Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
GRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI Denik Agustito1, Sriwahyuni2 Mahasiswa S2, Jurusan Matematika, Universitas Gajah Mada : Yogyakarta e_mail:
[email protected] Abstrak Dalam tulisan ini hasil yang diperoleh adalah jika X adalah ruang terhubung lintasan maka , jika X adalah ruang topologi dan
adalah komponen lintasannya maka
serta jika X adalah ruang topologi dan subset kompaknya maka
adalah himpunan semua
.
Kata kunci: kompak, terhubung lintasan, topologi.
PENDAHULUAN Dalam tulisan ini akan disurvei beberapa sifat dari grup homologi dari ruang topologi tertentu, terutama ruang topologi terhubung lintasan dan sembarang ruang topologi bersama dengan subset kompaknya. Sifat grup homologinya memiliki peranan penting dalam teori homologi singular diantaranya adalah untuk menghitung grup homologi dari sphere, sell dan manifold. Batasan masalah dalam tulisan ini terfokus pada tiga ruang yaitu ruang topologi terhubung lintasan, komponen lintasan dari suatu ruang topologi dan himpunan semua subset kompak pada suatu ruang topologi. Teori kategori dalam tulisan ini akan memainkan peranan penting. Pertama dengan bahasa kategori,kategori dari ruang topologi bersama dengan pemetaan kontinyunya akan dinotasikan dengan TOP, kategori dari grup abelian bersama dengan homomorfismanya akan dinotasikan dengan GRP, kategori dari kompleks rantai singular bersama dengan pemetaan rantai singularnya akan dinotasikan dengan CC dan kategori dari grup graded bersama dengan homomorfismanya akan dinotasikan dengan GG. Kedua akan diberikan salah satu dari struktur internal dalam suatu kategori yaitu mengenai direc limit. PEMBAHASAN 1. Fungtor Homologi Singular Diberikan sebuah ruang topologi X maka sebuah p-simpleks singular pada ruang topologi X dengan . adalah sebuah pemetaan kontinyu dibentuk sebuah grup abelian bebas yang Kemudian dengan fungtor grup bebas dibangkitkan melalui himpunan semua p-simpleks singular pada ruang topologi X yang dinotasikan dengan . Karena p bergerak secara membesar maka didapat sebuah grup graded yang dinotasikan dengan . Selanjutnya dengan grup graded
dapat dikonstruksi sebuah operator batas
yang memenuhi sifat untuk . Grup graded yang dilengkapi dengan operator batas dinamakan kompleks rantai singular dan dinotasikan dengan . Selanjutnya diberikan dua buah kompleks singular rantai maka (morfisma diantara kompleks rantai singular) jika dengan
dan
dikatakan pemetaan rantai singular adalah sebuah koleksi homomorfisma grup
dan diagram berikut adalah komutatif
M-253
Denik Agustito / Grup Homologi Dari
[gambar 1] Jadi diperoleh sebuah kategori yang objek-objeknya adalah kompleks rantai singular dan morfismanya adalah pemetaan rantai singular yang dinotasikan dengan CC. Akibatnya terdapat sebuah fungtor kovariant dari TOP ke CC yang membangkitkan sebuah ruang topologi X menjadi sebuah kompleks rantai singular
dan membangkitkan sebuah pemetaan kontinyu
menjadi sebuah pemetaan rantai singular Fungtor tersebut dinamakan fungtor rantai singular.
.
