BAB IV VIBRASI KRISTAL

BAB IV

VIBRASI KRISTAL

MATERI : Getaran (Vibrasi) Kristal • 4.1.persamaan dispersi untuk kristal berbasis satu atom. • 4.2.kecepatan kelompok (group velocity) • 4.3 persamaan dispersi untuk kristal berbasis dua atom. • 4.4.cabang optik • 4.5.cabang akustik.

INDIKATOR • menentukan persamaan dispersi untuk kristal berbasis satu atom. • menghitung kecepatan kelompok untuk sebuah gelombang. • menentukan frekuensi/energi untuk cabang optik. • menentukan frekuensi /energi untuk cabang akustik.

TIK : Menentukan frequensi Gelombang elastik dalam bentuk (sebagai fungsi ) Vektor gelombang (k) , Atau dapat dinyatakan : W = f (k )

VIBRASI KRISTAL Gelombang Elastik dan PHONON

MONOATOMI K

DIATOMIK

Getaran atom dapat disebabkan oleh : Zat padat yang menyerap energi panas. Gelombang yang merambat pada kristal.

Dari bab sebelumnya,telah dibahas bahwa kristal tersusun oleh atom atom yang diam pada posisi di titik kisi. Sesungguhnya atom-atom tersebut tidaklah diam, tetapi bergetar pada posisi kesetimbangnya.

Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar atom dalam kristal,dapat dibedakan menjadi : - pendekatan gelombang pendek - pendekatan gelombang panjang

Disebut pendekatan gelombang pendek apabila : • Apabila panjang gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang yang lebih kecil dari jarak antar atom. • Dalam keadaan ini gelombang akan “melihat” bahwa kristal merupakan susunan atom atom diskret, sehingga pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskret.

• Sebaliknya , bila diapakai gelombang yang panjang, gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom,kisi akan “nampak” malar (kontinue) sebagai suatu media perambatan gelombang. Oleh karena itu, pendekatan ini sering disebut sebagai pendekatan kisi malar.

GELOMBANG ELASTIK

Gelombang mekanik

regangan pada batang :

du  dx

.............................(1)

tegangan σ yang memenuhi hukum Hooke sebagai berikut: .....................................................(2)

E

menurut hukum kedua Newton, tegangan yang bekerja pada elemen batang dx menghasilkan gaya sebesar : ......................................(3) F  A { (x  dx) -  (x)}

 2u ……………………. (4)  Adx  A{ ( x  dx )   ( x )} 2 t   dx x  E dx dx   du   E  dx x  dx   d 2u  ……………………. (5)  E  2 dx  dx 

Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (4), sehingga diperoleh :

 2u  2u Adx 2  E 2 dx.A t x 2  2u     u    2 2 x  E  t

……………………. (6)

Fonon Fonon adalah fenomena yang muncul dari kuantisasi sistem Fisika. Fonon dapat ditemui dalam sistem kristal. Jadi, Fonon adalah partikel yang terdapat dalam gelombang elastik. Contoh : nitrogen vacancy center (NV Center) in diamond, konfigurasi elektron nya membentuk energi level 'ground state' dan 'excited state' yang perbedaan energinya sebesar 637 Nm.

Persamaan Gerak

MONOATOMIK

Grafik

Kecepatan Group

GETARAN KRISTAL YANG BERBASIS SATU ATOM (MONOATOMIK) Pembahasan ini kita mulai dengan kasus yang paling sederhana yaitu kasus yang melibatkan getaran kristal akibat adanya gelombang elastis yang merambat dalam arah 100;110;111 [1 1 1]

[ 1 1 0] [1 0 0]

Untuk setiap vektor gelombang   terdapat 3 model getaran, yaitu :1 buah longitudinal 2 buah transversal.  k

Y

ARAH RAMBAT (SB.X) US (ARAH SIMPANGAN)

X Z

1 Buah Gelombang Longitudinal Y Simpangan

X

Z

Arah Rambat

Simpangan

2 Buah Gelombang Transversal

s

Jadi : Fs  c U s 1  U s   c U s 1  U s 

Fs  c U s 1  U s-1 - 2Us 

.............. (1)

Persamaan gerak bidang kristal ke s adalah :

Hukum Newton :  F  ma

Hukum Hooke: F  c.x Dari kedua

persamaan

di atas diperoleh

m a  c.  x d 2 Us m 2  c(U s 1  U s-1 - 2Us) dt

..............(2)

:

Solusi dari persamaan gerak ini tergantung pada waktu (t), dinyatakan oleh : U  e  i t s Karena persamaan (2) merupakan turunan hanya terhadap waktu, maka : d2U

2 d s  dt 2 dt 2

 e  i t    ω 2 e - i t  

Jadi : d 2 Us 2   ω Us 2 dt

US

Sehingga, persamaan (2) dapat ditulis :



