Fourier-sorok Bevezet´ es. Az al´abbi anyag a vizsg´ara val´o felk´esz¨ul´es seg´ıt´ese c´elj´ab´ol k´esz¨ ult. Az alkalmazott jel¨ol´esek vagy bizony´ıt´as r´eszletek n´eh´any esetben elt´erhetnek az el˝oad´ason alkalmazottakt´ol. Vizsg´an term´eszetesen mindegyik v´altozat egyen´ert´ek˝ u.
T´ etel Legyen (X, <, >) egy skal´aris szorzat t´er K felett. Legyenek tov´abb´a az X-beli ϕk (k = 1, . . . , n, n ∈ N) elemek egym´asra mer˝olegesek ´es egys´egnyi norm´aj´ uak. Ekkor kf −
n X
λk ϕk k = inf kf −
k=1
n X
® µk ϕk k : µk ∈ K, k = 1, . . . , n
k=1
akkor ´es csak akkor, ha λk =< f, ϕk > (k = 1, . . . , n).
Megjegyz´es: A skal´aris szorzat tulajdons´agai ´es ± < ϕk , ϕj >=
0 k 6= j, 1 k = j.
miatt
n X
< f, ϕk > ϕk , ϕj >= 0 (j = 0, . . . , n).
k=1
Ha az {ϕ1 , . . . , ϕn } ortonorm´alt vektorok ´altal kifesz´ıtett alteret Y-nal jel¨olj¨ uk, akkor a fenti t´etel a k¨ovetkez˝oket jelenti: 1. B´armely X-beli f elemhez egy´ertelm˝ uen l´etezik Y-beli legjobban k¨ozel´ıt˝o elem. 2. A legjobban k¨ozel´ıt˝o elem az f-nek az Y-ra vett mer˝oleges vet¨ ulete, ami az Y-t kifesz´ıt˝o ϕk vektorokra egyenk´ent vett vet¨ uletek ¨osszege. P Bizony´ıt´as: Legyen K = R. Tekints¨uk f− nk=1 µk ϕk -nak ¨onmag´aval vett skal´aris szorzat´at, ´es vegy¨ uk figyelembe, hogy < ϕk , ϕj >= 0, ha k 6= j. Ekkor a skal´aris szorzat tulajdons´agait alkalmazva azt kapjuk, 1
2
hogy kf −
n X
2
µk ϕk k =< f −
k=1
n X
µk ϕk , f −
k=1
= kfk2 − 2
n X
µk ϕk >
k=1
n X
µk < f, ϕk > +|µk |2
k=1
= kfk2 +
n X
(µk − < f, ϕk >)2 −
k=1
n X
< f, ϕk >2 .
k=1
A jobb oldalon l´ev˝o h´arom tagb´ol az els˝o ´es a harmadik nem f¨ ugg a µk egy¨ utthat´okt´ol. A m´asodik tag n´egyzetek ¨osszege, aminek legkisebb ´ert´eke 0. Ez is csak u ´gy lehets´eges, ha minden tag 0, azaz µk =< f, ϕk > (k = 1, . . . , n). A komplex eset hasonl´oan igazolhat´o. ¤
K¨ovetkezm´eny (Bessel-egyenl˝otlens´eg): Mivel a fenti bizony´ıt´asban szerepl˝o egyenl˝os´eg bal oldala nem negat´ıv, ez´ert µk =< f, ϕk > v´alaszt´as mellett n n X X 2 0 ≤ kf − < f, ϕk > ϕk k = kfk − | < f, ϕk > |2 . k=1
K¨ovetkez´esk´eppen:
Pn k=1
k=1 2
2
| < f, ϕk > | ≤ kfk .
