fufudma
Tim Penulis : A, Saepul Hamdani - IAIN Sunan Ampel Kusaeri - IAIN Sunan AmDel Surabava IJzani - IAIN l4ataram Mulin Nu'man - UNISI4A Malang
Learning Assistance Pendidikan Guru
Surabaya
Operasi Pada Himpunan
e-& d?
DISKUSI KELOMPOKT RELASI ANTAR HIAAPUNAN Petunjuk Diskusikan pada masing-masing kelompok semua soal selanjutnya hasil kelompok dikoreksioleh kelompok lain dengan bimbingan individual
Pertcnyoon diskus I '1. Diberikan diagram
di bawah ini
;
",,....",,-..,
iril
i..,,. )'- :-.,
' _.;1..
l
Arsirlah daerah yang menunjukkan:
a. AU B b. An B c. A- B
'1
d- A- B Diketahui P={a, b, c, d},
Tentukan:
a.PUQUR b.
P.r Q.R
c.P.(Q.R)
d.PU(Q.R)
Q=c,
d,
e,i}dan R={b, c,d, e}
Lembor Uroion Moteri 10.2
OPERA5I PADA HIMPUNAN Pada paket inidibahas mengenai:
' .
Gabungan (union)
lrisan(lntersection)
6obungon Gabungan (Union) dua buah himpunan A dan B merupakan himpunan semua anggota A dan semua anggoia B, biasanya ditulis (A U B) dibaca A gabungan B Secara matematis dapat juga ditulis menjadi:
AeB={x
x € Aalaux E
Bl
uo rioh lu.I 1. Jika A -- {2, 5, B}danA-{7,5,22},makaA'J B = {2,5,7,8,22 J Jika X= {0}dan Y = himpunan bilangan asli, maka X U Y = himpunan bilangan cacah Daiai-i diagram Venn dapat ditulis sebagaimana yang diarsir
2
Catatan
I
1. JikaAUB B=BUA
2.
dan B UAadalah himpunanyang sama, maka dapat ditulis meniadi: A U
Himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari A U B dan ditulis: Al: (AUB)danBc (AUB)
Irison lrisan (intersection) dua buah bimpunan A dan B merupakan hlmpunan yang anggotaanggotanya adalah anggota A dan anggota B, biasanya ditulis (A B) dibaca A lrisan B Secara matematis dapat juga ditulis menjadi:
.
A^B= {x Contoh '10.2
1.
.,1':11,,,
xe B}
:
Jika A = {a, i, u, e, o} dan
]:1, e"t"t,fq,
x e.A dan
B={a,b,c,d,e,0, maka.4.B={a,e}
; L___
Malenralkn
2. Jika M = bilangan
3
asli kelipatan 2 dan N
=
{6,12, 18,24,
...}
JikaA={3,5,
10 idan B = { -2, 6 }, maka A
bilangan asli kelipatan 3, maka
^
B =Q
M.
1
N=
.
Aninya A // B Dalam Diagram Venn dapat ditulis sebagaimana yang diarsir
Catatan:
'1. Jika A dan B suatu himpunan maka A.1 B=
2. A
B.A
B dimuat oleh Himpunan A dan himpunan B, maka (A
.r
B)
LAdan(A^
B)
-B Komplemen Komplemen (Complement) suatu himpunan X merupakan hin punan anggota-anggota d, dalam sernesta pembicaraan yang bukan anggota X, biasanya ditulis dengan (A'atau A') Secara matematis dapatjuga ditulis menjadi
A'={xlx€S,x€A} Contoh 10.3:
1.
Diketahui semesta pembicaraan X = { P, G,
l\/1,
l}dan Y = {huruf hidup}maka Y' = {P, G,
M)
2.
Misalkan S = {1,2,3, ..., 10 }, a. Jjka A = {1,3,7, 10}, maka
A'= {2,4,6, 8}
b JikaA={xlxl2 €8x<10},maka A'={1,3,5,7, 10}
Dalam Diagram Venn dapat ditulis sebagaimana yang diarsir pada gambar beflkut:
Catatan : 1. Komplemen dari himpunan semesta S adalah himpunan kosong S' =Z sebaliknya A
2.
=s
Komplemen dai komplemen himpunan A adalah himpunan itu sendiri (A)' -
'
A l*'
,L_ :
; -fl
Selisih Selisih (Difference) dari dua buah himpunan A dan B merupakan irisan dari himpunan A dengan B komplemen, biasanya ditulis dengan A - B = A r-\ B'. Secara matematis ditulis menjadi
A- B= {x
x e Adanxe B}=
A^B'
Contoh 10.4 : 1. Jika A = {1, 2, 3, ..., 10 } dan B = {2, 4, 6, 8, 10 }, maka A - B = {1, 3, 5, 7, 10 } dan B -
A=A
2. X= {abjad Latin}dan Y= {hurufhidup}, maka X - Y : {huruf Konsonan} Dalam Diagram Venn dapat ditulis sebagaimana yang diarsir
Sifot-sifot Operosi
Himpunon
Berdasarkan definisi dari operasi himpunan, maka ada beberapa sifat operasi pada himpunan yang berlaku adalah sebagai berikut
1.
Hukum identitas:
3-
A\-.)
2-
- A^A =A - AUU=U
O= A
A^U=A
Hukum komplemen:
4.