Sekarang diberikan sebuah kompleks rantai singular . Kompleks rantai singular tersebut dapat diilustrasikan dalam barisan grup abelian bebas bersama dengan homomorfismanya (operator batas) yaitu sebagai berikut
[gambar 2] Pada kompleks rantai singular dalam gambar 2 bahwa operator batas memenuhi sifat untuk dan sifat ini ekuivalen dengan . Sekarang tulis dan . Jelas bahwa dan adalah subgroup dari grup abelian bebas . Subgrup dinamakan boundaries berdimensi p-1 dan subgrup dinamakan cycle berdimensi p-1. Karena p bergerak secara membesar maka boundaries dan cycles berturut-turut dapat dipandang sebagai grup graded dan dinotasikan dengan dan . Diperoleh fakta bahwa adalah subgrup dari maka dapat dikonstruksi sebuah grup baru yaitu grup faktor . Grup faktor dinamakan grup homologi singular bedimensi-p. Karena p bergerak secara membesar maka grup homologi singular dapat dinotasikan dengan . Jika diberikan dua buah grup homologi dan maka pemetaan terdiri dari koleksi
dikatakan pemetaan diantara grup homologi singular jika dengan
adalah homomorfisma grup. Pemetaan
merupakan homomorfisma grup graded berderajat-0. Jadi terdapat sebuah kategori yang objek-objeknya adalah grup homologi singular dan morfismannya adalah homomorfisma grup berderajat-0 yang disebut dengan kategori grup homologi singular. Karena grup homologi singular adalah grup graded maka kategori tersebut akan dinotasikan dengan GG. Jadi terdapat sebuah fungtor dari CC ke GG yang membangkitkan sebuah kompleks rantai singular menjadi grup homologi dan membangkitkan sebuah pemetaan rantai singular menjadi homomorfisma grup berderajat-0. Fungtor tersebut dinamakan fungtor homologi singular. 2. Grup Homologi dari Ruang Topologi Terhubung Lintasan Pada bagian ini akan diaplikasikan fungtor homologi singular dari ruang topologi tertentu. Sekarang diberikan suatu ruang topologi yang hanya terdiri dari satu titik dan dinotasikan dengan . Himpunan semua p-simpleks singular dari X hanya ada satu. Jadi untuk nilai p manapun diperoleh sebuah grup abelian bebas dan bila dinyatakan dalam barisan grup abelian bebas bersama dengan homomorfismanya menjadi
[gambar 3] M-254
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
Barisan tersebut menghasilkan sebuah grup homologi sebagai berikut
Grup homologi dari ruang topologi yang hanya terdiri dari satu titik digunakan untuk menghitung grup homologi dari ruang topologi yang bisa dikontraksi (contractible). Selanjutnya akan diaplikasikan fungtor homologi singular untuk ruang topologi terhubung lintasan. Pengertian ruang topologi terhubung lintasan akan diberikan dalam definisi berikut ini. Definisi 1. Misalkan X adalah ruang topologi, titik x dan y berada pada X. Sebuah lintasan dalam X dari titik x ke titik y adalah sebuah pemetaan kontinyu sedemikian hingga dan . Ruang topologi X dikatakan terhubung lintasan jika setiap dua titiknya dapat dihubungkan melalui sebuah lintasan dalam X. Sebuah ruang topologi terhubung lintasan dapat dijumpai pada sebuah sel tertutup satuan dari ruang Euclidean yang dinotasikan dengan dengan karena untuk setiap dua dan y dalam maka terdapat sebuah lintasan dari x ke y yaitu yang titik untuk . Begitu juga setiap himpunan bagian dari didefinisikan dengan yang konveks adalah sebuah ruang topologi ruang Euclidean terhubung lintasan dengan topologinya dibangkitkan melalui topologi pada . Diberikan sebuah ruang topologi terhubung lintasan X. Maka 0-simpleks singular pada X dapat diidentifikasi dengan sebuah tittik pada X, akibatnya adalah grup abelian bebas yang dibangun oleh semua titik-titik pada X. Kemudian untuk 1- simpleks singular pada X dapat diidentifikasi sebagai sebuah lintasan dari suatu titik pada X ke titik yang lain, akibatnya adalah grup abelian bebas yang dibangun oleh semua lintasan dalam X. Kemudian pandang barisan grup abelian bebas bersama dengan homomorfismanya berikut ini.
[gambar 4] Dari gambar 4 jelas bahwa . Jadi untuk setiap dapat dinyatakan secara hampir semua . Selanjutnya grup homologi berdimensi-0 dari tunggal sebagai ruang topologi terhubung lintasan akan diberikan dalam teorema berikut. Teorema 1.1. Misalkan X adalah ruang topologi terhubung lintasan. Maka . Bukti. Bukti dari Teorema ini adalah mundur dengan mengaplikasikan teorema fundamental homomorfisma grup, untuk menghitung cukup ditunjukkan terdapat dengan . Pilih pemetaan yang sebuah epimorfisma grup . Ambil sembarang dan dalam . didefinisikan dengan Maka Jadi sembarang
. dengan mendefinisikan sebuah homomorfisma grup. Ambil . Maka untuk sembarang berlaku . Jadi dengan adalah pemetaan surjektif. Akibatnya dengan adalah sebuah epimorfisma grup. Kemudian ditunjukkan bahwa . diidentifikasi sebagai sebuah Ambil sembarang 1- simpleks singular pada X yaitu . Karena lintasan dalam X katakan dari titik x ke titik y maka akibatnya . Karena berakibat dan . Selanjutnya ambil sembarang . Maka Pilih maka terdapat 1- simpleks singular dan karena X adalah terhubung lintasan, untuk setiap dengan dan untuk a dan b anggota . Jadi . Maka
M-255
Denik Agustito / Grup Homologi Dari
dan . Karena
Akibatnya Contoh
1.
maka Grup
homologi
dan . berdimensi-0
. . Karena
maka dari
sebuah
sel
tertututp
satuan
dengan dan himpunan konveks dalam ruang Euclidean isomorfik ke grup siklik tak hingga. 4. Grup Homologi dari Komponen Lintasan dalam suatu Ruang Topologi
Untuk mengetahui sifat homologi dari komponen lintaan dalam suatu ruang topologi terlebih dahulu kembali mengkaji beberapa hal mengenai kompleks rantai singular yang terkait dengan hasil tambah langsung. Definisi 2. Misalkan X adalah ruang topologi dan dengan koleksi berideks dari kompleks rantai singular. Maka hasil tambah langsung dari dinotasikan dengan
adalah untuk
.