A Fourier-sor fogalma. Legyen (X, <, <) v´egtelen dimenzi´os t´er, amelyben Φ = (ϕk , k ∈ N) egy ortonorm´alt rendszer. Egy X-beli f b elemnek a Φ rendszerre vonatkoz´o k-adik Fourier-egy¨ utthat´oj´at f(k)val jel¨olj¨ uk, ´es a k¨ovetkez˝ok´eppen defini´aljuk: b =< f, ϕk > f(k) Az Sf =
X
(k ∈ N).
b f(k)ϕ k
sort az f (Φ rendszerre vonatkoz´o) Fourier-sor´anak nevezz¨ uk. Az n X b Sn f = f(k)ϕ (n ∈ N) k k=0
v´eges ¨osszeget az Fourier-sor n-edik r´eszlet¨osszeg´enek nevezz¨ uk. A Fourier-r´eszlet¨osszegeknek az el˝oz˝o t´etelben igazolt minimum tulajdons´aga miatt nyilv´anval´o, hogy az (kf − Sn fk) sorozat monoton cs¨okken. Ebb˝ol azonban m´eg nem k¨ovetkezik, hogy hat´ar´ert´eke 0, azaz
3
hogy f Fourier-sora norm´aban f-hez konverg´al. Az al´abbi t´etelben megmutatjuk, hogy ha f egy´altal´an el˝oa´ll´ıthat´o norm´aban konvergens sor alakj´aban, akkor a Fourier-sor is el˝o´all´ıtja f-et.
T´ etel: Ha a
P
λk ϕk sor norm´aban f ∈ X-hez konverg´al, akkor f Fourier-sora is f-hez konverg´al norm´aban.
Bizony´ıt´as: Az el˝oz˝o t´etel alapj´an kf −
n X k=0
b f(k)ϕ k k ≤ kf −
Pn Ha teh´at limn→∞ kf − k=0 λk ϕk k Pn b ul. k=0 f(k)ϕk k = 0 is teljes¨
n X
λk ϕk k.
k=0
=
0, akkor limn→∞ kf − ¤
4
A val´os ´es a komplex trigonometrikus rendszer. A val´os trigonometrikus rendszer: 1, cos kx, sin kx
(x ∈ [0, 2π], k = 1, . . . ).
Tekints¨ uk az R[0, 2π] teret, azaz a [0, 2π] intervallumon ´ertelmezett integr´alhat´o f¨ uggv´enyek ter´et az Z2 < f, g >= fg (f, g ∈ R[0, 2π]) 0
skal´aris szorzattal. K¨onny˝ u ellen˝or´ızni, hogy a val´os trigonometrikus rendszer elemei ortogon´alisak ebben a t´erben, a norm´ajuk azonban nem 1. A norm´aval val´o leoszt´as ut´an kapott 1 1 1 √ , √ cos kx, √ sin kx (x ∈ [0, 2π], k = 1, . . . ) π π 2π rendszer m´ar ortonorm´alt rendszer. Az f ∈ R[0, 2π] f¨ uggv´eny Fourier-egy¨ utthat´oi: Z2 Z2 Z2 1 1 1 f(t) √ dt, f(t) √ cos kt dt, f(t) √ sin kt dt, π π 2π 0 0 0 Az f Fourier-sora: Z2 ∞ ³ Z2 X 1 1 1 1 f(t) √ cos kt dt · √ cos kx f(x) √ dx · √ + π π 2π 2π k=1 0 0 Z2 ´ 1 1 + f(t) √ sin kt dt · √ sin kx π π 0 Egyszer˝ us´ıthetj¨ uk a jel¨ol´eseket, ha m´odos´ıtjuk a Fourier-egy¨ utthat´okat: Z2 1 ak = f(t) cos kt dt (k = 0, . . . ) π 0 Z 1 2 bk = f(t) sin kt dt (k = 1, . . . ). π 0 Ekkor ∞ a0 X + (ak cos kx + bk sin kx). Sf(x) = 2 k=1 A Bessel-egyenl˝otlens´egnek a val´os trigonometrikus Fourier-egy¨ uthat´okra vonatkoz´o alakja: Z2 ∞ X π 2 2 2 f2 (f ∈ R[0, 2π]). (ak + bk ) ≤ a +π 2 0 0 k=1
5
A komplex trigonometrikus rendszer: eikx
(x ∈ [0, 2π], k ∈ Z).
Az R[0, 2π] elemei most legyenek komplex ´ert´ek˝ u integr´alhat´o f¨ uggv´enyek, a skal´aris szorzat pedig Z2 < f, g >=
fg (f, g ∈ R[0, 2π]). 0
A rendszer elemei ortogon´alisak egym´asra, a norm´al´asi t´enyez˝o pedig 1 √ . Az ortonorm´alt komplex trigonometrikus rendszer teh´at 2π 1 √ eikx 2π
(x ∈ [0, 2π], k ∈ Z).
