fufuama
Tim Penulis : A. Saepul Hamdani - IAIN Sunan Ampel Kusaeri - IAIN Sunan Ampel Surabaya Irzani - IAIN l4ataram Mulin Nu'man - UNISIVIA Malang
Surabaya
,
,
, .,.
;,,
,',
learning Assistance Program for Islamic Schoolg'. pendidikan Guru Madrasah lbtidaiyah
2008
,,
'
;:,,,',,,,,, ,,,,
":
1,,-
,.
,
Relasi Dan Fungsi
,:
ll'::a,.
i:
DISKUSI KELOMPOK: RELASI Petunjuk '1. Berkelompoklah menjadi
2. 3. 4.
4 kelompok
lvlasing-masing Kelompok mendiskusikan/mengerjakan LKM 13.1.A Salah satu kelompok mempresentasikan hasildiskusi kelompok Kelompok yang lain menanggapi
Pertonyoon Diskusi Diketahui:
i. A: B:
{Riska, Amir, Deni, Rudi} {Firman, Sita, Edi, Reni, Aisyah} Jika Riska mempunyai saudara yang bernama Firman dan Sita. Amir mempunyai saudara yang bernama Edi. Deni tidak mempunyai sauda.a. Rudi mempunyai saudara yang bernama Reni dan Aisyah ii. A = {Ani, Didit, Eni} B = iNlerah, biru, hijau) Jika Ani suka warna merah. Didit suka warna hijau. Eni suka warna biru. Pertanyaan: a. Tulislah bentuk himpunan pasangan terurut dari i dan ii! b. Gambarkan Himpunan A dan B dari idanii dalam Diagram Venn kemudian beri panah sesuai pernyataan yang diketahui!(diagram panah) c. Nyatakan hubungan/relasi dari idan iil d. Sebutkan semua anggota himpunan A! (disebut domain) e. Sebutkan semua anggota himpunan B! (di sebut kodomain) Sebutkan anggota himpunan B yang di panah anggota himpunan A! (disebut Range)
i
Dari hasil pengerjaan di atas coba beri kesimpulan: a. Apa yang dimaksud relasi? b. Bagaimana cara menyatakan relasi? c. Jelaskan tenlang domain, kodomain, dan rangel
e, DISKUSI KELOMPOK: FUNGSI Petunjuk '1
.
2. 3. 4.
Mengelompoklah menjadi 4 kelompok Masing-masing Kelompok mendiskusikan/mengerjakan LKIV 13.1 B Salah satu kelompok mempresentasikan hasil diskusi kelompok Kelompok yang lain menanggapi .
Pertonyoon Diskusi
a.
b.
Diketahui: A = {lndah, Lina, Budi} B = {Bakso, Soto, Rawon, Rames} Dengan suatu relasi sebagai berikul lndah suka makan Rawon Lina suka makan Bakso Budi suka makan soto Diketahui: A = {1, 2, 3, 4}
B={3,4,5,6} A dan B merupakan suatu relasi dengan aturan "tambah dua"
Pertanyaan: 1. Gambarlah relasiAdan B dalam suatu diagram panah pada bagian (a) dan (b). 2. Tulislah dalam bentuk pasangan berurutan pada bagian (a) dan (b). 3. Tuliskan domain, kodomain, dan range pada bagian (a) dan (b) 4. Apayang dimaksud dengan fungsi!
-i
:
.*t_ ,*
RELASI DAN FUNoSI Pada uraian materi 13 inidi bahas mengenai:
'Relasi
'
Fungsi
A. Relosi Dalam kehidupan sehari-hari kita tidak asing dengan istilah relasiatau hubungan, misalnya, relasi (hubungan) antar manusia seperti "bersaudara dengan." Dengan relasi ini kita bisa membuat hubungan antara Ahmad dengan Siti menjadi, "Ahmad bersaudara dengan Siti." Ada juga relasi antara dua himpunan yang berbeda, seperti relasi "suka makan" antara himpunan mahasiswa dengan makanan. Dengan relasi ini dapat dibuat kalimat-kalimat seperti, "Udin suka makan Soto Lamongan, Fauziah suka makan nasipecel, ataupun Amir sLka makan rawon. Relasi dapat juga dinyatakan dengan pasangan terurut. Pada contoh relasi di atas, yakni relasi "bersaudara dengan" dan suka makan" dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan ierurut menjadi {(Ahmad, Siti)}dan {(Udin, Soio Lamongan), (Fauziah, nasi pecel), (Amir, rawon)). Secara matematis, relasiR dalam pasangan terurut dapat dituliskan R:{(x,y) lx€A dan y€B). Berdasarkan ilustrasi ini dan contoh tentang relasi tersebut, berikut disajikan deflnisidari reJasi.
