Szeparábilitás
Kompaktság
FRAKTÁLGEOMETRIA Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság
Czirbusz Sándor
[email protected] Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
2010. március 7.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
Vázlat
1
Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai Tétel Bizonyítás
Példák 2
Kompaktság Alapozás A kompaktság fajtái A deiníciók kövekezményei I
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
Definíciók
Definíciók 1
Az S metrikus tér részhalmazainak U családját az A ⊂ S ˝ U-beli halmazok lefedésének nevezzük, ha A eloáll uniójaként.
2
megszámlálható, véges, nyílt lefedések, rész-lefedés.
3
U végesmetszet tulajdonságú, ha bármely véges részrendszerének a metszete nemüres.
4
S szeparábilis, ha van megszámlálható sur ˝ u˝ részhalmaza.
5
S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát, ha van megszámlálható nyílt bázisa.
6
S Lindelöf tulajdonságú, minden nyilt lefedésének van megszámlálható rész-lefedése. FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
Definíciók
Definíciók 1
Az S metrikus tér részhalmazainak U családját az A ⊂ S ˝ U-beli halmazok lefedésének nevezzük, ha A eloáll uniójaként.
2
megszámlálható, véges, nyílt lefedések, rész-lefedés.
3
U végesmetszet tulajdonságú, ha bármely véges részrendszerének a metszete nemüres.
4
S szeparábilis, ha van megszámlálható sur ˝ u˝ részhalmaza.
5
S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát, ha van megszámlálható nyílt bázisa.
6
S Lindelöf tulajdonságú, minden nyilt lefedésének van megszámlálható rész-lefedése. FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
Definíciók
Definíciók 1
Az S metrikus tér részhalmazainak U családját az A ⊂ S ˝ U-beli halmazok lefedésének nevezzük, ha A eloáll uniójaként.
2
megszámlálható, véges, nyílt lefedések, rész-lefedés.
3
U végesmetszet tulajdonságú, ha bármely véges részrendszerének a metszete nemüres.
4
S szeparábilis, ha van megszámlálható sur ˝ u˝ részhalmaza.
5
S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát, ha van megszámlálható nyílt bázisa.
6
S Lindelöf tulajdonságú, minden nyilt lefedésének van megszámlálható rész-lefedése. FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
Definíciók
Definíciók 1
Az S metrikus tér részhalmazainak U családját az A ⊂ S ˝ U-beli halmazok lefedésének nevezzük, ha A eloáll uniójaként.
2
megszámlálható, véges, nyílt lefedések, rész-lefedés.
3
U végesmetszet tulajdonságú, ha bármely véges részrendszerének a metszete nemüres.
4
S szeparábilis, ha van megszámlálható sur ˝ u˝ részhalmaza.
5
S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát, ha van megszámlálható nyílt bázisa.
6
S Lindelöf tulajdonságú, minden nyilt lefedésének van megszámlálható rész-lefedése. FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
Definíciók
Definíciók 1
Az S metrikus tér részhalmazainak U családját az A ⊂ S ˝ U-beli halmazok lefedésének nevezzük, ha A eloáll uniójaként.
2
megszámlálható, véges, nyílt lefedések, rész-lefedés.
3
U végesmetszet tulajdonságú, ha bármely véges részrendszerének a metszete nemüres.
4
S szeparábilis, ha van megszámlálható sur ˝ u˝ részhalmaza.
5
S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát, ha van megszámlálható nyílt bázisa.
6
S Lindelöf tulajdonságú, minden nyilt lefedésének van megszámlálható rész-lefedése. FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
Definíciók
Definíciók 1
Az S metrikus tér részhalmazainak U családját az A ⊂ S ˝ U-beli halmazok lefedésének nevezzük, ha A eloáll uniójaként.
2
megszámlálható, véges, nyílt lefedések, rész-lefedés.
3
U végesmetszet tulajdonságú, ha bármely véges részrendszerének a metszete nemüres.
