TOPOLOGI RUANG LINEAR Nila Kurniasih Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo Jalan KHA. Dahlan 3 Purworejo e-mail:
[email protected]
Abstrak Tulisan ini bertujuan untuk mendefinisikan topologi ruang linier dan menyelidiki homeomorphisma topologi ruang linear. Metode yang digunakan adalah studi literature. Berdasarkan definisi pada topologi, ruang topologi dan ruang linier, maka topologi ruang linier adalah suatu pasangan ( X ,τ ) di mana X adalah ruang linier dan τ adalah topologi pada X , dan operasi linier yang berlaku dalam ( X ,τ ) , yaitu penjumlahan (x, y ) → x + y yang didefinisikan pada X × X → X dan perkalian dengan skalar (α , x ) → αx yang didefinisikan pada R × X → X , adalah kontinu. Dapat ditunjukkan bahwa topologi ruang linier ( X ,τ ) adalah merupakan homeomorphisma. Kata Kunci: topologi, ruang topologi, ruang linear Pendahuluan
las adalah himpunan dari himpunan
Topologi adalah salah satu
(Lipschutz:1985:2). Topologi dise-
topik dalam bidang Analisis Real.
but topological jika terdapat fungsi
Topolog mulai dimunculkan pada
kontinu dan terbuka. Menurut Hu-
abad XVIII oleh Leonhard Euler,
tahean (1979:33), kekontinuan pada
seorang ahli matematika Swiss,.
selang tertutup dalam R 1 berim-
Topologi merupakan pengembang-
plikasi munculnya sifat-sifat seperti
an dari konsep-konsep seperti him-
keterbatasan fungsi, fungsi maksi-
punan, interval, bilangan, fungsi, li-
mum dan minimum, dan lain-lain.
mit, persekitaran dan lain-lain. To-
Konsep topologi pada R 1 , garis riil,
pologi diasumsikan sebagai koleksi
ruang metrik atau yang sudah ada
himpunan terbuka. Koleksi adalah
sebelumnya mempunyai kesamaan
himpunan dari kelas, sedangkan ke-
yang bisa dianalogikan pada ruang
70
Nila Kurniasih: Topologi Ruang Linear
lain, termasuk ruang linier. Ruang
Berdasarkan uraian tersebut,
linier disebut ruang vektor, yaitu
rumusan masalah yang diajukan
suatu ruang yang ditentukan oleh
adalah :
himpunan tak kosong dengan dua
1. Bilamana
operasi yang berlaku padanya. Su-
suatu
himpunan
disebut topologi ruang linier?
atu himpunan dikatakan ruang lini-
2. Apakah topologi ruang linier
er jika memenuhi dua operasi alja-
adalah suatu homeomorphisma
bar, yaitu penjumlahan dan perka-
karena pemetaan yang berlaku
lian skalar dan memenuhi sifat
di dalamnya adalah homeo-
yang berlaku pada aksioma lapang-
morphisma.
an (field) yaitu tertutup, asosiatif, distributif, komutatif, mempunyai elemen identitas dan mempunyai invers. Ruang linear mempunyai
Landasan Teori 1. Kedudukan Titik dan Himpunan a. Interval Diberikan a, b ∈ R dengan
dua kemungkinan yaitu bebas linear dan tak bebas linier. Pembentuk
a < b,
(generator) yang menjadi basis
{p ∈ R : a < p < b}
ruang linear adalah himpunan yang bebas linier. Topologi ruang linier adalah
Himpunan bilangan
riil
disebut interval
terbuka dan ditulis (a, b ) . Semua titik antara a dan b berada dalam in-
proses topologi pada ruang linier
terval (a, b ) , tetapi a, b bukan ang-
atau ruang metrik. Operasi pada
gota (tidak terdapat) dalam interval.
ruang linier bersifat kontinu dan
Himpunan {p ∈ R : a ≤ p ≤ b} dise-
konsekuensi dari definisi tersebut
but interval tertutup dan ditulis
adalah fungsi atau pemetaan yang
[a, b] .
didefinisikan
dan a, b berada dalam interval
merupakan
suatu
homeomorphisma, selain kontinu dan terbuka juga memenuhi fungsi
Semua titik antara a dan b ,
[a, b] .
