GEOMETRI ALJABARIK I: RUANG AFFINE DENIK AGUSTITO

__________________________________________________________________

GEOMETRI ALJABARIK I: RUANG AFFINE DENIK AGUSTITO Tulisan ini didukung oleh AJM (Arsip Jurnal Matematika), Indonesia Email: [email protected] Selesai pada 28 Pebruari 2011

ABSTRAK. Terdapat sebuah padanan dari geometri ke aljabar dengan memadankan suatu himpunan titik-titik dalam ruang affine manjadi himpunan dari suku banyak-suku banyak melalui sebuah ideal dari himpunan titik-titik yang diberikan dan juga terdapat sebuah padanan dari aljabar ke geometri dengan memadankan himpunan dari suku banyak-suku banyak ke dalam himpunan dari titik-titik dalam ruang affine melalui himpunan nol atau himpunan aljabarik. Dengan himpunan aljabarik, diperoleh sebuah topologi pada ruang affine dan katakan topologi tersebut dengan nama topologi zarisky. Dengan topologi zarisky pada ruang affine, didefinisikan sebuah himpunan tak-tereduksi pada himpunan aljabarik dengan nama varieti affine. Pemadanan dari geometri ke aljabar melalui ideal telah membangkitkan sebuah varieti affine menjadi ideal prima.

Acknowledgments. Terimakasih kepada M. Zaki Riyanto yang sebelumnya telah banyak berdiskusi kepada saya mengenai gagasan dari ruang affine dan varieti affine, dan juga kepada Rubono Setiawan yang telah banyak juga memberikan masukan dan mengoreksi tulisan ini sehingga diharapkan kepada pembaca dengan mudah untuk memahaminya.

Tulisan ini memaparkan beberapa hal mengenai obyek utama kajian dalam geometri aljabarik yaitu ruang affine berdimensi n. Gagasan dari ruang affine berdimensi n dalam geometri aljabarik adalah perumuman dari ruang euclidean berdimensi n yang diotasikan dengan dengan menggantikan menjadi dimana adalah pergandaan sebanyak n dari lapangan yang tertutup secara aljabarik dan katakan sebagai ruang affine berdimensi n. Karena himpunan bilangan kompleks adalah lapangan tertututup secara aljabarik, dalam kenyataanya bahwa beberapa orang dapat menggantikan ruang euclidean berdimensi n yaitu menjadi ruang uniter berdimensi n yang dinotasikan dengan sehingga ruang uniter dapat dipandang sebagai ruang affine. Tujuan digantikannya ruang euclidean menjadi (lebih khususnya adalah ) adalah bahwa setiap kurva dalam ruang affine dapat terealisasi sebagai sebuah letak kedudukan titik-titik dimana titik-titiknya selalu ada dalam ruang affine . Seperti contoh bahwa kurva 1 0 tidak akan terealisasi dalam ruang euclidean artinya tidak titik-titik dalam ruang euclidean yang dinyatakan sebagai letak kedudukan dari kurva 1 0, tetapi kurva tersebut akan terealisasi dalam ruang uniter karena terdapat beberapa titik dalam ruang uniter yang merealisasikan kurva tersebut diantaranya adalah titik , 0 dan titik 0, pada . Pandang kurva 1 0 yang terealisasi dalam ruang uniter . Kurva tersebut juga dapat dipandang sebagai sebagai persamaan suku banyak dari suku banyak 1 dalam gelanggang suku banyak , . Jadi terdapat sebuah padanan dari geometri ke aljabar yang memadankan kurva-kurva dalam ruang affine yang

Hak Cipta Tulisan ini dilindungi Oleh AJM (Arsip Jurnal Matematika) http://jurnal.math.web.id

