GETARAN STRUKTUR. Didik Nurhadiyanto

GETARAN STRUKTUR Didik Nurhadiyanto

Penerbit K-Media Yogyakarta, 2015

Getaran Struktur Copyright@Didik Nurhadiyanto Desain Cover : den_nazz Tata Letak Isi : Nasir Nur H Copyright © 2015 by Penerbit K-Media All right reserved Hak Cipta dilindungi Undang-Undang No. 19 Tahun 2002. Dilarang memperbanyak/menyebarluaskan dalam bentuk apapun tanpa izin tertulis dari Penerbit K-Media.

Cetakan Pertama: Maret 2015 Penerbit K-Media Perum Pondok Indah Banguntapan, Blok B-15 Potorono, Banguntapan, Bantul. 55196. Yogyakarta e-mail: [email protected] Didik Nurhadiyanto Getaran Struktur, Cet. 1 Yogyakarta: Penerbit K-Media, 2015 vi, 121 hlm; 15,5 x 23 cm ISBN: 978-602-72269-5-1

ii

KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah saya panjatkan ke hadlirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat-Nya sehingga buku Getaran Struktur ini dapat terselesaikan. Buku ini dibuat didasarkan karena kurangnya literatur tentang getaran struktur, yang sangat berguna bagi mahasiswa. Buku ini bisa digunakan oleh mahasiswa program diploma maupun strata satu. Bila sekiranya mahasiswa kurang memahami, maka mahasiswa bisa membaca referensi lain. Isi dari buku ini mulai dari dasardasar getaran, baik getaran bebas maupun getaran paksa, baik getaran teredam maupun tidak teredam. Sebelumnya juga banyak membahas tentang massa, konstanta kekakuan pegas, dan konstanta kekakuan redaman ekivalen. Selain hal yang tersebut di atas juga banyak membahas tentang frekuensi diri. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada istri dan anak atas pengertian dan kesabarannya selama penulisan buku ini. Penulis merasa masih banyak kekurangan di sana-sini, oleh karena itu saran dan kritik dari pembaca sangat saya harapkan demi kebaikan buku ini. Mudah-mudahan buku ini bisa bermanfaat bagi kita semua. Amiiin.

Yogyakarta, Februari 2015

Penulis

iii

iv

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ................................................................................ iii DAFTAR ISI ............................................................................................... v BAB I 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

DASAR-DASAR GETARAN .................................................. 1 Konsep Dasar Getaran ................................................................ 1 Derajat Kebebasan ...................................................................... 2 Sistem Diskrit dan Kontinu ........................................................ 4 Klasifikasi Getaran ..................................................................... 6 Prosedur Menganalisa Getaran ................................................... 8 Elemen Pegas............................................................................ 12 Massa atau Inersia Elemen ....................................................... 20 Elemen Redaman (Damping Element) ..................................... 25 Gerak Harmonik ....................................................................... 33 Gerak Periodik .......................................................................... 38

BAB II

GETARAN BEBAS SISTEM SATU DERAJAD KEBEBASAN ......................................................................... 43 Persamaan Gerak dan Frekuensi Getaran Translasi ................. 43 Getaran Bebas untuk Sistem Torsional tanpa Redaman ........... 52 Metoda Energi (Metoda Lagrange) .......................................... 55 Kondisi Stablilitas .................................................................... 60 Metoda Energi Rayleigh ........................................................... 64 Resume ..................................................................................... 69

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 BAB III 3.1 3.2 3.3

GETARAN BEBAS TEREDAM ........................................... 71 Konstanta Redaman Kritis dan Rasio Redaman (Damping Ratio) ........................................................................................ 73 Pengurangan Logaritmik .......................................................... 82 Sistem Torsional dengan Viscous Damping ............................. 87

v

3.4 3.5

Redaman Coulomb .................................................................. 88 Resume .................................................................................... 91

BAB IV

GETARAN YANG TEREKSITASI SECARA HARMONIK .......................................................................... 93 Sistem tanpa Redaman dengan Gaya Eksitasi Harmonik ........ 93 Sistem Getaran Teredam dengan Gaya Eksitasi Harmonik ... 105 Resume .................................................................................. 107

4.1 4.2 4.3

SOAL-SOAL ........................................................................................... 109 BAB I ....................................................................................................... 109 BAB II ..................................................................................................... 112 BAB III .................................................................................................... 115 BAB IV .................................................................................................... 117 DAFTAR PUSTAKA .............................................................................. 119 TENTANG PENULIS ............................................................................. 121

vi

BAB I DASAR-DASAR GETARAN

Getaran adalah gerakan bolak-balik yang berulang dari bagian suatu benda atau mesin dari posisi kesetimbangan statisnya jika keadaan setimbang tersebut terganggu oleh gaya paksa (eksitasi) atau gerakan badan mesin tersebut. Gerakan bolak-balik ini biasa disebut sebagai osilasi. Semua benda yang mempunyai massa dan elastisitas mampu bergetar. Jadi mesin dan struktur rekayasa mengalami getaran sampai derajat tertentu dan rancangannya memerlukan pertimbangan sifat osilasinya. Karakteristik getaran meliputi parameter-parameter utama, yaitu frekuensi, amplitudo dan bentuk gelombang. Pengukuran dasar dengan menggunakan instrumen penting dilakukan untuk memperoleh hubungan waktu dengan perpindahan, kecepatan dan percepatan. Dari analisis dapat diperoleh informasi seperti frekuensi, amplitudo dan bentuk gelombang. 1.1

Konsep Dasar Getaran Pada umumnya sistem yang bergetar mengubah energi potensial menjadi energi kinetik atau kebalikannya mengubah energi kinetik menjadi energi potensial. Jika sistem mempunyai peredam maka beberapa energi diserap setiap siklus getaran dan harus diberi sumber dari luar untuk menjaga getaran yang tetap (steady state). Gerakan pendulum sederhana yang terlihat pada Gambar 1.1 merupakan contoh getaran. Penjelasan gerakan pendulum bisa dijelaskan sebagai berikut. Massa m dilepas setelah diberi simpangan sudut sebesar θ. Pada posisi 1 kecepatan dan energi kinetiknya adalah nol. Tetapi mempunyai energi potensial sebesar mgl(1-cos θ), bila posisi 2 sebagai kondisi setimbang. Gaya gravitasi mg bisa diuraikan menjadi mg sin θ dan mg cos θ, di mana mgl sin θ merupakan torsi terhadap titik O, maka massa m akan bergerak

1

ke kiri dari posisi 1. Pada keadaan ini massa m percepatan sudut searah jarum jam, dan dalam waktu tertentu akan mencapai pada kedudukan 2. Pada posisi ini seluruh energi potensial diubah menjadi energi kinetik. Kedudukan massa m terus bergerak dari posisi 2 ke posisi 3 di mana pada posisi 3 seluruh energi kinetik pada posisi 2 diubah menjadi energi potensial. Setelah itu massa m akan bergerak berlawanan arah jarum jam tetapi posisi tertingginya akan lebih rendah dari posisi 1 karena ada redaman dari udara. Gerakan ini akan berulang dari posisi 3 ke posisi 2 dan posisi 1 tetapi posisi 1 dan 3 akan semakin berkurang sampai pendulum akan berhenti.

Gambar 1.1 Pendulum sederhana 1.2

Derajat Kebebasan Derajat kebebasan (degree of freedom/DOF) adalah jumlah koordinat independen yang dibutuhkan untuk menentukan posisi atau gerakan secara lengkap setiap bagian dari sistem. Suatu partikel bebas yang mengalami gerak umum dalam ruang memiliki tiga derajat kebebasan, yaitu tiga komponen posisi dalam arah sumbu x, y dan z. Benda kaku mempunyai enam derajat kebebasan, yaitu tiga komponen posisi dan tiga sudut yang menyatakan orientasinya.

2

Massa m Gambar 1.2 adalah contoh sistem dengan satu derajat kebebasan. Pada Gambar 1.2(a) massa m hanya bergerak dalam arah sumbu x sedangkan pendulum pada Gambar 1.2(b) massa m hanya bergerak dalam arah θ untuk koordinat polar.

(a) sistem massa-pegas (b) sistem torsional Gambar 1.2 Sistem satu derajad kebebasan Beberapa contoh untuk sistem dengan dua dan tiga derajat kebebasan terlihat pada gambar 1.3 dan 1.4. Gambar 1.3(a) menunjukkan sistem dua massa dengan dua pegas yang digambarkan dengan dua koordinat, yaitu x1 dan x2. Sedangkan untuk gambar 1.3(b) sistem massa m dan pendulum yang dibatasi oleh dua koordinat, yaitu X dan θ atau oleh x, y dan X. Pada kasus berikutnya x dan y diartikan bahwa x2 + x2 = l2, di mana l adalah konstan.

(a) sistem dua massa dengan dua pegas (b) sistem massa dengan pendulum Gambar 1.3 Sistem dengan dua derajat kebebasan

3

Gambar 1.4(a) dan (c), koordinat xi (i = 1,2,3) dan θ i (i = 1,2,3) dapat digunakan untuk menggambarkan posisi dan gerakan massa m1, m2 dan m3. Pada kasus 1.4(b) posisi dan gerakan massa mi (i = 1,2,3) digambarkan dengan posisi θ i (i = 1,2,3).

Gambar 1.4 Sistem dengan tiga derajat kebebasan 1.3

Sistem Diskrit dan Kontinu Di dalam getaran suatu sistem mekanik apabila kita anggap massamassa dari bodi terkonsentrasi pada pusat gravitasinya disebut sistem getaran diskrit (discrete or lumped vibration System). Gambar 1.1 sampai 1.4 merupakan contoh untuk discrete vibration system. Sebagai gambaran kita ambil contoh pada Gambar 1.4(b). Sistem terdiri dari 3 massa, yaitu m1, m2 dan m3. Posisi masing-masing massa berada pada pusat massa m1, m2 dan m3. Dalam sumbu kartesian posisi m1 dinyatakan dalam (x1,y1), posisi m2 dinyatakan dalam (x2,y2) dan posisi m3 dinyatakan dalam (x3,y3).

4

Sistem getaran yang kontinu (continous or distributed vibration system) adalah suatu sistem getaran yang terdiri dari molekul-molekul atau partikel-partikel yang berjumlah tak terhingga di mana partikel-partikel tersebut mempunyai pergerakan elastis yang relatif satu sama lain. Continous vibration system mempunyai derajat kebebasan yang tak terhingga. Pada umumnya partikel-partikel terletak pada satu domain yang dianggap tidak berubah banyak. Perubahan bentuk dari domain disebabkan pergerakan elastik relatif dari partikel-partikel tersebut. Perubahan bentuk ini biasa disebut sebagai deformasi domain. Domain ini disebut sebagai continous elastic body. Dalam continous elastic body tidak ada pusat garvitasi yang tetap untuk seluruh bodi karena domain selalu berubah-ubah bentuk geomerinya. Dengan demikian massa untuk continous elastic body merupakan distribusi massa partikel-partikel anggota di seluruh domain. Domain kedudukan partikel-partikel dan deformasi bentuk dapat dilihat pada Gambar 1.5.

(a) Domain kedudukan partikel-partikel (b) Deformasi bentuk dari domain Gambar 1.5 continous elastic body Analisis sistem getaran yang kontinu sangat susah dan biasanya dilakukan menggunakan: 1. Metode elemen hingga (finite elemen method) 2. Finite defference method 3. Aproksimasi analitis 4. Analog komputer

5

1.4

Klasifikasi Getaran Getaran dapat diklasifikasikan dengan berbagai jalan. Beberapa klasifikasi yang penting adalah seperti uraian ini. a. Getaran bebas dan getaran paksa Getaran bebas terjadi jika setelah diberi gangguan awal sistem akan berosilasi sendiri karena bekerjanya gaya yang ada dalam sistem itu sendiri dan tidak ada gaya dari luar yang bekerja. Karena tidak ada gaya luar yang bekerja maka sistem akan berhenti dalam waktu tertentu. Hal ini disebabkan adanya redaman pada sistem getaran atau dari luar sistem getaran. Getaran paksa terjadi karena rangsangan gaya dari luar atau biasa disebut eksitasi. Jika rangsangan itu berosilasi maka, sistem dipaksa untuk bergetar pada frekuensi rangsangan. Jika frekuensi rangsangan sama dengan salah satu frekuensi natural sistem, maka akan didapat keadaan resonansi, dan osilasi yang besar dan berbahaya akan terjadi. Kerusakan pada struktur seperti jembatan, gedung, sayap pesawat terbang dan lainlain merupakan kejadian yang menakutkan yang disebabkan resonansi. Jadi perhitungan frekuensi natural merupakan hal yang sangat penting. b.

