Matematicka´ analy´za II prˇedna´sˇky M. Ma´lka cvicˇenı´ A. Hakove´ a R. Ota´halove´ Semestr letnı´ 2005
6. Nekonecˇne´ rˇady funkcı´ V sˇeste´ kapitole pokracˇujeme ve studiu nekonecˇny´ch rˇad. Nejprve odvozujeme za´kladnı´ tvrzenı´ o soucˇinech rˇad (ktera´ pozdeˇji vyuzˇijeme prˇi odvozova´nı´ za´kladnı´ch vlastnostı´ exponencia´lnı´ a goniometricky´ch funkcı´). Pote´ zava´dı´me pojmy nekonecˇne´ rˇady funkcı´ a jejı´ bodove´ a stejnomeˇrne´ konvergence. V dalsˇ´ım odstavci probı´ra´me mocninne´ rˇady, ktere´ jsou za´kladnı´m prˇ´ıkladem nekonecˇny´ch rˇad funkcı´. Pomocı´ mocninny´ch rˇad pak v poslednı´m odstavci definujeme neˇktere´ elementa´rnı´ funkce: exponencia´lnı´ a logaritmickou funkci a goniometricke´ funkce. 6.1 Na´sobenı´ rˇad. Podı´vejme se neprve na na´sobenı´ mnohocˇlenu˚ x = x 1 + . . . + x n a y = y1 + . . . + yn . Podle distributivnı´ho za´kona ma´me pro n=1 n=2
x y = x 1 y1 , x y = (x 1 y1 ) + (x 1 y2 + x 2 y2 + x 2 y1)
(oproti prˇedchozı´mu soucˇinu prˇibyl soucˇet x 1 y2 + x 2 y2 + x 2 y1 ). Pro dva trojcˇleny dostaneme n=3
x y = (x 1 y1 + x 1 y2 + x 2 y2 + x 2 y1) + (x 1 y3 + x 2 y3 + x 3 y3 + x 3 y2 + x 3 y2 )
(tedy oproti na´sobenı´ dvojcˇlenu˚ prˇibyl soucˇet x 1 y3 + x 2 y3 + x 3 y3 + x 3 y2 + x 3 y2 ). Jisteˇ bychom nynı´ byli schopni napsat ktere´ cˇleny prˇibudou na´sobı´me-li dva n-cˇleny, toho za chvı´li vyuz ˇ ijeme. ! ! Obdobneˇ postupujeme i v prˇ´ıpadeˇ soucˇinu nekonecˇny´ch rˇad. Uvazˇme dveˇ rˇady xn a yn s posloupnostmi cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ (sn ) a (tn ). Ma´me sn tn = (x 1 + x 2 + . . . + x n )(y1 + y2 + . . . + yn ) = x 1 y1 + +x 1 y2 + x 2 y2 + x 2 y1 +x 1 y3 + x 2 y3 + x 3 y3 + x 3 y2 + x 3 y1 (6.1.1) .. . +x 1 yn + x 2 yn + . . . + x n−1 yn + x n yn + . . . + x n yn−1 + x n yn−2 + . . . + x n y1. ! Posloupnost (u n ) = (sn tn ) je tedy posloupnostı´ cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ rˇady z n , kde z n = x 1 yn + x 2 yn + . . . + x n−1 yn + x n yn + . . . + x n yn−1 + x n yn−2 + . . . + x n y1.
(6.1.2)
Jestlizˇe nynı´ existujı´ limity s = lim sn a t = lim tn , pak existuje i limita lim u n a je rovna st. Doka´zali jsme tedy ! ! ! Veˇta 6.1. Necht’cˇ! leny rˇady z n jsou urcˇeny prˇedpisem (6.1.2). Konvergujı´-li rˇady x n a yn , pak konverguje i rˇada z n a platı´ ˇ ada R
"
zn =
"
z=
!
"
xn ·
"
yn .
(6.1.3)
! ! z n z prˇedchozı´ veˇty se nazy´va´ (obycˇejny´) soucˇin rˇad x n a yn . ! v libovolne´m porˇadı´. Pak Veˇta 6.2. Necht’r ! ˇada ! z, je tvorˇena soucˇiny x i y j , i, j ∈ N usporˇa´dany´mi ! jestlizˇe rˇady x n a yn absolutneˇ konvergujı´, konverguje absolutneˇ i rˇada z n a platı´ "
xn ·
"
yn .
