Cikloisgörbék ábrázolása Bevezetés A forgó főmozgású szerszám ( pl. gyalukés, marószerszám ) élének pontjai rendszerint hurkolt cikloisgörbéket írnak le, a munkadarabhoz képest. Ez egy igen fontos tény, mert ezen görbék darabkái a forgácsolt felületen is megjelennek, annak felületi egyenetlenségét idézve elő. A faipari forgácsoláselmélet tanításának / tanulásának mindig is fontos határpontja volt a hurkolt cikloisgörbe keletkezésének és jellegzetességeinek megértése. Ebben ma már sokat segíthetnek a gyors és kényelmes függvényábrázoló programok. Itt a Graph v4.3 magyar nyelvű programot használjuk; forrása: [ 1 ]. A ciklois - pálya paraméteres egyenletei és alkalmazásuk Az ábrázoló program számára el kell készítenünk az ábrázolandó függvényt. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!
Itt az ellenirányú forgácsolás esetét szemléltetjük, ahol már minden mozgást a szerszámmal végeztetünk: ~ az n fordulatszámú forgást, valamint ~ az e sebességű előtolást is. Erre jó példa a kézi gyalugéppel történő forgácsolás esete.
1. ábra Legyen a vizsgált élpont a t = 0 időpontban az ( xy ) sík P0 ( 0, 0 ) pontjában. Mire eltelik t idő, addigra ez az élpont a sík P1 ( x, y ) pontjába kerül. Az élpont eközben a nyugvónak képzelt munkadarabhoz képest leírja a ( zöld ) P0P1 görbét. A görbe P1 pontjának koordinátái: x P1 x(n) x(e); (1)
y P1 y(n).
(2)
Részletezve:
x(n) R sin ,
ahol
(3)
2
R
D , 2
(4)
t.
(5) Itt D az élkör átmérője, a forgás szögsebességének állandónak vett nagysága. Most ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ) - tel:
x(n)
D sin t . 2
(6)
Továbbá :
x(e) e t.
(7)
Ezután ( 1 ), ( 6 ), ( 7 ) - tel:
x P1
D sin t e t. 2
(8)
Majd az 1. ábra szerint:
yP1 R R cos R 1 cos .
(9)
Most ( 4 ), ( 5 ), ( 9 ) - cel:
yP1
D 1 cos t . 2
Ezután Fizika tanulmányaink alapján: 2n . Most ( 8 ) és ( 11 ) - gyel:
x P1 (t)
D sin 2 n t e t. 2
( 10 ) ( 11 )
( 12 )
Majd ( 10 ) és ( 11 ) - gyel:
yP1 (t)
D 1 cos 2 n t . 2
( 13 )
A ( 12 ) és ( 13 ) képletek a keresett görbe paraméteres egyenletei, ahol a t idő a paraméter. Megjegyzendő, hogy a gyakorlatban a fordulatszám mértékegysége: 1 / min, az előtolósebességé m / min, így célszerű lehet itt az idő mértékegységének a min - t választani. A következő lépés az, hogy az ábrázolás érdekében konkrét adatokat veszünk fel és helyettesítünk be a képletekbe. Ezekkel máris mintapéldákat készítünk.
3
1. Példa: D = 200 mm;
n = 10 ford / min;
e = 4 m / min.
Esetünkben fennáll, hogy
R > e.
( huc )
Ekkor a hurkolt ciklois egyenletei: x(t) 100 sin 20 t 4000 t
( mm ) ;
(P1/1)
y(t) = 100 1 cos 20 t
( mm ) .
(P1/2)
A görbe képe a 2. ábrán szemlélhető. y
x(t)=100*sin(20*pi*t)+4000*t , y(t )=100*(1-cos(20*pi*t))
600
500
400
300
200
100
x -50
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
-100
-200
-300
2. ábra A tényleges forgácsolás során a szerszám élkör - sebessége sokkal nagyobb az előtolási sebességnél: R >> e; ( huc* ) az ilyen hurkolt ciklois - ábra azonban már alig élvezhető.
4
2. Példa Abban az esetben, ha fennállna az
R = e
( csc ) összefüggés a forgácsolás paraméterei között, akkor csúcsos cikloisról beszélnénk. Ez az eset a faipari forgácsoló megmunkálásoknál nem szokásos. Egy ilyen eset adatai: D = 200 mm; n = 10 ford / min;
e
D 2 n D n 200 (mm) 10 (1/ min) 2000 (mm / min). 2
Ekkor a csúcsos ciklois egyenletei:
x(t) 100 sin 20 t 2000 t ( mm );
( P 2 / 1)
y(t) = 100 1 cos 20 t
(P2/2)
( mm ).
A görbe képe a 3. ábrán szemlélhető. y 700
600 x(t)=100*sin(20*pi*t)+2000*pi*t , y(t )=100*(1-cos(20*pi*t ))
500
400
300
200
100
x 50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
-100
-200
-300
-400
-500
3. ábra
550
600
650
700
750
800
850
900
950
5
3. Példa Abban az esetben, ha fennállna az
R < e
( nyc )
összefüggés, akkor nyújtott cikloisról beszélnénk. Csak a példa kedvéért módosítjuk adatainkat. D = 200 mm;
n = 10 ford / min;
e = 10000 mm / min.
Ekkor a nyújtott ciklois egyenletei:
x(t) 100 sin 20 t 10000 t ( mm );
(P3/1)
y(t) = 100 1 cos 20 t
(P3/2)
( mm ).
Az eredmény a 4. ábrán szemlélhető. y 1200
1000
800
600
x(t)=100*sin(20*pi*t)+10000*t , y(t)=100*(1-cos(20*pi*t))
400
200
x -200
200
400
600
800
1000
-200
-400
-600
-800
-1000
4. ábra
1200
1400
1600
1800
2000
6
Zárszó A szakirodalom szerint – [ 2 ] – aszerint keletkezik hurkolt, csúcsos, ill. nyújtott ciklois, hogy a ( huc ), a ( csc ), ill. az ( nyc ) mozgástani feltétel áll - e fenn. A függvényábrázoló program alkalmazásával közvetlenül megtapasztalható az előbbi feltételek igazsága, magasabb matematika alkalmazása nélkül is. Ez jelentősen növelheti a forgácsoláselmélet kapcsán a cikloisokkal találkozó tanuló érdeklődését, motivációját, majd sikerességét is.
Segédlet és szakirodalom: [ 1 ] – http://www.szoftverbazis.hu/szoftver/graph-v4-3-magyar--XR13.html [ 2 ] – Szerk.: M. Csizmadia Béla ~ Nándori Ernő: Mozgástan Mechanika mérnököknek, 3. kötet Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2008. november 5.