Hasil tambah langsung dari kompleks rantai singular yaitu
adalah sebuah kompleks .
rantai singular dengan operator batasnya didefinisikan dengan Teorema 2.1. Misalkan X adalah ruang topologi dan
dengan
adalah
. koleksi berideks dari kompleks rantai singular. Maka Bukti. Diketahui adalah koleksi berindeks dari kompleks rantai singular. Maka dan
.
Jadi
. Diberikan sebuah ruang topologi X dan didefinisikan suatu relasi ekuivalen diantara titik x dan titik y dalam X yaitu sebagai berikut: jika dan hanya jika terdapat sebuah lintasan dalam ruang topologi X dari x ke y. Teorema 2.2. Miaslkan X adalah ruang topologi. Maka relasi adalah relasi ekuivalen. Bukti. (i). Ambil sembarang titik x dalam X. Pilih pemetaan kontinyu yang didefinisikan dengan untuk . Jelas bahwa . Jadi relasi bersifat refleksif. (ii). Ambil sembarang x dan y dalam X. Tulis adalah suatu lintasan dalam X yang menjadikan . Kemudian pilih yang didefinisikan dengan untuk . Jelas dan . Jelas . Jadi relasi bersifat simetris. (iii). Ambil sembarang titik x, y dan z dalam X. Misalkan adalah suatu lintasan dalam X yang menjadikan dan adalah suatu lintasan dalam X yang menjadikan . Pilih sebuah lintasan
yang didefinisikan dengan
. Jelas
dan . Akibatnya . Jadi relasi bersifat transitif. Kelas ekuivalensi terhadap relasi yang memuat suatu titik x pada X dikatakan komponen lintasan dari X. Contoh 2. Misalkan adalah himpunan bilangan real dengan topologi biasa dan adalah subruang dari yang terdiri dari semua bilangan rasional dengan topologinya diabngkitkan oleh topologi pada . Maka komponen lintasan dari adalah singelton dan merupakan himpunan terbuka dalam .
M-256
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
Teorema 2.3. Misalkan X adalah ruang topologi dan
adalah komponen lintasan dari X,
.
maka Bukti.
dengan Definisikan pemetaan bahwa pemetaan tersebut adalah homomorfisma grup. Ambil sembarang
. Dibuktikan dan maka
anggota
. adalah homomorfisma grup. Ambil sembarang . Akibatnya . Jadi haruslah . Jadi X yaitu dalam suatu
. Jelas dan
monomorfisma. Ambil sembarang p- simpleks singular pada . Karena
adalah terhubung lintasan (karena konveks) maka
. Karena
dengan
anggota . Jadi
Jadi
.
termuat dalam suatu
termuat
maka terdapat secara tunggal
Jadi
adalah
adalah isomorfisma dan tulis
epimorfisma.