(6.1.4)
6-1
6-2
6. Nekonecˇne´ ˇrady funkcı´
! z konverguje prˇi libovolne´m usporˇa´da´nı´ cˇlenu˚ x i yi plyne z absolutnı´ D u˚ k a z. Tvrzenı rˇada !´, zˇe ! konvergence rˇad x n , yn a veˇty 5.27. ! Zby´va´ tedy doka´zat vztah (6.1.4). Protozˇe, jak uzˇ vı´me, usporˇa´da´nı´ cˇlenu˚ rˇady z n jejı´ soucˇet nezmeˇnı´, prˇedpokla´dejme, zˇe cˇleny posloupnosti (z n ) jsou usporˇa´da´ny takto: (z n ) = (x 1 y1, x 1 y2 , x 2 y2 , x 2 y1 , x 1 y3 , x 2 y3 , x 3 y3 , x 3 , y2 , x 3 y1 , . . .). ! ! ! Jelikozˇ rˇady xn a yn konvergujı´ absolutneˇ, pak podle veˇty 6.1 konverguje i rˇada z n , tvorˇena´ cˇleny z n = |x 1 ||yn | + |x 2 ||yn | + . . . + |x n−1 ||yn | + |x n ||yn | + . . . + |x n ||yn−1 | + |x n ||yn−2| + . . . + |x n ||y1| Posloupnost cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ te´to rˇady je vybranou posloupnostı ´ z posloupnosti cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ ! ! ˇ rˇady |z n |, ktera´ ma´ neza´porne´ cˇleny a konverguje. Rada z n tedy konverguje absolutneˇ. Tı´m je veˇta doka´za´na. ! ! ! Du˚sledek 6.3. Jestlizˇe rˇady x n a yn absolutne ´, pak absolutneˇ konverguje i rˇada z n , ! ˇ konvergujı ! ! kde z n = x 1 yn + x 2 yn−1 + . . . + x n y1 a platı´ z n = x n · yn . ! ! ! ˇ ada z n z prˇedchozı´ho tvrzenı´ se nazy´va´ Cauchyho soucˇin rˇad x n a R yn . ! n ! n Uvazˇujme dveˇ geometricke´ rˇady p a q , Cauchyho soucˇin rˇad snadneˇji pochopı´me usporˇa´da´me-li si vsˇechny soucˇiny pi q j kde i, j ∈ N do nekonecˇneˇ velke´ ,,tabulky“ pq pq 2 pq 3 pq 4 ˙˙˙
p2 q p2 q 2 p3 q 2 ...
p3 q p2 q 3 ...
p4 q ...
...
! ! n! n p , porovnej s definicı´, je rˇada z n jejı´zˇ cˇleny jsou z 1 = pq (cˇlen v leve´m hornı´m Cauchyho soucˇin q rohu), z 2 = p2 q + pq 2 (druha´ diagona´la zprava do leva), da´le z 3 = p3 q + p2 q + pq 3 (trˇetı´ diagona´la), azˇ obecneˇ z n = pn q + . . . + pq n . To mu˚zˇe by´t velmi vy´hodne´, jak uvidı´me u mocninny´ch ˇrad. Ale jizˇ nynı´, pokud by p = q, dostaneme z n = npn+1 .
6.2 Nekonec ! ˇ ne´ rˇady funkcı´. Necht’ Y ⊂ X ⊂ R. Uvazˇujeme posloupnost ( f n ) funkcı´ f n : X → R. Symbol f n nazy´va´me nekonecˇnou rˇadou funkcı´, urcˇenou posloupnostı´ ( f n ). Posloupnost (h n ) funkcı´ h n : X → R, definovanou prˇedpisem h n = f1 + f2 + . . . + fn , ! nazy´va´me posloupnostı´ cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ rˇady ! f n . Jestlizˇe je posloupnost cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ (h n ) na mnozˇineˇ Y bodoveˇ konvergentnı´, nazy´va´me rˇadu f n bodoveˇ konvergentnı ´ na mnozˇineˇ Y . Obor kon! vergence posloupnosti (h ) nazy ´va ´ me oborem konvergence r ˇ ady f . Je-li Z ⊂ X!obor konvergence n n ! rˇady f n , pak funkci f : Z → R takovou, z ˇ e pro kaz ˇ de ´ x ∈ Z platı ´ f (x) = f n (x) nazy´va´me ! soucˇtem rˇady f n . Je-li posloupnost (h n ) na mnozˇineˇ Y stejnomeˇrneˇ konvergentnı´, nazy´va´me rˇadu ! f n stejnomeˇrneˇ konvergentnı´ na mnozˇineˇ Y . Necht’ X = R \ {0} a fn : X → R, f n (x) =!n/x n . Najdeˇme obor konvergence rˇady Pouzˇijeme podı´love´ krite´rium (veˇta 5.21) na rˇadu n/|x|n platı´ lim
n→∞
(n + 1)|x|n |x|
n+1
n
= lim
n→∞
n+1 1 = . n|x| x
!
f n . Necht’ x ∈ X.
Matematicka´ analy´za II
6-3
! ! n konverguje, a tedy rˇada Je-li n/x n konverguje! absolutneˇ! . Je-li 1/|x| > 1 rˇada ! tedyn 1/|x| < 1, rˇada! n/|x| n ˇ ady n/1n a n/(−1)n divergujı´. n/|x| , a tedy ani rˇada ! n/x nesplnˇuje nutnou podmı´nku konvergence. R Oborem konvergence rˇady f n je tedy mnozˇina (−∞, −1) ∪ (1, ∞). Stejne´ho vy´sledku lze dosa´hnout pomocı´ odmocninove´ho krite´ria.
! Veˇta 6.4 (Cauchy-Bolzanovo krite´rium). Rˇada f n konverguje stejnomeˇrneˇ na mnozˇineˇ Y , pra´veˇ kdyzˇ ke kazˇde´mu ε > 0 existuje cˇ´ıslo n 0 takove´, zˇe pro kazˇde´ n 2 ≥ n 1 ≥ n 0 a x ∈ Y platı´ | fn 1 + . . . + f n 2 | < ε.
D u˚ k a z. Stacˇ´ı pouzˇ´ıt veˇtu 5.8 na posloupnost cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ rˇady Jestlizˇe v (6.2.1) polozˇ´ıme n 1 = n 2 , dostaneme
(6.2.1) !
fn .
