MAKALAH
FONON I : GETARAN KRISTAL Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Pendahuluan Fisika Zat Padat
Disusun Oleh:
Nisa Isma Khaerani
( 3215096525 )
Dio Sudiarto
( 3215096529 )
Arif Setiyanto
( 3215096537 )
Eka Syita Purnamadewi ( 3215096538 ) Muhamad Ihsan
( 3215096543 )
JURUSAN FISIKA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA 2012
GETARAN KRISTAL YANG BERBASIS MONOATOMIK
Kasus paling sederhana adalah kasus yang melibatkan getaran kristal akibat adanya gelombang elastis yang merambat dalam arah [100], [110], dan [111], yamg terdapat pada kristal kubik. Ini adalah arah dari tepi kubus, diagonal permukaan, dan tubuh diagonal. Ketika sebuah gelombang merambat sepanjang salah satu dari arah-arah itu, seluruh bidang atom bergerak dalam fase dengan perpindahan baik paralel atau tegak lurus terhadap arah vektor gelombang tersebut. Gambarkan dengan satu koordinat us perpindahan bidang s dari posisi keseimbangannya. Masalahnya adalah dari satu dimensi. Untuk setiap vektor gelombang terdapat 3 model getaran, yaitu 1 polarisasi longitudinal dan 2 polarisasi transversal. Asumsikan bahwa respon elastis kristal adalah fungsi linier dari gaya. Hal itu setara dengan asumsi bahwa energi elastis adalah fungsi kuadrat dari perpindahan relatif dua titik dalam kristal. Istilah energi itu adalah linier akan lenyap dalam keseimbangan. Kubik dan bangun lainnya yang lebih rumit dapat diabaikan untuk deformasi elastis yang cukup kecil, tetapi berperan sama pada suhu tinggi. Asumsikan bahwa gaya pada bidang s disebabkan oleh perpindahan dari bidang s + p yang sebanding dengan perbedaan us+p - us dari perpindahannya. Yang dipertimbangkan hanya interaksi tetangga terdekat, sehingga p = ±1. Gaya total pada s berasal dari bidang s ± 1. (
)
(
) (1)
Formulasi ini linear pada perpindahan dan merupakan bentuk hukum Hooke. Konstanta C adalah konstanta gaya antara bidang tetangga terdekat dan akan berbeda untuk gelombang longitudinal dan transversal. Hal ini mudah untuk menyimpulkan bahwa C didefinisikan untuk satu bidang atom, sehingga Fs adalah gaya dari satu atom pada bidang s.
1|FONON
I : Getaran Kristal
Persamaan gerak dari bidang s adalah
(
) (2)
dimana M adalah massa atom. Cari solusi dengan semua perpindahan memiliki waktu ketergantungan exp(-iωt). Kemudian
, dan
persamaan (2) menjadi (
) (3)
Ini adalah persamaan berbeda dalam perpindahan u dan mempunyai solusi gelombang berjalan dalam bentuk: (
)
(
) (4)
dimana a adalah jarak antara bidang dan K yang merupakan vektor gelombang tersebut. Nilai yang digunakan untuk a akan tergantung pada arah K. Dengan persamaan (4), persamaan (3) menjadi (
)
{
[(
)
]
[(
)
]
(
)} (5)
(
Dengan menghilangkan [
(
) dari kedua sisi, yang tersisa adalah )
(
)
] (6)
2|FONON
I : Getaran Kristal
Dengan
(
hasil
menghubungkan
dan
)
(
),
dispersi
yang
adalah (
⁄ )(
) (7)
Batas dari zona Brillouin pertama terletak di K = ± π/a. Dari persamaan (7) kemiringan ω terhadap K adalah nol pada batas zona. ⁄
(
) (8)
Pada K = ± π/a, nilai
(
)
. Signifikansi khusus vektor
gelombang fonon yang terletak pada batas zona dikembangkan pada persamaan (12) di bawah ini. Dengan identitas trigonometri, persamaan (7) dapat ditulis sebagai (
⁄ )
(
⁄ )
|
| (9)
Titik
terhadap
diberikan pada Gambar 4.
