tu , Tim Penulis : A. Saepul Hamdani - IAIN Sunan Ampel Surabaya Kusaeri - IAIN Sunan AmDel Surabava Irzani - IAIN lvlataram Mulin Nu'man - UNISIVIA Malang
:
.: .
'':
:
Learning Assistance Program for Islamic Schools' Pendidikan Guru Madrasah Ibtidaiyah ., : | 2008
' :
Pernyataan Berkuantor dan Penalaran
43
Nlalenralaka
1
e-E Lembar Keqiaton 6.1.A /.?
DISKUSI BERPASANGAN: PERNYATAAN BERKUANTOR Petunjuk 'I
.
2. 3. 4.
Bacalah uraian materi 6 tentang pernyataan berkuantor dan penalaran matematika. Cari pasangan untuk saling mengajukan pertanyaan Laporkan pada dosen pertanyaan yang belum terjawab untuk didiskusikan Presentasikan jawaban yang sudah dibuat
Pertonyaon Diskusi Bacalah uraian maieridan diskusikan pertanyaan berikut
1. Tentukan nilai kebenaran dan negasi pernyataan berkuantor berjkutjika semesta pembicaraannya X = 11,2,3,4,51
a. Vx(4+x<10) b. lx(4+x=7) c. Vx(4+x 7) d. lx(4+x>8)
2.
Tentukan nilai kebenaran dan negasi dari setiap pernyataan berlkut ini dengan semesta pembicaraan himpunan A = {1, 2, 3} a) Vx :y (x'< y + 1) b) :x Vy (x' + y' < 13)
c) :x ly (x'+ y'< 13) d) vx vy (x'+ y'< 20) e) nx =y =z(*+y'
3. Pada setiap nomor berikut ini terdapat dua premis. Tentukan 0ika ada) konklusi valid yang dapat ditarik dari premis-premis tersebut dan bagaimana menyusun argumen sampai pada konklusi tersebut a) Jika saya tinggaldi sini, saya berada dalam bahaya. Tetapi saya ingin tinggaldi stnl b) Jika saya menjadi raja, saya sangat berkuasa. Tetapi saya bukan seorang raja c) Saya akan tinggal di apanemen hanya jika saya seorang milyuner. Sekarang saya tinggal diapartemen o) Ketika berlari, saya cepat letih jika tidak berlari pelan-pelan. Saya tidak letih. e) Jika ada tugas rumah daridosen, mahasiswa dan mahasiswi merasa senang; dan jika harus mengikuti perkuliahan mahasiswa dan mahasiswi merasa mengantuK. Mahasiswa dan mahasiswi merasa tidak senang atau tidak
mengantuk
f I
1 l ,
----
-
0-l
Lembor Keoiofon 6.1.B
TUGAS INDIVIDU: PENALARAN MATEMATIKA Pertonyaon Kerjakan semua soal di bawah ini dengan waktu 20 menit 'I
.
2.
Misalkan p(x) menyatakan kalimat terbuka "l s x". Apakah p(x) merupakan fungsi pernyataan pada setiap himpunan berikut ini. a) A = {bilangan asli} b) B = {-1, -2, -3, ...}
Tentukan nilai kebenaran darisetiap pernyataan berikut ini dalam semesta pembicaraan himpunan bilangan real
a) lx(x'-2x+1=0) b) vx(x'+2x+ l>0) 3. Tentuka4 negasi pernyataan-pernyataan
4.
pada soal nomor 2l
Diketahui pernyataan, "Ada segitiga sama kakiyang bukan segitiga sama sisi." Tulislah pernyataan tersebut dalam bentuk simbolikl Kemudian, tentukan negaslnya!