4
S szeparábilis, ha van megszámlálható sur ˝ u˝ részhalmaza.
5
S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát, ha van megszámlálható nyílt bázisa.
6
S Lindelöf tulajdonságú, minden nyilt lefedésének van megszámlálható rész-lefedése. FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai
Tétel
Tétel A következo˝ állítások ekvivalensek : 1
S szeparábilis
2
S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát
3
S Lindelöf tulajdonságú
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai
Tétel
Tétel A következo˝ állítások ekvivalensek : 1
S szeparábilis
2
S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát
3
S Lindelöf tulajdonságú
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai
Tétel
Tétel A következo˝ állítások ekvivalensek : 1
S szeparábilis
2
S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát
3
S Lindelöf tulajdonságú
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai
Tétel
Tétel A következo˝ állítások ekvivalensek : 1
S szeparábilis
2
S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát
3
S Lindelöf tulajdonságú
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai
Bizonyítás
Bizonyítás 1 ⇒ 2 Ha D ⊂ S megszámlálható és sur ˝ u, ˝ akkor B = {B 1 (a) : a ∈ D, n ∈ N} megszámlálható n
˝ D sur nyílt halmazrendszer, melyrol ˝ u˝ volta miatt belátható, hogy bázis. 2 ⇒ 3 Ha B egy megszámlálható bázis, U egy megszámlálható lefedés, akkor x ∈ S–hez választható Ux ∈ U és Bx ∈ B, hogy x ∈ Bx ⊂ Ux . De {Bx $ ⊂ B megszámlálható, ezért a megfelelo˝ {Ux } megszámlálható, és lefedése S–nek 3 ⇒ 1 A Bn = {B 1 (x) : x ∈ S} halmazcsalád minden n ∈ N esetén lefedése S–nek, ezért van n
megszámlálható részlefedése : az An = {B 1 (y) : y ∈ Yn } halmazcsalád, ahol Yn n S megszámlálható. (Kiválasztási axióma!). Belátható, hogy az n∈N Un halmazcsalád megszámlálható és sur ˝ u. ˝
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai
Bizonyítás
Bizonyítás 1 ⇒ 2 Ha D ⊂ S megszámlálható és sur ˝ u, ˝ akkor B = {B 1 (a) : a ∈ D, n ∈ N} megszámlálható n
˝ D sur nyílt halmazrendszer, melyrol ˝ u˝ volta miatt belátható, hogy bázis. 2 ⇒ 3 Ha B egy megszámlálható bázis, U egy megszámlálható lefedés, akkor x ∈ S–hez választható Ux ∈ U és Bx ∈ B, hogy x ∈ Bx ⊂ Ux . De {Bx $ ⊂ B megszámlálható, ezért a megfelelo˝ {Ux } megszámlálható, és lefedése S–nek 3 ⇒ 1 A Bn = {B 1 (x) : x ∈ S} halmazcsalád minden n ∈ N esetén lefedése S–nek, ezért van n
megszámlálható részlefedése : az An = {B 1 (y) : y ∈ Yn } halmazcsalád, ahol Yn n S megszámlálható. (Kiválasztási axióma!). Belátható, hogy az n∈N Un halmazcsalád megszámlálható és sur ˝ u. ˝
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai
Bizonyítás
Bizonyítás 1 ⇒ 2 Ha D ⊂ S megszámlálható és sur ˝ u, ˝ akkor B = {B 1 (a) : a ∈ D, n ∈ N} megszámlálható n
˝ D sur nyílt halmazrendszer, melyrol ˝ u˝ volta miatt belátható, hogy bázis. 2 ⇒ 3 Ha B egy megszámlálható bázis, U egy megszámlálható lefedés, akkor x ∈ S–hez választható Ux ∈ U és Bx ∈ B, hogy x ∈ Bx ⊂ Ux . De {Bx $ ⊂ B megszámlálható, ezért a megfelelo˝ {Ux } megszámlálható, és lefedése S–nek 3 ⇒ 1 A Bn = {B 1 (x) : x ∈ S} halmazcsalád minden n ∈ N esetén lefedése S–nek, ezért van n
