1
Fiók ferde betolása A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!
1. ábra Itt azt látjuk, hogy egy a x b méretű kis kék téglalapot úgy tolunk be egy c x d méretű nagy téglalapba, hogy eközben ~ a kis téglalap A csúcsa mindvégig érintkezik a nagy téglalap EF oldalával, valamint ~ a kis téglalap CD oldala mindvégi érintkezik a nagy téglalap G csúcsával. A feladat: a geometriai helyzet leírása. A megoldás: I. Először: állapítsuk meg az xA betolási koordináta változását a φ ferdeségi szög függvé nyében! Az 1. ábra jobb oldali része alapján:
2
(1) innen: (2) Ehhez meg kell állapítani a szög - határokat. a.) Az
meghatározása: feltétel alapján ( 2 ) - ből: (3)
b.) meghatározása: Ehhez először írjuk fel C pont yC koordinátájának kifejezését! Az 1. ábra szerint: (4) Majd írjuk fel a D pont xD koordinátájának a kifejezését is! Ugyanonnan, ( 2 ) - vel is: (5) Az előírt típusú mozgás addig tarthat, amíg (6) A ( 6 / 1 ) feltétel határesetében, ( 4 ) - gyel is: (7) A ( 6 / 2 ) feltétel határesetében, ( 5 ) - tel is: (8) A határszög az lesz, amelyik a ( 7 ) és a ( 8 ) egyenletek megoldásai közül előbb következik be. Minthogy a szög a mozgás során csökken, így a mondott megoldások közül a nagyobb hegyesszög lesz a számunkra megfelelő. Jelölje a ( 7 ) egyenlet megol dását φ*, a ( 8 ) egyenlet megoldását φ**, így a megoldás a φ1 = max (φ*, φ**) feltételnek eleget tevő szögérték lesz. A ( 7 ), de különösen a ( 8 ) egyenlet elég bonyolult trigonometriai egyenletek, így ezeket nem általában, hanem a számpélda konkrét adataival numerikusan célszerű megoldani.
3
II. Másodszor: állapítsuk meg a φ ferdeségi szög változását az xA betolási koordináta függvényében! Ehhez induljunk ki ( 1 ) - ből! (1) átalakításokkal:
(9) Itt kikötjük, hogy ( 10 ) A ( 9 ) egyenlet egy másodfokú egyenlet tgφ - re, amire a megoldó - képlettel: ( 11 )
vegyük azt az 1. ábrán is szemléltetett esetet, amikor ( 12 ) most ( 11 ) és ( 12 ) - vel: ( 13 )
Egyszerűsítve: ( 14 ) Ezután átalakítjuk a gyökjel alatti kifejezést:
4
( 15 ) most ( 14 ) és ( 15 ) szerint: azaz:
( 16 )
Innen: .
( 17 )
Ellenőrzésképpen ( 16 ) - ból: ( 18 ) Most ( 3 ) - mal is:
innen
adódik, ( 18 ) - cal egyezően. Most oldjuk fel a ( 10 ) kikötést! Ekkor a ( 9 ) egyenletből, xA = b - vel is: innen pedig: ahol
( 19 )
( 19 / 1 ) - ből: ( 20 )
5
Most vegyük fel a számpélda adatait, az 1. ábrának megfelelően! Ekkor az adatok: a = 10 cm; b = 3 cm; c = 6 cm; d = 8 cm. ( A1 ) Most írjuk át a ( 17 ) egyenletet a ξ = xA / b jelöléssel! Ekkor: ( 21 )
A Graph szoftverrel ábrázoltuk ( 21 ) - et: 2. ábra.
2. ábra Itt a görbe: a ( 21 ) képlet szerinti, a két vízszintes egyenes pedig a ( 7 ) és a ( 8 ) egyenle tek egy hegyesszögű megoldásai. Most tekintsük a 3. ábrát is! Itt a kis téglalap kezdő és a végső helyzetét ábrázoltuk, a kezdő és a végső ferdeségi szög gel együtt. Ezek számított eredményei az alábbiak: φ0 = 60,00° , φ1 = 21,90° xA1 = 6,88 cm. ( E1 ) A 3. ábráról is leolvasható, hogy a ( 8 ) feltétel alapján kapjuk meg a φ1 szöget. A „szerkesztéssel” – papírsáv beigazításával – kapott eredmények jól egyeznek a számí tottakkal.