Linier dan tidak linier Sistem yang berosilasi secara luas dapat digolongkan sebagai linier dan tidak linier. Jika komponen dasar sistem getaran seperti pegas, massa dan peredam linier, maka getaran yang terjadi akan linier, sedangkan bila komponen dasar sistem getaran tidak linier getaran yang terjadi juga tidak linier. Untuk sistem linier prinsip superposisi berlaku dan teknik matematika yang ada untuk melaksanakan hal itu dikembangkan dengan baik. Sebaliknya, teknik untuk menganalisis sistem tidak linier kurang dikenal dan sukar digunakan, serta prinsip superposisi tidak valid. Namun demikian, pengetahuan tentang sistem tidak linier dibutuhkan sebab semua sistem cenderung menjadi tidak linier dengan bertambahnya amplitudo osilasi.

6

c.

Getaran teredam dan tanpa redaman Jika tidak ada energi yang hilang atau diserap (disipasi) oleh gesekan atau tahanan yang lain selama osilasi, maka getaran yang terjadi dinamakan getaran tanpa redaman atau undumped vibration. Tetapi jika ada energi yang hilang atau diserap maka getaran yang terjadi dinamakan getaran teredam atau damped vibration. Semua sistem yang bergetar mengalami redaman sampai derajat tertentu karena energi didisipasi oleh gesekan dan tahanan lain. Jika redaman itu kecil, maka pengaruhnya sangat kecil pada frekuensi natural sistem dan perhitungan frekuensi natural biasanya dilaksanakan atas dasar tidak ada redaman. Sebaliknya redaman sangat penting untuk membatasi amplitudo osilasi waktu resonansi.

(a) eksitasi deterministik (periodik) (b) eksitasi random Gambar 1.6 eksitasi deterministik dan random d.

Getaran diterministik dan non-deterministik Getaran deterministik adalah getaran suatu sistem yang bisa diketahui atau diprediksi setiap saat. Getaran non-deterministik adalah getaran suatu sistem yang tidak bisa diketahui atau diprediksi setiap saat. Jika harga atau besaran eksitasi (gaya atau gerakan) yang bekerja pada sistem yang akan digetarkan diketahui setiap saat maka dinamakan eksitasi deterministik. Getaran yang terjadi merupakan getaran deterministik. Contoh getaran deterministik adalah getaran harmonik, getaran sinusoidal dan getaran periodik. Pada kasus lain, jika gaya eksitasi tidak dapat diprediksikan setiap saat, maka dinamakan eksitasi non-deterministik atau

7

random. Getaran yang terjadi juga non-deterministik atau random. Contoh eksitasi random adalah kecepatan angin, kekasaran jalan, gempa bumi dan lain-lain. Untuk eksitasi deterministik dan random bisa dilihat pada Gambar 1.6. 1.5

Prosedur Menganalisa Getaran Respon getaran pada sistem getaran biasanya tergantung pada kondisi awal sama seperti eksitasi dari luar. Dalam praktiknya sistem getaran sangat komplek, dan tidak mungkin dikerjakan secara detail dengan analisis matematika, tetapi yang mungkin adalah perhitungan analisis untuk memprediksikan kelakuan sistem berdasarkan kondisi input yang spesifik. Untuk menyederhanakan sistem seringkali dibuat modelnya. Sehingga analisa sistem getaran antara lain meliputi model matematika, membuat persamaan matematikanya, penyelesaian persamaan matematika dan interpretasi persamaan getaran. Masing-masing langkah bisa dijelaskan sebagai berikut: Langkah 1: pemodelan matematika. Pemodelan matematika menggambarkan semua bagian penting dari sistem untuk diturunkan persamanan matematika (untuk analisis) sesuai tingkah laku dari sistem. Model matematika harus mendetail supaya bisa menggambarkan sistem dalam rangka pembuatan persamaan matematika tanpa membuat benda secara komplek. Model matematika bisa linier atau non-linier, tergantung keadaan sistem itu sendiri. Contoh pemodelan matematika dapat dilihat pada Gambar 1.7. Gambar 1.7(a) merupakan gambar forging hammer secara detail. Dalam analisis getaran harus dibuat model matematika. Di sini dibuat dalam dua model matematika, yaitu Gambar 1.7(b) menunjukkan perilaku getaran sistem secara keseluruhan di mana frame, anvil, elastic pad dan pondasi dianggap sebagai satu kesatuan, dan Gambar 1.7(c) menggambarkan getaran dari bagian-bagian mesin.

8

(a) Forging hammer

(b) Model matematika keseluruhan sistem (c) Model matematika bagian sistem Gambar 1.7 Pemodelan untuk forging hammer Langkah 2: Persamaan matematika. Setelah pemodelan matematika dibuat, maka kita buat persamaan matematika dengan menggunakan prisip dinamika. Persamaan gerakan bisa kita buat setelah dibuat diagram benda bebas (free body diagram) massa yang ada. Diagram benda bebas suatu

9

massa dengan memisahkan massa tersebut dan mengidentifikasi gaya-gaya yang bekerja, yaitu gaya-gaya luar, gaya reaksi dan gaya inersia. Persamaan perpindahan dari sistem getaran biasanya dalam bentuk persamaan diferensial biasa untuk sistem diskrit dan persamaan diferensial parsial untuk sistem yang kontinu. Beberapa pendekatan yang digunakan untuk menurunkan persamaan matematika, antara lain hukum kedua Newton tentang gerak, prinsip d’Alembert dan prinsip konservasi energi. Contoh soal 1.1. Pada Gambar 1.8(a) terlihat motor dan pengendaranya. Berdasarkan kekakuan elastisitas pada ban, elastisitas dan peredam shock (arah vertikal), massa roda, massa motor serta elastisitas peredam dan massa penumpang dan jok (penumpang dan jok jadi satu). Buatlah model matematikanya! Jawab : Pertama kita tentukan sistem yang terdiri dari manusia dan kendaraan dianggap sebagai satu kesatuan sistem. Massa yang digunakan adalah massa total pengendara dan motor disebut sebagai massa ekivalen. Redaman dan pegas yang terjadi juga dinamakan redaman ekivalen dan konstanta pegas ekivalen. Gambar 1.8(b) adalah pemodelan sistem ekivalen. Pegas dan redaman ekivalen merupakan sistem pegas dan redaman yang terdiri dari penumpang dan jok, shock, dan ban. Pemodelan berikutnya kita pisah-pisahkan berdasarkan massa dari setiap bagian. Pemisahan massa ini tergantung kebutuhan yang akan dianalisa dan kondisi redaman dan pegas setiap bagian. Dalam hal ini, kita pisahkan massa menjadi tiga bagian, yaitu massa pengendara, massa motor dan massa roda. Di antara pengendara dan motor terdapat sistem pegas dan redaman, yaitu jok dan bodi pengendara. Di antara motor dengan roda terdapat sistem pegas dan redaman, yaitu shock. Di antara motor dan roda terdapat sistem pegas dan redaman, yaitu ban.

10

(a) motor dan pengendara

(b) pemodelan sistem sebagai satu kesatuan (c) pemodelan per elemen Gambar 1.8 Motor dan pengendara - sistem fisik dan pemodelan Keterangan indeks: ek : ekivalen p : penumpang m : motor s : shock r : roda b : ban

11

Langkah 3: Penyelesaian persamaan getaran. Persamaan matematika harus diselesaikan untuk memperoleh respon getaran. Penyelesaian ini tergantung dari permasalahan, tetapi penyelesaian ini bisa dilakukan antara lain dengan penyelesaian persamaan diferensial, metode transformasi laplace, metode matrik dan metode numerik. Langkah 4: Interpretasi respon getaran. Penyelesaian persamaan getaran diperoleh simpangan, kecepatan dan percepatan dari variasi massa sistem. Respon ini harus dikerjakan dengan analisis yang tepat dan penerapan desain yang sesesuai mungkin. 1.6

Elemen Pegas Bila suatu pegas linier dikenai gaya sebesar F di mana pegas mempunyai kekakuan k maka pegas akan terdefleksi. Misalkan defleksi pegas sebesar x, maka akan berlaku hubungan linier seperti pada persamaan (1.1). F=kx

(1.1)

F

x Gambar 1.9 Hubungan gaya dengan defleksi pegas

12

Jika kita plot grafik hubungan F dengan x akan terbentuk garis miring yang linier, luasan di bawah garis miring pada x yang tertentu merupakan energi potensial pegas (U), lihat Gambar 1.9.

1 U  kx 2 2

(1.2)

Apabila sistem getaran bukan merupakan pegas dan massa yang diberi gaya luar, tetapi merupakan sistem lain maka bisa dibuat seperti massa ekivalen dan pegas yang mempunyai konstanta ekivalen. Gambar 1.10 dan 1.11 masing-masing batang dan beam yang bisa dianggap sebagai pegas dengan konstanta pegas ekivalen. Pada batang yang mempunyai luas penampang A dan diberi gaya F akan terdefleksi sejauh l.

σ

F A

(1.3)

(a) Batang ditarik gaya (b) Pegas ekivalen Gambar 1.10 Batang ditarik gaya sebagai pegas ekivalen σ=ɛE

(1.4)

bila persamaan (1.3) dan (1.4) disamakan diperoleh :

13

(1.5) di mana :

(1.6)

di mana :

F = k Δl

k

sehingga :

AE l

(1.7)

Gambar 1.11 menunjukkan kantilever atau beam dengan massa merada di ujung. Elemen elastik seperti ini bisa juga dianggap sebagai pegas. Untuk menyederhanakan masalah massa beam, dianggap nol bila dibandingkan dengan massa m. Dari mata kuliah kekuatan bahan kita tahu bahwa defleksi pada ujung beam sejauh δst. (1.8) di mana :

W = m g, yaitu berat dari massa m E = modulus elastisitas I = momen inersia penampang beam

Sedangkan konstanta pegas mempunyai hubungan

k

14

W 3EI  3 δ st l

(1.9)

(a) sistem aktual

(b) model single degree of freedom

Gambar 1.11 Kantilever dengan massa di ujung Dalam aplikasi praktis beberapa pagas linier digunakan dalam kombinasi. Pegas-pegas tersebut bisa diganti menjadi sebuah pegas dengan indikasi yang berbeda-beda, Kasus 1 : Pegas-pegas disusun paralel. Bila dua buah pegas atau lebih yang mempunyai konstanta tertentu disusun secara paralel dan di ujung pegas-pegas tersebut diberi beban dengan berat W, maka pegas-pegas tersebut akan terdefleksi. Defleksi yang terjadi akan sama pada masingmasing pegas, yaitu sebesar st. Susunan pegas paralel bisa dilihat pada gambar 1.12(a) dan 1.12(b), sedangkan diagram benda bebasnya terlihat pada gambar 1.12(c). Kita lihat diagram benda bebas, di sana terjadi kesetimbangan. W = k1 δst + k2 δst

(1.10)

Jika kek adalah konstanta ekivalen pegas dari kombinasi dua pegas, maka untuk defleksi yang sama kita punya seperti persamaan (1.11). W = kek δst

(1.11)

Dengan menyamakan persamaan (1.10) dan (1.11) kita peroleh suatu persamaan seperti persamaan 1.12.

15

Kek = k1 + k2

(a) susunan pegas paralel

(1.12)

(b) susunan diberi beban

(c) diagram benda bebas

Gambar 1.12 Susunan pegas paralel Dari uraian di atas, maka kita bisa mengambil suatu kesimpulan bila suatu pegas disusun secara paralel maka konstata pegas ekivalen adalah penjumlahan dari seruruh konstanta pegas penyusun, persamaannya bisa dilihat pada persamaan (1.13). Kek = k1 + k2 ……+ kn

(1.13)

Kasus 2: Pegas-pegas disusun secara seri. Gambar 1.13 menunjukkan dua buah pegas yang mempunyai konstanta pegas tertentu dan disusun secara seri. Beban W diberikan pada ujung pegas, maka susunan pegas akan terdefleksi sejauh st. Defleksi ini merupakan penjumlahan masingmasing defleksi kedua pegas. Total defleksi statik sistem adalah st, yang diberikan oleh persamaan (1.14). δst = δ1 +δ2

16

(1.14)

Kedua pegas menerima beban sebesar W, bila kita lihat diagram benda bebas pada gambar 1.12(c) maka W = k1δ1 W = k2δ2

(1.15)

(a) susunan pegas seri (b) susunan diberi beban (c) diagram benda bebas Gambar 1.13 Susunan pegas seri yang diberi beban Kita misalkan kek adalah konstanta pegas ekivalen sistem, untuk jumlah defleksi statik yang sama, maka W = kekδst Dari persamaan (1.15) dan (1.16) diperoleh

(1.16)

W = k1δ1 = k2δ2= kekδst

17

δ2 

k ek δ st k2

(1.17)

Substitusi persamaan (1.17) ke dalam persamaan (1.14) diperoleh

1 1 1   k ek k1 k 2

(1.18)

Secara umum, apabila beberapa pegas yang mempunyai konstanta kekakuan yang berbeda-beda maka dapat disimpulkan seperti persamaan 1.19.