Hasonl´o okb´ol, mint a val´os esetben m´odos´ıtsuk a Fourieregy¨ utthat´okat a k¨ovetkez˝ok´eppen: 1 ck = 2π
Z2
f(t)e−ikt dt (k ∈ Z).
0
P ikx Ekkor Sf(x) = ∞ (f ∈ R[0, 2π]). k=−∞ ck e Az n-edik r´eszlet¨osszegen most a 0-ra szimmetrikus r´eszlet¨osszeget fogjuk ´erteni, azaz Sn f(x) =
n X
ck eikx
(f ∈ R[0, 2π]).
k=−n
A Bessel-egyenl˝otlens´egnek a komplex trigonometrikus Fourieregy¨ uthat´okra vonatkoz´o alakja: 2π
∞ X k=1
2
Z2
|ck | ≤
|f|2
(f ∈ R[0, 2π]).
0
Felhaszn´alva az eikx = cos kx + i sin kx (k ∈ Z) formul´at nyilv´anval´o, hogy az {eikx : k = −n, . . . , n} f¨ uggv´enyek ´es a {1, cos kx, sin kx : k = 1, . . . , n} f¨ uggv´enyek ugyanazt a 2n + 1 dimenzi´os komplex alteret fesz´ıtik ki. Ez alapj´an egyszer˝ u kapcsolat teremthet˝o ugyanazon f¨ uggv´eny val´os ´es komplex trigonometrikus Fourier-egy¨ utthat´oi k¨oz¨ott.
6
Nevezetesen n n X X ck eikx = ck (cos kx + i sin kx) k=−n
k=−n
= c0 + =
n X ¡
(ck + c−k ) cos kx + i(ck − c−k ) sin kx
¢
k=1 n X
a0 + 2
(ak cos kx + bk sin kx),
k=1
ahonnan az ak = ck + c−k ,
bk = i(ck − c−k ) (k = 1, . . . )
¨osszef¨ ugg´esek ad´odnak. Az al´abbiakban a Fourier-sorok viselked´es´et a 2π szerint periodikus folytonos f¨ uggv´enyeken vizsg´aljuk. Ezeknek a ter´et jel¨olj¨ uk C2 -vel.
T´ etel. Legyen f ∈ C2 olyan f¨uggv´eny, amelynek trigonometrikus Fourier-sora egyenletesen konvergens. maga az f f¨ uggv´eny.
Ekkor a Fourier-sor ¨osszege
Bizony´ıt´as.
Mivel Sf egyenletesen konvergens, ez´ert a g hat´arf¨ uggv´eny folytonos ´es 2π szerint periodikus. Alkalmazva az Pn a0 Sn f(x) = 2 + k=1 (ak cos kx + bk sin kx) jel¨ol´est sz´amoljuk ki a g f¨ uggv´eny j-edik (j ≥ 1) cosinus egy¨ utthat´oj´at: Z Z ´ 1 2 1 2 ³ g(t) cos jt dt = (g(t) − Sn f(t)) cos jt + Sn f(t) cos jt dt π 0 π 0 Z 1 2 = (g(t) − Sn f(t)) cos jt dt π 0 Z 1 2 a0 + cos jt dt π 0 2 n n 1X 1X + ak cos kt cos jt dt + bk sin kt cos jt dt. π k=1 π k=1
Legyen n ≥ j. Ekkor az ortogonalit´as miatt a jobb oldalon majdnem minden tag 0. Ezeket elhagyva az kapjuk, hogy Z Z 1 2 1 2 g(t) cos jt dt = (g(t) − Sn f(t)) cos jt dt + aj . π 0 π 0
7
Az egyenletes konvergencia ´es az integr´al´as kapcsolat´ara vonatkoz´o t´etelt alkalmazva Z2 lim (g(t) − Sn f(t)) cos jt dt = 0. n→∞ 0
K¨ovetkez´esk´eppen 1 π
Z2 g(t) cos jt dt = aj . 0
Hasonl´oan igazolhat´o, hogy f ´es g sinus egy¨ utthat´oi is megegyeznek. Azt kaptuk teh´at, hogy f ´es g Fourier-egy¨ utthat´oi megegyeznek. A bizony´ıt´as befejez´es´ehez az al´abbi t´etelt kell igazolni.
