MODUL KULIAH
REKAYASA GEMPA
Minggu ke 3 :
GETARAN BEBAS SDOF
Oleh Resmi Bestari Muin
PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL dan PERENCANAAN UNIVERSITAS MERCU BUANA 2010
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI
i
III GERAK BEBAS
1
III.1 Pendahuluan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
III.2 Getaran Bebas Tanpa Redaman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
III.2.1 Perioda Getar T, Frekuensi Sudut (ω) dan Frekuensi Natural (f)
3
III.3 Getaran Bebas Dengan Redaman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
III.3.1 Redaman Kritis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
III.3.2 Redaman Lemah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
III.3.3 Redaman Kuat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
III.4 Rangkuman Gerak Bebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
III.4.1 Rangkuman Gerak Bebas Tanpa Redaman . . . . . . . . . . . .
8
III.4.2 Rangkuman Gerak Bebas Dengan Redaman . . . . . . . . . . .
9
i
BAB III
III.1
GERAK BEBAS
Pendahuluan
Jika tidak ada beban luar yang bekerja pada sistim, maka sistim akan bergerak bebas menurut persamaan m¨ y + cy˙ + ky = 0
(III.1)
yakni dengan memberikan nilai 0 pada ruas kanan persamaan (4) pada Modul-6.
Secara matematis pers. III.1 disebut sebagai pers. pers. differensial linier homogen dengan konstanta m (massa), c (redaman) dan k (kekakuan) yang sudah diketahui terlebih dahulu. Ada dua kemungkinan kondisi getaran bebas 1. Getaran Bebas Tanpa Redaman (tidak ada redaman), dimana nilai c = 0. 2. Getaran Bebas Dengan Redaman (ada redaman), dimana nilai c 6= 0
III.2
Getaran Bebas Tanpa Redaman
Untuk kondisi getaran bebas tanpa redaman, dimana nilai c = 0, maka pers. (III.1) menjadi m¨ y + ky = 0
(III.2)
Secara matematis, solusi persamaan III.2 adalah y(t) = A cos (ωt) + B sin (ωt) dimana :
(III.3)
1
r ω=
k m
ω disebut sebagai circular/angular frequency system (frekuensi sudut sistem) dengan satuan rad/det. 1
untuk lebih jelas, lihat lampiran penjelasan
1
Konstanta A dan B diperoleh dari kondisi awal getaran sistem. Jika pada saat awal getaran t = 0, 1. Sudah ada simpangan sistem, yakni sebesar y(0), dan 2. Ada kecepatan awal sistem, yakni = y(0). ˙ maka diperoleh : A = y(0)
dan
B=
y(0) ˙ ω
Sehingga diperoleh solusi persamaan getaran bebas sistem sbb,
y(t) = y(0) cos (ωt) +
y(0) ˙ sin (ωt) ω
(III.4)
y(t) merupakan simpangan sistem pada saat t, atau simpangan sistem merupakan fungsi dari variabel waktu t. Pers. (III.4) dapat juga ditulis dalam bentuk y(t) = C sin (ωt + α)
(III.5)
C merupakan amplitudo getaran bebas tanpa redaman, dimana :
Gambar III.1. Amplitudo C, pada Getaran Bebas Tak Diredam
s C=
y(0)2
2
+
y(0) ˙ ω
2 (III.6)
dan α = arctan
y(0)ω y(0) ˙
(III.7)
Gambar III.1 memperlihatkan hubungan antara amplitudo C dengan y(0) dengan
y(0) ˙ ω
.
III.2.1
Perioda Getar T, Frekuensi Sudut (ω) dan Frekuensi Natural (f )
Perioda getar, atau waktu yang dibutuh sistem untuk melakukan 1 siklus gerakan adalah T =
2π ω
dimana
ω = frekuensi sudut sistem.
