MODUL KULIAH
REKAYASA GEMPA
Minggu ke 5 :
Respon Struktur SDOF Akibat Beban Umum
Oleh Resmi Bestari Muin
PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL dan PERENCANAAN UNIVERSITAS MERCU BUANA 2010
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI
i
X
1
Respon Struktur SDOF Akibat Beban Umum X.1 Pendahuluan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X.2 Respon Beban Impuls
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
X.2.1 1 Unit Beban Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
X.2.2 Respon Struktur Akibat 1 Unit Beban Impuls . . . . . . . . . .
2
X.3 Integral Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
X.4 Aplikasi Integral Duhamel pada Struktur SDOF . . . . . . . . . . . . .
5
X.4.1 Beban Konstan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
X.4.2 Beban Segi Empat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
X.4.3 Beban Sembarang pada Struktur Tanpa Redaman . . . . . . . .
7
X.4.4 Beban Sembarang pada Struktur Dengan Redaman . . . . . . .
9
i
BAB X
Respon Struktur SDOF Akibat Beban Umum
X.1
Pendahuluan
Pada kenyataannya beban gempa bukanlah beban harmonik maupun periodik.
Beban getaran tanah akibat gempa bumi sangat fluktuatif dan impulsif.
Beban yang impulsif, mempunyai durasi yang sangat pendek, sehingga penyerapan energi yang dapat dilakukan struktur juga kurang sempurna, sehingga pengaruh redaman struktur juga kurang berarti.
Sehingga pada pembahasan sistim yang yang dikenai beban gempa, umumnya struktur dianggap tidak mempunyai redaman.
X.2 X.2.1
Respon Beban Impuls 1 Unit Beban Impuls
Gambar X.1. Satu Unit Beban Impuls Jika suatu beban yang sangat besar bekerja untuk jangka waktu yang sangat pendek (lihat Gambar X.1, → 0), maka beban tsb disebut sebagai beban impuls. 1
Jika impuls yang dihasilkan beban tsb 1 unit satuan, maka beban tersebut disebut sebagai 1 unit beban impuls.
X.2.2
Respon Struktur Akibat 1 Unit Beban Impuls
Gambar X.2. Respon Struktur Akibat 1 Unit Beban Impuls Setelah 1 unit beban impuls berhenti (t > τ ), struktur akan bergerak bebas, dengan kecepatan awal akibat pengaruh 1 unit beban impuls tersebut = 1/m, dan tidak ada perubahan perpindahan dalam selang waktu , artinya y(τ + ) = y(τ ), dalam hal ini = 0. Sehingga respon struktur setelah beban tsb bekerja adalah, 1. Untuk struktur tak diredam : 1 sin {ω(t − τ )} mω
(X.1)
1 −ξω(t−τ ) e [sin (ωd (t − τ ))] mωd
(X.2)
h(t − τ ) = 2. Untuk struktur yang diredam :
h(t − τ ) =
X.3
Integral Duhamel
Salah satu cara untuk menentukan respon struktur akibat beban sembarang adalah dengan Integral Duhamel.
Suatu beban sembarang p(t) yang bekerja pada struk-
tur, dapat dianggap sebagai penjumlahan dari beban-beban impuls pendek yang tak terhingga jumlahnya (lihat Gambar X.3).
Sehingga respon struktur juga merupakan penjumlahan dari respon dari masing-masing 2
Gambar X.3. Beban Sembarang beban impuls tersebut. Impuls pada saat t = τ adalah p(τ )dτ .