! Du˚sledek 6.5 (nutna´ podmı´nka stejnomeˇrne´ konvergence rˇady funkcı´). Jestlizˇe rˇada f n konverguje stejnomeˇrneˇ na Y , pak posloupnost ( f n ) konverguje stejnomeˇrneˇ k nule na Y . ! ! Du˚sledek 6.6. Jestlizˇe rˇada f n konverguje stejnomeˇrneˇ na Y , pak posloupnost ( ∞ k=n f k ) konverguje stejnomeˇrneˇ k nule na Y . ! ! ! Veˇta 6.7. Jestlizˇe rˇada | f n | konverguje na Y , pak i rˇada f n konverguje na Y a platı´ | fn | ≤ ! | f n |. D u˚ k a z. Pro kazˇde´ n 1 ≥ n 2 a x ∈ Y platı´ | fn 1 (x) + . . . + f n 2 (x)| ≤ | f n 1 (x)| + . . . + | f n 2 (x)| Prvnı´ cˇa´st tvrzenı´ je tedy du˚sledkem veˇty 6.4. Druhou cˇa´st dokazuje na´sledujı´cı´ vy´pocˇet: #" # # # f (x) # # = | lim ( f 1 (x) + . . . + f n (x))| n n→∞ " ≤ lim (| f 1 (x)| + . . . + | f n (x)|) = | f n (x)|. n→∞
! ! Jestlizˇe rˇada | f n | konverguje stejnomeˇrneˇ na Y (cozˇ podle veˇty 6.7 znamena´, zˇe rˇada f n na Y rovneˇzˇ stejnomeˇrneˇ konverguje) rˇ´ıka´me, zˇe rˇada na Y konverguje absolutneˇ stejnomeˇrneˇ.
Veˇta 6.8. Necht’( f n ) a (gn ) jsou posloupnosti rea´lny´ch funkcı´ na X . Jestlizˇe (| f n |) ≤ (gn ) a rˇada gn konverguje stejnome !ˇ rneˇ na Y , pak rˇada f n konverguje absolutneˇ stejnomeˇrneˇ na Y . ˇ ada D u˚ k a z. R gn splnˇuje na Y podmı´nku Cauchyho-Bolzanova krite´ria (veˇta 6.4). Ke kazˇde´mu ε > 0 tedy existuje cˇ´ıslo n 0 takove´, zˇe pro kazˇde´ n 2 ≥ n 1 ≥ n 0 platı´ |gn 1 | + . . . + |gn 2 | < ε. Jelikozˇ ! ! ˇ ada (| f n |) ≤ (gn ), rˇada f n rovneˇzˇ na Y splnˇuje podmı´nku Cauchyho-Bolzanova krite´ria . R f n tedy na Y konverguje absolutneˇ stejnomeˇrneˇ.
! Jsou-li funkce gn konstantnı´, plyne stejnomeˇrna´ konvergence rˇady |gn | z jejı´ bodove´ konvergence (oveˇrˇte!). V tomto prˇ´ıpadeˇ je pouzˇitı´ uvedene´ veˇty velmi vy´hodne´ (porovnej s prˇ´ıkladem 2).
Na´sledujı´cı´ du˚lezˇite´ tvrzenı´ je bezprostrˇednı´m du˚sledkem veˇty 5.9. ! Veˇta 6.9. Necht’funkce f n jsou spojite´ na mnozˇineˇ Y a rˇada f n stejnomeˇrneˇ konverguje k funkci f na Y . Pak funkce f je na mnozˇineˇ Y spojita´. ! D u˚ k a z. Stacˇ´ı aplikovat veˇtu 5.9 na posloupnost cˇa´stecˇny´ch funkcı´ rˇady f n (jak?). ! Du˚sledek 6.10. Necht’rˇada f n stejnomeˇrneˇ konverguje ! na mnozˇineˇ Y k funkci f a necht’pro kazˇde´ n ∈ N existuje limita lim x→x0 f n (x) = an . Pak rˇada an konverguje, limita lim x→x0 f (x) existuje a platı´ " an = lim f (x). x→x 0
6.3 Mocninne´ rˇady. Vy´sledky prˇedchozı´ho odstavce aplikujeme na du˚lezˇity´ typ rˇad funkcı´, na mocninne´ ˇrady.
6-4
6. Nekonecˇne´ ˇrady funkcı´
Necht’X = R, x 0 ∈ R a (an ) je posloupnost rea´lny´ch cˇ´ısel. Definujme posloupnost funkcı´ f n : R → R prˇedpisem f 1 = a1 , f n = an (x − x 0 )n−1 , pro n > 1. ˇ ada R
!
(6.3.1)
f n se nazy´va´ mocninna´ rˇada, cˇ´ıslo x 0 jejı´ strˇed, posloupnost an jejı´ posloupnost koeficientu˚.
Pro n = 1 a x = x 0 vy´raz an (x − x 0 )n−1 nema´ smysl (cˇ´ıslo 00 nenı´ definova´no). Proto bylo nutne´ funkci f 1 definovat zvla´sˇt’. Na druhou stranu, abychom se napr ˇ´ısˇteˇ vyhnuli neprˇ´ıjemnostem s definova´nı´m nadvakra´t, ! domluvı´me se takto: kdykoli napı´sˇeme mocninnou rˇadu an (x − x 0 )n−1 , budeme mı´t na mysli rˇadu, jejı´zˇ prvnı´ cˇlen je konstantnı´ funkce a1 .
