos vektormez˝ok egy görbe mentén, akkor α(X, Y ) = konstans, azaz egy párhuzamos vektormez˝o azonos hosszúságú vektorokból áll, továbbá párhuzamos vektormez˝ok szöge állandó. √ √ 2.76. Példa (I). Legyen a szokásos jelölésekkel p = ru / E, q = rv / G, és tegyük föl, hogy hru , rv i = 0 (a felület egy felületi ponton áthaladó két paramétervonala egymásra mer˝oleges); azaz (p, q) az érint˝otérben ortonormált bázis és n = p×q. Mivel hp, pi = hq, qi = 1, ezért parciális deriválás után azt kapjuk, hogy (2.40)

hpu , pi = hpv , pi = hqu , qi = hqv , pi = 0,

illetve hp, qi = 0, amib˝ol (2.41)

hpu , qi + hp, qu i = 0, hpv , qi + hp, qv i = 0

következik. Ugyanakkor √ ruu E − ru 2√1E Eu ru rv ∂ rv ru √ hpu , qi = h ,√ i=h ,√ i= ∂u E E G G 1 =√ hruu , rv i. EG Felhasználva, hogy Ev = 2hruv , ru i, és hru , rv i = 0 =⇒ hruu , rv i + hru , rvu i = 0, így Ev hruu , rv i = −hru , rvu i = − , 2 tehát Ev (2.42) hpu , qi = − √ . 2 EG Hasonló módon: Gu (2.43) hpv , qi = √ . 2 EG Legyen c(t) = (u(t), v(t)) parametrizált reguláris görbe a paramétersíkban, X(t) = cos θ(t) · p(c(t)) + sin θ(t) · q(c(t)),


70

röviden X = cos θ · p + sin θ · q

felületi egységvektor-mez˝o. Annak szükséges és elégséges feltételét vizsgáljuk, hogy X párhuzamos vektormez˝o legyen c mentén, azaz az X 0 sebesség vektormez˝o érint˝osíkra es˝o mer˝oleges komponense 0 legyen. (X, n×X) az érint˝osík ortonormált bázisa (egy adott pontban). hX, Xi = 0 miatt hX 0 , Xi = 0. Így a vektormez˝o párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele, hogy hX 0 , n×Xi = 0 teljesüljön. A sebesség-vektormez˝o: X 0 = − sin θ · θ0 · p + cos θ · (dp) · c0 + cos θ · θ0 · q + sin θ · (dq) · c0 = = θ0 (− sin θ · p + cos θ · q) +

+ cos θ (pu · u0 + pv · v 0 ) + sin θ (qu · u0 + qv · v 0 )

Másrészt a kifejtési tételt alkalmazva n×X = (p×q)×(cos θ · p + sin θ · q) = cos θ · q − sin θ · p. A (2.40) relációt felhasználva: hX 0 , n×Xi = θ0 + cos2 θ · u0 hpu , qi + cos2 θ · v 0 hpv , qi − sin2 θ · u0 hqu , pi − sin2 θ · v 0 hqv , pi

a (2.41) egyenlet miatt = θ0 + cos2 θ · u0 hpu , qi + cos2 θ · v 0 hpv , qi + sin2 θ · u0 hq, pu i + sin2 θ · v 0 hq, pv i

végezetül a (2.42) és a (2.43) egyenleteket beírva Gu Ev = θ0 − cos2 θ · u0 √ + cos2 θ · v 0 √ 2 EG 2 EG Ev Gu − sin2 θ · u0 √ + sin2 θ · v 0 √ 2 EG 2 EG Ev Gu = θ0 − u0 √ + v0 √ . 2 EG 2 EG Tehát X akkor és csakis akkor párhuzamos vektormez˝o c mentén, ha (2.44)

1 θ0 = √ (u0 · Ev − v 0 · Gu ) . 2 EG

Ha egy felületen egy adott görbe mentén egy X párhuzamos vektormez˝ot keresünk, akkor a keresett vektormez˝onek az (2.45)

X 0 = hX 0 , nin

feltételt kell kielégítenie. A (2.45) egyenlet egy közönséges differenciálegyenlet az X ismeretlen vektormez˝ore. A közönséges differenciálegyenletek elméletéb˝ol ismert, hogy adott kezdeti feltétel mellett ennek egyértelm˝uen van megoldása.


71

2.77. Tétel. Legyen r : U → R3 parametrizált felület, c : [t0 , t1 ] → U reguláris parametrizált görbe, melynek végpontjait jelölje p0 és p1 , azaz c(t0 ) = p0 és c(t1 ) = p1 , valamint X0 ∈ Tp0 r.

(1) Egyértelm˝uen létezik olyan X : I → R3 párhuzamos felületi vektormez˝o a c görbe mentén, melyre X(t0 ) = X0 . (2) A πc : Tp0 r → Tp1 r, X0 7→ X(t1 ) leképezés lineáris izometria Tp0 r és Tp1 r között. Az X(t1 ) vektort ilyenkor az X0 párhuzamos eltoltjának nevezzük c mentén.

B IZONYÍTÁS . Az els˝o állítás igazolására már az el˝oz˝oekben utaltunk. A 2.74. tétel következménye szerint Tp0 r ortonormált bázisának képe Tp1 r ortonormált bázisa, ahonnan a tétel második állítása azonnal következik. A 2.74. tétel következménye szerint azt is megfogalmazhatjuk, hogy a görbe menti párhuzamos eltolás normatartó és szögtartó. Speciálisan a πc : Tp0 r → Tp1 r, X0 7→ X(t1 ) leképezésben lehetséges, hogy p0 = p1 , és c zárt görbe (hurok), mely a p0 pontot önmagával köti össze. Ilyenkor X(t1 ) nem feltétlenül egyezik meg X0 -al, s˝ot az is elképzelhet˝o, hogy különböz˝o hurkok mentén ugyanannak a vektornak a párhuzamos eltoltja más és más vektor. Az az irányított szög, amellyel a πc párhuzamos eltolás elforgatja az X0 ∈ Tp0 r vektort azonban jellemz˝o a görbére és nem függ az érínt˝osíkban fölvett X0 vektortól, hiszen a párhuzamos eltolás szögtartó. 2.78. Definíció. (A 2.77. tétel jelöléseivel.) A Hol(c) = ^(X0 , πc (X0 )) irányított szöget a c görbe holonómiájának nevezzük. 2.79. Példa (a holonómia kiszámítása mer˝oleges paraméterezés eseténI). A 2.76. példa feltételeivel a (2.44) egyenlet adja a párhuzamos vektormez˝o hajlásszögének változását, melyet kiintegrálva kapjuk (hurokra) a holonómiát: Z 1 √ (2.46) Hol(c) = (Ev du − Gu dv) . c 2 EG A holonómia és a felület Gauss-görbülete között összefüggés van. Ennek megvilágításához az integrálszámítás Green-tételére lesz szükségünk, amelyet röviden összefoglalunk. Egy c egyszer˝u, zárt síkgörbe a síkot két részre bontja, a görbe külsejére és belsejére (ez a nevezetes Jordan-görbetétel). Egy ilyen görbe pozitív irányítású, ha (szemléletesen fogalmazva) növekv˝o paraméterértékek szerint a görbén végighaladva a görbe belseje bal kéz fel˝ol esik. Green tétele szerint, ha f és g sima függvények a síkon, akkor Z Z ∂g ∂f − dA(u, v) = (f du + g dv), ∂u ∂v c int c ahol c pozitív irányítású, egyszer˝u, zárt síkgörbe. (Megjegyezzük, hogy c-r˝ol elegend˝o lenne feltenni, hogy szakaszonként sima.)