bijektif. Nila Kurniasih: Topologi Ruang Linear
71
hingga p ∈ I ⊂ A . Himpunan se-
b. Persekitaran Persekitaran titik p adalah
mua titik-dalam dari himpunan A
suatu himpunan N r ( p ) yang terdiri
disebut titik-dalam dari A dan di-
atas
semua
titik
sehingga
q
d ( p, q ) < r . Bilangan r disebut radius dari
N r ( p ) . Setiap perse-
kitaran adalah himpunan terbuka. Proposisi 1.b.1. (Aksioma Persekitaran) a. N r ( p ) tidak kosong dan p termasuk ke dalam setiap
o 0 tulis A . N 0 = I 0 = Q 0 = φ , R = R 0 dan A = A untuk semua A .
d. Titik Luar Suatu titik p disebut titikluar dari himpunan A jika terdapat persekitaran
N r ( p)
sedemikian
sehingga N r ( p ) ∩ A = φ . Himpunan semua titik-luar dari himpunan
anggota N r ( p ) b. Irisan dari dua anggota
N r ( p ) termasuk N r ( p ) c. Setiap superset dari anggota N r ( p ) termasuk N r ( p )
A disebut exterior A dan ditulis
A e atau ext( A) . e. Titik Limit Definisi 1.e.1. Diketahui A ⊆ R .Titik p ∈ R
d. Setiap anggota N ∈ N r ( p )
dinamakan titik limit (titik kum-
adalah superset dari anggo-
pul) himpunan A , jika setiap
ta G ∈ N r ( p ) di mana G
persekitaran dari p mengan-
adalah persekitaran dari
dung suatu titik dari A yang
masing-masing titiknya, ya-
berbeda dengan p . Himpunan
itu G ∈ N r ( p )
titik limit dinyatakan dengan
untuk ma-
sing-masing g ∈ G . c. Titik Dalam Titik p disebut titik-dalam
A' . Jadi p ∈ A' jika untuk seti-
ap r > 0 berlaku
Nr ( p) ∩ A−{p} ≠ φ .
dari himpunan A jika terdapat interval terbuka I sedemikian se72
Nila Kurniasih: Topologi Ruang Linear
Teorema 1.e.2.
Teorema 1.f.2.
Titik p adalah titik limit himpunan A ⊆ R , jika dan hanya jika setiap persekitaran terbuka dari p mengandung tak berhingga banyaknya titik dari A .
Sifat himpunan terbuka : a. φ dan R adalah himpunan terbuka b. Jika Aα suatu himpunan terbuka, untuk α ∈ ∆ maka
Teorema 1.e.3.
U Aα
juga merupakan
α ∈∆
Himpunan yang tak berhingga dan terbatas di R selalu mempunyai titik limit.
himpunan terbuka. c. Jika Ai merupakan himpunan terbuka untuk i =
f. Himpunan Terbuka
1,2,3,…………,n
Definisi 1.f.1.
maka
n
Diketahui A ⊂ R . Interval terbuka
( p − r, p + r )
dinamakan
persekitaran terbuka dengan
IA
juga
i
merupakan
i =1
himpunan terbuka. Teorema 1.f.3.
pusat p dan radius r dan di-
Setiap himpunan terbuka di R
nyatakan dengan N r ( p ) .
adalah
Titik p dinamakan titik-dalam
interval terbuka yang saling
A , jika ada suatu N r ( p ) yang
lepas.
termuat di dalam A . Himpunan titik-titik-dalam A dinyatakan dengan A0 . A dinamakan him-
gabungan
terbilang
g. Himpunan Tertutup Definisi 1.g.1. Suatu himpunan A dikatakan
punan terbuka, jika setiap titik
tertutup jika A' ⊆ A . Penutup
dari A adalah titik-dalam A .
himpunan
Jadi, A terbuka jika A0 = A .
sebagai
A
didefinisikan
gabungan
A ' dan A
dan dinyatakan dengan A . Jadi
A = A ∪ A' . Nila Kurniasih: Topologi Ruang Linear
Himpunan
titik 73
limit
A ' dinyatakan
dengan
( )
'
A'' , jadi K '' = K ' .
f ( A) = B ,
bawah fungsi f . Jika maka
dapat
dikatakan
bahwa
f : A → B adalah fungsi dari A
Lemma 1.g.2. A ' adalah himpunan tertutup ,
kepada (onto) B ; dapat dikatakan
jadi A'' ⊆ A' .
juga
Jika A ⊆ B maka A ' ⊆ B ' .
surjektif.