5. Tentukan contoh lawan
(counter example) dari setiap pernyataan berikut ini dalam himpunan B = {4, 5, 6,..., 10}l a) Vx (x bilangan prima)
b) Vx (x+4<13) Tentukan nilai kebena.an dan negasidari pernyataan fx vy :z (x' + y' < 23) dengan . semesta pembicaraan himpunan A = {1, 2, 3} 7. Manakah di antara argumen-argumen berikut ini yang merupakan argumen valid? Tentukan juga tipe argumen yang dipakai! a. Jika udara dingin, saya akan tinggal di rumafl Jika udara dingin. saya akan minum kopi panas Konklusi: Jika saya tinggal di rumah, saya akan minum kopi panas Saya makanjika saya lapar b. Saya makan Konklusi: Saya lapar c. Jika saya sedih, saya akan berdoa; dan jika saya berbahagia, saya akan
6.
mengoDrot
Saya tidak berdoa, tetapi saya tidak berbahagia Konklusi: Saya tidak sedih dan saya tidak akan mengobrol
illalemarika
1
Lembor Uroion Moteri 6.2
PERNYATAAN BERKUANTOR DAN PENALARAN MATEMATIKA Pada handout ini, materiyang akan diuraikan adalah: Negasi Pernyataan Majemuk Konvers, Invers, dan Kontraposis; Tautologi, Kontradiksi, dan ekivalen
' ' .
Kalimat matematika seringkali menggunakan kata yang menggambarkan kuantitas dari semesta pembicaraan. Untuk menggambarkan keseluruhan, sering digunakan kata "setiap", "semua", dan "untuk setiap". Untuk menggambarkan bagian atau kesatuan, sering digunakan kata "ada", "beberapa", dan "untuk suatu". Dalam logika matematika penggunaan kata-kata tersebut harus rnengikuti aturan-aturan tertentu. Begitu juga dalam
menentukan nilai kebenaran dan ingkarannya. Manusia diciptakan dalam keadaan yang sangal sempurna, karena dilengkapi dengan akal dan nafsu. Dengan akal, manusia diwajibkan untuk berpikir dan bernalar untuk mengambil hikmah dari suatu peristiwa yang ada. Dalam Al-Qur'an surat Yusuf 11 1, Allah berfirman yang artinya: "Sesungguhnya pada kisah-kisah mereka itu terdapat pengaiaran bagi orang-orang yang mempunyai akal. Al Quran itu bukanlah cerita yang dibuat-buat, akan tetapi membenarkan (kitab-kitab) yang sebelumnya dan menjelaskan segala sesuatu, dan sebagai petunjuk dan rahmat bagi kaum yang beiman. Dalam logika rnatematika, penarikan kesimpulan (bernalar)juga mempunyai aturanaturan tenentu agar kesimpulan yang didapat benar-benar kesimpulan yang valid dan dapat dipertanggungjawabkan secara ilmiah. Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika dapat dibuktikan bahwa argumen tersebut merupakan tautologi untuk semua nilai kebenaran premis-premisnya. Metode yang sederhana untuk membuktikan suatu argumen valid adalah dengan bantuan tabel kebenaran.
A. Pernyctoon Berkuontor Sebelum kita bahas pernyataan berkuantor, terlebih dahulu kita bahas tungsi pernyaiaan.
Definisi 6.1: Suatu fungsi pernyataan adalah suaiu kalimat terbuka dalam semesta pembicaraannya (semesta pembicaraannya diberikan ScLald cKslJllslt uar I llllprlSll) Pernyataan dalam matematika sering dinyatakan sebagaifungsi pernyataan. Fungsi pernyataan ditulis sebagai p(x) yang bersifat bahwa p(a) bernilal benar atau salah (tidak keduanya) untuk setiap a (a adalah anggota dari semesta pembicara). Jadip(a) merupakan suatu pernyataan.
Suatu fungsi pernyataan akan menjadi suatu pernyataan jika variabel yang ada diganti dengan kata "ada", atau "semua" dari semesta yang ada. Jika semesta tidak disebutkan secara eksplisit, semesta pembicaraan dari fungsi pernyataan adalah bilangan real (R). Contoh 6.1 p(x): 1+x>5 p(x) akan merupakaan fungsi pernyataan pada A = himpunan bilangan asli. Tetapip(x) bukan merupakan fungsi pernyataan pada K = himpunan bilangan kompleks. Dari contoh di atas terlihat bahwa fungsi pernyataan p(x) yang didefinisikan pada himpunan tertentu akan bernilai benarjika variabelnya diawali dengan kata "untuk semua" anggota semesta pembicaraan, "beberapa" anggota semesta pembicaraan, atau "tidak ada" anggota semesta pembicaraan yang memenuhi.