T´ etel. Ha egy C2 -beli f¨uggv´eny minden Fourier-egy¨utthat´oja 0, akkor a f¨ uggv´eny az azonosan 0 f¨ uggv´eny. Bizony´ıt´as. Tegy¨uk fel indirekt, hogy h olyan 2π szerint periodikus nem azonosan 0 folytonos f¨ uggv´eny, amelyiknek minden Fourieregy¨ utthat´oja 0, azaz Z2 Z2 Z2 h(t) dt = 0, h(t) cos kt dt = 0, h(t) sin kt dt = 0 0
0
0
minden k = 1, . . . eset´en. A felt´etelek szerint van olyan −π ≤ u ≤ π pont, amelyben a h ´ert´eke nem 0. A h beszorz´as´aval el´erhetj¨ uk, hogy ebben a pontban a f¨ uggv´eny´ert´ek pontosan 1. Az integr´al homogenit´asa miatt a Fourieegy¨ utthat´ok mindegyike 0 marad a beszorz´as ut´an is. Feltehetj¨ uk teh´at, hogy a h(u) = 1 felt´etel eleve teljes¨ ul. A tov´abbiakban megmutatjuk, hogy u = 0 is feltehet˝o. Trigonometrikus polinomnak nevezz¨ uk a P(x) =
n X ¡
λk cos kx + µk sin kx
¢
(λk , µk ∈ R, k = 0, . . . , n, n ∈ N)
k=0
alak´ u f¨ uggv´enyeket. Term´eszetesen minden trigonometrikus polinom eleme a C2 t´ernek. Megjegyezz¨ uk, hogy a trigonometrikus polinomok eltoltjai is trigonometrikus polinomok. Val´oban, a cos k(x + s) = cos ks cos kx − sin ks sin kx, sin k(x + s) = sin ks cos kx + cos ks sin kx
8
azonoss´agok miatt P(x + s) =
n X ¢ ¡ λk cos k(x + s) + µk sin k(x + s) k=0
n X ¡ = (λk cos ks + µk sin ks) cos kx k=0
¢ + (−λk sin ks + µk cos ks) sin kx ,
ami szint´en trigonometrikus polinom. Mivel h minden Fourier-egy¨ utthat´oja 0, ez´ert az integr´al linearit´asa miatt minden P trigonometrikus polinom eset´en is Z h(t)P(t) dt = 0 −
teljes¨ ul. Tekints¨ uk most a h-nak az u-val val´o eltoltj´at: h∗ (t) = h(t + u) (t ∈ R). Ekkor h∗ (0) = 1 ´es h∗ ∈ C2 . M´asr´eszt b´armely P trigonometrikus polinom eset´en Z Z ∗ h(t + u)P(t) dt h (t)P(t) dt = − − Z +u = h(t)P(t − u) dt − +u Z = h(t)P(t − u) dt −
= 0. Az utols´o egyenl˝os´egn´el haszn´altuk ki, hogy P(t − u) maga is trigonometrikus polinom. Meg´allap´ıthatjuk teh´at, hogy a h∗ minden Fourier-egy¨ utthat´oja 0. Ezek ut´an feltehetj¨ uk, hogy a kindul´asi h f¨ uggv´eny az eddigieken k´ıv¨ ul eleget tesz a h(0) = 1 felt´etelnek is. Meg fogjuk mutatni, hogy van olyan trigonometrikus polinom, amelynek a h-val val´o szorzatintegr´alja nem 0. Ez ellentmond a h-ra fent tett meg´allap´ıt´asnak. ul Mivel h folytonos, ez´ert van olyan δ > 0, amely eset´en f(t) > 21 teljes¨ minden |t| < δ sz´amra. Legyen ezek ut´an Tn (t) = (1 − cos δ + cos t)n
(t ∈ R, n ∈ N).
Indukci´oval k¨onnyen igazolhat´o, hogy Tn pontosan n-edfok´ u trigonometrikus polinom.