! Veˇta 6.11. Obor konvergence mocninne´ rˇady an (x − x 0 )n−1 je nepra´zdny´ interval konecˇne´ de´lky se strˇedem v x 0 nebo mnozˇina R. V prvnı´m prˇ´ıpadeˇ je polomeˇr intervalu roven cˇ´ıslu 1/ p, kde $ (6.3.2) p = lim sup n |an |,
ve druhe´m prˇ´ıpadeˇ je p = 0. V kazˇde´m vnitrˇnı´m bodeˇ sve´ho oboru konvergence mocninna´ rˇada konverguje absolutneˇ. ! D u˚ k a z. Zvolme x ∈ R. Je-li x = x , ˇ r ada a (x − x 0 )n−1 absolutneˇ konverguje. Prˇedpokla´dejme, 0 n √ n zˇe x )= x 0 a oznacˇme p = lim sup |an |. Z limitnı´ho odmocninove´ho krite´ria (veˇta 5.23) plyne, zˇe je-li |x − x 0 | p < 1, rˇada
!
an (x − x 0 )n−1 absolutneˇ konverguje a je-li |x − x 0 | p > 1,
! pak tato rˇada diverguje. Odtud plyne, zˇe oborem konvergence rˇady an (x −x 0 )n−1 je interval se strˇedem v x 0 a polomeˇrem 1/ p (jestlizˇe 0 < p < ∞) nebo interval (−∞, ∞) (je-li p = 0) nebo interval [x 0 , x 0 ] (je-li p = ∞). Konvergence v koncovy´ch bodech (tedy kdy |x − x 0 | p = 1) je pro tvrzenı´ nepodstatna´.1) ! Obor konvergence mocninne´ rˇady an (x − x 0 )n−1 se nazy´va´ interval konvergence te´to rˇady a jeho polomeˇr polomeˇr konvergence te´to rˇady (je-li intervalem konvergence mnozˇina R, je tedy polomeˇr konvergence rˇady roven ∞). Uvazˇujme rˇadu
" (−1)n+1 n
(x + 1)n+1 .
(6.3.3)
Najdeme interval konvergence te´to rˇady. Pro x ∈ R aplikujeme odmocninove´ krite´rium na rˇadu " |x + 1|n+1 n
(rˇada absolutnı´ch hodnot z (6.3.3))
(je to rˇada neza´porny´ch rea´lny´ch cˇ´ısel). Platı´
lim
n→∞
% n
& |x + 1|n+1 n |x + 1| = lim |x + 1| = |x + 1|. n→∞ n n
Nasˇe rˇada tedy konverguje absolutneˇ pro |x + 1| < 1, tedy pro x ∈ (−2, 0) a diverguje pro |x + 1| > 1, tedy pro x ∈ (−∞, −2) ∪ (0, ∞). Polomeˇr konvergence te´to rˇady je tedy 1. Zby´va´ vysˇetrˇit konvergenci rˇady pro x = −2 a 1) To znamena´, zˇe se mu˚zˇe sta´t, zˇe oborem konvergence bude z jedne´ strany otevrˇeny´ a z druhe´ strany uzavrˇeny´ interval (porovnej s prˇ´ıkladem za na´sledujı´cı´m odstavcem).
Matematicka´ analy´za II
6-5
x = 0. V prvnı´m prˇ´ıpadeˇ se jedna´ o harmonickou rˇadu, ktera´ diverguje, ve druhe´m o alternujı´cı´ rˇadu, o nı´zˇ snadno pomocı´ Leibnizova krite´ria zjistı´me, zˇe konverguje. Intervalem konvergence nasˇ´ı mocninne´ rˇady je tedy interval (−2, 0]. Stejne´ho vy´sledku lze dosa´hnout i pomocı´ podı´love´ho krite´ria.
! Veˇta 6.12. Mocninna´ rˇada an (x − x 0 )n−1 s polomeˇrem konvergence r konverguje stejnomeˇrneˇ na intervalu [x 0 − p, x 0 + p] pro kaz! ˇde´ kladne´ p < r . D u˚ k a z. Podle veˇty 6.11 rˇada an p n−1 konverguje absolutneˇ. Navı´c pro kazˇdy´ prvek x ∈ [x 0 − n−1 p, x 0 + p] platı´ |an ||x − x 0 | ≤ |an | p n−1 . Tvrzenı´ tedy plyne z veˇty 6.8.2) ! Du˚sledek 6.13. Soucˇet mocninne´ rˇady an (x − x 0 )n−1 je funkce spojita´ ve vsˇech vnitrˇnı´ch bodech jejı´ho intervalu konvergence. D u˚ k a z. Plyne z prˇedchozı´ veˇty a z veˇty 6.9. ! n 6.4 Exponencia´lnı´ funkce a logaritmus. Uvazˇujme mocninnou rˇadu ∞ ´ ho n=0 x /n!. Pomocı´ podı´love krite´ria snadno zjistı´me (viz. prˇ´ıklad 5), zˇe oborem konvergence te´to rˇady je R. Mu˚zˇeme tedy definovat funkci exp : R → (0, ∞)3) prˇedpisem exp(x) =
∞ " xn . n!
(6.4.1)
n=0
Tato funkce se jmenuje exponencia´lnı´ funkce. Klademe e = exp(1). Cˇ´ıslo e nazy´va´me Eulerovo cˇ´ıslo.4) Je-li e = exp(1), jen pouhy´m vyuzˇitı´m definice funkce exp dostaneme, zˇe
Na´sledujı´cı´ tvrzenı´ shrnuje za´kladnı´ vlastnosti funkce exp.
!∞
n=0 1/n!
= e.