Definisi 6.2: Kuantor adalah suatu lambang yang menunjukkan generalisasi suatu kalimat terbuka. Ada dua macam kuantor. vaitu kuantor ekslstensial dan kuantor universal.
Kuontor Eksistensiol (Khusus) Simboll dibaca "ada" atau "untuk beberapa" atau "untuk paling sedikit satu" disebut kuantor eksistensial. Jjka p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunan tertentu di B (himpunan semesta) maka (:r€B)p (x) atau lr,p (r) adalah suatu pernyatan yang dibaca "ada x elemen B sedemikian hingga p(x) merupakan penyataan benai'.
Contoh 6.2 Benar atau salahkah pernyataan berkuantor (lreR) (2x-1>5)? (R = Bjlangan Real) JAWAO
(lr€R) (2x-l>5) mempunyai arti, "Ada suatu x sehingga berlaku 2x + 1 > 5." Jelas ini merupakan pernyataan yang benar, karena kita dapat menemukan x yang memenuhi pertidaksamaan 2x + 1 > 5, misalnya x = 3.
Kuontor Universol (Umum) Simbol dibaca "untuk semua" atau "untuk setiap" disebut kuantor universal. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunan tertentu di B (himpunan semesta) maka (VxeB) p(x) atau Vr pfr, adalah suatu pernyatan yang dibaca "untuk setiap x elemen B sedemikian hingga p(x) merupakan penyataan benad'. Contoh 6.3
:
Benar atau salahkah pemyataan berkuantor (VrceR) (2r + I > 5) ?
Jawab (VreR) (1I + 1 > 5) mempunyai arti"untuk semua x berlaku 2x + 1 > 5". Jelas ini merupakan pernyataan yang salah, karena kita dapat menemukan xyang tidak memenuhi pertidaksamaan 2x + 'l > 5. misalnya x = L
B. Negosi Pernyotoon Berkuontor Negosi Kuontor Universol lvlisalkan ada pernyataan:p: Semua bilangan prima adalah ganjil Jika dapat menemukan paling sedikit 1 bilangan prima yang tidak ganjil, maka pernyataan p di atas salah. Dengan demikian, negasi dari semua x bersifat A, adalah "ada (paling sedikit satu) x tidak bersifat A". Jadi, negasi kuantor universal adalah kuantor eksistensial. Secara simbolik dapat ditulis:
: [ (vx),
p(x)]=(:r)[ :p(x)]
Negosi Kuantor Eksistensial Karena negasi kuantor universal adalah kuantor eksistensial, maka negasi kuantor eksistensial adalah kuantor universal. Sebagai contoh, pernyataan "ada r€-R sedemikian hingga x'< 0" dapat dinegasikan dengan pernyataan "semua r€R memenuhi x2? 0". Secara simbolik:
: [ (]x), p(:r)l=(v-t)[
:p(x)]
Negosi Pernyotoon dengon Voriobel Lebih dori Sotu Secara simbolik
(:xvy, p(ay)]=V:r : [Vy,p(4y)]=Vx=y,: p(x,y) : [ (Vry, p(x,y)]=lx : [V.r,p(r,y)]=1xY y,: p(x,y) :[
Contoh 6.4 : Tentukan nilai kebenaran dan negasi dari pernyataan berikut dengan semesta bilangan real
'
vr'rl(j!j =r)
JAWAO:
a)
Pernyatan tersebut bernilai benar karena setiap diberikan suatu bilangan real x, maka bisa ditentukan satu bilangan real y (bilangan x sendiri) sehingga x = y. Neg a si dari V:r17 (:r: - l) ad a la h lj.Vl, (j' + t ) Pe.nyataan tersebut bernilaisalah karena ada x = 0 dan ada y = 2, sehingga x+y. Negasi dari :rvy (jr =1,) ada,ah V:'1, (r+l)
C. Penoloran /lAotemotiko (Penorikon Kesimpulon) Logika berkenaan dengan penalaran yang dinyaiakan dengan pernyataan variabel. Suatu pembuktian yang bersifat matematik atau tidak, terdiri atas pernyataan-pernyataan yang saling berelasi. Biasanya kita memulai dengan pernyataan-pernyaiaan tertentu yang diterima kebenarannya dan kemudian berargumentasi untuk sampai pada konklusi
-9