2.13. GEODETIKUSOK

72

Tegyük fel, hogy r elemi felület (lásd 2.65). Mer˝oleges paraméterezés esetén a Theorema Egregium szerint (lásd (2.36)) −1 ∂ Ev ∂ Gu √ √ (2.47) K= √ + . ∂u 2 EG ∂v EG EG K ◦ r−1 felszín szerinti integrálját (lásd 2.33) képezve a c pozitív irányítású, egyszer˝u zárt görbére, r(int c)-t X-el jelölve: Z (K ◦ r−1 ) dAr = X Z √ −1 ∂ Ev ∂ Gu √ √ √ = + EG dA(u, v) = ∂v ∂u EG EG int c 2 EG Z ∂ Ev −Gu ∂ 1 √ √ − + dA(u, v) = = ∂v ∂u EG EG int c 2 √ √ a Green-tételt alkalmazva f = Ev / EG, g = −Gu / EG-ra Z 1 E G √ v du − √ u dv = 2 c EG EG Tehát, ha a Green-tétel feltételei teljesülnek, akkor (2.46) és (2.47) összehasonlításával: Z Hol(c) = (K ◦ r−1 ) dAr . X

Ez utóbbi formulát (mely nemcsak mer˝oleges paraméterezésre igaz) holonómiatételnek nevezzük. Feladatok 2.41. Feladat. Számítsuk ki a szélességi körök, speciálisan az Egyenlít˝o holonómiáját a gömbön. 2.13. Geodetikusok 2.80. Definíció. Legyen r : U → R3 parametrizált felület, c : I → U reguláris parametrizált görbe. A c˜: I → R3 felületi görbét affin geodetikusnak, röviden geodetikusnak nevezzük, ha a sebesség-vektormez˝o párhuzamos vektormez˝o cmentén, azaz ∇˜ c0 (2.48) = c˜00 − h˜ c00 , nin = 0. dt A sebesség-vektormez˝o párhuzamosságából rögtön következik, hogy a sebességvektor hossza konstans a geodetikus minden pontjában, így a paraméter az ívhosszal arányos. 2.81. Példa. Síkgörbékre h˜ c00 , ni = 0, ahol n a sík normál-egységvektora, így ∇˜ c0 = c˜00 − h˜ c00 , nin = c˜00 . | {z } dt 0

2.13. GEODETIKUSOK

73

Tehát c˜(t) = At + B (A, B ∈ R3 ), a sík geodetikusai az egyenesek. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a geodetikus az egyenes fogalmának általánosítása a felületre. Minden lineárisan paraméterezett egyenes gyorsulásvektora zérusvektor, így a lineárisan paraméterezett szakaszok minden felületen geodetikusok. 2.82. Példa (a gömb geodetikusai). Tekintsük a gömb földrajzi paraméterezését: π π r(u, v) = (cos u cos v, cos u sin v, sin u) (u, v) ∈ (− , ) × R. 2 2 Legyen c˜ hosszúsági kör, azaz u(t) = t, v(t) = v0 (konstans). Mivel ruu (u, v) = −r(u, v) = n, ezért c˜0 = u0 · ru ∇˜ c0 = 0, dt így a hosszúsági körök geodetikusok. Viszonylag nehezebb belátni azt, hogy a gömb minden geodetikusa (konstans pályasebesség˝u) f˝okörív. c˜00 = u00 · ru + u02 ruu = u00 · ru + u02 · n = n =⇒

Legyen c(t) = (u(t), v(t)) reguláris parametrizált görbe a paramétersíkban, c˜ = r ◦ c felületi görbe. c˜0 = u0 · ru + v 0 · rv c˜00 = u00 · ru + u02 · ruu + u0 v 0 · ruv + v 00 · rv + v 0 u0 · rvu + v 02 · rvv .

ruu , ruv = rvu és rvv érint˝osíkkal párhuzamos komponenseit a Christoffelszimbólumokkal fejezhetjük ki: ∇˜ c0 = u00 + u02 Γ111 + 2u0 v 0 Γ112 + v 02 Γ122 ru + dt + v 00 + u02 Γ211 + 2u0 v 0 Γ212 + v 02 Γ222 rv , ahol a Christoffel-szimbólumokat, ru -t és rv -t értelemszer˝uen a c görbe mentén kell venni. Így a geodetikusok egyenletrendszere: (2.49)

u00 + u02 Γ111 + 2u0 v 0 Γ112 + v 02 Γ122 = 0 v 00 + u02 Γ211 + 2u0 v 0 Γ212 + v 02 Γ222 = 0.

(2.49) másodrend˝u közönséges differenciálegyenlet-rendszer az (u, v) ismeretlen függvényekre. A differenciálegyenletek elméletéb˝ol ismert egzisztencia és unicitás tételt alkalmazva megfogalmazhatjuk a következ˝o tételt: 2.83. Tétel. Legyen r : U → R3 parametrizált felület, p ∈ U , X ∈ Tp r. Megfelel˝oen választott > 0-ra egyértelm˝uen létezik a felületnek olyan c˜: (−, ) → R3 geodetikusa, melyre c˜(0) = r(p), c˜0 (0) = X. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a felület minden pontján, minden irányban áthalad geodetikus, és ez a geodetikus elegend˝oen kis intervallumon egyértelm˝u is. Általában az egyértelm˝uség nem teljesül, hiszen a geodetikust esetleg „meg lehet hosszabbítani”, például az egyenlít˝o egy pontjából kiinduló különböz˝o hosszúságú meridián ívek mind geodetikusok.

2.13. GEODETIKUSOK

74

2.84. Tétel. Egy c˜ konstans pályasebesség˝u, bireguláris felületi görbe akkor és csakis akkor geodetikus, ha az alábbi, egymással ekvivalens feltételek valamelyike teljesül: (1) tetsz˝oleges pontjában a f˝onormális párhuzamos a felületi normálissal (2) tetsz˝oleges pontban a simulósík tartalmazza a felületi normálist (3) |˜ c0 , c˜00 , n ◦ c| = 0, ahol n a felületi normális. B IZONYÍTÁS . (T, F, B) jelölje a görbe Frenet-bázisát, v a konstans pályasebességet, κ a görbületet! Az els˝o Frenet-formula alapján c˜0 = vT =⇒ c˜00 = vT 0 = v 2 κF , így ∇˜ c0 = c˜00 − h˜ c00 , nin = v 2 κF − v 2 κhF, nin, dt azaz c˜ akkor és csakis akkor geodetikus, ha F = ±n. Geodetikus esetén F kn, így n biztosan a simulósíkban van, hiszen F is ott van. Megfordítva, ha n a simulósíkban van, akkor T -re mer˝oleges vektor révén csak a f˝onormálissal párhuzamos vektorról lehet szó. A harmadik állítás annak szükséges és elégséges feltétele, hogy a felületi normális a (˜ c0 , c˜00 ) vektorok által kifeszített síkban legyen, ez a sík azonban a simulósík, mert L(˜ c0 , c˜00 ) = L(T, F ). 2.85. Példa (az egyenes körhenger geodetikusai). A lineárisan paraméterezett alkotók geodetikusok, a továbbiakban csak a bireguláris geodetikusokat keressük az el˝oz˝o tétel alapján. A geodetikust a paramétersíkban c(t) = (x(t), y(t)) alakban keressük. A henger parametrizálása: r(u, v) = (a cos u, a sin u, v), a felületi normális n(u, v) = (cos u, sin u, 0)