6
3. ábra Látjuk, hogy a számítások elvégzéséhez numerikus segítségre van szükség. Nézzük, hogyan boldogultunk a számpéldával! Először: ( A ) és ( 7 ) szerint jártunk el, grafikusan oldva meg az előálló (a) egyenletet – 4. ábra. A megoldás: φ1,1 = 0.32077555 x 180°/π =18,37908519°. Ez a 2. ábrán az alsó / kék vízszintes vonal ordinátája. A görbe és ezen egyenes metszéspontja: xA / b = 2.84800129 xA = 3 cm x 2.84800129 = 8,54400387 cm > 8 cm = d, így ez nem lehet megoldás. A hullámvonal és a vízszintes egyenes másik metszéspontjához tartozó szög értéke: 128, 2224261° lenne, ami használhatatlan érték, hiszen a keresett szög csak hegyesszög lehet. Másodszor: ( A ) és ( 8 ) szerint jártunk el, grafikusan oldva meg a ( 8 ) átalakításával előálló (b) egyenletet – 5. ábra. A megoldás: φ1,2 = 0.38228973 x 180°/π =21,90358808°. Ez a 2. ábrán a felső / lila vízszintes vonal ordinátája. A görbe és ezen egyenes metszés pontja:
7
4. ábra
5. ábra
8
xA / b = 2.29362076 xA = 3 cm x 2.29362076 = 6,88086228 cm < 8 cm = d, tehát ez a megoldás. Egy másik eset „pillanatfelvételei” szemlélhetők a 6. ábrán.
6. ábra Látjuk, hogy itt annyi az eltérés az előző esethez képest, hogy az A1 és az A^ pontok között egy Δ hosszúságú szakasz van, melyen változatlan φ1 szöggel mozdulhat el a kis téglalap. Ekkor a számítások az alábbiak szerint alakulnak. A kezdőszög ( 3 ) szerint: (3) A végszög a ( 7 ) egyenlet ( 22 ) megoldásaként adódik – [ 1 ] – : (7) ( 22 ) A Δ eltolás számítása a 6. ábra szerint: ( 23 ) ahol ( 2 ) szerint ( 24 )
9
A 6. ábra szerint az új adatok: a = 10 cm; b = 3 cm; c = 8 cm; d = 10 cm.
( A2 )
A kezdőszög ( 3 ) - ból: ( E2 / 1 ) A végszög ( 22 ) szerint: ( E2 / 2 ) Az xA1 koordináta ( 24 ) szerint: ( E2 / 3 ) A Δ eltolás ( 23 ) szerint: 1,643849604 cm
( E2 / 4 )
Az ( E2 ) számított eredmények jól egyeznek a 6. ábráról lemérhető eredményekkel. Ezzel a számpélda megoldását befejeztük. Megjegyzések: M1. A ( b ) egyenlet a következőképpen állt elő: ( 8 ) - cal: átalakítva:
végül (c) Az ( A ) és (c ) sorok együttesen ( b ) - re vezetnek. M2. A ( 22 ) egyenlet levezetése az alábbiak szerinti – [ 1 ] . Kiindulás a ( 7 ) egyenlet: (7) kiemeljük a bal oldalon a
tényezőt:
10
( 25 ) mivel ezért létezik olyan
szög, amelyre – 7. ábra – : ( 26 )
7. ábra Most ( 25 ) és ( 26 ) szerint: ( 27 ) az ismert trigonometriai összefüggéssel ( 27 ) jobb oldala: ( 28 ) így ( 27 ) és ( 28 ) szerint: ( 29 ) ahol ( 26 ) - ból: ( 30 ) Majd ( 29 ) inverz függvényét képezve: ( 31 ) végül ( 30 ) és ( 31 ) - gyel: ( 22 ) M3. Látjuk, hogy a 6. ábra szerinti fiók - kialakítás valószerűbb, mint a 3. ábra szerinti, hiszen a fiók betolása után az nemigen szokott „kilógni”, normális működés esetén. M4. Az idők során megjelent már több hasonló típusú dolgozatunk. Érdemes lehet ezeket összevetni. M5. A fiók erőtani működésével egy másik dolgozatban foglalkozunk.
11
Irodalom: [ 1 ] – Obádovics J. Gyula: Matematika 15. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, 1998.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2015. 01. 01.