Gambar X.4. Respon Struktur Akibat Impuls 1 da 2 Sehingga simpangan akibat satu impuls tersebut adalah : besaran impuls tersebut x respon struktur akibat 1 unit impuls, yaitu dy(t) = [p(τ )dτ ] h(t − τ )
(X.3)
Total respon struktur pada saat t adalah jumlah dari respon struktur akibat semua impuls sampai saat t tersebut, yakni Z
t
p(τ )h(t − τ )dτ
y(t) =
(X.4)
0
Dengan mensubstitusi persamaan (X.1) dan (X.2) ke persamaan (X.4), diperoleh persamaan respon struktur akibat beban sembarang sebagai berikut : 3
Gambar X.5. Respon Total • Untuk struktur tak diredam : 1 y(t) = mω
Z
t
p(τ ) sin {ω(t − τ )} dτ
(X.5)
0
• Untuk struktur yang diredam : 1 −ξω(t−τ ) y(t) = e mωd
Z
t
p(τ ) sin (ωd (t − τ )) dτ
(X.6)
0
Persamaan (X.5) dan (X.6) ini dikenal sebagai Integral Duhamel.
Jika ada kecepatan awal dan percepatan awal, maka persamaan Integral Duhamel menjadi • Untuk struktur tak diredam : y˙ 0 1 y(t) = y0 cos (ωt) + sin (ωt) + ω mω
Z
t
p(τ ) sin {ω(t − τ )} dτ
(X.7)
0
• Untuk struktur yang diredam :
y(0) ˙ + y(0)ξω y(t) = e y(0) cos (ωd t) + sin (ωd t) ωd Z 1 −ξω(t−τ ) t + e p(τ ) sin (ωd (t − τ )) dτ mωd 0 −ξωt
4
(X.8)
X.4 X.4.1
Aplikasi Integral Duhamel pada Struktur SDOF Beban Konstan
Gambar X.6. Beban Konstan Untuk struktur tanpa redaman dan kecepatan serta simpangan awal nol diberi beban konstan P0 , maka dengan menggunakan integral Duhamel, diperoleh simpangan struktur setiap saat t Z t 1 y(t) = p(τ ) sin {ω(t − τ )} dτ mω 0 P0 = |cos {ω(t − τ )}|t0 k
y(t) =
P0 (1 − cos ωt) = yst (1 − cos ωt) k
(X.9)
dimana yst = P0 /k
X.4.2
Beban Segi Empat
Beban segi empat disini maksudnya, beban bekerja hanya pada durasi tertetu saja, yakni sampai t = td .
5
Gambar X.7. Beban Segi Empat Dengan menggunakan persamaan (X.9), simpangan struktur pada saat t = td , adalah y(td ) =
P0 (1 − cos ωtd ) k
(X.10)
dan kecepatan pada saat t = td , adalah turunan pertama dari persamaan (X.9), kemudian mengganti t dengan td , yakni y(t ˙ d) =
P0 ω(sin ωtd ) k
(X.11)
Setelah t = td (t > td ), beban berhenti bekerja, sehingga struktur bergetar bebas dengan simpangan awal y(td ) dan kecepatan awal y(t ˙ d ) mulai saat (t − td ), yakni P0 P0 {1 − cos(ωtd )} cos (ωt − td ) + ω(sin ωtd ) cos (ωt − td ) k kω y(t) = yst [cos (ωt − td ) − cos(ωtd ) cos (ωt − td ) + sin(ωtd ) sin (ωt − td )]
y(t) =
y(t) = yst [cos (ωt − td ) − cos ω (td + t − td )]
y(t) = yst [cos (ωt − td ) − cos (ωt)] ,
6
t > td
(X.12)
Jika FBD (Faktor Beban Dinamis) didefinisikan sebagai F BD =
perpindahan setiap saat t y(t) = perpindahan satis yst
Maka FBD pada struktur yang dikenai beban dinamis segi empat adalah • 0 < t < td F BD = 1 − cos ωtd • t > td F BD = cos (ωt − td ) − cos (ωt)
X.4.3
Beban Sembarang pada Struktur Tanpa Redaman
Fungsi beban dinamik akibat gempa merupakan fungsi sembarang, sehingga penyelesaian integral Duhamel untuk kodisi ini harus didekati secara numerik. Integral Duhamel untuk struktur tanpa redaman, 1 y(t) = mω
t
Z
p(τ ) sin {ω(t − τ )} dτ
(X.13)
0
Karena secara goneometri sin {ω(t − τ )} = sin(ωt) cos(ωτ ) − cos(ωt) sin(ωτ )
(X.14)
Maka persamaan integral Duhamel (X.13) dapat ditulis dalam bentuk y(t) =
1 mω
Z
t
p(τ ) cos(ωτ )dτ
sin(ωt) −
0
1 mω
Z
t
p(τ ) sin(ωτ )dτ
cos(ωt)
0
atau y(t) = D1 (t) sin(ωt) − D2 (t) cos(ωt)
(X.15)
dimana 1 D1 (t) = mω
Z
t
p(τ ) cos(ωτ )dτ 0
7
(X.16)
dan 1 D2 (t) = mω
t
Z
p(τ ) sin(ωτ )dτ
(X.17)
0
Jika fungsi p(τ ) tidak sederhana, sehingga sulit untuk di integrasi atau malah tidak mungkin untuk diinitegrasi, maka dapat dilakukan pendekatan secara numerik.