(2.50) a felületi görbe

(2.51)

c˜ = (a cos x, a sin x, y) c˜0 = (−ax0 sin x, ax0 cos x, y 0 ) c˜00 = (−ax00 sin x − ax02 cos x, ax00 cos x − ax02 sin x, y 00 )

(a görbe paraméterét nem írtuk ki). A felületi görbe konstans pályasebesség˝u, (2.52)

k˜ c0 k2 = a2 x02 + y 02 = konstans,

és F k˜ c00 A 2.84. tételt alkalmazva és összehasonlítva a (2.50) egyenletet a (2.51) egyenlettel, azt kapjuk, hogy y 00 = 0, tehát y(t) = αt + β (α, β ∈ R). Mivel y 0 = α, így a (2.52) egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy x0 is konstans, azaz x(t) = γt + δ (γ, δ ∈ R). Tehát a henger geodetikusai:

(2.53)

c˜(t) = (a cos(γt + δ), a sin(γt + δ), αt + β).

Geometriailag (2.53) hengeres csavarvonal (α 6= 0 és γ 6= 0) vagy kör (α = 0). A kifejezés az α 6= 0, γ = 0 esetben egyébként tartalmazza az alkotókat is, ezek nem bireguláris geodetikusok.

2.13. GEODETIKUSOK

75

A henger geodetikusai tehát az alkotók, a keresztmetszetkörök vagy a hengeren futó hengeres csavarvonalak. 2.86. Példa. Ha egy felületnél E = 1, F = 0 és (következésképpen) G > 0, akkor az (s, v = konstans) paramétervonalak ívhossz-paraméterezés˝u geodetikusok. Valóban, a felület mer˝oleges paraméterezés˝u (F = 0), így a Christoffelszimbólumok (2.32) alapján számíthatók, speciálisan: Γ111 = 0, Γ211 = 0, Γ112 = 0. Tehát a geodetikusok egyenletrendszere (2.49) alapján u00 + Γ122 v 02 = 0

(2.54)

v 00 + 2u0 v 0 Γ212 + Γ222 v 02 = 0.

Mivel a c(s) = (s, v0 ) görbére u00 = 0, v 0 = v 00 = 0, így a görbe a geodetikusok egyenletrendszerét kielégíti. 2.87. Definíció. Azt mondjuk, hogy egy felület geodetikus koordináta-rendszerrel van adva, ha els˝o alapmennyiségeire E = 1, F = 0, G(u, v) > 0 teljesül. Az el˝oz˝o példa szerint a geodetikus koordináta-rendszerrel adott felületen a v = konstans paramétervonalak ívhossz-paraméterezés˝u geodetikusok, az u = konstans paramétervonalak (melyeket parallel görbéknek is nevezik) ezeket mer˝olegesen metszik. A (a, t) és (b, t) parallel görbék között az (s, v0 ) geodetikus ívhossza |a − b|. Bizonyos értelemben minden felületen bevezethet˝o geodetikus koordináta-rendszer, mert minden felületi pont elegend˝oen sz˝uk környezetében a felületdarabot meg lehet adni geodetikus koordináta-rendszerrel. Ennek a ténynek a tárgyalása kívül esik a jegyzet keretein. Geodetikus koordináta-rendszerrel adott felületre példa a gömb földrajzi paraméterezése vagy a forgásfelület szokásos paraméterezése, ha a generáló görbe ívhossz-paraméterezés˝u (lásd 2.16. Feladat). Az affin geodetikusok szoros kapcsolatban vannak az ívhosszméréssel. El˝oször ezt egy nagyon könnyen belátható tétellel világítjuk meg. 2.88. Tétel. Legyen az r : U → R3 felület geodetikus koordináta-rendszerrel adva. Ekkor a c˜(s) = r(s, v0 ), a ≤ s ≤ b alakban adott geodetikus ívhossza nem nagyobb, mint az P = r(a, v0 ), Q = r(b, v0 ) pontokat összeköt˝o tetsz˝oleges felületi görbe hossza.

B IZONYÍTÁS . Legyen a két felületi pontot összeköt˝o másik felületi görbe α(t) = (u(t), v(t)), továbbá r(α(t0 )) = P és r(α(t1 )) = Q (t0 < t1 ). Az ívhossz: Z t1 p Z t1 02 02 Λ(α) = u (t) + G(u(t), v(t))v (t) dt ≥ |u0 (t)| dt ≥ t0

t0

≥

Z

t1

t0

u0 (t) dt = u(t1 ) − u(t0 ) = b − a = Λ(˜ c).

Az el˝oz˝o tétel nem azt állítja, hogy egy tetsz˝oleges geodetikus két felületi pont között a legrövidebb felületi görbe lenne. Egyrészt a tétel csak geodetikus

2.14. A GAUSS–BONNET TÉTEL

76

koordináta-rendszerben adott felületr˝ol szól, másrészt csak nagyon speciális formájú geodetikusról. Ha két felületi pont között a legrövidebb felületi görbét keressük, akkor a Z t1 `(u(t), v(t), u0 (t), v 0 (t)) dt, (2.55) Λ(c) = t0 √ `(u, v, u0 , v 0 ) = Eu02 + 2F u0 v 0 + Gv 02 funkcionál széls˝oértékeire vagyunk kíváncsiak, ahol c(t) = (u(t), v(t)). Λ a két rögzített felületi pontot összeköt˝o görbére megadja a görbe ívhosszát. A variációszámítás elméletéb˝ol ismert, hogy a széls˝oértéket adó görbének ki kell elégítenie az ún. Euler–Lagrange-egyenleteket: ∂` d ∂` d ∂` ∂` − − = 0, = 0. 0 ∂u dt ∂u ∂v dt ∂v 0 Az Euler–Lagrange-egyenletrendszer megoldásait stacionárius görbéknek szokás nevezni. (A stacionárius görbe nem feltétlenül megoldása a széls˝oérték feladatnak.) 2.89. Tétel. Az Euler–Lagrange egyenletrendszer ívhossz-paraméterezés˝u megoldásai pontosan az ívhossz-paraméterezés˝u geodetikusok. B IZONYÍTÁS . A bizonyítást csak geodetikus √ koordináta-rendszerrel adott u02 + Gv 02 , a Christoffelfelületre végezzük el. Ekkor `(u, v, u0 , v 0 ) = szimbólumokat pedig (2.32)-b˝ol ismerjük. d ∂` Gu v 02 d 2u0 Gu 02 ∂` − = − = v − u00 = −Γ122 v 02 − u00 0 ∂u dt ∂u 2` dt 2` 2 ∂` d ∂` Gv v 02 d 2v 0 G Gv v 02 − = − = − v 00 G − v 0 (Gu u0 + Gv v 0 ) = ∂v dt ∂v 0 2` dt 2` 2 = G −v 00 − 2u0 v 0 Γ212 − 2v 02 Γ222 − Γ222 v 02 , azaz valóban a (2.54) egyenleteket kapjuk.

