Funkční řady 1. Těžké dokonale ohebné a nepružné pásmo, jehož průřez se mění tak, že proti přetržení klade stálý odpor, po zavěšení zaujme tvar řetězovky stálé pevnosti. Řetězovka je x vyjádřena rovnicí f ( x ) = − a ln cos , a > 0. Určete definiční obor funkce f, funkci f a aproximujte prvními dvěma nenulovými členy Taylorovy řady v počátku, určete chybu aproximace jedním členem řady pro a = 325.4, x = 5m.
2. Těžké dokonale ohebné a nepružné pásmo, jehož průřez se mění tak, že proti přetržení klade stálý odpor, po zavěšení zaujme tvar řetězovky stálé pevnosti. Řetězovka je x vyjádřena rovnicí f ( x ) = − a ln cos , a > 0. Určete definiční obor funkce f, určete a funkci s(x), x ∈ D f , oblouku řetězovky, funkci s aproximujte prvními dvěma nenulovými členy Taylorovy řady v počátku, porovnejte chybu aproximace jedním členem řady s hodnotou funkce s pro a = 325.4, x = 10.
pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x f ( x ) = a cosh , a > 0. Určete funkci s(x), x ∈ D f , oblouku řetězovky a její a aproximaci prvními dvěma nenulovými členy Taylorovy řady v počátku, tuto aproximaci porovnejte s délkou paraboly, která aproximuje řetězovku (první dva členy Taylorovy řady řetězovky).
3. Kovové
ϕ2
4. Integrál S = b ∆λ ∫ 2
cos ϕ dϕ
pro obsah čtyřúhelníku na zploštělém rotačním 2 sin 2 ϕ elipsoidu substitucí převeďte na integrál racionální funkce, kterou nahraďte binomickou řadou, integrujte a zpětně substituujte. Určete n tak, aby pro e 2 = 0,0067 , ϕ1
(1 − e
2
)
rovnoběžkový pás 0 o ,30 o a b = 6356,8km byl rozdíl S n +1 − S n < 0,0001 . Vypočítejte
pak obsah S n .
5. Doba kyvu matematického kyvadla je dána integrálem T = 2
l g
π /2
∫
dϕ
, 1 − k 2 sin 2 ϕ kde l je délka kyvadla, g je tíhové zrychlení, k = sin α / 2 , α je úhel svislé a krajní polohy kyvadla. Iracionální funkci nahraďte funkční řadou. Při integraci použijte π /2 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ L ⋅ (2n − 1) π vzorec ∫ sin 2 n x dx = . Určete n tak, aby pro l = 1m , α = 90 o a n 2 2 n! 0 0
normální tíhové zrychlení g = 9.8ms −2 byl rozdíl Tn+1 − Tn < 10 −4 . Určete Tn .
6. Určete funkci s (ϕ ) oblouku meridiánu X (ψ ) = [a cosψ , b sinψ ] rotačního elipsoidu, kde ψ ∈ − π / 2, π / 2
je redukovaná šířka. V integrálu použijte substituci
b tan ϕ mezi redukovanou a geodetickou šířkou ϕ . Z funkce vyloučením a kosinu a dosazením e 2 = a 2 − b 2 / a 2 dostanete 2. geodetickou funkci, kterou nahraďte funkční řadou. Pro výpočet délky jednoho kvadrantu eliptického meridiánu π /2 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ L ⋅ (2n − 1) π . Určete n tak, aby pro elipsoid použijte vzorec ∫ sin 2 n x dx = 2 2 n n! 0 tanψ =
(
)
WGS´84 byl rozdíl s n +1 − s n < 0,00001 .
7. Intenzita gravitačního pole kulové vrstvy, kterou se nahrazuje odlehlost H geoidu od H2 H3 GM 2 Země, v bodě na jejím povrchu je E = , kde M = 4 R πσ H + + 2 R 3R ( R + H )2 je hmotnost vrstvy s konstantní hustotou σ , R je poloměr Země. Intenzitu E vyjádřete jako součet dvou mocninných řad proměnné H / R < 1 (řady sečtěte!). Ve výpočtech se pak berou první tři členy řady.
8. Pro vytyčování podrobných bodů kružnicového oblouku pomocí ortogonálních souřadnic od tečny volte kartézskou soustavu souřadnic tak, že osa x je tečna a osa y normála kružnice poloměru R. Pro rovnoměrné vytyčení bodů volte středové úhly ϕ , 2ϕ , 3ϕ ,L od osy y . Funkce sinus a kosinus, ve vyjádření souřadnic vytyčovaných bodů, aproximujte kvadratickými polynomy úhlů. Pro jaké úhly při měření v metrech bude chyba centimetr?
