Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)
1. Feladat. Írjuk fel az f (x) = e2x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelítő értékét! megoldás: Első lépésben kiszámoljuk a függvény első négy deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az a = 0 pontban: f (k) (x) f (k) (a) k=0
e2x
1
k=1
2e2x
2
k=2
4e2x
4
k=3
8e2x
8
k=4
16e2x
16
Az f függvény a pont körüli negyedfokú Taylor polinomja T4 (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (a) f 000 (a) f (4) (a) (x − a)2 + (x − a)3 + (x − a)4 . 2 6 24
Ebbe behelyettesítve a megfelelő adatokat 8 16 4 T4 (x) = 1 + 2(x − 0) + (x − 0)2 + (x − 0)3 + (x − 0)4 . 2 6 24 Elvégezve az egyszerűsítéseket 4 2 T4 (x) = 1 + 2x + 2x2 + x3 + x4 . 3 3 Az e közelítő értékét úgy kapjuk, ha az előbbi Taylor polinom értékét kiszámoljuk az x = helyen: 2 3 4 1 1 1 4 1 2 1 1 1 1 65 e ≈ T4 =1+2· +2· + · + · =1+1+ + + = . 2 2 2 3 2 3 2 2 6 24 24
1 2
2. Feladat. Írjuk fel az f (x) = ln 2x függvény a = 12 pont körüli harmadfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki ln 2 közelítő értékét! megoldás: Első lépésben kiszámoljuk a függvény első három deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az a = 21 pontban: 1
2
f (k) (x)
f (k) (a)
k=0
ln 2x
0
k=1
1 x
2
k=2
− x12
-4
k=3
2 x3
16
Az f függvény a pont körüli negyedfokú Taylor polinomja f 000 (a) f 00 (a) 2 (x − a) + (x − a)3 . T3 (x) = f (a) + f (a)(x − a) + 2 6 0
Ebbe behelyettesítve a megfelelő adatokat 2 3 1 4 1 16 1 T3 (x) = 0 + 2 x − − x− + x− . 2 2 2 6 2 Elvégezve az egyszerűsítéseket
1 T3 (x) = 2 x − 2
1 −2 x− 2
2
8 + 3
1 x− 2
3 .
Az ln 2 közelítő értékét úgy kapjuk, ha az előbbi Taylor polinom értékét kiszámoljuk az x = 1 helyen: 2 3 5 1 1 8 1 1 1 ln 2 ≈ T3 (1) = 2 1 − −2 1− + 1− =1− + = . 2 2 3 2 2 3 6 3. Feladat. Valamely anyag mennyisége az időtől függően a Q(t) = 2t2 − 6t + 7 függvény szerint változik. A változás a [0, 5] időintervallumban folyik. Mikor nő, illetve mikor csökken Q értéke? Mennyi Q maximuma, illetve minimuma? Adjuk meg a változás sebességfüggvényét! Mennyi a változási gyorsaság az 1, 2 és a 4 időpillanatban? megoldás: A monotonitás és lokális szélsőérték vizsgálatához deriváljuk a Q függvényt: Q0 (t) = (2t2 − 6t + 7)0 = 4t − 6. Ennek zérushelye a 4t − 6 = 0 egyenlet megoldása, azaz t = 32 . Q”(t)=4, így a t = 32 = 1, 5 helyen lokális minimum van. Mivel Q zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, ezért van minimuma és maximuma. Kiszámoljuk az intervallum végpontjaiban is a függvényértékeket: Q(0) = 7, Q(5) = 27, valamint a lokális szélsőérték helyen: Q(1, 5) = 2, 5. Így a minimum hely t = 1, 5, értéke Q(1, 5) = 2, 5, a maximum hely t = 5, értéke Q(5) = 27. Az adott időpillanatban a változási gyorsaságot a függvény adott pontbeli deriváltja adja meg: Q0 (t) = 4t − 6, így a változási gyorsaság az 1, 2 és 4 időpillanatban Q0 (1) = −2, Q0 (2) = 2, Q0 (4) = 10.