1 1 1 1    ....  k ek k1 k 2 kn

(1.19)

Contoh soal 1.2 Batang AB pada crane terlihat pada gambar 1.14(a) adalah batang seragam yang panjangnya 10 m dan luas penampangnya adalah 2500 mm2. Kabel CDEBF terbuat dari baja dan mempunyai luas penampang 100 mm2. Efek kabel CDEB diabaikan. Hitung konstanta kekauan pegas ekivalen dalam arah vertikal. Jawab : Selama landasan Crane kaku, kabel dan batang akan tetap berada pada posisi F dan A. Juga bila efek kabel CDEB diabaikan, maka berat W bekerja di titik B seperti terlihat pada Gambar 1.14(b). Simpangan vertikal x menyebabkan batang dengan kekakuan pegas k2 akan terdeformasi

18

sejauh x2 = x cos 450 dan kabel dengan kekakuan k1 akan terdeformasi sejauh x1 = x cos(90 - θ). Panjang kabel FB, l1 pada Gambar 1.14(b) adalah l12 = 32 + 102 – 2(3)(10)cos 1350 = 151.426, sehingga l1 = 12.3055 m Sudut θ diberikan oleh hubungan l12 + 32 – 2(l1)(3)cos θ = 102, sehingga cos θ = 0.8184, dan θ = 35.07360

(a) Crane

(b) pemodelan getaran (c) pegas ekivalen Gambar 1.14 Crane dengan beban

19

Energi potensial total (U) disebabkan oleh k1 dan k2 seperti diberikan oleh persamaan 1.2 di atas adalah U = ½ k1 (x cos 450)2 + ½ k2[x cos (90 - θ)]2

(

(

)(

)(

di mana

)

)

Bila pegas ekivalen arah vertikal terdeformasi sejauh x, Energi potensal pegas ekivalen (Uek) diberikan

Dengan mengambil U = Uek maka akan diperoleh konstanta pegas ekivalen sistem kek = 26.4304 x 106 N/m

1.7

Massa atau Inersia Elemen Massa atau Inersia Elemen diasumsikan untuk benda kaku (rigid body). Disini energi kinetik akan bertambah atau berkurang dengan berubahnya kecepatan. Dari hukum kedua Newton tentang gerakan, bahwa massa dikalikan dengan percepatannya akan sama dengan gaya yang bekerja padanya. Kerja adalah gaya yang bekerja dikalikan dengan jarak perpindahan yang searah dengan gaya yang bekerja pada massa dan diberikan dalam bentuk energi kinetik dari massa tersebut.

20

Dalam banyak kasus, kita harus menggunakan model matematika untuk merepresentasikan sistem getaran yang sesungguhnya dan ada beberapa model yang mungkin. Untuk menganalisa kita harus menentukan mana model matematika yang sesuai. Salah satu model yang dipilih adalah massa atau inersia elemen dari sistem yang dapat diidentifikasi dengan mudah. Sebagai contoh kantilever beam yang mempunyai massa di ujung yang terlihat pada gambar 1.11(a). Untuk menganalisisnya maka beam biasa dimodelkan sebagai sistem pegas seperti pada gambar 1.11(b). Contoh lain bangunan bertingkat seperti gambar 1.15(a) apabila terkena gempa bumi. Massa dari tembok diabaikan dibandingkan massa lantai setiap tingkat. Bangunan dimodelkan sebagai multi DOF seperti terlihat pada Gamabr 1.15(b). Massa setiap lantai dianggap sebagai massa elemen dan elastisitas bagian vertikal dianggap sebagai elemen pegas.

x5

m5 m5 k5

k4

k3

k2

m4

k5

x4 m4

m3

k4

x3 m3

m2

k3

x2 m2

m1 k2

k1

x1

m1 k1

(a) bangunan bertingkat (b) model matematika Gambar 1.15 Idealisasi bangunan bertingkat sebagai multi DOF

21

Dalam penerapannya, beberapa massa berada dalam satu kombinasi. Sebagai contoh analisis, kita akan mengganti massa-massa ini sebagai sebuah massa ekivalen. Kasus 1. Beberapa massa dihubungkan oleh suatu batang : Beberapa massa diletakkan pada batang seperti pada Gambar 1.16. Massa-massa tersebut bisa diganti dengan massa ekivalen yang diletakkan di sembarang titik pada batang. Sebagai contoh spesifik massa ekivalen diletakkan pada m1 seperti terlihat pada Gambar 1.16(b). Kecepatan massa-massa m2 dan m3 bisa dinyatakan dalam kecepatan m1, dengan asumsi perpindahan sudut batang yang kecil. ̇

̇ ,

̇

̇

(1.20)

Dan ̇

̇

(1.21)

(a) tiga massa terletak pada batang (b) massa ekivalen pada batang Gambar 1.16 Beberapa massa translasi dihubungkan oleh batang

22

Dengan menyamakan energi kinetik ketiga massa dengan sistem sebuah massa ekivalen, kita peroleh ̇

̇

̇

̇

(1.22)

dengan mensubstitusi persamaan (2.20) dan (2.21) ke dalam persamaan (2.22) diperoleh ( )

( )

(1.23)

Kasus 2: Massa translasi dan rotasi digabung menjadi satu. 

Massa m bergerak translasi dengan kecepatan x digabung dengan massa 

lain yang bergerak rotasi yang mempunyai kecepatan sudut  dan momen inersia massa J0, seperti rack dan pinion pada Gambar 1.17. Kedua massa ini bisa diganti dengan sebuah massa yang bergerak translasi dengan massa mek atau bergerak rotasi dengan momen inersia massa Jek.

Gambar 1.17 massa translasi dan rotasi pada rack dan pinion.

23

1.

Massa translasi ekivalen. Energi kinetik kedua massa diberikan oleh. ̇ ̇

(1.24)

energi kinetik massa ekivalen diberikan oleh ̇

(1.25)

di mana ̇ ̇

̇ dan ̇

dengan menyamakan T = Tek dan mengganti harga-harga di atas, maka ̇

̇

̇

( )

sehingga (1.26) 2. Massa rotasional ekivalen. ̇ dan ̇ , dengan menyamakan T dan Tek pada Di sini ̇ ̇ persamaan 1.24 dan 1.25 di atas, maka

̇

sehingga

24

( ̇ )

̇

(1.27)

1.8

Elemen Redaman (Damping Element) Dalam beberapa sistem, energi getaran berangsur-angsur diubah menjadi panas atau sound. Karena adanya reduksi energi, maka respon getaran seperti simpangan berangsur-angsur akan menurun. Sistem mekanik di mana energi getaran berangsur-angsur diserap menjadi panas dan sound dikenal sebagai redaman. Walaupun penyerapan energi ini relatif kecil namun mempertimbangkan redaman tetap penting untuk ketepatan perhitungan respon getaran sistem. Peredam berfungsi sebagai gaya bila ada kecepatan relatif di antara dua ujung peredam. Peredam bisa dimodelkan sebagai salah satu atau lebih dari tipe-tipe berikut: Viscous Damping. Viscous damping adalah yang paling umum digunakan sebagai redaman mekanik dalam analisis getaran. Bila sistem mekanik digetarkan di medium fluida, seperti udara, gas, air dan oli akan terjadi tahanan bodi oleh fluida sebab energi sistem diserap. Dalam hal ini besarnya penyerapan tergantung pada beberapa faktor, seperti ukuran dan bentuk bodi getaran, viskositas fluida, dan kecepatan bodi yang bergetar. Gaya redaman sebanding dengan kecepatan bodi yang bergetar. Contoh tipe viscous damping adalah selaput fluida di antara permukaan yang bergesekan, aliran fluida di sekeliling piston dalam silinder, aliran fluida yang melewati orifis dan selaput fluida di sekitar jurnal bearing. Coulomb atau Redaman Gesekan. Di sini besarnya gaya redaman adalah konstan tetapi arahnya berlawanan dengan bodi yang bergetar. Redaman ini disebabkan oleh gesekan antara bidang gesekan yang kering atau mempunyai pelumas diantaranya. Material atau Solid atau Hysteretic Redaman. Ketika material terdeformasi, energi diserap oleh material. Hal ini disebabkan gesekan antara internal planes, yang slip atau bergeser karena deformasi. Bila bodi mempunyai material redaman, diagram tegangan regangan ditunjukkan oleh hysteretic loop seperti pada Gambar 1.18(a). Luas loop ini merupakan energi yang hilang setiap volume bodi per siklus.

25

(a) (b) Gambar 1.18 Hysteretic loop untuk material elastik (1.29) di mana A adalah luas permukaan pelat yang bergerak, dan (1.30) dinamakan konstanta redaman.

Gambar 1.19 Plat paralel dengan fluida kental di antaranya

26

Kombinasi Peredam Bila beberapa peredam dipasang secara bersama-sama, maka bisa diganti oleh sebuah peredam ekivalen dengan prosedur sama seperti beberapa pegas yang dipasang secara bersama-sama (lihat sub bab 1.6). Contoh soal 1.3 Tentukan konstanta redaman pada dashpot yang terlihat pada Gambar 1.20 di bawah. Diketahui diameter silinder = D + 2d, diameter piston = D, kecepatan piston = v, panjang aksial piston = l dan viskositas fluida = μ.

Gambar 1.20 Piston-silinder dashpot Jawab : Seperti pada Gambar 1.20, dashpot terdiri dari piston dengan diameter D, panjang l, bergerak dengan kecepatan v0 pada silinder dan diberi pelumas dengan viskositasμ. Ruang antara piston dan silinder adalah d. Pada jarak y dari permukaan yang bergerak mempunyai kecepatan dan tegangan geser masing-masing v dan τ, dan pada jarak (y + dy) mempunyai kecepatan (v – dv) dan tegangan geser (τ + d τ). Harga negatif untuk kecepatan menunjukkan bahwa kecepatan akan berkurang dengan bertambahnya y. Gaya karena kekentalan fluida dapat ditulis sebagai berikut

27

(E.1) tegangan geser diberikan oleh (E.2) di mana tanda negatif menyatakan gradien kecepatan yang berkurang. Dengan memasukkan persamaan (E.2) ke (E.1), diperoleh (E.3) Tekanan piston pada ujung bawah piston diberikan

(

)

(E.4)

Gaya tekanan di sekitar piston adalah (

)

(E.5)

di mana (π D dy) menunjukkan luas annular antara y dan (y + dy). Jika diasumsikan kecepatan rata-rata seragam pada arah gerakan pada fluida, maka gaya pada persamaan (E.3) dan (E.5) harus sama, diperoleh

(E.6)

28

Dengan mengintegrasikan dua kali dan memberikan kondisi batas v = - v0 pada y = 0 dan v = 0 pada y = d, kita peroleh (

)

(

)

(E.7)

debit rata-rata yang melewati ruang antara piston dan silinder dapat diperoleh dengan mengintegrasikan debit fluida yang dipindahkan karena gerakan piston diantara y = 0 dan y = d. *

∫

+

(E.8)

Volume aliran fluida yang melewati ruang antara per detik harus sama dengan volume per detik yang dipindahkan oleh piston. Sehingga kecepatan piston harus sama debit rata-rata fluida dibagi dengan luas piston.