9
R Bontsuk fel a − hTn integr´alt r´eszekre az al´abbi m´odon ¯Z ¯ Z ¯ ¯ h(t)Tn (t) dt¯ = h(t)Tn (t) dt ¯ −
−
³ Z− −
Z
− − −
³ Z− −
´
+
|h(t)Tn (t)| dt +
|h(t)Tn (t)| dt Z
´
|h(t)Tn (t)| dt + −
|h(t)Tn (t)| dt +
= I1 − I2 − I3 . Ha |t| ≤ δ, akkor h(t) ≥ 21 ´es Tn (t) >≥ 1. K¨ovetkez´esk´eppen 1 I1 ≥ 2δ · · 1 = δ. 2 I2 becsl´es´ehez jel¨olje M a h folytonos f¨ uggv´enynek a [−π, π] intervallumon vett maximum´at. δ ≤ |t| ≤ δ + ² est´en |Tn (t)| ≤ 1. K¨ovetkez´esk´eppen I2 ≤ 2²M. Az I3 esethez vegy¨ uk ´eszre, hogy max{|1 − cos δ + cos t| : δ + ² ≤ |t| ≤ π} = max{|1 − cos δ + cos(δ + ²)|, cos δ} = q < 1. Ennek alapj´an: I3 ≤ 2πMqn . ¨ Osszefoglalva ¯Z ¯ ¯ ¯ h(t)Tn (t) dt¯ ≥ δ − 2²M − 2πMqn . ¯ −
Ha ² ≤
δ δ ´es qn ≤ , akkor 8M 8πM ¯Z ¯ δ ¯ ¯ h(t)Tn (t) dt¯ ≥ > 0. ¯ 2 −
Azzal, hogy ellentmond´asra jutottunk bebizony´ıtottuk, hogy a t´etel ´all´ıt´asa igaz. ¤
Megjegyz´esek. uggv´enyek k¨oz¨ ul csak az azonosan 0 1. Azt, hogy a C2 -beli f¨ f¨ uggv´eny az, amelyiknek az ¨osszes Fourier-egy¨ utthat´oja 0, r¨oviden u ´gy mondjuk, hogy a trigonometrikus rendszer teljes a C2 t´erben.
10
2. A most bebizony´ıtott t´etel azt is jelenti, hogy a C2 t´eren a Fourier transzform´ac´o, azaz a f¨ uggv´enyhez a Fourieregy¨ utthat´okat rendel˝o transzform´aci´o, invert´alhat´o. A tov´abbiakban k´et olyan felt´etelt n´ez¨ unk meg, amelyek biztos´ıtj´ak a Fourier-sor egyenletes konvergenci´aj´at. Ezek k¨oz¨ ul az els˝o a Fourieregy¨ utthat´okra vonatkozik.
´ ıt´ All´ as. Ha egy 2π szerint periodikus folytonos f¨uggv´eny Fourieregy¨ utthat´oib´ol k´epezett numerikus sor abszol´ ut konvergens, akkor a f¨ uggv´eny Fourier-sora egyenletesen konverg´al a f¨ uggv´enyhez.
