Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
FRAKTÁLGEOMETRIA Példák fraktálokra I Czirbusz Sándor
[email protected] Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
2010. február 1.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Vázlat 1
Mi a fraktál?
2
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA Cantor - halmaz A konstrukció Egyszeru˝ tulajdonságok Triadikus ábrázolás Transzlációk Iterált fügvényrendszerek
Sierpienski–háromszög A konstrukció Egyszeru˝ tulajdonságok
˝ A Sierpienski - szonyeg és a Menger - szivacs A Koch - görbe
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Mi a fraktál?
„A fraktál olyan halmaz, melynek a Haussdorff-Besicovitch dimenziója szigorúan nagyobb, mint a topológiai dimenziója”
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Mi a fraktál?
„A fraktál olyan halmaz, melynek a Haussdorff-Besicovitch dimenziója szigorúan nagyobb, mint a topológiai dimenziója” Mandelbrot
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Kiegészítés
Amit azért mindenki tud Önhasonlóak FInomszerkezet ˝ Az euklideszi geometria eszközeivel nehezen kezelhetok ˝ Egyszeru˝ szabályokkal eloállíthatók – többnyire valamilyen rekurzióval Valami baj van a dimenzióval Ott vanak mindenhol
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Kiegészítés
Amit azért mindenki tud Önhasonlóak FInomszerkezet ˝ Az euklideszi geometria eszközeivel nehezen kezelhetok ˝ Egyszeru˝ szabályokkal eloállíthatók – többnyire valamilyen rekurzióval Valami baj van a dimenzióval Ott vanak mindenhol
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Kiegészítés
Amit azért mindenki tud Önhasonlóak FInomszerkezet ˝ Az euklideszi geometria eszközeivel nehezen kezelhetok ˝ Egyszeru˝ szabályokkal eloállíthatók – többnyire valamilyen rekurzióval Valami baj van a dimenzióval Ott vanak mindenhol
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Kiegészítés
Amit azért mindenki tud Önhasonlóak FInomszerkezet ˝ Az euklideszi geometria eszközeivel nehezen kezelhetok ˝ Egyszeru˝ szabályokkal eloállíthatók – többnyire valamilyen rekurzióval Valami baj van a dimenzióval Ott vanak mindenhol
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Kiegészítés
Amit azért mindenki tud Önhasonlóak FInomszerkezet ˝ Az euklideszi geometria eszközeivel nehezen kezelhetok ˝ Egyszeru˝ szabályokkal eloállíthatók – többnyire valamilyen rekurzióval Valami baj van a dimenzióval Ott vanak mindenhol
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Kiegészítés
Amit azért mindenki tud Önhasonlóak FInomszerkezet ˝ Az euklideszi geometria eszközeivel nehezen kezelhetok ˝ Egyszeru˝ szabályokkal eloállíthatók – többnyire valamilyen rekurzióval Valami baj van a dimenzióval Ott vanak mindenhol
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Kiegészítés
Amit azért mindenki tud Önhasonlóak FInomszerkezet ˝ Az euklideszi geometria eszközeivel nehezen kezelhetok ˝ Egyszeru˝ szabályokkal eloállíthatók – többnyire valamilyen rekurzióval Valami baj van a dimenzióval Ott vanak mindenhol
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
A Cantor halmaz konstrukciója
Legyen C0 = [0, 1]
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
A Cantor halmaz konstrukciója
Legyen C0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 31 , 32 ) intervallumot!
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
A Cantor halmaz konstrukciója
Legyen C0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 31 , 32 ) intervallumot! C1 = [0, 13 ] ∪ [ 32 , 1]
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
A Cantor halmaz konstrukciója
Legyen C0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 31 , 32 ) intervallumot! C1 = [0, 13 ] ∪ [ 32 , 1] ... minden lépésben hagyjuk el a megmaradt intervallumok középso˝ harmadát!