 ω2 mU  c U U  2U s s 1 s 1 s



Solusi : U  e  i t dapat ditulis sebagai berikut : s

2π - i t U  e- it  e- i2πt  e λ s

 ikx  iksa e U e s

Secara lengkap, Us dapat ditulis sebagai berikut :

Us  Ue  iksa Karena itu :

U U

s 1

 U.e

 ik(s  1)a

 U.e  iksa .e  ika

 U e  ika .......... .......... .......... .......... ... ( 5 ) s 1 s

Persamaan (5) dan (3) dapat ditulis :  ω 2 mU

 c (U e ika  U e  ika  2U ) s s s s

 ω 2 m  c (e ika  e  ika  2) .......... ......... (6)

Karena :

e  i θ  cos θ  i sin θ maka

: e ika  e  ika  2cos ka

Sehingga persamaan (6) menjadi : ω2m  c 2 cos ka  2 ω2 

ω

2c 1  cos ka  m

2c 1  cos ka  m

1

2

…………(7)

Solusi persamaan (7) menjadi: 2c  1  2 2 ω   2sin ka  m 2  ω  2

c m

sin

1 ka 2 A

…………..(8)

Persamaan (8)

Persamaan dispersi

Menyatakan hubungan antara frekuensi sudut ω terhadap vektor gelombang k 

ω  f (k )

Persamaan (8) merupakan Persamaan Dispersi. Persamaan (8) menyatakan hubungan antara frekuensi sudut (ω) terhadap vektor gelombang (k). ω = f(k) Bila dinyatakan dengan grafik

Daerah Brillovin I

Sin π/2 = sin 90o → max = 1 /2 Sin = sin 45o = ½ √2 2 /3 = sin 30o = ½ Sin 2

Bila dinyatakan dengan grafik, maka:

.

KECEPATAN GROUP /KECEPATAN KELOMPOK (Vg)

dω v  g dk

Gradien atau arah

1  d c  2 sin ka  dk  m 2  ka c a 2 cos 2 m2

………………(9)

Pada saat ka = 

2π a  π  λ  2a λ

π c v a cos  0 g m 2 Artinya tidak ada gradien /kemiringan

π Pada saat ka  2

2π π a   λ  4a λ 2

c c π v  a cos  0,74a g m m 4 Artinya ada gradien /kemiringan

Persamaan Gerak

diATOMIK

Grafik

Kecepatan Group

VIBRASI KRISTAL DIATOMIK

Persamaan gerak : F = m.a = c. Δx Untuk m1 → m1 m1

d 2U s = c {( Vs- Us)+( Vs-1-Us) dt 2 d 2U s = c { V + V - 2 U }.........(1) s s-1 s dt 2

Untuk d 2U s = c {( Us+1- Vs)+( Us-Vs) m2 → m2 2 m2

dt d 2U s = c { U s+1 + Us - 2 Vs}.........(2) 2 dt

PERSAMAAN GERAK a

M2

M1

M1

d2U



M2

 

s c V U  V U Untuk m 1  m 1 s s s  1 s dt 2

m

Untuk

m

m

d2U

1

2

dt

 m

d2V 2

dt 2



s cV V  2U s s 1 s  2 d2V 2

dt 2



s cU



s  c U

s 1

s 1

V

 U  2V s s



s



.................... (1)

 U s  V s 

 ............................ (2)

Solusinya : U

s

Ue

i ksa  ωt  

 

dU dt

 s  U i(- ω( e i  ksa  ωt

d2U dt

V Ve s U

s 1

V s 1

 s   U ω 2 e i  ksa  ωt

 

 

i  ksa  ωt 

i  ksa  ωt   ika Ue e

.............. (3)

i  ksa  ωt   ika Ve e

Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh : i ksa ωt  i ksa ωt i ksa ωt i ksa ωt  2  m Uω e  cVe  Ve  2Ue  1    m ω 2 U  cV 1  e - ika   2cU .............................. (4) 1    m ω 2 V  cU 1  e ika  - 2cV ................................... (5) 2  

Determinan dari persamaan (4) dan (5) 2c  m1ω 2

(c)(1  eika ) U

(c)(1  eika )

2c-m2ω2

2c  m1ω 2

(c)(1  e ika )

(c)(1  e ika )

2c-m2ω2

V

0

=0

{(2c  m1ω 2 )(2c  m 2 ω 2 )} - {(  c)(1  e ika ) (  c)(1  e  ika )}  0 (m1m2)ω4-{2c(m1+m2)}ω2-c2(2+ eika+ e-ika)=0 (m1m2)ω4-{2c(m1+m2)}ω2+2c2(1- cos ka)=0 Rumus abc: 2 2 2c(m m ) {2c(m m )} 4(m m )(2c )(1  cos ka)     1 2 1 2 1 2 2 (12) = 2(m1 m 2 )

Persamaan cabang optik (gelombang elektromagnetik)