(

(E.9)

)

Dengan memasukkan Q pada persamaan (E.9) ke persamaan (E.8) diperoleh (

0

)

1

(E.10)

Persamaan (E.10) bisa diganti P = c v0, di mana c adalah konstanta redaman yang besarnya 0

(

)

1

(E.11)

29

Contoh soal 1.4 Mesin milling ditahan oleh empat shock seperti pada Gambar 1.21. Elastisitas dan redaman shock dapat dimodelkan sebagai pegas dan peredam seperti pada Gambar 1.21(b). Tentukan konstanta pegas ekivalen (kek) dan konstanta redaman ekivalen (cek). Jawab :

(a)

30

(b)

(c) Gambar 1.21 Mesin miling horisontal Free body diagram untuk keempat pegas dan redaman bisa dilihat pada Gambar 1.21(b). Letak pusat massa G adalah di tengah-tengah keempat pegas dan redaman, semua pegas akan terdefleksi yang sama sejauh x dan semua peredam juga akan mempunyai kecepatan yang sama sebesar ̇ . Gaya yang bekerja pada pegas (Fsi) dan peredam (Fdi) adalah:

31

(E.1) Total gaya untuk semua pegas dan semua peredam adalah Fs dan Fd, maka

(E.2) Dari persamaan (E.1) dan (E.2) dan harga x serta c setiap sudut sama, maka diperoleh (

)

(

)̇

(E.3)

di mana Fs + Fd = W, dan W adalah total gaya vertikal (termasuk gaya inersia) yang bekerja pada mesin milling. Pada Gambar 1.21 (c) terlihat

̇

(E.4)

Dengan menyamakan persamaan (E.3) dan (E.4) dan ki = k serta ci = c maka

(E.5)

32

1.9

Gerak Harmonik Gerak osilasi dapat berulang secara teratur, misalnya gerak pendulum sederhana. Osilasi bisa juga bergerak tidak beraturan, contoh gerakan tanah saat terjadi gempa bumi. Jika gerakan terulang pada interval yang sama (), maka dinamakan gerak periodik. Waktu pengulangan  tersebut disebut perioda osilasi, dan kebalikannya, f = 1/, disebut frekuensi. Jika gerak dinyatakan dalam fungsi x(t), maka setiap gerak periodik harus memenuhi hubungan x(t) = x(t + ). Bentuk gerak periodik yang paling sederhana adalah gerak harmonik. Hal ini dapat diperagakan pada sebuah massa yang tergantung pada sebuah pegas ringan pada mekanis yoke Scotch seperti terlihat pada Gambar 1.22. Pada sistem ini crank mempunyai jari-jari A, dan berpusat di O. Ujung crank yang satunya P bergerak dibatasi slot yang bergerak vertikal dan dibatasi R. Ketika crank berotasi dengan kecepatan sudut , ujung S juga bergerak sesuai slot dan massa m pada sistem massa-pegas dari posisi tengah bergerak sejauh x (fungsi waktu) yang diberikan oleh (1.31) Besaran  biasanya diukur dalam radian per detik dan disebut frekuensi lingkaran. Karena gerak berulang dalam 2 radian, maka didapat hubungan (1.32) dengan  dan f adalah perioda dan frekuensi gerak harmonik, berturut-turut biasanya diukur dalam detik dan siklus per detik. Gerakan massa merupakan sinusoidal seperti terlihat pada gambar 1.22. Kecepatan getaran massa m setiap saat diberikan oleh ̇

(

)

(1.33)

33

dan percepatan getaran massa m setiap saat diberikan oleh ̈

(

)

(1.34)

Gambar 1.22 Mekanis Yoke Scotch Jadi kecepatan dan percepatan juga harmonik dengan frekuensi osilasi yang sama, tetapi mendahului simpangan, berturut-turut dengan /2 dan  radian. Gambar 1.23 menunjukkan baik perubahan terhadap waktu maupun hubungan fasa vektor antara simpangan, kecepatan dan percepatan pada gerak harmonik.

34

Gambar 1.23 Dalam gerak harmonik, kecepatan dan percepatan mendahului simpangan dengan  dan 2

Peninjauan kembali persamaan (1.31) dan (1.34) menunjukkan bahwa ̈

(1.35)

sehingga dalam gerak harmonik, percepatan adalah sebanding dengan simpangan dan arahnya menuju titik asal.

1.9.1

Besaran vektor untuk Merepresentasikan Getaran Harmonik Getaran harmonik dapat direpresentasikan oleh vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ dengan

besar A yang bergerak berputar dengan kecepatan konstan , seperti terlihat pada Gambar 1.24.

35

Proyeksi vektor ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ pada sumbu vertikal diberikan oleh (1.36)

dan untuk proyeksi terhadap sumbu horizontal diberikan oleh (1.37)

Gambar 1.24 Getaran harmonik sebagai proyeksi suatu titik yang bergerak pada lingkaran

36

1.9.2

Bentuk Eksponensial dan Bilangan Kompleks untuk Merepresentasikan Getaran Harmonik Fungsi trigonometrik sinus dan cosinus dihubungkan dengan fungsi eksponensial oleh persamaan Euler (1.38) Suatu vektor dengan amplitudo A yang berputar dengan kecepatan sudut tetap  dapat dinyatakan sebagai besaran komplek dalam diagram Argand seperti terlihat dalam Gambar 1.25. y (imajiner)

b A

t a

x (riil)

Gambar 1.25 Diagram Argan (1.39) (1.40) (1.41) dengan

(

)

, dan

( )

37

Besaran disebut sinusoid komplek dengan a dan b adalah komponen riil dan imajiner. Besaran juga memenuhi persamaan untuk gerak harmonik. 1.10

Gerak Periodik Pada getaran biasanya beberapa frekuensi yang berbeda ada secara bersama-sama. Contoh getaran dawai biola terdiri dari frekuensi dasar f dan semua harmoniknya 2f, 3f dan seterusnya. Getaran semacam ini menghasilkan bentuk gelombang komplek yang diulang secara periodik seperti Gambar 1.26. Matematikawan Perancis J. Fourier (1768 – 1830) menunjukkan bahwa tiap gerak periodik dapat dinyatakan oleh deretan sinus dan cosinus yang dihubungkan secara harmonik. Jika x(t) adalah fungsi periodik dengan perioda , maka fungsi ini dinyatakan oleh deret Fourier. () ()

∑

(

)

(1.42)

di mana  = 2/ dan a0, a1, a2 ….an, b1, b2,….bn adalah koefisien konstan. Untuk menghitung koefisien an dan bn, dengan mengalikan cos nt dan sin nt kedua ruas persamaan (1.42), serta mengintegrasikan dengan satu perioda  = 2/. Dengan mengingat hubungan berikut

38

∫

{

}

∫

{

}

(1.43)

, -

∫

maka semua suku kecuali satu pada ruas kanan persamaan adalah nol, dan diperoleh hasil, ∫

()

∫

()

∫

()

∫

()

∫

()

∫

() (1.44)

Gambar 1.26 Gerak periodik dengan perioda  Contoh soal 1.5 Jika y(t) diketahui seperti Gambar 1.27, maka cari persamaan getaran untuk x(t).

39

Gambar 1.27 Sistem Cam-follower Jawab : ( ) ( )

( ) ( )

Dari Gambar 1.27(b) diperoleh y(t) = Y t/ ; 0  t   , di mana Y = amplitudo maksimum y.

40

(E.1)

Dari dimensi rocker arm, diperoleh hubungan (E.2) dan x(t) = X t/ ; 0  t   , di mana X adalah amplitudo maksimum x. dengan menggunakan persamaan (1.44) diperoleh ()

∫

( )

∫

(E.3)

()

∫

∫

∫ Rumus integral ∫ *(

+

)

(E.4)

bn 

 2 /   2 /  t  X xt dt sin ntdt   X sin ntdt    0  0    ∫

()



2 / 

0

t sin ntdt

∫

41

∫

Rumus integral ∫

*(

+

)

(E.5) Jadi () ()

∑

()

∑

() di mana sehingga ()

42

∑

( (

) )

BAB II GETARAN BEBAS SISTEM SATU DERAJAD KEBEBASAN

Semua sistem yang mempunyai massa dan elastisitas dapat mengalami getaran bebas atau getaran yang terjadi tanpa rangsangan luar. Hal pertama yang menarik untuk sistem semacam itu adalah frekuensi natural getarannya. Sasaran kita di sini adalah belajar menulis persamaan geraknya dan menghitung frekuensi naturalnya yang merupakan fungsi massa dan kekakuan sistem. Redaman dalam jumlah sedang mempunyai pengaruh yang sangat kecil pada frekuensi natural dan dapat diabaikan dalam perhitungannya. Kemudian sistem dapat dianggap sebagai sistem yang konservatif dan prinsip kekekalan energi memberikan pendekatan lain untuk menghitung frekuensi natural. Pengaruh redaman sangat terlihat pada berkurangnya amplitudo getaran terhadap waktu. Walaupun terdapat banyak model redaman namun hanya model yang menghasilkan cara analitik yang mudah dibahas dalam bab ini. 2.1

Persamaan Gerak dan Frekuensi Getaran Translasi Sistem berosilasi yang paling sederhana adalah sistem yang terdiri dari massa dan pegas seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1. Pegas penunjang massa dianggap mempunyai massa yang dapat diabaikan dan kekakuan k (Newton per meter simpangan). Sistem mempunyai satu derajat kebebasan karena geraknya digambarkan oleh koordinat tunggal x.

43

Gambar 2.1 Sistem pegas-massa dan diagram benda bebas Bila digerakkan, osilasi akan terjadi pada frekuensi natural fn, yang merupakan milik sistem. Kita sekarang mengamati beberapa konsep dasar yang dihubungkan dengan getaran bebas sistem dengan satu derajat kebebasan. Hukum Newton kedua adalah dasar pertama untuk meneliti gerak sistem. Seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1, perubahan bentuk pegas pada posisi kesetimbangan statik adalah ∆ dan gaya pegas adalah k∆ adalah sama dengan gaya gravitasi W yang bekerja pada massa m. k∆ = W = mg

(2.1)

Dengan mengukur simpangan x dari posisi kesetimbangan statik, maka gaya-gaya yang bekerja pada massa m adalah k(∆+x) atau W. Dengan x yang dipilih positif dalam arah ke bawah. Sekarang hukum Newton kedua untuk gerak diterapkan pada massa m. ∑Fy = 0 ( ̈

)

dan karena k∆ = W, diperoleh ̈

44

(2.2)

Jelaslah bahwa pemilihan posisi kesetimbangan statik sebagai acuan untuk x mengeliminasi W, yaitu gaya yang disebabkan gravitasi. Gaya pegas statik k∆ dari persamaan gerak hingga resultan pada massa m adalah gaya pegas karena simpangan x saja. Dengan mendefinisikan frekuensi lingkaran ωn menggunakan persamaan (2.3) Persamaan (2.2) dapat ditulis sebagai ̈

(2.4)

Solusi persamaan (2.2) dengan mengasumsikan () ̇

dan ̈

di mana A dan s adalah konstata, setelah dimasukan ke persamaan (2.2), diperoleh + (

+ ) + =

di mana

=0 =0

=0 (

(2.5)

) = ( )

dan

(

)

sehingga

45

jadi ()

+

di mana A1 dan A2 adalah konstata.

Dengan menggunakan = ()

maka +

(2.6)

Di mana A dan B adalah konstata yang baru dan dapat dicari dengan menggunakan kondisi awal, yaitu (

= )= ̇

)

̇(

(2.7)

Dengan memasukkan kondisi awal persamaan (2.7) ke dalam persamaan (2.6) termasuk dengan menurunkam dulu persamaan (2.6) maka diperoleh = =

( )

( )+ ( )

( ) dan

̇( ) ( ) ̇ ̇

( )

( ) ̇

Jadi ̇

Periode natural osilasi dibentuk dari √

46

(2.8) , atau (2.9)

dan frekuensi naturalnya adalah √

(2.10)

Besaran-besaran ini dapat dinyatakan dalam penyimpangan statik dengan melihat persamaan (2.1),

=

dinyatakan dalam penyimpangan statik √

𝑔. Jadi persamaan (2.10) dapat sebagai (2.11)

Contoh soal 2.1 Sebuah massa ¼ kg digantungkan pada pegas yang mempunyai kekakuan 0,1533 N/mm. Tentukan frekuensi naturalnya dalam siklus per sekon. Tentukan juga penyimpangan statiknya. Jawab : Konstanta kekakuan = 153.3 N/m Substitusi ke dalam persamaan (2.10), menghasilkan frekuensi natural √

√

(E.1)

Penyimpangan statik pegas yang digantungi massa ⁄ kg diperoleh dari mg (E.2)

47

Contoh soal 2.2 Tentukan frekuensi natural massa M yang diletakkan pada ujung kantilever beam yang massanya dapat diabaikan seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.2.

Gambar 2.2 Massa m pada ujung kantilever Jawab: Penyimpangan kantilever beam yang disebabkan gaya yang terkonsentrasi P adalah (E.1) Dengan EI adalah ketegaran lentur. Jadi kekuatan balok adalah k dan frekuensi natural sistem menjadi √

(E.2)

Contoh soal 2.3 Hitung frekuensi natural dari sistem seperti pada Gambar 2.3. Asumsi gesekan dan massa puli diabaikan.

48

(b) diagram benda bebas

(a)

Gambar 2.3 Sistem puli, massa dan pegas Jawab: Pada diagram benda bebas 1 (dbb 1)

pada dbb 2

2W = k1 x1

2W = k2 x2

Sehingga gerakan total massa adalah X = 2( X = 2(

) ) = 4W (

) = 4W

(E.2)

49

Hukum Newton kedua menyatakan F=

=

= 4W

(

(E.3)

)

Persamaan getaran m ̈ + kekx= 0 m ̈+

(E.4)

x=0

(

jadi n=

(

)

(

(

(

(

)

)

)

)

(E.5)

(E.6)

Contoh soal 2.4 Massa batang PQ diabaikan, tentukan persamaan diferensial getaran dan frekuensi diri dari sistem pada gambar 2.4

50

Jawab :

Gambar 2.4 sistem pegas dan batang yang diberi beban pada ujung.