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
A Cantor halmaz konstrukciója
Legyen C0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 31 , 32 ) intervallumot! C1 = [0, 13 ] ∪ [ 32 , 1] ... minden lépésben hagyjuk el a megmaradt intervallumok középso˝ harmadát! C = ∩∞ k=1 Ck a Cantor–halmaz
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Egyszeru˝ tulajdonságok
1
2
3 4
A Ck halmaz 2k darab diszjunkt intervallum uniója, egy ilyen intervallum hossza : 31k 2 l(Ck ) = ( )k 3 l(C) = 0 Ha a, b ∈ [0, 1] és valamely k –ra [a, b] ⊂ Ck , akkor minden n >= k esetén a, b ∈ Cn
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Egyszeru˝ tulajdonságok
1
2
3 4
A Ck halmaz 2k darab diszjunkt intervallum uniója, egy ilyen intervallum hossza : 31k 2 l(Ck ) = ( )k 3 l(C) = 0 Ha a, b ∈ [0, 1] és valamely k –ra [a, b] ⊂ Ck , akkor minden n >= k esetén a, b ∈ Cn
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Egyszeru˝ tulajdonságok
1
2
3 4
A Ck halmaz 2k darab diszjunkt intervallum uniója, egy ilyen intervallum hossza : 31k 2 l(Ck ) = ( )k 3 l(C) = 0 Ha a, b ∈ [0, 1] és valamely k –ra [a, b] ⊂ Ck , akkor minden n >= k esetén a, b ∈ Cn
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Egyszeru˝ tulajdonságok
1
2
3 4
A Ck halmaz 2k darab diszjunkt intervallum uniója, egy ilyen intervallum hossza : 31k 2 l(Ck ) = ( )k 3 l(C) = 0 Ha a, b ∈ [0, 1] és valamely k –ra [a, b] ⊂ Ck , akkor minden n >= k esetén a, b ∈ Cn
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Triadikus ábrázolás I Bármely x ∈ N ábrázolható 3-as számrendszerben x=
M X
ai · 3i
i=0
formában. A [0, 1] között számok felírhatók x=
∞ X
ai · 3−i
i=1
alakban.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Triadikus ábrázolás II
Tétel Az x ∈ [0, 1] szám pontosan akkor van benne C –ben ha van olyan triadikus felírása, melyben nem szerepel 1 -es Következmény A Cantor halmaz nem megszámlálható.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Transzlációk I I Ha L ⊂ R, s ∈ L, akkor az L + s = x + s : x ∈ L halmazt al L halmaz s–el való eltoltjának nevezzük. Definiáljuk a következo˝ sorozatokat : L0 = 0, legyen továbbá s0 = 32 , és s Lk = Lk−1 ∪ (Lk−1 + sk−1 ), sk = k−1 3 Legyen L = ∩∞ k=0 Lk Tulajdonságok : Lk elemszáma 2k Lk pontjai a Ck –beli intervallumok bal–végpontjai, a Ck -ból kihagyott intervallumok job–végpontjai (plusz a 0) Lk elemeinek triadikus felbontásában nincs 1–es
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Transzlációk II
Igaz-e, hogy L = C ?
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Transzlációk II
Igaz-e, hogy L = C ? Tétel Ha x eleme a Cantor halmaznak, akkor létezik L-ben olyan sorozat, amelyik x–hez konvergál.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Transzlációk III
Bizonyítás
P Ha x ∈ C, akkor x = ∞ a · 3−i , ahol ai csak 0, 2lehet.k >= 1 Pk i=1 i i esetén legyenxk = i=1 ai · 3 . Ekkor xk ∈ Lk .Továbbá: kx − xk k =
∞ X i=k+1
ai · 3i <=
∞ X
2 · 3i = 2 ∗
3−(k+1)
i=k+1
FRAKTÁLGEOMETRIA
2 3
= 3−k
(1)
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Iterált fügvényrendszerek I
Definíció Legyenek r > 0 valamint a valós számok. Az f : R → R, x 7→ r · x + (1 − r) · a utasítással definiált függvényt r arányú, a középpontú dilatációnak vagy nyújtásnak nevezzük
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Iterált fügvényrendszerek I
Definíció Legyenek r > 0 valamint a valós számok. Az f : R → R, x 7→ r · x + (1 − r) · a utasítással definiált függvényt r arányú, a középpontú dilatációnak vagy nyújtásnak nevezzük Tekintsük a következo˝ két dilatációt : f1 (x) = 3x , f2 (x) = Nézzük a két függvény [0, 1]–re való megszorítását!