3|FONON
I : Getaran Kristal
Zona Brillouin Pertama
Kisaran K hanya berlaku untuk gelombang elastis yang ada di zona Brillouin pertama. Dari persamaan (4) rasio perpindahan dua bidang berurutan diberikan oleh [( (
) ] )
(
) (10)
Kisaran dari –
ke
untuk fase
mencakup semua nilai independen
dari eksponensial. Fase relatif 1,2π secara fisik identik dengan fase relatif -0,8π, dan fase relatif dari 4,2π identik dengan 0,2π . Nilai-nilai positif dan negatif K diperlukan karena gelombang dapat merambat ke kanan atau kiri. Kisaran nilai independen K ditentukan oleh
Kisaran ini adalah zona Brillouin pertama dari kisi linear. Nilai-nilai ekstrimnya adalah Kmax = ± π/α. Ada perbedaan nyata di sini dari sebuah kontinum elastis: dalam batas kontinum a→0 dan Kmaks →±∞. Nilai K di luar zona Brillouin pertama (Gambar 5) hanya menghasilkan gerakan kisi yang dijelaskan oleh nilai-nilai dalam batas ±π/α.
4|FONON
I : Getaran Kristal
Nilai K di luar batas-batas ini dapat diberikan dengan mengurangi beberapa integral dari 2π/a yang akan memberikan vektor gelombang didalam batas-batas ini. Misalkan K terletak di luar zona pertama, tapi vektor gelombang terkait K' didefinisikan oleh K' ≡ K - 2πn/a
yang terletak dalam zona pertama,
dimana n adalah integer. Kemudian rentang perpindahan pada persamaan (10) menjadi ⁄
(
)
(
)
[(
)]
(
) (11)
karena exp(i2πn) = 1. Maka perpindahan dapat dijelaskan oleh sebuah vektor gelombang dalam zona pertama. 2πn/a adalah vektor kisi resiprokal. Jadi dengan pengurangan vektor kisi yang sesuai timbal balik dari K, selalu didapatkan vektor gelombang yang setara dalam zona pertama. Pada batas-batas Kmax = ±π/α dari zona Brillouin solusi us = u exp (isKa) tidak mewakili suatu gelombang berjalan, tetapi gelombang berdiri. Pada batas-batas zona sKmaxa = ±sπ, dimana (
)
(
) (12)
5|FONON
I : Getaran Kristal
Ini adalah gelombang berdiri: atom alternatif berosilasi dalam fase yang berlawanan, karena
menurut perkiraan s adalah bilangan bulat genap
atau bilangan bulat ganjil. Gelombang itu bergerak tidak ke kanan atau ke kiri. Situasi ini sama dengan refleksi Bragg dari sinar x: ketika kondisi Bragg terpenuhi, gelombang bejalan tidak dapat merambat di kisi, tetapi melalui refleksi berturut-turut bolak-balik, gelombang berdiri sudah diatur. Nilai kritis Kmax = ± π/α disini memenuhi kondisi Bragg ⁄
dengan
, jadi
:
. Dengan sinar x
memungkinkan untuk memiliki n sama dengan bilangan bulat lain selain dari persamaan karena amplitudo dari gelombang elektromagnetik memiliki arti dalam ruang antara atom-atom, tapi perpindahan amplitudo dari gelombang elastis biasanya memiliki arti hanya atom pada diri mereka sendiri.
Kecepatan Kelompok
Kecepatan transmisi paket gelombang adalah kecepatan kelompok, diberikan sebagai berikut. ⁄
( ) (13)
gradien frekuensi sehubungan dengan K. Ini adalah kecepatan rambat energi dalam medium. Dengan hubungan dispersi tertentu pada persamaan (9), kecepatan kelompok (Gambar 6) adalah (
⁄ )
⁄
(14)
6|FONON
I : Getaran Kristal
Ini adalah nol di tepi zona di mana K = π/a. Gelombang disini adalah gelombang berdiri, seperti pada persamaan (12), dengan harapan nol adalah kecepatan transmisi bersih untuk gelombang berdiri.
Batas Panjang Gelombang
Ketika
,
(
)
diperluas, sehingga hubungan
dispersi pada persamaan (7) menjadi ( ⁄ ) (15) Hasilnya menunjukkan bahwa frekuensi berbanding lurus dengan vektor gelombang dalam batas gelombang panjang setara dengan pernyataan bahwa kecepatan suara tidak tergantung frekuensi dalam batas ini. Jadi
⁄ , persis
seperti dalam teori kontinum gelombang elastis―dalam kontinum batas sehingga
.