(III.8)
Sedangkan frekuensi natural sistem (natural frequency) adalah f=
1 T
(III.9)
Terlihat bahwa Perioda Getar T, Frekuensi Sudut (ω) dan Frekuensi Natural (f) ini mempunyai nilai yang tetap untuk suatu sistem. Sehigga ketiga konstanta ini dapat tergolong juga sebagai nilai karakteristik sistem.
III.3
Getaran Bebas Dengan Redaman
Sebagaimana telah tertulis pada pers. (III.1), bentuk persamaan gerak dengan redaman adalah m¨ y + cy˙ + ky = 0 Misalkan solusi pers. (III.1) adalah berupa persamaan ekponensial : y = z est
dimana
t = waktu
(III.10)
Substitusi bentuk turunan pertama dan kedua fungsi y(t) ini ke dalam persamaan (III.1), diperoleh
c k s + s+ m m 2
3
z est = 0
(III.11)
Nilai eksponensial e 6= 0, untuk berapapun nilai s dan t, sedangkan z juga 6= 0, karena merupakan amplitudo simpangan.
Sehingga yang mungkin sama dengan nol dari pers. (III.11) adalah :
c k s + s+ m m 2
=0
(III.12)
c 2 − ω2 2m
(III.13)
Akar-akar dari pers. (III.12) adalah
s1,2
c ± =− 2m
r
dimana ω2 =
k m
(III.14)
Sehingga solusi pers. (III.1) menjadi : y = z1 es1 t + z2 es2 t Ada 3 kemungkinan kondisi nilai
c 2 2m
(III.15)
− ω 2 (suku di bawah tanda akar) pada pers.
(III.13). • Jika
c 2 −ω 2 2m
• Jika
c 2 2m
= 0, maka redaman yang ada pada sistem disebut redaman kritis.
− ω 2 < 0, maka redaman yang ada pada sistem disebut redaman
lemah/Under Damped. • Jika
c 2 2m
− ω 2 > 0. maka redaman yang ada pada sistem disebut redaman
kuat/Over Damped.
III.3.1
Redaman Kritis
Redaman kritis ditandai dengan nilai suku di bawah tanda akar pada pers. (III.13) = 0. Pada kondisi ini redaman struktur : c = ccr , sehingga r
ccr 2 − ω 2 = 0 atau 2m
4
c 2 cr
2m
− ω2 = 0
sehingga c2cr = 4m2 ω 2 r karena ω =
atau
ccr = 2mω
(III.16)
k , maka nilai ccr dapat juga ditulis dalam bentuk m r ccr = 2m
r k km2 =2 m m √ ccr = 2 km
(III.17)
Solusi persamaan gerak bebas m¨ y + cy˙ + ky = 0 untuk sistem yang mempunyai redaman kritis ini adalah,
2
y(t) = y0 est + {y (0) s − y˙ (0)} t est
(III.18)
dimana s=−
ccr 2m
(III.19)
• y(t) merupakan simpangan sistem pada saat t, atau simpangan sistem merupakan fungsi dari variabel waktu t • y(0) : simpangan awal sistem (pada saat t = 0. • y(0) ˙ : kecepatan awal sistem (pada saat t = 0.
III.3.2
Redaman Lemah
Redaman lemah, jika r
c 2 − ω 2 < 0 atau 2m
c 2 − ω2 < 0 2m
(III.20)
atau c < 2m ω 2
Untuk lebih jelasnya lihat Lampiran Penjelasan
5
(III.21)
Karena suku di bawah tanda akar pada persamaan (III.20) < 0, berarti suku tersebut merupakan bilangan imajiner, maka persamaan (III.13) dapat ditulis dalam bentuk
s1,2
r c 2 c 2 ±i ω − =− 2m | {z 2m } ωd
s1,2 = −
c ± iωd 2m
(III.22)
dimana r ωd =
r c 2 r c 2 c 2 ω2 − = ω2 − ω2 =ω 1− 2m 2mω 2mω
atau ωd = ω
p
1 − ξ2
(III.23)
dan ξ=
c c = 2mω ccr
= damping ratio (%)
(III.24)
Solusi persamaan gerak bebas m¨ y + cy˙ + ky = 0 untuk sistem yang mempunyai redaman lemah ini adalah,
−ξωt
y(t) = e
3
y(0) ˙ + y(0)ξω y(0) cos (ωd t) + sin (ωd t) ωd
(III.25)
Seperti pada sistim tanpa redaman, jika v u u C = ty(0)2 +
2 y(0)ξω ˙ ωd
!