Tehát két felületi pontot összeköt˝o legrövidebb felületi görbe csak affin geodetikus lehet. Feladatok 2.42. Feladat. Vezessük le az egyenes körhenger geodetikusait a geodetikusok (2.49) egyenletrendszere alapján is. 2.43. Feladat. Lássuk be, √hogy geodetikus koordináta-rendszerrel adott felület Gauss-görbületére K = − ( √G)Guu . 2.14. A Gauss – Bonnet-tételI A síkgörbék geometriai jellemzésének egyik fontos mennyisége a görbület 0 volt, melyet a κ = hT v,N i formulával értelmeztünk, ahol (T, N ) a síkgörbe Frenetbázisa, v a pályasebesség (lásd 1.16. definíció). Ezt a fogalmat általánosítjuk egy


77

felületi görbére. Egy felületi görbe általában térgörbe, és így a T érint˝ovektor derékszög˝u elforgatottjának csak tengely körül van értelme. Ha a tengelyt (s annak irányát) a felületi normális jelöli ki, akkor ráadásul T elforgatottja az adott pontbeli érint˝osíkban van. 2.90. Definíció. Legyen r : U → R3 parametrizált felület, c : I → U reguláris 0 görbe, c˜ = r ◦ c a megfelel˝o felületi görbe. Legyen v = k˜ c0 k, T = c˜v , n = (ru × rv )0 , és jelölje az n körüli π/2 szög˝u elforgatást rotn ! 1. N = rotn T , (T, N ) a felületi görbe Frenet-bázisa i 2. κg = h(∇T )/dt,N a felületi görbe geodetikus görbülete. v A definíció szerint egy geodetikus vonal geodetikus görbülete zérus. Megfordítva, ha egy görbe geodetikus görbülete zérus, akkor átparaméterezhet˝o geodetikussá, amint azt rögtön belátjuk. Megjegyezzük, hogy h(∇T )/dt, N i hT 0 − hT 0 , nin, N i hT 0 , N i (2.56) κg = = = . v v v 2.91. Tétel. Ha φ : I1 → I paramétertranszformáció és c˜1 = c˜ ◦ φ, akkor a 0 c˜1 görbe geodetikus görbületére κg1 = |φφ0 | κg ◦ φ, azaz a geodetikus görbület irányítástartó paramétertranszformációval szemben invariáns, míg irányításváltó paramétertranszformációnál el˝ojelet vált. B IZONYÍTÁS . (2.56) alapján az állítás rögtön következik abból, hogy T1 = ±T ◦ φ N1 = ±N ◦ φ

T10 = ±T 0 ◦ φ · φ0 v1 = |φ0 | · v ◦ φ,

ahol irányítástartó paramétertranszformációnál a +, míg irányításváltó paramétertranszformációnál a − el˝ojelek értend˝ok. A fenti relációkat felhasználva hT10 , N1 i φ0 hT 0 ◦ φ, N ◦ φi = 0 · . v1 |φ | v◦φ

2.92. Tétel. Legyen r parametrizált felület, c˜ = r ◦ c reguláris felületi görbe. Ha c˜ geodetikus görbülete zérus és φ olyan paramétertranszformáció, hogy c˜1 = c˜ ◦ φ természetes paraméterezés˝u, akkor c˜1 geodetikus. B IZONYÍTÁS . Ha c˜1 természetes paraméterezés˝u, akkor mer˝oleges T1 = c˜1 -re, így a Fourier el˝oállítását véve

∇˜ c01 dt

= c˜001 − h˜ c001 , nin

∇˜ c01 ∇˜ c0 = h 1 , N1 iN1 = κg1 N1 . dt dt Ha c˜ geodetikus görbülete zérus, akkor az el˝oz˝o tétel miatt c˜1 = c˜ ◦ φ geodetikus görbülete is zérus, azaz c˜1 valóban geodetikus. A fejezet további részében csak geodetikus koordináta-rendszerrel adott felületekr˝ol lesz szó, azaz E = 1, F = 0, G > 0. (Korábban már említettük,


78

hogy ez nem jelent lényeges megszorítást, lásd a 2.87. Definíciót követ˝o megjegyzést.) Ekkor E1 = ru , E2 = √rvG ortonormált bázis a felület minden pontjában. Erre a bázisra vonatkozóan –csakúgy, mint a síkgörbék esetében tettük, lásd az 1.25. Definíciót–, be lehet vezetni egy felületi görbe hajlásszögfüggvényét. 2.93. Definíció. Legyen r geodetikus koordináta-rendszerrel adott felület, c˜ = r ◦ c : I → R3 természetes paraméterezés˝u felületi görbe, (T, N ) a Frenet-bázisa. A θ : I → R differenciálható függvényt a c˜ felületi görbe hajlásszögfüggvényének nevezzük, ha (2.57)

T (t) = cos θ(t) · E1 (c(t)) + sin θ(t) · E2 (c(t))

teljesül. A síkgörbék elméletében többször használtuk a hajlásszögfüggvény és a görbület között fennálló összefüggést, lásd 1.27. Ennek általánosítását mondjuk ki felületi görbékre. 2.94. Tétel. A 2.93. Definíció jelöléseivel. A felületi görbe geodetikus görbületére √ (2.58) κg = θ0 + ( G)u v 0 , ahol c(t) = (u(t), v(t)). B IZONYÍTÁS . (2.57) alapján T 0 = −θ0 sin θ · E1 ◦ c + sin θ · (E1 ◦ c)0 + θ0 cos θ · E2 ◦ c + sin θ · (E2 ◦ c)0 , illetve N = − sin θ · E1 ◦ c + cos θ · E2 ◦ c.

Felhasználva, hogy hEi ◦ c, Ei ◦ ci = 1 (i = 1, 2), azt kapjuk, hogy hEi ◦ c, (Ei ◦ c)0 i = 0,

továbbá hE1 ◦ c, E2 ◦ ci = 0-ból az következik, hogy

h(E1 ◦ c)0 , E2 ◦ ci + hE1 ◦ c, (E2 ◦ c)0 i = 0.

Ezeket a relációkat használva: κg = hT 0 , N i = θ0 + h(E1 ◦ c)0 , E2 ◦ ci = 1 = θ0 + √ h(ru ◦ c)0 , rv ◦ ci = G 1 = θ0 + √ (u0 hruu ◦ c, rv ◦ ci + v 0 hruv ◦ c, rv ◦ ci) = G 1 = θ0 + √ u0 Γ211 G + v 0 Γ212 G . G Geodetikus koordináta-rendszerben Γ211 = 0, Γ212 = állítás már következik.

Gu 2G

=

√ ( G)u √ , G

ahonnan az


79

Vázlatosan megmutatjuk, hogy a (2.58) formulát alkalmazva hogyan juthatunk el a Hopf-tétel (1.39) általánosításához felületre. Képezzük a geodetikus görbület görbe menti integrálját egy c pozitív irányítású egyszer˝u, zárt síkgörbére! A (2.58) relációt és a 2.79. példában megismert módszer szerint a Green-tételt alkalmazva: Z Z √ Z Z Z 0 0 κg = θ + K ◦ r−1 , G= θ − c

c

c

c

X

ahol r(int c)-t X-el jelöltük. Átrendezve, Z Z Z −1 K ◦ r + κg = θ0 . X c R c0 Ha c egyszer˝u, periodikusan zárt, akkor c θ = k2π (k ∈ Z), hiszen az érint˝ovektor a görbe kezd˝opontjában és végpontjában ugyanaz. Síkon Hopf tétele szerint pozitív irányítású görbére 2π-t kapunk, ez nyilván igaz lesz minden olyan felületre, amely a síkkal izometrikus, ehhez geodetikus koordináta-rendszerrel adott felületnél elegend˝o, hogy G = 1. Ha olyan felületeket vizsgálunk, melyre (geodetiR kus koordináta-rendszerben) G(λ) = λ+(1−λ)G (λ ∈ [0, 1]), akkor Σ(λ) = c θ értéke mindig k2π (valamely k egészre), Σ folytonos, ugyanakkor λ = 1-re (Hopf tétele szerint) Σ(1) = 2π. Így Σ(λ) = 2π. Ezzel a Hopf-tétel egy általánosítását kaptuk felületekre. 2.95. Tétel. Ha az r : U → R3 felület megadható geodetikus koordinátarendszerrel, c : I → U pedig pozitív irányítású, egyszer˝u, periodikusan zárt görbe, X = r(int c), akkor Z Z X