7|FONON
I : Getaran Kristal
Penurunan Konstanta Gaya Dari Percobaan
Dalam logam gaya efektif mungkin cukup memiliki rentang yang panjang, dibawa dari ion ke ion melalui konduksi kumpulan elektron. Interaksi antara bidang atom dipisahkan oleh 20 bidang. Generalisasi hubungan dispersi pada persamaan (7) untuk p bidang terdekat dengan mudah ditemukan ⁄
(
∑
)
(16a) Pecahkan konstanta gaya interplanar Cp dengan mengalikan kedua sisi dengan
, dimana r adalah integer, dan mengintegrasikan lebih dari
kisaran nilai K independen. ⁄
∫
⁄
∑
(
∫
⁄
)
⁄
(16b) Integral hilang kecuali untuk p = r. Dengan demikian ⁄
∫ ⁄
(17) memberikan gaya konstan pada rentang
, untuk struktur dengan dasar
monoatomik.
8|FONON
I : Getaran Kristal
DUA ATOM DALAM BASIS PRIMITIF
Penyebaran fonon untuk kristal sederhana diatomik atau lebih akan memberikan arah penyebaran yang berbeda dibanding kristal monoatomik. Tiap polarisasi akan memberikan arah hubungan penyebaran ω terhadap k dengan pola dua cabang : akustik dan optikal. Sehingga akan diperoleh LA dan TA (longitudinal acoustic dan transversal acoustic),serta LO dan TO (longitudinal optik dan tranversal optik)
Sel sederhana dengan P atom mempunyai 3P cabang dengan 3 cabang acoustic 3P-3 cabang optikal, jumlah cabang selanjutnya disebut derajat kebebasan. Untuk kristal kubus diatomik dengan masa M1 dan M2 yang berbeda. Persamaan gerak dengan anggapan tiap bidang berinteraksi hanya dengan atom tetangga terdekat dan konstanta gaya sama, diperoleh: (
)
(
) (18)
9|FONON
I : Getaran Kristal
Persamaan di atas dapat diselesaikan dalam bentuk gelombang berjalan yang amplitudo keduanya berskala u dan v : (
)
(
)
(
)
(
) (19)
Dengan substitusi akan diperoleh : [
( [
)]
(
)] (20)
Persamaan di atas diselesaikan jika koefisien determinan yang tidak diketahui u dan v direduksi sehingga akan diperoleh: (
)
(
) (21)
Jika Ka << 1 dan Ka = ±π pada daerah batas, sehingga cos Ka ≈ 1 - 1/2 K2a2 akan diperoleh persamaan : (
(
)
(
)
) (22)
10 | F O N O N
I : Getaran Kristal
KUANTISASI GELOMBANG ELASTIK
Energi dari getaran kisi terkuantisasi. Kuantum energi disebut fonon dalam analogi dengan foton dari gelombang elektromagnetic. gelombang elastis dalam kristal terdiri dari fonon. getaran termal dalam kristal termal fonon bersemangat, seperti foton termal bersemangat-tubuh hitam radiasi elektromagnetik dalam sebuah rongga. Frekuensi sudut ω dari energi mode elastis adalah (
) (23)
ketika mode sangat tertarik untuk bilangan kuantum n, yaitu ketika mode ditempati oleh fonon n. 1/2 ħω panjang adalah energi titik nol dari mode. Hal ini terjadi untuk kedua fonon dan foton sebagai konsekuensi dari kesetaraan mereka untuk frekuensi osilator harmonik kuantum, dimana nilai eigen energi juga sebesar (n +1/2) ħω. Kita dapat dengan mudah menghitung rata – rata amplitudo Fonon. Dengan mempertimbangkan modus gelombang berdiri dari amplitudo.
(24) di sini u adalah jarak dari elemen volume dari posisi kesetimbangan pada x dalam kristal. Energi dalam mode ini, seperti halnya dalam osilator harmonik, adalah setengah energi kinetik dan energi potensial setengah, ketika dirata – ratakan dari waktu ke waktu . Kepadatan energi kinetik adalah
(
⁄ ) , di mana ρ adalah
massa jenis. Dalam sebuah kristal volume V, volume integral dari energi kinetik adalah
11 | F O N O N
.