Page 1

dipandang sebagai persamaan suku banyak menjadi suku banyak - suku banyak dalam gelanggang suku banyak , , … , . Sebaliknya setiap suku banyak dalam gelanggang suku banyak , , … , juga memadankan ke suatu kurva-kurva dalam ruang affine sehingga diperoleh sebuah padanan dari aljabar ke geometri. Tulisan ini akan mengkaji padanan-padanan tersebut dengan tujuan untuk mengetahui representatif geometri melalui beberapa sifat dari aljabar yang dipadankannya. Serupa dengan kajian algbraic topology, tujuannya yaitu untuk mengetahui representatif topologi melalui beberapa sifat dari aljabar yang dipadankanya. Pemadananya dikonstruksi melalui beberapa cara diantaranya adalah menggunakan teknik homotopi dan homologi dalam aljabar sehingga suatu masalah dalam topologi akan terselesaikan apabila masalah aljabar yang terpadankan juga terselesaikan. Sekarang pandang ruang affine sebagai obyek utama dalam kajian geometri dan gelanggang suku banyak , , … , sebagai obyek utama dalam kajian aljabar. Suatu permasalahan dalam geometri adalah menentukan letak kedudukan titik-titik dalam ruang affine yang dinyatakan sebagai irisan dari beberapa kurva-kurva dalam ruang affine . Proses menentukan letak kedudukan titik-titik dalam ruang tersebut dinamakan solusi bersama yang diperoleh dari sistem persamaan suku banyak dimana persamaan suku banyak tersebut adalah kurva-kurva dalam ruang affine yang diberikan. Ini menegaskan bahwa untuk menyelesaikan masalah geometri diperlukan teknik-teknik aljabar agar supaya masalah geometri terselesaikan. Jadi terdapat sebuah padanan dari aljabar ke geometri yaitu menentukan sebuah solusi dari sistem persamaan suku banyak menjadi sebuah letak kedudukan titik dalam ruang affine . Sebagai sebuah catatan bahwa teknik-teknik aljabar tersebut telah dikaji dan dikembangkan dalam aljabar, seperti contoh teknik menentukan solusi dari sistem persamaan linear dalam aljabar linear menggunakan eliminasi Gaus-Jordan dan sebagaianya merupakan kasus khusus sebuah teknik dalam aljabar sehingga kajian mengenai solusi dari sistem persamaan linear dalam aljabar linear adalah salah satu bentuk realisasi padanan dari aljabar ke geometri. Diberikan suatu titik pada ruang affine yaitu , , … , . Pertanyaanya: apakah ada satu atau beberapa kurva dalam ruang affine yang melalui titik P tersebut ?. jawabanya adalah ya, pilih saja suatu kurva sebagai persamaan suku banyak : … 0. Menentukan sebuah atau beberapa kurva dalam ruang affine yang terealisasi dari suatu himpunan titik-titik dalam ruang affine adalah suatu masalah dalam kajian geometri. Sebagai contoh dalam geometri analitik elementer adalah menentukan sebuah kerucut (garis, lingkaran, parabola, elips dan hiperbola) melalui suatu himpunan dari titik-titik pada bidang kartesian adalah contoh masalah geometri. Teknik-teknik yang dikembangkan adalah teknik-teknik aljabar. Hal ini menegaskan bahwa geometri analitik elementer merupakan sebuah kajian teknik-teknik aljabar yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan geometri salah satunya adalah menentukan sebuah kerucut dari suatu himpunan dari titik-titik yang diberikan dalam bidang kartesian. Dengan memandang sebuah kerucut sebagai sebuah suku banyak, hal ini juga menegaskan bahwa terdapat sebuah padanan dari geometri ke aljabar yang memadankan titik-titik pada bidang kartesian menjadi sebuah suku banyak. Secara umum terdapat sebuah padanan dari geometri ke aljabar yang memadankan sebuah himpunan titik-titik dari ruang affine ke dalam suku banyak-suku banyak dalam gelanggang suku banyak , , … , . Pada sebuah titik dalam ruang affine yang diberikan dengan , , … , , sebuah himpunan kurva-kurva dalam ruang affine yang melalui titik P dan dinotasikan dengan 0| , , … , ! akan memiliki sebuah sifat tertentu dalam gelanggang suku banyak , , … , . Katakan sifat dari