Veˇta 6.14. 1. Funkce exp je spojita´. 2. Pro kazˇde´ x, y ∈ R, platı´ exp(x + y) = exp(x) · exp(y). 3. Funkce exp je rostoucı´. 4. lim x→∞ exp(x) = ∞ a lim x→−∞ exp(x) = 0. D u˚ k a z. 1. Plyne z du˚sledku 6.13. 2. Ma´me exp(x) · exp(y) =
∞ ∞ " x n " yn · = n! n!
n=0 n=0 ( x y n−1 xn yn + + ... + (du˚sledek 6.3 soucˇet po diagona´la´ch) = n! 1!(n − 1)! n! n=0 ) * ) * * " 1 ))n * n n n n n−1 = y + xy + ... + x n! 0 1 n ∞ " 1 (x + y)n (binomicka´ veˇta) = n! n=0 = exp(x + y). ∞ "
'
ˇ ady pro exp(x) a exp(y) prˇitom majı´ 3. Jestlizˇe x < y, pak pro kazˇde´ n ∈ N je x n /n! < y n /n!. R neza´porne´ cˇleny, cozˇ znamena´, zˇe exp(x) < exp(y). Tı´m jsme doka´zali, zˇe funkce exp je rostoucı´ na intervalu [0, ∞). Ze vztahu exp(x) · exp(−x) = 1 (ktery´ plyne z bodu 2.) nynı´ snadno odvodı´me (jak?), zˇe funkce exp je rostoucı´ i na intervalu (−∞, 0]. 4. Podle bodu 3. je exp(1) > exp(0), neboli e > 1. Podle bodu 2. je exp(n) = en . Odtud plyne, zˇe limn→∞ exp(n) = ∞. Z bodu 3. ovsˇem plyne, zˇe take´ lim x→∞ exp(x) = ∞. Hodnota druhe´ limity plyne z toho, zˇe exp(−x) = 1/ exp(x). 2) Zde je videˇt, jak je vy´hodne´ ohranicˇenı´ konstantnı´mi funkcemi (jsou to funkce a pn−1 ). n 3) To, zˇe jsme mohli vzı´t za obor hodnot interval (0, ∞) uka´zˇe na´sledujı´cı´ veˇta. ! 4) C ˇ asem se uka´zˇe, zˇe ∞ 1/n! = lim(1 + 1/n)n . Tı´m bude odstraneˇna nestrovnalost, vznikla´ dvojı´m definova´nı´m cˇ´ısla e. n=0
6-6
6. Nekonecˇne´ ˇrady funkcı´
Du˚sledek 6.15. 1. Pro kazˇde´ cele´ cˇ´ıslo k platı´ exp(k) = ek . 2. exp(R) = (0, ∞). 3. Funkce exp je homeomorfismus. D u˚ k a z. 1. Plyne ihned z bodu 2. prˇedchozı´ veˇty. 2. Plyne z bodu˚ 3. a 4. prˇedchozı´ veˇty. 3. Plyne z bodu˚ 1. a 3. prˇedchozı´ veˇty, z veˇty 4.21 a z bodu 2. tohoto du˚sledku. Inverznı´ funkci k funkci exp nazy´va´me prˇirozeny´ logaritmus a oznacˇujeme symbolem ln. Na´sledujı´cı´ tvrzenı´ je jednoduchy´m du˚sledkem vlastnostı´ exponencia´lnı´ funkce. Veˇta 6.16. 1. Funkce ln je spojita´. 2. Pro kazˇde´ x 1 , x 2 ∈ (0, ∞) je ln(x 1 x 2 ) = ln(x 1 ) + ln(x 2 ). 3. Funkce ln je rostoucı´. 4. lim x→0+ ln(x) = −∞ a lim x→∞ ln(x) = ∞. D u˚ k a z. 1. Plyne z bodu 3. du˚sledku 6.15. 2. Oznacˇme y1 = ln(x 1 ), y2 = ln(x 2 ). Ma´me ln(x 1 x 2 ) = ln(e y1 e y2 ) = ln(e y1 +y2 ) = y1 + y2 = ln(x 1 ) + ln(x 2 ). 3. Inverznı´ funkce k roustoucı´ funkci je vzˇdy rostoucı´ (procˇ?). 4. Z veˇty 4.26 vyply´va´ zˇe tyto limity existujı´ (v R). Oznacˇ´ıme-li lim x→0+ ln(x) = a a lim x→∞ ln(x) = b, ma´me podle veˇty 4.24 lim ex = lim eln(y) = lim ln(y) = 0
x→a
y→0+
y→0+
cozˇ znamena´, zˇe a = −∞. Podobneˇ, z lim ex = lim eln(y) = lim y = ∞
x→b
y→∞
y→∞
plyne, zˇe b = ∞. Nynı´ mu˚zˇeme definovat exponencia´lnı´ a logaritmickou funkci o libovolne´m za´kladu. Pro libovolne´ cˇ´ıslo a > 0 definujeme funkci expa : R → (0, ∞) prˇedpisem expa (x) = ex ln(a) .