K ◦ r−1 +

κg = 2π. c

Ha a felületi görbe csak szakaszonként sima reguláris görbe, pontosabban megegyezik a paramétertartomány egy egyszer˝u poligonjának diffeomorf képével, akkor a görbe (felületi poligon) töréspontjaiban (csúcspontjaiban) az érint˝ovektor α = ^(˜ c0be , c˜0ki ) szöggel változik, ahol c˜be a csúcspontba befutó, míg c˜ki a csúcspontból kifutó görbe, az α szög a felületi poligon küls˝o szöge a csúcspontban. Ennek az irányított szögnek az értéke a (−π, π) intervallumban van. (A fordulópontot, azaz ahol a küls˝o szög π, kizárjuk.) 2.96. Tétel (lokális Gauss – Bonnet-tétel). Tegyük fel, hogy az r : U → R3 felület megadható geodetikus koordináta-rendszerrel, P egy egyszer˝u poligonlemez a paramétersíkban, mely határgörbéjét ∂P jelöli. D : P → X legyen diffeomorfizmus P -r˝ol az X ⊂ r(U) halmazra. X pozitív irányítással vett határgörbéjének geodetikus görbületét jelölje κg , X küls˝o szögeit pedig θ1 , . . . , θn . Ekkor Z Z n X −1 K ◦r + κg + θi = 2π. X

∂P

i=1

Ha a felületi poligon geodetikus poligon, azaz oldalai geodetikusok, akkor az oldalak geodetikus görbülete zérus. αi = π − θi -vel jelölve a geodetikus poligon bels˝o szögét, megfogalmazhatjuk a Gauss – Bonnet-tétel egyszer˝u következményét:


80

2.97. Következmény. (A 2.96. Tétel feltételeivel.) Egy X geodetikus poligonra Z n X K ◦ r−1 . αi − (n − 2)π = i=1

X

Az el˝obbi állítást speciálisan gömbre alkalmazva kapjuk a gömbháromszögek szögösszegére vonatkozó, elemi úton is bizonyítható összefüggést: (2.59)

r2 (α + β + γ − π) = A,

ahol α, β, γ a gömbháromszög bels˝o szögeit, A pedig a területét jelöli. A formula belátásához elegend˝o csak arra hivatkozni, hogy a gömb Gauss-görbülete 1/r2 , ahol r jelöli a gömb sugarát. (2.59) nyilvánvaló következménye, hogy egy gömbháromszög szögösszege π-t˝ol nagyobb.

3. FEJEZET

Appendix 3.1. Bilineáris és kvadratikus formák 3.1. Definíció. Legyen V valós vektortér. A B : V × V → R leképezést bilineáris formának nevezzük, ha ∀x, y, z ∈ V és ∀λ, µ ∈ R esetén teljesül, hogy B(λx + µy, z) = λB(x, z) + µB(y, z) B(x, λy + µz) = λB(x, y) + µB(x, z),

azaz B mindkét változóban lineáris. A B bilineáris forma szimmetrikus, ha ∀x, y : B(x, y) = B(y, x).

A B szimmetrikus bilineáris forma egy

Q : V → R, x 7→ Q(x) = B(x, x)

leképezést származtat, melyet B poláris formájú kvadratikus formának nevezünk. 3.2. Tétel. Kvadratikus forma poláris formája egyértelm˝u. B IZONYÍTÁS . A definíció jelöléseivel, B bilinearitását és szimmetriáját használva: Q(x + y) = B(x + y, x + y) = B(x, x) + 2B(x, y) + B(y, y) = = Q(x) + 2B(x, y) + Q(y), ahonnan

Q(x + y) − Q(x) − Q(y) , 2 azaz a Q egyértelm˝uen meghatározza a poláris formáját. B(x, y) =

3.3. Definíció. Egy Q : V → R kvadratikus formát pozitív definitnek nevezünk, ha ∀x ∈ V : Q(x) ≥ 0 és Q(x) = 0 ⇐⇒ x = 0. 3.4. Példa. A h, i : Rn × Rn → R kanonikus skaláris szorzat szimmetrikus bilineáris forma, mely poláris formája az x 7→ kxk2 (x ∈ Rn ) függvény, s ez pozitív definit. 3.5. Definíció. Legyen B = (b1 , . . . , bn ) a V vektortér egy bázisa. A B : V × V → R bilineáris forma B-re vonatkozó mátrixát a bij = B(bi , bj ) összefüggéssel értelmezzük. Egy kvadratikus forma adott bázisra vonatkozó mátrixán a poláris formájának ugyanerre a bázisra vonatkozó mátrixát értjük. 81

˝ FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLÁSA 3.2. TÖBBVÁLTOZÓS, VEKTORÉRTÉKU

82

3.2. Többváltozós, vektorértéku˝ függvények differenciálása Vázlatosan áttekintjük a többváltozós, vektor érték˝u függvények differenciálásáról tanultakat. A valós érték˝u (akár többváltozós) függvények differenciálszámítására, így például a parciális derivált fogalmára, nem térünk ki. 3.6. Definíció. Legyen U ⊂ Rn nem üres nyílt halmaz, s tekintsünk egy f : U → Rm leképezést. Legyen x ∈ U . Ha létezik olyan φ : Rn → Rm lineáris leképezés, hogy kf (x + h) − f (x) − φ(h)k lim = 0, (x + h ∈ U ), h→0 khk akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható az x pontban. f -et differenciálhatónak mondjuk U -n, ha annak minden pontjában differenciálható. φ-nek az Rn és Rm vektorterek kanonikus bázisaira vonatkozó mátrixát az f leképezés x-beli Jacobimátrixának nevezzük és df (x)-el jelöljük. Ha a definícióban szerepl˝o φ lineáris leképezés létezik, akkor egyértelm˝u. A derivált lineáris leképezés jelölésére több konvenció is szokásos az irodalomban, pl. f 0 (x) = φ, df (x) = φ. A továbbiakban az f 0 (x) jelölést csak az egyváltozós függvényekre használjuk, a szokásos értelemben. Jelöljük f komponensfüggvényeit (f1 , . . . , fm )-el. Meg lehet mutatni, hogy f akkor és csakis akkor differenciálható egy x pontban, ha komponensfüggvényeinek mindegyike differenciálható x-ben, s ekkor f Jacobi mátrixa: ∂fj df (x) = (x) ∈ Rm×n (j = 1 . . . m, i = 1 . . . n.) ∂xi Megjegyezzük, hogy pusztán a parciális deriváltak létezéséb˝ol a differenciálhatóság nem következik, ehhez a parciális deriváltak folytonossága is kell. 3.7. Példa. Legyen φ : Rn → Rm lineáris leképezés. Ekkor ∀x ∈ Rn -re φ differenciálható, és φ0 (x) = φ. Valóban: φ(x + h) − φ(x) − φ(h) = φ(x) + φ(h) − φ(x) − φ(h) = 0,

tehát a vizsgált határértékben a számláló zérus.