Definisil l\risalkan A X B adalah produk Cartesius himpunan A dan B. Relasiatau hubungan R dari himpunan A ke himpunan B adalah sebarang himpunan bagian dari produk Cartesius A X B. Pada relasi ini, dikenal istilah daerah asal (doma,n), daerah kawan (kodomain), dan daerch hasil(range). Daerah asal (domain) dari suatu relasi merupakan himpunan yang anggotanya terdiri atas unsur-unsur pertama dari pasangan terurut itu. Daetah kawan (kodomain, dari suatu relasi adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas unsur-unsur kedua dari pasanganterurut itu. Contoh
a.
l3.l:
RelasidarihirnpunanA={l,2,3,4}kehimpunanB={0, 1 , 2, 3, 4} yang ditentukan oleh F =(1, 0), (2, 1), (3,2), (4, 3)) dapat dituliskan sebaqai F = {(x, y) ly = x- 1, x €Adan yeB}.
b.
Relasi dari himpunan A = {0, l,4}kehimpunanB=I-2,-1,0,1,2}yan9ditentukanoleh (o,o)}dapat dituliskan sebasai G = {(x, y) lx = I, xeA {(4,2t, $, '2), (1,1), (1, dan y€B]
l),
G=
Contoh 13,2.: Diketahui relasi H = {(1,3), (2,4\, (3, 5), (4, 6D. a. Tentukan daerah asaldan daerah hasilnya. b. Sebutkan aturan relasinya. Jawao. a. Daerahasaldari relasi H diatas adalah 11,2,3,4)dan daerah hasilatau daerah kawannya adalah {3, 4, 5, 6}. b. Aturan relasi yang tepat untuk relasi H di atas adalah "ditambah dua."
Sifot-sifot
Relosi
Pada bagian ini diuraikan sifat-sifat relasi, yang pada kenayataannya memainkan peran penting dalam lingkup yang cukup luas dan beragam dalam konteks ilmiah
Sifat Refleksif Suatu relasi R pada himpunan A bersifat refleksifjika dan hanya jika (a,a)€ R untuk setiap a€A. Dengan kata lain, relasi ini berelasi terhadap dirinya sendiri. Sebagaicontoh, relasi"berjenis kelamin sama dengan" pada himpunan manusia merupakan relasi refleksif karena setiap orang berjenis kelamin sama dengan dirinya sendiri. Relasi "sama dengan" pada himpunan bilangan realjuga merupakan re'asi refleksif karena setiap bilangan real sama dengan bilangan itu sendiri. Relasi "orang tua dari" himpunan manusia bukan merupakan relasi refleksif karena seseorang bukan orang tua dari dirinya sendiri.
Situf Simetris Suatu relasi R pada himpunan A adalah simetris jika dan hanya jika (a,b) eR, berlaku (b,a) €R untuk setiap a,b €A. Sebagaicontoh, relasi "bersaudara dengan" merupakan relasisimetris pada himpunan manusia karena bila Ahmad bersaudara dengan Siti maka Sitijuga bersaudara dengan Ahmad. Untuk relasi "orang tua dari" bukan relasi simetris karena bila Umar orang tua dari Fetima, tentu F6tima bukan orang tua dari [Jmar.
stfat tfanst
f
Suatu relasi R pada himpunan A adalah transitifjika dan hanya jika (a,b)eR, (b,c) €R berlaku (a,c) €R untuk setiap a,b, c €A. Perhatikan contoh, relasi "bersaudara dengan" merupakan relasi transitif pada himpunan manusia karena bila Ahmad bersaudara dengan Siti dan Sitj bersaudara dengan Umi, maka Ahmad juga bersaudara dengan Umi. tJntuk relasi "orang tua dari" bukan relasi transitif karena bila Umar orang tua dari FStimah, dan F6timah orang tua dari Qodir akan salah bila disimpulkan bahwa Umar orang tua dari Qodir.
Silat Ekivalen Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan bersifat ekivalen jika dan hanya jika relasi itu bersifat refleksif, simetris dan transitif.