Bizony´ıt´as. Jel¨olj¨uk az f ∈ C2 f¨uggv´eny Fourier-egy¨uthat´oit a szok´asos P m´odon ak -val (k = 0, . . . ) ´es bk -val (k = 1, . . . ). Tegy¨ uk ∞ fel, hogy k=1 (|ak | + |bk |) < ∞. Mivel |ak cos kx + bk sin kx| ≤ |ak | + |bk | (x ∈ R, k = 1, . . . ), ez´ert a f¨ uggv´enysorok egyenletes konvergenci´aj´ara vonatkoz´o major´ans krit´erium szerint f Fourier-sora egyenletesen konvergens, ami az el˝oz˝o t´etel alapj´an egyben azt is jelenti, hogy mag´ahoz az f f¨ uggv´enyhez konverg´al. ¤
P´elda. Legyen f ∈ C2 , f(x) = x2 (−π ≤ x ≤ π). Ekkor 1 a0 = π
Z
2 1 x dx = π2 ´es bk = 3 π
Z
2
−
x2 sin kx dx = 0 −
(k = 1, . . . ). K´etszeres parci´alis integr´al´assal k¨onnyen megkapjuk az ak egy¨ utthat´okat: Z 1 4 ak = x2 cos kx dx = 2 (−1)k (k = 1, . . . ). π − k Teljes¨ ulnek az el˝oz˝o ´all´ıt´as felt´etelei, ez´ert a f¨ uggv´eny Fourier-sora konvergens. Term´eszetesen ekkor a Fourier-sor a 0 pontban f(0) = 0-hoz konverg´al, azaz 0=
∞ ∞ X 1 1 a0 X ak = π2 + 4 + (−1)k 2 2 3 k k=1 k=1
∞ ∞ X X 1 2 1 1 = π +4 −4 . 2 2 3 (2k) (2k − 1) k=1 k=1
11
P∞ 1 Ez lehet˝os´eget teremt a A = osszeg kisz´amol´as´ara. k=1 2 sor¨ k P 1 Vezess¨ uk be ugyanis az A = ∞ ol´est. Mivel k=1 2 jel¨ k ∞ ∞ X 1 1X 1 A = = , 2 2 (2k) 4 k=1 k 4 k=1 ez´ert
∞ X k=1
A 3 1 = A − = A. 2 (2k − 1) 4 4
Innen a
1 A 3 0 = π2 + 4 − 4 A 3 4 4 2 π egyenletre jutunk, amib˝ol az A = eredm´eny ad´odik. 6
´ ıt´ All´ as. Ha f ∈ C2 k´etszer folytonosan differenci´alhat´o, akkor f Fourier-sora egyenletesen konverg´al f-hez. Ez az ´all´ıt´as a fent jelzett m´asik el´egs´eges felt´etel a Fourier-sor egyenletes konvergenci´aj´ara.
Bizony´ıt´as. Tekints¨uk p´eld´aul a bk egy¨utthat´okat. Parci´alis integr´al´assal azt kapjuk, hogy Z 1 bk = f(t) sin kt dt π − Z 1h cos kt i 1 = − f(t) f 0 (t) cos kt dt + π k πk − − Z cos kt i 1 h 0 sin kt i 1 1h − f(t) f (t) + − 2 f 00 (t) sin kt dt. = π k πk k − πk − − Mivel az els˝o kiintegr´alt tag f(−π) = f(π), a m´asik pedig sin(±kπ) = 0 miatt 0, ez´ert Z 1 f 00 (t) sin kt dt (k = 1, . . . ). bk = − 2 πk − K¨ovetkez´esk´eppen
P∞
1 |bk | ≤ πk2
Z |f 00 (t)| dt (k = 1, . . . ), −
amib˝ol k=1 |bk | < ∞ ad´odik. Hasonl´o eredm´eny kaphatunk az ak -kra is. Az el˝oz˝o ´all´ıt´as felt´etelei
12
teljes¨ ulnek, teh´at az f Fourier-sora egyenletesen konverg´al f-hez.
¤
Megjegyz´es. Vegy¨uk ´eszre, hogy a bizony´ıt´as sor´an kapcsolatot kaptunk adott differenci´alhat´o f¨ uggv´eny ´es deriv´altj´anak Fourieregy¨ utthat´oi k¨oz¨ott.
13
Pontonk´enti konvergenci´ara vonatkoz´o lok´alis felt´etelek. A Dirichlet formula. Legyen f ∈ C2 . A defin´ıci´o alapj´an n a0 X + (ak cos kx + sin kx) Sn f(x) = 2 k=1 Z Z n 11 1 X³ = f(t) dt + f(t) cos kt dt cos kx 2π − π k=1 − Z ´ + f(t) sin kt dt sin kx 1 = π 1 = π
Z f(t) −
Z f(t) −
³1 2 ³1 2
−
+ +
n X k=1 n X
´
cos kt cos kx + sin kt sin kx dt ´ cos k(x − t) dt
k=1
Az utols´o szumm´at z´art alakra hozhatjuk: n 1 X cos ku Dn (u) = + 2 k=1 1 ³1 u X u´ = sin + cos ku sin sin u2 2 2 k=1 2 n
n 1 ³ u X¡ 1 1 ¢´ = sin + sin(k + )u − sin(k − )u 2 sin u2 2 k=1 2 2
sin(n + 12 )u = 2 sin u2
(0 < |u| ≤ π, n = 1, . . . ).