Selanjutnya,
f :A→B
adalah surjektif jika
dan hanya jika untuk setiap titik b
Lemma 1.g.4.
dalam , terdapat paling sedikit satu
( A ∪ B )' = A ' ∪ B ' .
titik
Teorema 1.g.5. Setiap himpunan terbuka di R dapat dituliskan sebagai gaterbilang
f :A→B
adalah
Lemma 1.g.3.
bungan
bahwa fungsi
himpunan
dalam
a
sedemikian
A
f (a ) = b .
sehingga
Fungsi
f : A → B disebut satu-satu atau injektif jika dan hanya jika image
tertutup.
(bayangan) dari titik-titik yang
2. Fungsi
berbeda dalam A adalah berbeda;
Misalkan masing-masing ele-
dengan kata lain, f adalah injektif
men dari himpunan A dipasangkan
jika
dengan suatu elemen tunggal dari
sembarang titik a dan b anggota
himpunan
B ; suatu koleksi, f ,
yang memasangkan elemen-elemen
dan
A,
hanya
a≠b
jika,
untuk
mengakibatkan
f (a ) ≠ f (b ) . Fungsi
f :A→B
tersebut disebut fungsi (atau peme-
disebut bijektif jika surjektif dan
taan) dari (atau pada) A ke B dan
injektif.
f B. ditulis f : A → B atau A →
adalah fungsi bijektif. Kemudian,
Elemen tunggal pada B yang dipe-
untuk masing-masing titik b dalam
takan a ∈ A dengan f ditulis f (a)
B , invers image f
dan disebut nilai dari f pada a
selalu singleton, yaitu titik tunggal
atau bayangan (image) dari a di
dalam
74
f :A→B
Diketahui
A.
Tanda
−1
(b )
dari b
b → f −1 (b )
Nila Kurniasih: Topologi Ruang Linear
mendefinisikan suatu fungsi dari B
atu fungsi. Fungsi f kontinu di
ke A
p,
yang disebut fungsi invers
dari f dan ditulis f Jelas, bahwa f a.
−1
−1
Jika f dan g dua fungsi ber-
A⊂ R ,
nilai riil dengan daerah definisi p
titik-
A ⊂ R dan k bilangan tetap,
f dan g kedua-duanya kon-
fungsi. Lambang lim f ( x) = L
tinu, maka fungsi
x→ p
berarti untuk setiap ε > 0 ada
fg dan
δ > 0 sehingga f ( x ) − L < ε bila x ∈ Nδ ( p ) ∩ A dan x ≠ p.
f :R →R
suatu
fungsi. Fungsi f kontinu jika
A⊂ R
dan
suatu
fungsi.
dan hanya jika untuk setiap himpunan
G∈R ,
terbuka.
titik p ∈ A , jika untuk setiap sehingga
terbuka
f −1 (G ) merupakan himpunan
Fungsi f dikatakan kontinu di
δ >0
f adalah kontinu. g
Diketahui
Definisi 2.b.1
ada
f + g ,kg ,
Teorema 2.b.4.
b. Fungsi Kontinu
ε >0
jika
Teorema 2.b.3
limit A dan f : A → R suatu
f :A→R
hanya
x→ p
fungsi bijektif.
Definisi 2.a.1
Diketahui
dan
lim f ( x) = f ( p) .
: B → A.
Limit Fungsi
Diketahui
jika
Definisi 2.b.5.
f ( x ) − f ( p ) < ε bila x ∈ N δ ( p ) ∩ A. Fungsi f dikatakan kontinu,
Diketahui f kontinu pada in-
jika fungsi f kontinu di setiap
kontinu di setiap titik
titik p ∈ A .