(ω1

)2

1 1 2 4 1 1 2 ka )  sin ( ) =c(  )+c (  2 m1 m2 m1 m2 m1 m2

Persamaan cabang akustik (bunyi)

(ω1

)2

1 1 2 4 1 1 2 ka )  sin ( ) =c(  )-c (  2 m1 m2 m1 m2 m1 m2

2c m1

Bila m1‹ m2 →

›

2c m2

ωop={2c()}1/2

Cabang optik √(2c/m1)

Daerah terlarang(tidak ada energi yang dilalui)

√(2c/m2) Cabang akustik

-π/2a

-π/a

2c Bila m1 › m2 → m1

‹

0

π/2a

2c m2

Yang terjadi adalah tidak ada celah terlarang yang artinya untuk setiap energi selalu menghasilkan getaran

π/a

Grafik ω terhadap k pada vibrasi kristal diatomik Cabang optik

ωop={2c()}1/2

√(2c/m1)

√(2c/m2)

Daerah terlarang(tidak ada energi yang dilalui)

Cabang akustik -π/a

-π/2a

0

π/2a

π/a

k

Bila m1 › m2 maka Yang terjadi adalah tidak ada celah terlarang yang artinya untuk setiap energi selalu menghasilkan getaran.

ω untuk vibrasi kristal diatomik 1 1 (1,2)  C   C  m1 m2  2

2

1 1 4 2  ka  sin      2  m1 m2  mm 1 2

Untuk cabang optik

 2       1 1 1 1 2 2   1  C     C      cos ka  m m m1 m2  mm mm  1 2  1 2 1 2    

1 2

   

Untuk cabang akustik

 2       1 1 1 1 2 2   cos ka 2  C    C       m m m1 m2  mm mm   1 2 1 2 1 2    

1 2

   

1 2

1 2

KECEPATAN GROUP Untuk cabang optik

1 Vg1  k

1

2  2 2     1 1   1 1  2 2 Vg1  C     C      cos ka   k   m1 m2   m1 m2  m1m2 m1m2      1 1  2  2 2    1 1 a 2 2   1 1    Vg1   C sin ka  C     C     cos ka   2mm mm   1 2 1 2 1 2   m1 m2   m1 m2  mm   1

1 2

 1 1   2 2      coska mm  m1 m2  mm  1 2 1 2 2

Untuk cabang akustik Vg 2 

2 k

 2      1 1  1  2 2  1 cos ka  Vg 2  C     C      m1 m2  m1 m2  m1m2 m1m2 k      

1

 2       1 1 1 1 2 2    C  m  m   C  m  m   m m  m m cos ka    1   2  2  1 2 1 2 aC sin ka    1 Vg 2    2 2m1m2     1  1 2 2     cos ka    m m m m m m   1  2  1 2 1 2

1

2

2

           

1

2

1

2

ANIMASI PHONON

LATIHAN SOAL : 1.Jelaskan persamaan dispersi untuk kristal berbasis satu dan dua atom. 2.Hitung kecepatan kelompok untuk sebuah gelombang pada kristal monoatomik dan diatomik. 3.Tentukan frekuensi/energi untuk cabang optik. 4.Tentukan frekuensi /energi untuk cabang akustik.

Latihan soal 1.Sebuah gelombang elastis merambat didalam krital monoatomik satu dimensi dengan konstanta kisi sebesar 2 A0. Tentukan : a. w (k) dan kecepatan group (vg ) pada energi : 1 eV dan 0,8.10-18 Joule b. Batas nilai k dan panjang gelombang ( λ )max yang membatasi daerah Brillouin-I c. Buatlah grafik sebagai fungsi (k), untuk kasus diatas.

Latihan soal : 2.a.Jelaskan tentang konsep vibrasi kristal, b.Jelaskan 4(empat) karakteristik dari kristal monoatomik c.Jelaskan 4(empat) karakteristik dari kristal di atomik. 3. Turunkan kecepatan group untuk kristal di atomik untuk cabang a. optik b. akustik

Test Unit I : Selasa : 7 April 2009 Materi : Bab I – III Test Unit II : Selasa 02 Juni 2009 Materi : Bab IV- VI Test Unit III : Di jadwal Tentamen Materi : Bab : VII - X

TUGAS TIAP KELOMPOK DIKUMPULKAN : PADA SAAT TU-I A. Print-Out Tugas Kelompok 1-3: Soal di Kittel (bab I) Buku b’wien ( Modul 1-2 ) Semua latihan soal ( selama kuliah ) B. Print-Out Tugas Kelompok 4-6: Soal di Kittel (bab 2) Buku b’wien ( Modul 3-4 ) Semua latihan soal ( selama kuliah ) C. Print-Out Tugas Kelompok 7-10: Soal di Kittel (bab 3) Buku b’wien ( Modul 5-6 ) Semua latihan soal ( selama kuliah )