Page 2

0| , , … , ! adalah ideal dalam gelanggang suku banyak , , … , . Jadi dari suatu titik dalam ruang affine yang diberikan dengan , , … , dapat membangkitkan sebuah himpunan yang memiliki sifat ideal dari suku banyak dalam gelanggan suku banyak , , … , . Terlihat bahwa sembarang titik pada ruang affine mengontrol perilaku dari gelanggang suku banyak , , … , . Pertanyaannya lagi: apabila diberikan himpunan berhingga dari titiktitik dalam ruang affine " # , apakah terdapat himpunan bagian dari gelanggang suku banyak , , … , dengan sifat ideal yang semua anggotanya dipandang sebagai kurva-kurva dengan himpunan X adalah titik-titik dari irisannya?. Selanjutnya dengan memandang kasus khusus dari ruang uniter yang dipandang sebagai sebuah ruang topologi, beberapa pertanyaan muncul lagi yaitu sebagai berikut: [A1]. Apakah mungkin ruang affine menjadi sebuah ruang topologi dengan sebuah topologi yang bagus ? [A2]. Diberikan suatu himpunan dari titik-titik dalam ruang topologi (terkait dengan pertanyaan [1]) dan kemudian dipadankan ke suatu himpunan dari suku banyak-suku banyak dalam gelanggang suku banyak , , … , . Akankah himpunan dari suku banyak-suku banyak tersebut memiliki sifat ideal yang istimewa ?. Tulisan ini akan menjawab secara terperinci dari pertanyaan [A1] dan [A2] yang telah diberikan di atas dan berikut adalah pembahasan untuk menjawab dua pertanyaan tersebut.

1. JAWABAN DARI PERTANYAAN [A1] Bagian ini diawali dengan mengkaji sebuah padanan dari aljabar ke geometri. Untuk memadankan aljabar ke geometri, obyek kajian utama dalam aljabar disini adalah gelanggang suku banyak , , … , . Seperti yang telah dipaparkan pada bagian sebelumnya bahwa padanan dari aljabar ke geometri terkait dengan solusi dari sistem persamaan suku banyak. Sebelum mempelajari beberapa sifat terkait dengan solusi dari sistem persamaan suku banyak, terlebih dahulu didefinisikan sebuah tempat yang dipadankan dari suku banyak agar supaya solusi dari suatu sistem persamaan suku banyak yang telah diberikan memiliki sebuah tempat. Definisi 1.1. Ruang affine berdimensi n atas lapangan tertutup secara aljabarik dinotasikan dengan , , … , | , , … , . Definisi 1.1.telah mendefinisikan suatu tempat untuk solusi dari sistem persamaan suku banyak dalam gelanggang suku banyak , , … , yang dikenal dengan ruang affine berdimensi n yaitu . Ruang affine dalam tulisan ini akan menjadi obyek kajian dalam geometri, jadi terdapat sebuah padanan dari aljabar ke geometri yaitu memadankan gelanggang suku banyak , , … , ke ruang affine . Kemudian interpretasi geometri dari suku banyak dalam gelanggang suku banyak , , … , dapat dipandang sebagai sebuah kurva dalam ruang afiine . Apabila diberikan sebuah suku banyak 2 dalam gelanggang suku banyak , maka suku banyak 2 dapat dipandang sebagai kurva dalam ruang uniter dimana solusi dari persamaan suku banyak 2 0 merupakan letak kedudukan titik-titik dari kurva 2 0. Sebagai sebuah catatan bahwa kurva yang disajikan melalui suku banyak diartikan sebagai persamaan suku banyak.


Page 3

Diberikan sebuah himpunan berhingga dari suku banyak yaitu 1, 1 # , , … , . Pandang kembali sebagai himpunan berhingga dari kurva atau persamaan suku banyak yaitu 1 0, 1 0 . Solusi bersama dari anggota merupakan sebuah solusi dari sistem persamaan suku banyak yang ditulis sebagai berikut

1 0& % 1 0 Sistem persamaan suku banyak tersebut memiliki himpunan solusi V , 0, , 0 yang dipandang sebagai letak kedudukan dari titik-titik bersama dari kurva 1 0 dan kurva 1 0 dalam ruang uniter . Secara geometris, ini artinya bahwa kurva 1 0 beririsan dengan kurva 1 0 dalam ruang uniter dititik , 0 dan , 0. Fenomena ini akan dijadikan sebuah motivasi untuk mendefinisikan himpunan aljabarik dalam ruang affine . Definisi 1.2. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik dan ( , , … , . [1]. Himpunan nol dari yang dinotasikan dengan V adalah suatu himpunan yang didefinisikan dengan V |) 0 untuk semua ) . [2]. Himpunan " ( dikatakan himpunan aljabarik jika terdapat himpunan ( , , … , yang memenuhi sifat " V . Sekarang akan ditentukan padanan geometrinya dari aljabar yang menghasilkan interpretasi geometri pada ruang affine melalui himpunan nol dengan mengamati beberapa kasus pada himpunan yang diberikan dalam Definisi 1.2.

