t
tu
Tim Penulis: A. Saepul Hamdani - IAIN Sunan Ampel Surabaya Kusaeri - IAIN Sunan Ampel Surabaya Irzani - IAIN Mataram Mulin Nu'man - UNISMA Malang .
:.::::
:-,::=
:,,.-1i,, ,.,,=,,==.
Learning Assistance Pendldikan Guru
=
Karakteristik Matematika
='$
w
Lembor Keoiaton
2.I
DISKUSI KELOMPOK: KARAKTERI5TIK MATEMATIKA Petunjuk Bekerjalah dalam kelompok 2. Setiap kelompok terdiri dari 5 - 6 orang 1.
Pertonyoon Diskusi Jelaskan dan berilah contoh yang dimaksud dengan 1. matematika memilikiobjek kajian yang abstrak; 2. matematika bertumpu pada kesepakatan; 3. matematika berpola pikirdeduktif; 4. simbol dalam matematika kosong dariarti; 5. matematika memperhatikansemesta pembicaraan; 6. matematika konsisten dalam sistemnya.
Hosil Diskusi
Lembor Uroion Moteri 2.2
KARAKTERI5TIK AAATEMATIKA Pada rangkaian ini dibahas mengenai karakteristik matematika yang terdiri atas:
. ' . . . .
Matematika memiliki objek kajian yang abstrak; Matematika bertumpu pada kesepakatan; Matematika berpola pikir deduktif; Simboldalam matematika kosong dari arti; Matematika memperhatikan semesta pembicaraan; Matematika konsisten dalam sistemnya;
A. Korokteristik Motemotiko Pada paket sebelumnya telah dibahas sejarah perkembangan matematika dan definisi tentang matematika yang menginformasikan bahwa matematika itu berbeda-beda antara matematikawan yang satu dengan lainnya. Pada bagian ini kita membahas lebih rinci tentang karakteristik matematika yang terdiri atas :
. . . . . .
Matematika memiliki obyek kajian yang abstrak, Bertumpu pada kesepakatan, Berpola pikir deduktif, Memiliki simbolyang kosong dari arti, Memperhatikan semesta pembicaraan, dan Konsisten dalam sistemnya.
Berikut ini dikemukakan uraian masing-masing karakteristik tersebut dengan contohnya.
1. Motematiko memiliki objek kojion obstrok Objek dasar yang dipelajari matematika merupakan sesuatu yang abstrak, sering juga disebut obyek mental. Objek-objek itu merupakan objek pikiran. Objek dasar itu meliputi
. . . .
Fakta,
Konsep, Operasidan Prinsip.
Dari objek dasar itulah dapat disusun pola dan struktur matematik. Adapun objek dasar tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.
Fakta Fakta berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol tertentu. Beberapa contoh fakta sebagai berikut.
.
.
Simbol "3" secara umum sudah dipahami sebagai bilangan "tiga". Jika disajikan "3" orang dengan sendirinya akan terbayang dalam pikirannya bilangan "tiqfu
"tip**
"3 + 4" yang dipahamisebagai "tiga tambah
empaf'. $ E
:
. "3X5=5+5+5=15". . Dalam geometrijuga terdapat simbol-simbol tertentu
yang merupakan konvensi,
misalnya "Il" yang bermakna "sejajar".
' .
Dalam aljabar dikenal (a, b) sebagai pasangan berurutan.
"213" yang dipahami sebagai "dua lebih kecil dari tiga".
Cara mempelajari fakta bisa dengan cara hafalan, drill(latihan terus menerus), demonstrasi tertulis, dan lain-lain. Namun perlu dicamkan bahwa mengingat fakta adalah penting tetapijauh lebih penting memahami konsep yang diwakilinya.
Konsep Konsep adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek. Apakah objek tertentu merupakan contoh konsep ataukah bukan. Contoh tentang konsep sebagai berikut.
. . . .
"Bilangan Asli" adalah nama suatu konsep yang lebih kompleks. Dikatakan lebih kompleks karena bilangan asli terdiri atas banyak konsep sederhana, yaitu bilangan "satu", "dua", "tiga", dan sgterusnya. Dalam matematika terdapat konsep yang amat penting yaitu "fungsi", "variabel", dan "konstanta". "Segitiga" adalah suatu konsep. Dengan konsep itu kita dapat membedakan mana yang merupakan contoh segitiga dan mana yang bukan segitiga. "Bilangan prima" merupakan konsep, karena dengan konsep itu, kita dapat membedakan mana yang merupakan bilangan prima dan mana yang bukan bilangan prima.