(kesimpulan) yang ingin dibuktikan. Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis. Suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi, atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya. Argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti dan suatu konklusi (kesimpulan). Konklusi diturunkan dari premis-premis. Dalam argumen yang valid, konklusi akan bernilai benarjika setiap premis yang digunakan dalam argumenjuga be.nilai benar. Bentuk kebenaran yang digeluti matematikawan adalah kebenaran relatif. Eenar atau salahnya suatu konklusi hanya dalam hubungan dengan sistem aksiomatik tertentu. Konklusi itu benarjika mengikuti hukum-hukum logika yang valid dari aksioma-aksioma sistem itu, dan negasinya adalah salah. Untuk menentukan validitas suatu argumen digunakan beberapa cara antara lain sebagai
berikut:
Modus Ponens Bentuk argumen Modus Ponens adalah
Premisl :pJq
2
:p Konklusi :q Premis
Contoh 6.5 i Premis I : Jika segitiga ABC samasisi, maka segitiga ABC samakaki Premis
2
Konklusi
: Segitiga ABC samasisi : Segit'ga ABC samakaki
lvlodus Tolens Bentuk argumen l\,4odus Tolens adalah Premis l :p+q
2
-q Konklusi -p Premis
: :
Conloh 6.6 : Premis 1 :Jika segitiga ABC samasisi, maka segitiga ABC samakaki Premis 2 ; Segitiga ABC bukan samakaki
Konhlusi : Segitiga ABC bukan samasisi Silogismd Bentuk argumen silogisma adalah Premis Premis :q
l :p+q 2 )r
Konklusi
:
Contoh 6.7 : Premis 1 :Jika segitiga ABC samasisi, maka segitiga ABC samakaki Premis 2 :Jika segitiga ABC samakaki, maka dua sudutnya sama besar Konklusi : Jika segitiga ABC samasisi, maka dua sudutnya sama besar
Malelralika
Silogismo Disjungtif Bentuk argumen silogisma disjungtif adalah Premis :pvg Premis Konklusi : p Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan g dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid. Premis :pvq Premis :g
1 2 :'q 1 2
Konklusi : -p Tetapijika kedua kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar (disjungsi eksklusi0,maka silogisma disjungsi diatas adalah valid. Contoh 6-8
1 2
:
:2 bilangan ganjil atau bilangan prima :2 bukan bilangan ganjil (B) Konklusi :2 bilangan prima (B) Premis Premis
(B)
Konjungsi Bentuk argumen konjungsi adalah Premis :p Premis :g
1 2
Konklusi :p^q
Adinya: p benar, q benar. l\,4aka p
Contoh 6,9 : Premis l :6 bilangan genap Premis
2
^
q benar
:6 bilangan kelipatan
Konklusi :6
3 bilangan genap dan keiipatan 3
Penanbohon Bentuk argumen penambahan adalah Premis :p
I
Konklusi :pvg Artinya: p benar. Maka p v q benar (tidak peduli q benar atau salah)
Conloh 6.10: Premis l :6 bilangan genap
Konklusi :6
bilangan genap atau kelipatan 4
Dilemo Konstruktif Bentuk argumen dilema konstruktif adalah Premis Premis :pv r Konklusi :qv s
1 :(p+q)^(r)s) 2
Contoh 6.11 : Premis 1 : Jika segitiga ABC samasisi, maka segitiga ABC samakaki;jika besar sal
1
Premjs
2
Konklusi
satu sudut segitiga ABC adalah 900 maka segitiga ABC siku-siku : Segitiga ABC samasisi atau besar salah satu sudutnya 900 : Segitiga ABC samakaki atau segitiga ABC siku-siku
Dilemo Destruktif Bentuk argumen dilema destruklif adalah
Premis
1 :(p)q)^(r )s) :-qv's :-pv-r
Premis2 Konklusi
Contoh 6.'12 Premis
1
Premis
2
Konkiusi
:
Jika segitiga ABC samasisi, maka segitiga ABC samakaki;jika besar semua sudut segitiga ABC <900, maka segitiga ABC Iancip : Segitiga ABC tidak samakaki atau tidak lancip. : Segitiga ABC tidak samasisi atau besar sudut segitjga ABC ada yang tidak kurang dari 900 :
Lembor Peniloian 6.4 Jenis Peniloion Penilaian pada pertemuan ini yaitu tes tertulis uraian.