3.8. Példa. Legyen F : Rn → Rn affin leképezés, a csatolt lineáris leképezése φ ∈ GL(n). (Azaz ∀x ∈ Rn -re F (x) = φ(x) + x0 teljesül valamely rögzített x0 vektorra.) Ekkor ∀x ∈ Rn -re F differenciálható, és F 0 (x) = φ. Valóban: F (x + h) − F (x) − φ(h) = φ(x + h) + x0 − (φ(x) + x0 ) − φ(h) = a számláló ismét nulla.

= φ(x) + φ(h) + x0 − φ(x) − x0 − φ(h) = 0,

3.9. Példa. Legyen A ∈ Rn×n szimmetrikus mátrix, és

f : Rn → R, f (x) = hAx, xi.

Ekkor f differenciálható, és f 0 (x)(y) = 2hAx, yi.

˝ FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLÁSA 3.2. TÖBBVÁLTOZÓS, VEKTORÉRTÉKU

83

|hA(x + h), x + hi − hAx, xi − 2hAx, hi| |f (x + h) − f (x) − 2hAx, hi| = = khk khk |hAh, hi| kAhk · khk = ≤ = kAhk, khk khk a Cauchy-Schwarz egyenl˝otlenséget használva. Ha h → 0, akkor Ah → 0, így az állítást beláttuk. 3.10. Tétel (láncszabály). Tegyük fel, hogy E ⊂ Rn nyílt halmaz, f : E → Rm , f differenciálható x ∈ E-ben; g egy f (E)-t tartalmazó nyílt halmazt Rk -ba képez, és g differenciálható f (x)-ben. Ekkor az F = g ◦ f : E → Rk leképezés is differenciálható x-ben és (3.1)

F 0 (x) = g 0 (f (x)) ◦ f 0 (x).

Ha (3.1) minden x-re teljesül, azt a következ˝oképpen is írhatjuk: F 0 = (g 0 ◦ f ) ◦ f 0 .

3.11. Definíció. Ha az f : U → Rm leképezés minden komponensfüggvényének valamennyi rend˝u parciális deriváltja létezik és folytonos U -n, akkor azt mondjuk, hogy az f leképezés C ∞ -osztályú U -n. A jegyzetben a függvényekre akkor mondjuk, hogy differenciálhatóak, ha C ∞ -osztályúak (azaz akárhányszor differenciálhatóak), ellentétben a valós analízissel, ahol a differenciálhatóság egyszeri differenciálhatóságot jelent. Reméljük, ez nem okoz félreértést. 3.12. Definíció. f : U → V diffeomorfizmusa U -nak egy V ⊂ Rn nyílt halmazra, ha differenciálható, bijektív és az inverze is differenciálható leképezés. A láncszabály alkalmazásával könnyen igazolhatunk egy fontos összefüggést, nevezetesen, hogy diffeomorfizmus deriváltja sohasem lehet zérus. Legyen f : R → R diffeomorfizmus. Ekkor f −1 ◦ f = id. Deriváljuk ezt az összefüggést valamely x pontban! A láncszabályt alkalmazva és felhasználva, hogy az identitásnak, mint lineáris transzformációnak a deriváltja önmaga, továbbá id(1) = 1: f −10 f (x) ◦ f 0 (x) = 1.

Innen leolvasható, hogy az f 0 (x) 6= 0. Ha most az f ◦ f −1 = id összefüggésb˝ol indulunk ki, akkor ismét a láncszabályt alkalmazva f 0 f −1 (x) · f −10 (x) = 1. Ha f 0 6= 0 teljesül az értelmezési tartomány pontjaira, kapjuk az inverz függvény deriválási szabályát: 1 (3.2) f −10 (x) = 0 −1 . f (f (x))

4. FEJEZET

A feladatok megoldásai 1.3. a. A feltételek szerint a mozgást a h félegyenesen r0 = ar (a < 0) adja meg, ahol r = d(O, M ), a kezdeti feltétel r(0) = b. Ennek a kezdeti érték problémának a megoldása r(t) = b exp(at), azaz a paraméteres el˝oállítás c(t) = (b cos(t) exp(at), b sin(t) exp(at)) . b. kc0 (t)k = b2 (1 + a2 ) exp(2at), továbbá t Z ∞ 1 1 exp(2at) = − . exp(2at)dt = lim t→∞ 2a 2a 0 0 0 0 1.5. c0 (θ) = (− sin(θ)r(θ) p+ cos(θ)r (θ), cos(θ)r(θ) + sin(θ)r (θ)), így a pályasebesség függvény: v = r(θ)2 + r0 (θ)2 .

1.6. Az 1.19. Tétel alapján: c : t 7→ (t, sin t),

√ c : t 7→ (1, cos t), v(t) = 1 + cos2 t, T = cos t 1 N =J ◦T = − , v v c00 : t 7→ (0, − sin t); 0

1 cos t , v v

,

azaz κ(t) =

hc00 (t), N (t)i sin t sin t =− 3 =− . 2 v (t) v (1 + cos2 t)3/2

1.13. c. A görbe paramétere legyen a görbepont xy síkra vonatkozó mer˝oleges vetületének irányszöge, azaz a görbe paraméteres el˝oállítását az alábbi alakban keressük: c(t) = (ρ(t) cos t, ρ(t) sin t, ρ(t) ctg α). Így az érint˝o (a ρ(t) rádiuszvektor paraméterfüggését az egyszer˝uség kedvéért nem kiírva ) c0 (t) = (ρ0 cos t − ρ sin t, ρ0 sin t + ρ cos t, ρ0 ctg α), illetve a pályasebesség p v = ρ02 + ρ2 + ρ02 ctg2 α = 84

p ρ02 + ρ2 sin2 α . sin α

4. A FELADATOK MEGOLDÁSAI

85

Tehát az érint˝o és a (0, 0, 1) vektor szögének koszinusza, azaz ρ0

cos α ρ0 cos α ρ0 ctg α q ρ =p = ρ02 v 2 ρ02 + ρ2 sin2 α 2 + sin α ρ

állandó, így azonban ρ0 = A = állandó. ρ Az el˝oz˝o összefüggést mint a ρ függvényre vonatkozó differenciálegyenletet tekintve, a megoldások ρ(t) = A exp(at) alakúak. 1.14. Jelöljük a c bireguláris síkgörbe síkgörbeként definiált görbületét κ2 -vel, a bireguláris térgörbeként definiált görbületét pedig κ-val, ∠(c0 , c00 ) = α. hc00 , J ◦ c0 i kc0 k · kc00 k · cos(±α + π/2) ∓kc0 k · kc00 k · sin α = = = v3 v3 v3 kc0 × c00 k = ∓κ. =∓ v3 1.15. Ívhossz-paraméterezésben κ2 =

c0 = T c00 = κF c000 = κ0 F + κF 0 = κ0 F + κ(−κT + τ B) = −κ2 T + κ0 F + κτ B.