Konsep berhubungan erat dengan definisi. Definisi adalah ungkapan yang membatasi suatu konsep. Dengan adanya definisi orang dapat membuat ilustrasi atau gambar atau lambang dari konsep yang didefinisikan. Contoh: Konsep trapesium misalnya bila dikemukakan dalam definisi seperti berikut. a. "Trapesium adalah segiempat yang memiliki tepat sepasang sisi sejajar". b. "Trapesium adalah segiempat yang terjadi apabila sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya" Kedua definisi yaitu (a) dan (b) memiliki ungkapan berbeda, tetapi mempunyaijangkauan yang sama. Artinya, makna yang tertangkap dari ungkapan definisi (a) dan (b) sama. Ada tiga macam definisiyang dikenal, yaitu:
.
DefinisiAnalitik, yaitu definisi yang di dalamnya menyebutkan genus praksimum (keluarga terdekat) dan diferensia spesifika (pembeda khusus). Contoh: Belah ketupat adalah jajargenjang yang .... Belahketupat adalah segiempat yang ....
.
Definisi Genetik, yaitu yaitu definisiyang menyebutkan bagaimana kon terbentuk atau terjadi.
Contoh: Segitiga siku-siku adalah segitiga yang terjadi bila suatu persegi panjang dipotong menurut salah satu garis diagonalnya.
.
Definisi dengan rumus, yaitu definisi yang dinyatakan dengan menggunakan kalimat matematika. Contoh: Dalam ilmu bilangan (aritmetika): a - b = a + (-b)
Prinsip Prinsip adalah objek matematika yang kompleks. Prinsip dapat terdiri dari atas beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun operasi. Secara sederhana dapatlah dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan antara berbagai objek dasar matematika. Prinsip dapat berupa "aksioma", "teorema", "sifat" dan sebagainya. Contoh: a. sifat distributif dalam aritmetika; b. teorema Pytagoras Operasi (abstrak) adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar, dan pengerjaan matematika yang lain.
Contoh:
1) 2) 3)
4)
"penjumlahan", "perkalian" "gabungan", "irisan". "sama dengan", "lebih besa/' "konjungsi" dan "disjungsi"
2. Bertumpu podo
Kesepokoton
Seperti halnya dalam kehidupan keseharian kita, termasuk kehidupan berbangsa dan bernegara, terdapat banyak kesepakatan yang mengikat semua anggota masyarakat. Dalam matematika kesepakatan merupakan tumpuan yang amat penting. Sebagai contoh '1 adafah lambang bilangan yang digunakan sekarang: ,2,3, dan seterusnya merupakan sontoh sebuah kesepakatan dalam matematika. Siswa-siswitidak sadar menerima kesepakatan itu ketika mulai mempelajari tentang angka atau bilangan. Termasuk pula penggunaan kata "SatU" UntUk lambang "1" atau "Sama dengan" UntUk "=" jU$O mefUpakan suatu kesepakatan.
Kesepakatan yang amat mendasar adalah aksioma dan konsep primitif. Aksioma diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam pembuktian, sedangkan konsep primitif diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam pendefinisian. Aksioma juga disebut sebagai postulat (sekarang) atau pernyataan-pangkal (pernyataan yang kebenarannya tidak perlu dibuktikan). Konsep primitif yang juga disebut sebagai undefined term ataupun pengertian pangkal yaitu unsur yang tidak perlu didefinisikan. Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma, yang selanjutnya dapat menurunkan berbagai teorema. Dalam aksioma tertentu terdapat konsep primitif te$d Dari satu atau tebih konsep primitif dapat dibentuk konsep baru melalui Contoh dalam geometri dikenal aksioma seperti berikut "melalui dua buah titik
dibuat tepat satu garis". Dari pernyataan tersebut langsung tergambar nilai kebenarannya yakni, "benad'sehingga tidak perlu dibuktikan. Demikian juga, "titik" dan "garis" merupakan konsep primitif sehinggga "titik" dan "garis" tidak perlu didefinisikan.