Pada kondisi statis terjadi kesetimbangan momen, yaitu mgl3 cos α = k2l2 sinα l2 cos α + k1l1 sinα l1 cosα

(E1)

sehingga dalam keadaan dinamis sudah tidak perlu diperhitungkan ∑Mp = 0 ̈

(E.2)

Untuk θ kecil maka sin θ = θ dan cos θ = 1, jadi ̈

(E.3)

51

̈

(

)

(E.4)

dan frekuensi naturalnya adalah √

(E.5)

2.2

Getaran Bebas untuk Sistem Torsional tanpa Redaman Jika benda kaku diberi simpangan sudut dengan sumbu referensi khusus, maka akan menyebabkan gerak yang disebut getaran torsional. Dalam masalah getaran torsional menggunakan kesetimbangan momen torsional. Gambar 2.5 ditunjukkan piringan dengan massa inersia polar J 0, berada di ujung poros dan ujung poros yang lain ditumpu dengan tumpuan jepit. Simpangan sudut piringan dan poros sebesar θ.

Gambar 2.5 Getaran torsional dari piringan kekakuan poros (kt)

Di mana :

52

G = modulus elastisitas Jo = momen inersia luas penampang poros l = panjang poros

Jo =

Sehingga

=

Untuk poros maka torsinya ( 2.13 ) Di mana:

= kekakuan poros = simpangan sudut poros

Hukum Newton yang kedua untuk gerakan sudut ̈+

=0

Di mana:

( 2.14 )

momen inersia massa disk = densitas massa W = berat disk

Persamaan (2.14) bisa diselesaikan seperti pada getaran linier seperti pada persamaan (2.2), yaitu ()

cos

t+

cos

t

( 2.15 )

Dengan A1dan A2 adalah konstanta dan bisa diselesaikan dari kondisi awal. Bila ( )= ̇(

)=

=

̇ cos

(0)+

cos

(0)

= ̇ =

sin

(0) +

cos

(0)

53

̇ = = (t) =

̇

sehingga cos

t+

̇

sin

t

(2.16)

Frekuensi natural dan priode natural bisa dihitung berdasarkan persamaan diferensial getaran pada persamaan (2.14) =( )

=2 ( )

=

( )

(2.17)

Contoh soal 2.5 Sebuah roda dan ban mobil digantungkan pada batang baja yang diameternya 0.5 cm dan panjangnya 2 m seperti ditunjukkan pada Gambar 2.6. Bila roda diberi simpangan sudut kemudian lepas, maka ia membuat 10 osilasi dalam 30.2 detik. Tentukan momen inersia polar roda dan ban.

Gambar 2.6 Ban mobil yang digantung pada baja

54

Jawab : Persamaan rotasional untuk gerak sesuai hukum Newton kedua ̈

( E.1 )

Frekuensi natural osilasi =

=2

=

=

= 2.081 rad / s

(0.5

( E.2 )

) = 0.006136

= 80 =

=

= 2.455 Nm /rad

( E.3 )

maka ( ) =

=

= 0.567 kg

2.3

Metode Energi (Metode Lagrange) Dalam suatu konservatif energi totalnya adalah konstan dan persamaan diferensial gerak juga dapat dibentuk dari prinsip kekekalan energi. Untuk getaran bebas suatu sistem yang tak teredam, energinya sebagian adalah energi kinetik dan sebagian potensial. Energi kinetik T sebagian disimpan dalam massanya karena kecepatannya, sedang energi potensial U disimpan dalam bentuk energi regangan dalam perubahan bentuk elastik atau kerja yang dilakukan dalam suatu medan gaya seperti gravitasi. Karena energi total adalah konstan, maka laju perubahan energi adalah nol seperti oleh persamaan (2.18).

55

T + U = konstan (

)

( 2.18 )

Bila perhatian hanya tertuju pada frekuensi natural sistem, maka frekuensi itu dapat ditentukan dari pertimbangan prinsip kekekalan energi pada persamaan (2.19 ). (2.19) dengan indeks 1 dan 2 menyatakan saat yang berbeda. Ambil indeks 1 saat ketika massa sedang melewati posisi kesetimbangan statik dan pilih U1 = 0 sebagai acuan untuk energi potensial. Ambil indeks 2 saat yang sesuai dengan simpangan maksimum dari massa. Pada potensial ini, kecepatan massa adalah nol, hingga T2 = 0, jadi diperoleh T1 + 0 = 0 + U2

(2.20)

Namun, bila sistem mangalami gerak hermorik, maka T1 dan U2 merupakan nilai maksimum, jadi Tmaks = Umaks

(2.21)

Persamaan (2.21) langsung menghasilkan frekuensi natural. Contoh soal 2.6 Tentukan frekuensi natural sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2.7.

56

r2

r1 θ

J

m Gambar 2.7 Jawab: Anggap bahwa sistem secara harmonik dengan amplitudo  dari posisi kesetimbangan statik. Energi kinetiknya adalah ̇

(

̇)

(E.1) Energi potensial adalah energi yang disimpan dalam pegas yaitu U= k(

)²

(E.2) Sebelumnya diketahui T + U = konstan, atau dT + dU = 0

57

( ) (

( ) ̇

(

J 2 ̇ ̈+ J ̈ +m (J+m

̇) ) + ̇ ̈+

̈ +k ) ̈ +k

(

θ=0 θ=0

(E.3) ) dan persamaan (

) maka diperoleh

dalam hal ini dan

ωn =√

fn =

) )=0

2θ ̇ =0

Dengan melihat persamaan ( ωn =√

(

maka (E.4)

√

(E.5)

Contoh Soal 2.7 Sebuah silinder seberat W dan jari-jari r menggelinding tanpa tergelincir (slip) pada permukaan silindris yang berjari-jari R (lihat Gambar 2.8). Tentukan persamaan diferensial geraknya untuk osilasi kecil pada titik terendah. Untuk keadaan tanpa tergelincir r = R .

58

θ

r

R

Gambar 2.8 Jawab: Kecepatan translasi pusat silinder adalah ) ̇

(

(E.1)

Sedang kecepatan rotasinya adalah ( ̇

̇)

(

) ̇

(E.2)

Karena tanpa tergelincir maka (

)

(E.3)

Energi kinetiknya adalah T

[(

T

(R

) ̇] + ) ̇

*(

) ̇+ (E.4)

59

Energi potensialnya adalah (

)(

)

(E.5)

Perubahan energi akan menjadi energi lain, sehingga (T + U) (

(E.6) )

(R

̇ )+

W (R - r)(1-

̇ ̈ + W(

(

)

(

) ̈ +W(

) ̇ )

(E.7)

Untuk sudut θ yang kecil maka sin diperoleh

(

)

Dengan melihat persamaan ( √ 2.4

= θ, dan dengan mencoret kedua suku

) ̈+

(

̈

)

(

)

) dan persamaan (

) maka diperoleh (E.8)

Kondisi Stablilitas Untuk menentukan kondisi stabililtas diambil contoh batang seragam yang dipegang engsel dan dihubungkan dengan dua buah pegas

60

simetri di ujungnya seperti pada Gambar 2.9. Dimisalkan massa batang adalah m dan pegas tidak meregang pada saat batang vertikal. Ketika batang diberi simpangan sejauh pegas akan diberi beban gaya sebesar kl . Karena ada dua buah pegas, maka total gaya adalah 2kl . Gaya berat W = mg bekerja searah vertikal.

Gambar 2.9 Batang vertikal dipegang pegas simetri di ujung

̈

(

) ̈

(

)

Persamaan momen batang terhadap titik O adalah ∑ ̈

=0 (

)

61

̈

(

)

(2.23)

Untuk osilasi ( ) kecil maka sin (

=

dan cos

sehingga persamaan

) menjadi ̈

̈

(

(

)

)

(2.24)

) tergantung pada harga dalam kurung Solusi persamaan ( ( )⁄ bisa dibahas sebagai berikut )⁄ Kasus 1: Bila ( Persamaan ( osilasi stabil dan dapat diselesaikan sebagai berikut ()

(2.25)

Di mana A1 dan A2 adalah konstanta dan ( Kasus 2: Bila ( sederhana ̈

) merupakan

bisa ditulis

)

(2.26) )⁄

Persamaan (

) menjadi lebih

(2.27)

Solusinya dapat diselesaikan dengan mengintegrasikan dua kali sehingga diperoleh

62

()

(2.28)

Untuk kondisi awal

(t=0)

= θ0 dan

̇ (t=0) = ̇ , solusinya menjadi

θ(t)= ̇ t +

(2.29)

Persamaan (2.29) menunjukkan simpangan sudut meningkat secara linier pada kecepatan konstan ̇ 0. Jika ̇ 0 = 0, persamaan (2.29) merupakan keseimbangan statis dengan = 0. Kasus 3: Bila (12kl²-3Wl)/2ml² < 0, kita definisikan α=(

)

(2.30)

Kita lihat persamaan (2.24), maka solusinya adalah ()

(2.31)

di mana B1 dan B2 adalah konstanta. Untuk kondisi awal dan ̇ (t=0) = ̇ 0 Persamaan (2.31) menjadi ()

[(

̇ )

(

̇ )

]

(t=0)

= θ0

(2.32)

Persamaan (2.32) menunjukkan bahwa θ(t) meningkat secara eksponensial dengan waktu, dan getaran tidak stabil. Alasan secara fisiknya adalah momen yang disebabkan oleh pegas (2kl²θ), yang membuat sistem pada posisi setimbang lebih kecil momen yang dihasilkan oleh gravitasi (W(1/2)θ), yang menyebabkan massa berpindah dari posisi kesetimbangan.

63

2.5

Metode Energi Rayleigh Metode energi ini digunakan untuk sistem bermassa banyak atau untuk sistem yang massanya terdistribusi, bila gerak tiap titik dalam sistem diketahui. Dalam sistem di mana massa-massa dihubungkan oleh penghubung tegar, truss, atau roda gigi, gerak berbagai massa tadi dapat dinyatakan dalam gerak beberapa titik spesifik x dan sistem hanyalah merupakan sistem dengan satu derajat kebebasan karena hanya diperlukan satu koordinat. Energi kinetik dapat ditulis ̇

(2.33)

Di mana: mef = massa efektif atau segumpalan massa ekivalen pada titik spesifik tersebut. Bila kekakuan di titik itu diketahui, maka frekuensi natural dapat dihitung melalui n=√

(2.34)

Rayleigh menunjukkan bahwa dengan asumsi bentuk amplitudo getaran yang masuk akal, maka massa yang tadinya diabaikan dapat ikut diperhitungkan dan diperoleh perkiraan frekuensi dasar yang lebih baik. Contoh soal 2.8 Tentukan pada sistem Gambar 2.10, bila massa pegas ikut diperhitungkan. Jawab: Perpindahan pegas pada titik y adalah dan kecepatan adalah

64

̇

Gambar 2.10 Massa m digantung pada sebuah pegas Sehingga energi kinetik pegas adalah ̇

(

)( )

(E.1)

Energi kinetik total adalah T = Energi kinetik massa (Tm) + Energi kinetik pegas (Ts) T=

m ̇ +∫

T=

m ̇ +∫

T=

m ̇

T =

m ̇

((

)(

̇

)/

̇ ̇

[

]

̇

65

T=

(

) ̇

(E.2)

Dari persamaan (2.36) diperoleh kesimpulan bahwa massa efektif pegas adalah 1/3 massa pegas ( (eff) = 1/3ms) Energi potensial sistem adalah U=

(E.3)

Jumlah perubahan energi kinetik dan energi potensial adalah nol. dT + dU = 0 (

)2 ̇ ̈ +

(

k2x ̇ =0

) ̈ + kx = 0

(E.4)

Persamaan ( 2.38 ) menunjukkan bahwa massa efektif sistem adalah =m+

(E.6)

Frekuensi natural sistem dengan memperhitungkan massa pegas adalah =√

(E.7)

Contoh soal 2.9 Sebuah batang dengan massa total m yang ditopang di kedua ujungnya, di tengah-tengah batang ada sebuah M (lihat Gambar 2.11). Tentukan frekuensi diri di tengah-tengah sistem.

66

Jawab: Defleksi statis pada setengah panjang batang adalah (

y=

( ) ) untuk (

)

(E.1)

l/2 M x

l

Gambar 2.11 Batang ditumpu kedua ujung dengan massa M di tengahtengah Energi kinetik maksimum batang itu sendiri adalah ̇= ̇

(

T= ∫ T= (

( ) )

⁄

,̇

⁄

(

(E.2) ( ) )-

)̇

(E.3)

(E.4)

Dari persamaan (E.4) di ketahui bahwa massa efektif batang di tengahtengah tumpuan adalah (

)

(E.5)

Jadi massa efektif sistem di tengah-tengah rentangan adalah + 0,4857m

(E.6)

67

Frekuensi diri di tengah-tengah sistem adalah =√

(

(E.7)

)

Contoh soal 2.10 Sistem berosilasi seringkali terdiri dari tuas, roda gigi dan penghubung lain yang dapat mempersulit analisis. Sistem katup mesin pada Gambar 2.12 merupakan contoh sistem seperti itu. Penyederhanaan sistem itu menjadi sistem ekivalen yang lebih mudah biasanya diharapkan. Tentukan massa efektif sistem tersebut pada titik A! Jawab :

Gambar 2.12 Gambar sistem katup mesin Lengan pemutus (rocker-arm) dengan momen inersia J, katup dengan massa mv dan pegas dengan massa m, dapat disederhanakan menjadi massa tunggal di A dengan menuliskan energi kinetik sebagai berikut: ̇

68

( ̇ )

(

)( ̇)

) ̇

(

Dengan mengingat bahwa kecepatan di A adalah ̇ di atas menjadi .