KASUS 1. Ketika adalah gelanggang suku banyak , , … , .

Dalam kasus ini geometri memikirkan apakah semua kurva dalam ruang affine saling beririsan?. Sebuah contoh diberikan dalam ruang uniter yaitu parabola 0 tidak akan pernah beririsan dengan parabola 11 30 0. Ini adalah sebuah contoh balasan bahwa ketika adalah gelanggang suku banyak , , … , maka terdapat sekurang-kurangnya dua kurva tidak saling beririsan dan akibatnya himpunan nol dari ketika , , … , adalah himpunan kosong. Jadi V adalah himpunan kosong.

KASUS 2. Ketika , # , , … , dengan # .

Dengan mengambil yaitu himpunan singelton yang terdiri dari hanya satu suku banyak yaitu 1 dan 1, 1 menegaskan bahwa # . Jelas V # V . Fenomena tersebut dapat dijadikan sebagai motivasi untuk fakta berikut ini. Teorema 1.3. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. Jika , # , , … , dengan # maka V # V . BUKTI. Sembarang titik V memilik sifat bahwa P adalah titik yang dilalui oleh semua kurva-kurva yang disajikan dalam suku banyak pada . Karena # , jelas bahwa titik P juga merupakan titik yang dilalui oleh semua kurva-kurva yang disajikan dalam suku banyak pada . Jadi V dan kesimpulannya adalah V # V . Hak Cipta Tulisan ini dilindungi Oleh AJM (Arsip Jurnal Matematika) http://jurnal.math.web.id

Page 4

KASUS 3. Ketika , # , , … , dengan 3 . Sebagai sebuah akibat dari Teorema 1.3 diperoleh fakta berikut ini. Akibat 1.4. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. Jika 4 adalah keluarga berindeks dari 4 # , , … , untuk setiap 5 maka V 36 4

76 V 4 . BUKTI. Karena 4 # 36 4 , berdasarkan Teorema 1.3 diperoleh V 36 4 # V 4 untuk semua 5. Karena berlaku untuk semua 5 diperoleh V 36 4 # 76 V 4 . Sembarang titik 76 V 4 merupakan titik pada V 4 untuk semua 5. Karena titik pada V 4 untuk semua 5, diperoleh bahwa P merupakan titik yang dilalui oleh semua kurva-kurva yang disajikan dalam suku banyak pada 4 untuk semua 5. Akibatnya P merupakan titik yang dilalui oleh semua kurva-kurva yang disajikan dalam suku banyak pada 36 4 . Jadi V 36 4 . Jadi 76 V 4 # V 36 4 . Jadi terbukti bahwa V 36 4 76 V 4 .

KASUS 4. Ketika , # , , … , dengan .

Didefinisikan bahwa adalah himpunan semua hasil kali dari suku banyak pada dengan suku banyak pada . Plih dengan motivasi sebelumnya yaitu 1 dan 1, 1 . Jelas bahwa 1 1, 1 . Jelas bahwa , 0 dan , 0 titik yang dilalui oleh semua kurva yang disajikan dalam suku banyak pada . Dan ini jelas bahwa V 7 V V . Ini akan dijadikan sebuah motivasi dalam fakta berikut ini. Teorema 1.5. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. Jika , # , , … , dengan didefinisikan sebagai himpunan semua hasil kali dari suku banyak pada dengan suku banyak pada maka V 3 V V . BUKTI. Sembarang titik V 3 V merupakan titik yang dilalui oleh semua kurva-kurva yang disajikan dalam suku banyak pada atau pada . Jelas bahwa P juga merupakan yang dilalui oleh semua kurva-kurva yang disajikan sebagai perkalian suku banyak pada . Jadi V dan diperoleh V 3 V # V . Kebalikannya mudah dibuktikan. hanya terdiri hanya satu elemen yaitu elemen identitas terhadap operasi penjumlahan pada , , … , . Dalam kasus ini hanya terdiri dari singelton 0 . Persamaan suku banyak 0 dalam gelanggang suku banyak , , … , memiliki solusi di setiap anggota pada . Jadi ketika 0 diperoleh V .