3. Berpolo Pikir Deduktif Matematika sebagai "ilmu" hanya diterima jika berpola pikir deduktif. Pola pikir deduktif secara sederhana dapat dikatakan sebagai pemikiran "yang berpangkal dari halyang bersifat umum diterapkan dan diarahkan kepada hal yang bersifat khusus". Pola pikir deduktif ini dapat terwujud dalam bentuk yang amat sederhana, tetapijuga dapat terwujud dalam bentuk yang tidak sederhana. Berikut ini dikemukakan dua contoh, yaitu pola pikir deduktif yang sederhana dan tidak sederhana.
Contoh 2.1
:
Pola pikir deduktif yang sederhana
.
Seorang murid SD sudah mengerti makna konsep "persegi" yang diajarkan oleh bapak/ibu guru. Suatu hari siswa tersebut melihat berbagai bentuk pigura yang terdapat dalam suatu pameran lukisan. Saat itu dia dapat menunjukkan pigura yang berbentuk persegi dan bukan persegi. lni berarti bahwa siswa tersebut telah menerapkan pemahaman umum tentang persegi kedalam situasi khusus tentang pigura-pigura tersebut. Jadi siswa itu pada waktu menunjuk pigura persegi, telah menggunakan pola pikir deduktif yang tergolong sederhana.
.
Seorang siswa atau siswi telah memahami konsep "lingkaran". Ketika berada di dapur siswa dapat menggolongkan peralatan dapur yang berbentuk lingkaran dan yang bukan lingkaran. Ketika siswa-siswi mampu menunjukkan peralatan yang berbentuk lingkaran dan yang bukan maka siswa-siswi tersebut telah menggunalan pola pikir deduktif secara sederhana.
Contoh 2.2 : Pola pikir deduktif yang tidak sederhana Banyak teorema dalam matematika yang "ditemukan" melalui pengamatan-pengamatan khusus, misalnya teorema Pythagoras. Bila hasil pengamatan tersebut dimasukkan dalam suatu struktur matematika tertentu dalam bentuk teorema, teorema yang ditemukan itu harus dibuktikan secara deduktif antara lain dengan menggunakan teorema dan definisi terdahulu yang telah diterima sebagai kebenaran yang "bena/'.
4. Memiliki
Simbol yong Kosong dori
Arti
Dalam matematika terlihat dengan jelas banyak simbol yang digunakan, baik simbol yang berupa huruf ataupun bukan huruf. Rangkaian simbol dalam matematika dapat membentuk model matematika. Model matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, bangun geometrik, dan sebagainya. Contoh simbol yang kosong dari arti adalah huruf-huruf yang dipergunakan dalam model persamaan x + y = z belum tentu bermakna atau berarti bilangan. Demikian juga tanda belum tentu berarti operasi tambah untuk dua bilangan. Makna "huruf'dan "tanda" if,+""." tergantung dari masalah yang mengakibatkan terbentuknya model itu. Jadi seprc-$mn yang huruf dan tanda dalam model x + Y = z masih kosong dari arti, terserah
iw
memanfaatkan model-model metematika itu. Hal inijustru memungkinkan "intervensi" matematika ke dalam berbagai pengetahuan. Kekosongan arti itu memungkinkan matematika memasuki medan garapan ilmu ekonomi, teknik, bahkan ilmu bahasa (linguistik). Secara umum, model/simbol matematika sesungguhnya kosong dariarti. Simbol akan bermakna bila kita mengaitkannya dengan konteks tertentu. Secara umum, hal ini pula yang membedakan simbol matematika dengan simbol bukan matematika. Kekosongan arti dari model-model matematika merupakan "kekuatan" matematika yang dengan sifat tersebut ia bisa masuk pada berbagai macam bidang kehidupan yaitu dari masalah teknis, ekonomi, hingga ke bidang psikologi.
5. Memperhotikon Semesto
Pembicoroon
Sehubungan dengan pernyataan tentang kekosongan arti simbol dan tanda dalam matematika di atas, ditunjukkan dengan jelas bahwa dalam penggunaan matematika diperlukan kejelasan lingkup model itu dipakai. Bila lingkup pembicaraannya bilangan, maka simbol-simbol itu diartikan suatu bilangan. Bila lingkup pembicaraannya transformasi, simbol-simbol itu diartikan suatu transformasi. Benar atau salahnya ataupun ada tidaknya penyelesaian suatu model matematika sangat ditentukan oleh semesta pembicaraannya. Berikut ini disajikan beberapa contoh sederhana.
Contoh 2.3 : Penggunaan semesta pembicaraan
a.