(E.1) ̇ maka persamaan

/ ̇

(E.2)

/

(E.3)

Jadi massa efektif di a adalah .

Bila batang pendorong sekarang direduksi menjadi sebuah pegas dan massa tambahan pada ujung A, maka seluruh sistem direduksi menjadi pegas tunggal dan sebuah massa seperti ditunjukkan pada Gambar 2.12(b). 2.6

Resume Semua sistem yang mempunyai massa dan elastisitas dapat mengalami getaran bebas atau getaran yang terjadi tanpa gangguan dari luar. Hal pertama yang menarik untuk sistem semacam itu adalah frekuensi natural getarannya. Bila sistem bergetar melewati frekuensi naturalnya, maka sistem berada dalam resonasi. Untuk menentukan frekuensi natural bisa menggunakan beberapa metode antara lain dengan: 1. Menentukan massa dan konstanta kekakuan pegas 2. Menentukan massa dan konstanta kekakuan pegas ekivalen 3. Mencari persamaan diferensial getaran 4. Metode Energy Lagrange 5. Metode Energy Rayleigh

69

70

BAB III GETARAN BEBAS TEREDAM

Gaya redaman karena kekentalan Fd berbanding lurus dengan kecepatan getaran, yaitu ̇

(3.1)

di mana ̇ = kecepatan getaran Fd = gaya redaman c = konstanta redaman - = arahnya berlawanan dengan arah kecepatan Getaran bebas satu derajat kebebasan (SDOF) dengan redaman dapat dilihat pada Gambar 3.1. Jika x diukur dari kesetimbangan posisi massa m, menurut hukum Newton kedua tentang gerakan diperoleh ̈ ̈

̇

k

̇

(3.2)

kx

c

c ̇

O +x

+x

(a) Sistem (b) diagram benda bebas Gambar 3.1 Sistem satu derajat kebebasan dengan redaman

71

Untuk menyelesaikan persamaan (3.2) kita misalkan solusinya dalam bentuk ()

(3.3)

di mana A dan s adalah konstanta, bila persamaan (3.3) diturunkan dua kali diperoleh ̇( ) ̈( )

(3.4)

Persamaan (3.4) dimasukkan ke persamaan (3.3) diperoleh mA

+ kA

=0

ms2 +cs +k = 0

(3.5)

akar-akar persamaan (3.5) bisa diperoleh dengan rumus √

=-

± √(

)

dan

√( sehingga ()

dan

)

√(

)

()

x( ) persamaan (3.6) dimasukkan ke persamaan (3.7) diperoleh

72

(3.6)

(3.7)

√(

{

)

}

{√(

)

{

√(

)

}

x( ) }

{√(

)

}

x( )

(3.8) {

}

di mana A1 dan A2 adalah konstanta yang bisa dicari pada kondisi awal. suku pertama adalah fungsi waktu yang meluruh secara eksponensial. Tetapi sifat suku-suku di dalam kurung tergantung pada nilai numerik di bawah akar, yaitu positif, nol dan negatif. 3.1

Konstanta Redaman Kritis dan Rasio Redaman (Damping Ratio) Redaman kritis adalah harga c di mana harga radikal (bawah akar pada persamaan (3.8) menjadi nol). ) +

-(

=0

Dalam keadaan ini c menjadi ) +

-(

=0

=2m √ = 2√

(kondisi kritis) (3.9)

= 2m

(3.10)

Untuk sistem teredam, nilai suatu redaman biasanya dinyatakan dalam redaman kritis oleh rasio non-dimensional, yaitu =

(3.11)

73

yang disebut rasio redaman. Dengan mengingat bahwa =

=

(3.12)

Sehingga akar-akar persamaan (3.6) bisa dalam bentuk . √

.

/

(3.13)

Sehingga diperoleh

x(t)=

√

.

/

√

.

+

/

(3.14)

Penyelesaian persamaan (3.8) atau (3.14) bisa dilihat pada beberapa kasus berikut Kasus 1: Underdamped system atau kurang teredam ( < 1 atau c < atau c / 2m < √(

). ) berharga negatif dan akar-akar

Untuk kondisi ini, ( ditulis √

.

/

√

.

/

Persamaan (3.14) dapat ditulis menjadi

x( )

74

.

√

/

+

.

√

/

dan

dapat

x( )

{

.√

/

x( )

2(

)

x( )

2

√

x( )

.

√

.√

X

√

/

}

(

√

)

√

3

3

/

(3.15)

di mana A1, A2, X dan ф adalah konstanta yang bisa dicari pada kondisi awal, yaitu

x( )

{

√

̇

√

}

(3.16)

√

di mana

dan ̇ adalah simpangan dan kecepatan getaran awal.

Getaran yang dituliskan pada persamaan (3.16) adalah getaran harmonik teredam (lihat Gambar 3.2), di mana suku merupakan pengurangan amplitudo secara eksponensial. Frekuensi getaran teredam adalah √

(3.17)

75

Gambar 3.2 Getaran teredam Terlihat bahwa frekuensi getaran teredam selalu lebih kecil dari frekuensi getaran tak teredam (Undamped) . Pengurangan frekuensi getaran teredam semakin besar dengan besarnya harga redaman. Grafik yang menyatakan antara frekuensi teredam dan damping ratio bisa dilihat pada Gambar 3.3.

ωd/ωn 1

1 Gambar 3.3 Variasi ωd dengan damping rasio

76

Kasus 2: Critically damped system (teredam kritis) ( = 1 atau c = cc atau c/2m = √ s1 = s2 = -

). Dalam hal ini akar-akar s1 dan s2 adalah sama. =-

(3.18)

Karena akar akarnya sama maka penyelesaian persamaan (3.2) menjadi ( )

(

)

(3.19)

x(t) 𝑥̇ 𝑥̇

x(0)

𝑥̇ <

t

Gambar 3.4 Getaran teradam kritis Pada kondisi awal x(t=0) = x0 dan ̇ ( ) dimasukkan pada persamaan (3.19) maka diperoleh

̇ , bila harga ini

c 1 = x0 c = ̇ +

(3.20)

dan penyelesaian persamaan (3.19) menjadi () [ (̇ )]

(3.21)

77

persamaan (3.21) merupakan non-periodik dan akan menjadi nol bila t = ∞. Gambar untuk persamaan (3.21) bisa dilihat pada gambar 3.4. Kasus 3: Overdamped system (keadaan banyak teredam) ( > 1 atau c > cc atau c/2m > √ . Bila lebih besar dari satu, maka kedua akar tetap berada pada sumbu riil dan berpisah, satu membesar dan yang lainnya mengecil. Akar-akar s1 dan s2 diberikan oleh .

√

/

<

.

√

/

<

(3.22)

Solusi umum menjadi .

√

/

.

√

/

bila dicari pada kondisi awal, di mana x(t=0) = x0 dan ̇ ( diperoleh ̇( ) .

√

/

( )

/

( )

(3.23) )

̇ maka

√

̇( ) .

√

(3.24) √

78

Gambar 3.5 Gerak aperiodik ( > 1) Gerak ini merupakan fungsi yang menurun secara eksponensial terhadap waktu dan disebut fungsi aperiodik seperti terlihat pada Gambar 3.5. Bila ketiga kasus dinyatakan dalam satu gambar untuk membandingkan, akan diperoleh seperti pada Gambar 3.6.

Gambar 3.6 Perbandingan getaran dengan tipe redaman yang berbedabeda.

79

Contoh soal 3.1 Susunlah persamaan diferensial gerak untuk sistem pada Gambar 3.7. Tentukan persamaan untuk koefisien redaman kritis dan frekuensi natural osilasi teredam.

k P

m c

a l Gambar 3.7 Diagram benda bebas pada gambar tersebut bisa dibuat

k a sin θ θ

c a θ̇ cos θ

80

∑Mp = 0 m ̈ l2 cos

+ ka sin

a cos

+ c a ̇ cos a cos

=0

(E.1)

untuk θ yang sangat kecil, maka diperoleh sin θ = θ dan cos θ = 1, sehingga m ̈ l2+

̇ =0

+

(E.2)

Untuk mencari ωn maka redaman diabaikan m ̈ l2 +

=0

(E.3)

dari persamaan (E.3) diperoleh ωn = √

(E.4)

Redaman kritis bisa diperoleh dari hubungan

=2√

=2m

=2m√

=2√

(E.5)

Rasio redaman ( ) diperoleh

=

= √

=

(E.6)

√

Hubungan antara frekuensi tanpa dan dengan redaman diperoleh

=

√

81

√

=

. √

/ =

√

(E.7)

3.2

Pengurangan Logaritmik Suatu cara mudah untuk menentukan jumlah redaman yang ada dalam suatu sistem adalah dengan mengukur laju dengan mengukur laju peluruhan osilasi bebas. Makin besar redamannya, makin besar pula laju peluruhannya. Perhatikan suatu getaran teredam yang dinyatakan oleh persamaan (3.25) yang ditunjukkan secara grafik pada Gambar 3.8. Di sini dikenalkan istilah pengurangan logaritmik (logarithmic decreament) yang didefinisikan sebagai logaritma natural dari rasio dua ampilitudo berurutan. sin .√

x(t) =

/

(3.25)

x(t) τ

2π ω

x1 x2

Gambar 3.8 Laju peluruhan osilasi yang diukur dengan pengurangan logaritmik

82

x

Jadi rumus pengurangan logaritmik menjadi .√

/

(3.26) (

)

.√

(

)

/

dan karena nilai-nilai sinusnya adalah sama bila waktu ditambah dengan periode redaman , maka hubungan di atas menjadi (

)

= ln

=

(3.27)

Dengan mensubstitusikan periode redaman,

,

maka

√

pengurangan logaritmik di atas menjadi (3.28) √

yang merupakan persamaan eksak. Bila

kecil, maka √

, dan

diperoleh persamaan pendekatan (3.29) Contoh soal 3.2. Data ini diberikan untuk sistem getaran dengan redaman karena kekentalan. W = 10 lb, k = 30 lb/in, dan c = 0.12 lb/in per sekon. Tentukan pengukuran logaritmik dan rasio dua amplitudo yang berurutan. Jawab: Frekuensi natural sistem tersebut tanpa redaman adalah

√

√

83

Koefisien redaman kritis cc dan faktor redaman adalah

Dari persamaan (3.28), pengurangan logaritmik adalah

√

√

rasio amplitude untuk tiap dua siklus yang berurutan adalah

Contoh soal 3.3 Tunjukan bahwa pengurangan logaritmik juga diberikan oleh persamaan

dengan xn menyatakan amplitude setelah n siklus berlangsung. Jawab: Rasio amplitude untuk tiap dua amplitudo yang berurutan adalah ( Rasio

84

⁄

dapat ditulis sebagai

)

( )( )( )

(

)

( )

(

)

Dari sini persamaan yang dibutuhkan bisa diperoleh, yaitu =

(E.3)

Contoh soal 3.4. Shock absorber yang bersifat under damped didesain untuk motor yang mempunyai massa 200 kg. Ketika kecepatan awal diberikan karena jalan yang berlubang, maka diperoleh kurva simpangan fungsi waktu seperti pada Gambar 3.9. Tentukan kekakuan pegas dan konstanta redaman shock absorber jika periode getaran 2 sekon dan amplitude berkurang menjadi ⁄ pada ⁄ siklus. Jawab: Dari soal diketahui bahwa (

)

(

)

(

)

sehingga diperoleh

pengurangan logaritmik ( ) Sementara

√

2.7726 =

√

(E.4)

85

X (t)

τd

X1

X2 t

X1.5

(a) motor melewati lubang (b) kurva getaran Gambar 3.9 Motor melewati lubang dan kurva getarannya Persamaan (E.4) merupakan persamaan kuadrat, bila diselesaikan diperoleh akar-akarnya (E.5) Karena under damped maka diambil akar yang positif, yaitu (E.6) Sementara =

(E.7) √

2=

√

(

)

= 3.4338 rad / sek

86

(E.8) (E.9)

Konstanta redaman kritis = 2m

= 2(200)3.4338 = 1373.54 Ns / m

(E.10)

Sementara c=

= 0,4057 x 1373.54

c = 554.498 Ns / m

(E.11)

dan k = m  = (200)(

)

k = 2358.26 N / m

(E.12)

3.3

Sistem Torsional dengan Viscous Damping Pada sub bab 3.1 dan 3.2 dijelaskan getaran linier dengan viscous damping. Pada subbab ini dijelaskan getaran torsional satu derajat kebebasan dengan viscous damping. Contoh untuk getaran tersebut bisa dilihat pada Gambar 3.10 di bawah ini. Poros, kt