(6.4.2)
Funkce expa se nazy´va´ exponencia´lnı´ funkce o za´kladu a. Na´sledujı´cı´ veˇta shrnuje jejı´ za´kladnı´ vlastnosti (vsˇechny snadno vyply´vajı´ z vlastnostı´ funkcı´ exp a ln; proto necha´me jejı´ du˚kaz na cˇtena´rˇi). Veˇta 6.17. 1. Funkce expa je spojita´. 2. Pro kazˇde´ x, y ∈ R platı´ expa (x + y) = expa (x) · expa (y). 3. Je-li a ∈ (0, 1), je funkce expa klesajı´cı´. Pro a = 1 je konstantnı´ a pro a > 1 rostoucı´. 4. Je-li a ∈ (0, 1), je lim x→∞ expa (x) = 0 a lim x→−∞ expa (x) = ∞, je-li a > 1 je limx→∞ expa (x) = ∞ a limx→−∞ expa (x) = ∞
Du˚sledek 6.18. 1. Pro kazˇde´ cele´ cˇ´ıslo k platı´ expa (k) = a k . 2. Pro a )= 1 je expa (R) = (0, ∞). 3. Pro a )= 1 je expa homeomorfismus. Vzhledem k bodu 1. uvedene´ho du˚sledku je prˇirozene´ zave´st oznacˇenı´ expa (x) = a x pro libovolne´ rea´lne´ cˇ´ıslo a. Ihned dosta´va´me (a x ) y = a x y . Necht’a ∈ (0, 1)∪(1, ∞). Inverznı´ funkce k funkci expa se nazy´va´ logaritmus o za´kladu a a oznacˇuje lna . Za´kladnı´ vlastnosti te´to funkce si mily´ cˇtena´rˇ jizˇ snadno odvodı´ sa´m. 6.5 Goniometricke´ funkce. Podobneˇ jako exponencia´lnı´ funkce se definujı´ i funkce goniometricke´. Funkce sinus sin : R → [−1, 1] a kosinus cos : R → [−1, 1] jsou definova´ny prˇedpisem
Matematicka´ analy´za II
sin(x) = cos(x) =
∞ " x 2n+1 , (−1)n (2n + 1)! n=0 ∞ "
(−1)n
n=0
6-7
(6.5.1)
x 2n (2n)!
(6.5.2)
(opeˇt lze zjistit, zˇe rˇady na prave´ straneˇ konvergujı´ pro kazˇde´ x ∈ R, cozˇ na´s opravnˇuje vzı´t za definicˇnı´ obor R; pozdeˇji se uka´zˇe, zˇe maximum a minimu teˇchto funkcı´ je −1 a 1, proto oborem hodnot mu˚zˇe by´t interval [−1, 1]). Za´kladnı´ vlastnosti goniometricky´ch uva´dı´ na´sledujı´cı´ veˇta. Veˇta 6.19. 1. Funkce sin a cos jsou spojite´. 2. Funkce sin je licha´, funkce cos je suda´. 3. Pro kazˇde´ x, y ∈ R platı´ a
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
(soucˇtovy´ vzorec pro sinus)
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y).
(soucˇtovy´ vzorec pro kosinus)
D u˚ k a z. 1. Plyne z du˚sledku 6.13. 2. Plyne z tvrzenı´ 3. veˇty 2.15. 3. Doka´zˇeme nejprve soucˇtovy´ vzorec pro sinus. Vyja´drˇeme si vy´razy sin(x) cos(y) a cos(x) sin(y) jako cauchyovy soucˇiny rˇad z (6.5.1) a (6.5.2) (tedy pouzˇijeme du˚sledek 6.3, mu˚zˇeme, rˇady jsou prˇece absolutneˇ konvergentnı´ (oveˇrˇte!)). Ma´me
sin(y) cos(x) y5 y7 y3 − ... y − x 3! 5! 7! x y2 x2y x 2 y3 x 2 y5 − − − ... 2! 2! 2!3! 2!5! x y4 x4y x 4 y3 ... − ... 4! 4! 4!3! x y6 x6y − − ... ... 6! 2! ˙˙˙ ˙˙˙ Vezmeme-li postupneˇ z obou teˇchto tabulek nejprve prvnı´ diagona´ly a secˇteme je potom druhe´ a tak da´le (to prˇece mu˚zˇeme, jsou to absolutneˇ konvergentnı´ rˇady, porovnej s veˇtou 5.27), dostaneme rˇadu ( ' ∞ " x2y x y2 y3 x3 + + + + an = (x + y) − 3! 2! 2! 3! n=0 ( ' x4y x 3 y2 x 2 y3 x y4 y5 x5 + + + + + − ... + 5! 4! 3!2! 2!3! 4! 5! x3 − 3! 3 2 x y 3!2! x 3 y4 − 3!4!
∞ "
sin(x) cos(y) x5 x7 ... 5! 7! x 5 y2 − ... 5!2!
2n+1 "
x 2n+1−k y k (2n + 1 − k)!k! k=0 n=0 ∞ 2n+1 " " )2n + 1* 1 n (−1) = x 2n+1−k y k (2n + 1)! k =
n=0
n
(−1)
k=0
6-8
6. Nekonecˇne´ ˇrady funkcı´
=
∞ " n=0
(−1)n
(x + y)2n+1 = sin(x + y) (2n + 1)!
Obdobny´m zpu˚sobem lze doka´zat i soucˇtovy´ vzorec pro kosinus ten ale prˇenecha´va´me tobeˇ cˇtena´rˇi. Du˚sledek 6.20. 1. Pro kazˇde´ x ∈ R platı´ sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) a cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x). 2. Pro kazˇde´ x ∈ R platı´ sin2 (x) + cos2 (x) = 1. D u˚ k a z. 1. Plyne ze soucˇtovy´ch vzorcu˚ sinu a kosinu. 2. V soucˇtove´m vzorci pro kosinus polozˇ´ıme y = −x, vyuzˇijeme bodu 2. prˇedchozı´ veˇty a toho, zˇe cos(0) = 1. Potom tedy dosta´va´me 1 = cos(x − x) = cos(x) cos(−x) − sin(x) sin(−x) = cos2 (x) + sin2 (x). Lze doka´zat, ale zatı´m to nenı´ v nasˇich sila´ch, zˇe takto definovane´ funkce sin a cos majı´ te´zˇe vlastnosti, s nimizˇ se cˇitatel v prˇedchozı´m studiu setkal. Zopakujme pouze, zˇe funkce sin a cos jsou periodicke´ a polovinu jejich periody budeme znacˇit π .5) Dalsˇ´ı vlastnosti goniometricky´ch funkcı´ zde jizˇ nezminˇujeme, spole´ha´me se na cˇtena´rˇovy drˇ´ıveˇjsˇ´ı znalosti, o dalsˇ´ıch goniometricky´ch funkcı´ch se zde jizˇ jen zmı´nı´me. Definujeme funkci tan : R \ {π/2 + kπ | k ∈ Z} → R, tak zˇe polozˇ´ıme tan(x) = sin(x)/ cos(x), tuto funkci nazveme tangens. Obdobneˇ definujeme funkci kotangens cotan : R \ {kπ | k ∈ Z} → R, cotan(x) = cos(x)/ sin(x). 6.6 Cyklometricke´ funkce. Inverznı´ funkce ke zu´zˇeny´m funkcı´m sin : [−π/2, π/2] → [−1, 1], cos : [0, π ] → [−1, 1], tan : (−π/2, π/2) → R a cotan : (0, π ) → R nazy´va´me arkus sinus, arkus kosinus, arkus tangens a arkus kotangens, znacˇ´ıme je arcsin, arccos, arctan a arccotan. Vlastnosti teˇchto funkcı´ laskaveˇ ponecha´va´me k prozkouma´nı´ cˇtena´rˇi.