fnstrunen Peniloion Tes Tulis Kerjakan semua soal latihan
1.
Buatlah 1 contoh pernyataan matematika (torema atau definisi) yang memuat kuantor eksistensial dan 1 contoh pernyataan matematika (torema atau definisi)yang memuat kuantor universal.
2.
Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini dalam semesta pembicaraan himpunan bilangan real
a.
lr(-rz-2r+6=0)
b. vY(a 2Y-1 n) 3.
Tentukan negasi dari pernyataan berikut:
/-
u.(o,X'.r.€R-0) , liek_) \J ) b. { lr..t xjr-t
./(.r ll 't-!, ' ,'-o')/
4.
Diketahuipernyataan: Setiap bilangan kuadrat lebih besar atau sama dengan nol Jurnlah kuadrat setiap bilangan real lebih kecil atau sama dengan kuadratjumlah setiap bilangan real. Tulislah pernyataan tersebut dalam bentuk simbolikl Kemudian tentukan negasinya!
5.
Manakah di antara argumen-argumen berikul inj yang meripakan argumen valid? Tentukan juga tipe argumen yang dipakai! Jika kamu banyak membaca buku, kamu akan tahu banyak hal Kamu tidak tahu banyak hal Konklusi: Kamu tidak banyak membaca buku Perut saya sakiljika makan rujak pedas dan tidak dapat tidur nyenyak sehabis nonton film horor Perut saya tidak sakit dan dapat tidur nyenyak Konklusi: Saya tidak makan rujak pedas dan tidak menonton film horor
a) b)
a)
b)
6.
Pada setiap nomor berikut ini terdapat dua premis. Tentukan (iika ada) konklusi valid yang dapat ditarik dari premis-premis tersebut dan bagaimana menyusun argumen sampai pada konklusi tersebut
a) b)
Saya orang yang bijaksana atau bodoh. Tetapi saya pasti bukan orang bodoh Jika tidak belajar maka mahasiswa akan bodoh; dan jika iidak suka ke perpustakaan mahasiswa akan kurang pengetahuan. Mahasiswa tidak bodoh atau tidak kurang pengalaman.
-L7
DAFTAR rusTAKA 6.5 Hudoyo, H, & Sutawidjqa, A,.1997. Matematka. Jakarta: Dirjen Dikti Rachmat, S. 2004. Pengantar Logika Matematika. Jakafta: Informatika Rosen, KH. 2003. Discrete Mathematics and lts Application. McGraw-Hill Higher Education Seputro, TMHT. 1992. Pengantar Dasar Matematika: Loqika dan Teo Himpunan. Jakarta: Erlangga
Soekadijo, RG. 2001. Logika Dasar: Tradisional, Simbolik, dan Induktif. Jakarta. Gramedia Pustaka Utama Yunus, M.2007. Logika: Suatu Pengantar. Yogyakarta: Graha llmu