3
4. Feladat. Egy téglalap kerülete 100 m. Határozzuk meg az oldalait úgy, hogy a területe maximális legyen! megoldás: Legyenek a téglalap oldalai a és b. Ekkor a kerülete K = 2a + 2b, így jelen esetben 2a + 2b = 100, amiből a + b = 50. Ebből az egyik ismeretlent kifejezve b = 50 − a. A téglalap területe: T = ab = (50 − a)a = 50a − a2 . Ez egy a-től függő függvény, amit jelöljünk f -el, így f (a) = 50a − a2 . Szélsőérték ott lehet, ahol a függvény deriváltja 0. Tehát meg kell oldanunk az f 0 (a) = 0 egyenletet: f 0 (a) = 50 − 2a, ami pontosan akkor 0, ha a = 25. Ekkor b = 50 − a = 50 − 25 = 25. Számoljuk ki az f függvény második deriváltját f 00 (a) = −2 < 0, így maximum van az adott helyen. Tehát a téglalap területe akkor maximális, ha a = 25 m, b = 25 m, és ekkor a maximális terület T = 252 = 625 m2 . 5. Feladat. Tűzfal melletti téglalap alakú kert kerülete 400 m. Határozzuk meg a kert oldalait úgy, hogy a területe a lehető legnagyobb legyen! megoldás: Legyenek a téglalap oldalai a és b. Ekkor a kerülete K = 2a + b, így jelen esetben 2a + b = 400, amiből az egyik ismeretlent kifejezve b = 400 − 2a. A téglalap területe: T = ab = (400 − 2a)a = 400a − 2a2 . Ez egy a-től függő függvény, amit jelöljünk f -el, így f (a) = 400a − 2a2 . Szélsőérték ott lehet, ahol a függvény deriváltja 0. Tehát meg kell oldanunk az f 0 (a) = 0 egyenletet: f 0 (a) = 400 − 4a,
4
ami pontosan akkor 0, ha a = 100. Ekkor b = 400 − 2a = 400 − 200 = 200. Számoljuk ki az f függvény második deriváltját f 00 (a) = −4 < 0, így maximum van az adott helyen. Tehát a téglalap területe akkor maximális, ha a = 100 m, b = 200 m, és ekkor a maximális terület T = 100 · 200 = 20000 m2 . 6. Feladat. Egy téglalap alakú kert területe 400 m2 . Határozzuk meg az oldalait úgy, hogy a kerülete a lehető legkisebb legyen! megoldás: Legyenek a téglalap oldalai a és b. Ekkor a területe T = ab, ami jelen esetben 400 m2 . Ebből kifejezve az egyik ismeretlent 400 b= . a Ezt behelyettesítve a kerületbe K = 2a + 2b = 2a +
800 = f (a), a
aminek a deriváltja f 0 (a) = 2 −
800 . a2
Ennek a zérushelye a = 20 m. Ekkor b = 20 m. A második derivált 1600 f 00 (a) = 3 , a ami a = 20 esetén pozitív, így minimum van az adott helyen. Tehát a minimális kerület: K = 2a + 2b = 80 m. 7. Feladat. Felül nyitott négyzet alapú egyenes hasáb felszíne 75 dm2 . Határozzuk meg az éleit úgy, hogy a térfogata a lehető legnagyobb legyen! megoldás: A hasáb alapéleit a-val, oldaléleit b-vel jelölve, a felszíne A = a2 + 4ab, ami jelen esetben 75 dm2 . Az a2 + 4ab = 75 egyenletből kiefejezve b-t b=
75 − a2 4a
adódik. Ezt felhasználva 75 − a2 75a − a3 V =a b=a · = . 4a 4 2
Deriválva a V (a) =
2
75a − a3 függvényt 4 V 0 (a) =
75 − 3a2 4
5
adódik, aminek zérushleye a = 5. A függvény második deriváltja V 00 (a) = −6a , amiből V 00 (5) = 4 30 15 − 4 = − 2 adódik, ami negatív, így az adott helyen maximum van. Ekkor b = 2, 5 dm, amiből V = 62, 5 dm3 . 8. Feladat. Csővezetéket kell lefektetni a tengeri fúrótorony és a parti finomító között. A torony 12 kilométerre van a parttól, a finomító a part mentén 20 kilométerre, délre. A víz alatt futó vezeték költsége 500.000 dollár/kilométer, míg a szárazföldön futó vezetéké 300.000 dollár/kilométer. Mi a legkevésbé költséges megoldás? megoldás: Legyen a víz alatti vezetékszakasz hossza x, a szárazföldön futóé pedig y.
Az x és az y közötti kapcsolathoz a fúrótoronnyal szemközti derékszög adja a kulcsot. Pitagorasz tétele szerint: x2 = 122 + (20 − y)2 . Ebből gyököt vonva x=
p 144 + (20 − y)2 .
Ebben a modellben csak a pozitív gyöknek van értelme. A csővezeték költsége dollárban számítva c = 500.000x + 300.000y, amibe behelyettesítve az előbbi x-et: c(y) = 500.000 ·
p
144 + (20 − y)2 + 300.000y
adódik. Ezt deriválva 20 − y
c0 (y) = −500.000 · p
144 + (20 − y)2
+ 300.000.
Ennek zérushelye az 20 − y
−500.000 · p
144 + (20 − y)2
+ 300.000 = 0
6
egyenlet megoldása: p 500.000(20 − y) = 300.000 144 + (20 − y)2 p 5 (20 − y) = 144 + (20 − y)2 3 25 (20 − y)2 = 144 + (20 − y)2 9 16 (20 − y)2 = 144, 9 amiből y1 = 11, y2 = 29. Az y = 29 nem megoldás, így y = 11. Kiszámolva [0, 20] intervallum végpontjaiban is a függvényértéket, c(0) = 11.661.900, c(11) = 10.800.000, c(20) = 12.000.000, így legolcsóbb megoldás költsége 10.800.000 dollár, s ezt úgy érjük el, hogy a vezeték a finomítótól 11 kilométerre ér partot.
