Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) 1. Feladat. Határozzuk meg az f (x) = x2 függvény x0 = 1 pontbeli differenciahányados függvényét! A keresett differenciahányados függvény f (x) − f (x0 ) x2 − x20 x2 − 12 (x − 1)(x + 1) d(x) = = = = = x + 1, x − x0 x − x0 x−1 x−1
x 6= 1.
2. Feladat. Határozzuk meg az f (x) = x2 függvény (2, 4), (3, 9) pontok által meghatározott szelő egyenletét! Az egyenes egyenletét y = mx + b alakban keressük, ahol m a meredekség, b az y tengellyel való metszéspont. Az előző megjegyzés szerint a meredekséget a differenciahányados adja, így f (x) − f (x0 ) 9−4 m= = = 5. x − x0 3−2 Mivel például a (2, 4) pont illeszkedik a keresett egyenesre, ezért annak koordinátáit behelyettesítve az egyenes egyenletébe azonosságot kell kapnunk, így fenn kell állnia a 4 = 5 · 2 + b egyenletnek, amiből b = −6 adódik. Tehát a keresett egyenes egyenlete y = 5x − 6. 3. Feladat. Mekkora annak a gépkocsinak az átlagsebessége, amely 8 órát tölt úton, és az első 3 órában 150 km-t tesz meg, a következő 2 órában egyenletes 60 km/h sebességgel halad, azután másfél órát áll, végül még 80 km-t tesz meg? Az első szakaszon 150 km-t, a második szakaszon 120 km-t, végül 80 km-t tesz meg a gépkocsi, így összesen a megtett út 350 km. Az eltelt idő 8 óra, így az átlagsebesség ∆s 350 km v= = = 43, 75 . ∆t 8 h 4. Feladat. Határozzuk meg az f (x) = x2 −5x+6 függvény differenciálhányadosát/deriváltját az x0 = 2 pontban! A differenciahányados f (x) − f (x0 ) x2 − 5x + 6 − 0 (x − 2)(x − 3) = = = x − 3, x − x0 x−2 x−2 1
2
melynek az x0 = 2 pontbeli határértéke lim (x − 3) = 2 − 3 = −1.
x→2
5. Feladat. Határozzuk meg az f (x) = x2 függvény x0 = 3 pontbeli érintőjének meredekségét, és írjuk föl az érintő egyenletét! Az érintő egyenletét y = mx + b alakban keressük. Az érintő meredeksége éppen a függvény adott pontbeli differenciálhányadosa. Így f (x) − f (3) x2 − 9 (x + 3)(x − 3) = lim = lim = lim x + 3 = 3 + 3 = 6. x→3 x→3 x − 3 x→3 x→3 x−3 x−3
m = lim
Mivel a (3, 9) pont illeszkedik a keresett egyenesre, ezért annak koordinátáit behelyettesítve az egyenes egyenletébe azonosságot kell kapnunk, így fenn kell állnia a 9 = 6 · 3 + b egyenletnek, amiből b = −9 adódik. Tehát a keresett egyenes egyenlete y = 6x − 9.
6. Feladat. Egy 100 méter magas torony tetejéről leejtünk egy követ; a kő t másodperc elteltével s(t) = 100 − 4, 9t2 méter távolságra van a talajtól. Mekkora a kő sebessége 2 másodperc elteltével? A pillanatnyi sebességet a függvény adott pontbeli differenciálhányadosa adja meg s(t) − s(t0 ) 100 − 4, 9t2 − (100 − 4, 9 · 4) 4, 9(4 − t2 ) = lim = lim = t→2 t→2 t→2 t − t0 t−2 t−2 4, 9(2 − t)(2 + t) m = lim = lim −4, 9(2 + t) = −19, 6 . t→2 t→2 t−2 s
v(2) = s0 (2) = lim
7. Feladat. Tekintsük az f (x) = |x| függvényt. Ennek baloldali deriváltja az x0 = 0 pontban |x| − 0 −x f (x) − f (x0 ) = lim = lim = −1, x→0− x − 0 x→x0 − x→0− x x − x0
f−0 (x0 ) = lim
jobboldali differenciálhányadosa f+0 (x0 ) = lim
x→x0 +
f (x) − f (x0 ) x |x| − 0 = lim = lim = 1, x→0+ x→0+ x − x0 x−0 x
így a függvény nem differenciálható az x0 = 0 pontban, mert f−0 (x0 ) 6= f+0 (x0 ).