FRAKTÁLGEOMETRIA
x+2 3 .
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Iterált fügvényrendszerek I Definíció Legyenek r > 0 valamint a valós számok. Az f : R → R, x 7→ r · x + (1 − r) · a utasítással definiált függvényt r arányú, a középpontú dilatációnak vagy nyújtásnak nevezzük Tekintsük a következo˝ két dilatációt : f1 (x) = 3x , f2 (x) = Nézzük a két függvény [0, 1]–re való megszorítását!
x+2 3 .
Tétel A Cantor halmazra teljesül a következo˝ összefüggés : C = f1 (C) ∪ f2 (C)
FRAKTÁLGEOMETRIA
(2)
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Iterált fügvényrendszerek II
Bizonyítás. 1
Indukcióval : Ck+1 = f1 (Ck ) ∪ f2 (Ck )
2
Szokásos kétoldali tartalmazással
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Iterált fügvényrendszerek II
Bizonyítás. 1
Indukcióval : Ck+1 = f1 (Ck ) ∪ f2 (Ck )
2
Szokásos kétoldali tartalmazással
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Iterált fügvényrendszerek II
Bizonyítás. 1
Indukcióval : Ck+1 = f1 (Ck ) ∪ f2 (Ck )
2
Szokásos kétoldali tartalmazással
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Cantor - halmaz
Iterált fügvényrendszerek II
Bizonyítás. 1
Indukcióval : Ck+1 = f1 (Ck ) ∪ f2 (Ck )
2
Szokásos kétoldali tartalmazással
Az (f1 , f2 ) függvénypárt iterált függvényrendszernek nevezzük, a C halmaz ezen függvényrendszernek az invariáns halmaza, avagy attraktorja.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Sierpienski–háromszög
A konstrukció
1
˝ Legyen az S0 halmaz egy egyenlooldalú háromszög, a háromszög belsejét is ideértve. Az oldalakat egységnek tekintjük
2
Felezzük meg minden oldalát, kössük össze az ˝ oldalfelezoket, hagyjuk el a középso˝ háromszöget. Így kapjuk az S1 halmazt. ˝ hogy mindene megmaradt Sk+1 –et úgy kapjuk Sk –bol, ˝ o˝ eljárást. háromszögön végrehajtjuk az eloz
3
4
S = ∩∞ i=0 Si
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Sierpienski–háromszög
A konstrukció
1
˝ Legyen az S0 halmaz egy egyenlooldalú háromszög, a háromszög belsejét is ideértve. Az oldalakat egységnek tekintjük
2
Felezzük meg minden oldalát, kössük össze az ˝ oldalfelezoket, hagyjuk el a középso˝ háromszöget. Így kapjuk az S1 halmazt. ˝ hogy mindene megmaradt Sk+1 –et úgy kapjuk Sk –bol, ˝ o˝ eljárást. háromszögön végrehajtjuk az eloz
3
4
S = ∩∞ i=0 Si
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Sierpienski–háromszög
A konstrukció
1
˝ Legyen az S0 halmaz egy egyenlooldalú háromszög, a háromszög belsejét is ideértve. Az oldalakat egységnek tekintjük
2
Felezzük meg minden oldalát, kössük össze az ˝ oldalfelezoket, hagyjuk el a középso˝ háromszöget. Így kapjuk az S1 halmazt. ˝ hogy mindene megmaradt Sk+1 –et úgy kapjuk Sk –bol, ˝ o˝ eljárást. háromszögön végrehajtjuk az eloz
3
4
S = ∩∞ i=0 Si
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Sierpienski–háromszög
A konstrukció
1
