Getaran Mekanik
Getaran Bebas Tak Teredam Muchammad Chusnan Aprianto
Getaran Bebas • Getaran bebas adalah gerak osilasi di sekitar titik kesetimbangan dimana gerak ini tidak dipengaruhi oleh gaya luar (gaya eksternal)
• (a) pada kondisi rehat, pegas memiliki panjang l • (b) ketika pegas pengalami pergeseran Xo, besar gaya kXo dan energi potensialnya k𝑋𝑜 2 /2
Metode Penurunan Persamaan Gerak • Diagram Benda Bebas (Free Body Diagram)
• Metode Kesetaraan Sistem (Equivalent Systems Method)
Diagram Benda Bebas (FBD) • Pilih Koordinat Umum. – Variabel ini harus mewakili pergeseran partikel – Jika aada rotasi, maka harus mewakili rotasi dan kecepatan dan percepatan sudut
• FBD berkaitan dengan waktu sesaat • Terapkan hukum Newton pada sistem • Gunakan teknik aljabar/kalkulus untuk memperoleh persamaan differential gerak
Contoh 1 • Kita gunakan hukum Newton: • Sehingga • Analisis pada kondisi statis, diperoleh:
Turunkan persamaan differensial gerak untuk sistim di atas! Jawab Gaya pegas dirumuskan dengan:
• Dengan subtitusi persamaan ini ke persamaan differential kita peroleh:
Contoh 2 • Turunkan persamaan gerak dari gambar di bawah ini!
• Atau • Sehingga menjadi
• Bentuk sinus dapat didekati dengan derat Taylor, yaitu
• Jawab – Sistem memiliki gerak melingkar, dan anggaplah gerak melingkar berlawanan dengan arah jarum jam – Terjadi kesetimbangan Momen Gaya
• Untuk sudut sangat kecil, diperoleh: dan • Sehingga, persamaan menjadi:
Contoh 3
• Dengan menggunakan pergeseran-x, carilah persamaan gerak pada sistem di atas!
Solusi Contoh 3 • Pada kondisi setimbang: • Berdasarkan hukum Newton
• Kita aplikasikan ke FBD:
• Gunakan persamaan kondisi setimbang untuk menghilangkan gravitasi dan pergeseran statik • Hasilnya kita peroleh
Contoh 4 – X2 pergeseran pegas yang terhubung dengan B
• Total pegeseran pegas: • Saat statis, dengan asumsi tidak tidak terjadi gesekan, maka kesetimbangan gaya
• Dengan menggunakan x, cari persamaan gerak untuk sistem di atas! • Jawab – X1 pergeseran pegas yg terhubung dengan A
Cont’d • Dengan mengkombinasi kedua persamaan di atas kita peroleh • Berdasarkan humum Newton: • Akan menghasilkan bentuk persamaan:
AKHIR PERTEMUAN 3
Metode Sistem Kesetimbangan • Kita tentukan, yang menjadi sistem koordinat adalah x. • Energi total pada sistem:
• Karena sistem rigid, maka besar kecepatan linear dan kec. Sudut berkorelasi dengan x • Subtitusikan ke persamaan energi kita peroleh
• Dimana • yaitu massa ekuivalen. • Energi potensial sistem:
• Sistem hanya memiliki satu derajat kebebasan, sehingga ada x dalam xi dan ada x dalam yi • Melalui subtitusi kita peroleh
• Persamaan kedua (ruas kanan) dlm kondis stais = nol
Cont’d • Persamaan ketiga (ruas kanan) disebut sebagai energi potensial awal Vo. • Penyederhanaan persamaan: • Keq adalah konstanta pegas ekuivalen • Usaha yang dilakukan dari x1 ke x2:
• Ceq adalah koefisien peredam cairan ekuivalen • Hukum kekekalan energi kita peroleh:
• T1, T2, dan Vo konstan dan juga
• Kita akan peroleh persamaan gerak
Cont’d • Analisis lain dapat dilakukan dengan persamaan yang gayut terhadap . Energi kinetik dan energi potensial yang diperoleh adalah dan
• Usaha yang dilakukan adalah
• Sehingga bentuk persamaan geraknya:
Contoh Sebuah roda (gambar di bawah) memiliki jari-jari r, dan momen inertia J. Roda dilekatkan pada batang dengan konstanta kekakuan Kt. Roda bergerak pada lintasan bergerigi dgn massa m yang dilekatkan pada pegas (konstanta pegas k). Carilah bentuk persamaan geraknya!
Jawab Karena tidak ada slip, maka: = x/r Energi kinetik sistemnya adalah
Massa ekuivalen ditentukan dengan
Energi potensial sistemnya adalah:
Dengan konstanta ekuivalen Shg persamaan gerak sistem
One Degree of Freedom Systems • Getaran bebas dengan satu sistem derajat kebebasan tak teredam K (+x) m x’’
k
m mg
m
x
Kesetimbangan statis F = k
x
F = mg
= static deflection K = spring rate = force/deflection X = displacement
One Degree of Freedom Systems
K (+x) m x’’
m x
F =0
mg
x
d 2x m 2 k ( x ) mg 0 dt
mx' ' kx k mg 0
since k mg
mx' ' kx 0
One Degree of Freedom Systems
mx' ' kx 0 k x' ' x 0 m x' ' 2 x 0
k m 2
k m
Penyelesaian dalam bentuk
x e st
x' se st
x' ' s 2 e st
Akibatnya, dengan subtitusi
x' ' x 0 2
s 2 e st 2 e st 0
One Degree of Freedom Systems
Dengan subtitusi
s 2 e st 2 e st 0 or
s2 2 0
s 2 / i
Dari persamaan Euler i t
i t
x C1e C2 e x C1 cos t i sin t C2 cos t i sin t Kita kelompokkan
x C1 C2 cos t C1 C2 i sin t
One Degree of Freedom Systems x C1 C2 cos t C1 C2 i sin t C1 C2 i B Let C1 C2 A x A cos t B sin t A & B terbentuk pada kondisi awal @t 0
x ( 0) A X 0
(initial displacement)
x(0) A(1) B (0)
x' X 0 sin t B cos t x' (0) X 0 (0) B (1) V0
One Degree of Freedom Systems
x' (0) X 0 (0) B (1) V0 Sehingga, untuk satu dejarat bebas tak teredam:
V x(t ) X 0 cos t 0 sin t k m
1 fn 2
k m
B
V0
Contoh 1 Sebuah mesin dengan massa 500 kg , dilekatkan pada fondasi elastik dengan konstanta 7 x105 N/m. Tentukan frekuensi alami dari sistem! Jawab Frekuensi alami dirumuskan dengan persamaan:
Sehingga
Contoh 2 Sebuah perusahaan perakitan, menggunakan robot pengangkut untuk mengangkat beban berat (gambar di samping). Pengangkut ini dapat bergerak pada lintasannya. Hitunglah frekuensi alami sistem jika ia mengangkat beban (part mesin) 800 kg dengan panjang kabel 9 m dan tebal batang pengangkut (beam) 3,1 m!
Contoh 2 (Cont’d) Jawab Sistem pada kasus daat diwakili dengan:
Konstanta pada pengangkut kb adalah
Konstanta pada kabel kc adalah
Konstanta pegas totalnya
Sehingga besar frekuensi alaminya
TERIMA KASIH