Dalam semesta pembicaraan bilangan bulat, terdapat model 2x= 5. Adakah penyelesaiannya? Kalau diselesaikan seperti biasa, tanpa menghiraukan semestanya akan diperoleh hasil x= 2,5. Akan tetapi, kalau sudah ditentukan bahwa semestanya bilangan bulat, maka jawab x = 2,5 adalah salah atau bukan jawaban yang dikehendaki. Jadi, jawaban yang sesuai dengan semestanya adalah "tidak ada jawabannya" atau penyelesaiannya tidak ada. Sering juga dikatakan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah "himpunan kosong".
b.
Dalam semesta pembicaraan vektor di bidang datar , terdapat model x + b = c . Dalam hal ini, jelas bahwa huruf-huruf yang digunakan itu tidak diaftikan bilangan, tetapi harus diartikan vektor, sehingga untuk menentukan penyelesaiannya diperlukan cara yang berbeda dengan bilangan. Cara yang digunakan adalah dengan menggunakan gambar sebuah segitiga seperti gambar di bawah ini.
Gambar 2.1. Vektor pada bidang datar
6. Konsisten dolom Sistemnyo Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada sistem yang mempunyai kaitan satu sama lain, tetapi ada juga sistem yang dapat dipandang terlepas satu sama lain, misal, dikenal sistem-sistem aljabar, sistem-sistem geometri. Sistem aljabar dan sistem geometri tersebut dapat dipandang terlepas satu sama lain, tetapi di dalam sistem aljabar sendiri terdapat beberapa sistem yang lebih "kecil" yang terkait satu sama lain. Dalam aljabar terdapat sistem aksioma dari group, sistem aksioma dari ring, sistem aksioma dari fleld dan sebagainya. Tiaptiap sistem aksioma itu memiliki keterkaitan tertentu. Demikian juga dalam sistem geometri terdapat sistem geometri netral, sistem geometri Euelides, sistem geometri non-Euclides dan sebagainya. Sistem-sistem geometri itu memiliki kaitan tertentu juga. Dalam tiaptiap sistem dan strukturnya berlaku ketaatasasan atau konsistensi. Inijuga dikatakan bahwa dalam setiap sistem dan strukturnya tersebut tidak boleh terdapat kontradiksi. Suatu teorema ataupun suatu definisi harus menggunakan istilah atau konsep yang telah ditetapkan terlebih dahulu. Konsistensi itu berlaku baik dalam makna maupun dalam hal penilaiankebenarannya.Kalautelahditetapkanataudisepakati bahwaa+b=xdanx+Y = p, maka a + b + y haruslah sama dengan p. Akan tetapi, antara sistem atau struktur yang satu dengan sistem atau struktur yang lain tidak mustahil terdapat pernyataan yang intensinya saling kontradiksi. Sebagai contoh, perhatikan dalam sistem geometri Euclides dan sistem geometri non-Euclides, dijumpai dua pertanyaan yang kontradiktif.
Geometri Euclides memiliki teorema yang berbunyi 'Jumlah besar sudut-sudut sebuah segitiga sama dengan seratus delapan puluh derajat" ("). Geometri non-Euclides memiliki teorema "Jumlah besar sudut-sudut sebuah segitiga lebih (besar) dari atau sama dengan seratus delapan puluh derajat" (**). Keduanya bernilai benar dalam masing-masing sistem dan strukturnya. lni berarti kalau (*) dimasukkan dalam sistem geometri non-Euclides akan menimbulkan kontradikasi, demikian pula bila (**) dimasukkan dalam sistem geometri Euclides. Hal-hal semacam itulah yang tidak dibenarkan terdapat dalam matematika.
B. Sistem don Struktur dalom Motemotiko Pada bagian terdahulu telah disebut istilah sistem dan struktur. Dalam tulisan ini makna kata sistem diafiikan sebagai "sekumpulan unsur atau elemen yang terkait satu sama lain dan mempunyai tujuan teftentu". Unsur atau elemen dalam sistem itu sangat tergantung kepada semesta pembicaraan. Sistem aksioma, misalnya, unsurnya adalah aksioma. Dalam matematika terdapat juga sistem geometri, sistem bilangan, sistem persamaan dan sebagainya. Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan "struktur" adalah suatu sistem yang di dalamnya memuat hubungan yang hirarkis. Suatu sistem aksioma yang diikuti dengan teoremateorema yang dapat diturunkan dari padanya membentuk suatu struktur. Di dalam suatu struktur matematika yang lengkap itulah terdapat "konsep primitif atau undefined tqms "aksioma-aksioma", "konsep-konsep lain yang didefi nisikan" dan "teorema kani Unsur yang terakhir ini sering juga dalam bentuk "lemma" atau "corollary",
w'
t,Y ,l
kadang-kadang juga "kriteria". Dengan demikian suatu struktur matematika secara umum dapat ditujukkan dengan skema di bawah ini.