˝ Legyen az S0 halmaz egy egyenlooldalú háromszög, a háromszög belsejét is ideértve. Az oldalakat egységnek tekintjük
2
Felezzük meg minden oldalát, kössük össze az ˝ oldalfelezoket, hagyjuk el a középso˝ háromszöget. Így kapjuk az S1 halmazt. ˝ hogy mindene megmaradt Sk+1 –et úgy kapjuk Sk –bol, ˝ o˝ eljárást. háromszögön végrehajtjuk az eloz
3
4
S = ∩∞ i=0 Si
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Sierpienski–háromszög
Egyszeru˝ tulajdonságok
1
Sk pontosan 3k darab egybevágó háromszöget tartalmaz, oldalhosszaik 2−k
2
S területe 0
3
S kerülete ∞
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Sierpienski–háromszög
Egyszeru˝ tulajdonságok
1
Sk pontosan 3k darab egybevágó háromszöget tartalmaz, oldalhosszaik 2−k
2
S területe 0
3
S kerülete ∞
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Sierpienski–háromszög
Egyszeru˝ tulajdonságok
1
Sk pontosan 3k darab egybevágó háromszöget tartalmaz, oldalhosszaik 2−k
2
S területe 0
3
S kerülete ∞
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Sierpienski–háromszög
Iterált fügvényrendszerek
˝ A Cantor–halmazhoz hasonlóan eloállítható fügvényiterációk segítségével. Itt három dilatációra van szükségük, ezek nem mások, mint az S0 csúcsaiból indított 21 arányú zsugorítással. Ha f1 , f2 , f3 jelöli a három függvényt, akkor egyrészt Sk+1 = f1 (Sk ) ∪ f2 (Sk ) ∪ f3 (Sk ), valamint S = f1 (S) ∪ f2 (S) ∪ f3 (S)
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
Sierpienski–háromszög
Koordinátás megadás
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
˝ A Sierpienski - szonyeg és a Menger - szivacs
˝ A Sierpienski - szonyeg és a Menger - szivacs ˝ Sierpinski - szonyeg Egy egységnégyzetet felbontunk 3x3-as kis négyztetekre, majd ˝ Ezután aez eljárást folytatjuk a kihagyjuk a középsot. megmaradt négyzetekkel. Területe : 0, kerülete : ∞ Menger - szivacs ˝ ˝ Egy egységkockát A Sierpienski–szonyeg térbeli megfeleloje; bontunk az élek harmadolásával 27 kiskockára, majd kihagyjuk azokat, amelyeken a kocka középpontján áthaladó, lapokra ˝ meroleges egyenesek átmennek. 8 ilyen kiskocka esik ki. Majd az eljárást folytatjuk. Térfogat : 0, felszín :∞
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
˝ A Sierpienski - szonyeg és a Menger - szivacs
˝ A Sierpienski - szonyeg és a Menger - szivacs ˝ Sierpinski - szonyeg Egy egységnégyzetet felbontunk 3x3-as kis négyztetekre, majd ˝ Ezután aez eljárást folytatjuk a kihagyjuk a középsot. megmaradt négyzetekkel. Területe : 0, kerülete : ∞ Menger - szivacs ˝ ˝ Egy egységkockát A Sierpienski–szonyeg térbeli megfeleloje; bontunk az élek harmadolásával 27 kiskockára, majd kihagyjuk azokat, amelyeken a kocka középpontján áthaladó, lapokra ˝ meroleges egyenesek átmennek. 8 ilyen kiskocka esik ki. Majd az eljárást folytatjuk. Térfogat : 0, felszín :∞
FRAKTÁLGEOMETRIA
Mi a fraktál?
PÉLDÁK FRAKTÁLOKRA
A Koch - görbe
A Koch–görbe
FRAKTÁLGEOMETRIA