Contoh 13.3
:
Selidiki apakah rerasi R = (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2\, (2,3), (3,1), (3,2),(3,3))pada himpunan A = {1,2,3}bersifat refleksif, simetris, transitif dan ekivalen?
Jawab. Karena ada (1,1), (2,2), (3,3) merupakan anggota dari relasi R, maka relasi R bersifat refleksif. Ada (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2)di R, berarti untuk setiap (a,b)e R berlaku (b,a)€ R. Dengan demikian, relasi R bersifat simetris. Relasi R juga bersifat transitif karena ada ( 1,2) dan (2,3) menghasilkan (1,3); ( 1 ,3) dan (3,1) menghasilkan (1, 1); (2,3) dan (3,1) menghasilkan (2,1); serta (1,3) dan (3,2) menghasilkan (1,2). Dengan demikian pada R, berlaku untuk setiap (a,b)€ R dan (b,c) € R sedemikian hingga (a,c)e R. Karena relasi R bersifat refleksif simetris dan transitif maka R bersifat ekivalen.
. ' .
'
B. Fungsi (Pemetoon) Pada bagian ini dilihat fungsi sebagai suatu aturan yang mengaitkan (mengorespondensikan) suatu anggota himpunan ke anggota himpunan yang lain. Selanjutnya baru kita tentukan fungsi sebagai pasangan terurut dengan sifat tertentu. Dalam kehidupan sehari-hari, korespondensi dapat berupa: besar uang yang ditabung di bank dengan bunga yang diperoleh atau mahasiswa dan nomor induk mahasiswa. Selanjutnya, fungsi dapatjuga kita pandang sebagai aturan untuk memasangkan (korespondensi) antara anggota himpunan A dan B sedemikian hingga setiap unsur di A berpasangan dengan tepat satu unsur di B. Himpunan pertama disebut sebagai dornaln (daerah asal) dan himpunan kedua kita sebur sebagai kodomain (daerah kawan). Unsur yang dituju dinamakan raDge (daerah hasil). Perhatikan relasi "anaknya dari" dari himpunan anak-anak (A) ke himpunan ayahnya (B) seperti ditunjukkan oleh diagram panah berikut.
Zaki lrurd Sreituddio
?
Tajudin
Gambar 13.1 Relasi dengan aturan "anaknya dari
Dari dlagram anak panah di atas, setiap anak hanya mempunyai satu ayah sehingga setiap
anggota A dipasangkan tepat satu anggota B. Relasi yang bersifat demikian dinamakan fungsi. Definisi berikut ini akan mempedelas pengertian fungsi sebagaimana diilustrasikan di AlaS.
Fungsi dari hjmpunan A ke himpunan B adalah himpunan f dari pasangan terurut diAxB sedemikian hingga untuk setiap a€A ada b€B yang tunggal dengan (a,b)€f.
Berdasarkan definisi ini, jika (a,b)€f dan (a,b') maka b = b'. Kita notasikan dengan f: A -+ B yang menunjukkan bahwa fmerupakan fungsidariA ke B. Dalam hal ini, himpunanA dinamakan domain alau daerah definisi alau daerah asa/, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain alau daerah kawantungsi I Domain fungsi fditulis dengan notasiD, dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesardi dalam Rsehingga fterdefinisikanatau ada. Jadi:
D1 =
{xeR: /(r)
ada (terdefinisikan)}
Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range alau daerch hasil fungsi f, ditulis Rr. Jika (a,b)€f maka dapat ditulis sebagai b = f(a) dengan b sebagai nilai dari f pada titik A atau bayangan titik A atas i Dengan demikian, f(a) dibaca "f dari a" atau "f pada a" menunjukkan nilai yang diberikan oleh f pada a. Pemahaman yang jelastentang cara menuliskanfungsi adalah hal sangatpenting. Sebagaicontoh, misalkanX= { 1,2 } dan f={3,6 }. Himpunan {(1,3), (2,3)}merupakan fungsi dari Xke Y, karena setiap anggota Xberelasi dengan tepat satu anggota Y. Demikian pula, himpunan {(1,6), (2,3)}merupakan fungsi dati X ke Y. Sementara himpunan {(1,3), (1,6), (2,3))bukan merupakan fungsi dariXke y, karena ada anggota X yaitu 1, yang menentukan lebihdari satu nilai di Y.