Prˇ´ıklady ! n 1. Najdeˇte obor konvergence rˇady f n , jestlizˇe f n (x) ! = (x − 2) /n. ˇ esˇenı´: Pouzˇijeme odmocninove´ krite´rium na rˇadu | f n | R lim sup n→∞
& n
|x − 2|n = lim sup n n→∞
$ n
|x − 2|n |x − 2| . = √ n 1 n
! Z odmocninove e pro |x − 2| < | f n | konverguje a podle veˇty 5.25 !´ ho krite´ria dosta´va´me, zˇ! !1 rˇada konverguje i f n . Pro |x − 2| > 1 rˇada | f n | a tudı´zˇ i f n nespln ˇ uje nutnou podmı´nku konvergence. ! Zby´va´ na´m oveˇrˇit prˇ´ıpady x = 3 a x = 1. Pro x = ! 3 jde o rˇadu 1/n, tedy o harmonickou rˇadu, ktera´, jak jisteˇ vı´me, nekonverguje. Pro x = 1 jde o rˇadu n(−1)n /n, tato rˇada je konvergentnı´. Lze se o tom prˇesveˇdcˇit Leibnitzovy´m krite´riem. Celkoveˇ, oborem konvergence nasˇ´ı rˇady je interval [1, 3). ! 1 a I = [1, ∞). 2. Dokazˇte, zˇe rˇada f n stejnomeˇrneˇ konverguje na I , jestlizˇe f n (x) = nx e n ! ˇ esˇenı´: Pokusı´me se k rˇadeˇ R | f n | najı´t stejnomeˇrneˇ konvergentnı´ majorantu. Nejle´pe se pro tento u´cˇel hodı´ rˇada konstantnı´ch funkcı´ (pro ty prˇece stejnomeˇrna´ konvergence plyne z konvergence, procˇ?). Kazˇdou funkci | f n | shora ohranicˇ´ıme konstantnı´ funkcı´ gn (x) = supx∈[1,∞) | f n (x)|. Protozˇe kazˇda´ z funkcı´ | f n | je na intervalu [1, ∞) klesajı´cı´ (opravdu | f n |(x) = f n(x) = 1/n · 1/enx , funkce 1/n je 5) Zna´me´ Ludolfovo cˇ´ıslo. Pomocı´ soucˇtu nekonecˇne´ rˇady jej lze definovat π = 4
∞ " (−1)n . 2n + 1
n=0
Matematicka´ analy´za II
6-9
konstantnı´ a enx rostoucı´), naby´va´ f n sve´ho maxima v bodeˇ 1. Proto f n (1) = 1/nen , rˇada ! ! gn (x) = ! n 1/ne je konvergentnı´ (oveˇrˇte odmocninovy´m krite´riem!) a rˇada gn , tudı´zˇ i f n , je stejnomeˇrneˇ konvergentnı´. 2 ! 3. Ukazˇte, zˇe soucˇet rˇady funkcı´ f n , kde f n : [0, 1] → R, f n (x) = 5x2 je spojita´ funkce. n ! ˇ esˇenı´: Je jasne´, zˇe kazˇda´ z funkcı´ f n je spojita´, pokud se na´m podarˇ´ı uka´zat, zˇe rˇada R f n konverguje stejnomeˇrneˇ na [0, 1], pak i jejı´ soucˇet bude nutneˇ spojita´ funkce. Stejneˇ jako v prˇedchozı´m prˇ´ıkladeˇ se pokusı´me funkce f n shora ohranicˇit konstantnı´mi funkcemi. Jelikozˇ f n ≥ 0 a pro kazˇde´ x ∈ [0, 1] platı´ 5x 2! ≤ 5, vezmeme posloupnost (gn ) konstantnı´ch funkcı´, gn (x) = 5/n 2 , pro ktere´ platı´ f n ≤!gn a ! protozˇe gn = 5/n 2 konverguje (oveˇrˇte podı´lovy´m!krite´riem!), podarˇilo se na´m rˇadu funkcı´ fn shora ohranicˇit stejnomeˇrneˇ konvergentnı´ rˇadou funkcı´ gn . 4. Najdeˇte obor konvergence mocninne´ rˇady se strˇedem v x 0 a posloupnostı´ koeficientu˚ (an ), jestlizˇe x 0 = 0 a an = n5n . √ ˇ esˇenı´: Pocˇ´ıtejme polomeˇr konvergence r = 1/ p, kde p = lim supn→∞ n |n5n |. Tedy R p = lim sup n→∞
$ n
|n5n | = lim sup n→∞
√ √ n n n 5n = 1 · 5.