Ada beberapa metoda pendekatan untuk mencari integrasi suatu suatu fungsi secara numerik, antara lain 1. Metoda Trapezoid 2. Metoda Simpson’s Dengan menggunakan metoda Trapezoidal, integrasi suatu fungsi
R
y(x)dx dapat didekati
secara numerik seperti diilustrasikan pada Gambar X.8 berikut. dimana
Gambar X.8. Pendekatan Numerik Metoda Trapezoid
Z
xn
y(x)dx ≈ A1 + A2 + ..A(i) + ...An 0
A1 =
y1 + y0 2
∆x
A2 =
y2 + y1 2
∆x
Ai =
yi + yi−1 2
∆x
Persamaan (X.16), dapat ditulis juga dalam bentuk 1 D1 (t) = mω
Z
t
P1 (τ )dτ
dimana
0
8
P1 (τ ) = p(τ ) cos(ωτ )
(X.18)
Dengan membagi waktu sampai t menjadi
∆τ , n
dimana diskritisasi waktu diberi label i
= 0,1,2, ....n, maka nilai D1 sampai diskrit waktu ke i adalah D1(i) = D1(i−1) +
∆τ mω
(X.19)
P2 (τ ) = p(τ ) sin(ωτ )
(X.20)
P1 (τ )i + P1 (τ )i−1 2
Dengan cara yang sama, untuk persamaan (X.17) : 1 D2 (t) = mω
Z
t
P2 (τ )dτ
dimana
0
nilai D2 sampai diskrit waktu ke i adalah D2(i) = D2(i−1) +
P2 (τ )i + P2 (τ )i−1 2
∆τ mω
(X.21)
Akhirnya dapat dihitung simpangan struktur sampai dengan waktu ke i y(ti ) = D1(i) sin(ωti ) − D2(i) cos(ωti )
X.4.4
(X.22)
Beban Sembarang pada Struktur Dengan Redaman
Untuk struktur yang diredam Z t 1 y(t) = e−ξω(t−τ ) p(τ ) sin (ωd (t − τ )) dτ mωd 0 Z e−ξωt t ξωτ e p(τ ) sin (ωd (t − τ )) dτ y(t) = mωd 0
(X.23)
Seperti pada struktur tanpa redaman pada pembahasan sebelumnya, pers. (X.23) juga dapat ditulis dalam bentuk y(t) =
Z e−ξωt t ξω(τ ) e p(τ ) cos(ωd τ )dτ sin(ωd t) − mωd 0 −ξωt Z t e ξω(τ ) e p(τ ) sin(ωd τ )dτ cos(ωd t) mωd 0 (X.24) y(t) = D1 (t) sin(ωd t) − D2 (t) cos(ωd t)
9
(X.25)
dimana Z e−ξωt t ξω(τ ) D1 (t) = e p(τ ) cos(ωd τ )dτ mωd 0 Z e−ξωt t ξω(τ ) e p(τ ) sin(ωd τ )dτ dan D2 (t) = mωd 0
10
(X.26)