Sistem Aksioma
Konsep
Primitif I I I
I I
*
I
T
Teorema-I
Konsep-I (didehnisikan) Teorema-2.
I I
Y I
+
Konsep-2
Teorema-3
(fidefrnisikani
I
I
*
+
dst.
dst.
Gambar 2.2 Struktur Matematika
Cara membuat skema itu dapat berbeda namun pada intinya sama. Dalam tulisan ini disajikan seperti di atas bahwa untuk mempermudah melihat bahwa "lajur kiri" adalah lajur yang memuat pernyataan (sering aksioma disebut juga "pernyataan pangkal"). "lajur kanan" adalah lajur "pengertian" atau "konsep" (sering konsep primitif disebut juga "pengeftian pangkal"). Beberapa buah aksioma, yang berupa beberapa buah pernyataan, dapat membentuk suatu sistem apabila memenuhi syarat teftentu, yaitu :
. . .
Independen atau bebas, Konsisten atau taat asas atau non-kontradiksi, dan Lengkap.
Seringkali ditambah dengan ekonomis. Sebagai contoh, misalkan, ada empat aksioma A1, A2, 43, 44, maka keempat aksioma itu dapat membentuk sebuah sistem aksioma, bila memenuhi syarat berikut:
.
Independen, artinya tidak ada satupun dari keempat aksioma itu yang dapat diperoleh atau dapat diturunkan dari aksioma yang lain. Bila ada satu saja aksioma dari keempat aksioma itu, misalkan A3 dapat diturunkan dari 41, keempat aksioma tersebut tidak dapat membentuk sistem aksioma. Agar terbentuk sistem aksioma A3 harus dikeluarkan dari strukturnya dan dapat diangkat menjadi salah satu teorema.
'
Konsisten, artinya tidak ada satupun dari keempat aksioma itu yang bertentangan atau kontradiksidengan aksioma yang lain.
.
Lengkap, artinya dari keempat aksioma itu dapat dibentuk atau diturunkan teorema baru. Suatu teorema bernilai benar, maka ingkarannya bernilai sa
C. Hokim Tertinggi Motematiko Kebenaran merupakan halteramat penting dalam maupun di luar ilmu pengetahuan (digunakan istilah ilmu pengetahuan, hanya untuk memberi tekanan, sebenarnya cukup ilmu saja). Dalam kehidupan sehari-harijuga dikenal kebenaran dan ketidakbenaran. Tindakan atau ucapan seseorang sering digolongkan kepada "benai'dan "tidak bena/', meski dalam perkembangan dewasa ini dimungkinkan penggolongan itu tidak dikotonomik seperti itu. Sesuatu yang dinilai benar atapun salah umumnya dapat dinyatakan dalam bentuk pernyaataan atau "statemen".
.
.
.
Sebuah mobil berjalan ke arah tertentu. Keadaan itu dapat diuangkap dalam sebuah pernyataan, misal, "Mobil merah itu berjalan ke arah utara". Pernyataan ini dapat dicek kebenarannya dengan benar-benar melihat apakah mobilnya berwarnah merah dan berjalannya ke arah utara. Dengan demikian pernyataan itu dapat bernilai benar atau mungkin salah. Seseorang memukul seorang murid Tindakan itu dapat diungkap dalam sebuah pernyataan, misal, "Pak guru Sidin memukul muridnya yang bernama Amin." Seperticontoh nomor 1) pernyataan itu pun mungkin bernilai benar, mungkin bernilai salah sesuai dengan kecocokan isinya atau intensi pernyataan itu. Seorang siswa-siswi SMP mengatakan bahwa, "setengah sudut A adalah 300." Ucapan siswa-siswi tersebut merupakan sebuah pernyataan. Kebenaran atau kesalahan pernyataan tersebut harus dirujukkan kepada pernyataan-pernyataan terdahulu. Pernyataan terdahulu misalnya "besar sudut A = 60e", tentu saja pernyataan siswa-siswi itu bernilai benar. Tetapi kalau definisi besar sudut belum ada, maka pernyataan siswa-siswitersebut belum dapat kita katakan salah atapun benar.
Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan pernyataan yang dapat dianggap mewakili kondisi atau tindakan tertentu, penilaian benar atau tidak benar dapat dilakukan. Dari uraian di atas jelas bahwa kenyataan menduduki tempat yang penting dalam hal "nilai kebenaran" atas sesuatu hal. Dalam keilmuan biasa.nya dikenal tiga jenis kebenaran, yaitu:
. . '
Kebenaran koherensi atau konsistensi, Kebenaran korelasional, dan Kebenaran pragmatik.
Berikut ini disajikan penjelasan singkat dari ketiga kebenaran tersebut, bertumpu kepada pengertian "pernyataan " seperti yang dijelaskan di atas.
.
.
Kebenaran konsistensiadalah kebenaran suatu pernyataan yang didasarkan kepada kebenaran-kebenaran yang telah diterima terlebih dahulu. Pada dasarnya kebenaran yang ada dalam matematika adalah kebenaran konsistensi. Ini cocok dengan skema yang telah dikemukakan terdahulu. Kebenaran suatu teorema dalam matematika di bukti kan dengan menggunakan kebena ra n-kebenaran pernyataan-pernya terdahulu yang telah diterima sebagai benar. Kebenaran korelasional adalah kebenaran suatu pernyataan yang didasarkpn
Jenis Peniloion Penilaian pada pertemuan ini meliputites esai.
Instrumen Peniloion Selesaikanlah soal berikut ini:
1. a. b.
c.
Salah satu karakteristik matematika adalah memiliki objek kajian yang abstrak. Berikan penjelasan! Jelaskan dampak keabstrakan objek kajian matematika terhadap pembelajaran matematika di madrasah ibtidaiyah dan bagaimana saran Anda! Klasifikasikanlah objek-objek di bawah ini, apakah termasuk fakta, konsep, operasi, atau prinsip, serta kemukakan alasannya: 1) "lebih kecil"
2)'10" 3) "segiempat"
4) "<" 5) "pengurangan" 6) "KPK" 7) Dalil Pytagoras" 8) "2x2 22" 9) "Bilangan prima" 10) "luas"
11)"V=pxlx
t"
12)"" 2.
Kesepakatan adalah tumpuan matematika. Contohnya adalah para ahli sepakat menggunakan simbol "" untuk menyatakan hasil bagi keliling dengan diameter lingkaran. Apabila ada siswa yang lebih senang menggunakan simbol yang lain, bagaimana Anda sebagai seorang guru menyikapinya? Mengapa?
3.
Pola pikir dalam matematika adalah deduktif. Jelaskan dan beri contoh.
4.
Simbol matematika pada hakikatnya kosong dariarti. Tetapi apakah kita benar-benar dapat menerapkannya dalam pembelajaran matematika? Mengapa? Bagaimana seharusnya (hubungkan dengan pembelajaran kontekstual atau konstruktivis).
5.
Jelaskan pentingnya semesta pembicaraan dalam matematika!
6.
Jelaskan bahwa matematika konsisten dalam sistemnya.
7.
Buatlah peta konsep tentang "bangun datar segiempat"
Daftor Pustoko 2.5 Boyer, Carl B., 1968. A History of Mathematics. NewYork: John Wiley & Sons.lnc.
Clemson D dan Clemson W., 1 994.
M athematics i n The
Early Years. New York: Routge
Courant, Richart, dan Robbins, Herbert., 1981 . What is Mathematics, An Elementary Approach To ldeas and Methods. NewYork: Oxford University Press Eves, Howard., 1964. An Introduction to The History of Mathemaflcs. New York: Holt, Rinehart & Winston. Inc.
Soedjadi., 2000. Kiat Pendidikan Matematika, Konstalasi Keadaan Masa Kini Menuiu Harapan Masa Depan. Jakarta: DirektoratJenderal Pendidikan Tinggi. Suherman., E, dkk. 2003. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia
Sumardyono.. 2Q04. Karakteristik Matematika dan lmplikasinya terhadap Pembelaiaran Matematika. Yogyakafta: DIKDASMEN Pusat Pengembangan Penataran Guru Matematika. Departemen Pendidikan Nasional Wifder, Raymond L., 1981 . MathematicsasA CulturalSysfem. NewYork: Pergamon Press.