KASUS 5. Ketika

Sebuah padanan dari aljabar ke geometri yang telah ditinjau dari kelima kasus yang telah dipaparkan sebelumnya ini pada ( , , … , memberikan sebuah arti tersendiri untuk ruang affine . Dengan mengkaitkan Definisi 1.2 dengan kelima kasus di atas diperoleh sebuah kesimpulan berikut ini. [1]. Himpunan kosong dan ruang affine adalah himpunan aljabarik. [2]. Gabungan dari dua buah himpunan nol juga merupan himpunan nol dan ini mengakibatkan bahwa gabungan dari dua buah himpunan aljabarik juga merupakan himpunan aljabarik.


Page 5

[3]. Sembarang irisan dari himpunan nol juga merupakan himpunan nol dan ini mengakitbatkan bahwa sembarang irisan dari himpunan aljabarik adalah himpunan aljabarik. Sebagai sebuah catatan ketiga kesimpulan ini serupa dengan pengertian himpunan tertutup dari suatu ruang topologi. Hal ini menjadi sebuah motivasi untuk mendefinisikan sebuah topologi pada ruang affine . Jadi ruang affine membentuk sebuah ruang topologi yang himpunan tertutupnya didefinisikan melalui himpunan aljabarik. Topologi pada ruang affine ini akan dinamakan sebagai topologi zarisky.

2. JAWABAN DARI PERTANYAAN [A2] Dalam geometri, letak kedudukan titik-titik pada ruang affine yang disajikan sebagai himpunan dari titik-titik pada ruang affine yang memenuhi pola tertentu dinamakan sebagai kurva. Karena kurva dalam ruang affine dapat dipandang sebagai sebuah suku banyak, diperoleh sebuah tempat dalam aljabar untuk menyajikan kurvakurva dalam ruang affine adalah himpunan semua dari suku banyak-suku banyak atas lapangan tertutup secara aljabarik dengan n indeterminat yang dinotasikan dengan , , … , . Aljabar komutatif telah mengkaji himpunan , , … , secara kritis dan himpunan ini memiliki struktur yang dikenal dengan gelanggang komutatif (dengan elemen satuan 1). Katakan himpunan ini dengan gelanggang suku banyak atas lapangan tertutup secara aljabarik dengan n indeterminat. Pandang himpunan bagian dari gelanggang suku banyak , , … , yang dibangkitkan melalui suatu titik dalam ruang affine yaitu , , … , yang dinotasikan dengan 0| , , … , !. Aljabar komutatif membuktikan bahwa membentuk sebuah gelanggang komutatif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang sama dengan operasi penjumlahan dan perkalian dari gelanggang suku banyak , , … , . Dengan kata lain bahwa membentuk gelanggang bagian dari gelanggang sukubanyak , , … , . Lebih lanjut jika diberikan sembarang suku banyak h dalam gelanggang suku banyak , , … , selalu berlaku sifat ). 9 . Berikut adalah sebuah fakta mengenai hasil dari wacana tersebut yang diberikan tanpa bukti. Teorema 2.1. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik dan " ( . [1]. Himpunan Himpunan I " ) , , … , |) 0 untuk semua " membentuk sebuah gelanggang bagian dari gelanggang suku banyak , , … , . [2]. Untuk setiap suku banyak 9 , , … , dan ) I ", berlaku 9. ) I ". Sebagai sebuah catatan bahwa sifat [2] dalam Teorema 2.1 dikatakan sifat ideal dari gelanggang bagian I " dan gelanggang bagian I " yang memenuhi sifat [2] dalam Teorema 2.1 dikatakan ideal dari gelanggang suku banyak , , … , . Ideal yang diberikan dalam Teorema 2.1 adalah sebuah padanan untuk mengkaji masalah-masalah geometri dari ruang affine ke dalam masalah-masalah aljabar dari gelanggang suku banyak , , … , . Dengan padanan yang telah diberikan dalam Teorema 2.1, akan ditinjau dari beberapa kasus mengenai himpunan dari titik-titik dalam ruang affine sehingga diperoleh beberapa perilaku dari ideal-ideal dalam gelanggang suku banyak , , … , .