Akibatnya
. Berdasarkan Teorema 2.1
. dipeoleh Contoh 3. Mengacu pada Contoh 2, dengan mengaplikasikan Teorema 2.3 dan homologi dari ruang topologi yang terdiri dari satu titik maka dengan adalah banyaknya komponen lintasan dari . 5. Grup Homologi dari Ruang Topologi bersama dengan Subset Kompaknya
Pada bagian ini akan digunakan suatu struktur internal dari suatu kategori yang dinamakan sebagai direct limit. Sebelum mendefinisikan direct limit terlebih dahulu didefinisikan sebuah directed set pada suatu himpunan yaitu sebagi berikut. Definisi 3. Himpunan I dikatakan directed set dengan relasi terurut sebagian sedemikian hingga untuk setiap a dan b dalam I terdapat c di I dengan dan . Kemudian setelah mendefinisikan directed set maka didefinisikan direct system dari suatu himpunan yaitu sebagai berikut. Definisi 4. Sebuah direct system dari suatu himpunan adalah keluarga dari himpunan dimana I adalah directed set, dan sebuah fungsi pernyataan berikut: (i). adalah pemetaan identitas pada untuk setiap
apabila
yang mengikuti
;
(ii). Jika maka . Dari Definisi 4, sebuah direct system akan diaplikasikan pada keluarga subgrup dari grup abelian. Diberikan
adalah keluarga subgrup dari grup abelian A ,
adalah
adalah direct system dari subgrup dari grup abelian A bersama homomorfisma grup dan dengan homomorfismanya. Kemudian definisikan sebuah subgrup R dari dengan . Definisi 5. Misalkan A adalah grup abelian dan
adalah direct system dari subgrup dari
grup abelian A bersama dengan homomorfismanya. Maka direct limit dari sistem
adalah
dan maka mereka akan sama dalam direct limit jika untuk suatu k dalam Catat: Jika I, dan dan . Sifat selanjutnya adalah hubungan diantara grup homologi dari suatu ruang topologi bersama M-257
Denik Agustito / Grup Homologi Dari
dengan grup homologi dari semua subset kompaknya. Teorema 5.1. Misalkan X adalah ruang topologi dan adalah keluarga dari semua subset kompaknya dengan relasi terurut sebagian. Maka keluarga grup homologi membentuk sebuah direct system dimana homomorfismanya dibangkitkan melalui pemetaan inklusi. Bukti. (i). Untuk sembarang maka mendefiniskan pemetaan identitas. Dengan fungtor homologi singular diperoleh adalah homomorfisma identitas diantara grup homologi. Untuk setiap . (ii). Untuk sembarang i,j dan k dalam I yang memenuhi sifat . Maka terdapat sebuah komposisi dari pemetaan
. Dengan fungtor homologi singular diperoleh sebuah
. komposisi dari homomorfisma diantara grup homologi yaitu membentuk sebuah direct system bersama dengan homomorfismanya. Jadi Setelah menunjukkan bahwa membentuk sebuah direct system bersama dengan homomorfismanya, akan ditunjukkan bahwa grup homologi dari ruang topologi X isomorfik ke direct limit dari grup homologi dari semua subset kompaknya. Teorema 5.2. Misalkan X adalah ruang topologi dan adalah keluarga dari semua subset kompaknya dengan relasi terurut sebagian. .Maka . Bukti. Untuk setiap subset kompak dari X yaitu maka dengan fungtor homologi singular pemetaan inklusi membangkitkan homomorfisma inklusi diantara grup homologi . Selanjutnya pandang . Sekarang andaikan bahwa dalam R. Maka dari X yang memenuhi sifat untuk setiap k dan terdapat subset kompak dalam
. Pandang diagram komutatif berikut ini.
g [gambar 5] dan R termuat dalam
Jelas bahwa homomorfisma
. Jadi g membangkitkan sebuah .
adalah
isomorfisma.
Dibuktikan dibuktikan
bahwa
adalah surjektif. Ambil sembarang kelas homologi
dalam
. Maka x bisa dinyatakan melalui sebuah cycle
Pertama
bahwa
. Karena
adalah kompak maka
adalah “supported” pada himpunan , yang kompak dalam X untuk setiap j. Maka mana adalah kompak karena jumlahnya adalah berhingga. Jadi untuk suatu I dan menjadi suatu kelas homologi dalam . Akibatnya dan x adalah peta dari . Jadi
adalah surjektif. Kedua dibuktikan bahwa
injektif. Misalkan dalam cycle dengan Jelas
M-258
adalah
adalah
dalam dengan . Setiap dapat dinyatakan . Karena cycle ini terbatas maka terdapat sejumlah n + 1 dari dalam X kompak.
Definisikan sebuah subset X dengan Karena sejumlah n + 1
di
dalam
. dengan
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
maka dalam
adalah . Jadi
Jadi
boundary
dalam R dan R adalah
dalam maka
dan adalah injektif.
adalah isomorfisma grup.
KESIMPULAN Kesimpulan yang diperoleh dari tulisan ini adalah jika X adalah ruang topologi yang hanya . Jika X adalah
terdiri dari satu titik maka struktur grup homologinya adalah ruang topologi terhubung lintasan maka adalah komponen lintasan dari X, maka dan
. Jika X adalah ruang topologi dan .Terakhir jika X adalah ruang topologi
adalah koleksi semua subset kompaknya maka
.
DAFTAR PUSTAKA Agustito., D, Fungtor Homologi Singular, Prosiding Seminar Nasional Aljabar, Universitas Negeri Yogyakarta, 2009. Schubert., H, Categories, Springer-Verlag, Berlin Heiderberg, 1972. Spanier., E. H, Algebraic Topology, Tata McGraw-Hill, New-York, 1966. Vick, James. W, Homology Singular, An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, NewYork, 1973.
M-259
Denik Agustito / Grup Homologi Dari
M-260