Fluida

kt θ

ct θ̇

Disc, J0 θ, θ̇ , θ̈

(a) Disc diputar dalam fluida benda bebas (b) diagram benda bebas Gambar 3.9 Disc diputar dalam fluida dan diagram benda bebasnya

87

Torsi redaman vicous adalah ̇

T=-

(3.30)

Persamaan getaranya diperoleh dari diagram benda bebas, adalah ̈+

̇+ θ = 0

di mana:

(3.31)

= moment inersia masa = konstanta kekakuan torsional θ = simpangan sudut

Persamaan (3.31) bisa diselesaikan seperti pada getaran linear dengan viscous damping, sehingga diperoleh √

(3.32)

Di mana √

(3.33)

dan √

3.4

(3.34)

Redaman Coulomb Redaman Coulomb diperoleh dari gesekan antara dua permukaan kering. Gaya redaman adalah sama dengan hasil kali gaya normal dengan koefisien gesekan μ dan dianggap tidak tergantung pada kecepatan, bila gesekan dimulai. Karena tanda gaya redaman selalu berlawanan dengan tanda kecepatan, maka persamaan diferensial gerak untuk tiap tanda hanya benar untuk selang setengah siklus. Contoh sederhana getaran yang

88

teredam Coulomb bisa dilihat pada Gambar 3.11. Gambar tersebut menunjukkan sebuah massa m yang diletakkan di atas lantai. Antara lantai dan massa m mempunyai koefisien gesekan. Kemudian massa dihubungkan dengan sebuah pegas. Bila massa m diberi sebuah simpangan, maka akan bergetar.

k

W

k kx μN

m ·

m ̇

N Gambar 3.11 Sistem massa-pegas dengan redaman Coulomb Untuk menentukan peluruhan amplitudo, diperhatikan prinsip kerja-energi yang menyamakan kerja yang dilakukan dengan perubahan energi kinetik. Dengan memilih sebuah setengah siklus yang dimulai dari posisi ekstrim dengan kecepatan yang sama dengan nol dan amplitudo sama dengan x1 (puncak), maka perubahan energi kinetik dikurangi kerja yang dilakukan pada m adalah nol. (

) (

)(

(

)

(

) )

(

(3.35) )

0

(3.36)

89

dengan x-1 adalah amplitudo setelah setengah siklus seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 3.12. Di samping itu gambar ini menunjukkan getaran bebas suatu sistem dengan getaran Coloumb. Perlu dicatat bahwa amplitudo meluruh secara linier terhadap waktu. Bila prosedur ini diulang untuk setengah siklus berikutnya, maka diperoleh (3.37) maka (3.38) Gerakan akan berhenti bila amplitudonya sudah lebih kecil dari Δ. Pada posisi itu gaya pegas tidak cukup untuk mengatasi gaya gesekan statik, yang biasanya lebih besar dari gaya gesekan kinetik.

x 4Fd/k

x1

x2

Δ

x-1

Gambar 3.12 Getaran bebas dengan redaman Coloumb

90

t

3.5

Resume Pada getaran bebas yang teredam, akan terjadi penyerapan energi sehingga terjadi pengurangan getaran yang disebut sebagai pengurangan logaritmik (logarithmic decreament). Redaman bisa terjadi karena kekentalan, gesekan antara dua permukaan kering (redaman Coloumb) dan lain-lain.

91

92

BAB IV GETARAN YANG TEREKSITASI SECARA HARMONIK

Bila sebuah sistem dipengaruhi oleh eksitasi paksa dinamakan getaran yang tereksitasi. Dalam masalah ini, sistem terkena gaya luar sehingga respon dinamik menjadi lebih kompleks. Dilihat dari jenis gaya luar ada gaya statik dan gaya dinamik. Di sini kita hanya membahas gaya luar dinamik dan harmonik. Respon getarannya akan berlangsung pada frekuensi yang sama dengan frekuensi perangsangnya. Sumber-sumber eksitasi harmonik adalah ketidaksetimbangan pada mesin-mesin yang berputar, gaya-gaya yang dihasilkan mesin torak (reciprocating machines), atau gerak mesin itu sendiri. Eksitasi ini mungkin tidak diinginkan oleh mesin karena dapat mengganggu operasinya atau mengganggu keamanan struktur mesin itu bila terjadi amplitudo getaran yang besar. Dalam banyak hal resonansi harus dihindari dan untuk mencegah berkembangnya amplitudo yang besar maka sering kali digunakan peredam (dampers) dan penyerap (absorbers). Pembahasan sifat peredam dan penyerap adalah penting demi penggunaannya yang tepat. 4.1

Sistem tanpa Redaman dengan Gaya Eksitasi Harmonik Eksitasi harmonik sering dihadapi dalam sistem rekayasa. Eksitasi ini biasanya dihasilkan oleh ketidaksetimbangan pada mesin-mesin yang berputar. Walaupun eksitasi harmonik murni lebih jarang terjadi dibanding eksitasi periodik atau eksitasi jenis lain, namun mempelajari sifat sistem yang mengalami eksitasi harmonik adalah penting agar dapat mengerti jenis eksitasi yang lebih umum. Eksitasi harmonik dapat berbentuk gaya atau simpangan beberapa titik dalam sistem. Sistem getaran tanpa redaman dengan gaya eksitasi harmonik bisa dilihat pada Gambar 4.1.

93

k

kx

m x

m

F0 sin Ωt Gambar 4.1 Sistem tanpa redaman dengan eksitasi harmonik Dari diagram benda bebas diperoleh persamaan diferensial gerakannya ̈

kx = F0 sinΩt

(4.1)

Persamaan ini biasa disebut getaran harmonik paksa, dan F(t) = F0 sin ωt disebut fungsi gaya harmonik (harmonic forcing function). Persamaan (4.1) merupakan persamaan diferensial linier non-homogen yang solusi umumnya adalah jumlah solusi homogen dan solusi partikulir (khusus). Contoh persamaan diferensial linier order-n sebagai berikut. ( ) Solusi umumnya adalah

94

( )

( )

( )

(4.2)

y = y hom + ypart

(4.3)

yhom didapat dengan memisalkan q(x) = 0 ypart ditentukan untuk q(x) ≠ 0 Untuk kasus pada persamaan (4.1) penyelesaian homogennya xhom = 0, sehingga ̈ + kx= 0

(4.4)

Penyelesaiannya seperti pada persamaan (2.2) yaitu xhom= A1 cosωnt + A2 sin ωnt

(4.5)

Solusinya partikulir persamaan (4.1) diperoleh dengan asumsi x adalah proposional dengan sin Ωt, sehingga xpart = A3 sin Ωt

(4.6)

Substitusi xpart dan ̈ part ke persamaan (4.1) didapatkan -mΩ2 A3 sinΩt + kA3 sinΩt = F0 sinΩt (-mΩ2 + k)A3 = F0 A3 = A3=

=

(

)

(

)

(4.7)

jadi

95

(

(4.8)

)

Solusi umum persamaan (4.1) adalah

(

(4.9)

)

xh(t)

O

τ

t

xp(t)

τ

O

t

x(t) = xh(t) + xp(t)

O

τ

t

Gambar 4.2 Solusi homogen, partikulir dan umum untuk kasus underdamped

96

Dari persamaan (4.9) terlihat bahwa respon x merupakan gabungan antara respon getaran bebas dan respon yang tergantung pada gaya pengganggu. Jika kita tertarik untuk menganalisa respon yang tergantung pada gaya pengganggu saja (xpart), maka disebut keadaan tunak dari getaran paksa (Steady state forced vibration). Jika kita tertarik untuk menganalisa respon keseluruhan, maka disebut keadaan transien (transient state). Analisa mana yang kita pilih tergantung dari jenis gaya eksitasi. Untuk F(t) periodik menggunakan analisa keadaan tunak, tetapi untuk F(t) non-periodik menggunakan analisa keadaan transien. Variasi keadaan homogen, partikulir dan solusi umum fungsi waktu untuk tipe tertentu bisa dilihat pada Gambar 4.2. Di sini terlihat bahwa xh(t) akan berhenti dan berganti x(t) setelah melewati waktu tertentu (τ). 4.1.1

Steady state forced vibration Di sini kita analisis penyelesaian partikulir (xpart) saja dalam hal ini terdapat pada persamaan (4.8).

(

)

faktor F0/k sin Ωt adalah defleksi akibat gaya F0 sin Ωt yang terjadi jika gaya bekerja secara statik. Faktor

dihitung untuk gaya F0 sin Ωt yang

bekerja secara dinamik. Persamaan (4.8) dapat ditulis (

) (

)

(4.10)

di mana xst = F0/k merupakan perpindahan statik karena gaya konstan F0. Harga absolut faktor

disebut faktor pembesaran (magnification

factor).

97

|

|

(4.11)

di mana: β = faktor pembesaran (tergantung dari perbandingan frekuensi Ω/ωn) Ω = frekuensi gaya pengganggu ω = frekuensi natural dari sistem getaran bebas Dilihat dari harga-harga Ω dan ωn maka bisa dibedakan dalam beberapa kasus, antara lain Kasus 1: bila harga Ω ωn, maka harga β ≈ 1 dan defleksi seperti pada kasus dari gaya F0 sin Ω statik. Kasus 2: bila harga Ω < maka harga β > 1 dan getaran dikatakan ada dalam fase dengan eksitasi. Perpindahan memiliki arah yang sama dengan arah gaya pengganggu. Untuk Ω mendekati , faktor pembesaran dan amplitudo getaran paksa bertambah secara cepat. Kasus 3: bila harga Ω =

, maka harga β =

dan merupakan kondisi

resonansi, sehingga amplitudo getaran menjadi tak terhingga. Kasus 4: bila harga Ω > , maka harga β menurun menuju nol, respon dikatakan keluar dari fase, perpindahan massa berlawanan arah dengan gaya. Untuk Ω >> , maka amplitudo getaran sangat kecil dan dalam banyak kasus sistem dipertimbangkan kembali seperti stasioner. Dari keempat kasus di atas maka kita bisa menggambarkan secara lebih jelas seperti Gambar 4.3.

98

β 3

2

1

Ω/ωn 1

3

2

Gambar 4.3 Hubungan pembesaran dengan perbandingan frekuensi gaya pengganggu dan frekuensi diri Contoh soal 4.1 Suatu sistem pegas-massa seperti pada Gambar 4.4. Misalkan ujung atas pegas dikenakan sebuah gerak harmonik sederhana = sin Ω dalam arah vertikal. Tentukan persamaan matematika untuk keadaan tunak. Jawab:

xg, ̈ k

W x

Gambar 4.4 Sistem pegas dan masa dengan gaya eksistasi

99

Jika kita ukur perpindahan x pada berat W dari posisi kesetimbangan pada = 0, perpanjangan dari pegas pada saat t adalah x+ , dan gaya dalam pegas yang sesuai adalah k (x ) + W. Jadi persamaan gerak benda menjadi ̈ =W - [

(

)]

(E.1)

̈ + kx = k

(E.2)

̈ +kx =kd

(E.3)

Jadi persamaan gerak menjadi ̈ + kx = q

(E.4)

di mana q=k d Persamaan (E.4) secara matematika sama seperti persamaan (4.1) yang mana solusi keadaan tunak (steady state) adalah x=(

)

(

)

(E.5)

karena q = k d, maka x = (d sinΩt )

(

)

(E.6)

Contoh soal 4.2. Sebuah roda berputar sepanjang permukaan dengan kecepatan horizontal konstan sebesar v seperti Gambar 4.5 .Tentukan amplitudo getaran paksa vertikal dari berat W yang digabungkan ke sumbu

100

roda dengan sebuah pegas. Asumsikan bahwa defleksi statik dari pegas karena aksi dari berat W adalah = 3.86 in, v = 60 ft/s, dan permukaan didefinisikan oleh persamaan , di mana d = 1 in dan l = 36 in. Jawab : =

=

= 100 rad/

= 10 rad/s Bila v = konstan maka x = v t y = d sin

y W

v d x l

Gambar 4.5 Roda berputar di atas permukaan yang bergelombang

101

Getaran paksa pada beban W terjadi seperti kasus pada contoh 4.1, sehingga didapat x = (d sin

Ω=

)(

=

)

di mana d =1 in

=

Jadi amplitudo getaran paksa =

= 0.026 in

4.1.2

Transient State Force Vibrations Kita perhatikan persamaan (4.12) yang merupakan respon keseluruan dari sistem. x= x=

t+

sin

t+

(

)

in

(4.12)

Kenyataannya x merupakan superposisi dari dua buah gerak harmonik yang memiliki amplitudo dan frekuensi berbeda, yang menghasilkan gerakan yang sangat kompleks. Namun demikian kita bisa mendekati kasus ini dengan keadaan tunak, hanya saja kita harus hati-hati dalam menentukan periodenya lihat Gambar 4.6. Untuk kondisi awal t = 0 maka x(t) = dan ̇ (t) = ̇ didapat dan