Fungsi f kontinu pada interval
(a, b) ,
jika f
(a, b) .
tertutup [a, b] jika kontinu di
Teorema 2.b.2 Diketahui
terval terbuka
A⊂ R ,
p ∈ A ∩ A1 dan f : A → R suNila Kurniasih: Topologi Ruang Linear
(a, b) , kontinu kanan di
a dan
kontinu kiri di b . 75
3. Fungsi Terbuka dan Tertutup Suatu fungsi kontinu mempunyai sifat bahwa invers image setiap himpunan terbuka adalah terbuka dan invers image setiap himpunan tertutup adalah tertutup. Definisi dari fungsi terbuka dan tertutup adalah: a. Suatu fungsi f : X → Y disebut
5. Ruang Linear Definisi 5.1. X adalah himpunan dari ele-
men-elemen yang selanjutnya disebut point, dan dinotasikan dengan huruf kecil: x, y, … Diasumsikan bahwa masingmasing pasangan elemen x, y dapat dikombinasikan dengan proses yang disebut penjum-
fungsi terbuka atau fungsi inte-
lahan untuk menghasilkan ele-
rior jika image dari setiap him-
men yang dinotasikan z = x + y
punan terbuka adalah terbuka. b. Suatu fungsi g : X → Y disebut
.Diasumsikan juga bahwa masing-masing bilangan real α
fungsi tertutup jika image dari
dan elemen x dapat dikombi-
setiap himpunan tertutup adalah
nasikan dengan proses yang
tertutup.
disebut perkalian untuk meng-
4. Homeomorphisma
hasilkan elemen lain yang di-
Definisi 4.1. (Homeomorphisma)
notasikan dengan y = αx . Him-
Fungsi bijektif yang kontinu (satu-satu
dan
kepada)
f : X → Y , sedemikian hingga
f
−1
: Y → X juga kontinu, di-
sebut homeomorphisma ditulis f : X ≅ Y .
dan
punan X dengan dua proses tersebut disebut ruang linear jika aksioma berikut terpenuhi: a. x + y = y + x b. ( x + y ) + z = x + ( y + z ) c. Dalam X terdapat elemen tunggal, 0 dan disebut elemen nol sehingga x + 0 = x
76
Nila Kurniasih: Topologi Ruang Linear
d.Untuk masing-masing x ber-
topologi pada X . Pasangan ( X , τ)
korespondensi dengan ele-
disebut ruang topologi. Masing-
men tunggal − x sehingga
masing anggota τ disebut himpunan
x + (− x ) = 0
terbuka pada X . Dengan aksioma
e. α (x + y ) = αx + αy f. (α + β )x = αx + βy g. α (βx ) = (αβ )x
Topologi dalam himpunan X , yaitu koleksi tak kosong τ ⊆ 2 x dari himpunan-himpunan terbuka
h. 1.x = x
dalam X , disebut himpunan ter-
i. 0.x = 0 j. Jika (−1)x = − x dan 0.α = 0 dapat dituliskan
x − y = x + (− y ) 6. Topologi dan RuangTopologi Topologi
di atas, maka X adalah terbuka.
dilambangkan
dengan τ dan merupakan koleksi dari himpunan-himpunan sedemikian hingga: i. Himpunan kosong, φ , adalah anggota koleksi ii. Irisan dari dua anggota koleksi juga di dalam koleksi iii. Gabungan dari subkoleksi juga di dalam koleksi
buka yang memenuhi empat aksioma berikut : i. Himpunan kosong φ adalah terbuka ii. Himpunan X itu sendiri terbuka iii. Gabungan dari koleksi himpunan terbuka adalah terbuka iv. Irisan
dari
dua
himpunan
terbuka adalah terbuka. Himpunan X dikatakan tertopologi jika topologi τ diberikan dalam X . Himpunan tertopologi X disebut ruang topologi, sing-
katnya ruang, dan topologi τ dalam
Jika τ adalah suatu topologi,
X disebut topologi dari ruang X .
didefinisikan X adalah gabungan
Himpunan-himpunan terbuka da-
dari semua anggota τ. Katakanlah
lam τ disebut himpunan-himpunan
X adalah ruang dari τ dan τ adalah
terbuka dalam ruang X .
Nila Kurniasih: Topologi Ruang Linear
77
Pasangan ( X ,τ ) yang terdiri atas himpunan X dan topologi τ pada X disebut ruang topologi.
1. Pengertian Topologi Ruang linier Definisi: Topologi ruang linier adalah
x
i. Karena 2 adalah koleksi dari semua himpunan bagian-him-
suatu pasangan ( X ,τ) di mana X adalah ruang linier dan τ
x
punan bagian dari X , 2 ada-
adalah suatu topologi pada X
lah topologi. Topologi ini dise-
sedemikian hingga operasi al-
but topologi diskrit yang me-
jabar dalam X adalah kontinu.
ngandung anggota maksimal
Lebih spesifik tentang kontinu-
yang mungkin dari himpunan.
itas, dikatakan bahwa dua pe-
ii. X merupakan perwakilan dari himpunan. Koleksi τ = {φ , X } adalah
topologi
pada
X.