9. Pro vzdálenosti do 600 km se oblouk geodetiky mezi body P1, P2 na referenčním elipsoidu nahrazuje kružnicovým obloukem poloměru R. Vyjádřete kružnicový oblouk s jako funkci tětivy t = P1 P2 . Potom funkci s vyjádřete Taylorovou řadou a určete postačující počet jejích členů, aby chyba byla menší než 1cm.
10. Klotoida je křivka, jejíž křivost od inflexního bodu roste úměrně s délkou s oblouku.Využívá se v silničním stavitelství jako přechodnice z pohybu rovnoměrného přímočarého na pohyb rovnoměrný kruhový. Její parametrické s s t2 t2 vyjádření je x(s ) = ∫ cos 2 dt , y (s ) = ∫ sin 2 dt , kde konstanta a je parametr 2a 2a 0 0 určující její poměrnou velikost. Integrály v parametrickém vyjádření klotoidy se nazývají Fresnelovy integrály. Pro jejich výpočet použijeme rozvoje do mocninných řad. Pro poloměr oblouku R = 300m a délku oblouku s = 100m je a = 100 3m . Pro n = 1 určete chybu souřadnic.
11. Klotoida je křivka, jejíž křivost od inflexního bodu roste úměrně s délkou s oblouku.Využívá se v silničním stavitelství jako přechodnice z pohybu rovnoměrného přímočarého na pohyb rovnoměrný kruhový. Její parametrické ϕ ϕ a cos ϕ a sin ϕ ( ) d ϕ , y = dϕ , kde parametr ϕ je vyjádření je x(ϕ ) = ϕ ∫ ∫ 20 ϕ 20 ϕ odchylka tečny klotoidy od osy x, konstanta a je parametr určující její poměrnou velikost. Rovnice převeďte substitucí ϕ = s 2 / 2a 2 na parametrické vyjádření klotoidy pomocí oblouku s. Pro poloměr oblouku R = 300m a délku oblouku s = 100m je a = 100 3m . Pro n = 1 určete chybu souřadnic. 12. Pro vytyčování parabolického oblouku x = ay 2 (vrstevnice klembových přehrad) je třeba určit poloměr křivosti v libovolném bodě a délku oblouku. Poloměr křivosti 1 vyjádřete pomocí poloměru křivosti R0 = ve vrcholu paraboly. Oblouk nahraďte 2a Taylorovou řadou pro y / R0 a určete chybu aproximace dvěma členy.
13. Logaritmická spirála (výpusť z přehrady) v polárních souřadnicích ρ , ϕ má rovnici
ρ = e ϕ , tj. její parametrizace je x(ϕ ) = e ϕ (cos ϕ , sin ϕ ) . Určete úhel radiusvektoru a
tečného vektoru bodu spirály, poloměr křivosti R (ϕ ) =
x' (ϕ )
3
x' (ϕ ) × x' ' (ϕ )
, funkci
ϕ
s (ϕ ) = ∫ x' (t ) dt oblouku spirály a její Taylorovu řadu. 0
(
)
(
2
)
14. Pro Bernoulliovu lemniskátu x 2 + y 2 = a 2 x 2 − y 2 , a > 0, (přechodnice pro vodní toky) určete rovnici ρ = ρ (ϕ ) v polárních souřadnicích, její definiční obor a parametrizaci polárními souřadnicemi, poloměr křivosti R(ϕ ) = ϕ
funkci
s (ϕ ) = ∫ x' (t ) dt ,
(ρ '
2
+ρ 2
)
3
2 ρ ' 2 − ρρ ' '+ ρ 2
,
ϕ < π / 4 oblouku lemniskáty a její aproximaci dvěma
0
prvními nenulovými členy Taylorovy řady v počátku.
(
)
15. Pro Bernoulliovu lemniskátu x 2 + y 2 = 2a 2 xy, a > 0, určete: rovnici ρ = ρ (ϕ ) v polárních souřadnicích, její definiční obor a parametrizaci polárními souřadnicemi, poloměr křivosti R (ϕ ) =
(ρ '
2
2
+ρ 2
)
3
2 ρ ' 2 − ρρ ' '+ ρ 2
, funkci
s (ϕ ) =
π /4
∫ϕ x' (t ) dt , ϕ > 0 ,
oblouku
lemniskáty a její aproximaci dvěma prvními nenulovými členy Taylorovy řady v bodě π /4.