+8, sebarang elemen x € A mempunyai kawan y € B, maka "y dikatakan merupakan bayangan x oleh f" atau "y merupakan nilai fungsi i di t' dan ditulis y = (x).
Jika pada fungsi f:A
Oambar
I3.2: f fungsidari
himpunan
A ke B.
Selanjutnya, xdan y masing-masing dinamakan varlable bebas dan variabel fakbebas. Sedangkan y=f(x) disebut rumus fungsif. Contoh 13.4
:
Tentukan domainnya dari fungsjfungsi di bawah ini.
r
a. Jrl l= I x+2
/,(
)=18
Jawab: a. Suatu hasil bagi akan memiliki ani apabila penyebut tidak nol, oleh karena itu,
darifungsir{
daerah asal (domain)
D. =J i
' I
;=-!
u6u'un,
eR:: x+2terdefinisikanI)
{reR :n+2 + 0} 2.1 =n =
b.
-l
Akar suatu bilangan mempunyai sehingga daerah asal (domain)
t
n
ilai jika bilangan tersebut
tak
'
negatif,
darifungsir(_ )=.f--t uduluh' Ln -l
I
a =l.ren:-i-juou I -r.' I
t
l
'i
=lr.n,-j->o r'-l I
I )
=fteR:- l<:rf lataur>l) =( 1,01!,[1,co) Contoh 13.5 : Bedkut ini diberikan dua diagram anak panah yang menunjukkan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Relasi manakah yang merupakan fungsi?
4"\
2-
t ",/
\4t (D
(i0
Jawab: Relasi (i) bukan fungsi, sebab ada unsur di A yaitu c yang tidak mendapat pasangan di B.
-1()
a.
Relasi (ii) merupakan fungsikarena setiap unsur diA mempunyai pasangan tepat satu unsur di B
Contoh 13.6
:
Perhatikan himpunan pasangan terurut berikut: a. (r,3), (2,4), (3,5), (4,60 b. {(1,2). (1,4), (2,2\, (3,4)) Manakah dari pasangan terurut di atas yang merupakan fungsi? Jawab: a. sesuai dengan definisi, himpunan pasangan terurut ini merupakan fungsi sebab setiap unsur di A dipasangkan tepat satu unsur di B. b. Karena ada unsur di A yaitu 1 dipasangkan tidak tunggal dengan unsur di B, maka himpunan pasangan terurut ini bukan merupakan fungsi.
Sifot-Sifdt
Fungsi
Perhatikan fungsil:-y-+
y
dan
g:r|:-)y
dengan:
:x+'f dimana r '0. Oan g (r 1-1. r- I Grafik fungsi / dan g , suatu garis mendatar y . b yang digambar pada bidang J
cartesius memotong grafik paling banyak di satu titik atau tidak memotong, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:
Jika kita memilih suatu garis horizontaly = b dengan b anggota range, garis tersebut memotong setiap fungis tepat satu titik. Fungsi/dan g merupakan contoh fungsi satu-satu atau
injektif
Suatu fungsif:r+]) dikatakan lungsi satu-satu atau injektifjika tidak ada dua anggota x yang mempunyai bayangan sama di bawah fungsil Atau dapat ditulis sebaqai berikut:
fungsif :-y-+l merupakan fungsisatusatu bila memenuhi: lvlisalkan x1 dan & anggota X, maka xj = xr e f(x1) = f(xr.
Suatu
Suatu fungsi f: X+ Y kadangkadang dikatakan 'Xinto (ke) Y.'Seperti Anda ketahui, range darisuatu fungsi merupakan himpunan bagian dari kodomain fungsi tersebut. Pada kejad'an khusus, yang di dalamnya range fungsi
*.* *:_
13 - 11
:. .-.-
sama dengan kodomain, fungsitersebut dikatakan fungsi onto atau fungsi pada, Suatu fungsi f X Y dikatakan 'onto' atau 'onto Y' jika setiap elemen pada kodomain juga merupakan elemen pada range f. Dengan kata lain, untuk setiap y eY paling sedikit merupakan pasangan dari satu anggota X sedemikian sehingga (r) =1,. Suatu fungsi onto juga dikatakan fungsi surjektif. Suatu fungsijuga dapat dikatakan sebagai iungsi satu-satu onto atau fungsi satu-satu pada atau lebih dikenal dengan istilah fungsi bijektif.