( x, y ) → x + y
metaan
(α , x ) → αx yang
adalah kontinu,
pertama
Topologi ini disebut topologi
pada X × X → X
tak diskrit (topologi trivial) pa-
kedua
da X , yang mengandung ang-
R× X → X .
didefinisikan dan yang
didefinisikan
pada
gota paling sedikit dari him-
Himpunan yang ada dalam
punan. Anggota yang topologi
koleksi τ disebut himpunan-him-
disebut titik. Anggota dari τ
punan terbuka, dan persekitaran
disebut himpunan terbuka dari
dari titik x adalah suatu himpunan
ruang topologi ( X ,τ ) .
U sedemikian hingga untuk suatu
himpunan Pembahasan Berikut ini dibahas definisi topologi ruang linier dan beberapa sifat yang berlaku dalam topologi ruang linier.
78
dan
terbuka
O
terdapat
x ∈ O ⊂ U . Aksioma kontinuitas
tersebut dapat dinyatakan dalam istilah persekitaran berikut : a. Jika U
adalah persekitaran
x + y , maka terdapat persekiNila Kurniasih: Topologi Ruang Linear
taran V dari x dan persekitar-
sedemikian hingga λw ∈ U di
an W dari y sedemikian hing-
mana λ ∈ V dan w ∈ W .
ga v + w berada di dalam U di
Jika v ∈ V dan w ∈ W adalah
mana v ∈ V dan w ∈ W .
himpunan terbuka, maka U adalah himpunan terbuka, dan
b. Jika U adalah persekitaran dari αx , maka terdapat perseki-
f
taran V dari α dan W dari x
−1
(U ) juga terbuka.
Keduanya direpresentasikan pada gambar berikut.
f
x
c
v+w
w
x
V f
−1
W −1
(U )
U
( )
f
x
λw
w
W V α
f
λ f
−1
−1
(U )
U
(U )
Gambar 1. Gambar Representasi Aksioma Kontinuitas Jika λ ∈ V dan w ∈ W adalah himpunan terbuka maka U Nila Kurniasih: Topologi Ruang Linear
adalah
f
−1
himpunan
terbuka,
dan
(U ) juga terbuka. 79
Operasi
penjumlahan
dan
Bukti :
perkalian skalar dalam topologi
Diberikan x, y ∈ X dan α ada-
ruang linier digunakan untuk meng-
lah skalar. Berdasarkan bukti
operasikan persekitaran, karena se-
tentang kontinuitas fungsi pada
tiap persekitaran adalah himpunan
topologi ruang linier, dengan
terbuka dan hasil dari kedua opera-
menggunakan
si juga merupakan himpunan ter-
akan dibuktikan bahwa topologi
buka. Sehingga, operasi dalam to-
ruang linier merupakan suatu
pologi ruang linier adalah kontinu.
homeomorphisma.
2. Homeomorphisme Topologi Ruang Linier
Jika A, G suatu himpunan terbu-
Berdasarkan definisi tentang
syarat
kontinu
ka dalam X , f : A → G se-
topologi ruang linier dan teorema
hingga f ( A) = G suatu fungsi
kontinuitas fungsi, dapat diasumsi-
terbuka, dan f
kan bahwa topologi ruang linier
buktikan suatu kontinuitas fungi
memenuhi sifat homeomorphisma.
pada f , maka dapat dianalo-
Sehingga sifat-sifat yang berlaku
gikan untuk membuktikan konti-
dalam topologi ruang linier adalah
nuitas pada f
sebagai berikut :
homeomorphisma
−1
(G ) ⊆ A
mem-
, yaitu jika ada-
lah himpunan terbuka, maka
a. Topologi ruang linier adalah suatu
−1
karena
( f (G )) −1
−1
juga merupakan him-
translasi (pemetaan) yang berla-
punan terbuka. Berdasarkan ak-
ku padanya adalah homeomor-
sioma bahwa f
phisma
( )
f
−1
−1 −1
(G ) = ℑ ⊆ A ,
= f , untuk
dapat diasum-
( f (G )) −1
−1
= f (ℑ)
Teorema 2.a.1
sikan bahwa
Topologi ruang linier meru-
suatu himpunan terbuka yang
pakan suatu homeomorphisma.