1 x4 x5 , kde R je poloměr 16. Blossova přechodnice je dána rovnicí f ( x ) = 2 − R 4 L 10 L3 křivosti a L je délka přechodnice. V bodě x = L určete Taylorovu řadu funkce f. V bodě L určete křivost přechodnice a její vyjádření Taylorovou řadou. Určete chybu aproximace křivosti prvním členem řady. Určete aproximaci funkce s (L ) oblouku přechodnice dvěma členy řady.
x3 L L 2 xπ − x− sin 17. Kleinova přechodnice je dána rovnicí f ( x ) = , kde R 2 6 LR 4 Rπ 2π L je poloměr křivosti a L je délka přechodnice. V bodě x = L určete Taylorovu řadu funkce f. V bodě L určete křivost přechodnice a její vyjádření Taylorovou řadou. Určete chybu aproximace křivosti prvním členem řady. Určete aproximaci funkce s (L ) oblouku přechodnice dvěma členy řady. 1 x 2 L2 πx + 2 cos − 1 , kde R je 2R 2 π L poloměr křivosti a L je délka přechodnice. V bodě x = L určete Taylorovu řadu funkce f. V bodě L určete křivost přechodnice a její vyjádření Taylorovou řadou. Určete chybu aproximace křivosti prvním členem řady. Určete aproximaci funkce s (L ) oblouku přechodnice dvěma členy řady.
18. Kosinusová přechodnice je dána rovnicí f ( x ) =
x4 19. Schrammova přechodnice je složena ze dvou křivek daných rovnicemi f 1 ( x ) = 2 , 6L R 4 3 2 2 x 2x x Lx L f 2 (x ) = − 2 + − + − , kde R je poloměr křivosti a L je délka 6 L R 3LR 2 R 6 R 48 R přechodnice. V bodě x = L / 2 určete Taylorovu řadu funkce f. V bodě L určete křivost přechodnice a její vyjádření Taylorovou řadou. Určete chybu aproximace oblouku křivosti prvním členem řady. Určete aproximaci funkce s (L / 2) přechodnice dvěma členy řady.
20. Eliptický tvar vodorovných prstenců klenbové přehrady využívá klesání křivosti elipsy od jejího hlavního vrcholu k vedlejším vrcholům (patkám klenby). Pro jeho vytyčení určete poloměr křivosti a funkci oblouku v libovolném bodě. Z implicitní rovnice x2 y2 elipsy 2 + 2 = 1 vypočítejte x v závislosti na y. Pro vyjádření oblouku nejdříve a b a2 − b2 upravte integrand, označte e 2 = . Pro výpočet vezměte první 2 členy. b2
x12 + x 22 x32 a2 − b2 2 + = 1 , kde e = , a2 a 2 1 − e2 a2 transformujme do sférických souřadnic ρ , λ , ϕ a potom vypočítejte poloměr. Poloměr vyjádřete řadou pro e 2 cos 2 ϕ . Pro aproximaci poloměru použijte první dva členy
21. Implicitní rovnici rotačního elipsoidu
(
)
z této řady a z řady pro 1 − e 2 .
22. Z bodu A na referenční kouli, o poloměru R=6378 km, která aproximuje zemské těleso, je teodolitem zaměřen bod P´, AP' = x . Určeme převýšení v bodu P´ nad povrchem. Pro x=1km určete chybu aproximace v jedním a dvěma členy řady.
23. V bodě Xo , s tíhovým zrychlením g 0 , změříme dobu kyvu T0 kyvadla délky l. V bodě X1 změříme dobu kyvu T1 = T0 + ∆T , kde ∆T je přírůstek doby kyvu. Tíhové 2
2
π π zrychlení g1 v bodě X1 se určí z rovnic: g 0 = l , g 1 = l . Vyjádřete ho T1 T0 řadou a určete chybu aproximace g1 prvními dvěma členy.
24. Tíhové zrychlení na povrchu Země (poloměru R) je g 0 . Určete tíhové zrychlení g ve hmotném bodě vzdáleném x, x < R , od povrchu Země.Vyjádřete ho řadou a určete chybu aproximace dvěma prvními členy. (Tíhové zrychlení v bodě je nepřímo úměrné čtverci vzdálenosti bodu od středu Země.)