I : Getaran Kristal
Energi kinetik rata-rata waktu (
) (25)
dan kuadrat amplitudo adalah (
) (26)
Apa tanda ω? persamaan gerak seperti persamaan (2) adalah persamaan untuk ω2, dan jika ini adalah benar maka ω dapat memiliki tanda, + atau -. Tapi energi Fonon harus positif, sehingga sangat konvensional dan cocok untuk melihat ω sebagai positif. (Untuk gelombang polarisasi sirkuler tanda keduanya sering digunakan, untuk membedakan satu rasa rotasi dari yang lain). Jika struktur kristal tidak stabil, atau menjadi tidak stabil melalui ketergantungan suhu yang tidak biasa dan gayanya konstan, maka ω2 akan negatif dan ω akan imajiner. Sebuah mode dengan imajiner ω akan menjadi tidak stabil, setidaknya jika bagian nyata dari ω adalah negatif. Kristal ini akan mengubah secara spontan untuk struktur yang lebih stabil. Sebuah modus optik dengan ω dekat ke nol disebut mode lembut, dan ini sering terlibat dalam fase transisi, seperti pada kristal feroelektrik.
12 | F O N O N
I : Getaran Kristal
MOMENTUM FONON
Sebuah fonon dari vektor gelombang K akan berinteraksi dengan toton neutron, dan seolah-olah memiliki
. Bagaimanapun, fonon tidak membawa
momentum fisik. Alasan bahwa fonon dalam satu kisi tidak membawa momentum adalah bahwa koordinat fonon melibatkan koordinat relatif dari atom. Sehingga dalam molekul H2 koordinat getaran molekul terletak di r1 - r2, yang merupakan koordinat relatif dan tidak membawa momentum linier, koordinat pusat massa ½ (r1 + r2) sesuai dengan mode K = 0 dan dapat membawa momentum linier. Momentum fisik dari kristal adalah ( ) (27) ketika kristal membawa Fonon K,
(
(
)∑
( )[
)
[
( (
)] )] (28)
dimana s berjalan di atas N atom. Digunakanlah seri ( (
∑
) ) (29)
Telah ditemukan bahwa nilai (
)
(
)
dan momentum kristal bernilai nol. (
13 | F O N O N
, dimana r adalah integer. Sehingga
)∑
(
)
I : Getaran Kristal
(30) Semua sama, untuk tujuan praktik fonon bertindak seolah-olah momentum adalah
, dimana hal ini disebut momentum kristal. Dalam kristal terdapat
aturan seleksi vektor gelombang untuk memperbolehkan transisi antara keadaan kuantum. Hamburan elastis dari foton sinar x oleh kristal diatur oleh aturan seleksi vektor gelombang.
(31) Dimana G adalah vektor dalam kisi timbal balik, k adalah vektor gelombang dari foton yang diamati, dan k’ adalah vektor gelombang dari foton tersebar. Dalam proses refleksi kristal semua akan mengalami momentum
, tetapi ini jarang
dianggap secara eksplisit. Gelombang vektor total yang merupakan interaksi gelombang bersifat kekal dalam kisi periodik, dengan penambahan yang mungkin dari vektor kisi resiprokal G. Momentum keseluruhan selalu dijaga. Jika hamburan foton bersifat inelastis, dengan membuat fonon dari vektor gelombang K, maka aturan seleksi vektor gelombang menjadi
(32) Jika foton K yang diserap dalam proses, didapatkan persamaan
(33)
14 | F O N O N
I : Getaran Kristal
PENGHAMBURAN FONON TAK-ELASTIK
Hubungan dispersi fonon sering dijelaskan dengan hamburan tak elastik dari neutron dengan emisi atau absorpsi proton. Lebar sudut dari berkas neutron yang tersebar memberi informasi tentang waktu hidup fonon. Sebuah neutron berada pada kisi kristal akibat interaksi inti atom. Hamburan kinematik neutron pada kisi kristal menggambarkan aturan seleksi vektor gelombang secara umum.
(34) Dengan persyaratan konservasi energi. K merupakan vektor gelombang dari foton yang dilepas (+) atau diserap (-) dalam suatu proses, dan G adalah vektor kisi resiprokal. Untuk fonon, G sama seperti k, berada di zona Brillouin pertama. Energi kinetik interaksi neutron adalah neutron. Momentum p diberikan oleh
, dimana
adalah massa
, dimana k adalah vektor gelombang dari
neutron. Energi kinetik dari interaksi neutron adalah
. Jika k’ adalah
vektor gelombang dari hasil interaksi neutron, maka energinya adalah . Persamaan konservasi energi adalah
(35) dimana
adalah energi fonon yang dilepaskan (+) atau diserap (-) selama proses
berlangsung. Baru-baru ini konsep simetri cermin diperkenalkan dalam studi dinamika ion alkali-halida. Intinya, untuk mempertimbangkan bahwa kristal akan terbentuk jika tanda ion pada A+ B- terbalik.
15 | F O N O N
I : Getaran Kristal