yang diilustrasikan pada Gambar III.2 maka persamaan simpangan gerak bebas sistim dengan redaman lemah dapat juga ditulis dalam bentuk y(t) = Ce−ξωt [sin (ωd t + α)] 3
Untuk lebih jelasnya lihat Lampiran Penjelasan
6
(III.26)
Gambar III.2. Ilustrasi C pada Getaran Bebas dg Redaman dimana tan α =
ωd y(0) y(0) ˙ + y(0)ξω
atau
y(t) = Ce−ξωt [cos (ωd t − β)] dimana tan β =
(III.27)
y(0) ˙ + y(0)ξω ωd y(0)
Jika T merupakan perioda getar struktur tanpa redaman, dimana T =
2π ω
maka perioda getar struktur dengan redaman TD =
2π 2π = p ωD ω 1 − ξ2 T
TD = p
1 − ξ2
III.3.3
(III.28)
Redaman Kuat
Kondisi redaman kuat kebalikan dari redaman lemah, yakni : c > 2m ω, atau 7
c >ω 2m
(III.29)
Sehingga akar-akar persamaan karakteristiknya mempunyai nilai positif, yakni
s1,2
c =− ± 2m
r
c 2 − ω2 2m
(III.30)
Solusi persamaan gerak bebas m¨ y + cy˙ + ky = 0 untuk sistem yang mempunyai redaman kuat ini adalah,
s1 t
y(t) = e
y(0)s2 − y(0) ˙ s2 − s1
s2 t
+e
4
y(0)s1 − y(0) ˙ s1 − s2
(III.31)
dimana c s1 = − + 2m
III.4 III.4.1
r r c c 2 c 2 2 − ω dan s2 = − − − ω2 2m 2m 2m
Rangkuman Gerak Bebas Rangkuman Gerak Bebas Tanpa Redaman
y(t) = y(0) cos (ωt) +
y(0) ˙ sin (ωt) ω
(III.32)
atau y(t) = C sin (ωt + α)
(III.33)
C merupakan amplitudo getaran bebas tanpa redaman, dimana : r C=
y(0)2 +
y(0) ˙ ω
(III.34)
dan α = arctan( 4
Untuk lebih jelasnya lihat Lampiran Penjelasan
8
y(0)ω y(0) ˙
(III.35)
dimana :
r ω=
III.4.2
k m
Rangkuman Gerak Bebas Dengan Redaman
Persamaan simpangan sistim, dengan • Redaman Kritis : y(t) = y0 est + {y (0) s − y˙ (0)} t est
• Redaman Lemah : y(t) = Ce−ξωt [sin (ωd t + α)] atau y(t) = Ce−ξωt [cos (ωd t − β)]
dimana tan α =
ωd y(0) y(0) ˙ + y(0)ξω dan tan β = y(0) ˙ + y(0)ξω ωd y(0)
• Redaman Kuat : s1 t
y(t) = e
c + s1 = − 2m
y(0)s2 − y(0) ˙ s2 − s1
s2 t
+e
y(0)s1 − y(0) ˙ s1 − s2
r r c c 2 c 2 − ω 2 dan s2 = − − − ω2 2m 2m 2m
9
Gambar III.3. Getaran Bebas Sistem Redaman Lemah, Redaman Kritis dan Redaman Kuat
10