A^A'=A
Hukum involusi:
Hukum idempoten:
AUA=A
- A!rA'=U 5.
Hukum null/dominasi:
- A/-rA=A
6.
Hukum penyerapan (absorpsi) Au (A.\ B) =A
A.(AuB)=A
7.
8.
Hukum komutatif:
ALrB=BuA A^B=Br-\A
L
ArJ(BLrC) =(AuB)uC
A^(B.C) = (A. B).C
Hukum distributif: A u,(8. C) =(AuB).(A
-
Hukum asosiatifi
,
10. Hukum De l\,4organl (A B)'= A' U B'
^
rrc)
(A U B)' = A'
.
B'
A.(B!C)=(A.rB)rr(A
.c)
Penbuktion Pernyotoon Perihol Himpunon Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan. Pernyataan inidapatberupa:
L
Kesamaan tuireatil/)
Contoh l0.5: Buktikan
"/r\(BLrC)=(,4.i A)u (,4^
C)"
2. lmplikasi Contoh 10.6: Buktikan bahwa
"JikaA.\ B=ZdanAq
(B rr C) maka selalu berlaku bahwa A
q C".
Pembuktion dengon menggunokan Diogrom Venn Contoh l0.T: Misalkan,4, B, dan C adalah himpunan. BuktikanA^ (B! C)= (,4. B)rr (,4 /r C)dengan Diagram Venn. Bukti :
,1.\(B
r,)
()
(,.1
.r B) L]
(-1
.
C)
Kedua Diagram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa: (A n C). ,4.\(auC)
-(AnA)u
Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya. Metode ini mergiTustraslkan ketimbang mernbuktikan fakta. DiagramVenn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara fo
10- 9
Nlaienralika
1
Pembuktikan dengan menggunokon tobel keonggotoon Contoh l0.S: l\risalkan,4, B, dan Cadalah himpunan. Buktikan bahwaA.r (8,-r C)= (4. B)r,r (4.\C). Bukti : B
B
'-.t
C
A.C (A.a)!,](A^C)
An(Bt;C)
A.\B
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
'l
1
0
0
1
0
1
1
1
l
0
1
0
1
1
1
1
1
,-:0
1
0l
1
0
r:.,,4r'r:-
Karena kolom A .r (B ! C) dan ko orn (4,18) c) = (A. B),-r (A.i C).
!
.r
(A
C)
'0
_'t: 1
:,.,
sama,maka terbukti bahwa A . (B
!
Pembuktion dengon menggunokon oljobor himpunon. Contoh 10.9: I\,lisalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (,4.r
Bukti:
lA. B) (4.
B',)
=a (B =A.\
B)
Aa(B-A) =Au
(anA')
!r B) .j
(,4
=(AuB)n
U
= (A
!_.4')
= A\") B
(A. i B')= A
(Hukum distributif) (Hukum komplemen) (Hukum identjtas)
U
Contoh.'10"10: Misalkan A dan B himpunan. Blrktlkan bahwa A Bukti:
B)!
.
(B
- A) = Ae B
(Definisi (Hukum (Hukum (Hukum
operasi selisih) distributif) komplemen) identitas)
Pembuktion dengon menggunckon definisi Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan hirrpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk impllkasj. Bjasanya, di daam implikasi tersebutterdapat notasihimpunan bagian (q atau. ). Contoh 10.11
:
Misalkan A dan B hirn punan. Jika
kei 10
A.r B=Z danA=(B uC),maka'4 qC.Buktikanl
T--
Bukti: Darideflnisi himpunan bagian, Pq€ Qjika dan hanyajika setiapx Pjuga € Q. Misalkan x e A. Karena,4q (B !/ C), daridefinisi himpunan bagian, xjuga e (BuC). Daridefinisioperasi gabungan(\-.r),xe (8u C)berartix€ Batauxe C. ii. Karena x € A dan,4 B=A,maka x e B Dari (i) dan (ii), x € C harus benar. Karena Vx € A jugaberlakux€ C, maka dapat disimpulkan,4 q C.
i.
.
Lembor Peniloion 10.4 Jenis Peniloion Penilaian pada paket ini adalah tes tenulis.
Insirumen Peniloian Kerjakan semua soal di bawah ini. 1. Diketahui M = {a, b, c, d}, N = {c, d, e, 0 dimana semesta pembicaraannya adalah S = {sepuluh abjad Yunani} Tentukan: a. M'dan N'
b,
MUN'
c. MUN^N' d. (MUN) 2.
Gambadah Diagram Venn dan arsirlah daerahnya Jika A = {bilangan ganjil positif kuarang dari 8}, B = {bilangan bulat positil kurang dari 6} dan C = {bllangan prima kurang dari 1 1}tentukan :
a. (A-B)UC b. A'-(B'U C) 3.
c.
(AU B) C' Buktikan bahwa: a. B A'= B r-rA b. JikaAn B=O makaA- B' c. Jika A,- B maka A U (B -A)B
.*nx
Jftthl DAFTAR PUSTAKA
1O.51 1O.5
Theresia, 1992. Pengantar Dasar Matematika: Logika dan Teori Himpunan, Jakafta'. Erlangga
Yunus, lvluhammad. 2007. Logika Suatu Perganfar- Yogyakartai Graha llmu