Vı´me, zˇe rˇada konverguje pro x ∈ (x 0 − r, x 0 + r ) = (− 15 , 15 ), jak je tomu v koncovy´ch bodech musı´me ! n 1 n ! prozkoumat zvla´sˇt’. Pro x = − 15 , jde o rˇadu n5 (− 5 ) = (−1)n , ktera´ ale nesplnˇuje nutnou podmı´nku konvergence. Obdobneˇ je tomu i pro x = 15 . Celkoveˇ dosta´va´me, zˇe intervalem konvergence te´to rˇady je (− 51 , 15 ). ! xn 5. Najdeˇte obor konvergence rˇady n! . ˇ esˇenı´: Vyuzˇijeme limitnı´ho podı´love´ho krite´ria. Pocˇ´ıtejme R
lim sup n→∞
f n+1 fn
x n+1 x (n + 1)! = lim sup = lim = 0, n n→∞ n x n→∞ n!
pro kazˇde´ x ∈ R. Tedy oborem konvergence je R.
Cvicˇenı´ 1. Najdeˇte obor konvergence rˇady a) f n (x) = (3 − x)n ; c) f n (x) =
!
f n , jestlizˇe
n! ; (x 2 + 1)(x 2 + 2) . . . (x 2 + n)
b) f n (x) = x(x n+ n) ; + ,n |x| d) f n (x) = n1 x ;
. f) f n (x) = cos(x) enx ! 2. Dokazˇte na´sledujı´cı´ tvrzenı´: Je-li f n konvergentnı´ rˇada konstantnı´ch funkcı´ f : X → R, pak tato rˇada konverguje na X stejnomeˇrneˇ. ! 3. Dokazˇte, zˇe rˇada ∞ ˇ rneˇ konverguje na I , jestlizˇe n=2 f n stejnome 1 , I = R; a) f n (x) = 4 b) f n (x) = x 2 e−nx , I = [0, ∞); x + n2 x c) f n (x) = , I = [0, ∞); d) f n (x) = 2 1 2x , I = R; 1 + n4x 2 n +e e) f n (x) = lnn (3x);
6-10
6. Nekonecˇne´ ˇrady funkcı´
, I = R; e) f n (x) = cos(nx) 2n * ) x , I = (−1, 1); g) f n (x) = ln 1 + n ln2 (n)
√ , f) f n (x) = sin(nx) n n h) f n (x) =
(−1)n , n + sin(x)
I = R; I = [0, 2π ];
2 2
n −n x j) f n (x) = e 3 , I = R. i) f n (x) = (−1) x + n , I = (0, ∞); n ! 4. Dokazˇte, zˇe soucˇet rˇady f n je spojita´ funkce, kde 2 ex a) f n (x) = cos(nx) ; b) f n (x) = sin(nx) ; . c) f (x) = n n(n + 1) n(n + 1) n(n 2 + 1) 5. Najdeˇte obor konvergence mocninne´ rˇady se strˇedem x 0 a posloupnostı´ koeficientu˚ (an ), jestlizˇe a) x 0 = 0, an = n5n ; b) x 0 = 0, an = n!; n 3 √ ; c) x 0 = 0, an = d) x 0 = 0, an = 3 + (−1)n ; 2n n √ ; e) x 0 = 2, an = (−1) f) x 0 = 2, an = n!n . n n+ n ! 6. Najdeˇte obor konvergence rˇady f n , jestlizˇe
a) f n (x) =
x 2n−1 ; (2n − 1)!(2n − 1) 2
c) f n (x) = n!x n ;
2
2
b) f n (x) = 3n x n ;
2n d) f n (x) = x n ; 2
e) f n (x) = (n − 1)5n−1 n n−1 ; f) f n (x) = 102n (2x − 3)n . 7. Pomocı´ Cauchyho soucˇinu rˇad ukazˇte, zˇe platı´ na´sledujı´cı´ rovnosti a) cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y); b) exp(1 − 1) = 1. 8. Bud’ a=
" (−1)n √ . n
Dokazˇte, zˇe Cauchyho soucˇin rˇad a · a nekonverguje. Obycˇejny´ soucˇin rˇad a · a ale konverguje (procˇ?). Jak je to mozˇne´? ! 9. Pomocı´ Cauchyho soucˇinu spocˇteˇte druhou mocninu rˇady (− 51 )n−1 . Vy´sledky 1. a) (2, 4); b) ∅; c) R \ {0}; d) (−∞, 0); e) (1/3e, e/3); f) {−π/2 − π n | n = 0, 1, 2, . . .} ∪ (0, ∞). 3. a) Stejnomeˇrneˇ konvergentnı´ majoranta na I : gn (x) = 1/n 2 ; b) gn (x) = e−n ; c) gn (x) = 1/2n 2 ; e) gn (x) = 2n ; f) gn (x) = n −3/2 ; h) gn (x) = (−1)n /n; i) gn (x) = (−1)n /n; j) gn (x) = 1/n 3 . 4. a) Stejnomeˇrneˇ konvergentnı´ majoranta: g√ n (x) = √1/(n(n + 1)); b) gn (x) = 1/(n(n + 1)); c) gn (x) = 1/(n(n 2 + 1)). 5. a) (− 15 , 15 ); b) {0}; c) (− 23 2, 23 2); e) (1, 3); f) (2 − e, 2 + e). 6. b) (− 13 , 13 ); c) {0}; √ √ 397 403 d) (− 2, 2); e) ∅; f) ( 200 , 200 ). 9. 25 36 .