merupakan peta dari himpunan terbuka dalam f
80
−1
(G ) . Dengan
Nila Kurniasih: Topologi Ruang Linear
kata lain, f
−1
(G )
adalah kon-
tinu. Karena syarat homeomorphisma
adalah
kontinu dan f
−1
bijektif,
f
kontinu, maka
topologi ruang linier memenuhi
α ∈ K , selain itu αU kurang berarti. Pemetaan x → αx adalah kontinu, sebagaimana inversnya x → ( 1α )x , maka pemetaan ini adalah homeomorphisma dari
syarat homeomorphisma. ■
X kepada dirinya sendiri dan
Teorema 2.a.2 X adalah Topologi ruang linier,
a ∈ X ,G ⊂ X .
Bukti :
Kemudian
G ∈ N (a ) jika dan hanya jika
karena itu membentuk himpunan terbuka. ■ Penutup
G − a ∈ N . Dengan kata lain,
Dari studi literature tentang
a + U ∈ N (a ) jika dan hanya
topologi ruang linear dapat disim-
jika U ∈ N .
pulkan bahwa : 1. Topologi tuang linier adalah
Bukti : Untuk
a
tetap,
pemetaan
x → x + a adalah kontinu. In-
vers dari pemetaan tersebut, x → x − a juga kontinu. Karena
itu, pemetaan tersebut adalah homeomorphisma dari
X
ke
dirinya sendiri dan juga persekitaran yang membentuk X .■
pasangan ( X ,τ) di mana X adalah ruang linier dan τ adalah suatu topologi pada sedemikian
hingga
X
operasi
aljabar dalam X, yaitu dua pemetaan ( x, y ) → x + y didefinisikan
pada
X×X →X
dan (α , x ) → αx didefinisikan pada R × X → X adalah kon-
Teorema 2.a.3
tinu.
X adalah Topologi Ruang Lini-
2. Berdasarkan definisi topologi
er dan U ∈ N . Maka αU ∈ N
ruang linier maka dapat ditun-
untuk setiap α ≠ 0
jukkan homeomorphisma topo-
Nila Kurniasih: Topologi Ruang Linear
81
logi ruang linier karena translasi (pemetaan) yang berlaku
Kifli, B.,Usman, M. 1985. PrinsipPrinsip Matematika. Bandung: Penerbit Sinar Baru
di dalamnya adalah homeomorphisma. Topologi ruang linier masih bisa dikembangkan terutama pada sifat-sifatnya yang merupakan analogi dari sifat-sifat yang berlaku dalam topologi ruang lain yang sebenarnya merupakan implikasi dari proses topologi. Menggunakan
teori
dasar
himpunan yang dikembangkan dalam analisis real dan aljabar, dapat menemukan modifikasi topologi ruang linier.
Lipschutz, S. 1981. Theory and Problems of General Topology. International Edition Schaum’s Outline Series. Singapore: McGraw-Hill Book Company. Milewski, E. G. 1994. The Topology Problem Solver. New Jersey : Research and Education Assosiation. Purcell, E. J., Varberg, D. Diterjemahkan oleh : Susila, I N., Kartasasmita, B., Rawuh. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitik. Jilid 1. Edisi Keempat. Jakarta : Penerbit Erlangga.
Daftar Pustaka
Rudin, W. 1976. Principles of Mathematical Analysis. USA: McGraw-Hill, Inc.
Cheney, W. 2001. Analysis for Applied Mathematics. New York: Springer.
Silaban, P., Anton, H. 1985. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Gupta,
Taylor, A. E., Lay, D. C. 1980. Introduction to Functional Analysis. New York: John Wiley & Sons.
S.L., Rani, N. 2000. Fundamental Real Analysis. Forth Revision and Enlarged Edition. New Delhi : Vikas Publishing House PVT LTP.
Hutahean, E. 1979. Fungsi Riil. Bandung: Penerbit ITB. Hu, S. 1967. Element of Real Analysis. California: Holden-Day, Inc. 82
Wahyudin. 1987. Dasar-Dasar Topologi. Bandung: Penerbit Tarsito. Wilansky, A. 1978. Modern Methods in Topological Vector Spaces. USA: McGrawHill, Inc. Nila Kurniasih: Topologi Ruang Linear