: )
/
Contoh 13.7: lvlisalkan:A = {-1 Fungsi
f:
,0,1 ,2}, B={0, 1,4,7},C ={0, 1,2}, dan D={0, g A-+ B, : C -+ B, h : A-+ D yang didefinisikan sebagai berikut:
1,4}.
I:x-+* g:x-+ f h:x->x2 Apakah fungsi tersebut satu-satu dan pada?
Jawab: Berikut ini adalah diagram panah dari fungsi-fungsi tersebut
Dari diagram
panahf:A -+ B,denganf:
x + x', dapat dilihat bahwa f bukan
fungsi sai+satu dan f bukan fungsi pada.
Dari diagram panah g : C-+ B dengan g : x-+ )C dapat dilihat bahwa g adalah fungsi satu-satu yang bukan fungsi pada.
Dari
diagrampanahh:A -+Ddenganh:x
)
x'?
dapat dilihat bahwa hbukan
fungsi sat+satu tetapi fungsi pada.
Contoh13.8
:
MisalX={0, 1,2}danY={0,
1,4}. FungislX --rY
yang didefinisikan oleh
Apakah f fun$i satu-satu pada? Berikut ddalah diagram panah darifungs/i
X ')
Dari diagram panah tersebut dapat dilihat
bahwa
adalah fungsi satu-satu pada.
dengan/:x+.r
f:
x
-r
)'
dengan
jf:r )r'
Jenis Peniloion Penilaian padapaket ini adalah tes tertulis
fnstrumen Peniloion Selesaikanlah soalsoal berikut: 1. Jelaskan apa ayang dimaksud dengan relasidan fungsiserta berikan masing masing contoh. 2. Diketahui relasi {(2,4\, (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4D a. Tentukan aturan relasidiatasb. Gambarlah diagram panahnya c. Tuliskan domain dan rangeya 3. Nyatakan diagram panah dan himpunan pasangan berurut berikut, apakah merupakan fungsi atau bukan, jika fungsi berikan alasan dan sebutkan lenrsnya.
/B
\
12 \:/
->;
5
\ 3,/
i->; \;
7./ (ii)
(D
(iii) (e,-3), (4,-2), (1,-1), (0,0), (1,1), (4,2), (e,3)) a. (1,3),(2,4),(2,6),(3,6)) b. (-3,1), (-2,2), C1,3), (0,4)) = l-2, _1, O,1,2j = {-3, -2, -1,0, 1,2,3,4,5} b.
Jika diketahui
/:l+ B,f (x)=2x+l,
Gambarlah fungsidiatas dalam bentuk diagram panah
-17
Jika diketahui
/: l+ B,f(x) = Z r a 1, ^tv.,
a. Gambarlah fungsi di atas dalam bentuk diagram panah b. Sebutkan himpunan pasangan terurutnya c. Tentukan domain, kodomain, dan rangenya d. Termasukjenis apakah fmgsi tersebut
Doftor Pustoko 13.5 Adjie, Nahrowi, Rostika dan Deti, 2006. Konsep Dasar Matematika. Bandungi FIP Universitas Pendidikan lndonesia Bartle, Robert & Sherbert, Donald R, 1992. Introduction fo Rea/ Analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc. Dossey, J.A., Mccrone, S., Giofdano F.R., Weir, M.D., 2002., Mathematics Methods and Modeling for Today's Mathematics Classroom: A Contemporary Apprcach to Teaching Grades 7 - 12. Thomson Learning lnc. Australia.
&
Sandra, dan Kappelle, 2005. Core Ski Adelaide South Australia: Raksar Nominees, Pty Ltd.
Hease, Robert
s
Mathematics
Kenneth H. Rosen. 2003. Discrete Mathematics and lts Application, lvlccraw Hill Higher Education.
9.
-
Nolan J, Phillips G, Watson J, Denney C, Siambulic S., 2000. Math Quest 12: Mathenatical Methods. John Wiley & Sons. Australia Purcell, Edwin J & Varbg, Dale, 1990. Kalkulus sdan Geometri Analitis Jilid Jakarta: Penerbit Erlangga.
1.
Smith, Stanley A, 2001. Algebra 2 with Trigonometri. New Jersey USA: Prentice Hall.
Theresia. 1999. Pengantar Dasar Matemaf*a- Surabaya: Erlangga. Yunus, M, 2007. logika: Suatu Pengantar. Yogyakarta: Graha llmu.