1.16. A c görbe s0 -hoz tartozó harmadik Taylor-polinomja az 1.15. feladat alapján: 1 1 p(s) = c(s0 ) + c0 (s0 )(s − s0 ) + c00 (s0 )(s − s0 )2 + c000 (s0 )(s − s0 )3 2 6 1 = c(s0 ) + (s − s0 )T0 + κ(s0 )(s − s0 )2 F0 + 2 1 + (s − s0 )3 (−κ2 (s0 )T0 + κ0 (s0 )F0 + κ(s0 )τ (s0 )B0 ) = 6 1 2 3 = c(s0 ) + (s − s0 ) − κ (s0 )(s − s0 ) T0 + 6 1 1 0 1 2 3 3 + κ(s0 )(s − s0 ) + κ (s0 )(s − s0 ) F0 + (s − s0 ) κ(s0 )τ (s0 ) B0 2 6 6 A simulósíkra vonatkozó mer˝oleges vetület második Taylor-polinomja: c(s0 ) + X(s)T0 + Y (s)F0 , ahol

1 X(s) = (s − s0 ), Y (s) = κ(s0 )(s − s0 )2 , 2 azaz a vetület második Taylor-polinomjának egyenlete a (c(s0 ), T0 , F0 ) affin koordináta-rendszerben 1 Y = κ(s0 )X 2 . 2


86

Hasonlóan, a rektifikálósíkra vonatkozó mer˝oleges vetület harmadik Taylorpolinomjának egyenlete a (c(s0 ), T0 , B0 ) affin koordináta-rendszerben 1 Z = κ(s0 )τ (s0 )X 3 . 6 2.1. Legyen Φ : R3 → R3 , p 7→ Φ(p) = M p + c (M ∈ GL(3), c ∈ R3 )

affin transzformáció, a q másodrend˝u felület egyenlete F (p) = 0, ahol F : R3 → R, p 7→ F (p) = hAp, pi + 2ha, pi + α.

p ∈ q 0 ⇐⇒ Φ−1 (p) = M −1 (p − c) ∈ q, azaz M −1 (p − c) kielégíti q egyenletét: hAM −1 (p − c), M −1 (p − c)i + 2ha, M −1 (p − c)i + α = 0.

A skaláris szorzások bilinearitását felhasználva kapjuk, hogy

hAM −1 p, M −1 pi − hAM −1 c, M −1 pi − hAM −1 p, M −1 ci+

+ hAM −1 c, M −1 ci + 2ha, M −1 pi − 2ha, M −1 ci + α = 0,

azaz

hM −1t AM −1 p, pi − hM −1t AM −1 c, pi − hp, M −1t At M −1 ci+

+ hAM −1 c, M −1 ci + 2hM −1t a, pi − 2ha, M −1 ci + α = 0.

Felhasználva, hogy At = A, a konstansokat α0 -vel jelölve:

hM −1t AM −1 p, pi − 2hM −1t AM −1 c, pi + 2hM −1t a, pi + α0 = 0,

Így q 0 egyenlete ahol

hA0 p, pi + 2ha0 , pi + α0 = 0,

A0 = M −1t AM −1 , a0 = M −1t a − M −1t AM −1 c. Legyen p0 a q csúcspontja, azaz F (p) = 0 és Ap0 + a = 0. Ekkor Φ(p0 ) a q 0 csúcspontja, ugyanis A0 p00 + a0 = M −1t AM −1 (M p0 + c) + M −1t a − M −1t AM −1 c = = M −1t Ap0 + M −1t AM −1 c + M −1t a − M −1t AM −1 c = = M −1t (Ap0 + a) = 0. 2.2. F (x, y, z) = x · y − z, dF (x, y, z) = (y, x, −1). dF a tér egyetlen pontjában sem zérusvektor, akkor a felület pontjaiban sem lehet az. 2.3. F (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 + 1, dF (x, y, z) = (2x, 2y, −2z), amely vektor csak az origóban nullvektor. Az origó azonban a felületnek nem pontja. A (0, 0, 1) illetve (0, 0, −1) pontok illeszkednek a felületre. Az els˝o pontra z > 0, a másodikra z < 0, így a két pontot összeköt˝o folytonos görbének van olyan pontja, amelyre z = 0. Ez ellentmondás, mert a felületen ilyen pont nincs. 2.4. Ugyanennek a ponthalmaznak másik egyenlete x = 0, amely már reguláris el˝oállítást ad. 2.5. n(u, v) = −(cos u cos v, cos u sin v, sin u).


87

2.10. (−2, 1, 1) 2.12. ru (u, v) = c0 (u) + vc00 (u), rv (u, v) = c0 (u). Így ru (u, v) × rv (u, v) = v(c00 (u) × c0 (u)).

Ha v 6= 0, akkor a felület reguláris. 2.16. A forgásfelület paraméterezése

r(u, v) = (x(u) cos v, x(u) sin v, z(u)), (u ∈ I, v ∈ R),

ahol c(u) = (x(u), 0, z(u)) a generáló görbe és a forgástengely a z tengely. ru (u, v) = (x0 (u) cos v, x0 (u) sin v, z 0 (u)) rv (u, v) = (−x(u) sin v, x(u) cos v, 0), így E(u, v) = x0 (u)2 + z 0 (u)2 , F (u, v) = 0, G(u, v) = x(u)2 . 2.17. A 2.16. feladatban kiszámítottuk a forgásfelület els˝o alapmennyiségeit. Mivel most a generáló görbe ívhossz-paraméterezés˝u, E = 1, így p √ EG − F 2 = x2 (s) = |x(s)| = ρ(s). Alkalmazva a felszín (2.16) definícióját: Z ` Z 2π Z ` ρ(s) ds. ρ(s) ds dv = 2π A= 0

0

0

A tórusz esetén a generáló görbe paraméteres el˝oállítása, paraméternek az ívhosszat választva, (a + b cos(s/b), 0, b sin(s/b)), azaz ρ(s) = a + b cos(s/b). Így Z 2πb 2 a + b cos(s/b) ds = 4π 2 ab + b [sin(s/b)]2π A = 2π 0 = 4π ab. 0

2.18. Az általánosság megszorítása nélkül feltételezhetjük, hogy a gömbi kétszög két csúcsa az Északi-, illetve Déli-pólus. A cilindrikus vetítésben a gömbi kétszögnek megfelel˝o hengerdarabot a síkra kiterítve olyan téglalapot kapunk, amelynek egyik oldala 2, a másik oldala Θ. Így a keresett terület 2Θ. 2.19. Legyen a keresett görbe a paramétersíkban c(u) = (u, v(u)), így a felületen c˜0 (u) = ru (c(u)) + v 0 (u)rv (c(u)), röviden c˜0 = ru + v 0 rv . A földrajzi paraméterezésnél E = hru , ru i = 1, F = hru , rv i = 0, G = hrv , rv i = cos2 u, így √ k˜ c0 k = 1 + v 02 G, tehát cos α =

hru , c˜0 i hru , ru i + v 0 hru , rv i 1 p √ = =√ . 0 kru k · k˜ ck 1 + v 02 cos2 u hru , ru i 1 + v 02 G

Négyzetre emelés után rendezve:

tg2 α cos2 u Mivel α hegyesszög, a fenti kifejezésb˝ol v 0 6= 0, azaz v 0 állandó el˝ojel˝u. A keresett függvényre tehát Z tg α 1 0 v =± =⇒ v = ± tg α du. cos u cos u v 02 =


88

Az integrált kiszámolva π π u (4.1) v(u) = ± tg α ln tg + +C , u∈ − , . 4 2 2 2 (A + jel választásakor a görbe keletre, a − választásánál nyugatra csavarodik.) A (4.1) egyenletet tanulmányozva a v(u) függvény értékkészlete R. A v paraméter a gömb forgásfelületként való származtatásánál a z tengely körüli forgatás szögét jelentette, így megállapíthatjuk, hogy a loxodroma a gömbön „végtelen sokszor csavarodik”.