megszámlálható részlefedése : az An = {B 1 (y) : y ∈ Yn } halmazcsalád, ahol Yn n S megszámlálható. (Kiválasztási axióma!). Belátható, hogy az n∈N Un halmazcsalád megszámlálható és sur ˝ u. ˝
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
Példák
Példák
1 2
Eω –ban az {[α] : α ∈ E∗ } megszámlálható bázis. Rn –ben az a csupa racionális számokból álló n–esek megszámlálható sur ˝ u˝ halmazt alkotnak.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
Példák
Példák
1 2
Eω –ban az {[α] : α ∈ E∗ } megszámlálható bázis. Rn –ben az a csupa racionális számokból álló n–esek megszámlálható sur ˝ u˝ halmazt alkotnak.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
Alapozás
Alapozás A Bolzano-Weierstrass tétel: Ha a, b ∈ R és a < b, akkor minden [a, b]–beli soroztanak van torlódási pontja. ε–háló: A ⊂ S ε – háló, ha S minden eleme ε > 0 –nál közelebb van A valamelyik pontjához. Véges-metszet tulajdonság Ha F az S részhalmazainak olyan családja, hogy bármely véges részrendszerének a metszete nemüres, végesmetszet tulajdonságúnak nevezzük. Heine-Borel tétel: Ha F az [a, b] valós intervallum részhalmazainak T végesmetszet tulajdonságú családja, akkor F nemüres.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
Alapozás
Alapozás A Bolzano-Weierstrass tétel: Ha a, b ∈ R és a < b, akkor minden [a, b]–beli soroztanak van torlódási pontja. ε–háló: A ⊂ S ε – háló, ha S minden eleme ε > 0 –nál közelebb van A valamelyik pontjához. Véges-metszet tulajdonság Ha F az S részhalmazainak olyan családja, hogy bármely véges részrendszerének a metszete nemüres, végesmetszet tulajdonságúnak nevezzük. Heine-Borel tétel: Ha F az [a, b] valós intervallum részhalmazainak T végesmetszet tulajdonságú családja, akkor F nemüres.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
Alapozás
Alapozás A Bolzano-Weierstrass tétel: Ha a, b ∈ R és a < b, akkor minden [a, b]–beli soroztanak van torlódási pontja. ε–háló: A ⊂ S ε – háló, ha S minden eleme ε > 0 –nál közelebb van A valamelyik pontjához. Véges-metszet tulajdonság Ha F az S részhalmazainak olyan családja, hogy bármely véges részrendszerének a metszete nemüres, végesmetszet tulajdonságúnak nevezzük. Heine-Borel tétel: Ha F az [a, b] valós intervallum részhalmazainak T végesmetszet tulajdonságú családja, akkor F nemüres.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
Alapozás
Alapozás A Bolzano-Weierstrass tétel: Ha a, b ∈ R és a < b, akkor minden [a, b]–beli soroztanak van torlódási pontja. ε–háló: A ⊂ S ε – háló, ha S minden eleme ε > 0 –nál közelebb van A valamelyik pontjához. Véges-metszet tulajdonság Ha F az S részhalmazainak olyan családja, hogy bármely véges részrendszerének a metszete nemüres, végesmetszet tulajdonságúnak nevezzük. Heine-Borel tétel: Ha F az [a, b] valós intervallum részhalmazainak T végesmetszet tulajdonságú családja, akkor F nemüres.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
A kompaktság fajtái
A kompaktság fajtái