3
8. Feladat. Határozzuk meg az f (x) = x3 −x függvény deriváltját az x0 = 1 pontban definíció szerint! megoldás: A differenciahányados f (x) − f (x0 ) x3 − x − 0 x(x2 − 1) x(x − 1)(x + 1) = = = = x2 + x, x − x0 x−1 x−1 x−1 melynek az x0 = 1 pontbeli határértéke lim (x2 + x) = 1 + 1 = 2. √ 9. Feladat. Differenciálható-e az f (x) = x függvény az x0 = 0 pontban? x→1
megoldás: A differenciahányados
√ f (x) − f (x0 ) 1 x−0 = =√ , x − x0 x−0 x
melynek az x0 = 0 pontbeli határértéke létezik ugyan, de nem véges: 1 lim √ = ∞, x→0+ x így a függvény nem differenciálható az x0 = 0 pontban. 10. Feladat. Határozzuk meg az f (x) =
x , x−1
x 6= 1
függvény deriváltját az x0 6= 1 pontban definíció szerint! megoldás: A differenciahányados x x0 − xx0 − x − x0 x + x0 1 f (x) − f (x0 ) x − 1 x0 − 1 = = =− , x − x0 x − x0 (x − x0 )(x − 1)(x0 − 1) (x − 1)(x0 − 1) melynek az x0 pontbeli határértéke lim −
x→x0
1 1 =− . (x − 1)(x0 − 1) (x0 − 1)2
4
11. Feladat. A kilövés után t másodperccel a rakéta 3t2 méter magasságban van a földfelszín felett. Mekkora a rakéta sebessége 10 másodperccel a kilövés után? megoldás: Az s(t) = 3t2 függvény t0 = 10 pontbeli differenciálhányadosát (deriváltját) kell meghatároznunk. A differenciahányados s(t) − s(t0 ) s(t) − s(10) 3t2 − 300 3(t2 − 100) 3(t + 10)(t − 10) = = = = = 3(t + 10). t − t0 t − 10 t − 10 t − 10 t − 10 Ennek a t0 = 10 pontbeli határértéke v(10) = s0 (10) = lim 3(t + 10) = 60 t→10
m . s
12. Feladat. Határozzuk meg az m és b valós paraméter értékét úgy, hogy az ( x3 , ha x ≤ 1 f (x) = mx + b, ha x > 1 függvény differenciálható legyen az x0 = 1 pontban! megoldás: A függvény baloldali deriváltja x3 − 13 (x − 1)(x2 + x + 1) f (x) − f (x0 ) = lim = lim = lim x2 + x + 1 = 3, x→1 x − 1 x→1 x→1 x→1− x − x0 x−1
f−0 (x0 ) = lim
jobboldali deriváltja f+0 (x0 ) = lim
x→1+
f (x) − f (x0 ) m(x − 1) mx + b − (m + b) = lim = m. = lim x→1 x→1 x − x0 x−1 x−1
Egy függvény pontosan akkor differenciálható az x0 helyen, ha ott a baloldali és jobboldali deriváltja megegyezik, ezért m = 3. A differenciálhatósághoz szükséges az adott pontbeli folytonosság, amihez szükséges az adott pontban a baloldali és jobboldali határérték egyenlősége. Így a lim f (x) = lim f (x) x→1−
x→1+
egyenlőségből kapjuk, hogy 1 = m · 1 + b. Az m értékét már ismerjük. Azt behelyettesítve b = −2 adódik. Ezzel meghatároztuk a kérdezett paraméterek értékét. 13. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f (x) = x|x + 1| + |x + 1| függvény differenciálható! megoldás:
5
Egyedül az x0 = −1 pontban lehet probléma a differenciálhatósággal. A baloldali derivált az x0 = −1 pontban f (x) − f (x0 ) f (x) − f (−1) x(−x − 1) − x − 1 − 0 f−0 (x0 ) = lim = lim = lim = x→x0 − x→−1− x→−1 x − x0 x+1 x+1 (x + 1)(−x − 1) = lim = lim −x − 1 = 0, x→−1 x→−1 x+1 a jobboldali derivált f (x) − f (x0 ) f (x) − f (−1) x(x + 1) + x + 1 − 0 f+0 (x0 ) = lim = lim = lim = x→x0 + x→−1+ x→−1 x − x0 x+1 x+1 (x + 1)2 = lim x + 1 = 0, = lim x→−1 x→−1 x + 1 0 0 így f− (x0 ) = f+ (x0 ), tehát a függvény differenciálható.