Page 6

KASUS 6. Ketika " hanya terdiri dari satu elemen yaitu " , , … ,

#

. Diberikan " , , … , # . Suatu himpunan kurva-kurva dalam ruang affine yang melalui titik P adalah 0, 0, … , 0 . Kurva f dalam ruang affine akan melalui titik P jika suku banyak yang disajikan dalam kurva f memiliki faktor sekurang-kurangnya satu dari suku banyak ; ; untuk 1,2, … , < . Dengan kata lain suku banyak f bisa difaktorkan menjadi ) =; . ; ; untuk suatu suku banyak =; dalam gelanggang suku banyak , , … , . Selanjutnya agar supaya kurva f melalui titik P, suku banyak f juga bisa dinyatakan sebagai ) = . > =;? . ;? ;? =; . ; ; =;@ . ;@ ;@ > = . untuk suatu suku banyak = , … , =;? , =; , =;@ , … , = dalam gelanggang suku banyak , , … , . Jelas ) A , , … , B dan sebagai sebuah catatan bahwa A , , … , B adalah sebuah ideal dari gelanggang suku banyak , , … , yang dibangun secara hingga oleh himpunan , , … , . Sifat dari ideal A , , … , B dari gelanggang suku banyak , , … , yang dipadankan dari suatu titik , , … , dalam ruang affine telah dikaji secara kritis dalam aljabar komutatif dan sifat tersebut dinamakn dengan Nullstelensatz. Teorema 2.2. (Nullstelensatz) Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. Setiap ideal maksimal dalam gelanggang suku banyak , , … , dapat dinyatakan tepat dalam bentuk A , , … , B untuk suatu titik , , … , dalam ruang affine . Teorema 2.2 memperlihatkan bahwa setiap titik pada ruang affine membangkitkan dan mengontrol bentuk dari ideal maksimal dalam gelanggang suku banyak , , … , . Ini artinya bahwa perilaku dari ideal maksimal dalam gelanggang suku banyak , , … , dapat diyatakan dalam bentuk A , , … , B untuk suatu titik , , … , dalam ruang affine dan bentuk A , , … , B dikatakan sebagai hasil kontrol dari titik , , … , dalam ruang affine pada gelanggang suku banyak , , … , .

KASUS 7. Ketika " , " # dengan " # ".

Kasus 7 ini serupa dengan kasus 2 sehingga diperoleh sebuah fakta yang akan diberikan berikut tanpa bukti. Teorema 2.3. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik dan " , " # . Jika " # " maka I " # I " .

KASUS 8. Ketika " , " # dengan " 3 ".

Kasus 8 ini juga serupa dengan kasus 3 sehingga diperoleh sebuah fakta yang akan diberikan berikut tanpa bukti. Teorema 2.4. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik dan " , " # . Jika I " 3 " I " 7 I " .

KASUS 9. Ketika " .

Kurva dalam ruang affine yang dipandang sebagai suku banyak dalam gelanggang suku banyak , , … , yang melalui di setiap titik dalam ruang affine adalah


Page 7

suku banyak nol yang dinotasikan dengan 0. Jadi ketika " diperoleh I " 0 . Diharapkan pembaca mengerti mengenai kajian dari suku banyak nol pada kajian aljabar komutatif agar supaya tidak ada kesulitan dalam mengkspresikan padanan geometrinya dari suku banyak nol. Sebelumnya bahwa himpunan nol atau himpunan aljabarik dari himpunan suku banyak memadankan ke suatu letak kedudukan titik-titik dalam ruang affine dan ideal dari himpunan titik-titik dalam ruang affine memadankan ke suatu himpunan dari suku banyak suku banyak. Pada bagian ini akan dikombinasikan kedua padanan untuk melihat beberapa sifat dan perilaku dalam geometri dan aljabar. Beberapa fakta dalam bagian ini akan diberikan tanpa bukti. Teorema 2.5. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. [1]. Jika X adalah sembarang himpunan bagian dari ruang affine maka VCI "D adalah himpunan aljabarik terkecil yang memuat X. [2]. Jika X adalah sembarang himpunan aljabarik dari ruang affine maka VCI "D