Sorozatkompaktság Az S metrikus tér sorozatkompakt, ha minden sorozatának van torlódási pontja S–ben. Megszámlálható kompaktság Az S metrikus tér megszámlálhatóan kompakt, ha minden végtelen halmazának van torlódási pontja. Bikompaktság Az S metrikus tér bikompakt, ha bármely zárt halmazokból álló végesmetszet tulajdonságú részhalmaz-családjának a metszete nemüres. ˝ kiválasztható Kompaktság S kompakt, ha minden nyílt lefedésébol véges lefedés.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
A kompaktság fajtái
A kompaktság fajtái
Sorozatkompaktság Az S metrikus tér sorozatkompakt, ha minden sorozatának van torlódási pontja S–ben. Megszámlálható kompaktság Az S metrikus tér megszámlálhatóan kompakt, ha minden végtelen halmazának van torlódási pontja. Bikompaktság Az S metrikus tér bikompakt, ha bármely zárt halmazokból álló végesmetszet tulajdonságú részhalmaz-családjának a metszete nemüres. ˝ kiválasztható Kompaktság S kompakt, ha minden nyílt lefedésébol véges lefedés.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
A kompaktság fajtái
A kompaktság fajtái
Sorozatkompaktság Az S metrikus tér sorozatkompakt, ha minden sorozatának van torlódási pontja S–ben. Megszámlálható kompaktság Az S metrikus tér megszámlálhatóan kompakt, ha minden végtelen halmazának van torlódási pontja. Bikompaktság Az S metrikus tér bikompakt, ha bármely zárt halmazokból álló végesmetszet tulajdonságú részhalmaz-családjának a metszete nemüres. ˝ kiválasztható Kompaktság S kompakt, ha minden nyílt lefedésébol véges lefedés.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
A kompaktság fajtái
A kompaktság fajtái
Sorozatkompaktság Az S metrikus tér sorozatkompakt, ha minden sorozatának van torlódási pontja S–ben. Megszámlálható kompaktság Az S metrikus tér megszámlálhatóan kompakt, ha minden végtelen halmazának van torlódási pontja. Bikompaktság Az S metrikus tér bikompakt, ha bármely zárt halmazokból álló végesmetszet tulajdonságú részhalmaz-családjának a metszete nemüres. ˝ kiválasztható Kompaktság S kompakt, ha minden nyílt lefedésébol véges lefedés.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
A deiníciók kövekezményei I
A deiníciók kövekezményei I
Tétel Tétel Ha S sorozatkompakt, akkkor minden ε > 0 esetén van ε–hálója.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
A deiníciók kövekezményei I
A deiníciók kövekezményei I
Tétel Tétel Ha S sorozatkompakt, akkkor minden ε > 0 esetén van ε–hálója. Bizonyítás Tegyük fel, hogy van olyan ε > 0, melyhez nincs ε–háló. Mivel S nemüres ( ∅ minden számra ε –háló). Válasszunk ki egy x1 elemet. Ha már x1 , x2 , . . . , xn –t kiválasztottuk — ami nem ε–háló -, xn+1 kiválasztható úgy, hogy ρ(xj , xn+1 ) > ε minden j–re. A konstrukció miatt xn –nek nincs torlódási pontja, ellentmondás.
FRAKTÁLGEOMETRIA
Szeparábilitás
Kompaktság
A deiníciók kövekezményei I
A deiníciók kövekezményei I Tétel Tétel Ha S sorozatkompakt, akkkor minden ε > 0 esetén van ε–hálója. Bizonyítás Tegyük fel, hogy van olyan ε > 0, melyhez nincs ε–háló. Mivel S nemüres ( ∅ minden számra ε –háló). Válasszunk ki egy x1 elemet. Ha már x1 , x2 , . . . , xn –t kiválasztottuk — ami nem ε–háló -, xn+1 kiválasztható úgy, hogy ρ(xj , xn+1 ) > ε minden j–re. A konstrukció miatt xn –nek nincs torlódási pontja, ellentmondás. Következmény Sorozatkompakt tér szeparábilis. FRAKTÁLGEOMETRIA
