FUNGSI TRIGONOMETRIK MAKALAH Untuk memenuhi tugas matakuliah Fungsi Kompleks yang dibina oleh Ibu Indriati Nurul Hidayah, S.Pd., M,Si
Oleh: Kelompok V M. Sihabudin
309312422750
Rino Kitanto
309312426745
Rizki Imansyah Putra
309312422758
Saniagus Munendra
309312417508
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MALANG NOPEMBER 2011
FUNGSI KOMPLEKS TRIGONOMETRIK Dengan menggunakan rumus euler Maka ,
Dua persamaan berikut kita eliminasi ,
Kurangkan, diperoleh Maka,
Dengan cara serupa, diperoleh
Kedua rumus tersebut dapat dikatakan mewakili bentuk kompleks fungsi nyata sinus dan cosinus. Untuk fungsi kompleks trigonometri, didefinisikan dengan mengganti fungsi nyata trigonometri di atas) dengan
, yaitu
Definisi Fungsi Kompleks Trigonometri
untuk semua bilangan kompleks Empat fungsi trigonometri yang lain didefinisikan :
dengan syarat penyebut pada empat bentuk terakhir tidak sama dengan nol.
(pada
Contoh Soal Contoh 1 : Tentukan nilai
.
Jawab : Dengan menggunakan definisi ,
Contoh 2 : Tentukan yang memenuhi Jawab : Dengan menggunakan definisi ,
maka diperoleh : misalkan
, maka diperoleh
Menggunakan rumus
maka,
Diperoleh solusinya yaitu
, diperoleh
.
Contoh 3 (soal 10A, halaman 80, nomor 10.11.a) Gunakan definisi fungsi kompleks untuk menuliskan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk a. Jawab : menurut definisi
Ingat, identitas euler yaitu
, sehingga
Dalam bentuk yang diinginkan, maka Contoh 4 (soal 10A, halaman 81, nomor 10.12) Carilah turunan keenam fungsi trigonometrik dan nyatakan dalam suku-suku trigonometrik pula Jawab :
Non Contoh (contoh yang bukan merupakan fungsi kompleks trigonometri) Yaitu, fungsi-fungsi kompleks yang tidak memenuhi definisi fungsi kompleks trigonometri (selain yang didefinisikan pada definisi fungsi kompleks trigonometri) Misalnya, fungsi linear yaitu :
, atau fungsi kompleks yang lain,
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK Definisi fungsi kompleks hiperbolik
dan
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks Trigonometrik yaitu, Bukti :
dan
Penulisan
dan
Misalkan,
Dengan langkah serupa,
dalam bentuk
Sifat-sifat Dan Bukti Pada Fungsi Kompleks Trigonometri 1) bukti : Karena
Karena
karena
, maka
sesuai definisi
, maka tentu saja
jadi, kedua ruas di logaritma natural kan! Diperoleh ,
2) bukti : Karena
, maka
Karena
sesuai definisi
maka jadi, kedua ruas dilogaritmanaturalkan! Diperoleh ,
3) bukti :
4) bukti :
5) bukti :
maka ,
6) bukti :
7) bukti :
8) Bukti : Perhatikan
9) Bukti :
10) bukti :
11) bukti :
Sifat-sifat yang lainnya mengenai fungsi kompleks trigonometri dan fungsi kompleks hiperbolik 12) Identitas dasar Hiperbolik : Bukti :
13) Bukti :
14) Bukti :
15)
(soal nomor 10.30.a)
Bukti: Perhatikan bahwa Maka,
16) Bukti : Perhatikan bahwa Maka,
(soal nomor 10.30.b)
17) Bukti :
18) Bukti :
Bukti :
Bukti :
Contoh penggunaan sifat : Gunakan sifat – sifat yang telah ada untuk menunjukkan bahwa sin 3z = 3 sin z (cos2 z – sin2 z) Jawab : sin 3z = sin (2z + z) = (sin 2z)(cos z) + (sin z) (cos 2z) = (2 sin z cos z)(cos z) + (sin z)(cos2 z – sin2 z) = 2 sin z cos2 z + sin z cos2 z – sin3 z = 3 sin z cos2 z – sin3 z = 3 sin z (cos2 z – sin2 z)
PERBEDAAN FUNGSI KOMPLEKS TRIGONOMETRI DAN FUNGSI NYATA TRIGONOMETRI Perbedaan terbesar terletak pada batas nilainya Jika pada fungsi nyata trigonometri kita mengenal
untuk
(begitu juga untuk cos) Pada fungsi kompleks trigonometri, kita tidak mengenal hal itu (not bounded) Kapan fungsi kompleks trigonometri bernilai real yang besar? Fungsi Sinus Supaya bernilai real yang besar, maka Ambil, Supaya
harus 0, sehingga
atau
, maka bernilai real yang besar, maka tentu saja
Karena
itu fungsi naik untuk
, maka pilih
harus bernilai besar adalah bilangan yang sangat
besar
akan bernilai besar
Semakin besar
, maka nilai
akan semakin bernilai real yang besar
Kapan fungsi kompleks trigonometri bernilai real yang kecil? Tentu saja, tinggal memilih
, yaitu akan bernilai kecil
Hati-hati Hitunglah
!
Dengan sifat yang sudah kita miliki, maka
, karena 30 ini adalah bilangan real (bukan derajat) (jadi, jika menghitung dengan kalkulator, ubah deg menjadi rad)
Ingat , bentuk
, dengan