=

Sehingga didapat

102

̇

-

(

)

(4.13)

x=

cos

̇

sin

t+

(

)

*

+

(4.14)

= ̇ = 0, persamaan (4.14 ) menjadi

Jika x=

t+

(

)

*

+

(4.15)

x

ω t π

2πω /

Gambar 4.6 Gerakan kompleks yang didekati dengan keadaan tunak Persamaan 4.15 menunjukkan respon untuk fungsi gaya F0 sin Ωt, dan terdiri dari dua bagian. Bagian pertama adalah respon keadaan tunak proposional dengan sin Ωt, sedangkan bagian kedua adalah getaran bebas proposional dengan sin ωnt. Jumlahnya bukan merupakan gerak harmonik. Sekarang kita tinjau persamaan (4.15) untuk kasus Ω ≈ n. Kita gunakan notasi

103

(4.16) Persamaan (4.15) kita tulis dalam bentuk

(

)

(

)

(4.17)

Persamaan (4.16) dapat ditulis dalam bentuk x=

(

)

(

*

)

(

)+ (4.18)

Kita kembangkan identitas trigonometri dan digunakan notasi pada persamaan (4.16), sehingga didapat (

*

x=-

)

(

(

)+

)

(4.19) (4.20)

Dalam bentuk sudut fase persamaan (4.20) dapat ditulis x=-

)

Acos (

(4.21)

Di mana A = √( = arc tan ⌈

) ⌉

Bila persamaan (4.20) digambar akan dihasilkan seperti pada Gambar 4.7. Jadi bilamana Ω = n, amplitudo getaran bertambah secara

104

tak terhingga sesuai dengan waktu. Pada Gambar 4.7 terlihat bahwa secara teori sistem mencapai amplitudo tak terhingga pada saat resonansi, tetapi untuk mencapai hal tersebut membutuhkan waktu tak terhingga. Jadi dalam kasus sebuah mesin apabila didesain beroperasi di atas resonansi, tidak terlalu sulit bila dicoba melewati kondisi resonansi tersebut asalkan kondisi ini dibuat dengan cepat. Namun demikian percobaan menunjukkan bahwa jika suatu sistem bergetar diperbolehkan mencapai keadaan tunak sebelum resonansi, selanjutnya menjadi sulit mempercepat mesin melewati kondisi resonansi tersebut. Daya tambahan diperlukan untuk keperluan ini dengan menambah amplitudo getaran dari pada kecepatan mesin. Contoh dalam kasus ini adalah pergantian gigi pada sepeda motor atau mobil.

t

(ω

ω

ω )

Gambar 4.7 Getaran resonansi (

)

4.2

Sistem Getaran Teredam dengan Gaya Eksitasi Harmonik Jika fungsi gaya eksitasi diberikan oleh F( ) = F sin Ωt, maka persamaan getarannya menjadi

105

̈

( ̇

Solusi partikulir pada persamaan ( harmonik, kita asumsikan dalam bentuk ()

(

)

) juga merupakan persamaan

)

(

)

di mana X dan ϕ adalah amplitudo dan sudut fase dari respon yang bisa ) ke persamaan ( ) dihitung. Dengan memasukkan persamaan ( diperoleh [(

)

(

)

(

)]

(

)

Dalam persamaan trigonometri ada hubungan (

)

(

)

(4.25)

Persamaan (4.25) dimasukkan ke dalam persamaan (4.24) dan dengan menyamakan koefisien cos Ωt dan sin Ωt pada kedua sisi, diperoleh X [(

)

]

X[(

)

]

Solusi persamaan ( X = [(

)

]

(4.26)

) (4.27)

dan *

106

+

(4.28)

Bila kita masukan persamaan (4.27) dan (4.28) ke persamaan (4.23) akan diperoleh persamaan solusi partikul, yaitu (t)= [(

)

]

cos(

(

))

(4.29)

Solusi partikulir di atas bisa digambarkan bersama-sama dengan gaya eksitasi seperti pada Gambar 4.8.

F(t), Xp(t) F(t)

Xp(t)

t

O

2 2

Gambar 4.8 Solusi partikulir dan gaya eksitasi 4.3

Resume Getaran tereksitasi akan terjadi gaya paksa pada sistem yang bergetar. Analisis getaran ini harus diselesaikan dengan penyelesaian homogen dan partikulir. Bila kita tertarik untuk menganalisis respon yang

107

tergantung pada gaya pengganggu saja, maka disebut keadaan tunak dari getaran paksa (steady state forced vibration). Jika kita tertarik untuk menganalisis keseluruhan, maka disebut keadaan transien (transient state). Analisis yang kita pilih tergantung jenis gaya eksitasi.

108

SOAL-SOAL BAB I 1.1 Suatu gerak harmonik mempunyai frekuensi 10 hz dan kecepatan maksimal 4.57 m/s. Tentukan amplitudo, perioda dan percepatan maksimumnya. 1.2 Motor bolak-balik dengan pondasi terlihat seperti pada Gambar S.1. Gaya dan momen bekerja saat motor dijalankan. Gaya dan momen tersebut diterima oleh frame dan pondasi. Elastis pad ditempatkan di antara motor dan pondasi mereduksi getaran transmisi. Buat modal matematika untuk menyelesaikan persoalan getaran.

Gambar S.1 Motor bolak-balik pada pondasi 1.3 Tentukan konstanta kekuatan pegas torsional ekivalen dari sistem seperti terlihat pada Gambar S.2. Diasumsukan k1, k2, k3 dan k4 adalah kekuatan torsional sedangkan k5 dan k6 adalah kekakuan linier.

109

k4 θ

k5

k6 k3

k2 k1 Gambar S.2 1.4 Suatu mesin dengan massa m = 500 kg berada di atas beam baja yang mempunyai panjang l = 2 m. Beam mempunyai penampang empat persegi panjang dengan lebar = 1,2 m dan tebal 0,1 m serta modulus Young E = 2,06 x N/ . Untuk mengurangi defleksi vertikal diberikan pegas yang menyentuh bagian bawah tengah dari beam, seperti terlihat pada Gambar S.3. Hitung harga konstanta k pegas untuk mengurangi defleksi beam sampai 1/3 bila tanpa pegas. Asumsikan massa beam diabaikan.

m k

Gambar S.3

110

1.5 Hitung konstanta redaman ekivalen menurut kasus: ▪ Bila ketiga pegas disusun secara paralel ▪ Bila ketiga pegas disusun secara seri ▪ Bila ketiga pegas menempel pada batang seperti terlihat pada Gambar S.4 dan redaman ekivalen berada pada c .

l3 l2 l1

̇1

pivot c1

̇2 c2

̇3 c3

Gambar S.4

111

BAB II 2.1 Suatu massa 0.453 kg digantungkan pada suatu pegas dan menyebabkan perpanjangan 7.87 mm. Tentukan frekuensi natural sistem ini. 2.2 Suatu sistem pegas-massa dengan konstanta pegas k dan massa m mempunyai frekuensi natural f . Jika pegas konstanta k dihubungkan secara seri dengan pegas pertama, frekuensi naturalnya akan turun menjadi 1/2f . Nyatakan k dalam k . 2.3 Suatu massa 4.53 kg diletakkan pada ujung bawah suatu pegas, sedangkan pada ujung atasnya tetap. Sistem ini bergetar dengan periode natural 0.45 sekon. Tentukan periode natural jika massa 2.26 kg dilekatkan di tengah-tengah pegas yang sama sedangkan ujungujung atas dan bawahnya tetap. 2.4 Suatu massa m kg yang dilekatkan pada ujung suatu pegas dengan konstanta pegas k memberikan frekuensi natural 94 cpm. Jika massa 0.453 kg ditambahkan pada m, frekuensi naturalnya turun menjadi 76.7 cpm. Tentukan massa m dan konstanta pegas k dalam N/m. 2.5 Hitung frekuensi natural untuk sistem getaran massa-pegas pada papan yang miring seperti pada Gambar S.5. k1

m k2 θ

Gambar S.5

112

2.6 Benda dengan berat W ditahan oleh tiga puli dan sebuah pegas yang mempunyai kekakuan k, seperti terlihat pada Gambar S.6. Gesekan dan massa puli diabaikan. Tentukan frekuensi natural benda pada simpangan yang kecil.

k

W Gambar S.6

2.7 Skema diagram dari governor sentrifugal terlihat seperti pada Gambar S.7. Panjang setiap tali adalah l dan massa setiap bola adalah m serta panjang bebas pegas adalah h. Jika kecepatan poros adalah ω, tentukan posisi kesetimbangan dan frekuensi natural pada simpangan kecil.

113

Gambar S.7.

114

BAB III 3.1 Sistem spring-mass-damper, m = 50 kg dan k = 5000 N/m. Carilah a) Konstanta redaman kritis b) Frekuensi natural teredam c) Pengurangan logaritmik. 3.2 Pendulum torsional mempunyai frekuensi natural 200 siklus/menit ketika digetarkan pada daerah vakum. Momen inersia massa disc adalah 0,2 kg m . Jika digetarkan pada oli, frekuensi natural menjadi 180 siklus/menit. Tentukan konstanta redaman, jika disc pada oli diberikan simpangan awal 2⁰. 3.3 Bodi bergetar dengan redaman viskos terjadi 5 osilasi per sekon dan pada 50 siklus amplitudo menurun 10 persen. Tentukan pengurangan logaritmik dan rasio redaman. 3.4 Siklus redaman viskos mempunyai kekakuan 5000 N/m, konstanta redaman kritis 0.2 N s/mm dan pengurangan logaritmik 2. Jika sistem diberi kecepatan awal 1 m/s. Hitunglah simpangan maksimum pada sistem. 3.5 Sistem seperti terlihat pada Gambar S.8, mempunyai frekuensi natural 5 Hz. Data sistem m = 10 kg, J = 5 kg m², r = 10 cm, r = 25 cm. Ketika sistem diberi gangguan dengan simpangan awal, amplitudo getaran bebas berkurang 80% pada siklus ke-10. Tentukan harga k dan c. 3.6 Massa 20 kg bergetar sliding 4 kali pada permukaan kasar karena aksi dari pegas yang mempunyai kekakuan 10 N/mm. Setelah 4 siklus, amplitudonya menjadi 100 mm. Tentukan koefisien gesekan rata-rata antara dua permukaan jika amplitudo awal 150 mm. Tentukan juga waktu yang diperlukan untuk 4 siklus.

115

x(t)

k

m r1

r2

O

c

Gambar S.8.

116

BAB IV 4.1 Sistem pegas – massa 100 N dan pegas dengan kekakuan 2000 N/m. Massa diberi gaya paksa F(t) = 25 cos t N. Tentukan amplitudo getaran paksa pada a) 0.25 siklus b) 2.5 siklus dan c) 5.75 siklus. 4.2 Sebuah massa digantungkan pada pegas dengan kekakuan 4000 N/m dan dikenai gaya harmonik dengan amplitudo 100 N dan frekwensi 5 Hz. Amplitudo getaran paksa massa adalah 20 mm. Tentukan harga m. 4.3 Sistem massa pegas dengan massa m = 10 kg dan k = 5000 N/m diberikan gaya harmonik dengan amplitudo 250 N dan frekuensi . Jika amplitudo maksimum massa adalah 100 mm. Hitung harga . 4.4 Pada Gambar S.9 diberikan gaya periodik F(t) = F0 cos steady state response dari massa m.

t. Tentukan

k

c

m x Gambar S.9.

117

118

DAFTAR PUSTAKA 1. 2. 3. 4.

Meirovitch, L. (1995), Elements of Vibration Analysis, McGraw-Hill Kogakusha, Ltd, Tokyo. Morse, M. (1984), Vibration and Sound, McGraw Hill Book Company, Inc, New York. Rao. S., S. (1995), Mechanical Vibration, Eddison-Wesley Publishing Company. Thompson, W.T., (1981), Theory of Vibration with Application, NewYork-Prentice Hall, New York.

119

120

TENTANG PENULIS Dr. Eng. Didik Nurhadiyanto, ST., MT. lahir di Boyolali 4 Juni 1971. Setelah menamatkan pendidikan strata satu di Jurusan Teknik Mesin Undip pada tahun 1996 kemudian bekerja di Jurusan Pendidikan Teknik Mesin FPTK IKIP Yogyakarta sekarang menjadi Jurusan Pendidikan Teknik Mesin FT Universitas Negeri Yogyakarta sampai saat ini. Pada tahun 1998 melanjutkan pendidikan magister di Jurusan Teknik Mesin ITS lulus pada tahun 2001. Pada tahun 2011 melanjutkan pendidikan doktoral di Yamaguchi University Jepang lulus pada tahun 2014. Penulis aktif dalam penelitian di bidang Teknik Mesin. Di samping itu penulis banyak menulis di jurnal, baik nasional maupun internasional. Beberapa kali penulis juga mengikuti seminar nasional dan internasional sebagai pemakalah.

121