A 0-beli f¨ uggv´eny´ert´ekkel kieg´esz´ıtve a kapjuk az u ´gynevezett n-edik Dirichlet-f´ele magf¨ uggv´enyt: 1 sin(n + 2 )u u 6= 0, Dn (u) = 2 sin u2 n + 1 u = 0. 2 Seg´ıts´eg´evel egyszer˝ uen kifejezhet˝o az n-edik Fourier-r´eszlet¨osszeg: Z 1 Sn f(x) = f(t)Dn (x − t) dt. π −
14
T´ etel.
Ha egy 2π szerint periodikus f¨ uggv´eny egy pontban differenci´alhat´o, akkor abban a pontban a Fourier-sora az ottani f¨ uggv´eny´ert´ekhez konverg´al.
Bizony´ıt´as. A Dn defin´ıci´oj´ab´ol nyilv´anval´o, hogy Z
Z Dn (t) dt =
−
−
1 dt = π. 2
Legyen az f ∈ C2 f¨ uggv´eny differenci´alhat´o az −π ≤ x ≤ π pontban. Ekkor Z 1 Sn f(x) − f(x) = f(t)Dn (x − t) dt − f(x) π − Z Z 1 1 f(t)Dn (x − t) dt − f(x)Dn (x − t) dt = π − π − Z ¡ ¢ 1 f(t) − f(x) Dn (x − t) dt = π − Z 1 f(t) − f(x) t − x 1 = x−t sin(n + )(x − t) dt. π − t − x 2 sin 2 2 Az ´atalak´ıt´as a t = x pontban is ´erv´enyes u ´gy, hogy mind a k´et t¨ort eset´en az x pontbeli hat´ar´ert´eket kell venni. Ez az els˝o t¨ort eset´en az f f¨ uggv´eny x-beli differenc´alhat´os´ag´ab´ol k¨ovetkezik, a m´asik t¨ort hat´ar´ert´eke pedig k¨ozismerten −1. Legyen f(t) − f(x) t − x t − x 2 sin x−t g(t) = 2 0 −f (x)
−π ≤ t ≤ π, t 6= x, t = x.
g nyilv´anval´oan folytonos f¨ uggv´eny a [−π, π] intervallumon. seg´ıts´eg´evel a fenti eredm´eny a k¨ovetkez˝o form´aban ´ırhat´o: Z 1 1 Sn f(x) − f(x) = g(t) sin(n + )(x − t) dt π − 2 Z 1 1 1 = g(t) sin(n + )x cos(n + )t dt π − 2 2 Z 1 1 1 g(t) cos(n + )x sin(n + )t dt. − π − 2 2
A g
15
Az utols´o t´enyez˝ok felbont´asa ut´an v´eg¨ ul azt kapjuk, hogy Z 1 1 1 Sn f(x) − f(x) = g(t) sin(n + )x cos t cos nt dt π − 2 2 Z 1 1 1 − g(t) sin(n + )x sin t sin nt dt π − 2 2 Z 1 1 1 − g(t) cos(n + )x cos t sin nt dt π − 2 2 Z 1 1 1 − g(t) cos(n + )x sin t cos nt dt. π − 2 2 Mind a n´egy tag felfoghat´o u ´gy, mint egy r¨ogz´ıtett, a [−π, π] intervallumon folytonos –teh´at egyben integr´alhat´o– f¨ uggv´enynek az n-edik Fourier-egy¨ utthat´oja. Az els˝o tagban lev˝o f¨ uggv´eny p´eld´aul 1 1 h1 (t) = sin(n + )x g(t) cos t (−π ≤ t ≤ π). 2 2 A Bessel-egyenl˝otlens´egb˝ol k¨ovetkezik, hogy b´armely integr´alhat´o f¨ uggv´eny Fourier-egy¨ utthat´oinak a sorozata 0-hoz tart. Ezzel bebizony´ıtottuk, hogy lim |Sn f(x) − f(x)| = 0. n→∞
¤