". Kemudian kembali lagi dalam aljabar komutatif mengenai jenis ideal dari suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan yang dikenal dengan nama ideal radikal. Sebelum mendefnisikan ideal radikal, didefinisikan terlebih dahulu pengertian dari radikal dari suatu ideal dari suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan. Definisi 2.6. Diberikan R adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan dan I adalah ideal dari R. [1]. Radikal dari ideal I adalah himpunan Rad G H I|H G untuk suatu < J . [2]. Ideal I dikatakan ideal radikal jika G Rad G. Teorema 2.7. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. Jika G ( , … , adalah sembarang ideal maka ICV GD G. Gagasan mengenai radikal dari suatu ideal juga dapat memberikan sebuah fakta mengenai I " 7 " yaitu sebagai berikut. Teorema 2.8. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik dan " , " # . Jika " dan " adalah himpunan aljabarik maka I " 7 " RadCI " I " D. Bagian ini akan mengkaji beberapa sifat topologis dari ruang affine bersama dengan topologi zarisky serta menjawab point [A2}] yang telah diberikan sebelumnya. Definisi 2.9. Diberikan X adalah ruang topologi. [1]. Himpunan bagian K ( " dikatakan tereduksi jika A bisa dinyatakan sebagai gabungan dari dua himpunan tertutup dalam X yaitu K K 3 K (bisa himpunan kosong, asalkan salah satu dari dua himpunan tersebut tidak boleh sama dengan A). [2]. Himpunan bagian K ( " dikatakan tak-tereduksi jika K bukan himpunan tereduksi. Diberikan garis affine atau himpunan bilangan kompleks dengan topologi biasa. Bisa ditunjukkan bahwa himpunan berikut K ||| L 1 dan K

||| M 1 adalah himpunan tertutup dalam garis affine dan garis affine dapat dinyatakan sebagai gabungan K dan K . Jadi garis affine adalah tereduksi. Sebagai


Page 8

sebuah pertanyaan lanjut dari topologi pada garis affine terkait dengan topologi zarisky, apakah garis affine adalah tak-tereduksi bersama dengan topologi zarisky padanya?. Untuk menjawab pertanyaan ini, aljabar akan menggunakan tehnik-tehniknya dan kemudian dipadankan ke geometri untuk menjawab pertanyaan tersebut melalui fakta berikut. Teorema 2.10. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. Himpunan aljabarik " ( adalah tak-tereduksi jika dan hanya jika I " adalah ideal prima dari gelanggang suku banyak , , … , . BUKTI. Diketahui " adalah himpunan aljabarik tak-tereduksi dan tulis ). = I " dengan f dan = adalah suku banyak-suku banyak dalam gelanggang suku banyak , , … , . Karena X adalah himpunan aljabarik, tulis " # V )= V ) 3 V = . Ini jelas bahwa " " 7 V ) 3 " 7 V = adalah gabungan dari dua buah himpunan tertutup dari X. Karena X adalah tak-tereduksi, diperoleh " " 7 V ) atau " " 7 V = . Jelas " # V ) atau " # V = . Jadi ) I " atau = I " dan kesimpulannya bahwa I " adalah ideal prima dari gelanggang suku banyak , , … , . Sebaliknya dibuktikan oleh pembaca sebagai sebuah latihan. Dengan mengaplikasikan Kasus 9 dengan Teorema 2.9 diperoleh bahwa ruang affine adalah tak tereduksi karena I " 0 adalah ideal prima dari gelanggang suku banyak , , … , . Akibatnya garis affine atau himpunan bilangan kompleks dengan topologi zarisky adalah tak-tereduksi. Definisi 2.11. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. Himpunan aljabarik tertutup " ( tak-tereduksi terhadap topologi zarisky dinamakan varieti affine. Hasil utama dalam bagian ini adalah Teorema 2.10 yaitu dengan menambahkan sebuah kondisi bahwa varieti affine dalam ruang affine akan dipadankan ke himpunan suku banyak dalam gelanggang suku banyak , , … , dan memenuhi sifat bahwa himpunan tersebut membentuk sebuah ideal prima.

DAFTAR PUSTAKA [1]. Gathman. Andreas., Algebraic Geometry, available for download. [2]. Hartshorne, R., Alegbraic Geometry, Springer-Verlag, New-York Inc, 1977. [3]. Milne. J. S., Algebraic Geometry, available for download.


Page 9

GEOMETRI ALJABARIK I: RUANG AFFINE DENIK AGUSTITO

Recommend Documents