π

4.1. ábra. A loxodroma (az ábrán pirossal) a hosszúsági köröket állandó szögben metszi. 2.20. Az ívhossz Z u2 √ Λ= 1 + v 02 cos2 u du = u1

a 2.19. feladat alapján Z u2 p Z u2 Z u2 r tg2 α 1 2 2 cos u du = = 1+ 1 + tg α du = du = cos2 u cos α u1 u1 u1 1 = (u2 − u1 ). cos α 2.23. Elegend˝o arra utalni, hogy knk2 = kru × rv k2 = EG − F 2 , ld. (2.15). 2.24. x0 (s) cos v x0 (s) sin v z 0 (s) |ru rv , ruu | = −x(s) sin v x(s) cos v 0 = x(s)(z 00 (s)x0 (s) − z 0 (s)x00 (s)). x00 (s) cos v x00 (s) sin v z 00 (s) √ x>0 A forgásfelületnél EG − F 2 = |x(s)| = x(s) (2.16. feladat), így L(s, v) = z 00 (s)x0 (s) − z 0 (s)x00 (s).

Hasonlóan, M = 0, N (s, v) = z 0 (s)x(s). 2.25. L = 1/b, M = 0, N = a cos(s/b) + b cos2 (s/b). 2.26. A Dupin-indikatrix egyenlete ±1 = 2ξη. Mivel az origóban ru = (1, 0, 0), rv = (0, 1, 0), ezért az egyenletb˝ol rögtön leolvasható, hogy konjugált hiperbolapárról van szó.


89

2.27. n(u, v) = (cos u, sin u, 0), így   − sin u 0 dn(u, v) =  cos u 0 = ru (u, v) 0 . 0 0 dn képtere megegyezik L(ru )-val. W (ru ) = −ru , W (rv ) = 0, így a formaoperátor mátrixa a felület mindegyik pontjában −1 0 . 0 0 −2 0 −2 0 2.28. a. . b. . 0 2 0 −2k 2.29. Az (ru , rv ) bázisban a Dupin-indikatrix magmátrixa L M Q= . M N

Jelölje (V1 , V2 ) a f˝oirányok alkotta bázis. Az (ru , rv ) → (V1 , V2 ) báziscsere mátrixa legyen S, azaz V1 = s11 ru + s21 rv V2 = s12 ru + s22 rv . κ1 0 t A feladat állítása azt jelenti, hogy S QS = . (4.2) egyenleteit skalárisan 0 κ2 szorozva ru -val és rv -vel: ( ( hV1 , ru i = s11 E + s21 F hV1 , rv i = s11 F + s21 G . hV2 , ru i = s12 E + s22 F hV2 , rv i = s12 F + s22 G (4.2)

ru és rv Fourier-el˝oállítását véve a (V1 , V2 ) ortonormált bázisban: ru = (s11 E + s21 F )V1 + (s12 E + s22 F )V2 rv = (s11 F + s21 G)V1 + (s12 F + s22 G)V2 , −1 −1 t E F t −1 E F azaz S = S =⇒ S = S . A formaoperátor mátrixát F G F G ismerjük mind az (ru , rv ) bázisban (2.48. Tétel), mind a (V1 , V2 ) bázisban. Így a mátrix transzformációs törvényét felírva azt kapjuk, hogy −1 L M κ1 0 −1 E F S S= , F G M N 0 κ2 így valóban, S

t

L M M N

S=

κ1 0 . 0 κ2


90

2.37. A 2.16. feladatban meghatároztuk az els˝o alapmennyiségeket: E = x02 + z 02 , F = 0, G = x2 . Így Eu = 2(x0 x00 + z 0 z 00 ), Ev = 0, Fu = 0, Fv = 0, Gu = 2xx0 , Gv = 0. Behelyettesítve a (2.32)-be: x0 x00 + z 0 z 00 2 1 Γ11 = , Γ11 = 0, x02 + z 02 x0 Γ112 = 0, Γ212 = x 0 xx Γ122 = 02 , Γ222 = 0. 02 x +z 2.41. Legyen a c szélességi kör latitudója u, a gömb sugara egységnyi. A szélességi kör által határolt gömbsüveg felszíne („Arkhimédész sírfelírata” alapján) 2π cos u(1 − sin u), az egységgömb Gauss-görbülete K = 1, így a holonómiatétel szerint Hol(c) = 2π cos u(1 − sin u). Az Egyenlít˝ore u = 0, így az Egyenlít˝o holonómiája 2π, azaz az Egyenlít˝o mentén eltolt felületi érint˝ovektor párhuzamos eltoláskor önmagába kerül vissza. Más szélességi körökre ez a tulajdonság nem igaz. 2.43. A 2.36 alapján geodetikus koordináta-rendszerben 1 ∂ G2 Gu 1 Guu G2u Guu √ √ − √ K=− √ − u2 , =− √ =− 2G 4G 2 G ∂u G 2 G G 2G G ami pontosan a megadott kifejezéssel egyenl˝o.

5. FEJEZET

wxMaxima munkalapok Az alábbiakban megtaláljuk a jegyzetben kidolgozott wxMaxima munkalapok jegyzékét. A felsorolásban félkövéren szedett szó adja meg a fájl nevét. A fájlmellékletben mindegyik fájl pdf vagy wxm kiterjesztéssel szerepel. Az els˝o fájl tartalmazza a munkalap nyomtatott képét, a második a wxMaxima munkalapot. ciklois: cikloisok tractrix: a traktrix sin_gorbulet: síkgörbe görbülete evoluta: parametrizált síkgörbe evolútája fundamental_2: a görbeelmélet alaptétele síkban (egzisztencia) kuposcsavar: a kúpos csavarvonal parabola_forgatasa: a parabola megforgatása feluleti_normalis: a felületi normális kiszámítása egyparam: egyparaméteres izometriacsoport által generált felület mobius: a Möbius-szalag mercator: a Mercator-térkép formaop_nyereg: a nyeregfelület formaoperátora formaop_paraboloid: a paraboloid formaoperátora torus_gorbulet: a tórusz görbülete helicoid: a csavarfelület görbülete tractoid: a pszeudoszféra görbülete torus_christoffel: a tórusz Christoffel-szimbólumai katenoid: a katenoid deformációja csavarfelületté

91

Irodalomjegyzék [1] Manfredo P. do Carmo. Differential geometry of curves and surfaces. Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1976. [2] Wilhelm Klingenberg. A course in differential geometry. Springer-Verlag, New York, 1978. [3] Kurusa Árpád. Bevezetés a differenciálgeometriába. Polygon, Szeged, 1999. [4] Michael Spivak. A comprehensive introduction to differential geometry. Vol. II. III. Publish or Perish Inc., Wilmington, Del., second edition, 1979. [5] Szilasi József. Bevezetés a differenciálgeometriába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 1998. [6] Sz˝okefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter. Differenciálgeometria. M˝uszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979. [7] V. T. Vodnyev. Differenciálgeometriai feladatgy˝ujtemény. M˝uszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974.

92

Görbék és felületek elemi differenciálgeometriája. Kozma László Kovács Zoltán

Recommend Documents